Dinamica fluidului compresibil• Curgerea stationara:
• laminara, traiectorie paralela• turbulenta, peste miscarea predominanta se suprapun miscari
transversale si în interiorul curentului apar vârtejuri sau turbioane.
• Criteriul Reynolds:• w[m/s]-viteza medie• de[m]-diametrul echivalent• ?[m2/s]-vîscozitatea cinematica a fluidului
• În cazul curgerii fluidelor prin conducte circulare curgerea este laminara daca valoarea numarului Reynolds este mai mica de 2320 si este turbulenta pentru valori mai mari.
][Re −=ν
ewd
Hodograful vitezei• Viteza fluidului nu e constanta intr-o
anumita sectiune a curentului, ci variaza în functie de distanta punctului considerat de centrul sectiunii.
• În figura s-a reprezentat repartitia vitezelor într-o sectiune a unui curent de fluid, atat in cazul curgerii laminare, cât si în cazul curgerii turbulente.
• Hodograful vitezelor pentru o curgere laminara intr-o conducta de sectiune circulara este un paraboloid.
• Viteza medie a fluidului w poate fi calculata analitic, daca se cunoaste curba de variatie a vitezei wx în sectiunea A:
∫=A
xdAwA
w1
Diametrul echivalent• pentru curgere laminara: w=0,5wmax
• pentru curgere turbulenta • w=(0,79.- 0,87)wmax la tevi netede si • w=(0,71.- 0,76)wmax la tevi rugoase
• Diametrul echivalent al unui canal cu o sectiune de o forma oarecare este diametrul cercului, care are acelasi raport între aria sectiunii si perimetrul sectiunii ca si canalul în cauza.
• Notând cu A aria sectiunii canalului, cu P perimetrul sectiunii si cu de diametrtul cercului echivalent:
PA
dPA
d
d
ee
e44
2
==>=π
π
Viscozitatea dinamica• Viscozitatea este proprietatea
fluidelor de a se opune curgerii.• Daca se considera paralelipipedul
de fluid din figura, având înaltimea h si cele doua suprafete de sectiune A, care aluneca una fata de alta cu viteza w, atunci conform legii lui Newton, forta�DQJHQWLDOa�QHFHVDUa�acestei deeplasari are expresia:
dhdw
AF η=
η [Pa*s] este un factor dependent de�FH]LXQHD�P ROHFXODUa a fluidului si se numeste viscozitate dinamica.
Viscozitatea cinematica• Raportul dintre viscozitatea dinamica si
densitatea fluidului ρ se�QP HVWH�YLVFR]LWDWH�cinematica.
•
• Pe lânga unitatea m2/s din sistemul de unitati SI se mai întalneste frecvent unitatea denumita Stokes cu simbolul St:
• 1St=1cm2/s=10-4m2/s si 1cSt=10-6m2/s
]/[ 2 smρη
ν =
Procese de curgere stationare, adiabatice
• Ec de continuitate masica • Ecuatia de bilant energetic[ ]kg/s AwAwm 222111 ρ=ρ=&
2
22
21
21
1 22gh
wigh
wi ++=++
•Ecuatia lui Bernoulli
22
22
11
21
22pgh
wpgh
w++=++ ρρρρ
vdv
wdw
AdA
=+
Demo• In cazul proceselor de curgere dlt=0.• In cazul proceselor cu frecare:• Primul princ al termodinamicii pt sist
deschise: gdhw
ddldidq t +++=2
2
tf dldidldq +=+
f
f
ft
dlgdhwddp
vdlgdhwdvdp
dlvdpdigdhwddldi
ρρρ
ρ
++=−
=++=−
−−=+++
2
1:2
2
2
2
2
Rezulta ec lui Bernoulli• Scaderea presiunii de-a lungul curentului indica reducerea
energiei potentiale si are ca urmare o accelerare a curentului si ridicarea lui în câmpul gravitational, precum si acoperirea energiei cheltuite prin frecare.
• In cazul curgerii reversibile e valabila relatia:
• In general pentru instalatii termice pentru care nu apare o deplasare semnificativa a curentului de fluid pe verticala se considedra dh=0, iar ecuatia curgerii adiabatice, reversibile, unidimensionale ia forma:
0)2
(2
=++ ghwp
dρ
wdww
dvdp ==−2
2
Ecuatia lui Bernoulli
.ct2
wp
2w
p2
wp
222
2
21
1 =ρ+=ρ+=ρ+
Pres
static
aPre
s
dinam
ica
.ctppp dsttot =+=
Masurarea debitului cu tubul Pitot Prandtl si diafragma
dinpwρ2
=
ptotala pstatica
pAm ∆⋅⋅⋅⋅= 11 2 ρεα&Unde
1
21
22
,
densitate pt. corectie coef. ,1
AA
AA
m
m
==
=−
=
µ
εµ
µϕα
∆p1, 2
Fara indice,
Schita diafragma
Accelerare, decelerare
2
adica 02
dd
21
22
21
2
wwii
wi
−=−
=+
( ) 21212 2 wiiw +−=
Curgerea adiabatica pt. un gaz perfect
( )
−
−=
=
−
−=
=−−
=
−γ
γ
γγ
γγ
γγ
1
1
211
1
21
212
11
2
11
2
12
pp
vp
TT
RT
TTRw
111max 12
12 RTvpw
−=
−=
γγ
γγ
• Dintr-un rezervor din repaus (linistire)
• Viteza initiala nula• Pt cazul p2 = 0 se obtine
viteza maxima de curgere (intreaga energie potentiala=> energie cinetica)
RdTdTcpdi1
*−
==γ
γ
Viteza sunetului a• Viteza sunetului este viteza de propagare a
variatiilor de presiune si de densitate într-un mediu compresibil si are relatia:
• În cazul transformarii adiabatice a gazului ideal:
• si
sp
a )(δρδ
=
RTp
ddp
0d
pdp
ctp
s γ=ρ
γ=ρ
=>
=ρρ
γ−=ργ
)(
.,
RTa γ=
Viteza sunetului si cifra Mach
• Numarul Mach:
– Ma < 1 curgere subsonica
– Ma > 1 curgere supersonica
[ ]m/s
vpTRp
as
⋅⋅=⋅⋅=
= γγ
ρδδ
aw=Ma
Ma < 1
Ma > 1
data starea la fluid acelin sunetului vitezafluidului a curgere de viteza
==aw
Ma
Ajutaj• Ajutaj = reprezinta piesa cu un canal de sectiune
variabila (continuu), folosita pentru accelerarea/frânarea unui curent de fluid si pt transformarea reciproca a Ep ⇔ Ec.
• Componenta principala pentru turbina de gaze, turbocompresor, motor cu reactie, rachete, etc.
• a)Ajutaj convergent=>folosit pentru accelerarea curentuluipâna la cel mult viteza sunetului
• b)Ajutaj divergent=>folosit pentru franarea fluidului, respectiv pentru comprimarea fluidului, in conditii speciale
• c)Ajutaj convergent-divergent=>folosit pentru accelerarea curentului peste valori ale vitezei supersonice
Schita celor trei tipuri de ajutaje
Ajutaj convergent. Notatii. Curgere adiabatica. Gaz perfect
γ1
0
0 )(pp
vv
=
])(1[1
21
000
γγ
γγ
−
−−
=pp
vpw
])(1[1
21
00
00 γγ
γγ
−
−−
==pp
vp
vv
AvA
wm&
.2])()[(1
20
01
0
2
00
0 ctvp
App
pp
vp
Am ==−−
=+
ψγ
γ γγ
γ&
p, v, T, w
Demo pentru ajutaj convergent• Stare 0 = repaus (rezervor de
linistire)• debitul masic depinde de
parametri termodinamici din rezervorul de linistire
• Functia Ψ are un maxim pentru o valoare definita a raportului de presiuni p/p0
• raport critic βkr
( )00
00
RT/2pA
p2Am
Ψ=
=ρΨ=&
1
max 12
1
−
++
=Ψγγ
γγγ
1
0
cr
0 12
pp
pp −γ
γ
+γ
===βcr
2/11
0
2
0
2/1
1
−
−
=Ψ
+γ
γγ
γγ
pp
pp
Demo pt functia Ψ
γγ
γ
γγ
ψ1
0
2
0)()[(
1
+
−−
=pp
pp
01
0
0
0 ==>
=
=
ψ
pp
pp
0)(
0
=
ppd
dψ
criticraport 0
=ppcr
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
12
0
11
0
12
0
12
_2
1
21
0)1(2
0)1(
1:0)(
1)(
2
0)(1)(2
−
−
−
−
−
−
−+
−
+
=
=
+
=
+=
=
+−
=
+−
=+
−
=+−
γγ
γγ
γγ
γγ
γ
γγγ
γγ
γγ
γ
γβ
γ
γ
γ
γ
γγγ
γ
γγ
γ
cr
cr
cr
crcr
crcr
crcr
crcr
criticraprtpp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
Continuare Demo
112
121
112
12
12
1
12
12
112
11
11
11
12
11
211
max
−
+
=+
−+−
+
=
+
−
+−
=
=
+
−
+−
=
+
=
−−−+
−
+−−−
γγ
γγγ
γγ
γγγγγ
γγγγ
γψψ
γγγγ
γ
γγ
γγ
γγγ
γγ
0
02vpAm ψ=&
1
0 12 −
+
==γγ
γβ
ppcr
Reprezentarea functiei
In caz ca p1,T1,w1≠0
1
1
010
2110
1010
21
10
21
)(1
)(2
−
=⇒
−+=⇒
⇒−−
=−==−
γγ
γγ
γγ
TT
pp
wR
TT
TTR
TTcw
ii p
General pt functia Ψ
• Pt ajutajul convergent-ramura din
dreapata, pana la varf.
• Pt a utiliza si ramura din stanga,
ajutajul trebuie sa fie si divergent.
• Varful reprezinta parametri critici.
γ
const.=Ψ⋅A
Ajutaj divergent• In sect minima, la ajutajul convergent, se poate
atinge parametrii critici, deci o destindere panala max. presiunea critica si corepunzator vitezacritica. Daca in exterior presiunea este mai mica sau egala, este OK.
• Daca insa presiunea exterioara este mai mare, curgerea in ajutajul convergent nu poate sa se faca decat pana la nivelul ecstei presiuni exterioare. Exista pierderi.
( ) 00 1/2 RTRTwcr γγγ =−=aRTw == 0cr γ
Tine minte
1. pe=pcr2. pe>pcr(destinderea se opreste la pe)
pies=pe3. pe<pcr(destindere cu pierderi în
exterior) pies=pcr (ψmax)
critic
Reprezentare pentru duza de Laval-
• Atentie la notatii.
• In partea convergenta
(Ma<1),
• in sectiunea minima
(Ma=1)
• in partea divergenta
(Ma > 1).
Formule pentru ajutajul convergent-divergent clasic
−
−+
+
==
+
=
=
=
−
−
−
γγ
γγ
γγ
γγγ
ψψ
γρρ
ρ
1
0
2
1
0
211
max
2
2
111
00
111
21
12
pp
pp
AA
pp
wmA
cr
crcr
crcrcr
&
=⇒ A
ddA i
ii 4
2π
11
111
max
1
0
22
−+=
−
−+
=
−
γγ
γγ γ
γ
aw
pp
ww
cr
Teorie recapitulativa
• Comportarea ajutajului convergent-divergent:
• Ecuatia de
continuitate:
• Ecuatia lui Bernoulli:
• Ecuatia transformarii
adiabatice
vdv
wdw
AdA
=+
wdwvdp =−
0=+vdv
pdp γ
Continuare
• Pentru w<a curgeresubsonica
• Pentru w>a�FUJHUH�supersonica
• =>Sectiunea si presiunea variaza în acelasi sens sau sens opus
2
22
2
2
pwwa
Apw
wpvA
dpdA
γγγ −
=−
=
0>⇒dpdA
0<⇒dpdA
Ajutaj convergent-divergent in general2
22
wpwa
ApA
⋅⋅−
⋅=γd
d
a) tub Venturi subsonic
b) ajutaj de Laval destind (clasic) d) tub Venturi supersonic
c) Ajutaj de Laval compr.
Tub Venturi subsonic
• w1<a;
• w2<a în tot lungul ajutajului presiunea
variaza în acelasi sens ca si sectiunea;
• în partea convergenta presiunea scade, iar în
partea divergenta creste.
• Viteza este subsonica peste tot.
Ajutaj de Laval destindere• w1<a; w2=a în partea convergenta unde viteza este
subsonica,• presiunea scade, variind la fel ca si sectiunea
ajutajului;• datorita destinderii gazului, viteza creste,atingând în
sectiunea minima a ajutajului viteza sunetului, iar într-o sectiune apropriata de aceasta viteza va fi supersonica.
• Presiunea gazului scade în continuare,�DkQG�YDULDWLH�inversa fata de sectiunea ajutajului.
• Astfel presiunea scade continuu de la presiunea de intrare pâna la presiunea mediului exterior, întreaga energie potentiala a gazului fiind transformata în energie cinetica.
Ajutaj de Laval compresiune• w1>a; w2=a în partea convergenta variatia presiunii
este de sens contrar cu ceea a sectiunii,• dar viteza scade ded la valoarea w1 pâna la valoarea
vitezei sunetului,în sectiunea minima a ajutajului.• În partea divergenta a ajutajului, unde viteza de
curgere e subsonica, presiunea gazului creste întrucât creste presiunea ajutajului.
• Viteza scadee de la un capat la celalalt al ajutajului,pe când presiunea creste continuu,ajutajul având în acest caz functiunea de compresor.Acest caz se întalneste la ejectoare supersonice.
Tub Venturii supersonic
• w1>a;w2>a Variatia presiunii e inversa fata
ded variatia sectiunii ajutajului, iar viteza
variaza în acelasi sens.
• Unda de soc (pe>p2)