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Dalla relatività ai buchi neri

Lavoro di maturità

Enea Di Dio

Liceo Locarno

2004-2005

Professore responsabile: Christian Ferrari

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Indice 1. Introduzione .............................................................................................................. 1 2. Biografie..................................................................................................................... 4

2.1 Galileo Galilei..................................................................................................... 4 2.2 Isaac Newton....................................................................................................... 6 2.3 Albert Einstein .................................................................................................... 8

3. Introduzione alla relatività galileiana ................................................................... 10 3.1 Referenziali inerziali o di Galileo ..................................................................... 10 3.2 Assiomi non relativisti ...................................................................................... 11

3.2.1 La simultaneità e l’intervallo di tempo ..................................................... 11 3.2.2 L’intervallo di spazio ................................................................................ 11

3.3 Le trasformazioni di Galileo ............................................................................. 12 3.4 Formulazione di Galileo del concetto di relatività............................................ 12 3.5 Concezione dello spazio e del tempo pre-relativistica...................................... 13

4. Introduzione alla relatività ristretta...................................................................... 15 4.1 Il campo elettromagnetico di Maxwell ............................................................. 15 4.2 L’etere ............................................................................................................... 15 4.3 L’esperimento di Michelson e Morley.............................................................. 16

5. La relatività ristretta .............................................................................................. 19 5.1 Le considerazioni di Einstein............................................................................ 19 5.2 Postulati di Einstein sulla luce .......................................................................... 19 5.3 Concetto di simultaneità ................................................................................... 20 5.4 Principio di relatività......................................................................................... 21 5.5 Intervallo ........................................................................................................... 21 5.6 Diagrammi di Brehme....................................................................................... 22 5.7 Le trasformazioni di Lorentz ............................................................................ 24 5.8 Carattere limite della velocità della luce........................................................... 28 5.9 Contrazione apparente delle lunghezze ............................................................ 29 5.10 Dilatazione apparente dell’intervallo di tempo................................................. 30 5.11 Effetto Doppler non relativista.......................................................................... 31 5.12 Effetto Doppler relativista................................................................................. 33 5.13 I risultati ottenuti con l’effetto Doppler ............................................................ 35

5.13.1 L’espansione dell’universo ....................................................................... 35 5.13.2 Il Big Bang................................................................................................ 35 5.13.3 Le ipotesi precedenti ................................................................................. 35

5.14 Il cono di luce.................................................................................................... 37 5.15 Il tempo proprio e la tetravelocità..................................................................... 40 5.16 L’equivalenza massa energia ............................................................................ 41

6. La relatività generale.............................................................................................. 43 6.1 La gravità secondo Newton .............................................................................. 43 6.2 L’azione a distanza ........................................................................................... 44 6.3 Incoerenza tra relatività ristretta e gravità di Newton....................................... 45 6.4 Il campo gravitazionale..................................................................................... 46 6.5 Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale.............................................. 46 6.6 I principi della relatività generale ..................................................................... 47

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6.6.1 Principio di oggettività.............................................................................. 47 6.6.2 Principio di covarianza ............................................................................. 47 6.6.3 Principio di equivalenza debole ................................................................ 47 6.6.4 Principio di equivalenza forte ................................................................... 49 6.6.5 Principio di Mach...................................................................................... 49

6.7 Conseguenze del principio di equivalenza........................................................ 50 6.7.1 Effetto della gravità sulla luce .................................................................. 50 6.7.2 Effetto della gravità sul tempo.................................................................. 51 6.7.3 Effetto della gravità sullo spazio............................................................... 51 6.7.4 Redshift ..................................................................................................... 52

6.8 Alcune prove sperimentali a sostegno della relatività generale........................ 54 6.8.1 Effetto della gravità sul tempo.................................................................. 54 6.8.2 Effetto della gravità sulla luce .................................................................. 55

6.9 Le geodetiche .................................................................................................... 56 6.10 Complemento: la struttura della spazio secondo la relatività generale............. 58 6.11 Le equazioni di Einstein.................................................................................... 59 6.12 La geometria dello spazio-tempo...................................................................... 61

7. I buchi neri............................................................................................................... 64 7.1 Definizione di buco nero................................................................................... 64 7.2 La storia ............................................................................................................ 65 7.3 La formazione ................................................................................................... 65

7.3.1 Il Sole ........................................................................................................ 66 7.3.2 Il principio di esclusione........................................................................... 68 7.3.3 Le nane bianche ........................................................................................ 70 7.3.4 Le stelle a neutroni.................................................................................... 71 7.3.5 I buchi neri ................................................................................................ 71

7.4 Il raggio di Schwarzschild ................................................................................ 72 7.4.1 Calcolo classico del raggio di Schwarzschild........................................... 72 7.4.2 La soluzione relativistica del raggio di Schwarzschild............................. 72 7.4.3 La censura cosmica ................................................................................... 73

7.5 Il comportamento dei coni di luce nelle vicinanze di un buco nero ................. 74 7.5.1 Visti da un osservatore lontano................................................................. 74 7.5.2 Visti da un osservatore vicino................................................................... 75

7.6 Alcuni effetti dei buchi neri .............................................................................. 77 7.6.1 Paradosso dell’astronauta.......................................................................... 77 7.6.2 Effetti marea.............................................................................................. 78 7.6.3 Macchina del tempo.................................................................................. 79

7.7 Radiazione di Hawking..................................................................................... 80 8. Conclusione.............................................................................................................. 85 9. Ringraziamenti........................................................................................................ 85 10. Appendice A “Cos’è la teoria della relatività?” di A. Einstein.......................... 86 11. Bibliografia .............................................................................................................. 89

Dalla relatività ai buchi neri 1. Introduzione

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1. Introduzione Chi non ha mai sentito il nome di Albert Einstein? Credo che, nella parte del mondo che noi chiamiamo occidente e che consideriamo la più sviluppata, non ci sia persona che non abbia sentito questo nome e che non sappia che era uno scienziato. Ora sorge spontanea la seguente domanda: cosa ha fatto Albert Einstein nella sua vita? La risposta più evidente dovrebbe essere la famosissima formula 2mcE = . A questo punto chiunque abbia ricevuto un’istruzione a livello liceale dovrebbe almeno capire cosa esprima questa semplice, ma fondamentale, formula. Però è molto riduttivo ricordare Einstein solo per questa formula, nonostante sia importantissima, perché il suo contributo alla fisica è stato enormemente più grande, infatti ci ha dato una nuova rappresentazione dello spazio e del tempo. Per far tutto ciò è andato contro molte idee consolidate dell’epoca e considerate giuste, ciò aumenta il suo valore come scienziato. Le sue scoperte hanno avuto un enorme impatto sulla nostra concezione dell’universo, ma queste purtroppo sono conosciute e studiate solo da scienziati, l’uomo comune, il cosiddetto uomo della strada, ricorda semplicemente la sua formula che lega tramite la velocità della luce al quadrato l’energia intrinseca della materia con la massa. Per l’uomo della strada ciò che conta è il senso comune, ciò che riesce a percepire con i propri sensi e sfortunatamente la conclusione alle quali è arrivato Einstein sono in contraddizione con il senso comune. Infatti tutti definirebbero il tempo o lo spazio come dei concetti assoluti, nel senso che non dipendono dal sistema di riferimento, e così si pensava sino all’arrivo di Einstein. Questo fattore del nostro senso comune porta a distanziare il mondo scientifico dal resto del mondo. È chiaro che il nostro uomo della strada sia più propenso a pensare che i risultati a cui è arrivato Einstein sono più dei giochini matematici che considerazione reali, perché la sua esperienza personale non verifica le ipotesi dello scienziato. Qui occorre specificare che le grandi scoperte di Einstein sono basate su considerazioni di tipo puramente fisico e la matematica è stato solo un mezzo, anche se di notevole importanza, per arrivare a queste formidabili conclusioni. Ora gettiamo uno sguardo veloce al passato per potere fare un paragone con la situazione attuale. La tradizione greca vuole che Pitagora fu il primo nel 550 a.C. a scoprire e insegnare che la Terra è una sfera sospesa nello spazio. Una simile affermazione lasciava certamente perplesso l’uomo comune, infatti si chiedeva da cosa era sostenuta e in caso contrario come faceva a stare su. Un altro dilemma non da poco era capire come mai le persone che abitavano nell’altro emisfero non cadevano ma restavano saldamente attaccati alla Terra proprio come loro. Il senso comune prima di Pitagora era che la Terra fosse piatta, ma con il passare dei secoli è cambiato e ora nessuno oserebbe sostenere che la Terra sia piatta e non sferica. Quindi si può pensare che il nostro senso comune è determinato anche da ciò che ci viene insegnato e non solo da ciò che percepiamo. Un’altra prova a sostegno di questa tesi è il fatto che una volta si riteneva che la Terra fosse al centro dell’universo e il resto ci girasse attorno e invece ora si sa che noi siamo posti in una zona periferica della nostra galassia e che giriamo attorno al Sole. Certamente non siamo al centro dell’universo ed è stata un’idea non facile da accettare dalla Chiesa, in fondo le Sacre scritture dicono che Dio ci ha creato a sua immagine e somiglianza e ci ha creati per ultimi perciò la nostra centralità nell’universo non poteva essere messa in dubbio. Il tempo passa e ora non siamo più così presuntuosi da ritenerci


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al centro di tutto. Quindi si può ragionevolmente pensare e supporre che arriverà un giorno in cui considerare il tempo e lo spazio come un qualcosa di assoluto e invariante sarà un’assurdità. La scienza indica la strada e prima o poi arriverà a rimorchio anche il resto del mondo. Come mai il nostro senso comune è spesso in contrasto con le nuove scoperte? Forse la natura ci vuole nascondere i suoi segreti? Forse è vero che la natura ci vuole nascondere i suoi segreti, o forse meglio non ci permette di vedere tutto, e per questo comportamento c’è anche una teoria chiamata censura cosmica, che è strettamente legata ai buchi neri e che tratterò più avanti nel corso del mio lavoro. Nonostante ciò credo che le nuove scoperte sono in contrasto con il senso comune perché questo è fortemente influenzato dalle certezze precedenti che vengono a cadere con le nuove scoperte. Questo succede perché siamo ai piedi di una lunga scala della conoscenza, una scala che si allunga man mano che si sale e di cui non si vede la fine e, come se non bastasse, non si sa se ci sia una fine. I grandi scienziati come Galileo, Newton e Einstein sono quelli che sanno andare oltre al senso comune della loro epoca e basano le proprie considerazioni su basi verificate scientificamente. “Non so come io posso apparire al mondo, ma per quanto mi riguarda mi sembra di essere stato soltanto un bambino che giuoca sulla spiaggia ed è contento quando trova un ciottolo più levigato o una conchiglia più graziosa del solito, mentre il grande mare della verità è davanti a lui ancora tutto da scoprire.”

I. Newton Da [6], pagina 14 Questa frase pronunciata da uno dei più grandi scienziati di ogni tempo descrive bene ciò che fa uno scienziato e soprattutto ricorda che si deve restare umili davanti alle proprie scoperte. Ci si deve rendere conto che quel che si sa seppure ci pare tanto in realtà è poco o niente. Soprattutto non si devono più fare errori gia fatti nella storia di credere di sapere già tutto, infatti all’epoca di Galileo Galilei si credeva di sapere tutto sui corpi celesti ma in realtà si stava sbagliando tutto. Anche prima di Einstein si era arrivati a un punto di stallo della scienza cosmologica, si discuteva di cosa fosse l’etere ma si credeva di aver quasi scoperto tutto e poi è arrivato Einstein a fare cadere tutte le convinzioni precedenti. E chi sarà il prossimo che ci farà cadere nuovamente dalla scala su cui ci siamo arrampicati affannosamente in questi anni credendo che sia stata la volta buona? Prima o poi qualcuno e qualcosa che andranno ancora contro il nostro senso comune ci sarà sicuramente. La differenza forse è che adesso sappiamo che accadrà e lo speriamo anche per fare un ulteriore progresso nelle nostre piccole conoscenze, anche se con esse abbiamo un enorme potere e non è detto che sia un bene, ma qui si aprirebbe un altro capitolo sull’etica della scienza che non vorrei trattare in questo lavoro. Adesso si sa che la teoria della relatività generale non funziona su scale enormemente piccole dove a prevalere è la meccanica quantistica che non si accorda con le equazioni di Einstein. Arriverà un giorno in cui si scoprirà tutto? Questo è sempre stato il sogno di tutti gli scienziati. Chi non vorrebbe scoprire la M-Teoria?


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Ma quello sarà veramente un bel giorno per l’umanità (se ci sarà ancora)? Io non credo perché verrebbe meno il nostro istinto di andare verso l’ignoto. L’uomo da sempre ha cercato di scoprire quel che ancora non sapeva e il giorno che saprà tutto non vivremo più per questo scopo ma unicamente per mandare avanti la nostra specie, torneremmo paradossalmente a essere degli animali come gli altri.

Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie

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2. Biografie Le biografie seguenti sono state prese da www.biografieonline.it e liberamente adattate. 2.1 Galileo Galilei Padre della scienza moderna, Galileo Galilei è il gigantesco pensatore grazie al quale si diffuse un nuovo modo di fare scienza, fondato su un metodo solido non più basato sull'osservazione diretta della natura, bensì sull'utilizzazione degli strumenti scientifici. Nato a Pisa il 15 febbraio 1564, Galileo compie i primi studi di letteratura e logica a Firenze dove si trasferisce con la famiglia nel 1574. Nel 1581 per volere del padre si iscrive alla facoltà di medicina dell'Università di Pisa, ma per questa disciplina non mostrerà un vero interesse. Lasciata dunque l'università pisana fa armi e bagagli e ritorna a Firenze.

Qui sviluppa una passione per la meccanica cominciando a costruire macchine sempre più sofisticate, approfondendo la matematica e compiendo osservazioni di fisica sotto la guida di Ostilio Ricci. Nel 1589 ottiene la cattedra di matematica all'Università di Pisa che manterrà fino al 1592; nel 1591 il padre Vincenzo muore lasciandolo alla guida della famiglia; in questo periodo si interessa al movimento dei corpi in caduta e scrive il "De Motu". Nel 1593 Galileo viene chiamato a Padova dove la locale Università gli offre una prestigiosa cattedra di matematica, geometria e astronomia. Galileo accetta con entusiasmo e vi rimarrà fino al 1610. E' in questo periodo che comincia ad orientarsi verso la teoria copernicana del moto planetario, avvalorata dalle osservazioni effettuate con un nuovo strumento costruito in Olanda: il telescopio. Galileo apporterà poi significativi miglioramenti allo strumento. Nel 1609 pubblicava la sua "Nuova astronomia", che contiene le prime due leggi del moto planetario.

Figura 2-1: Galileo Galilei.


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Nel marzo 1610 rivela nel "Sidereus Nuncius" l’esistenza di quattro satelliti di Giove. La scoperta di un centro del moto che non fosse la Terra comincia a minare alla base la teoria tolemaica del cosmo. Le teorie astronomiche di Galileo Galilei vengono ben presto ritenute incompatibili con le verità rivelate dalla Bibbia e dalla tradizione aristotelica. Una prima conseguenza è un'ammonizione formale del cardinale Bellarmino. Galileo dopotutto non fa altro che confermare la teoria copernicana, teoria già conosciuta da tempo. L'Inquisizione ecclesiastica non sente ragioni, bolla come eretico questo impianto cosmologico e proibisce formalmente a Galileo di appoggiare tali teorie. Nell'aprile del 1630 Galileo, sì intimidito ma non a sufficienza per interrompere la sua straordinaria esplorazione scientifica, termina di scrivere il "Dialogo sui due Massimi Sistemi del Mondo", nel quale le teorie copernicana e tolemaica vengono messe dialetticamente a confronto. Concorda anche con il Vaticano alcune modifiche per poter far stampare l'opera, ma decide poi di farla stampare a Firenze, nel 1632. Arrivata nelle mani di Papa Urbano VIII, costui ne proibisce la distribuzione e fa istituire dall'Inquisizione un processo contro Galileo. Lo scienziato, ormai anziano e malato, viene chiamato a Roma e processato (1633). Imprigionato e minacciato di tortura, Galileo viene costretto ad abiurare pubblicamente (umiliato indossava un rozzo sacco) e condannato alla prigione a vita. Questo colossale scienziato e pensatore a cui si devono i mattoni fondamentali del progresso scientifico così come lo conosciamo oggi, morì a Firenze il giorno 8 gennaio 1642, circondato da pochi allievi e nella quasi totale cecità. Trecentocinquanta anni dopo la sua morte (1992) la Chiesa ha riconosciuto formalmente la grandezza di Galileo Galilei, "riabilitandolo" e assolvendolo dall'accusa di eresia.


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2.2 Isaac Newton Fisico e matematico tra i più grandi di ogni tempo. Ha dimostrato la natura composita della luce bianca, ha codificato le leggi della dinamica, ha scoperto la legge della gravitazione universale, ponendo le basi della meccanica celeste ed ha creato il calcolo differenziale ed integrale. Nato orfano di padre il 4 Gennaio 1643 in Woolsthorpe, nel Lincolnshire. Dopo un'educazione rudimentale nella scuola locale, viene spedito all'età di dodici anni alla King's School di Grantham. Alla sua nascita, Newton è l'erede legittimo di una modesta eredità legata alla fattoria che avrebbe dovuto cominciare ad amministrare una volta divenuto maggiorenne. Durante il periodo di prova alla King's School, diviene chiaro che l'agricoltura e la pastorizia non sono proprio il suo mestiere. Così, nel 1661, all'età di 19 anni, entra al Trinity College di Cambridge. Dopo aver ricevuto la laurea di baccellierato nel 1665, apparentemente senza particolare distinzione, Newton si ferma ancora a Cambridge per fare un master ma un'epidemia provoca la chiusura dell'università. Torna allora a Woolsthorpe per 18 mesi (dal 1666 al 1667), durante i quali non solo effettua degli esperimenti fondamentali e getta le basi teoriche di tutti i seguenti lavori sulla gravitazione e sull'ottica ma sviluppa anche il suo personale sistema di calcolo. Tornando a Cambridge nel 1667, Newton completa velocemente la sua tesi di master e prosegue intensamente l'elaborazione di un lavoro iniziato a Woolsthorpe. Il suo professore di matematica, Isaac Barrow, è il primo a riconoscere l'inusuale abilità di Newton in materia e, quando nel 1669, abbandona il suo incarico per dedicarsi alla teologia, raccomanda il suo pupillo come successore. Newton diventa così professore di matematica all'età di 27 anni, rimanendo al Trinity College per altri 27 con quel ruolo. Grazie alla sua prodigiosa ed eclettica mente ha modo di fare anche esperienza politica, precisamente come deputato al Parlamento di Londra, tanto che nel 1695 ottiene la carica di ispettore della Zecca di Londra. L'opera più importante di questo matematico e scienziato sono i "Philosophiae naturalis principia mathematica", autentico immortale

Figura 2-2: Isaac Newton.


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capolavoro, nel quale espone i risultati delle sue indagini meccaniche e astronomiche, oltre a gettare le basi del calcolo infinitesimale, ancora oggi di importanza indiscussa. Tra gli altri lavori si annovera "Optik", studio in cui sostiene la famosa teoria corpuscolare della luce e "Arithmetica universalis e Methodus fluxionum et serierum infinitarum", pubblicato postumo nel 1736. Newton muore nel 1727 seguito da grandissimi onori. Sepolto nell'abbazia di Westminster, sulla sua tomba vengono incise queste altisonanti e commoventi parole: "Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generis decus" (si rallegrino i mortali perché è esistito un tale e così grande onore del genere umano).


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2.3 Albert Einstein Albert Einstein, nasce il 14 marzo del 1879 a Ulm, in Germania, da genitori ebrei non praticanti. Un anno dopo la sua nascita la famiglia si trasferisce a Monaco di Baviera. L'infanzia di Einstein si svolge nella Germania di Bismarck, un paese in via di massiccia industrializzazione, ma anche retto con forme di dispotismo che si fanno sentire a vari livelli e in vari ambienti della struttura sociale. Il piccolo Albert era per istinto un solitario ed impara a parlare molto tardi. L'incontro con la scuola è da subito difficile: Albert, infatti, trovava le sue consolazioni a casa, dove la madre lo avvia allo studio del violino, e lo zio Jacob a quello dell'algebra. Da bambino, legge libri di divulgazione scientifica con quella che definì "un'attenzione senza respiro". Nel 1894 la famiglia si trasferisce in Italia per cercarvi miglior fortuna con una fabbrica a Pavia, vicino a Milano. Albert rimase solo a Monaco per poter terminare l'anno scolastico al ginnasio, raggiunse poi la famiglia. Gli affari della fabbrica cominciarono ad andare male e il padre Hermann esortò il figlio a iscriversi al famoso Istituto Federale di Tecnologia, noto come Politecnico di Zurigo. Non avendo però conseguito un diploma di scuola secondaria superiore, nel 1895 dovette affrontare un esame di ammissione e fu bocciato per insufficienze nelle materie letterarie. Ma ci fu di più il direttore del Politecnico, impressionato dalle non comuni capacità mostrate nelle materie scientifiche, esortò il ragazzo a non rinunciare alle speranze e a ottenere un diploma abilitante per l'iscrizione al Politecnico nella scuola cantonale svizzera progressiva di Aargau. Qui Einstein trovò un'atmosfera ben diversa da quella del ginnasio di Monaco. Nel 1896 può finalmente iscriversi al Politecnico. Lì prende una prima decisione non farà l'ingegnere ma l'insegnante. Nel corso dei suoi studi a Zurigo matura la sua scelta: si dedicherà alla fisica piuttosto che alla matematica. Si laurea nel 1900. Prende dunque la cittadinanza svizzera per assumere un impiego all'Ufficio Brevetti di Berna. Il modesto lavoro gli consente però di dedicare gran parte del suo tempo allo studio della fisica.

Figura 2-2: Albert Einstein.


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Nel 1905 pubblica tre studi teorici. Il primo e più importante studio contiene la prima esposizione completa della teoria del moto brawniano. Il secondo studio, sull'interpretazione dell'effetto fotoelettrico, conteneva un'ipotesi rivoluzionaria sulla natura della luce; egli affermò che in determinate circostanze la radiazione elettromagnetica ha natura corpuscolare, ipotizzando che l'energia trasportata da ogni particella che costituiva il raggio luminoso, denominata fotone, fosse proporzionale alla frequenza della radiazione è proprio quest'ultimo studio che gli valse in seguito il premio Nobel per la Fisica nel 1921. Il terzo e più importante studio del 1905, che reca il titolo "Elettrodinamica dei corpi in movimento": conteneva la prima esposizione completa della teoria della relatività ristretta, frutto di un lungo e attento studio della meccanica classica di Isaac Newton, delle modalità dell'interazione fra radiazione e materia, e delle caratteristiche dei fenomeni fisici osservati in sistemi in moto relativo, l'uno rispetto all'altro, Nel 1916 pubblica la memoria: "I fondamenti della teoria della Relatività generale", frutto di oltre dieci anni di studio. Questo lavoro è considerato dal fisico stesso il suo maggior contributo scientifico e si inserisce nella sua ricerca rivolta alla geometrizzazione della fisica. Con l'avvento al potere di Hitler, Einstein fu costretto a emigrare negli Stati Uniti, dove gli venne offerta una cattedra presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel New Jersey. Di fronte alla minaccia rappresentata dal regime nazista egli rinunciò alle posizioni pacifiste e nel 1939 scrisse assieme a molti altri fisici una famosa lettera indirizzata al presidente Roosevelt, nella quale veniva sottolineata la possibilità di realizzare una bomba atomica. La lettera segnò l'inizio dei piani per la costruzione dell'arma nucleare. Einstein ovviamente disprezzava profondamente la violenza e, conclusi quei terribili anni, s'impegnò attivamente contro la guerra e le persecuzioni razziste, compilando una dichiarazione pacifista contro le armi nucleari. Più volte poi, ribadì la necessità che gli intellettuali di ogni paese dovessero essere disposti a tutti i sacrifici necessari per preservare la libertà politica e per impiegare le conoscenze scientifiche a scopi pacifici. Morì, a Princeton, il 18 aprile 1955, circondato dai più grandi onori.

Dalla relatività ai buchi neri 3. Introduzione alla relatività galileiana

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3. Introduzione alla relatività galileiana 3.1 Referenziali inerziali o di Galileo Ipotizziamo che ci siano due scienziati che abbiano il compito di descrivere matematicamente la caduta di una pallina, questa pallina però è lasciata cadere da una persona che si trova su di un treno in moto uniforme rispetto alla banchina della stazione. Il primo scienziato, che si trova sul treno in movimento, non ha problemi a descrivere il moto della pallina con una semplice linea retta. Infatti considera la pallina in caduta libera e come ogni corpo in caduta libera segue una linea retta diretta al centro della Terra. Il secondo scienziato è posto sulla banchina della stazione e descrive il moto come una semiparabola. Per lui la pallina è come se fosse lanciata in avanti e non semplicemente lasciata cadere. Ma è possibile che uno dei due scienziati abbia sbagliato l’interpretazione? A questo problema diede una soluzione Galileo, che fu il primo ad osservare che non esiste un unico sistema di riferimento1, bensì ce ne possono essere infiniti equivalenti. Perciò tutti e due gli scienziati avevano ragione. Se si vuole descrivere un moto di una particella si deve prima determinare un sistema di riferimento. Si accorse anche che se venivano considerati due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro valevano comunque le stesse leggi fisiche. Quindi formulò questo enunciato (per i fenomeni meccanici): Il moto degli oggetti è regolato dalle stesse leggi sia in un riferimento fermo sia in uno che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso. Una volta che si è stabilito che ci sono dei sistemi di riferimento equivalenti si possono cercare delle formule che permettano il passaggio da un referenziale all’altro.

1 Nel testo utilizziamo i termini sistema di riferimento e referenziale come sinonimi.


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3.2 Assiomi non relativisti Prima di trattare gli assiomi non relativisti è necessario dare una definizione di simultaneità nella relatività galileiana. Definizione Due eventi A e B sono detti simultanei per l’osservatore O , che si trova nel referenziale inerziale R , se BA tt = .

3.2.1 La simultaneità e l’intervallo di tempo Due eventi simultanei rispetto a R sono simultanei rispetto ad ogni altro referenziale inerziale 'R . Il concetto di simultaneità è un concetto assoluto. Da questo assioma si può concludere che la simultaneità degli eventi non dipende dal referenziale considerato. Inoltre implica che anche il concetto di intervallo di tempo è assoluto e non dipende dal referenziale. Un’altra conseguenza importante dell’assioma è l’esistenza di un tempo universale, infatti è sempre possibile porre 'tt = .

3.2.2 L’intervallo di spazio Gli intervalli di spazio, cioè la distanza, tra due eventi A e B simultanei misurati in R e

'R sono uguali, ossia

''' ''RttRtt BABA = dove 'tt =

Da questo secondo assioma non relativista si può dedurre che l’intervallo di spazio è un concetto assoluto. Possiamo riassumere i due assiomi non relativisti qua sopra formulati dicendo che in meccanica newtoniana ci sono due invarianti:

o L’intervallo di tempo o L’intervallo di spazio


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3.3 Le trasformazioni di Galileo Siano ),,,( tzyx le coordinate spazio-temporali di un evento E descritto dal referenziale R , e )',',','( tzyx quelle relative sempre ad E ma descritte da 'R . Allora dagli assiomi non relativisti si ha

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−=−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ctcttvzztvyytvxx

ctzyx

cvcvcv

ctzyx

z

y

x

z

y

x

''''

1000

100

010

001

''''

Da questo enunciato segue direttamente che, prendendo in considerazione due referenziali inerziali R e 'R , si ha 'aa = e 'FF = . La seconda legge di Newton nella forma amF = , è identica nei due referenziali inerziali

amF = e '' amF = . Il moto è perciò descritto dalle stesse leggi in R come in 'R . 3.4 Formulazione di Galileo del concetto di relatività Nel seguente brano di Galileo si può notare il suo modo di formulare il concetto di relatività. Con l’esempio della nave, che rappresenta un referenziale inerziale o di Galileo, ha l’intenzione di far capire a tutti questo concetto basilare per l’oggettività della fisica. Inoltre si mette in evidenza che la nave deve essere in moto costante per poter osservare e verificare il concetto di relatività. Tutte le esperienze che elenca in questo testo sono considerabili quotidiane per della gente che era abituata a solcare i mari, ma nonostante ciò solo nel XVI secolo venne formulato questo importante principio. “[…] Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità;


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ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con piú forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con piú fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate […]” Da [11], pagine 227-228 3.5 Concezione dello spazio e del tempo pre-relativistica Prima di considerare lo spazio e il tempo nella visione relativistica è fondamentale considerare la concezione pre-relativistica, cioè quella descritta da Newton. Egli studiò a fondo la meccanica dei corpi e le sue leggi sono tutt’ora studiate. Secondo lo scienziato inglese tutti i moti dei corpi avvengono nello spazio e nel tempo, ora bisogna però capire cosa siano questi due concetti. Si dedicò con molta cura alla ricerca di una definizione di spazio e di tempo. Arrivò a sostenere che lo spazio e il tempo esistono indipendentemente l’uno dall’altro e dalla materia e inoltre fece una distinzione tra spazio e tempo assoluto e relativo. “Il vero tempo matematico assoluto scorre, grazie alla sua natura, uniformemente e senza rapporto a un oggetto esterno. Esso viene designato anche col nome di periodo. Il tempo consueto, apparente, relativo, è una misura, precisa o meno, tangibile ed esteriore del periodo, come ora, giorno, mese, anno, della quale abitualmente ci si serve al posto del tempo vero e proprio. Lo spazio assoluto, grazie alla sua natura, rimane costantemente uguale e immobile, senza rapporto a un oggetto esterno. Lo spazio relativo è una misura o una parte mobile del primo, il quale viene definito dai nostri sensi per mezzo della sua condizione rispetto ad altri corpi, e abitualmente scambiato con lo spazio immutabile.” Da [1], pagina 32


14

È con queste parole che Isaac Newton espone la propria visione dello spazio e del tempo. È interessante notare come divide nettamente tra relativo e assoluto. Prendiamo in considerazione solamente lo spazio in quanto è qualcosa di più concreto e meno astratto del tempo. Lo spazio relativo è quello che ci circonda, in cui ci muoviamo e con tre dimensioni. Invece quello assoluto è lo scenario dove si svolge tutto, ma tutti i fenomeni che avvengono non lo perturbano in quanto è immobile e costantemente uguale. Ci sono però delle contraddizioni nel lavoro di Newton, infatti è lui stesso a formulare il principio d’inerzia: “Un corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se la risultante delle forze agenti su di esso è nullo” Con la formulazione di questo principio lo stesso Newton si rese conto che non c’è alcuna differenza tra un corpo in stato di quiete o in movimento. Questo concetto inerziale si può estendere, come abbiamo appena visto con le trasformazioni di Galileo, ai referenziali inerziali. Abbiamo anche detto che possono esserci infiniti referenziali inerziali equivalenti e allora qui sorgono spontanee alcune domande: Quali di questi referenziali rappresenta lo spazio assoluto e immobile? Infatti se sono equivalenti non ha senso che uno sia più assoluto di un altro. Inoltre ha senso parlare di spazio che esiste indipendentemente dalla materia? Avrebbe senso parlare di spazio privo di materia? Io non credo che sia possibile che uno scienziato del calibro di Newton non si sia accorto di questa sua incoerenza, ma l’idea di uno spazio assoluto, eterno, infinito, immutabile, indistruttibile si avvicinava di più all’idea di una creazione divina e perfetta. Alla fine ha prevalso la sua fede sulla sua ragione.

Dalla relatività ai buchi neri 4. Introduzione alla relatività ristretta

15

4. Introduzione alla relatività ristretta 4.1 Il campo elettromagnetico di Maxwell James Clerk Maxwell unificò nel 1865 le leggi che in precedenza erano state elaborate per descrivere l’elettricità e il magnetismo. Teorizzò l’esistenza dei campi che trasmettono azioni da un luogo ad un altro e comprese che i campi che trasmettono perturbazioni elettriche e magnetiche sono entità dinamiche: oscillano e si muovono nello spazio. Di Maxwell si ricordano le sue quattro famose equazioni

0

)(εQES =Φ

IEdtd

cB

CSC 02 )(1)( µ=Φ−Γ

0)( =Φ BS

0)()( =Φ+Γ BdtdE

CSC

dove SΦ è il flusso attraverso una superficie chiusa, CΓ la circuitazione la curva chiusa C e

CSΦ il flusso attraverso la superficie che ha C come bordo.

da cui trasse anche questa importante conclusione: le onde elettromagnetiche di tutte le frequenze viaggiano nello spazio alla stessa velocità fissa, quella della luce, chiamata c . 4.2 L’etere Come abbiamo appena visto la teoria di Maxwell prediceva che la luce come tutte le onde elettromagnetiche si propaghino a un certa velocità fissa. Ma qui sorgeva un problema, infatti si doveva dire rispetto a cosa si propagava la luce alla sua velocità fissa. Per risolvere il problema i fisici ipotizzarono la presenza di una sostanza che fu chiamata etere. Secondo questa ipotesi l’etere doveva essere presente ovunque, persino nel vuoto. L’etere era il mezzo con il quale le onde luminose e più generalmente le onde elettromagnetiche si propagavano, un po’ come l’aria per il suono. Quindi era una conseguenza logica che se ci si muoveva nella direzione della luce questa doveva avere una velocità minore di quella fissa, in quando questa ultima era relativa all’etere.


16

4.3 L’esperimento di Michelson e Morley Un caso particolare di questa ultima considerazione è il movimento di rotazione della Terra. Infatti un raggio di luce sarebbe stato più veloce se fosse emesso nella direzione ortogonale al moto e rispettivamente più lento se fosse emesso nella direzione del moto. Nel 1887 Albert Michelson ed Edward Morley fecero questo esperimento.

Figura 4-1: L’immagine rappresenta i raggi luminosi emessi dalla Terra parallelamente e ortogonalmente al moto di questa intorno al Sole.

Descriviamo la versione moderna di questo esperimento. Un raggio laser colpisce uno specchio argentato semitrasparente che divide il fascio in due parti. I due fasci che si formano sono tra di loro perpendicolari, in modo che uno sia parallelo al moto terrestre e l’altro perpendicolare. I due raggi laser vengono riflessi da altri due specchi che li rimandano sulla specchio semitrasparente centrale. Dallo specchio vengono deviati verso un’unica direzione. Alla fine apparranno delle frange di interferenza, che saranno fondamentali per trarre le conclusioni dell’esperienza.


17

Figura 4-2: Schema dell’esperimento di Michelson e Morley.

Sia u la velocità con cui l’intero oggetto si muove rispetto all’etere e l la distanza tra gli specchi e lo specchio semitrasparente posto al centro. Tempo che impiega il raggio di luce a fare il percorso di andata e ritorno fra i due specchi:

)1(

2

2

21

cuc

luc

luc

lt−

=+

+−

= (direzione parallela al moto)

2

22

1

2

cuc

lt−

= (direzione ortogonale al moto)

dove 2

2

1cuc − è la velocità della luce nella direzione del moto

Se un raggio di luce arriva prima dell’altro all’osservatore significa che deve esserci uno sfasamento nelle onde luminose. Chiameremo questo sfasamentoφ .

u


18

Consideriamo 1<<cu

)1

1

1

1(2)1

12

1

12()(

2

2

2

2

2

2

2

212

cu

cuc

l

cuc

l

cuc

ltt−

−−

=

−

−−

=−=υυυφ

dove υ è la frequenza del laser. A questo punto possiamo sfruttare i seguenti sviluppi di Taylor:

• xx

+≅−

11

1

• xx 2

1111

+≅−

Facciamo ora una sostituzione con i risultati ottenuti dagli sviluppi di Taylor:

32

2

2

2

2

2

2

2

2

2 212)

2111(2)

1

1

1

1(2c

ulcu

cl

cu

cu

cl

cu

cuc

l υυυυ==+−+=

−

−−

Perciò lo sfasamento è dato da

3culυφ =

Se ruotiamo tutto l’apparecchio di °90 , lo sfasamento sarà di φ∆− e dovremmo osservare una spostamento delle frange di interferenza. Contrariamente alle previsioni della fisica classica, non si osserva alcun cambiamento delle frange di interferenza. Si deve quindi concludere che 21 tt = . Questo esperimento dimostra che la velocità della luce è indipendente dalla direzione in cui si propaga. Inoltre crolla anche parte della concezione dell’universo costruita nel 1800 che si basava sull’esistenza dell’etere.

Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta

19

5. La relatività ristretta 5.1 Le considerazioni di Einstein La concezione della relatività di Galileo fu messa in crisi con la teoria di Maxwell sui campi elettrici e magnetici, infatti quest’ultima non è invariante rispetto alle trasformazioni di Galileo, perché compare nelle sue equazioni la velocità della luce. Ora ci sono due possibilità:

1. Si deve rinunciare al principio di relatività formulato da Galileo 2. Si deve abbandonare le legge della propagazione della luce.

Einstein credeva fermamente al concetto di relatività espresso da Galileo, infatti senza di questo la fisica perderebbe il suo valore oggettivo e sarebbe sottoposta a cambiamenti di leggi a dipendenza del referenziale considerato. Nonostante ciò era anche convinto della validità delle equazioni di Maxwell. Questo lo portò a formulare una nuova teoria in cui non vi era incompatibilità tra il principio di relatività e la legge della propagazione della luce. 5.2 Postulati di Einstein sulla luce

1. In tutti i referenziali inerziali la velocità della luce è indipendente dalla direzione (isotropia).

2. La velocità della luce ha lo stesso valore in tutti i referenziali inerziali (invarianza).

Una volta che si hanno i nuovi postulati bisogna trovare dei nuovi invarianti che permettano di determinare nuove formule di trasformazione. Forse però prima è interessante vedere le conseguenze dei postulati di Einstein sulla luce.


20

5.3 Concetto di simultaneità Definizione Due eventi sono simultanei per un osservatore, posto alla stessa distanza dai due eventi, se sono visti simultaneamente.

Ora pensiamo a questa semplice situazione Il disegno sopra raffigura un ipotetico vagone di un treno. Gli eventi A e B sono l’accensione di una luce. Quando questo è fermo i due avvenimenti simultanei per M a terra lo sono anche per 'M , dove M è il punto medio tra A e B . Invece quando il treno è in movimento rettilineo uniforme i due eventi per un osservatore posto su 'M non sono più simultanei ma questi vedrà prima l’evento B rispetto a quello A . Questo è facilmente spiegabile e comprensibile considerando il fatto che la luce proveniente dall’evento A deve compiere lo spazio tra A e M più quello percorso dal treno nel lasso di tempo che trascorre da quando l’evento accade a quando viene recepito. Rispettivamente il raggio di luce emesso da B deve compiere la distanza tra B e M da cui si deve sottrarre lo spazio percorso dal treno in quel periodo. Da questo piccolo esperimento si conclude che il concetto di simultaneità non è più assoluto, bensì relativo al referenziale scelto. Il postulato sulla velocità della luce fa crollare la pietra miliare della concezione newtoniana di spazio e di tempo.

A B

M

A BM

'M


21

5.4 Principio di relatività Einstein come è stato detto prima credeva al concetto di relatività e quindi non può che metterlo come principio, assieme ai postulati sulla luce, su cui si dovrà basare la sua nuova teoria. Il principio di relatività è lo stesso di quello che qualche secolo prima aveva già formulato, anche se con termini diversi, lo scienziato italiano Galileo Galilei. Le leggi della fisica sono le stesse relativamente ad ogni referenziale inerziale, esse sono invarianti rispetto ai cambiamenti di referenziale, referenziali in traslazione uniforme l’uno rispetto all’altro. 5.5 Intervallo Nella relatività ristretta ci sono due invarianti:

1. la velocità della luce c

2. l’intervallo definito da 2222 xtcs ∆−∆=∆ , dove ∑=

∆=∆3

0

2)(i

ixx

Osserviamo subito che se cv = allora 22

2

ctx

=∆

∆ da cui segue 02 =∆s

di conseguenza abbiamo anche 0)'( 2 =∆s che implica cv ='

Dimostriamo che s∆ è un invariante. Si cerca una relazione tra s∆ e 's∆ sapendo che questa dipende dalla velocità u di 'R rispetto a R e sappiamo inoltre che s∆ e 's∆ devono essere nulli simultaneamente poiché c è un invariante. Poniamo quindi

suks ∆=∆ )('

La relazione vale dalle due parti:

1)()(')()('')(

)('=−⇒∆−=∆⇒

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

∆−=∆∆=∆

ukuksukukssukssuks

Arrivati a questo punto è fondamentale una trasformazione di coordinate:

uutx

txxx −→⇔

∆∆

−→∆∆

⇔−→ )()(

da ciò si deduce che )()( ukuk −= e quindi 1)(1)( 2 ±=⇔= ukuk però 1− è escluso poiché '0 ssu ∆=∆⇒= In conclusione 1)( =uk e quindi 'ss ∆=∆ . Abbiamo perciò dimostrato che l’intervallo s∆ è invariante.


22

5.6 Diagrammi di Brehme I diagrammi di Brehme sono dei diagrammi che servono per rappresentare gli eventi relativamente a due referenziali inerziali R e 'R . Nei diagrammi di Brehme si proietta perpendicolarmente all’asse scelto. Condizioni iniziali:

• ⎩⎨⎧

===

)0('' 11

ttxx

• Sia l’evento 0E all’origine dei due referenziali e sia l’evento 1E la posizione

dell’osservatore 'O dopo un tempo t (visto da R ) Abbiamo perciò

utxuttx O =∆⇔= 1)'(1 )( La retta ct è la linea di universo di 'O e viene imposto come il secondo asse del referenziale inerziale R .

'ct∆

ct∆

'ct

ut

0E

1E

ct

1x

'1x

uttx O =∆ )()'(1

α

α


23

Sapendo che 0)(' )'(1 =tx O si possono costruire gli assi del referenziale 'R . Dato che l’osservatore 'O è fermo nel referenziale 'R possiamo trovare l’asse 1'x , infatti è perpendicolare a ct e passante per l’origine (per le condizioni iniziali poste). Abbiamo già dimostrato che s∆ è invariante in ogni referenziale inerziale e qui lo possiamo utilizzare per trovare l’asse 'ct del referenziale 'R .

222222222 )()()'()()(0)'(' ctutctutctctss =+⇔−=−⇔∆=∆

Conoscendo ut e ct troviamo facilmente l’asse 'ct , il quale risulta perpendicolare all’asse 1x .

Si deduce direttamente dal grafico che cu

ctut

==αsin .

Per dimostrare la correttezza di questi diagrammi non ci possiamo fermare qui ma dobbiamo considerare il caso in cui 1E non sia posto sull’asse ct .

Dobbiamo dimostrare che la lunghezza di l sia uguale nei due referenziali inerziali presi in considerazione. Si frutta sempre il fatto che s∆ è invariante in ogni referenziale inerziale, abbiamo

llxtcxtcxtcxtcss =⇔∆+∆=∆+∆⇔∆−∆=∆−∆⇔∆=∆ 2222222222 '''''

'ct

'ct∆

0E

ct∆1E

ct

1x

'1x

'1x∆

1x∆

'1x∆

l

α

α


24

5.7 Le trasformazioni di Lorentz Le trasformazioni di Lorentz sono l’equivalente relativistico delle trasformazioni di Galileo. Permettono di passare dalla descrizione di un evento E rispetto ad un referenziale inerziale R (coordinate ),,,( tzyx ) a un altro referenziale inerziale 'R (coordinate )',',','( tzyx ).

Dal diagramma di Brehme si deduce che:

'tan

cta

=α ; '

tan1xb

=α ; ax

x−

=1

1 'cosα ; bct

ct−

='cosα

Da queste relazioni si trovano le formule di passaggio da un referenziale inerziale a un altro (trasformazioni di Lorentz).

'ct ct

1x

'ctct

a

b1x'1x

'1x

ax −1

bct −

α

α


25

Poniamo αγ sin==cu

Allora

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⇔−

=

=⇔=

−=⇔−

=

=⇔=

)(cos''cos

tan''

tan

)(cos''

cos

tan''

tan

11

111

1

bctctbct

ct

xbxb

axxax

x

ctacta

αα

αα

αα

αα

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−=−=

−=−=−=⇒

γαααααα

γαααααα

'cos)cossin'(cos)tan'(cos'


111

1111

xctxctxctct

ctxctxctxx

)(cos)1(''coscos)'cos(cos' 12

12

11111 ctxxxctxxctxx γαγγαγαγαγα −=−⇔+−=−−=⇒

21

21

2

111

)(1'

γγ

γγγ

−

−=

−−−

=⇔ctxctx

x

Inoltre abbiamo anche

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−=−=

−=−=−=

γαααααα

γαααααα



111

1111

xctxctxctct

ctxctxctxx

)(cos)1(''coscos)'cos(cos' 122

11 xctctctxctctxctct γαγγαγαγαγα −=−⇔+−=−−=⇒

21

21

2

11)(1

'γγ

γγγ

−

−=

−−−

=⇔xctxct

ct

Dato che la traslazione è parallela all’asse Ox si ha '22 xx = e '33 xx = le trasformazioni di Lorentz sono date da

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

−

−=

−

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

''

1'

1'

33

22

2

11

2

1

3

2

1

xxxx

ctxx

xctct

xxxct

γ

γγ

γ


26

e le trasformazioni inverse sono date da

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

−

+=

−

+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

''

1

'1

'

''''

33

22

2

11

2

1

3

2

1

xxxx

ctxx

xctct

xxxct

γ

γγ

γ

Possiamo scrivere le trasformazioni di Lorentz anche sotto forma di matrici, cosi facendo si facilita il confronto con le trasformazioni di Galileo.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

22

2

22

3

2

1

10000100

001

11

0011

1

xxxct

xxxct

γγ

γγγ

γ

Queste trasformazioni ci permettono anche di vedere come si trasforma la velocità tra due referenziali inerziali. Siano ),,( 321 vvvv = e )',','(' 321 vvvv = i vettori velocità, rispettivamente, in R e 'R . Come sappiamo la velocità è la derivata prima della posizione, quindi

dtdtdt

dxdtdt

dtdx

dtdxv '

1''

'''' 111

1 === , inoltre vdtdx

=

o 2

12

1

211

111'

γγγ

γ

−

−=

−

−=

−

−=

uvccuvcv

dtdx

o 2

12

2

12

2

1

21

1

1

1

)1(

11'

γγγγ

γ

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

vcu

c

vcuc

c

vcuc

cvc

dtdt


27

Combinando le due derivate:

12

1

12

2

21

2

12

21111

1

11

1

1

1

1

11'

1''

''''

vcu

uv

vcu

uv

vcu

uv

dtdtdt

dxdtdt

dtdx

dtdxv

−

−=

−

−

−

−=

−

−−

−====

γ

γ

γ

γ

Calcolo per 2v :

22 ' v

dtdx

=

e perciò

12

2

22

1

1'v

cuvv

−

−=

γ

Calcolo per 3v :

33 ' v

dtdx

=

e perciò

12

2

33

1

1'

vcu

vv−

−=

γ

Le trasformazioni delle velocità associate alle trasformazioni di Lorentz, ricordando che avviene una traslazione unicamente parallelamente all’asse Ox , sono date da

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

−

−=

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

12

2

33

12

2

22

12

11

3

2

1

1

1'

1

1'

1'

vcuvv

vcuvv

vcu

uvv

vvv

γ

γ


28

Le trasformazioni inverse sono date da

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−=

+

−=

+

+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

'1

1'

'1

1'

'1

'

'''

12

2

33

12

2

22

12

11

3

2

1

vcuvv

vcuvv

vcu

uvv

vvv

γ

γ

5.8 Carattere limite della velocità della luce Nella teoria della relatività la velocità della luce c ha il carattere di una velocità limite che non può essere né raggiunta né superata da alcun corpo reale. Questa caratteristica della velocità della luce deriva dalle trasformazioni di Lorentz che diventerebbero prive di significato nel caso in cui si scelgano valori di u maggiori o uguali a c . Esempio:

1. con cu = :

∞=−

=

−

−=

01

' 1

2

2

1 xct

cc

xccct

ct

2. con cu 2= :

32

41

2

' 1

2

2

1

−−

=

−

−=

xct

cc

xccct

ct Impossibile in ℜ


29

5.9 Contrazione apparente delle lunghezze Sia 'L la lunghezza di una riga ferma nel referenziale inerziale 'R e orientata nella direzione del moto di 'R rispetto R . Per misurare da R la lunghezza di un corpo in movimento come 'L occorre misurare le coordinate dei suoi punti estremi, che chiameremo A e B , allo stesso istante, cioè BA tt = .

Dal diagramma si può dedurre questa semplice relazione trigonometrica:

2

2

2

22 1'1'1'cos'

'cos

cuLL

cuLLLL

LL

−=⇒−=−==⇔= γαα

da questa uguaglianza segue che 'LL < , ciò significa che la nostra riga ferma nel referenziale 'R è apparentemente più corta quando è vista da R . È inoltre importante notare che questa contrazione apparente della lunghezza avviene unicamente nella direzione del moto di 'R rispetto R e non nelle direzioni perpendicolari al moto. Si può concludere che le distanze sono dei concetti relativi e non più assoluti come nella relatività di Galileo.

'ct ct

1x

'1x

α L

'L

α


30

5.10 Dilatazione apparente dell’intervallo di tempo Prendiamo in considerazione un ipotetico orologio, per comodità assumiamo che questo sia posizionato all’origine del referenziale 'R . Ogni battito della lancetta è un evento temporale. Sia 'R un referenziale inerziale in movimento costante e uniforme rispetto a R . Il nostro ipotetico orologio è fermo nel referenziale 'R , di conseguenza si muove in R . Chiamiamo t∆ il tempo che trascorre tra i due eventi scelti in R e rispettivamente

't∆ in 'R .

Dal diagramma si può dedurre questa semplice relazione trigonometrica:

2

22 11''cos

cuttt

tctc

−∆=−∆=∆⇔∆∆

= γα

da questa uguaglianza segue che 'tt ∆>∆ , ciò significa che il tempo trascorso tra i due eventi è più corto nel referenziale 'R in cui l’orologio è fermo, invece è maggiore nel referenziale R rispetto il quale il nostro ipotetico orologio è in movimento. Come per le distanze si può anche qui arrivare alla conclusione che il tempo non è più un concetto assoluto ma è relativo al referenziale inerziale preso in considerazione.

'ct ct

1x

'1x

α

α

tc∆

'tc∆


31

5.11 Effetto Doppler non relativista Prima di considerare l’effetto Doppler relativista credo sia importante spiegare cosa sia questo fenomeno nella fisica classica. L’effetto Doppler è la dipendenza della lunghezza d’onda dalla velocità ed è per quanto riguarda il suono un’esperienza che proviamo quotidianamente sulle nostre strade e non solo. Non vi siete mai accorti e soprattutto chiesti come mai quando incrociate un’autoambulanza mentre vi viene in contro ha un suono più acuto di quando vi ha superato?

Questo succede perché la velocità del suono rispetto all’aria è di circa sm340 ed è sempre

la stessa ad eccezione di cambi di temperatura. Quando la nostra ambulanza si avvicina si trova ancora più vicina a noi quando emette la cresta dell’onda successiva, perciò la distanza tra le creste, la lunghezza d’onda, è minore e il suono risulto più acuto. Naturalmente succede esattamente l’opposto una volta che ci ha superato e perciò sentiamo un suono più grave. Questo effetto vale anche per la luce siccome anch’essa è un’onda, in questo caso lo spostamento di frequenza comporterà un cambiamento di colore: se la sorgente si avvicina la frequenza emessa aumenta e perciò il colore da noi percepito tenderà al blu, invece se la sorgente si allontana emetterà una frequenza minore e il colore tenderà verso il rosso.

Figura 5-1: Effetto Doppler con le onde sonore.


32

Per arrivare a trovare la formula che descrive questo fenomeno in una fisica non relativistica si deve conoscere questa uguaglianza:

λυ=v dove v è la velocità dell’onda, λ la lunghezza d’onda e υ la sua frequenza. Adesso consideriamo il caso in cui la sorgente sia in movimento e l’osservatore fermo. La sorgente muovendosi verso l’osservatore emetterà le creste delle onde a una distanza minore che se fosse ferma. Abbiamo perciò un cambiamento nella frequenza misurata dall’osservatore. La lunghezza d’onda misurata dall’osservatore è data dalla lunghezza d’onda che la sorgente emetterebbe se fosse ferma dalla quale si deve sottrarre lo spazio percorso della sorgente nel periodo T . Se invece si allontana si deve sommare alla lunghezza d’onda lo spazio percorso dalla sorgente.

sorgonda

onda

sorgonda

ondaonda

onda

sorg

onda

ondasorg vv

vvv

vvvvTv

∓∓∓∓ υ

υ

υυυυ

λλ ==⇔=⇔= ''

'

dove υ è la frequenza emessa dalla sorgente se fosse ferma 'υ la frequenza misurata dall’osservatore fermo. A questo punto si deve prendere in considerazione il caso opposto, cioè con una sorgente ferma e un osservatore in movimento. A cambiare in questo caso non è più la lunghezza d’onda ma direttamente la frequenza. Infatti l’osservatore in movimento va contro le creste delle onde e quindi le misurerà con una frequenza maggiore, rispetto al caso in qui fosse fermo. Se invece l’osservatore si allontanasse l’effetto sarebbe opposto, cioè misurerebbe una frequenza minore. Perciò si deve sommare (o sottrarre) la velocità di propagazione dell’onda alla velocità dell’osservatore, questa somma corrisponde alla velocità effettiva dell’onda relativa all’osservatore in movimento.

onda

ossondaossondaossondaossonda v

vvvvvvv

±=⇔=

±⇔=±⇔=± υυυ

λλυ

λυλυ ''''

Una volta trovati i due casi non ci resta che combinarli per poter trovare il caso generale, la cui formula è definita da

sorgonda

ossonda

vvvv

∓±

=υυ '


33

5.12 Effetto Doppler relativista Anche per l’effetto Doppler relativista si parte dalle stesse considerazioni iniziali ma sfruttando le conseguenze delle trasformazioni di Lorentz si arriva a dei risultati diversi, però se approssimati a velocità basse, cioè quelle della nostra vita quotidiana, si torna alle formule trovate qui sopra.

Figura 5-2: Effetto Doppler con le onde luminose.

Rispetto a 'R abbiamo

''1 cTx =∆ dove 'T è il periodo dell’onda e rispetto a R , sfruttando le formule di trasformazione di Lorentz (T il periodo rispetto a R )

)(1

1' 121 cTxx γγ

−∆−

=∆

)(1

1' 12xcTcT ∆−

−= γ

γ


34

Combiniamo ora queste tre formule per poter arrivare ad una relazione tra T e 'T Iniziamo ora trovando i valori di 1x∆ e cT

cTxxcTxxcTxx γγγγγγ

+−∆=∆⇔−∆=−∆⇔−∆−

=∆ 2111

21121 1'1')(

11'

12

12

121'1')(

1

1' xcTcTxcTcTxcTcT ∆+−=⇔∆−=−⇔∆−−

= γγγγγγ

a questo punto si può inserire 1

21' xcTcT ∆+−= γγ nella seconda equazione ed utilizzando ''1 cTx =∆

)1(1)1(')1'(1

1' 21

21

22121 γγγγγγ

γ−∆=−+⇔∆−−−∆

−=∆ xcTxcTxx

1

2

12

11'

)1(1' xcT

xcT ∆=−−

⇔−∆=−⇔γγ

γγ

qui possiamo fare la seguente sostituzione cTcTx γγ +−=∆ 2

1 1'

)1()1(1'1'1'1

1' 2222

γγγγγγγγγ

−=−−−−⇔+−=−−

cTcTcTcTcTcT

'11

)1(1')1()11(1'2

22

TTTTcTcT =

−−

⇔−=−⇔−=+−−⇔γγ

γγγγγγ

da cui

ucuc

cucu

+−

=

−

−= '

1

1'

2

2υυυ


35

5.13 I risultati ottenuti con l’effetto Doppler

5.13.1 L’espansione dell’universo Gli astronomi sfruttarono l’effetto Doppler per determinare se le stelle e le galassie si avvicinavano o si allontanavano, con sorpresa si scoprì che tutte si allontanavano e più erano lontane più si distanziavano velocemente. Fu Edwin Hubble a intuire le conseguenze importanti di questa scoperta. Infatti osservando che tutte le galassie si allontanavano l’una dall’altra dedusse che l’universo si sta espandendo. Questa fu una delle più grandi scoperte del XX secolo.

5.13.2 Il Big Bang Se le galassie si stanno allontanando significa che una volta erano più vicine e conoscendo la velocità con la quale si stanno allontanando si può datare il momento in cui tutte erano concentrate in un singolo punto. Questo è il ragionamento fatto da due grandi scienziati: Roger Penrose e Sthephen Hawking. Essi furono i primi a ipotizzare che il nostro universo si sia formato attorno ai 15 miliardi di anni fa. Inoltre hanno anche dimostrato che una delle conseguenze della teoria della relatività generale è che l’universo e il tempo hanno tratto origine da una gigantesca esplosione, chiamata in modo onomatopeico Big Bang. La teoria della relatività può darci poche informazioni sul Big Bang poiché è una singolarità, allo stesso modo di un buco nero. Si può però dedurre che la densità fosse infinita.

5.13.3 Le ipotesi precedenti

Prima c’erano due correnti di pensiero sull’origine dell’universo, la prima quella più religiosa che sosteneva che l’universo si sia formato solo qualche migliaia di anni fa, ma come è facile pensare questa teoria faceva acqua da molte parti. L’altra è che l’universo fosse sempre esistito così come lo vediamo noi ora, ma se così veramente fosse la temperatura dell’universo dovrebbe essere la stessa delle stelle in quanto hanno avuto un numero infinito di anni per scaldarlo. Quindi, se così fosse, non ci sarebbe differenza tra giorno e notte poiché ogni raggio visivo finirebbe su una stella o su una nube di polvere riscaldata al punto da essere incandescente come una stella.


36

Figura 5-3: Se l’universo fosse statico e infinito in ogni direzione, tutti i raggi visivi

finirebbero su stelle, poiché il cielo notturno sarebbe luminoso come il Sole.


37

5.14 Il cono di luce Definizione Il cono di luce di un evento 0E è l’insieme dei punti degli eventi E associati ad un fronte d’onda di un segnale luminoso emesso da 0E . È quindi rappresentato dall’insieme dei punti tali che tcx ∆=∆ 0

∑=

=∆+∆−=∆3

1

220

2 0i

ixxs

con 0EE xxx µµµ −=∆ , 3,2,1,0=µ Come abbiamo già dimostrato in precedenza 2s∆ è un invariante e ciò significa che ogni osservatore descrive il cono di luce allo stesso modo. Questa caratteristica è estremamente rilevante, infatti permette di separare lo spazio-tempo in quattro regioni: il futuro di 0E , il passato di 0E , l’altrove di 0E e il cono di luce di 0E . Il futuro di 0E è l’insieme degli eventi parametrizzati relativamente a O da

),,,( 3210 xxxx tale che 02 <∆s e 00 >∆x

Il passato di 0E è l’insieme degli eventi parametrizzati relativamente a O da

),,,( 3210 xxxx tale che 02 <∆s e 00 <∆x

L’altrove di 0E è l’insieme degli eventi parametrizzati relativamente a O da

),,,( 3210 xxxx tale che 02 >∆s


38

Questo schema rappresenta il cono di luce dell’evento 0E , dove 1E è un evento del futuro, 2E del passato ed 3E dell’altrove rispetto a 0E . Un evento che si trova nell’altrove non può essere visto da un osservatore posto su 0E , poiché nulla può viaggiare con una velocità superiore della luce.

1x

0x

0E

1E

3E

2E


39

Esempio:

In questo esempio 0E è il Sole che emette raggi luminosi e 1E è l’istante in cui questi arrivano a colpire, e quindi illuminare, la Terra. Inoltre a è la linea d’universo della Terra, che è parallela a quella del Sole in quanto si può dire che la distanza tra sole e Terra è sempre la stessa in un lasso di tempo breve. Si può dire che la Terra entra nel futuro del cono di luce del Sole. Infatti se il sole smettesse di emettere raggi luminosi noi ce ne accorgeremmo solo dopo circa 8 minuti, il tempo che la luce impiega a percorrere lo spazio che separa la nostra stella dalla Terra.

1x

0x

0E

1E3E

a

2E


40

5.15 Il tempo proprio e la tetravelocità Consideriamo un PM (cioè un punto materiale) in moto rettilineo e uniforme rispetto a

un referenziale inerziale R con un velocità dt

txdtv )()( = . Ciò significa che in intervallo di

tempo dt la variazione della posizione del nostro PM è data da dtvxd = . Ora associamo l’intervallo ai due eventi, che vengono parametrizzati in R da ),( xctA = e

),( xdxcdtctB ++= . Questo intervallo vale

)1()( 2

2222222222

c

vdtcdtvdtcxddtcds −=−=−=−

A questo punto vediamo come viene rappresentato l’intervallo considerato nel referenziale 'R , dove il corpo è a riposo all’istante considerato:

222 '' dtcds =− perché 0'=xd Come è stato già dimostrato in precedenza l’intervallo ds è un invariante della teoria della relatività ristretta. Quindi abbiamo

)1(' 2

222222

cvcdtdsdsdc −=−=−=τ

dove 'dtd =τ Definizione di tempo proprio Il tempo proprio τ del PM è il tempo misurato nel referenziale istantaneo di riposo del PM, cioè il tempo indicato dall’orologio fissato sul PM, ed è un invariante. Esso è definito da

∫ −+=t

tA

A

tdc

tv ~)~(1 2

2

ττ

Il tempo proprio viene usato per parametrizzare le curve delle linee di universo nello spazio-tempo. È quindi possibile trovare il vettore tangente alla curva della linea di universo di un PM. Il vettore tangente è definito da

τµ

µ ddx

w = con 3,2,1,0=µ

Questo vettore è chiamato tetravelocità. Lo si può immaginare come una specie di velocità che però comprende oltre alle tre dimensioni spaziali anche il tempo. Il processo seguito per trovare questo vettore è lo stesso che si usa fare per trovare il vettore velocità nella fisica newtoniana conoscendo la posizione del PM.


41

Le componenti del vettore sono

2

200

0

1cv

cddt

dtdx

ddxw

−

===ττ

2

2

1cv

vddt

dtxd

dxdw

−

===ττ

Poiché dalle trasformazioni di Lorentz, ponendo 0'1 =x , segue

2

2

1

1

cvd

dt

−

=τ

.

5.16 L’equivalenza massa energia Definiamo ora il tetravettore energia – quantità di moto:

µµ Mwp = con 3,2,1,0=µ dove M è la massa del PM ed è un invariante, infatti è una grandezza indipendente dal referenziale inerziale scelto. Si può definire M come la massa quantità di materia, cioè la quantità di materia intrinsecamente contenuta nel corpo ed è numericamente uguale alla massa definita in meccanica newtoniana. Il tetravettore energia – quantità di moto è scomponibile nelle seguenti componenti:

2

200

1cv

McMwp−

==

2

2

1cv

vMwMp−

==

Si può dimostrare (cosa che non facciamo qui) che cEp =0 dove E è l’energia del PM.

Da questa uguaglianza possiamo poi esprimere l’energia come

2

2

2

0

1cv

MccpE−

==

Se adesso prendiamo come riferimento un altro referenziale inerziale di riposo *R l’energia è data da

2* McE =


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Si può dedurre subito che *E sia indipendente dal referenziale scelto, infatti M e c sono due invarianti. Come abbiamo detto prima M è la misura della massa intrinseca di un corpo, perciò *E è l’energia intrinseca della materia e dipende solo e unicamente dalla massa del corpo stesso. Nella fisica newtoniana la massa e l’energia sono due grandezze differenti e indipendenti, ora però, nella relatività ristretta, con l’equivalenza massa e energia queste due non sono più indipendenti. Possiamo perciò considerare la massa come una nuova forma dell’energia. Le due leggi di conservazioni che esistevano, cioè quella della massa e quella dell’energia, possono essere sostituite da una singola legge. In un referenziale inerziale non di riposo l’energia totale è la somma dell’energia intrinseca con l’energia cinetica del corpo.

cinEEE += * Si deve far notare che non è presente una forma di energia potenziale in quanto si stanno trattando unicamente referenziali inerziali, cioè senza la presenza di forze di attrazione (o repulsione) come la gravità. Possiamo definire la quantità di moto del PM sfruttando le componenti vettoriali 0p e p .

vcE

cc

cv

vM

cv

vMp 22

2

2

2

2

2

11=

−

=

−

=

Il coefficiente di proporzionalità è la massa inerziale

2cEm =

è quindi evidente che la massa inerziale dipende dall’energia del corpo. È importante far notare che la massa inerziale non è più uguale alla massa quantità di materia. In relatività la massa inerziale dipende dalla velocità del corpo. Il rapporto tra massa quantità di materia, massa inerziale e velocità è dato da

2

2

1cv

Mm−

=

Dalla relatività ai buchi neri 6. La relatività generale

43

6. La relatività generale Tutto ciò che è stato detto finora nella relatività ristretta riguarda i referenziali inerziali, cioè quei referenziali che si muovono l’uno rispetto all’altro di moto uniforme rettilineo e senza rotazione. In questo modo la teoria della relatività ristretta metteva in una condizione di privilegio i referenziali inerziali rispetto agli altri. Einstein però era dell’opinione che tutti i referenziali dovevano essere considerati alla stessa maniera, e in particolare voleva estendere il principio ai referenziali accelerati o con una rotazione. Infatti secondo lui non c’è una ragione per considerare i referenziali inerziali in una condizione di privilegio rispetto a tutti gli altri. Si può capire subito che questa generalizzazione non sia facile da attuare. Infatti torniamo sul solito vagone: fino a quando si muove di moto rettilineo ed uniforme rispetto al terreno nessun passeggero si accorgerà che il treno si sta effettivamente muovendo. Il passeggero, con una qualche conoscenza fisica, non avrà quindi problemi a descrivere i fenomeni che avvengono sul vagone esattamente allo stesso modo che li descriverebbe se si trovasse sulla terra ferma. Se però il treno dovesse frenare bruscamente (o accelerare, anche se per ragioni ovvie al lettore, si osserverà un effetto minore) il passeggero subirà una spinta in avanti proporzionale alla decelerazione. In questa situazione non sarà più naturale per lui considerare i fenomeni attorni a lui descritti dalle stesse leggi fisiche di quando il treno era fermo in stazione o di quando si muoveva di moto uniforme. È comunque chiaro che nel momento in cui il treno frena il principio galileiano di relatività non sussiste più, infatti ci troviamo in un referenziale accelerato e non inerziale. 6.1 La gravità secondo Newton Prima di addentrarci oltre a parlare e spiegare i concetti che stanno alla base della relatività generale è forse utile fare un passo indietro e considerare la teoria della gravitazione universale di Newton. “Fino a qui ho spiegato i fenomeni del cielo e del nostro mare mediante la forza di gravità, ma non ho mai fissato la causa della gravità. Questa forza nasce interamente da qualche causa che penetra fino al centro del Sole e dei pianeti, senza diminuzione della capacità, e opera non in relazione alle quantità delle superfici delle particelle sulle quali agisce (come sogliono le cause meccaniche), ma in relazione alla quantità di materia solida. La sua azione si estende per ogni dove ad immense distanze, sempre decrescendo in proporzione inversa al quadrato delle distanze. La gravità verso il Sole è composta dalla gravità verso le singole particelle del Sole, e allontanandosi dal Sole decresce costantemente in ragione inversa del quadrato delle distanze (…) In verità non sono ancora riuscito a dedurre dai fenomeni la ragione di queste proprietà della gravità, e non invento ipotesi (hypotheses non fingo). Qualunque cosa, infatti, non deducibile dai fenomeni va chiamata ipotesi; e nella filosofia sperimentale non trovano posto le ipotesi sia metafisiche, sia fisiche, sia delle qualità occulte, sia meccaniche. In questa filosofia le


44

proposizioni vengono dedotte dai fenomeni, e sono rese generali per induzione. In tal modo divennero note l’impenetrabilità, la mobilità e l’impulso dei corpi, le leggi del moto e la gravità. Ed è sufficiente che la gravità esista di fatto, agisca secondo le leggi da noi esposte, e spieghi tutti i movimenti dei corpi celesti e del nostro mare.” Da quel che ha scritto Isaac Newton e qui sopra riportato si può ricavare la formula della gravitazione universale

221

rmm

GF = dove 2

21110.67,6

kgNmG −=

6.2 L’azione a distanza La teoria della gravitazione universale di Newton poneva alcuni quesiti di base. Infatti essa non spiegava il motivo di queste forza e nemmeno come questa forza agisse. Anche lo stesso scienziato si accorse che non riusciva a capire cosa si nascondeva dietro a questa forza e allora preferì non esprimersi e soprattutto non volle inventare ipotesi che si basavano su ragioni non scientifiche. La sua celebre frase hypotheses non fingo è da interpretare in questo modo. Ci si chiedeva come potesse agire la forza di gravità tra due oggetti, perché non si capiva come questa forza doveva venire trasmessa e un altro problema non da poco era se veniva trasmessa a una velocità finita oppure a una infinita, il che significa che la forza agisce in modo istantaneo. Di solito quando si osserva che due oggetti si influenzano si cerca per prima cosa un mezzo che permetta ad una o più forze di trasmettersi. Se si trova una forza sorge spontanea la conseguenza che la velocità di propagazione è finita. Ci sono esperienze in cui chiunque riuscirebbe a dire quale sia il mezzo con cui si propaga la forza, ad esempio se attacchiamo una campana ad un filo e tiriamo questo filo la campana inizia a suonare, in questo caso pare ovvio che sia il filo il mezzo per il quale la forza si può trasmettere dalle mani di chi la tira alla campana. In altre esperienze invece non è più così visibile il mezzo di propagazione. Prendiamo ora come esempio il suono: il mezzo ci pare invisibile e quindi anche inesistente. Però ci si accorge anche facilmente che il suono ha una velocità, chi non ha mai sentito l’eco della propria voce? Dopo alcuni studi si riesce a stabilire che il suono si trasmette attraverso l’aria e che quindi un mezzo invisibile non significhi che questo non esista. Nonostante queste argomentazioni coloro che sostenevano la tesi dell’azione a distanza della gravità non si ripresero, anzi andarono al contrattacco. Essi sostenevano che la forza di gravità, come anche quella magnetica, agivano indipendentemente dalla materia che si trovava tra i vari oggetti e che quindi non poteva esserci un mezzo di propagazione. Inoltre provarono che non c’era mai contatto ottico tra due oggetti e che quindi tutte la azione di forze che si conoscevano prima in verità dovevano essere delle azioni a distanza, ove queste distanze erano estremamente piccole. Non si accorsero però che il contatto ottico non era un contatto reale, il contatto ottico infatti indica solo che la distanza tra le superfici è molto più piccola della lunghezza d’onda della luce. Questi probabilmente difendevano cosi saldamente l’azione a distanza per motivi che vanno oltre la fisica, oltretutto lo stesso Newton non parla nei Principia dei meccanismi


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della sua teoria della gravitazione e come possiamo vedere nella seguente lettera scritta da lui stesso era contrario all’eventualità di una azione diretta a distanza tra due corpi “Non è concepibile che la bruta materia inanimata, senza il tramite di qualcos’altro, non materiale, agisca e influenzi un’altra materia senza reciproco contatto come dovrebbe essere se la gravitazione, nel senso di Epicureo, fosse ad essa inerente ed essenziale (…) Per me l’idea che la gravità sia innata, inerente ed essenziale alla materia, in modo che un corpo possa agire su un altro a distanza, attraverso il vuoto, senza il tramite di qualcos’altro che renda possibile la trasmissione dell’azione e della forza dall’uno altro, è una tale assurdità che sono convinto che nessun uomo con adeguate capacità di riflettere su problemi scientifici la potrà mai accettare.” Da [4], pagina 256 Queste sono le parole di colui che formulò la teoria che tutti coloro che frequentano degli studi superiori imparano, ma nonostante ciò ci viene insegnato che la gravità è una forza che agisce su due corpi a distanza senza alcun mezzo di trasmissione. La cosa forse più sorprendente che tutti accettano questa tesi senza batter ciglio e spesso la difendono. 6.3 Incoerenza tra relatività ristretta e gravità di Newton Come abbiamo già detto la velocità della luce è una velocità limite, niente, nemmeno l’informazione, può superare la velocità dei fotoni. Partendo da questo presupposto è chiaro che nasce un’incoerenza tra la relatività ristretta, che non prende in considerazione la forza di gravità, e la gravitazione universale di Newton. Infatti quest’ultima prevedeva, o almeno buona parte della comunità scientifica dell’epoca sosteneva, che l’effetto della gravità si sentiva istantaneamente. Detto in altre parole aveva una velocità di propagazione infinita. Ciò è chiaramente contrario con i postulati su cui si basa la relatività ristretta.


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6.4 Il campo gravitazionale Studiando più attentamente dei fenomeni elettromagnetici si è arrivati alla conclusione che non esiste azione a distanza senza l’intervento di qualche entità fisica intermedia. Allora ci si chiedeva quale fosse il mezzo che faceva da tramite per la forza di gravità. Prendiamo l’esempio di una calamita che attira a se un pezzo di ferro: la calamita modifica lo spazio attorno, creando quel che si chiama un campo magnetico, questo cambia le proprietà dello spazio dove si trova anche il pezzo di ferro e lo spinge ad avvicinarsi alla calamita. Questa descrizione del fenomeno con l’ausilio dei campi è abbastanza arbitraria, ma quel che importa è che questi fenomeni possono venire teoricamente rappresentati in modo più soddisfacente che senza di esso. Ora ci si deve immaginare che per la gravità succeda la stessa cosa. Prendiamo l’esempio di una mela che cade sulla superficie della terra: la terra con la sua massa crea un campo gravitazionale intorno a se e questo agisce direttamente sulla nostra mela facendola cadere verso la terra con un moto accelerato. Fino ad ora abbiamo paragonato i campi gravitazionali con quelli elettromagnetici, ma tra di essi c’è un’importante differenza: “i corpi che si muovono sotto l’unica influenza di un campo gravitazionale ricevono un’accelerazione che non dipende minimamente né dalla materia né dallo stato fisico del corpo in questione” Da [4], pagina 94 6.5 Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale Supponiamo di lasciare cadere un oggetto in caduta libera verso il suolo della terra, secondo la legge newtoniana del moto abbiamo

amF i= dove im è la massa inerziale ed è una cosante caratteristica del corpo accelerato. Consideriamo ora invece la gravitazione come la causa di questa accelerazione, sfruttando quello che è stato detto dei campi gravitazionali, avremo

gmF g= dove g è l’intensità del campo gravitazionale e gm la massa gravitazionale del corpo. Da queste due uguaglianze segue che

gmm

ai

g=

L’esperienza ci dice che questo rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale deve

essere lo stesso per ogni corpo esistente, infatti kgNg 81.9= e l’esperienza mostra che


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281.9sma = . Scegliendo accuratamente le unità di misura possiamo rendere il rapporto

uguale all’unità. Si può quindi formulare la legge seguente: la massa gravitazionale di un corpo è uguale a quella inerziale. 6.6 I principi della relatività generale

6.6.1 Principio di oggettività

Tutti i sistemi di coordinate sono equivalenti per parametrizzare gli eventi. Questo principio generalizza a tutti i referenziali ciò che in relatività ristretta valeva per quelli inerziali. Come già detto in precedenza Einstein non pensava logico che si dovesse mettere in una condizione privilegiata i referenziali inerziali rispetto a tutti gli altri.

6.6.2 Principio di covarianza

Le equazioni che descrivono i fenomeni fisici hanno la stessa forma qualsiasi sia il sistema di coordinate scelto. Questo principio era gia presente nella relatività ristretta e persino nella visione di Galileo della relatività.

6.6.3 Principio di equivalenza debole

Equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale. Se si guarda un corpo in caduta libera è impossibile distinguere se si trova in un campo gravitazionale o in un referenziale accelerato. Ipotizziamo ora di essere su un ascensore e sfortunatamente il cavo che la sostiene si spezza. Se non consideriamo l’attrito l’ascensore cade di moto accelerato e di conseguenza le persone sull’ascensore non riuscirebbero a distinguere il loro stato da una condizione di assenza di gravità (chiaramente ipotizzando che abbiano già provato l’assenza di gravità). Allo stesso modo un osservatore posto su un razzo con i motori accesi che accelerano la navicella di un g descriverebbe la sua condizione esattamente come quando si trova sulla superficie terrestre.


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Si può quindi esprimere questo principio anche in un altro modo oltre all’equivalenza tra le massa inerziale e gravitazionale

Figura 6-1: un osservatore all’interno di un ascensore non può capire se si trova sulla Terra fermo (a) oppure in una navicella accelerata (b). E rispettivamente un osservatore in una ascensore in caduta libera sulla Terra (d) e un’astronave lontana dalla Terra (c).

Le leggi della caduta libera dei corpi è localmente (ossia in una regione sufficientemente piccola dello spazio-tempo) uguale in un referenziale inerziale in un campo gravitazionale e in un referenziale uniformemente accelerato senza gravità. Si è aggiunto il concetto di locale perché il campo gravitazionale può non essere uniforme. Questo principio ci permette di trovare un referenziale inerziale locale in cui è possibile eliminare gli effetti della gravità. In questi referenziali inerziali locali il moto dei corpi in caduta libera, sfruttando il principio d’inerzia, è rettilineo e uniforme. Questi referenziali sono quelli come l’esempio precedente dell’ascensore che precipita verso il suolo, cioè sono quelli in caduta libera in un referenziale dove vi è un campo gravitazionale.


49

6.6.4 Principio di equivalenza forte

In un referenziale inerziale locale tutte le leggi della Natura sono localmente identiche alle leggi ottenute in assenza di gravità relativamente ad un referenziale inerziale (leggi della relatività ristretta). Questo principio è la generalizzazione di quello precedente a tutte le leggi della Natura. Quello che possiamo osservare in un referenziale uniformemente accelerato è identico a ciò che si può osservare in un referenziale inerziale in un campo gravitazionale uniforme.

6.6.5 Principio di Mach

La distribuzione della materia e dell’irraggiamento elettromagnetico agisce sullo spazio-tempo per creargli la geometria. La geometria agisce sulla stessa materia e l’irraggiamento per creare il moto. Questo principio è forse più comprensibile se prendiamo come esempio il sole e la terra: il sole con la sua massa (e la sua energia) incurva lo spazio tempo creando i presupposti per il moto attorno ad esso della terra.


50

6.7 Conseguenze del principio di equivalenza Per osservare le seguenti conseguenze del principio di equivalenza verrà sfruttato un artificio. Infatti applichiamo le leggi della relatività ristretta in un referenziale inerziale locale e poi deduciamo come questi fenomeni appaiono a un osservatore in referenziale accelerato. Grazie al principio di equivalenza forte si può dire che ciò che il nostro osservatore può vedere dal referenziale accelerato è equivalente a ciò che può osservare in un referenziale inerziale in cui vi è un campo gravitazionale.

6.7.1 Effetto della gravità sulla luce

Figura 6-2: La luce in presenza di un moto accelerato (o di un campo gravitazionale)

si incurva.

Per definizione in un referenziale inerziale la luce si propaga in moto rettilineo uniforme. Se però non prendiamo più un referenziale inerziale ma un referenziale accelerato la traiettoria dei raggi di luce non è più rettilinea ma bensì curva. Se si incurva in un referenziale accelerato, per il principio di equivalenza forte, si incurva anche in un referenziale inerziale in cui vi è un campo gravitazionale. Possiamo perciò dire che il campo gravitazionale piega i raggi di luce. Inoltre più l’accelerazione è maggiore, o equivalentemente più il campo gravitazionale è intenso, più i raggi sono incurvati.


51

6.7.2 Effetto della gravità sul tempo Prendiamo in considerazione due referenziali, il primo R inerziale e il secondo 'R che ruota a velocità costante attorno ad un asse fisso. 'R è un referenziale accelerato. Ipotizziamo ora di mettere un orologio 1O sull’asse di rotazione del referenziale 'R e un altro 2O ad una determinata distanza dall’asse. Questi due orologi sono entrambi fermi rispetto a 'R e inoltre il primo orologio, quello posto sull’asse è anche fermo rispetto R . L’orologio 2O si trova in un referenziale localmente inerziale rispetto a R . Si deve immaginare che questo referenziale locale sia in moto rispetto a R della velocità tangenziale sulla circonferenza intorno all’asse. Come abbiamo già visto in relatività ristretta il tempo si dilata apparentemente nei referenziali inerziali. Siccome l’orologio esterno 2O si muove con la velocità tangenziale il suo tempo si dilata apparentemente rispetto all’orologio 1O posto sull’asse che è fermo nel referenziale inerziale R . Ma come abbiamo appena detto prima l’orologio posto sull’asse è fermo anche rispetto a 'R quindi questa dilatazione del tempo non è solo apparente ma bensì reale. Gli orologi posti nel referenziale in rotazione indicano tempi diversi a dipendenza a che distanza dal centro di rotazione si trovano. Abbiamo già detto che siccome 'R è in rotazione è un referenziale accelerato e perciò il tempo viene dilatato dall’accelerazione. Sfruttiamo anche qui il principio di equivalenza forte e quindi possiamo concludere che il campo gravitazionale agisce sugli orologi con l’effetto di rallentarli.

6.7.3 Effetto della gravità sullo spazio Torniamo alla stessa situazione iniziale che abbiamo preso in considerazione per mostrare gli effetti della gravità sul tempo. L’unica differenza nelle due situazioni di partenza è che al posto dei due orologi vengono poste due righe piccole rispetto al raggio. Quella esterna viene posta nella direzione della tangente rispetto alla circonferenza. Procediamo con lo stesso ragionamento fatto in precedenza. Possiamo perciò affermare che, siccome la riga che ruota attorno all’asse si trova in un referenziale localmente inerziale e si muove con la velocità tangenziale rispetto a R , la nostra riga vista da R è apparentemente più corta. Come abbiamo visto in precedenza l’asse di rotazione è fermo sia rispetto a R sia a 'R . Perciò la riga è realmente più corta se è vista da un osservatore fermo rispetto a 'R posto sull’asse. È fondamentale ricordare che questa contrazione avviene solamente nella direzione del moto della riga. Si arriva così a qualcosa che a prima vista potrebbe sembrare un paradosso, cioè che la circonferenza si accorcia mentre il raggio resta invariato. Questo fenomeno avviene in un referenziale accelerato che, come è già stato visto più volte, è equivalente a un referenziale inerziale con un campo gravitazionale. Allora possiamo concludere che in presenza di un campo gravitazionale i postulati della geometria euclidea non sono più validi. Lo spazio-tempo dovrà essere descritto da una geometria non euclidea, quindi non piatta: lo spazio-tempo è incurvato se vogliamo descrivere la gravità.


52

6.7.4 Redshift Sia E un emettore, R un ricettore e g l’intensità di un campo gravitazionale. Inoltre poniamo EΦ e RΦ i potenziali di, rispettivamente, E e R . Al tempo 0=t E emette un fotone di frequenza Eυ e contemporaneamente E viene lasciato cadere in caduto libera nel campo gravitazionale g .

Eυ è quindi la frequenza del fotone in un campo gravitazionale g di potenziale EΦ . Quando il fotone sta raggiungendo il recettore R lasciamo cadere quest’ultimo in caduta libera nel campo gravitazionale g .

Rυ è la frequenza del fotone in un campo gravitazionale g di potenziale RΦ . E e R si trovano in referenziali inerziali locali, poiché sono in caduta libera in un referenziale con campo gravitazionale. Possiamo così confrontare le due frequenze sfruttando i risultati dell’effetto Doppler relativista visti in precedenza. Abbiamo perciò questa uguaglianza

ucuc

ER −+

=υυ

dove u è la velocità dell’emettore rispetto al ricettore. L’emettore avrà acquisito alla ricezione una certa velocità dovuta all’accelerazione gravitazionale.

gtu = con czt ∆

=

dove z∆ è la distanza all’istante 0=t tra l’emettore e il ricettore. Ora

REzg Φ−Φ=∆Φ=∆ e possiamo sfruttarlo, insieme all’effetto Doppler, per arrivare a questa uguaglianza

2

2

2

2

1

111

1

cc

c

c

cc

cc

E

R

∆Φ−

∆Φ+=

∆Φ−

∆Φ+

=∆Φ

−

∆Φ+

=υυ


53

A questo punto dobbiamo conoscere le seguenti approssimazioni al primo ordine:

• 22 2111

cc∆Φ

+=∆Φ

+

• 2

2

211

1

1c

c

∆Φ+=

∆Φ−

perciò

22

2 1)211(

ccE

R ∆Φ+≅

∆Φ+≅

υυ

e quindi

22

22 )1(

cccc RE

E

E

E

EE

E

ER

E

Φ−Φ=

∆Φ=

∆Φ

=−

∆Φ+

≅−

=∆

υ

υ

υ

υυ

υυυ

υυ

Ora si può vedere quel che succede a un fotone che “cade” in un campo gravitazionale. Avremo logicamente

0>Φ−Φ RE e quindi anche

0>−=∆ ER υυυ perciò la frequenza del fotone aumenterà, portando così a uno spostamento della frequenza verso il blu. Nel caso opposto, quando un fotone “rimonta” un campo gravitazionale, avviene il contrario, cioè c’è uno spostamento della frequenza verso il rosso.


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6.8 Alcune prove sperimentali a sostegno della relatività generale La teoria della relatività generale è una teoria scientifica e come tale non potrà mai essere verificata in modo conclusivo. Però se l’esperienza si accorda con le previsioni della teoria permette alla teoria stessa di avere maggiore credibilità scientifica. Se si fanno degli esperimenti per tentare di confutare la teoria ma i risultati sono quelli previsti dalla teoria, questa non può che rafforzarsi. La scienza procede a tappe e spesso una teoria è semplicemente un’evoluzione di una teoria precedente, così facendo per dimostrare la maggiore accuratezza della teoria nuova è sufficiente trovare dei casi in cui le previsioni si avverano. Ma è necessario trovare quei casi particolari dove l’esperienza si accorda con la nuova teoria e non con quella vecchia. Ad esempio la teoria della relatività generale prediceva le orbite dei pianeti in modo corretto, ma anche la teoria della gravitazione di Newton li prediceva allo stesso modo. Se una teoria fa le stesse previsioni dell’altra e niente di più sarebbe una teoria inutile in quanto non porterebbe niente di nuovo. Per la relatività generale si sono dovuti cercare nell’esperienza dei casi dove le previsioni differivano con quelle della teoria della gravitazione universale di Newton ma che nello stesso tempo si accordassero con l’esperienza.

6.8.1 Effetto della gravità sul tempo

Figura 6-3: Due aerei, con a bordo due orologi di grande

precisione, viaggiano in direzioni opposte

Due orologi di grande precisione furono collocati su due aerei che volavano intorno alla Terra in direzioni opposte: una nel senso di rotazione e l’altra nel senso opposto. Al ritorno, si riscontrò che segnavano un’ora leggermente diversa. Infatti l’orologio posto sull’aereo che era diretto a est segnava un’ora leggermente inferiore. Questo accade perché alla velocità dell’aereo si deve aggiungere la velocità di rotazione della Terra. I due orologi si trovano in due referenziali accelerati con accelerazione diversa più il campo gravitazionale.


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6.8.2 Effetto della gravità sulla luce Come sappiamo la massa e l’energia incurva lo spazio-tempo, quindi, se la teoria non è sbagliata, dei raggi di luce che passano vicino a un corpo “massoso” come una stella dovrebbero esser deviati di un certo angolo. Il 29 maggio del 1919, durante un eclissi di sole e quindi con una netta o quasi completa diminuzione dell’irraggiamento solare, alcuni illustri astronomi inglesi riuscirono a fotografare e poi a calcolare la posizione di queste stelle. Sapendo la posizione reale, che è stata calcolata mesi prima (o dopo) l’eclissi quando il Sole era dalla parte opposta e quindi quando la deviazione dei raggi luminosi, causato dal campo gravitazionale di quest’ultimo, era trascurabile, è stato possibile calcolare l’angolo con cui i raggi sono stati deviati. I dati ricavati dall’esperienza si accordavano, ovviamente con un leggero margine di errore, con quelli predetti dalla teoria della relatività generale.

Figura 6-4: La luce proveniente da una sorgente lontana viene deviata dal campo gravitazionale di un corpo di grande massa. In questo modo la stella ci appare spostata dalla sua reale posizione.

Un altro aspetto interessante della distorsione dello spazio sono le lenti gravitazionali. Una stella come abbiamo appena visto può incurvare i raggi luminosi. Einstein nel 1936 ha pubblicato un breve lavoro in cui affermava che la luce di una stella perfettamente allineata dietro un’altra stella di grande massa subirebbe una deflessione, così da apparire come un anello intorno all’immagine della stella in primo piano. Nel 1979 fu fotografata e catalogata per la prima volta una lente gravitazionale e appariva proprio come Einstein l’avevo predetta più di mezzo secolo prima.


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Figura 6-5: se la sorgente è perfettamente allineata con il corpo di notevole massa e

la Terra si creano delle lenti gravitazionali. 6.9 Le geodetiche Abbiamo appena visto che in presenza di un campo gravitazionale viene meno la concezione di spazio euclideo, di conseguenza anche la nozione di tempo per mezzo di orologi e la nozione di linea retta. Un campo gravitazionale deforma perciò lo spazio-tempo incurvandolo e di conseguenza la geometria euclidea non si accorda più con la realtà dei fatti. Nella geometria euclidea una retta è la linea che minimizza la distanza tra due punti. Nello spazio-tempo quadridimensionale della relatività generale esiste sempre il concetto di minimizzare una pseudo distanza. Questa, non minimizza semplicemente la distanza tra due punti, in quanto mancherebbe la dimensione temporale, ma minimizza una pseudo distanza tra due eventi. Una curva che minimizza questa pseudo distanza viene chiamata geodetica. Passiamo ad un esempio più concreto e forse più comprensibile al lettore. Come tutti sanno, da Copernico in poi, la terra orbita attorno al Sole. Sembrerebbe perciò normale a tutti descrivere il percorso della Terra con un cerchio, o meglio con un ellisse. Questa concezione dell’orbita circolare è dovuta alla visione newtoniana della forza di gravità. Invece nella visione relativista la massa e l’energia incurvano lo spazio-tempo e perciò la Terra segue la cosa più vicina che esiste a una traiettoria rettilinea in uno spazio-tempo curvo, ossia una geodetica. Ci si potrebbe logicamente chiedere come mai noi vediamo, o


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quando meno rappresentiamo, le orbite dei pianeti in modo circolare. Questo fenomeno è dovuto al fatto che noi vediamo unicamente la proiezione di un moto quadridimensionale in uno tridimensionale e perciò ci appare muoversi in un’orbita circolare. Ciò può accadere sulla Terra stessa, è un po’ come osservare un aereo che vola sopra una regione montuosa. Benché esso segua una retta nello spazio tridimensionale, sul suolo bidimensionale la sua ombra segue una traiettoria incurvata. Possiamo immaginare lo spazio-tempo come un sottile foglio di gomma, questa rappresentazione è una semplificazione della realtà: infatti trascuriamo il tempo e la terza dimensione spaziale, in ogni caso questo supporto pedagogico è applicabile direttamente alla realtà. Come sappiamo in assenza di materia o energia lo spazio-tempo è perfettamente piatto, perciò anche il nostro foglio di gomma è piatto. L’uomo per millenni si è raffigurato l’universo in questo modo. Facciamo un passo avanti e prendiamo in considerazione una regione dello spazio-tempo con la presenza di materia o energia, ciò implica una curvatura dello spazio-tempo. Nella nostra rappresentazione è come se si mettesse un oggetto pesante su questa sottile membrana di gomma, evidentemente in presenza dell’oggetto questa si piega verso il basso. In questo caso si vede chiaramente che, come abbiamo già visto in precedenza, lo spazio non è uno scenario fisso ma è soggetto alla distribuzione della materia e dell’ energia nell’universo. L’incurvamento dello spazio tempo porta a un cambiamento sugli oggetti che si trovano nelle vicinanze. Per esempio il nostro Sole modifica lo spazio-tempo attorno a se creando in questo modo le orbite dei pianeti, che non sono altre che delle geodetiche. Torniamo al nostro modello semplificato della realtà, se facciamo passare vicino all’oggetto pesante uno più piccolo, trascurando i vari attriti, questo inizierà a incurvare la propria traiettoria, inoltre se la velocità con cui viaggia l’oggetto piccolo è opportuna questo entrerà in un’orbita circolare intorno all’oggetto pesante al centro. Questo modello, usato spesso per cercare di dare una rappresentazione di quello che può accadere nella realtà, ha comunque un qualche difetto. Infatti un corpo incurva lo spazio-tempo non perché c’è qualcosa, come nella rappresentazione, che tira in giù l’oggetto e piega il sottile foglio di gomma. La curvatura non è causata dalla gravità, ma è la gravità.


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Figura 6-6: un corpo di notevole massa incurva lo spazio-tempo che, a

sua volta, crea e modifica la traiettoria degli altri corpi.

6.10 Complemento: la struttura della spazio secondo la relatività generale

“Secondo la teoria della relatività generale, le proprietà geometriche dello spazio non sono autonome, ma sono determinate dalla materia. Possiamo quindi trarre qualche conclusione circa la struttura geometrica dell’universo soltanto se, a base delle nostre considerazioni, poniamo come conosciuto lo stato della materia. Sappiamo dell’esperienza che per un sistema di coordinate opportunamente scelto la velocità delle stelle risultano piccole rispetto alla velocità di propagazione della luce. Possiamo perciò con una certa approssimazione pervenire a una conclusione circa la natura dell’universo inteso come un tutto, considerando la materia come in quiete. Sappiamo già dalle precedenti discussioni che il comportamento dei regoli-campione e degli orologi è influenzato dai campi gravitazionali, cioè dalla distribuzione della materia. Ciò è di per sé sufficiente a farci concludere che non si può in alcun modo parlare di una validità esatta della geometria euclidea nel nostro universo. Si può però immaginare che il nostro universo differisca solo leggermente da uno euclideo, e questa idea sembra tanto più probabile in quando i calcoli mostrano persino che le masse della grandezza del nostro Sole esercitano un’influenza assolutamente minima sulla metrica dello spazio circostante. Potremmo immaginare che il nostro universo si comporti in modo analogo a una superficie che sia irregolarmente curva in singole zone, ma che in nessun luogo si scosti apprezzabilmente dal piano: qualcosa di simile alla superficie di un lago increspata da lievi onde.” Da [4], pagina 129 Questo testo è stato scritto da Einstein ed è stato pubblicato per la prima volta nel 1916. Le sue considerazioni si basavano su due ipotesi:

1. Esiste nello spazio complessivo una densità media della materia che è dovunque la stessa ed è diversa da zero.

2. La “ampiezza” (raggio) dello spazio è indipendente dal tempo.


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“Queste due ipotesi si dimostrano, secondo la teoria della relatività generale, compatibili l’una con l’altra, ma soltanto dopo che venne aggiunto un termine ipotetico alle equazioni di campo, termine non richiesto dalla teoria come tale né sembrava naturale da un punto di vista teorico (termine cosmologico delle equazioni del campo).” Da [4], pagina 130 In altre parole Albert Einstein ha inserito una costante cosmologica arbitraria, che non era giustificata né dal punto di vista teorica né da quello empirico. Egli era convinto che l’universo fosse statico e quindi con questa costante cosmologica, che aveva un effetto gravitazionale, impediva che i risultati delle sue equazioni avessero predetto un universo in espansione. Nel 1920 Friedman, un matematico russo, dimostrò che era la stessa teoria della relatività che richiedeva un’espansione dello spazio. Pochi anni più tardi, come abbiamo già detto parlando dell’effetto Doppler, Hubble osservò che tutte le galassie si stavano allontanando e che quindi l’universo si stava espandendo. Nel testo di Einstein qui riportato c’è anche un altro punto, che verrà trattato nel proseguo del lavoro, in contraddizione con quello che la comunità scientifica crede al giorno d’oggi. Einstein, infatti, era convinto che lo spazio fosse all’incirca piatto e che non esistevano masse così grandi da poterlo curvare in modo considerevole. 6.11 Le equazioni di Einstein Newton, nella sua teoria della gravitazione universale, aveva associato il potenziale gravitazionale Φ alla densità Mρ di materia nello spazio tramite la seguente formula

MGρπ4=∆Φ è quindi chiaro che la distribuzione della densità, cioè la distribuzione di materia, modifichi il potenziale gravitazionale che a sua volta è legato al campo gravitazionale g , poiché

Φ−∇=g

L’accelerazione gravitazionale, che per il principio di equivalenza debole è uguale a g , è la forma in cui la gravità si manifesta su di un corpo. Riassumendo, secondo la teoria formulata da Newton, la densità di materia è la causa del campo gravitazionale.


60

Einstein non stravolge molto nella questione pratica, ma cambia i concetti che stanno alla base della gravità. La sua teoria prevede che la gravità sia descritta dall’equazione

kTG =

dove k è una costante e T esprime la densità di energia (e materia visto che 2McE = ) e la quantità di moto nello spazio-tempo, un po’ come la massa nel caso newtoniano. G contiene tutta l’informazione sulla geometria, ossia sulla curvatura dello spazio-tempo, cioè sulla gravità, un po’ come Φ nel caso newtoniano. Nella teoria della relatività generale la distribuzione della materia e dell’energia determina la geometria dello spazio-tempo, che poi crea la gravità in quanto la curvatura è la gravità stessa. È proprio questa la sostanziale differenza con la gravitazione di Newton: l’idea che lo spazio-tempo si modificasse con la distribuzione della massa e dell’energia può essere considerato a tutti gli effetti un colpo di genio di Einstein. “L’idea che la massa deformi lo spazio-tempo e che lo spazio-tempo deformato indichi alla massa come muoversi è puro genio. I fisici avrebbero finito per scoprire gli effetti della relatività generale in base alle misurazioni compiute sui satelliti e sulle pulsar, ma probabilmente non prima della fine del XX secolo. E comunque difficilmente si sarebbe ripetuta l’elegante descrizione geometrica della gravità elaborata da Einstein.”

Michael Shara direttore del Dipartimento di astrofisica dell’American Museum of Natural History e curatore di una recente mostra su Einstein. Da [9], pagina 43


61

6.12 La geometria dello spazio-tempo Abbiamo già visto e dimostrato che lo spazio-tempo è incurvato dalla massa e dall’energia, perciò non ci è più possibile usare la geometria euclidea.

Figura 6-7: Rappresentazione bidimensionale della curvatura dello spazio-tempo.

Osservando questa immagine è facile notare come mai non ci è più possibile usare la geometria euclidea quando lo spazio-tempo, che è qui rappresentato in due dimensioni, è incurvato. Infatti si può vedere che il raggio è più lungo di quel che sarebbe rispetto alla stessa circonferenza in uno spazio piatto, perciò la classica formula

rC ⋅= π2 dove C è la circonferenza del cerchio di raggio r , non è più valida. Un’altra osservazione importante da fare è che la superficie bidimensionale rappresenta l’intero spazio-tempo e quindi al di fuori di essa non esiste nulla.


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Figura 6-8: Rappresentazione della curvatura dello spazio-tempo di una sezione bidimensionale di

una stella.

Vediamo ora come una stella può incurvare lo spazio-tempo intorno ad essa. Per ovvi motivi non ci è possibile rappresentare la curvatura né in quattro né in tre dimensioni. Siamo perciò costretti, come si può osservare nell’immagine, a considerare solo una sezione della stella e vedere come la superficie, che rappresenta lo spazio-tempo, si incurva.


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Ora cerchiamo di vedere cosa succede con l’aumento della densità della massa di un determinato corpo celeste.

Figura 6-9: Rappresentazione dell’aumento dell’incurvatura a seguito dell’aumento della

concentrazione di massa.

Si può vedere bene come la curvatura aumenti con l’aumento della densità di materia e come la frequenza degli elettroni emessi si sposti sempre più verso il rosso, a causa del redshift già analizzato in precedenza. Si può arrivare persino al punto in cui un fotone emesso non riesce nemmeno a risalire il campo gravitazionale così intenso e perciò non può essere irradiato nel cosmo, ma rimane attratto dal corpo stesso.

Dalla relatività ai buchi neri 7. I buchi neri

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7. I buchi neri

“Per me si va ne la città dolente; per me si va ne l’etterno dolore, per me si va tra la perduta gente.

Giustizia mosse il mio alto fattore; fecemi la divina podestate,

la somma sapïenza e ‘l primo amore. Dinanzi a me non fuor cose create Se non etterne, e io etterno duro.

Lasciate ogne speranza, voi ch’intrate.”

Dante, La Divina Commedia, Inferno, III 1-9 7.1 Definizione di buco nero Un buco nero è un corpo il cui campo gravitazionale è talmente intenso da attirare inesorabilmente i raggi di luce diretti verso l’esterno, si ha dunque una situazione asimmetrica, nella quale ogni cosa può finire nel buco ma nulla può uscirne. Inoltre un buco nero è anche un potenziale stadio finale della vita di una stella.

Figura 7-1: Rappresentazione grafica bidimensionale della curvatura

dello spazio-tempo causata dalla presenza di un buco nero.


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7.2 La storia Il primo scienziato a usare il termine buco nero fu il fisico americano John Wheeler nel 1969, ma l’esistenza di questi corpi celesti fu già ipotizzata due secoli prima, quando c’erano ancora due teorie della luce: quella che prevedeva che fosse composta da particelle sostenuta da Newton, e quella ondulatoria sostenuta da Hygens. Se si considera la luce come delle particelle si può ipotizzare che essa subisca gli effetti della forza di gravità proprio come delle palle di cannoni, razzi e pianeti. All’inizio si pensava che la velocità della luce fosse infinita e quindi nessun corpo avrebbe avuto abbastanza massa per non far sfuggire una particella di luce. Ma quando si scoprì che la velocità della luce era si enormemente elevata, ma pur sempre finita, si ipotizzò che ci fossero dei corpi in grado di non far sfuggire nemmeno una particella di luce. Il primo scienziato che formulò questa tesi fu John Michell nel 1783. Questa teoria però non ebbe molta fortuna, infatti si cominciò a credere che la luce non fosse più composta da particelle ma bensì avesse caratteristiche ondulatorie. Considerando la luce come un’onda non si riusciva a capire come faceva la gravità a influire su di essa. Bisogna aspettare il 1915 quando Albert Einstein propose la sua teoria della relatività generale per avere una teoria coerente in cui la gravità incide sulla luce. Ci volle però del tempo per capire le implicazioni di queste teorie per le stelle di grande massa. 7.3 La formazione Un buco nero è uno dei possibili stadi finali della vita di una stella, perciò prima di analizzare la sua formazione è necessario soffermarsi sulla nascita e sulla vita delle stelle. Una stella si forma quando una gran quantità di gas, soprattutto idrogeno, inizia, per effetto della attrazione gravitazionale, a contrarsi. Gli atomi dei gas si trovano sempre più vicini e quindi si scontrano anche più frequentemente e a velocità maggiori, ciò comporta un innalzamento della temperatura. A un certo momento si arriva al punto in cui la temperatura è così elevata che gli atomi di idrogeno non si scontrano più, bensì si fondono formando degli atomi di elio. Questa reazione nucleare è il motivo per cui le stelle hanno un simile splendore ed è la stessa reazione che avviene in una bomba H. La reazione produce ovviamente anche un calore aggiuntivo che permette alla stella di controbilanciare la sua stessa attrazione gravitazionale, così facendo il gas smette di contrarsi e il corpo celeste si stabilizza. Le stelle rimangono stabili per molto tempo grazie a questo equilibrio tra la pressione interna e quella esterna. La stella però prima o poi finirà le riserve di idrogeno e di altri combustibili nucleari. È interessante far notare che quanto è maggiore la quantità di combustibile con cui la stella inizia la propria evoluzione, tanto prima lo finirà. Questo perché una stella con massa maggiore deve avere anche una temperatura maggiore per controbilanciare la propria attrazione gravitazionale, e tanto più è calda una stella tanto più rapidamente consumerà il suo combustibile. Quando finisce il suo combustibile, la stella inizia a raffreddarsi e a contrarsi. Questa contrazione ha diversi stadi, dovuti alla massa finale della stella, che tratterò nel proseguo del lavoro.


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7.3.1 Il Sole Il Sole, come le altre stelle, è mantenuto in equilibrio dalla pressione interna che si contrappone a quella esterna dovuta alla sua stessa attrazione gravitazionale. È una situazione simile a quella di un palloncino d’aria, dove c’è la pressione interna dell’aria che compensa la tensione della gomma.

Figura 7-2: Il Sole.

La situazione del Sole Dati:

kgM 301092.1 ⋅= mr 81095.6 ⋅=

213111067.6 −−−⋅= skgmG L’energia gravitazionale di un corpo sferico di raggio r e di massa M uniformemente ripartita si trova con la seguente equazione:

rMGEg

2

53

−=

Energia gravitazionale del Sole:

Jr

MGEg41

2

1027.253

⋅−≅−=


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Il Sole viene considerato come un corpo composto da gas perfetti e quindi si può calcolare la sua energia interna tramite l’equazione:

nRTiE2

=

dove n è il numero di moli, R la costante dei gas perfetti (molKJR⋅

= 314.8 ),

T la temperatura, e i è il numero dei gradi di libertà del gas • Monoatomico: 3=i • Biatomico: 5=i • Triatomico: 6=i Il Sole è composto al 75% di Idrogeno ( 2H ) e al 25% d’Elio ( He ). L’idrogeno è un gas biatomico e l’elio monoatomico. Tutte due sono presenti nel Sole sotto forma di ioni. Massa molare Idrogeno:

molkg001.0

Massa molare Elio:

molkg004.0

Numero di particelle di Idrogeno nel Sole:

33

30

1049.1001.0

1098.110075

⋅≅⋅⋅

molkg

kg

Numero di particelle d’Elio nel Sole:

32

30

1097.4004.0

1098.110025

⋅≅⋅⋅

molkg

kg

Energia interna del Sole (con KT 710≅ ):

JTRE 413233 1071.3)1097.4231049.1

25( ⋅≅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=

JJEE sg

4141 1071.31027.2 ⋅≅⋅⇔≅


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Possiamo ora calcolare la pressione gravitazionale che agisce sul nostro corpo celeste usando la formula:

4

2

4 rGMPg π

−=

Pressione gravitazionale del Sole:

Par

GMPg13

4

2

100.94

⋅−≅−=π

Il segno meno è dovuto al fatto che è una pressione negativa, non c’è un’espansione come una vera e propria pressione. Per calcolare la pressione interna della stella si sfrutta la seguente equazione:

nRTpV =

Pressione interna del Sole dovuta ai suoi gas:

PapRTrpnRTpV 1432333 1017.1)1097.41049.1(43

⋅≅⇔⋅+⋅=⇔= π

PaPapp sg

1413 1017.1100.9 ⋅≅⋅⇔≅ Le due pressioni sono quasi uguali, ciò significa che il Sole in questo stadio della sua vita non può collassare su se stesso. Infatti la pressione esterna viene compensata da quella interna.

7.3.2 Il principio di esclusione Prima di andare avanti nella formazione dei buchi neri è fondamentale trattare il principio di esclusione, che, come vedremo, permetterà alle nane bianche e alle stelle a neutroni di mantenere un equilibrio tra la pressione interna e quella esterna. Le particelle da noi note si possono dividere in due gruppi:

• Le particelle con spin 21 (“tornano uguali dopo due giri”) che sono le particelle di

materia • Le particelle con spin 0; 1; 2 che danno origine alle forze che si esercitano tra la

materia Lo spin Vediamo ora velocemente cosa è lo spin, senza la pretesa di un rigore scientifico. Tutte le particelle hanno una proprietà chiamata spin ed è il modo in cui la particella ci appare da diverse direzioni.


69

Per capire meglio questa proprietà ci si può aiutare con delle rappresentazioni:

o Una particella con spin 0 si può raffigurare con un puntino, infatti da qualsiasi parte lo si guarda appare sempre uguale.

o Una particella con spin 1 corrisponde a una freccia e ci appare come all’inizio dopo un giro, cioè 360°.

o Una particella con spin 2 è come una freccia con due punte che ci riappare come

all’inizio dopo mezzo giro, cioè 180°.

o Una particella con spin 21 torna ad apparirci come era all’inizio solo dopo due

giri. Volendo ci si potrebbe immaginare anche particelle con altri spin.

Il Principio di esclusione riguarda unicamente le particelle di materia (spin 21 ). Questo

principio fu scoperto e formulato nel 1925 da Wolfgang Pauli che per questa sua scoperta ricevette il premio Nobel nel 1945. Il principio di esclusione prevede che due particelle identiche con lo stesso spin non possono esistere nello stesso stato, ossia che non possono avere entrambe la stessa posizione e la stessa velocità, entro i limiti posti dalle disuguaglianze di Heisemberg che affermano che ≥∆∆ px . Con questo principio si può spiegare come mai le particelle non si contraggono in uno stato di densità elevatissima sotto l’influenza delle forze prodotte dalle particelle di spin 0; 1; 2. Se il mondo fosse creato senza il principio di esclusione tutte le particelle si contrarrebbero tutte a formare un “brodo” denso, grossomodo uniforme. Questo principio fa in modo che una stella che ha finito tutto il suo combustibile non collassi subito in un buco nero. Le particelle di materia vengono a trovarsi vicine l’una all’altra, ma il principio prevede che devono avere velocità diverse. Di conseguenza le particelle si allontanano l’una dall’altra permettendo alla stella di mantenere un raggio costante.


70

Il principio di esclusione ha però un limite posto dalla velocità della luce, perciò due particelle non possono avere una velocità relativa superiore a c . Si può quindi capire che quando ci sono in gioco masse ancora superiori la stella è costretta a collassate.

7.3.3 Le nane bianche Come abbiamo già visto in precedenza quando una stella finisce il suo carburante inizia a contrarsi, però questa contrazione si ferma ad un certo punto: infatti interviene il principio di esclusione appena trattato. Il principio prevede che due particelle identiche, in questo caso gli elettroni, non possono trovarsi troppo vicine l’una all’altra. In questo modo si crea una nuova pressione interna che riesce, fino a certe determinate masse, a evitare il collasso gravitazionale del corpo celeste. Le masse per cui il principio di esclusione è sufficiente per fermare il collasso arrivano fino a 4.1 volte la massa solare. La situazione di Sirio B (nana bianca) Dati:

kgMM Sole301094.198.0 ⋅=⋅=

mr 7107.2 ⋅= Supponendo che la composizione sia simile a quella del sole: Numero di particelle di Idrogeno in Sirio B:

3330

104619.1001.0

1094.175.0⋅≅

⋅⋅

molkg

kg

Numero di particelle di Elio in Sirio B:

3230

102183.1004.0

1094.125.0⋅≅

⋅⋅

molkg

kg

Con una temperatura di KT 710≈ Pressione interna:

PapRTrp 1932333 1027.1)1021.11046.1(43

⋅≅⇔⋅+⋅=π

Pressione esterna:

Par

MGp 314

2

1056.74

⋅==π


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La pressione esterna è molto maggiore a quella interna quindi a mantenere in equilibrio la nana bianca è il principio di esclusione.

7.3.4 Le stelle a neutroni Il principio di esclusione, come abbiamo gia visto, prevede che due particelle identiche non possono avere la stessa posizione e la stessa velocità, perciò le particelle devono avere velocità diverse. Allontanandosi una particella dall’altra permettono alla stella di mantenere un raggio costante. Questo è ciò che accade nelle nane bianche con gli elettroni, ma non bisogna dimenticare il carattere limite della velocità della luce. Infatti due elettroni non possono avere una velocità relativa maggiore di c , perciò quando ci sono in gioco delle masse comprese tra 4.1 e 2 volte la massa solare gli elettroni si “fondono” con i protoni tramite la reazione

ν+→+ nep dove ν è un neutrino. Per spiegare come mai riescono a stare in equilibrio si deve ricorrere ancora al principio di esclusione: in questo caso avviene tra i neutroni allontanandoli l’uno dall’altro e permettendo alla stella di avere una pressione sufficiente per contrastare la sua stessa attrazione gravitazionale.

7.3.5 I buchi neri La pressione interna fornita del principio di esclusione può non essere sufficiente per dei corpi con una massa superiore a 2 volte la massa solare. Anche in questo caso vale ciò che è stato detto per le stelle a neutroni a riguardo del carattere limite della velocità della luce. A questo punto, quando ci sono in gioco masse così elevate, il corpo collassa su se stesso creando una singolarità, dove cessano di esistere sia lo spazio sia il tempo. È importante ricordare che tutte le masse qui elencate sono da considerarsi come quelle dell’istante prima che il corpo collassi, infatti può accadere che tramite delle esplosioni quest’ultimo perda della massa riuscendo cosi a stabilizzarsi in uno stadio finale che non sia un buco nero.


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7.4 Il raggio di Schwarzschild

7.4.1 Calcolo classico del raggio di Schwarzschild Il raggio di Schwarzschild è il raggio dell’orizzonte degli eventi, cioè il luogo dal quale le informazioni non possono più giungere ad un osservatore posto al suo esterno. Questo raggio si può trovare con un semplice calcolo (che nonostante sia formalmente sbagliato ci fornisce un risultato giusto). Si parte dal presupposto che le informazioni viaggino alla velocità della luce

(smc 81099.2 ⋅= ) e si cerca quale sia il raggio del corpo celeste dopo il quale neanche

degli ipotetici proiettili che viaggino a questa velocità non riescano a fuggire dal campo gravitazionale. Raggio di Schwarzschild ( Sr )

22 2

210

cMGr

rGMmmcEE S

Snalegravitaziocinetica =⇔=⇔=−

L’errore formale è dovuto al fatto che la massa di una particella che si muove alla velocità della luce è kgm 0=

7.4.2 La soluzione relativistica del raggio di Schwarzschild La metrica dello spazio-tempo esterna ad un corpo di massa M sferico e fermo è data da

)sin()1()1( 22222122 φϑϑ ddrdrrr

dtrr

ds SS ++−+−−= −

dove r è la distanza dal centro di massa e Sr il raggio di Schwarzschild. Notiamo che per 0=r e Srr = la metrica a una singolarità, infatti

∞=−→

)1(lim0 r

rS

r

∞=− −

→

1)1(limrrS

rr S

Queste due singolarità sono di diversa natura: la prima è una singolarità vera invece la seconda è una singolarità delle coordinate che scompare con un cambio di coordinate. Nel caso dei buchi neri la singolarità vera e propria, dove il tempo e lo spazio cessano di esistere, è un punto di densità e curvatura infinite, in cui tutta la massa del corpo collassa. Invece la singolarità del raggio di Schwarzschild, cioè quella che descrive l’orizzonte


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degli eventi, esiste solo con queste coordinate che descrivono l’evento da lontano. Se un ipotetico astronauta potesse attraversare questo orizzonte non sentirebbe niente sul suo corpo, o quanto meno questo passaggio non influirebbe su di lui. Ma l’equipaggio della navicella, da cui il nostro ipotetico e temerario astronauta è partito, non lo vedrebbe mai oltrepassare l’orizzonte degli eventi. Un’altra osservazione interessante che si può trarre dalla metrica è che quando ∞→r ,

cioè quando ci si allontana sempre più dal centro di massa M , 0→rrS e quindi si torna

a una metrica piatta come in relatività ristretta. Inoltre Sr ha un senso come orizzonte degli eventi solo se Sstella rR < .

7.4.3 La censura cosmica Come abbiamo appena visto la singolarità vera dello spazio-tempo non è eliminabile e soprattutto è nascosta da una singolarità delle coordinate. In questo modo ci è impossibile osservarla. Infatti l’unico modo sarebbe quello di prendere una strada a senso unico e senza ritorno attraverso l’orizzonte degli eventi. La singolarità vera è, come abbiamo gia visto, un punto di curvatura infinita dello spazio-tempo. Inoltre in essa ogni legge della scienza e la nostra capacità di prevedere il futuro verrebbero meno. Grazie a questa censura cosmica un osservatore esterno a un buco nero non risentirebbe di questo venir meno delle predicibilità, infatti alcuna informazione, per definizione, gli potrebbe giungere all’esterno del buco nero. Si può perciò dire che la censura cosmica protegge gli osservatori, che restano all’esterno del buco nero, dalle conseguenze del venir meno della predicibilità che si verifica nella singolarità. Questo privilegio non è dato però all’avventuroso cosmonauta che oltrepassa l’orizzonte degli eventi. Qui si potrebbero aprire discorsi più filosofici o teologici per cercare di dare una spiegazione all’esistenza di questa censura cosmica, ma io sono dell’opinione che nel corso di questo lavoro l’importante è solo costatare l’esistenza di questa teoria senza avventurarsi in alcuna interpretazione.


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7.5 Il comportamento dei coni di luce nelle vicinanze di un buco nero

7.5.1 Visti da un osservatore lontano Come abbiamo visto per la soluzione del raggio di Schwarzschild la metrica dello spazio-tempo nelle vicinanze di un corpo celeste sferico e fermo è data da

)sin()1()1( 22222122 φϑϑ ddrdrrr

dtrr

ds SS ++−+−−= −

Se ci poniamo su una geodetica radiale e nulla, che significa che si sta viaggiando alla velocità della luce, possiamo dire che

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−+−−= −

0

)1()1( 2122

ds

drrr

dtrr

ds SS

da cui segue 2

2

2212 )1()1()1( −− −=⇔−=−

rr

drdtdr

rr

dtrr SSS

1)1( −−±=⇒rr

drdt S

Possiamo considerare il risultato appena ottenuto come la pendenza del cono di luce e osserviamo subito che quando Srr → , cioè quando ci si avvicina all’orizzonte degli

eventi di un buco nero, ±∞→drdt , la pendenza del cono diventa verticale. Quindi man

mano che il nostro cono di luce si avvicina all’orizzonte degli eventi la sua apertura diminuisce fino a che, in corrispondenza con il raggio di Schwarzschild, si chiude completamente. Si vede chiaramente che dall’orizzonte degli eventi in poi non ci può più giungere alcuna informazione.


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Figura 7-3: Rappresentazione grafica della diminuzione

dall’apertura del cono di luce con l’avvicinarsi al raggio di Schwarzschild (qui chiamato 2GM poiché viene posto c=1).

Il fatto che il cono di luce si contrae su se stesso è il segno di una singolarità delle coordinate.

7.5.2 Visti da un osservatore vicino Abbiamo appena descritto il comportamento dei coni di luci in prossimità di un buco nero visti da un osservatore lontano. Adesso invece vogliamo osservare lo stesso fenomeno ma dal punto di vista di un osservatore vicino. Per far ciò è necessario eseguire un cambio di coordinate, infatti si devono sfruttare le coordinate di Eddington-Frinkestein. Si rimpiazza la coordinata temporale t con la nuova coordinata u~

)~,(),( urtr → dove

)1ln(~ −++=S

S rrrrtu

La metrica è perciò definita da

)sin()~~(~)1( 222222 φϑϑ ddrudrddrududrr

ds S ++++−−=

Se prendiamo in considerazione, come nel caso precedente, una geodetica radiale nulla, allora si dimostra che


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Lato entrante Lato uscente

Notiamo così che una lato del cono rimane sempre costante e parallelo all’asse delle ascisse su cui poniamo il raggio dal centro di massa. L’altro lato invece diventa nullo, cioè sovrapposto al primo solo con 0=r , e ciò dimostra come Sr è una singolarità delle coordinate. Concentriamoci ora su ciò che accade sull’orizzonte degli eventi, cioè quando Srr = .

+∞=− −

→

1)1(2limrrS

rr S

Possiamo cosi vedere che non c’è più una singolarità sull’orizzonte degli eventi, l’unica cosa che succede in quel punto è che la pendenza della parte esterna del cono è verticale e ciò significa che non potranno più essere mandate informazioni all’esterno del buco nero.

Figura 7-4: Rappresentazione grafica dell’inclinazione di un cono di

luce in prossimità di un buco nero, vista da un osservatore vicino.

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= −1)1(20~

rr

drud

S


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7.6 Alcuni effetti dei buchi neri

7.6.1 Paradosso dell’astronauta Prendiamo in considerazione questa situazione iniziale: un’astronave che orbita attorno ad un buco nero e un temerario astronauta che l’abbandona per avventurarsi verso il buco nero. L’astronauta manda ogni secondo un segnale alla sua astronave. Cosa accade mentre l’astronauta si avvicina all’orizzonte degli eventi? È forse necessario ricordare al lettore che un campo gravitazionale deforma lo spazio e il tempo. Perciò mentre l’astronauta si avvicina al buco nero, la sua navicella riceverà sempre più lentamente il segnale e soprattutto non le giungerà mai il segnale di quando l’astronauta oltrepassa l’orizzonte degli eventi.

Figura 7-5: Rappresentazione grafica della dilazione del tempo con

l’avvicinarsi al buco nero.

In questo modo, dal punto di vista degli osservatori posti sulla navicella è come se il tempo per il nostro astronauta si fosse fermato sull’orizzonte degli eventi. Questo succede perché usando la soluzione di Schwarzschild esiste una singolarità delle coordinate sull’orizzonte degli eventi. In realtà l’astronauta non si accorge nemmeno di passare l’orizzonte degli eventi. Gli effetti sul suo corpo sono altri e non dovuti al passaggio del raggio di Schwarzschild.


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Figura 7-6: L’ultimo segnale non verrà mai ricevuto dall’astronave, quindi dal loro punto di vista è come se il tempo si fosse fermato per l’astronauta.

7.6.2 Effetti marea Trattiamo ora gli effetti che subirebbe l’astronauta con l’avvicinarsi al buco nero. Iniziamo con il dire che non sono sensazioni particolarmente piacevoli. La forza di gravità avrebbe un effetto devastante sul nostro povero e incosciente astronauta che ha osato avventurarsi verso l’ignoto. La forze in gioco sono notevoli, ma soprattutto ci sarebbe una differenza tra la forza gravitazionale agente sui piedi e quella sulla testa sufficiente da stirare il cosmonauta come una fettuccina e farlo a pezzi.


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Figura 7-7: Rappresentazione degli effetti sul corpo umano della differenza delle forze gravitazionali ai capi del corpo.

7.6.3 Macchina del tempo Abbiamo già visto come la massa enormemente concentrata di un buco nero riesca a dilaniare lo spazio-tempo. Inoltre nel paradosso dell’astronauta abbiamo anche notato che il tempo rallenta man mano che ci si avvicina alla singolarità del buco nero. Quindi in via puramente teorica sarebbe possibile orbitare per un certo lasso di tempo molto vicino all’orizzonte degli eventi, facendo la dovuta attenzione per evitare di cascarci dentro, e poi tornare sulla Terra e ritrovarla secoli più avanti. Per esempio se si orbitasse per un anno vicino all’orizzonte degli eventi di un buco nero di massa 1'000 volte quella del nostro Sole, il tempo dell’astronauta sarebbe circa 10'000 volte più lento delle altre persone sulla Terra, quindi quando l’astronauta ritornerebbe sul nostro pianeta saranno passati più di 10'000 sulla Terra. Cosi facendo avrebbe usato il buco nero come macchina del tempo per andare nel futuro.


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7.7 Radiazione di Hawking Stephen Hawking nel 1974 fece una grande scoperta nell’ambito dei buchi neri, infatti si accorse che in realtà non sono così neri ma emettono una radiazione come qualsiasi corpo caldo.

Figura 7-8: Stephen Hawking scienziato inglese nato nel 1942 e considerato oggi il più grande astrofisico del mondo. È affetto da sclerosi amiotrofica laterale che lo costringe sulla sedia a rotelle e gli è possibile parlare solo grazie a un sofisticato sintetizzatore vocale. Nonostante la grave malattia è tutt’ora una delle menti più brillanti e lucide al mondo.

Prima di poter andare avanti a parlare delle radiazione di Hawking è necessario soffermarsi un attimo sulle disuguaglianze di Heisemberg. Questa disuguaglianza prevede che non si può sapere con esattezza contemporaneamente sia la posizione sia la quantità di moto di una particella. Inoltre la precisione con cui si conosce una della due varianti è inversamente proporzionale alla precisione con cui si può conoscere l’altra. Una conseguenza di questo principio è che un oggetto non può essere esattamente fermo in un punto, poiché, cosi facendo, si conoscerebbero contemporaneamente sia la posizione sia la quantità di moto dell’oggetto in considerazione. Prenderemo ora in considerazione l’esempio di un pendolo.


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“Pendolo con distribuzione di probabilità Secondo le disuguaglianze di Heisemberg, è impossibile che un pendolo si trovi in una posizione esattamente verticale, con velocità pari a zero. Di fatto, la teoria quantistica predice che, anche nello stato fondamentale, il pendolo abbia un quantitativo minimo di fluttuazioni. Ciò significa che la posizione del pendolo sarà data da una distribuzione di probabilità. Nello stato fondamentale, la posizione più probabile è quella verticale, ma vi è anche la probabilità che formi un piccolo angolo rispetto alla verticale” Da [3], pagina 49

Figura 7-9: Distribuzione probabilistica delle posizioni del pendolo.

La situazione del pendolo è valida anche per quanto riguarda i campi, infatti un campo non può mai essere esattamente nullo. Ciò significa anche che nel cosiddetto vuoto non possono essere nulli, ma devono avere delle minime fluttuazioni. Queste fluttuazioni possono essere interpretate in diversi modi, ma matematicamente equivalenti. Perciò possiamo sceglierci la rappresentazione più comoda per la soluzione del problema. Scegliamo allora di considerare queste fluttuazioni del vuoto come due particelle virtuali di materia e antimateria, che si creano in un determinato punto dello spazio-tempo, si separano e un istante dopo si annichiliscono. Si parla di particelle virtuali perché non possono essere osservate direttamente, ma ciò che è possibile osservare sono unicamente gli effetti indiretti prodotti da queste particelle.


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Figura 7-10: Particelle di materia e antimateria che si creano, si separano e poi si annichiliscono.

Immaginiamoci ora la stessa situazione ma con la presenza di un buco nero, è così possibile che una particella della coppia virtuale prodotta dalle fluttuazioni del campo gravitazionale di un buco nero ci cada dentro lasciando l’altra libera. In questo modo non si possono più annichilire e ai nostri occhi questa particella ci appare essere irradiata dal buco nero. Inoltre lo spettro delle radiazioni di un buco nero è lo stesso che ci si aspetterebbe da un corpo caldo. Essi hanno una temperatura che dipende dalle loro dimensioni, ma sfortunatamente la temperatura è cosi bassa che è coperta dalla radiazione cosmica di fondo residua del Big Bang.


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Figura 7-11: Particelle di materia e antimateria che si creano vicino all’orizzonte degli eventi, alcune cadono nel buco nero e altre vengono invece irradiate nello spazio.

Ci si può chiedere anche da dove viene l’energia necessaria per poter emettere questa radiazione. La risposta la si deve cercare in alcune proprietà dell’energia nella relatività generale. L’energia della particella caduta nel buco nero è negativa ed è bilanciata dall’energia positiva della particella irradiata. Ma l’apporto di energia negativa riduce la massa del buco nero, ricordiamo infatti l’equazione 2mcE = che lega la massa all’energia. In questo modo esso perde in continuazione massa, la sua radiazione e la sua temperatura invece aumentano fino a quando il buco nero ha massa nulla. Non si è in grado di calcolare cosa succede a questo punto, ma è ragionevole pensare che il buco nero scompaia. Un’altra questione, su cui si dibatte ancora, è che fine fa l’informazione immagazzinata da questi mostri gravitazionali. Scompare con il buco nero o in qualche modo viene rilasciata? Questa oltre a una questione fisica è anche filosofica poiché è strettamente legata con il determinismo, che è gia stato messo in crisi con l’avvento della fisica quantistica. Se le informazioni finite in un buco nero sono veramente perse per sempre, con la evaporazione completa del buco nero, sarebbe il colpo di grazia alla teoria deterministica e ai suoi sostenitori. Inoltre i buchi neri hanno spesso affascinato gli scienziati poiché aprivano le porte a idee fantascientifiche. È stato per esempio ipotizzato che potessero fungere da tunnel di passaggio tra un universo e l’altro. Altri hanno ipotizzato invece, visto la stretta


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somiglianza che i buchi neri hanno con il Big Bang, che questi fossero dei potenziali semi di altri universi, che noi purtroppo non potremmo osservare per il semplice fatto che sarebbero all’interno dell’orizzonte degli eventi. Questa teoria, seppure potrebbe sembrare di poco conto nel mare della scienza, ha in realtà una enorme rilevanza, infatti è la prima che cerca di combinare la relatività generale con la meccanica quantistica.

Dalla relatività ai buchi neri 8. Conclusione

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8. Conclusione Il mio lavoro è giunto al termine, spero che qualsiasi lettore leggendolo riesca ad avere un’idea generale della relatività e dei buchi neri. Purtroppo alcune parti richiedono un po’ di conoscenza matematica, ma questa è la realtà della fisica. Soprattutto la fisica moderna richiede delle conoscenze matematiche estremamente elevate che la allontanano dalla gente comune. In effetti questo è un vero peccato, poiché sono convinto che altrimenti molte più persone si avvicinerebbero volentieri alla chiarezza logica della fisica. Ciò che ha spinto la fisica nei secoli ad evolversi, e ad arrivare nella sua grandezza ai giorni d’oggi, è il continuo cercare risposte al lato misterioso della vita. Qui è perciò evidente che è una materia che dovrebbe riguardare chiunque, ma che purtroppo per la stragrande maggior parte della popolazione presenta ostacoli matematici insormontabili. Ma penso che, nonostante le proprie capacità e conoscenze matematiche, ogni persona dotata di pensiero si sia già chiesta: Chi siamo? Da dove veniamo? E dove andremo? Molti trovano risposte nella religione tradizionali, altri invece, come Albert Einstein, le cercano in una religione cosmica, dove non esistono più Dei antropomorfi. E se invece queste domande non avessero risposte? In fondo sono domande spinte da una logica tipicamente umana che richiede una motivazione a tutto ciò che esiste, potrebbe benissimo darsi che questa logica non sia conosciuta al di fuori della specie umana. In ogni caso credo che non ci sia modo migliore per finire il mio lavoro che lasciare degli interrogativi aperti. Solo facendosi domande si possono trovare le risposte.

9. Ringraziamenti Al termine del mio lavoro vorrei ringraziare coloro che mi hanno permesso di svolgerlo. In particolare vorrei ringraziare il Professor Christian Ferrari che mi ha seguito e aiutato appassionatamente nel corso dell’intero anno durante il quale ho svolto questo lavoro.

Dalla relatività ai buchi neri 10. Appendice A

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10. Appendice A “Cos’è la teoria della relatività?” di A. Einstein “In fisica si possono distinguere teorie di natura diversa. La maggior parte sono teorie costruttive: per mezzo di un sistema di formule relativamente semplice situato alla base, esse cercano di costruire un’immagine di fenomeni relativamente complessi. […] Ma accanto a questa classe importante di teorie ve n’è una seconda che invece del metodo sintetico impiega il metodo analitico. Qui è il punto di partenza e la base non sono costituiti da elementi di costruzione ipotetica, ma da proprietà generali dei fenomeni naturali determinate empiricamente dalle quali derivano in seguito criteri matematicamente formulati, ai quali i fenomeni particolari o le loro immagini teoriche devono soddisfare. […] La teoria della relatività appartiene alla seconda categoria. Per comprendere la sua essenza bisogna quindi imparare a conoscere anzitutto i principi sui quali si basa. Ma, prima di esaminarli, vorrei fare notare che la teoria della relatività assomiglia a un edificio a due piani, che sono la teoria della relatività ristretta e quella delle relatività generalizzata. La prima, che è fondamento della seconda, concerne tutti i fenomeni fisici ad eccezione della gravitazione; la teoria della relatività generalizzata conduce alla legge della gravitazione e alle relazioni di questa con le altre forze naturali. Fin dall’antichità si sa bene che per descrivere il movimento di un corpo è necessario un altro corpo immobile, al quale si riferisce il movimento del primo. Il movimento di una vettura è riferito al Sole, il movimento di un pianeta alla totalità delle Stelle fisse visibili. In fisica i corpi ai quali si riferiscono, spazialmente, i fenomeni, sono indicati col nome di sistemi di coordinate2. Le leggi della meccanica di Galileo e di Newton non possono essere formulate che utilizzando un sistema di coordinate. Ma affinché le leggi della meccanica siano valide, non si può scegliere a volontà lo stato di moto del sistema di coordinate (deve essere senza rotazione e senza accelerazione). Un sistema di coordinate ammissibile si chiama un “sistema d’inerzia”. Tuttavia lo stato di movimento di un sistema di inerzia non è, secondo la meccanica, determinato chiaramente dalla natura. Bisogna piuttosto dire: un sistema di coordinate che si sposta in linea retta e con moto uniforme in rapporto a un sistema d’inerzia è ugualmente un sistema d’inerzia. Per “principio di relatività ristretta” s’intende l’estensione di questa proposizione a qualsiasi fenomeno naturale: ogni legge generale della natura, valida per un sistema di coordinate R , deve essere valida senza cambiamenti per un sistema di coordinate 'R animato da un movimento di traslazione uniforme in rapporto a R . Il secondo principio sul quale si basa la teoria della relatività ristretta è “il principio della costanza della velocità della luce nel vuoto”. Questo principio dice: la luce ha sempre, nel vuoto, una velocità di diffusione ben determinata (indipendentemente dallo stato di movimento e dalla sorgente luminosa). Il credito che il fisico accorda a questo principio è dovuto ai successi dell’elettrodinamica di Lorentz e di Maxwell.

2 Noi li abbiamo chiamati sistemi di riferimento o referenziali


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I principi enunciati sono potentemente suffragati dell’esperienza, ma non sembrano, logicamente, compatibili fra loro. La teoria della relatività ristretta è giunta finalmente a realizzare quest’unione logica modificando la cinematica, vale a dire la dottrina delle leggi concernenti lo spazio e il tempo (partendo dal punto di vista fisico). Essa ha dimostrato questo: dire che due eventi sono simultanei non ha un significato che in rapporto a un sistema di coordinate ed è evidente che la forma dei metri e la marcia degli orologi debbano dipendere dal loro stato di moto in rapporto al sistema di coordinate. Ma la fisica antica, incluse le leggi di Galileo e di Newton, non s’adattavano a questa cinematica relativistica di cui abbiamo ora parlato. Da quest’ultima discendevano le condizioni matematiche generali alle quali dovevano corrispondere le leggi naturali se i due principi enunciati erano veri. La fisica doveva adattarsi a essi. In particolare si è giunti a una nuova legge del moto per i punti materiali (in rapido spostamento), che è stata verificata con esattezza anche sulle particelle caricate elettricamente. Il risultato più importante della teoria della relatività ristretta riguarda le masse inerti di un sistema di corpi. È stato dimostrato che l’inerzia di un sistema deve dipendere dal suo contenuto in energia e si è pervenuti per così dire alla concezione che le masse inerti non sono altre che energia latente. Il principio della conservazione della massa ha perso la sua autonomia, si è fuso con quello della conservazione dell’energia. La teoria della relatività ristretta, che non è altro che un prolungamento sistematico della elettrodinamica di Maxwell e di Lorentz, ha aperto nuove vie superando i suoi stessi limiti. L’indipendenza delle leggi fisiche in rapporto allo stato di movimento dei sistemi di coordinate non doveva forse limitarsi ai movimenti uniformi di traslazione dei sistemi di coordinate gli uni in rapporto agli altri? Che ha dunque a che vedere la natura con i sistemi di coordinate introdotti da noi e col loro stato di moto? Anche se è necessario per descrivere la natura impiegare un sistema di coordinate scelto a nostro piacere, la scelta del suo stato di movimento non doveva, almeno, subire limitazioni di sorta; le leggi dovevano essere assolutamente indipendenti da questa scelta (principio della relatività generalizzata). L’applicazione di questo principio della relatività generalizzata si può agevolmente comprendere attraverso un’esperienza conosciuta da tempo, secondo la quale il peso e l’inerzia di un corpo sono retti dalla stessa costante (eguaglianza delle masse pesanti e inerti). Si immagini, per esempio, un sistema di coordinate animato da un movimento di rotazione uniforme relativamente a un sistema di inerzia newtoniano. Le forze centrifughe che intervengono, relative a questo sistema, devono essere concepite, secondo la teoria di Newton, come effetti dell’inerzia. Ma queste forze centrifughe sono proporzionali alla massa dei corpi, esattamente come le forze di gravità. Non sarebbe possibile, in talune circostanze, concepire il sistema di coordinate come immobile e le forze centrifughe come forze di gravitazione? È agevole concepirlo, ma la meccanica classica vi si oppone. Questa considerazione fatta incidentalmente ci fa presentire che una teoria della relatività generalizzata deve fornirci le leggi di gravitazione, e la continuità logica dell’idea per giustificare questa speranza. Ma il cammino è stato più duro di quanto si poteva prevedere perché esigeva l’abbandono della geometria di Euclide. Il che significa: le leggi secondo le quali i corpo solidi si dispongono nello spazio non concordando tra loro esattamente con le leggi spaziali della geometria euclidea. È ciò che si vuol dire quando si parla della “curvatura dello spazio”. I concetti fondamentali, “la retta”, “il piano”, ecc., perdono così, in fisica, il loro esatto significato.


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Nella teoria della relatività generalizzata, la dottrina dello spazio e del tempo, la cinematica, non è più un fondamento indipendente dal resto della fisica. Il comportamento dei corpi e la marcia degli orologi dipendono piuttosto dai campi gravitazionali, i quali a loro volta, sono prodotti dalla materia. La nuova teoria della gravitazione s’allontana notevolmente, per quanto riguarda i principi, dalla teoria di Newton; ma i suoi risultati pratici concordano così da vicino con quelli di questa teoria che è difficile trovare sperimentalmente prove a differenze sensibili. […] Il merito principale della teoria è che essa costituisce nel suo insieme un tutto logico. Se una sola delle conseguenze apparisse inesatta, bisognerebbe abbandonarla; ogni cambiamento sarebbe impossibile senza scuotere tutto l’edificio. Ma nessuno deve pensare che la grande creazione di Newton possa realmente essere sostituita da questa teoria o da una consimile. Le sue idee grandi e chiare conservano sempre in avvenire la loro importanza eminente, ed è su di esse che fondiamo ogni nostra speculazione moderna sulla natura del mondo.” Da [5], pagine 74-79

Dalla relatività ai buchi neri 11. Bibliografia

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11. Bibliografia [1] Harald Fritzsch, Una formula che cambia il mondo, Newton, Einstein e la teoria

della relatività, Bollati Boringhieri, Torino 1992

[2] Stephen W. Hawking, Dal big bang ai buchi neri, breve storia del tempo, Rizzoli,

Milano 2004

[3] Stephen W. Hawking, L’universo in un guscio di noce, Mondadori, Milano 2002

[4] Albert Einstein, Relatività: esposizione divulgativa e scritti classici su Spazio,

Geometria, Fisica, Bollati Boringhieri, Torino 2001

[5] Albert Einstein, Come io vedo il mondo, Newton, Roma 2003

[6] Clement V. Durell, La relatività con le quattro operazioni, Boringhieri, Torino

1966

[7] Christian Gruber, Mécanique générale, PPUR, Losanna 1998

[8] Brian Greene, L’universo elegante. Superstringhe, dimensioni nascoste e la

ricerca della teoria ultima, Enaudi, 2000 Torino

[9] Gary Stix, Figli della relatività, in Le Scienze, edizione italiana di Scientific

American, Novembre 2004

[10] Christian Ferrari, Introduzione alla relatività ristretta, Liceo Locarno 2004

[11] Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, a cura di L.

Sosio, Einaudi, 2002

[12] B. Biu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique Statistique, Hermann

Editeurs, Paris 1989

[13] Kip Thorne, Trous noirs et distorsion du temps, Flammarion, 1997