7/21/2019 Diferencia c i on Integra c i On
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Diferenciación e Integración
numérica
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Diferenciación
La diferenciación numérica puede calcularse usando la
definición de derivada
( ) ( ) ( )
h
x f h x f x f
h
00
00 lim'
−+=
→
Tomando una h pequeña. Si h > 0 se llama fórmula de
diferencia progresiva si h ! 0 se llama fórmula de diferencia
regresiva.
( ) ( ) ( )0 0
0' f x h f x
f xh
+ −≈
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DI"#$#%&I ($)*$#SI+ $#*$#SI+ , &#%T$L
DI"#$#%&I ($)*$#SI+.- uerepresenta la pendiente de la cuerda /&
DI"#$#%&I $#*$#SI+.- ue representa
la pendiente de la cuerda /&
DI"#$#%&I &#%T$L.- ue representa
la pendiente de la cuerda /&
( ) ( ) ( )
'i i
i
f x h f x f x
h
+ −≈
( ) ( ) ( )
'i i
i
f x f x h f x
h
− −≈
( ) ( ) ( )
'
i i
i
f x h f x h f x
h
+ − −≈
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DI"#$#%&I ($)*$#SI+ $#*$#SI+ , &#%T$L
1 #2emplo 3.- Dada la ta4la de valores
&alcule f 5678 para el valor de 79:; sa4iendo
que 7 esta en grados se7agesimales.
#mplear las diferencias progresivas
regresivas < central teniendo en cuenta que=9:; 6lo que equivale a 00??8
0 : @0
0@A0 0 AB 0:000
x
senx
° ° °
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Solución
a8Diferencia progresiva
48 Diferencia regresiva
c8 Diferencia central
( ) ( ) ( ) ( ) ( )@0 : 0.:00 0.AB
' 0.BB?0.0?? 0.0??
i i
i
f x h f x f f f x
h
+ − − −≈ = = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ): 0 0.AB 0.@A0
' 0.C@?:0.0?? 0.0??
i i
i
f x f x h f f f x
h
− − − −≈ = = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )@0 0 0.:00 0.@A0
' 0.>CCC? 0.0>?? 60.0>??8
i i
i
f x h f x h f f f x
h
+ − − − −≈ = = =
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"órmulas de diferencias divididas
=acia adelante
( ) ( ) ( )
h
x f x f x f ii
i
−= +3'
(rimera derivada
( ) ( ) ( ) ( )
h
x f x f x f x f iii
i
@A' 3 −+−
= ++
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
3 ''
h
x f x f x f x f iii
i
+−= ++ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3@ :A''
h
x f x f x f x f x f iiii
i
+−+−= +++
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )@
3@ @@'''
h
x f x f x f x f x f iiii
i
−+−= +++
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
@
3@A
:3>A3A@'''
h
x f x f x f x f x f x f iiiii
i
−+−+−= ++++
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"órmulas de diferencias divididas
centradas
( ) ( ) ( )
h
x f x f x f ii
i33' −+ −
=
(rimera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
x f x f x f x f x f iiii
i3
' 33 −−++ +−+−
=
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
33 ''
h
x f x f x f x f iii
i−+ +−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
3
3B@03B''
h
x f x x f x f x f x f iiiii
i−−++ −+−+−
=
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )@
33
'''
h
x f x f x f x f x f iiii
i++−+ −+−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
@
@33@
>
>3@3@>'''
h
x f x f x f x f x f x f x f iiiiii
i−−−+++ +−+−+−
=
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"órmulas de diferencias divididas
=acia atrs
( ) ( ) ( )
h
x f x f x f ii
i3' −−
=
(rimera derivada
( ) ( ) ( ) ( )
h
x f x f x f x f iii
i
A@' 3 −− +−
=
Segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
3''
h
x f x f x f x f iii
i−− +−
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
@3 A:''
h
x f x f x f x f x f iiii
i−−− −+−
=
Tercera derivada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )@
@3 @@'''
h
x f x f x f x f x f iiii
i−−− −+−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
@
A@3
@3AA3>:'''
h
x f x f x f x f x f x f iiiii
i−−−− +−+−
=
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Integración numérica
1Eatemticamente la integración se representa por
integral de la función f678 con respecto a la varia4le
independiente 7 evaluada entre los lFmites a < 4
1La integral es el valor total o sumatoria de f678d7 so4re el rango 79a
=asta 4
1(ara funciones que estn por encima del e2e 7 la integralcorresponde al rea 4a2o la curva de f678 en a < 4
( )∫ =b
a
dx x f I
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$egla del rectnguloLa función <9f678 se reemplaGa en el entorno de integración
HooJ=K por el segmento =oriGontal /D < enconsecuencia el rea verdadera /&# por la del rectngulo
/D#.
#l error cometido adoptando tal simplificación viene medido
por el rea del triangulo curvilFneo /&D.
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$#*L D#L (%T) E#DI)
La función f678 se apro7ima mediante la recta paralela ale2e ) traGada por el punto medio del intervalo
HooJ=K es decir por M o J 3 N =
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$#*L D#L T$(#&I)
1 La función f678 se apro7ima por la cuerda
de la curva dentro del intervalo HooJ=K.
Se trata de una apro7imación lineal. #l arco
/& se sustitu<e por la cuerda /&.
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$egla del trapeciotiliGando un polinomio interpolante lineal de Lagrange.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )3
03
00
30
3 x f x x
x x x f
x x
x x x P
−
−+
−
−=
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3030
03
3
03
00
30
3
x f x f
h x f x f
x x
dx x f x x
x x x f
x x
x xdx x f
b
a
b
a
+=+−
=
−
−+
−
−= ∫ ∫
Donde h 9 x3 O x0 9
#sta fórmula vale cuando f 6 x8 tiene valores positivos.
Da valores e7actos para
polinomios de grado 3.
x0 = a x3 = b
P 3 f
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regla del trapecio
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3030
03
3
03
00
30
3
x f x f
h x f x f
x x
dx x f x x x x x f
x x x xdx x f
b
a
b
a
+=+−
=
−−+−−= ∫ ∫
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$#*L D# SIE(S)%
La regla del trapecio es tanto mas apro7imada cuandoma<or es el numero de divisiones o intervalos n. se puede
o4tener una me2or apro7imación con menos intervalos n
si la curva < 9 f678 se reemplaGa por par4olas de segundo
grado que pasen por cada tres puntos consecutivos
6i,i8 de la función dada.
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$egla se SimpsonLa regla se Simpson se o4tiene suponiendo el segundo polinomios
de Lagrange con los nodos x0 9 a x 9 b x3 9 a + h h 9 6b – a)N.
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]30
30
303
303
00
030
3
A@
x f x f x f h
dx x f x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x xdx x f
b
a
b
a
++=
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−= ∫ ∫
Donde se =an
despreciado los términosde error.
La fórmula es e7acta para
polinomios de =asta
tercer grado. x0 = a x = b
P @ f
x3
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$egla se SimpsonLa regla se Simpson se o4tiene suponiendo el segundo polinomios
de Lagrange con los nodos x0 9 a x 9 b x3 9 a + h h 9 6b – a)N.
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]30
30
303
303
00
030
3
A@
x f x f x f h
dx x f x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x xdx x f
b
a
b
a
++=
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−= ∫ ∫
Donde se =an
despreciado los términosde error.
La fórmula es e7acta para
polinomios de =asta
tercer grado. x0 = a x = b
P @ f
x3
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&omparación
f(x) x 2̂ x^4 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen x exp(x)
Valuación exacta 2.667 6.400 1.099 2.95 1.416 6.!9
"rapeci# 4.000 16.000 1.!!! !.2!6 0.909 .!9
$e %i&ps#n 2.667 6.667 1.111 2.964 1.425 6.421
&omparación entre el valor e7acto la regla del trapecio <
la regla de Simpson para diferentes funciones en el
intervalo H0 K.
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$egla de Simpson @N
2ustando polinomios de Lagrange de orden @ usando cuatro
puntos se llega a la regla de Simpson de @N
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]@30 @@@ x f x f x f x f h x f I
b
a+++== ∫
Tam4ién puede e7presarse porM
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
@@ @30 x f x f x f x f ab x f I
b
a
+++−== ∫
#sta regla es Ptil cuando el nPmero de puntos es impar.
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Integración numérica compuesta
[ ] ?BC:.:B5A@
A0A
0=++≈∫ eeedxe x
Integrando e x por Simpson en H0AK
#l error esM :@.:C3: O :B.?BC: 9 [email protected]?3A@
Separando en dos integralesM
[ ] [ ]
[ ]
B@:.:@
AA@
3
A@
3A
@
3
A@0
A@0
A
0
A
0
=
++++=
+++++≈
+= ∫ ∫ ∫
eeeee
eeeeee
dxedxedxe x x x
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Dividiendo en A intervalos
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
B3B.:@
AAAA@
3
AB
3A
B
3
AB
3A
B
3
A@0
A@@
0
A
@
@
3
3
0
A
0
?
:
@
3
?
:
@
3
=
++++++++=
++++++
+++++≈
+++= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
eeeeeeeee
eeeeee
eeeeee
dxedxedxedxedxe x x x x x
#l error esM :@.:C3: O :@.B3B 9 O0.030?
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$egla compuesta de Simpson
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+++= ∑∑∫ =−
−
=b f x f x f a f
hdx x f
n
j
j
n
j
j
b
a
N
0
3
3N
0
A@
Teorema. Sea f ∈C A
Ha bK n par h 9 6b O a8Nn < x j 9 a J jh paracada j 9 0 3 ... n . La regla de Simpson para n su4intervalos
puede escri4irse comoM
x0 = a xn = b
y= f 6 x8
x x j-3 x j x jJ3
7/21/2019 Diferencia c i on Integra c i On
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$egla compuesta del trapecio
( ) ( ) ( ) ( )
++= ∑∫
−
=
b f x f a f hdx x f n
j
j
b
a
3
3
x0 = a xn = b
y= f 6 x8
x3 x j-3 x j xn O3
Teorema. Sea f ∈C AHa bK n par h 9 6b O a8Nn < x j 9 a J jh para
cada j 9 0 3 ... n . La regla del trapecio para n su4intervalos
puede escri4irse comoM
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$egla compuesta del punto
medio
( ) ( )∑∫ =
=N
0
n
j
j
b
a x f hdx x f
x0 = a xn+3 = b
y= f 6 x8
x0 x j-3 x j xn x3 x j+3
Teorema. Sea f ∈C AHa bK n par h 9 6b O a8N6nJ8 < x j 9 a J
6 jJ38h para cada j 9 O3 0 3 ... nJ3. La regla de compuesta
del punto medio para n su4intervalos puede escri4irse comoM
7/21/2019 Diferencia c i on Integra c i On
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Datos con espaciamiento
irregular Si los datos estn espaciados de forma irregular como en el caso de datos
e7perimentales la integración puede llevarse a ca4o mediante la aplicación de la
regla del trapecio a cada su4intervalo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
...
33
30
3
nnn
x f x f h
x f x f h
x f x f h I
+++
++
+= −
Donde hi 9 anc=o del segmento i.
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lgoritmos $egla del trapecio
lgoritmos para la regla del trapecio de uno solo segmento
function trap(h, f0, f1)
trap = h*(f0+f1)/2
end
lgoritmos para la regla del trapecio de mPltiples segmentos
function trap(h, n, f)
sum = f0;
for i = 1, n–1
sum = sum + 2*fi
end
sum = sum + fn
trap = h*sum/2
end
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lgoritmos $egla simple de
Simpson$egla de Simpson de 3N@
function simp13(h, f0, f1, f2)
simp13 = 2*h*(f0+4*f1+f2)/6
end
$egla de Simpson de @N
function simp3(h, f0, f1, f2, f3)
simp3 = 3*h*(f0+3*f1+3*f2+f3)/
end
7/21/2019 Diferencia c i on Integra c i On
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$egla de Simpson 3N@ mPltiple
!unction simp13m(h, n, f)
sum = f0
for i = 1, n–2, 2
sum = sum+4*fi+2*fi+1
end
sum = sum+4fn"1+fn
simp13m = h*sum/3
end
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lgoritmos $egla compuesta de Simpson
$egla de Simpson de nPmero de segmentos pares o impares
function simpint(a, #, n, f) h = (#"a)/n
if n=1 then
sum=trap()
e$se
m = n
odd = n/2"int(n/2)
if odd%0 and n%1 then
sum = sum + simp3(h,fn"3,fn"2,fn"1,fn)
m = n"3
end
if m%1 then
sum = sum + simp13m(h, m, f)
end
end
simpint = sum
end
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#2emplo Trapecio
Sea la siguiente funciónM
f 6 x8 9 0. J : x – 00 x J B?: x@ O C00 xA J A00 x:
Integrada en el intervalo de a 9 0 a b 9 0. con trapecioM
+alor real I 9 3.BA0:@@@@
f 6a8 9 0.000 f 6b8 9 0.@0
I 9 h 6 f 6b8 O f 6a8 8N 0.3?0000 error 9 C.A?Q
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#2emplo Simpson 3N@
Sea la siguiente funciónM
f 6 x8 9 0. J : x – 00 x J B?: x@ O C00 xA J A00 x:
Integrada en el intervalo de a 9 0 a b 9 0. con trapecioM
+alor real I 9 3.BA0:@@@@
f 6a8 9 0. f 66a+b8N8 9 .A:B f 6b8 9 0.@
I 9 0. 60.JA6.A:B8J0.@8NB 9 3.@B?ABBB? error 9 3B.BQ
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#2emplo Simpson @N
Sea la siguiente funciónM
f 6 x8 9 0. J : x – 00 x J B?: x@ O C00 xA J A00 x:
Integrada en el intervalo de a 9 0 a b 9 0. con trapecioM
+alor real I 9 3.BA0:@@@@
f 608 9 0. f 60.BBB?8 9 3.A@?A
f 60.:@@@8 9 @.A?3?? f 60.8 9 .@
I 9 0. [email protected]@[email protected]?3??8J .@ 8N 9 3.:3C3?0
error 9 ?.AQ
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#2emplo Simpson 3N@ < Simpson @N
Sea la siguiente funciónM
f 6 x8 9 0. J : x – 00 x J B?: x@ O C00 xA J A00 x:
Integrada en el intervalo de a 9 0 a b 9 0. con : segmentos
con trapecio primeros < Simpson los @ PltimosM
+alor real I 9 3.BA0:@@@@ f 608 9 0. f 60.3B8 9 3.CBC f 60.@8 9 3.?A@@C
f 60.A8 9 @.3B03 f 60.BA8 9 @.33C@ f 60.8 9 0.@00
Simpson 3N@M
I 3N@
9 0.@R60. JA63.CBC8J 3.?A@@C 8NB 9 0.@0@@?
Simpson @N
I @N 9 0.A 63.?A@@C J@[email protected] J @.33C@ 8J .@ 8N
9 3.BA?:A
I 9 3.BA:0??
error 9 0.Q
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x f(x)
0.00 0.200000
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