A. Pendahuluan

Dalarn kehidupan nyata, suatu variabel terikat tidak hanya dipengaruhi oleh satu variabel

bebas saja, akan tetapi dapat dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas. Pada bagian ini

merupakan kelanjutan dari fungsi dengan satu variabel bebas yang telah dipelajari

sebelumnya. Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas sering kita jumpai dalam bidang

ekonomi dan bisnis. Diantara variabel-vartabel bebas ini ada yang saling mempenqaruhi

(tidak bebas) satu sama lainnya, tetapi ada pula yang tidak saling rnempenqaruh (bebas satu

sama lainnya)

Pada bagian ini dibahas mengenai konsep tentang derivatif parsial, diferensiasi total, derivatif

total, dan derivatif total parsial, dan derivatif fungsi implisit untuk mengukur tingkat

perubahan dari variabel terikat (dependent variable) yang diakibatkan oleh perubahan satu

(parsial) atau keseluruhan (total) dari variabel-variabel bebas (independent variable).

Jika y=f(x1,x2,…,xn), dimana x1,x2,…,xn tidak saling mempengaruhi, maka derivatif parsial

(tingkat perubahan seketika variable terikat y yang diakibatkan oleh perubahan salah satu

dari variable bebas xi dimana variable bebas xi lainnya dianggap konstan) adalah:

nx

y

x

y

x

y

,......,,

21

atau

nfff ,.....,, 21

Jika fungsi dalam bentuk y=f(u,v,w), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau

w

y

v

y

u

y

,......,,

Contoh:

Carilah derivatif parsial dari fungsi 2

221

2

121 345),( xxxxxxfy

Jawab:

21

1

1 410 xxdx

yf

21

2

2 64 xxdx

yf

Jika z=f(x,y)

xxxxx zx

f

x

zf

x

zf

2

2

2

2

xyxy zy

f

xyx

f

yx

zf

)(

22

yxyx zx

f

yxy

f

xy

zf

)(

22

Contoh:

33 39 yxyxz , maka

yxx

zf x 93 2

299 yxy

zf y

9)(2

y

z

xyx

zf xy

xx

z

xxx

zf xx 6)(

2

yy

z

yy

zf yy 18)(

2

2

Jika y=f(x)

)(' xfdx

dy , atau

Jika z=f(x,y), maka:

dyy

zdx

x

zdz

dimana:

dz= diferensial total

yyyyy zy

f

y

zf

y

zf

2

2

2

2

Disebut derivatif

Parsial Silang

x

z

dan

y

z

= derivatif parsial dari x dan y

dx dan dy = diferensial x dan diferensial y

Jika z=f(x1,x2,….,xn), maka diferensia totalnya adalah:

n

n

dxx

zdx

x

zdx

x

zdz

.......2

2

1

1

a/ nndxzdxzdxzdz .....2211

a/

n

iiidxzdz

1

, dimana i=1,2,…,n

Contoh:

Hitung diferensial total dari 63 6y-12xy- 5x=z

Penyelesaian

Derivatif parsial dari x dan y adalah:

yxzx 1215 2 dan 53612 yxz y

Jadi diferensial total adalah : )dy 3612(dx 1215 52 yxyxdz

Konsep derivative parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dua atau lebih varibel

bebas, dimana diantara variable-variabel bebas tersebut tidak saling mempengaruhi.

Jika diantara variable-variabel bebas saling mempengaruhi satu sama lain, harus

digunakan derivative total.

Misal : y=f(x,w)

dimana : x = g(w)

Jadi: variable bebas w merupakan sumber perubahan utama, dimana w mempengaruhi y

melalui 2 saluran, yaitu:

a) Secara tidak langsung melalui fungsi g kemudian fungsi f

b) Secara langsung melalui fungsi f

diferensial total : dy=fx dx + fw dw

dw

dwf

dw

dxf

dw

dywx

wx fdw

dxf , atau :

Bentuk umum fungsi implisit : f(x,y)=0

Contoh:

Jika y=7x2 – y =0, maka turunan fungsi implisitnya:

y

x

f

f

dx

dy

xx

ff x 14

dan 1

y

ff y

Jadi : xx

dx

dy14

1

14

SOAL LATIHAN.

1. Carilah fx dan fy dari fungsi beikut ini:

a. f(x,y) = 3x2 – 10y

3

b. f(x,y) = 10 x2

+ 2xy – 6y2

c. f(x,y) = 6x2 –xy+30y

2

d. f(x,y) = (x2 – 5y)(2x+4y

5)

e. f(x,y)=(4x+3)/(y-2)

2. Carilah derivatif parsial kedua dari fungsi-fungsi beriku ini:

a. f(x,y) = 3x2

+ 5y2

+ 10

b. f(x,y) = 5x3

+ 3xy +3y2

c. f(x,y) = -20x5 + 10xy + 6y

3

3. Carilah diferensial y , untuk masing-masing fungsi berikut ini:

a. y= -x(x2 +3)

b. y=7x3

– 5x2 + 6x -3

c. y = (x-8)(7x + 5)

y

x

f

f

dx

dy

x

y

f

f

dy

dx

d. )1( 2

x

xy

e. 3)89( xy

4. Carilah diferensial total jika diketahui fungsi:

a. z=3x2+xy-2y

3

b. u = 2x + 9xy +y2

c. yx

xyz

2

5. Carilah derivatif total, jika diketahui:

a. z=2x + xy – y2, dimana x=3y

2

b. z = 6x2 +15xy+3y

2, dimana y=7x

2

c. z=(13x-18y)2, dimana y = x+6

A. Pendahuluan.

Seperti telah diketahui bahwa diferensial membahas tentang tingkat perubahan sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variable bebas fungsi bersangkutan. Dengan diferensial dapat

diketahui kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik

maksimum, titik belok, titik pelana dan titik minimumnya jika ada.

Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensila menjadi salah satu alat analisis yang

sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan

ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat

minimum. Dalam hal fungsi dengan satu variable bebaspun dapat diturunkan lagi. Turunan

berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari

bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang

terdiri dari satu variable bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Konsep

derivatif parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dengan 2 atau lebih variable bebas

dimana variable-variabel bebas itu seringkali mempengaruhi satu sama lain.

B. Aplikasi Ekonomi untuk Derivatif Lebih dari Satu Variable.

1. Biaya Marginal

Jika fungsi biaya untuk menghasilkan dua produk x dan y adalah : C=f(Qx,Qy), maka

derivatif parsial dari C terhadap Qx dan Qy disebut sebagai fungsi biaya marginal; jadi :

xQ

C

adalah biaya marginal dari C terhadap Qx

yQ

C

adalah biaya marginal dari C terhadap Qy

Umumnya biaya marginal adalah positif

( 0

xQ

C dan 0

yQ

C)

Contoh:

Jika biaya gabungan untuk menghasilkan produk X dan Y berbentuk 22 4325 yyxx QQQQC , maka :

yx

x

QQQ

C

6

yx

y

QQQ

C8

Seandainya Qx=2 dan Qy = 5, maka 17

xQ

C dan 42

yQ

C;

17

xQ

C artinya, dengan nilai Qy dianggap konstan yaitu 5. Maka setiap tambahan satu

unit produksi Qx akan meningkatkan (menambah) biaya sebesar 17.

42

yQ

C, artinya..?

2. Permintaan Marginal dan Elastisitas Permintaan Parsial

Jika dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya maka permintaan

akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang

tersebut.

Qda = f(Pa,Pb) dan

Qdb = f(Pa,Pb)

Derivatif parsial dari fungsi tersebut dinamakan permintaan marginal. Derivatif dari

fungsi-fungsi tersebut ada 4 macam.

a

da

P

Q

adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan

aP

b

da

P

Q

adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan

bP

a

db

P

Q

adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan

aP

b

db

P

Q

adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan

bP

Elastisitas Permintaan Parsial

Elastisitas harga permintaan : Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan

permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri

da

a

a

da

a

da

a

da

daQ

P

P

Q

EP

EQ

P

Q*

%

%

db

b

b

db

b

db

b

db

dbQ

P

P

Q

EP

EQ

P

Q*

%

%

Elastisitas Silang permintaan: Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan

permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain.

da

b

b

da

b

da

b

da

abQ

P

P

Q

EP

EQ

P

Q*

%

%

db

a

a

db

a

db

a

db

baQ

P

P

Q

EP

EQ

P

Q*

%

%

Jika 00 baab dan A dan B saling melengkapi (komplementer), artinya jika

harga salah satu barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap

keduanya.

Jika 00 baab dan A dan B kompetitif (substitutif), artinya jika harga salah satu

barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap barang tersebut dan

penurunan permintaan atas barang lainnya

Contoh 1:

Fungsi permintaan akan barang A dan B masing-masing adalah sebagai berikut:

A: 0132 bada PPQ

B: 013 badb PPQ

Tentukan elastisitas masing-masing barang dan hubungannya.

Jawab.

0132 bada PPQ 013 badb PPQ

32

32

1

ba

ba

da PPPP

Q 13

3

1

ba

ba

db PPPP

Q

332

ba

a

da PPP

Q

23

ba

b

db PPP

Q

423

ba

b

da PPP

Q

143

ba

a

da PPP

Q

Maka:

32

332*

ba

a

ba

da

a

a

da

daPP

PPP

Q

P

P

Q =-2

1*13

23

ba

b

ba

db

b

b

db

dbPP

PPP

Q

P

P

Q

33*32

42

ba

b

ba

da

b

b

da

abPP

PPP

Q

P

P

Q

33*13

14

ba

a

ba

db

a

a

db

baPP

PPP

Q

P

P

Q

1|| da Barang A adalah elastis

1|| db Barang B adalah unitary elastis

0ab dan 0ba Barang A dan B bersifat komplementer.

Contoh 2:

Fungsi permintaan dari 2 macam produk adalah:

yxx PPQ 217

yxy PPQ 214

Maka fungsi permintaan marjinalnya adalah:

02

x

x

P

Q

01

y

x

P

Q

01

x

y

P

Q

02

y

y

P

Q

Karena 0

x

y

P

Q dan 0

y

x

P

Q, maka kedua produk bersifat komplementer.

3. Produktivitas Marginal (MP)

Produk marjinal adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor

produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marginal rnerupakan derivatif

pertarna dari fungsi produk total. Beberapa faktor produksi untuk memproduksi barang

Antara lain misalnya tanah, bahan baku, modal, mesin-mesin, dan sebagainya.

),....,,( 21 nxxxfP , dimana :

P =Jumlah keluaran

ix = masukan yang digunakan (i = 1,2,…,n)

Jika ada dua macam masukan variabel (k dan l), maka fungsi produksinya : P=f(k,l)

Produk Marjinal Parsial :

k

P

= Produk marjinal berkaitan dengan k

l

P

= Produk marjinal berkaitan dengan l

Contoh.

Fungsi Produksi suatu barang dinyatakan dengan 3/13/26 lkP

a>. Bentuklah fungsi produksi marjinal untuk masing-masing faktor produksi

b>. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 8 unit k dan 27 unit l

Jawab.

a.> 3/13/14 lk

k

PMPk

3/23/22

lk

l

PMPl

b.> Jika k=8 dan l=27, maka

68

)27(443/1

3/1

3/1

3/1

k

lMPk

9

88.23/2

3/2

l

MPl

4. Utilitas Marginal Parsial & Keseimbangan Konsumsi

Jika U = kepuasan konsumsi

xi = Barang-barang yang diproduksi

maka fungsi utilitas : u =f(x1,x2,…,xn)

untuk 2 macam barang konsumsi : u=f(x,y)

x

u

= utilitas marjinal berkenaan dengan x

y

u

= utilitas marjinal berkenaan dengan y

Contoh:

Kepuasan konsumsi untuk 2 barang yang dikonsumsi x dan y : 32 yxu

a> Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang

b> Berapa utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y

Jawab.

a> 32 yxu

Marjinal Utilitas terhadap x = 32xy

x

UMU x

Marjinal Utilitas terhadap y = 223 yx

y

UMU y

b> Jika x=14 dan y=13, maka

61.516131422 33 xyMU x

372.99131433 2222 yxMU y

Latihan:

1. Diketahui pasangan fungsi permintaan berikut. Tentukan fungsi permintaan marjinal,

sifat hubungan diantara kedua barang dan elastisitas permintaan parsial.

a. bada PPQ 220 dan

badb PPQ 29

b. yx

y

dxPP

PQ

2 dan

2

2

yx

x

dyPP

PQ

2. Untuk setiap fungsi produksi Q=f(K,L) berikut ini, carilah produktivitas marjinal

terhadap k dan l

a. 22 225 LKKLQ pada K=1 dan L=1

b. 2/1

5.04.003.0 3 LKLKQ pada K=8 dan L=4