INDICE
1. Definición de trigonometría…………………………………………………………....2
2. Estudio de las principales funciones…………………………………………………3
2.1. Sen x……………………………………………………………………..…..3
2.2. Cos x……………………………………………………………………..…..5
2.3. Tg x………………………………………………………………………..….7
3. Estudio de las funciones inversas para el producto……………………..………..9
3.1. y = cotg x……………………………………………………………………10
3.2. y = sec x………………………………………………………………….….11
3.3. y = cosec x…………………………………………………………………..12
4. Funciones reciprocas……………………………………………………………….…..13
4.1. y = arc sen x………………………………………………………..….……14
4.2. y = arc cos x…………………………………………………………………14
4.3. y = arc tg x…………………………………………………………………..15
5. Grafica de la función sen x – arc sen x………………………………..…………….16
6. Mas información…………………………………………………………………………17
7. Bibliografía………………………………………………………………………..……….20
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1. DEFINICION DE TRIGONOMETRIA
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y
los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la
geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la
distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones
trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio
de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud
de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está
en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte
positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que
forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas
o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el
punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el
origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
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2. ESTUDIO DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES
2.1. Sen x
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo que se designa por sen es
igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.
Para explicar y definir todas las funciones, nos vamos a guiar por el siguiente triangulo:
Figura 2.1
sen : En un ángulo á de un triángulo rectángulo, ABC (figura 2.1), se llama seno de , y
se escribe sen , al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
O lo que es lo mismo:
Seno (sen) = Cateto opuesto/ Hipotenusa
Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en
el que se encuentre el ángulo . De esta manera el sen :
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El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona
cada dos lados con sus ángulos opuestos:
La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es
continua y periódica de periodo 2. Se denomina función sinusoidal.
Dominio RRecorrido [1,-1]crece …(-p/2, p/2) …decrece …(p/2, 3p/2)…
cotas sup. 1, 2, 3…
Ext. Sup. 1 Máx. 1
cotas inferiores -1,-2,-3…
Ext. inferior -1 min. -1
Simetría imparPeriódica de periodo 2pContinua en el DomAsintotas H no tieneAsintotas V no tieneAsintotas O no tiene
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2.2. Cos
En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo , que se designa por cos ,
es igual a la longitud del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.
O también:
Coseno (cos) = Cateto contiguo/ Hipotenusa
El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica.
Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:
Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en
el que se encuentre el ángulo . De esta manera el cos
El teorema del coseno se aplica a los lados y ángulos de triángulos cualesquiera y
relaciona los tres lados con uno de los ángulos:
a2 = b2 + c2 – 2bc·cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac·cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C
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La función y = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.
Dominio RRecorrido [1,-1]crece …(-, 0)…decrece …(0, )…Cotas sup. 1, 2,3… Ext. Sup. 1 Máx. 1Cotas inferiores -1,-2,-3…
Ext. inferior -1 min. -1
Simetría impar
Periódicade periodo 2
Continua en el domAsintotas H no tieneAsintotas V no tieneAsintotas O no tiene
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4. tg
En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo , que se designa por tg ,
es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente.
O lo que es lo mismo:
Tangente (tg) X = Cateto opuesto/ Cateto contiguo
La tangente de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica,
y se sitúa sobre la recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que ésta corta a la
parte positiva del eje X:
La tangente no existe para los ángulos de 90º y 270º.
Las razones trigonométricas toman valores positivos o negativos según el cuadrante en
el que se encuentre el ángulo . De esta manera el tg
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La función y = tg x describe la variación de la tangente de ángulos medidos en radianes.
Es continua, salvo en los puntos de abscisa (ð/2) + kð, k entero, en donde no está definida. Es
periódica de periodo ð:
Dominio X e R| g(x) = /2+k, Ke Z Recorrido Rcrece en todo el domdecrece no decrece
Cotas sup. no tiene Ext. Sup.no tiene Máx. 1
cotas inferiores no tiene Ext. inferior
no tiene min. -1
Simetría imparPeriódica de periodo Continua en el domAsintotas H kAsintotas V no tieneAsintotas O no tiene
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3. ESTUDIO DE LAS FUNCIONES INVERSAS PARA EL PRODUCTO:cotg; sec; csc.
A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec),
la secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:
Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por
ejemplo, sec no está definida para = 90º ni para = 270º, pues cos 90º = 0 y
cos 270º = 0.
La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90º = 0 y
cot 270º = 0.
Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como
se indica en la figura:
Estas funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación que
tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:
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3.1 y = cotg x
Dominio R- {k; k e Z} = R - {… -/2, /2…}Recorrido Rcrece No crecedecrece siempre decreciente
cotas sup. no tiene
Ext. Sup. no tiene Máx. no tiene
cotas inferiores no tiene
Ext. inferior no tiene min. no tiene
Simetría imparPeriódica de periodo Continua en el domAsintotas H no tieneAsintotas V X=… -/2, /2…Asintotas O no tiene
3.2. y = sec x
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Dominio R- {(2k+1); k e Z}Recorrido (- , -1]U[1,+ )crece … (0, /2); (/2, …decrece ...(-/2, 0); (, 3/2)…cotas sup no tiene Ext. sup no tiene máx. no tienecotas inferiores no tiene
Ext. inferior no tiene min. no tiene
Simetría imparPeriódica de periodo 2Continua en el domAsintotas H no tieneAsintotas V x = (2k+1)p/2; k e ZAsintotas O no tiene
3.3. y = cosec x
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Dominio R- {k; k e Z} Recorrido (- , -1]U[1,+ )crece … (/2, ); ( ,3/2 decrece ...(0 ,/2); (3/2, 2)…cotas sup no tiene Ext. sup no tiene máx. no tienecotas inferiores no tiene
Ext. inferior no tiene min. no tiene
Simetría imparPeriódica de periodo 2Continua en el domAsintotas H no tieneAsintotas V x = (2k+1)p/2; k e ZAsintotas O no tiene
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4. FUNCIONES RECIPROCAS: Arco seno, arco coseno, arco tg.
La expresión “y es el seno de è” o y = sen è, es equivalente a la expresión “è es el
ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como è = arcsen y, o también como è =
sen-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de la
función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y,
se definen del mismo modo. En la expresión y = sen è o è = arcsen y, un valor dado de y
genera un número infinito de valores de è, puesto que sen ð/6 = sen 5ð/6 = sen ((ð/6) + 2ð)
=…= y, teniendo en cuenta que los ángulos ð/6 y 5ð/6 son suplementarios. Por tanto, si è =
arcsen y, entonces è = (ð/6) + n 2ð y è = (5ð/6) + n 2ð, para cualquier entero n positivo,
negativo o nulo. El valor ð/6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para
todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres,
pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los
intervalos que se dan a continuación:
-ð/2 ≤ arcsen y ≤ ð/2
0 ≤ arccos y ≤ ð
-ð/2 < arctg y < ð/2
0 < arccosec y < ð
-ð/2 < arcsec y < ð/2
0 < arccot y < ð
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4.1. y = arc sen x
4.2. y = arc cos x
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4.3. y = arc tg x
5. GRAFICA DE LA FUNCION sen x Y arc sen x
Para formar la tabla de valores de la función arc sen x, escribiremos la tabla de valores
“al revés” de la del sen x.
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6. MÁS INFORMACION:
Grado, en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo
central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y
arcos de un círculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la
circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales
equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con el símbolo °, los minutos con ’
y los segundos con ”, como en 41°18’09”, que se lee "41 grados 18 minutos y 9 segundos".
La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias
físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de
localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en
grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Los posiciones en
la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de
longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por
Greenwich en Inglaterra.
Otras medidas angulares
En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen
cálculos, los ángulos se miden habitualmente en radianes rad. En 360° hay 2p rad, o unos 6,28
rad.
En el ejército, los ángulos se miden generalmente en milésimas, especialmente para la
localización de objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central formado
por un arco que es 1/6.400 del círculo. Una milésima equivale a 0,05625° y, aproximadamente,
0,001 radianes.
x y-1 ...-/2,3/2…...0 ...0,, 2,...
1/2 .../6, 5/6,…√2/2 .../4, 3/4…√3/2 .../3, 4/3,…
1 .../2, 5/2,...
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Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por
un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes de un ángulo se expresa
como la razón del arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el
radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un ángulo fijo para cualquier círculo. La
medida en radianes de un ángulo no es la razón de la longitud de la cuerda y el radio, sino la
razón de la longitud del arco y el radio.
La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La
circunferencia de un círculo está dada por
C = 2r
donde r es el radio del círculo y es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de
un círculo es exactamente 2radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central de un
radián, se deduce que
2radianes = 360 grados
Al dividir 360° por 2 se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17’44,8”. En
aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas:
un radián = 57,3 grados
un grado = 0,01745 radianes
El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables.
Los ingenieros y técnicos utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa
casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de
ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series infinitas de las
funciones trigonométricas. Como se puede ver, mientras que el símbolo ° se utiliza para indicar
grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes.
1 radian = 57,29º
a partir de esta igualdad, determinamos que:
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90º = /2 radianes
60º = /3 radianes
45º = /4 radianes
30º = /6 radianes
Relaciones ente las razones trigonométricas fundamentales.
1-. tg X = sen X/ cos X
2-. 1 = sen²X + cos²X
Signos de las razones trigonométricas.
VALORES TRIGONOMÉTRICOS DE ALGUNOS ANGULOS
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
SenX 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0
-1 0
CosX 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 1
TgX 0 √3/3 1 √3 Ø 0 Ø 0
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7. BIBLIOGRAFÍA
Matemáticas 2º BUP. Editorial: Alambra
Autores:
- Cesar Benedicto.
- Adolfo Negro
Matemáticas Algoritmo 2000. 4º ESO. Editorial: cesma sa
Autores:
- José R. Vizmanos.
- Máximo Anzola.
.Enciclopedia Microsoft Encarta 1993 – 1999.
Matemáticas l Ciencias de la naturaleza y la salud. Tecnología. 1º bachillerato
Editorial: Editex
Autores:
- Carlos González García
- Jesús Llorente Medrano
- Maria José Ruiz Jiménez
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