CursoGeometría Analítica
Sesión 4. La parábola
Secuencia didáctica
Geometría Analítica 3 Septiembre 17
La parábola • Ecuación de la parábola• Vértice, foco y distancia
focal
Asociación de ecuaciones con las curvas correspondientes
Entender la importancia y las posibles aplicaciones de las parábolas
Mostrar algunos ejemplos de la vida real, donde intervienen las parábolas
Discusión de los estudiantes, en torno a la existencia de parábolas
Discusión 10 min
Lista de posibles ejemplos de parábolas en la naturales o en artefactos fabricados
Construcción de una parábola, a partir de su foco y su directriz, deducción de la ecuación
Construcción de varias parábolas a partir de las condiciones de definición
Uso del Laboratorio de Geometría Analítica
30 minConstrucciones geométricas realizadas con el laboratorio
Construir las soluciones de los problemas propuestos como tarea de cada
Descripción del profesor y trabajo de los estudiantes
10 min + 1:30 horas
Soluciones a los problemas planteados
Comprensión de conceptos, capacidad de razonamiento y solución de problemas
Discusión en clase y tareas encargadas para su solución colaborativa o individual
30% participación en clase70% trabajo en casa
Laboratorio de Geometría Analítica NingunoGeometría Analítica de Oteyza, Emma Lam Osnaya y otros
Planteamiento de problemas orientados a mostrar las aplicaciones de la parábola
Enrique Calderón A.
APERTURALa definición de la parábola
Introducción
Después del círculo, estudiado y utilizado desde los tiempos de Euclides, la parábola fue también conocida y estudiada cuando los hombres se percataron de su existencia.
Es muy probable que en los tiempos antiguos no estuviesen identificadas como casos particulares de una misma curva.
En busca de una ecuación para la parábola
Por los escritos de Galileo sabemos que en el Renacimiento, se tenía plenamente identificada la curva, a la que daban ya el nombre de parábola.Galileo que investigaba los movimientos de los cuerpos, intentó obtener una ecuación que la representase, pero los conocimientos matemáticos aun no lo permitían.Las primeras formas conocidas, fueron ecuaciones de segundo grado que resultaban de la multiplicación de las ecuaciones de dos rectas.
La geometría analítica, permitió obtener una definición diferente en términos de distancias.
DESARROLLO
Construcción de una parábola a partir de su foco y su directriz
Construcción de una parábola
Construcción de una parábola
Tracemos una recta paralela a la directriz d, a una distancia de 5 unidades de esta y una circunferencia con centro en f (0,2) y radio igual a 5 unidades.
Estas dos curvas nos determinan los puntos p1(-4.9,3) y p2(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 5 unidades.
Construcción de una parábola
De igual manera, trazamos otra paralela a la directriz d, a 6 unidades de esta, y una circunferencia con centro en f y radio igual a 6 unidades.
Estas dos curvas no determinan los puntos P3(-5.65,4) y P4(5.65,4), los cuales se encuentran a 6 unidades del foco y de la directriz respectivamente.
Construcción de una parábola
Encontremos los puntos p3(-4.9,3) y p4(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 6 unidades.De la misma manera encontremos un puntos más P5(-5.65,4) y P6(5.65,4).La parábola empieza a tomar forma, permitiéndonos observar que la directriz define la dirección de la parábola, o mas bien de su eje de simetría el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vértice como al foco f.De esta manera, a partir de su definición podemos construir parábolas con cualquier dirección y distancia focal (separación entre el vértice y el foco)
Construcción de una parábola
La parábola empieza a tomar forma, permitiéndonos observar que la directriz define la dirección de la parábola, o mas bien que su eje de simetría el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vértice como al foco f.De esta manera, a partir de su definición podemos construir parábolas con cualquier dirección y distancia focal (separación entre el vértice y el foco)
Construcción de una parábola
Observemos que al tomar cualquier punto de la parábola, al trazar segmentos de este al foco y a la directriz estos tienen la misma longitud.
La ecuación de la parábola
Es interesante notar que al trazar una paralela a la directriz, que pasa por el foco, la apertura de la parábola es de 4P
(y - k)^2 = 4P*(x-h)
y^2= 4xP
La ecuación de la parábolaPara el caso de parábolas con el eje de simetría vertical, como la de la figura, la obtención de la ecuación general, es igual a la de las parábolas con eje horizontal, intercambiando los roles de x y y. Como d1 = d2 tenemos que : y + P = (x^2 + (y – P)^2)^0.5 por lo que:(y + P)^2 = x^2 + (y – P)^2 de donde queda: 2yP = x^2 – 2yP de modo que:
Si el vértice de la parábola se mueve al punto p1(h ,k) la ecuación se transforma a: (x – h)^2 = 4P*(y – k)
x^2=4yP
AplicacionesLa parábola, estudiada inicialmente por Galileo en relación con las trayectorias de los cuerpos lanzados al espacio y atraídas por la Tierra, tiene varias aplicaciones importantes.•Así cuando se lanza un proyectil, a una velocidad determinada, este llegará mas lejos si el ángulo de disparo es de 45º respecto a la horizontal (curva morada)•El estudio de las trayectorias parabólicas fue utilizado durante siglos para generar tablas de artillería.
La forma de las diferentes curvas obtenidas con el Laboratorio de Geometría Analítica de galileo se observan en esta gráfica, el estudio completo requiere sin embargo de herramientas de calculo diferencial, por involucrar aspectos de velocidad de los proyectiles.
Ejercicio
Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia de San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura máxima 15 metros, es colocado en un eje de coordenadas en donde el eje de simetría coincide con el eje y, la base con el eje x . Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria de dicho arco parabólico
Aplicaciones. Antenas parabólicas y faros
Una de las propiedades mas interesantes de las parábolas es que todos las líneas que son paralelas al eje de la parábola son reflejadas por esta hacia su foco, tal como se observa en la figura.La propiedad es innata a todas las parábolas, a partir de que para cualquier punto de la parábola, su distancia al foco f es igual a su distancia a la directriz de la parábola. Veamos porque:
Esta propiedad
tiene una
importancia singular para captar
y transmitir señales
y
ondas
electromagnéticas incluyendo la luz
y el sonido
2.Un arco de concreto salva un espacio de 40 metros, y una carretera de 20 metros de ancho pasa por debajo de él. La altura libre mínima sobre la carretera debe ser de 10 metros. ¿Cuál es la altura del arco más pequeño que se puede emplear?
CIERRRE