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Diferenciacin: MSc. Csar A. Ypez

2.6 Derivadas de funciones logartmicas

Es el momento de realizar una lectura del texto base, revise el Captulo 12,

seccin 12.1 Derivada de funciones logartmicas.

De la lectura realizada podemos establecer las siguientes reglas:

Derivada de funciones logartmicas con base (logaritmos naturales)

Si = ln|| entonces =1

0

En la notacin equivalente se tiene: d

dx(ln|x|) =

1

xx 0

Si y = ln|u| , u = f(x) entonces y =1

uu 0

En la notacin equivalente tenemos:

(ln||) =

1

0

Ejemplo 2. Para calcular la derivada de la funcin logartmica

=

+

Expresamos en la forma exponencial y aplicamos las propiedades de los logartmos

= (

+ )

=1

3[ln(3 1) ln(3 + 1)]

Calculamos la derivada

=1

3[

1

(3 1)

(32)

1

(3 + 1)

(32)]

=1

3[32

3 1

32

3 + 1]

=1

3[32(3 + 1) 32(3 1)

(3 1)(3 + 1)]

=

22

6 1

Derivada de funciones logartmicas con base


Si = () entonces =1

(ln)

La notacin equivalente sera:

() =

1

u(ln )

Esta ltima frmula se obtiene transformando el logaritmo en base a

logartmos naturales, as: =ln

ln y luego derivando.

Ejemplo 2. Calcular la derivada de la funcin

= + ( + )

Expresando el logaritmo en base 2 en logaritmos naturales se tiene:

y = x2 +ln(x2 + 4)

ln2


dy

dx= 2x +

1

ln2[

1

(x2 + 4)(2x)]

= 2x [1 +1

(ln2)(x2 + 4)]

Actividad Recomendada Del texto base: Analice los ejemplos resueltos de la seccin 12.1

Resuelva los ejercicios 1, 5, 9, 15, 39 de los Problemas 12.1

2.7 Derivadas de funciones exponenciales


seccin 12.2 Derivada de funciones exponenciales.

De la lectura propuesta podemos resumir las siguientes propiedades:


Si = () entonces se tiene las siguientes derivadas de funciones exponenciales

() =

() = (ln ).

Ejemplo 2. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva = en el punto

(, )

Iniciamos calculando la derivada de la funcin, la cual es la pendiente de la recta

tangente

Si y = entonces y = ex

Cuando x = 1, = y = e. entonces, aplicando la ecuacin punto pendiente se

tiene:

1 = ( 1)

= ( 1)

=

Luego, = es la ecuacin de la recta tangente.


Resuelva los ejercicios 1, 3, 15, 17 de los Problemas 12.2

2.8 Diferenciacin implcita


seccin 12.4 Diferenciacin implcita.

Luego de la lectura que ha realizado, estar de acuerdo en el siguiente resumen:

Si una ecuacin define a y de forma implcita como funcin de x, entonces para

calcular

:

- Se trata a y como funcin de x y se diferencian ambos lados de la ecuacin con respecto a x. As,


(()) = ().

- Se despeja

de la ecuacin resultante

Ejemplo 2. Calcular la derivada de la siguiente funcin que expresa a en forma

implcita:

+ =

Calculamos la derivada de los dos lados de la ecuacin, se trata a "" como

funcin de .

(534 + 2) =

(25)

53(43) + 1524 1 + 2 = 0

Agrupamos los trminos que contienen y despejamos

(2033 + 2) = 1 1524

= 1 1524

2033 + 2



2.9 Diferenciacin logartmica


seccin 12.5 Diferenciacin logartmica.

Resumiendo los aspectos importantes de la lectura propuesta:

La diferenciacin logartmica se utiliza cuando se tiene una funcin = () formada

por productos, cocientes y potencias. Se aplican logaritmos para hacer ms simple el

proceso de diferenciacin, por ende, se requiere recordar las propiedades de los

logartmos; por ejemplo:


ln(. ) = ln + ln

ln

= ln ln

ln = ln

Ejemplo 2. Para calcular la derivada de la funcin: =

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, se tiene:

ln = ln 4 + ln(3) = ln 4 + ln + ln 3

= 4 + + 3.


1

= 0 + 1 + 3 [ (

1

) + ()(1)]

Despejamos

= (4 + 3)

Reemplazamos el valor de

= 43(4 + 3)



2.10 Derivadas de orden superior


seccin 12.7 Derivada de orden superior.

De la lectura que ha realizado, podemos concluir lo siguiente:


Si = () es diferenciable en x entonces:

La primera derivada es: = () o tambin

() =

La segunda derivada se expresa como:

= (()) = () . En su forma equivalente se tiene:

(

) =

2

2

La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada, as:

= (()) = ()

En la notacin equivalente se tiene:

(2

2) =

3

2

Ejemplo 2. Calcule (), si () =

Calculamos la primera derivada

Si () = 2 (x) = 2 (1

) + ( )(2)

= (1 + 2 )

Calculamos la segunda derivada mediante la regla del producto

Si = (1 + 2 ) () = (2

) + (1 + 2 )(1)

() = 3 + 2


Resuelva los ejercicios 1, 5, 17, 21, 23, 31 de los Problemas 12.7