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CURSO CERO

DE MATEMATICAS

Materiales del Curso

Departamento de Matematicas

Universidad de Castilla-La Mancha

Coordinadores

Juan Belmonte Beitia, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealVıctor M. Perez Garcıa, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad Real

Profesores colaboradores en la elaboracion de los temas

Juan Angel Aledo, Facultad de Informatica de AlbaceteJuan Belmonte Beitia, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealVıctor M. Casero Alonso, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealGabriel Fernandez Calvo, E. T. S. de Ingenieros de Caminos de Ciudad RealVirgilio Gomez Rubio, Escuela de Ingenieros Industriales de AlbaceteMiguel Angel Lopez Guerrero, Escuela Politecnica de CuencaRaquel Martınez Lucas, Escuela Politecnica de CuencaJulio Munoz Martın, Facultad de C. C. Ambientales y Bioquımica de ToledoHelia Pereira Serrano, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealVıctor M. Perez Garcıa, E. T. S. de Ingenieros Industriales de Ciudad RealIgnacio Rieiro Marın, Facultad de Educacion de ToledoAurora Sanchıs Puig, Escuela de Ingenieros Industriales de AlbaceteJose Carlos Valverde Fajardo, Escuela de Ingenieros Industriales de AlbaceteDoroteo Verastegui Rayo, Escuela de Ingenierıa Minera e Industrial De Almaden

Indice general

Introduccion III

1. Numeros, expresiones algebraicas y sistemas de ecuaciones linea-les 11.1. Numeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Descomposicion en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Tipos de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Metodos elementales de resolucion de sistemas de ecuaciones . . . . 4

1.6.1. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.2. Metodo de igualacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.3. Metodo de reduccion o eliminacion gaussiana . . . . . . . . . 5

2. Polinomios y resolucion de ecuaciones 232.1. Fundamentos sobre polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Raıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Desigualdades, inecuaciones y valor absoluto 343.1. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. La funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Funciones exponenciales y logarıtmicas 444.1. Exponenciales generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Funciones trigonometricas 515.1. Definicion de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Propiedades de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . 525.3. Ecuaciones y funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Matrices, Determinantes y sistemas de ecuaciones 676.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

i

6.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7. Derivadas, representacion de funciones y aplicaciones 757.1. Concepto de derivada y propiedades fundamentales . . . . . . . . . 757.2. Tabla de derivadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3. Algunos resultados sobre derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.5. Representacion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.5.1. Introduccion teorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.5.2. Representacion grafica de funciones. . . . . . . . . . . . . . . 78

8. Calculo de primitivas 1108.1. Introduccion y conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3. Metodos de calculo de primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.3.1. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.4. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9. Introduccion al calculo vectorial 1269.1. Definiciones: Vectores y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . 1269.2. Operaciones entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.El lenguaje de las matematicas 14010.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.2. Los cuantificadores logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.2.1. Negacion de una expresion con cuantificadores . . . . . . . . 14210.3. Implicaciones y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.4. Axiomas y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.5. Proposiciones, lemas, teoremas, corolarios . . . . . . . . . . . . . . 14610.6. La demostracion en Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.6.1. Demostracion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.6.2. Demostracion por reduccion al absurdo . . . . . . . . . . . . 14910.6.3. Algunas demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A. Conicas 155

ii

Introduccion

En los ultimos anos ha aparecido en la universidad espanola un variado catalogode cursos cero. Estos cursos son cursos de muy diverso formato y duracion destina-dos normalmente a afianzar los conocimientos previos de los alumnos. En principiola formacion recibida en la ESO y el bachillerato deberıa bastar para afrontar conexito los estudios universitarios, sin embargo la experiencia demuestra que existeun cierto grado de fracaso universitario debido a la insuficiente madurez en losconocimientos de base.

Conscientes de esta dificultad, desde el departamento de Matematicas de laUniversidad de Castilla-La Mancha hemos querido disenar un curso cero que abar-que todos los contenidos necesarios para el estudio de los grados con un ciertocontenido matematico. El curso se imparte utilizando metodologıa de ensenanzaorientada a problemas de modo que el estudiante recibe un breve recordatorioteorico y posteriormente trabaja sobre problemas con la ayuda de los profesores.De este modo el alumno se hace mas consciente de sus puntos debiles y puederecibir orientacion sobre como reparar las carencias.

El material que ofrecemos en estas paginas, fruto del trabajo colectivo de unbuen grupo de profesores del departamento, pretende ser un material de apoyo alcurso cero, especialmente pensado para complementar la formacion que se recibeen el mismo. En el se contienen los ejercicios que se han trabajado en clase com-pletamente resueltos ası como otros problemas que pueden ayudar al alumno atrabajar los conceptos y metodos de modo individual.

Esperamos que estas hojas os sean de utilidad para que vuestro rendimientoacademico sea el optimo e inicieis vuestra formacion del mejor modo posible en laUniversidad de Castilla-La Mancha.

iii

Version 2013http://matematicas.uclm.es/cursocero

Capıtulo 1

Numeros, expresiones algebraicasy sistemas de ecuaciones lineales

1.1. Numeros.

En este primer capıtulo, trataremos numeros, expresiones algebraicas y ecua-ciones. En matematicas, se utilizan varios conjuntos numericos, donde cada unode ellos esta incluido en el otro:

Complejos(C)

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Reales(R)

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Racionales(Q)

⎧

⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩

Enteros(Z)

⎧

⎪⎨

⎪⎩

Naturales(N)

Cero(0)

Negativos

Fracciones

Irracionales(R\Q)

Imaginarios(I)

Centrandonos en los numeros naturales, un numero primo es el que solo esdivisible por el mismo y por la unidad. Todo numero natural, distinto de la unidad,se puede descomponer en producto de factores primos.

1.2. Expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es una combinacion de letras y numeros ligadas porlos signos de las operaciones: adicion (+), sustraccion(−), multiplicacion (·), divi-sion (÷), potenciacion (xy) y radicales ( n

√x).

Hay una serie de operaciones algebraicas que son necesarias para abordar pro-blemas mas complicados. Entre ellas destacamos:

Completar cuadrados. Si tenemos un polinomio de la forma ax2 + bx + cla idea es escribirlo de la forma (x±m)2 ±n. Por ejemplo, para el polinomiox2 − 4x− 5, primero obtenemos los terminos con x y luego sumaremos una

1


constante si hace falta. Pongamos x2 − 4x en la forma (x±m)2 ± n. Es facilver 1 que x2 − 4x = (x− 2)2 − 4. Por tanto

x2 − 4x− 5 =[

x2 − 4x]

− 5 =[

(x− 2)2 − 4]

− 5 = (x− 2)2 − 9

Simplificacion de expresiones algebraicas. Consiste en transformar unaexpresion en otra mas sencilla. Por ejemplo, para simplificar la expresion

x3 − 9x

x3 − 6x2 + 9x

podemos realizar las siguientes operaciones:

x3 − 9x

x3 − 6x2 + 9x=

x(x2 − 9)

x(x2 − 6x + 9)=

x(x + 3)(x− 3)

x(x− 3)2=

x + 3

x− 3

1.3. Descomposicion en fracciones simples

Una fraccion algebraica es una expresion de la forma P (x)/Q(x) donde P (x)y Q(x) son polinomios con Q(x) = 0. Las fracciones P (x)/Q(x) y R(x)/S(x) soniguales si P (x)S(x) = Q(x)R(x).

Descomponer una fraccion algebraica P (x)/Q(x) en fracciones simples consisteen encontrar una suma de nuevas fracciones que sea equivalente a la original, peroque tengan por denominadores polinomios mas sencillos.

El caso mas sencillo es el de fracciones de la forma

p1x + p0

q2x2 + q1x + q0=

C1

q0(x− r1)+

C2

(x− r2)

donde r1 y r2 son las raıces del polinomio q2x2 + q1x + q0 y C1, C2 dos numeros.Veamos el siguiente ejemplo:Ejemplo: Supongamos que queremos descomponer en fracciones simples la

fraccion:3x− 2

x2 + 2x− 3

En primer lugar, es claro que usando la solucion de la ecuacion de segundo grado,x2 + 2x− 3 = (x− 1)(x + 3). Por tanto, la descomposicion sera:

3x− 2

(x− 1)(x + 3)=

A

x− 1+

B

x + 3

Sacando ahora comun denominador, se tiene

3x− 2

(x− 1)(x + 3)=

A(x + 3)

(x− 1)(x + 3)+

B(x− 1)

(x− 1)(x + 3)

1Teniendo presente que (a + b)2 = a2 + 2ab + b

2 y (a − b)2 = a2 − 2ab + b

2

2


y eliminando los denominadores nos queda

3x− 2 = A(x + 3) + B(x− 1)

Imponiendo diferentes valores a la variable x:

x = 1⇒ 3 · 1− 2 = A(1 + 3) + B(1− 1)⇒ 1 = 4A + 0B ⇒ A =1

4

x = −3⇒ 3 · (−3)− 2 = A(−3 + 3) + B(−3− 1)⇒ −11 = 0A + B(−4)⇒ B =11

4

y de aquı obtenemos la solucion:

3x− 2

x2 + 2x− 3=

1

4(x− 1)+

11

4(x + 3)

1.4. Sistemas de ecuaciones lineales

Este tema trata la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando unsistema de ecuaciones es lineal cada una de las igualdades que lo forman vieneescrita como una suma de los productos de coeficientes por las incognitas. Porejemplo

⎧

⎨

⎩

2x + 3y = −17πx− y = 0

x +√

2y = 5

es un sistema de tres ecuaciones con dos incognitas. Aquı los coeficientes de laprimera ecuacion son 2, 3, de la segunda π y −1, y de la tercera 1 y

√2. En un

sistema lineal las incognitas solo pueden aparecer multiplicadas por numeros.

1.5. Tipos de sistemas de ecuaciones

Sistema Compatible, que es aquel que admite solucion, el cual, a su vez puedeser determinado o indeterminado:

• Determinado, que es cuando el sistema admite una unica solucion.

• Indeterminado, que es cuando el sistema admite infinitas soluciones.

Sistema Incompatible. Es cualquier sistema que no admite solucion.

En este tema nos centraremos en sistemas de ecuaciones sencillos. Principal-mente de orden dos y tres. Un sistema de orden 2, es aquel sistema formado por solodos ecuaciones con dos incognitas, mientras que un sistema de ecuaciones linealesde orden tres consta de tres ecuaciones con tres incognitas. Son, respectivamente,de la forma

3


{

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

⎧

⎨

⎩

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

donde tanto los coeficientes aij como los terminos independientes bi son numerosreales dados, y donde las incognitas a determinar son x1, x2 en el caso de lossistemas de segundo orden y x1, x2, x3, para los de tercer orden. El objetivo essaber si el sistema tiene solucion y en tal caso determinarla.

1.6. Metodos elementales de resolucion de sistemas de ecua-ciones

1.6.1. Metodo de sustitucion

Este metodo consiste en lo siguiente: primero, despejar una incognita de unaecuacion. Segundo, con la expresion obtenida para esa incognita sustituir en la otraecuacion, resultando una que solo tiene una incognita. Y finalmente, se resuelveesta ecucacion y con el dato obtenido evaluamos en la primera.

Veamos el siguiente ejemplo describiendo dicho metodo:

Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones{

2x + y = 14x− 4y = −1

Aplicamos el metodo de sustitucion: operamos en la primera ecuacion para obtener

y = 1− 2x

y esta expresion, llevada a la segunda da lugar a

4x− 4 (1− 2x) = −1

Despues de operar obtenemos

12x− 4 = −1

lo que da como resultado

x =4− 1

12=

1

4Llevamos este valor de x a la primera ecuacion y obtenemos

y = 1− 2

(

1

4

)

=1

2

4


1.6.2. Metodo de igualacion

En este caso, el metodo consiste en lo siguiente: se despeja una incognita detodas las ecuaciones. Resultan ası dos expresiones distintas para la misma incogni-ta, y estas, una vez igualadas dan como resultado una ecuacion lineal con unaincognita. Se resuelve esta ultima y se sustituye la solucion en cualquiera de lasdos expresiones anteriores que dan como resultado el valor de la otra incognita.

Ejemplo: Sea el sistema del ejemplo anterior. Para su resolucion aplicamos elmetodo de igualacion. De la primera ecuacion deducir

x =1− y

2

y de la segunda

x =−1 + 4y

4

Igualamos estas dos expresiones resultando

1− y

2−(−1 + 4y

4

)

= 0

esto es, 34 −

32y = 0. Por tanto y = 3/4

3/2 = 12 , y ası de la primera expresion que

tenıamos para x se obtiene

x =1− 1

2

2=

1

4

1.6.3. Metodo de reduccion o eliminacion gaussiana

La descripcion del metodo en sistemas 2× 2 es como sigue: primero se multi-plican las ecuaciones por numeros de suerte que se igualen en valor absoluto loscoeficientes de alguna incognita. A continuacion se suman o restan las ecuacionesresultando una ecuacion de una sola incognita. Se resuelve esta y el valor de laincognita obtenido se sustituye en la otra ecuacion para ası deducir la segundaincognita.

Esta operativa se puede trasladar a sistemas con mas ecuaciones e incognitas,por ejemplo en sistemas 3×3. En este caso (y en ordenes mas elevados), el metodoes conocido con el nombre de metodo de Gauss o de eliminacion gaussiana. Sus-tancialmente consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalentede forma que este sea mas sencillo de resolver, en concreto se busca que el sistemaequivalente sea escalonado. Esto lo podemos ver en el siguiente ejemplo:

Ejemplo. Resolver por el metodo de Gauss el sistema⎧

⎨

⎩

2x1 − x2 + x3 = 3x1 − 4x2 + 2x3 = 9x1 − x2 − x3 = −3

5


Las posibilidades son varias. Optemos por multiplicar por 2 a la 2a y 3a ecuacion,y seguidamente restemos a estas la primera: ası del original se pasa a

⎧

⎨

⎩

2x1 − x2 + x3 = 32x1 − 8x2 + 4x3 = 182x1 − 2x2 − 2x3 = −6

y de este a ⎧

⎨

⎩

2x1 − x2 + x3 = 3−7x2 + 3x3 = 15−x2 − 3x3 = −9

Multiplicamos por 7 la 3a y le restamos la segunda: los sistemas equivalentes seran,⎧

⎨

⎩

2x1 − x2 + x3 = 3−7x2 + 3x3 = 15−7x2 − 21x3 = −63

y ⎧

⎨

⎩

2x1 − x2 + x3 = 3−7x2 + 3x3 = 15−24x3 = −78

De aquı se obtiene

x3 =78

24=

13

4.

Sustituyendo en la segunda ecuacion obtenemos x2, y con estos dos valores en laprimera obtenemos x1:

x1 = 2

(13

4

)

− 7 = −1

2

x2 =13

4− 4 = −

3

4

Del ejemplo anterior se desprende el hecho de que las operaciones tienen que vercon los coeficientes que acompanan a las incognitas (y como no, con los terminosindependientes del sistema). Lo significativo es que para pasar de un sistema a otrose hacen multiplicaciones sobre las ecuaciones al objeto de que el valor absoluto delos coeficientes de una misma incognita coincidan. Hecho esto se restan o sumanlas ecuaciones.

6


Ejercicios resueltos

1.1 De la siguiente lista de numeros, senala cuales de ellos son enteros:

a) 2, b) π c) −6

2, d)

√−2, e) 0, f) − 7 3

√2.

Solucion. Las soluciones pedidas son los apartados a), c) y e).

1.2 De la siguiente lista de numeros, senala cuales de ellos son racionales:

a)e

2, b) mın{3,π}, c) −

32

2, d)

√

−2

3, e)

2√2, f)

5i

−2i.

Solucion. En este caso, las soluciones pedidas son los apartados b), c) y f).

1.3 De la siguiente lista de numeros, senala cuales de ellos son complejos:

a)1

π, b)

3!

ic) −

2

0, d)

√2− 3i, e) π +

2

3i, f) 4.

Solucion. Todos los numeros de la lista son complejos excepto −2

0que es una

indeterminacion.

1.4 Completa los cuadrados de las siguientes expresiones:

a) x2 + y2 − 2x = 0.

b) x2 + 2x− y2 − 2y = 1.

c) 2x2 + 2y2 − x + 3y + 3 = 0.

d) x2 + y2 + y = 0

Solucion. En todos los casos procedemos como se ha indicado en la teorıa

a) Se tiene que x2 + y2− 2x = 0→ x2− 2x + y2 = 0→[

(x− 1)2 − 1]

+ y2 = 0.

b) Para este caso, operando de forma similar al anterior, se tiene

x2+2x−y2−2y = 1→[

(x + 1)2 − 1]

−[(y+1)2−1] = 1→ (x+1)2−(y+1)2 = 1

c) Este ejemplo es un poco mas complicado, aunque la forma de proceder essimilar:

2x2 + 2y2 − x + 3y + 3 = 0→ 2x2 − x + 2y2 + 3y + 3 = 0

→

[

(√

2x−√

2

4)−

2

42

]

+

[

(√

2y −3√

2

4)2 −

18

16

]

+ 3 = 0

(

√2x−

√2

4

)

+

(

√2y −

3√

2

4

)2

+7

4= 0

7


d) Finalmente, x2 + y2 + y = 0→ x2 + (y +1

2)2 −

1

4= 0

1.5 Simplifica las siguientes expresiones:

1.

√3 3√

3 5√

34√

33

2.2 3√

81− 3 3√

24 + 3√

1923√

3

3.3

√

25

√

52

√

25

Solucion. Se trata en todos los casos de operaciones con fracciones y/o raıces

1. Se tiene que

√3 3√

3 5√

34√

33=

312 3

13 3

15

334

= 312+ 1

3+ 1

5− 3

4 = 31760 =

60√

317.

2. En este caso se tiene

2 3√

81− 3 3√

24 + 3√

1923√

3=

23√

34 − 33√

23 · 3 +3√

43 · 33√

3=

2 · 3 3√

3− 3 · 2 3√

3 + 4 3√

33√

3

=6 3√

3− 6 3√

3 + 4 3√

33√

3=

(6− 6 + 4) 3√

33√

3=

4 3√

33√

3= 4

3. Finalmente,

3

√√√√2

5

√

5

2

√

2

5=

3

√√√√2

5

√

5

2

212

512

=3

√√√√2

5

√

512

212

=3

√√√√2

5

(

512

212

) 12

= 3

√√√√

2

5

(

514

214

)

=3

√

234

534

=

[(

2

5

)34

] 13

=

(2

5

) 14

1.6 Opera y simplifica las siguientes expresiones:

1.x2 + 2x + 1

x2 − 1

2.

5x

x− 1−

2x + 3

x− 2x− 5

x− 2

3.x

1 + 11+ 1

1+ 1x

8


Solucion. En estos ejercicios intentamos convertir en una fraccion unica y despuesintentamos factorizar numerador y denominador.

1. Factoricemos el numerador x2 +2x+1 = (x+1)2 y el denominador x2− 1 =(x + 1)(x − 1) Por lo tanto,

x2 + 2x + 1

x2 − 1=

(x + 1)2

(x + 1)(x− 1)=

x + 1

x− 1

2. En este ejercicio, hay que operar tanto numerador como denominador

5x

x− 1−

2x + 3

x− 2x− 5

x− 2

=

5x(x−2)−(x−1)(2x+3)(x−1)(x−2)

x−5x−2

=[5x(x− 2)− (x− 1)(2x + 3)] (x− 2)

(x− 5)(x − 1)(x− 2)

=3x2 − 11x + 3

(x− 5)(x − 1)

Como antes, vamos a intentar factorizar el numerador para ver si tiene facto-res comunes con el denominador. Resolviendo la ecuacion de segundo grado,vemos que las raices son

3x2 − 11x + 3 = 0→ x =11 ±

√85

6

Vemos entonces que las raıces obtenidas no dan lugar a factores comunes conel denominador. Por tanto la expresion simplificada sera:

5x

x− 1−

2x + 3

x− 2x− 5

x− 2

=3x2 − 11x + 3

(x− 5)(x− 1)

3. Operando se obtiene

x

1 + 11+ 1

1+ 1x

=x

1 + 11+ 1

x+1x

=x

1 + 11+ x

1+x

=x

1 + 12x+1x+1

=x

1 + x+12x+1

=x

3x+22x+1

=x(2x + 1)

3x + 2

1.7 Decidir si las siguientes igualdades son correctas:

1.√

x2 + (y − a)2 = x + (y − a),

2. (x+ y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy +2xz,

3. x− y = (√

x−√y)(√

x +√

y),

4.x2 + y2

x2 + z2=

x + y

x + z,

9


5. x1/2x1/3x1/4 = x13/12, 6.x3 − y3

x− y= x2 + xy + y2,

Solucion. Vamos a ir analizandolas una por una

1. Incorrecta, dado que la raız cuadrada de una suma no es igual a la suma dela raiz cuadrada de sus sumandos.

2. Incorrecta, dado que si desarrollamos correctamente el miembro de la izquier-da obtenemos

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

que es distinto del segundo miembro de la expresion.

3. Correcta, dado que aplicando la formula a2 − b2 = (a + b)(a− b) se tiene

x− y = (√

x)2 − (√

y)2 = (√

x−√

y)(√

x +√

y)

4. Incorrecta. Es facil ver que la expresion anterior se ha de cumplir para todoslos valores de x, y, z. Si damos a la expresion anterior los valores x = 1, y = 2y z = 3 respectivamente tendremos que el miembro de la derecha es

x2 + y2

x2 + z2=

1

2

que es diferente al miembro de la izquierda

x + y

x + z=

3

4

5. Correcta. Usando las propiedades de las potencias

x12 x

13 x

14 = x

12+ 1

3+ 1

4 = x6+4+3

12 = x1312

6. Usando la formula de la diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)se tiene

x3 − y3

x− y=

(x− y)(x2 + xy + y2)

(x− y)= x2 + xy + y2

1.8 Descomponer las siguientes funciones racionales en fracciones simples:

1.4x− 13

x2 − 5x + 6.

2.2

x2 − 1.

3.x + 3

x3 + 2x2 + x.

4.4x + 15

x2 + 6x + 9.

Solucion. En todos los casos factorizamos el denominador para identificar losterminos de la descomposicion

10


1. En primer lugar factorizaremos el denominador x2− 5x + 6 = (x− 3)(x− 2).De esta forma tenemos que las raices del denominador son todas simples, portanto, la descomposicion es

4x− 13

(x− 3)(x− 2)=

A

x− 3+

B

x− 2

Ahora tenemos que calcular las constantes A y B. Para ello lo primero quehacemos es sacar denominador comun,

4x− 13

(x− 3)(x− 2)=

A(x− 2)

(x− 3)(x− 2)+

B(x− 3)

(x− 2)(x− 3)

Eliminando los denominadores nos queda,

4x− 13 = A(x− 2) + B(x− 3)

y dando diferentes valores a la variable x obtenemos:

x = 3⇒ 4 · 3− 13 = A(3− 2) + B(3− 3)⇒ −1 = A · 1 + B · 0⇒ A = −1

x = 2⇒ 4 · 2− 13 = A(2− 2) + B(2− 3)⇒ −5 = A · 0 + B · (−1)⇒ B = 5

con lo cual la solucion buscada puede ser escrita como

4x− 13

x2 − 5x + 6=−1

x− 3+

5

x− 2

2. En este caso, factorizando el denominador, obtenemos x2−1 = (x−1)(x+1).Descomponiendo ahora la fraccion en suma de fracciones simples, obtenemos

2

x2 − 1=

A

x− 1+

B

x + 1

Calculemos, como en el ejemplo anterior, las constantes A y B. Para ello loprimero que hacemos es sacar denominador comun

2

(x− 1)(x + 1)=

A(x + 1)

(x− 1)(x + 1)+

B(x− 1)

(x− 1)(x + 1)

Eliminado ahora los denominadores, nos queda

2 = A(x + 1) + B(x− 1)

Dando diferentes valores a la variable x nos queda:

x = 1⇒ 2 = A(1 + 1) + B(1− 1)⇒ 2 = A · 2 + B · 0⇒ A = 1

x = −1⇒ 2 = A(−1 + 1) + B(−1− 1)⇒ 2 = A · 0 + B · (−2)⇒ B = −1

Por tanto, la solucion buscada es

2

x2 − 1=

1

x− 1−

1

x + 1

11


3. Factoricemos el denominador como en los casos anteriores, x3 + 2x2 + x =x(x + 1)2, lo cual no dice que tenemos una raiz doble x = −1 y una raizsimple x = 0. Descomponiendo la fraccion en suma de fracciones, se tiene

x + 3

x3 + 2x2 + x=

A

x+

B

x + 1+

C

(x + 1)2

Calculemos las constantes A, B y C:

x + 3

x3 + 2x2 + x=

A(x + 1)2

x(x + 1)2+

Bx(x + 1)

x(x + 1)2+

Cx

x(x + 1)2

Eliminando los denominadores resulta

x + 3 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx

Dando valores a la variable x nos queda:

x = −1⇒ 2 = −C ⇒ C = −2

x = 0⇒ 3 = A⇒ A = 3

Ahora, para calcular B, como no tenemos mas raıces, damos a la x un valorcualquiera. En este caso, podemos dar el valor de x = 1, que es el mas sencillo

x = 1⇒ 4 = 4A + 2B + C ⇒ B = −3

y con esto ya podemos escribir la solucion:

x + 3

x3 + 2x2 + x=

3

x−

3

x + 1−

2

(x + 1)2

4. Otra vez, como en los casos anteriores, empezamos factorizando el denomi-nador: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, lo cual nos dice que hay una unica raız doble,x = −3. Descomponiendo la fraccion en suma de fracciones, se tiene

4x + 15

x2 + 6x + 9=

A

(x + 3)2+

B

x + 3

Calculemos las constantes A y B:

4x + 15

x2 + 6x + 9=

A

(x + 3)2+

B(x + 3)

(x + 3)2

Eliminando los denominadores resulta

4x + 15 = A + B(x + 3)

Dando un valor a la variable x nos queda:

x = −3⇒ 4 · (−3) + 15 = A + B(−3 + 3)⇒ 3 = A + B · 0⇒ A = 3

12


Ahora, para calcular B, como no tenemos mas raıces, damos a la x un valorcualquiera. Normalmente, daremos el valor de x = 0, que es el mas sencillo

x = 0⇒ 4 · 0 + 15 = A + B(0 + 3)⇒ 15 = 3 + B · 3⇒ B = 4

y con esto ya podemos escribir la solucion:

4x + 15

x2 + 6x + 9=

3

(x + 3)2+

4

x + 3

1.9 Descomponer en fracciones simples:

1.3x− 2

(x− 1)(x + 3),

2.4x− 13

(x− 3)(x − 2),

3.2x2 − 10x− 4

(x− 1)(x + 2)(x + 3),

4.4x + 15

(x + 3)2,

5.2x + 3

x2 + x− 2,

6.3x− 5

x2 − 6x + 9,

7.x3 + x2 + 3

x2 + x− 2.

Solucion. En todos los casos factorizamos para encontrar las raıces del denomina-dor y operar

1. Sabemos que la factorizacion la podemos hacer de la siguiente forma:

3x− 2

(x− 1)(x + 3)=

A

x− 1+

B

x + 3

Si sumamos las dos fracciones de la expresion de la derecha su numeradorsera igual al de la fraccion de la izquierda:

A

x− 1+

B

x + 3=

A(x + 3) + B(x− 1)

(x− 1)(x + 3)−→

−→ 3x−2 = A(x+3)+B(x−1) = Ax+3A+Bx−B = x(A+B)+(3A−B)

Ahora vamos a aplicar otro metodo para hallar A y B. Igualando los coefi-cientes de los terminos del polinomio obtenemos:

3 = A + B−2 = 3A−B

Podemos despejar el valor de A de manera muy sencilla sumando las dosecuaciones anteriores:

13


3− 2 = A + B + 3A−B ←→ 1 = 4A←→ A = 1/4

Por tanto, B ha de ser:

3 = A + B = 1/4 + B ←→ B = 3− 1/4 = 12/4 − 1/4 = 11/4

Ası que

3x− 2

(x− 1)(x + 3)=

1/4

x− 1+

11/4

x + 3

2. Para factorizar esta fraccion procedemos como en el caso anterior:

4x− 13

(x− 3)(x− 2)=

A

x− 3+

B

x− 2=

A(x− 2) + B(x− 3)

(x− 3)(x − 2)

Por tanto, se ha de cumplir que 4x − 13 = A(x − 2) + B(x− 3). La maneramas sencilla para sacar A y B es dar valores a x. En concreto, si elegimos losvalores de las raıces de x − 2 y x − 3, veremos que las ecuaciones obtenidasse simplifican de manera que A y B se obtienen de manera inmediata:

x = 2 −→ 4(2)−13 = A(2−2)+B(2−3)←→ 8−13 = A·0+B(−1) −→ B = 5

x = 3 −→ 4 ·3−13 = A(3−2)+B(3−3)←→ 12−13 = A+B ·0 −→ A = −1

Por tanto,4x− 13

(x− 3)(x− 1)= −

1

x− 3+

5

x− 2

3. En este caso la factorizacion tiene un termino mas porque el denominador esel producto de tres terminos:

2x2 − 10x− 4

(x− 1)(x + 2)(x + 3)=

A

x− 1+

B

x + 2+

C

x + 3=

=A(x + 2)(x + 3) + B(x− 1)(x + 3) + C(x− 1)(x + 2)

(x− 1)(x + 2)(x + 3)

Por tanto, para obtener los valores de A, B y C debemos tener en cuenta que

2x2 − 10x− 4 = A(x + 2)(x + 3) + B(x− 1)(x + 3) + C(x− 1)(x + 2)

De nuevo, la manera mas sencilla de obtener A, B y C es dar valores a x enla expresion anterior. Si elegimos las raıces de los terminos que aparecen enel denominador veremos que el proceso se simplifica mucho.

14


Si tomamos x = 1:

2(1)2 − 10(1)− 4 = A(1 + 2)(1 + 3) + B(1− 1)(1 + 3) + C(1− 1)(1 + 2)←→

←→ 2− 10 − 4 = A · 3 · 4 + B · 0 + C · 0←→ −12 = 12A←→ A = −1

Si tomamos x = −2:

2(−2)2−10(−2)−4 = A(−2+2)(−2+3)+B(−2−1)(−2+3)+C(−2−1)(−2+2) ←→

←→ 8 + 20− 4 = A · 0 + B · (−3)(1) + C · 0←→ 24 = −3B ←→ B = −8

Si tomamos x = −3:

2(−3)2−10(−3)−4 = A(−3+2)(−3+3)+B(−3−1)(−3+3)+C(−3−1)(−3+2) ←→

←→ 18 + 30− 4 = A · 0 + B · 0 + C(−4)(−1)←→ 44 = 4C ←→ C = 11

Por tanto,

2x2 − 10x− 4

(x− 1)(x + 2)(x + 3)= −

1

x− 1−

8

x + 2+

11

x + 3

4. Este caso es ligeramente distinto a los anteriores porque tenemos una raızdoble en el denominador. Ası, la factorizacion que haremos ahora es de laforma:

4x + 15

(x + 3)2=

A

x + 3+

B

(x + 3)2=

A(x + 3) + B

(x + 3)2

Como antes, damos valores a x para sacar A y B.

Si x = −3:

4(−3) + 15 = A(−3 + 3) + B ←→ −12 + 15 = A · 0 + B ←→ 3 = B

Si, por ejemplo, x = −2 (aquı podrıamos haber elegido cualquier otro valor):

4(−2)+15 = A(−2+3)+B ←→ −8+15 = A·1+3 ←→ 7 = A+3←→ A = 4

Por tanto,4x + 15

(x + 3)2=

4

x + 3+

3

(x + 3)2

15


5. En primer lugar, hay que tener en cuenta que

2x + 3

x2 + x− 2=

2x + 3

(x− 1)(x + 2)

De esta manera, la descomposicion que haremos es

2x + 3

x2 + x− 2=

A

x− 1+

B

x + 2=

A(x + 2) + B(x− 1)

(x− 1)(x + 2)

Si x = −2:

2(−2)+3 = A(−2+2)+B(−2−1)←→ −4+3 = A ·0+B ·(−3)←→ B = 1/3

Si x = 1:

2(1) + 3 = A(1 + 2) + B(1− 1)←→ 2 + 3 = A · 3 + B · 0←→ A = 5/3

Por tanto,2x + 3

x2 + x− 2=

5

3(x− 1)+

1

3(x + 2)

6.3x− 5

x2 − 6x + 9=

3x− 5

(x− 3)2=

A

x− 3+

B

(x− 3)2=

A(x− 3) + B

(x− 3)2

Si x = 3:

3(3) − 5 = A(3− 3) + B ←→ 9− 5 = A · 0 + B ←→ 4 = B

Otro valor que podemos dar es x = 4:

3(4) − 5 = A(4− 3) + B ←→ 12− 5 = A + 4←→ A = 3

Por tanto,3x− 5

x2 − 6x + 9=

3

x− 3+

4

(x− 3)2

7. En este caso, como el grado del numerador es mayor que el grado del de-nominador, primero hemos de efectuar la division euclıdea para conseguiruna fraccion algebraica donde el grado del numerador sea menor que el deldenominador, esto es,

x3 + x2 + 3

x2 + x− 2= x +

2x + 3

x2 + x− 2

Este resultado se obtiene directamente utilizando la formula:

D(x)

d(x)= C(x) +

R(x)

d(x)

16


donde D(x) es el dividendo, d(x) es el divisor, C(x) es el cociente y R(x) esel resto de la fraccion.

Ahora ya la ultima fraccion algebraica tiene por numerador un polinomiode menor grado que su denominador. Esta ultima fraccion se descompondrıacomo hemos presentado en ejercicios anteriores, obteniendo la descomposicionfinal:

x3 + x2 + 3

x2 + x− 2= x +

5/3

x− 1+

1/3

x + 2.

1.10 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

1. ⎧

⎨

⎩

x + 2y + z = 42x + 3y + 2z = 6x− 2y − z = 4

2. ⎧

⎨

⎩

2x + 3y = 6x + 2y + z = 4−4x− 6y = −12

3. {

x + 2y = 42x + 4y = 6

Solucion. Utilizaremos los metodos de resolucion expuestos anteriormente.

1. Este sistema puede resolverse por eliminacion gaussiana. Para ello, tomamosla primera ecuacion y la restamos multiplicada por dos a la segunda. Tambienla restamos a la tercera ecuacion y obtenemos

x + 2y + z = 42x + 3y + 2z = 6x − 2y − z = 4

⎫

⎬

⎭−→

x + 2y + z = 4− y = −2− 4y − 2z = 0

⎫

⎬

⎭

Ahora utilizamos la segunda ecuacion multiplicada por cuatro para reducirla ultima ecuacion y obtenemos

x + 2y + z = 4y = 2− 2z = 8

⎫

⎬

⎭

Sustituyendo hacia atras obtenemos inmediatamente que z = −4, y = 2, x =4 por lo que el sistema es determinado y tiene una unica solucion.

2. Este sistema de ecuaciones tiene dos ecuaciones redundantes (la primera y latercera) por lo que solo hay dos ecuaciones relevantes. Si nos quedamos solocon la segunda y la tercera y tomamos y = 2λ encontramos que x = 3− λ yz = 1− 3λ. Tenemos un caso de sistema compatible con infinitas soluciones.

17


3. Finalmente el ultimo sistema de ecuaciones no tiene soluciones dado que setrata de dos ecuaciones incompatibles.

1.11 Resolver el siguiente sistema mediante el metodo de eliminacion de Gauss:

x− 3y − 2z = 0−x− 2y + 2z = 0−2x + y = 0

⎫

⎬

⎭

Solucion. Usando el metodo de resolucion gaussiana es inmediato ver que la solu-cion pedida es x = 0, y = 0, z = 0.

1.12 Resuelve el sistema de ecuaciones

x + y + z − 6 = 0x + 2y + 2z − 9 = 0x + 2y + 3z − 10 = 0

⎫

⎬

⎭

Solucion. De nuevo usando el metodo de Gauss se tiene que la solucion buscadaes x = 3, y = 2, z = 1.

1.13 Con dos clases de cafe de 5.4 e/kg y 7.2 e/kg se quiere obtener una mezcla de 6e/kg. Halla la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener la mezcladeseada.

Solucion. Llamemos x a la fraccion de cafe de primer tipo para la mezcla e y a lafraccion de cafe del segundo tipo. Obviamente ambas deben satisfacer que x+y =1. Como el precio que queremos conseguir es 6 e/kg, ambas cantidades deberancumplir que 5,4x + 7,2y = 6. Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones condos incognitas

x + y = 15,4x + 7,2y = 6

}

Tomado la primera ecuacion obtenemos y = 1 − x y entonces sustituyendo en lasegunda llegamos a y = 3/8, x = 5/8.

1.14 Encuentra la parabola de la forma f(x) = ax2 + bx + c que pasa por los puntosP = (1,3), Q = (-1,2) y R = (2,1). ¿Es posible construir una parabola que paseademas de por esos puntos por el punto S= (0,0)?

18


Solucion. Tomamos la parabola e imponemos que pase por cada uno de los puntos

a + b + c = 3a − b + c = 24a + 2b + c = 1

⎫

⎬

⎭

Tenemos de nuevo un sistema de ecuaciones a resolver. En este caso si restamosla primera y la segunda ecuacion se encuentra que b = 1/2. Es facil encontrar quea = −5/6, c = 10/3.

Si se anade un nuevo punto tenemos otra ecuacion que nos proporcionac = 0, resultado que es incompatible con el anterior. Esto quiere decir que concuatro puntos no tenemos solucion. Geometricamente no es posible construir unaparabola que pase por cuatro puntos dados salvo casos especiales.

1.15 Sabiendo que el numero de atomos de cada sustancia debe conservarse en unareaccion quımica, encuentra los coeficientes a, b, c, d en las siguientes reaccionesquımicas (ajuste o balanceo de la reaccion) para que las expresiones sean correctas.

1. aC2H6 + bO2 −→ cCO2 + dH2O

2. a(NH2)2CO + bH2O −→ cNH3 + dCO2

Solucion. En ambos casos se trata de escribir las ecuaciones de balance para losatomos a cada lado de la reaccion.

1. Para la primera reaccion tenemos

C : 2a = 2cH : 6a = 2dO : 2b = 2c + d

que nos proporciona un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sonc = a, d = 3a, b = 5a/2. Tenemos por lo tanto infinitas soluciones que co-rresponden a distintas cantidades totales de materia. Eligiendo por ejemploa = 2 obtenemos el ajuste de la reaccion

2C2H6 + 5O2 −→ 2CO2 + 6H2O

2. Repetimos el proceso para la segunda reaccion

N : 2a = cH : 4a + 2b = 3cC : a = dO : a + b = 2d

y resolviendo el sistema llegamos a c = 2a, b = a, d = a por lo que tomandoa = 1 encontramos

(NH2)2CO + H2O −→ 2NH3 + CO2

19


1.16 El ayuntamiento ha instalado contadores de vehıculos en unas calles. Los numerosde vehıculos que circulan cada hora y los sentidos de circulacion se indican en lafigura.

30050

500

150

300 100

200

100

A

B

C

D

E

F

Se pide

1. Encontrar las ecuaciones que proporcionan los vehıculos que circulan cadahora en las calles donde no se han instalado contadores de vehıculos (indica-cion: escribir para cada cruce una ecuacion igualando los vehıculos que entrany salen en el mismo). ¿Cuantas soluciones posibles hay?

2. Indica en que casos hay restricciones para el numero maximo o mınimo devehıculos que pueden circular por las distintas calles sin cambiar el sentidode las mismas y discute a partir de esto que tramos de calle pueden cortarsesin alterar el trafico en el barrio.

3. Si la calle Altagracia va a estar en reparacion entre los puntos B y C, cal-cular el numero mınimo de vehıculos que hay que dejar circular a la horapara no generar un problema de embotellamiento que se extienda a las callescircundantes.

Solucion. Las incognitas del problema son el numero de vehıculos que circulanpor cada tramo de calle, tal y como se indica en la figura.

20


30050

500

150

300 100

200

100

A

B

C

D

E

F

x

x

x

x

x

x

x1

2

3

4

5

6

7

1. La idea es proceder escribiendo una ecuacion para los coches que entran ysalen en cada cruce. Por ejemplo, para el cruce A tenemos que entran x1

vehıculos por la Calle de Altagracia y x2 por la otra calle mientras que salen150 por lo que podemos escribir

x1 + x2 = 150

Repitiendo para el resto de las calles encontramos el sistema

x1 + x2 = 150,

x2 + x3 = 400,

x3 + x4 = 200 + x5,

x5 + 100 = x6 + 500,

x6 + 50 = x7,

x7 + 300 = x1 + x4.

que es lo que se nos pedıa en el primer apartado.

Como tenemos menos ecuaciones que incognitas el sistema sera indetermina-do en general. Definamos x1 = α, entonces x2 = 150−α. Estas ecuaciones yanos dan dos restricciones para el trafico de vehıculos sin cambiar el sentidode las calles. En primer lugar 150 ≥ x1 ≥ 0 y lo mismo para x2.

La tercera ecuacion nos dice que

x3 = 400 − x2 = 250 + α,

por lo que 250 ≤ x3 ≤ 400.

Las restantes cuatro ecuaciones al sumarlas se obtiene cero, que viene delhecho de que el total de coches que entra y que sale del sistema de callesestudiada es el mismo. Tenemos entonces otro grado de libertad extra en elproblema y podemos elegir por ejemplo x6 = β lo cual nos lleva a

21


x6 = β

x7 = 50 + β ≥ 50

x5 = 400 + β ≥ 400

x4 = 350 + β − α

que son las posibles soluciones al trafico en la zona. Por ejemplo si ponemosβ = 50,α = 50 se obtiene x1 = 50, x2 = 100, x3 = 300, x4 = 350, x5 =450, x6 = 50, x7 = 100.

2. Las calles que pueden cortarse al trafico sin problemas son todas aquellas porlas que el flujo de vehıculos puede ser nulo y son: la Calle de Altagracia entreA y B, el tramo de calle que va de A a D, y por ultimo la calle de Hervas yBuendıa entre F y C.

3. Si se corta la calle Altagracia entre B y C la restriccion x7 ≥ 50 indica queal menos habrıa que dejar circular 50 vehıculos a la hora.

1.17 Una nueva factorıa de ordenadores de la marca Lemon va a fabricar tres modelos deordenadores: El primero de ellos es LemonPower que requiere 5 horas de montaje,2 para instalacion de los programas y 2 de pruebas. El segundo es LemonCompactque requiere 3 horas de montaje, 3 de instalacion de software y 3 de pruebas. Elultimo modelo es LemonMobile que requiere 5 horas de montaje, 4 de instalacionde software y 3 de pruebas. Si la fabrica dispone al mes de 600 horas de montaje,306 para pruebas y 300 para instalacion de programas averigua cual es la cantidadde cada modelo de ordenador que puede producirse de modo exacto sin tener encuenta otras consideraciones.

Solucion. Llamemos p al numero de ordenadores que se van a producir del modeloPowerLemon, c al numero de unidades del LemonCompact y m a los LemonMobile.La idea es encajar exactamente las horas en los espacios disponibles. Las ecuacionesson

Montaje : 5p + 3c + 5m = 600Instalacion : 2p + 3c + 4m = 306Pruebas : 2p + 3c + 3m = 300

De nuevo hemos obtenido un sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo lasecuaciones obtenemos p = 96, c = 30,m = 6.

22


Capıtulo 2

Polinomios y resolucion deecuaciones

2.1. Fundamentos sobre polinomios

Un polinomio es una expresion algebraica de la forma:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

donde an, an−1, ..., a1, a0 son los llamados coeficientes del polinomio. El grado deun polinomio P (x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variablex.

Segun su grado los polinomios mas sencillos son de la forma:

Primer grado: P (x) = mx + n. Es la ecuacion de una recta.

Segundo grado: P (x) = ax2 + bx + c. Ecuacion de una parabola.

Tercer grado: P (x) = ax3 + bx2 + cx + d.

2.2. Raıces de polinomios

Decimos que r es raız del polinomio P (x) si al cambiar la variable x por elvalor de r el valor numerico del polinomio es cero:

P (r) = anrn + an−1rn−1 + · · · + a1r + a0 = 0

Dependiendo del campo numerico donde estemos trabajando, un polinomiotendra mas o menos raıces. Por ejemplo, en los numeros complejos (C) un polino-mio de grado n tiene exactamente n raıces. En R su numero sera menor o igualque n.

Si, por ejemplo, el polinomio P (x) = ax2 + bx + c tiene las raıces r1 y r2,el polinomio se puede poner de la forma P (x) = a(x − r1)(x − r2). A la accion

23


de expresar el polinomio de esta segunda forma se le denomina “factorizar elpolinomio”.

Raıces de un polinomio de segundo grado. Las soluciones de la ecuacionax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la siguiente formula:

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

Raices de ecuaciones bicuadradas. Son de la forma

ax4 + bx2 + c = 0

Se resuelven haciendo el cambio z = x2. La ecuacion resultante es az2 + bz + c = 0que es una ecuacion de segundo grado cuyas soluciones son z1 = −b+

√b2−4ac

2a , z2 =−b−

√b2−4ac

2a . Por tanto, las cuatro soluciones buscadas son x = ±√z1 y x = ±√z2.

Regla de Ruffini: En el caso de polinomios de coeficientes enteros puedenbuscarse raıces como divisores del termino independiente. Una vez encontradauna raiz r1 se divide el polinomio original por (x − r1) para simplificar el mismoy seguir buscando mas raıces.

Por ejemplo, el polinomio P (x) = 5x4− 3x3 + 2x2− 7x + 3 se puede factorizarası:

5 −3 2 −7 31 5 2 4 3

5 2 4 -3 0

Tendrıa como raız r1 = 1, siendo el cociente de dividir P (x) por (x − 1) elpolinomio Q(x) = 5x3 + 2x2 + 4x − 3 y, por tanto, podemos factorizar P (x) =(x− 1)(5x3 + 2x2 + 4x− 3).

24



2.18 Representar los siguientes polinomios

a) y = 2x− 7, b) y = 1−x

3, c) y = x2 − 5x + 4, d) y = 2 + (x− 3)2

Solucion. 1.a)

-20

-15

-10

-5

0

5

-4 -2 0 2 4

2*x-

7

x

c)

-10

0

10

20

30

40

50

60

-4 -2 0 2 4

x2 -5*x

+4

x

b)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-4 -2 0 2 4

1-x/

3

x

d)

0

10

20

30

40

50

60

70

-4 -2 0 2 4

(x-3

)2 +2

x

2.19 Resolver las siguientes ecuaciones

1. 2x2 − 5x + 3 = 0,

2. 1x2−4 = 1

x+2 + 1x−2 ,

3.√

x2 − 1 = x− 1,

4. x5 − 5x3 + 4x = 0,

5. x3 + x2 − 2 = 0,

6. x5 − 3x3 − x2 − 4 = 0,

7. 1x2−9 = 1

x+3 + 1x−3 ,

8. 3√

x + 9− 3√

x− 9 = 3.

Solucion. Usaremos los metodos de resolucion vistos en la introduccion teorica:

25


1. Para resolver este ejercicio aplicaremos la formula de la solucion de un poli-nomio de grado 2:

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a=−(−5) ±

√

(−5)2 − 4 · 2 · 32 · 2

=5 ±√

25− 24

4=

5 ± 1

4

Entonces, la raıces son r1 = 6/4 = 3/2 y r2 = 4/4 = 1.

2. En primer lugar, hay que tener en cuenta que x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Lasolucion no podrıa ser x = ±2 porque se anularıan algunos denominadores.

Si multiplicamos toda la ecuacion por x2 − 4 nos quedarıa:

x2 − 4

x2 − 4=

x2 − 4

x + 2+

x2 − 4

x− 2←→ 1 = x− 2 + x + 2←→ 1 = 2x

Por tanto, la solucion es x = 1/2.

3. Para eliminar la raız cuadrada que aparece elevamos los dos terminos de laecuacion al cuadrado:(√

x2 − 1)2

= (x− 1)2 ←→ x2 − 1 = (x− 1)2 ←→ x2 − 1 = x2 − 2x + 1

Simplificando la expresion anterior obtenemos:

−1− 1 = −2x←→ x = 1

4. Para resolver este ejercicio tenemos que intentar factorizar el polinomio ori-ginal en producto de polinomios mas sencillos de los que podamos obtenersus raıces con facilidad. En este caso, es facil ver que podemos sacar factorcomun x:

x5 − 5x3 + 4x = 0←→ x(x4 − 5x2 + 4) = 0

Por tanto, una primera solucion es x = 0.

A continuacion resolvermos x4 − 5x2 + 4 = 0 para obtener el resto de solu-ciones. Esta ecuacion es bicuadrada, por lo que haremos el cambio z = x2 yresolveremos z2 − 5z + 4 = 0:

z =−(−5) ±

√

(−5)2 − 4 · 1 · 42 · 1

=5 ±√

25− 16

2=

5 ±√

9

2=

5 ± 3

2

Las raıces son z1 = 4 y z2 = 1.

Por tanto, las soluciones de x4− 5x2 +4 = 0 son x = ±√

4 = ±2 y x = ±√

1.Junto con x = 0 forman las soluciones de la ecuacion original.

2.20 Encontrar el fallo en la siguiente demostracion: Sea x = y. Entonces

x2 = xy, x2 − y2 = xy − y2, (x + y)(x− y) = y(x− y), x + y = y, 2y = y, 2 = 1.

26


Solucion. El fallo de la demostracion esta en que en un momento dado se simplificala ecuacion dividiendo por (x−y). Sin embargo, esto no es posible porque estamossuponiendo que x = y, con lo que x− y = 0. Es decir, que dividimos por 0 y esono se puede hacer.

2.21 Determinar k de modo que las dos raıces de la ecuacion (soluciones) x2−kx+36 = 0sean iguales.

Solucion. Aplicaremos la formula de la solucion de un polinomio de grado 2:

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a=−(−k) ±

√

(−k)2 − 4 · 1 · 362 · 1

=k ±√

k2 − 144

2

Para que las dos raıces de la ecuacion sean iguales se tiene que cumplir que eltermino

√

(−k)2 − 4 · 1 · 36 sea igual a cero:

√

k2 − 144 = 0←→ k2 − 144 = 0←→ k = ±√

144 = ±12

Por tanto, hay dos valores de k que cumplen que las soluciones de la ecuacionsera la misma. Estos son k1 = 12 y k2 = −12.

2.22 Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de vallado.Calcular las dimensiones de la finca.

Solucion. Sea x la anchura de la finca e y la altura de la finca. Sabemos que elarea es x · y = 750 y que el perımetro es 2 ·x+2 · y = 110. Por tanto, para obtenerlas dimensiones de la finca tengo que resolver el sistema:

x · y = 7502 · x + 2 · y = 110

Despejo y en la segunda ecuacion:

y = (110 − 2 · x)/2

Y sustituyo en la primera:

x · (110− 2 · x)/2 = 750←→ x · (110− 2 · x) = 1500←→ −2x2 + 110x− 1500 = 0

Resolvemos esta ecuacion de segundo grado para obtener el valor de x:

x =−110 ±

√

1102 − 4 · (−2) · (−1500)

2 · (−2)=−110 ±

√12100 − 12000

−4=−110 ±

√100

−4

27


Por tanto, los dos posibles valores de x son x1 = −110−10−4 = 30 y x2 = −110+10

−4 =25. Para obtener y sustituimos los valores de x en cualquiera de las ecuacionesanteriores.

Por ejemplo, usando la primera ecuacion obtendrıamos:

y1 = 750/x1 = 750/30 = 25; y2 = 750/x2 = 750/25 = 30

Ası, tenemos dos parejas de soluciones: (x1 = 30, y1 = 25); (x2 = 25, y2 = 30).

2.23 Un jardın rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho esta rodeado por uncamino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su areaes de 540 m2.

Solucion. La Figura 2.1 muestra la disposicion del jardın y el camino.

Figura 2.1: Jardın del ejercicio 6 (lınea continua) rodeado por un camino (lınea discon-tinua) de anchura x.

El area total del camino esta formada por cuatro partes rectanguales (dosarriba y abajo, y otras dos a izquierda y derecha) mas las cuatro esquinas. El areade las partes rectangulares es 50x + 50x + 34x + 34x, mientras que el area de lasesquinas es la de un cırculo de radio x, es decir, πx2. Ası, el area total del caminoes

50x + 50x + 34x + 34x + πx2 = 540←→ πx2 + 168x− 540 = 0

El valor de x lo obtenemos de la solucion de la ecuacion de segundo grado:

x =−168 ±

√

1682 − 4 · π · (−540)

2 · π=−168 ±

√28224 + 2160π

2 · π=−168 ± 187,11

6,28

28


De las dos soluciones posibles, una es negativa (x = −56,52), por lo que se descarta.La otra solucion, x = 3,04, es positiva y nos indica la anchura del camino.

2.24 Dos canos A y B llenan juntos una piscina en dos horas. A lo hace por sı solo entres horas menos que B. ¿Cuantas horas tardara cada uno separadamente?

Solucion. Sea V el volumen (desconocido) de la piscina. Llamaremos fA y fB elcaudal de agua (en litros por hora, l/h) de los canos A y B, respectivamente. SiA y B a la vez tardan 2 horas en llenar la piscina se cumple:

2 · (fA + fB) = V

Si tenemos en cuenta los canos de manera individual, el enunciado del problemanos dice que si B tarda un tiempo t en llenar la piscina, entonces A tarda t − 3horas. Escrito matematicamente serıa:

t · fB = V ←→ fB = V/t

(t− 3)fA = V ←→ fA = V/(t− 3)

Si sustituimos fA y fB en la primera ecuacion podemos despejar t:

2(V/(t− 3) + V/t) = V ←→ 2V (t + (t− 3)) = V (t− 3)t←→

←→ 2t + 2(t− 3) = (t− 3)t←→ 2t + 2t− 6 = t2 − 3t←→ t2 − 7t + 6 = 0

Obtenemos t a partir de la ecuacion de la solucion:

t =−(−7) ±

√

(−7)2 − 4 · 1 · 62 · 1

=7 ±√

49− 24

2=

7 ±√

25

2=

7 ± 5

2

Las dos posibles soluciones son t1 = (7 − 5)/2 = 1 y t2 = (7 + 5)/2 = 6. Laprimera solucion es imposible porque sabemos que el cano A llena la piscina ent − 3, con lo que nos darıa un tiempo negativo. Por tanto, solo consideramos lasegunda solucion t = 6.

Ası, el caudal de A es

fA = V/(t− 3) = V/(6− 3) = V/3,

mientras que el caudal de B es

fB = V/t = V/6

Sin perdida de generalidad, podrıamos haber supuesto que V = 1. De estamanera, la unidad con la que medirıamos el caudal de agua por los grifos serıade piscinas/hora (en lugar de, por ejemplo litros/hora). De esta manera se evitaque la solucion aparezca en funcion del volumen de la piscina V y se elimina unaincognita del problema.

29


2.25 Los lados de un triangulo rectangulo tienen por medidas en centımetros tres nume-ros pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

Solucion. Sea x la longitud del lado mas pequeno. Entonces, los otros lados tendranlongitudes x + 2 y x + 4, respectivamente. Al tratarse de un triangulo rectanguloel Teorema de Pitagoras nos dice que

(x + 4)2 = (x + 2)2 + x2 ←→ x2 + 2 · 4 · x + 42 = x2 + 2 · 2 · x + 22 + x2

Simplificando esa expresion obtenemos:

0 = x2 − 4x− 12

Las soluciones de esta ecuacion vienen dadas por

x =−(−4) ±

√

(−4)2 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1=

4 ±√

16 + 48

2=

4 ±√

64

2=

4 ± 8

2

De las dos soluciones que obtenemos una es negativa (x = −2), por lo que hayque descartarla. La solucion positiva es x = 6. Por tanto, los lados del triangulorectangulo miden 6, 8 y 10 cm, respectivamente.

2.26 Una pieza rectangular es 4 cm mas larga que ancha. Con ella se construye una cajade 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando losbordes. Halla las dimensiones de la caja.

Solucion. Si llamamos x al ancho de la caja, tenemos que x + 4 es el largo de lamisma. Si recortamos un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina, tenemos unacaja cuyo alto es 6cm al levantar las pestanas que quedan en cada lado. Ademas,la base de la caja sera un rectangulo de ancho x− 6− 6 y de largo (x + 4)− 6− 6.Todo esto aparece resumido en la Figura 2.2.

Como el volumen es ancho por largo por alto tenemos que

(x−12)(x−8)6 = 840←→ (x−12)(x−8) = 140←→ x2−12x−8x+96 = 140←→

←→ x2 − 20x− 44 = 0

EL valor de x se puede obtener de manera muy sencilla como

x =−(−20) ±

√

(−20)2 − 4 · 1 · (−44)

2 · 1=

20 ±√

400 + 176

2=

20 ±√

576

2=

20 ± 24

2

De las dos soluciones posibles, una es negativa (x = −2), por lo que se descarta.La unica solucion positiva es x = 22.

30


Figura 2.2: Ası se ha construido la caja del ejercicio 9.

2.27 Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

1.10x2 + 15x

12x2 + 18x,

2.x2 − 16

4x2 + 16x,

3.2x3 + 3x2 − 8x− 12

2x3 + 3x2 − 18x− 27.

Solucion. A la hora de simplificar todas estas fracciones, lo primero que hay quehacer es factorizar el numerador y denominador por separado tanto como se pueda.

1.10x2 + 15x

12x2 + 18x=

x(10x + 15)

x(12x + 18)=

10x + 15

12x + 18=

5(2x + 3)

6(2x + 3)=

5

6

2.

x2 − 16

4x2 + 16x=

(x− 4)(x + 4)

4x(x + 4)=

x− 4

4x

3.

2x3 + 3x2 − 8x− 12

2x3 + 3x2 − 18x− 27=

(x− 2)(x + 2)(2x + 3)

(x− 3)(x + 3)(2x + 3)=

(x− 2)(x + 2)

(x− 3)(x + 3)

2.28 Un polinomio P (x) dividido por (x− 2)2 da ax + b con resto 0; dividido por x + 1y por x da resto 18 y 4, respectivamente. Calcula el polinomio P (x).

31


Solucion. De la primera propiedad de P (x) sabemos que P (x) = (x− 2)2(ax+ b).Por tanto, para hallar P (x) nos bastarıa con obtener los valores de a y b. Ademas,sabemos que existen polinomios Q(x) y R(x) tales que P (x) = Q(x)(x + 1) + 18y P (x) = R(x)x + 4.

Entonces, tenemos que, por un lado,

P (x) = (x− 2)2(ax + b) = Q(x)(x + 1) + 18

y por otro ladoP (x) = (x− 2)2(ax + b) = R(x)x + 4

Para hallar los valores de a y b le voy a dar valores a P (x) y utilizar las expresionesanteriores. Si tomo x = −1 (por ser raız de x + 1) obtengo:

P (−1) = (−1− 2)2(a(−1) + b) = 9(−a + b) = Q(−1)(−1 + 1) + 18 = 18

De manera similar, si cojo x = 0 (por ser raız de x) y sustituyo en la segundaexpresion obtengo:

P (0) = (0− 2)2(a0 + b) = 4b = R(0)0 + 4 = 4

De esta manera queda claro que b = 4. Para obtener a sustituyo el valor de b:

9(−a + b) = 18←→ 9(−a + 4) = 18←→ −a + 4 = 2←→ a = 2

El resultado es que el polinomio P (x) que nos piden es

P (x) = (x− 2)2(2x + 4)

2.29 Dado el polinomio Q(x) = 3x3 + (k− 1)x2 − k− 2, para cualquier valor de k ∈ R,prueba que Q(x) + 6 es divisible por x + 1.

Solucion. Que el polinomio Q(x) + 6 sea divisible por (x + 1) quiere decir que -1es raız de Q(x) + 6. Dicho de otra manera, existe un polinomio P (x) de maneraque Q(x) + 6 = P (x)(x + 1).

Podemos aplicar la regla de Ruffini para comprobar que Q(x)+6 es siempredivisible por x + 1 para todo valor de k:

3 k − 1 0 −k + 4−1 −3 −k + 4 k − 4

3 k − 4 −k + 4 0

Ademas, sabemos que Q(x) + 6 = (x + 1)(3x2 + (k − 4)x + (−k + 4)).

32


2.30 Obtener todas las soluciones reales de la ecuacion polinomica:

2x99 + 3x98 + 2x97 + 3x96 + · · · + 2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0.

Solucion. Aunque la expresion parezca complicada, se puede simplificar si agru-pamos los terminos que van multiplicados por 2 y los que van multiplicados por 3.En primer lugar, los terminos que van multiplicados por 3 se pueden escribir ası:

3x98 + 3x96 + · · · + 3x2 + 3 = 3(x98 + x96 + · · · + x2 + 1)

Los terminos que van multiplicados por 2 se pueden agrupar ası:

2x99 +2x97 + · · ·+2x3+2x = 2(x99 +x97+ · · · x3 +x) = 2x(x98 +x96+ · · ·+x2 +1)

Por tanto, la expresion original se puede escribir como:

3(x98 + x96 + · · · + x2 + 1) + 2x(x98 + x96 + · · · + x2 + 1) = 0

Sacando factor comun (x98 + x96 + · · · + x2 + 1) tenemos que

(3 + 2x)(x98 + x96 + · · · + x2 + 1) = 0

El termino (x98 + x96 + · · · + x2 + 1) es siempre positivo porque es 1 masuna suma de potencias pares de x, que son siempre mayores o iguales que cero.Por tanto, para que esa expresion sera cero se tiene que cumplir necesariamenteque 3 + 2x = 0. Es decir, que x = −2/3.

33


Capıtulo 3

Desigualdades, inecuaciones yvalor absoluto

3.1. Inecuaciones

En este capıtulo trataremos desigualdades, inecuaciones y la funcion valor ab-soluto. Una inecuacion es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembrosaparecen ligados por los siguientes signos: <, ≤, > o ≥. Para resolver una inecua-cion se tienen presentes las siguientes reglas:

si anadimos a ambos miembros de una inecuacion el mismo numero, entoncesobtenemos una inecuacion equivalente, es decir

x < y ⇔ x + a < y + a.

si multiplicamos ambos miembros de una inecuacion por un numero negativo,entonces obtenemos una inecuacion equivalente si invertemos el sentido dela desigualdad inicial, es decir

x < y ∧ c < 0 ⇔ cx > cy.

si multiplicamos ambos miembros de una inecuacion por un numero positivo,entonces obtenemos una inecuacion equivalente, es decir

x < y ∧ d > 0 ⇔ dx < dy.

Ejemplo: Para resolver la inecuacion de primer grado 2(x+1)− 3(x− 2) < x+6podemos hacer

2x + 2− 3x + 6 < x + 6 ⇔ 2x− 3x− x < −2− 6 + 6 ⇔ −2x < −2 ⇔ x > 1.

Entonces, cualquier numero x > 1 satisface la inecuacion 2(x+1)−3(x−2) < x+6.

34


En el caso de inecuaciones de grado superior a uno, en general, es mas complejodeterminar los valores de x que satisfacen dichas inecuaciones.

Ejemplo: Consideremos la inecuacion cuadratica x2 − 6x + 8 > 0. Tenemos que

x2 − 6x + 8 > 0 ⇔ (x− 4)(x− 2) > 0 ⇔ (x > 4 ∧ x > 2) ∨ (x < 4 ∧ x < 2) .

Por lo tanto, la solucion esta formada por todos los valores de x contenidos en elconjunto (−∞, 2) ∪ (4,∞).

3.2. La funcion valor absoluto

El valor absoluto de un numero real x, el cual se denota por |x|, es el mismovalor x cuando es positivo o cero, y el opuesto de x, si es negativo, o sea,

|x| =

{

x si x ≥ 0,

−x si x < 0.

La distancia entre dos numeros reales a y b viene dada por |a− b|.

Propiedades del valor absoluto: Para todo x, y ∈ R, α > 0 y n ∈ N se tiene

|x| ≥ 0.

|x + y| ≤ |x| + |y|.

|x| < α⇔ −α < x < α.

|x| > α⇔ x > α ∨ x < −α.

|x| > |y|⇔ x2 > y2.

|x| = |− x|.

|xy| = |x||y|.∣∣∣∣

x

y

∣∣∣∣=

|x||y|

.

|xn| = |x|n.

Para finalizar, daremos la siguiente propiedad que sera muy util a la hora deresolver algunos ejercicios de este capıtulo:

Propiedad: Sea una funcion f estrictamente creciente. Entonces se cumpleque, dados dos valores cualesquiera x e y del dominio de f , si x < y ⇒ f(x) < f(y).

Analogamente, se tiene que si f es estrictamente decreciente, y dados dos va-lores cualesquiera x e y del dominio de f , si x < y ⇒ f(x) > f(y).

35



3.31 Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1. 0 < x < 1 =⇒ 0 <√

x < 1.

2. 0 < x < 1 =⇒ 0 <√

x < x.

3. 0 < x < 1 =⇒ 0 < x4 < 1.

4. 0 < x < 1 =⇒ 0 < ex < 1.

5. x < y =⇒ x2 < y2.

6. 0 < x3 < 1 =⇒ 0 < x < 1.

7. 0 < x < 1 =⇒ 0 < x4 < x.

Solucion. Las soluciones son las siguientes:

1. Verdadera.

2. Falsa. Si consideramos x = 14 , entonces

√

14 = 1

2 > 14 .

3. Verdadera.

4. Falsa. Si consideramos x = 12 , entonces e

12 = 1,65 > 1.

5. Falsa. Si consideramos −2 < 1, se tiene que (−2)2 = 4 > 1.

6. Verdadera. Si 0 < x3 < 1, entonces consideramos la raiz cubica de la de-sigualdad, es decir 0 < (x3)1/3 < 11/3. Como x > 0, entonces nos queda0 < x < 1.

7. Verdadera. Si 0 < x < 1, elevamos al cubo la desigualdad de modo que0 < x3 < 1. Como x > 0, podemos multiplicar la desigualdad por x yobtener 0 < x4 < x.

3.32 Decide si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados:

1. x < y, a > 0 =⇒ ax < ay.

2. x < y =⇒ x3 < y3.

3. 0 < a < b =⇒ xa > x

b .

4. 2xy ≤ x2 + y2.

Solucion. Las soluciones son las siguientes:

1. Verdadero.

2. Verdadero.

36


3. Falso. Si x = −1, a = 1 y b = 2, entonces −1 < −12 .

4. Verdadero. Sabemos que (x− y)2 ≥ 0. Luego x2 + y2 ≥ 2xy.

3.33 Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. 2x < 8.

2. (x− 1)(x − 3) > 0.

3.x− 1

x + 1> 0.

4.1

x+

1

1− x> 0.

5. 5− x2 ≥ −2.

6. x2 + 2x− 1 ≤ 0.

7. −x2 + x− 1 ≤ −2x2 + 1.

Solucion. Siguiendo los metodos de resolucion introducidos en teorıa, se tiene

1. Como 8 = 23, concluimos que 2x < 8 para cualquier x < 3.

2. La desigualdad (x − 1)(x − 3) > 0 es valida para cualquier x ∈ (−∞, 1) ∪(3,+∞).

3. La desigualdadx− 1

x + 1> 0 es verdadera siempre que x− 1 > 0 y x + 1 > 0, o

x− 1 < 0 y x + 1 < 0, es decir para cualquier x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞).

4. La desigualdad1

x+

1

1− x> 0 es equivalente a

1

x(1− x)> 0, la cual se

verifica cuando {x > 0, y (1− x) > 0} o {x < 0, y (1− x) < 0}. Por tanto,la solucion es el intervalo (0, 1).

5. Observamos que 5 − x2 ≥ −2 es equivalente a x2 ≤ 7. Luego, las solucionesde la desigualdad son los puntos en el intervalo [−

√7,√

7].

6. Tenemos que x2 +2x−1 = (x+1+√

2)(x+1−√

2). Luego, las soluciones dela desigualdad x2 + 2x− 1 ≤ 0 son todos los puntos x ∈ [−1−

√2,−1 +

√2].

7. La desigualdad −x2 +x−1 ≤ −2x2 +1 es equivalente a x2 +x−2 ≤ 0. Comox2 + x− 2 = (x + 2)(x− 1), concluimos que

x2 + x− 2 ≤ 0 ⇔ (x + 2 ≤ 0 ∧ x− 1 ≥ 0) ∨ (x + 2 ≥ 0 ∧ x− 1 ≤ 0) .

Observamos que las dos desigualdades x ≤ −2 y x ≥ 1 son incompatibles.Luego, solamente los puntos en el intervalo [−2, 1] satisfacen la desigualdad.

3.34 Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

37


1. |x− 1| |x + 1| = 0.

2. |x− 1| |x + 2| = 3.

3. |x| > |x + 1| .4. |x− 3| < |x + 1| .5. |x + 2| + |x− 2| ≤ 12.

6. |x + 2|− |x| > 1.

7. ||x + 1|− |x− 1|| ≥ 1.

Solucion. La resolucion de cada uno de los apartados es la siguiente:

1. Para que el producto sea cero al menos un factor tiene que ser cero. Luego,

|x− 1| |x + 1| = 0 ⇔ x− 1 = 0 ∨ x + 1 = 0.

Entonces, las soluciones de la ecuacion son x = 1 y x = −1, es decir elconjunto {−1, 1}.

2. Por definicion de valor absoluto,

|x− 1| =

{

x− 1 si x ≥ 1,

−x + 1 si x < 1,y |x + 2| =

{

x + 2 si x ≥ −2,

−x− 2 si x < −2.

Si combinamos los distintos casos obtenemos

|x− 1||x + 2| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

(x− 1)(x + 2) si x ≥ 1,

− imposible que si x ≥ 1 ∧ x ≤ −2,

(−x + 1)(x + 2) si x ∈ [−2, 1),

(−x + 1)(−x− 2) si x < −2.

Entonces, si x ≥ 1,

|x− 1| |x + 2| = 3 ⇔ x2 + x− 2 = 3 ⇔ x2 + x− 5 = 0.

Resolviendo la ecuacion cuadratica obtenemos x =−1 +

√21

2o x =

−1−√

21

2.

Concluimos que la unica solucion de la ecuacion en el intervalo [1,+∞) es

x =−1 +

√21

2, porque x =

−1−√

21

2< 1.

Si x ∈ [−2, 1), tenemos que

|x− 1| |x + 2| = 3 ⇔ −x2 − x + 2 = 3 ⇔ −x2 − x− 1 = 0.

Como la ecuacion −x2− x− 1 = 0 no tiene solucion en R, concluimos que laecuacion inicial no tiene solucion para x ∈ [−2, 1).

Por ultimo, si x < −2,

|x− 1| |x + 2| = 3 ⇔ x2 + x− 5 = 0,

38


cuyas soluciones ya hemos obtenido anteriormente. Observamos que solo x =−1−

√21

2pertenece al intervalo (−∞,−2).

En suma, las soluciones de la ecuacion son x =−1 +

√21

2y x =

−1−√

21

2.

3. La desigualdad |x| > |x + 1| es equivalente a |x|− |x + 1| > 0. Por definicionde valor absoluto,

|x| =

{

x si x ≥ 0,

−x si x < 0,y |x + 1| =

{

x + 1 si x ≥ −1,

−x− 1 si x < −1.

de modo que

|x|− |x + 1| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

−1 si x ≥ 0,

−2x− 1 si x ∈ [−1, 0),

− imposible que x ≥ 0 y x < −1,

1 si x < −1.

Entonces, si x ≥ 0, tenemos que |x|− |x + 1| = −1 < 0. Para x ∈ [−1, 0), setiene |x|− |x + 1| = −2x−1 de modo que −2x−1 > 0 solamente cuando x <−1

2 . Pero como estamos en el intervalo [−1, 0) concluimos que la desigualdades valida para cualquier x ∈ [−1,−1

2 ). Para x < −1, |x| − |x + 1| = 1 > 0.Concluimos que la desigualdad |x|− |x + 1| > 0 es verdadera para cualquierx ∈ [−1,−1

2 ).

4. Observamos que |x− 3| < |x + 1| es equivalente a tener |x− 3|− |x + 1| < 0.Por definicion,

|x− 3| =

{

x− 3 si x ≥ 3,

−x + 3 si x < 3,y |x + 1| =

{

x + 1 si x ≥ −1,

−x− 1 si x < −1.


|x− 3|− |x + 1| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

x− 3− x− 1 si x ≥ 3 ∧ x ≥ −1,

−x + 3− x− 1 si x < 3 ∧ x ≥ −1,

x− 3 + x + 1 si x ≥ 3 ∧ x < −1,

−x + 3 + x + 1 si x < 3 ∧ x < −1,

lo cual es equivalente a

|x− 3|− |x + 1| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

−4 si x ≥ 3,

−2x + 2 si x ∈ [−1, 3),

− imposible que x ≥ 3 y x < −1,

4 si x < −1.

Para cualquier x ≥ 3, tenemos que |x− 3| − |x + 1| = −4 < 0. Para x ∈[−1, 3), −2x + 2 < 0 siempre que x > 1.

En suma, la desigualdad |x− 3| < |x + 1| se cumple para cualquier x ∈(1,+∞).

39


5. Por definicion de valor absoluto, tenemos que

|x + 2| =

{

x + 2 si x ≥ −2,

−x− 2 si x < −2,y |x− 2| =

{

x− 2 si x ≥ 2,

−x + 2 si x < 2.


|x + 2| + |x− 2| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

x + 2 + x− 2 si x ≥ −2 ∧ x ≥ 2,

−x− 2 + x− 2 si x < −2 ∧ x ≥ 2,

x + 2− x + 2 si x ≥ −2 ∧ x < 2,

−x− 2− x + 2 si x < −2 ∧ x < 2,

lo cual es equivalente a

|x + 2| + |x− 2| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

2x si x ≥ 2,

− imposible que x < −2 ∧ x ≥ 2,

4 si x ∈ [−2, 2),

−2x si x < −2.

Entonces, si x ≥ 2, |x + 2| + |x− 2| = 2x de modo que

|x + 2| + |x− 2| ≤ 12 ⇔ 2x ≤ 12 ⇔ x ≤ 6.

Para cualquier x ∈ [2, 6] la desigualdad es verdadera.

Si x ∈ [−2, 2), la desigualdad

|x + 2| + |x− 2| ≤ 12 ⇔ 4 ≤ 12,

es siempre valida. Por ultimo, si x < −2,

|x + 2| + |x− 2| ≤ 12 ⇔ −2x ≤ 12 ⇔ x ≥ −6,

de modo que la desigualdad se cumple si x ∈ [−6,−2).

En suma, la desigualdad se verifica para cualquier x ∈ [−6, 6].

6. Tenemos que

|x + 2| =

{

x + 2 si x ≥ −2,

−x− 2 si x < −2,y |x| =

{

x si x ≥ 0,

−x si x < 0.

Luego,

|x + 2|− |x| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

2 si x ≥ 0,

− imposible que x < −2 y x ≥ 0,

2x + 2 si x ∈ [−2, 0),

−2 si x < −2.

Entonces, para cualquier x ≥ 0, |x + 2| − |x| = 2 > 1. Para x ∈ [−2, 0), setiene 2x+2 > 1 siempre que x > −1

2 . En suma, la desigualdad |x+2|−|x| > 1se verifica para cualquier x ∈ (−1

2 ,+∞).

40


7. Se tiene que

||x + 1|− |x− 1|| =

{

|x + 1|− |x− 1| si |x + 1|− |x− 1| ≥ 0,

− |x + 1| + |x− 1| si |x + 1|− |x− 1| < 0,

que es equivalente a

||x + 1|− |x− 1|| =

⎧

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

2 si x ≥ 1,

2x si x ∈ [0, 1),

−2x si x ∈ [−1, 0),

2 si x < −1.

Entonces, la desigualdad ||x + 1|− |x− 1|| ≥ 1 es valida para cualquier x ∈(−∞,−1

2 ] ∪ [12 ,+∞).

3.35 Sea c la longitud de la hipotenusa de un triangulo rectangulo cuyos catetos tienenlongitudes a y b. Demuestra que a + b ≤

√2c.

Solucion. Vamos demostrar por reduccion al absurdo. Supongamos que a + b >√2c. Entonces, (a + b)2 > 2c2. Como c2 = a2 + b2, y (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab,

concluimos que 2ab > c2. Esta desigualdad es falsa porque, si consideramos a = 1y b = 2, tenemos c =

√5 y la desigualdad serıa 4 > 5, es decir una desigualdad

falsa.

3.36 Resuelve las siguientes inecuaciones cuadraticas:

1.x2 + 1

x2 − 4x≥ 0.

2. |2x + 1| + |2x2 − x− 1| ≤ 0.

3. x− 3 + |x2 − 5x + 6| > 0.

4. x−∣∣∣∣

x2 + 1

1− 2x

∣∣∣∣≤ 1.

5. |1− x2| > x + x2.

Solucion. La resolucion es la siguiente:

1. Dado el cocientex2 + 1

x2 − 4x, observamos que x2 + 1 ≥ 0 para cualquier valor

de x ∈ R, con lo cual la desigualdadx2 + 1

x2 − 4x≥ 0 es equivalente a tener

x2 − 4x = x(x − 4) > 0, es decir x > 0 y x > 4, o x < 0 y x < 4. (Nota

41


que las desigualdades son estrictas porque el polinomio x2 − 4x esta en eldenominador de modo que no se puede anular.) En suma, la desigualdadx2 + 1

x2 − 4x≥ 0 es valida para cualquier x ∈ (−∞, 0) ∪ (4,+∞).

2. Por definicion de valor absoluto, |2x + 1| + |2x2 − x− 1| ≥ 0 para cualquierx ∈ R. Entonces, la desigualdad |2x + 1| + |2x2 − x − 1| ≤ 0 en realidadsolamente se verifica cuando |2x + 1| + |2x2 − x− 1| = 0.

Tenemos que

|2x + 1| =

{

2x + 1 si x ≥ −12 ,

−2x− 1 si x < −12 ,

|2x2 − x− 1| =

{

2x2 − x− 1 si x ∈ (−∞,−12) ∪ (1,+∞),

−2x2 + x + 1 si x ∈ [−12 , 1],

de modo que

|2x + 1| + |2x2 − x− 1| =

⎧

⎪⎨

⎪⎩

2x2 + x si x > 1,

−2x2 + 3x + 2 si x ∈ [−12 , 1]

2x2 − 3x− 2 si x < −12 .

Ası, la unica solucion de la ecuacion |2x + 1| + |2x2 − x− 1| = 0 es x = −12 .

3. Sabemos que

x− 3 + |x2 − 5x + 6| =

{

x2 − 4x + 3 si x ∈ (−∞, 2] ∪ [3,+∞),

−x2 + 6x− 9 si x ∈ (2, 3).

Entonces, la desigualdad x − 3 + |x2 − 5x + 6| > 0 es cierta para cualquierx ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞).

4. Como x2 + 1 > 0 para cualquier x ∈ R, tenemos que

x−∣∣∣∣

x2 + 1

1− 2x

∣∣∣∣≤ 1 ⇔ x− 1−

x2 + 1

|1− 2x|≤ 0.

Entonces,

x− 1−x2 + 1

|1− 2x|=

⎧

⎪⎨

⎪⎩

−3x2 + 3x− 2

1− 2xsi x < 1

2 ,

−x2 + 3x− 2

1− 2xsi x > 1

2 .

Para cualquier x < 12 , tenemos x− 1− x2+1

|1−2x| = −3x2+3x−21−2x < 0.

Si x > 12 , entonces x− 1− x2+1

|1−2x| = −x2+3x−21−2x . Como 1− 2x < 0, para que el

cociente sea negativo o nulo hay que tener x ∈ (1, 2].

En suma, la desigualdad x −∣∣∣∣

x2 + 1

1− 2x

∣∣∣∣≤ 1 es valida para cualquier x ∈

(−∞,1

2] ∪ [1, 3]

42


5. La desigualdad |1 − x2| > x + x2 es equivalente a x2 + x − |1 − x2| < 0.Sabemos que

x2 + x− |1− x2| =

{

2x2 + x− 1 si x ∈ [−1, 1],

x + 1 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞).

Entonces, la desigualdad x2+x−|1−x2| < 0 se cumple si x ∈ (−∞, 12)\{−1}.

43


Capıtulo 4

Funciones exponenciales ylogarıtmicas

4.1. Exponenciales generalizadas

La exponencial generalizada de un numero real x, que puede ser positivo, ne-gativo o nulo, en una base dada b > 0 y tal que b = 1, es igual a la potenciabx.

Propiedades de las exponenciales generalizadas en base b:

La exponencial bx > 0 para todo −∞ < x <∞.

Si b > 1 y x > 0 (o 0 < b < 1 y x < 0) entonces bx > 1. Si b > 1 y x < 0 (o0 < b < 1 y x > 0) entonces bx < 1.

b0 = 1, la exponencial de cero es siempre uno.

Producto de exponenciales: bx · by = bx+y.

Cociente de exponenciales: bx/by = bx−y.

Inverso de la exponencial: b−x = 1/bx.

Exponencial de exponencial: (bx)y = bxy.

n√

bm = bm/n, donde m y n son enteros positivos.

4.2. Logaritmos

El logaritmo de un numero real positivo x, en una base dada b > 0, es elexponente al cual se debe elevar la base para obtener x:

logb x = y =⇒ by = x, b > 0, x > 0,

donde la base b = 1.

44


Propiedades de los logaritmos:

No existe el logaritmo de un numero negativo, ni de cero.

Si b > 1 y 0 < x < 1 (o b < 1 y x > 1) entonces logb x < 0. Si b > 1 y x > 1(o b < 1 y 0 < x < 1) entonces logb x > 0.

logb 1 = 0, el logaritmo de la unidad es siempre cero y logb b = 1, el logaritmoen base b de b es la unidad.

Logaritmo de un producto: logb(xy) = logb x + logb y, siempre que x, y > 0

Logaritmo de un cociente: logb

(xy

)

= logb x− logb y, siempre que x, y > 0.

Logaritmo de una exponencial: logb bx = x.

Logaritmo de una potencia: logb xa = a logb x (solo si x > 0).

Cambio de base: logb x = logc x/ logc b, siendo b y c las bases.

Los logaritmos son muy utiles para transformar productos en sumas y viceversa.Sean ak > 0, con k = 1, 2, . . . , n y n entero positivo. Entonces,

P = a1 · a2 · · ·an =n∏

k=1

ak ⇐⇒ logb (P ) = logb a1 + logb a2 + · · ·+ logb an =n∑

k=1

logb ak.

La exponencial y el logaritmo natural: Cuando la base b es igual al nume-ro e = 2, 7182818 . . . , se tienen exponenciales y logaritmos naturales, tambienconocidos como neperianos. Se denotan, respectivamente, por 1

ex y ln x = loge x = log x.

Grafica de las funciones exponencial y lo-garitmo: La funcion logaritmo en base b = e esla funcion inversa de la exponencial en esa base.De aquı se deduce que las funciones f(x) = ex yg(x) = log x son inversas una de la otra, y portanto, como puede verse en la figura adjunta, lagrafica de la funcion logarıtmica g(x) es simetrica(respecto a la bisectriz del primer y tercer cua-drante) de la grafica de la funcion exponencialf(x).

1Es de uso generalizado en libros de texto universitarios y textos cientıficos la notacion log x parael logaritmo neperiano o natural, a diferencia de las calculadoras donde aparecen tanto ln x -base e- ylog x -base 10-

45


4.3. Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas

Ecuaciones exponenciales: Una ecuacion exponencial es aquella ecuacion enla que la incognita aparece en el exponente. Para resolver una ecuacion exponencialsuele ser muy util tener en cuenta que si bx1 = bx2 ⇒ x1 = x2. Tambien esaconsejable realizar cambios de variable.

Ejemplo: Resolver la ecuacion 5x−1 + 5 · 52−x = 26. Si definimos la variablet = 5x−1, se tiene que

5x−1 + 5 · 52−x = 26 =⇒ 5x−1 + 25 · 51−x = 26 =⇒ t +25

t= 26 =⇒ t2 − 26t + 25 = 0.

Las dos raıces de la ecuacion cuadratica son t1 = 25 y t2 = 1. Deshaciendo elcambio t = 5x−1, se encuentra que las soluciones de la ecuacion exponencial departida se obtienen de 5x1−1 = t1 = 25 = 52 y de 5x2−1 = t2 = 1 = 50, y vienendadas, respectivamente, por x1 = 3 y x2 = 1.

Ecuaciones logarıtmicas: Una ecuacion logarıtmica es aquella ecuacion en laque la incognita aparece en el argumento del logaritmo. Para resolver una ecuacionlogarıtmica hay que tener en cuenta que si logb(x1) = logb(x2)⇒ x1 = x2, siempreque x1, x2 > 0.

Ejemplo: Resolver la ecuacion 2 log(2x) = log(x2+75). Como 2 log(2x) = log(4x2),la ecuacion se convierte en

log(4x2) = log(x2 + 75) =⇒ 4x2 = x2 + 75 =⇒ 3x2 = 25 =⇒ x = ±5.

Ahora bien, debe prestarse atencion al hecho de que en la ecuacion inicial 2 log(2x) =log(x2 + 75), el termino 2 log(2x) esta definido solo para x > 0. Por tanto, de lasdos posibles soluciones x = ±5, unicamente x = 5 es la admisible.

Ejemplo: Resolver la ecuacion

log2 x

log4(2x)=

log8(4x)

log16(8x).

De manera analoga a como hicimos antes en el ejemplo de la ecuacion exponencial,es conveniente introducir un cambio de variable t = log2 x y transformar los restan-tes terminos a la misma base b = 2 mediante la propiedad logc x = logb x/ logb c,siendo b = 2 y c cualquiera de las otras bases.

log4(2x) =1

2log2(2x) =

1

2(1 + log2 x) =

1

2(1 + t), log8(4x) =

1

3(2 + t),

log16(8x) =1

4(3 + t).

Resulta entonces la ecuacion t1+t = 2(2+t)

3(3+t) ⇒ t2 + 3t− 4 = 0, cuyas soluciones sont1 = 1 y t2 = −4. Deshaciendo el cambio hallamos que log2 x1 = t1 = 1 ⇒ x1 = 2y log2 x2 = t2 = −4 ⇒ x2 = 1/16.

46



4.37 Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, sin utilizar la calcu-ladora:

1. Si 0 < x < 1 =⇒ 0 < ex < 1.

2. 0 < log x < 1 =⇒ 1 < x < e.

3. 0 < x < y =⇒ 0 < log x < log y.

4. log(xy) = log x log y.

5. log(xy) = y log x.

6. log(√

x) =√

log x.

7. exy = exey.

8. Si a, b > 0 y a, b = 1, loga b logb a = 1.

Solucion. 1. Falso. Tomando exponenciales: e0 < ex < e1 =⇒ 1 < ex < e = 1.

2. Verdadero. Tomando exponenciales: e0 < elog x < e1 =⇒ 1 < x < e.

3. Falso. Si x < y =⇒ log x < log y (por ser log una funcion creciente, basta versu grafica), pero x > 0 no implica log x > 0, por ejemplo log(1/2) < 0 (veasede nuevo la grafica).

4. Falso. Por definicion: log(xy) = log x + log y y, en general, log x + log y =log x log y.

5. Depende de los valores de x e y. Si x > 0, entonces la afirmacion log(xy) =y log x es verdadera para todo y = 0. Si x < 0 la afirmacion log(xy) = y log xya no se cumple necesariamente; por ejemplo si x = −e e y = 2, entonceslog(xy) = log

[

(−e)2]

= log(

e2)

= 2 log e = 2 log(−e).

6. Falso. Basta ver que: log(√

x) = log(x1/2) = 12 log x =

√log x (en general).

7. Falso. Por definicion exy = (ex)y = exey = ex+y.

8. Verdadero. loga b logb a = logb blogb a logb a = logb b = 1.

4.38 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

1. 21−x2

= 18 .

2. 4√

x+1 − 2√

x+1+2 = 0.

3. 22x2 = 3x35.

4. 24x − 22x − 12 = 0.

5. ex − 5e−x + 4e−3x = 0.

6. 4x−1 + 2x+2 = 48.

47


Solucion. 1. Dado que 18 = 2−3 =⇒ 1− x2 = −3 =⇒ x2 = 4 =⇒ x = ±2.

2. Como 4 = 22 =⇒ 2√

x + 1 =√

x + 1 + 2 =⇒√

x + 1 = 2. Elevando alcuadrado se llega a: x + 1 = 4. La solucion es x = 3.

3. Tomando logaritmos: log(22x+1) = log(3x+5) =⇒ (2x + 1) log 2 = (x +5) log 3 =⇒ x = 5 log 3−log 2

2 log 2−log 3 .

4. Haciendo el cambio de variable t = 22x se llega a t2 − t − 12 = 0 cuyassoluciones son t1 = 4 y t2 = −3. Asi, 22x = 4 =⇒ x = 1 es la unica solucionpues no hay valores de x tales que 22x = −3.

5. Operando e4x − 5e2x + 4 = 0 =⇒ (t = e2x)t2 − 5t + 4 = 0 =⇒ t1 = 4 yt2 = 1 =⇒ e2x = 4 y e2x = 1 =⇒ x1 = log 4

2 = log(√

4) = log 2 y x2 = 0.

6. Buscamos un cambio de variable: (2x)22−2 + 2x22 − 48 = 0 =⇒ (t = 2x)t2 +16t − 192 = 0 =⇒ t1 = 8 = 2x y t2 = −24 = 2x =⇒ La unica solucion esx = 3.

4.39 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

a)

{22x−3

23y+2 = 28

3x− 2y = 17.b)

{

3x − 2y = 1

3x−1 = 2y−2 + 1.c)

{

5x25y = 57

2x−12y+2 = 64.

Solucion. a)

{22x−3

23y+2 = 28

3x− 2y = 17=⇒

{

22x−3−3y−2 = 28

3x− 2y = 17=⇒

{

2x− 3y = 13

3x− 2y = 17=⇒

{

x = 5

y = −1

b)

{

3x − 2y = 1

3x−1 = 2y−2 + 1=⇒

{

u = 3x

v = 2y=⇒

{

u− v = 1u3 −

v4 = 1

=⇒

{

u = 9 = 3x =⇒ x = 2

v = 8 = 2y =⇒ y = 3

c)

{

5x25y = 57

2x−12y+2 = 64=⇒

{

5x+2y = 57

2x+y+1 = 26=⇒

{

x + 2y = 7

x + y + 1 = 6=⇒

{

x = 3

y = 2

4.40 Resuelve las siguientes ecuaciones logarıtmicas:

1. 2 log x− 2 log(x + 1) = 0.

2. log(x) = 2−log xlog x .

3. log10 x + log100 x = 2.

4. log(x+1x ) + log 2 = log(x + 3).

5. log(3x + 5)− log(2x + 1) = 1− log 5.

6. logx 100− logx 25 = 2.

48


Solucion. 1. log x = log(x + 1)⇒ x = x + 1 que no tiene solucion.

2. (log x)2 + log x − 2 = 0 =⇒ (t = log x)t2 + t − 2 = 0 =⇒ t1 = 1 = log x yt2 = −2 = log x =⇒ x1 = e y x2 = e−2.

3. log10 x + log10 xlog10 102 = 2 =⇒ 3 log10 x = 4 =⇒ x = 104/3.

4. log(2x+1x ) = log(x + 3) =⇒ 2x+1

x = x + 3 =⇒ x1 = 1 y x2 = −2.

5. log 3x+52x+1 = log e

5 =⇒ x = e−2515−2e .

6. logx10025 = 2 =⇒ x2 = 4 =⇒ x = 2 pues x no puede ser < 0.

4.41 El pH de una disolucion constituye una medida de la acidez de un medio y vienerepresentado por la siguiente expresion

pH = − log([

H+])

,

donde[

H+]

denota la concentracion molar de iones positivos H+ de hidrogenoy corresponde al cociente del numero de tales iones divido por el volumen de ladisolucion. La concentracion molar se mide en moles por litro. Calcula el pH de unadisolucion en la que hay una concentracion molar de iones positivos de hidrogeno[

H+]

= 7, 74 × 10−4 M.

Solucion. Solo hay que tomar el logaritmo de la concentracion molar[

H+]

=7, 74×10−4 M, resultando pH = − log

(

7, 74 × 10−4)

= − log(

10−4)

−log (7, 74) =4 log(10) − log (7, 74) = 3, 11.

4.42 Una poblacion de B(t) bacterias crece siguiendo una ley logıstica de manera que,en el tiempo t, esta viene dada por la expresion

B(t) =αB0

βB0 + (α− βB0) e−αt,

donde B0 es la poblacion inicial de bacterias (en t = 0) y las constantes α >0 y β > 0 representan las tasas de crecimiento y saturacion de las bacterias,respectivamente. Determina una formula, en terminos de B0, α y β, para el tiempotd necesario que debe transcurrir de tal forma que la poblacion de bacterias doblea la que habıa inicialmente.

Solucion. Buscamos el tiempo td tal que B(t = td) = 2B(t = 0) y como B(t = 0) =B0 se sigue que B(t = td) = 2B0. Despejando td en la ecuacion exponencial βB0 +

(α− βB0) e−αtd = α/2, llegamos a que el tiempo necesario es td = 1α log

[2(α−βB0)α−2βB0

]

49


4.43 Calcula el valor de ab si se sabe que a y b satisfacen el sistema de ecuacioneslogarıtmicas

log8 a + log4 b2 = 5 , log8 b + log4 a2 = 7 .

Solucion. Sumando las dos ecuaciones log8(ab) + log4

(

a2b2)

= 12. Definiendox = ab, realizando el cambio de base log8 x = log4 x/ log4 8 y operando llegamos aque x = ab = 512.

50


Capıtulo 5

Funciones trigonometricas

5.1. Definicion de las funciones trigonometricas

La trigonometrıa es la parte de la geometrıa que se dedica el estudio de lasrazones entre los lados de un triangulo y sus generalizaciones angulares a cuerposmas complejos. Un problema muy sencillo que surge habitualmente es el calculo dela longitud de uno de los lados de un triangulo dado a partir de otro de los ladosy angulos de ese triangulo. El concepto de razon trigonometrica nos relacionalos angulos de un triangulo con sus lados.

Consideremos la figura adjunta en la que se muestra una circunferencia de radior y un triangulo de hipotenusa r y catetos horizontal x y vertical y junto con elangulo θ del vertice que pasa por el centro de la circunferencia.

Se tienen las siguientes razones trigo-nometricas:

sen θ =cateto opuesto

hipotenusa=

y

r.

cos θ =cateto adyacente

hipotenusa=

x

r.

tan θ =cateto opuesto

cateto adyacente=

y

x.

cotg θ =cateto adyacente

cateto opuesto=

x

y.

Las razones trigonometricas seno (sen), coseno (cos), tangente (tan) y cotan-gente (cotg) se definen como funciones del angulo θ, el cual puede tomar cualquiervalor real.

51


x

y

0

π/2

π

3π/2

2π 0 ππ/2 3π/2 2π

-1

1 y = sen(x)

xsen(x)

De la figura superior (circunferencia de radio unidad), se deducen las siguientesfunciones trigonometricas del angulo x:

sen(x), que es una funcion cuyo dominio es R.

cos(x), que es una funcion cuyo dominio es R.

tan(x) =sen(x)

cos(x), con dominio R−

{

(2k + 1)π2 , k ∈ Z

}

.

cot(x) =1

tan(x)=

cos(x)

sen(x)con dominio R− {kπ, k ∈ Z}.

sec(x) =1

cos(x)con dominio R−

{

(2k + 1)π2 , k ∈ Z

}

.

csc(x) =1

sen(x)con dominio R− {kπ, k ∈ Z}.

5.2. Propiedades de las funciones trigonometricas

Las funciones trigonomletricas tienen unas propiedades muy importantes parasu manejo que se siguen directamente de sus definiciones.

Acotacion: −1 < sen x, cos x < 1.

Periodicidad: sen(x+2π) = sen x, cos(x+2π) = cosx, tan(x+π) = tan x.

Traslacion: sen(x + π/2) = − cos x, sen(x + π) = − sen x, cos(x + π/2) =sen x.

52


Simetrıas de las funciones trigonometricas

• sen(−x) = − sen(x), cos(−x) = cos(x), tan(−x) = − tan(x).

• csc(−x) = − csc(x), sec(−x) = sec(x), cot(−x) = − cot(x).

Identidades trigonometricas fundamentales, formulas del angulodoble y mitad y otras formulas utiles.

• sen2 x + cos2 x = 1.

• sen 2x = 2 sen x cos x.

• cos 2x = cos2 x− sen2 x.

• sen2(

x2

)

=1− cos x

2.

• cos2(

x2

)

=1 + cos x

2.

• sen x + sen y = 2 senx + y

2cos

x− y

2.

• sen x− sen y = 2 cosx + y

2sen

x− y

2.

• cos x + cos y = 2 cosx + y

2cos

x− y

2.

• cos x− cos y = −2 senx + y

2sen

x− y

2.

Formulas de adicion:

• sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y.

• cos(x ± y) = cosx cos y ∓ sen x sen y.

• tan(x ± y) =tan(x) ± tan(y)

1∓ tan(x) tan(y).

• cot(x ± y) =cot(x) cot(y)∓ 1

cot(y) ± cot(x).

• a sen x + b cos x =√

a2 + b2 sen (x + θ) , tan θ = b/a.

5.3. Ecuaciones y funciones trigonometricas

En las ecuaciones trigonometricas intervienen funciones trigonometricas, lascuales son periodicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o endos cuadrantes y ademas se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuacion trigonometrica haremos las transformaciones nece-sarias para trabajar con una sola funcion trigonometrica utilizando las identidadestrigonometricas fundamentales.

53


Por ejemplo para resolver la ecuacion trigonometrica 2 tanx − 3 cotx = 1hacemos los cambios

2 tanx−3

tan x− 1 = 0⇒ 2 tan2 x− tanx− 3 = 0⇒

{

tanx = 32

tanx = −1

⇒

{

x = arctan(3/2) + kπ,

x = arctan(−1) + kπ

Otro ejemplo sencillo para resolver es el siguiente: sen 2x = cos 60o, el cual

podemos escribir como

sen 2x =1

2⇒

{

2x = 30 + 2πk

2x = 150 + 2πk⇒

{

x = 15 + kπ

x = 75 + kπ

Finalmente, veamos un ultimo ejemplo mas complicado que resume la filo-sofıa en la resolucion de este tipo de ejercicios:Resolvamos la ecuacion cos 2x = 1+4 senx. Utilizando la formula del angulodoble, tenemos

cos2 x− sen2 x = 1 + 4 sen xcos2 x=1−sen2 x

=⇒ 1− 2 sen2 x = 1 + 4 sen x

⇒ 2 sen2 x + 4 sen x = 0⇒ 2 sen x(sen x + 2) = 0

⇒

{

sen x = 0

sen x + 2 = 0⇒

⎧

⎪⎨

⎪⎩

x = 0 + 2kπ

x = π2 + 2kπ

x = arc sen(−2)⇒ ! solucion

54



5.44 Decidir si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados:

1. sen(x + y) = sen x + sen y.

2. |a cos θ| ≤ a, a > 0.

3. |cos x + sen x| ≤ 1,5.

4. sen 1,71342 = 0,9873 y cos 1,71342 = 0,2341.

5. cos 4,3217 = −1,132.

Solucion. Vamos a discutir por separado cada uno de los apartados

1. Falso, dado que para x = y = 30◦, sen(x + y) =

√3

2y sen x + sen y = 1.

2. Verdadero, ya que como | cos θ| ≤ 1, se tiene que |a cos θ| ≤ |a| = a, donde laultima igualdad es clara puesto que a > 0.

3. Verdadero. Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos

| cos x + sen x|2 ≤9

4→ cos2 x + sen2 x + 2| cos x sen x| ≤

9

4→ | sen 2x| ≤

5

4.

4. Falso. Usando la formula fundamental de trigonometrıa sen2 α + cos2 α = 1se tiene

sen2 1,71342 + cos2 1,71342 = 0, 98732 + 0, 234121, 02 = 1, 0295 = 1.

5. Falso. El coseno de cualquier angulo tiene que estar acotado entre -1 y 1:−1 ≤ cos α ≤ 1.

5.45 Deducir la formula

tan(x + y) =tan x + tan y

1− tan x tan y

a partir de las formulas de las sumas de senos y cosenos.

Solucion. Usemos las formulas de las sumas de senos y cosenos:

sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y, cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y.

Ası

tan(x + y) =sen(x + y)

cos(x + y)=

sen x cos y + cos x sen y

cos x cos y − sen x sen y.

55


Dividiendo ahora numerador y denominador por cos x cos y, se obtiene

tan(x + y) =

sen x cos y+cos x sen ycos x cos y

cos x cos y−sen x sen ycos x cos y

=tan x + tan y

1− tan x tan y.

5.46 Desarrolla y calcula en funcion de otras funciones trigonometricas

1. cos(x + 3π2 ).

2. tan(x + π4 ).

Solucion. Utilizamos las formulas de la suma.

1. En primer lugar la formula del coseno de la suma, se tiene que

cos(x +3π

2) = cos x cos(

3π

2)− sen x sen(

3π

2) = sen x.

2. Usando la relacion del ejercicio anterior

tan(x +π

4) =

tan x + tan π4

1− tan x tan π4

=1 + tan x

1− tan x.

5.47 Comprueba las siguientes identidades trigonometricas

1. tan x + cot x = sec x · cscx.

2. cot2 x = cos2 x + cot2 x · cos2 x.

3.1

sec2 x= sen2 x · cos2 x + cos4 x.

4. cot x · sec x = csc x.

5. sec2 x + csc2 x =1

sen x cos x.

6. sen y · cos(x− y) + cos y · sen(x− y) = sen x.

7. cot(x + y) =cot x · cot y − 1

cot x + cot y.

Solucion. Discutamos cada uno de los apartados:

1. Es claro que

tan x + cot x =sen x

cos x+

cos x

sen x=

senx + cos2

cos x sen x=

1

cos x sen x= secx csc x.

56


2. Desarrollemos la expresion del lado derecho de la igualdad para obtener laexpresion que aparece en el lado izquierdo:

cos2 x + cot2 x · cos2 x = cos2 x(1 + cot2 x) = cos2 x csc2 x =cos2 x

sen2 x= cot2 x.

3. Sacando factor comun del cos2 x en la expresion del lado derecho de la igual-dad, se tiene

sen2 x · cos2 + cos4 x = cos2 x · (sen2 x + cos2 x) = cos2 x =1

sec2 x.

4.

cot x · sec x =cos x

sen x·

1

cos x=

1

senx= cscx.

5.

sec2 x + csc2 x =1

cos2 x+

1

sen2 x=

sen2 x + cos2 x

sen2 x · cos2 x=

1

sen2 x cos2 x.

6. Usando la formula del seno de la suma se tiene que

sen y · cos(x− y) + cos y · sen(x− y) = sen [y + (x− y)] = sen x.

obteniendo lo que se pedıa.

7.

cot(x + y) =1

tan(x + y)=

1tan x+tan y

1−tan x tan y

=1− tan x tan y

tan x + tan y

=1

tan x tan y −tan x tan ytan x tan y

tan xtan x tan y + tan y

tan x tan y

=cot x cot y − 1

cot x + cot y.

5.48 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas

1. cos2 x− 3 sen2 x = 0.

2. sen2 x− cos2 x = 12 .

3. sen x +√

3 cos x = 2.

4. 2 cos x = 3 tan x.

5. sen 2x cos x = 6 sen3 x.

6. 4 sen x2 + 2cos x = 3.

Solucion. Siguiendo la teorıa desarrollada en este capıtulo, se tiene:

57


1. Transformemos cos2 x = 1− sen2 x, usando la formula fundamental de trigo-nometrıa sen2 x + cos2 x = 1:

cos2 x− 3 sen2 x = 0⇒ 1− sen2 x− 3 sen2 x = 0⇒ 1− 4 sen2 x = 0

⇒ sen2 x =1

4⇒ sen x = ±

1

2.

Por lo tanto, las soluciones seran

x = arc sen1

2⇒

{

x1 = 30◦ + 360◦k

x2 = 150◦ + 360◦k

y

x = arc sen

(−1

2

)

⇒

{

x1 = 210◦ + 360◦k

x2 = 330◦ + 360◦k

2. Usando la formula del coseno del angulo doble se tiene

sen2 x− cos2 x =1

2⇒ cos2 x− sen2 x = −

1

2⇒ cos 2x = −

1

2

⇒ 2x =

{

120◦ + 360◦k

240◦ + 360◦k⇒ x =

{

60◦ + 360◦k

120◦ + 360◦k

3. Se tiene que

sen x +√

3 cos x = 2⇒1

2sen x +

√3

2cos x = 1.

Usando la formula del seno de la suma sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos xse tiene que

1

2sen x +

√3

2cos x = sen(x + 60◦) = 1⇒ x + 60◦ = 90◦ + 360◦ + 360◦k

⇒ x = 30◦ + 360◦k.

4. Se tiene que

2 cos x =3 sen x

cos x⇒ 2 cos2 x = 3 sen x⇒ 2(1− sen2 x) = 3 sen x

⇒ 2 sen2 x + 3 sen x− 2 = 0.

De aquı se tiene que

sen x =−3 ±

√9 + 16

4=−3 ± 5

4

de donde sen x =1

2y sen x = −2. Ası, de

sen =1

2⇒

{

x1 = 30◦ + 360◦k

x2 = 150◦ + 360◦

y desen x = −2. no hay solucion dado que− 1 ≤ sen x ≤ 1.

58


5. Usando la formula del coseno del angulo doble,

cos 2x = cos2 x− sen2 x

se tiene

sen 2x cos x = 2 sen x cos x cos x = 6 sen3 x⇒ sen x(cos2 x− 3 sen2 x) = 0.

De la ultima igualdad se tiene que o

sen x = 0⇒

{

x1 = 0◦ + 360◦k

x2 = 180◦ + 360◦k

o

cos2 x− 3 sen2 x = 0⇒= cos2 x = 3 sen2 x⇒ tan2 x =1

3⇒ tan x = ±

√3

3.

De⎧

⎪⎨

⎪⎩

tan x =

√3

3⇒ x = 30◦ + 180◦k

tan x = −√

3

3⇒ x = 150◦ + 180◦k

6. Usando la formula del coseno del angulo doble cos 2x = cos2 x − sen2 x setiene

4 senx

2+ 2(cos2 x

2− sen2 x

2) = 3⇒ 4 sen

x

2+ 2 cos2 x

2− 2 sen2 x

2= 3

⇒ 4 senx

2+ 2(1− sen2 x

2)− 2 sen2 x

2= 4 sen2 x

2− 4 sen

x

2+ 1 = 0.

La ultima igualdad se puede escribir como un cuadrado perfecto:

(

senx

2− 1)2

= 0⇒ 2 senx

2− 1 = 0⇒ sen

x

2=

1

2

y de aquı se tiene que las soluciones buscadas son

⎧

⎨

⎩

x

2= 30◦ + 360◦k ⇒ x = 60◦ + 360◦k

x

2= 150◦ + 360◦k ⇒ x = 300◦ + 360◦k

5.49 Resuelve los siguientes sistemas trigonometricos

1. {

sen x + sen y = 1

x + y = 90o

59


2.{

sin x + sin y =√

3+12

sin x− sin y =√

3−12

3.{

tan x + tan y = 1

cot(x + y) = 34

4.{

sen x cos y + cos x sen y = 1

sen x cos y − cos x sen y = 12

Solucion. Siguiendo la teorıa desarrollada en este capıtulo, se tiene:

1. De la segunda ecuacion, despejando la variable y obtenemos y = 90◦ − x.Sustituyendo en la primera ecuacion obtenemos

sen x + sen(90◦ − x) = 1.

Usando la formula de la transformacion de la suma de senos en productos

sen x + sen y = 2 senx + y

2cos

x− y

2

se llega a que

2 senx + (90◦ − x)

2cos

x− (90◦ − x)

2= 1⇒ 2 sen 45◦ cos(x− 45◦) = 1.

De la ultima ecuacion se llega a que

cos(x−45◦) =

√2

2⇒ x−45◦ =

{

45◦ + 360◦k ⇒ x = 90◦ + 360◦k, y = 0◦ + 360◦k

−45◦ + 360◦k ⇒ x = 0◦ + 360◦k, y = 90◦ + 360◦k

2. Sumando ambas ecuaciones, se llega a que

2 sen x =√

3⇒ sen x =

√3

2⇒

{

x = 60◦ + 360◦k

x = 120◦ + 360◦k

Restando ambas ecuaciones, se llega a que

2 sen y = 1⇒ sen y =1

2⇒

{

y = 30◦ + 360◦k

y = 150◦ + 360◦k

60


3. De la segunda ecuacion se tiene que

1

tan(x + y)=

3

4⇒ tan(x + y) =

4

3.

Como

tan(x + y) =tan x + tan y

1− tan x tan y

se tiene que podemos escribir

tan(x + y) =1

1− tan x tan y=

4

3.

De esta forma el sistema se transforma en{

tan x + tan y = 1

4 tan x tan y = 1

Despejando tan y de la primera ecuacion y sustituyendola en la segunda, seobtiene

4 tan2 x− 4 tan x + 1 = 0⇒ (2 tan x− 1)2 = 0

de donde

tan x =1

2⇒ x = 26◦33′54′′ + 180◦k

tan y =1

2⇒ y = 26◦33′54′′ + 180◦k

4. Usando la formula de la suma del seno se tiene{

sen(x + y) = 1

sen(x− y) = 12

Por lo tanto, de las igualdades anteriores, se deduce que o{

x + y = 90◦

x− y = 30◦

o {

x + y = 90◦

x− y = 150◦

Sumando y restando ambas ecuaciones, llegamos a que las soluciones, parael primer sistema son

{

x = 60◦ + 180◦k

y = 30◦ + 180◦k

y para el segundo sistema son{

x = 120◦ + 180◦k

y = −30◦ + 180◦k

61


5.50 Encuentra una formula para expresar sen 3x en funcion del sen x.

Solucion. Se tiene que

sen 3x = sen(2x + x) = sen 2x cos x + cos 2x sen x = (2 sen x cos x) cos x

+ (cos2 x− sen2 x) sen x = 2 sen x cos2 x + cos2 x sen x− sen3 x

= 3 sen x cos2 x− sen3 x = 3 sen x(1− sen2 x)− sen3 x = 3 sen x− 4 sen3 x.

5.51 Simplifica las siguientes expresiones

1. sen (arc tg x).

2. sen (x + arc sen x).

Solucion. Resolvamos cada apartado:

1. Dado que la funcion arctan x es recıproca de la funci’on tan x, es claro quetan(arctan x) = x. Usando ahora la formula fundamental de trigonometrıa,

sen2(arctan x) + cos2(arctan x) = 1

se tiene que diviendo esta ultima por cos2 x, llegamos a que

tan2(arctan x) + 1 = sec2(arctan x)⇒ 1 + x2 =1

cos2(arctan x)

⇒ cos(arctan x) =1√

1 + x2

donde se ha utilizado el hecho de que tan(arctan x) = x. Sustituyendo el

valor del cos(arctan x) =1√

1 + x2calculado en la formula fundamental de

trigonometrıa sen2(arctan x) + cos2(arctan x) = 1, se tiene que

sen(arctan x) =x√

1 + x2

que es la expresion buscada.

2. Usando la formula del seno de la suma, se tiene que

sen(x + arc sen x) = sen x cos(arc sen x) + cos x sen(arc sen x)

= x cos x + sen x cos(arc sen x)

62


donde hemos usado que las funciones sen x y arc sen x son funciones recıpro-cas. Ahora, usando la formula fundamental de trigonometrıa,

sen2(arc sen x) + cos2(arc sen x) = 1

se tiene que

cos(arc sen x) =√

1− sen2(arc sen x) =√

1− x2.

Por lo tanto, la expresion final buscada es

sen(x + arc sen x) = x cos x + sen x cos(arc sen x) = x cos x +√

1− x2 senx.

5.52 Simplifica las siguientes fracciones

1.sen 2x

1 + cos 2x.

2.sen2 2x

cos x(1− cos2 x).

3.sen 3x− sen 5x

cos 3x + cos 5x.

Solucion. Utilizando las formulas desarrolladas en la introduccion teorica de estecapıtulo, se tiene:

1.sen 2x

1 + cos 2x=

2 sen x cos x

1 + cos2 x− sen2 x=

2 sen x cos x

cos2 x + cos2 x= tan x.

2.sen2 2x

cos x(1− cos2 x)=

(2 sen x cos x)2

cos x sen2 x= 4cos x.

3.sen 3x− sen 5x

cos 3x + cos 5x=

2cos x sen(−x)

2 cos 4x cos(−x)= − tan x.

donde hemos hecho uso de la formula de la transformacion de la suma y laresta en producto

sen x cos y =1

2[sen(x+y)+sen(x−y)], cos x sen y =

1

2[sen(x+y)−sen(x−y)].

5.53 Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas

1. sen 2x = sen x.

63


2. cos 3x + cos x = cos 2x.

3. cos2 x + 2 sen x = 2.


1. Usando el hecho de que sen 2x = 2 sen x cos x, se tiene que

2 sen x cos x = sen x⇒ 2 sen x cos x− senx = 0⇒ senx(2 cos x− 1)

⇒

{

sen x = 0

2 cos x− 1 = 0

De la primera ecuacion llegamos a que x =

{

2kπ

π + 2kπpara k ∈ Z. De la

segunda ecuacion 2 cos x− 1 = 0 obtenemos la solucion x =

⎧

⎨

⎩

π

3+ 2kπ

5π

3+ 2kπ

2. Para resolver esta ecuacion utilizaremos la formula

cos α + cos β = 2cos

(α + β

2

)

cos

(α− β

2

)

.

para transformar cos 3x + cos x en forma de producto, de la siguiente forma:

cos 3x + cos x = 2cos 2x cos x.

Por lo tanto, tenemos

2 cos 2x cos x = cos 2x⇒ 2 cos 2x cos x− cos 2x = 0⇒ cos 2x(2 cos x− 1) = 0

⇒

{

cos 2x = 0

2 cos x− 1 = 0

De la igualdad cos 2x = 0 se obtiene

2x =

⎧

⎨

⎩

π

2+ 2kπ

3π

2+ 2kπ

→ x =

⎧

⎨

⎩

π

4+ kπ

3π

4+ kπ

k ∈ Z.

Con respecto a la igualdad 2 cos x− 1 = 0 se tiene

cos x =1

2→ x =

⎧

⎨

⎩

π

3+ 2kπ

5π

3+ 2kπ

k ∈ Z.

Ası, el conjunto de soluciones de esta ecuacion trigonometrica es:

S =

{π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ,

π

4+ kπ,

3π

4+ kπ, k ∈ Z

}

.

64


3. Expresemos cos2 x en funcion del sen x. Para ello utilizaremos la formulafundamental de trigonometrıa sen2 x + cos2 x = 1. Ası, tenemos

cos2 +2 sen x = 2→ 1− sen2 x + 2 sen x = 2→ sen2 x− 2 sen x + 1 = 0.

La ecuacion obtenida es una ecuacion de segundo grado cuya incognita adeterminar es sinx. Resolviendola obtenemos

sen x =2 ±√

4− 4

2= 1→ x =

π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5.54 Como consecuencia de las altas temperaturas registradas durante el verano, unode los raıles de un tramo de vıa ferroviaria que tenıa una longitud L = 2 km (sobrellano), se alarga δL = 1 cm. Supongamos, por simplicidad, que los extremos deltramo que se dilata permanecen fijos y que se deforma dando lugar a un arco decircunferencia. Se desea encontrar una relacion que permita determinar la alturamaxima h que se elevara el centro del raıl con respecto a la horizontal. Para ello,hay que deducir primeramente una ecuacion trigonometrica correspondiente alangulo φ que subtiende el arco de circunferencia que forma el raıl flexionado.

Demuestra que la ecuacion trigonometrica que proporciona el angulo quesubtiende el arco de circunferencia que forma el raıl flexionado es

2(L + δL)

Lsen

(φ

2

)

− φ = 0 .

Deduce entonces que la relacion que guarda la altura maxima h con el angulo φque satisface la anterior ecuacion trigonometrica es

h =L + δL

φ

[

1− cos

(φ

2

)]

.

Solucion. Del enunciado es claro que el angulo φ que subtiende el arco de cir-cunferencia es el angulo formado por la union de los dos extremos del rail a unpunto concreto. Sea R el radio de dicha parte del arco de circunferencia. Portrigonometrıa y fısica elemental se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

φR = L + δL.

L = 2R sen

(φ

2

)

.

R = R cos

(φ

2

)

+ h.

65


Despejando R de la segunda ecuacion y sustituyendola en la primera se tiene

φL

2 sen(

φ2

) = L + δL⇒ φ =2(L + δL)

Lsen

(φ

2

)

⇒2(L + δL)

Lsen

(φ

2

)

− φ = 0

con lo cual se obtiene la primera ecuacion que nos pide el enunciado. Para obtenerla siguiente ecuacion sustituimos el valor de R obtenido

R =L

2 sen(φ2 )

en la ultima ecuacion, obteniendo

h =L

2 sen(φ2 )−

L

2 sen(φ2 )

cos

(φ

2

)

.

Usando el hecho de que

sen

(φ

2

)

=L

2(L + δL)φ

llegamos a que

h =L + δL

φ

[

1− cos

(φ

2

)]

.

66


Capıtulo 6

Matrices, Determinantes ysistemas de ecuaciones

6.1. Matrices

Una matriz A de orden m×n es un conjunto ordenado de m ·n numeros enuna tabla de m filas y n columnas:

A =

⎛

⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

⎞

⎟⎟⎠

.

Cada uno de los numeros de que consta la matriz se denomina elemento. El ele-mento aij se encuentra en la fila i y en la columna j de la matriz. El numerode filas y columnas de una matriz se denomina orden de una matriz. Se puedenefectuar distintas operaciones con matrices. Veamos algunas de las mas comunes.

Suma de dos matrices: Solo se pueden sumar matrices con la misma dimension.Por ejemplo,

(

1 4 −61 3 2

)

+

(

0 0 4−2 1 4

)

=

(

1 4 −2−1 4 6

)

.

Producto de una matriz por un escalar: Si α es un escalar y A una matrizm × n, entonces el producto de α por A es la matriz αA de orden m × n. Porejemplo,

3

(

1 4 −61 3 2

)

=

(

3 12 −183 9 6

)

.

Producto de dos matrices: Se puede multiplicar la matriz A por la matrizB solo si el numero de columnas de A coincide con el numero de filas de B. Lamatriz AB que se obtiene tiene el mismo numero de filas que la matriz A y el

67


mismo numero de columnas que B. El elemento cij de la matriz AB se obtienesumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por cadaelemento de la columna j de la matriz B. Por ejemplo,

(

2 4 −61 3 2

)⎛

⎝

−1 02 −54 7

⎞

⎠ =

(

2 · (−1) + 4 · 2 + (−6) · 4 2 · 0 + 4 · (−5) + (−6) · 71 · (−1) + 3 · 2 + 2 · 4 0 · 1 + 3 · (−5) + 2 · 7

)

=

=

(

−22 −6213 −1

)

.

Matriz Traspuesta: Dada la matriz A de orden m × n, la matriz transpuestade A, la cual se denota por AT , es una matriz de orden n × m que se obtieneintercambiando las columnas por las filas de la matriz A, es decir

AT =

⎛

⎜⎜⎝

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...

.... . .

...a1n a2n . . . amn

⎞

⎟⎟⎠

.

Matriz Inversa: Dada una matriz cuadrada A de orden n × n, se define lamatriz inversa A−1 como la matriz cuadrada que satisface las siguientes igualdadesAA−1 = A−1A = In, donde In es la matriz identidad de orden n× n, esto es, es lamatriz que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Para calcularla matriz inversa se procede del siguiente modo:

1. Construir la matriz ampliada A⋆ = (A|I) donde A esta a la izquierda y lamatriz identidad In a la derecha.

2. Utilizando el metodo de Gauss se transforma la mitad de la izquierda, A, enla matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho sera la matrizinversa A−1.

6.2. Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada A, denotado por |A| o det(A),es un numero que caracteriza a la matriz y que se calcula de distintas manerasdependiendo de la dimension de la matriz. Tiene especial importancia para decidirsi un sistema tiene solucion unica o no.

Si la matriz A =

(

a11 a12

a21 a22

)

, entonces |A| = a11a22 − a12a21.

68


Si A =

⎛

⎝

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎞

⎠, su determinante viene dado por

|A| = a11

∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣

a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣

a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

6.3. Sistemas de ecuaciones lineales

Las matrices son una herramienta fundamental para resolver sistemas de mecuaciones lineales con n incognitas

⎧

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm,

pues nos permiten escribir el sistema en la forma matricial AX = b, es decir,⎛

⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

⎞

⎟⎟⎠

⎛

⎜⎜⎝

x1

x2...

xn

⎞

⎟⎟⎠

=

⎛

⎜⎜⎝

b1

b2...bn

⎞

⎟⎟⎠

,

y aplicar el metodo de Gauss para obtener la solucion del sistema.Un sistema de ecuaciones se puede clasificar segun el numero de soluciones:

Sistema Compatible Determinado: tiene una unica solucion.

Sistema Compatible Indeterminado: tiene infinitas soluciones.

Sistema Incompatible: no tiene solucion alguna.

Independencia lineal: Sea v1,v2, . . . ,vn un conjunto de vectores. Decimos quedichos vectores son linealmente independientes si no existen numeros a1, a2, . . . , an

no todos iguales a cero, tal que

a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.

La independencia lineal es importante en matrices ya que si dos o mas filas ocolumnas de una matriz A no son linealmente independientes, entonces det(A) = 0.

Rango de una matriz A: es el numero maximo de filas o columnas que sonlinealmente independientes. Si el rango fila o columna coinciden, entonces el rangode A se denota por rg(A).

69


Teorema de Rouche-Frobenius: Dado un sistema lineal de m ecuaciones y nincognitas AX = b, donde A es la matriz de coeficientes de orden m × n, y lamatriz ampliada A⋆ = (A|b) es de orden m× (n + 1), entonces

i) El sistema es compatible determinado si y solo si el rango rg(A) = rg(A⋆) =n.

ii) El sistema es compatible indeterminado si y solo si el rango rg(A) = rg(A⋆) <n.

iii) El sistema es incompatible si y solo si el rango rg(A) = rg(A⋆).

70



6.55 Dada la matriz A =

⎛

⎝

1 0 01 1 01 1 1

⎞

⎠ , calcula A2, A3, AT , A−1 y AAT .

Solucion. Como A2 = AA se tiene que

A2 =

⎛

⎝

1 0 02 1 03 2 1

⎞

⎠

Igualmente A3 = A2A con lo que

A3 =

⎛

⎝

1 0 03 1 06 3 1

⎞

⎠

La matriz traspuesta AT viene dada por

AT =

⎛

⎝

1 1 10 1 10 0 1

⎞

⎠

y la inversa de A, A−1 es

A−1 =

⎛

⎝

1 0 0−1 1 00 −1 1

⎞

⎠

Finalmente, el producto de A por AT , AAT , viene dado por

AAT =

⎛

⎝

1 1 11 2 21 2 3

⎞

⎠

6.56 Calcula los siguientes determinantes:

1.

∣∣∣∣

1 21 1

∣∣∣∣

2.

∣∣∣∣∣∣

1 2 31 1 −12 0 5

∣∣∣∣∣∣

3.

∣∣∣∣∣∣

2 0 11 1 −43 7 −3

∣∣∣∣∣∣

71


4.

∣∣∣∣∣∣

−3 297 −1230 1 −40 0 −3

∣∣∣∣∣∣

5.

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 3 62 3 6 721 82 0 32 23 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solucion. 1. Para el primer apartado, se tiene que∣∣∣∣

1 21 1

∣∣∣∣= −1.

2. En este caso, al ser un determinate de 3× 3, se tiene∣∣∣∣∣∣

1 2 31 1 −12 0 5

∣∣∣∣∣∣

= −15.

3. Al igual que en el caso anterior,∣∣∣∣∣∣

2 0 11 1 −43 7 −3

∣∣∣∣∣∣

= 54.

4. Dado que la matriz es triangular superior, su determinante es el producto dela diagonal principal:

∣∣∣∣∣∣

−3 297 −1230 1 −40 0 −3

∣∣∣∣∣∣

= 9.

5. Finalmente, en este caso, al ser un determinante de 4× 4, se tiene∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 3 62 3 6 721 82 0 32 23 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= −4627.

6.57 ¿Para que valores de γ no tiene inversa la matriz A =

⎛

⎝

3 γ γ1 −1 03 −2 0

⎞

⎠?

Solucion. Se dice que una matriz es singular, o que no tiene inversa, cuando sudeterminante es nulo. Podemos calcular el determinante de A desarrollando dichodeterminante por la tercera columna,

|A| =

∣∣∣∣∣∣

3 γ γ1 −1 03 −2 0

∣∣∣∣∣∣

= γ

∣∣∣∣

1 −13 −2

∣∣∣∣= γ

Ası, la matriz A no tiene inversa cuando γ = 0.

72


6.58 Calcula el rango de la siguiente matriz B =

⎛

⎝

2 3 1 6−1 −2 0 −33 5 1 9

⎞

⎠ .

Solucion. Empezamos formando el menor mas grande del podamos calcular sudeterminante. Este resulta ser un menor de orden 3. Como tenemos 4 posiblesmenores de orden 3, calculamos todos ellos:

∣∣∣∣∣∣

2 3 1−1 −2 03 5 1

∣∣∣∣∣∣

= 0,

∣∣∣∣∣∣

2 3 6−1 −2 −33 5 9

∣∣∣∣∣∣

= 0

∣∣∣∣∣∣

2 6 1−1 −3 03 9 1

∣∣∣∣∣∣

= 0,

∣∣∣∣∣∣

6 3 1−3 −2 09 5 1

∣∣∣∣∣∣

= 0

Luego el rango de la matriz no puede ser 3, tiene que ser 2 o menor. Cogiendo unmenor de orden 2, se tiene:

∣∣∣∣

2 3−1 −2

∣∣∣∣= 0

6.59 Resuelve los siguientes sistemas mediante el metodo Cramer:

1.

⎧

⎨

⎩

x1 − 3x2 − 2x3 = 0−x1 − 2x2 + 2x3 = 0

−2x1 + x2 = 0.2.

⎧

⎨

⎩

a + b + c = 6a + 2b + 2c = 9a + 2b + 3c = 10.

Solucion. 1. Dado que el sistema es homogeneo y la matriz de los coeficientesdel sistema ⎛

⎝

1 −3 −2−1 −2 2−2 1 0

⎞

⎠

tiene rango 3, la solucion del sistema es la solucion trivial, esto es,

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0

2. Usando el metodo de Cramer, tal y como nos dicen en el enunciado,

a =

∣∣∣∣∣∣

6 1 19 2 210 2 3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 2 21 2 3

∣∣∣∣∣∣

= 3, b =

∣∣∣∣∣∣

1 6 11 9 21 10 3

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 2 21 2 3

∣∣∣∣∣∣

= 2, c =

∣∣∣∣∣∣

1 1 61 2 91 2 10

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 2 21 2 3

∣∣∣∣∣∣

= 1

73


6.60 Estudia el siguiente sistema en funcion del parametro λ:

⎧

⎨

⎩

4x + 2y + z = λx2x + 4y + 2z = λy2x + 4y + 8z = λz.

Solucion. Podemos escribir el sistema de la siguiente forma:

⎧

⎨

⎩

(4− λ)x + 2y + z = 02x + (4− λ)y + 2z = 02x + 4y + (8− λ)z = 0.

Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada

A =

⎛

⎝

4− λ 2 12 4− λ 22 4 8− λ

⎞

⎠ , A∗ =

⎛

⎝

4− λ 2 1 02 4− λ 2 02 4 8− λ 0

⎞

⎠

Haciendo el determinante de A, se tiene,

|A| =

∣∣∣∣∣∣

4− λ 2 12 4− λ 22 4 8− λ

∣∣∣∣∣∣

= (4− λ)(λ2 − 12λ + 18)

Resolviendo entonces la ecuacion

(4− λ)(λ2 − 12λ + 18) = 0

se tienen las siguientes soluciones

λ = 4, λ± = 6 ± 3√

2

Ası, tenemos lo siguiente:

Si λ = 4, 6±3√

2, rg(A) = rg(A∗) = 3, igual tambien al numero de incognitas.El sistema entonces es compatible determinado con una unica solucion, queen este caso en concreto es la solucion trivial.

Si λ = 4, 6 ± 3√

2, entonces rg(A) = rg(A∗) = 2, menor que el numero deincognitas. Por lo tanto el sistema es compatible indeterminado, con infinitassoluciones que dependen de un parametro.

74


Capıtulo 7

Derivadas, representacion defunciones y aplicaciones

La derivada de una funcion en un punto es uno de los conceptos basicos delcalculo diferencial y que se utiliza en infinidad de campos fundamentales talescomo la fısica, la quımica, la economıa, etc.

7.1. Concepto de derivada y propiedades fundamentales

Definicion de derivada. Dada una funcion f : (a, b) −→ R y c ∈ (a, b),decimos que f(x) es derivable en a si existe y es finito el lımite

lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

en cuyo caso lo denotaremos por f ′(a). Equivalentemente, f(x) es derivable en asi existe y es finito el lımite

lımh→0

f(a + h)− f(a)

h.

Propiedades de las derivadas

Derivada de una constante por una funcion: y = k · f(x)→ y′ = k · f ′(x).

Derivada de una suma o resta de funciones: y = f(x) ± g(x)→ y′ = f ′(x) ±g′(x).

Derivada de un producto de funciones: y = f(x) · g(x)→ y′ = f ′(x) · g(x) +g′(x) · f(x).

Derivada de un cociente: y = f(x)g(x) → y′ = f ′(x)·g(x)−g′(x)·f(x)

g2(x)

75


Regla de la cadena:

(g ◦ f)′(x) = g′ (f(x)) · f ′(x)

Derivadas de orden superior: Podemos definir las derivadas de cualquierorden entero positivo. Ası, si llamamos a f ′(x) primera derivada de f(x), tenemos:

La segunda derivada de f(x) es la derivada de f ′(x), y se denota por f ′′(x)

La tercera derivada de f(x) es la derivada de f ′′(x), y se denota por f ′′′(x)o f (3)(x)

En general, la derivada n−esima de f(x), n ≥ 2, es la derivada de f (n−1)(x),y se denota por f (n)(x)

Interpretacion geometrica de la derivada: La derivada de una funcionf(x) en el punto de abscisa x = a, f ′(a), coincide con la pendiente de la rectatangente a la grafica de f(x) en x = a. En particular la ecuacion de dicha rectatangente es

y − f(a) = f ′(a)(x− a)

Por otra parte, la ecuacion de la recta normal a la grafica de f(x) en x = a vienedada por

y − f(a) =−1

f ′(a)(x− a)

siempre que f ′(a) = 0. Si f ′(a) = 0, entonces la recta normal es x = a.

76


7.2. Tabla de derivadas elementales

Derivada de una constante:y = k → y′ = 0.

Derivada de una potencia:y = xn → y′ = nxn−1.

Derivada de una raiz:y = n√

x→ y′ = 1n

n√xn−1

.

Derivada de la funcion exponencial:y = ex → y′ = ex.

Derivada de la funcion exponencialen base a:y = ax → y′ = ax · log a.

Derivada de la funcion logaritmo(neperiano):y = log x→ y′ = 1

x .

Derivada de la funcion logaritmo enbase a:y = loga x→ y′ = 1

x log a .

Derivada de la funcion seno:y = sen x→ y′ = cos x.

Derivada de la funcion coseno:y = cos x→ y′ = − sin x.

Derivada de la funcion tangente:y = tanx→ y′ = 1

cos2 x = 1+tan2 x.

Derivada de la funcion arcoseno:y = arc sen x→ y′ = 1√

1−x2.

Derivada de la funcion arcocoseno:y = arc cos x→ y′ = −1√

1−x2.

Derivada de la funcion arcotangen-te:y = arctanx→ y′ = 1

1+x2

7.3. Algunos resultados sobre derivabilidad

Sea f : (a, b) −→ R una funcion derivable definida sobre un intervalo abierto(a, b). Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f(x) es constante.

Si una funcion es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

Teorema de Rolle: Sea f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b] yderivable en (a, b). Si f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Teorema del valor medio de Lagrange: Sea f : [a, b] −→ R una funcioncontinua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

7.4. Aplicaciones

Regla de L’Hopital: Sean f(x) y g(x) funciones derivables en un intervaloabierto (a, b) que contiene a c, excepto posiblemente en el propio c. Supon-gamos que g′(x) = 0 para todo x en (a, b), excepto posiblemente en c. Si el

77


lımite

lımx→c

f(x)

g(x)

produce la indeterminacion 0/0, entonces

lımx→c

f(c)

g(x)= lım

x→c

f ′(x)

g′(x).

Este resultado es valido tambien si el lımite de f(x)/g(x) cuando x tien-de a c, produce una de las indeterminaciones ∞/∞, (−∞)/∞, ∞/(−∞) o(−∞)/(−∞).

Aplicacion fısica: En fısica, la derivada de la posicion de un movil x conrespecto al tiempo es la velocidad v de dicho movil, y la derivada de talvelocidad es la aceleracion a del movil:

v =dx

dt, a =

dv

dt

7.5. Representacion de Funciones

7.5.1. Introduccion teorica.

Aquı vamos a revisar cuales son los “instrumentos” matematicos de que dispo-nemos para obtener los elementos claves de la representacion grafica. En concreto,el calculo de lımites y la derivacion seran fundamentales para determinar la graficade una funcion.

7.5.2. Representacion grafica de funciones.

Los siguientes calculos matematicos son claves en la representacion de unafuncion. A continuacion pasamos a describirlos:

Dominio de la funcion: Es el conjunto de valores para los que la funcionesta definida, es decir, aquellos para los que existe imagen por la funcion f .

Por ejemplo, la funcion

f(x) =|x|

x + 1(7.1)

no esta definida para el valor real x = −1. Por tanto, el dominio de dichafuncion, al que se denota habitualmente por D(f) o Dom(f), es en este casoel intervalo R− {−1}.

Continuidad: La continuidad de la funcion se reflejara en la grafica de lafuncion si esta puede trazarse sin levantar la mano del papel. La funcion (7.1)del ejemplo anterior es continua en todos los puntos de su dominio.

78


Puntos de corte con los ejes cartesianos:

• Los puntos de corte con el eje X son los puntos de la grafica que corres-ponden a los valores de la variable x para los que se satisface la ecuacionf(x) = 0. Para la funcion (7.1), el unico punto de corte con el eje X esel (0, 0).

• Los puntos de corte con el eje Y se obtienen al igualar a 0 la variable xen la expresion de la funcion f(x), siempre que 0 pertenezca al dominiode la funcion. Observa que en este caso hay a lo sumo un punto de corte,pues en caso contrario no se tratarıa de una funcion. En el ejemplo (7.1)mencionado, el punto de corte con este eje coincide con el punto de cortecon el eje X

Simetrıas y periodicidad: Las funciones reales de variable real puedenpresentar varios tipos de simetrıas, aunque por lo general se estudian dos.

• Una funcion es simetrica respecto al eje de ordenadas Y si las imagenesde valores simetricos −x y x coinciden, esto es, si f(x) = f(−x). Alas funciones que presentan este tipo de simetrıa se les llama funcionespares. Observa que la simetrıa con respecto al eje X no tiene sentido enel caso de la grafica de una funcion, pues deberıa darse f(x) = −f(x) yesto es imposible para cualquier funcion (no nula).

• Una funcion es simetrica con respecto al origen de coordenadas, si lasimagenes de valores opuestos tienen tambien signos opuestos, esto es, si−f(x) = f(−x). A las funciones que presentan este tipo de simetrıa seles llama funciones impares.

Por otra parte, un funcion f(x) se dice que es periodica si existe un valorp > 0, al que se denomina periodo, tal que

f(x) = f(x + p)

Observa que eso significa que podemos analizar la funcion en un intervalo delongitud p, ya que la grafica de la funcion se repite si troceamos el dominioen intervalos de dicha longitud.

La funcion que estamos manejando como ejemplo, f(x) = |x|x+1 , no es simetri-

ca ni periodica. No obstante, los polinomios cuyos monomios tienen todosgrado par son pares y aquellos cuyos monomios tienen todos grado imparson impares. Por otro lado, muchas de las funciones trigonometricas conoci-das son periodicas.

Asıntotas: Las asıntotas son rectas a las que la funcion se acerca paulati-namente cuando la variable x se acerca a un cierto valor o tiende a infinito.Cabe distinguir tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas.

79


• Asıntotas verticales: Una recta de ecuacion x = a es asıntota verticalde f(x), si se cumple que

lımx→a−

f(x) = ±∞ y/o lımx→a+

f(x) = ±∞.

En las funciones racionales, las asıntotas verticales corresponden a losvalores de x donde se anula el denominador (siempre que la fraccioneste previamente simplificada, esto es, sin raıces comunes en el numera-dor y denominador).

Para conocer el comportamiento de la curva que representa la funciona ambos lados de la asıntota, se calculan los lımites laterales por laizquierda y por la derecha.

Ası, para el caso de la funcion (7.1), la recta x = −1 es un asıntotavertical pues se verifica que

lımx→−1−

f(x) = −∞ y lımx→−1+

f(x) = +∞.

• Asıntotas horizontales: Una recta y = b es una asıntota horizontalde f(x), si se cumple que

lımx→−∞

f(x) = b y/o lımx→+∞

f(x) = b.

Para el caso de funciones racionales, las asıntotas horizontales existencuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.En particular, cuando es estrictamente menor, la recta y = 0 es unaasıntota horizontal.

Ası, para el caso de la funcion (7.1), las rectas y = −1 e y = 1 sonasıntotas verticales, pues se verifica que

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

−x

x + 1= −1 y lım

x→+∞f(x) = lım

x→+∞

x

x + 1= 1.

• Asıntotas oblicuas: Una recta y = mx + n es una asıntota oblicua dela funcion f(x), si se cumple que

lımx→±∞

f(x)− (mx + n) = 0.

Por tanto, los valores de m y n pueden determinarse a traves de loslımites

m = lımx→±∞

f(x)

xy n = lım

x→±∞f(x)−mx.

Para el caso de funciones racionales, las asıntotas oblicuas existen cuan-do el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador.Por tanto, para este tipo de funciones es imposible que existan a la vez

80


asıntotas horizontales y oblicuas. En consecuencia, para el caso de lafuncion (7.1) se puede afirmar que no existen asıntotas oblicuas.Para determinar si la grafica de una funcion queda por debajo o porencima de una asıntota horizontal u oblicua, sabemos que

lımx→±∞

f(x)− ( asıntota ) = 0.

Por tanto, si para valores grandes de la variable x, tanto negativos comopositivos, la diferencia es positiva, entonces la curva queda por encimade la asıntota. En caso contrario, la asıntota queda por debajo de laasıntota.

Monotonıa (crecimiento y decrecimiento). Extremos: El analisis dela derivada y su signo permite determinar los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de la funcion, ası como sus extremos. Para realizar ese analisis:

• En primer lugar, se calculan las raıces de la derivada. Estas junto conlos valores donde la funcion esta definida pero no es derivable seranlos candidatos a extremos de la funcion, a los que se denomina puntoscrıticos.

• En segundo lugar, se realiza un esquema para estudiar el cambio de signode la derivada y, por ende, la monotonıa de la funcion en los intervalosque determinan los puntos crıticos y los puntos (relevantes) donde noesta definida la funcion. En aquellos intervalos en los que la derivada espositiva, la funcion es creciente, siendo decreciente en caso contrario.

• En tercer lugar, una vez determinada la monotonıa podemos dilucidarque puntos crıticos son extremos relativos de la funcion. Si la funcionpasa de creciente a decreciente, tiene un maximo en el punto crıtico quesepara los intervalos, mientras que si pasa de decreciente a creciente,tiene un mınimo. No obstante, viendo el signo de la segunda derivadaen dichos puntos tambien se podrıa dirimir si se trata o no de extremos.En particular, si la segunda derivada es negativa en el punto crıtico,este es un maximo relativo, mientras que si es positiva, se trata de unmınimo relativo.

• Por ultimo, teniendo en cuenta la capacidad de crecimiento y decreci-miento de la funcion y los valores que la funcion alcanza en los extremos,se puede determinar si los extremos relativos son o no absolutos.

En el ejemplo que vamos tratando a lo largo del desarrollo de este bloque laderivada de la funcion viene dada a trozos por

f ′(x) =

⎧

⎪⎨

⎪⎩

−1

(x + 1)2si x < 0

1

(x + 1)2si x > 0

81


Obviamente ninguna de las expresiones anteriores se anula. Por otra parte,aunque la funcion esta definida en x = 0, no es derivable en dicho punto pues

lımx→0−

f ′(x) = lımx→0−

−1

(x + 1)2= −1 y lım

x→0+f ′(x) = lım

x→0+

1

(x + 1)2= 1.

Realicemos ahora un esquema para estudiar la monotonıa en los intervalosque determinan por tanto los valores x = 0 donde no esta definida la derivaday x = −1 donde ya se vio que no esta definida la funcion.

x < −1 −1 < x < 0 0 < xf ′(x) - - +f(x) decreciente decreciente creciente

De ello, se puede deducir facilmente, que el valor x = 0 corresponde a unmınimo relativo de la funcion. Teniendo en cuenta que la funcion tiene en x =−1 una asıntota vertical a la que se acerca paulatinamente por la izquierdadecreciendo, dicho mınimo no sera mınimo absoluto.

Curvatura (concava o convexa). Puntos de inflexion: Recordemos queuna funcion f es concava en un intervalo I ⊆ Dom(f), si para cualesquierareales distintos a, b ∈ I, la recta que une los puntos del plano (a, f(a)) y(b, f(b)) queda por debajo de la grafica de f entre a y b. Analogamente sedice que es convexa cuando la recta queda por encima de la grafica.

El analisis de la derivada segunda y su signo permite determinar los intervalosde concavidad y convexidad de la funcion, ası como sus puntos de inflexion.Para realizar ese analisis:

• En primer lugar, se calculan las raıces de la derivada segunda. Estasjunto con los valores donde la funcion esta definida pero no la derivadasegunda seran los candidatos a puntos donde la curvatura de la graficacambie, a los que se denomina puntos de inflexion.

• En segundo lugar, se realiza un esquema para estudiar el cambio designo de la derivada segunda y, por ende, la curvatura de la funcionen los intervalos que determinan los puntos candidatos y los puntos(relevantes) donde no esta definida la funcion. En aquellos intervalos enlos que la derivada segunda es positiva, la funcion es convexa, siendoconcava en caso contrario.

• En tercer lugar, una vez determinada la curvatura podemos dilucidarque puntos candidatos son puntos de inflexion de la funcion. Si la fun-cion pasa de concava a convexa o viceversa, entonces tiene un punto deinflexion en el punto candidato que separa los intervalos.

82


En el ejemplo que estamos estudiando la derivada segunda de la funcion vienedada a trozos por

f ′(x) =

⎧

⎪⎨

⎪⎩

2

(x + 1)3si x < 0

−2

(x + 1)3si x > 0

Obviamente, ninguna de las expresiones anteriores se anula. Por otro parte,aunque la funcion esta definida en x = 0, no lo esta la derivada segunda endicho punto pues

lımx→0−

f ′(x) = lımx→0−

2

(x + 1)3= 2 y lım

x→0+f ′(x) = lım

x→0+

−2

(x + 1)3= −2.

Realicemos ahora un esquema para estudiar la curvatura en los intervalos quedeterminan los valores x = 0, donde no esta definida la derivada segunda yx = −1 donde ya se vio que no esta definida la funcion.

x < −1 −1 < x < 0 0 < xf ′′(x) - + -f(x) concava convexa concava

De ello, se puede deducir facilmente, que el valor x = 0 corresponde a unpunto de inflexion de la funcion.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, la grafica de la funcion del ejemploqueda como se indica en la figura.

Figura 7.1: Grafica de la funcion f(x) =|x|

x + 1.

83


84



7.61 Calcular las siguientes derivadas y simplificar cuando sea posible:

1. f(x) =x + 1

x− 1− 100.

2. f(x) =

√x + 1√x− 1

.

3. f(x) = (5x2 − 3)(x2 + x + 4).

4. f(x) =3√

x2 +1

4√

x3.

5. f(x) = esen x.

6. f(x) = 10arctan x +e2x

log2 x.

7. f(x) = log

(1 + x

1− x

)

.

8. f(x) = log (log x) + log2(x).

9. f(x) = tan3(log3 x).

10. f(x) = 6 cos2(5x3 + ex).

11. f(x) = arc cos(7− 2x).

12. f(x) = arc sen (cos x) .

13. f(x) = sen√

e1−x · cos√

e1−x.

14. f(x) =ax2 + bx + c

sen(ax) + cos(cx).

Solucion. Calculemos las derivadas correspondientes y simplifiquemoslas lo maxi-mo posible:

1.

f ′(x) =x− 1− (x + 1)

(x− 1)2=

−2

(x− 1)2

2.

f ′(x) =

12√

x(√

x− 1)− 12√

x(√

x + 1)

(√

x− 1)2=

−1√x(√

x− 1)2

3.

f ′(x) = 10x(x2 + x + 4) + (5x2 − 3)(2x + 1) = 20x3 + 15x2 + 34x− 3

4.

f ′(x) =2

3 3√

x−

3

44√

x7

5.

f ′(x) = esen x cos x

6.

f ′(x) = 10arctan x(log 10)1

1 + x2+

2e2x log2 x− e2x 1x log 2

(log2 x)2

7.

f ′(x) =1− x

1 + x

2

(1− x)2=

2

(1− x)(1 + x)

85


8.

f ′(x) =1

log x

1

x+ 2

1

xlog x =

1

x

(1

log x+ 2 log x

)

9.

f ′(x) = 3 tan2(log3 x)(1 + tan2(log3 x))1

x log 3

10.f ′(x) = −12 cos(5x3 + ex) sin(5x3 + ex)(15x2 + ex)

11.

f ′(x) =2

√

1− (7− 2x)2

12.

f ′(x) =− senx√1− cos2 x

13.

f ′(x) =−e1−x

2√

e1−xcos2√

e1−x −−e1−x

2√

e1−xsen2√

e1−x =−e1−x

2√

e1−xcos(

2√

e1−x)

14.

f ′(x) =(2ax + b)(sen(ax) + cos(cx))− (ax2 + bx + c)(a cos(ax)− c sen(cx))

(sen(ax) + cos(cx))2

7.62 Calcula:

1. La segunda derivada de f(x) = log(x) + x7.

2. La tercera derivada de f(x) = xex.

3. La derivada n-esima de f(x) = cos x.

4. La derivada n-esima def(x) = 2x.


1. Derivando dos veces

f ′(x) =1

x+ 7x6; f ′′(x) =

−1

x2+ 42x5

2. Derivando tres veces

f ′(x) = ex + xex = (1 + x)ex

f ′′(x) = ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex

f ′′′(x) = ex + (2 + x)ex = (3 + x)ex

86


3. Observando las primeras derivadas de f(x):

f ′(x) = − sen x; f ′′(x) = − cos x; f ′′′(x) = sen x; f (4) = cos x

podemos concluir que

f (n)(x) =

⎧

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

− sen x si n = 4k + 1 para algun k = 0, 1, 2, . . .− cos x si n = 4k + 2 para algun k = 0, 1, 2, . . .sen x si n = 4k + 3 para algun k = 0, 1, 2, . . .cos x si n = 4k para algun k = 1, 2, . . .

4. Observando las primeras derivadas de f(x):

f ′(x) = (log 2)2x; f ′′(x) = (log 2)22x; f ′′′(x) = (log 2)32x;

podemos concluir que

f (n)(x) = (log 2)n2x

7.63 Dos funciones f(x) y g(x) estan definidas en x = 0 y son derivables en dichopunto, verificandose las relaciones

f(0)g(0) = 2 y f ′(0) = 2g′(0) = 4f(0).

Calcula:

1. h′(0) en funcion de f(0), donde h(x) = f(x)/g(x).

2. k′(0), donde k(x) = f(x)g(x) sen x.

Solucion. Se tiene que:

1. Por la regla de derivacion del cociente

h′(0) =f ′(0)g(0) − f(0)g′(0)

g(0)2=

4f(0) 2f(0) − f(0)2f(0)

4f(0)2

= 2f(0)2−1

2f(0)4

2. Por la regla de derivacion del producto

k′(0) = f ′(0)g(0) sen 0 + f(0)g′(0) sen 0 + f(0)g(0) cos 0 = 2.

7.64 Razona para que valores de x la recta tangente a la grafica de la funcion f(x) =x3 − 6x2 − 15x es paralela a la recta y = 3.

87


Solucion. La pendiente de la recta y = 3 es 0, de modo que el problema se reducea encontrar las soluciones de la ecuacion f ′(x) = 0, es decir, 3x2 − 12x − 15 = 0,obteniendose los valores x = −1 y x = 5.

7.65 Escribe las ecuaciones de la rectas tangentes a las graficas de las funciones y = f(x)siguientes en los puntos indicados:

1. y = (x2 + 1) sen x en x = 0.

2. y =√

x en x = 4.

Solucion. Las ecuaciones pedidas son las siguientes:

1. Como f ′(x) = 2x sen x + (x2 + 1) cos x, la recta tangente en x = 0 es y = x,pues f(0) = 0 y f ′(0) = 1.

2. Usando que f ′(x) = 12√

x, la recta tangente en x = 4 es y − 2 = 1

4(x− 4), es

decir, y = 14x + 1, donde hemos utilizado que f(4) = 2 y f ′(4) = 1

4 .

7.66 La posicion de un movil (en metros) en funcion del tiempo t en segundos vienedado por la expresion

x(t) = sen

(tπ

4

)

.

Calcula la velocidad del movil en el instante t = 9, y su aceleracion en t = 10.

Solucion. Puesto que la derivada de la posicion de un movil x con respecto altiempo es la velocidad v de dicho movil, y la derivada de tal velocidad es laaceleracion a del movil, tenemos

v(t) =π

4cos

(tπ

4

)

y

a(t) = −π2

16sen

(tπ

4

)

En particular v(9) = π4√

2m/s y a(10) = −π2

16 m/s2

7.67 Usando la definicion de derivada de una funcion en un punto, calcula las derivadasde las siguientes funciones en el punto x = x0:

1. f(x) = x2.

2. f(x) =√

x.

88


Solucion. Usando la definicion de la derivada de una funcion en un punto, se tieneque

1. Tenemos

f ′(x) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lım

h→0

(x0 + h)2 − x20

h

= lımh→0

x20 + 2hx0 + h2 − x2

0

h= lım

h→0

h(2x0 + h)

h= lım

h→02x0 + h = 2x0

2. Teniendo en cuenta que suma por diferencia es diferencia de cuadrados, re-sulta

f ′(x) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lım

h→0

√x0 + h−√x0

h

= lımh→0

√x0 + h−√x0

h·√

x0 + h +√

x0√x0 + h +

√x0

= lımh→0

x0 + h− x0

h(√

x0 + h +√

x0) = lım

h→0

1√x0 + h +

√x0

=1

2√

x0

7.68 Calcula las siguientes derivadas usando derivacion logarıtmica:

1. f(x) = x1/x.

2. f(x) = eex.

Solucion. Las derivadas pedidas son:

Primero ponemos y = x1/x y tomamos logaritmos

log y = log(

x1/x)

=1

xlog x =

log x

x

Ahora, derivando a ambos lados de la igualdad

y′

y=

1− log x

x2

Finalmente despejamos

f ′(x) = y′ = y1− log x

x2= x1/x 1− log x

x2= x

1x−2(1− log x)

Repitiendo los pasos anteriores

y = eex; log y = log

(

eex)

= ex;y′

y= ex; f ′(x) = y′ = yex = eex

ex = eex+x

89


7.69 Sea f(x) = ax2 + 3x + 1. Calcula el valor de a ∈ R para que la recta tangente af(x) en el punto de abscisa x = −1/2 pase por el punto (−1, 0).

Solucion. La ecuacion de la recta tangente a f(x) en x = −1/2 es

y − f

(−1

2

)

= f ′(−1

2

)

(x +1

2)

Como

f

(−1

2

)

=a

4−

1

2y f ′

(−1

2

)

= −a + 3

y teniendo en cuenta que la recta tangente pasa por (−1, 0), resulta

−a

4+

1

2= (3− a)

(

−1 +1

2

)

de donde a = 8/3.

7.70 Demuestra que el valor de la expresion

arctan(x + 1)2 + arctan(x− 1)2 + arctan2x2 − x4

2x2 + 2

es independiente del valor de x.

Solucion. Si llamamos

f(x) = arctan(x + 1)2 + arctan(x− 1)2 + arctan2x2 − x4

2x2 + 2,

entonces

f ′(x) =2(x + 1)

1 + (x + 1)4+

2(x− 1)

1 + (x− 1)4+

(4x− 4x3)(2x2 + 2)− 4x(2x2 − x4)

(2x2 + 2)2(

1 +(

2x2−x4

2x2+2

)2) .

Simplificando se obtiene que f ′(x) = 0, por lo que deducimos que f(x) es unafuncion constante y por tanto independiente de x.

7.71 Razona que las funciones f(x) = x7 y g(x) = 1 − x se cortan exactamente en unpunto.

Solucion. Observese que si x0 es un punto de corte de f(x) y g(x) entonces

f(x0) = g(x0)⇐⇒ x70 = 1− x0 ⇐⇒ x7

0 + x0 − 1 = 0

90


es decir, x0 es un punto donde se anula la funcion h(x) = x7 + x− 1.

Podemos aplicar el Teorema de Bolzano a h(x) en el intervalo [0, 1], puesh(x) es continua en dicho intervalo y h(0) · h(1) < 0. Por tanto, existe x0 ∈ (0, 1)tal que h(x0) = 0.

Supongamos que existe mas de un punto donde se anula h(x). Llamemos x1

y x2 a dos de esos puntos, y supongamos que x1 < x2. Entonces podemos aplicar elTeorema de Rolle a h(x) en el intervalo [x1, x2], ya que h(x) es continua en [x1, x2],derivable en (x1, x2) y h(x1) = h(x2) = 0. En consecuencia, existe c ∈ (x1, x2) talque h′(c) = 0. Pero h′(c) = 7c6 + 1 es un numero positivo sea cual sea c, lo quesupone una contradiccion que parte de suponer que existe mas de un punto dondese anula h(x) o, equivalentemente, mas de un punto de corte de f(x) y g(x).

7.72 Calcula el valor del lımite:

lımx→0

x2 − sen2 x

cos2 x− 1.

Solucion. Aplicando la regla de L’Hopital dos veces tenemos

lımx→0

x2 − sen2 x

cos2 x− 1=

(0

0

)

= lımx→0

2x− 2 sen x cos x

−2 cos x sen x= 1 + lım

x→0

2x

−2 cos x sen x

= 1 +

(0

0

)

= 1 + lımx→0

2

2 sen2 x− 2 cos2 x= 1− 1 = 0

7.73 Calcula el dominio y los puntos de interseccion con los ejes de las siguientes fun-ciones:

1. f(x) =x + 1

2x2 − x− 1.

2. f(x) =

√

x + 3

x− 2.

Solucion. Usando las definiciones dadas en la introduccion teorica de este capıtulo,se tiene:

1. El dominio de definicion de la funcion f(x) = x+12x2−x−1 esta constituido por

todos los reales, excepto aquellos en los que se anula el denominador de laexpresion. Resolviendo la ecuacion 2x2 − x − 1 obtenemos que los valoresreales donde no esta definida dicha funcion son −1

2 y 1.

Para obtener los puntos de interseccion con el eje X igualamos la expresion dela funcion a 0 y resolvemos la ecuacion, obteniendo como resultado x = −1,por lo que el punto del plano donde la funcion interseca el eje X es (−1, 0).Por otro lado, sustituyendo en la expresion el valor de x por 0, se obtiene queel punto del plano donde la funcion interseca el eje Y es (0,−1).

91


2. Puesto que la expresion de la funcion f(x) =√

x+3x−2 contiene una raız cua-

drada, el dominio de definicion de la misma estara formado por los valoresreales para los que la fraccion interior a la raız cuadrada sea mayor o igualque 0. Se trata por tanto de estudiar para que valores reales se cumple quex+3x−2 ≥ 0.

Para ello estudiamos los valores del numerador y el denominador de dichafraccion. Observa que el numerador se anula si x = −3, mientras que eldenominador se anula si x = 2, valor para el que la funcion no esta definida.

x ≤ −3 −3 ≤ x < 2 x > 2x + 3 - + +x− 2 - - +x + 3

x− 2+ - +

Por tanto el dominio de la funcion anterior es ]−∞,−3]∪]2,+∞].

En este caso, el punto de interseccion con el eje X es el que corresponde alvalor donde se anula la expresion de la funcion, x = −3, esto es, (−3, 0). Porotro lado, no existe punto de interseccion con el eje Y .

7.74 Localiza las asıntotas verticales y situa la curva

y =x3

(x− 2)2(x− 1)

respecto a ellas.

Solucion. Teniendo en cuenta la expresion del denominador, las asıntotas vertica-les apareceran en x = 2 y en x = 1. Estudiemos para cada una de ellas la posicionrelativa de la curva.

Para la asıntota x = 1: Cuando el valor de la x es proximo a 1, tanto x3 como(x− 2)2 son positivos. Sin embargo, el valor de x− 1 varıa, dependiendo desi x es mayor o menor que 1. Ello nos indica que la cuando x se acerca alvalor 1 por la izquierda la curva se va hacia el −∞, mientras que cuando xse acerca al valor 1 por la derecha, la curva se va hacia el +∞ (vease figura7.2).

Para la asıntota x = 2: Cuando el valor de la x es proximo a 2, todos losfactores de la expresion son positivos. Por tanto, la curva se va hacia +∞ enambos lados de la asıntota (vease figura 7.3).

92


Figura 7.2: Asıntota x = 1 para la funcion f(x) =x3

(x− 2)2(x− 1).

Figura 7.3: Asıntota x = 2 para la funcion f(x) =x3

(x− 2)2(x− 1).

93


7.75 Localiza, cuando existan, las asıntotas en el infinito de la funcion

y =x3

(x− 1)2

y situa la curva con respecto a ellas.

Solucion. Se observa que si realizamos la division que indica la fraccion, se obtienelo siguiente

x3

(x− 1)2= x + 2 +

3x− 2

(x− 1)2

Por tanto, es claro que y = x + 2 es una asıntota (oblicua) de la funcion. Comoademas el cociente 3x−2

(x−1)2 es mayor que 0 cuando x→ +∞ y menor que 0 cuando

x→ −∞, es facil ver que la curva se situa por encima de la asıntota para valorespositivos grandes de la variable y por debajo de la asıntota para valores negati-vos grandes. Todo ello puede verse en la figura 7.4, en donde se ha hecho unarepresentacion grafica de la funcion y de la asıntota oblıcua.

Figura 7.4: Asıntota y = x + 2 para la funcion y =x3

(x− 1)2.

7.76 Averigua los extremos relativos de la funcion f(x) = x4 − x3.

Solucion. Puesto que la funcion es derivable en todos los valores reales, podemoslocalizar los extremos analizando los intervalos de crecimiento y decrecimiento apartir del signo de su derivada.

94


Como es facil de comprobar, f ′(x) = 4x3 − 3x2, que se anula en x = 0 yx = 3

4 , por lo que se tiene

x < 0 0 < x < 34 x > 3

4

f ′(x) - - +f(x) decreciente decreciente creciente

Por tanto, aunque en x = 0 se tiene un punto crıtico tambien, solo en x = 34 existe

un extremo relativo que es mınimo.

7.77 Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativosde las siguientes funciones:

1. f(x) =ex

x.

2. f(x) =x

log x.

Solucion. Usando las definiciones dadas en la introduccion teorica de este capıtulo,se tiene:

1. Puesto que la funcion f(x) =ex

xes derivable en todos los valores reales salvo

el 0, podemos estudiar su crecimiento en ambos lados de la asıntota verticalx = 0, analizando el signo de la derivada los dos intervalos correspondientes.

En este sentido, f ′(x) =−ex

x2+

ex

xy dicha funcion se anula en x = 1, por lo

que se tiene:

x < 0 0 < x < 1 x > 1f ′(x) - - +f(x) decreciente decreciente creciente

A tenor de la tabla anterior, resulta obvio que en x = 1 existe un mınimorelativo estricto.

2. Observa que el dominio de definicion de la funcion f(x) =x

log xesta condi-

cionado por ser una fraccion cuyo denominador es log x. El log x esta definidounicamente para valores positivos de la variable y vale 0 cuando x = 1. Co-mo consecuencia, se puede estudiar su crecimiento para valores positivos enambos lados de la asıntota vertical x = 1.

En este caso, f ′(x) =log x− 1

(log x)2y, puesto que el denominador es siempre

positivo, bastara con analizar el signo log x − 1, que se anula en x = e, porlo que se tiene

0 < x < 1 1 < x < e x > ef ′(x) - - +f(x) decreciente decreciente creciente

95


A tenor de la tabla anterior, resulta obvio que en x = e existe un mınimorelativo estricto.

7.78 Determina los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones,indicando si existen puntos de inflexion:

1. f(x) =ex

x.

2. f(x) =x

log x.

Solucion. Resolvamos cada uno de los apartados:

1. Puesto que la funcion f(x) =ex

xes derivable en todo los valores reales salvo

el 0, podemos estudiar su curvatura en ambos lados de la asıntota verticalx = 0, analizando el signo de la segunda derivada en dichos entornos.

En este sentido, f ′′(x) =2ex

x3+−2ex

x2+

ex

xpor lo que se tiene:

x < 0 x > 0f ′′(x) - +f(x) concava convexa

Como x = 0 no es un punto del dominio, no se trata de un punto de inflexion.

2. Como en el caso anterior, teniendo en cuenta que el dominio de definicion de

la funcion f(x) =x

log x, se puede estudiar su curvatura para valores positivos

en ambos lados de la asıntota vertical x = 1.

En este caso, f ′′(x) =2− log x

x(log x)3y, puesto que no es siempre positiva, anali-

zaremos el signo del numerador, que se anula en x = e2 y del denominadorpara determinar el signo de la segunda derivada, por lo que se tiene

0 < x < 1 1 < x < e2 x > e2

2− log x + + -x(log x)3 - + +

f ′′(x) - + -f(x) concava convexa concava

A tenor de la tabla anterior, resulta obvio que en x = e2 existe un punto de

inflexion de la funcion f(x) =x

log x.

7.79 Halla los extremos absolutos de la funcion f(x) = |x3 − 4x|.

96


Solucion. En primer lugar, determinemos como es la funcion. Observa que paraello, se tiene que determinar donde es x3−4x mayor o menor que 0. Como es facilde comprobar, la ecuacion x3−4x = 0, que podemos reescribir como x(x2−4) = 0tiene tres soluciones reales, a saber, en x = 0, 2 y−2. Teniendo en cuenta los valoresde la funcion a ambos lados de cada uno de estos valores, podemos expresarla dela siguiente manera

f(x) =

⎧

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

−(x3 − 4x) si x ≤ −2x3 − 4x si −2 < x ≤ 0−(x3 − 4x) si 0 < x ≤ 2x3 − 4x si 2 < x

Estudiemos por tanto la monotonıa en cada uno de los intervalos inducidos ante-riormente.

Si x < −2, entonces f ′(x) = −3x2 + 4 que es negativa en dicho intervalo, porlo que la funcion es estrictamente decreciente.

Si −2 < x < 0, entonces f ′(x) = 3x2−4. Igualando a 0 la derivada se observaque en dicho intervalo existe en x = −2√

3, una raız, siendo positiva la derivada

a la izquierda de dicho valor y negativa a la derecha.

Si 0 < x < 2, entonces f ′(x) = −3x2+4 y, como en el caso anterior, igualandoa 0 la derivada, se obtiene que en dicho intervalo existe en x = 2√

3una

raız, siendo positiva la derivada a la izquierda de dicho valor y negativa a laderecha.

Si x > 2, entonces f ′(x) = 3x2 − 4 que es positiva en dicho intervalo, por loque la funcion es estrictamente creciente.

En resumen, se tiene

x < −2 −2 < x < −2/√

3 −2/√

3 < x < 0 0 < x < 2/√

3 2/√

3 < x < 2 2 < xf ′(x) - + - + - +f(x) decreciente creciente decreciente creciente decreciente creciente

De ello se deduce que existen mınimos relativos en x = 0, 2 y −2, en cuyocaso el valor de la funcion es siempre 0, y maximos relativos en x = −2/

√3 y

2/√

3. Puesto que la funcion tiende a +∞ cuando x → +∞ y cuando x → −∞,los mınimos relativos son en realidad mınimos absolutos, pero no ocurre ası en elcaso de los maximos relativos.

7.80 Halla los coeficientes a, b y c para que la funcion f(x) = ax3 + bx2 + cx + 1 tengaun punto de inflexion en (−1, 2) con tangente horizontal.

Solucion. En primer lugar, observa que como el punto que se menciona es unpunto de la grafica de la funcion, al evaluar f(x) en x = −1 el resultado debe ser

97


2. Es decir, se debe satisfacer la ecuacion

−a + b− c + 1 = 2

En segundo lugar, para que la tangente sea horizontal debe ocurrir que laderivada en dicho punto sea igual a 0. Como la derivada es f ′(x) = 3ax2 +2bx+ c,evaluada en x = −1 e igualada a 0, resulta la ecuacion

3a− 2b + c = 0

Por otro lado, puesto que dicho punto ha de ser un punto de inflexion, debesuceder que la segunda derivada sea tambien igual a 0. Como la segunda derivadaes f ′′(x) = 6ax + 2b, evaluada en x = −1 e igualada a 0, resulta la ecuacion

−6a + 2b = 0

Dichas ecuaciones constituyen conjuntamente un sistema de 3 ecuacioneslineales con 3 incognitas, que al resolver arroja los valores a = −1, b = −3 yc = −3.

7.81 Representa graficamente la funcion f(x) = x13 ex.

Solucion. Observa que la funcion esta bien definida para cualquier valor real yque ademas es continua en todo R.

Por otro lado, puesto que ex no se anula nunca, el unico punto de corte conel eje X se da cuando x = 0. Asimismo el punto (0, 0) es el unico punto de cortede la grafica de la funcion con el eje Y .

A tenor de la formula que define la funcion, es sencillo averiguar que lafuncion no es simetrica ni periodica.

En cuanto a las asıntotas, puesto que el lımite cuando x → −∞ de lafuncion vale 0, siendo sus valores siempre negativos, podemos deducir que la rectay = 0 es una asıntota horizontal a la que la grafica de la funcion se va acercandopaulatinamente para valores negativos de x cada vez mayores en valor absoluto.No existen otro tipo de asıntotas.

Considerando la derivada de la funcion f ′(x) = ex x+ 13

x2/3 , trataremos de ave-riguar los intervalos de crecimiento de la funcion, ası como sus extremos. En estesentido, por la expresion de la derivada, vemos que esta no esta definida para elvalor x = 0, por lo que trabajaremos la monotonıa a ambos lados de dicho va-lor, donde la funcion es derivable. En concreto, resolviendo la ecuacion f ′(x) = 0obtenemos como solucion x = −1

3 por lo que se tiene:

x < −1/3 −1/3 < x < 0 0 < xf ′(x) - + +f(x) decreciente creciente creciente

98


De ello se infiere que el punto crıtico (−13 ,−1

2) es un mınimo no solo relativo, sinotambien absoluto y que no existen maximos relativos de la funcion.

Para estudiar la curvatura de la funcion, consideramos su derivada segundaf ′′(x) = ex

x5/3

9x2+6x−29 . De nuevo, por su expresion, vemos que la derivada segunda

no esta definida para el valor x = 0, por lo que trabajaremos la curvatura en amboslados de dicho valor. En concreto, resolviendo la ecuacion f ′′(x) = 0 obtenemos

como solucion x = −1−√

33 y x = −1+

√3

3 , por lo que se tiene:

x < −1−√

33

−1−√

33 < x < 0 0 < x < −1+

√3

3−1+

√3

3 < xf ′′(x) - + - +f(x) concava convexa concava convexa

De ello se infiere que para los valores 0, −1−√

33 y −1+

√3

3 de la variable x, la graficade la funcion presenta puntos de inflexion, ya que la curvatura cambia de concavaa convexa o de convexa a concava.

Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, la grafica de la funcion puederepresentarse como se ve en la figura correspondiente (figura 7.5).

Figura 7.5: Grafica de la funcion f(x) = x13 ex.

7.82 Representa graficamente la funcion f(x) =(x + 1)(4x2 − 3x + 1)

4(x− 1)2.

Solucion. Puesto que el polinomio del numerador tiene como unica raız real x =−1, la fraccion que representa la funcion no puede ser simplificada. Llegados aeste punto, resulta evidente que la funcion esta definida y es continua para todoslos valores reales excepto x = 1.

99


Para calcular los puntos de corte con el eje X, igualamos a 0 la expresionde la funcion, obteniendo como unica solucion real x = −1, por lo que el puntodel plano donde la grafica corta a dicho eje es (−1, 0). Por otro lado, si hacemosvaler 0 la variable x en dicha expresion obtenemos como resultado f(0) = 1

4 y portanto el punto de corte con el eje Y es (0, 1

4 ).

En cuanto a las asıntotas, es sencillo comprobar que f(x) tiene una verticalen la recta x = 1, a la que la curva se acerca por arriba puesto que el limite de lafuncion es +∞ cuando la x tiende a 1 tanto por la derecha como por la izquierda.Ademas, debido a la diferencia de grado entre el polinomio del numerador y elpolinomio del denominador, se tiene que lım

x→∞f(x)

x = 1 y lımx→∞

f(x) − x = 94 . Por

tanto, la recta y = x+ 94 es una asıntota oblicua de la funcion. Teniendo en cuenta

ahora la diferencia f(x)− (x + 94) = 3x−2

(x−1)2 , se puede deducir que la grafica corta

a dicha asıntota para el valor x = 2/3, quedando por encima de la asıntota paravalores de x mayores y por debajo de la asıntota para valores de x menores que elmencionado.

Considerando la derivada de la funcion f ′(x) = x2(x−3)(x−1)3 , trataremos de ave-

riguar los intervalos de crecimiento de la funcion, ası como sus extremos. En estesentido, por la expresion de la derivada, vemos que esta no esta definida para elvalor x = 1, por lo que trabajaremos la monotonıa a ambos lados de dicho va-lor, donde la funcion es derivable. En concreto, resolviendo la ecuacion f ′(x) = 0obtenemos como soluciones x = 0 y x = 3, por lo que se tiene:

x < 0 0 < x < 1 1 < x < 3 3 < xf ′(x) + + - +f(x) creciente creciente decreciente creciente

De ello se infiere que el punto crıtico correspondiente a x = 0 no es ni maximo nimınimo mientras que el correspondiente a x = 3 es un mınimo relativo, que no esabsoluto, puesto que lım

x→−∞f(x) = −∞.

Para estudiar la curvatura de la funcion, consideramos su derivada segundaf ′′(x) = 6x

(x−1)4 . De nuevo, por su expresion, vemos que la derivada segunda no

esta definida para el valor x = 1, por lo que trabajaremos la curvatura en amboslados de dicho valor. En concreto, resolviendo la ecuacion f ′′(x) = 0 obtenemoscomo solucion x = 0, por lo que se tiene:

x < 0 0 < x < 1 1 < xf ′′(x) - + +f(x) concava convexa convexa

De ello se infiere que para el valor x = 0, la grafica de la funcion presenta un puntode inflexion, ya que la curvatura cambia de concava a convexa.

Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, la grafica de la funcion puederepresentarse de la siguiente manera, como se ve en la figura 7.6.

100


Figura 7.6: Grafica de la funcion f(x) =(x + 1)(4x2 − 3x + 1)

4(x− 1)2.

7.83 Representa graficamente la funcion f(x) = log(x2 − 1).

Solucion. Observa que, como la funcion log esta definida solo para valores po-sitivos, la funcion f(x) = log(x2 − 1) esta definida para aquellos valores paralos que x2 − 1 > 0. Por tanto, el dominio de definicion de f(x) es en este ca-so ] − ∞,−1[∪]1,+∞[. Por ello, estudiaremos la funcion en cada uno de estosintervalos.

Por su expresion, resulta sencillo adivinar que la funcion tendra dos asıntotasverticales en x = −1 y x = 1. Tomando lımites se comprueba que la curva se acerca“bajando” a ambas asıntotas.

En cada uno de los intervalos la funcion es derivable. Por ello, en funcionde su derivada f ′(x) = 2x

x2−1 podemos determinar su monotonıa. En particular, enel intervalo ] − ∞,−1[ dicha funcion alcanza valores negativos, mientras que enel intervalo ]1,+∞[ alcanza solo valores positivos. En consecuencia, en el primerode los intervalos la funcion es estrictamente decreciente y en el segundo, por elcontrario, estrictamente creciente.

En cuanto a la curvatura, puesto que la segunda derivada f ′′(x) = −2(1+x2)(x2−1)2

es siempre negativa en ambos intervalos, se puede afirmar que la funcion es concavaen todo su dominio.

Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, la grafica de la funcion puederepresentarse de la siguiente manera, figura 7.7.

7.84 Representa graficamente la funcion f(x) =x2

x− 1.

101


Figura 7.7: Grafica de la funcion f(x) = log(x2 − 1).

Solucion. Puesto que se trata de una funcion racional el dominio esta constituidopor todos los reales donde no se anula el denominador. En este caso, el unico valordonde se anula dicho denominador es x = 1. Por ello, el estudio se hara teniendoen cuenta los intervalos ] − ∞, 1[ y ]1,+∞[ donde la funcion esta definida y escontinua.

Resolviendo la ecuacion x2

x−1 = 0 obtenemos como unico resultado x = 0 porlo que (0, 0) es el unico punto de corte con el eje X. El mismo punto de corte seobtiene con el eje Y , haciendo valer 0 la variable x en la expresion de la funcion.

Teniendo en cuenta el valor donde se anula el denominador de la frac-cion racional, resulta que x = 1 es una asıntota vertical de f(x). En este caso,lım

x→1−f(x) = −∞ y lım

x→1+f(x) = +∞. En consecuencia, la curva se acerca a la

asıntota bajando a la izquierda de x = 1 y subiendo a la derecha de dicha recta.

Considerando la derivada de la funcion f ′(x) = x(x−2)(x−1)2 , trataremos de ave-

riguar los intervalos de crecimiento de la funcion, ası como sus extremos. En con-creto, resolviendo la ecuacion f ′(x) = 0 obtenemos como soluciones x = 0 y x = 2,por lo que se tiene:

x < 0 0 < x < 1 1 < x < 2 2 < xf ′(x) + - - +f(x) creciente decreciente decreciente creciente

De ello se infiere que el punto crıtico correspondiente a x = 0 es un maximorelativo, mientras que el correspondiente a x = 2 es un mınimo relativo, que noson absolutos, puesto que lım

x→−∞f(x) = −∞ y lım

x→+∞f(x) = +∞.

Para estudiar la curvatura de la funcion, consideramos su derivada segundaf ′′(x) = 2

(x−1)3 . Por su expresion, vemos que la derivada segunda tampoco esta de-

102


Figura 7.8: Grafica de la funcion f(x) = x2

x−1 .

finida para el valor x = 1, por lo que trabajaremos la curvatura en ambos ladosde dicho valor.

x < 1 1 < xf ′′(x) - +f(x) concava convexa

De ello se infiere que en el intervalo ]−∞, 1[ la curva es concava, mientras que enel intervalo ]1,+∞[ la curva es convexa.

Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, la grafica de la funcion puederepresentarse de la siguiente manera, tal y como se ve en la figura 7.8

7.85 Representa graficamente la funcion f(x) = log x− x

Solucion. Observa que en este caso, puesto que la funcion log esta definida solopara valores positivos, dicha funcion esta definida tambien para esos valores uni-camente. Ademas no existen corte con los ejes, ya que la ecuacion log x − x = 0no tiene solucion y el valor x = 0 no forma parte del dominio.

Puesto que lımx→+∞

f(x) = −∞ la curva no tiene asıntotas horizontales. No

obstante, si se tiene una asıntota vertical en x = 0 a la que la curva se acercabajando. Por otro lado, como lım

x→+∞f(x)

x = −1 existe la posibilidad de que haya

una asıntota oblicua. Sin embargo, puesto que lımx→+∞

f(x)+x = lımx→+∞

log x = +∞,

dicha asıntota no existe.

Considerando la derivada de la funcion f ′(x) = 1−xx , trataremos de averiguar

los intervalos de crecimiento de la funcion, ası como sus extremos. En concreto,

103


resolviendo la ecuacion f ′(x) = 0 obtenemos como solucion x = 1, por lo que setiene:

0 < x < 1 1 < xf ′(x) + -f(x) creciente decreciente

De ello se infiere que el punto crıtico correspondiente a x = 1 es un maximorelativo que tambien es absoluto, puesto que se tiene que lım

x→0+f(x) = −∞ y

lımx→+∞

f(x) = −∞.

Para estudiar la curvatura de la funcion, consideramos su derivada segundaf ′′(x) = − 1

x2 . Por su expresion, vemos que la derivada segunda es negativa entodo el dominio, por lo que la funcion es concava en todo su dominio.

Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, la grafica de la funcion puederepresentarse tal y como se ve en la figura 7.9

Figura 7.9: Grafica de la funcion f(x) = log x− x.

104


7.86 Representa graficamente la funcion f(x) =1

5ex x− 5

2x− 1.

Solucion. Observa que la funcion es el producto de la funcion ex con una funcionracional. Por ello, el dominio de definicion sera el que tenga la parte racional.En particular, en este caso la funcion esta definida para todos los valores realesexcepto x = 1/2, por lo que tendremos en cuenta los dos intervalos en los quedicho valor divide el conjunto de los reales.

Resolviendo la ecuacion

1

5ex x− 5

2x− 1= 0,

obtenemos que el unico punto de corte con el eje X es (5, 0). Dando a xel valor 0 en la expresion que define la funcion, obtenemos que (0, 1) es el unicopunto de corte de la grafica con el eje Y .

La funcion tiene un asıntota vertical en x = 1/2. Tomando lımites cuandox→ 1/2, es sencillo comprobar que la grafica de la funcion se acerca a la asıntotapor la izquierda subiendo, mientras que por la derecha se acerca bajando.

Considerando la derivada de la funcion

f ′(x) =1

5ex (x− 2)(2x − 7)

(2x− 1)2,

trataremos de averiguar los intervalos de crecimiento de la funcion, ası como susextremos. En este sentido, por la expresion de la derivada, vemos que esta noesta definida para el valor x = 1/2, por lo que trabajaremos la monotonıa aambos lados de dicho valor, donde la funcion es derivable. En concreto, resolviendola ecuacion f ′(x) = 0 obtenemos como soluciones x = 2 y x = 7/2, por lo que setiene:

x < 1/2 1/2 < x < 2 2 < x < 7/2 7/2 < xf ′(x) + + - +f(x) creciente creciente decreciente creciente

De ello se infiere que el punto crıtico correspondiente a x = 2 es un maximorelativo mientras que el correspondiente a x = 7/2 es un mınimo relativo, que noson absolutos, a tenor de lo dicho para el acercamiento a la asıntota vertical.

Para estudiar la curvatura de la funcion, consideramos

f ′′(x) =1

5ex 4x3 − 24x2 + 57x− 59

(2x− 1)3.

105


De nuevo, por su expresion, vemos que la derivada segunda no esta definidapara el valor x = 1/2, por lo que trabajaremos la curvatura en ambos ladosde dicho valor. En concreto, resolviendo la ecuacion f ′′(x) = 0 obtenemos comosolucion x ≃ 2,8 por lo que se tiene:

x < 1/2 1/2 < x < 2,8 2,8 < xf ′′(x) + - +f(x) convexa concava convexa

De ello se infiere que para el valor x ≃ 2,8, la grafica de la funcion presentaun punto de inflexion, ya que la curvatura cambia de concava a convexa.


Figura 7.10: Grafica de la funcion f(x) =1

5ex x− 5

2x− 1.

7.87 Representa graficamente la funcion f(x) =x3

x2 − 1.

Solucion. Como se trata de una funcion racional (simplificada) su dominio estaformado por todos los reales, salvo aquellos en los que se anule el denominador.

106


Por tanto, en este caso, el dominio de la funcion es R− {−1, 1}, y en el la funciones continua.

Para obtener los puntos de corte con los ejes, resolvemos la ecuacion

x3

x2 − 1= 0.

En este caso, la unica solucion real es x = 0, por lo que el unico punto decorte de la grafica con el eje X es el (0, 0). Este es tambien el unico punto de cortecon el eje Y .

Observa que la funcion es una funcion impar, pues −f(x) = f(−x), por loque su grafica sera simetrica con respecto al origen de coordenadas.

La funcion tiene asıntotas verticales en x = −1 y x = 1. Tomando lımitescuando x → −1, es sencillo comprobar que la grafica de la funcion se acerca ala asıntota por la izquierda decreciendo, mientras que por la derecha se acercacreciendo. Del mismo modo, cuando x → 1, la grafica de la funcion se acerca ala asıntota por la izquierda decreciendo, mientras que por la derecha se acercacreciendo. Por otro lado, como el grado del numerador es mayor que el del deno-minador en exactamente una unidad, estudiamos la posibilidad de que exista unaasıntota oblicua. Para ello se calculan los lımites

m = lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

x3

x(x2 − 1)= 1

y a la vista de que m = 1 se obtiene el valor de n

n = lımx→∞

f(x)− x = lımx→∞

x3

x2 − 1− x = 0

Por tanto, la recta y = x es una asıntota oblicua de la funcion. Como la diferencia

x3

x2 − 1− x =

x

x2 − 1

es negativa para valores negativos menores que -1, la funcion permanece pordebajo de la asıntota para ellos. Como dicha diferencia es positiva para valorespositivos mayores que 1, la funcion permanece por encima de ella de la asıntotapara ellos.

Considerando la derivada de la funcion

f ′(x) =x2(x2 − 3)

(x2 − 1)2

trataremos de averiguar los intervalos de crecimiento de la funcion, ası como susextremos. En este sentido, por la expresion de la derivada, vemos que esta noesta definida para los valores x = −1, 1, por lo que trabajaremos la monotonıa

107


a ambos lados de dichos valores, donde la funcion es derivable. En concreto, re-solviendo la ecuacion f ′(x) = 0 obtenemos como soluciones x = 0, x = −

√3 y

x =√

3, por lo que se tiene:

x < −√

3 −√

3 < x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 1 < x <√

3√

3 < xf ′(x) + - - - - +f(x) creciente decreciente decreciente decreciente decreciente creciente

De ello se infiere que el punto crıtico correspondiente a x = −√

3 es un maximorelativo mientras que el correspondiente a x =

√3 es un mınimo relativo, que no

son absolutos, a tenor de lo dicho para el acercamiento a la asıntota vertical.

Para estudiar la curvatura de la funcion, consideramos

f ′′(x) =2x(x2 + 3)

(x2 − 1)3.

De nuevo, por su expresion, vemos que la derivada segunda no esta definidapara los valores x = −1, 1, por lo que trabajaremos la curvatura en ambos ladosde dichos valores. En concreto, resolviendo la ecuacion f ′′(x) = 0 obtenemos comounica solucion real x = 0, por lo que se tiene:

x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 x < 1f ′′(x) - + - +f(x) concava convexa concava convexa

De ello se infiere que para el valor x = 0, la grafica de la funcion presenta un puntode inflexion, ya que la curvatura cambia de concava a convexa.


108


Figura 7.11: Grafica de la funcion f(x) =x3

x2 − 1.

109


Capıtulo 8

Calculo de primitivas

8.1. Introduccion y conceptos basicos

La integracion representa la operacion inversa de la derivacion. Es una de lasherramientas mas versatiles de las matematicas. Entre sus aplicaciones tenemosel calculo de areas planas, volumenes de solidos, longitudes de curva, areas desuperficies, etc. Tambien se utilizan para calcular centros de masa, momentos deinercia o para representar magnitudes fısicas como el trabajo, la energıa potencialen un campo de fuerzas, etc.

Se define la primitiva F (x) de f(x), como una funcion F (x), tal que F ′(x) =f(x).

Ejemplo. Sea la funcion f(x) = x2. Nos preguntamos que funcion primitivaF (x) satisface que su derivada F ′(x) = f(x) = x2. En este caso una primitiva es

F (x) = x3

3 , puesto que F ′(x) = ddx

(x3

3

)

= x2.

Ahora bien, F (x) = x3

3 no es la unica posibilidad. De hecho, si a F (x) leanadimos una constante C, su derivada no cambia, ya que la derivada de unaconstante es cero. Por tanto, la funcion primitiva F (x) mas general que podemoscalcular para la funcion f(x) = x2 es

F (x) =x3

3+ C.

Llamaremos integral indefinida de la funcion f al conjunto de todas susprimitivas y lo denotamos por

∫

f(x)dx = F (x) + C,

siendo C una constante arbitraria y F una primitiva cualquiera de f .

110


Finalmente se introduce el concepto de integrales inmediatas, que son aque-llas que reconocemos como derivada de alguna funcion. El concepto de integralinmediata es relativo y depende de la experiencia que se tenga calculando inte-grales. Con la practica se pueden distinguir muchas integrales inmediatas de otrasque no lo son y que requieren manipulaciones complicadas.

Una integral indefinida es inmediata cuando es de la forma∫

fα(x)f ′(x)dx α ∈ R

Tenemos los siguientes casos:

α = {−1, 0}⇒∫

fα(x)f ′(x)dx =fα+1(x)

α + 1+ C; C ∈ R.

α = 0⇒∫

f ′(x)dx = f(x) + C; C ∈ R.

α = −1⇒∫

f ′(x)

f(x)dx = log |f(x)| + C; C ∈ R.

Al interpretar la integracion como una operacion inversa de la derivacion se puedenobtener diversas funciones que admiten integrales inmediatas, tal y como se indicaen la tabla de integrales inmediatas.

Ejemplos:

∫

sen x dx = − cos x + C

∫

(3x5 − 2x2 + 6) dx =

∫

3x5 dx−∫

2x2dx+

∫

6 dx = 3

∫

x5dx−2

∫

x2dx+

6

∫

dx = 3x6

6− 2

x3

3+ 6x + C.

∫

sen2 x · cos x dx =sen3 x

3+ C.

∫

cos2 x · sen x dx = −∫

cos2 x · (− sen x) dx = −cos3 x

3+ C.

∫2x

x2dx = log

∣∣x2∣∣+ C

Tambien resulta de gran utilidad las formulas de trigonometrıa para la obten-cion de funciones que admiten integrales inmediatas, que se vieron en el capıtulocorrespondiente de trigonometrıa.

111


8.2. Tabla de integrales inmediatas

Funciones simples Funciones compuestas∫

dx = x + C∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C n = {−1, 0}

∫

fn · f ′ dx =fn+1

n + 1+ C n = {−1, 0}

∫1

xdx = log |x| + C

∫f ′

fdx = log |f | + C

∫

ax dx =ax

log(a)+ C

∫

af · f ′ dx =af

log(a)+ C

∫

cos x dx = sen x + C

∫

cos f · f ′ dx = sen f + C∫

sen x dx = − cos x + C

∫

sen f · f ′ dx = − cos f + C∫

1

cos2 xdx = tg x + C

∫f ′

cos2 fdx = tg f + C

∫

(1 + tg2 x) dx = tg x + C

∫

(1 + tg2 f) · f ′ dx = tg f + C∫

1

sen2 xdx = − cotg x + C

∫f ′

sen2 fdx = − cotg f + C

∫

(1 + cotg2 x) dx = − cotg x + C

∫

(1 + cotg2 f) · f ′ dx = − cotg f + C∫

1√1− x2

dx = arc sen x + C

∫f ′

√

1− f 2dx = arc sen f + C

∫−1√1− x2

dx = arc cos x + C

∫−f ′

√

1− f 2dx = arc cos f + C

∫1

1 + x2dx = arc tg x + C

∫f ′

1 + f 2dx = arc tg f + C

112


8.3. Metodos de calculo de primitivas.

8.3.1. Integracion por partes

La integracion por partes resulta muy util para tratar muchos tipos de inte-grales. Dadas dos funciones f y g que admiten derivadas se verifica

∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−∫

f ′(x)g(x) dx

Si queremos tener una traduccion mas simple de la formula de integracion porpartes, basta con llamar u = f(x) y v = g(x).

De esta manera, du = f ′(x) dx y dv = g′(x) dx, quedando la expresion anteriorası:

∫

udv = uv −∫

vdu

Ejemplo: Apliquemos integracion por partes para hallar la integral indefinida∫

x cos x dx. Para ello debemos identificar adecuadamente las dos funciones f y

g.Si elegimos u = x y dv = cos x dx, entonces du = dx y v =

∫

dv =∫

cos x dx =sen x + C. Al aplicar la formula de integracion por partes obtenemos

∫

x cos x dx = x sen x−∫

sen x dx = x sen x + cos x + C.

8.3.2. Cambio de variable

Muchas integrales de apariencia complicada se pueden reducir a integrales in-mediatas mediante uno o varios cambios de variable. Sea h(x) una funcion conderivada h′(x). Entonces, definiendo el cambio de variable t = h(x) se tiene que

∫

f(h(x)) h′(x) dx =

∫

f(t) dt.

Ejemplo: Apliquemos cambio de variable para hallar la integral indefinida∫

x2 sen x3 dx

Mediante el cambio de variable t = h(x) = x3, con dt = h′(x) dx = 3x2dx ⇒

dx =dt

3x2, la integral

∫

x2 sen x3 dx =

∫

x2 sen tdt

3x2=

1

3

∫

sen t dt =1

3(− cos t).

Deshaciendo el cambio

∫

x2 sen x3 dx = −1

3cos x3 + C.

113


Ejemplo: Mediante el cambio de variable t = x4, con dt = 4x3 dx, la integral

∫x3

2 + x4dx

se convierte en∫

14

dt2+t . Realizando otro cambio de variable z = 2 + t, con dz = dt,

esta integral se reduce a∫

14

dzz = 1

4 log |z|+C. Deshaciendo los cambios, z = 2+t =

2 + x4, concluimos que∫

x3

2+x4 dx = 14 log |2 + x4| + C.

8.4. Integral Definida

Una integral definida es una integral donde se consideran lımites de integra-cion, un lımite inferior a y un lımite superior b, y se denota por

∫ ba f(x) dx.

Los valores de a y b definen el intervalo so-bre el cual se integra la funcion. La integraldefinida posee una importante interpreta-cion geometrica; representa el area bajo lacurva de f(x) entre los ejes de abscisasx = a y x = b y el eje x. La figura adjuntamuestra que la region sombreada tiene una

area que viene dada por

∫ b

a

f(x) dx.

Sean f y g funciones continuas en[a, b] y f(x) ≥ g(x) en todo [a, b], en-tonces el area de la region limitadapor las curvas f(x) y g(x) y las rec-tas verticales x = a y x = b viene

dada por

∫ b

a

(f(x)− g(x))dx.

Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, c] yf(x) ≤ 0 para todo x ∈ [c, b] entoncesel area limitada por la funcion f(x),las rectas verticales x = a y x = b y

el eje x esta dada por

∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

(−f(x))dx.

Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitivade f(x) para todo x ∈ [a, b], se cumple la llamada regla de Barrow

114


∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

La Regla de Barrow nos permite evaluar integrales definidas siempre que conoz-camos la funcion primitiva F (x) de f(x) en el intervalo de integracion [a, b].

Ejemplo: Consideremos la integral definida∫ π

0

sen x dx.

Como f(x) = sen x y conocemos una primitiva de f dada por F (x) = − cos x,entonces aplicando la Regla de Barrow encontramos que

∫ π

0

sen x dx = [− cos x]π0 = − cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2.

Ejemplo: Consideremos la integral definida

∫ 1

0

exx dx

Como f(x) = ex y conocemos una primitiva de f dada por F (x) = ex, entoncesaplicando la Regla de Barrow encontramos que

∫ 1

0

ex dx = [ex]10 = e1 − e0 = e− 1.

115



8.88 Calcula las siguientes integrales indefinidas del tipo

∫

fα(x)f ′(x) dx, α = {−1, 0}

1.

∫

x2 dx

2.

∫(log x)5

xdx

3.

∫cos x

sen2 xdx

4.

∫ √sen x cos x dx

5.

∫5x2

7√

4x3 + 3dx

6.

∫e2x

3√

e2x + 5dx

Solucion. Usando las propiedades de integracion y la tabla de integrales inmedia-tas que aparece en la introduccion teorica, y siendo cuidadosos a la hora de operar,se tiene que la resolucion es inmediata:

1.

∫

x2 dx =x3

3+ C.

2.

∫(log x)5

xdx =

(log x)6

6+ C.

3.

∫cos x

sen2 xdx =

∫

cos x sen−2 x dx =sen−1 x

−1=−1

sen x+ C.

4.

∫ √sen x cos x dx =

∫

sen1/2 x cos x dx =sen3/2 x

3/2=

2√

sen3 x

3=

=2 sen x

√sen x

3+ C.

5.

∫5x2

7√

4x3 + 3dx =

∫

5x2(4x3 + 3)−1/7 dx = 51

12

∫

12x2(4x3 + 3)−1/7 dx =

=5

12

(4x3 + 3)6/7

6/7=

35 7√

(4x3 + 3)6

72+ C.

6.

∫e2x

3√

e2x + 5dx =

∫

e2x(e2x + 5)−1/3 dx =1

2

∫

2e2x(e2x + 5)−1/3 dx =

=1

2

(e2x + 5)2/3

2/3=

3 3√

(e2x + 5)2

4+ C.

Debe de quedar claro para el lector que en las dos ultimas integrales se hanhecho uso de las propiedades de las potencias con exponente negativo.

116



∫

f ′(x) dx

1.

∫

3 sen(2x) dx

2.

∫

e3x+4 dx

3.

∫x√

1− x4dx

Solucion. Usando las propiedades de integracion y la tabla de integrales inmedia-tas que aparece en la introduccion teorica, se tiene que la resolucion pedida es lasiguiente:

1.

∫

3 sen(2x) dx = −3

2

∫

−2 sen(2x) dx = −3

2cos(2x) + C.

2.

∫

e3x+4 dx =1

3

∫

3e3x+4 dx =e3x+4

3+ C.

3.

∫x√

1− x4dx =

1

2

∫2x

√

1− (x2)2dx =

1

2arc sen x2 + C.


∫f ′(x)

f(x)dx

1.

∫dx

2x + 3

2.

∫6x2

4 + x3dx

3.

∫sen x− cos x

sen x + cos xdx

4.

∫e2x

1 + e2xdx

Solucion. Usando la tabla de integrales inmediatas vista en la introduccion teorica,y las propiedades de las integrales, se tiene:

1.

∫dx

2x + 3=

1

2

∫2

2x + 3dx =

1

2log |2x + 3| + C.

2.

∫6x2

4 + x3dx = 2

∫3x2

4 + x3dx = 2 log

∣∣4 + x3

∣∣+ C.

3.

∫sen x− cos x

sen x + cos xdx = −

∫− sen x + cos x

sen x + cos xdx = − log |sen x + cos x| + C.

4.

∫e2x

1 + e2xdx =

1

2

∫2e2x

1 + e2xdx =

1

2log∣∣1 + e2x

∣∣+ C.

117


8.91 Resuelve las siguientes integrales:

1.

∫

(2

x2+ 2x4 − cos(2x)) dx

2.

∫1√

x4 + 4x2 + 4dx

3.

∫

(cos(3x) + sen(2x)) dx

4.

∫

tg2 x dx

Solucion. Usando la tabla de integrales inmediatas, se tiene:

1.

∫

(2

x2+ 2x4 − cos(2x)) dx =

∫2

x2dx + 2

∫

x4 dx−∫

cos(2x) dx =

= 2

∫

x−2 dx + 2x5

5−

1

2

∫

2 cos(2x) dx = 2x−1

−1+ 2

x5

5−

1

2sen(2x) =

=−2

x+

2x5

5−

sen(2x)

2+ C.

2.

∫1√

x4 + 4x2 + 4dx =

∫dx

√

(x2 + 2)2=

∫dx

x2 + 2=

∫1/2

x2

2 + 1dx =

=1

2

∫dx

1 + ( x√2)2

=1

2

√2

∫ 1√2

1 + ( x√2)2

dx =

√2

2arc tg

x√2

+ C.

3.

∫

(cos(3x)+sen(2x)) dx =

∫

cos(3x) dx+

∫

sen(2x) dx =1

3

∫

3 cos(3x) dx+

+1

2

∫

2 sen(2x) dx =sen(3x)

3−

cos(2x)

2+ C.

4.

∫

tg2 x dx =

∫

(1 + tg2 x− 1) dx =

∫

(1 + tg2 x) dx−∫

dx = tg x− x + C.

8.92 Calcula las siguientes integrales aplicando integracion por partes:

1.

∫

x2 cos x dx

2.

∫x

cos2 xdx

3.

∫

log x dx

4.

∫

sen2 x dx

Solucion. Aplicando la formula de integracion por partes se tiene:

118


1.

∫

x2 cos x dx =

∣∣∣∣∣∣

u = x2 du = 2xdx

dv = cos xdx v =

∫

dv =

∫

cos x dx = senx

∣∣∣∣∣∣

=

= x2 sen x− 2

∫

x sen x dx =

∣∣∣∣

u = x du = dxdv = sen xdx v = − cos x

∣∣∣∣=

= x2 sen x− 2[−x cos x +

∫

cos x dx] = x2 sen x− 2[−x cos x + sen x] =

= x2 sen x + 2x cos x− 2 sen x + C.

2.

∫x

cos2 xdx =

∣∣∣∣

u = x du = dxdv = 1

cos2 xdx v = tg x

∣∣∣∣= x tg x−

∫

tg x dx =

= x tg x−∫

sen x

cos xdx = x tg x +

∫− sen x

cos xdx = x tg x + log |cos x| + C.

3.

∫

log x dx =

∣∣∣∣

u = log x du = dxx

dv = dx v = x

∣∣∣∣= x log x−

∫

dx = x log x− x =

= x(log x− 1) + C.

4.

∫

sen2 x dx =

∫

sen x sen x dx =

∣∣∣∣

u = senx du = cos x dxdv = sen x dx v = − cos x

∣∣∣∣= − senx cos x+

∫

cos x cos x dx = − sen x cos x+

∫

cos2 x dx = − sen x cos x+

∫

(1−sen2 x) dx =

= − sen x cos x +

∫

dx−∫

sen2 x dx = − sen x cos x + x−∫

sen2 x dx

Si denotamos por I =

∫

sen2 x dx tenemos que I = − sen x cos x + x− I

Despejamos I:

2I = − senx cos x + x; I =1

2x−

1

2sen x cos x + C.

Otra forma de resolver la integral es sustituir sen2 x =1− cos(2x)

2.

8.93 Utilizando cambios de variable adecuados, calcula las siguientes integrales:

1.

∫

e3x+4 dx

2.

∫

3x2ex3+2 dx

3.

∫

x sen x2 dx

4.

∫

sen(2x) dx

119


Solucion. Realizando el cambio de variable adecuado a cada integral, se tiene losiguiente:

1. Hacemos el cambio de variable 3x + 4 = t⇒ 3dx = dt⇒ dx =dt

3∫

e3x+4 dx =

∫

et dt

3=

1

3et =

1

3e3x+4 + C.

2. Hacemos el cambio de variable x3 + 2 = t⇒ 3x2dx = dt⇒ dx =dt

3x2

∫

3x2ex3+2 dx =

∫

3x2et dt

3x2=

∫

et dt = et = ex3+2 + C.

3. Hacemos el cambio de variable x2 = t⇒ 2xdx = dt⇒ dx = dt2x

∫

x sen x2 dx =

∫

x sen tdt

2x=

1

2

∫

sen t dt =− cos t

2=− cos x2

2+ C.

4. Hacemos el cambio de variable 2x = t⇒ 2dx = dt⇒ dx =dt

2∫

sen(2x) dx =

∫

sen tdt

2=

1

2(− cos t) = −

1

2cos(2x) + C.

8.94 Calcula las siguientes integrales definidas:

1.

∫ 1

0sen2(πx) dx

2.

∫ 3

1x√

4 + 5x2 dx

3.

∫ 1

0arc tg x dx


1.∫ 1

0sen2(πx) dx =

∫ 1

0

1− cos(2πx)

2dx =

1

2

[∫ 1

0dx−

∫ 1

0cos(2πx) dx

]

=1

2

[

[x]10 −1

2π

∫ 1

02π cos(2πx) dx

]

=1

2[x]10 −

1

4π[sen(2πx)]10

=1

2(1− 0)−

1

4π(sen(2π)− sen 0) =

1

2.

120


2.

∫ 3

1x√

4 + 5x2dx =

∫ 3

1x(4 + 5x2)1/2 dx =

1

10

∫ 3

110x(4 + 5x2)1/2 dx

=1

10

[

(4 + 5x2)3/2

3/2

]3

1

=1

10

[

2√

(4 + 5x2)3

3

]3

1

=1

10

[

2(4 + 5x2)√

4 + 5x2

3

]3

1

=1

10

[686

3−

54

3

]

=316

15.

3.

∫ 1

0arc tg x dx =

∣∣∣∣

u = arc tg x du = dx1+x2

dv = dx v = x

∣∣∣∣= [x arc tg x]10 −

∫ 1

0

x

1 + x2dx

= [x arc tg x]10 −1

2

∫ 1

0

2x

1 + x2dx = [x arc tg x]10 −

1

2

[

log∣∣1 + x2

∣∣]1

0

=π

4− 0−

1

2[log 2− 0] =

π

4−

log 2

2.

8.95 Determinar el area encerrada entre las curvas f(x) = 3x2−6x y g(x) = −x2+6x−8.

Solucion. Representamos las curvas y calculamos sus puntos de corte:

y = 3x2 − 6xy = −x2 + 6x− 8

}

3x2− 6x = −x2 + 6x− 8; 4x2 − 12x + 8 = 0⇒

{

x = 1

x = 2

Area =

∫ 2

1

[(

−x2 + 6x− 8)

−(

3x2 − 6x)]

dx =

∫ 2

1(−4x2 + 12x− 8) dx

=

[

−4x3

3+ 6x2 − 8x

]2

1

==

(

−32

3+ 24− 16

)

−(

−4

3+ 6− 8

)

=2

3u2.

8.96 Determinar el area encerrada entre las curvas y = ex+2, y = e−x y x = 0.

Solucion. Representamos las curvas y calculamos su punto de corte

y = ex+2

y = e−x

}

ex+2 = e−x; x + 2 = −x⇒ x = −1

121


Entonces el area buscada es

Area =

∫ 0

−1(ex+2 − e−x) dx =

[

ex+2 + e−x]0

−1= (e2 + 1)− (e + e)

= e2 − 2e + 1 u2.

8.97 Resuelve las siguientes integrales:

1.

∫e2x

1 + e2xdx.

2.∫

x sen(x2 + 1) dx.

3.∫

tg x dx.

4.

∫1

x2 + 9dx.

5.

∫dx

(1 + x2) arc tg x.

6.

∫sen x + cos x√sen x− cos x

dx.

7.∫

sen2 x dx.

8.∫

82x+1 dx.

9.∫

(3x + 5√

x) dx.

10.

∫x3

x8 + 1dx.

11.

∫4x3 + x

x4 + 4dx.

Solucion. Las soluciones pedidas son las siguientes:

1.

∫e2x

1 + e2xdx =

1

2

∫2e2x

1 + e2xdx =

1

2log∣∣1 + e2x

∣∣+ C.

2.

∫

x sen(x2 + 1) dx = −1

2

∫

−2x sen(x2 + 1) dx = −1

2cos(x2 + 1) + C.

3.

∫

tg x dx =

∫sen x

cos xdx = −

∫− sen x

cos xdx = − log |cos x| + C.

4.

∫1

x2 + 9dx =

∫1/9

(x3 )2 + 1

dx =1

3

∫1/3

(x3 )2 + 1

dx =1

3arc tg

x

3+ C.

5.

∫dx

(1 + x2) arc tg x=

∫ 1(1+x2)

arc tg xdx = log |arc tg x| + C.

6.

∫sen x + cos x√sen x− cos x

dx =

∫

(sen x− cos x)−12 (cos x + sen x) dx

=(sen x− cos x)−

12+1

−12 + 1

= 2√

sen x− cos x + C.

122


7.

∫

sen2 x dx =

∫1− cos(2x)

2dx =

1

2

[∫

dx−∫

cos(2x) dx

]

= 12

[

x− 12

∫

2 cos(2x) dx]

=1

2

[

x−1

2sen(2x)

]

=1

2x−

1

4sen(2x) + C.

8.

∫

82x+1 dx =1

2

∫

2 · 82x+1 dx =82x+1

2 log 8+ C.

9.

∫

(3x + 5√

x) dx =

∫

3x dx +

∫

x1/5 dx =3x

log 3+

x6/5

6/5=

3x

log 3+

5 5√

x6

6

=3x

log 3+

5x 5√

x

6+ C.

10.

∫x3

x8 + 1dx =

∫x3

(x4)2 + 1dx =

1

4

∫4x3

1 + (x4)2dx =

1

4arc tg x4 + C.

11.

∫4x3 + x

x4 + 4dx =

∫4x3

x4 + 4dx +

∫x

x4 + 4dx = log

∣∣x4 + 4

∣∣+

∫ 14x

x4

4 + 1dx

= log∣∣x4 + 4

∣∣+

1

4

∫x

(x2

2 )2 + 1dx = log

∣∣x4 + 4

∣∣+

1

4arc tg(

x2

2) + C.

8.98 Resolver:

1.

∫

arc sen x dx

2.

∫

xex dx

3.

∫

ex cos x dx

Solucion. La resolucion de estas integrales es la siguiente:

1.

∫

arc sen x dx =

∣∣∣∣∣

u = arc sen x du = dx√1−x2

dv = dx v = x

∣∣∣∣∣= x arc sen x−

∫x√

1− x2dx =

x arc sen x +√

1− x2 + C.

2.

∫

xex dx =

∣∣∣∣

u = x du = dxdv = exdx v = ex

∣∣∣∣= xex −

∫

ex dx = xex − ex =

= ex(x− 1) + C.

123


3.

∫

ex cos x dx =

∣∣∣∣

u = ex du = exdxdv = cos xdx v = sen x

∣∣∣∣= ex sen x−

∫

ex sen x dx =

=

∣∣∣∣

u = ex du = exdxdv = sen xdx v = − cos x

∣∣∣∣= ex sen x− (−ex cos x +

∫

ex cos x dx)

Si denotamos por I =

∫

ex cos x dx tenemos que: I = ex sen x + ex cos x− I.

Despejamos I:

I = 12ex(sen x + cos x) + C.

8.99 Resolver:

1.

∫arc sen x√

1− x2dx

2.

∫sen x

cos4 xdx

3.

∫dx

x log2 x

Solucion. Las soluciones pedidas son las siguientes:

1. Hacemos el cambio de variable arc sen x = t ⇒dx√

1− x2= dt ⇒ dx =

√

1− x2dt

∫arc sen x√

1− x2dx =

∫

t dt =t2

2=

(arc sen x)2

2+ C.

2. Hacemos el cambio de variable cos x = t⇒ − sen xdx = dt⇒ dx = −dt

sen x∫

sen x

cos4 xdx = −

∫1

t4dt = −

t−3

−3=

1

3 cos3 x+ C.

3. Hacemos el cambio de variable log x = t⇒1

xdx = dt⇒ dx = xdt

∫dx

x log2 x=

∫1

xt2x dx =

∫dt

t2=

∫

t−2 dt =t−1

−1=−1

log x+ C.

8.100 Calcular el area encerrada entre las curvas y = sen 2x e y = sen x en el intervalo[0, π

2 ].

124


Solucion. Area =

∫ π3

0(sen 2x−sen x) dx+

∫ π2

π3

(sen x−sen 2x) dx

= [−cos 2x

2+ cos x]

π3

0 + [− cos x +cos 2x

2]

π2π3

= [−cos 2π

3

2+ cos

π

3+

cos 0

2− cos 0] +

+ [− cosπ

2+

cos π

2+ cos

π

3−

cos 2π3

2] =

1

2u2.

8.101 Encuentra el area de la region del plano encerrada por las curvas y = −x2+4x−4e y = 2x− 7.

Solucion. Calculamos los puntos de corte resolviendo el sistema de las dos ecua-ciones

y = −x2 + 4x− 4y = 2x− 7

}

−x2+4x−4 = 2x−7; x2−2x−3 = 0⇒

{

x = −1

x = 3

Area =

∫ 3

−1

[

(−x2 + 4x− 4)− (2x− 7)]

dx =

∫ 3

−1(−x2 + 2x + 3) dx

=[

−x3

3 + x2 + 3x]3

−1= (−9 + 9 + 9)− (

1

3+ 1− 3) =

32

3u2.

125


Capıtulo 9

Introduccion al calculo vectorial

En este capıtulo trataremos sobre el Calculo vectorial y sus diferentes aplica-ciones. Para ello, vamos a introducir los conceptos basicos de los vectores en elplano y en el espacio, ası como las diferentes aplicaciones que tienen.

9.1. Definiciones: Vectores y sus propiedades.

A continuacion, introduciremos una serie de definiciones y propiedades de losvectores, que utilizaremos a menudo en este capıtulo.

Vector Fijo

Un vector fijo−→AB del espacio es un segmento orientado que tiene su origen

en el punto A y su extremo en el punto B. Se caracteriza por su modulo,(distancia entre los puntos A y B), su direccion, (la de la recta que contiene

al vector−→AB o cualquiera de sus paralelas), y su sentido, (el que queda

determinado al ir del punto A al punto B)

Vector Libre.

Definimos vector libre−→AB al conjunto formado por todos los vectores del

espacio con igual modulo, direccion y sentido que el vector−→AB. Cualquier

elemento de dicho conjunto representa al vector libre, que tambien podemosrepresentar por letras minusculas, por ejemplo, u.

Puntos en el plano y en el espacio. Coordenadas de un punto.

Un sistema de coordenadas es un sistema de representacion de puntos, enel plano o en el espacio, que asocia a cada punto del plano o del espacio unconjunto de numeros de manera univoca de forma que para el plano, un puntoP , queda definido por dos numeros denominados coordenadas del punto P yson (x, y) y en el espacio el punto quedaria definido por (x, y, z).

En la figura (9.1) se puede ver que al punto P se le asocian las coordenadas(3, 5). El sistema de coordenadas divide el plano en cuatro regiones, segun

126


el signo de las coordenadas de cada punto. En la representacion en forma decoordenadas de un punto del plano o del espacio, se debe tener en cuentaque (x, y) no es lo mismo que (y, x).

En un sistema de coordenadas en el plano, se denomina eje de abcisas al ejehorizontal que usualmente se asocia a la letra x, mientas que al eje verti-cal se le asocia la letra y, denominandose eje de ordenadas. En un espaciotridimensional el punto P viene dado por tres numeros (x,y,z).

Sistemas de referencia

Un sistema de referencia requiere un centro del sistema o punto O, y unasdirecciones privilegiadas en el plano o en el espacio sobre las que medir. Parapoder medir necesitamos una unidad de medida bien definida. En principioesta unidad sera la misma en cada direccion privilegiada, aunque pudiera noserlo. Las direcciones privilegiadas definen unos ejes denominados ejes prin-cipales de las direcciones principales del sistema de coordenadas. Cada puntoposee asi, dos coordenadas en el espacio de dos dimensiones, el plano, y trescoordenadas en el espacio de tres dimensiones o espacio tridimensional. Unaforma de organizar las direcciones en el espacio es midiendo o dando el valordel angulo que forman entre si las direcciones principales. Cuando los angulosentre dos direcciones cualesquiera medidos a partir del origen de coordenadasson angulos rectos o sea de 90o se dice que el sistema es ortogonal. Cuando elsistema ademas de ser ortogonal tiene unidades identicas en todas las direc-ciones principales, entonces se denomina ortonormal, utilizando esta unidadidentica en todas las direcciones como valor unidad de medida

Vector unitario.

Es aquel que tiene por modulo la unidad. En un sistema de coordenadasortonormal podemos colocar tres vectores unitarios, cada uno de ellos enuna de las direcciones principales del sistema de coordenadas ortonormal.

127


Estos vectores estaran ligados al origen de coordenadas marcando las tresdirecciones fundamentales del sistema.

En la figura (9.1) podemos ver un sistema de coordenadas ortonormal y en elsituados los tres vectores unitarios que denominamos i, j, k , siguiendo unanotacion muy usual en la Fısica. Tambien podemos observar en la figura aun vector ligado a los puntos M y N , vector

−→A =

−−→MN .

Componentes de un Vector.

Bajo el supuesto de que trabajamos en un espacio vectorial con una ba-se ortonormal construida sobre un sistema de coordenadas ortonormal (ocompatible con el) podemos describir los vectores unitarios de la base. Conesta notacion, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma: {i, j,k}, pudiendo expresar las componentes de los tres vectores unitarios comoi = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

Todo punto del espacio, por ejemplo el M de la Figura 3, puede tener asociadoun vector que esta ligado al origen de coordenadas y al punto M . Ası el puntoM , tendrıa asociado al vector ligado

−−→OM . El vector

−−→OM tendrıa asociadas

tres componentes una segun cada una de las direcciones privilegiadas:−−→OM

= OMx i + OMy j + OMzk

Por ejemplo, si−−→OM = 5i + 4j + 6k entonces 5, 4 y 6 serıan las componentes

del Vector−−→OM en un espacio vectorial con una base ortonormal, que se ha

construido sobre un sistema de coordenadas ortonormal con la ayuda de tresvectores unitarios ortogonales entre si.

Definicion de coordenadas de un punto y componentes del vectorligado al punto desde el origen de coordenadas.

128


Sea el punto M que tiene las siguientes coordenadas: (5, 4, 6) y sea el vector−−→OM que tiene las siguientes componentes: (5, 4, 6). Los numeros que usamosson los mismos pero realmente los conceptos son muy diferentes. Coincidenpor la identificacion de sistema de coordenadas ortonormal y base ortonormalpara el espacio de vectores. En la figura (9.1) siguiente podemos ver el puntoA, y el vector a que asocia el punto O, origen del sistema con el punto A.Podemos ver que las coordenadas del punto A son (ax, ay, az) mientras que

a = (axi + ay j + azk) tiene componentes (ax, ay, az).

Componentes de un vector definido por dos puntos.

Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), las componentes del vectoraparentemente se calculan restando las coordenadas del punto origen a lasdel punto extremo.cuando realmente se restan las componentes del vectorasociado al punto inicial de las componentes del vector asociado al puntosfinal. Es decir,

−→AB =

−−→OB −

−→OA = (x2 − x1)i + (y2 − y1) j + (z2 − z1)k

siendo claramente una operacion vectorial. Conviene destacar que por sim-plicidad se suele expresar como

−→AB =

−−→OB −

−→OA = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

siendo otra vez esta una forma de simplificar la expresion, siempre que noconfundamos la operacion vectorial (componentes) con el calculo con nume-ros reales, coordenadas.

Es este tambien el momento de indicar que hay tres notaciones diferentespara indicar los vectores de una base de referencia ortonormal, que segundiferentes libros, lıneas, escuelas y autores se usan para los mismos vectoresde una base canonica, haciendo uso de la notacion abreviada:

129


Figura 4

ex = (1, 0, 0) = i,

ey = (0, 1, 0) = j,

ez = (0, 0, 1) = k.

Modulo de un vector.

El modulo del vector u = (u1, u2, u3) viene determinado por la expresion 1

|u| =√

(u1)2 + (u2)

2 + (u3)2

9.2. Operaciones entre vectores

En esta seccion, introduciremos las diferentes operaciones que se pueden reali-zar entre vectores.

Producto de un escalar por un vector.

Sea un escalar λ ∈ R y un vector a = axi + ay j + azk. Se define el productodel escalar λ por el vector a como el vector resultante p cuya expresion vienedada por

p = λ · a = λaxi + λay j + λazk = (λax, λay, λaz).

Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos A y B, cuyas componentes son A = (a1, a2, a3) y B =(b1, b2, b3). Se define la distancia entre dichos puntos como el modulo del

1Para indicar el modulo de un vector se usan indistintamente dos notaciones, una de ellas es |a| y laotra ∥a∥ siempre que se indique claramente la notacion vectorial no hay lugar a confusiones.

130


Figura 5

vector que tiene de extremos dichos puntos, es decir

d(A, B) =∣∣∣−→AB∣∣∣ =

√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2.

Se cumple que d(A, B) = d(B, A).

Suma y resta de vectores.

Para sumar dos vectores libres u y v, desde el punto de vista geometrico, seescogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de unocoincida con el origen del otro vector. Para restar dos vectores libres u y vse suma u con el opuesto de v.

Desde el punto de vista analıtico, dados dos vectores libres a y b en un espaciotridimensional tales que a = axi + ay j + azk, b = bxi + by j + bz k, definimossu suma o de su diferencia mediante la formula

a ± b = (ax ± bx)i + (ay ± by )j + (az ± bz)k

Metodo del Paralelogramo.

Para sumar dos vectores libres cualesquiera seleccionamos a dos represen-tantes de los mismos que enlazan el final del primero con el origen del se-gundo.Representamos los dos vectores de forma que los orıgenes de amboscoinciden en un punto. Posteriormente trazamos paralelas a cada uno de losvectores, pasando por el extremo del otro formando vectores paralelos deigual longitud, formando ası un paralelogramo como en la figura (9.2). Elvector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que partedel origen comun de ambos vectores.

Metodo del triangulo o metodo poligonal. Se coloca un vector a con-tinuacion de otro, siguiendo el orden de la suma: el origen del primer vectorsumando coincide con el extremo del siguiente. El vector suma tiene su ori-gen en el origen del primer sumando y su extremo en el extremo del segundosumando. Ver figura (9.2).

131


Figura 6

Producto escalar.

Sean dos vectores a y b y sea α el angulo que forman (0 < α < π) dichosvectores. Entonces, se define el producto escalar de dicho par de vectorescomo

a · b = |a||b| cos(α)

Equivalentemente a la definicion anterior, podemos definir el producto escalarde dos vectores a, b usando las componentes cartesianas de dichos vectores,a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) como

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Notese que el producto escalar de dos vectores da como resultado un numero.

Producto vectorial.

Se llama producto vectorial de un vector a por otro b y se designa por a× b,o a ∧ b a un vector v dirigido segun la normal al plano determinado por ay b. La direccion es la dada por la regla de la mano derecha. El modulo dedicho producto vectorial es

|v| = |−→a ×−→b | = |a||b| sin(α)

Definiendo los vectores a y b con la notacion:

a = a1i + a2j + a3k

b = b1i + b2j + b3k,

podemos describir el producto vectorial de los dos vectores a y b de la si-guiente forma (siempre que se conozca el significado de determinante de ordentres):

v =

∣∣∣∣∣∣

i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣

= (a2b3 − a3b2)i + (a3b1 − a1b3)j + (a1b2 − a2b1)k

132


Aplicaciones

Tanto el producto escalar como el producto vectorial de dos vectores tienenmultiples aplicaciones geometricas, las cuales resumimos a continuacion:

• Calculo del area de un paralelogramo

El area de un paralelogramo determinado por dos vectores viene dadapor el modulo del producto vectorial de dichos vectores.

• Calculo del angulo que forman dos vectores

El angulo que forman dos vectores se puede calcular mediante

cos(α) =a · b

|a| ·∣∣∣b∣∣∣

siendo a = 0 y b = 0, y α es el menor angulo (0 < α < π) que formanambos vectores.

Producto mixto de tres vectores.

En general, si a = (a1, a2a3) b = (b1, b2, b3) , y c = (c1, c2, c3) son tresvectores cualesquiera del espacio vectorial tridimensional, tendremos que suproducto mixto vendra dado por la expresion:

a · (b ∧ c) =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

El producto mixto de tres vectores, en valor absoluto, es el volumen delparalelepıpedo que determinan los tres vectores.

Descomposicion de un vector en el plano segun el sistema paralelo-perpendicular.

Dado un vector y una direccion de referencia dada por un vector unitario nse puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otracomponente perpendicular a la direccion de referencia:

a = a∥ + a⊥ = (n · a)n + (n ∧ a) ∧ n

133



9.102 Dados los vectores u de modulo 6 unidades y formando un angulo de +30◦ con eleje x y v de 7 unidades y en la direccion negativa del eje x. Hallar:

1. la suma de los dos vectores.

2. la diferencia de los dos vectores.

Solucion. En primer lugar, escribamos de modo adecuado los vectores a y b:

u = uxi + uy j = 6cos 30i + 6 sen 30j

v = −7i

1. La suma de ambos vectores sera entonces

u + v =

(

6√

3

2− 7

)

i + 3j

2. La diferencia de ambos vectores vendra dada por

u− v =

(

6√

3

2+ 7

)

i + 3j

9.103 Dados los vectores:

v1 = −ux + 3uy + 4uz, v2 = 3ux − 2uy − 8uz, v3 = 4ux + 4uy + 4uz ,

1. Hallar la suma de los tres vectores v1 + v2 + v3

2. Efectua v1 − v2 + 2v3

3. Efectua v1 + v2 × v3

Solucion. Podemos resolver cada uno de los apartados utilizando los resutadosvistos en la introduccion teorica:

1. Se tiene que

v1 + v2 + v3 = 6ux + 5uy + 0uz = 6ux + 5uy

2. En este casov1 − v2 + 2v3 = 4ux + 13uy + 20uz

134


3. Finalmente

v1 + v2 × v3 = −ux + 3uy + 4uz + (3ux − 2uy − 8uz)× (4ux + 4uy + 4uz)

= −ux + 3uy + 4uz + 24ux − 44uy + 20uz

= 23ux − 41uy + 24uz

9.104 Supon que las coordenadas de un punto P fuesen (6, 3, 2). ¿Cual serıa el valor dela distancia desde el origen de coordenadas al punto P?

Solucion.

d(O,P ) =∣∣∣−−→OP∣∣∣ =

√

62 + 32 + 22 =√

49 = 7 unidades

9.105 En un espacio de dimension dos, tenemos el vector−−→AB ligado a los puntos A y

B. Los vectores−→OA = 2i + 3j y

−−→OB = 5i + 5j tienen una relacion de construccion

con el vector−−→AB ¿Cual es esta? Calcula los modulos de los tres vectores.

Solucion. La relacion pedida es

−−→AB =

−−→OB −

−→OA = (2i + 3j)− (5i + 5j) = −3i− 2j

Como se puede comprobar,

−→OA +

−−→AB =

−−→OB ⇒

−−→AB =

−−→OB −

−→OA

Por tanto ∣∣∣−−→AB∣∣∣ =√

13,∣∣∣−−→OB

∣∣∣ =√

50, y∣∣∣−→OA∣∣∣ =√

13

9.106 El vector−−→AB tiene por componentes

−−→AB = 5i + j. Otro vector

−−→BC tiene por

componentes−−→BC = 3i+5j. Determina las componentes del vector

−→AC =

−−→AB+

−−→BC.

Calcula los modulos de los tres vectores. ¿El modulo de la suma es la suma de losmodulos? ¿Por que?. ¿En que casos el modulo de la suma coincide con la suma delos modulos?.

Solucion. Calculemos las componentes del vector−→AC:

−→AC =

−−→AB +

−−→BC = (5, 1) + (3, 5) = (8, 6)

135


Los modulos de los tres vectores vienen dados por:

∣∣∣−−→AB∣∣∣ =√

26,∣∣∣−−→BC

∣∣∣ =√

34, y∣∣∣−−→AB +

−−→BC

∣∣∣ =√

100 = 10.

En general el modulo de la suma no es igual a la suma de los modulos, porque la desigualdad triangular nos permite afirmar que la suma de los modulos esmayor que el modulo de la suma. Si los sumandos son vectores paralelos entoncesel modulo de la suma es igual a la suma de los modulos.

9.107 Efectue los siguientes productos escalares:

1. i · j.2. i · k.

3. i · i.

4. j · j.5. k · j.6. k · i.

Solucion. Los productos escalares pedidos son:

1. i · j = (1, 0, 0) · (0, 1, 0) = 0.

2. i · k = (1, 0, 0) · (0, 0, 1) = 0.

3. i · i = (1, 0, 0) · (1, 0, 0) = 1.

4. j · j = (0, 1, 0) · (0, 1, 0) = 1.

5. k · j = (0, 0, 1) · (0, 1, 0) = 0.

6. k · i = (0, 0, 1) · (1, 0, 0) = 0.

9.108 Efectue los siguientes productos vectoriales

1. i× j.

2. i× k.

3. i× i.

4. j × j.

5. k × j.

6. k × i.

Solucion. Los productos vectoriales pedidos son:

1. i× j = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1).

2. i× k = (1, 0, 0) × (0, 0, 1) = (0,−1, 0).

3. i× i = (1, 0, 0) × (1, 0, 0) = (0, 0, 0).

4. j × j = (0, 1, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 0).

5. k × j = (0, 0, 1) × (0, 1, 0) = (0, 1, 0).

6. k × i = (0, 0, 1) × (1, 0, 0) = (0,−1, 0).

136


9.109 Determina las componentes de cualquier vector perpendicular al vector (3, 4) apartir de que el angulo que deben formar tiene que ser de 90o.

Solucion. Sea a = (x, y) un vector perpendicular al (3, 4). Entonces

(x, y) · (3, 4) = 3x + 4y = 0

por ser dos vectores perpendiculares. El resultado es la ecuacion de una recta.Esto quiere decir que cualquier vector (x, y) que cumpla que

y =−3

4x

sera perpendicular a (3, 4). La solucion esta formada entonces por un conjuntode infinitos vectores, por ejemplo (4,−3), (−1, 3/4),... todos ellos al multiplicarlosescalarmente por (3, 4) dan cero.

9.110 Determina las componentes de cualquier vector paralelo al vector (3, 4) a partirde que el angulo que deben formar es de 0. vectores paralelos tienen que tener suscomponentes proporcionales.

Solucion. Sea (x, y) un vector paralelo al (3, 4) en cuyo caso el producto escalar

(x, y) · (3, 4) = 3x + 4y

debera ser igual a

(x, y) · (3, 4) = |(x, y)| · |(3, 4)| · cos(0) = 5√

x2 + y2

luego tenemos la siguiente ecuacion

3x + 4y = 5√

x2 + y2 ⇒ (3x + 4y)2 = 25(x2 + y2)

⇒ 9x2 + 16y2 + 24xy = 25x2 + 25y2

⇒ 16x2 + 9y2 − 24xy = 0⇒ (4x− 3y)2 = 0

de donde y = 4/3x. Entonces, las componentes del vector (x, y) paralelo a (3, 4)vienen dadas por todos los vectores de la forma

(x, y) = (x,4

3x).

Esto tambien se puede obtener de la condicion de la proporcionalidad de las com-ponentes de los vectores paralelos

x

3=

y

4=⇒ y =

4

3x

137


9.111 Dado un vector de aceleracion constante de un movil a = 2i − 3j y dada unadireccion definida por el vector n = 1√

2i + 1√

2j. Descompon el vector a segun una

componente paralela a n y otra perpendicular a n.

Solucion. Aplicando la formula vista en teorıa, se tiene

a = a∥ + a⊥ = (n · a)n + (n ∧ a) ∧ n

Calculemos cada uno de los terminos de la parte derecha de la anterior ecuacionpor separado. En primer lugar, calculemos a∥:

n · a = (1√2,

1√2) · (2,−3) = −

√2

2⇒ (n · a)n = −

√2

2· (

1√2

1√2) =

(

−1

2,−

1

2

)

Calculemos ahora el termino a⊥:

(n ∧ a) ∧ n =

(

(1√2,

1√2, 0) × (2,−3, 0)

)

×(

1√2,

1√2, 0

)

=

(5

2,−

5

2, 0

)

Por tanto, la descomposicion pedida es la siguiente

a∥ =

(

−1

2,−

1

2

)

, a⊥ =

(5

2,−

5

2, 0

)

9.112 Dados los puntos del plano A(0, 3, 0), B(2, 0, 0) y C(0, 0,−5), determina el area

del paralelogramo definido por los vectores−−→AB y

−→AC.

Solucion. En primer lugar, formemos los vectores−−→AB y

−→AC:

−−→AB = (2, 0, 0) − (0, 3, 0) = (2,−3, 0),

−→AC = (0, 0,−5) − (0, 3, 0) = (0,−3,−5)

El producto vectorial de ambos vectores es

−−→AB ×

−→AC = (2,−3, 0) × (0,−3,−5) = (15, 10,−6) ,

por lo que el area del paralelogramo pedido es

∣∣∣−−→AB ×

−→AC∣∣∣ = |(15, 10,−6)| = 19.

9.113 Calcula el area del triangulo cuyos vertices son A(1, 0, 3), B(2, 1, 0) y C(0, 3,−1).

138


Solucion. En primer lugar, formemos los vectores−−→AB y

−→AC:

−−→AB = (2, 1, 0) − (1, 0, 3) = (1, 1,−3) ,

−→AC = (0, 3,−1) − (1, 0, 3) = (−1, 3,−4)

El area del triangulo pedido vendra dada por

Area del triangulo =Area del Paralelogramo

2

=|(1, 1,−3) × (−1, 3,−4)|

2=

3

2

√10.

139


Capıtulo 10

El lenguaje de las matematicas

10.1. Introduccion

Comenzamos un nuevo curso en espacio educativo diferente: la universidad.Para afrontar con exito las materias de los nuevos estudios necesitamos un cambiode mentalidad, ¿por que? Centremonos en las matematicas.

En primer lugar porque vamos a pasar, de una educacion matematica dirigidafundamentalmente hacia el conocimiento descriptivo, el dominio de algoritmos yla resolucion de ejercicios mediante procesos rutinarios, a una mas centrada en lacomprension profunda del metodo matematico, de los conceptos, demostracionesy resolucion de problemas. En segundo, porque la metodologıa utilizada en launiversidad es distinta a la del instituto. En la universidad, el papel del alumnoen el aprendizaje es mas activo, mas autonomo. De hecho, uno de los objetivosde la educacion universitaria es convertir al estudiante en una persona capaz deaprender por sI misma, cuestion vital para profesiones con amplias competencias,entornos de trabajo muy diferentes y que exigen ser capaces de mantener, a lolargo del ejercicio profesional, una formacion permanente.

La matematica juega un papel muy importante en la formacion de los tecnicos.Por una parte proporciona el lenguaje, los fundamentos y los metodos de calculonecesarios para el planteamiento y la resolucion de problemas cientıficos de todaındole. Por otra, al ser una ciencia eminentemente abstracta, proporciona el desa-rrollo de tecnicas de razonamiento logico que resultan de gran utilidad a la horade afrontar situaciones complejas.

La primera dificultad que encontramos cuando empezamos a estudiar ma-tematicas es su lenguaje. El lenguaje matematico es muy peculiar, en el cadacosa tiene un significado muy preciso que, con frecuencia, resulta un tanto dife-rente al que utilizamos en una conversacion corriente. Es uniforme y unıvoco, y nopresenta ambiguedades, asI todas las personas que lo leen entienden exactamentelo mismo.

En estas paginas veremos los elementos fundamentales de este lenguaje.

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10.2. Los cuantificadores logicos

Tanto en el lenguaje cotidiano como en el matematico aludimos muchas veces aelementos de un conjunto. Veamos algunos ejemplos referidos al lenguaje habitual.

(1) Algun loco habra que cada dıa lea todos los periodicos.

(2) Cada dIa habra algun loco que lea todos los periodicos.

Observad como jugando con colectivos diferentes (periodicos, ciudadanos y dıas)aparecen distintas expresiones con significados diferentes, dependiendo de dondecoloquemos las palabras algun y todo. Estas palabras son los llamados cuantifica-dores logicos, que aparecen con mucha frecuencia en el lenguaje matematico, porlo que debemos aprender a utilizarlos correctamente.

Es evidente la importancia del orden que ocupan, pues en los ejemplos aparecenlos mismos cuantificadores, pero la diferencia de posicion respecto del que da lugara que las frases tengan significados distintos. En (1) se afirma que existe un loco(siempre el mismo) que lee los periodicos cada dıa. En (2) se dice que cada dıahay un loco (probablemente no siempre el mismo) que lee todos los periodicos.

La mayorıa de las definiciones, teoremas y demostraciones no son otra cosaque cadenas de expresiones ligadas por conectores. Consideremos por ejemplo ladefinicion de lımite funcional:

Diremos que una funcion f(x) tiene por lımite el numero ℓ cuando x tiendea un numero a si se verifica la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe algunδ > 0 tal que para cada numero x que satisface la desigualdad

0 < |x− a| < δ

se verifica|f(x)− ℓ| < ϵ.

Para entender el significado de esta afirmacion necesitamos conocer los cuantifi-cadores logicos, que son los siguientes:

Para todo, ∀. Se utiliza para simbolizar expresiones como para todos los x deA, para cada x de A o para cada x que verifica la propiedad P (x). Ası porejemplo, si escribimos ∀x, x ∈ A leemos para cada elemento x del conjuntoA (o simplemente para cada x de A. De forma similar, la sentencia logica∀z, z < 4 (o bien ∀z < 4) se lee para cada numero z menor que 4.

Existe, ∃. Se utiliza para representar de forma esquematica expresiones comoexiste un m en A o para algun m de A se verifica la propiedad P (m). Ası porejemplo, expresiones del tipo ∃m ∈ A o ∃m ∈ N, m > 2 podemos leerlas,respectivamente, como para algun m en el conjunto A o existe un numeronatural m mayor que 2.

Veamos como traducir del lenguaje ordinario al matematico. Consideremos,por ejemplo la sentencia

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Algun loco habra en la ciudad que cada dıa lea todos los periodicos.

Si representamos por M al conjunto de personas de la ciudad, por P al conjuntode los periodicos, y por D al de los dıas, la frase anterior puede escribirse en laforma

∃m ∈M tal que ∀p ∈ P, ∀d ∈ D, m lee el periodico p en el dıa d.

Esta sentencia puede leerse en la forma:

Existe un m del conjunto M tal que para cada p en el conjunto P y cada d en elconjunto D, m lee el periodico p en el dıa d.

Como podeis ver, el resultado no es muy estetico, pero la frase es clara y tienesentido, ademas la traduccion resulta muy mecanica, y como veremos enseguida,se niega facilmente.

Ejercicios

1. Escribir las definiciones de lımite y continuidad utilizando los sımbolos estu-diados, y traducirlas al lenguaje cotidiano.

2. Traducir la siguiente sentencia matematica:

∀n ∈ N, n > 2, ∀(x, y, z) ∈ Z3, xn + yn = zn, xyz = 0.

¿Conoces la historia de este resultado?

10.2.1. Negacion de una expresion con cuantificadores

Utilizando los sımbolos propuestos, la negacion de cualquier expresion se con-vierte en algo casi automatico. Ası por ejemplo, la negacion de la expresion

Para cada x ∈ A se verifica S(x)

es

Existe algun x ∈ A que no verifica S(x).

En el lenguaje de la logica, la negacion de una sentencia P suele representarse conel sımbolo ¬P.

La primera expresion, en lenguaje matematico, puede escribirse como

∀x ∈ A, S(x),

y su negacion adopta la forma

∃x ∈ A, tal que ¬S(x).

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Analogamente, la negacion de la sentencia

Para algun n ∈ N se verifica M(n)

es

Para cada n ∈ N no se verifica M(n).

En lenguaje matematico, ambas frases se escriben, respectivamente, como

∃n ∈ N, M(n)

y

∀n ∈ N, ¬M(n).

Como puede verse, para negar una sentencia con cuantificadores cambiamos cadasımbolo ∀ por ∃ y cada ∃ por ∀, y luego negamos la expresion que sigue.

Ejercicios

1. Escribir de forma simbolica las siguientes expresiones en cursiva:

a) Fue tal el noticion que aquel dıa todo el mundo leyo todos y cada unode los periodicos.

b) La ciudad se leyo en exclusiva y ası, ese dıa hubo un periodico que fueleıdo por todo el mundo.

2. Escribir simbolicamente la negacion de las expresiones obtenidas en el apar-tado anterior y transformarlas luego en una frase clara del lenguaje habitual.

10.3. Implicaciones y equivalencias

Muchos enunciados matematicos hacen uso de las implicaciones. Vamos a ana-lizar su fundamento.

Diremos que A implica B, y escribimos A ⇒ B, si al verificarse la situacionindicada por A (A debe ser verdadera) podemos afirmar que tambien se cumple lasituacion que describe B (B es verdadera). Dicho de otro modo, el hecho de quese cumpla lo que afirma A es suficiente para garantizar el cumplimiento de lo quedice B.

El enunciado A recibe el nombre de hipotesis (o premisa) y el enunciado Bconclusion (o tesis).

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Ejemplos:

1. Si m y n son enteros pares, entonces m + n es un entero par.

m y n son enteros pares︸︷︷︸

hipUtesis

⇒ m + n es un entero par︸︷︷︸

tesis

.

2. Si f es una funcion derivable en un punto a, entonces f es continua en dichopunto.

f es derivable en a︸︷︷︸

hipotesis

⇒ f es continua en a︸︷︷︸

tesis

.

3. Si f es una funcion constante en un intervalo I, entonces f derivable en todopunto y su derivada es la funcion identicamente nula.

f : R→ R es constante︸︷︷︸

hipotesis

⇒ f es derivable y f ′(x) = 0, ∀x ∈ I︸︷︷︸

tesis

.

Puesto que al afirmar que A⇒ B estamos diciendo que si se cumple A tenemosgarantizado el cumplimiento de B, podemos concluir que si B no se verifica (estoes, si B es falsa) tampoco se verifica A (A es falsa). AsI pues, las implicaciones

A⇒ B y ¬B ⇒ ¬A

son equivalentes, es decir, son verdaderas o falsas al mismo tiempo. Ası por ejem-plo, decir que

si f es derivable en a, entonces f es continua en a,

es lo mismo que decir que

si f no es continua en a entonces f no es derivable en a.

Con frecuencia se interpreta mal la implicacion A⇒ B, entendiendola como sifuese equivalente a B, es decir, entendiendo no solo que si A se cumple entoncestambien se cumple B, sino ademas que si se cumple B, entonces tambien lo haceA. En otras palabras, que la implicacion recıproca B ⇒ A es tambien cierta. EstoNO es correcto. Ası por ejemplo, sabemos que la implicacion

m y n son enteros pares︸︷︷︸

hipotesis

⇒ m + n es un entero par︸︷︷︸

tesis

es cierta. Sin embargo, su recıproca,

m + n es un entero par︸︷︷︸

hipotesis

⇒ m y n son enteros pares︸︷︷︸

tesis

es claramente falsa. En otras palabras, el que dos numeros enteros sean pares escondicion suficiente para que su suma sea par. Pero no es condicion necesaria.

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Observacion

Si queremos demostrar que una implicacion es falsa, es suficiente con poner uncontraejemplo. Acabamos de decir que la implicacion

Si m + n es entero par entonces m y n son ambos pares

es falsa. Para probarlo basta coger un par de numeros enteros m y n, no ambospares, y de modo que la suma sea par. Tomando por ejemplo m = 1 y n = 3, lacosa queda demostrada.

Para terminar analizamos la equivalencia o doble implicacion. Diremos que Asi y solo si B, o que A es condicion necesaria y suficiente para B, y escribiremos

A⇔ B

si se verifican simultaneamente las implicaciones A ⇒ B (si A entonces B) yB ⇒ A (si B entonces A).

Ejemplos:

1. Esta amaneciendo si y solo si el sol esta saliendo.

2. Si x es un numero real entonces

ex > 1⇔ x > 0.

Ejercicios

1. Se quiere demostrar que A ⇒ B es falso. Elegir, de entre las siguientesopciones, el modo en que se debe proceder:

a) Hay que demostrar que B es falso.

b) Hay que demostrar que A es falso.

c) Hay que demostrar que B es falso y que B es verdadero.

d) Hay que demostrar que B es verdadero y que A es falso.

e) Hay que demostrar que B es falso y A es falso.

2. Se quire demostrar que A implica B y se sabe que B es falso. ¿Que setratara de demostrar, que A es verdadero o que A es falso? ¿por que?

3. Si se quiere demostrar que A implica B o C y se demuestra que es falso queA implica B y C, ¿se ha terminado la tarea?

4. Determina cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas, y cualesfalsas.

a) Una condicion necesaria para que un numero natural sea multiplo de360 es que sea multiplo de 3 y de 120.

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b) Una condicion suficiente para que un numero natural sea multiplo de360 es que sea multiplo de 3 y de 120.

c) Una condicion necesaria y suficiente para que un numero natural seamultiplo de 360 es que sea multiplo de 72 y de 5.

d) Si m y n son numeros naturales, entonces el numero m + n es par si, ysolo si, m y n son o bien ambos pares o bien ambos impares.

10.4. Axiomas y definiciones

Son los puntos de partida de la construccion matematica. Un axioma (o pos-tulado) es una premisa que, por ser evidente, se admite sin demostracion, y se usacomo punto de partida para demostrar otras afirmaciones.

Muchas partes de las matematicas estan construidas sobre axiomas, y de ellosse pueden deducir las verdades de esas partes matematicas. Por ejemplo, de losaxiomas de Euclides es posible deducir todos los resultados de la geometrıa ele-mental.

La palabra definicion proviene de la voz latina definitio, y denota la marcaciondel lımite de un significado. En una definicion se expone, de forma unıvoca y conprecision, la comprension de un concepto. Por consiguiente, es una descripcionde un complejo estado de cosas o abstraciones que permanecen unidas por mediode un establecimiento de la zona de validez. Las definiciones senalan con preci-sion conceptos importantes de la teorıa. Tal es el caso del lımite de una funcion,considerado en la seccion anterior.

10.5. Proposiciones, lemas, teoremas, corolarios

Una proposicion matematica es una afirmacion que se refiere a objetos ya intro-ducidos o definidos, y que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, la afirmacion

los numeros 2 y 4 son ambos pares

es una proposicion cierta.Las matematicas avanzan elaborando proposiciones nuevas a partir de las co-

nocidas, demostrando si son verdaderas o falsas. Naturalmente, si una proposicionP es verdadera, su negacion es falsa (y si P es falsa, entonces no P sera verdadera).La negacion de la proposicion anterior adopta la forma

alguno de los numeros 2 o 4 no es par

que es obviamente falsa.Las proposiciones matematicas reciben con frecuencia denominaciones especia-

les, segun la importancia que se les otorgue en el desarrollo de una teorıa. Gene-ralmente, una proposicion importante se conoce como teorema. Tal es el caso, porejemplo, del siguiente resultado:

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Teorema 10.1 (del valor medio, Lagrange). Si f es una funcion derivable en[a, b], entonces existe un c ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Algunas proposiciones pueden ser tan relevantes como un teorema, pero sudemostracion puede deducirse facilmente a partir de otra proposicion. Una talafirmacion suele recibir entonces el nombre de corolario (consecuencia) de la pro-posicion en cuestion. Ası por ejemplo, el resultado que afirma si f es una funcionderivable con derivada nula entonces f es constante en dicho intervalo puede consi-derarse un corolario del Teorema del valor medio de Lagrange. En otras ocasiones,una proposicion se utiliza como herramienta auxiliar en la demostracion de un teo-rema (quiza para simplificar dicha demostracion, y porque se considera que tieneentidad suficiente para ser resaltado). Estas proposiciones reciben el nombre delemas. Ası por ejemplo, la condicion necesaria de extremo relativo para funcionesderivables puede considerarse como un lema del Teorema de Rolle (aunque dichacondicion tenga interes independiente).

10.6. La demostracion en Matematicas

La demostracion es una de las actividades mas importantes en Matematicas.Con ellas podemos asegurar que lo que afirmamos es cierto, pues lo deducimos apartir de los fundamentos (axiomas o postulados), por medio de razonamientoslogicos. En ocasiones, datos experimentales pueden hacerte intuir posibles resul-tados matematicos nuevos, pero el tıtulo de teorema o proposicion solo se alcanzacuando alguien proporciona una demostracion. Esta insistencia en las demostra-ciones distingue a las matematicas de las demas disciplinas. En las ciencias ex-perimentales, los hechos son establecidos a traves de la experimentacion, y estansujetos a modificaciones a medida que se adquieren nuevos conocimientos.

En matematicas, las teorıas tambien son desarrolladas y ampliadas, pero losresultados anteriores no quedan invalidados. El Teorema de Pitagoras, por ejemplo,fue formulado y demostrado en la Antiguedad, y constituye una piedra angular dela geometrıa clasica. En el siglo XIX, los matematicos comenzaron a estudiar tiposmas generales de geometrıas (las geometrıas no euclideas, en las que se modificael quinto postulado de la geometrıa euclıdea). Estos estudios condujeron a AlbertEinstein a la consideracion de la geometrıa del espacio-tiempo (4 dimensiones) dela teorıa de la relatividad. El Teorema de Pitagoras no se cumple en estas teorıasmas generales, pero su estatus en la geometrıa clasica queda inalterado.

Para construir la (o una) demostracion de cualquier afirmacion enunciada me-diante una proposicion existen diferentes metodos. En este apartado vamos a veralgunos de los mas importantes. Para conseguir dominarlos se necesita dedicacionpersonal, estudio y reflexion. Este ultimo aspecto resulta absolutamente esencial.Aunque hayamos hecho especial enfasis en el estudio del lenguaje, no hay que

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olvidar que, en Matematicas, la conexion de unas sentencias y otras, es fruto deideas originales 1.

Frecuentemente tratamos de demostrar implicaciones, es decir, cosas del tiposi se verifica A entonces se verifica B (si f es derivable en un punto, entoncesf es continua en dicho punto), aunque a veces las proposiciones no tienen estaestructura (tal ocurre, por ejemplo, con la sentencia el numero

√2 no es racional).

Pero... ¿como empezar? En primer lugar hay que tener muy claro que significa loque hay que demostrar. Despues podemos utilizar varios metodos.

10.6.1. Demostracion directa

Consideremos la implicacion A ⇒ B. Recordemos que se trata de demostrarque si se verifica A entonces se verifica tambien B.

En primer lugar hay que tener claro que nos dice A y que significa lo quequeremos demostrar (la afirmacion B). Nuestro objetivo es encontrar un caminoque nos lleve de A a B. Lo normal es que no lo consigamos en un solo paso,tendremos que analizar todas las consecuencias que se pueden obtener de A yalguna (o algunas) de ellas nos pueden conducir a otra (u otras) que tal vez noslleve a B. Veamoslo a traves de algunos ejemplos.

Proposicion 10.1. El cuadrado de un numero natural impar es tambien impar.

Demostracion. Se trata de probar que si n es un numero impar (hipotesis), en-tonces el numero n2 es tambien impar (tesis). Veamos que significan la hipotesisy la tesis de este enunciado. Para empezar, ¿que quiere decir que el numero nes impar? Pues... que no es par, el numero n estara detras de un numero par enla lista de los numeros naturales. Como los pares son el resultado de multiplicarun numero natural por 2, podemos escribirlos en la forma 2k, con k ∈ N. Enparticular, nuestro numero puede expresarse en la forma

n = 2k + 1, para algun k = 0, 1, 2, . . .

¿Como sera el cuadrado de este numero? Veamoslo. Utilizando la formula para elcuadrado de un binomio resulta

n2 = (2k − 1)2 = 4k2 − 4k + 1

¿Sera este un numero impar? Para comprobarlo tendremos que ver si puede expre-sar en la forma 2r+1, para cierto numero natural r. Veamos si podemos. Sacandofactor comun el numero 2 en los dos primeros sumandos del segundo miembro dela igualdad anterior obtenemos

n2 = 2(2k2 − 2k) + 1 = 2r + 1,

siendo r = 2k2 − 2k. AsI pues, n2 es impar, como querıamos demostrar.

1La Logica es la higiene de la Matematica, pero esta no se nutre de ella (Andre Weil).

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10.6.2. Demostracion por reduccion al absurdo

Supongamos que tenemos que probar una proposicion. Si asumimos que laconclusion de esta proposicion es falsa, y bajo esta premisa somos capaces de llegara una contradiccion, es claro que dicha proposicion es verdadera. Esta tecnica seconoce como demostracion por reduccion al absurdo. En el caso frecuente en quela proposicion en cuestion es una implicacion del tipo A ⇒ B, la cosa consisteen asumir que la afirmacion B es falsa, para concluir que entonces A debe sertambien falsa.

Proposicion 10.2. Demostremos que si c es un numero impar, entonces la ecua-cion n2 + n− c = 0 no tiene ninguna raız entera.

Demostracion. En el lenguaje de la logica, el enunciado puede expresarse en laforma

c es un entero impar︸︷︷︸

A

⇒ n2 + n− c = 0 no tiene soluciones enteras.︸︷︷︸

B

Vamos a proceder por reduccion al absurdo. Suponemos que se verifica ¬B. Estosignifica que existe un numero n ∈ Z de modo que

n2 + n− c = 0,

es decir,n2 + n = c.

Al tratarse de un numero entero, n es o bien par o bien impar. Supongamos quees par, es decir, que se expresa en la forma n = 2k. Pero entonces

c = n2 + n = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k),

lo cual es imposible, pues c es impar. Por tanto, n debe ser impar. Podemosentonces escribirlo en la forma n = 2k−1, para algun entero k. Procediendo comoantes deducimos que

c = n2 + n = (2k − 1)2 + 2k − 1 = 4k2 − 4k + 1 + 2k − 1 = 2(2k2 − 2k),

lo cual implica nuevamente que c es par. Ası pues, n tampoco puede ser un numeropar. Hemos demostrado que ¬B ⇒ ¬A. Por tanto, la implicacion A ⇒ B escierta.

10.6.3. Algunas demostraciones

En este apartado ponemos en practica las tecnicas de demostracion explica-das previamente para probar algunos resultados. Empezamos con un ejemplo dedemostracion directa.

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Teorema 10.2. La media geometrica de dos numeros reales positivos es menor oigual que su media aritmetica. Es decir, si x e y son numeros positivos entonces

√xy ≤

x + y

2.

Demostracion. Escribamos esta sentencia en lenguaje estrictamente matematico.

x, y ∈ R, x > 0, y > 0 ⇒√

xy ≤x + y

2.

La hipotesis proporciona una informacion muy amplia, a priori parece que nosabemos hacia donde ir. Vamos a pensar un poco en lo que queremos demostrar.Comprobar que

√xy ≤

x + y

2equivale a ver que

x + y

2−√

xy ≥ 0.

Operando resultax + y − 2

√xy

2≥ 0,

y multiplicando por 2 (recordemos que el sentido de una desigualdad no cambiaal multiplicarla por un numero positivo) vemos que la cosa se reduce a probar que

x + y − 2√

xy ≥ 0.

¿Como podemos demostrar esta desigualdad? Vamos a cambiar un poco la no-tacion. Sabemos que x e y son positivos. Ambos numeros pueden escribirse portanto en la forma

x = a2 e y = b2.

Como√

xy =√

x√

y, basta demostrar que

a2 + b2 − 2ab ≥ 0.

Pero esto es inmediato, pues de acuerdo con la formula para el cuadrado de unbinomio se tiene

a2 + b2 − 2ab = (a− b)2.

Ası pues, el numero a2 + b2− 2ab es el cuadrado del numero real a− b, y sabemosque el cuadrado de un numero real es siempre positivo. En consecuencia,

x + y − 2√

xy ≥ 0,

como querıamos demostrar.

Observemos que esta demostracion ha sido un tanto complicada. Hemos idoun poco de atras hacia adelante y tambien hemos utilizado un poco de ingenio.

A continuacion demostramos otro resultado clasico del Calculo cuya prueba esalgo mas sofisticada de lo que uno podrıa intuir.

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Teorema 10.3. Sea f una funcion derivable en un intervalo [a, b]. Si f ′(x) ≥ 0para cada x ∈ [a, b], entonces f es creciente.

Demostracion. En el lenguaje de la logica, el teorema puede enunciarse mediantela implicacion

f : [a, b]→ R es derivable f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ⇒ f es creciente.

Antes de empezar es necesario conocer el significado preciso de la hipotesis y latesis de esta implicacion. Sobre la premisa no deberIa haber dudas (la funcion fes derivable en cada punto x ∈ (a, b), y admite derivada lateral por la derechaen el punto a, y derivada lateral por la izquierda en b). ¿Que quiere decir quef es creciente? Pues que a medida que nos desplazamos a la derecha sobre elintervalo [a, b], f se hace cada vez mayor. Pero... ¿como se formula esta ideamatematicamente? La forma precisa de hacerlo es mediante la sentencia

f : [a, b]→ R es creciente si x, y ∈ [a, b], x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).

Veamos si se verifica esta propiedad. Tenemos que probar que si x e y son dosnumeros cualesquiera del intervalo [a, b] y x ≤ y, entonces

f(x) ≤ f(y).

¿Como se llega hasta aquı? La desigualdad previa es claramente equivalente a estaotra,

f(y)− f(x) ≥ 0.

¿Que herramientas tenemos a nuestro alcance? Con la propia definicion de derivada(y la propiedad de ser positiva en todo punto) no parece que vayamos a llegar muylejos. Pero la desigualdad anterior nos recuerda un poco al primer miembro delTeorema del valor medio de Lagrange (con x = a e y = b). Podemos echar manode este teorema, pues f es derivable. Utilizando pues este teorema (con x = a ey = b) deducimos la existencia de un numero c tal que

f(y)− f(x) = f ′(c)(y − x).

¿Implica esto que f(y)− f(x) ≥ 0? A priori parece que no podemos garantizarlo,pues no sabemos quien es c. Pero esto no tiene mas importancia en nuestro caso.Sea quien sea c, es claro que f ′(c) ≥ 0 ¿por que? Ası pues, al ser y−x ≥ 0 resultaque

f ′(c)(y − x) ≥ 0,

y por tantof(y)− f(x) ≥ 0,

como querıamos demostrar.

Apliquemos ahora el metodo anterior para demostrar un resultado del AlgebraLineal.

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Teorema 10.4. Sean A y B dos matrices cuadradas de tamano n. Si A y B soninvertibles, entonces tambien lo es el producto AB.

Demostracion. ¿Que significa que AB es invertible? Pues que existe otra matriz,digamos C, tal que (AB)C es la matriz identidad de tamano n, esto es, que

(AB)C = C(AB) = In.

¿Podemos encontrar una tal matriz?. Puesto que, por hipotesis, A y B son inver-tibles, existen matrices A−1 y B−1 tales que

AA−1 = A−1A = In y BB−1 = B−1B = In.

Consideremos ahora la matriz

C = B−1A−1.

¿Que ocurre si multiplicamos AB por C? Utilizando la propiedad asociativa delproducto, y teniendo en cuenta las igualdades anteriores obtenemos

(AB)C = AB(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In.

De la misma forma se demuestra que C(AB) = In. AsI pues, la matriz AB esinvertible.

En esta demostracion ha hecho falta, tambien, algo de ingenio. En realidad,el teorema previo se puede deducir de forma mucho mas sencilla haciendo uso deun resultado de Cauchy, que garantiza que si A y B son matrices cuadradas detamano n, entonces

det(AB) = det(A) det(B).

¿Podrıas dar una demostracion del teorema anterior haciendo uso de este resul-tado? ¿Que hay de la afirmacion recıproca? Si el producto AB es invertible, ¿sonnecesariamente invertibles las matrices A y B?

Veamos ahora un par de demostraciones algo mas ingeniosas.

Teorema 10.5. El numero√

2 no es racional.

Para probar este teorema haremos uso del siguiente resultado auxiliar, cuyademostracion puede hacerse tambien por reduccion al absurdo.

Lema 10.1. Sea n un numero natural. Si n2 es par, entonces tambien n es par.

Demostracion. La prueba es una consecuencia casi inmediata de la Proposicion10.1. Si n no fuese par, entonces serıa impar, pero entonces n2 tendrıa que serimpar, en virtud de dicha proposicion. Ası pues, n es par.

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Demostracion del Teorema 10.5. Procedemos por reduccion al absurdo. Suponga-mos por tanto que

√2 es racional. ¿Pero que significa que este numero es racional?

Pues que existen dos numeros naturales p y q tales que

√2 =

p

q. (10.1)

Podemos suponer que el maximo comun divisor de p y q es 1, pues si py q tienen algun divisor comun, digamos r, al simplificar la fraccion nos quedauna fraccion equivalente en la que tanto el numerador como el denominador noson multiplos de r. Bajo estas premisas, operaremos un poco, para llegar a unasituacion absurda. Elevando al cuadrado la igualdad (10.1) obtenemos

2 =p2

q2,

y multiplicando por q2 resultap2 = 2q2.

Consecuentemente, p2 es par. Y utilizando el Lema 10.1 deducimos que tambien elnumero p es par. Por tanto, p = 2k, para algun numero natural k. Sustituyendoahora en la igualdad anterior obtenemos

4k2 = 2q2,

y dividiendo por 2 resulta2k2 = q2.

AsI pues, q2 es par, y echando mano nuevamente del Lema 10.1 inferimos queel numero q es par. Aspues, asumiendo que

√2 puede expresarse como

cociente de dos numeros enteros sin factores comunes llegamos a laconclusion de que dicho cociente tiene un factor comun. Absurdo, ¿no?Luego la premisa debe ser falsa, y el numero

√2 es irracional.

Ponemos fin a esta seccion demostrando que existen infinitos numeros primos.En la prueba haremos uso del Teorema Fundamental de la Aritmetica, que vienea decir que cualquier numero entero se puede expresar (de forma unica) comoproducto de numeros primos.

Teorema 10.6 (Euclides). El conjunto de los numeros primos es infinito.

Demostracion del Teorema 10.5. Supongamos que el enunciado es falso. Habra en-tonces una cantidad finita de numeros primos, digamos n. Denotemos por p1, p2, . . . , pn

a los numeros primos distintos de 1. Estamos asumiendo que (aparte del 1) no hayningun numero primo mas que p1, . . . , pn, es decir, que cualquier otro numero queno este en esta lista no es primo. Consideremos ahora el numero

p = p1 · p2 · . . . · pn + 1.

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Es claro que p no coincide con ninguno de los numeros p1, . . . , pn. Por tanto, deacuerdo con nuestra premisa, el numero p no puede ser primo. Pero, en virtuddel Teorema Fundamental de la Aritmetica, nuestro numero p se puede expresarcomo producto de numeros primos. En particular, p sera divisible por algunode los numeros p1, . . . , pn. Supongamos que fuese divisible, por ejemplo, por p1.¿Que significa esto? Pues que existe otro numero entero, digamos r, tal que

p = rp1,

es decir, quep1 · . . . · pn + 1 = rp1,

o equivalentemente,p1(r − p2 · . . . pn = 1.

Pero esto es imposible, ¿no?. ¿Como va a ser igual a 1 el producto de dos numerosenteros si al menos uno es distinto de 1?. Hemos demostrado, por tanto, que p noes divisible por p1. Procediendo de forma analoga podemos concluir que p no esdivisible por p2, ni por p3,..., ni por pn. Conclusion: el numero p no es divisible porninguno de los numeros p1, . . . , pn. Ası pues, p no es divisible por ningun numeroprimo. Pero entonces tambien p es un numero primo.

Ejercicios

1. Demuestra que las dos raıces de la ecuacion ax2 + bx + c = 0 son

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b−√

b2 − 4ac

2a.

2. Prueba que si n es impar entonces el numero

m = 3n3 + 5n2 − 13n + 1

es par.

3. Demuestra que si p y q son numeros reales positivos tales que√

pq =p + q

2,

entonces p = q.

4. Demuestra que si f es una funcion derivable en un intervalo [a, b] y f ′(x) > 0para cada x ∈ [a, b], entonces f es estrictamente creciente en [a, b].

5. Demuestra que si f es una funcion derivable en un intervalo [a, b] y f ′(x) ≤ 0(respectivamente, f ′(x) < 0) para cada x ∈ [a, b], entonces f es decreciente(respectivamente, estrictamente decreciente) en [a, b].

6. Demuestra que si f es una funcion derivable en un intervalo [a, b] entonces

f ′(x) = 0 para cada x ∈ [a, b] si y solo si f es constante.

7. Demuestra que el numero√

3 no es racional.

154


Apendice A

Conicas

En este apendice, trataremos brevemente el fundamento teorico de un temaimportante como es el de las conicas.

Las curvas conicas o secciones conicas pueden ob-tenerse a partir del corte de un plano con un ci-lindro (ver figura). Tambien pueden introducir-se como lugares geometricos que satisfacen unasciertas condiciones.

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

Circunferencia: Es el lugar geometrico de los puntos del plano equidistantesde otro fijo, llamado centro. La ecuacion de una circunferencia de centro (x0, y0)y radio r es

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = r2

Elipse: Es el lugar geometrico de los puntos del plano tales que la suma de lasdistancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva. La ecuacionde una elipse de semiejes a y b paralelos a los ejes x, y y centro (x0, y0) es

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1

Hiperbola: Es el lugar geometrico de los puntos del plano cuya diferenciade distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La ecuacion de lahiperbola es de centro C = (x0, y0) y focos F = (x0 + c, y0), F ′(x0 − c, y0) vienedada por la ecuacion

(x− x0)2

a2−

(y − y0)2

b2= 1

Parabola: Es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan deun punto fijo (el foco) y una recta dada (la directriz). Una de las formas de la

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parabola de eje vertical, vertice en (a, b) y foco F (a, b + p2) es

2p(y − b) = (x− a)2

F1 F2F1 F2FF

a−a

b

−b

C

−f f

P

=2aPF1+PF2

F2 F

1

P

a−a

C

Elipse Hipérbola Parábola

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