UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E
DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE
RESÍDUOS DE MINERAÇÃO
DANIELLE LIMA DA SILVA
2019
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E
DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE
RESÍDUOS DE MINERAÇÃO
DANIELLE LIMA DA SILVA
Projeto de Graduação apresentado ao curso
de Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro,
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Alessandra Conde de Freitas
RIO DE JANEIRO
Março de 2019
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E
DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE
RESÍDUOS DE MINERAÇÃO
Danielle Lima da Silva
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
________________________________________________
Prof.a Alessandra Conde de Freitas, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Marcus Peigas Pacheco, Ph.D.
________________________________________________
Prof.ª Bernadete Ragoni Danziger, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO de 2019
iii
Silva, Danielle Lima da
Estudo comparativo entre análises probabilísticas e
determinísticas de estabilidade de talude de um depósito de
resíduos de mineração/ Danielle Lima da Silva – Rio de
Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2019.
xv, 150 p.:il.; 29,7 cm.
Orientador: Alessandra Conde de Freitas.
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Civil, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 141-144.
1.Introdução 2.Revisão Bibliográfica 3.Caso Estudado
4.Análises de Resultados 5.Considerações Finais 6. Trabalhos
Futuros.
I. Freitas, Alessandra Conde de; II. Universidade Federal
do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia
Civil. III. Título.
iv
Dedico este trabalho a minha família,
Waldir, Maria do Socorro, Aline e Alice.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus que me fortalece e me guia em todos os meus caminhos,
através da minha fé em Deus muitas portas se abriram em minha vida.
Agradeço aos meus pais, Waldir e Maria do Socorro, os quais tenho imenso amor e
admiração pois sempre tiveram garra e fé em Deus para superarem diversos obstáculos
da vida e que estão sempre ao meu lado, me apoiando nas minhas decisões e me ensinaram
o valor da Educação para se conquistar um futuro melhor.
Agradeço a minha irmã, Aline, por me dar suporte e ser a minha melhor amiga.
Agradeço aos meus padrinhos Sérgio, Maria José e suas filhas que me deram um lar
durante os anos em que estive estudando no Fundão e foram essenciais para a
concretização do sonho de me formar na Escola Politécnica da Universidade Federal do
Rio de Janeiro.
Agradeço ao Christopher por me apoiar e me compreender principalmente durante os
momentos de dedicação a realização desta Monografia.
Agradeço as amizades que fiz no colégio Maria da Conceição Batista de Oliveira, na
Universidade Estadual Norte-Fluminense – UENF e na Universidade Federal do Rio de
Janeiro (Macaé e Ilha do Fundão) e em especial ao Renan, Jéssica, Paola, Matheus, Ignez,
Gabriela, Thiago Alves, Fernanda Curcio, Ana Luiza, Naiara Rinco, Fernanda Wassita,
Josi e Marina dentre muitos outros que passaram pela minha vida e me ensinaram que a
vida é mais leve ao lado de pessoas que queiram o nosso bem e nos dão suporte nos
momentos necessários, inclusive para a realização desta Monografia.
Agradeço a minha orientadora Alessandra Conde de Freitas por ter aceitado me orientar
neste trabalho, por ser solícita em meus questionamentos e dúvidas e por ser admirável
professora e profissional.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ANÁLISES PROBABILÍSTICAS E
DETERMINÍSTICAS DE ESTABILIDADE DE TALUDE DE UM DEPÓSITO DE
RESÍDUOS DE MINERAÇÃO
Danielle Lima da Silva
Março de 2019
Orientador: Alessandra Conde de Freitas
Tradicionalmente as análises de estabilidade global de taludes são feitas mediantes
métodos determinísticos para obtenção do fator de segurança (FS). Porém, estas análises
não incorporam diretamente as incertezas dos parâmetros geotécnicos, as quais podem
afetar potencialmente a estabilidade de talude. Dessa forma, as análises probabilísticas de
estabilidade de taludes apresentam-se como alternativas para melhor avaliação do
desempenho de taludes pois fornecem a estimativa da probabilidade de ruptura e do índice
de confiabilidade. Neste trabalho, os parâmetros dos materiais tidos como variáveis
aleatórias foram estimados através da análise de regressão linear proveniente de dados
obtidos de ensaios de palheta (resistência não drenada do rejeito). O objetivo deste
trabalho é comparar os resultados obtidos de análises probabilísticas e determinísticas de
estabilidade da pilha de rejeitos, de uma seção transversal de um depósito de resíduos de
mineração. Utilizou-se de dois métodos para a análise probabilística: simulação de Monte
Carlo e Método das Estimativas Pontuais, e, de dois métodos para a análise
determinística, a primeira, utilizando-se dos valores médios obtidos da reta de regressão
e a segunda a partir do uso de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT
NBR 11682:2009, para as estimativas dos parâmetros de resistência do material do
rejeito. Observou-se que os resultados das análises probabilísticas foram similares, sendo
recomendado seus usos em conjunto para confirmação e que os resultados das análises
determinísticas foram diferentes entre si, porém, a análise determinística com critério
semiprobabilístico foi mais realista.
Palavras-chave: Estabilidade de taludes; Método das Estimativas Pontuais; Simulação
de Monte Carlo; Regressão Linear.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
COMPARATIVE STUDY BETWEEN PROBABILISTIC AND DETERMINISTIC
SLOPE STABILITY OF A TAILING DEPOSIT
Danielle Lima da Silva
March 2019
Adviser: Alessandra Condé de Freitas
Traditionally, slope global stability analyzes are performed using deterministic methods
to obtain the safety factor (FS). However, these analyzes do not directly incorporate the
uncertainties of geotechnical parameters, which can potentially affect the slope stability.
Thus, slope stability probabilistic analyzes are presented as alternatives for better
evaluation of slope performance, since they provide an estimate of the probability of
failure and the reliability index. In this work, the parameters of the materials taken as
random variables were estimated through linear regression analysis from data obtained
from vane tests (undrained resistance of the tailings). The objective of this work is to
compare the results obtained from probabilistic and deterministic slope stability analyzes
of a cross section of a mining tailing dam. Two probabilistic methods were used: Monte
Carlo Simulation and Point Estimated Method and two deterministic analysis were used,
the first one, using the mean values obtained from the regression analysis and the second
one through a semiprobabilistic criterion established in the norm ABNT NBR 11682:
2009, for the estimates of the resistance parameters of the material of the tailings, to
incorporate the uncertainties of geotechnical parameters. It was observed that the results
of the probabilistic analyzes were similar to each other, being recommended their uses
together to check the results and the deterministic analysis results were different from
each other, however the deterministic analysis with a semiprobabilistic criterion was more
realistic.
Keywords: Slope Stability; Point Estimated Method; Monte Carlo Simulation, Regression
analysis.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1.1 - Fator de segurança versus Probabilidade anual de ruptura (Adaptado de
SILVA, LAMBE, & MARR, 2008). .............................................................................. 19
Figura 2.1.2.1 – Tubulação principal e tubulações menores (spigots) que descarregam a
polpa na barragem (BOSCOV, 2018)............................................................................. 24
Figura 2.1.2.2 – Fases de formação de um depósito de rejeitos (Adaptado de IMAI, 1981
apud BOSCOV, 2018). ................................................................................................... 25
Figura 2.1.2.3 - Exemplos de rejeitos espessados (FIGUEIREDO, 2007). .................... 27
Figura 2.1.2.4 – Evolução da taxa de geração de produção de rejeitos no mundo (ÁVILA,
2011 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017). ............................................................... 28
Figura 2.1.2.5 – Tendências globais para o uso de tipos de rejeitos que apresentam maior
volume de sólidos (Adaptado de DAVIES (apud TAGUCHI, 2014)). .......................... 29
Figura 2.1.2.6 - Exemplo de disposição de rejeitos filtrados na mina La Coipa, Atacam,
Chile (PwC, 2012 apud TAGUCHI, 2014). ................................................................... 30
Figura 2.1.3.1 - Método construtivo das barragens de rejeitos de mineração cadastradas
no PNSB (ANM, 2019). ................................................................................................. 32
Figura 2.1.3.1.1 - Construção a Montante (IBRAM, 2016). .......................................... 33
Figura 2.1.3.2.1 - Método a Jusante (Adaptado de IBRAM, 2016). .............................. 34
Figura 2.1.3.3.1 - Método de linha de centro (IBRAM, 2016). ...................................... 35
Figura 2.1.4.1 - Relacionamento entre causas para ruptura, modos de ruptura e ruptura
(Adaptado de TAGUCHI, 2014). ................................................................................... 36
Figura 2.1.4.2 - Compilação das oito causas de falha do ICOLD,2001 e UNEP, 2001 para
os cinco modos de falha (Adaptado de TAGUCHI, 2014)............................................. 37
Figura 2.1.5.1 - Causas de acidentes em barragens ativas e inativas (Adaptado de ICOLD
e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014). ......................................................................... 43
Figura 2.1.5.2 - Número total de acidentes e suas causas considerando o tipo de método
construtivo (Adaptado de ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014). .................. 43
Figura 2.1.6.1 - Quantitativo das barragens de rejeitos existentes no Brasil e relação entre
as barragens inseridas e não inseridas no PNSB (ANM, 2019). .................................... 44
Figura 2.2.1.2.1 – Tensões cisalhantes resistentes e mobilizadas em uma massa de solo
(GERSCOVICH, 2016). ................................................................................................. 49
Figura 2.2.1.2.1.1 – (a) massa de solo potencialmente instável dividida em fatias; (b)
representação da i-ésima fatia e as forças que atuam nela (TELLES, 2015). ................ 52
Figura 2.2.1.2.2.1 - Representação de uma fatia de solo (TELLES, 2015). ................... 54
ix
Figura 2.2.1.2.3.1 - Forças aplicadas a uma fatia de solo pelo método de Spencer.
(Adaptado de FREITAS, 2011) ...................................................................................... 56
Figura 2.2.1.2.4.1 - Forças aplicadas a uma fatia de solo segundo Método de Morgenstern
e Price. ( Adaptado de FREITAS, 2011) ........................................................................ 57
Figura 2.3.1.2.1 - Histograma e distribuição acumulada qualquer. (Adaptado de
BAECHER & CHRISTIAN, 2003) ................................................................................ 62
Figura 2.3.2.1 - Estabelecimento dos limites de confiança pontuais e da média (reta de
regressão) (PACHECO; LIMA, 1996). .......................................................................... 67
Figura 2.3.3.1 - Categorias de incerteza. (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN,
2003). .............................................................................................................................. 71
Figura 2.3.4.1 - Distribuição Normal com μ = 5 e σ = 2. (FENTON; GRIFFITHS, 2008)
........................................................................................................................................ 74
Figura 2.3.5.1 - Região segura e região de falha no espaço das variáveis aleatórias
(NOGUEIRA, 2010). ...................................................................................................... 76
Figura 2.3.5.2 - Relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruptura
(DUNCAN, WRIGHT, & BRANDON, 2014)............................................................... 77
Figura 2.3.5.3 - Índice de confiabilidade segundo HASOFER-LIND (1974)
(NOGUEIRA, 2010). ...................................................................................................... 79
Figura 2.3.5.4 - Função densidade de probabilidade de G(x), à esquerda e função de
distribuição acumulada de G(x), à direita (MORALES, 2014). ..................................... 80
Figura 2.3.5.5 –Índice de confiabilidade versus probabilidade de ruptura (USACE, 1999
apud FLORES, 2008). .................................................................................................... 81
Figura 2.3.6.1 - Metodologia para avaliação de riscos (Adaptado de BENDIXEN, 2003
apud SILVA et al., 2008)................................................................................................ 84
Figura 2.3.7.1 - Probabilidade de ruptura toleráveis (BAECHER,1982b apud BAECHER
& CHRISTIAN, 2003). .................................................................................................. 86
Figura 2.3.7.2 - Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de
Hong Kong (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). .................................... 86
Figura 2.3.7.3 - F-N chart elaborado pela US Bureau of Reclamation obtido de um
portfólio de barragens (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). .................... 87
Figura 2.3.10.1.1 - Região de falha e região segura no plano(𝑋1, 𝑋2). (Adaptado de
FENTON & GRIFFITHS, 2008). ................................................................................... 93
Figura 2.3.10.1.2 - Convergências da simulação de Monte Carlo para n simulações
(BAECHER & CHRISTIAN, 2003). ............................................................................. 94
x
Figura 2.3.10.2.1 - Estimativas Pontuais para a variável aleatória 𝑋1 a qual apresenta
assimetria (Adaptado de FENTON & GRIFFITHS, 2008). ........................................... 98
Figura 2.3.10.2.2 - Estimativas pontuais e probabilidades para duas variáveis sem
assimetria 𝑋1 e 𝑋2 (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). ........................ 99
Figura 2.3.10.2.3 - Plano 3D mostrando as quatro estimativas pontuais quaisquer e seus
respectivos pesos provenientes de duas variaveis aleatórias quaisquer.(FENTON;
GRIFFITHS, 2008). ........................................................................................................ 99
Figura 3.1.1 - Seção transversal do depósito de resíduos do estudo. ........................... 101
Figura 3.1.2 – Detalhe do dique e bermas. ................................................................... 101
Figura 3.3.1.1 – Resistências não drenadas, Su (kN/m²) provenientes dos ensaios de
palheta. .......................................................................................................................... 104
Figura 3.3.1.2 - Reta de regressão e dados de ensaios de palheta. ............................... 104
Figura 3.3.1.3 - Limites superiores e inferiores da reta média (regressão linear) e dos
pontos individuais. ........................................................................................................ 105
Figura 4.1.1.1 - Superfície potencial de ruptura determinística 1 da seção do depósito em
estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 2,247. ........................................... 108
Figura 4.1.1.2 - Superfície potencial de ruptura crítica determinística 1 pelo método de
Morgenstern-Price à esquerda (FS = 2,248) e pelo método de Spencer à direita (FS =
2,246) da seção do depósito em estudo. ....................................................................... 108
Figura 4.1.2.1 - Superfície potencial de ruptura determinística 2 da seção do depósito em
estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 1,479. ........................................... 111
Figura 4.1.2.2 - Superfície potencial de ruptura crítica determinística 2 pelo método de
Morgenstern-Price à esquerda (FS = 1,480) e pelo método de Spencer à direita (FS =
1,480) da seção do depósito em estudo. ....................................................................... 111
Figura 4.2.1 - Tela de entrada de dados estatísticos para os materiais existentes da seção
do talude em estudo no Slide. ....................................................................................... 113
Figura 4.2.1.1 – Histogramas do FS das análises Global Minimum (análises 1, 2, 3 e 4)
obtidos pelo programa Slide. ........................................................................................ 119
Figura 4.2.1.2 - Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Global Minimum
(análises 1, 2, 3 e 4) obtidos pelo programa Slide. ....................................................... 120
Figura 4.2.1.3 – Histogramas do FS das análises Overall Slope (análises 5, 6 e 7) obtidos
pelo programa Slide. ..................................................................................................... 121
Figura 4.2.1.4 - Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Overall Slope
(análises 5, 6 e 7) obtidos pelo programa Slide. ........................................................... 122
xi
Figura 4.2.1.5 - Análise probabilística para a superfície crítica determinística obtida pelo
programa Slide. ............................................................................................................. 123
Figura 4.2.1.6 - Distribuição Beta do FS (107 análise) obtido pelo programa Slide. ... 124
Figura 4.2.2.1 - Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a
análise 1. ....................................................................................................................... 127
Figura 4.2.2.2 – Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a
análise 2. ....................................................................................................................... 127
Figura 4.2.2.3 - Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a
análise 3. ....................................................................................................................... 128
Figura 4.2.2.4 - Análise de estabilidade da seção do depósito em estudo considerando a
análise 4. ....................................................................................................................... 128
Figura 4.3.2.1 - Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de
Hong Kong par encostas considerando a PR de projeto (Adaptado de BAECHER &
CHRISTIAN, 2003)...................................................................................................... 134
Figura 4.3.2.2 - F-N chart (US Bureau of Reclamation) considerando o resultado da PR
de projeto (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003). ..................................... 134
Figura 4.3.3.1 – Gráfico de frequência acumulada do FS considerando a análise com 107
amostras, destacando a probabilidade de se ter amostras as quais resultam em FS < 2,25
obtido pelo programa Slide. .......................................................................................... 136
Figura 4.3.3.2 - Gráfico de frequência acumulada do FS considerando a análise com 107
amostras, destacando a probabilidade de se ter amostras as quais resultam em FS < 1,48
obtido pelo programa Slide. .......................................................................................... 136
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1.1.1 – Fatores de segurança mínimos para análise de estabilidade de barragens de
rejeito (ABNT NBR 13028, 2017). ................................................................................ 17
Tabela 2.1.3.3.1 - Análise comparativa dos métodos construtivos de barragens segundo
alguns aspectos fundamentais. Adaptado de VICK,1983 apud (WISE, 2003). ............. 35
Tabela 2.1.5.1 - Relação das principais rupturas em barragens de rejeitos ocorridas no
Brasil. Adaptado de (WISE, 2019) e (ÁVILA, 2016). ................................................... 41
Tabela 2.1.5.2 – As 21 maiores rupturas de barragens de rejeitos com mortes, construído
com base nas informações disponibilizadas no site do World International Service on
Energy (WISE) e em ÁVILA (2016). ............................................................................ 42
Tabela 3.3.1.1 - Dados dos ensaios de palheta realizados. ........................................... 103
Tabela 3.3.1.2 - Valores médios e desvios-padrão dos parâmetros de resistência não
drenada (Su) com a profundidade do rejeito. ................................................................ 105
Tabela 3.3.2.1 - Parâmetros da fundação e do aterro ................................................... 106
Tabela 4.1.1.1 - Parâmetros da fundação e do aterro compactado (dique). .................. 107
Tabela 4.1.1.2 - Parâmetros do resíduo. ....................................................................... 107
Tabela 4.1.1.3 - Fatores de segurança encontrados na análise determinística da
estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos. ............................................... 109
Tabela 4.1.2.1 - Parâmetros do resíduo. ....................................................................... 110
Tabela 4.1.2.2 - Fatores de segurança encontrados na análise determinística 2 da
estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos. ............................................... 112
Tabela 4.2.1.1 - Dados estatísticos dos materiais presentes na seção de estudo. ......... 114
Tabela 4.2.1.2 - Resultados obtidos nas análises com a opção Global Minimum. ....... 117
Tabela 4.2.1.3 - Resumo dos resultados obtidos nas análises com a opção Overall Slope.
...................................................................................................................................... 118
Tabela 4.2.1.4 - Resultados da análise probabilística. .................................................. 123
Tabela 4.2.2.1 – Combinações para as estimativas pontuais dos parâmetros a e b da reta
de resistência não drenada (Su). ................................................................................... 126
Tabela 4.2.2.2 - Estimativas pontuais das variáveis aleatórias correspondentes as quatro
retas de resistência não drenada (Su) com a profundidade............................................ 127
Tabela 4.2.2.3 - Valores esperados para média e desvio-padrão do FS. ...................... 129
Tabela 4.3.1.1 - Resultados das análises determinísticas. ............................................ 131
Tabela 4.3.2.1 - Resumo dos resultados obtidos das análises probabilísticas de
estabilidade do depósito................................................................................................ 132
xiii
Tabela 4.3.3.1 - Fator de segurança encontrados para as análises realizadas. .............. 135
LISTA DE QUADROS
Quadro 2.1.1.2.1.1 – Equações versus incógnitas no método das fatias (GERSCOVICH,
2012 apud TELLES, 2015). ........................................................................................... 53
LISTA DE APÊNDICES
APÊNDICE A – REGRESSÃO LINEAR
Tabela I. 1 – Tratamento estatístico dos dados para a regressão linear. ....................... 146
Tabela I. 2 – Dados utilizados para os cálculos dos limites de confiança. ................... 148
xiv
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 16
1.1. Considerações iniciais ........................................................................................ 16
1.2. Objetivos ............................................................................................................. 20
1.3. Escopo da monografia ........................................................................................ 20
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................ 22
2.1. Barragem de rejeitos ........................................................................................... 22
2.1.1. Mineração e geração de resíduos .................................................................... 22
2.1.2. Disposição de resíduos de mineração ............................................................. 23
2.1.3. Métodos de alteamento de barragens de rejeitos ............................................ 31
2.1.3.1. Construção a montante ................................................................................... 32
2.1.3.2. Construção a jusante ....................................................................................... 33
2.1.3.3. Construção de linha de centro ........................................................................ 34
2.1.4. Modos de falha em barragens de rejeito ......................................................... 36
2.1.5. Acidentes de barragens de rejeito no Brasil e no mundo ............................... 39
2.1.6. Legislações e Normas Brasileiras ................................................................... 44
2.1.7. Boas práticas internacionais em segurança de barragens de rejeito ............... 48
2.2. Estabilidade taludes ............................................................................................ 49
2.2.1. Análise determinística de estabilidade de talude ............................................ 49
2.2.1.1. Análise de tensões e deformações .................................................................. 49
2.2.1.2. Equilíbrio limite e a definição do fator de segurança ..................................... 49
2.2.1.2.1. Método das Fatias ..................................................................................... 51
2.2.1.2.2. Método de Bishop Simplificado (1955) ................................................... 54
2.2.1.2.3. Método de Spencer (1967) ....................................................................... 55
2.2.1.2.4. Método de Morgenstern-Price (1965) ...................................................... 57
2.3. Projeto baseado em confiabilidade ..................................................................... 60
2.3.1. Conceitos de estatística ................................................................................... 60
2.3.1.1. Considerações gerais ...................................................................................... 60
2.3.1.2. Tendência central ............................................................................................ 61
2.3.1.3. Medidas de dispersão...................................................................................... 63
2.3.2. Limites de confiança ....................................................................................... 64
2.3.3. Incertezas na Geotecnia .................................................................................. 67
2.3.4. Distribuições de probabilidade aplicadas na Geotecnia ................................. 72
2.3.5. Índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura ...................................... 75
2.3.6. Avaliação de risco .......................................................................................... 82
xv
2.3.7. Probabilidade de rupturas toleráveis............................................................... 84
2.3.8. Níveis de desempenho para projeto baseado em confiabilidade .................... 88
2.3.9. Tomada de decisão baseada em risco ............................................................. 89
2.3.10. Análise probabilística de estabilidade de talude ............................................. 90
2.3.10.1. Simulação de Monte Carlo ........................................................................... 91
2.3.10.2. Método das Estimativas Pontuais ou Método de Rosenblueth .................... 95
3. CASO ESTUDADO .............................................................................................. 100
3.1. Considerações iniciais ...................................................................................... 100
3.2. Motivações para o uso da abordagem probabilística à análise de estabilidade do
depósito de rejeitos do estudo ....................................................................................... 101
3.3. Parâmetros geotécnicos adotados ..................................................................... 102
3.3.1. Parâmetros probabilísticos ............................................................................ 102
3.3.2. Parâmetros determinísticos ........................................................................... 106
4. ANÁLISES DE RESULTADOS .......................................................................... 106
4.1. Análise determinística da estabilidade da seção do depósito em estudo .......... 106
4.1.1. Análise determinística 1 ............................................................................... 107
4.1.2. Análise determinística 2 ............................................................................... 109
4.2. Análise probabilística da estabilidade da seção de estudo ............................... 112
4.2.1. Simulação de Monte Carlo ........................................................................... 113
4.2.2. Método das Estimativas Pontuais ................................................................. 126
4.3. Resultados e discussões das análises determinísticas e probabilísticas ............ 131
4.3.1. Análise determinística 1 versus Análise determinística 2 ............................ 131
4.3.2. Simulação de Monte Carlo versus Método das Estimativas Pontuais .......... 132
4.3.3. Análises determinísticas versus Análises probabilísticas ............................. 135
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 137
6. TRABALHOS FUTUROS .................................................................................... 140
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 141
16
1. INTRODUÇÃO
1.1. Considerações iniciais
A estabilidade de talude é talvez uma das vertentes da engenharia geotécnica mais
dominadas pelas incertezas. Isso se deve a diversos fatores como, anomalias geológicas,
variabilidade espacial inerente das propriedades do solo, falta de dados representativos,
mudanças das condições ambientais, simplificações adotadas nos modelos geotécnicos,
erros humanos durante o projeto e construção entre outros fatores (EL-RAMLY;
MORGENSTERN; CRUDEN, 2002).
A definição de fator de segurança é abordada por dois diferentes métodos: o
determinístico e o probabilístico. Através do método determinístico, consideram-se que
as variáveis envolvidas nas análises de estabilidade são variáveis determinísticas, isto é,
variáveis com valores fixos, independente das incertezas associadas a elas. Enquanto que
pelo método probabilístico, consideram-se que as variáveis são aleatórias e com
determinada distribuição estatística. Cada variável é caracterizada a partir do seu valor de
cálculo, podendo ser estimado diretamente, ou a partir do valor característico. Utilizando-
se desse segundo modo, o valor de cálculo resulta da majoração ou da minoração por
meio de coeficientes de segurança parciais do valor característico (FERNANDES, 2011).
FERNANDES (2011) apresenta algumas das dificuldades para a aplicação dos
métodos probabilísticos à engenharia geotécnica, como, por exemplo, o número de
ensaios para a obtenção dos parâmetros de resistência serem geralmente reduzidos, o que
torna inviável um tratamento estatístico dos mesmos e a consideração de independência
das variáveis envolvidas.
Enquanto que as desvantagens para a aplicação das análises tradicionais
determinísticas de estabilidade global de taludes referem-se as dificuldades em
quantificar as incertezas e, portanto, há a necessidade de adotar fatores de segurança
adequados ao projeto para poder lidar com estas incertezas. No Brasil os fatores de
segurança mínimos para a análise de estabilidade de barragens de rejeitos estão
estabelecidos na ABNT NBR 13028:2017, como mostrado na Tabela 1.1.1.
17
Tabela 1.1.1 – Fatores de segurança mínimos para análise de estabilidade de
barragens de rejeito (ABNT NBR 13028, 2017).
Embora o impacto causado pelo viés conservador não possa ser avaliado, a
experiência anterior mostra que projetos aparentemente conservadores nem sempre são
seguros o bastante para evitar catástrofes (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN,
2002).
Para dar base ao que foi exposto acima, a Figura 1.1.1, de SILVA, LAMBE, &
MARR (2008), mostra a relação entre o fator de segurança e a probabilidade de ruptura
anual para 75 projetos de engenharia, sendo a maioria deles relacionados a barragens, os
quais foram divididos em quatro categorias (I, II, III ou IV). Estas categorias se referem
ao nível de engenharia empregado para a realização dos 75 projetos analisados. A
categoria I refere-se ao melhor nível de engenharia enquanto que a categoria IV refere-se
ao pior nível de engenharia. Para o estabelecimento dessas categorias foram levados em
conta as práticas envolvendo projeto, investigações de campo e de laboratório,
documentação, construção, operação e monitoramento.
Além disso, para a construção do gráfico, foi feita uma combinação de julgamento
de engenharia com a frequência de observações (dados históricos) para obter uma
correlação entre o fator de segurança e a probabilidade de ruptura adequada, permitindo
que os 75 projetos utilizados fossem categorizados em quatro níveis.
18
Na Figura 1.1.1 podemos observar que um projeto com fator de segurança de 1,5
pode ter probabilidade de ruptura (PR) variando de 10-1 até 10-6 a depender da categoria
de projeto (I, II, III ou IV). Estes valores indicam uma probabilidade de ruptura variando
de uma condição inaceitável para uma condição aceitável. Portanto, apenas o FS = 1,5
não dá garantia suficiente para o bom desempenho da estrutura, sendo importante a
inclusão de outros parâmetros para a melhor avaliação da estrutura projetada.
A avaliação do papel das incertezas exige a implementação de conceitos e
métodos probabilísticos. Assim, através da abordagem probabilística na análise de
estabilidade de talude torna-se possível quantificar as incertezas e incorporá-las, de
maneira mais racional, ao projeto (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN, 2002).
Os métodos probabilísticos aplicados à estabilidade de talude começaram a serem
desenvolvidos na década de 1970, com destaque aos trabalhos de Cornell (1971), Matsuo
& Kuroda (1974), Alonso (1976), Tang et al.(1976), Harr (1977) e Vanmarke (1977)
(FENTON; GRIFFITHS, 2008).
Desde então os princípios e conceitos da análise probabilística aplicáveis a
estabilidade de taludes evoluíram, deixando de serem investigações puramente teóricas
para métodos com aplicabilidade prática (CHRISTIAN; LADD; BAECHER, 1994).
Segundo FENTON & GRIFFITHS (2008), o enfoque probabilístico aplicável à
análise de estabilidade de talude tem recebido uma atenção considerável na literatura,
destacando-se os trabalhos desenvolvidos por Li & Lumb (1987), Chowdhury & Tang
(1987), Mostyn & Li (1993), Lacasse (1994), Christian et al (1994), Lacasse & Nadim
(1996), Wolff (1996), Whitman (2000), Hassan & Wolff (2000), Duncan (2000), El-
Ramly (2002), Griffiths & Fenton (2004), Griffiths et al (2006 e 2007).
19
Figura 1.1.1 - Fator de segurança versus Probabilidade anual de ruptura (Adaptado de
SILVA, LAMBE, & MARR, 2008).
20
1.2. Objetivos
O objetivo do presente trabalho é estudar o comportamento, em termos de
estabilidade do talude, correspondente a pilha de rejeitos de uma barragem em função de
métodos determinísticos e probabilísticos.
Tanto nos métodos determinísticos quanto nos métodos probabilísticos, os
parâmetros de resistência do material do rejeito são baseados no tratamento estatístico de
dados de ensaios de palheta realizados no material do rejeito, em diversas partes do
depósito, e que foram estimados com base na regressão linear.
A avaliação da estabilidade global do talude pelo método determinístico é feita de
duas formas, utilizando os valores médios dos parâmetros de resistência dos materiais
presentes na seção, sendo que os parâmetros de resistência do material do rejeito são
provenientes da reta de regressão, e a segunda forma, mantendo-se os mesmos valores
médios para o material de fundação e para o aterro do dique, porém, os parâmetros de
resistência do material do rejeito foram estabelecidos levando em consideração o critério
semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 –
Estabilidade de Encostas.
Para a análise probabilística foram considerados dois métodos probabilísticos:
Simulação de Monte Carlo e Método das Estimativas Pontuais (Método de Rosenblueth)
em ambos baseando-se no tratamento estatístico dos dados dos ensaios de palheta do
material do rejeito através da análise de regressão linear para obtenção das estimativas
dos parâmetros de resistência deste material.
Em seguida, é realizada uma análise comparativa entre os resultados encontrados
pelos dois métodos probabilísticos, entre os resultados encontrados pelos dois métodos
determinísticos e entre as abordagens probabilísticas e determinísticas.
Todas as análises de estabilidade foram realizadas pelo programa comercial Slide
6.0 da empresa Rocscience®, o qual é baseado na Teoria do Equilíbrio Limite, e
utilizando-se dos métodos de análise de estabilidade de Bishop simplificado, Spencer e
Morgenstern-Price.
1.3. Escopo da monografia
O trabalho foi dividido em quatro capítulos sendo apresentado de maneira sucinta
a seguir.
21
O segundo capítulo refere-se a revisão bibliográfica, sendo dividido em três
subcapítulos: barragens de rejeitos, estabilidade de taludes e projeto baseado em
confiabilidade. No subcapítulo sobre barragens de rejeito são abordados os assuntos a
respeito de mineração e geração de rejeitos, tipos de rejeitos, métodos de disposição de
rejeitos, métodos de alteamento em barragens de rejeitos, modos de falha em barragens
de rejeitos, acidentes com barragens de rejeitos ocorridos no Brasil e no mundo, as
legislações e normas brasileiras e boas práticas internacionais em segurança de barragens
de rejeitos.
No subcapítulo de estabilidade de taludes são apresentados os métodos
determinísticos por análise de tensões e deformações e pelo equilíbrio limite, sendo para
este último método, destacados os três tipos empregados no estudo, Bishop Simplificado,
Spencer e Morgenstern-Price.
No subcapítulo sobre projeto baseado em confiabilidade são mostrados os
conceitos básicos de estatística, limites de confiança, incertezas na geotecnia,
distribuições de probabilidade mais aplicadas na geotecnia, índice de confiabilidade e
probabilidade de ruptura, considerações sobre a avaliação de riscos e os métodos de
análises probabilísticas utilizados no trabalho (simulação de Monte Carlo e Método das
Estimativas Pontuais).
No terceiro capítulo é apresentado o caso de estudo. Também são descritas as
motivações para o uso da abordagem probabilística a este estudo, o tratamento estatístico
feito a partir dos dados dos ensaios de palheta no material do rejeito e os parâmetros
geotécnicos adotados na seção do depósito em estudo.
No capítulo quatro são apresentados os resultados das análises determinísticas
designadas por 1 e 2 e das análises probabilísticas considerando o método das estimativas
pontuais e o método de simulação de Monte Carlo. Neste capítulo também foram
apresentadas as discussões e comparações a respeito dos resultados obtidos pelas análises
determinísticas e probabilísticas.
O capítulo cinco apresenta as conclusões obtidas a partir da interpretação dos
resultados das análises probabilísticas e determinísticas.
O capítulo seis finaliza a monografia com as sugestões para trabalhos futuros a
partir das conclusões.
22
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. Barragem de rejeitos
2.1.1. Mineração e geração de resíduos
A mineração pode ser descrita como um conjunto de atividades fundamentais à
extração com finalidade econômica de recursos da crosta terrestre, as quais provocam
modificações ao meio ambiente, a partir de atividades de lavra e de beneficiamento. A
lavra refere-se ao conjunto de atividades que possibilitam extrair um bem mineral, de
maneira a aproveitá-lo industrialmente ou fazer o seu uso diretamente. O beneficiamento
inclui as separações químicas e físicas permitindo-se obter a substância mineral de
interesse (ESPOSITO, 2000 apud REZENDE, 2013).
Segundo ARAÚJO, 2006 apud (REZENDE, 2013) um depósito mineral pode ser
descrito como um volume de rochas no qual substâncias minerais são encontradas em
maiores concentrações, se comparadas com sua distribuição média ao longo da crosta
terrestre. A lavra de solo ou de rocha sem valor agregado econômico é fundamental e
consiste na primeira fase de explotação do minério. O material resultante da lavra,
denominado estéril, não tem valor econômico, sendo disposto em pilhas. Na sequência, o
estéril é submetido a um conjunto de tratamentos industriais, também chamado de
beneficiamento, do qual resulta no material utilizado na indústria metalúrgica.
Os resíduos gerados na mineração são divididos em duas categorias: resíduos
sólidos de extração (estéril) e do beneficiamento (rejeitos).
Os resíduos de estéreis podem ser provenientes de rochas, minérios pobres,
sedimentos, solos, lamas e aparas das serrarias de granito e mármore, as sobras da
mineração artesanal de pedras semipreciosas e preciosas e finos e ultrafinos não utilizados
no processo de beneficiamento (IBRAM, 2016).
Em outras palavras, os resíduos de estéreis são advindos da escavação e explosão
das camadas minerais sobrejacentes ao minério de interesse, normalmente solos e
fragmentos de rochas.
23
2.1.2. Disposição de resíduos de mineração
Os estéreis, resíduos sólidos da extração, normalmente são armazenados em
depósitos ou pilhas. Estes resíduos devem seguir, de maneira semelhante aos rejeitos,
requisitos legais e normas da ABNT, os quais estabelecem critérios técnicos de segurança,
de prevenção de riscos e de impactos ambientais nos projetos das pilhas/depósitos de
estéreis.
Os rejeitos são geralmente dispostos em reservatórios formados por barragens ou
diques de contenção. Os dique são as estruturas construídas em áreas de pouca
declividade ou planas enquanto barragens são estruturas que fecham o trecho mais estreito
de um vale. Porém, os diques e barragens de rejeitos são chamados genericamente de
barragens de rejeitos.
As barragens podem ser de solo natural ou construídas com os próprios rejeitos.
As barragens de solo natural são classificadas como barragens convencionais enquanto
que as barragens construídas com os próprios rejeitos são classificadas como barragens
de contenção alteadas com rejeitos.
É importante que os reservatórios de rejeitos sejam estanques para que impeçam
a infiltração de efluentes danosos (como cianetos, com pH ácidos ou metais pesados), o
que interfere na qualidade das águas. Sendo, assim, necessária a impermeabilização dos
solos (IBRAM, 2016).
Segundo DUARTE (apud IBRAM, 2016), quanto a distribuição granulométrica,
os rejeitos podem ser denominados como lama, quando apresentam granulometria fina,
ou como rejeitos granulares, quando apresentam granulometria grossa (maior que
0,074mm) a depender do tipo de minério e dos tratamentos utilizados.
O descarte pode ser feito:
Na forma sólida (pasta ou a granel): transportados por meio de correias
transportadoras ou caminhões, ou;
Na forma líquida (polpa de sólidos com água ou lama): transportados por meio de
tubulações através de sistema por gravidade ou de bombeamento.
Quando em uma suspensão de água e rejeitos, a porcentagem de água for de
aproximadamente 70% denomina-se polpa. Se a polpa é depositada a montante da
barragem de rejeitos, acontece uma segregação entre as partículas solidas e a água. As
24
partículas sólidas mais pesadas se sedimentam e as coloidais mantem-se em suspensão,
adensando-se com o passar do tempo. Nos rejeitos granulares a sedimentação é
predominante enquanto que nas lamas (polpas) o adensamento é predominante
(BOSCOV, 2018).
A polpa geralmente é descarregada ao longo do perímetro da crista do dique e
assim forma uma praia. A descarga é feita com ciclones ou com tubulações menores
(perpendiculares a tubulação principal) sendo chamadas de “spigots” (Figura 2.1.2.1).
Figura 2.1.2.1 – Tubulação principal e tubulações menores (spigots) que
descarregam a polpa na barragem (BOSCOV, 2018).
Segundo BOSCOV (2018), as propriedades geotécnicas da massa de rejeitos
(resistência, permeabilidade e deformabilidade) dependem do processo de deposição e
principalmente da natureza do minério. O depósito de rejeitos lançados a montante de
uma barragem apresentam as seguintes fases de formação, conforme apresentadas na
Figura 2.1.2.2 (BOSCOV, 2018):
Floculação: aumento das partículas dos rejeitos;
Sedimentação: deposição no fundo do reservatório devido a ação da
gravidade;
25
Adensamento: interação entre as partículas depositadas transmitindo as
tensões devido ao peso próprio.
Figura 2.1.2.2 – Fases de formação de um depósito de rejeitos (Adaptado de
IMAI, 1981 apud BOSCOV, 2018).
Segundo BOSCOV (2018) a disposição de rejeitos pode ser feita em superfície (a
céu aberto), subterrânea ou subaquática, sendo geralmente feita em barragens de rejeitos
(barragens de fechamento de vale ou diques em áreas planas).
A vida útil de uma barragem de rejeitos contempla as seguintes etapas: seleção do
local, projeto de instalação, construção, operação e fechamento definitivo o qual inclui
projeto de reabilitação (BOSCOV, 2018).
Há diversos critérios para a seleção do método para a disposição de rejeitos, os
quais irão depender da natureza do processo de mineração, das condições topográficas e
geológicas da região, das propriedades mecânicas dos materiais, das condições climáticas
do local, do poder de impacto ambiental dos contaminantes presentes nos rejeitos e etc
(IBRAM, 2016).
É fundamental a caracterização do rejeito para a concepção do sistema de
disposição mais adequada. O rejeito pode ser classificado em diversos tipos (adaptado de
GOMES, 2006 apud FIGUEIREDO, 2007):
26
Lama convencional (“conventional slurry”) – os rejeitos são descarregados
através de espigotes (canhões de lançamento) distribuídos ao longo da crista do
dique, apresentam teor de sólidos de até 45%;
Rejeitos espessados (“thickened tailings”) – rejeitos parcialmente desaguados.
Podem ser bombeados, apresentam certa consistência de polpa e alto teor de
sólidos, são descarregados a partir de um ponto central através de torres de
lançamento ou espigotamento, apresentam teor de sólidos entre 45% e 65%
(Figura 2.1.2.3);
Rejeitos em pasta (“paste tailings”) – rejeitos espessados através da incorporação
de aditivos químicos (floculantes ou coagulantes), não podem ser bombeados,
transportados por correias transportadoras ou caminhões, apresentam teor de
sólidos entre 65% e 70%;
Rejeitos filtrados a úmido (“wet cake tailings”) – formato de massa saturada ou
quase saturada, mas que não podem ser bombeados e, portanto, são transportados
por correias transportadoras ou caminhões;
Rejeitos filtrados a seco (“dry cake tailings”) – formato de massa não saturada
(grau de saturação típico variando entre 70% e 85%), mas que não podem ser
bombeados e, portanto, são transportados por correias transportadoras ou
caminhões.
Embora o projeto, a construção e a operação das estruturas de disposição de rejeitos
e estéreis são mais facilmente compreendidos quando estes resíduos são depositados de
maneira separada, devido as considerações inerentes tanto ao rejeito quanto ao estéril,
estes podem ser dispostos em conjunto, o que se chama de co-disposição. Normalmente
acontece quando certos materiais possuem características geotécnicas mais
desfavoráveis, assim, a co-disposição tem por objetivo a obtenção de uma melhoria das
propriedades de resistência e drenabilidade destes materiais, aliada a vantagem de se
utilizar áreas menores para a disposição (FIGUEIREDO, 2007).
A co-disposição tem sido objeto de estudo em minas no Brasil e no mundo. A co-
disposição pode ser feita em cavas exauridas, barragens de contenção e pilhas de estéril,
compondo o próprio depósito ou parte do barramento (FIGUEIREDO, 2007).
27
Figura 2.1.2.3 - Exemplos de rejeitos espessados (FIGUEIREDO, 2007).
Os objetivos preliminares das estruturas de disposição de rejeitos são, segundo
ROBERTSON et al, 1987 (apud FIGUEIREDO, 2007):
Servir como estrutura para separação dos sólidos e da água, através da decantação
dos sólidos na bacia e recuperação da água para voltar ao processo industrial;
Armazenar e controlar a água adicional do processo e a água intersticial presente
nos rejeitos e na lagoa que se formou no processo de deposição;
Armazenar os sólidos provenientes dos rejeitos, os quais são contaminados, em
atendimento as exigências dos órgãos ambientais.
Embora os rejeitos em forma de lama ainda sejam os mais utilizados no Brasil e
no mundo, há uma tendência, nas últimas décadas, para a disposição de rejeitos que
apresentam maior volume de sólidos, contribuindo para a redução da construção de novas
barragens e para o aumento da segurança destas.
Esse aspecto é defendido por Ávila, representante da Comissão Internacional de
Grandes Barragens (ICOLD) no Brasil, e que acredita que a aplicação em larga escala de
sistemas de disposição com maior volume de sólidos pode contribuir para o que setor
mineral avance mais no sentido de evitar novos acidentes (GUEDES; SCHNEIDER,
2017).
Para Ávila a preocupação deve ser em assegurar maior estabilidade às estruturas
dos reservatórios de disposição de rejeitos que estão se tornando maiores e armazenando
maiores volumes de rejeitos, conforme levantamento realizado por Andrew Robertson e
28
apresentado por Ávila no 5º Debate Nacional de Barragens de Rejeitos (GUEDES;
SCHNEIDER, 2017).
De acordo com ÁVILA (2011) apud GUEDES & SCHNEIDER (2017), o
trabalho de Robertson, publicado em 2011, mostrou que a cada 30 anos, as cavas e as
barragens tiveram um aumento de 10 vezes em volume e duas vezes em altura (Figura
2.1.2.4). Para aquele ano, cerca de 670.000 toneladas foram geradas por dia e prevê-se
um aumento para aproximadamente 1 milhão de toneladas por dia de rejeitos em 2030.
Figura 2.1.2.4 – Evolução da taxa de geração de produção de rejeitos no mundo
(ÁVILA, 2011 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017).
Se levado em consideração as variáveis, altura e volume da barragem, pode-se
estimar os riscos de ruptura em barragens e as consequências de um acidente com base
nos dados citados anteriormente. A probabilidade de um acidente acontecer é
proporcional à altura e a consequência do acidente é proporcional ao volume do
reservatório. Assim o risco de uma ruptura tende a aumentar 20 vezes a cada 30 anos, se
forem levadas em consideração as projeções mostradas anteriormente, conforme
apresentado por ÁVILA (2011) apud GUEDES & SCHNEIDER (2017).
De acordo com o ICMM (Conselho Internacional de Metais e Mineração) a
produção de rejeitos é inerente ao processo de beneficiamento de minérios e irá continuar
a crescer, contudo este conselho classifica como inaceitáveis as falhas catastróficas nas
29
estruturas de disposição de rejeitos (ICMM, 2016 apud GUEDES & SCHNEIDER,
2017).
Segundo Luis Enrique Sanchez, pesquisador da Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo, as barragens devem continuar sendo a alternativa das
mineradoras para armazenamento de rejeito ainda que haja um histórico preocupante de
acidentes. Sanchez aponta que em meados da década de 1980, os rejeitos minerais eram
lançados sem tratamento em rios e oceanos e que a construção de estruturas de
armazenamento de rejeitos começou a ser adotada pelo setor como uma maneira
ambientalmente adequada para retenção de resíduos e para a reutilização da água no
processo de beneficiamento (FEBRABAN, 2016:6 apud GUEDES & SCHNEIDER,
2017).
A Figura 2.1.2.5 apresenta a tendência global para o uso de rejeitos que
apresentam maior volume de sólidos (desaguamento de rejeitos), sendo eles, rejeitos
filtrados, rejeitos em pasta, rejeitos espessados e co-disposição de rejeitos. Observa-se
que a disposição de rejeitos filtrados e espessados (os quais apresentam os maiores
volumes de sólidos dentre os tipos existentes) apresentaram um crescimento muito
superior do que os rejeitos em pasta e co-dispostos.
Figura 2.1.2.5 – Tendências globais para o uso de tipos de rejeitos que apresentam
maior volume de sólidos (Adaptado de DAVIES (apud TAGUCHI, 2014)).
30
O empilhamento a seco, ou rejeito filtrado a seco ou “dry stacking”, é muito
utilizado para a disposição de rejeitos da produção de alumina, conhecido como lama
vermelha (“red mud”). Neste método, o rejeito fino é pré-espessado, obtendo-se um
material altamente viscoso e bombeável. Devido a exposição a secagem ao sol do rejeito
no reservatório, este pode atingir teor de sólidos da ordem de 80% (IBRAM, 2016).
Com a secagem ao sol, o rejeito apresenta uma densidade mais elevada e, assim,
a pilha de rejeitos se torna mais estável. Para o espessamento dos rejeitos são utilizados
espessadores ou adicionados floculantes (BOSCOV, 2018).
ÁVILA et al (1995) (apud BOSCOV, 2018) observaram um aumento do teor de
sólidos de 12% para acima de 50% em rejeitos de bauxita ao implementar este tipo de
tratamento. A Figura 2.1.2.6 ilustra um exemplo de disposição de rejeitos filtrados, em
que foi utilizado o método de empilhamento a seco.
Figura 2.1.2.6 - Exemplo de disposição de rejeitos filtrados na mina La Coipa, Atacam,
Chile (PwC, 2012 apud TAGUCHI, 2014).
Há outras opções tecnológicas além do empilhamento a seco, como o
empilhamento drenado. Este tipo de estrutura é mais adequada para rejeitos granulares
(por exemplo, minério de ferro) e apresenta diversas vantagens, como apontado por
ÁVILA, 2011 (apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017), as quais são a obtenção de
maciço não saturado com maior estabilidade e maior densidade dos rejeitos, o que
contribui para o aumento da capacidade do reservatório, contribui para um menor
potencial de dano em caso de rompimento, contribui para condições mais favoráveis ao
fechamento com menor custo para a reabilitação da área, obtenção de condições mais
31
seguras para alteamentos por montante apresentando menores riscos de ruptura e
liquefação.
Existe também o método de separação sólido-líquido onde se faz uso de filtros de
tambor e/ou filtros prensa. A filtragem dos rejeitos consiste em uma “separação dos
sólidos contidos em uma suspensão aquosa através da passagem da polpa por um meio
filtrante, o qual retém as partículas sólidas e possibilita a passagem do líquido. Os sólidos
que ficam retidos são chamados de torta e o líquido que atravessa é chamado de filtrado
(GUIMARÃES, 2011:24 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017).
Porém, os métodos de disposição de rejeitos mais usuais continuam sendo, tanto
no Brasil quanto no mundo, as barragens de rejeito. A seguir serão apresentados os
métodos construtivos de alteamento de barragens de rejeitos.
2.1.3. Métodos de alteamento de barragens de rejeitos
As barragens de rejeitos são estruturas construídas ao longo de vários anos de
modo a diluir os custos no processo de extração mineral, através de sucessivos
alteamentos.
Inicialmente constrói-se um dique de partida com solo de empréstimo. O dique de
partida tem normalmente capacidade de retenção de rejeitos para dois ou três anos de
operação da lavra (BOSCOV, 2018).
Ao longo do tempo são construídos diversos alteamentos, sendo estes construídos
com material compactado oriundos de áreas de empréstimos, de estéreis ou de rejeitos.
Os alteamentos podem ser feitos por meio de três métodos:
montante;
jusante ou
linha de centro.
No Brasil, dentre as 425 barragens de rejeitos de mineração cadastradas no Plano
Nacional de Segurança de Barragens, 204 foram construídas em etapa única, 107 foram
construídas pelo método a Jusante, 84 foram construídas pelo método a Montante ou
desconhecido e 30 foram construídas pelo método de linha de centro (Figura 2.1.3.1).
32
Figura 2.1.3.1 - Método construtivo das barragens de rejeitos de mineração
cadastradas no PNSB (ANM, 2019).
2.1.3.1. Construção a montante
O método de construção a montante é o mais usual e econômico, principalmente
porque utiliza-se de uma menor quantidade de material para a execução do alteamento.
Inicialmente é construído o dique de partida, geralmente de material argiloso ou
enrocamento compactado. Após, o rejeito é lançado por meio de tubulações dispostas em
direção a montante, formando-se assim a praia de deposição, a qual se tornará a fundação
e irá fornecer material de construção para os alteamentos futuros. Este processo acontece
sucessivamente até alcançar-se a cota final prevista no projeto. (Figura 2.1.3.1.1)
No entanto, este método é considerado o mais crítico quanto à segurança. A falha
da barragem pode causar consequências ambientais e sociais significativas, pois apresenta
baixo controle construtivo. Além deste aspecto, os alteamentos são realizados sobre
materiais depositados e não necessariamente consolidados, de modo que na condição
saturada e com compacidade fofa, estes rejeitos granulares tendem a apresentar baixa
resistência ao cisalhamento e suscetibilidade à liquefação para condições de
carregamentos estáticos e dinâmicos. Há ainda complicações para a implantação de um
sistema interno de drenagem eficiente para controlar o nível d’água dentro da barragem
(ARAÚJO, 2006 apud IBRAM, 2016).
33
O Chile foi um dos países que proibiram a construção de barragens utilizando-se
o método de montante em função da frequência e da intensidade de terremotos, já que
este método não favorece uma estabilidade necessária em regiões que contam com sismos
elevados (ÁVILA, 2017 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017).
No Brasil após o rompimento da barragem da Samarco, o governador de Minas
Gerais assinou decreto nº 46.993 o qual interrompeu a formalização de novos
procedimentos de licenciamento ambiental para alteamento de barragens existentes que
foram usadas o método de montante e de construção de novas barragens projetadas por
este mesmo método (MINAS GERAIS, 2016 apud GUEDES & SCHNEIDER, 2017).
Por outro lado, a construção a montante é favorável em regiões áridas e em locais
onde poucas quantidades de água são bombeadas de dentro da barragem de rejeitos
(TAGUCHI, 2014).
Estima-se que existam em torno de 3500 barragens de rejeitos no mundo todo,
sendo aproximadamente metade delas construída pelo método de montante (DAVIES &
MARTIN, 2000 apud TAGUCHI, 2014).
Figura 2.1.3.1.1 - Construção a Montante (IBRAM, 2016).
2.1.3.2. Construção a jusante
O método de construção a jusante é versátil e compatível com qualquer tipo de
rejeito. Inclusive pode ser utilizado para o armazenamento de água desde que seja
construído de maneira a ser tão robusto quanto às barragens comumente utilizadas para
armazenar água (TAGUCHI, 2014).
A etapa inicial consiste na construção do dique de partida, após, são realizados os
alteamentos para jusante do dique de partida, sucessivamente, até atingir-se a cota final
de projeto. (Figura 2.1.3.2.1)
34
As principais vantagens desse método são o controle do lançamento e da
compactação do material do corpo da barragem, pois não há presença de material do
rejeito nos alteamentos ou partes da barragem. Adicionalmente, os sistemas de drenagem
interna podem ser instalados durante a construção do dique de partida e prolongados com
os alteamentos, o que permite o controle da linha de saturação na estrutura da barragem,
contribuindo para a estabilidade. A barragem ainda tem capacidade de resistir a forças
sísmicas caso seja projetada para o atendimento dessa condição (KLOHN (1981) apud
IBRAM, 2016).
É considerado o método mais seguro dos três métodos construtivos citados,
embora sejam necessárias grandes quantidades de material para compor cada alteamento
sucessivo, consequentemente, tornando-o mais custoso (TAGUCHI, 2014). Além disso,
a área ocupada pelos rejeitos é muito maior.
Figura 2.1.3.2.1 - Método a Jusante (Adaptado de IBRAM, 2016).
2.1.3.3. Construção de linha de centro
O método de linha de centro é um método híbrido entre os dois métodos
construtivos de montante e jusante, apresentando as mesmas vantagens desses dois
métodos e também minimizando as desvantagens dos mesmos.
Neste método, inicialmente é construído o dique de partida e os alteamentos são
feitos de maneira vertical, sendo o eixo vertical de cada alteamento coincidente com o
eixo do dique de partida.
Devido a possibilidade de se utilizar zonas de drenagens internas em todas as fases
de alteamentos, há o controle da linha de saturação, o que contribui para a dissipação de
excessos de poropressões gerados por alteamentos posteriores e faz com que este método
seja aceitável para utilização em áreas de alta sismicidade (IBRAM, 2016).
35
Figura 2.1.3.3.1 - Método de linha de centro (IBRAM, 2016).
A Tabela 2.1.3.3.1 a seguir apresenta uma análise comparativa entre os métodos
construtivos, vistos anteriormente, levando-se em consideração premissas fundamentais.
Por fim, é importante ressaltar que a escolha do método construtivo está
condicionada a um conjunto de fatores, para além daqueles mencionados na Tabela
2.1.3.3.1, como hidrogeologia, necessidade de controle de água percolada entre outros.
Tabela 2.1.3.3.1 - Análise comparativa dos métodos construtivos de barragens segundo
alguns aspectos fundamentais. Adaptado de VICK,1983 apud (WISE, 2003).
Método a montante Método a
jusante
Método de linha de
centro
Tipo de rejeito
recomendado
Mais de 40% de areia,
baixa densidade de
polpa para promover
segregação
Adequado para
qualquer tipo de
rejeito
Areias ou lamas de baixa
plasticidade
Requerimento de
descarga dos
rejeitos
Descarga periférica e
bom controle de água
acumulada
Diversos, a
depender do
projeto
Descarga periférica,
conservando o eixo da
barragem
Armazenamento
de água
Não adequado para
volumes grandes de
água
Boa Não recomendado para
armazenamento
permanente, embora
aceitável para
armazenamento
temporário se previsto em
projeto
Resistência
sísmica
Fraca em áreas de alta
sismicidade
Boa Aceitável
Restrições de
alteamento
Recomendável menos
de 10m/ano, perigoso
mais alto que 15m por
ano
Nenhuma Restrições em altura para
cada alteamento podem
ser aplicadas
Requisitos de
alteamento
Solo natural, rejeitos ou
estéril
Solo natural,
rejeitos ou
estéril
Solo natural, rejeitos ou
estéril
Custo relativo do
corpo do aterro
Baixo Alto Médio
36
2.1.4. Modos de falha em barragens de rejeito
A ruptura de uma barragem de rejeitos pode ter diversas causas, as quais podem
variar desde físicas, químicas, biológicas e humanas. No entanto, neste trabalho apenas
as condições físicas das estruturas as quais podem levar a ruptura serão consideradas.
Além disso, neste estudo o interesse se dá na ruptura global das estruturas.
Os cinco modos de falha seguintes foram propostos, baseando-se na literatura,
sendo eles: galgamento, erosão interna, liquefação, instabilização estática e instabilização
sísmica (TAGUCHI, 2014).
Esses modos de falha são baseados no relacionamento entre as causas de falha, as
quais desencadeiam os modos de falha e, finalmente, conduzem a ruptura em si
(TAGUCHI, 2014). (Figura 2.1.4.1)
Figura 2.1.4.1 - Relacionamento entre causas para ruptura, modos de ruptura e
ruptura (Adaptado de TAGUCHI, 2014).
Existem diversas classificações quanto as causas da ruptura. Instituições como,
ICOLD, UNEP (Programa das Nações Unidas para o Meio Ambiente), e diversos
especialistas apresentam classificações para as causas da ruptura um pouco diferenciadas
entre si, mas que podem ser bem representadas pelos cinco modos de falha apresentados
anteriormente.
A Figura 2.1.4.2 mostra a relação entre as causas de falha (ICOLD, 2001 e UNEP,
2001 apud TAGUCHI, 2014) e os cinco modos de falha citados anteriormente.
Causas de falha
(desencadeando)
Modos de falha
(conduzindo)
Ruptura
37
Figura 2.1.4.2 - Compilação das oito causas de falha do ICOLD,2001 e UNEP, 2001
para os cinco modos de falha (Adaptado de TAGUCHI, 2014).
Os cinco modos de falha apresentados na Figura 2.1.4.2 serão brevemente
descritos a seguir.
O galgamento acontece quando o nível d’água ultrapassa a crista da barragem, de
modo a ocasionar em esforços adicionais e erosão da crista e do talude a jusante. O
galgamento pode ocorrer principalmente devido à falha na operação, ruptura de estruturas
geotécnicas adjacentes, volume para trânsito de cheias insuficiente, capacidade excedida
dos extravasores e subsidências dentro do reservatório ou nas proximidades que possam
gerar uma onda e assim no galgamento.
A erosão interna é o carreamento de partículas, para jusante, pelo fluxo de
percolação através de uma massa de solo. Esta expressão inclui uma variedade de termos
mais específicos como “piping”, retroerosão, erosão regressiva, sufusão, erosão de
contato dentre outros. Embora estes termos geralmente incorporam o mecanismo de
iniciação do processo de erosão interna, são utilizados com diferentes significados por
empresas ou países diferentes.
Os processos de iniciação de erosão interna podem ser subdivididos em quatro
mecanismos (FELL et al., 2015):
Iniciação por fluxo concentrado: processo pelo qual as trincas existentes
(adjacentes a uma parede ou galeria, no maciço, ou ao longo de um contato
na fundação) permitem o surgimento de um fluxo concentrado originado
no reservatório e se estendendo até a saída.
38
Iniciação por erosão regressiva (piping): processo pelo qual a erosão se
inicia na saída do fluxo percolado em uma superfície livre, progredindo
para montante, podendo formar um tubo ligado ao reservatório.
Iniciação por erosão de contato: refere-se a erosão seletiva das partículas
finas no contato com uma camada mais grossa, causada por um fluxo que
passa na interface entre a camada mais grossa e a camada fina
Iniciação por sufusão: refere-se a erosão seletiva de partículas mais finas
a partir da matriz de partículas grosseiras de um solo internamente instável,
sendo as partículas mais finas transportadas através dos espaços vazios
entre as partículas mais grossas.
A liquefação está relacionada à presença de material susceptível a liquefação e a
ocorrência de gatilhos. Os materiais susceptíveis a liquefação são os solos saturados, sem
coesão e contrácteis, quando submetidos a carregamentos rápidos, o que gera acréscimo
das poropressões e consequentemente redução das tensões efetivas e da resistência ao
cisalhamento (FREIRE NETO, 2009).
DAVIES et al (2002) apud (FREIRE NETO, 2009) citam os potenciais gatilhos
para a liquefação estática em barragens de rejeitos:
Aumento das poropressões induzido através da subida da superfície freática;
Aumento das poropressões induzido por uma taxa de carregamento excessiva, por
exemplo, devido a um alteamento rápido;
Tensões cisalhantes estáticas que ultrapassem a superfície de colapso;
Movimentação da fundação de maneira rápida suficientemente para criar um
carregamento não drenado em rejeitos susceptíveis ao colapso;
Remoção de camada de suporte no pé do dique, aumentando as tensões cisalhantes
atuantes.
A instabilização estática do talude pode ocorrer devido ao próprio carregamento
atual, carregamento final de operação, insuficiente capacidade de suporte da fundação,
presença de trincas, ausência de praia, escavações no pé do talude, uso de máquinas na
crista ou velocidade de construção elevada (acarretando aumento excessivo de
poropressões no corpo da barragem) enquanto que a instabilização sísmica está
relacionada a ocorrência de sismos os quais podem ser causados por terremotos,
39
explosões, detonações e vibrações de máquinas. Neste estudo apenas será analisado o
modo de falha de instabilização estática.
2.1.5. Acidentes de barragens de rejeito no Brasil e no mundo
Segundo o IBRAM (2016), geralmente os acidentes com barragens de rejeitos
estão relacionados ao balanço hídrico nessas estruturas, ao método construtivo e a gestão
de segurança da operação.
Segundo o ICOLD, no mundo acontecem duas grandes rupturas de barragens de
rejeitos provenientes da mineração a cada ano (ÁVILA, 2016 apud GUEDES &
SCHNEIDER, 2017).
Os acidentes de barragens de rejeitos no Brasil estão apresentados na Tabela
2.1.5.1, onde é possível observar que os acidentes tem se tornado mais frequentes nos
últimos anos. Observou-se, também, o aumento no registro de mortes. Destaca-se o
rompimento da barragem de rejeito da Mina Córrego de Feijão em Brumadinho, Minas
Gerais, Brasil, ocorrido no ano de 2019, no qual 209 pessoas morreram e há, ainda, 97
pessoas desaparecidas (Tabela 2.1.5.1), além dos impactos ambientais causados na
comunidade Vila Ferteco e ao rio Paraopeba. Este desastre sócio ambiental com barragem
de rejeito foi o de maior número de perdas de vida ocorridos no Brasil, até hoje.
No site do Serviço de Informação Global de Energia (WISE) é apresentado em
tempo real, a cronologia dos maiores rompimentos de barragem de rejeitos ocorridos no
mundo desde 1960. Com base nas informações fornecidas nesse site, foi elaborada uma
tabela que mostra os 21 maiores acidentes com barragens de rejeito com mortes (Tabela
2.1.5.2). Pode-se concluir, analisando os diversos acidentes, desde a década de 1960, que
o rompimento da barragem de rejeitos da Mina Córrego de Feijão, em Brumadinho, foi a
segunda pior ruptura de barragem, em número de mortes e desaparecidos, ocorrida até
hoje.
Pode-se observar que dentre os 21 maiores acidentes com barragens de rejeitos,
quatro ocorreram no Brasil. Isso demonstra a urgência que existe no estabelecimento de
diretrizes mais exigentes para a segurança dessas barragens, principalmente no que diz
respeito a avaliação de riscos, adoção de planos de segurança de barragem os quais
incluem a adoção de planos de contingência, sistemas de monitoramento contínuo e de
alerta, elaboração e execução de simulados de evacuação, adoção de métodos
40
construtivos mais seguros, produção de rejeitos com teores de sólidos maiores, dentre
outros aspectos para evitar novos incidentes.
Neste sentido, o uso de ferramentas para análise probabilística da estabilidade de
taludes de barragens de rejeitos pode contribuir de forma eficaz para a melhoria do
desempenho destas estruturas projetadas, pelo fato de fornecer respostas a respeito da
confiabilidade destas estruturas. Visto que possibilita a obtenção de parâmetros
importantes (probabilidade de ruptura e índice de confiabilidade) que compõe parte da
quantificação do risco inerente.
A comissão internacional de grandes barragens (ICOLD) elaborou, em 2001, um
relatório sobre as causas de 221 acidentes com barragens de rejeito ao redor do mundo.
As causas dessas rupturas foram: galgamento, instabilidade do talude, sismos, fundação,
estrutura, erosão interna, erosão, subsidência e causa desconhecida conforme destacados
em (TAGUCHI, 2014).
A Figura 2.1.5.1 apresenta as principais causas de acidentes em barragens ativas
e inativas. Barragens inativas se referem às barragens completamente cheias em que não
há mais lançamento de rejeitos. As principais causas de ruptura em barragens inativas são
sismos e galgamento, enquanto que as principais causas de ruptura em barragens ativas
estão relacionadas à estabilidade de talude, galgamento e sismos. Ressalta-se aqui, de
acordo com a figura citada, que problemas associados à estabilidade de talude geraram o
maior número de rupturas de barragens, indicando a relevância de se estudar este aspecto.
A Figura 2.1.5.2 indica o número total de acidentes e suas causas considerando o
tipo de método construtivo. Pode-se observar que as principais causas para os acidentes
são referentes a estabilidade de talude, sismos, galgamento e piping, ocorrendo
principalmente nas barragens construídas utilizando-se o método a montante, sendo este
o método construtivo mais utilizado em todo o mundo devido aos baixos custos.
Com base na Figura 2.1.5.1 e na Figura 2.1.5.2 pode-se concluir que a
instabilidade de talude é a principal causa das rupturas em barragens de rejeitos. Isso
demonstra a importância da análise probabilística da estabilidade de talude, pois este tipo
de análise fornece a probabilidade de ruptura e o índice de confiabilidade do talude,
parâmetros que permitem uma melhor avaliação da estabilidade do talude em comparação
41
com a avaliação somente baseada no fator de segurança global (abordagem
determinística).
Tabela 2.1.5.1 - Relação das principais rupturas em barragens de rejeitos ocorridas no
Brasil. Adaptado de (WISE, 2019) e (ÁVILA, 2016).
ANO LOCAL IMPACTOS
2019 Brumadinho,
Minas Gerais
A onda de rejeitos devastou parte do ramal ferroviário, sua área
administrativa até o Rio Paraopeba, destruindo uma ponte do
ramal ferroviário da mina e se espalhando por partes da
comunidade local Vila Ferteco, perto da cidade de Brumadinho; a
lama foi então levada adiante pelo Rio Paraopeba; 209 pessoas
foram mortas e 97 estão desaparecidas. Calcula-se que 12 milhões
de m³ foram lançados ao meio ambiente.
2015 Mariana,
Minas Gerais
Onda de lama inundou o distrito de Bento Rodrigues, destruindo
158 casas, pelo menos 17 pessoas mortas e 2 desaparecidas; a
lama poluiu a bacia do Rio Doce em mais de 650 km até atingir o
oceano Atlântico, destruindo 15 quilômetros quadrados de terra ao
longo dos rios e deixando os moradores sem abastecimento de
água potável. Calcula-se que 62 milhões de m³ foram lançados ao
meio ambiente.
2014 Itabirito,
Minas Gerais
Duas pessoas morreram e uma desaparecida.
2007 Miraí, Minas
Gerais
O fluxo de lama deixou cerca de 4000 moradores das cidades de
Miraí e Muriaé na Zona da Mata sem teto. As lavouras e pastagens
foram destruídas e o abastecimento de água foi comprometido em
cidades dos estados de Minas Gerais e do Rio de Janeiro. Calcula-
se que 2 milhões de m³ foram lançados ao meio ambiente.
2003 Indústria de
papel,
Cataguases
Lixívia negra liberada causando em interrupção do fornecimento
de água. Calcula-se que 900 mil m³ foram lançados ao meio
ambiente.
2001 Rio Verde,
Nova Lima,
Minas Gerais
Onda de rejeitos percorreu pelo menos 6 km, matando pelo menos
dois trabalhadores de minas e três trabalhadores estão
desaparecidos.
1986 Fernandinho,
Rio Acima,
Minas Gerais
Onda de rejeitos percorreu 12 km a jusante, matando sete pessoas.
Calcula-se que 100 mil m³ foram lançados ao meio ambiente.
42
Tabela 2.1.5.2 – As 21 maiores rupturas de barragens de rejeitos com mortes, construído
com base nas informações disponibilizadas no site do World International Service on
Energy (WISE) e em ÁVILA (2016).
ANO LOCAL MORTES
1 1966 Mir Mine, Bulgária 488
2 2019 Brumadinho, Brasil 308
3 2008 Taoshi, China 277
4 1985 Stava, Itália 269
5 1965 El Cobre Dam, Chile ~200
6 1966 Aberfan, Reino Unido 144
7 1972 Buffalo Creek, Estados
Unidos 125
8 1970 Mufilira, Zâmbia 89
9 2000 Guangxi, China 28
10 1988 Jinduicheng, China 20
11 2015 Mariana, Brasil ~19
12 1986 Huangmeishan, China 19
13 1994 Merriespruit, África do Sul 17
14 2006 Shangluo, China 17
15 1974 Bakofeng, África do Sul 12
16 1995 Placer, Filipinas 12
17 2010 Kolontár, Hungria 10
18 2018 Chihuahua, México 7
19 1986 Itabirito, Brasil 7
20 1993 Marsa, Peru 6
21 2001 Nova Lima, Brasil 5
43
Figura 2.1.5.1 - Causas de acidentes em barragens ativas e inativas (Adaptado de
ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014).
Figura 2.1.5.2 - Número total de acidentes e suas causas considerando o tipo de método
construtivo (Adaptado de ICOLD e UNEP, 2001 apud TAGUCHI, 2014).
44
2.1.6. Legislações e Normas Brasileiras
Segundo os dados da Agência Nacional de Mineração de fevereiro de 2019, há no
Brasil um total de 769 barragens de mineração, porém apenas 425 barragens (55%) estão
inseridas na Política Nacional de Segurança de Barragens (PNSB). Essa porcentagem não
é satisfatória e demonstra a deficiência de parte das empresas no atendimento as
legislações e na gestão de riscos (Figura 2.1.6.1).
Dentre as barragens de mineração inseridas na PNSB, a maior parte delas estão
localizadas em Minas Gerais, Pará e Mato Grosso. Minas Gerais conta com 219
barragens de rejeitos (52%), o Pará conta com 69 barragens de rejeitos (16%) e o Mato
Grosso conta com 36 barragens de rejeitos (8%).
Figura 2.1.6.1 - Quantitativo das barragens de rejeitos existentes no Brasil e relação
entre as barragens inseridas e não inseridas no PNSB (ANM, 2019).
Os principais dispositivos legais federais relacionados à segurança de barragens
são:
Lei nº 12.305, de 2 de agosto de 2010 que instituiu a “Política Nacional de
Resíduos Sólidos (PRS)”, na qual estabelece normas operacionais
especificas de maneira a evitar riscos ou danos à saúde pública e a
segurança, minimizando os impactos ambientais a respeito da disposição
de rejeitos;
45
Lei nº 12.334, de 20 de setembro de 2010 a qual estabeleceu a “Política
Nacional de Segurança de Barragens (PNSB)” e criou “o Sistema Nacional
de Informações sobre Segurança de Barragens (SNISB)”. Através do
PNSB estabeleceu-se que a fiscalização das barragens de mineração cabe
a Agencia Nacional de Mineração (ANM) e aos integrantes do Sistema
Nacional de Meio Ambiente (SISNAMA);
Ministério do Meio Ambiente – Conselho Nacional de Recursos Hídricos
– Resolução nº 143, de 10 de julho de 2012, a qual estabeleceu os critérios
gerais de classificação de barragens.
Ministério do Meio Ambiente – Conselho Nacional de Recursos Hídricos
– Resolução nº 144, de 10 de julho de 2012, a qual estabeleceu diretrizes
para a implementação da Política Nacional de Segurança de Barragens e
atuação do Sistema Nacional de Informações sobre Segurança de
Barragens;
Portaria DNPM nº 416, de 03 de setembro de 2012, a qual criou o Cadastro
Nacional de Barragens de Mineração e estabelece o Plano de Segurança,
Revisão Periódica de Segurança e Inspeções Regulares e Especiais de
Segurança das Barragens de Mineração conforme a Lei nº 12.334, de 20
de setembro de 2010;
A Portaria DNPM nº 526/2013 estabelece a periodicidade de atualização
e revisão, a qualificação do responsável técnico, o conteúdo mínimo e o
nível de detalhamento do Plano de Ação de Emergência das Barragens de
Mineração (PAEBM);
NRM nº 19 do DNPM estabelece diretrizes gerais para Disposição de
Estéril, Rejeitos e Produtos;
Resolução CONAMA n.º 357/2005 - Dispõe sobre a classificação dos
corpos de água e diretrizes ambientais para o seu enquadramento;
Resolução CONAMA n.º 396/2008 - Dispõe sobre a classificação e
diretrizes ambientais para o enquadramento das águas subterrâneas e dá
outras providências;
Resolução CONAMA n.º 420/2009 - Dispõe sobre critérios e valores
orientadores de qualidade do solo quanto à presença de substâncias
químicas e estabelece diretrizes para o gerenciamento ambiental de áreas
46
contaminadas por essas substâncias em decorrência de atividades
antrópicas;
Resolução CONAMA n.º 430/2011 - Dispõe sobre as condições e padrões
de lançamento de efluentes.
As principais normas da ABNT relacionadas as atividade de disposição de estéreis
e rejeitos são:
ABNT NBR 13028: Mineração – Elaboração e apresentação de projeto de
barragens para disposição de rejeitos, contenção de sedimentos e
reservação de água. Esta Norma tem por objetivo especificar os requisitos
mínimos para a elaboração e apresentação de projeto de barragens de
mineração, contenção de sedimentos gerados por erosão e reservação de
água em mineração, e visam atender às condições de segurança, de
operação, economia e desativação, reduzindo os impactos ao meio
ambiente.
ABNT NBR 13029: Mineração – Elaboração e apresentação de projeto de
disposição de estéril em pilha. Esta Norma tem por objetivo especificar os
requisitos mínimos para a elaboração e apresentação de projeto de pilha
para disposição de estéril gerado por lavra de mina a céu aberto ou de mina
subterrânea, e visam atender às condições de segurança, operacionalidade,
economia e desativação, reduzindo os impactos ao meio ambiente.
ABNT NBR 13030: 1999 - Elaboração e apresentação de projeto de
reabilitação de áreas degradadas pela mineração. Esta Norma fixa
diretrizes para elaboração e apresentação de projeto de reabilitação de
áreas degradadas pelas atividades mineradoras, visando obter subsídios
técnicos que possibilitem a manutenção e/ou melhoria da qualidade
ambiental, independente da fase de instalação do projeto.
ABNT NBR 10157:1987- Estabelece as condições mínimas exigíveis para
projeto e operação de aterros de resíduos perigosos, de forma a proteger
adequadamente as coleções hídricas superficiais e subterrâneas próximas,
bem como os operadores destas instalações e populações vizinhas.
ABNT NBR 13.896:1997- Estabelece as condições mínimas exigíveis
para projeto, implantação e operação de aterros de resíduos não perigosos,
de forma a proteger adequadamente as coleções hídricas superficiais e
47
subterrâneas próximas, bem como os operadores destas instalações e
populações vizinhas.
48
2.1.7. Boas práticas internacionais em segurança de barragens de rejeito
Diversas instituições estabeleceram diretrizes internacionais de boas práticas para
projeto e segurança de barragens de rejeitos, destacando-se os seguintes trabalhos
realizados pelas instituições:
ICOLD (Comissão Internacional de Grandes Barragens): Barragens de
Rejeitos, Risco de acontecimentos potencialmente danosos e Lições
Aprendidas através de experiências práticas (Tailings Dams, Risk of
Dangerous Occurences and Lessons Learnt from Practical Experiences)
em 2001, Melhoria da segurança de barragens de rejeitos (Improving
Tailings Dam Safety) em 2007 e Desempenho sustentável para projeto e
descomissionamento de barragens de rejeitos (Sustainable Design and
Post-Closure Perfomance of Tailings Dams) em 2012.
UNEP (Programa das Nações Unidas para o Meio Ambiente): Guia para
planos de emergência APELL (Conscientização e preparação para
emergências em nível local) para o setor de mineração em 2001;
ANCOLD (Comitê Nacional Australiano de Grandes Barragens):
Diretrizes para a Gestão de Segurança de Barragens (Guidelines on Dam
Safety Management), agosto de 2013 e Diretrizes para barragens de
rejeitos (Guidelines on Tailings Dams), maio de 2012.
CDA (Associação Canadense de Barragens): Diretrizes para a Segurança
de Barragens (Dam Safety Guidelines), 2013.
MAC (Associação Canadense de Mineração): Desenvolvimento de
manual para operação, manutenção e fiscalização de barragens de rejeitos
e de água (Developing an Operation, Maintenance and Surveillance
Manual for Tailings and Water Management Facilities), 2002.
49
2.2. Estabilidade taludes
2.2.1. Análise determinística de estabilidade de talude
Existem dois tipos de abordagem para determinar o fator de segurança do ponto
de vista determinístico: teoria do equilíbrio limite e análise de tensões. Estes métodos
serão detalhados nos tópicos que se seguem.
2.2.1.1. Análise de tensões e deformações
Neste método, a análise de estabilidade é feita comparando-se as tensões
cisalhantes mobilizadas com a resistência ao cisalhamento, de modo a estabelecer áreas
rompidas mesmo sem o estabelecimento de uma superfície de ruptura (o que indica
ruptura progressiva); estabelecer níveis de tensões de interesse para a realização de
ensaios de laboratório e conhecer a relevância das deformações (GERSCOVICH, 2016).
Para a aplicação deste tipo de análise é necessário o conhecimento dos modelos
constitutivos dos solos e a implementação em programas computacionais baseados nos
métodos dos elementos finitos (MEF) ou das diferenças finitas (MDF).
2.2.1.2. Equilíbrio limite e a definição do fator de segurança
A teoria do equilíbrio limite é atualmente a mais comum nas análises de
estabilidade de taludes, principalmente porque apresenta abordagem simples e facilidade
para a modelagem computacional. O método consiste na determinação do equilíbrio de
uma massa de solo delimitada por uma superfície potencial de ruptura arbitrada. É
considerado que apenas uma parcela da resistência do solo é mobilizada nessa superfície,
de forma a estar em equilíbrio com as forças solicitantes devido ao peso da massa de solo
(TELLES, 2015). A Figura 2.2.1.2.1 representa essa situação.
Figura 2.2.1.2.1 – Tensões cisalhantes resistentes e mobilizadas em uma massa de solo
(GERSCOVICH, 2016).
50
Este método baseia-se na determinação do equilíbrio de uma massa de solo. A
análise é feita com base na seção transversal representativa e a superfície de ruptura
provável de ocorrer pode apresentar geometria circular, poligonal ou outra qualquer.
Neste método é assumido que a ruptura acontece ao longo de uma superfície e todos os
pontos ao longo dessa superfície atingem, ao mesmo tempo, a mesma condição de FS =
1 (GERSCOVICH, 2016).
Neste método é considerado que apenas uma parcela da resistência do solo é
mobilizada nessa superfície, de maneira a se equilibrar com as forças solicitantes devidas,
por exemplo, ao peso da massa ativa de solo.
Desta maneira é possível definir o fator de segurança como o fator pelo qual os
componentes da resistência ao cisalhamento são reduzidos para que a massa de solo atinja
o estado de equilíbrio limite, ao longo da superfície mobilizada. Dessa forma, temos:
𝜏𝑚𝑜𝑏 =𝜏𝑟𝑒𝑠
𝐹𝑆
sendo
𝜏𝑚𝑜𝑏= tensão cisalhante mobilizada;
𝜏𝑟𝑒𝑠= tensão cisalhante resistente;
𝐹𝑆= fator de segurança.
Para a análise em termos de tensões efetivas em solos saturados, a resistência
mobilizada é calculada da seguinte maneira:
𝜏𝑚𝑜𝑏 =𝑐′
𝐹𝑆+ (𝜎 − 𝑢)
tan 𝜙′
𝐹𝑆
sendo
𝜎= tensão total normal;
𝑢= poropressão;
𝑐′= coesão efetiva do solo (intercepto de coesão na envoltória efetiva);
𝜙′= ângulo de atrito efetivo do solo.
51
A ruptura acontece quando toda a resistência do solo é mobilizada, ou seja, quando
o fator de segurança é igual a 1. Embora o método leve em consideração que toda a
resistência do solo seja mobilizada ao mesmo tempo, isto é, atingindo simultaneamente a
condição de ruptura, essa hipótese, no entanto, não representa a realidade. O FS calculado
é a representação de uma média dos fatores de segurança ao longo da superfície potencial
de ruptura (TELLES, 2015).
O enfoque deste estudo será dado aos modelos determinísticos e probabilísticos
considerando a análise por equilíbrio limite por três tipos de métodos bidimensionais:
método de Bishop Simplificado, Spencer e Morgenstern-Price.
Nos métodos bidimensionais é assumido que o talude é infinitamente longo na
direção perpendicular ao plano de interesse e que a ruptura ocorre ao longo do
comprimento todo do talude simultaneamente (TELLES, 2015).
Antes de detalhar os três métodos citados anteriormente é fundamental conceituar
o método das fatias o qual é a base teórica para estes métodos.
2.2.1.2.1. Método das Fatias
FELLENIUS (apud TELLES, 2015) propôs o método das fatias, o qual consiste
em se dividir a massa de solo instável, isto é, aquela que se encontra acima da superfície
de potencial ruptura em um número de fatias n. A figura apresenta uma massa de solo
dividida em fatias enquanto a figura x mostra uma fatia genérica i, com as forças que
atuam nela.
52
Figura 2.2.1.2.1.1 – (a) massa de solo potencialmente instável dividida em fatias;
(b) representação da i-ésima fatia e as forças que atuam nela (TELLES, 2015).
Quanto ao atendimento às equações do equilíbrio estático, é necessário analisar o
equilíbrio de forças em cada fatia individualmente, enquanto que o atendimento ao
equilíbrio de momentos deve-se considerar toda a massa de solo, em relação ao centro da
superfície potencial de ruptura circular.
Os momentos dividem-se em momento solicitante e momento resistente. O
momento solicitante é dado pelo somatório dos momentos gerados pela força peso de
cada fatia, isto é
𝑀𝑑 = ∑ 𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖 ∙ 𝑅
𝑛
𝑖=1
O momento resistente é dado pelo somatório dos momentos gerados pela força
cisalhante mobilizada na base de cada fatia:
𝑀𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝑇𝑖 ∙ 𝑅
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝜏𝑚𝑜𝑏𝑖∙ 𝑙𝑖∙ 𝑅
𝑛
𝑖=1
Tendo o 𝜏𝑚𝑜𝑏 definido pelo Equilíbrio Limite e a analise em tensões efetivas, o
momento resistente pode ser reescrito como:
53
𝑀𝑟𝑒𝑠 = ∑𝑐′ + 𝜎′𝑖 tan 𝜙′
𝐹𝑆∙ 𝑙𝑖∙ 𝑅
𝑛
𝑖=1
Assim, pelo equilíbrio de momentos, 𝑀𝑟𝑒𝑠= 𝑀𝑑 , logo:
∑𝑐′ + 𝜎′𝑖 tan 𝜙′
𝐹𝑆∙ 𝑙𝑖∙ 𝑅
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖 ∙ 𝑅
𝑛
𝑖=1
Para ∑ 𝑙𝑖 = 𝐿 e 𝑁′𝑖 = 𝜎′𝑖 ∙ 𝑙𝑖:
𝑅𝑐′ ∙ 𝐿 + tan 𝜙′ ∑ 𝑁′𝑖
𝑛𝑖=1
𝐹𝑆= 𝑅 ∙ ∑ 𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖
𝑛
𝑖=1
Através do rearranjo desta equação, podemos equacionar o fator de segurança em
termos do equilíbrio de momentos. Assim, temos:
𝐹𝑆 =𝑐′ ∙ 𝐿 + tan 𝜙′ ∑ 𝑁′𝑖
𝑛𝑖=1
∑ 𝑊𝑖 sin 𝛼𝑖𝑛𝑖=1
O número de incógnitas é superior ao número de equações no método das fatias.
Isto é, o problemas é estatisticamente indeterminado, como apresentado no Quadro
2.2.1.2.1.1.
Quadro 2.2.1.2.1.1 – Equações versus incógnitas no método das fatias
(GERSCOVICH, 2012 apud TELLES, 2015).
54
Os métodos apresentados a seguir foram desenvolvidos tendo como base o método
das fatias, porém cada um deles adota hipóteses simplificadoras as quais tornam o
problema determinado. Uma hipótese assumida em todos os métodos apresentados refere-
se a consideração que a força normal 𝑁’ é aplicada no centro de cada fatia, o que reduz o
número de incógnitas a 5n-2 e a indeterminação a n-2.
2.2.1.2.2. Método de Bishop Simplificado (1955)
Há uma simplificação proposta pelo próprio Bishop, comumente chamada de
método de BISHOP SIMPLIFICADO (1955), que consiste em desprezar a componente
tangencial das forças entre as fatias. Consequentemente, a resultante entre as fatias é
horizontal.
Na Figura 2.2.1.2.2.1 tem-se uma representação de uma fatia de solo segundo o
método de Bishop simplificado.
Figura 2.2.1.2.2.1 - Representação de uma fatia de solo (TELLES, 2015).
Para a determinação da força normal faz-se o equilíbrio de forças na vertical:
∑ 𝑭𝒗 = 𝑾𝒊 − 𝑵′𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝒊 − 𝒖𝒊∆𝒍𝒊 − 𝑻𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝒊 = 𝟎
A força cisalhante mobilizada na base (𝑇𝑖) conforme definida pela teoria do
equilíbrio limite na é dada por:
𝑻𝒊 =𝒄′
𝑭𝑺∙ ∆𝒍𝒊 + (𝑵′
𝒊 − 𝒖𝒊∆𝒍𝒊)𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺
Substituindo na equação anterior, tem-se que a força normal é definida como:
55
𝑵′𝒊 = 𝑾𝒊 − (
𝟏𝑭𝑺) (𝒄′∆𝒍𝒊 − 𝒖𝒊∆𝒍𝒊 𝒕𝒂𝒏 𝝓′) 𝒔𝒊𝒏 𝜶𝒊
𝒄𝒐𝒔 𝜶𝒊 + (𝟏
𝑭𝑺) 𝒕𝒂𝒏 𝝓′ 𝒔𝒊𝒏 𝜶𝒊
Ao substituir a expressão de 𝑁′𝑖 na equação do fator de segurança, em termos do
equilíbrio de momentos, é obtida a expressão para o fator de segurança do método de
Bishop Simplificado:
𝑭𝑺 =
∑ [𝒄′∆𝒍𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝒊 + (𝑾𝒊 − 𝒖𝒊∆𝒍𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝒊) 𝐭𝐚𝐧 𝝓′]𝒏𝒊=𝟏 (
𝟏𝒎𝜶𝒊
)
∑ 𝑾𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝒊𝒏𝒊=𝟏
sendo:
𝒎𝜶𝒊= 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝒊 +
𝐬𝐢𝐧 𝜶𝒊 𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺
A expressão final do FS pelo método de Bishop Simplificado (1955) é não linear
e deve ser resolvida iterativamente, uma vez que o FS está presente em ambos os lados
da igualdade.
2.2.1.2.3. Método de Spencer (1967)
O método de SPENCER (1967) é considerado um método de análise de
estabilidade rigoroso, visto que satisfaz as três equações de equilíbrio bidimensional.
Neste método são definidos dois fatores de segurança, o primeiro fator de segurança em
termos do equilíbrio de forças (𝐹𝑆𝑓) e o segundo fator de segurança em termos do
equilíbrio de momentos (𝐹𝑆𝑚).
Neste método é assumida a hipótese de que a soma das resultantes das forças de
interação entre as fatias é uma força 𝑄𝑖 com inclinação igual a 𝜃. (Figura 2.2.1.2.3.1)
56
Figura 2.2.1.2.3.1 - Forças aplicadas a uma fatia de solo pelo método de
Spencer. (Adaptado de FREITAS, 2011)
Então, calcula-se o equilíbrio nas direções normal e tangencial à base da fatia,
definindo-se o valor de 𝑄𝑖, através da seguinte expressão:
𝑸𝒊 =
𝒄′∆𝒙𝒊
𝑭𝑺𝐬𝐞𝐜 𝜶𝒊 +
𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺(𝑾𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝒊 − 𝒖𝒊∆𝒙𝒊 𝐬𝐞𝐜 𝜶𝒊) − 𝑾𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝒊
𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒊 − 𝜽) [𝟏 +𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺 𝐭𝐚𝐧(𝜶𝒊 − 𝜽)]
Definido o valor de 𝑄𝑖, após assumido um valor para 𝜃 (constate em todas as
fatias) procede-se ao cálculo do FS. O fator de segurança em termos do equilíbrio de
forças (𝐹𝑆𝑓) é calculado substituindo a expressão de 𝑄𝑖 na equação que garante o
equilíbrio global de forças do método, ou seja:
∑ 𝑸𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒏
𝒊=𝟏
= ∑ 𝑸𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒏
𝒊=𝟏
= ∑ 𝑸𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎
Enquanto que a equação de equilíbrio de momentos, a qual é definida a partir do
somatório de momentos das forças internas, é calculada da seguinte forma:
∑[𝑸𝒊 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒊 − 𝜽)
𝒏
𝒊=𝟏
]
Assim, o fator de segurança final, será encontrado a partir de um valor 𝜃, pelo
qual, obtém-se o mesmo fator de segurança tanto para o equilíbrio de momentos quanto
para o equilíbrio de forças, isto é:
57
𝑭𝑺 = 𝑭𝑺𝒇 = 𝑭𝑺𝒎
2.2.1.2.4. Método de Morgenstern-Price (1965)
O método de MORGENSTERN & PRICE (1965) é considerado o método mais
geral de equilíbrio limite para superfícies quaisquer, considerando os esforços atuantes
em fatias infinitesimais (Figura 2.2.1.2.4.1).
Figura 2.2.1.2.4.1 - Forças aplicadas a uma fatia de solo segundo Método de
Morgenstern e Price. ( Adaptado de FREITAS, 2011)
Em busca de tornar o problema estaticamente determinado, assume-se que a
inclinação da resultante 𝜃 pode variar ao longo da superfície através da função dada por:
𝑻
𝑬= 𝝀𝒇(𝒙)
Ou,
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝑻
𝑬= 𝝀𝒇(𝒙)
sendo
T= componente tangencial resultante das forças entre as fatias;
E = componente normal da resultante das forças entre fatias;
𝜆= parâmetro escalar, o qual é determinado através da solução de cálculo do FS;
𝑓(𝑥)= função de forma arbitrária.
58
A escolha da função 𝑓(𝑥) exige um julgamento de como a inclinação das forças
entre fatias varia no talude.
Na consideração de forças atuantes em uma fatia infinitesimal, ou seja, dx
tendendo a zero, e para que não exista rotação da mesma, o equilíbrio de momentos com
relação ao centro da base da fatia é considerado nulo. Dessa forma chega-se a expressão
a seguir:
−𝑻 =𝒅{𝑬′(𝒚 − 𝒚′
𝒕)}
𝒅𝒙− 𝑬′
𝒅𝒚
𝒅𝒙+
𝒅{𝑷𝒘(𝒚 − 𝒉)}
𝒅𝒙− 𝑷𝒘
𝒅𝒚
𝒅𝒙
A função y(x) representa a superfície de ruptura, a função h(x) representa a linha
de ação da poropressão, e 𝑦′𝑡(x) representa a linha de tensão efetiva normal.
O equilíbrio de forças na direção normal e tangencial à base da fatia resulta na
seguinte equação:
𝑬(𝒙) =𝟏
𝑳 + 𝑲𝒙[𝑬𝒊𝑳 +
𝑵𝒙²
𝟐+ 𝑷𝒙]
As variáveis K, L, N e p são expressas da seguinte maneira:
𝑲 = 𝝀𝒌 {𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺+ 𝑨}
𝑳 = 𝟏 −𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺+ 𝝀𝒎 (
𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺+ 𝑨)
𝑵 =𝐭𝐚𝐧 𝝓′
𝑭𝑺[𝟐𝑨𝑾𝒘 + 𝒑 − 𝒓(𝟏 + 𝑨²)] + [−𝟐𝑾𝒘 + 𝒑𝑨]
𝒑 =𝟏
𝑭𝑺{(𝒄 − 𝒔 𝐭𝐚𝐧 𝝓′)(𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝑽𝒘𝑨 𝐭𝐚𝐧 𝝓′ + 𝒒 𝐭𝐚𝐧 𝝓′}
+ {𝒒𝑨 − 𝑽𝒘}
Assim, tem-se a seguinte equação para o equilíbrio de momentos:
59
𝑴(𝒙) = 𝑬(𝒚𝒕 − 𝒚) = 𝑴𝒆𝑾(𝒙) + ∫ (𝝀𝒇 −𝒅𝒚
𝒅𝒙) 𝑬𝒅𝒙
𝒙
𝒙𝒐
Sendo 𝑀𝑒𝑊(𝑥) dado por:
𝑴𝒆𝑾(𝒙) = ∫ (−𝑷𝒘
𝒅𝒚
𝒅𝒙) 𝒅𝒙
𝒙
𝒙𝒐
+ [𝑷𝒘(𝒚 − 𝒉)]
A solução do método é obtida por meio de iterações, a partir da definição da
função de distribuição de forças entre fatias, assumindo-se valores para 𝜆 e FS e dos
cálculos para E(x) e M(x) de cada fatia.
Os resultados fornecem fatores de segurança para cada uma das equações de
equilíbrio de forças e momentos a cada iteração e o resultado final do FS do talude é
definido quando 𝐹𝑆𝑓 = 𝐹𝑆𝑚. Devido à complexidade dos cálculos é necessário o uso de
computadores.
60
2.3. Projeto baseado em confiabilidade
2.3.1. Conceitos de estatística
2.3.1.1. Considerações gerais
Neste tópico alguns conceitos básicos de probabilidade e estatística serão
abordados. Embora estes sejam conceitos introdutórios, são fundamentais para a
realização de projetos baseados em confiabilidade.
O Universo é o objeto da análise estatística. Particularmente para a análise de
estabilidade de um talude, o universo constitui-se de todos os parâmetros geotécnicos dos
solos que estão integrados direta ou indiretamente ao cálculo do fator de segurança contra
a ruptura.
A população desse Universo corresponde ao conjunto de valores possíveis de
serem medidos de mesmo atributo. Dessa forma, em se tratando de análise de estabilidade
de talude, as populações de interesse são: coesão, ângulo de atrito, peso específico, entre
outros.
Uma amostra de uma população se refere ao conjunto de valores de um mesmo
atributo. Por exemplo, para a população resistência não drenada, cada valor determinado
equivale a uma unidade de amostragem, assim, uma amostra da população resistência não
drenada é um conjunto de várias unidades de amostragem.
Amostragem aleatória de determinada população refere-se ao processo de escolha
de unidades de amostragem no qual qualquer unidade possui a mesma chance de ser
selecionada, não havendo uma diferenciação para a escolha de nenhuma delas.
Uma variável aleatória pode ser descrita se sua distribuição de probabilidade é
conhecida. A distribuição precisa para elementos e fenômenos da natureza envolve
diversas complexidades. Assim, deve-se buscar uma maneira mais simples para descrever
variáveis aleatórias usando medidas de estimação mais fáceis. As medidas de estimação
mais importantes são tendência central e dispersão.
Estas medidas serão descritas nos tópicos que se seguem.
61
2.3.1.2. Tendência central
As medidas mais comuns para a tendência central são média, mediana e moda. No
entanto, a média é a mais importante medida de tendência central de uma variável
aleatória e representa a média aritmética de um conjunto de dados. Assim, a média
aritmética para um conjunto de medidas será:
�̅� =𝟏
𝒏∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
sendo
�̅� = média da amostra;
𝑛= tamanho da amostra;
𝑥𝑖= valor individual de cada medida.
A partir dos valores das médias aritméticas das amostras é possível obter o
histograma (Figura 2.3.1.2.1) que corresponde a população estudada do universo. No eixo
horizontal são apresentados os diversos valores de intervalos das médias aritméticas �̅�𝑖 e
no eixo vertical as porcentagens/frequências de valores correspondentes a cada intervalo.
Pelo histograma é possível observar que as maiores porcentagens de valores se encontram
no intervalo central μ (referente a média da população).
Nessa mesma figura é apresentada a curva que representa a distribuição
acumulada, a qual mostra a porcentagem acumulada para diversos intervalos de
valores �̅�𝑖 de interesse.
É importante ressaltar que normalmente não é possível medir todas as unidades
de amostragem de uma população, dessa forma, a média �̅� é considerada a melhor
estimativa possível da média μ da população.
A expressão matemática da média μ é definida como:
𝝁 = ∑ �̅�𝒊 𝒇(𝒙)𝒏𝒊=𝟏 se a variável aleatória é discreta ou,
𝝁 = ∫ �̅�𝒊 𝒇(𝒙)𝒅𝒙+∞
−∞ se a variável aleatória é contínua.
62
sendo
𝑓(𝑥)= função distribuição de probabilidade.
Geralmente a média é valor assumido para os parâmetros envolvidos em uma
análise determinística de estabilidade de talude. Porém, na análise probabilística, outras
medidas de estimação são fundamentais para a implementação dessa abordagem.
Figura 2.3.1.2.1 - Histograma e distribuição acumulada qualquer. (Adaptado de
BAECHER & CHRISTIAN, 2003)
63
2.3.1.3. Medidas de dispersão
A melhor forma de estimar a dispersão de uma amostra ou de uma população é
através do desvio-padrão e do coeficiente de variação.
O desvio-padrão (𝑠) de uma amostra e o desvio-padrão (𝜎) da população são dados
respectivamente por:
𝒔 = √∑(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐
𝒏 − 𝟏
𝝈 = √∑(𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐
𝒏
sendo
�̅�= média da amostra;
𝑥𝑖= valores individuais ou unidades de amostragem;
𝑛= quantidade de valores (tamanho da amostra);
𝜇= média da população.
Em muitos cálculos estatísticos, a variância é mais conveniente do que o desvio-
padrão. Ela é definida como o quadrado do desvio-padrão. Para a amostra a variância é
designada por 𝑠² enquanto que para a população é designada por 𝜎².
O coeficiente de variação (CV referente a amostra e Ω referente a população) é
utilizado usualmente nos cálculos estatísticos e expressa uma dispersão relativa, isto é,
representa o desvio-padrão como porcentagem da média, sendo definido como:
𝑪𝑽 =𝒔
�̅�× 𝟏𝟎𝟎
𝛀 =𝝈
�̅�× 𝟏𝟎𝟎
64
2.3.2. Limites de confiança
Em diversas situações práticas, é necessário inferir sobre as características de
resistência do solo a partir de um número limitado de ensaios. Por exemplo, para a
estimativa dos valores de resistência não drenada ao longo da profundidade, pode-se
utilizar de critérios bem estabelecidos de regressão linear, para a obtenção da reta que
melhor se ajuste aos resultados experimentais. Assim, a interpretação dos resultados
experimentais é realizada baseada nos conceitos de limites de confiança, os quais limitam
uma região na qual é mais provável que o valor de um dado parâmetro se situe, de acordo
com a margem de erro considerada.
Os limites de confiança podem ser classificados em duas categorias:
Limites representativos dos resultados individuais (diretamente obtidos
dos ensaios);
Limites representativos dos valores médios dos resultados experimentais.
Na regressão linear a incerteza quanto a amostragem reduzida fica evidente no
próprio conceito de limites de confiança e são dependentes do número de amostras (N).
Assim quanto maior o número de amostras mais estreitos serão os limites de confiança,
pois dependem da variabilidade dos parâmetros da reta, diminuindo à medida que N
cresce.
Em uma regressão linear, Y = f(x), é definido o erro médio quadrado (mean square
error – MSE – (NETER, WASSERMAN, & WHITMORE, 1982 apud PACHECO &
LIMA, 1996) como:
𝑴𝑺𝑬 = ∑(𝒚𝒊 − �̂�)𝟐
𝑵 − 𝟐
sendo
�̂� = valor esperado da reta de regressão;
𝑁= número de amostras.
O MSE é uma forma análoga de calcular a dispersão, similar a variância de uma
amostra (s²) e de uma população (𝜎²), conforme mostrados no capítulo 2.3.1.3. Portanto,
o MSE representa a dispersão dos pontos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) em relação à reta de regressão.
65
Pode-se demonstrar (NETER; WASSERMAN; WHITMORE, 1982) que a
variância da média de Y e a variância pontual de Y são dadas por:
𝑽[𝒀]𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝑴𝑺𝑬 [𝟏
𝑵+
(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐
∑(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐]
𝑽[𝒀]𝑷 = 𝑽[𝒀]𝒎é𝒅𝒊𝒂 + 𝑴𝑺𝑬
sendo, para N < 30
𝒀𝒑 − �̂�
𝑺[𝒀]𝒑= 𝒕(𝑵 − 𝟐)
𝒀𝒎é𝒅𝒊𝒂 − �̂�
𝑺[𝒀]𝒎é𝒅𝒊𝒂= 𝒕(𝑵 − 𝟐)
sendo, 𝑆[𝑌]𝑝, o desvio-padrão pontual e 𝑆[𝑌]𝑚é𝑑𝑖𝑎, o desvio-padrão da média:
𝑺[𝒀]𝒑 = √𝑽[𝒀]𝑷
𝑺[𝒀]𝒎é𝒅𝒊𝒂 = √𝑽[𝒀]𝒎é𝒅𝒊𝒂
Como a distribuição t-Student se aproxima da distribuição Normal quando N
∞, pode-se estabelecer, para finalidade prática, que esta consideração é válida para N ≥
30. (PACHECO; LIMA, 1996)
Para a representação do comportamento médio de ensaios geotécnicos, os limites
de confiança pontuais, considerando uma margem de erro 𝛼, limitam a região onde a
probabilidade de ocorrer o resultado pontual de um ensaio seja de (1- 𝛼), enquanto os
limites de confiança dos valores médios limitam a região onde a probabilidade de se situar
a reta de regressão (envoltória de Mohr-Coulomb) seja de (1- 𝛼). A Figura 2.3.2.1 ilustra
como os limites de confiança pontuais e da média são estabelecidos.
66
Demonstra-se que a variância dos parâmetros médios da regressão linear Y=A+BX
é dada por (NETER; WASSERMAN; WHITMORE, 1982)
𝑽[𝑨] = 𝑴𝑺𝑬 [𝟏
𝑵+
(�̅�)𝟐
∑(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐]
𝑽[𝑩] = 𝑴𝑺𝑬
∑(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐
Como neste estudo o número de amostras é maior que 30, utilizou-se uma
distribuição Normal, portanto, tem-se:
𝑨 − �̂�
𝑺[𝑨]= 𝒛(𝑵 − 𝟐)
𝑩 − �̂�
𝑺[𝑩]= 𝒛(𝑵 − 𝟐)
sendo,
𝑆[𝐴]= desvio-padrão do intercepto A;
𝑆[𝐵]= desvio-padrão da inclinação B.
67
Figura 2.3.2.1 - Estabelecimento dos limites de confiança pontuais e da média
(reta de regressão) (PACHECO; LIMA, 1996).
2.3.3. Incertezas na Geotecnia
No passado, muitos projetos de engenharia como túneis, barragens, estradas entre
outras estruturas geotécnicas foram construídos por engenheiros com limitada capacidade
em lidar com problemas geotécnicos de uma maneira analítica, mas que permitiram-lhes
aprender com as experiências e catalogar os comportamentos de solos e rochas
(BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
Com os trabalhos desenvolvidos por um grupo de engenheiros e pesquisadores
liderados por Karl Terzaghi, a física e a engenharia mecânica foram aplicadas ao estudo
do comportamento dos materiais geológicos (TERZAGUI, 1925 apud BAECHER &
CHRISTIAN, 2003). A partir daí foram desenvolvidos métodos de análise teórica,
procedimentos para ensaios em laboratório e técnicas para investigações de campo,
permitindo uma abordagem mais racional no desenvolvimento de projetos (BAECHER;
CHRISTIAN, 2003).
No entanto, o desenvolvimento da engenharia geotécnica só começou
aproximadamente um século após a introdução de métodos racionais na engenharia
mecânica e de estruturas. Isso se deveu ao fato de que engenheiros mecânicos e estruturais
lidam com geometrias, propriedades de materiais e componentes de sistemas projetados
por eles próprios, de maneira a assegurar o controle de garantia e a qualidade.
68
Dessa forma, as principais incertezas nestes materiais projetados estão
relacionadas às tolerâncias permitidas para o desempenho satisfatório da estrutura e
carregamentos e condições ambientais as quais a estrutura é exposta (BAECHER;
CHRISTIAN, 2003).
Diferentemente, na engenharia geotécnica os engenheiros lidam com geometrias
e materiais que a natureza dispõe. As incertezas na engenharia geotécnica são fortemente
indutivas, começando por limitadas observações, julgamentos, conhecimento a respeito
da geologia e raciocínio estatístico para inferências no comportamento dos solos
(BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
No caso de barragens de rejeito, o carregamento mais importante que afeta a
estabilidade do dique é devido à gravidade. O peso específico de solos e rochas
normalmente são determinados com elevada acurácia, existindo poucas incertezas com
relação a eles. No entanto, os padrões de percolação tem um importante efeito na
estabilidade e esses são muito mais incertos. Destacam-se também fatores externos,
provavelmente os mais importantes são os eventos de natureza sísmica (DOBRY &
ALVAREZ, 1967 apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
Quanto às incertezas geotécnicas, a principal preocupação dos engenheiros está
relacionada à resistência ao cisalhamento de solos e/ou rochas. Assim sendo, muito das
aplicações dos métodos de confiabilidade à prática geotécnica envolve a descrição
probabilística e estatística das resistências e suas distribuições (BAECHER;
CHRISTIAN, 2003).
Recentemente tem-se observado uma tendência em se ajustar o tratamento das
incertezas em uma base mais formal, particularmente, aplicando os resultados da teoria
da confiabilidade à engenharia geotécnica. (BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
Contudo, é importante enfatizar que o princípio que a confiabilidade aborda não
remove as incertezas e não reduzem a necessidade de julgamento de geotécnicos
experientes ao lidar com as questões geotécnicas. Eles fornecem uma maneira de
quantificar as incertezas e tratá-las consistentemente (BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
Hoje em dia o engenheiro geotécnico deve ser capaz de lidar com a confiabilidade
e há diversas razões para isso. Primeiramente, um número crescente de países apresentam
legislações e normas, as quais forçam os engenheiros geotécnicos a fornecerem respostas
69
a respeito da confiabilidade de suas estruturas geotécnicas projetadas. Este aspecto é
muito notado em áreas fortemente regulamentadas como a disposição de rejeitos,
especialmente nos Estados Unidos, Austrália e Canadá.
O fortalecimento das legislações e normas nesses países contribuem para uma
tendência a adoção de práticas semelhantes por outros governos e instituições ao redor do
mundo. Contudo no Brasil ainda é incipiente essa abordagem, sendo utilizada como
objeto de estudos por parte de algumas empresas e universidades, não estando incluídas
em normas ou legislações.
Em segundo, decisões gerenciais a respeito de como financiar, planejar e proceder
com um curso de ação projetado estão ligados diretamente à análise de confiabilidade.
Há diversas maneiras de classificar as incertezas na engenharia geotécnica.
MORGENSTERN (1995), PHOON & KULHAWY (1999) e EL-RAMLY (2001)
propuseram a divisão das incertezas em três categorias específicas, listadas abaixo:
Incertezas dos parâmetros: estão relacionadas às propriedades físicas,
mecânicas e químicas que caracterizam o objeto de estudo. Na geotecnia
essas incertezas podem ser relacionadas aos parâmetros de resistência e
permeabilidade, entre outros, de determinado solo (EL-RAMLY, 2001).
Incertezas nos modelos: relaciona-se a inexatidão entre a realidade e a
teoria usada nos modelos matemáticos. Os modelos analíticos se
caracterizam por aproximações e hipóteses simplificadoras. De acordo
com MORGENSTERN (1995), a incerteza devida aos modelos
matemáticos corresponde a maior parte das incertezas na engenharia
geotécnica.
Incertezas humanas: dizem respeito ao erro humano e é baseada
geralmente na falta de conhecimento técnico, domínio dos procedimentos
de investigações geotécnicas de laboratório de campo e carência de
informação. Estes são de quantificação complexa devido a sua
aleatoriedade e imprevisibilidade, sendo geralmente desprezadas na
prática de engenharia.
Uma outra proposta de classificação das incertezas na engenharia geotécnica,
apresentando similaridades em relação à classificação vista anteriormente, no entanto,
70
mais detalhada, foi elaborada por BAECHER & CHRISTIAN (2003), na qual as
incertezas na geotecnia são divididas em três categorias (Figura 2.3.3.1).
A primeira é a variabilidade natural, a qual está associada com o processo natural
inerente dos solos, podendo ser a variabilidade ao longo do tempo causada por um
fenômeno ocorrido em um único local (variabilidade temporal) ou uma variabilidade ao
longo de um espaço por um fenômeno o qual ocorreu em diferentes locais, mas em um
intervalo curto de tempo (variabilidade espacial) ou, ainda, variabilidades ocorridas ao
longo do tempo e espaço. Essa variabilidade é aproximada através de simplificações ou
modelos matemáticos.
A segunda é a incerteza relacionada ao conhecimento técnico, sendo atribuída à
falta de informações sobre eventos ou falta de entendimento sobre as leis físicas limitando
a habilidade em criar modelos para os problemas reais. É dividida em três categorias:
incertezas da caracterização do local, incerteza do modelo e incerteza dos parâmetros.
As incertezas quanto a caracterização do local se referem a adequação de
interpretações a respeito da geologia subterrânea e incluem: erros de medições,
inconsistência de dados, erros da manipulação de dados e amostra de dados pouco
representativas.
A incerteza do modelo tem a ver com o grau o qual um modelo matemático
escolhido imita, ou representa, a realidade e a incerteza dos parâmetros refere-se à
acurácia com a qual os parâmetros do modelo podem ser estimados.
71
Além dessas incertezas relatadas acima, existem dois tipos práticos: incertezas
operacionais referentes à construção, deterioração, manutenção e fatores humanos, as
quais não são, em geral, levadas em conta em modelos de avaliação de desempenho na
engenharia; e as incertezas referentes à tomada de decisão devido à falta de capacidade
humana em atender a objetivos sociais, horizonte de planejamento, aversão social ao
risco, entre outros, os quais são difíceis de quantificar e são normalmente ignorados.
Figura 2.3.3.1 - Categorias de incerteza. (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
Dentre as categorias de incertezas apresentadas acima, apenas as incertezas quanto
aos parâmetros de resistência do rejeito foram consideradas nas análises probabilísticas
de estabilidade deste estudo, haja vista que a amostragem disponível não foi suficiente
para caracterizar o efeito da variabilidade espacial, principalmente porque as superfícies
potenciais de ruptura são longas (a seção estudada do depósito apresenta em torno de
616m de comprimento).
Na engenharia geotécnica é comum lidar com mais de uma variável aleatória.
Particularmente na análise de estabilidade de taludes, as variáveis usuais são os
parâmetros de resistência (coesão e ângulo de atrito), peso específico do solo e condições
de poropressão e etc.
Categorias de Incertezas
Variabilidade Natural dos
solos
Temporal
Espacial
Incertezas relacionadas ao conhecimento
técnico
Modelos
Parâmetros
Caracterização do local
Incertezas operacionais e relacionadas à tomada
de decisão
72
Pode-se definir então a relação entre duas variáveis através do coeficiente de
correlação, o qual define como a variação em um parâmetro pode afetar o valor da outra
variável.
Dessa forma, a incerteza de uma variável pode estar relacionada à incerteza de
outra variável, de maneira que a não consideração desse fato pode afetar
significativamente o resultado.
Entretanto, segundo VIEIRA (1999), o coeficiente de correlação deve ser utilizado
com cautela, pois, a correlação entre duas variáveis nem sempre significa uma relação de
causa e efeito, visto que pode existir uma terceira variável, não estudada, que determina
o crescimento da primeira variável como o crescimento (ou decrescimento) da segunda
variável. Deste modo, a correlação entre variáveis não indica que uma causa a outra,
apenas é observada uma relação linear acidental entre as variáveis.
A determinação do coeficiente de correlação deve ser feita com precaução, pois
se não houver dados suficientes disponíveis, não é recomendável a obtenção de
coeficientes de correlação.
Neste trabalho, optou-se por não utilizar o coeficiente de correlação visto que não
há dados estatísticos suficientemente grandes para as estimativas dos parâmetros de
resistência do resíduo.
Quanto ao peso específico, ALONSO (1976) mostrou que a contribuição da
incerteza para este parâmetro é insignificante as demais incertezas presentes em análises
de estabilidade de talude. Isso acontece porque a determinação do peso específico do solo
em laboratório é, na maioria das vezes, acurada e apresenta um pequeno desvio-padrão.
Sendo assim, neste trabalho os pesos específicos dos materiais envolvidos na
análise (resíduo, aterro compactado e fundação), foram considerados de maneira
determinística e não como sendo variáveis aleatórias.
2.3.4. Distribuições de probabilidade aplicadas na Geotecnia
A maneira mais comum de apresentar graficamente a dispersão de dados é através
de um histograma. A elaboração de um histograma é função da quantidade de dados
analisados e para cada parâmetro analisado pode-se inferir sobre a sua distribuição de
73
probabilidade. Quanto maior a quantidade de dados mais representativo será o ajuste de
uma distribuição de probabilidade assumida (BAECHER, 1987).
Contudo, na geotecnia, isso não acontece na realidade, já que existe um elevado
custo para a obtenção de parâmetros através da repetição de ensaios de laboratório e de
campo. Desta maneira, uma distribuição paramétrica adequada pode ser ajustada aos
dados. Esse enfoque, diversas vezes, mostrou-se satisfatório, sendo as distribuições mais
comuns na engenharia geotécnica: a distribuição normal (ou de Gauss) e a distribuição
lognormal (LUMB, 1966).
Para os problemas de estabilidade de talude as variáveis aleatórias possuem
distribuição normal. Essa hipótese é adequada, pois ensaios de laboratório mostram que
a curva de distribuição de frequência de Gauss é satisfatória à representação do
comportamento estatístico das variáveis coesão e ângulo de atrito do solo (MELCHERS,
2002).
A distribuição normal é provavelmente o tipo de distribuição de probabilidade
mais usual nos dias de hoje. Isso acontece porque a soma de variáveis aleatórias tendem
a uma distribuição normal, como provado pelo teorema do limite central (FENTON;
GRIFFITHS, 2008) embora esta discussão não faça parte do escopo deste trabalho.
Assim, para uma variável aleatória X que possui uma distribuição Normal ou
gaussiana, a função densidade de probabilidade tem a seguinte forma:
𝒇(𝒙) =𝟏
𝝈√𝟐𝝅𝒆𝒙𝒑 [−
𝟏
𝟐(
𝒙 − 𝝁
𝝈)
𝟐
] 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 > ∞
sendo:
𝜇= média da distribuição Normal;
𝜎= desvio-padrão da distribuição Normal.
Normalmente se usa a notação 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) quando se quer dizer que a variável
X segue uma distribuição Normal com média 𝜇 e variância 𝜎2.
Algumas características da distribuição Normal:
A distribuição é simétrica com relação à média 𝝁;
O ponto máximo ou moda da distribuição acontece na média 𝝁;
74
O ponto de inflexão da curva 𝒇(𝒙) ocorre quando 𝒙 = 𝛍 ± 𝛔.
A Figura 2.3.4.1 mostra um exemplo de uma distribuição normal com μ = 5 e σ = 2:
Figura 2.3.4.1 - Distribuição Normal com μ = 5 e σ = 2. (FENTON;
GRIFFITHS, 2008)
Contudo, a distribuição Normal permite valores negativos sendo um aspecto
desvantajoso em se tratando de modelagem de propriedades de materiais e carregamentos
em engenharia. Porém, a distribuição Normal é com frequência usada para representar
parâmetros geotécnicos.
Segundo FENTON & GRIFFITHS (2008), o erro ao se utilizar a distribuição
Normal poderá ser pequeno se o coeficiente de variação for pequeno (𝐶𝑉 ≤ 0,3).
Além disso, BAECHER & CHRISTIAN (2003), demonstraram que a
probabilidade do fator de segurança ser negativo usando uma distribuição normal é baixa,
de modo que a distribuição de Gauss pode ser considerada válida para problemas
geotécnicos.
Uma maneira simples de evitar o problema dos valores negativos é ajustar uma
distribuição não negativa aos dados e assim, tem-se a distribuição Lognormal. A
distribuição Lognormal surge da distribuição Normal através de uma transformação
simples. Por exemplo, se D é uma variável aleatória de distribuição Normal e tem portanto
valores entre −∞ < 𝑑 > +∞, então 𝑋 = 𝑒𝑥𝑝 (𝐷). Dessa forma os valores estarão entre
zero e +∞ e a variável 𝑋 terá distribuição Lognormal.
75
Uma variável X tem distribuição Lognormal se 𝑙𝑛(𝑋) é uma distribuição Normal.
Assim, a função densidade de probabilidade será:
𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙𝝈𝒍𝒏𝑿√𝟐𝝅𝒆𝒙𝒑 [−
𝟏
𝟐(
𝒍𝒏𝒙 − 𝝁𝒍𝒏 𝑿
𝝈𝐥𝐧 𝑿)
𝟐
] 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝒙 > ∞
Assim os dois parâmetros da distribuição são: 𝜇𝑙𝑛 𝑋, média e 𝜎ln 𝑋2 , variância da
distribuição normal da variável aleatória 𝑙𝑛(𝑋).
Este tipo de distribuição é popular para parâmetros geotécnicos como coesão,
tangente do ângulo de atrito, módulo de elasticidade, entre outros.
2.3.5. Índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura
A probabilidade de ruptura pode ser estimada por três diferentes maneiras,
segundo MORGENSTERN (1995):
Baseada na frequência de observações (dados históricos);
Derivada da teoria da probabilidade (modelos matemáticos);
Quantificada pelo julgamento de engenharia (probabilidade subjetiva).
Neste estudo a probabilidade de ruptura será estimada através da segunda maneira
indicada acima, isto é, proveniente da teoria da probabilidade.
O índice de confiabilidade (β) pode ser calculado a partir de uma análise usando
o método de primeira ordem e segundo momento ou método de confiabilidade de primeira
ordem, para uma dada margem de segurança 𝑀, sendo esta margem de segurança
expressa por:
𝑴 = 𝑹 − 𝑳
sendo
R = resistências;
L = carregamentos.
A ruptura acontece quando 𝑅 < 𝐿, portanto, 𝑀 < 0. Dessa forma, o índice de
confiabilidade (β) é definido por CORNELL, 1969 (apud FENTON & GRIFFITHS,
2008) como:
76
𝜷 =𝑬[𝑴]
√𝑽𝒂𝒓[𝑴]
Assim, o índice de confiabilidade mede quão longe a média da margem de
segurança M está de zero, sendo este assumido como ponto de ruptura, em unidades de
desvio-padrão.
É importante destacar que a determinação do índice de confiabilidade apresentado
anteriormente é válida apenas para variáveis com distribuição normal e funções de falha
lineares, isto é, M é uma função de distribuição Normal. O ponto, linha ou superfície
definida como M = 0 é geralmente chamada de superfície de ruptura. (Figura 2.3.5.1)
Figura 2.3.5.1 - Região segura e região de falha no espaço das variáveis
aleatórias (NOGUEIRA, 2010).
Existe uma relação única entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de
ruptura dada por:
𝒑𝒇 = 𝟏 − 𝚽(𝜷)
Sendo
Φ = a função de distribuição acumulada normal padrão.
A relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruptura pode ser
observada na Figura 2.3.5.2.
77
Figura 2.3.5.2 - Relação entre o índice de confiabilidade e a probabilidade de
ruptura (DUNCAN, WRIGHT, & BRANDON, 2014).
Tendo 𝑀 = 𝑅 − 𝐿 e 𝑅 independente de 𝐿, então pelo método de primeira ordem
e segundo momento, tem-se:
𝑬[𝑴] = 𝑬[𝑹] − 𝑬[𝑳] = 𝝁𝑹 − 𝝁𝑳
𝑽𝒂𝒓[𝒎] = (𝒅𝑴
𝒅𝑹)
𝟐
𝑽𝒂𝒓[𝑹] + (𝒅𝑴
𝒅𝑳)
𝟐
𝑽𝒂𝒓[𝑳] = 𝑽𝒂𝒓[𝑹] + 𝑽𝒂𝒓[𝑳] = 𝝈𝑹𝟐 + 𝝈𝑳
𝟐
Como a margem de segurança é linear, a média e a variância de M são exatas.
Dessa forma:
𝜷 =𝝁𝑹 − 𝝁𝑳
√𝝈𝑹𝟐 + 𝝈𝑳
𝟐
Considerando resistências e carregamentos não negativos, a margem de segurança
é reescrita da seguinte forma:
𝑴 = 𝒍𝒏 (𝑹
𝑳) = 𝐥𝐧 𝑹 − 𝐥𝐧 𝑳
78
Tendo 𝑀 = 𝑅 − 𝐿 e 𝑅 independente de 𝐿, então pelo método de primeira ordem
e segundo momento, tem-se:
𝑬[𝑴] = 𝑬[𝑹] − 𝑬[𝑳] = 𝐥𝐧 𝝁𝑹 − 𝐥𝐧 𝝁𝑳
𝑽𝒂𝒓[𝒎] = (𝒅𝑴
𝒅𝑹)
𝟐
𝑽𝒂𝒓[𝑹] + (𝒅𝑴
𝒅𝑳)
𝟐
𝑽𝒂𝒓[𝑳] =𝑽𝒂𝒓[𝑹]
𝝁𝑹𝟐
+𝑽𝒂𝒓[𝑳]
𝝁𝑳𝟐
= 𝒗𝑹𝟐 + 𝒗𝑳
𝟐
sendo,
𝑣𝑅 = coeficiente de variação de R;
𝑣𝐿 = coeficiente de variação de L.
Portanto, o índice de confiabilidade é:
𝜷 =𝐥𝐧 𝝁𝑹 − 𝐥𝐧 𝝁𝑳
√𝒗𝑹𝟐 + 𝒗𝑳
𝟐
Em resumo, a determinação do índice de confiabilidade pelo método de primeira
ordem e segundo momento se dá através do cálculo da distância a partir do ponto médio
até a superfície de ruptura na direção do gradiente a partir do ponto médio.
Muitas vezes as variáveis aleatórias possuem distribuições de probabilidades que
diferem da normal sendo necessária a transformação sobre as variáveis do espaço físico
para o espaço normal-padrão não correlacionado, o qual foi proposto por Hasofer e Lind
em 1974 (JUNIOR, 2018).
HASOFER & LIND (1974) então propuseram a solução de buscar a menor
distância entre o ponto médio e a superfície de ruptura ao invés da busca apenas ao longo
da direção do gradiente.
Assim, para o caso geral, supondo que a margem de segurança M, agora
denominado por 𝐺(𝑋), é uma função de variáveis aleatórias 𝑋𝑇 = {𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … }, assim:
𝑴 = 𝑮(𝑿) = 𝒇(𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, … )
Tendo as variáveis 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … uma matriz de covariância C, então, o índice de
confiabilidade β é definido como:
79
𝜷 = 𝐦𝐢𝐧𝑮(𝑿)=𝟎
√(𝒙 − 𝑬[𝑿])𝑻𝑪−𝟏(𝒙 − 𝑬[𝑿])
O qual representa a menor distância entre a superfície de ruptura (𝐺(𝑋) = 0) e o
ponto médio (𝐸[𝑋]) em unidades de desvios-padrão (Figura 2.3.5.3).
Figura 2.3.5.3 - Índice de confiabilidade segundo HASOFER-LIND (1974)
(NOGUEIRA, 2010).
O conceito do índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura associados à
função de densidade de probabilidade Normal 𝐺(𝑋), sendo 𝜇𝐺 a média e 𝜎𝐺 o desvio-
padrão, é clarificada na Figura 2.3.5.4.
O método é iterativo, sendo realizado resumidamente da seguinte maneira. A cada
valor de 𝑥𝑖 ,pertencente a curva 𝐺(𝑋) = 0, calcula-se 𝛽𝑖. Portanto, o índice de
confiabilidade pelo método de HASOFER & LIND (1974) é o mínimo de todos os
possíveis valores de βi.
Embora existam muitos algoritmos sofisticados para encontrar a menor distância
entre a superfície de ruptura (𝐺(𝑋) = 0) e o ponto médio (𝐸[𝑋]), superfícies de ruptura
não lineares podem algumas vezes ter múltiplos mínimos locais, o que complica o
problema já que não garante a busca pelo mínimo global.
Dessa forma optou-se por utilizar a simulação de Monte Carlo pois é uma maneira
alternativa e mais confiável de computar probabilidades de ruptura. Embora seja realizada
80
em um tempo maior, será empregada neste trabalho, sendo sua metodologia descrita no
capítulo 2.3.10.1.
Existem padrões aceitáveis de índice de confiabilidade e probabilidade de ruptura
elaborados por instituições, dentre eles, destaca-se o “United States Army Corpy of
Engineers” elaborado em 1999, o qual propôs valores de índice de confiabilidade e
probabilidade de ruptura de acordo com o nível de desempenho esperado para o sistema
em análise. A Figura 2.3.5.5 apresenta a relação entre esses fatores.
Figura 2.3.5.4 - Função densidade de probabilidade de G(x), à esquerda e função
de distribuição acumulada de G(x), à direita (MORALES, 2014).
81
Figura 2.3.5.5 –Índice de confiabilidade versus probabilidade de ruptura
(USACE, 1999 apud FLORES, 2008).
82
2.3.6. Avaliação de risco
Antes de avaliar o risco de ruptura, particularmente a análise do risco a
instabilização do talude, é importante definir alguns conceitos básicos a respeito do risco.
Há inúmeras maneiras de definir o risco, porém neste trabalho, será conceituado segundo
SILVA et al (2008).
O perigo ou “hazard” refere-se à condição, evento ou atividade que possa
apresentar algum grau de risco. O termo risco refere-se ao potencial para a realização de
alguma consequência indesejável devido a um determinado perigo, isto é, a probabilidade
de um evento com consequências indesejáveis acontecer e a magnitude ou severidade das
consequências se este evento acontecer (SILVA; LAMBE; MARR, 2008).
O risco pode ser expresso como:
Risco = Probabilidade x Consequência
Em se tratando de barragens de rejeitos (ÁVILA, 2016):
Probabilidade ~ proporcional à altura;
Consequência ~ proporcional ao volume;
Tendo em vista que a capacidade diária de produção de rejeitos (toneladas) tem
aumentado dez vezes a cada 30 anos e que a altura dobra a cada 30 anos, segundo
ROBERTSON, 2011 (apud ÁVILA, 2016). Pode-se inferir que:
Risco = 2 x 10 = 20
Assim, o risco tende a aumentar 20 vezes a cada 30 anos (ROBERTSON, 2011
apud ÁVILA, 2016).
Isso demonstra a importância de se buscar formas de mitigação dos riscos, pois o
crescimento dos volumes de rejeitos é inevitável e a demanda por minerais continuará a
crescer. Assim é indispensável a redução dos riscos para compensar este crescimento
(ÁVILA, 2016).
As principais formas de buscar solucionar este problema é através da gestão de
riscos e do uso de tecnologias de menor risco para os rejeitos, principalmente para
obtenção de rejeitos desaguados, sendo este assunto apresentado no item 2.1.2.
83
A avaliação de riscos ajuda o engenheiro a entender as incertezas no projeto.
Dessa forma, métodos de avalição de riscos fornecem um processo lógico de identificação
de perigos, vulnerabilidades, estimativas da severidade e da frequência da ocorrência de
cada perigo e avaliação da eficácia das medidas de redução dos riscos.
A análise de riscos aplicadas na engenharia geotécnica traz grandes contribuições
principalmente porque é impossível a concepção de empreendimentos completamente
imunes ao risco. Além disso, como apontado por MORGENSTERN (1995) apud
PACHECO & LIMA (1996), a geotecnia apresenta natureza multidisciplinar,
envolvendo-se com outras áreas do conhecimento onde a quantificação do risco inerente
é obrigatória e observando-se a crescente exigência de órgãos regulamentadores
internacionais, seguradoras, agências financiadoras e etc.
Por exemplo, a ISO 2394, que se refere aos princípios gerais para a confiabilidade
em estruturas, incluiu pela primeira vez em 2015, um anexo - anexo D - o qual discute
elementos necessários a realização de um projeto geotécnico baseado em confiabilidade.
Embora exista a necessidade de mais avanços em pesquisas nessa área, essa inclusão
significa um importante passo para a defesa da necessidade de se desenvolver projetos
geotécnicos baseados em confiabilidade.
Portanto, é importante que o profissional de geotecnia incorpore em seus
procedimentos critérios quantitativos e qualitativos de análise de riscos, pois as técnicas
de análises de risco tem se apresentado como ferramentas de potencialidade para a
resolução de problemas geotécnicos complexos, conforme mostrados em trabalhos de
MORGENSTERN (1995) e WHITMAN (1984).
A metodologia da avaliação de risco é mostrada na Figura 2.3.6.1.
84
Figura 2.3.6.1 - Metodologia para avaliação de riscos (Adaptado de
BENDIXEN, 2003 apud SILVA et al., 2008).
2.3.7. Probabilidade de rupturas toleráveis
Uma vez calculada a probabilidade de ruptura é importante avaliar se este valor é
tolerável ou não considerando o tipo de problema. Portanto, a probabilidade de ruptura
admissível ou tolerável é função do risco que se queira assumir e das consequências
associadas à ruptura.
Diversos autores e instituições desenvolveram gráficos para gerenciar o risco em
função da probabilidade de ruptura (ou performance insatisfatória) e das consequências
como mostrado na Figura 2.3.7.1, Figura 2.3.7.2 e Figura 2.3.7.3. Esses gráficos são
conhecidos como “F-N charts” pois resumem a relação entre frequências e números de
perda de vidas ou alguma outra consequência indesejável, normalmente quantificável por
meio de seu custo.
No entanto na prática geotécnica é recomendável que esses gráficos sejam usados
de uma maneira qualitativa e preliminarmente visto que embora a análise individual do
risco possa ser considerada tolerável, em conjunto com outros riscos, a probabilidade
combinada poderá não ser tolerável (BEDFORD & COOKE, 2001; EVANS &
VERLANDER, 1997; VRIJLING et al.,1995 apud BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
EL-RAMLY (2001) destaca que, com relação à análise de estabilidade de taludes,
a maior desvantagem destes gráficos é que estes não levam em consideração as condições
específicas como geometrias, fontes e níveis de incertezas (profundidades de
investigação, variabilidade dos solos, qualidade da construção, etc), instrumentação, de
modo que tais critérios podem não ser válidos para qualquer talude.
85
Na Figura 2.3.7.1 são mostradas diferentes probabilidades de ruptura toleráveis,
de acordo com o tipo de estrutura a ser construída. Pode-se observar que em se tratando
de barragens, a probabilidade de 10-4 pode ser tolerável e recomendada a depender das
perdas de vidas e custos associados.
A Figura 2.3.7.2 mostra o gráfico do risco social proposto pelo Departamento de
Planejamento de Hong Kong. O risco social expressa os riscos a uma população a qual
vive próxima a uma instalação potencialmente perigosa (Potentially Hazardous
Installation – PHI). Uma instalação potencialmente perigosa é uma instalação a qual
armazena materiais perigosos em quantidades iguais ou maiores do que uma quantidade
limite especificada, a qual varia a depender do tipo de substância. Por exemplo, fábricas
de explosivos, terminais de petróleo e gás, entre outros.
O gráfico é dividido em três níveis: aceitável, tolerável e inaceitável. Objetivando
evitar desastres que resultam em 1000 mortes ou mais, existe uma linha vertical cruzando
a quantidade de fatalidades iguais a 1000, sendo considerado tolerável para um evento a
cada um bilhão de anos. Este gráfico busca garantir que todas as medidas
economicamente e tecnicamente viáveis que possam reduzir os riscos sejam
consideradas.
A Figura 2.3.7.3 mostra um gráfico, que indica a probabilidade de ruptura por ano
versus perdas de vida, produzido pela US Bureau of Reclamation, em que foram incluídos
os critérios do ANCOLD (Comitê Nacional Australiano de Grandes Barragens) e do BC
Hydro (empresa canadense de eletricidade do estado de British Columbia) para a
elaboração de zonas, conforme indicado pela legenda.
86
Figura 2.3.7.1 - Probabilidade de ruptura toleráveis (BAECHER,1982b apud
BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
Figura 2.3.7.2 - Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de
Hong Kong (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
87
Figura 2.3.7.3 - F-N chart elaborado pela US Bureau of Reclamation obtido de um
portfólio de barragens (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
Como pode ser observado nos gráficos acima, a probabilidade de ruptura está
relacionada ao custo e potenciais danos, não há um valor específico para determinar a
máxima probabilidade de ruptura, embora haja um consenso de que sejam mantidas
probabilidades de ruptura inferiores ou iguais a 10-5 para satisfazer condições aceitáveis
de risco.
88
2.3.8. Níveis de desempenho para projeto baseado em confiabilidade
De acordo com FENTON & GRIFFITHS (2008), projetos baseados em
confiabilidade podem ser desenvolvidos em três diferentes níveis:
Nível 1: Através de uma abordagem semi-probabilística onde o projeto
é baseado em valores de cálculos. Esse nível é baseado no uso de
fatores parciais (Load and Resistance Factor Design). Através desse
princípio aplicam-se fatores parciais de majoração para as diferentes
cargas e minoração para as resistências e que depois serão comparadas.
Nível 2: Através de uma análise probabilística aproximada, levando
em consideração a distribuição de probabilidades de solicitações e de
resistências. No entanto algumas simplificações são feitas, como,
solicitações e resistências são considerados independentes e os seus
respectivos parâmetros são considerados como variáveis aleatórias
simples.
Nível 3: Através de uma análise probabilística mais sofisticada na qual
a resistência do solo é modelada usando campos aleatórios
(estocásticos) variáveis no espaço-tempo. Dependendo do escopo do
projeto geotécnico, as solicitações podem ser assumidas como campos
aleatórios (estocásticos) variáveis no espaço-tempo (por exemplo,
vento, terremotos entre outras solicitações dinâmicas). Esse tipo de
análise é complexa e usualmente resolvida por simulação de Monte
Carlo combinada ao método de elementos finitos levando em
consideração a variabilidade espacial e, possivelmente, temporária dos
parâmetros envolvidos.
Neste trabalho, a análise de confiabilidade será realizada considerando o nível de
desempenho 2 para a análise de estabilidade de talude, devido a maior simplicidade deste
nível e dada as limitações observadas no problema em estudo, inclusive a limitada
quantidade de dados provenientes de ensaios de palheta no local estudado, visto ao
tamanho da área do depósito de resíduos.
89
2.3.9. Tomada de decisão baseada em risco
Uma das maiores preocupações em um projeto de engenharia é como tomar as
melhores decisões para o projeto em face das incertezas existentes. Uma maneira de se
fazer isso é expressando a perda ou o benefício em termos monetários, visto que o sistema
é função de diversas variáveis.
Dessa forma, algumas medidas dessa função são minimizadas ou maximizadas
para determinar o “melhor” conjunto de variáveis de projeto, a fim de se obter o menor
custo e a máxima confiabilidade. (FENTON; GRIFFITHS, 2008).
Entretanto, ainda existem os riscos denominados intangíveis, os quais são
ignorados ou não são levados em conta pelas empresas devido à falta de capacidade em
identifica-los corretamente mas que apresentam probabilidade de ocorrência de 100%.
Por exemplo, a qualidade de gestão, motivação dos profissionais, reputação e marca,
relacionamento com as comunidades do entorno (responsabilidade social), gestão
ambiental, práticas de governança, entre outros. A criação de valor imediata é
potencializada através da identificação destes riscos e sua gestão correta.
De modo a determinar qual a melhor alternativa levando em conta que os
resultados são incertos, as probabilidades associadas às consequências devem ser
estimadas e o processo decisório associado deve seguir uma metodologia de avaliação de
riscos (FENTON; GRIFFITHS, 2008).
A avaliação de riscos é relacionada a algum perigo, por exemplo, inundações,
deslizamentos de terra, liquefação, entre outras ameaças. Suponhamos que o perigo seja
denotado pela letra 𝐻. Seja 𝐻𝑖 o evento no qual o perigo 𝐻 alcança o nível 𝑖, tendo uma
probabilidade de ocorrência 𝑃[𝐻𝑖]. Seja 𝐷𝑗𝑘 o evento que um nível de dano j acontece em
uma área (ou a pessoas, estruturas) k. Esse nível de dano terá uma probabilidade de
ocorrência que dependerá do nível de perigo alcançado 𝐻𝑖, isto é 𝑃[𝐷𝑗𝑘|𝐻𝑖]. Dessa forma
se o evento, 𝐷𝑗𝑘 acontecer, o custo resultante será denotado por 𝐸𝑗𝑘, assim o custo total
do dano para a área k será denotado por 𝐸𝑘. Se 𝐴𝑙 é a l-gésima alternativa tendo um custo
fixo 𝐵𝑙 , o custo total de 𝐴𝑙, incluindo possíveis danos será 𝐶𝑙. Portanto as quantidades
definidas anteriormente são representadas por:
Probabilidade de que um dano j aconteça na área k:
90
𝑷[𝑫𝒋𝒌 ] = ∑ 𝑷[𝑫𝒋𝒌|𝑯𝒊] 𝑷[𝑯𝒊]
𝒊
Custo esperado do dano na área k (considerando o somatório de todos os
danos possíveis):
𝑬[𝑬𝒌 ] = ∑ 𝑬𝒋𝒌 𝒋
𝑷[𝑫𝒋𝒌] = ∑ 𝑬𝒋𝒌 𝒋
∑ 𝑷[𝑫𝒋𝒌|𝑯𝒊] 𝑷[𝑯𝒊]
𝒊
Custo esperado de projeto tendo em vista a alternativa l (considerando o
somatório de todas as áreas:
𝑬[𝑪𝒍 ] = 𝑩𝒍 + ∑ 𝑬[𝑬𝒌 ]
𝒋
= 𝑩𝒍 + ∑ ∑ 𝑬𝒋𝒌
𝒋
∑ 𝑷[𝑫𝒋𝒌|𝑯𝒊] 𝑷[𝑯𝒊]
𝒊𝒌
Entretanto, neste trabalho o enfoque será dado apenas a avaliação da probabilidade
de ruptura baseando-se na teoria da probabilidade. O objetivo de incluir esse tópico é
mostrar como a análise de confiabilidade permite meios de conduzir a uma avaliação de
risco mais eficiente.
Embora existam diversas abordagens para a avaliação da probabilidade de ruptura
baseando-se na teoria da probabilidade, desde formulações analíticas exatas, métodos
analíticos aproximados e métodos de simulação, neste estudo o enfoque será dado ao
método das estimativas pontuais, considerado um método analítico aproximado, e o
método de simulação de Monte Carlo.
2.3.10. Análise probabilística de estabilidade de talude
Os procedimentos probabilísticos existentes para a análise de estabilidade de
taludes variam conforme suas limitações, hipóteses, capacidade em lidar com problemas
complexos e complexidades matemáticas (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN,
2002).
No entanto, a maior parte dos procedimentos probabilísticos recaem sobre os
métodos aproximados (como o método de primeira ordem e segundo momento, em inglês,
first order second moment (FOSM), método de confiabilidade de primeira ordem, em
inglês, first order reliability moment (FORM), o método das estimativas pontuais) e o
91
método de simulação de Monte Carlo (EL-RAMLY; MORGENSTERN; CRUDEN,
2002).
Uma das maiores desvantagens do método de primeira ordem e segundo momento
se refere ao computo da probabilidade de ruptura, como mostrado por DITLEVSON
(apud FENTON & GRIFFITHS, 2008), pois pode resultar em diferentes probabilidades
de ruptura para o mesmo problema, quando apresentado em maneiras diferentes, embora
equivalentes. Enquanto que uma das maiores desvantagens do método de confiabilidade
de primeira ordem, é que superfícies de ruptura não lineares podem ter múltiplos mínimos
locais, com relação ao ponto médio, acarretando em complicações para o problema
estudado.
Portanto, neste trabalho foram utilizados apenas dois métodos probabilísticos. O
primeiro, o Método de Simulação de Monte Carlo, e o segundo, o Método das Estimativas
Pontuais. As metodologias de cada um deles serão discutidas a seguir.
2.3.10.1. Simulação de Monte Carlo
A simulação é um processo pelo qual se produz uma quantidade razoável de
replicações referentes a um problema real no intuito de estudar a natureza probabilística
das respostas referentes a este problema real (FENTON; GRIFFITHS, 2008).
O método de Monte Carlo ou Método de Simulação de Monte Carlo é um dos
métodos mais utilizados para a análise de confiabilidade, sendo empregado em diversos
problemas de engenharia.
É um método que envolve a geração de um grande número de valores aleatórios
para cada variável aleatória de entrada e tem sido empregado para estudar sistemas
estocásticos e determinísticos. Existem diversas aplicações referentes ao primeiro caso,
isto é, para simulação de processos fundamentalmente estocásticos, a engenharia de
tráfego, por exemplo, se utiliza dessa ferramenta para diversos estudos há muitos anos.
Enquanto que o segundo caso é aplicável a problemas que não são inerentemente
estocásticos, mas que podem ser solucionados pela simulação através de variáveis
aleatórias (BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
O método de simulação de Monte Carlo é uma ferramenta poderosa porque pode
ser aplicável a casos em que há muitas variáveis independentes ou quando a função a ser
92
integrada é fortemente não linear, tornando difícil determinar a divisão da região da
integração eficientemente (BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
A metodologia desta simulação se dá da seguinte maneira. Para cada variável
aleatória, é gerado um valor aleatório e, então, o procedimento de cálculo é realizado,
gerando uma solução baseada neste conjunto de valores aleatórios. Descreve-se assim, o
processo para uma amostra. A partir de então, o processo é repetido por diversas vezes,
obtendo-se muitas amostras do processo. À medida que um grande número de iterações
se completam, acumula-se uma distribuição estatística e assim obtém-se valores para
média, desvio-padrão e outros parâmetros estatísticos (BAECHER; CHRISTIAN, 2003).
Para exemplificar o que foi exposto anteriormente, considere o seguinte problema:
Determinar a probabilidade de ruptura (PR) de um sistema que apresenta duas variáveis
aleatórias: 𝑋1 e 𝑋2, e a resposta desse sistema a esses dados de entrada é uma função
𝑔(𝑋1, 𝑋2), também aleatória. Assumindo que a falha desse sistema irá acontecer sempre
que 𝑔(𝑋1, 𝑋2) < 1,0. Assim no espaço dos valores de (𝑋1, 𝑋2) haverá alguma região a
qual 𝑔(𝑋1, 𝑋2) < 1,0, como ilustrado na Figura 2.3.10.1.1. Dessa forma, o problema
consiste em avaliar a probabilidade de que determinados valores para (𝑋1, 𝑋2), aplicados
nesta função, caiam na região de falha. O que se busca determinar, matematicamente, é a
probabilidade de ruptura (PR), onde:
𝑃𝑅 = 𝑃[𝑔(𝑋1, 𝑋2) < 1,0]
Se, por exemplo, as variáveis 𝑋1 𝑒 𝑋2 seguem uma distribuição lognormal, em
termos dessa distribuição conjunta, a probabilidade de ruptura será expressa (em termos
da função de densidade de probabilidade conjunta) por:
𝑃𝑅 = ∫ ∫ 𝑓𝑋1𝑋2(𝑥1, 𝑥2)𝑑𝑥1𝑑𝑥2
𝑥1∈𝐹𝑥2∈𝐹
Onde F se refere a região de falha. Como a distribuição lognormal não tem integral
fechada, portanto, a equação acima deverá ser avaliada numericamente. Uma maneira
alternativa simples de avaliá-la é simular aleatoriamente uma sequência de pares (𝑋1, 𝑋2)
aplicados na função de falha 𝑔(𝑋1, 𝑋2) para checar se o resultado é maior ou menor que
1,0. Assim, se 𝑥1𝑖 e 𝑥2𝑖 são a 𝑖ésima iteração de 𝑋1 𝑒 𝑋2, sendo 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛, então,
pode-se definir:
93
𝐼 = {1 𝑠𝑒 𝑔(𝑥1𝑖 , 𝑥2𝑖) < 1,0
0 𝑠𝑒 𝑔(𝑥1𝑖 , 𝑥2𝑖) > 1,0}
Para cada 𝑖, a estimativa de PR será dada por:
𝑃𝑅 = 1
𝑛∑ 𝐼𝑖
𝑛
𝑖−1
Assim, a probabilidade de ruptura (PR) é obtida pelo número de ocorrências de
uma determinada resposta (𝑔(𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) < 1,0) pelo número total de ocorrências.
É importante destacar que o número de iterações necessárias é muito influenciado
pela quantidade de variáveis aleatórias e suas variâncias. Para eventos de baixa
probabilidade de ocorrência, esta influência se torna maior. Portanto, nestes casos, quanto
maior o número da quantidade de iterações, menor é o erro obtido na análise (FLORES,
2008). A Figura 2.3.10.1.2 ilustra esta situação. Como se pode observar pela Figura
2.3.10.1.2 quanto maior a quantidade de iterações, melhor é o nível de acurácia da
simulação.
Tendo em vista que a precisão deste método está, muitas vezes, relacionada a um
número de amostras muito grande, seu uso pode se tornar inviável, já que requer um
grande esforço computacional. (MORALES, 2014).
Figura 2.3.10.1.1 - Região de falha e região segura no plano(𝑋1, 𝑋2). (Adaptado
de FENTON & GRIFFITHS, 2008).
94
Figura 2.3.10.1.2 - Convergências da simulação de Monte Carlo para n
simulações (BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
Muitos problemas geotécnicos tratam-se de problemas estocásticos, os quais
requerem hipóteses simplificadoras para a obtenção de soluções exatas. A abordagem de
problemas desse tipo é melhor através de simulação (FENTON; GRIFFITHS, 2008).
Assim, a simulação possibilita a investigação mais realista de problemas
geotécnicos, produzindo distribuições probabilísticas da variável de interesse.
Em se tratando da análise de estabilidade de talude, o método de Monte Carlo é
eficiente neste tipo de problema, pois a avaliação analítica para a estimativa do sistema
de desempenho (que neste caso é o fator de segurança - FS) é considerada
matematicamente complexa.
Para este trabalho a metodologia funcionou da seguinte maneira. Primeiramente
foram selecionados os métodos de análise de estabilidade de talude, neste caso, Bishop
simplificado, Spencer e Morgenstern-Price e foram escolhidos os parâmetros a serem
modelados probabilisticamente (correspondendo aos seus valores médios e desvios-
padrão) e as distribuições gaussianas correspondentes a esses parâmetros. Através da
utilização de um gerador de números randômicos normalizados, determina-se um valor
randômico para cada variável de entrada com base na sua respectiva distribuição de
probabilidades. A partir desses valores resolve-se a função de desempenho (neste caso,
fator de segurança, FS), considerando a busca pela superfície crítica em todo o talude. O
processo se repete, pelo número de vezes em que se deseja realizar, para então ser
construída a distribuição de frequências do FS. Obtêm-se assim suas principais
95
características: FS médio, probabilidade de ruptura (PR) do talude e índice de
confiabilidade (𝛽).
2.3.10.2. Método das Estimativas Pontuais ou Método de Rosenblueth
O método das estimativas pontuais é um método simples e aproximado para
determinar os três primeiros momentos (a média, variância e assimetria) de uma variável
dependente de uma ou mais variáveis aleatórias. Pode-se dizer que ele é um método de
média ponderada remanescente de fórmulas de integração numérica envolvendo pontos
de amostragem e parâmetros de ponderação (FENTON; GRIFFITHS, 2008).
O método de estimativas pontuais busca substituir uma função de densidade de
probabilidade contínua por uma função discreta que tenha os três primeiros momentos
centrais: média μ, variância σ² e assimetria ν (FENTON; GRIFFITHS, 2008).
Este método também é conhecido como Método de Rosenblueth, nome este
referente ao criador do método, cujo desenvolvimento se deu no ano de 1975 e com
adaptações em 1981.
Segundo BAECHER & CHRISTIAN (2003), este método é considerado
atualmente um dos métodos mais importantes de análises de confiabilidade geotécnica.
É importante destacar que este método não exige conhecimento a respeito da
forma da função densidade de probabilidade das variáveis aleatórias de entrada e também
não leva em consideração a correlação espacial entre elas (FENTON; GRIFFITHS,
2008).
A seguir serão apresentadas as etapas para implementação do método das
estimativas pontuais adaptado de FENTON & GRIFFITHS (2008).
Primeiramente determinam-se as relações entre a variável dependente Y e as
variáveis aleatórias 𝑋1, 𝑋2, ...etc, de maneira a obter os valores de média μ e desvio-
padrão σ correspondentes a cada relação 𝑋𝑖 e Y.
Para cada variável de entrada: 𝑋1, 𝑋2, ...etc, são calculados os locais de dois pontos
de amostragem através de duas unidades de desvios-padrão: 𝜉𝑋𝑖+ e 𝜉𝑋𝑖−. Para esse
cálculo, leva-se em consideração a assimetria ν, conforme equação abaixo:
96
𝜉𝑋𝑖+ =1
2𝜈𝑋𝑖
+ √1 + (1
2𝜈𝑋𝑖
)2
𝜉𝑋𝑖− = 𝜉𝑋𝑖+ − 𝜈𝑋𝑖
A partir dos valores encontrados para 𝜉𝑋𝑖+ e 𝜉𝑋𝑖−, pode-se estimar os dois pontos
da amostragem. A Figura 2.3.10.2.1 ilustra a localização dos pontos de amostragem a
partir da etapa mostrada acima.
Se a função depende de 𝑛 variáveis, então haverá 2𝑛 pontos de amostragem
correspondentes a todas as combinações de dois pontos de amostragem para cada
variável.
Por exemplo, se considerarmos duas variáveis aleatórias: 𝑋1 e 𝑋2, tem-se,
portanto, quatro pontos de amostragem:
(𝜇𝑋1+ 𝜉𝑋1+
∙ 𝜎𝑋𝑖, 𝜇𝑋2
+ 𝜉𝑋2+∙ 𝜎𝑋2
)
(𝜇𝑋1+ 𝜉𝑋1+
∙ 𝜎𝑋𝑖, 𝜇𝑋2
− 𝜉𝑋2−∙ 𝜎𝑋2
)
(𝜇𝑋1− 𝜉𝑋1−
∙ 𝜎𝑋𝑖, 𝜇𝑋2
+ 𝜉𝑋2+∙ 𝜎𝑋2
)
(𝜇𝑋1− 𝜉𝑋1−
∙ 𝜎𝑋𝑖, 𝜇𝑋2
− 𝜉𝑋2−∙ 𝜎𝑋2
)
Caso a assimetria ν seja ignorada ou assumida como zero:
𝜉𝑋1+= 𝜉𝑋1−
= 𝜉𝑋2+= 𝜉𝑋2−
= 1
Dessa forma os quatro pontos de amostragem serão:
(𝜇𝑋1+ 𝜎𝑋𝑖
, 𝜇𝑋2+ 𝜎𝑋2
)
(𝜇𝑋1+ 𝜎𝑋𝑖
, 𝜇𝑋2− 𝜎𝑋2
)
(𝜇𝑋1− 𝜎𝑋𝑖
, 𝜇𝑋2+ 𝜎𝑋2
)
(𝜇𝑋1− 𝜎𝑋𝑖
, 𝜇𝑋2− 𝜎𝑋2
)
Dessa forma cada variável aleatória tem pontos localizados a menos e mais um
desvio-padrão da média. A Figura 2.3.10.2.2 ilustra as quatro estimativas pontuais no
plano 2D para o exemplo mostrado anteriormente enquanto a Figura 2.3.10.2.3 ilustra o
mesmo caso, no entanto, para o plano 3D.
97
Determinam-se então os pesos de probabilidade, 𝑃𝑋𝑖, para cada um dos 2𝑛 pontos
estimados. Como a área da função densidade de probabilidade representa uma unidade,
assim os pesos de probabilidade somados devem dar uma unidade (FENTON;
GRIFFITHS, 2008).
Para a determinação dos pesos de probabilidade 𝑃𝑋𝑖 também é considerada a
correlação que pode existir entre duas ou mais variáveis aleatórias. Por exemplo, o peso
de probabilidade para a variável 𝑋1 é :
𝑃𝑋1+ = 𝜉𝑋1−
𝜉𝑋1++ 𝜉𝑋1−
𝑃𝑋1− = 1 − 𝑃𝑋1+
Caso a variável 𝑋1 não apresente assimetria ν e, 𝜉𝑋1+= 𝜉𝑋1−
= 1. Portanto, pode-
se concluir que:
𝑃𝑋1− = 𝑃𝑋1+ = 0,5
Segundo BAECHER & CHRISTIAN (2003), se existem 𝑛 variáveis sem
assimetria ν, então os 2𝑛 pontos são escolhidos para incluir todas as possíveis
combinações tendo cada variável um desvio padrão acima ou abaixo da média. Dessa
forma, para serem obtidos os pesos de probabilidade 𝑃𝑋𝑖, levando em conta o coeficiente
de correlação 𝜌𝑋𝑖𝑋𝑗 correspondente a variável 𝑋𝑖 e 𝑋𝑗 tem-se:
𝑃𝑠1𝑠2… 𝑠𝑛=
1
2𝑛[1 + ∑ ∑ 𝑠𝑖𝑠𝑗𝜌𝑋𝑖𝑋𝑗
𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑛−1
𝑖=1
]
Sendo 𝑠𝑖 = +1 para pontos maiores que a média e 𝑠𝑖 = −1 para pontos menores
que a média. O sobescrito do peso de probabilidade 𝑃𝑋𝑖 indica o local do ponto que está
sendo ponderado.
Finalmente, determina-se o valor da variável dependente para cada estimativa
pontual. No exemplo apresentado há quatro estimativas pontuais, portanto quatro valores
a serem determinados para a variável dependente: 𝑌1, 𝑌2, 𝑌3 e 𝑌4.
98
Com os resultados obtidos para a variável dependente e os pesos de probabilidade
das estimativas pontuais 𝑃𝑋𝑖 é possível estimar os três primeiros momentos: média 𝜇𝑌,
variância 𝜎𝑌2 e assimetria 𝜈𝑌 da variável dependente, conforme:
𝜇𝑌 = 𝐸[𝑌] ≃ ∑ 𝑃𝑖𝑌𝑖
2𝑛
𝑖=1
𝜎𝑌2 = 𝐸[(𝑌 − 𝜇𝑌)2] ≃ ∑ 𝑃𝑖(𝑌𝑖 − 𝜇𝑌)²
2𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑃𝑖𝑌𝑖²
2𝑛
𝑖=1
− 𝜇𝑌²
𝜈𝑌 =𝐸[(𝑌 − 𝜇𝑌)3]
𝜎𝑌3 ≃
1
𝜎𝑌3 ∑ 𝑃𝑖(𝑌𝑖 − 𝜇𝑌)³
2𝑛
𝑖=1
=1
𝜎𝑌3 ∑ 𝑃𝑖𝑌𝑖
3
2𝑛
𝑖=1
− 3𝜇𝑌𝑃𝑖𝑌𝑖² + 2𝜇𝑌³
Figura 2.3.10.2.1 - Estimativas Pontuais para a variável aleatória 𝑋1 a qual apresenta assimetria (Adaptado de FENTON & GRIFFITHS, 2008).
99
Figura 2.3.10.2.2 - Estimativas pontuais e probabilidades para duas variáveis sem
assimetria 𝑋1 e 𝑋2 (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
Figura 2.3.10.2.3 - Plano 3D mostrando as quatro estimativas pontuais quaisquer e seus
respectivos pesos provenientes de duas variaveis aleatórias quaisquer.(FENTON;
GRIFFITHS, 2008).
100
3. CASO ESTUDADO
3.1. Considerações iniciais
O objetivo do presente trabalho é estudar o comportamento, em termos de
estabilidade global, de talude de uma barragem de rejeito em função de métodos
determinísticos e probabilísticos.
Tanto nos métodos determinísticos quanto nos métodos probabilísticos, os
parâmetros de resistência do material do rejeito são baseados no tratamento estatístico de
dados de ensaios de palheta realizados no material do rejeito, em diversas partes do
depósito, e que foram estimados pela regressão linear.
A avaliação da estabilidade global do talude pelo método determinístico é feita de
duas formas, utilizando os valores médios dos parâmetros de resistência dos materiais
presentes na seção, sendo que os parâmetros de resistência do material do rejeito são
provenientes da reta de regressão, e a segunda forma, mantendo-se os mesmos valores
médios para o material de fundação e para o aterro do dique, porém, os parâmetros de
resistência do material do rejeito foram estabelecidos levando em consideração o critério
semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 –
Estabilidade de Encostas.
Para a análise probabilística foram considerados dois métodos probabilísticos:
Simulação de Monte Carlo e Método das Estimativas Pontuais (Método de Rosenblueth)
em ambos baseando-se no tratamento estatístico dos dados dos ensaios de palheta do
material do rejeito através da análise de regressão linear para obtenção das estimativas
dos parâmetros de resistência deste material.
Em seguida, é realizada uma análise comparativa entre os resultados encontrados
pelos dois métodos probabilísticos, entre os resultados encontrados pelos dois métodos
determinísticos e entre as abordagens probabilísticas e determinísticas.
O depósito de resíduos de mineração em estudo está localizado no estado do Pará,
região Norte do Brasil, sendo limitado por diques de aterro compactado e apresentando
impermeabilização interna e constituído por resíduo sólido. O depósito tem perímetro de
aproximadamente 6,5km e área de aproximadamente 2 milhões de metros quadrados.
A seção transversal apresenta declividade média de 7% e aproximadamente 44m
de espessura de resíduo sólido na parte mais alta, enquanto na parte mais baixa, próximo
ao dique, o resíduo sólido apresenta aproximadamente 13m de espessura. A crista do
dique possui 3,5m de largura. O aterro compactado do dique apresenta 3 bermas à
101
montante e 1 berma à jusante do dique. A Figura 3.1.1 ilustra a seção transversal do
depósito em estudo enquanto a 3.1.2 apresenta o detalhe do dique e das bermas.
Figura 3.1.1 - Seção transversal do depósito de resíduos do estudo.
Figura 3.1.2 – Detalhe do dique e bermas.
Ressalta-se que esta seção foi considerada crítica, com relação a todo o depósito,
devido às condições de sua geometria, tais como, maior espessura da camada do resíduo
sólido e presença de superfícies irregulares no rejeito e níveis freáticos mais elevados
observados nos ensaios de campo nas proximidades da seção escolhida.
3.2. Motivações para o uso da abordagem probabilística à análise de estabilidade
do depósito de rejeitos do estudo
O depósito de rejeitos em estudo apresentou variações de sua estrutura devido a
diversos aspectos, principalmente, correspondentes à sequência construtiva, histórico de
alteamento, condições operacionais dos equipamentos e variações climáticas sazonais.
Consequentemente, as propriedades mecânicas do depósito apresentam variações
elevadas, de maneira a classificá-lo como heterogêneo em relação a sua resistência não
drenada Su, embora o rejeito em si apresente composição e distribuição granulométrica
aproximadamente invariável.
Deste modo, a abordagem probabilística para a análise de estabilidade, neste caso,
é de suma importância, pois permite considerar a variabilidade da resistência não drenada
(Su) do rejeito. Dessa forma, a abordagem probabilística é capaz de dar subsídios
relevantes para a avaliação da estabilidade global da seção do depósito em estudo, a qual
foi considerada a mais crítica do depósito de rejeitos.
44m 13 m
~ 616m
102
O rejeito apresenta-se como condicionante, quase que em sua totalidade, da
segurança do aterro devido a sua grande espessura e porque os dados coletados por meio
de ensaios de palheta não atingiram as camadas do solo de fundação, visto que as
profundidades dos ensaios variaram entre 6m e 18m, sendo as maiores profundidades
mais próximas ao platô (parte mais alta da seção). Dessa maneira, como pode ser
confirmada pela Figura 3.1.1, apenas a camada de rejeito foi atingida.
Portanto, as variáveis aleatórias do problema são referentes à resistência não
drenada do rejeito. Já os parâmetros do material de fundação e do aterro compactado
(dique) foram provenientes de ensaios de laboratório, porém não foram objetos de
tratamento estatístico nesse estudo. Assim, para o material de fundação e do aterro foram
considerados seus perfis sendo homogêneos e portanto, parâmetros geotécnicos
determinísticos.
3.3. Parâmetros geotécnicos adotados
3.3.1. Parâmetros probabilísticos
Para as análises probabilísticas considerou-se apenas a resistência não drenada
(Su) do rejeito como variável, obtida por meio de ensaios de palheta realizados em todo o
depósito. No total, foram realizados 36 ensaios de palheta, provenientes de 6 verticais em
diversos locais do depósito. As profundidades ensaiadas variaram de 2,0m a 18,0m. A
Figura 3.3.1.1, baseada nos 36 ensaios de palheta, apresenta a resistência não drenada, Su
(kN/m²) versus profundidade (m), já na Tabela 3.3.1.1 são exibidos os valores de Su
(kN/m²) em suas respectivas profundidades ensaiadas.
A partir destes dados foi realizada uma regressão linear a fim de obter-se a reta de
melhor ajuste para a determinação da resistência não drenada (Su) com a profundidade. A
Figura 3.3.1.2 mostra a reta da regressão juntamente com os dados dos ensaios de palheta.
As incertezas da reta de regressão podem ser representadas por dois tipos de
limites de confiança: os limites de confiança da reta de regressão e os limites de confiança
dos pontos individuais, conforme vistos no item 2.3.2 da revisão bibliográfica.
Para a determinação dos limites superior e inferior da reta média (reta de
regressão) e dos limites superior e inferior dos pontos individuais utilizou-se uma
distribuição normal com 95% de confiança, tendo em vista o item 2.3.4 no qual comenta
que a distribuição Normal é indicada, já que o número de amostras N é maior que 30,
conforme apresentado no item 2.3.2 da revisão bibliográfica.
103
A Figura 3.3.1.3 apresenta os quatro limites de confiança, referentes à reta média
e aos pontos individuais, além dos dados dos ensaios de palheta e a reta de regressão,
onde pode-se observar que as incertezas mais convenientes para aplicação na análise são
as incertezas da reta média, já que as incertezas para os pontos individuais (a reta inferior
dos pontos individuais) apresentam valores negativos. Os procedimentos utilizados para
obtenção destes limites foram apresentados no item 2.3.2 do presente trabalho.
Com os resultados da regressão linear e considerando-se as incertezas da reta de
regressão (limite inferior da reta média), foi possível obter as informações necessárias do
rejeito, isto é, valores médios e desvios-padrão dos parâmetros de resistência não drenada
do rejeito, para a realização da análise probabilística da estabilidade global do talude da
seção em estudo. A Tabela 3.3.1.2 resume estas informações.
Tabela 3.3.1.1 - Dados dos ensaios de palheta realizados.
Prof
(m)
Su (kN/m²)
VT 1 VT 2 VT 3 VT 4 VT 5 VT 6
1,00
2,00 34,50 89,96 97,12 39,10 16,10
3,00 19,68 37,06 16,87
4,00 55,71 20,45 32,46 39,36 19,94 17,89
5,00 32,46 11,76
6,00 60,82 37,57 87,41 56,23 50,09 19,17
7,00 42,17 31,95
8,00 79,74 59,55 49,84
9,00
10,00 64,40 42,17 54,44
11,00
12,00 71,05 81,79
13,00
14,00 112,45 79,74
15,00
16,00 93,54
17,00
18,00 112,20
104
Figura 3.3.1.1 – Resistências não drenadas, Su (kN/m²) provenientes dos ensaios de
palheta.
Figura 3.3.1.2 - Reta de regressão e dados de ensaios de palheta.
105
Figura 3.3.1.3 - Limites superiores e inferiores da reta média (regressão linear) e
dos pontos individuais.
Tabela 3.3.1.2 - Valores médios e desvios-padrão dos parâmetros de resistência não
drenada (Su) com a profundidade do rejeito.
Parâmetros médios da reta da
regressão
𝝁𝒂(Su médio) 22,52 kN/m²
𝜇𝑏 (Variação de Su por metro) 4,35 kN/m³
Desvios-padrão dos parâmetros
médios da reta de regressão
𝜎𝑎 (Desvio-padrão de Su) 7,13 kN/m²
𝜎𝑏 (Desvio-padrão da variação
de Su por metro) 0,90 kN/m³
106
3.3.2. Parâmetros determinísticos
Neste estudo, as análises probabilísticas da estabilidade do depósito são feitas
considerando como variáveis aleatórias aquelas que contribuem para a incerteza do FS,
que neste caso se referem aos parâmetros da resistência não drenada do rejeito.
O foco deste estudo é a análise de estabilidade do depósito levando em conta as
incertezas dos parâmetros de resistência não drenada do rejeito, visto que este material
apresenta características mais variáveis, conforme explicitadas no item 3.3.1. Assim, os
parâmetros para a fundação e para o aterro foram definidos deterministicamente, tendo
em vista que também estes parâmetros foram obtidos de relatório de projeto já
consolidado e que não constava as incertezas ou tratamentos estatísticos para o material
de fundação e do aterro. A Tabela 3.3.2.1 apresenta os parâmetros da fundação e do aterro.
Tabela 3.3.2.1 - Parâmetros da fundação e do aterro
Material Peso específico
(kN/m³)
Coesão (kPa) Ângulo de
atrito (º)
Fundação 18,5 5,0 28
Aterro compactado 19,5 5,0 27
4. ANÁLISES DE RESULTADOS
No presente trabalho, as análises determinísticas e probabilísticas da estabilidade
da seção do depósito em estudo foram realizadas para a condição normal de operação e
utilizando o programa computacional Slide versão 6.0. O Slide é uma ferramenta de
análise de estabilidade de taludes 2D da empresa Rocscience.
Seu uso permite a aplicação de diversos métodos para a análise da estabilidade, e
neste trabalho são utilizados os métodos de Bishop simplificado, Spencer, Morgenstern-
Price, conforme metodologias apresentadas no item 2.2.1.2. Com relação às análises
probabilísticas, é possível aplicar pelo Slide a simulação de Monte Carlo, cuja
metodologia é apresentada no item 2.3.10.1.
4.1. Análise determinística da estabilidade da seção do depósito em estudo
Foram realizadas duas análises determinísticas da seção em estudo para a
condição normal de operação.
107
A análise determinística 1 foi realizada considerando-se os valores médios os
quais resultaram da reta de regressão e que constam na Tabela 3.3.1.2.
A análise determinística 2 foi feita a partir do critério semiprobabilístico
estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682: 2009 – Estabilidade de Encostas
para as estimativas dos parâmetros de resistência do material do rejeito, e que leva em
consideração a análise de regressão linear apresentada no item 3.3.1 e que será melhor
descrito no item 4.1.2.
4.1.1. Análise determinística 1
Os parâmetros dos materiais contidos na seção analisada do depósito estão
exibidos na Tabela 4.1.1.1 e na Tabela 4.1.1.2.
A localização do nível d’água (NA) foi definida conforme os ensaios de campo
realizados próximos à seção do depósito em estudo.
Foram utilizados os métodos de Bishop simplificado, Morgenstern-Price e
Spencer para a análise determinística 1.
Tabela 4.1.1.1 - Parâmetros da fundação e do aterro compactado (dique).
Material Peso específico
(kN/m³)
Coesão (kPa) Ângulo de
atrito (º)
Fundação 18,50 5 28
Aterro compactado 19,50 5 27
Tabela 4.1.1.2 - Parâmetros do resíduo.
Resistência não drenada (Su)
Material Su (kPa) Variação de Su com a
profundidade. (kPa/m)
Resíduo 22,52 4,35
Pela análise determinística 1, o valor encontrado para o fator de segurança pelo
método de Bishop simplificado foi de 2,247 e a Figura 4.1.1.1 mostra a superfície
potencial crítica da seção do talude para a condição analisada (operação normal).
108
Figura 4.1.1.1 - Superfície potencial de ruptura determinística 1 da seção do depósito
em estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 2,247.
Figura 4.1.1.2 - Superfície potencial de ruptura crítica determinística 1 pelo método de
Morgenstern-Price à esquerda (FS = 2,248) e pelo método de Spencer à direita (FS =
2,246) da seção do depósito em estudo.
Os métodos de Spencer e Morgenstern-Price apresentaram superfícies potenciais
de rupturas críticas circulares similares à superfície potencial de ruptura crítica obtida
109
pelo método de Bishop simplificado, como mostrado na Figura 4.1.1.2. A Tabela 4.1.1.3
apresenta os fatores de segurança encontrados pelos métodos citados.
Tabela 4.1.1.3 - Fatores de segurança encontrados na análise determinística da
estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos.
Pelos resultados apresentados na Tabela 4.1.1.3 pode-se observar que os fatores
de segurança encontrados foram praticamente idênticos, apresentando variações apenas
na terceira casa decimal, e estão acima do fator de segurança mínimo definido na norma
brasileira para essa condição, conforme apresentado no item 1.1.
Deste modo, pela análise determinística 1 de estabilidade do talude pelos métodos
utilizados, considerando-se os valores médios para os parâmetros do rejeito, o depósito é
considerado estável.
Além disso, observa-se que a superfície potencial de ruptura crítica passa apenas
pelo material do rejeito sem atingir a fundação do depósito demonstrando que o rejeito é,
de fato, o material condicionante da estabilidade do talude.
4.1.2. Análise determinística 2
A análise determinística 2 de estabilidade da seção do depósito foi realizada
levando-se em consideração a análise de regressão linear e seus limites de confiança
devido as incertezas.
Tendo em vista que os limites dos pontos individuais não apresentam sentido
físico coerente (valores negativos), estes não foram levados em consideração para a
escolha dos parâmetros do rejeito.
No entanto, os limites da média, considerando-se níveis de confiança de 95%,
proporcionaram resultados mais coerentes. Dessa forma, partindo-se da abordagem
semiprobabilística, utilizou-se para a resistência não drenada Su (coeficiente linear da
Análise determinística 1
Método FS
Bishop simplificado 2,247
Spencer 2,246
Morgenstern-Price 2,248
110
reta) o limite inferior da reta média, tendo este o valor de 8,26 kPa, embora o coeficiente
angular da reta tenha o mesmo valor obtido da regressão linear, isto é, 4,35kPa/m. Esta
consideração tem como base o critério estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR
11682: 2009 – Estabilidade de Encostas. Estes parâmetros constam na Tabela 4.1.2.1 a
seguir.
Tabela 4.1.2.1 - Parâmetros do resíduo.
Resistência não drenada (Su)
Material Su (kPa) Variação de Su com a
profundidade. (kPa/m)
Resíduo 8,54 4,35
A localização do nível d’água (NA) foi definida da mesma forma que
anteriormente, conforme os ensaios de campo realizados próximos à seção do depósito
em estudo.
Utilizaram-se os métodos de Bishop simplificado, Morgenstern-Price e Spencer
para a análise determinística 2. Os resultados encontram-se a seguir.
111
Figura 4.1.2.1 - Superfície potencial de ruptura determinística 2 da seção do depósito
em estudo pelo método de Bishop simplificado - FS = 1,479.
Figura 4.1.2.2 - Superfície potencial de ruptura crítica determinística 2 pelo método de
Morgenstern-Price à esquerda (FS = 1,480) e pelo método de Spencer à direita (FS =
1,480) da seção do depósito em estudo.
112
Os métodos de Spencer e Morgenstern-Price apresentaram superfícies potenciais
de rupturas críticas circulares similares a superfície potencial de ruptura crítica pelo
método de Bishop simplificado, como mostrado na Figura 4.1.2.2. A Tabela 4.1.2.2
apresenta os fatores de segurança encontrados pelos métodos citados.
Tabela 4.1.2.2 - Fatores de segurança encontrados na análise determinística 2 da
estabilidade da seção estudada do depósito de rejeitos.
Estes resultados embora estejam dentro dos limites definidos pelas normas
brasileiras para a condição de operação, conforme mostrados no item 1.1 apresentam-se
no limite ao que é exigido.
Da mesma forma que anteriormente, observa-se que a superfície potencial crítica
de ruptura passa apenas pelo material do rejeito sem atingir a fundação do depósito
demonstrando que o rejeito é o material condicionante da estabilidade do talude. Através
da análise determinística 2 de estabilidade do talude, o depósito é considerado estável.
4.2. Análise probabilística da estabilidade da seção de estudo
As variáveis aleatórias correspondentes ao material do rejeito, ou seja, os
parâmetros estatísticos da reta representativa da resistência não drenada (Su) com a
profundidade foram implementadas no programa computacional Slide versão 6.0. A
figura x apresenta a tela de entrada de dados do Slide.
Análise determinística 2
Método FS
Bishop simplificado 1,479
Spencer 1,480
Morgenstern-Price 1,480
113
Figura 4.2.1 - Tela de entrada de dados estatísticos para os materiais existentes
da seção do talude em estudo no Slide.
Os métodos de estabilidade utilizados foram o de Bishop simplificado, Spencer e
Morgenstern-Price e a análise probabilística baseou-se na simulação de Monte Carlo e no
método das Estimativas Pontuais.
4.2.1. Simulação de Monte Carlo
Na simulação de Monte Carlo é possível obter a distribuição probabilística da
variável dependente, que neste caso é o fator de segurança. Para isso são necessárias as
distribuições estatísticas das variáveis aleatórias independentes, e que neste caso, se
referem aos parâmetros a e b da reta representativa da resistência não drenada do resíduo
com a profundidade, já que se pretende analisar a variabilidade dos parâmetros
geotécnicos correspondentes ao resíduo.
Através da simulação de Monte Carlo é possível quantificar as incertezas da
variabilidade dos parâmetros geotécnicos de modo a determinar a probabilidade de
ruptura (PR) e o índice de confiabilidade (𝛽), conforme apresentados no item 2.3.5,
permitindo-se uma melhor avaliação do talude em questão.
Para a análise probabilística através da simulação de Monte Carlo, foram
consideradas distribuições normais para os parâmetros a e b da reta representativa da
resistência não drenada (Su) com a profundidade. Segundo Baecher & Christian (2003) a
114
hipótese de que estes parâmetros tendem a ter uma distribuição estatística normal é
aceitável, tendo em vista da ausência de informações adicionais a respeito e pelo fato
desta hipótese ser a favor da segurança, visto o que foi apresentado no capítulo 2.3.4.
Os dados estatísticos fornecidos ao programa são a média, o desvio padrão e os
valores relativos máximos e mínimos para cada variável, ou seja, distâncias com relação
aos valores médios e que dependem do nível de confiança adotado. Usualmente se utiliza
dois ou três desvios-padrão, conforme estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR
11682: 2009 – Estabilidade de Encostas.
Portanto, para esta análise foi considerado dois desvios-padrão para a variação dos
valores relativo máximo e mínimo. Estes dados estatísticos estão apresentados na Tabela
4.2.1.1.
Ressalta-se que, neste trabalho, as variáveis aleatórias correspondem apenas ao
resíduo, sendo, portanto a fundação e o aterro compactado apresentados com seus valores
determinísticos e que, por isso, na Tabela 4.2.1.1 os valores determinísticos estão sendo
descritos como tendo distribuições uniformes.
Tabela 4.2.1.1 - Dados estatísticos dos materiais presentes na seção de estudo.
Material Parâmetro Distribuição Média Desvio
Padrão
Mínimo
Relativo
Máximo
Relativo
Rejeito 𝑆𝑢 (kPa) Normal 22,52 7,13 13,98 13,98
𝑆𝑢/𝑚
(kPa/m)
Normal 4,35 0,90 1,76 1,76
𝛾 (kN/m³) Uniforme 17,00 - - -
Fundação 𝛾 Uniforme 18,50 - - -
𝜑 Uniforme 28º - - -
c Uniforme 5,00 - - -
Aterro
Compactado
𝛾 Uniforme 19,50 - - -
𝜑 Uniforme 27º - - -
c Uniforme 5,00 - - -
115
A probabilidade de ruptura (PR) é calculada pelo quociente entre o número de
análises que resultam em fator de segurança menor que 1 e o número total de análises, de
acordo com a seguinte equação:
𝑷𝑹 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒏á𝒍𝒊𝒔𝒆𝒔 𝑭𝑺 < 𝟏
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒂𝒏á𝒍𝒊𝒔𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒂𝒔𝑿 𝟏𝟎𝟎%
O índice de confiabilidade é calculado assumindo-se que os valores do fator de
segurança possuem uma distribuição normal ou uma distribuição lognormal. Dessa
forma, o índice de confiabilidade para a distribuição normal é:
𝜷 = 𝝁𝑭𝑺 − 𝟏
𝝈𝑭𝑺
Onde:
𝛽 = Índice de confiabilidade ou Reliability Index (RI);
𝜇𝐹𝑆 = Fator de segurança médio;
𝜎𝐹𝑆 = Desvio-padrão do fator de segurança.
Enquanto para uma distribuição lognormal o índice de confiabilidade é calculado
da seguinte forma:
𝜷 =
𝐥𝐧 [𝝁
√𝟏 + 𝑽(𝑭𝑺)²]
√𝐥𝐧[𝟏 + 𝑽(𝑭𝑺)²]
No programa Slide é possível realizar a análise probabilística para duas opções
Global Minimum e Overall Slope. A primeira opção consiste na realização da análise
probabilística apenas na superfície crítica encontrada pelo método determinístico,
chamada de superfície mínima global, e, portanto, a superfície crítica independe dos
valores do conjunto de dados de entrada da análise probabilística, já que já é arbitrado
que a superfície potencial de ruptura é a mesma do método determinístico. Essa opção
116
requer menos esforço computacional, pois a análise probabilística é realizada apenas na
superfície crítica encontrada pelo método determinístico.
Para a segunda opção, Overall Slope, a busca pela superfície probabilística crítica
em todo o talude, é realizada para cada sorteio de amostra (N) das variáveis aleatórias,
sendo N o número de amostras definidas na análise. Isto é, a procura da superfície crítica
é feita para cada conjunto de valores de entrada gerados aleatoriamente (amostra), o que
envolve grande esforço computacional. Embora essa opção exija um maior esforço
computacional, ela apresenta resultados mais representativos do talude por inteiro.
A opção Overall Slope apresenta resultados mais detalhados a respeito do talude
em análise, sendo eles, a superfície probabilística crítica, ou seja, a superfície com menor
índice de confiabilidade, e, portanto maior probabilidade de ruptura; a probabilidade de
ruptura geral do talude com base na distribuição do fator de segurança de todas as
superfícies de ruptura analisadas. Assim a confiabilidade do talude está relacionada a
todas as superfícies probabilísticas geradas e não apenas a superfície probabilística crítica.
Além disso, a superfície de ruptura mínima global avaliada pelo método
determinístico pode não ser a mesma superfície de maior probabilidade de ruptura no
método probabilístico.
Deste modo, para a escolha da opção de análise mais adequada foram realizadas
algumas análises preliminares com o intuito de comparar os resultados e julgar a opção
mais conveniente para este estudo.
Foram realizadas quatro análises a partir da opção Global Minimum: 104, 105
amostras, 106 amostras e 107 amostras, sendo esta última realizada em aproximadamente
1 hora. A Tabela 4.2.1.2 apresenta um resumo dos resultados obtidos.
Para a opção Overall Slope foram realizadas três análises, porém com número de
amostras menores, visto que essa opção envolve um grande esforço computacional. São
elas: 10³ amostras, 5x103 amostras e 104 amostras, sendo esta última realizada em 7 dias.
Não foram feitas análises com amostras maiores devido a indisponibilidade em manter-
se ligado o computador em uso por mais de 7 dias. A Tabela 4.2.1.3 apresenta um resumo
dos resultados obtidos.
É evidente que o esforço computacional em análises Overall Slope é muito
superior ao esforço computacional para análises Global Minimum, conforme mostrado
117
acima. Isso se refletiu na grande diferença no número de amostras utilizadas entre as duas
opções, de maneira a dificultar inclusive a comparação, porém não impedindo-a.
Pode-se observar pela Tabela 4.2.1.2 que os índices de confiabilidade obtidos são
aceitáveis de acordo com o gráfico do USACE (1999) mostrado na Figura 2.3.5.5 e que
não foram obtidos valores menores ou iguais a 1 para o FS, sendo portanto, assumido que
a PR é igual ou menor do que 1/ (nº de amostras).
Através da Figura 4.2.1.1 pode-se observar que a curva de distribuição do FS foi
tendo um melhor ajuste à medida que o número de amostras foi aumentando e que a curva
de melhor ajuste corresponde à distribuição Beta.
A Figura 4.2.1.2 apresenta os gráficos de convergência das análises Global
Minimum. Com base no gráfico de convergência é possível saber se o número de iterações
executadas foi suficiente para uma estimativa acurada do índice de confiabilidade e da
probabilidade de ruptura. Observou-se que convergiu o FS mínimo em todas as análises,
embora tendo melhores resultados à medida que o número de amostras foi aumentando.
Tabela 4.2.1.2 - Resultados obtidos nas análises com a opção Global Minimum.
Análise Nº de
amostras
FS
médio
Desvio-
padrão do
FS
FS
mínimo
FS
máximo PR
β
(Normal)
1 104 2,256 0,390 1,142 3,368 < 10-4 3,221
2 105 2,247 0,387 1,085 3,407 < 10-5 3,227
3 106 2,246 0,386 1,080 3,413 < 10-6 3,228
4 107 2,252 0,387 1,075 3,429 < 10-7 3,236
Pode-se observar pela Tabela 4.2.1.3 que não se observou uma relação de melhora
no índice de confiabilidade e consequente redução da probabilidade de ruptura do talude.
Isso demonstra que a quantidade de amostras não foi suficiente para uma avaliação
confiável através da análise Overall Slope, sendo necessárias análises com amostras
superiores. Porém, o tempo necessário para a análise é cada vez maior para análises com
amostras maiores, dificultando assim a realização destas análises, conforme apresentado
no item 2.3.10.1. Portanto fica evidente neste caso que o esforço computacional é um
118
complicador para a realização das simulações de Monte Carlo, sendo esta a principal
desvantagem da simulação de Monte Carlo para este tipo de análise (Overall Slope).
Observou-se também, pelos histogramas apresentados na Figura 4.2.1.3, que a
curva de distribuição Normal foi a curva de melhor ajuste para o FS nas análises 5 e 6,
enquanto que para a análise 7 a curva de melhor ajuste foi a de distribuição Beta, embora
não tenham apresentado um ajuste tão bom quanto dos histogramas para a análise Global
Minimum. Os gráficos de convergência para o FS mínimo apresentaram uma melhor
convergência à medida que o número de amostras nas análises foi aumentando (Figura
4.2.1.4).
Dessa forma, pode-se concluir que a quantidade de amostras para as análises feitas
com a opção Overall Slope não foram suficientemente grandes para uma avaliação
adequada da probabilidade de ruptura e do índice de confiabilidade da seção em estudo e
que, portanto, é mais adequado utilizar os resultados obtidos das análises Global
Minimum.
Tabela 4.2.1.3 - Resumo dos resultados obtidos nas análises com a opção Overall Slope.
Análise Nº de
amostras
FS
médio
Desvio-
padrão
do FS
FS
mínimo
FS
máximo PR
β
(Normal)
5 103 2,259 0,382 1,089 3,369 < 10-3 3,296
6 5x103 2,253 0,386 1,218 3,385 < 2x10-4 3,250
7 104 2,250 0,387 1,139 3,354 < 10-4 3,221
119
Figura 4.2.1.1 – Histogramas do FS das análises Global Minimum (análises 1, 2, 3 e 4)
obtidos pelo programa Slide.
120
Figura 4.2.1.2 - Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Global Minimum
(análises 1, 2, 3 e 4) obtidos pelo programa Slide.
121
Figura 4.2.1.3 – Histogramas do FS das análises Overall Slope (análises 5, 6 e 7)
obtidos pelo programa Slide.
122
Figura 4.2.1.4 - Gráficos de convergência para o FS mínimo das análises Overall Slope
(análises 5, 6 e 7) obtidos pelo programa Slide.
123
A seguir são mostradas as discussões dos resultados da análise probabilística da
estabilidade do depósito para ruptura circular considerando o método de estabilidade de
Bishop simplificado para o caso normal de operação.
A Figura 4.2.1.5 apresenta o resultado probabilístico para a superfície crítica
obtida da análise determinística (Global Minimum) para a análise 4 com 107 amostras.
Figura 4.2.1.5 - Análise probabilística para a superfície crítica determinística obtida pelo
programa Slide.
Os resultados da análise probabilística estão resumidos na Tabela 4.2.1.4 a seguir.
Tabela 4.2.1.4 - Resultados da análise probabilística.
𝜇𝐹𝑆 (FS médio)
𝜎𝐹𝑆
(Desvio-padrão
do FS)
FS
mínimo
FS
máximo
Probabilidade
de ruptura
(PR)
2,252 0,387 1,075 3,429 < 10-7
Analisando os resultados resumidos na Tabela 4.2.1.4 é possível observar que a
análise probabilística da superfície crítica determinística forneceu fator de segurança
médio igual a 2,252 e desvio-padrão de 0,387. Dentre as amostras sorteadas
aleatoriamente, sendo um total de 107 amostras, o menor fator de segurança encontrado
foi 1,075 e o maior fator de segurança encontrado foi de 3,429 para a superfície potencial
crítica mostrada na Figura 4.2.1.5.
Embora a probabilidade de ruptura mostrada na Figura 4.2.1.5 seja de 0,000%, ou
seja, não sendo obtidos valores menores ou iguais a 1 para o FS, como foram sorteadas
107 amostras, pode-se supor que a probabilidade de ruptura é inferior a < 10-7 (1/107).
124
Na Figura 4.2.1.6 observa-se o histograma do fator de segurança (variável
dependente) versus frequência, considerando-se a execução de 107 análises. Nesta figura
é exibida a melhor curva que descreve a distribuição do FS, neste caso, a distribuição
Beta. Pela distribuição Beta não é possível o cálculo do índice de confiabilidade, somente
é possível para curvas de distribuição normal ou lognormal para o FS.
Portanto, a interpretação será feita apenas através da probabilidade de ruptura
(PR). De acordo com o gráfico sugerido pelo USACE (1999) apresentado no item 2.3.5,
uma probabilidade igual ou inferior a 10-7 demonstra que a estrutura apresenta
desempenho alto.
Figura 4.2.1.6 - Distribuição Beta do FS (107 análise) obtido pelo programa Slide.
Segundo o Departamento de Planejamento de Hong Kong e o ANCOLD esta
estimativa de PR é considerada aceitável se o número de perdas de vida for até 100
pessoas e é considerada tolerável se a estimativa para perdas de vida for até 1000 pessoas
(Figura 2.3.7.2 e Figura 2.3.7.3). Para estimativas maiores de perdas de vida este valor de
PR é considerado inaceitável.
Segundo a US Bureau of Reclamation, esta estimativa de PR é considerada
aceitável se o número de perdas de vida for até 200 pessoas e é considerada tolerável se
a estimativa para perdas de vida for até 1000 pessoas.
Porém ressalta-se que estes gráficos apresentam uma abordagem mais qualitativa
e preliminar, conforme visto no item 2.3.7, e que é boa prática a busca pela minimização
125
de perdas de vida inclusive inferiores aos que foram mostrados nos gráficos citados
anteriormente.
Além disso o estudo baseou-se em dados obtidos exclusivamente de ensaios de
palheta. No entanto, uma campanha de investigações de campo que incluam outros tipos
de ensaios em conjunto com uma campanha de investigações de laboratório poderiam dar
melhores subsídios a análise probabilística da estabilidade do depósito de rejeitos.
É importante destacar que a PR devido ao modo de falha de instabilização do
talude não é um parâmetro que deve ser avaliado isoladamente, mas acompanhado de
outros parâmetros de avaliação para outros modos de falha possíveis em barragens,
conforme vistos no item 2.1.4 e em conjunto com a avaliação dos danos potenciais,
especialmente as perdas de vida e aos danos ambientais.
126
4.2.2. Método das Estimativas Pontuais
No presente trabalho, o resíduo é o material para o qual determinou-se a variação
da resistência não drenada com a profundidade através de uma relação linear. Portanto,
os parâmetros da reta, a e b, referem-se às duas variáveis aleatórias de entrada. Dessa
forma, tem-se que:
Coeficiente linear da reta correspondente a a = 𝑋1;
Coeficiente angular da reta correspondente a b = 𝑋2;
Como a função depende de duas variáveis aleatórias, temos então quatro
estimativas pontuais, correspondentes a todas as combinações de duas estimativas para
cada variável aleatória, conforme apresentada metodologia no item 2.3.10.2. As quatro
estimativas pontuais se encontram na Tabela 4.2.2.1.
Assume-se que as funções densidade de probabilidade apresentam distribuição
normal para as duas variáveis, dessa forma as distribuições destas variáveis não
apresentam assimetria 𝜈.
É importante destacar que os pesos de probabilidade (P) são iguais para cada uma
das quatro combinações, pois foi assumido não existir correlação entre as variáveis
aleatórias, o que é a favor da segurança conforme visto no capitulo 2.3.3.
A partir das estimativas para as quatro retas, as quais representam a função da
resistência não drenada com a profundidade, foram realizadas quatro análises de
estabilidade da seção estudada deste depósito pelo programa Slide (Tabela 4.2.2.2).
Tabela 4.2.2.1 – Combinações para as estimativas pontuais dos parâmetros a e b da reta
de resistência não drenada (Su).
a (kN/m²) b (kN/m²/m)
𝜇𝑋1+ 𝜎𝑋1
𝜇𝑋2+ 𝜎𝑋2
𝜇𝑋1+ 𝜎𝑋1
𝜇𝑋2− 𝜎𝑋2
𝜇𝑋1− 𝜎𝑋1
𝜇𝑋2+ 𝜎𝑋2
𝜇𝑋1− 𝜎𝑋1
𝜇𝑋2− 𝜎𝑋2
127
Tabela 4.2.2.2 - Estimativas pontuais das variáveis aleatórias correspondentes as
quatro retas de resistência não drenada (Su) com a profundidade.
Análise a (kN/m²) b (kN/m²/m)
1 15,39 3,45
2 29,65 3,45
3 15,39 5,25
4 29,65 5,25
A seguir são apresentados os resultados das quatro análises de estabilidade realizadas.
Figura 4.2.2.1 - Análise de estabilidade da seção do
depósito em estudo considerando a análise 1.
Figura 4.2.2.2 – Análise de estabilidade da seção do
depósito em estudo considerando a análise 2.
128
Figura 4.2.2.3 - Análise de estabilidade da seção do
depósito em estudo considerando a análise 3.
Figura 4.2.2.4 - Análise de estabilidade da seção do
depósito em estudo considerando a análise 4.
A partir do resultado obtido para o fator de segurança em cada análise de estabilidade,
realizou-se o cálculo para os dois primeiros momentos do fator de segurança, o fator de
segurança médio: 𝜇𝐹𝑆 e a variância 𝜎𝐹𝑆2 , conforme apresentado no item 2.3.10.2. Os
resultados são indicados na tabela abaixo, sendo P referente ao peso de probabilidade e
FS referente ao fator de segurança.
Caso Análise P FS P*FS P*FS²
- - 1 0,25 1,6502 0,4126 0,6808
+ - 2 0,25 2,4239 0,6060 1,4688
- + 3 0,25 2,0711 0,5178 1,0724
+ + 4 0,25 2,8519 0,7130 2,0333
129
A estimativa da média e do desvio padrão do FS são indicadas a seguir:
𝜇𝐹𝑆 = 𝐸[𝐹𝑆] ≃ ∑ 𝑃𝑖𝐹𝑆𝑖
2𝑛
𝑖=1
= 0,4126 + 0,6060 + 0,5178 + 0,7130 = 2,2493
𝜎𝐹𝑆2 = 𝐸[(𝐹𝑆 − 𝜇𝐹𝑆)2] ≃ ∑ 𝑃𝑖(𝐹𝑆𝑖 − 𝜇𝐹𝑆)²
2𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑃𝑖𝐹𝑆𝑖2
2𝑛
𝑖=1
− 𝜇𝐹𝑆2
= 0,6808 + 1,4688 + 1,0724 + 2,0334 − 2,24932 = 0,1961
𝜎𝐹𝑆 = √0,1961 = 0,4428
Resumindo, os valores esperados para média e desvio-padrão do FS são:
Tabela 4.2.2.3 - Valores esperados para média e desvio-padrão do FS.
Método das Estimativas Pontuais
𝜇𝐹𝑆 2,249
𝜎𝐹𝑆 0,443
A probabilidade de ruptura foi calculada de duas formas, assumindo uma
distribuição Normal e assumindo uma distribuição Lognormal para o fator de segurança,
visto que estas duas distribuições são mais aplicadas na engenharia geotécnica, conforme
visto no item 2.3.4.
Uma distribuição Normal foi assumida para o FS. Portanto, utilizando-se de um
comando do Excel® podemos calcular a PR da seguinte maneira:
PR = DIST. NORMAL. N(1; 𝜇𝐹𝑆 ; 𝜎𝐹𝑆;VERDADEIRO) =
PR = DIST. NORMAL. N(1; 2,249 ; 0,443;VERDADEIRO) =
PR = 2,4 ∙ 10−3
Considerando uma distribuição Lognormal para o FS e utilizando-se do programa
Excel, tem-se:
PR = DIST. LOGNORMAL. N(1; 𝜇𝐹𝑆 ; 𝜎𝐹𝑆;VERDADEIRO) =
PR = DIST. LOGNORMAL. N(1; 2,249 ; 0,443;VERDADEIRO) =
PR = 1,9 ∙ 10−7
130
Pelo que se pode observar os resultados obtidos são distintos, apresentando uma
diferença da ordem de 104.
Como a distribuição Normal leva em consideração valores negativos, o que não
corresponde a possíveis soluções para o fator de segurança, então se utilizou do cálculo
obtido considerando uma distribuição Lognormal para o fator de segurança.
131
4.3. Resultados e discussões das análises determinísticas e probabilísticas
4.3.1. Análise determinística 1 versus Análise determinística 2
Os resultados obtidos pelas análises determinísticas 1 (baseada nos valores médios
obtidos da reta de regressão) e análise determinística 2 (baseada no critério
semiprobabilístico estabelecido no anexo D da norma ABNT NBR 11682:2009 –
Estabilidade de encostas, para a estimativa dos parâmetros de resistência do material do
rejeito) estão resumidos na Tabela 4.3.1.1.
Tabela 4.3.1.1 - Resultados das análises determinísticas.
Como se pode observar, os fatores de segurança obtidos pelas duas análises
determinísticas foram discrepantes, isso acontece porque foram utilizadas metodologias
diferentes associadas ao tratamento estatístico dos dados dos ensaios de campo.
Enquanto a análise determinística 1 baseou-se na consideração dos valores médios
dos parâmetros, os quais foram obtidos pela reta de regressão, a análise determinística 2
foi realizada utilizando-se de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT
NBR 11682:2009, levando-se em consideração o limite inferior da reta média para a
resistência não drenada – Su embora mantendo-se a taxa de crescimento da resistência
não drenada com a profundidade da mesma forma que na reta de regressão.
Portanto, observou-se, pela análise determinística 1, que não é conveniente a
utilização dos valores médios porque não leva em consideração as incertezas dos
parâmetros de resistência estimados para o rejeito, e que podem levar a uma superfície
potencial de ruptura com fator de segurança inferior ao encontrado nesta análise.
Já pela análise determinística 2, observou-se que uso de critério semiprobabilístico
estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009, permitindo uma incorporação mais
efetiva das incertezas para a estimativa dos parâmetros de resistência do material do
rejeito, levou a um resultado mais a favor da segurança.
Análise determinística 1 Análise determinística 2
Método FS Método FS
Bishop simplificado 2,247 Bishop simplificado 1,479
Spencer 2,246 Spencer 1,480
Morgenstern-Price 2,248 Morgenstern-Price 1,480
132
Portanto, a interpretação dos parâmetros geotécnicos determinísticos utilizando-
se de critério semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009 para as
estimativas dos parâmetros de resistência do material do rejeito a partir da análise de
regressão linear feita através dos dados de ensaios de campo e de laboratório é de suma
importância para estudos e projetos de engenharia.
4.3.2. Simulação de Monte Carlo versus Método das Estimativas Pontuais
Os resultados das análises probabilísticas de estabilidade do depósito de rejeitos
através do Método das Estimativas Pontuais e da simulação de Monte Carlo estão
apresentados na Tabela 4.3.2.1.
Tabela 4.3.2.1 - Resumo dos resultados obtidos das análises probabilísticas de
estabilidade do depósito.
Pode-se observar que o FS médio para as duas análises probabilísticas
apresentaram valores idênticos, se aproximados até a segunda casa decimal (𝜇𝐹𝑆=2,25),
enquanto que os desvios-padrão médios apresentaram resultados iguais, se aproximados
até a primeira casa decimal (𝜎𝐹𝑆 = 0,4).
Portanto, os dois métodos de análises probabilísticas apresentaram resultados
aproximados para a estimativa do 𝜇𝐹𝑆 e 𝜎𝐹𝑆.
Os resultados das probabilidades de ruptura pelos dois métodos apresentaram
valores bem aproximados se considerarmos a PR calculada assumindo uma distribuição
lognormal para o FS, observando que a PR pelo método das estimativas pontuais foi
obtida indiretamente, a partir de um comando do Excel.
Assumiu-se o valor obtido para a probabilidade de ruptura obtida pela simulação
de Monte Carlo, isto é, 10-7, visto que a simulação de Monte Carlo se ajusta a qualquer
Método das Estimativas
Pontuais
Simulação de
Monte Carlo
𝜇𝐹𝑆(FS médio) 2,249 2,252
𝜎𝐹𝑆 (Desvio-
padrão do FS) 0,443 0,387
Probabilidade de
ruptura (PR) 1,9 x10-7 < 10-7
133
distribuição e portanto foi tomada como referência. A partir de então analisou-se este
resultado considerando os níveis aceitáveis de desempenho de projetos elaborados por
instituições internacionais, como mostrado no item 2.3.7.
De acordo com o US Army Corpy of Engineers, uma probabilidade de ruptura de
10-7 permite concluir que o desempenho do depósito de rejeito é considerado alto.
Os “F-N charts”, apresentados no capítulo 2.3.7, estão novamente expostos neste
capítulo, porém, apresentados de maneira a possibilitar a interpretação do valor
encontrado da PR pelo método da simulação de Monte Carlo.
De acordo com o ábaco proposto pelo Departamento de Planejamento de Hong
Kong (Figura 4.3.2.1) e o proposto pelo ANCOLD (Figura 4.3.2.2), o número de perda
de vidas aceitáveis é de 1 a 100 pessoas (faixa em amarelo na Figura 4.3.2.1 e na Figura
4.3.2.2) enquanto que o número de perdas de vida toleráveis varia de 100 a 1000 pessoas
(faixa em vermelho na Figura 4.3.2.1 e na Figura 4.3.2.2). Porém ressalta-se que estes
gráficos apresentam uma abordagem mais qualitativa e preliminar, conforme visto no
item 2.3.7, e que é boa prática a busca pela minimização de perdas de vida, inclusive para
números inferiores aos que foram mostrados nos gráficos citados anteriormente. Além
disso estes gráficos foram construídos com base em frequências observadas ao longo de
anos e não devem servir necessariamente como parâmetros para estudar probabilidades
de rupturas por ano.
134
Figura 4.3.2.1 - Risco social aceitável proposto pelo Departamento de Planejamento de
Hong Kong par encostas considerando a PR de projeto (Adaptado de BAECHER &
CHRISTIAN, 2003).
Figura 4.3.2.2 - F-N chart (US Bureau of Reclamation) considerando o resultado da
PR de projeto (Adaptado de BAECHER & CHRISTIAN, 2003).
135
4.3.3. Análises determinísticas versus Análises probabilísticas
Comparando-se os resultados obtidos pelos métodos determinísticos e
probabilísticos, é possível observar que através da análise determinística 1, método de
Rosenblueth e simulação de Monte Carlo, os resultados para o fator de segurança foram
aproximados (Tabela 4.3.3.1). Porém, a análise probabilística fornece mais informações
a respeito da performance da estrutura, pois permite obter a probabilidade de ruptura e o
índice de confiabilidade.
Tabela 4.3.3.1 - Fator de segurança encontrados para as análises realizadas.
Embora a estimativa da probabilidade de ruptura tenha apresentado um valor
tecnicamente aceitável em projeto de barragem (<10-7), de acordo com o critério sugerido
pelo USACE (1999) apresentado na Figura 2.3.5.5, a probabilidade de se ter um fator de
segurança inferior ao fator de segurança obtido da análise determinística 1, isto é, FS <
2,25; é alta, em torno de 50% (Figura 4.3.3.1). De modo que a análise determinística
utilizando-se dos valores médios não é consistente, pois não incorpora as incertezas, como
demonstrado pela grande quantidade de amostras de variáveis aleatórias que contribuíram
para gerar superfícies potencias críticas com fatores de segurança inferiores ao valor
encontrado na análise determinística 1.
A análise determinística 2 foi realizada levando-se em conta o uso de critério
semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009, para as estimativas
dos parâmetros de resistência do material do rejeito, ou seja, a partir de um julgamento
mais adequado ao tratamento estatístico dos resultados dos ensaios e, portanto, apresentou
um resultado mais realista (Tabela 4.3.3.1).
Dessa forma, o resultado para o FS pela análise determinística 2 foi aceitável
(1,48), porém, a análise probabilística forneceu mais informações a respeito da
performance da estrutura, pela obtenção da probabilidade de ruptura. Assim, a
probabilidade de ruptura pela análise probabilística por Monte Carlo apresentou um valor
que demonstra que o projeto apresenta uma performance muito boa (<10-7).
Método das
Estimativas
Pontuais
Simulação de
Monte Carlo
Análise
determinística 1
Análise
determinística 2
2,249 2,252 2,247 1,479
136
Além disso, a probabilidade de se obter um fator de segurança menor do que o
valor obtido na análise determinística 2 foi de apenas 2%, como mostra a Figura 4.3.3.2.
Portanto, observou-se que a análise probabilística pelo método de Monte Carlo e
a análise determinística 2, apresentaram resultados bem mais aproximados.
Dessa forma, análises determinísticas realizadas levando-se em consideração
critério semiprobabilístico apresentam-se mais consistentes do que análises
determinísticas realizadas a partir de parâmetros de resistência médios visto que, aquelas,
aproximam-se das análises probabilísticas.
Figura 4.3.3.1 – Gráfico de frequência acumulada do FS considerando a análise
com 107 amostras, destacando a probabilidade de se ter amostras as quais resultam em
FS < 2,25 obtido pelo programa Slide.
Figura 4.3.3.2 - Gráfico de frequência acumulada do FS considerando a análise
com 107 amostras, destacando a probabilidade de se ter amostras as quais resultam em
FS < 1,48 obtido pelo programa Slide.
50%
2%
137
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise determinística 1 considerando os valores médios obtidos da reta de
regressão apresentou um fator de segurança muito alto, o que não aparenta ser a favor da
segurança, pois não dá a devida consideração às incertezas dos parâmetros de resistência
do material do rejeito devido à grande variabilidade observada nos resultados dos ensaios
de palheta e que podem condicionar a segurança do depósito.
A análise determinística 2 a qual foi realizada considerando para a resistência não
drenada – Su (parâmetro a da reta) o limite inferior da reta média, e para a variação da
resistência não drenada com a profundidade (parâmetro b da reta) a reta de regressão,
resultou em um fator de segurança mais realista, sendo a favor da segurança.
Portanto, embora a análise determinística 2 tenha sido executada com os
parâmetros determinísticos, ela foi baseada em critério semiprobabilístico para a
estimativa dos parâmetros de resistência do material do rejeito, conforme consta no anexo
D da norma ABNT NBR 11682:2009.
Dessa forma, evidencia-se que a análise determinística 2 forneceu resultados mais
realistas e podem ser vistas com potencialidade para aplicações na estabilidade de taludes.
Com relação às análises probabilísticas realizadas, embora a simulação de Monte
Carlo seja mais eficiente para avaliações analíticas mais complexas, observou-se que pelo
método das estimativas pontuais e pela simulação de Monte Carlo foram obtidos
resultados para FS médio, desvio-padrão médio e probabilidade de ruptura aproximados.
Embora os procedimentos pelo método de Rosenblueth sejam mais elucidativos,
demonstrou-se ser um método alternativo de análise o qual apresentou resultados
confiáveis e mais rápidos, tendo em vista que a simulação de Monte Carlo exige maior
esforço computacional.
Pode-se concluir também, que, para a estimativa da probabilidade de ruptura pelo
método de Rosenblueth, foi mais conveniente considerar uma distribuição lognormal para
o FS visto que, a distribuição Normal leva em consideração números negativos.
Além disso, a PR foi definida considerando-se a simulação de Monte Carlo, ou
seja, o valor de 10-7, pois esta é mais eficiente para avaliações analíticas mais complexas.
Embora este valor de probabilidade de ruptura possa ser considerado tecnicamente
aceitável para projetos de barragem, tendo em vistas as análises pelos gráficos de
138
probabilidade anual de ruptura versus número de mortes sugeridos por ANCOLD, BC
Hydro (empresa canadense de eletricidade do estado de British Columbia) e
Departamento de Planejamento de Hong Kong, é mais indicado sua análise para estudos
preliminares e qualitativos. Adicionalmente, a PR não deve ser analisada de maneira
isolada, visto que para a análise de riscos é fundamental estimar os danos potenciais
associados na ocorrência de evento de ruptura.
Neste trabalho buscou-se a avaliação da probabilidade de ruptura considerando o
modo de falha referente a estabilidade estática, porém, em uma análise de riscos é
necessária a avaliação de outros modos de falha possíveis e relacioná-los aos seus danos
potencias, o que consiste na avaliação de riscos propriamente dita.
Comparando-se os resultados obtidos pelos métodos determinísticos e
probabilísticos, pode-se observar, através da análise determinística 1, método de
Rosenblueth e simulação de Monte Carlo, que os resultados referentes ao fator de
segurança foram aproximados. Porém a probabilidade de se obter um fator de segurança
inferior ao valor médio da análise determinística 1 foi alto (50%), o que torna
inconsistente o uso dos parâmetros médios sem consideração das incertezas em análises
determinísticas.
Comparando-se os resultados obtidos das análises probabilísticas e da análise
determinística 2, esta última apresentou um FS mais realista (1,48), visto que foi
incorporado um tratamento estatístico, tendo sido considerado o uso de critério
semiprobabilístico estabelecido na norma ABNT NBR 11682:2009, para as estimativas
dos parâmetros de resistência do material do rejeito, o que aparenta ser seguro o depósito
em estudo. Na análise probabilística este aspecto é confirmado, visto que a probabilidade
de ruptura apresentou um valor tecnicamente adequado em projeto de barragem (<10-7),
conforme critério do USACE (Figura 2.3.5.5).
Finalmente, o tratamento estatístico dos dados de ensaios de campo pela análise
de regressão linear em conjunto com os limites de confiança (devido às incertezas)
mostrou-se como objeto de grande relevância para aplicação na análise de estabilidade de
talude, sendo adequado para adoção em projetos com prazos exíguos, não exigindo muito
tempo para a realização, visto que se pode automatizá-lo através do programa Excel ou
outros programas similares.
139
Porém a simulação de Monte Carlo exige um tempo consideravelmente alto para
as análises Overall Slope, tornando-se pouco prático, dessa forma, sugere-se que as
análises probabilísticas sejam realizadas apenas na superfície potencial crítica encontrada
pelo método determinístico (Global Minimum) pois reduz o tempo da análise, já que cada
iteração só é realizada em uma única superfície de ruptura.
Ainda deve-se levar em consideração nas análises probabilísticas pelo método de
Monte Carlo um número de amostras adequado, o qual pode ser confirmado se os fatores
de segurança médio e mínimo tiverem convergido.
Caso a probabilidade de ruptura seja nula, mesmo tendo convergido o fator de
segurança médio e mínimo, deve-se estabelecer para a probabilidade de ruptura o valor
inferior a 1/ (nº de amostras). Neste caso, o número de amostras deve ser compatível com
o critério aceitável de probabilidade de ruptura, para o tipo de estrutura geotécnica em
estudo, de acordo com o recomendado por diversas instituições ou, então, normas e
diretrizes correspondentes ao local de construção.
Para uma abordagem probabilística mais rápida para a análise de estabilidade de
taludes, recomenda-se a aplicação do método de Rosenblueth, pois, não há prejuízos
quanto a eficiência dos resultados obtidos para o fator de segurança médio, seu desvio-
padrão e probabilidade de ruptura (considerando uma distribuição lognormal para o FS).
Assim demonstrou-se ser um método probabilístico adequado.
Sugere-se que sejam aplicados as duas metodologias de abordagem probabilísticas
em conjunto para que sejam comparados seus resultados e checadas as adequabilidades
pelos dois métodos.
140
6. TRABALHOS FUTUROS
O estudo baseou-se em dados obtidos exclusivamente de ensaios de palheta. No
entanto, uma campanha de investigações de campo que incluam outros tipos de ensaios
em conjunto com uma campanha de investigações de laboratório poderiam dar melhores
subsídios a análise probabilística da estabilidade do depósito de rejeitos.
A inclusão de uma abordagem probabilística mais sofisticada (conforme descrita
no capítulo 2.3.8) a qual diz respeito à modelagem da resistência do solo usando campos
aleatórios, poderá ser considerada em trabalhos futuros como forma de refinar a análise,
cujo resultado poderá ser comparado com os obtidos neste trabalho. Este tipo de
abordagem é vantajosa pois permite modelar o solo de maneira mais realista e estudar
complexidades dos materiais envolvidos nas análises, já que o resíduo apresenta diversos
fatores os quais contribuem para sua heterogeneidade ao longo de todo o depósito. Isso
também inclui o estudo dos coeficientes de correlação entre as variáveis existentes no
problema. Contudo é imprescindível que o método de análise seja capaz de modelar
corretamente a interdependência entre solicitações e resistências ao cisalhamento.
141
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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145
APÊNDICE A – REGRESSÃO LINEAR
A análise de regressão tem por objetivo estudar a relação entre variáveis
independentes e a variável dependente. Essa relação é representada por um modelo
matemático chamado de modelo de regressão linear simples para caracterizar a relação
entre a variável dependente e uma variável independente. Este tipo de regressão foi a
utilizada neste trabalho para relacionar a resistência não drenada (Su) do material do
rejeito, variável dependente, e a profundidade, variável independente.
Assim temos que:
Y = A + Bx
Sendo
X = variável independente (profundidade em metros);
Y = variável dependente (resistência não drenada);
A = coeficiente de regressão que representa o intercepto;
B = coeficiente de regressão que representa a inclinação;
Dadas as N observações (ou seja, os 36 dados de ensaios de palheta) da variável
𝑋: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … 𝑥𝑛 obtemos N variáveis aleatórias 𝑌 = 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 … 𝑦𝑛, as quais devem
satisfazer o seguinte modelo:
𝑦𝑖 = 𝐴 + 𝐵𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁.
Fazendo ∑[𝑦𝑖 − (𝐴 + 𝐵𝑥𝑖)]² o mínimo possível, ou seja, encontrando os valores
de A e B que minimizam essa função (método dos mínimos quadrados).
A partir da derivada com relação a A e B, podemos chegar as equações que
definem o intercepto e a inclinação:
�̂� =∑ 𝑥² ∑ 𝑦2 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥𝑦
𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥 )2
�̂� =𝑁 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥 )2
146
Os cálculos dos coeficientes de regressão foram realizados no programa Excel,
sendo os dados utilizados para os cálculos desses coeficientes mostrados abaixo:
Tabela I. 1 – Tratamento estatístico dos dados para a regressão linear.
Su (kPa) Prof xy x² y² Regressão
Linear
34,50 2,00 69,00 4,00 1190,25 31,21
89,96 2,00 179,93 4,00 8093,54 31,21
97,12 2,00 194,24 4,00 9432,36 31,21
39,10 2,00 78,21 4,00 1529,10 31,21
16,10 2,00 32,20 4,00 259,26 31,21
19,68 3,00 59,04 9,00 387,29 35,55
37,06 3,00 111,18 9,00 1373,37 35,55
16,87 3,00 50,60 9,00 284,54 35,55
55,71 4,00 222,84 16,00 3103,60 39,90
20,45 4,00 81,79 16,00 418,05 39,90
32,46 4,00 129,83 16,00 1053,56 39,90
39,36 4,00 157,44 16,00 1549,15 39,90
19,94 4,00 79,74 16,00 397,41 39,90
17,89 4,00 71,56 16,00 320,07 39,90
32,46 5,00 162,29 25,00 1053,56 44,24
11,76 5,00 58,78 25,00 138,22 44,24
60,82 6,00 364,92 36,00 3699,07 48,59
37,57 6,00 225,42 36,00 1411,52 48,59
87,41 6,00 524,45 36,00 7640,21 48,59
56,23 6,00 337,37 36,00 3161,54 48,59
50,09 6,00 300,56 36,00 2509,37 48,59
19,17 6,00 115,01 36,00 367,43 48,59
42,17 7,00 295,19 49,00 1778,37 52,93
31,95 7,00 223,63 49,00 1020,64 52,93
79,74 8,00 637,92 64,00 6358,47 57,28
59,55 8,00 476,40 64,00 3546,21 57,28
49,84 8,00 398,70 64,00 2483,83 57,28
64,40 10,00 644,00 100,00 4147,36 65,97
42,17 10,00 421,71 100,00 1778,37 65,97
54,44 10,00 544,38 100,00 2963,55 65,97
71,05 12,00 852,60 144,00 5048,10 74,66
81,79 12,00 981,43 144,00 6688,87 74,66
112,45 14,00 1574,30 196,00 12645,00 83,35
79,74 14,00 1116,37 196,00 6358,61 83,35
93,54 16,00 1496,64 256,00 8749,73 92,05
112,20 18,00 2019,60 324,00 12588,84 100,74
∑ 1866,72 243,00 15289,29 2259,00 125528,45 1866,72
147
Dessa forma obtemos os parâmetros da reta de regressão:
𝑌 = �̂� + �̂�𝑋
𝑌 = 22,52 + 4,35𝑋
O coeficiente de correlação foi calculado da seguinte maneira:
𝜌 =𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎[𝑋]𝜎[𝑌]=
𝑁 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦
√[𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥 )2][𝑁 ∑ 𝑦2 − (∑ 𝑦 )
2]
𝜌 = 0,64
sendo:
𝜎[𝑋]= desvio-padrão de X (profundidade);
𝜎[𝑌]= desvio-padrão de Y (resistência não drenada);
A partir de então são calculados os limites de confiança da reta média (reta de
regressão) e dos pontos individuais conforme descrito no item 2.3.2 da revisão
bibliográfica e que serão apresentados neste apêndice apenas os cálculos realizados. Para
estes cálculos foram utilizados os dados apresentados na tabela abaixo:
148
Tabela I. 2 – Dados utilizados para os cálculos dos limites de confiança.
(𝒚𝒊-�̂�)² (𝒙𝒊 − �̅�)²
507,1403796 45,5625
10,81607863 22,5625
3451,899856 22,5625
4344,010189 22,5625
62,2914053 22,5625
228,3027848 22,5625
252,0885092 14,0625
2,256397966 14,0625
349,2665068 14,0625
249,8719651 7,5625
378,5467097 7,5625
55,41352569 7,5625
0,295252608 7,5625
398,6985194 7,5625
484,5314411 7,5625
138,9981356 3,0625
1055,711285 3,0625
149,4725625 0,5625
121,5257515 0,5625
1506,541307 0,5625
58,26961477 0,5625
2,248615443 0,5625
865,8669735 0,5625
115,9747281 0,0625
440,678692 0,0625
504,2025694 1,5625
5,128183661 1,5625
55,46500527 1,5625
2,486885826 10,5625
566,7408229 10,5625
133,1367162 10,5625
13,09302169 27,5625
50,65323472 27,5625
846,2356735 52,5625
13,09695531 52,5625
2,216193197 85,5625
131,268501 126,5625
∑ 17047,30 618,75
149
𝑀𝑆𝐸 = ∑(𝑦𝑖 − �̂�)2
𝑁 − 2= 501,39
𝑉[�̂�]𝑚é𝑑𝑖𝑎
= 𝑀𝑆𝐸 [1
𝑁+
(�̅�)2
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2] = 50,85
𝑉[�̂�]𝑃 = 𝑉[�̂�]𝑚é𝑑𝑖𝑎 + 𝑀𝑆𝐸 = 552,24
𝑉[�̂�]𝑚é𝑑𝑖𝑎
= 𝑀𝑆𝐸
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2= 0,81
𝑉[�̂�]𝑃 = 𝑉[�̂�]𝑚é𝑑𝑖𝑎 + 𝑀𝑆𝐸 = 502,21
Como os limites dos pontos individuais englobam valores muito extremos,
conforme podem ser vistos pelas variâncias 𝑉[�̂�]𝑃 e 𝑉[�̂�]𝑃 e pela Figura 3.3.1.3, eles não
foram utilizados no trabalho.
Assim, apenas os limites da média foram utilizados no presente estudo. Portanto,
os desvios-padrão dos coeficiente �̂� 𝑒 �̂� são:
𝑺[�̂�]𝒎é𝒅𝒊𝒂
= 7,13
𝑺[�̂�]𝒎é𝒅𝒊𝒂
= 0,90
Portanto:
𝑌 = (�̂� ± 𝑺[�̂�]𝒎é𝒅𝒊𝒂
) + (�̂� ± 𝑺[�̂�]𝒎é𝒅𝒊𝒂
) 𝑋
𝑌 = (22,52 ± 7,13) + (4,35 ± 0,90)𝑋
Para a análise determinística 1 foram utilizados os valores médios:
𝑌 = (22,52) + (4,35)𝑋
Para a análise determinística 2 foram utilizados o limite inferior da reta média para
o coeficiente do intercepto considerando 2 𝜎 e para o coeficiente de inclinação a reta de
regressão:
𝑌 = (8,55) + (4,35)𝑋
150
Para a análise probabilística pela simulação de Monte Carlo considerando 2 𝜎:
𝑌 = (22,52 ± 13,98) + (4,35 ± 1,76)𝑋
Para a análise probabilística pelo Método das Estimativas Pontuais as quatro
combinações, como mostradas na Tabela 4.2.2.1 e a seguir:
𝑌 = (15,39) + (3,45)𝑋
𝑌 = (29,65) + (3,45)𝑋
𝑌 = (15,39) + (5,25)𝑋
𝑌 = (29,65) + (5,25)𝑋