1
1.- En un estudio sobre el número de bacterias que aparecen en determinados cultivos se tomaron 100 de estos cultivos y se contó el número de bacterias que aparecieron en cada uno de ellos.
a) Representar el diagrama de barras y la curva dedistribución.b) Obtener la moda y la mediana.c) Obtener la media y la desviación típicad) Obtener el coeficiente de asimetría.
xi ni
0 4
1 6
2 20
3 40
4 20
5 10
n = 100
RELACIÓN 1. DESCRIPTIVA
2
xi ni
0 4
1 6
2 20
3 40
4 20
5 10
n = 100
a) Diagrama de barras
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5
3
a) Curva de distribución.
1
0.30
0 3 4 51
0.10
0.90
0.70
xi ni fi Ni Fi
0 4 0.04 4 0.04
1 6 0.06 10 0.1
2 20 0.2 30 0.3
3 40 0.4 70 0.7
4 20 0.2 90 0.9
5 10 0.01 100 1
n = 100 1
2
0.04
4
b) Moda y mediana
xi ni fi Ni Fi
0 4 0.04 4 0.04
1 6 0.06 10 0.1
2 20 0.2 30 0.3
3 40 0.4 70 0.7
4 20 0.2 90 0.9
5 10 0.01 100 1
n = 100 1
Moda = 3
n / 2 = 50
Fi = 0.5
Mediana = 3
5
c.- Media y desviación típica
xi ni nixi nixi2
0 4 0 0
1 6 6 6
2 20 40 80
3 40 120 360
4 20 80 320
5 10 50 250
n = 100 296 1016
1 296: 2.96
100
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 10162.96 1.3984
100
k
i ii
n x
xn
1.3984 1.1825
6
d.- Coeficiente de asimetría
xi ni ni (xi – )3
0 4 - 103.376
1 6 - 45.174
2 20 - 17.68
3 40 0.0026
4 20 22.48
5 10 84.89
n = 100 - 59.22
31
359.22
0.5922100
k
i ii
n x x
n
x
31 3 3
0.59220.3585
1.1825
7
2.- En un experimento de germinación fueron sembradas 80 filas con 10 semillas de col cada una. La distribución del número de semillas de col que germinaron en cada fila se da en la tabla adjunta.
a) Representar el diagrama de barras.b) Obtener la moda y los cuartiles.c) Obtener la media, la desviación típica y el coeficiente de variación
xi ni
0 6
1 20
2 28
3 12
4 8
5 6
n = 80
9
b).- Moda y cuartiles
xi ni fi Ni Fi
0 6 0.075 6 0.075
1 20 0.25 26 0.325
2 28 0.35 54 0.675
3 12 0.15 66 0.825
4 8 0.1 74 0.925
5 6 0.075 80 1
n = 80 1
Moda = 2
Fi = 0.25
Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 2
Fi = 0.5
Fi = 0.75
Q1 = 1º Cuartil = 1
Q3 = 3º Cuartil = 3
10
c) Media, desviación típica y coeficiente de variación
xi ni nixi nixi2
0 6 0 0
1 20 20 20
2 28 56 112
3 12 36 108
4 8 32 128
5 6 30 150
n = 80 174 512
1 174: 2.175
80
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 5122.175 1.74375
80
k
i ii
n x
xn
1.74375 1.3205 1.3205
. . 0.60712.175
x
C V
11
3.- En una especie de mamíferos se esta estudiando el numero de crías de una camada. Obtener:
a) La moda.b) Los cuartiles.c) El rango intercuartilico.d) El coeficiente de variación.
Nº Crías Nº Camadas
n i
0 2
1 3
2 10
3 10
4 5
5 0
6 5
12
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7
a) Moda
Moda = 2 y 3 Distribución Bimodal
Nº Crías Nº Camadas = ni0 21 32 103 104 55 06 5
13
b) Cuartiles
Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 3
n / 4 = 8.75
n / 2 = 17.5
3 n / 4 = 26.25
Q1 = 1º Cuartil = 2 Q3 = 3º Cuartil = 4
xi ni Ni
0 2 21 3 52 10 153 10 254 5 305 0 306 5 35
n = 35
c) El rango intercuartilico
R I = Q3 – Q1 = 4 – 2 = 2
14
d) Coeficiente de variación
xi ni nixi nixi2
0 2 0 0
1 3 3 3
2 10 20 40
3 10 30 90
4 5 20 80
5 0 0 0
6 5 30 180
n = 35 103 393
1 103: 2.9428
35
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 3932.9428 2.5685
35
k
i ii
n x
xn
2.5685 1.6026 1.6026
. . 0.54452.9428
x
C V
15
4.- La clasificación de los alumnos por edades de un grupo escolar se da en la siguiente tabla.
a) Representar el histogramab) Calcular la media y la desviación típica
c) Calcular la moda, la mediana y Q3
d) Calcular la edad que es superada por el 30% de los alumnose) Obtener el porcentaje de alumnos con menos de 6 años y mediof) Calcular los coeficientes de sesgo y curtosis
Edad ni
Menos de 5 34
5 – 7 56
7 – 9 47
9 – 11 32
11 – 13 26
Mas de 13 5
n = 200
16
Edad ni
Menos de 5 34
5 – 7 56
7 – 9 47
9 – 11 32
11 – 13 26
Mas de 13 5
n = 200
a) Representar el histograma
3 5 7 9 11 13 15
26
34
47
ni
5
56
17
b) Media y desviación típica
Edad xi ni nixi nixi2
3 – 5 4 34 136 544
5 – 7 6 56 336 2016
7 – 9 8 47 376 3008
9 – 11 10 32 320 3200
11 – 13 12 26 312 3744
13 - 15 14 5 70 980
n = 200 1550 13492
1 1550: 7.75
200
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 134927.75 7.3975
200
k
i ii
n x
xn
7.3975 2.7198 2.72
18
c) Moda, mediana y Q3
Moda
Fi = 0.5
Fi = 0.75
Edad ni fi Fi
3 – 5 34 0.17 0.17
5 – 7 56 0.28 0.45
7 – 9 47 0.235 0.685
9 – 11 32 0.16 0.845
11 – 13 26 0.13 0.975
13 – 15 5 0.025 1
n = 200 1
11
1 1
56 345 2 6.419
56 34 56 47
i ii i
ii i i
h hMo
h h h he a
1
1
10.5 0.452 7 2 7.425
0.235
ii i
i
FMe
fe a
1
75 1
750.75 0.685100 9 2 9.8125
0.16
i
i ii
F
fP e a
19
d) Edad que es superada por el 30% de los alumnos
170 1
700.7 0.685100 9 2 9.1875
0.16
iii
i
Fe a
fP
e) Porcentaje de alumnos con menos de 6 años y medio
Edad ni fi Fi
3 – 5 34 0.17 0.17
5 – 7 56 0.28 0.45
7 – 9 47 0.235 0.685
9 – 11 32 0.16 0.845
11 – 13 26 0.13 0.975
13 – 15 5 0.025 1
n = 200 1
11
0.17100 1005 2 6.5
0.28
ik ii
i
k kF
e af
P
6.5
Fi = 0.7
6.5 5 0.280.17 0.38 38 %
100 2 k
k
20
f) Coeficientes de sesgo y curtosis
xi ni ni (xi – )3 ni (xi – )4
4 34 - 1792.9687 6723.6328
6 56 - 300.125 525.2187
8 47 0.7344 0.1836
10 32 364.5 820.125
12 26 1995.9062 8482.6015
14 5 1220.7031 7629.3945
n = 200 1488.75 24181.1561
31
31488.75
7.4437200
k
i ii
n x x
n
x
31 3
7.44370.3698
20.1236
41
424181.1561
120.9057200
k
i ii
n x x
n
42 4
120.90573 3 0.7911
54.7363
x
21
5.- Los datos siguientes representan presiones sistólicas
de la sangre de 200 mujeres escogidas al azar, de 30 años de
edad. Determinar:
a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es
inferior a 150.
b) ¿Qué presión es superada por el 30% de las
mujeres observadas?
c) Moda y mediana
d) Media y varianza
e) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica está
comprendida entre: 2 yx x
Presión ni
Menos de 115 25
115 – 130 30
130 – 145 35
145 – 170 75
170 – 180 20
Mas de 180 15
n = 200
22
a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es inferior 150
Presión n i fi Fi
100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1
n = 200
150
Fi = 0.7
11
0.45100 100145 25 150
0.375
ik ii
i
k kF
e af
P
150 145 0.3750.45 0.525 52.5 %
100 25 k
k
b) Presión superada por el 30% de las mujeres
170 1
700.7 0.45100 145 25 161.66
0.375
iii
i
Fe a
fP
23
c) Moda y mediana
1
1 11
i ii i
ii i i
h hMo e a
h h h h
Presión n i h i= n i / a i fi Fi
100 – 115 25 1.666 0.125 0.125115 – 130 30 2 0.15 0.275130 – 145 35 2.333 0.175 0.45145 – 170 75 3 0.375 0.825170 – 180 20 2 0.1 0.925180 – 190 15 1.5 0.075 1
200 1
Mo
Me
3 2.333145 25 155
3 2.333 3 2
150 1
500.5 0.45100 145 25 148.33
0.375
iii
i
Fe a
fP
24
d) Media y varianza
Presión x i n i n i x i n i x i2
100 – 115 107.5 25 2687.5 288906.25115 – 130 122.5 30 3675 450187.5130 – 145 137.5 35 4812.5 661718.75145 – 170 157.5 75 11812.5 1860468.75170 – 180 175 20 3500 612500180 – 190 185 15 2775 513375
200 29262.5 4387156.25
1 29262.5: 146.3125
200
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 4387156.25146.3125 528.4336
200
k
i ii
n x
xn
528.4336 22.9876 22.99
25
e) Porcentaje de mujeres con presión sistólica entre: 2 yx x
Presión n i fi Fi100 – 115 25 0.125 0.125115 – 130 30 0.15 0.275130 – 145 35 0.175 0.45145 – 170 75 0.375 0.825170 – 180 20 0.1 0.925180 – 190 15 0.075 1
n = 200 1
0.12510011 15 123.32 20.82 %
0.155 k
k
kP
123.32
169.3
146.31; 22.99 169.3; 123.32 x x x
2 192.29; 2 100.33 100%x x
0.4510014 25 169.3 81.45 %
0.3755 k
k
kP
81.45 % – 20.82 % = 60.63 %
26
6.- Los datos siguientes representan el peso en gramos de un grupo de animales.
1.- Representar el histograma y la curva dedistribución.2.- Obtener:a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil.b) Porcentaje de animales con un peso inferior
a 197 gramos.c) Coeficiente de variación.d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento.
Peso ni
175 – 180 2
180 – 185 6
185 – 190 9
190 – 200 15
200 – 205 11
205 – 210 4
210 – 215 3
n = 50
27
1.- Histograma
Peso ni h i= n i /a i fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1
175 180 185 190 200 205 210
1.8
ni
1.5
0.4
0.8
215
2.2
0.6
28
1.- Curva de distribución.
Peso ni h i= n i /a i fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1
1
0.64
175 180 185 210190 200
0.860.94
0.34
205 215
0.040.16
29
a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil
Peso ni h i= n i /a i fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04180 – 185 6 1.5 0.12 0.16185 – 190 9 1.8 0.18 0.34190 – 200 15 1.5 0.30 0.64200 – 205 11 2.2 0.22 0.86205 – 210 4 0.8 0.08 0.94210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1Moda
Fi = 0.5
Fi = 0.75
11
1 1
2.2 1.5200 5 201.666
2.2 1.5 2.2 0.8
i ii i
ii i i
h hMo
h h h he a
1
1
10.5 0.342 190 10 195.333
0.30
ii i
i
FMe
fe a
1
75 1
750.75 0.64100 200 5 202.5
0.22
i
i ii
F
fP e a
30
b) Porcentaje de animales con un peso inferior a 197 gramos
11
0.34100 100190 10 197
0.30
ik ii
i
k kF
e af
P
197 190 0.300.34 0.55 55 %
100 10 k
k
Peso ni fi Fi
175 – 180 2 0.04 0.04180 – 185 6 0.12 0.16185 – 190 9 0.18 0.34190 – 200 15 0.30 0.64200 – 205 11 0.22 0.86205 – 210 4 0.08 0.94210 – 215 3 0.06 1
50 1
197
31
c) Coeficiente de variación
Peso x i ni n i x i n i x i
2
175 – 180 177.5 2 355 63012.5180 – 185 182.5 6 1095 199837.5185 – 190 187.5 9 1687.5 316406.25190 – 200 195 15 2925-a 570375200 – 205 202.5 11 2227.5 451068.75205 – 210 207.5 4 830 172225210 – 215 212.5 3 637.5 135468.75
50 9757.5 1908393.75
1 9757.5: 195.15
50
k
i ii
n x
Media xn
2
22 21 1908393.75195.15 84.3525
50
k
i ii
n x
xn
84.3525 9.1843 9.1843. . 0.047
195.15
xC V
32
d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento
Peso x i n i ni (xi – )3 ni (xi – )
4
175 – 180 177.5 2 – 10996.74425 194092.536180 – 185 182.5 6 – 12145.70775 153643.203185 – 190 187.5 9 – 4029.274125 30823.94706190 – 200 195 15 – 0.050625 0.007593200 – 205 202.5 11 4367.719125 32102.73557205 – 210 207.5 4 7534.6115 93052.45202210 – 215 212.5 3 15668.22112 271843.6365
50 398.775 775558.5178
x
31
3398.775
7.975550
k
i ii
n x x
n
41
4775558.5178
15511.1703650
k
i ii
n x x
n
31 3
7.97550.01029
774.7082
42 4
15511.170363 3 0.8199
7115.15303
x
33
7.- Se esta estudiando el tiempo de supervivencia en horas de 100 ratones después de una inyección con una sustancia toxica.
a) Representar el histograma y la curva de distribución.
b) Obtener la moda y los cuartilesc) Determinar el numero de ratones con un tiempo
de supervivencia inferior a 35 horas. d) Determinar el numero de ratones con un tiempo
de supervivencia superior a 55 horas. e) Determinar el numero de ratones con un tiempo
de supervivencia comprendido entre 35 y 55 horas
Tiempo de Supervivencia
ni
20 – 30 15
30 – 40 30
40 – 45 25
45 – 50 20
50 – 60 10
n = 100
34
Tiempo de Supervivencia
ni h i= n i /a i
20 – 30 15 1.5
30 – 40 30 3
40 – 45 25 5
45 – 50 20 4
50 – 60 10 1
n = 100
a) Histograma
1.5
3
4
hi
1
5
20 30 40 45 50 60
35
a) Curva de distribución
Tiempo de Supervivencia
ni fi Fi
20 – 30 15 0.15 0.15
30 – 40 30 0.30 0.45
40 – 45 25 0.25 0.70
45 – 50 20 0.20 0.90
50 – 60 10 0.10 1
n = 100 1
1
0.45
20 30 40 45 50 60
0.70
0.90
0.15
36
b) Obtener la moda y los cuartiles
X i n i h i= n i /a i f i F i
20 – 30 15 1.5 0.15 0.15
30 – 40 30 3 0.3 0.45
40 – 45 25 5 0.25 0.70
45 – 50 20 4 0.2 0.90
50 – 60 10 1 0.1 1
100
5 340 5 43.333
5 3 5 4
Moda
Fi = 0.25
Fi = 0.50
Fi = 0.75
11
0.5 0.5 0.4540 5 41
0.25i
i ii
FMe
fe a
175 1
0.75 0.75 0.745 5 46.25
0.2i
i ii
F
fP e a
125 1
0.25 0.25 0.1530 10 33.333
0.3i
i ii
F
fP e a
1
11 1
i ii i
ii i i
h hMo
h h h he a
37
c) Nº ratones con tiempo de supervivencia inferior a 35
X i n i h i= n i /a i f i F i
20 – 30 15 1.5 0.15 0.1530 – 40 30 3 0.30 0.4540 – 45 25 5 0.25 0.7045 – 50 20 4 0.20 0.9050 – 60 10 1 0.10 1
100
d) Nº ratones con tiempo de supervivencia superior a 55
35
55
0.1510030 10 35 30 %
0.30 k
k
kP
0.9010050 10 55 95 %
0.10 k
k
kP
Nº ratones con T.de supervivencia < 35 = 30
Nº ratones con T.de supervivencia < 55 = 95 Nº ratones con T.de supervivencia > 55 = 5
e) Nº ratones con tiempo de supervivencia comprendido entre 35 y 55
Nº ratones: 35 < T. S. < 55 = 95 – 30 = 65
38
a) Coeficientes de variación de cada grupo
1 1.30.17 ; 0.2
6 6.5 A B
A BA BC V C Vx x
0.9 0.80.18 ; 0.2
5 4 C D
C DC DC V C V
x x
b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?
El coeficientes de variación del grupo A es el más
pequeño El grupo A es el más homogeneo
1 ; 1.3 ; 0.9 ; 0.8A B C D
8.- Un Curso esta dividido en 4 grupos, de los cuales tenemos los siguientes datos sobre las notas de Estadística.Se pide:
a) Obtener los coeficientes de variación de cada grupo.
b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?
Grupo Nota Media Varianza
ABCD
66.554
11.69
0.810
0.64