Download pdf - Diktat PSD

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL

Materi :

1. Sinyal dan sistem diskrit

2. Analisa Frekuensi

3. Sampling dan rekonstruksi sinyal

4. Transformasi – Z

5. Perencanaan Filter digital

6. Realisasi Filter digital

Pustaka :

1. Alan V. Oppenheim, R. W. Schafer “Discrete Time Signal Processing”,

Prentice Hall, second edition, 1999.

2. J. G. Proakis, “Digtital Signal Processing”, Prentice Hall,

3. Monson H. Hayes, “Digtital Signal Processing”, Schaum’s Outlines

Series, 1999.

4. L. C. Ludeman, “Fundamentals of Digital Signal Processing”, Harper &

Row, 1986.

Evaluasi :

1. Tugas : 10%

2. Kuis : 10%

3. UTS : 40%

4. UAS : 40%

Pengolahan Sinyal Digital

ADC

converter

DAC

converter

Sistem diskrit

𝐻(𝑒𝑗𝜔 )

𝑥𝑎(𝑡) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) 𝑦𝑎(𝑡)

𝑇 𝑇

𝑋𝑎(𝑗Ω) 𝑋(𝑒𝑗𝜔) 𝑌(𝑒𝑗𝜔) 𝑌𝑎 𝑗Ω

= 𝑌(𝑓) 𝑌𝑎 𝑓

= 𝑌(𝑓) 𝑋𝑎(𝑓)

CONTOH REALISASI

Blok Diagram DSK TMS320C6416T

DSK TMS320C6416T

Pengolahan Sinyal Digital, Bab I : Sinyal & Sistem Diskrit

Bab I - 1

Bab 1

Sinyal dan Sistem Diskrit

1.1 Pendahuluan

Pada bab ini kita akan mempelajari pengolahan sinyal digital dengan menekankan pada

notasi sinyal dan sistem diskrit. Pada bagian ini kita akan konsentrasi pada

penyelesaian permasalahan yang berhubungan dengan representasi sinyal, manipulasi

sinyal, sifat-sifat sinyal, klasifikasi sistem dan sifat-sifat sistem diskrit. Pada bagian ini

juga ditunjukkan bahwa sistem yang linier – time invariant (LTI), bila diberi input maka

outputnya akan berlaku penjumlahan konvolusi. Penjumlahan konvolusi dan Sifat-

sifatnya akan didiskusikan, begitu juga sistem diskrit yang dinyatakan dengan

persamaan beda akan dibahas pada bab ini.

1.2 Sinyal Diskrit

Sinyal diskrit didefinisikan sebagai deretan bilangan real atau kompleks yang diberi

tanda (indeks) yang menyatakan deretan waktu. Selanjutnya sinyal diskrit dinyatakan

sebagai fungsi variabel integer 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝑥(𝑛). Secara umum sinyal

diskrit 𝑥(𝑛) merupakan fungsi waktu 𝑛. Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) tidak didefinisikan untuk

nilai 𝑛 non integer. Sebagai ilustrasi sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dapat dilihat pada gambar 1.1.

Gambar 1.1 Representasi sinyal diskrit 𝑥(𝑛)

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) diperoleh dari sinyal analog/kontinyu yang disampling dengan

analog-to-digital (A/D) converter dengan laju sampling 1/𝑇, dimana 𝑇 merupakan

periode sampling. Sebagai contoh sinyal suara yang mempunyai spektrum 0 – 3400 Hz

disampling dengan laju sampling 8 kHz. Sinyal analog 𝑥𝑎(𝑡) yang disampling dengan

periode sampling 𝑇 menghasilkan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dari sinyal analog 𝑥𝑎 𝑡 sebagai

berikut

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) (1.1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −2 −3 −4 𝑛


Bab I - 2

1.2.1 Sinyal diskrit kompleks

Secara umum sinyal diskrit bisa bernilai kompleks. Dalam kenyataanya, pada beberapa

aplikasi, seperti pada sistem komunikasi digital, sinyal diskrit kompleks muncul secara

natural. Sinyal diskrit kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk lain yaitu bagian real

dan bagian imajiner,

𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑗𝑏 𝑛 = 𝐑𝐞 𝑥(𝑛) + 𝑗𝐈𝐦 𝑥(𝑛) (1.2)

atau dalam bentuk kompleks polar, yaitu dalam magnitud dan fasanya,

𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛) exp[𝑗𝐚𝐫𝐠 𝑥(𝑛) ] (1.3)

Magnitud sinyal diskrit dapat diturunkan dari bagian real dan imajinernya sebagai

berikut:

𝑥(𝑛) = 𝐑𝐞2 x n + 𝐈𝐦𝟐x(n) (1.4)

Sedangkan fasa sinyal diskrit dapat diperoleh dengan menggunakan,

𝐚𝐫𝐠𝑥 𝑛 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝐈𝐦𝑥(𝑛)

𝐑𝐞𝑥(𝑛) (1.5)

Jika 𝑥(𝑛) merupakan urutan kompleks, maka kompleks konjuget dinyatakan dengan

notasi 𝑥∗(𝑛), yang diperoleh dengan cara mengubah tanda pada bagian imajiner dari

𝑥(𝑛) atau tanda argumennya apabila dalam bentuk kompleks polar,

𝑥∗ 𝑛 = 𝐑𝐞 𝑥 𝑛 − 𝐈𝐦𝑥(𝑛) = 𝑥(𝑛) exp[−𝑗𝐚𝐫𝐠 𝑥(𝑛) ] (1.6)

1.2.2 Beberapa sinyal diskrit dasar

Ada empat sinyal diskrit dasar yang biasa digunakan pada pengolahan sinyal digital,

diantaranya sinyal impuls (unit sample), sinyal unit step, sinyal eksponensial dan sinyal

sinusoida.

Sinyal impuls dinotasikan dengan 𝛿(𝑛) dan didefinisikan

𝛿 𝑛 = 1 𝑛 = 00 𝑛 ≠ 0

(1.7)

Bentuk sinyal impuls dapat dilihat pada gambar 1.2.

Gambar 1.2 Bentuk sinyal impuls

1

0 𝑛


Bab I - 3

Sinyal unit step (satuan tangga) dinotasikan dengan 𝑢(𝑛) dan didefinisikan

𝑢 𝑛 = 1 𝑛 ≥ 00 𝑛 < 0

(1.8)

Terdapat hubungan antara sinyal impuls dengan sinyal unit step yaitu

𝛿 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢(𝑛 − 1).

Bentuk sinyal unit step dapat dilihat pada gambar 1.3.

Gambar 1.3 Bentuk sinyal unit step

Sinyal eksponensial didefinisikan

𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 (1.9)

𝑎 merupakan bilangan real atau komplek. Dalam kasus ini 𝑎 bisa berupa 𝑒𝑗𝜔0

sehingga sinyal eksponensial menjadi 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛 , dimana 𝜔0 merupakan

bilanagan real. Sinyal 𝑥(𝑛) tersebut dinamakan sinyal eksponensial kompleks

dan dapat dinyatakan dalam bentuk lain

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 + j𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛.

Sinyal eksponensial kompleks merupakan sinyal sinus dengan komposisi

komponen bagian real dan imajiner. Ilustrasi sinyal ekponensial dengan 𝑎 real

dapat dilihat pada gambar 1.4. Pada gambar 1.4 nilai 𝑎 = ½.

Gambar 1.4 Sinyal eksponensial real dengan 𝑎 = 1/2

1

𝑛 0 1 2 3 4

0 1 𝑛

2 3 4 5 6 7

1

1/2

1/4

1/8

𝑥 𝑛 = 1/2 𝑛


Bab I - 4

Sinyal sinus mempunyai bentuk umum sebagai berikut

𝑥 𝑛 = 𝐴. cos(𝜔0𝑛 + ∅) (1.10)

Dimana 𝐴, 𝜔0, dan ∅ merupakan amplitudo sinyal, frekuensi digital dan fasa

sinyal. Sinyal sinus merupakan sinyal diskrit yang periodik dengan periode 2𝜋

sehingga kita cukup memperhatikan dalam domain frekuensi pada interval

−𝜋 ≤ 𝜔0 ≤ 𝜋 atau 0 ≤ 𝜔0 ≤ 2𝜋.

Periodesitas sinyal diskrit

Dalam kasus waktu diskrit, sinyal diskrit periodik bila memenuhi kondisi bahwa

𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛 + 𝑁) untuk semua 𝑛. Dimana 𝑁 adalah periode sinyal diskrit

(integer). Kondisi ini berlaku untuk sinyal sinus maka

𝐴. cos 𝜔0𝑛 + ∅ = 𝐴. cos(𝜔0𝑛 + 𝜔0𝑁 + ∅)

Sehingga harus memenuhi persyaratan bahwa

𝜔0𝑁 = 2𝜋𝑘 (1.11)

Dimana 𝑘 integer. Statemen tersebut berlaku juga untuk sinyal eksponensial

komplek 𝑥 𝑛 = 𝐶𝑒𝑗𝜔0𝑛 periodik dengan periode 𝑁 yang memenuhi syarat

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0(𝑛+𝑁) = 𝑒𝑗𝜔0𝑛 (1.12)

Sinyal eksponensial kompleks tersebut hanya berlaku untuk 𝜔0𝑁 = 2𝜋𝑘 seperti

pada pers (1.11) sehingga berlaku persamaan

𝜔0

2𝜋=

𝑘

𝑁 (1.13)

Dimana 𝑘/𝑁 merupakan bilangan rasional, 𝑘 merupakan jumlah siklus dalam

satu periode. Beberapa contoh sinyal diskrit periodik seperti ditunjukkan pada

gambar 1.5.


Bab I - 5

(a) Frekuensi digital 𝜔0 = 𝜋

(b) Frekuensi digital 𝜔0 = 𝜋/4

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Bab I - 6

(c) Frekuensi digital 𝜔0 = 𝜋/5

Pada gambar 5.a terlihat bahwa bentuk sinyal diskrit dalam satu periode ada 2

sampling, sehingga sinyal tersebut memiliki periode 𝑁 = 2, sedangkan pada

gambar 5.b terlihat bahwa bentuk sinyal diskrit dalam satu periode ada 8

sampling, sehingga sinyal tersebut memiliki periode 𝑁 = 8. Pada gambar 5.c

bentuk sinyal diskrit terdapat 10 sampling dalam satu periode, sehingga sinyal

tersebut memiliki periode 𝑁 = 10, sedangkan pada gambar 5.d bentuk sinyal

diskrit terdapat 32 sampling dalam satu periode, sehingga sinyal tersebut

memiliki periode 𝑁 = 32 dan dalam satu periode memiliki 3 siklus.

Jika sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) merupakan sinyal periodik dengan periode 𝑁1 dan sinyal

diskrit 𝑥2(𝑛) merupakan sinyal diskrit periodik dengan periode 𝑁2, maka sinyal

diskrit hasil penjumlahan

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛)

akan selalu periodik dengan periode dasar

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)

dimana gcd(𝑁1, 𝑁2) artinya the greatest common divisor dari 𝑁1 dan 𝑁2. Teori ni

berlaku juga untuk perkalian dua sinyal periodik yaitu sinyal diskrit 𝑥1(𝑛)

dengan periode 𝑁1 dan sinyal diskrit 𝑥2(𝑛) dengan periode 𝑁2, maka sinyal

diskrit hasil perkalian

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 .𝑥2(𝑛)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Bab I - 7

(d) Frekuensi digital 𝜔0 = 3𝜋/16

Gambar 1.5 Bentuk sinyal periodik untuk berbagai frekuensi digital

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Bab I - 8

Contoh 1.1

Tentukan periode sinyal diskrit berikut :

a. 𝑥 𝑛 = cos(0.5𝜋𝑛)

b. 𝑥 𝑛 = cos(0.75𝜋𝑛)

c. 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗0.25𝜋𝑛

d. 𝑥 𝑛 = cos 0.5𝜋𝑛 + cos(0.75𝜋𝑛)

e. 𝑥 𝑛 = cos 0.5𝜋𝑛 . cos(0.75𝜋𝑛)

f. 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜋𝑛

16 . cos(𝜋𝑛

17)

g. 𝑥 𝑛 = 𝑅𝑒 𝑒𝑗𝜋𝑛

12 + 𝐼𝑚 𝑒𝑗𝜋𝑛

18

Penyelesaian:

a. 𝜔0 = 0.5𝜋, maka periode sinyal diskrit 𝑁 sebagai berikut

𝑘

𝑁=

𝜔0

2𝜋=

0.5𝜋

2𝜋=

1

4

Periode dasar sinyal 𝑁 = 4 dan terdapat satu siklus dalam satu periode dasar.

b. 𝜔0 = 0.75𝜋, maka periode sinyal diskrit 𝑁 sebagai berikut

𝑘

𝑁=

𝜔0

2𝜋=

0.75𝜋

2𝜋=

3

8

Periode dasar sinyal 𝑁 = 8 dan terdapat tiga siklus dalam satu periode dasar.

c. 𝜔0 = 0.25𝜋, maka periode sinyal diskrit eksponensial kompleks 𝑁 sebagai

berikut

𝑘

𝑁=

𝜔0

2𝜋=

0.25𝜋

2𝜋=

1

8

Periode dasar sinyal 𝑁 = 8 dan terdapat satu siklus dalam satu periode dasar.

d. Pada soal tersebut merupakan penjumlahan dua sinyal periodik dengan

periode 𝑁1 = 4 dan 𝑁2 = 8 sehingga periode sinyal dasar sinyal hasil

penjumlahan adalah

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)=

4 . (8)

gcd(4,8)=

32

4= 8

e. Karena berlaku juga untuk perkalian dua sinyal diskrit maka periode dasar

hasil perkalian dua sinyal diskrit periodik dengan periode 𝑁1 = 4 dan 𝑁2 = 8

adalah 𝑁 = 8.


Bab I - 9

f. Pada soal tersebut merupakan perkalian dua sinyal periodik dengan periode

𝑁1 = 32 dan 𝑁2 = 34 sehingga periode sinyal dasar hasil perkalian adalah

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)=

32 . (34)

gcd(32,34)=

32 . (34)

2= 544

g. Pada soal tersebut merupakan perkalian dua sinyal periodik dengan periode

𝑁1 = 24 dan 𝑁2 = 36 sehingga periode sinyal dasar hasil perkalian adalah

𝑁 =𝑁1. 𝑁2

gcd(𝑁1, 𝑁2)=

24 . (36)

gcd(24,36)=

24 . (36)

12= 72

1.2.3 Operasi dasar pada sinyal diskrit

Pada buku ini beberapa operasi dasar pada pengoalahan sinyal digital ditinjau lagi

secara garis besar, diantaranya penjumlahan dua sinyal diskrit, perkalian dua sinyal

diskrit, perkalian skalar terhadap sinyal diskrit, refleksi (pantulan), dan pergeseran

waktu (penundaan/delay).

a. Penjumlahan dua sinyal diskrit

Proses penjumlahan dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) dilakukan dengan cara

menjumlahkan level (harga) pada setiap sampling yang sama. Secara matematis dapat

dituliskan dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛) (1.14)

Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar 1.6. Harga level 𝑥1 0 = 1 dijumlahkan

dengan harga level 𝑥2 0 = 1 hasilnya 𝑦 0 = 2, berikutnya harga level 𝑥1 1 = 1/2

dijumlahkan dengan harga level 𝑥2 1 = 1/2 hasilnya 𝑦 1 = 1, dan seterusnya sampai

sampling terakhir, hasil penjumlahannya adalah sinyal diskrit 𝑦(𝑛).

Gambar 1.6 Proses penjumlahan dua sinyal diskrit

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑥1(𝑛)

1

1/2

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛)

2

1/2

1

3/2

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑥2(𝑛)

1

1/2


Bab I - 10

b. Perkalian dua sinyal diskrit

Proses perkalian dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) dilakukan dengan cara mengalikan

level (harga) pada setiap sampling yang sama. Secara matematis dapat dituliskan

dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 .𝑥2(𝑛) (1.15)

Sebagai ilustrasi hasil perkalian sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) yang ada pada gambar

1.6 dapat dilihat pada gambar 1.7. Level 𝑥1 0 = 1 dikalikan dengan harga level

𝑥2 0 = 1 hasilnya 𝑦 0 = 1, selanjutnya harga level 𝑥1 1 = 1/2 dikalikan dengan

harga level 𝑥2 1 = 1/2 hasilnya 𝑦 1 = 1/4, dan seterusnya sampai sampling terakhir,

hasil perkaliannya adalah sinyal diskrit 𝑦(𝑛).

Gambar 1.7 Hasil perkalian dua sinyal diskrit

c. Perkalian skalar

Proses perkalian skalar terhadap sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dilakukan dengan cara mengalikan

level sinyal pada setiap sampling dengan bilangan pengali (konstanta). Secara

matematis dapat dituliskan dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑎. 𝑥 𝑛 (1.16)

Sebagai ilustrasi konstanta dimisalkan 𝑎 = 1/2 dan hasil perkalian skalar 𝑎 = 1/2

dengan 𝑥1(𝑛) yang ada pada gambar 1.6 dapat dilihat pada gambar 1.8. Setiap sampling

dari sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dikalikan dengan konstanta 𝑎 = 1/2.

Gambar 1.8 Hasil perkalian skalar dengan sinyal diskrit

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 .𝑥2(𝑛)

1

1/2 1/4 1/4

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦 𝑛 = 1/2. 𝑥1(𝑛)

1/2

1/4


Bab I - 11

d. Refleksi

Proses refleksi suatu sinyal diskrit 𝑥(𝑛) adalah merefleksikan sinyal tersebut dalam

domain waktu terhadap 𝑛 = 0. Secara matematis dapat dituliskan dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥 −𝑛 (1.17)

Sebagai ilustrasi sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) mengalami proses refleksi menjadi 𝑦 𝑛 = 𝑥1(−𝑛),

maka bentuk sinyal hasil refleksi dapat dilihat pada gambar 1.8.

Gambar 1.9 Hasil proses refleksi sinyal diskrit

e. Pergeseran waktu

Proses pergeseran waktu dilakukan dengan menggeser sinyal diskrit tersebut dalam

domain waktu sebesar nilai penggeser (integer). Bila nilai penggesernya positif maka

sinyal tersebut digeser ke kanan, begitu sebaliknya. Secara matematis dapat dituliskan

dengan persamaan

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑏 (1.18)

Sebagai ilustrasi sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) pada gambar 1.6 digeser kekanan sebesar 𝑏 = 2

sampling, hasilnya dapat dilihat pada contoh 1.10, artinya bahwa sinyal diskrit 𝑥1(𝑛)

mengalami delay 2 sampling.

Gambar 1.10 Hasil proses pergeseran waktu dengan delay 2 sampling

1.3 Sistem Diskrit

Sistem diskrit merupakan operator matematik atau transformasi sinyal input menjadi

sinyal lain (output) sesuai dengan karakteristik atau sifat sistem tersebut. Notasi sistem

diskrit secara umum adalah 𝑇[. ] seperti ditunjukkan pada gambar 1.11. Sinyal input

𝑛 2 3 4 5 6 7

𝑦 𝑛 = 𝑥1(𝑛 − 2)

1

1/2

1 0

𝑦 𝑛 = 𝑥1(−𝑛)

𝑛 0 −1 −2 −3 −4 −5

1

1/2


Bab I - 12

𝑥(𝑛) ditransformasi menjadi output 𝑦(𝑛) melalui transformasi 𝑇[. ]. Sebagai contoh

sistem diskrit yang dinyatakan dengan hubungan input-output seperti

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 0.5𝑦(𝑛 − 1) (1.19)

Sistem yang memiliki persamaan beda yang menyatakan hubungan input-ouput seperti

pada pers (1.19) menunjukkan bahwa sistem mempunyai algoritma seperti pada pers

(1.19), artinya bahwa output sistem 𝑦(𝑛) tergantung pada sinyal input 𝑥(𝑛) saat yang

sama ditambah dengan setengah kali output satu sampling sebelumnya. Sebagai contoh

bila diinginkan output pada saat 𝑛 = 1 yaitu 𝑦(1), maka output ditentukan oleh input

𝑥(1) ditambah dengan setengah kali 𝑦(0).

Gambar 1.11 Blok sistem diskrit secara umum

Berdasarkan proses yang dapat terjadi pada sistem diskrit, maka sistem diskrit

mempunyai beberapa sifat diantaranya:

1.3.1 Sistem tanpa memori (memoryless)

Sistem dikatakan tanpa memori jika output sistem pada saat 𝑛 = 𝑛0 tergantung pada

input saat yang sama yaitu 𝑛 = 𝑛0.

Contoh 1.2.

Sistem diskrit mempunyai persamaan hubungan input-output 𝑦 𝑛 = 0.5. 𝑥(𝑛)

merupakan sistem tanpa memori karena output sistem pada saat 𝑛 = 𝑛0 tergantung

pada input saat 𝑛 = 𝑛0 .

Sistem diskrit 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 0.2𝑥(𝑛 − 1) merupakan sistem dengan memori karena

output sistem tergantung pada input saat yang sama 𝑛 = 𝑛0 dan saat satu sampling

sebelumnya 𝑛 = 𝑛0 − 1.

1.3.2 Sistem linier

Sistem diskrit dikatakan linier jika berlaku sifat superposisi

𝑇 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 𝑛 = 𝑎𝑇 𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑇[𝑥2 𝑛 ] (1.20)

Artinya bila sistem diberi input 𝑎𝑥1(𝑛) maka keluarannya 𝑦1 𝑛 = 𝑎𝑇 𝑥1 𝑛 dan bila

sistem diberi input 𝑏𝑥2(𝑛) maka keluarannya 𝑦2 𝑛 = 𝑏𝑇 𝑥2 𝑛 . Apabila diberi input

jumlahan kedua sinyal input tersebut 𝑥12 𝑛 = 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2(𝑛) maka output sistem

𝑦12 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2(𝑛). Secara visual dapat diilustrasikan pada gambar 1.12.

𝑇[. ]

𝑥(𝑛) 𝑦 𝑛 = 𝑇[𝑥 𝑛 ]


Bab I - 13

Gambar 1.12. Ilustrasi proses sistem linier

Selain sifat superposisi, terdapat syarat perlu yaitu bila inputnya nol, maka outputnya

nol. Artinya bila sistem tidak diberi input maka keluaran sistem tidak ada.

Contoh 1.3

Sistem diskrit dinyatakan dengan persamaan beda sebagai berikut

a. 𝑦 𝑛 = 2 + 0.2𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 − 1)

b. 𝑦 𝑛 = 0.3𝑥 𝑛 + 0.5𝑥(𝑛 − 1)

Apakah sistem tersebut linier?

Penyelesaian:

a. Pertama kita beri input nol 𝑥 𝑛 = 0, dari persamaan sistem soal 1.3.a diperoleh

output 𝑦 𝑛 = 2. Jadi sistem tersebut tidak linier.

b. Pertama kita beri input nol 𝑥 𝑛 = 0, dari persamaan sistem soal 1.3.b diperoleh

output 𝑦 𝑛 = 0. Selanjutnya kita cek dari sifat superposisi.

o Sistem diberi input 𝑥1(𝑛) maka outputnya

𝑦1 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 0.5𝑥1(𝑛 − 1)

o Sistem diberi input 𝑥2(𝑛) maka outputnya

𝑦2 𝑛 = 0.3𝑥2 𝑛 + 0.5𝑥2(𝑛 − 1)

o Sistem diberi input 𝑥12 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2(𝑛) maka outputnya

𝑦12 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 + 0.5𝑥1 𝑛 − 1 + 𝑥2 𝑛 − 1

𝑦12 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 0.5𝑥1 𝑛 − 1 + 0.3𝑥2 𝑛 + 0.5𝑥2 𝑛 − 1

𝑦12 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2 𝑛

Jadi sistem pada soal 1.3.b bersifat linier.

1.3.3 Sistem time-invariant

Sistem diskrit dikatakan time-invariant jika berlaku sifat

𝑇 𝑥 𝑛 − 𝑛0 = 𝑦(𝑛 − 𝑛0) (1.21)

Artinya sistem diberi input sama pada saat ini atau berikutnya, output sistem akan

tetap, dengan kata lain sistem tidak berubah terhadap waktu.

𝑇[. ]

𝑎𝑥1(𝑛) 𝑦1 𝑛 = 𝑎𝑇[𝑥1 𝑛 ]

𝑏𝑥2(𝑛) 𝑦2 𝑛 = 𝑏𝑇[𝑥2 𝑛 ]

𝑥12 𝑛 = 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2(𝑛) 𝑦12 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2(𝑛)


Bab I - 14

Contoh 1.4

Apakah sistem pada soal 1.3.b mempunyai sifat time-invariant?

Penyelesaian:

Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut:

Sistem diberi input 𝑥1(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 𝑛0) maka outputnya

𝑦1 𝑛 = 0.3𝑥1 𝑛 + 0.5𝑥1(𝑛 − 1)

𝑦1 𝑛 = 0.3𝑥(𝑛 − 𝑛0) + 0.5𝑥(𝑛 − 𝑛0 − 1)

Output sistem 𝑦2 𝑛 ditunda sebesar 𝑛0 maka 𝑦2 𝑛 = 𝑦(𝑛 − 𝑛0) sehingga

𝑦2 𝑛 = 𝑦(𝑛 − 𝑛0) = 0.3𝑥(𝑛 − 𝑛0) + 0.5𝑥(𝑛 − 𝑛0 − 1)

Karena 𝑦1(𝑛) = 𝑦2(𝑛), maka sistem tersebut time-invariant.

1.3.4 Sistem Kausal

Sistem diskrit dikatakan kausal jika output pada 𝑛 = 𝑛0 hanya tergantung pada input

pada saat 𝑛 ≤ 𝑛0, dengan kata lain output sistem hanya tergantung pada input saat yang

sama atau saat sebelumnya. Pengertian kausal dapat diartikan bahwa sistem kausal,

berarti sistem dapat direalisasikan.

Contoh 1.5

Apakah sistem diskrit pada soal 1.3.b mempunyai sifat kausal?

Penjelasan:

Pada sistem dengan persamaan beda 𝑦 𝑛 = 0.3𝑥 𝑛 + 0.5𝑥(𝑛 − 1) terlihat bahwa

output sistem hanya tergantung pada input saat yang sama dengan output dan input

satu sampling sebelumnya. Misalnya output sistem pada 𝑦(2) tergantung pada input

𝑥(2) dan 𝑥(1). Jadi sistem tersebut kausal.

1.3.5 Sistem Stabil

Sistem dikatakan stabil BIBO (bounded input-bounded output) jika sistem diberi sinyal

input terbatas maka akan menghasilkan sinyal output yang terbatas. Urutan input 𝑥(𝑛)

terbatas jika mempunyai nilai terbatas positif tetap untuk semua 𝑛

𝑥(𝑛) ≤ 𝐵𝑥 < ∞ untuk semua 𝑛 (1.22)

Untuk setiap urutan input akan menghasilkan urutan output dengan nilai terbatas

positif tetap untuk semua 𝑛 yaitu

𝑦(𝑛) ≤ 𝐵𝑦 < ∞ untuk semua 𝑛 (1.23)


Bab I - 15

1.4 Sistem Linier Time-Invariant

Sistem diskrit yang mempunyai sifat linier dan time-invariant disebut sistem linier

time-invariant (LTI). Sistem LTI bila diberi input impuls 𝛿(𝑛) maka outputnya

dinamakan respons impuls 𝑕(𝑛) seperti ditunjukkan pada gambar 1.13.

Gambar 1.13 Respons impuls pada sistem LTI

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dapat dinyatakan dengan penjumlahan deretan impuls terdelay yang

diilustrasikan pada gambar 1.14 dinyatakan secara matematis sebagai berikut

𝑥 𝑛 = ⋯ + 𝑐. 𝛿 𝑛 + 2 + 𝑑. 𝛿 𝑛 + 1 + 𝑒. 𝛿 𝑛 + 𝑓. 𝛿 𝑛 − 1 + 𝑔. 𝛿 𝑛 − 2 + ⋯ (1.24)

𝑥 𝑛 = ⋯ + 𝑥(−1).𝛿 𝑛 + 1 + 𝑥(0).𝛿 𝑛 + 𝑥(1). 𝛿 𝑛 − 1 + ⋯ (1.25)

Secara umum dapat ditulis secara matematis

𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.26)

Gambar 1.14 Representasi sinyal diskrit dalam deretan impuls

Sistem LTI bila diberi input impuls terdelay 𝑘 atau dengan kata lain impuls pada saat

𝑛 = 𝑘 yaitu 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛 − 𝑘) maka output sistem LTI adalah 𝑕𝑘 𝑛 = 𝑕(𝑛 − 𝑘), dan

dapat ditulis

𝑕𝑘 𝑛 = 𝑕 𝑛 − 𝑘 = 𝑇[𝛿 𝑛 − 𝑘 ] (1.27)

Bila sistem LTI diberi input sinyal diskrit 𝑥(𝑛) maka output sistem

𝑦 𝑛 = 𝑇[𝑥 𝑛 ] = 𝑇[ 𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)]

∞

𝑘=−∞

= 𝑇[𝑥 𝑘 𝛿(𝑛 − 𝑘)]

∞

𝑘=−∞

(1.28)

𝑇[. ]

𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) 𝑦 𝑛 = 𝑕(𝑛)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −2 −3 −4 𝑛

𝑎

𝑏

𝑐 d

𝑒 f

𝑔

𝑕

𝑖 𝑗 𝑘

𝑙

𝑚 𝑛

𝑜

𝑥(𝑛)


Bab I - 16

Koefisien 𝑥(𝑘) bernilai konstan maka

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑇[𝛿(𝑛 − 𝑘)]

∞

𝑘=−∞

= 𝑥 𝑘 𝑕𝑘 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

∞

𝑘=−∞

(1.29)

Persamaan (1.29) disebut sebagai penjumlahan konvolusi, secara matematis dapat

ditulis

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

= 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕(𝑛) (1.30)

Tanda * merupakan operator penjumlahan konvolusi atau konvolusi diskrit.

Contoh 1.6 : konvolusi dua sinyal terbatas

Sistem LTI kausal mempunyai respons impuls

𝑕 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 0.5𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿(𝑛 − 2)

Tentukan ouput sistem bila inputnya:

a. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 − 1 + 0.5𝛿(𝑛 − 2)

b. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2 + 0.5𝛿 𝑛 + 1 + 𝛿 𝑛 + 0.5𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿(𝑛 − 2)

Penyelesaian:

a. Bentuk sinyal 𝑥 𝑛 dan 𝑕(𝑛) sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕 𝑛 − 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑦 0 = 𝑥 𝑘 𝑕 −𝑘 = 𝑥 −1 𝑕 1 + 𝑥 0 𝑕 0 + 𝑥 1 𝑕 −1 = 1 (1) = 1

∞

𝑘=−∞

𝑦 1 = 𝑥 𝑘 𝑕 1 − 𝑘 = 𝑥 0 𝑕 1 + 𝑥 1 𝑕 0 = 1 0.5 + 1 (1) = 3/2

∞

𝑘=−∞

3 𝑛

0 1 2 4 5

𝑕(𝑛)

1/2

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑥(𝑛)

1 1/2


Bab I - 17

𝑦 2 = 𝑥 𝑘 𝑕 2 − 𝑘 = 𝑥 0 𝑕 2 + 𝑥 1 𝑕 1 + 𝑥 2 𝑕 0

∞

𝑘=−∞

𝑦 2 = 1 1 + 1 0.5 + 0.5 1 = 1 + 0.5 + 0.5 = 2

𝑦 3 = 𝑥 𝑘 𝑕 3 − 𝑘 = 𝑥 1 𝑕 2 + 𝑥 2 𝑕 1 = 1 1 + 0.5 0.5 = 5/4

∞

𝑘=−∞

𝑦 4 = 𝑥 𝑘 𝑕 4 − 𝑘 = 𝑥 2 𝑕 2 = 0.5 1 = 1/2

∞

𝑘=−∞

𝑦 5 = 0, 𝑦 6 = 0, dst

Bentuk hasil keluaran sistem pada contoh soal 1.6 a. sebagai berikut

b. Bentuk sinyal 𝑥 𝑛 dan 𝑕(𝑛) sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕 𝑛 − 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑦 −2 = 𝑥 𝑘 𝑕 −2 − 𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 0 + 𝑥 −1 𝑕 −1 = 1 1 + 0 = 1

∞

𝑘=−∞

𝑛 0 1 2 3 4

𝑥(𝑛) 1

1/2

-1 -2 -3 3 𝑛

0 1 2 4 5

𝑕(𝑛)

1/2

1

𝑛 0 1 2 3 4 5

𝑦(𝑛)

1 1/2

3/2

2

5/4


Bab I - 18

𝑦 −1 = 𝑥 𝑘 𝑕 −1 − 𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 1 + 𝑥 −1 𝑕 0

∞

𝑘=−∞

𝑦 −1 = 1 0.5 + 0.5 1 = 1

𝑦 0 = 𝑥 𝑘 𝑕 −𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 2 + 𝑥 −1 𝑕 1 + 𝑥 0 𝑕 0

∞

𝑘=−∞

𝑦 0 = 1 1 + 0.5 0.5 + 1 (1) = 2.25

𝑦 1 = 𝑥 𝑘 𝑕 1 − 𝑘 = 𝑥 −2 𝑕 3 + 𝑥 −1 𝑕 2 + 𝑥 0 𝑕 1 + 𝑥 1 𝑕(0)

∞

𝑘=−∞

𝑦 1 = 0 + 0.5 1 + 1 0.5 + 0.5 1 = 1.5

𝑦 2 = 𝑥 𝑘 𝑕 2 − 𝑘 = 𝑥 −1 𝑕 3 + 𝑥 0 𝑕 2 + 𝑥 1 𝑕 1 + 𝑥 2 𝑕(0)

∞

𝑘=−∞

𝑦 2 = 0 + 1 (1)+(0.5)(0.5)+(1)(1)=2.25

𝑦 3 = 𝑥 𝑘 𝑕 3 − 𝑘 = 𝑥 0 𝑕 3 + 𝑥 1 𝑕 2 + 𝑥 2 𝑕 1

∞

𝑘=−∞

𝑦 3 = 0 + 0.5 1 + 1 0.5 = 1

𝑦 4 = 𝑥 𝑘 𝑕 4 − 𝑘 = 𝑥 1 𝑕 3 + 𝑥 2 𝑕 2 = 0 + 1 1 = 1

∞

𝑘=−∞

𝑦 5 = 𝑥 𝑘 𝑕 5 − 𝑘 = 0,

∞

𝑘=−∞

𝑦 6 = 0, 𝑦 7 = 0, dst

Bentuk hasil keluaran sistem pada contoh soal 1.6.b sebagai berikut

𝑛 −2 −1 0 1 2 3

𝑦(𝑛)

1

2.25

1.5

4 −3 5


Bab I - 19

Contoh 1.7 Konvolusi sinyal tak terbatas

Sistem LTI kausal mempunyai respons impuls

𝑕 𝑛 = 1

2 𝑛

𝑢(𝑛)

Tentukan ouput sistem bila inputnya:

a. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 0.6𝛿 𝑛 − 1

b. 𝑥 𝑛 = 1

4 𝑛

𝑢(𝑛)

c. 𝑥 𝑛 = (1/4)𝑛𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 21

d. 𝑥 𝑛 = (1/4)𝑛𝑢 𝑛 − 5 − 𝑢 𝑛 − 21

Penyelesaian :

a. Karena 𝑥(𝑛) sinyal terbatas, maka output sistem dapat menggunakan sifat-sifat

konvolusi yaitu sifat identitas dan sifat konvolusi sinyal 𝑥(𝑛) dengan impuls

tertunda 𝑘

𝑦 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 0.6𝛿 𝑛 − 1 ∗ 𝑕 𝑛 = 𝑕 𝑛 + 0.6𝑕 𝑛 − 1

𝑦 𝑛 = 1

2 𝑛

𝑢(𝑛) + 0.6 1

2 𝑛−1

𝑢(𝑛 − 1)

𝑦 0 = 1; 𝑦 1 = 1,1; 𝑦 2 = 5,5 dst

b.


Bab I - 20

Sifat-sifat konvolusi diskrit

a. Komutatif

Secara matematis sifat komutatif

𝑥 𝑛 ∗ 𝑕 𝑛 = 𝑕 𝑛 ∗ 𝑥(𝑛) (1.31)

b. Asosiatif

Secara matematis sifat asosiatif

𝑥 𝑛 ∗ 𝑕1 𝑛 ∗ 𝑕2 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕1 𝑛 ∗ 𝑕2 𝑛 (1.32)

c. Distributif

Secara matematis sifat distributif

𝑥 𝑛 ∗ 𝑕1 𝑛 + 𝑕2 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕1 𝑛 + 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕2 𝑛 (1.33)

Secara sistem dapat digambarkan pada gambar 1.15.

a. Sifat komutatif

b. Sifat asosiatif

c. Sifat distributif

Gambar 1.15 Interpretasi sifat konvolusi dari sistem diskrit

d. Urutan identitas

𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 = 𝛿 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛) (1.34)

e. Konvolusi impuls terdelay dengan 𝑥(𝑛)

𝑥 𝑛 ∗ 𝛿 𝑛 − 𝑘 = 𝑥(𝑛 − 𝑘) (1.35)

𝑕(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑥(𝑛) 𝑕 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕1(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕2(𝑛) 𝑕1 𝑛 ∗ 𝑕2(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕1 𝑛 + 𝑕2(𝑛) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕1(𝑛)

𝑥 𝑛 𝑦 𝑛

𝑕2(𝑛)


Bab I - 21

Kausalitas sistem LTI

Definisi :

Berdasarkan respons impulsnya, sistem LTI dikatakan kausal bila respons impuls

𝑕 𝑛 = 0, untuk 𝑛 < 0.

Stabilitas sistem LTI

Definisi :

Berdasarkan respons impulsnya, sistem LTI dikatakan stabil BIBO bila respons

impulsnya dapat dijumlahkan secara absolut.

𝑆 = 𝑕(𝑛) < ∞

∞

𝑛=−∞

(1.33)

Pembuktian:

Output sistem LTI :

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

= 𝑥 𝑛 ∗ 𝑕 𝑛 = 𝑕 𝑛 ∗ 𝑥(𝑛) (1.34)

Kedua sisi kiri dan kanan diabsolutkan

𝑦 𝑛 = 𝑕 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

≤ 𝑕 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.35)

𝑦 𝑛 ≤ 𝑕(𝑘) . 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.36)

Bila input terbatas

𝑥(𝑛 − 𝑘) ≤ 𝐵𝑥 < ∞

Maka output juga terbatas

𝑦(𝑛) ≤ 𝐵𝑦 < ∞

Apabila

𝑆 = 𝑕(𝑘)

∞

𝑘=−∞

(1.37)


Bab I - 22

1.5 Persamaan Beda Koefisien Konstan Linier

Sistem linear time-invariant (LTI) dapat dikarakterisasi dengan respons impuls 𝑕(𝑛).

Selain itu. sistem LTI yang memiliki input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛) juga dapat

dikarakterisasi dengan persamaan beda koefisien konstan linier orde ke-𝑁 sebagai

berikut

𝑎𝑘𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=0

(1.38)

Jika sistem tersebut kausal maka kita dapat menyusun persamaan (1.38) menjadi

𝑦 𝑛 = − 𝑎𝑘

𝑎0𝑦 𝑛 − 𝑘 +

𝑏𝑘

𝑎0𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=1

(1.39)

Output sistem saat ke 𝑛 ditentukan oleh input saat ke 𝑛, input saat sebelumnya

𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 𝑛 − 𝑀 dan output saat sebelumnya 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … , 𝑛 − 𝑁.

Contoh 1.8:

Sistem diskrit LTI dinyatakan dengan persamaan beda sebagai berikut :

𝑦 𝑛 − 0.5𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥(𝑛)

Diasumsikan 𝑦 𝑛 = 0, untuk semua 𝑛 < 0

a. Berapa orde sistem LTI tersebut.

b. Tentukan respons impuls sistem 𝑕(𝑛).

Penyelesaian :

a. Berdasarkan persamaan beda pada soal terlihat bahwa 𝑁 = 1, maka termasuk

orde ke-1

b. Evaluasi untuk 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) maka output sistem

Ditulis kembali

𝑦 𝑛 = 0.5𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥(𝑛)

input siatem adalah impuls, maka

𝑛 = 0, 𝑦 0 = 0.5𝑦 −1 + 𝑥 0 = 0.5 0 + 1 = 1 = (0.5)0

𝑛 = 1, 𝑦 1 = 0.5𝑦 0 + 𝑥 1 = 0.5 . 1 + 0 = (0.5)1

𝑛 = 2, 𝑦 2 = 0.5𝑦 1 + 𝑥(2) = 0.5 . 0.5 + 0 = (0.5)2

𝑛 = 3, 𝑦 3 = 0.5𝑦 2 + 𝑥(3) = 0.5 . 0.5 2 + 0 = (0.5)3

𝑦 𝑛 = (0.5)𝑛 , untuk 𝑛 ≥ 0

𝑦 𝑛 = 0.5 𝑛𝑢(𝑛)


Bab I - 23

1.6 Klasifikasi sistem diskrit berdasarkan respons impuls

Sistem diskrit LTI dapat dikarakterisasi dengan respons impuls 𝑕(𝑛). Berdasarkan

durasi respons impuls atau dengan kata lain berdasarkan banyaknya sampling respons

impuls sistem, maka sistem LTI dapat dikelompokkan menjadi 2 macam:

1.6.1 Sistem IIR (Infinite-impuls respons)

Merupakan sistem diskrit yang mempunyai durasi respons impuls tak terbatas.

Contoh 1.9

Sistem diskrit dengan respons impuls 𝑕 𝑛 = 1

4 𝑛

𝑢(𝑛)

Apakah sistem tersebut IIR?

Penyelesaian:

Respons impuls mempunyai harga dari 𝑛 = 0 sampai 𝑛 = ∞ maka sistem

tersebut tergolong IIR.

1.6.2 Sistem FIR (Finite-impuls respons)

Merupakan sistem diskrit yang mempunyai durasi respons impuls terbatas.

Contoh 1.10

Sistem diskrit dengan respons impuls 𝑕 𝑛 = 1

4 𝑛

𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 101 .

Penyelesaian:

Pada contoh tersebut respons impuls berdurasi terbatas dari 𝑛 = 0 sampai

𝑛 = 100, sehingga disebut sebagai sistem FIR.

Contoh 1.11

Sistem diskrit dengan input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛) dikarakterisasi dengan

persamaan beda koefisien konstan linier

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 0.3𝑥 𝑛 − 1 − 0.5𝑥 𝑛 − 2 + 1.5𝑥 𝑛 − 3 − 0.75𝑥(𝑛 − 4)

Penyelesaian:

Apabila sistem diberi input impuls 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛) maka output sistem

𝑦 𝑛 = 𝑕(𝑛) = 𝛿 𝑛 + 0.3𝛿 𝑛 − 1 − 0.5𝛿 𝑛 − 2 + 1.5𝛿 𝑛 − 3 − 0.75𝛿(𝑛 − 4)

Sehingga terlihat respons impuls berdurasi terbatas dari 𝑛 = 0 sampai 𝑛 = 4,

sehingga disebut sebagai sistem FIR.

𝑛 0 1 2 3 4

𝑥(𝑛)

1

1/4

(1/4)2

(1/4)𝑛

5 6


Bab I - 24

SOAL LATIHAN

1. Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) berikut

Sketsa sinyal 𝑥(𝑛) setelah mengalami proses:

a. 𝑥 𝑛 − 2 d. 𝑥(−𝑛 + 2)

b. 𝑥 𝑛 + 2 e. 𝑥(−𝑛 − 2)

c. 𝑥 −𝑛 f. 𝑥(2𝑛)

2. Tentukan periode sinyal berikut

a. 𝑥 𝑛 = 2 Sin(𝜋

20𝑛)

b. 𝑥 𝑛 = 3 cos(0.055𝜋𝑛)

c. 𝑥 𝑛 = 2 sin 0.05𝜋𝑛 + 3 sin(0.12𝜋𝑛)

d. 𝑥 𝑛 = 2 sin 0.05𝜋𝑛 cos(0.05𝜋𝑛)

3. Sistem diskrit dengan input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛) mempunyai persamaan beda

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 0.3𝑥 𝑛 − 1 + 0.8𝑥(𝑛 − 2)

Buktikan bahwa sistem diskrit tersebut mempunyai sifat linear dan time invariant.

4. Sistem LTI mempunyai respons impuls 𝑕 𝑛 = (0.25)𝑛𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 11

a. Apakah sistem tersebut kausal? Jelaskan.

b. Apakah sistem stabil BIBO? Jelaskan.

c. Tentukan output sistem bila inputnya

(i) 𝑥 𝑛 = 1

3 𝑛

𝑢(𝑛)

(ii) 𝑥 𝑛 = 1

3 𝑛

𝑢 𝑛 − 6

(iii) 𝑥 𝑛 = 1

3 𝑛

𝑢 𝑛 − 6 − 𝑢 𝑛 − 56

𝑛 0 1 2 3 4

𝑥(𝑛)

1

1/2 1/4


Bab I - 25

5. Sistem diskrit mempunyai persamaan beda koefisien konstan linier

𝑦 𝑛 − 0.5𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 + 0.4𝑥 𝑛 − 1 + 0.2𝑥(𝑛 − 2)

Diasumsikan 𝑦 𝑛 = 0, untuk 𝑛 < 0.

a. Orde berapa sistem diskrit tersebut.

b. Tentukan respons impuls pada 𝑛 = 0; 1; 2; 3; 4; 5

c. Tentukan respons unit step pada 𝑛 = 0; 1; 2; 3; 4; 5

6. Sistem diskrit mempunyai persamaan beda koefisien konstan linier

𝑦 𝑛 − 0.3𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛

Diasumsikan 𝑦 𝑛 = 0, untuk 𝑛 < 0.

a. Tentukan respons impuls sistem tersebut.

b. Apakah sistem tersebut stabil BIBO? Jelaskan.

c. Apakah sistem tersebut FIR atau IIR? Jelaskan.

==================================================

Rumus bantu:

𝑎𝑘 =𝑎𝑁1 − 𝑎𝑁2+1

1 − 𝑎

𝑁2

𝑘=𝑁1

, 𝑎 ≠ 1

Rumus trigonometri:

sin 𝐴 + 𝐵 = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵

cos 𝐴 + 𝐵 = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

2cos 𝐴 cos 𝐵 = cos 𝐴 + 𝐵 + cos(𝐴 − 𝐵)

2cos 𝐴 sin 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 − sin(𝐴 − 𝐵)

2sin 𝐴 cos 𝐵 = sin 𝐴 + 𝐵 + sin(𝐴 − 𝐵)

2sin 𝐴 sin 𝐵 = cos 𝐴 − 𝐵 − cos(𝐴 + 𝐵)

sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴

𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2𝐴 = 1

Pengolahan Sinyal Digital, Bab II : Analisa Frekuensi

Bab II - 1

Bab 2

Analisa Frekuensi

2.1 Pendahuluan

Representasi dalam kawasan frekuensi dari sinyal dan sistem diskrit merupakan analisa

penting dalam pengolahan sinyal digital. Metode yang sering digunakan untuk analisa

sinyal dan sistem diskrit dalam domain frekuensi adalah menggunakan transformasi

Fourier. Transformasi Fourier mampu mempermudah proses komputasi konvolusi

sehingga komputasi menjadi lebih sederhana. Pada bagian ini akan dijelaskan

representasi output sistem LTI apabila diberi input sinyal eksponensial kompleks

maupun sinyal sinus. Transformasi Fourier dan sifat-sifatnya juga akan dijelaskan

secara detail. Pengantar tentang filter digital dan jenis filter dibahas juga pada bagian

ini. Interkoneksi sistem diskrit dan aplikasinya dibahas dibagian akhir bab ini.

2.2 Representasi Frekuensi dari Sinyal dan Sistem Diskrit Sistem LTI dikarakterisasi dengan respons impuls ℎ(𝑛), sinyal 𝑥(𝑛) dijadikan sebagai input sistem tersebut menghasilkan respons sistem 𝑦(𝑛) yang ditunjukkan pada gambar 2.1. Pada bagian berikutnya akan dijelaskan sistem LTI yang diberi input sinyal eksponensial kompleks dan sinyal sinus.

Gambar 2.1 Sistem LTI 2.2.1 Respons sistem dengan input eksponensial kompleks Sistem LTI pada gambar 2.1 diberi input sinyal eksponensial kompleks 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔𝑛 , dimana 𝜔 adalah konstanta yang merupakan frekuensi sinyal.

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 = ℎ 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛 = ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

∞

𝑘=−∞

(2.1)

𝑦 𝑛 = ℎ 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑒𝑗𝜔 (𝑛−𝑘) = 𝑒𝑗𝜔𝑛 ℎ 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑒−𝑗𝜔𝑘 = 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝐻(𝑒𝑗𝜔 ) (2.2)

𝐻(𝑒𝑗𝜔 ) = ℎ 𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑒−𝑗𝜔𝑘 (2.3)

ℎ(𝑛)

𝑥 𝑛 𝑦 𝑛


Bab II - 2

Dimana 𝐻(𝑒𝑗𝜔 ) merupakan respons frekuenasi sistem dan juga transformasi Fourier dari ℎ(𝑛). Pada pers (2.2) terlihat merupakan perkalian antara sinyal input eksponensial kompleks 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔𝑛 dengan respons frekuensi sistem 𝐻(𝑒𝑗𝜔 ), dimana

𝐻 𝑒𝑗𝜔 bilangan komplek dan selalu periodik dengan periode 2𝜋.

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻𝑅 𝑒𝑗𝜔 + 𝑗𝐻𝐼 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗∡𝐻 𝑒 𝑗𝜔 (2.4)

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻𝑅2 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻𝐼

2 𝑒𝑗𝜔 (2.5)

∡𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑡𝑎𝑛−1𝐻𝐼 𝑒

𝑗𝜔

𝐻𝑅 𝑒𝑗𝜔 (2.6)

Dimana 𝐻 𝑒𝑗𝜔 dan ∡𝐻 𝑒𝑗𝜔 merupakan respon magnitud dan respon fasa dari

sistem tersebut. 2.2.2 Respons impuls sistem LTI Sistem LTI dengan respons frekuensi 𝐻 𝑒𝑗𝜔 memiliki respons impuls dengan cara

melakukan invers respons frekuensi yaitu dengan melakukan integrasi satu periode 2𝜋

ℎ 𝑛 =1

2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛

𝜋

−𝜋

𝑑𝜔 (2.7)

Bentuk pers (2.7) merupakan transformasi Fourier balik. 2.2.3 Respons sistem dengan input sinus Sistem LTI pada gambar 2.1 diberi input sinyal sinus 𝑥 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑛 + 𝜃), dimana 𝐴, 𝜔0 dan 𝜃 adalah amplitudo sinyal, frekuensi sinyal dan fasa sinyal sinus. Sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk kompleks polar

𝑥 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑛 + 𝜃 =𝐴

2𝑒𝑗 (𝜔0𝑛+𝜃) +

𝐴

2𝑒−(𝑗𝜔0𝑛+𝜃)

(2.8)

Output steady-state sistem LTI menjadi

𝑦 𝑛 =𝐴

2𝑒𝑗 (𝜔0𝑛+𝜃)𝐻(𝑒𝑗𝜔0 ) +

𝐴

2𝑒−(𝑗𝜔0𝑛+𝜃)𝐻(𝑒−𝑗𝜔0 ) (2.9)

Suku pertama dan kedua pers (2.9) saling konjugate maka menjadi

𝑦 𝑛 = 2𝑅𝑒𝐴

2𝑒𝑗 (𝜔0𝑛+𝜃)𝐻 𝑒𝑗𝜔0 (2.10)

𝑦 𝑛 = 2𝑅𝑒𝐴

2𝑒𝑗 (𝜔0𝑛+𝜃) 𝐻 𝑒𝑗𝜔0 𝑒∡𝐻(𝑒 𝑗𝜔𝑜 ) (2.11)

𝑦 𝑛 = 𝐴. 𝐻 𝑒𝑗𝜔0 . 𝑅𝑒 𝑒𝑗 (𝜔0𝑛+𝜃+∡𝐻 𝑒 𝑗𝜔𝑜 (2.12)


Bab II - 3

𝑦 𝑛 = 𝐴. 𝐻 𝑒𝑗𝜔0 . cos(𝜔0𝑛 + 𝜃 + ∡𝐻 𝑒𝑗𝜔𝑜 ) (2.13)

𝑦 𝑛 = 𝐴𝑦 . cos(𝜔0𝑛 + 𝜃𝑦) (2.14)

Dari pers (2.13) terlihat bahwa output steady-state berupa sinyal sinus dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi sinyal input 𝜔0, amplitudonya berubah menjadi perkalian antara amplitudo sinyal input 𝐴 dengan respons magnitud sistem pada frekuensi sinyal input 𝐻 𝑒𝑗𝜔0 dan fasanya menjadi penjumlahan antara fasa sinyal

input 𝜃 dengan respons fasa sistem pada frekuensi sinyal input ∡𝐻 𝑒𝑗𝜔𝑜 .

Contoh 2.1 Sistem LTI mempunyai respons impuls ℎ 𝑛 = 0,5 𝑛𝑢(𝑛). Tentukan output steady-state sistem bila diberi input sebagai berikut:

a. 𝑥 𝑛 = 2 cos 0,25𝜋𝑛 + 0,5𝜋 𝑢(𝑛) b. 𝑥 𝑛 = 3𝑢 𝑛 + 2 cos 0,25𝜋𝑛 + 0,5𝜋 𝑢(𝑛)

Penyelesaian: Respons frekuensi sistem LTI adalah

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = ℎ 𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒−𝑗𝜔𝑛 = (0,5)𝑛

∞

𝑛=0

𝑒−𝑗𝜔𝑛 = (0,5

∞

𝑛=0

𝑒−𝑗𝜔 )𝑛

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =(0,5𝑒−𝑗𝜔 )0 − (0,5𝑒−𝑗𝜔 )∞+1

1 − 0,5𝑒−𝑗𝜔=

1

1 − 0,5𝑒−𝑗𝜔

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =1

1 − 0,5 cos 𝜔 + j0,5sin(ω)

Respons magnitud sistem LTI:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =1

(1 − 0,5 cos 𝜔)2 + (0,5 sin 𝜔)2=

1

1,25 − cos 𝜔 (2.15)

Respons fasa sistem LTI:

∡𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 0 − 𝑡𝑎𝑛−1 0,5 sin 𝜔

1 − 0,5 cos 𝜔 (2.16)

a. Respons magnitud dan fasa sistem pada frekuensi sinyal input 𝜔 = 0,25𝜋 adalah

𝐻 𝑒𝑗0,25𝜋 =1

1,25 − cos(0,25𝜋)= 2,935

∡𝐻 𝑒𝑗0,25𝜋 = −𝑡𝑎𝑛−1 0,5 sin(0,25𝜋)

1 − 0,5 cos(0,25𝜋) = −0,159𝜋

Output steady-state sistem LTI adalah

𝑦 𝑛 = 2. 2,935 . cos 0,25𝜋𝑛 + 0,5𝜋 − 0,159𝜋 𝑢(𝑛)

𝑦 𝑛 = 5.87cos(0,25𝜋𝑛 + 0.341𝜋)𝑢(𝑛)


Bab II - 4

b. Respons magnitud dan fasa sistem pada frekuensi sinyal input 𝜔1 = 0 dan

𝜔2 = 0,25𝜋 adalah

𝐻 𝑒𝑗0 =1

1,25 − cos 0= 2

∡𝐻 𝑒𝑗0 = −𝑡𝑎𝑛−1 0,5 sin(0)

1 − 0,5 cos(0) = 0

Untuk frekuensi 𝜔2 = 0,25𝜋 sama dengan jawaban (a) Jadi output steady-state sistem LTI adalah

𝑦 𝑛 = 3. 2 𝑢 𝑛 + 5,87 cos 0,25𝜋𝑛 + 0,341𝜋 𝑢 𝑛 𝑦 𝑛 = 6𝑢 𝑛 + 5,87 cos 0,25𝜋𝑛 + 0,341𝜋 𝑢 𝑛

2.3 Filter digital Filter digital sering disebut sebagai sistem diskrit. Filter dapat dikarakterisasi dalam bentuk sifat-sifatnya seperti linieritas, time-invariant, kausalitas, stabilitias dll, dan juga diklasifikasikan berdasarkan respons frekuensinya, diantaranya: 2.3.1 Filter fasa linier Filter dikatakan mempunyai fasa linier bila mempunyai bentuk persamaan sebagai berikut

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐴 𝑒𝑗𝜔 . 𝑒−𝑗𝛼𝜔 (2.17)

Dimana 𝛼 dan 𝐴 𝑒𝑗𝜔 berturut-turut merupakan bilangan real dan nilai real sebagai

fungsi 𝜔. Fasa dari 𝐻 𝑒𝑗𝜔 adalah

∅ 𝜔 = −𝛼𝜔 untuk 𝐴 𝑒𝑗𝜔 ≥ 0

−𝛼𝜔 + 𝜋 untuk 𝐴 𝑒𝑗𝜔 < 0 (2.18)

Selanjutnya secara umum, filter dikatakan mempuntai fasa linier jika mempunyai bentuk umum

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐴 𝑒𝑗𝜔 . 𝑒−𝑗 (𝛼𝜔−𝛽) (2.19)

Pers (2.19) dapat dikatakan juga sebagai filter dengan group delay konstan. Group delay didefinisikan

𝜏𝑔 𝑒𝑗𝜔 = −𝑑∡𝐻 𝑒 𝑗𝜔

𝑑𝜔= −

𝑑−𝛼𝜔 +𝛽

𝑑𝜔= 𝛼 (2.20)

Artinya bahwa sinyal yang melewati sistem dengan respons fasa (−𝛼𝜔 + 𝛽) mengalami delay sebesar 𝛼.


Bab II - 5

2.3.2 Filter Allpass Filter digital dikatakan allpass jika respons magnitud dari sistem adalah konstan dan secara matematis dapat ditulis sebagai berikut

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑐 (2.21)

Contoh 2.2 Buktikan bahwa respons frekuensi dibawah ini merupakan sistem allpass.

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑒−𝑗𝜔 − 0,5

1 − 0,5𝑒−𝑗𝜔

Penyelesaian:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑒−𝑗𝜔 − 0,5

1 − 0,5𝑒−𝑗𝜔=

cos 𝜔 − 𝑗sin𝜔 − 0,5

1 − 0,5 cos 𝜔 + 0,5𝑗sin𝜔

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = (−0,5 + cos 𝜔)2 + (− sin 𝜔)2

(1 − 0,5cos 𝜔)2 + (0,5 sin 𝜔)2

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 0,25 − cos 𝜔 + 𝑐𝑜𝑠2𝜔 + sin2𝜔

1 − cos 𝜔 + 0,25𝑐𝑜𝑠2𝜔 + 0,25sin2𝜔

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1,25 − cos 𝜔

1,25 − cos 𝜔= 1

Jadi sistem tersebut termasuk allpass karena, respons magnitud sistemnya bernilai konstan. 2.3.3 Filter selektif frekuensi Bedasarkan pemilihan frekuensi yang diloloskan, terdapat beberapa jenis filter diantaranya LPF (Low Pass Filter), HPF (High Pass Filter), BPF (Band Pass Filter), BSF (Band Stop Filter). Interval frekuensi pada respons magnitud yang bernilai 1 atau konstan disebut daerah passband (pita lolos) sedangkan interval frekuensi pada respons magnitud yang bernilai 0 disebut daerah stopband. Frekuensi yang membatasi passband dan stopband disebut frekuensi cutoff. Filter digital ideal mempunyai respons fasa 0 disemua frekuensi dan mempunyai respons magnitud sebagai berikut: a. Low Pass Filter (LPF) LPF mempunyai respons magnitud seperti pada gambar 2.2 dan selalu periodik dengan periode 2𝜋. LPF mempunyai frekuensi cutoff 𝜔𝑐 dan secara matematik dapat ditulis

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1 𝜔 ≤ 𝜔𝑐

0 𝜔𝑐 < 𝜔 ≤ 𝜋 (2.22)


Bab II - 6

ℎ 𝑛 =1

2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝜋

−𝜋𝑑𝜔 =

sin 𝜔𝑐𝑛

𝜋𝑛 (2.23)

Gambar 2.2 Filter LPF ideal b. High Pass Filter (HPF) HPF mempunyai respons magnitud seperti pada gambar 2.3 dan selalu periodik dengan periode 2𝜋. HPF mempunyai frekuensi cutoff 𝜔𝑐 dan secara matematik dapat ditulis

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1 𝜔𝑐 < 𝜔 ≤ 𝜋

0 𝜔 ≤ 𝜔𝑐

(2.24)

ℎ 𝑛 =1


−𝜋𝑑𝜔 = 𝛿 𝑛 −

sin 𝜔𝑐𝑛

𝜋𝑛 (2.25)

Gambar 2.3 Filter HPF ideal

c. Band Pass Filter (BPF) BPF mempunyai respons magnitud seperti pada gambar 2.4 dan selalu periodik dengan periode 2𝜋. BPF mempunyai frekuensi cutoff 𝜔1 dan 𝜔2. Secara matematik dapat ditulis

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1 𝜔1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔2

0 𝜔 < 𝜔1 dan 𝜔2 < 𝜔 ≤ 𝜋 (2.26)

𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝜔𝑐 −𝜔𝑐 𝜋 −𝜋

1

0 𝜔

𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝜔𝑐 −𝜔𝑐 𝜋 −𝜋

1

0 𝜔

𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝜔1 −𝜔2 𝜋 −𝜋

1

0 𝜔 𝜔2 −𝜔1


Bab II - 7

Gambar 2.4 Filter BPF ideal

ℎ 𝑛 =1


−𝜋𝑑𝜔 =

sin 𝜔2𝑛

𝜋𝑛−

sin 𝜔1𝑛

𝜋𝑛 (2.27)

d. Band Stop Filter (BSF) BSF mempunyai respons magnitud seperti pada gambar 2.5 dan selalu periodik dengan periode 2𝜋. BSF mempunyai frekuensi cutoff 𝜔1 dan 𝜔2. Secara matematik dapat ditulis

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1 𝜔 < 𝜔1 𝑑𝑎𝑛 𝜔2 < 𝜔 ≤ 𝜋

0 𝜔1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔2

(2.28)

ℎ 𝑛 =1


−𝜋𝑑𝜔 = 𝛿 𝑛 −

sin 𝜔2𝑛

𝜋𝑛−

sin 𝜔1𝑛

𝜋𝑛 (2.29)

Gambar 2.5 Filter BSF ideal

2.4 Interkoneksi Sistem Diskrit Dua sistem diskrit atau lebih sering diinterkoneksikan menjadi sistem diskrit sesuai yang diinginkan. Terdapat dua tipe interkoneksi sistem yaitu serial (cascade) dan paralel. Sistem LTI tersusun secara serial ditunjukkan pada gambar 2.6.

Gambar 2.6 Interkoneksi secara serial

Sistem pada gambar 2.6 ekivalen dengan sistem tunggal yang mempunyai respons impuls

ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛 (2.30)

Dan mempunyai respons frekuensi

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻1 𝑒𝑗𝜔 . 𝐻2 𝑒

𝑗𝜔 (2.31)

𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝜔1 −𝜔2 𝜋 −𝜋

1

0 𝜔 𝜔2 −𝜔1

ℎ1(𝑛) ℎ2(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)


Bab II - 8

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻1 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗∡𝐻1 𝑒 𝑗𝜔 . 𝐻2 𝑒

𝑗𝜔 𝑒𝑗∡𝐻2 𝑒 𝑗𝜔 (2.32)


𝑗𝜔 . 𝑒𝑗 (∡𝐻1 𝑒 𝑗𝜔 +∡𝐻2 𝑒 𝑗𝜔 ) (2.33)


𝑗𝜔 (2.34)

∡𝐻 𝑒𝑗𝜔 = ∡𝐻1 𝑒𝑗𝜔 + ∡𝐻2 𝑒

𝑗𝜔 (2.35)

Pada pers (2.34) dan (2.35) terlihat bahwa respons magnitud sistem ekivalen cascade merupakan perkalian antara respons magnitud pertama dan respons magnitud kedua. Respons fasa sistem ekivalen merupakan jumlahan respons fasa sistem pertama dengan respons fasa sistem kedua.

Gambar 2.7 Interkoneksi secara paralel Dua sistem LTI yang tersusun secara paralel dapat dilihat pada gambar 2.7. Jaringan sistem yang tersusun paralel sama dengan sistem ekivalen yang mempunyai respons impuls

ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 + ℎ2 𝑛 (2.36)

Sedangkan respons frekuensi sistem ekivalennya

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻2 𝑒

𝑗𝜔 (2.37)

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻1 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗∡𝐻1 𝑒 𝑗𝜔 + 𝐻2 𝑒

𝑗𝜔 𝑒𝑗∡𝐻2 𝑒 𝑗𝜔 (2.38)

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻𝑅1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻𝑅2 𝑒

𝑗𝜔 + j𝐻𝐼1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻𝐼2 𝑒

𝑗𝜔 (2.39)

Jika kedua sistem LTI yang tersusun secara paralel masing-masing mempunyai respons fasa 0 disemua frekuensi, maka respons frekuensi ekivalennya merupakan jumlahan respons magnitud pertama dan respons magnitud kedua. Apabila respons fasa masing-masing sistem LTI tidak nol, maka respons frekuensi ekivalennya dapat diselesaikan menggunakan pers (2.39) dengan respons magnitud ekivalen dan respons fasa ekivalen sebagai berikut

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻𝑅1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻𝑅2 𝑒𝑗𝜔 2 + 𝐻𝐼1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻𝐼2 𝑒𝑗𝜔 2 (2.40)

ℎ1(𝑛)

ℎ2(𝑛)

𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)


Bab II - 9

∡𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝐻𝐼1 𝑒

𝑗𝜔 + 𝐻𝐼2 𝑒𝑗𝜔

𝐻𝑅1 𝑒𝑗𝜔 + 𝐻𝑅2 𝑒𝑗𝜔 (2.41)

Contoh 2.3 Dua sistem LTI dengan respon frekuensi seperti pada gambar 2.8, kedua sistem tersebut

dipasang secara serial (cascade).

Gambar 2.8 Respons frekuensi dua sistem LTI

a. Gambarkan respons frekuensi sistem ekivalennya

b. Tentukan persamaan respon frekuensi sistem ekivalennya.

c. Tentukan persamaan respon impuls sistem ekivalennya.

Penyelesaian:

a. Karena tersusun secara serial maka respons magnitud ekivalennya merupakan perkalian antara respons magnitud pertama dengan respons magnitud kedua, sehingga gambar respons magnitud ekivalennya berupa respons magnitud BPF, b. Persamaan respon frekuensi sistem ekivalennya

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1 𝜋/3 ≤ 𝜔 ≤ 3𝜋/4

0 𝜔 < 𝜋/3 dan 3𝜋/4 < 𝜔 ≤ 𝜋

c. Persamaan respon impuls sistem ekivalennya

ℎ(𝑛) =sin 3𝜋𝑛/4

𝜋𝑛−

sin 𝜋𝑛/3

𝜋𝑛

2.5 Transformasi Fourier Diskrit Respons frekuensi sistem LTI diperoleh dengan mengalikan respons impuls ℎ(𝑛) dengan eksponensial kompleks 𝑒−𝑗𝜔𝑛 dan menjumlahkan sebanyak interval 𝑛.

Transformasi Fourier (TF) diskrit dari 𝑋 𝑒𝑗𝜔 didefinisikan dengan cara yang sama

yaitu

-3π/4 -π/3 π/3 3π/4 ω

1

𝐻 𝑒𝑗𝜔

H2(𝑒𝑗𝜔 ) H1(𝑒𝑗𝜔 )

1 1

-3π/4 -π/4 π/4 3π/4 ω

-π -π/3 π/3 π ω


Bab II - 10

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥 𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒−𝑗𝜔𝑛 (2.42)

Agar transformasi Fourier sinyal diskrit 𝑋 𝑒𝑗𝜔 ada, maka penjumlahan pada pers

(2.42) harus konvergen. Hal ini terpenuhi bila 𝑥(𝑛) dapat dijumlahkan secara absolut:

𝑥 𝑛

∞

𝑛=−∞

= 𝑆 < ∞ (2.43)

Hal yang harus diingat bahwa transformasi Fourier mempunyai sifat selalu periodik dengan periode 2𝜋. 2.6 Transformasi Fourier Diskrit Balik

Transformasi Fourier Diskrit Balik dari spektrum sinyal diskrit 𝑋 𝑒𝑗𝜔 dapat diperoleh

cara yang sama dengan saat mendapatkan respons impuls sistem LTI, sehingga 𝑥(𝑛) diperoleh dengan melakukan transformasi Fourier Diskrit Balik

𝑥 𝑛 =1

2𝜋 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛

𝜋

−𝜋

𝑑𝜔 (2.44)

Pasangan transformasi Fourier diskrit dapat dilihat pada tabel 2.1.

Tabel 2.1 Pasangan transformasi Fourier diskrit No Sinyal diskrit Transformasi Fpurier 1 𝛿(𝑛) 1 2 𝛿(𝑛 − 𝑑) 𝑒−𝑗𝜔𝑑

3 1 (−∞ < 𝑛 < ∞) 2𝜋𝛿(𝜔 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞

4 𝑎𝑛𝑢(𝑛) ( 𝑎 < 1) 1

1 − 𝑎𝑒−jω

5 𝑢(𝑛) 1

1 − 𝑎𝑒−jω+ 𝜋𝛿(𝜔 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞

6 (𝑛 + 1)𝑎𝑛𝑢(𝑛) ( 𝑎 < 1) 1

1 − 𝑎𝑒−jω 2

7 𝑟𝑛 sin 𝜔0 𝑛 + 1

sin 𝜔0𝑢(𝑛) ( 𝑟 < 1)

1

1 − 2𝑟cos𝜔0𝑒−jω + 𝑟2𝑒−j2ω

8 sin 𝜔𝑐𝑛

𝜋𝑛 𝐻 𝑒𝑗𝜔 =

1 𝜔 ≤ 𝜔𝑐

0 𝜔𝑐 < 𝜔 ≤ 𝜋

9 𝑥 𝑛 = 1 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀0 𝑛 lainnya

sin[𝜔(𝑀 + 1)/2]

sin(𝜔/2)𝑒−𝑗𝜔𝑀 /2

10 𝑒j]𝜔0𝑛 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞


Bab II - 11

11 cos(𝜔0𝑛 + ∅) 𝜋[𝑒𝑗∅𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

+ 𝑒−𝑗∅𝛿 𝜔 + 𝜔0 + 2𝜋𝑘 ]

2.7 Sifat-sifat Transformasi Fourier Diskrit Sifat transformasi Fourier diskrit (TF) dapat digunakan untuk menyederhanakan evaluasi transformasi Fourier dan inversnya. Beberapa sifat transformasi Fourier dijelaskan dibawah ini dan disimpulkan pada tabel 2.2.

Tabel 2.2 Sifat-sifat Transformasi Fourier Sifat Sinyal diskrit Transformasi Fourier

Linier 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 𝑛 𝑎𝑋1 𝑒𝑗𝜔 + 𝑏𝑋2 𝑒

𝑗𝜔

Pergeseran waktu 𝑥 𝑛 − 𝑑 𝑒−𝑗𝜔𝑑 𝑋1 𝑒𝑗𝜔

Time-reversal 𝑥 −𝑛 𝑋 𝑒−𝑗𝜔

Modulasi 𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑥 𝑛 𝑋(𝑒𝑗 (𝜔−𝜔0)) Konvolusi 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 𝑋1 𝑒

𝑗𝜔 . 𝑋2 𝑒𝑗𝜔

Konjugasi 𝑥∗ 𝑛 𝑋∗ 𝑒−𝑗𝜔

Derivative 𝑛𝑥 𝑛 𝑗𝑑𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑑𝜔

Perkalian 𝑥1 𝑛 . 𝑥2 𝑛 1

2𝜋 𝑋1 𝑒

𝑗𝜃 𝑋2(𝑒𝑗 (𝜔−𝜃)𝑑𝜃𝜋

−𝜋

Teori Parseval 𝑥 𝑛 2

∞

𝑛=−∞

1

2𝜋 𝑋(𝑒𝑗𝜔 )

2𝑑𝜔

𝜋

−𝜋

a. Linieritas

Sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) mempunyai TF 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 dan sinyal diskrit 𝑥2(𝑛) mempunyai

TF 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 , maka jumlahan dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) mempunyai TF

sebagai berikut

𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 𝑛 𝑇𝐹 𝑎𝑋1 𝑒

𝑗𝜔 + 𝑏𝑋2 𝑒𝑗𝜔

Dimana 𝑎 dan 𝑏 merupakan konstanta

b. Pergeseran waktu

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) mempunyai TF 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , maka sinyal 𝑥(𝑛) yang ditunda

sebesar 𝑑 mempnyai TF

𝑥 𝑛 − 𝑑 𝑇𝐹 𝑒−𝑗𝜔𝑑 𝑒𝑗𝜔

c. Modulasi

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) mempunyai TF 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , maka sinyal 𝑥(𝑛) dikalikan dengan

eksponensial komplek 𝑒𝑗𝜔0𝑛 menghasilkan pergeseran frekuensi


Bab II - 12

𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑥 𝑛 𝑇𝐹 𝑋(𝑒𝑗 (𝜔−𝜔0))

d. Konvolusi Sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) mempunyai TF 𝑋1 𝑒

𝑗𝜔 dan sinyal diskrit 𝑥2(𝑛) mempunyai

TF 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 , maka konvolusi dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) mempunyai TF

sebagai berikut

𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 𝑇𝐹 𝑋1 𝑒

𝑗𝜔 . 𝑋2 𝑒𝑗𝜔

e. Perkalian

Sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) mempunyai TF 𝑋1 𝑒𝑗𝜔 dan sinyal diskrit 𝑥2(𝑛) mempunyai

TF 𝑋2 𝑒𝑗𝜔 , maka perkalian dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) mempunyai TF

sebagai berikut

𝑥1 𝑛 . 𝑥2 𝑛 𝑇𝐹

1

2𝜋 𝑋1 𝑒

𝑗𝜃 𝑋2(𝑒𝑗 (𝜔−𝜃)𝑑𝜃𝜋

−𝜋

f. Teori Parseval

Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) mempunyai TF 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , maka kita dapat menghitung energi

suatu sinyal diskrit dalam domain waktu maupun domain frekuensi dengan formula sebagai berikut

𝑥 𝑛 2 =1

2𝜋 𝑋(𝑒𝑗𝜔 )

2𝑑𝜔

𝜋

−𝜋

∞

𝑛=−∞

Untuk menghitung energi sinyal bila diketahui kuadrat spektrum magnitud suatu sinyal diskrit, dapat kita integralkan dalam satu periode 2𝜋.

2.8 Aplikasi Pada bagian ini kita menjelaskan beberapa aplikasi transformasi Fourier untuk analisa

sistem LTI.

a. Respons frekuensi sistem LTI

Sistem diskrit LTI dapat dikarakterisasi dengan hubungan input 𝑥(𝑛) dan output 𝑦(𝑛)

yang dinyatakan dengan persamaan beda koefisien konstan linier orde-N sebagai

berikut

𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘)

𝑁

𝑘=0

= 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

(2.45)

Respons frekuensi sistem dapat diperoleh dengan melakukan transformasi Fourier pers

(2.45) sebagai berikut


Bab II - 13

𝑎𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑘

𝑁

𝑘=0

𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑏𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑘

𝑀

𝑘=0

𝑋 𝑒𝑗𝜔 (2.46)

𝐻 𝑒𝑗𝜔 =𝑌 𝑒𝑗𝜔

𝑋 𝑒𝑗𝜔 =

𝑏𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑀𝑘=0

𝑎𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑁𝑘=0

(2.47)

Apabila 𝑎0 = 1, maka respons frekuensi sistem menjadi


𝑋 𝑒𝑗𝜔 =

𝑏𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑀𝑘=0

1 + 𝑎𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑘𝑁𝑘=1

(2.48)

Contoh 2.4

Sistem LTI mempunyai persamaan beda koefisien konstan linier sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 0,25𝑦 𝑛 − 1 + 0,3𝑦 𝑛 − 2 + 1,5𝑥 𝑛 + 0,4𝑥 𝑛 − 1 − 0,6𝑥(𝑛 − 2)

Tentukan respons frekuensi sistem tersebut.

Penyelesaian:

Kita lakukan transformasi Fourier sehingga menjadi

𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 0,25𝑒−𝑗𝜔 𝑌 𝑒𝑗𝜔 + 0,3𝑒−𝑗2𝜔𝑌 𝑒𝑗𝜔 + 1,5𝑋 𝑒𝑗𝜔 + 0,4𝑒−𝑗𝜔 𝑋 𝑒𝑗𝜔

− 0,6𝑒−𝑗2𝜔𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑌 𝑒𝑗𝜔 [1 − 0,25𝑒−𝑗𝜔 − 0,3𝑒−𝑗2𝜔 ] = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 [1,5 + 0,4𝑒−𝑗𝜔 − 0,6𝑒−𝑗2𝜔 ]


𝑋 𝑒𝑗𝜔 =

1,5 + 0,4𝑒−𝑗𝜔 − 0,6𝑒−𝑗2𝜔

1 − 0,25𝑒−𝑗𝜔 − 0,3𝑒−𝑗2𝜔

b. Konvolusi

Transformasi Fourier (TF) diskrit memetakan konvolusi dalam domain waktu ke

perkalian dalam domain frekuensi. TF diskrit memberikan solusi alternatif untuk

mempermudah analisa respons sistem. Contoh berikut memberikan prosedur

penyelesaiannya.

Contoh 2.5

Respons impuls sistem LTI ℎ 𝑛 = 1

2

𝑛

𝑢(𝑛), tentukan respons sistem bila inpunya

𝑥 𝑛 = 1

3

𝑛

𝑢(𝑛)?

Penyelesaian:


Bab II - 14

Karena respons sistem merupakan konvolusi antara 𝑥(𝑛) dengan 𝑦(𝑛), maka kita dapat

menyelesaikan dengan TF yaitu berupa perkalian antara 𝑋 𝑒𝑗𝜔 dan 𝐻 𝑒𝑗𝜔 ,

selanjutnya dilakukan invers dari TF.

𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑒𝑗𝜔 . 𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑌 𝑒𝑗𝜔 =1

1 −12 𝑒−𝑗𝜔

.1

1 −13 𝑒−𝑗𝜔

=𝐴

1 −12 𝑒−𝑗𝜔

+𝐵

1 −13 𝑒−𝑗𝜔

𝐴 = 𝑌 𝑒𝑗𝜔 1 −1

2𝑒−𝑗𝜔

𝑒−𝑗𝜔 =2

=1

1 −13 𝑒−𝑗𝜔

𝑒−𝑗𝜔 =2

= 3

𝐵 = 𝑌 𝑒𝑗𝜔 1 −1

3𝑒−𝑗𝜔

𝑒−𝑗𝜔 =3

=1

1 −12 𝑒−𝑗𝜔

𝑒−𝑗𝜔 =3

= −2

𝑌 𝑒𝑗𝜔 =3

1 −12 𝑒−𝑗𝜔

−2

1 −13 𝑒−𝑗𝜔

𝑦 𝑛 = 𝑇𝐹−1 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 3 1

2

𝑛

𝑢 𝑛 − 2 1

3

𝑛

𝑢 𝑛

c. Penyelesaian persamaan beda

TF diskrit dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda dalam domain

frekuensi dengan kondisi awal sama dengan nol. Prosedurnya menyederhanakan

transformasi persamaan beda ke domain frekuensi dengan menggunakan TF setiap

suku pada persamaan beda, menyelesaikan bentuk yang diinginkan dan melakukan TF

balik.

Contoh 2.6

Sistem LTI mempunyai hubungan input output yang dinyatakan dengan persamaan

beda 𝑦 𝑛 − 0,25𝑦 𝑛 − 1 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 2), diasumsikan kondisi awal nol. Tentukan

respons impuls sistem tersebut.

Penyelesaian:

Input sistem 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛), maka 𝑇𝐹 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 1, selanjutnya 𝑇𝐹 persamaan

beda sistem

𝑌 𝑒𝑗𝜔 − 0,25𝑒−𝑗𝜔 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 − 𝑒−𝑗2𝜔𝑋 𝑒𝑗𝜔

𝑌 𝑒𝑗𝜔 1 − 0,25𝑒−𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 1 − 𝑒−𝑗2𝜔


𝑋 𝑒𝑗𝜔 =

1 − 𝑒−𝑗2𝜔

1 − 0,25𝑒−𝑗𝜔=

1

1 − 0,25𝑒−𝑗𝜔−

𝑒−𝑗2𝜔

1 − 0,25𝑒−𝑗𝜔


Bab II - 15

ℎ 𝑛 = 𝑇𝐹−1 𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 1

4

𝑛

𝑢 𝑛 − 1

4

𝑛−2

𝑢 𝑛 − 2

LATIHAN BAB II

1. Sistem LTI mempunyai respons frekuensi yang dinyatakan dengan respons magnitud

dan respons fasa digambarkan sebagai beikut

Tentukan output steady state bila inputnya:

a. 𝑥 𝑛 = 2 cos 𝜋𝑛

4+

𝜋

2 𝑢(𝑛)

b. 𝑥 𝑛 = 3𝑢 𝑛 + 2 sin 𝜋𝑛

4+

𝜋

2 𝑢(𝑛)

c. 𝑥 𝑛 = 2 sin 𝜋𝑛

4+

𝜋

2 cos

𝜋𝑛

4+

𝜋

2 𝑢(𝑛)

2. Sistem LTI kausal mempunyai hubungan input output yang dinyatakan dengan

persmaan beda koefisien konstan sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 −1

2𝑦(𝑛 − 1)

a. Tentukan persamaan respons frekuensi sistem.

b. Tentukan persamaan dan gambar respons magnitud sistem.

c. Tentukan persamaan dan gambar respons fasa sistem.

3. Sistem LTI kausal mempunyai hubungan input output yang dinyatakan dengan

persamaan beda koefisien konstan sebagai berikut

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 +3

4𝑦 𝑛 − 1 −

1

8𝑦(𝑛 − 2)

a. Tentukan persamaan respons frekuensi sistem.

b. Tentukan output sistem bila inputnya.

i. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 −1

2𝛿(𝑛 − 1)

𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝜋/3 𝜋 −𝜋

1

0 𝜔 −𝜋/3

∡𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝜋/3 𝜋 −𝜋 0 𝜔 −𝜋/3

𝜋/3

−𝜋/3


Bab II - 16

ii. 𝑥 𝑛 = 1

4

𝑛

𝑢(𝑛)

iii. 𝑥 𝑛 = 1

4

𝑛−2

𝑢(𝑛 − 2)

Soal 2: Soal yang pernah keluar di UTS

Diketahui dua sistem dengan respon frekuensi seperti pada gambar dibawah, kedua

sistem tersebut dipasang seri (atau kaskade),

a. Gambarkan respons frekuensi sistem keseluruhan.

b. Tentukan persamaan respon frekuensi sistem keseluruhan.

c. Tentukan persamaan respon impuls sistem keseluruhan.

d. Gambarkan dan tentukan spektrum sinyal output 𝑦 𝑛 , yaitu 𝑌 𝑒𝑗𝜔 , bila sistem

diberi sinyal input dengan spektrum:

e. Jelaskan apa yang dialami sinyal input 𝑥 𝑛 setelah melewati sistem-1 dan

sistem 2?

f. Tentukan output steady state bila inputnya 𝑥 𝑛 = 2 cos 0,25𝜋𝑛 𝑢(𝑛) +

3𝑠𝑖𝑛(0,5𝜋𝑛)𝑢(𝑛)

-3π/4 -π/4 π/4 3π/4 ω

-3π/4 -π/4 π/4 3π/4 ω

X(𝑒𝑗𝜔 ) X(𝑒𝑗𝜔 ) 1

-3π/4 -π/4 ω

π/4 3π/4

π/8 3π/8

-3π/8 -π/8 -π -π/3 ω

π/3 π

π/6

-π/6

-π/2

π/2 H2(𝑒𝑗𝜔 ) H1(𝑒𝑗𝜔 )

H2(𝑒𝑗𝜔 ) H1(𝑒𝑗𝜔 ) 1 1

1

-3π/4 -π/4 π/4 3π/4 ω

-π -π/3 π/3 π ω

Pengolahan Sinyal Digital, Bab III : Sampling & Rekonstruksi Sinyal

Bab III - 1

Bab 3

Sampling dan Rekonstruksi Sinyal

3.1 Pendahuluan

Sinyal diskrit diperoleh dengan melakukan proses sampling pada sinyal kontinyu.

Banyak contoh aplikasi pengolahan sinyal digital yang dijumpai pada sistem relay

protection, pengolahan sinyal suara dan sinyal audio, sistem radar dan sonar,

pengolahan sinyal seismic dan biologi, pengolahan sinyal multimedia dan lain

sebagainya. Sinyal kontinyu disampling secara periodik dengan periode sampling

tertentu, sehingga sinyal diskrit merupakan urutan sinyal kontinyu yang tersampling.

Proses sampling sinyal kontinyu menjadi sinyal diskrit/digital disebut konversi analog

ke digital (analog to digital converter – ADC), sedangkan proses dari sinyal digital ke

sinyal analog/kontinyu disebut konversi digital ke analog (digital to analog converter –

DAC). Rangkaian ADC dan DAC biasanya dipakai pada sistem pengolahan sinyal digital

seperti terlihat pada gambar 3.1. Pada bab ini akan didiskusikan tentang proses

sampling yang terjadi pada ADC dan proses rekonstruksi sinyal yang terjadi pada DAC,

termasuk fenomena aliasing yang terjadi pada sinyal pita tak terbatas atau ketika

menggunakan laju sampling yang begitu rendah.

Gambar 3.1 Komponen ADC dan DAC pada sistem pengolahan sinyal digital pada sistem

kontinyu ekivalen

3.2 Proses Konversi Sinyal Analog ke Digital

Sinyal analog/kontinyu 𝑥𝑎(𝑡) diproses melalui rangkaian ADC menjadi sinyal diskrit

𝑥(𝑛) yang dikuantisasi dan dikodekan menjadi deretan sinyal digital (bit stream). Sinyal

analog ini bisa berupa sinyal tone (sinus), voice, audio, maupun video. Komponen ADC

ditunjukkan pada gambar 3.2. Blok pertama menggambarkan rangkaian penyampling

yang kadang-kadang disebut continuous-to-discrete converter (C/D) atau ADC ideal.

Rangkaian penyampling mampu mengkonversikan sinyal analog 𝑥𝑎(𝑡) menjadi sinyal

ADC

converter

DAC

converter

Filter digital

𝐻(𝑧)

𝑥𝑎(𝑡) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) 𝑦(𝑡)

𝑇 𝑇


Bab III - 2

diskrit 𝑥 𝑛 dengan cara mengekstraksi sinyal analog 𝑥𝑎(𝑡) pada kelipatan integer

periode sampling 𝑇 menjadi 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇).

Gambar 3.2 Komponen pada ADC

Sampel-sampel 𝑥𝑎(𝑛𝑇) merupakan nilai amplitudo sinyal 𝑥𝑎(𝑡) pada setiap periode

sampling 𝑇. Blok kedua dari ADC adalah quantizer, yang memetakan amplitudo sinyal

kontinyu tersampling menjadi sekelompok/set amplitudo diskrit. Pada quantizer serba

sama (unform), proses kuantisasi ditentukan oleh jumlah bit dan interval kuantisasi ∆.

Blok ketiga dari ADC merupakan pengkode (encoder), yang berfungsi untuk

mengkodekan sinyal diskrit 𝑥 (𝑛) menjadi deretan bit-bit 𝑐(𝑛) atau binery codewords.

3.2.1 Penyamplingan Periodik

Sinyal diskrit dibentuk dengan menyampling sinyal kontinyu/analog secara periodik

dengan periode 𝑇, sehingga menjadi

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) (3.1)

Spasi sampling 𝑇 merupakan periode sampling dan 𝑓𝑠 = 1/𝑇 merupakan frekuensi

sampling dalam sampel per detik. Proses sampling dan bentuk-bentuk sinyalnya terlihat

pada gambar 3.3. Pada tahap pertama, sinyal analog dikalikan dengan deretan impuls

dengan periode 𝑇,

𝑠𝑎 𝑡 = 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

(3.2)

menjadi deretan sinyal tersampel 𝑥𝑠(𝑡),

𝑥𝑠 𝑡 = 𝑥𝑎(𝑡). 𝑠𝑎(𝑡) = 𝑥𝑎 𝑛𝑇 .𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

(3.3)

Selanjutnya, sinyal deretan impuls dikonversikan menjadi sinyal diskrit dengan

memetakan deretan impuls periode 𝑇 menjadi sinyal diskrit 𝑥(𝑛), dimana nilai sampel

periode 𝑇 diindeks dengan variabel integer 𝑛.

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇)

C/D

converter

Encoder

Quantizer

𝑥𝑎(𝑡) 𝑥(𝑛) 𝑥 (𝑛) 𝑐(𝑛)

𝑇 ∆


Bab III - 3

Gambar 3.3 Proses pada konverter C/D dan bentuk-bentuk sinyalnya:

(a). Blok diagram konverter C/D,

(b). Sinyal informasi analog asal,

(c). Deretan impuls dengan amplitudo 1,

(d). Deretan impuls dengan amplitudo sesuai informasi analog asal,

(e). Sinyal diskrit output konverter C/D.

3.2.2 Representasi Kawasan Frekuensi Proses Sampling

Pada bagian sebelumnya proses pada konverter C/D dianalisa dalam kawasan waktu,

selanjutnya proses pada konverter C/D dapat dianalisa dalam kawasan frekuensi.

Transformasi Fourier kontinyu deretan impuls 𝑠𝑎(𝑡) adalah

𝑆𝑎 𝑗Ω =2𝜋

𝑇 𝛿(Ω − 𝑘Ω𝑠)

∞

𝑘=−∞

(3.4)

Konversi deretan impuls ke diskrit

𝑥𝑎(𝑡) 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇)

𝑠𝑎(𝑡)

𝑥𝑠(𝑡)

(𝑎)

𝑥𝑎(𝑡)

𝑡 0

(𝑏)

𝑠𝑎 𝑡 = 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

𝑡

1

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T

(𝑐)

𝑥𝑠 𝑡 = 𝑥𝑎 𝑛𝑇 .𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

𝑡 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T

(𝑑)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑛

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇)

(𝑒)


Bab III - 4

dimana, Ω𝑠 = 2𝜋/𝑇 merupakan frekuensi sampling dalam satuan radian per detik.

sedangkan transformasi Fourier kontinyu sinyal informasi asal 𝑥𝑎(𝑡) adalah 𝑋𝑎(𝑗Ω),

maka transformasi Fourier kontinyu sinyal tersampling 𝑥𝑠(𝑡) adalah

𝑋𝑠 𝑗Ω =1

2𝜋𝑋𝑎 𝑗Ω ∗ 𝑆𝑎 𝑗Ω =

1

2𝜋𝑋𝑎 𝑗Ω ∗

2𝜋

𝑇 𝛿 Ω − 𝑘Ω𝑠

∞

𝑘=−∞

(3.5)

𝑋𝑠 𝑗Ω =1

𝑇 𝑋𝑎 𝑗Ω − 𝑗𝑘Ω𝑠 =

1

𝑇 𝑋𝑎 𝑗(Ω − 𝑘Ω𝑠)

∞

𝑘=−∞

∞

𝑘=−∞

(3.6)

Kita dapat menyatakan transformasi Fourier kontinyu dari sinyal 𝑥𝑠(𝑡) dalam bentuk

lain, karena transformasi Fourier dari 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) adalah 𝑒−𝑗Ω𝑛𝑇 , maka transformasi

Fourier kontinyu dari sinyal:

𝑥𝑠 𝑡 = 𝑥𝑎 𝑛𝑇 .𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

adalah

𝑋𝑠 𝑗Ω = 𝑥𝑎 𝑛𝑇 𝑒−𝑗Ω𝑛𝑇

∞

𝑛=−∞

(3.7)

Selanjutnya, transformasi Fourier diskrit 𝑥(𝑛) adalah

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 =

∞

𝑛=−∞

𝑥𝑎 𝑛𝑇 𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

(3.8)

Kita bandingkan pers. (3.7) dan pers. (3.8), maka terdapat hubungan bahwa

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋𝑠(𝑗Ω) Ω=𝜔/𝑇 (3.9)

Dan kita substitusikan pers. (3.9) ke pers. (3.6) menjadi

𝑋 𝑒𝑗𝜔 =1

𝑇 𝑋𝑎 𝑗(

𝜔

𝑇−

2𝜋𝑘

𝑇)

∞

𝑘=−∞

(3.10)

Akhirnya dapat dikatakan bahwa 𝑋 𝑒𝑗𝜔 merupakan bentuk 𝑋𝑠 𝑗Ω yang terskala

dalam kawasan frekuensi dengan skala yang terdefinisikan dengan

𝜔 = Ω. 𝑇

Skala ini yang membuat 𝑋 𝑒𝑗𝜔 periodik dengan periode 2𝜋, sebagai konsekwuensinya

dalam skala waktu ketika 𝑥𝑠(𝑡) dikonversikan ke 𝑥 𝑛 .


Bab III - 5

Gambar 3.4 Bentuk spektrum sinyal pada proses konverter C/D

Analisa bentuk spektrum dalam kawasan frekuensi pada proses yang terjadi pada

rangkaian konverter C/D pada gambar 3.3 (a) dapat dilihat pada gambar 3.4. Spekrum

−2𝜋 2𝜋 0 𝜔

(2𝜋 − 𝜔𝑁)

1/𝑇

(𝑑)

−𝜔𝑁 𝜔𝑁 0

𝑋(𝑒𝑗𝜔 )

(2𝜋 + 𝜔𝑁) −(2𝜋 − 𝜔𝑁) −(2𝜋 + 𝜔𝑁)

𝜔𝑁 = Ω𝑁 . 𝑇

−Ω𝑁 Ω𝑁 0

𝑋𝑎(𝑗Ω)

Ω

(𝑎)

1 Ω𝑁 = 2𝜋𝑓𝑁

−Ω𝑠 Ω𝑠 0

𝑆𝑎(𝑗Ω)

Ω −2Ω𝑠 2Ω𝑠

(𝑏)

2𝜋/𝑇

Ω𝑠 = 2𝜋𝑓𝑠 = 2𝜋/𝑇

𝜔 = Ω. 𝑇

−Ω𝑠 Ω𝑠 0 Ω

(Ω𝑠 − Ω𝑁)

1/𝑇

(𝑐)

−Ω𝑁 Ω𝑁 0

𝑋𝑠(𝑗Ω)

(Ω𝑠 + Ω𝑁) −(Ω𝑠 − Ω𝑁) −(Ω𝑠 + Ω𝑁)


Bab III - 6

sinyal informasi pita terbatas (band limited) 𝑋𝑎 𝑗Ω = 0 untuk Ω > Ω𝑁 dapat dilihat

pada gambar 3.4 (a). Rentang spektrum sinyal informasi dari 0 s/d Ω𝑁 rad/detik

sehingga sinyal informasi tersebut mempunyai frekuensi maksimal Ω𝑁 . Spektrum

deretan impuls 𝑆𝑎 (𝑡) adalah 𝑆𝑎 (𝑗Ω) berbentuk deretan impuls juga dan muncul disetiap

kelipatan frekuensi sampling Ω𝑠 seperti terlihat pada gambar 3.4 (b). Bentuk spektrum

sinyal tersampling 𝑥𝑠(𝑡) yaitu 𝑋𝑠(𝑗Ω) yang merupakan konvolusi antara 𝑋𝑎(𝑗Ω) dan

𝑆𝑎(𝑗Ω) berbentuk seperti spektrum sinyal informasi 𝑋𝑎(𝑗Ω) yang muncul disetiap

kelipatan frekuensi sampling Ω𝑠 seperti terlihat pada gambar 3.4 (c), sedangkan bentuk

spektrum sinyal diskrit yang merupakan hasil konversi dari deretan impuls sinyal

tersampling menjadi deretan sinyal diskrit 𝑋(𝑒𝑗𝜔 ) juga berbentuk seperti spektrum

sinyal informasi 𝑋𝑎(𝑗Ω) yang muncul disetiap kelipatan 2𝜋 seperti terlihat pada gambar

3.4 (d).

Apabila frekuensi sampling Ω𝑠 < 2Ω𝑁 atau (Ω𝑠 − Ω𝑁) < Ω𝑁 , maka bentuk spektrum

sinyal 𝑋𝑠(𝑗Ω) akan menjadi seperti pada gambar 3.5. Bentuk spektrum yang menumpuk

satu sama lain tersebut dinamakan terjadi aliasing. Bila terjadi aliasing, kandungan

frekuensi sinyal 𝑥𝑎(𝑡) akan mengalami kehilangan sebagian kandungan frekuensinya

atau bisa dikatakan tidak bisa diperoleh kembali secara lengkap kandungan frekuensi

sinyal informasi tersebut.

Gambar 3.5 Bentuk spektrum terjadi aliasing

Jika 𝑥𝑎(𝑡) merupakan sinyal pita terbatas dengan frekuensi maksimal Ω𝑁 , maka dengan

frekuensi sampling

Ω𝑠 ≥ 2Ω𝑁 (3.11)

Proses pada ADC tidak akan terjadi aliasing dan 𝑥𝑎(𝑡) dapat diperoleh kembali dari

sampel-sampelnya 𝑥𝑎(𝑛𝑇) menggunakan filter rekonstruksi yaitu LPF (low pass filter).

Berikut pernyataan teorema sampling Nyquist:

Teorema sampling: Jika 𝑥𝑎(𝑡) merupakan sinyal dengan frekuensi lebar pita terbatas,

𝑋𝑎 𝑗Ω = 0 Ω ≥ Ω𝑁

Maka 𝑥𝑎(𝑡) dapat diperoleh kembali dari sampel-sampelnya 𝑥𝑎(𝑛𝑇) jika


1/𝑇

Ω𝑠/2 0

𝑋𝑠(𝑗Ω)

−Ω𝑠/2


Bab III - 7

Ω𝑠 =2𝜋

𝑇≥ 2Ω𝑁

Frekuensi Ω𝑁 disebut sebagai frekuensi Nyquist dan frekuensi sampling minimum

Ω𝑠 = 2Ω𝑁 disebut laju Nyquist.

Dalam kenyataannya, sinyal dengan bandlimited jarang dijumpai oleh karena itu perlu

dipasang filter LPF, agar frekuensi sinyal informasi menjadi sinyal yang bandlimited

sehingga frekuensi sampling dari ADC dapat memenuhi kriteria Nyquist dan dapat

menghindari terjadinya aliasing. Filter LPF tersebut disebut sebagai filter anti aliasing.

Contoh 3.1

Sinyal analog mempunyai persamaan bahwa 𝑥𝑎 𝑡 = 2 sin 2𝜋. 100𝑡 + cos(2𝜋. 400𝑡)

disampling dengan frekuensi sampling 1 kHz.

a) Berapa frekuensi sinyal analog 𝑥𝑎 𝑡 .

b) Bepapa frekuensi Nyquist.

c) Berapa laju Nyquist.

d) Tentukan sinyal diskrit hasil samplingnya.

e) Berapa frekuensi digital sinyal hasil sampling.

f) Apakah terjadi aliasing? Jelaskan.

g) Apabila sinyal analog tersebut disampling dengan frekuensi sampling 600 Hz,

apakah terjadi aliasing? Jelaskan.

Penyelesaian:

a) Frekuensi sinyal analog 𝑥𝑎 𝑡 adalah 𝑓1 = 100 𝐻𝑧 dan 𝑓2 = 400 𝐻𝑧 atau dalam

pernyataan lain Ω1 = 200𝜋 rad/det dan Ω2 = 800𝜋 rad/det.

b) Frekuensi Nyquist Ω𝑁 = 800𝜋 rad/det.

c) Laju Nyquist 2Ω𝑁 = 1600𝜋 rad/det.

d) Sinyal diskrit 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) = 2 sin 0.2𝜋𝑛 + cos(0.8𝜋𝑛)

e) Frekuensi digital sinyal 𝑥(𝑛) adalah 𝜔1 = 0.2𝜋 rad dan 𝜔2 = 0.8𝜋 rad

f) Sistem ADC tersebut tidak terjadi aliasing karena frekuensi sampling

Ω𝑠 = 2𝜋1000 = 2000𝜋 rad/det lebih besar dari laju Nyquist 2Ω𝑁 = 1600𝜋

rad/det.

g) Ya, terjadi aliasing karena frekuensi sampling Ω𝑠 = 2𝜋600 = 1200𝜋 rad/det

kurang dari laju Nyquist 2Ω𝑁 = 1600𝜋 rad/det.


Bab III - 8

(𝑎)

(𝑏)

Gambar 3.6 (a). Konverter discrete-to-analog (D/C), (b) Respons frekuensi filter

rekonstruksi ideal

3.3 Proses Konversi Sinyal Digital ke Analog

Seperti yang dijelaskan pada teorema sampling bahwa jika 𝑥𝑎(𝑡) merupakan sinyal

bandlimited yaitu agar supaya 𝑋𝑎 𝑗Ω = 0 untuk Ω > Ω𝑁 dan jika periode sampling

𝑇 < 𝜋/Ω𝑁 maka 𝑥𝑎(𝑡) secara unik dapat disusun kembali dari sampel-sampelnya

𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇). Proses rekonstruksi mencakup dua tahap seperti terlihat pada gambar

3.6.a. Tahap pertama, deretan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dikonversi menjadi deretan impuls

𝑥𝑠(𝑡) berikut

𝑥𝑠 𝑡 = 𝑥 𝑛 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

(3.12)

Selanjutnya 𝑥𝑠(𝑡) difilter dengan filter rekonstruksi yang berupa filter LPF ideal yang

mempunyai respons frekuensi pers (3.13) dan ditunjukkan pada gambar 3.6.b.

𝐻𝑟 𝑗Ω = 𝑇, Ω ≤ 𝜋/𝑇

0 Ω > 𝜋/𝑇 (3.13)

Sistem ini disebut sebagai konverter discrete-to-analog (D/C) atau DAC. Transformasi

Fourier kontinyu balik dari pers. (3.13) merupakan respons impuls filter rekonstruksi

yaitu

Konversi dari deretan diskrit ke deretan impuls

𝑥(𝑛) 𝑥𝑟(𝑡) 𝑥𝑠(𝑡) Filter LPF ideal

𝐻𝑟 (𝑗Ω)

𝑇

𝐷/𝐶

𝑇

Ω𝑠

2= 𝜋/𝑇

0

𝐻𝑟(𝑗Ω)

Ω −𝜋/𝑇


Bab III - 9

ℎ𝑟 𝑡 =sin(

𝜋𝑡𝑇 )

𝜋𝑡/𝑇 (3.14)

Output filter rekonstruksi adalah

𝑥𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑛 ℎ𝑟(𝑡 − 𝑛𝑇)

∞

𝑛=−∞

= 𝑥 𝑛 sin[𝜋(𝑡 − 𝑛𝑇)/𝑇]

𝜋(𝑡 − 𝑛𝑇)/𝑇

∞

𝑛=−∞

(3.15)

Gambar 3.7 Bentuk sinyal proses rekonstruksi sinyal

Pers (3.15) merupakan rumusan interpolasi yang menunjukkan bagaimana 𝑥𝑟 𝑡

direkonstruksi dari sampel-sampel 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎 𝑛𝑇 . Dalam kawasan frekuensi, rumus

interpolasi menjadi

𝑋𝑟 𝑗Ω = 𝑥 𝑛 𝐻𝑟(𝑗Ω)𝑒−𝑗Ω𝑛𝑇

∞

𝑛=−∞

= 𝐻𝑟 𝑗Ω 𝑋(𝑒𝑗Ω𝑇) (3.16)

Yang mana ekivalen dengan


Bab III - 10

𝑋𝑟 𝑗Ω = 𝑇. 𝑋(𝑒𝑗Ω𝑇) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 Ω < 𝜋/𝑇

0 Ω lainnya (3.17)

Kemudian, 𝑋(𝑒𝑗𝜔 ) merupakan frekuensi yang diskala (𝜔 = Ω.𝑇) dan filter rekonstruksi

menghilangkan semua frekuensi diatas frekuensi cutoff Ω𝑐 = 𝜋/𝑇 dalam spektrum

periodik 𝑋(𝑒𝑗Ω𝑇). Kita tidak mungkin mengimplementasikan filter LPF ideal pada filter

rekonstruksi, beberapa konverter D/C menggunakan zero-order hold untuk filter

rekonstruksi. Bentuk sinyal pada proses rekonstruksi bila frekuensi samplingnya

memenuhi kriteria Nyquist maka dapat dilihat pada gambar 3.7.

Gambar 3.8 Bentuk spektrum sinyal pada proses rekonsruksi sinyal


1/𝑇

(𝑎)

−Ω𝑁 Ω𝑁 0

𝑋𝑠(𝑗Ω)

(Ω𝑠 + Ω𝑁) −(Ω𝑠 − Ω𝑁) −(Ω𝑠 + Ω𝑁)

𝑇 𝐻𝑟(𝑗Ω)

Ω𝑠

2= 𝜋/𝑇

−Ω𝑁 Ω𝑁 0

𝑋𝑟(𝑗Ω)

Ω

(𝑏)

1

(𝑑)

−Ω𝑠/2 Ω2/2 0

𝑋𝑟(𝑗Ω)

Ω


1/𝑇

Ω𝑠/2 0

𝑋𝑠(𝑗Ω)

−Ω𝑠/2

(𝑐)


Bab III - 11

Proses rekonstruksi sinyal dapat juga dilihat dalam kawasan frekuensi. Bentuk

spektrum sinyal pada proses rekonsruksi sinyal dijelaskan pada gambar 3.8. Spektrum

deretan impuls sinyal 𝑥𝑠(𝑡) yaitu 𝑋𝑠(𝑗Ω) difilter dengan filter rekonstruksi berupa LPF

ideal dengan respons frekuensi 𝐻𝑟 (𝑗Ω) yang mempunyai frekuensi cutoff Ω𝑠/2 atau

𝜋/𝑇 seperti terlihat pada gambar 3.8.a. Output filter rekonsruksi mempunyai bentuk

spektrum 𝑋𝑟(𝑗Ω) yang sama dengan bentuk spektrum sinyal aslinya 𝑋𝑎(𝑗Ω) yang dapat

dilihat pada gambar 3.8.b. Apabila frekuensi sampling tidak memenuhi kriteria Nyquist

maka spektrum sinyal asli tidak dapat diperoleh kembali, sehingga dikatakan terjadi

aliasing, seperti terlihat pada gambar 3.8.c dan 3.8.d.

3.4 Pengolahan Dalam Waktu Diskrit dari Sinyal Analog

Salah satu aplikasi penting konverter ADC dan DAC adalah pengolahan sinyal analog

menggunakan sistem diskrit, seperti terlihat pada gambar 3.9. Pada sistem ini tersusun

secara serial konverter ADC, sistem diskrit dan konverter DAC. Kita mengasumsikan

sinyal digital merupakan sinyal diskrit yang tidak dikuantisasi dan dikodekan,

melainkan deretan sinyal tersampel. Filter rekonstruksi yang digunakan pada konverter

DAC diasumsikan berupa filter LPF ideal. Sistem keseluruhan bisa dikatakan sistem

waktu kontinyu karena sinyal input 𝑥𝑎(𝑡) dan output 𝑦𝑎(𝑡) berupa sinyal analog/

kontinyu. Kita dapat menganalisa sistem ini dengan melihat output sinyal di masing-

masing tahapan. Konverter ADC menghasilkan output sinyal diskrit 𝑥(𝑛) yang

mempunyai transformasi Fourier diskrit :

𝑋 𝑒𝑗𝜔 =1

𝑇 𝑋𝑎 𝑗(

𝜔

𝑇−

2𝜋𝑘

𝑇)

∞

𝑘=−∞

(3.18)

Jika sistem diskrit merupakan sistem linier time-invariant (LTI) dengan respons

frekuensi 𝐻(𝑒𝑗𝜔 ), maka ouput sistem diskrit mempunyai transformasi Fourier diskrit

sebagai berikut

𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 . 𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑒𝑗𝜔 .1

𝑇 𝑋𝑎 𝑗(

𝜔

𝑇−

2𝜋𝑘

𝑇)

∞

𝑘=−∞

(3.19)

Gambar 3.9 Pengolahan sinyal analog pada sistem diskrit

ADC

converter

DAC

converter

Sistem diskrit

𝐻(𝑒𝑗𝜔 )

𝑥𝑎(𝑡) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) 𝑦𝑎(𝑡)

𝑇 𝑇


Bab III - 12

Akhirnya output konvereter DAC berupa sinyal kontinyu 𝑦𝑎(𝑡) dari sampel-sampel 𝑦(𝑛)

seperti berikut

𝑦𝑎 𝑡 = 𝑦 𝑛 sin[𝜋(𝑡 − 𝑛𝑇)/𝑇]

𝜋(𝑡 − 𝑛𝑇)/𝑇

∞

𝑛=−∞

(3.20)

Contoh 3.2:

Pengolahan sinyal analog pada sistem diskrit seperti pada gambar 3.9. Sinyal

𝑥𝑎 𝑡 = cos(2𝜋300𝑡) sebagai input ADC dan sistem diskritnya berupa filter allpass.

a. Gambarkan spektrum di semua tahap bila frekuensi samplingnya 1 kHz dan

tentukan output 𝑦𝑎 𝑡 .

b. Gambarkan spektrum di semua tahap bila frekuensi samplingnya 500 Hz dan

tentukan output 𝑦𝑎 𝑡 .

Penyelesaian:

LATIHAN BAB 3

1. Soal dapat diambil dari buku referensi Schaum Series, Alan V. Oppenheim, L.C.

Ludeman dan J.G. Proakis

2. Tentukan dua sinyal kontinyu yang akan menghasilkan sinyal diskrit 𝑥 𝑛 =

cos(0,5𝜋𝑛) bila disampling dengan frekuensi 8 kHz.

3. Sistem analog mempunyai konfigurasi A/D, filter diskrit dan D/A seperti gambar

dibawah

A/D D/A Sistem

Diskrit

x(t) y(t) x(n) y(n)

ikdet1000

1T ikdet

1000

1T


Bab III - 13

Sistem diskrit diatas mempunyai respons impuls ℎ 𝑛 =sin (0,3𝜋𝑛 )

𝜋𝑛 , Jika sinyal input

)(.500sin)(.250cos2)()( tuttuttutx .

a. Berapa Hz laju Nyquist b. Apakah terjadi aliasing bila sistem diatas diberi input sinyal kontinyu 𝑥(𝑡)

tersebut? Jelaskan! c. Tentukan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) d. Tentukan output steady state 𝑦(𝑡)

4. Sistem berikut digunakan untuk proses pengolahan sinyal analog dengan sistem

digital:

Sinyal 𝑥 𝑡 merupakan sinyal bandlimited dengan 0)( fXa untuk kHzf 8

seperti ditunjukkan pada gambar dibawah.

Filter digital tersebut merupakan filter All-pass.

a. Gambarkan bentuk spektrum jeX dan fY jika frekuensi samplingnya

kHzff 2021 .

b. Ulangi soal (a) untuk kHzff 821 .

c. Ulangi soal (a) untuk kHzff 1821 dan filter digitalnya berupa LPF dengan

frekuensi cutoff 𝜔𝑐 =𝜋

4.

A/D D/A filter

digital

x(t) y(t) x(n) y(n)

1T 2T

8 - 8 f (kHz)

1

)( fX a

Bab IV - 1

Bab 4

Transformasi-Z

4.1 Pendahuluan

Transformasi-Z merupakan suatu alat bantu pada analisis sinyal dan sistem waktu

diskrit, begitu sebaliknya pada analisis sinyal dan sistem kontinyu menggunakan

transformasi Laplace. Transformasi-Z dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan beda koefisien konstan linier, mengevaluasi respon sistem LTI (Linier Time-

Invariant) bila diberi sinyal masukan (input) dan merencanakan filter digital linier.

Pada bab ini akan menjelaskan transformasi-Z dan menguji bagaimana transformasi-Z

dapat digunakan untuk menyelesaikan macam-macam permasalahan yang berbeda.

4.2 Definisi Transformasi-Z

Pada bab sebelumnya, transformasi Fourier dari sinyal diskrit x(n) didefinisikan

sebagai berikut:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

(4.1)

Transformasi-Z dari dari sinyal diskrit x(n) didefinisikan:

𝑋 𝑧 = 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛

∞

𝑛=−∞

(4.2)

Dimana 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔 yang merupakan variabel untuk bilangan komplek. Nilai z agar 𝑋 𝑧

merupakan konvergen jumlah didefinisikan sebagai daerah konvergensi bidang z.

Secara notasi, jika sinyal diskrit x(n) mempunyai transformasi-Z 𝑋 𝑧 , maka dapat

ditulis

𝑥 𝑛 𝑍 𝑋(𝑧)

Transformasi-Z dapat ditinjau sebagai transformasi Fourier diskrit (TFD) dari sinyal

diskrit terbobot secara eksponensial. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝑋 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛 =

∞

𝑛=−∞

𝑥 𝑛 𝑟𝑒𝑗𝜔 −𝑛

= 𝑥 𝑛 𝑟−𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

∞

𝑛=−∞

(4.3)

Kita dapat melihat pers. (4.3) bahwa 𝑋(𝑧) merupakan transformasi Fourier dari

𝑥 𝑛 𝑟−𝑛

Bab IV - 2

Definisi Daerah Konvergensi:

Konvergensi dari deret daya pada pers. (4.2) hanya tergantung pada 𝑧 sehingga

𝑋(𝑧) < ∞ jika

𝑋 𝑧 = 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛

∞

𝑛=−∞

= 𝑥(𝑛) 𝑧 −𝑛

∞

𝑛=−∞

< ∞ (4.4)

yaitu daerah konvergensi (DK) dari deret daya pada pers. (4.2) terdiri dari semua nilai z

agar berlaku pertidaksamaan pada pers. (4.4). Misalnya, nilai 𝑧 = 𝑧1 berada pada DK,

maka semua nilai z pada lingkaran yang berpusat di titik asal tersebut didefinisikan

𝑧 = 𝑧1 juga berada pada DK. Jadi DK berupa lingkaran yang berpusat di titik asal.

Transformasi-Z merupakan fungsi variabel komplek z, maka transformasi-Z dapat

digunakan untuk menggambarkan kegunaan bidang-z komplek, yaitu dengan

𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 + 𝑗𝐼𝑚 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔

maka aksis-aksis bidang-z merupakan bagian real dan imajiner z seperti yang

diilustrasikan pada gambar 4.1. Contour pada gamabar 4.1 berhubungan dengan 𝑧 = 1

yang merupakan sebuah lingkaran berjari-jari satu yang disebut sebagai lingkaran satu

(unit circle). Transformasi-z telah mengevaluasi pada lingkaran satu berhubungan

dengan TFD,

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒 𝑗𝜔

Secara spesifik, kita mengevaluasi 𝑋(𝑧) pada titik-titik sekitar lingkaran satu adalah

memulai 𝑧 = 1 𝜔 = 0 , melalui 𝑧 = 𝑗 𝜔 = 𝜋/2 , ke 𝑧 = −1 𝜔 = 𝜋 , yang berarti kita

memperoleh nilai-nilai 𝑋(𝑒𝑗𝜔 ) pada 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋. Sinyal diskrit 𝑥(𝑛) mempunyai TFD,

apabila lingkaran satu harus berada pada DK dari 𝑋(𝑧).

Gambar 4.1 Lingkaran satu pada bidang-z komplek

𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

𝜔

Lingkaran satu 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔

1

Bab IV - 3

Definisi pole-zero dari transfrmasi-Z:

Transformasi-Z dari sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dapat dinyatakan dalam bentuk rasio dua

polinomial z sebagai berikut:

𝑋 𝑧 =𝑃(𝑧)

𝑄 𝑧 =

𝑏𝑘𝑧−𝑘𝑀𝑘=0

𝑎𝑘𝑧−𝑘𝑁𝑘=0

(4.5)

Pole-pole dari 𝑋 𝑧 didefinisikan sebagai nilai-nilai z agar 𝑋(𝑧) berharga tak hingga

sedangkan zero-zero dari 𝑋 𝑧 didefinisikan sebagai nilai-nilai z agar 𝑋(𝑧) bernilai nol.

Contoh 4.1: Sinyal diskrit eksponensial sisi kanan atau kausal.

Tentukan transformasi-Z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛𝑢(𝑛) dan tentukan pole-zeronya

serta gambar daerah konvergensinya. Diasumsikan bahwa 𝑎 < 1.

Penyelesaian:

𝑋 𝑧 = 𝑎𝑛

∞

𝑛=0

𝑧−𝑛 = 𝑎𝑧−1 𝑛 =1

1 − 𝑎𝑧−1=

𝑧

𝑧 − 𝑎

∞

𝑛=0

𝑋(𝑧) konvergen apabila dapat dijumlahkan secara absolut atau bernilai berhingga yaitu

bila 𝑎𝑧−1 < 1 atau 𝑧 > 𝑎 , sehingga DKnya: 𝑧 > 𝑎 .

Nilai pole-zeronya: pole : 𝑧 = 𝑎 dan zero: 𝑧 = 0, selanjutnya gambar bidang-z dapat

dilihat pada gambar 4.2. Daerah yang diarsir menunjukkan DK, yaitu nilai z yang

membuat 𝑋(𝑧) konvergen.

Gambar 4.2 Bidang-z untuk contoh 4.1

Lingkaran satu

𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

1 𝑎 0

Bab IV - 4

Contoh 4.2: Sinyal diskrit eksponensial sisi kiri atau tak kausal.

Tentukan transformasi-Z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 = −𝑏𝑛𝑢(−𝑛 − 1) dan tentukan pole-

zeronya serta gambar daerah konvergensinya. Diasumsikan bahwa 𝑏 < 1.

Penyelesaian:

𝑋 𝑧 = −𝑏𝑛

−1

𝑛=−∞

𝑧−𝑛 = − 𝑏−1𝑧 𝑛

∞

𝑛=1

= 1 − 𝑏−1𝑧 𝑛 = 1 −1

1 − 𝑏−1𝑧=

−𝑏−1𝑧

1 − 𝑏−1𝑧

∞

𝑛=0

=𝑧

𝑧 − 𝑏

𝑋(𝑧) dapat dijumlahkan secara absolut atau bernilai berhingga bila 𝑏−1𝑧 < 1 atau

𝑧 < 𝑏 , sehingga DKnya: 𝑧 < 𝑏 .

Nilai pole-zeronya: pole : 𝑧 = 𝑏 dan zero: 𝑧 = 0, selanjutnya bidang-z dapat dilihat pada

gambar 4.3.


Contoh 4.3: Sinyal diskrit eksponensial dua sisi.

Tentukan transformasi-Z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛𝑢(𝑛) − 𝑏𝑛𝑢(−𝑛 − 1), pole-

zeronya dan gambar daerah konvergensinya. Diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏.

Penyelesaian:

𝑋 𝑧 =1

1 − 𝑎𝑧−1+

1

1 − 𝑏𝑧−1=

2 − 𝑎 + 𝑏 𝑧−1

1 − 𝑎𝑧−1 1 − 𝑏𝑧−1 x𝑧2

𝑧2

=2𝑧2 − 𝑎 + 𝑏 𝑧

𝑧 − 𝑎 𝑧 − 𝑏 =

𝑧 2𝑧 − 𝑎 + 𝑏

𝑧 − 𝑎 𝑧 − 𝑏

𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

Lingkaran satu

1 b 0

Bab IV - 5

Harga pole-zero: 𝑋(𝑧) mempunyai pole pada 𝑧1 = 𝑎 dan 𝑧2 = 𝑏, sedangkan zero pada

𝑧1 = 0 dan 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏 /2

Daerah konvergensi 𝑋(𝑧) adalah 𝑎 < 𝑧 < 𝑏 , selanjutnya bidang-z dapat dilihat pada

gambar 4.4, dalam contoh ini 𝑏 > 1


Contoh 4.4: Sinyal diskrit eksponensial dengan jumlah sampling terbatas.

Tentukan transformasi-Z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑢 𝑛 − 2 − 𝑢 𝑛 − 10 dan

tentukan pole-zeronya serta gambar daerah konvergensinya.

Penyelesaian:

𝑋 𝑧 = 𝑎𝑛

9

𝑛=2

𝑧−𝑛 = 𝑎𝑧−1 𝑛

9

𝑛=2

= 𝑎𝑧−1 2 − 𝑎𝑧−1 10

1 − 𝑎𝑧−1x𝑧10

𝑧10

=𝑎2𝑧8 − 𝑎10

𝑧10 − 𝑎𝑧9=

𝑎2

𝑧9x𝑧8 − 𝑎8

𝑧 − 𝑎

Harga pole-zero: 𝑋(𝑧) mempunyai pole pada 𝑧1 = 𝑧2 = ⋯ = 𝑧9 = 0 dan 𝑧10 = 𝑎,

sedangkan zero pada 𝑧𝑘 = 𝑎𝑒𝑗2𝜋𝑘 /8 dan 𝑘 = 0,1,2,3, … , 7. Terdapat satu pole dan satu

zero yang sama yaitu pada 𝑧 = 𝑎 , sehingga saling meniadakan.

Daerah konvergensi 𝑋(𝑧) merupakan semua bidang-z kecuali pada 𝑧 = 0, selanjutnya

bidang-z dapat dilihat pada gambar 4.5.

𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

Lingkaran satu

1 𝑎 0 𝑏

𝑎 + 𝑏 /2

Bab IV - 6


Pasangan transformasi-Z dari beberapa sinyal diskrit umum dapat dilihat pada tabel

4.1. Berdasarkan pasangan transformasi-Z tersebut dapat membantu untuk

mengevaluasi bentuk-bentuk sinyal diskrit lainnya.

4.3 Sifat-sifat Daerah Konvergensi

Berdasarkan contoh-contoh sebelumnya bahwa DK tergantung pada sinyal diskrit 𝑥(𝑛).

Pada bagian ini akan dijelaskan sifat-sifat DK ini disertai diskusi dan justifikasi intuitif.

Kita mengasumsikan secara spesifik bahwa pernyataan aljabar transformasi-Z

merupakan fungsi rasional dan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) mempunyai amplitude terbatas,

mungkin kecuali pada 𝑛 = ∞ atau 𝑛 = −∞.

Sifat-sifat DK dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. DK merupakan suatu lingkaran pada bidang-z yang terpusat pada titik asal, yaitu

0 ≤ 𝑅𝐷 < 𝑧 < 𝑅𝐿 ≤ ∞, artinya 𝑅𝐷 merupakan jari-jari dalam dan lebih besar

sama dengan nol, sedangkan 𝑅𝐿 merupakan jari-jari luar dan kurang dari sama

dengan tak hingga.

2. Transformasi Fourier dari sinyal 𝑥(𝑛) konvergen jika dan hanya jika DK dari

transformasi-Z sinyal 𝑥(𝑛) tersebut termasuk lingkaran satu.

3. DK tidak dapat mengandung pole-pole, artinya pole-pole tidak termasuk DK.

4. Jika 𝑥(𝑛) merupakan sinyal diskrit durasi terbatas 𝑁1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁2 , maka DK

tersebut semua bidang-z, kecuali pada 𝑧 = 0 atau 𝑧 = ∞.

5. Jika 𝑥(𝑛) merupakan sinyal diskrit urutan sisi kanan atau kausal, maka DKnya

berada diluar pole terluar (pole terbesar) menuju 𝑧 = ∞ pada bidang-z.

6. Jika 𝑥(𝑛) merupakan sinyal diskrit urutan sisi kiri, maka DKnya berada didalam

pole terdalam (pole terkcil) menuju 𝑧 = 0 pada bidang-z.

7. Jika 𝑥(𝑛) merupakan sinyal diskrit urutan dua sisi, maka DKnya berupa cincin

pada bidang-z, yang dibatasi oleh pole dalam dan pole luar dan DK tidak

mengandung pole-pole, sesuai dengan sifat 3.

𝑎 𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

1 0 −𝑎

Bab IV - 7

Tabel 4.1 Pasangan Transformasi-z Umum

Sinyal Diskrit Transformasi-Z Daerah Konvergensi

𝛿(𝑛) 1 Semua nilai z

𝑢(𝑛) 1

1 − 𝑧−1 𝑧 > 1

−𝑢 −𝑛 − 1 1

1 − 𝑧−1 𝑧 < 1

𝛿(𝑛 − 𝑑) 𝑧−𝑑 Semua z kecuali 0

𝑎𝑛𝑢(𝑛) 1

1 − 𝑎𝑧−1 𝑧 > 𝑎

−𝑎𝑛𝑢 −𝑛 − 1 1

1 − 𝑎𝑧−1 𝑧 < 𝑎

𝑛𝑎𝑛𝑢(𝑛) 𝑎𝑧−1

1 − 𝑎𝑧−1 2 𝑧 > 𝑎

−𝑛𝑎𝑛𝑢 −𝑛 − 1 𝑎𝑧−1

1 − 𝑎𝑧−1 2 𝑧 < 𝑎

𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑛 𝑢(𝑛) 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔0)𝑧−1

1 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑧−1 + 𝑧−2 𝑧 > 1

𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑛 𝑢(𝑛) 1 − 𝑠𝑖𝑛(𝜔0)𝑧−1

1 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑧−1 + 𝑧−2 𝑧 > 1

𝑟𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑛 𝑢(𝑛) 1 − 𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝜔0)𝑧−1

1 − 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑧−1 + 𝑟2𝑧−2 𝑧 > 𝑟

𝑟𝑛𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑛 𝑢(𝑛) 𝑟. 𝑠𝑖𝑛(𝜔0)𝑧−1

1 − 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑧−1 + 𝑟2𝑧−2 𝑧 > 𝑟

𝑎𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑁1 − 𝑢(𝑛 − 𝑁2) 𝑎𝑁1𝑧−𝑁1 − 𝑎𝑁2𝑧−𝑁2

1 − 𝑎𝑧−1 Semua z kecuali 0

4.4 Transformasi-Z Balik

Transformasi-Z balik merupakan salah satu metode untuk mendapatkan kembali sinyal

diskrit 𝑥(𝑛) dari 𝑋(𝑧). Metode ini sangat membantu dalam mengevaluasi sinyal dan

sistem diskrit menjadi lebih mudah. Pada bagian ini akan dibahas beberapa metode

transformasi-z balik diantaranya metode inspeksi, ekspansi pecahan parsial dan

ekspansi deret daya.

Bab IV - 8

4.4.1 Metode Inspeksi

Metode ini dilakukan dengan melihat pasangan transformasi-z pada tabel 4.1, sesuai

dengan transformasi-z dari sinyal 𝑥(𝑛) yang dicari. Apabila pada tabel tersebut tidak

ada bentuk 𝑋(𝑧) yang sesuai, bisa dilakukan dengan metode lainnya.

Contoh 4.5

Transformasi-z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 adalah 𝑋 𝑧 =1

1−1

4𝑧−1

dan mempunyai DK:

𝑧 >1

4 . Tentukan sinyal diskrit 𝑥(𝑛).

Penyelesaian:

Dari tabel 4.1 diperoleh bahwa 𝑥 𝑛 = 1

4

𝑛

𝑢(𝑛)

4.4.2 Ekspansi Pecahan Parsial

Bila penyelesaian transformasi-z balik tidak dapat diselesaikan dengan melihat tabel

4.1, maka dapat dilakukan dengan memanipulasi 𝑋(𝑧) dalam bentuk jumlahan yang

masing-masing suku ada pada tabel 4.1. Selanjutnya tiap suku pada 𝑋(𝑧) dilakukan

dengan metode inspeksi. Untuk dapat menyelesaikan metode ekspansi pecahan parsial,

𝑋(𝑧) diasumsikan sebagai perbandingan polynomial 𝑧−1 yaitu

𝑋 𝑧 = 𝑏𝑘𝑧−𝑘𝑀

𝑘=0


(4.6)

Persamaan (4.6) ekivalen dengan

𝑋 𝑧 =𝑧𝑁 𝑏𝑘𝑧𝑀−𝑘𝑀

𝑘=0

𝑧𝑀 𝑎𝑘𝑧𝑁−𝑘𝑁𝑘=0

(4.7)

Persamaan (4.7) menunjukkan bahwa akan ada 𝑀 zero dan N pole pada lokasi tidak nol

pada bidang-z. Sebagai tambahan, ada 𝑀 − 𝑁 pole pada 𝑧 = 0 bila 𝑀 > 𝑁 atau

(𝑁 − 𝑀) zero pada 𝑧 = 0 jika 𝑁 > 𝑀. Dengan kata lain, bentuk transformasi-z pada

pers. (4.6) selalu mempunyai jumlah pole dan zero yang sama pada bidang-z dan tidak

ada pole dan zero pada 𝑧 = ∞. Bentuk 𝑋(𝑧) pada pers. (4.6) dapat dinyatakan dalam

bentuk

𝑋 𝑧 =𝑏𝑜 (1 − 𝑐𝑘𝑧−1)𝑀

𝑘=1

𝑎𝑜 (1 − 𝑑𝑧−1)𝑁𝑘=1

(4.8)

Dimana 𝑐𝑘 merupakan zero dari 𝑋(𝑧) yang tidak nol dan 𝑑𝑘 merupakan pole dari 𝑋(𝑧)

yang tidak nol. Jika 𝑀 < 𝑁 dan semua pole merupakan orde pertama, maka 𝑋(𝑧) dapat

dinyatakan sebagai

Bab IV - 9

𝑋 𝑧 = 𝐴𝐾

1 − 𝑑𝑘𝑧−1

𝑁

𝑘=1

(4.9)

Koefisien 𝐴𝑘 dapat diperoleh dari

𝐴𝑘 = 𝑋 𝑧 . (1 − 𝑑𝑘𝑧−1) 𝑧=𝑑𝑘 (4.10)

Contoh 4.6:

Transformasi-z dari sinyal diskrit 𝑥(𝑛) adalah

𝑋 𝑧 =1

1 −14 𝑧−1 1 −

12 𝑧−1

𝑧 >1

2

Tentukan sinyal diskrit 𝑥(𝑛).

Penyelesaian:

𝑋(𝑧) =𝐴1

1 −14 𝑧−1

+𝐴2

1 −12 𝑧−1

dimana:

𝐴1 = 𝑋 𝑧 . (1 −1

4𝑧−1)

𝑧=1/4= 1

1 −12 𝑧−1

𝑧=1/4

= −1

𝐴2 = 𝑋 𝑧 . (1 −1

2𝑧−1)

𝑧=1/2= 1

1 −14 𝑧−1

𝑧=1/2

= 2

sehingga :

𝑋(𝑧) =−1

1 −14 𝑧−1

+2

1 −12 𝑧−1

Seperti terlihat pada tabel 4.1 dengan melihat pasangan transformasi-z masing-masing

suku, maka sinyal diskrit 𝑥(𝑛) menjadi

𝑥 𝑛 = − 1

4

𝑛

𝑢 𝑛 + 2. 1

2

𝑛

𝑢(𝑛)

Jika 𝑀 ≥ 𝑁, maka pers (4.6) dinyatakana ke dalam bentuk ekspansi pecahan parsial

lengkap seperti berikut:

Bab IV - 10

𝑋 𝑧 = 𝐵𝑟

𝑀−𝑁

𝑟=0

𝑧−𝑟 + 𝐴𝐾

1 − 𝑑𝑘𝑧−1

𝑁

𝑘=1

(4.11)

Pers (4.11) dapat diperoleh dari pers (4.6) dengan cara membagi pembilang dengan

penyebutnya sampai menghasilkan polinomial 𝑧−1 berpangkat (M-N). Suku pertama

per (4.11) sisi kanan merupakan hasil pembagian pers (4.6) dan suku keduanya

merupakan rasio sisa dari pembagian pers (4.6) dengan penyebutnya.

Contoh 4.7:

Transformasi-z dari sinyal diskrit 𝑥(𝑛) adalah

𝑋 𝑧 = 1 +

12 𝑧−1 1 +

13 𝑧−1

1 −14 𝑧−1 1 −

12 𝑧−1

=1 +

56 𝑧−1 +

16 𝑧−2

1 −34 𝑧−1 +

18 𝑧−2

𝑧 >

1

2

Tentukan sinyal diskrit 𝑥(𝑛).

Penyelesaian:

Berdasarkan DK dari 𝑋(𝑧) maka sinyal 𝑥(𝑛) merupakan sinyal diskrit urutan sisi kanan.

Pangkat tertinggi polinomial 𝑧−1 pada pembilang maupun penyebut M=N=2 dan semua

polenya merupakan orde pertama, maka 𝑋(𝑧) dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑋 𝑧 = 𝐵𝑜 +𝐴1

1 −14 𝑧−1

+𝐴2

1 −12 𝑧−1

Konstanta 𝐵𝑜 dapat diperoleh dengan pembagian sebagai berikut:

4

3

1 −3

4𝑧−1 +

1

8𝑧−2 1 +

5

6𝑧−1 +

1

6𝑧−2

4

3− 𝑧−1 +

1

6𝑧−2

−1

3+

11

6𝑧−1

Setelah pangkat dari sisa pembagian polinomial 𝑧−1 lebih kecil dari pembagi, maka 𝑋 𝑧

dapat dinyatakan dalam bentuk:

𝑋 𝑧 =4

3+

−13 +

116 𝑧−1

1 −34 𝑧−1 +

18 𝑧−2

=4

3+

−13 +

116 𝑧−1

1 −14 𝑧−1 1 −

12 𝑧−1

Bab IV - 11

𝑋 𝑧 =4

3+

𝐴1

1 −14 𝑧−1

+𝐴2

1 −12 𝑧−1

Konstanta 𝐴1 dan 𝐴2 dapat diselesaikan dengan penyelesaian aturan 𝑀 < 𝑁, sehingga

menjadi:

𝐴1 =−

13 +

116 𝑧−1

1 −14 𝑧−1 1 −

12 𝑧−1

1 −1

4𝑧−1

𝑧−1 = 4

= - 20

3

𝐴2 =−

13 +

116 𝑧−1

1 −14 𝑧−1 1 −

12 𝑧−1

1 −1

2𝑧−1

𝑧−1 = 2

= 20

3

Selanjutnya menjadi:

𝑋 𝑧 =4

3+

− 203

1 −14 𝑧−1

+ 203

1 −12 𝑧−1

Dengan melihat pasangan transformasi-z pada tabel 4.1 dan DK dari 𝑋 𝑧 adalah

𝑧 >1

2 maka sinyal diskrit 𝑥(𝑛) merupakan urutan sisi kanan dan diperoleh sebagai

berikut:

𝑥 𝑛 =4

3𝛿(𝑛) −

20

3

1

4

𝑛

𝑢(𝑛) +20

3

1

2

𝑛

𝑢(𝑛)

Jika 𝑋 𝑧 mempunyai pole jamak dan 𝑀 ≥ 𝑁 maka selanjutnya pers (4.11) harus

dimodifikasi. Jika 𝑋 𝑧 mempunyai pole orde 𝑠 pada 𝑧 = 𝑑𝑖 dan semua pole-pole

lainnya merupakan orde pertama, maka pers (4.11) menjadi

𝑋 𝑧 = 𝐵𝑟

𝑀−𝑁

𝑟=0

𝑧−𝑟 + 𝐴𝑘

1 − 𝑑𝑘𝑧−1 +

𝐶𝑚

(1 − 𝑑𝑖𝑧−1)𝑚

𝑠

𝑚=1

𝑁

𝑘=1,𝑘≠𝑖

(4.12)

Koefisien 𝐵𝑟 dan 𝐴𝑘 dapat dicari dengan cara yang sama dengan sebelumnya,

sedangkan 𝐶𝑚 dicari dengan cara sebagai berikut:

𝐶𝑚 =

1

𝑠 − 𝑚 ! −𝑑𝑖 𝑠−𝑚

𝑑𝑠−𝑚

𝑑𝑤𝑠−𝑚 1 − 𝑑𝑖𝑤 𝑠𝑋 𝑤−1

𝑤=𝑑𝑖−1

(4.13)

Bab IV - 12

4.5 Sifat-sifat Transformasi-Z

Sifat-sifat transformasi-Z sangat membantu dalam menganalisa sinyal dan sistem

diskrit. Sebagai contoh, sifat-sifat ini sering digunakan dalam hubungannya dengan

transformasi-Z balik yang didiskusikan pada bagian 4.4 sebelumnya. Pada bagian ini,

kita menjelaskan sifat-sifat yang paling sering digunakan pada pengolahan sinyal digital.

Misalnya, 𝑋(𝑧) merupakan transformasi-z dari sinyal diskrit 𝑥(𝑛), dan DK dari 𝑋(𝑧)

dinyatakan dengan 𝑅𝑥 , yaitu:

𝑥(𝑛)𝑍 𝑋(𝑧), DK = 𝑅𝑥

Seperti yang terlihat bahwa 𝑅𝑥 merepresentasikan nilai-nilai z yang memenuhi

𝑅𝐷 < 𝑧 < 𝑅𝐿 .

Misalnya, dua sinyal diskrit 𝑥1(𝑛) dan 𝑥2(𝑛) mempunyai transformasi-Z yaitu 𝑋1(𝑧) dan

𝑋2(𝑧) dengan DK 𝑅𝑥1 dan 𝑅𝑥2 yang dinyatakan dengan pasangan transformasi-Z sebagai

berikut:

𝑥1(𝑛)𝑍 𝑋1(𝑧), DK = 𝑅𝑥1

𝑥2(𝑛)𝑍 𝑋2(𝑧), DK = 𝑅𝑥2

maka:

1. Linieritas

Sifat linier dapat dinyatakan

𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 𝑛 𝑍 𝑎𝑋1 𝑧 + 𝑏𝑋2 𝑧 , DK = 𝑅𝑥1 ∩ 𝑅𝑥2

DK dari penjumlahan dua sinyal diskrit merupakan irisan dari kedua DK sinyal

tersebut. Pada contoh 4.3 menunjukkan sifat linieritas.

2. Penggeseran waktu (Time Shifting)

Sifat penggeseran waktu dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑥(𝑛 − 𝑑)𝑍 𝑧−𝑑𝑋(𝑧), DK = 𝑅𝑥

Apabila nilai 𝑑 positif maka sinyal 𝑥(𝑛) mengalami waktu tunda (delay) sebesar

𝑑 dan bila 𝑑 negatif maka sinyal 𝑥(𝑛) mengalami penggeseran maju (digeser ke

kiri). Penurunan sifat ini dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan

transformasi-z, misalnya 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑑), maka transformasi-z dari 𝑦(𝑛) adalah

𝑌 𝑧 = 𝑥(𝑛 − 𝑑)

∞

𝑛=−∞

𝑧−𝑛

dengan mensubstitusikan 𝑚 = 𝑛 − 𝑑 maka

Bab IV - 13

𝑌 𝑧 = 𝑥(𝑚)

∞

𝑚=−∞

𝑧−(𝑚+𝑑) = 𝑧−𝑑 𝑥(𝑚)𝑧−𝑚

∞

−∞

= 𝑧−𝑑𝑋(𝑧)

Contoh 4.8:

Tentukan transformasi z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 = 1

2

𝑛−3

𝑢(𝑛 − 3).

Penyelesaian:

𝑋 𝑧 =𝑧−3

1 −12 𝑧−1

dimana DK dari 𝑋(𝑧) adalah 𝑧 >1

2

3. Perkalian dengan urutan eksponensial

Sifat perkalian eksponensial secara matematik dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑎𝑛𝑥(𝑛)𝑍 𝑋(𝑧/𝑎), DK = 𝑎 𝑅𝑥

Notasi DK = 𝑎 𝑅𝑥menyatakan bahwa DK tersebut merupakan 𝑅𝑥 yang diskala

dengan 𝑎 .

Contoh 4.9:

Tentukan transformasi z dari sinyal diskrit 𝑥 𝑛 berikut:

𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜𝑛 𝑢(𝑛)

Penyelesaian:

Sinyal diskrit 𝑥 𝑛 tersebut diubah dalam bentuk sebagai berikut:

𝑥(𝑛) =1

2𝑎𝑛𝑒𝑗𝜔𝑜𝑛𝑢(𝑛) +

1

2𝑎𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑜𝑛𝑢(𝑛)

𝑥(𝑛) =1

2 𝑎𝑒𝑗𝜔𝑜

𝑛𝑢(𝑛) +

1

2 𝑎𝑒−𝑗𝜔𝑜

𝑛𝑢(𝑛)

Dari bentuk tersebut kita bisa melihat pada tabel 4.1 sehingga transformasi z

dari 𝑥 𝑛 adalah:

𝑋 𝑧 =1/2

1 − 𝑎𝑒𝑗𝜔𝑜𝑧−1 +

1/2

1 − 𝑎𝑒−𝑗𝜔𝑜𝑧−1

Bab IV - 14

𝑋 𝑧 =

12 1 − 𝑎𝑒−𝑗𝜔𝑜𝑧−1 +

12 1 − 𝑎𝑒𝑗𝜔𝑜𝑧−1

1 − 𝑎𝑒𝑗𝜔𝑜𝑧−1 1 − 𝑎𝑒−𝑗𝜔𝑜𝑧−1

𝑋 𝑧 =1 − 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑧

−1

1 − 2𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2

dimana DK dari 𝑋(𝑧) adalah 𝑧 > 𝑎

4. Diferensiasi dari 𝑿(𝒛)

Sifat diferensiasi menyatakan bahwa

𝑛𝑥(𝑛)𝑍 − 𝑧

𝑑𝑋(𝑧)

𝑑𝑧 dimana DK = 𝑅𝑥

Kita bisa ilustrasikan fungsi dari sifat diferensiasi dengan contoh.

Contoh 4.10:


𝑥 𝑛 = 𝑛. 𝑎𝑛𝑢(𝑛)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sifat diferensiasi maka

𝑋 𝑧 = −𝑧𝑑

𝑑𝑧

1

1 − 𝑎𝑧−1 =

𝑎𝑧−1

1 − 𝑎𝑧−1 2

dimana DK dari 𝑋(𝑧) adalah 𝑧 > 𝑎

5. Konjugasi sinyal komplek

Sifat konjugasi dinyatakan sebagai berikut

𝑥∗ 𝑛 𝑍 𝑋∗ (𝑧∗) dimana DK = 𝑅𝑥

6. Refleksi waktu (time reversal)

Sifat time reversal

𝑥∗ −𝑛 𝑍 𝑋∗ (1/𝑧∗) dimana DK = 1/𝑅𝑥

Bab IV - 15

Jika sinyal 𝑥 𝑛 real atau sinyal tersebut tidak memilki konjugasi sinyal komplek,

hasilnya menjadi

𝑥 −𝑛 𝑍 𝑋 (1/𝑧) dimana DK = 1/𝑅𝑥

Contoh 4.11:


𝑥 𝑛 = 𝑎−𝑛𝑢(−𝑛)

Penyelesaian:

sinyal 𝑥 𝑛 tersebut merupakan sifat time reversal dari 𝑎𝑛𝑢(𝑛), dengan sifat

time reversal diperoleh

𝑋 𝑧 =1

1 − 𝑎𝑧

dimana DK dari 𝑋(𝑧) adalah 𝑧 > 1/𝑎

7. Konvolusi sinyal diskrit

Sifat konvolusi dua sinyal diskrit adalah

𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 𝑍 𝑋1 𝑧 𝑋2 (𝑧) dimana DK = 𝑅𝑥1 ∩ 𝑅𝑥2

Sifat konvolusi tersebut dapat diturunkan sebagai berikut:

𝑦(𝑛) = 𝑥1 𝑘 . 𝑥2(𝑛 − 𝑘)

𝑘=∞

𝑘=−∞

𝑌(𝑧) = 𝑦 𝑛 𝑧−𝑛 =

∞

𝑛=−∞

𝑥1 𝑘 . 𝑥2(𝑛 − 𝑘)𝑧−𝑛

𝑘=∞

𝑘=−∞

∞

𝑛=−∞

𝑌(𝑧) = 𝑥1 𝑘

𝑘=∞

𝑘=−∞

𝑥2(𝑛 − 𝑘)𝑧−𝑛

∞

𝑛=−∞

Kita ubah indek penjumlahan kedua dari 𝑛 menjadi 𝑚 = 𝑛 − 𝑘, kita peroleh

𝑌(𝑧) = 𝑥1 𝑘

𝑘=∞

𝑘=−∞

𝑥2(𝑚)𝑧−(𝑚+𝑘)

∞

𝑚=−∞

Bab IV - 16

𝑌(𝑧) = 𝑥1 𝑘 𝑧−𝑘

𝑘=∞

𝑘=−∞

𝑥2 𝑚 𝑧−𝑚 = 𝑋1 𝑧 . 𝑋2(𝑧)

∞

𝑚=−∞

Contoh 4.12:

Tentukan transformasi z dari keluaran sistem LTI yang mempunya respons

impuls ℎ 𝑛 bila diberi sinyal input 𝑥 𝑛 , dimana 𝑥 𝑛 dan ℎ 𝑛 sebagai berikut:

𝑥 𝑛 = (1

2)𝑛𝑢(𝑛) dan ℎ 𝑛 = (

1

3)𝑛𝑢(𝑛)

Penyelesaian:

𝒀 𝒛 =

1

(1 −12 𝑧−1)

.1

(1 −13 𝑧−1)

DK 𝑧 >1

2

𝑌 𝑧 =𝑧2

(𝑧 −12) 𝑧 −

13

DK 𝑧 >1

2

Gambar bidang z dengan pole-zeronya adalah


8. Teori nilai awal

Jika 𝑥(𝑛) sama dengan nol untuk 𝑛 < 0 (jika 𝑥(𝑛) merupakan Kausal), nilai awal

𝑥(0) dapat diperoleh dari 𝑋(𝑧) sebagai berikut :

𝑥 0 = lim𝑧→∞ 𝑋(𝑧)

𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

1/3 0 1/2

𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑝

Bab IV - 17

Tabel 4.2 Sifat-sifat Transformasi-z

No Sifat Sinyal diskrit Transformasi-z Daerah

konvergensi

1 Linieritas 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2(𝑛) 𝑎𝑋1 𝑧 + 𝑏𝑋2(𝑧) 𝑅𝑥1 ∩ 𝑅𝑥2

2 Pergeseran

waktu 𝑥(𝑛 − 𝑑) 𝑧−𝑑𝑋(𝑧) 𝑅𝑥

3 Perkalian

eksponensial 𝑎𝑛𝑥(𝑛) 𝑋

𝑧

𝑎 𝑎 𝑅𝑥

4 Diferensiasi 𝑛𝑥(𝑛) −𝑧𝑑𝑋(𝑧)

𝑑𝑧 𝑅𝑥

5 Konjugasi 𝑥∗(𝑛) 𝑋∗(𝑧∗) 𝑅𝑥

6 Refleksi waktu

𝑥(−𝑛) 𝑋(𝑧−1) 1/𝑅𝑥

7 Konvolusi 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2(𝑛) 𝑋1 𝑧 . 𝑋2(𝑧) 𝑅𝑥1 ∩ 𝑅𝑥2

4.6 Analisa Sistem LTI menggunakan Transformasi-Z

Sistem LTI dapat dinyatakan dengan persamaan beda koefisien konstan linier orde-N

mempunyai bentuk:

𝑎𝑘

𝑁

𝑘=0

𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑏𝑘

𝑀

𝑘=0

𝑥 𝑛 − 𝑘 (4.14)

Transformasi-z dari persamaan 4.14 adalah

𝑎𝑘

𝑁

𝑘=0

𝑧−𝑘𝑌(𝑧) = 𝑏𝑘

𝑀

𝑘=0

𝑧−𝑘𝑋(𝑧) (4.15)

Fungsi transfer 𝐻 𝑧 dari sistem LTI menjadi dapat diperoleh dari pers (4.15) sebagai

berikut:

𝐻 𝑧 =

𝑌 𝑧

𝑋 𝑧 =

𝑏𝑘𝑧−𝑘𝑀𝑘=0


(4.16)

Berdasarkan fungsi transfer 𝐻(𝑧) kita dapat mengevaluasi sistem LTI dengan melihat

DKnya, yaitu:

1. Kausalitas

Sistem LTI dikatakan kausal apabila DK dari 𝐻(𝑧) berada diluar pole terluar.

2. Stabilitas

Sistem LTI dikatakan stabil BIBO apabila lingkaran satu termasuk DK dari 𝐻(𝑧).

Bab IV - 18

Contoh 4.13:

Sistem linier time-invariant bersifat kausal mempunyai fungsi transfer :

𝐻 𝑧 =(1 −

12 𝑧−1)

(1 +13 𝑧−1)(1 −

34 𝑧−1)

(4.17)

Apakah sistem tersebut stabil? Jelaskan.

Penyelesaian:

Sistem tersebut mempunyai pole-zero sebagai berikut:

𝐻 𝑧 =(1 −

12 𝑧−1)

(1 +13 𝑧−1)(1 −

34 𝑧−1)

.𝑧2

𝑧2=

𝑧(𝑧 −12)

(𝑧 +13)(𝑧 −

34)

Nilai zero pada 𝑧1 = 0 dan 𝑧2 = 1/2 sedangkan nilai pole terdapat pada 𝑧1 = −1/3 dan

𝑧2 = 3/4. Fungsi sistem bersifat kausal maka DKnya berada diluar pole terbesar/terluar

sehingga DKnya 𝑧 > 3/4, sehingga lingkaran satu termasuk DK dari 𝐻(𝑧). Gambar

pole-zero beserta DK dari 𝐻(𝑧) dapat dilihat pada gambar 4.6.


Lingkaran satu

𝑅𝑒(𝑧)

𝐼𝑚(𝑧)

1 0 3

4

1

2 −

1

3

Bab IV - 19

SOAL LATIHAN

4.1 Tentukan transformasi-z, pole-zero, termasuk DK-nya dan gambar bidang z dari

sinyal diskrit berikut:

a. 𝑥 𝑛 = 1

4

𝑛

𝑢(𝑛) d. 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛 − 2)

b. 𝑥 𝑛 = 1

5

𝑛

𝑢(−𝑛 − 1) e. 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛 + 3)

c. 𝑥 𝑛 = 1

4

𝑛

𝑢(−𝑛) f. 𝑥 𝑛 = 1/2 𝑛 𝑢 𝑛 − 2 − 𝑢(𝑛 − 12)

4.2 Tentukan transformasi-z, pole-zero, termasuk DK-nya dan gambar bidang z dari

sinyal diskrit berikut:

a. 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 , 0 < 𝑎 < 1

b. 𝑥 𝑛 = 1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

4.3 Transformasi-z dari 𝑋(𝑧) yang mempunyai pole-zero seperti ditunjukkan pada

gambar 4.6.

a. Tentukan DK dari 𝑋(𝑧) jika 𝑋 𝑧 mempunyai transformasi Fourier. Untuk kasus

ini, tentukan apakah sinyal diskrit 𝑥(𝑛) merupakan urutan sisi kanan, urutan sisi

kiri, atau urutan dua sisi.

b. Berapa banyak kemungkinan urutan dua sisi yang mempunyai gambar pole-zero

seperti pada gambar 4.6

c. Apakah mungkin gambar pole-zero sperti pada gambar 4.6 tersebut dapat

dikatagerikan sebagai urutan yang stabil BIBO dan kausal? Kalau mungkin

tentukan DK-nya?

Gambar 4.6 Pole-zero sistem LTI

𝑅𝑒(𝑧) 1

2

0

𝐼𝑚(𝑧)

3

2

2 -1

Bab IV - 20

4.4 Tentukan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) bila transformasi-z nya adalah

𝑋 𝑧 = 1 + 𝑧 1 + 2𝑧−1 1 − 4𝑧−1

4.5 Tentukan sinyal diskrit 𝑥(𝑛) dibawah yang beberapa transformasi-z nya adalah

a. 𝑋(𝑧) =1

1 +14 𝑧−1

𝑧 >1

4

b. 𝑋(𝑧) =

1

1 +14 𝑧−1

𝑧 <1

4

c. 𝑋(𝑧) =1 −

12 𝑧−1

1 +34 𝑧−1 +

18 𝑧−2

𝑧 >1

2

d. 𝑋(𝑧) =1 +

13 𝑧−1

1 −12 𝑧−1

2 𝑧 >1

2

e. 𝑋(𝑧) =1 − 2𝑧−1

𝑧−1 − 2 𝑧 >

1

2

4.6 Sistem LTI kausal bila diberi input 𝑥 𝑛 = 𝑢 −𝑛 − 1 + 1

2

𝑛

𝑢(𝑛) akan

menghasilkan keluaran yang mempunyai transformasi-z berikut

𝑌(𝑧) =−

12 𝑧−1

1 −12 𝑧−1 1 + 𝑧−1

a. Tentukan transformasi-z dari respons impuls sistem tersebut, beserta DK-

nya.

b. Tentukan DK dari 𝑌(𝑧).

c. Tentukan 𝑦(𝑛),

4.7 Suatu fungsi sistem dari sistem LTI kausal adalah

𝐻(𝑧) =1 − 𝑧−1

1 +34 𝑧−1

Input sistem tersebut adalah 𝑥 𝑛 = 𝑢 −𝑛 − 1 + 1

3

𝑛

𝑢(𝑛)

a. Tentukan respons impuls sistem tersebut

Bab IV - 21

b. Tentukan sinyal keluaran sistem tersebut.

c. Apakah sistem tersebut stabil BIBO? Apakah respons impuls dapat

dijumlahkan secara absolut?

4.8 Sistem LTI kausal mempunyai respons impuls ℎ(𝑛), yang transformasi-z nya adalah

𝐻(𝑧) =1 + 𝑧−1

1 −12 𝑧−1 1 +

14 𝑧−1

a. Tentukan DK dari 𝐻(𝑧).

b. Apakah sistem tersebut stabil? Jelaskan

c. Tentukan input 𝑥(𝑛) bila akan menghasilkan sinyal keluaran

𝑦 𝑛 = −1

3 −

1

4

𝑛

𝑢 𝑛 −4

3 2 𝑛𝑢(−𝑛 − 1)

d. Hitung respons impuls ℎ(𝑛) dari sistem tersebut.

4.9 Bila sinyal input sistem LTI adalah

x 𝑛 = 1

3

𝑛

𝑢 𝑛 + 2 𝑛𝑢(−𝑛 − 1)

menghasilkan sinyal output

𝑦 𝑛 = 5 1

3

𝑛

𝑢 𝑛 − 5 2

3

𝑛

𝑢(𝑛)

a. Tentukan fungsi sistem 𝐻(𝑧) dari sistem tersebut. Gambar pole-zero pada

bidang z dan tentukan DK-nya.

b. Tentukan respons impuls sistem tersebut.

c. Tentukan persamaan beda yang menyatakan hubungan input output sistem

tersebut.

d. Apakah sistem tersebut stabil BIBO? Jelaskan.

e. Apakah sistem tersebut kausal? Jelaskan.

4.10 Perhatikan sistem LTI yang mempunyai hubungan input-output yang dinyatakan

dengan persamaan beda

𝑦 𝑛 −5

2𝑦 𝑛 − 1 + 𝑦 𝑛 − 2 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 1)

Tentukan nilai yang mungkin pada respons impuls sistem ℎ(𝑛) pada 𝑛 = 0.

4.11 Sistem LTI kausal mempunyai fungsi sistem

𝐻(𝑧) =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−2

1 − 𝑧−1 1 +12 𝑧−1

Bab IV - 22

a. Hitung respons impuls ℎ(𝑛) dari sistem tersebut.

b. Hitung output sistem bila inputnya

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗 𝜋/2 𝑛

4.12 Perhatikan sistem LTI dengan respons impuls

ℎ 𝑛 = 𝑎𝑛 , 𝑛 ≥ 00, 𝑛 < 0

dan input

𝑥 𝑛 = 1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

a. Tentukan output 𝑦(𝑛) dengan mengevaluasi secara eksplisit menggunakan

konvolusi diskrit antara 𝑥(𝑛) dan ℎ(𝑛).

b. Tentukan output 𝑦(𝑛) dengan menggunakan transformasi-z balik dari perkalian

transformasi-z 𝑥(𝑛) dan ℎ(𝑛).

4.13 Perhatikan sistem LTI stabil dan mempunyai fungsi transfer berikut

𝐻 𝑧 =3

1 +13 𝑧−1

Asumsikan bahwa input sistem berupa unit step.

a. Dapatkan output 𝑦(𝑛) dengan menggunakan konvolusi diskrit antara 𝑥(𝑛) dan

ℎ(𝑛).

b. Tentukan output 𝑦(𝑛) dengan menggunakan transformasi-z balik dari 𝑌(𝑧).

4.14 Perhatikan sistem LTI dikarakterisasi dengan fungsi sistem berikut

𝐻 𝑧 =1 −

12

𝑧−2

1 −12 𝑧−1 1 −

14 𝑧−1

𝑧 >1

2

a. Tentukan respons impuls sistem.

b. Apakah sistem tersebut stabil BIBO? Jelaskan.

c. Apakah sistem tersebut kausal? Jelaskan.

d. Tentukan persamaan beda yang menyatakan hubungan input 𝑥(𝑛) dan output

𝑦(𝑛) sistem.

4.15 Perhatikan sinyal 𝑥(𝑛) urutan sisi kanan yang mempunyai transformasi-z berikut

𝑋 𝑧 =1

1 − 𝑎𝑧−1 1 − 𝑏𝑧−1 =

𝑧2

𝑧 − 𝑎 𝑧 − 𝑏

Dengan menggunakan metode ekspansi pecahan parsial, tentukan sinyal diskrit

𝑥(𝑛).

Bab V - 1

Bab 5

Perencanaan Filter Digital

5.1 Pendahuluan

Filter digital merupakan suatu sistem diskrit yang digunakan untuk memfilter (frekuensi) sinyal input digital menjadi sinyal output digital sesuai yang diinginkan oleh disainer. Filter digital dikarakterisasi dengan persamaan beda koefisien konstan linier orde ke-N, selain itu dapat juga dinyatakan dalam respons impuls. Berdasarkan panjang deretan (durasi) respons impuls, filter digital dikelompokkan menjadi filter FIR (Finite Impulse Response) dan filter IIR (Infinite Impulse Response). Banyak contoh aplikasi filter digital yang dapat dijumpai pada bidang kedokteran, sistem komunikasi digital, sistem proteksi relay pada sistem kelistrikan, robotika, radar, sistem audio digital dan lain sebagainya. Disain filter digital dengan fasa linier dilakukan dengan metode pendekatan. Filter FIR didisain dengan pendekatan filter digital ideal sedangkan filter IIR didisain dengan pendekatan filter analog.

5.2 Filter Digital

Filter digital merupakan sistem linier time-invarian (LTI) yang melakukan proses dari input sinyal digital 𝑥𝑥(𝑛𝑛) menjadi sinyal output digital 𝑦𝑦(𝑛𝑛). Sistem LTI dapat dikarakterisasi dengan respon impuls ℎ(𝑛𝑛), fungsi sistem 𝐻𝐻(𝑧𝑧) dan persamaan beda koefisien konstan. Jika sistem tersebut mempunyai persamaan beda koefisien konstan linier orde-N sebagai berikut:

𝑎𝑎𝑘𝑘𝑦𝑦(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘) = 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)𝑀𝑀

𝑘𝑘=0

𝑁𝑁

𝑘𝑘=0

(5.1)

Selanjutnya fungsi sistem dapat diperoleh dengan mentransformasi-z pers (5.1) menjadi:

𝐻𝐻(𝑧𝑧) =∑ 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑧𝑧−𝑘𝑘𝑀𝑀𝑘𝑘=0

∑ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑧𝑧−𝑘𝑘𝑁𝑁𝑘𝑘=0

(5.2)

Jika sistem tersebut stabil BIBO, maka respons frekuensinya diperoleh dengan mengganti 𝑧𝑧 = 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 menjadi

𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 =∑ 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑀𝑀𝑘𝑘=0

∑ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑁𝑁𝑘𝑘=0

(5.3)

Bab V - 2

5.3 Disain Filter Digital FIR

Filter FIR didisain dengan melakukan pendekatan ke filter digital ideal. Metode yang sering dijumpai menggunakan metode windowing. Cara yang paling mudah untuk mendapatkan filter FIR adalah membatasi panjang deretan respons impuls filter IIR. Jika ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) merepresentasikan respons impuls filter digital IIR yang diinginkan, maka filter FIR dengan respons impuls ℎ(𝑛𝑛) dapat diperoleh sebagai berikut

ℎ(𝑛𝑛) = ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛), 𝑁𝑁1 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁20, 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎

(5.4)

Secara umum ℎ(𝑛𝑛) dapat dibentuk dengan mengalikan ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) dengan fungsi window 𝑤𝑤(𝑛𝑛) sebagai berikut

ℎ(𝑛𝑛) = ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛).𝑤𝑤(𝑛𝑛) (5.5)

Respons impuls ℎ(𝑛𝑛) pers (5.4) dapat dibentuk dari per (5.5) bila menggunakan fungsi window persegi (rectangular) yaitu

𝑤𝑤(𝑛𝑛) = 1, 𝑁𝑁1 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁20, 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎

(5.6)

Jika kita menyatakan 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ), 𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) dan 𝑊𝑊(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) sebagai transformasi Fourier dari ℎ(𝑛𝑛), ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) dan 𝑤𝑤(𝑛𝑛), maka respons frekuensi 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) dari filter hasil disain merupakan konvolusi antara 𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) dan 𝑊𝑊(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) sebagai berikut

𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 =1

2𝜋𝜋 𝐻𝐻𝑑𝑑𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 .𝑊𝑊(𝑒𝑒𝑗𝑗 (𝑗𝑗−𝑗𝑗))𝑑𝑑𝑗𝑗 =𝜋𝜋

−𝜋𝜋𝐻𝐻𝑑𝑑𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ∗ 𝑊𝑊(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) (5.7)

Sebagai ilustrasi, jika 𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) merepresentasikan filter LPF ideal dengan frekuensi cutoff 𝑗𝑗𝑐𝑐 dan 𝑤𝑤(𝑛𝑛) merupakan window persegi pada titik asal, maka 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) seperti terlihat pada gambar 5.1. Dari gambar 5.1, respons frekuensi hasil disain 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) menyerupai respons frekuensi yang diinginkan 𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ).

Gambar 5.1 Respons Frekuensi hasil perkalian respons impuls ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) ideal dengan window persegi

−𝑗𝑗𝑐𝑐 𝑗𝑗𝑐𝑐 𝜋𝜋 −𝜋𝜋

𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 )

−𝑗𝑗𝑐𝑐 𝑗𝑗𝑐𝑐

4𝜋𝜋/𝑁𝑁

𝜋𝜋

𝑊𝑊(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 )

2𝜋𝜋/𝑁𝑁 𝜋𝜋

* =

Bab V - 3

Beberapa fungsi window yang sering digunakan secara umum yaitu window persegi, Barlett, Hanning, Hamming, dan Blackman. Secara matematis fungsi window dengan panjang deretan N adalah:

1. Window persegi (rectangular)

𝑤𝑤𝑅𝑅(𝑛𝑛) = 1, 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁 − 10, 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎

(5.8)

2. Window Barlett

𝑤𝑤𝐵𝐵(𝑛𝑛) =

⎩⎪⎨

⎪⎧

2𝑛𝑛𝑁𝑁 − 1

, 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ (𝑁𝑁 − 1)/2

2 −2𝑛𝑛

𝑁𝑁 − 1,𝑁𝑁 − 1

2≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁 − 1

0, 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎

(5.9)

3. Window Hanning

𝑤𝑤𝐻𝐻𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑛𝑛) = 0.5. 1 − cos[2𝜋𝜋𝑛𝑛𝑁𝑁 − 1

] , 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁 − 1

0, 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎 (5.10)

4. Window Hamming

𝑤𝑤𝐻𝐻𝑎𝑎𝐻𝐻 (𝑛𝑛) = 0.54 − 0.46 cos 2𝜋𝜋𝑛𝑛𝑁𝑁 − 1

, 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁 − 1


5. Window Blackman

𝑤𝑤𝐵𝐵𝑙𝑙(𝑛𝑛) = 0.42 − 0.5 cos 2𝜋𝜋𝑛𝑛𝑁𝑁 − 1

+ 0.08 cos 4𝜋𝜋𝑛𝑛𝑁𝑁 − 1

, 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁 − 1


5.3.1 Prosedur Disain Filter Digital FIR

Filter LPF ideal yang mempunyai fasa linier dengan slope –𝛼𝛼 dan frekuensi cutoff 𝑗𝑗𝑐𝑐 dapat dinyatakan dalam domain frekuensi

𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) = 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝛼𝛼𝑗𝑗 , |𝑗𝑗| ≤ 𝑗𝑗𝑐𝑐

0, 𝑗𝑗𝑐𝑐 < |𝑗𝑗| < 𝜋𝜋 (5.13)

Respons impuls filter ideal ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) dapat diperoleh dengan mentransformasi Fourier balik 𝐻𝐻𝑑𝑑(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) menjadi

Bab V - 4

ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) =sin[𝑗𝑗𝑐𝑐(𝑛𝑛 − 𝛼𝛼)]𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝛼𝛼)

(5.14)

Filter FIR kausal dengan respons impuls ℎ(𝑛𝑛) dapat diperoleh dengan cara mengalikan ℎ𝑑𝑑(𝑛𝑛) dengan sebuah fungsi window pada titik asal dan diakhiri pada titik 𝑁𝑁 − 1 sebagai berikut

ℎ(𝑛𝑛) = sin[𝑗𝑗𝑐𝑐(𝑛𝑛 − 𝛼𝛼)]𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝛼𝛼) .𝑤𝑤(𝑛𝑛), 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 𝑁𝑁 − 1


Respons impuls ℎ(𝑛𝑛) mempunyai fasa linier bila 𝛼𝛼 dipilih agar menghasilkan ℎ(𝑛𝑛) yang simetris. Fungsi sin[𝑗𝑗𝑐𝑐(𝑛𝑛 − 𝛼𝛼)] /𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 𝛼𝛼) pada pers (5.14) simetris pada 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼 dan fungsi window simetris pada 𝑛𝑛 = (𝑁𝑁 − 1)/2, sehingga filter ℎ(𝑛𝑛) pada pers (5.15) mempunyai fasa linier jika simetris dan

𝛼𝛼 =𝑁𝑁 − 1

2

5.3.2 Tahapan Disain Filter Digital FIR

Sebelum melakukan tahapan disain filter digital, kita harus membuat spesifikasi filter digital. Sebagai ilustrasi, kita merencanakan filter LPF dengan menentukan spesifikasi redaman passband maksimal 𝐾𝐾1 pada frekuensi cuoff 𝑗𝑗𝑐𝑐 , redaman stopband minimal 𝐾𝐾2 pada frekuensi 𝑗𝑗𝑠𝑠 seperti terlihat pada gambar 5.2.

Gambar 5.2 Spesifikasi Filter Digital LPF

𝐾𝐾1

𝐾𝐾2

𝑗𝑗𝑐𝑐 𝑗𝑗𝑠𝑠 𝑗𝑗 (rad)

0

20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝐵𝐵

𝜋𝜋 0

passband Transition band

stopband

Bab V - 5

Langkah-langkah disain filter FIR secara iteratif sebagai berikut:

1. Memilih tipe window berdasarkan tabel 4.1 agar redaman stopband minimal sama dengan 𝐾𝐾2.

Tabel 4.1 Lebar pita transisi berdasarkan jenis window

Jenis Window Lebar transisi

Redaman stopband minimal (dB)

Konstanta (𝑘𝑘)

Persegi 4𝜋𝜋/𝑁𝑁 21 2 Barlett 8𝜋𝜋/𝑁𝑁 25 4

Hanning 8𝜋𝜋/𝑁𝑁 44 4 Hamming 8𝜋𝜋/𝑁𝑁 53 4 Blackman 12𝜋𝜋/𝑁𝑁 74 6

2. Menentukan panjang deretan window N (orde filter) agar memenuhi lebar band transisi sesuai dengan tipe window yang digunakan. Jika 𝑗𝑗𝑡𝑡 merupakan lebar band transisi, maka harus dipenuhi kondisi

𝑗𝑗𝑡𝑡 = 𝑗𝑗𝑠𝑠 − 𝑗𝑗𝑐𝑐 ≥ 𝑘𝑘.2𝜋𝜋𝑁𝑁

Dimana 𝑘𝑘 tergantung pada tipe window yang digunakan sehingga

𝑁𝑁 ≥ 𝑘𝑘.2𝜋𝜋

𝑗𝑗𝑠𝑠 − 𝑗𝑗𝑐𝑐

3. Memilih frekuensi cutoff 𝑗𝑗𝑐𝑐 dan kemiringan fasa 𝛼𝛼 yaitu

𝛼𝛼 = (𝑁𝑁 − 1)/2 Sehingga respons impulsnya menjadi

ℎ(𝑛𝑛) =sin 𝑗𝑗𝑐𝑐 𝑛𝑛 −

𝑁𝑁 − 12

𝜋𝜋 𝑛𝑛 − 𝑁𝑁 − 12

.𝑤𝑤(𝑛𝑛)

4. Menggambar respons frekuensi 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ), untuk N ganjil mempunyai persamaan

sebagai berikut

𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑁𝑁−1)/2.ℎ 𝑁𝑁 − 1

2 + 2ℎ(𝑛𝑛)cos[𝑗𝑗(𝑛𝑛 −

𝑁𝑁 − 12

)](𝑁𝑁−3)/2

𝑛𝑛=0

fasa linier magnitud

Bab V - 6

Silakan dicek gambar pada langkah ke-4 berupa respon magnitud 20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝐵𝐵, apakah sudah sesuai dengan spesifikasi yang direncanakan? Bila sudah sesuai, iterasi dihentikan.

5. Jika persyaratan redaman 𝐾𝐾1 pada 𝑗𝑗𝑐𝑐 tidak sesuai, diatur lagi nilai 𝑗𝑗𝑐𝑐 , biasanya lebih besar dari iterasi pertama. Selanjutnya ulangi langkah ke-4 dengan nilai 𝑗𝑗𝑐𝑐 yang baru tersebut.

6. Jika persyaratan respons frekuensi (respon magnitud dan fasa) sudah sesuai dengan yang diinginkan, cek lagi dengan mengurangi orde filter N. Selanjutnya ulangi langkah ke-4 dengan menggambar respons frekuensi. Pengurangan nilai N bertujuan untuk mengurangi processing delay (waktu tunda pengolahan pada sistem diskrit). Jika pengurangan nilai N tidak memungkinkan, maka iterasi dihentikan dan diperoleh respons impuls ℎ(𝑛𝑛).

Prosedur diatas merupakan metode trial and error dan berusaha untuk mencapai respons frekuensi yang paling sesuai dengan yang diinginkan. Prosedur ini bukan merupakan optimalisasi hasil, tetapi memperoleh hasil disain yang mendekati. Contoh 1: Rencanakan filter digital LPF yang akan dipakai pada sistem digital A/D-H(z)-D/A, yang mempunyai redaman 3 dB pada frekuenasi cutoff 15 Hz dan redaman stopband 50 dB pada frekuensi 22,5 Hz. Filter tersebut diharapkan mempunyai fasa linier dan digunakan menggunkan frekuensi sampling 100 Hz. Penyelesaian: Spesifikasi filter LPF berdasarkan data yang diketahui sebagai baerikut 𝑗𝑗𝑐𝑐 = 2𝜋𝜋fc/fsamp = 2𝜋𝜋.(15/100) = 0.3𝜋𝜋 rad pada 𝐾𝐾1 ≤ 3 𝑑𝑑𝐵𝐵 𝑗𝑗𝑠𝑠 = 2𝜋𝜋fs/fsamp = 2𝜋𝜋.(22.5/100) = 0.45𝜋𝜋 rad pada 𝐾𝐾2 ≥ 50 𝑑𝑑𝐵𝐵

-3 dB

0.3𝜋𝜋 𝑗𝑗 (rad)

0

20𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝐵𝐵

𝜋𝜋 0

-50 dB

0.45𝜋𝜋

Bab V - 7

Langkah 1: Untuk memperoleh redaman stopband minimal 50 dB, berdasarkan tabel 4.1 maka kita bisa menggunakan window Hamming atau Blackman. Sebagai contoh dalam hal ini, kita pilih menggunakan window Hamming. Langkah 2: Menentukan ukuran window 𝑁𝑁 (orde filter) berdasarkan lebar pita transisi pada tabel 4.1 sesuai dengan tipe window yang digunakan, dalam contoh ini menggunakan Hamming, sehingga

𝑁𝑁 ≥ 𝑘𝑘.2𝜋𝜋

𝑗𝑗𝑠𝑠 − 𝑗𝑗𝑐𝑐= 4.

2𝜋𝜋0.45𝜋𝜋 − 0.3𝜋𝜋

= 53.3

Untuk memperoleh delay integer, dipilih nilai 𝑁𝑁 ganjil, sehingga 𝑁𝑁 = 55. Langkah 3: Menentukan frekuensi cuoff dan slope dari fasa adalah 𝑗𝑗𝑐𝑐 = 0.3𝜋𝜋 dan 𝛼𝛼 = (𝑁𝑁 − 1)/2 = 27 Selanjutnya diperoleh respons impuls ℎ(𝑛𝑛) untuk window Hamming sebagai berikut:

ℎ(𝑛𝑛) =sin[0.3𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 27)]

𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 27) . 0.54 − 0.46 cos 2𝜋𝜋𝑛𝑛54

, 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑢𝑢𝑘𝑘 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 54

Langkah 4: Menggunakan nilai-nilai ℎ(𝑛𝑛) untuk menggambar respons magnitud dari filter hasil disain dengan menggunakan persamaan pada langkah ke-4 disain filter FIR. Selain itu dapat juga dengan tahapan berikut:

ℎ(0) = ℎ(54) = . . . ℎ(1) = ℎ(53) = . . . ℎ(2) = ℎ(52) = . . . ℎ(3) = ℎ(51) = . . .

.

.

. ℎ(26) = ℎ(28) = . . .

ℎ(27) = 0.3

ℎ(𝑛𝑛) = ℎ(0)𝛿𝛿(𝑛𝑛) + ℎ(1)𝛿𝛿(𝑛𝑛 − 1) + … + ℎ(27)𝛿𝛿(𝑛𝑛 − 27) + … + ℎ(54)𝛿𝛿(𝑛𝑛 − 54)

𝐻𝐻(𝑧𝑧) = ℎ(0) + ℎ(1)𝑧𝑧−1 + … + ℎ(27)𝑧𝑧−27 + … + ℎ(54)𝑧𝑧−54

𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) = ℎ(0) + ℎ(1)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗 + … + ℎ(27)𝑒𝑒−𝑗𝑗27𝑗𝑗 + … + ℎ(54)𝑒𝑒−𝑗𝑗54𝑗𝑗

Bab V - 8

Karena respons frekuensi yang dihasilkan mempunyai koefisien yang simetris maka dapat dibuat bentuk yang kompak berikut

𝐻𝐻𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑒𝑒−𝑗𝑗27𝑗𝑗 . ℎ(27) + 2ℎ(𝑛𝑛)cos[𝑗𝑗(𝑛𝑛 − 27)]26

𝑛𝑛=0

Gambar respons magnitud hasil disain dapat dilihat pada gambar 5.3 sedangkan persamaan bedanya adalah

𝑦𝑦(𝑛𝑛) = ℎ(0)𝑥𝑥(𝑛𝑛) + ℎ(1)𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 1) + … + ℎ(27)𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 27) + … + ℎ(54)𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 54)

Gambar 5.3 Respons magnitud filter LPF hasil disain

fasa linier magnitud

Bab V - 9

SOAL LATIHAN

1. Diketahui respons impus filter mempunyai persamaan

ℎ(𝑛𝑛) = 1/21 − cos 2𝜋𝜋𝑛𝑛100

. sin[0.2𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 50)]

𝜋𝜋(𝑛𝑛 − 50)] , 0 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 100

0, 𝑛𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎

a. Sketsa respons magnitud 𝐻𝐻(𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 ) dalam dB dan hitung nilai-nilainya pada titik kritis (pada 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗𝑐𝑐 dan 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗𝑠𝑠).

b. Jika filter tersebut diberi input 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = sin(0.35𝜋𝜋𝑛𝑛), maka input tersebut berada pada daerah mana? passband, transition band, atau stopband?

c. Tentukan persamaan beda filter tersebut?

2. Sinyal analog mempunyai pita frekuensi 0 – 10 kHz disampling dengan frekuensi sampling 50 kHz. Kita ingin meloloskan sinyal tersebut dengan menggunakan filter digital FIR yang mempunyai lebar band transisi tidak lebih dari 5 kHz dengan redaman stopband minimal 40 dB. Kita menginginkan fase linier pada daerah passband. Rencanakan filter FIR tersebut dan gambar respons magnitudnya.

3. Filter bandpass digital disyaratkan mempunyai redaman 3 dB pada frekuensi cutoff bawah 0.4𝜋𝜋 rad dan 3 dB pada frekuensi cutoff atas 0.5𝜋𝜋 rad. Lebar transition band untuk frekuensi bawah maupun atas adalah 0.1𝜋𝜋 dengan redaman stopband minimal 40 dB. a. Hitung respons impuls ℎ(𝑛𝑛) untuk filter FIR tersebut yang memenuhi

persyaratan diatas dengan menggunakan window Hamming. b. Tentukan persamaan beda hasil disain. c. Gambar respons magnitud filter FIR hasil disain.

Filter digital IIR 1

5.4 FILTER DIGITAL IIR

1. STRUKTUR FILTER DIGITAL Berdasarkan hubungan antara deretan input x[n] dengan deretan output y[n] :

a. Rekursif y[n] = Fy[n-1], y[n-2], . . . , x[n], x[n-1], x[n-2], . . .

b. Non-Rekursif

y[n] = Fx[n], x[n-1], x[n-2], x[n-3], . . .

Berdasarkan panjang deretan h[n] : a. Infinite Impuls Response (IIR)

Panjang deretan h[n] tak terbatas Contoh : h[n] = (1/2)n u[n]

b. Finite Impuls Response (FIR)

Panjang deretan h[n] terbatas

Contoh : h[n] = [n] + [n-1] + 1/2.[n-2] + [n-4]

Struktur filter berdasarkan transf. Z Impulse response : H(z)

N

0k

M

0kkk

M

0k

kk

N

0k

kk

N

0k

kk

M

0k

kk

]kn[xb]kn[ya

zb).Z(Xza).Z(Y

za

zb

)Z(X

)Z(Y)Z(H

Untuk ao = 1, maka :

M

k

N

k

kk knyaknxbny0 1

][][][

Untuk salah satu ak 0; k [1,N] maka dinamakan filter rekursif/IIR

Untuk semua ak = 0; k [1,N] maka dinamakan filter non-rekursif/FIR


2. FILTER IIR

Syarat : Kausal : Respons impuls h[n] = 0, untuk n < 0

Stabil :

n

]n[h

Transformasi - Z :

n

N

1k

k

k

M

0k

k

k

n

za1

zb

z]n[h)Z(H

Syarat H(z) :

Minimum salah satu ak 0

Akar-akar dari penyebut tidak dihilangkan oleh akar-akar dari pembilang

Zero dapat berada disetiap tempat, pole harus terletak didalam lingkaran satuan

M N

KARAKTERISTIK FILTER IIR :

Magnitude Squared Respons : j1

2j ez,untuk,)z(H)z(H)e(H

Respons fasa

j

1

j

j1j

ez,untuk,)z(H

)z(Hln

j2

1e

atau

ez,untuk,)z(HRe

)z(HImtane

Group delay :

d

)e(d)e(

jj

g

Group delay artinya :

Berapa lama / cuplikan sinyal didelay.


Penentuan Koefisien Filter IIR

Menentukan bk dan ak agar respons filter (waktu, frekuensi, group delay) mendekati sifat yang dinginkan.

METODE PENDEKATAN Transformasi bilinier

Transformasi respons impuls Transformasi matched Z

TRANSFORMASI BILINIER

Definisi :

S

T2

ST

2z;

z1

z1

T

2S

1

1

dan T: frekuensi sampling

Bila ; S = j ,

jT

2

jT

2z

Untuk : = 0, maka : z = 1,

= , maka : z = -1,

Bila ; S = + j maka :

jT

2

jT

2z

Bila < 0 (bidang S sebelah kiri) maka 1Z sehingga daerah konvergensi didalam

linkaran satu

Fungsi transfer filter digital H(z) didapat dengan Transformasi Bilinier.

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

j

Bidang S

Re

Im Bidang Z


Hubungan Non-Linier :

Bila S = j dan z = ejT

yaitu,kecilTbilalinier,2

Ttan

T

2

2

Ttanj

T

2j

ee

ee

T

2

e1

e1

T

2j

2/Tj2/Tj

2/Tj2/Tj

Tj

Tj

atau dalam buku lain

1Tinormalisas,2

tanT

2


Prosedur disain filter digital menggunakan metode Transformasi Bilinier

Spesifikasi digital 1, 2, . . ., N

K1, K2, . . . , KN

Spesifikasi analog 1, 2, . . ., N

K1, K2, . . . , KN

Ha(S)

Dinginkan H(z)

disain filter analog

Digunakan Transformasi Bilinier

i = 2/T . tan(i/2)

S = 2/T. (1-z-1) (1+z-1)



PROSEDUR DISAIN FILTER DIGITAL IIR

METODE TRANSFORMASI BILINIER, pendekatan filter analog

BUTTERWORTH

LOW PASS FILTER (LPF) Magnitude Squared Response

Spesifikasi digital Transf. ke Analog LPF Normalisasi

s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

1

2r

Menghitung orde LPF analog Butterworth normalisasi :

r

10/2K10/1K

1log.2

)]110/()110log[(n

Fungsi transfer H(S) LPF normalisasi : (dapat dilihat pada tabel 3.1 )

HLPF(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) LPF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

c

LPFas

SSHSH

)()( = . . . . . ., dimana :

nKc

2

110/1

1

110

Fungsi transfer H(Z) LPF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

dB dB dB

0 0 0 K1

K2

K1

K2

K1

K2

1 2 1 2 1 r




BUTTERWORTH

HIGH PASS FILTER (HPF) Magnitude Squared Response


s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

1

2r


r

10/2K10/1K

1log.2

)]110/()110log[(n


HLPF(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) HPF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

sS

SHSH cLPFa

)()( = . . . . . ., dimana :

nK

c

2

110/1

2

110

Fungsi transfer H(Z) HPF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

dB dB dB

0 0 0 K1

K2

K1

K2

K1

K2

1 2 1 2 1 r




BUTTERWORTH

BAND PASS FILTER (BPF) Magnitude Squared Response


s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

LU2

UL22

LU1

UL21

r

B

A

B,Amin


r

10/2K10/1K

1log.2

)]110/()110log[(n

Fungsi transfer H(S) LPF normalisasi : (dapat dilihat pada tabel 3.1 ) HLPF(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) BPF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

LU

UL2

LPFa

s

sS

)S(H)S(H

= . . . . . .

Fungsi transfer H(Z) BPF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

1 L U 2 1 L U 2 1 r

dB dB dB

0 0 0 K1

K2

K1

K2

K1

K2




BUTTERWORTH

BAND STOP FILTER (BSF) Magnitude Squared Response


s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

UL22

LU2

UL21

LU1

r

B

A

B,Amin


r

10/2K10/1K

1log.2

)]110/()110log[(n


HLPF(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) BSF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

UL2

LULPFa

s

sS

)S(H)S(H

= . . . . . .

Fungsi transfer H(Z) BSF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

L 1 2 U L 1 2 U

dB dB dB

0 0 0 K1

K2

K1

K2

K1

K2

1 r


FILTER ANALOG CHEBYSHEV Ada 2 tipe : a. Filter Chebyshev tipe 1 - - - - - - - - - Riple pada passband

b. Filter Chebyshev tipe 2 - - - - - - - - - Riple pada stopband Filter chebyshev low pass normalisasi dengan riple pada passband mempunyai

karakteristik :

)(T1

1)(H

2n

2

2

dimana : Tn() : polinomial chebyshev derajat n

: parameter riple pada passband

Tn() dapat dilihat pada tabel 3.3 pada buku :

L. C. Ludeman, "Fundamentals of Digital Signal Procesing",

2

)(H 2

)(H

1 r 1 r

n ganjil (n=3) n genap (n=4)

n mentukan jumlah puncak

Pada = 1 - - - - - - - 2

2

1

1)(H

= r - - - - - - 2

2

A

1)(H

Polinomial Chebyshev dapat dilihat pada tabel Tabel 3.3 pada buku : L. C. Ludeman, "Fundamentals of Digital Signal Procesing",

Untuk memperoleh fungsi transfer Hn(s) stabil dan kausal maka harus mendapatkan pole-pole dan memilih pole-pole Hn(s) pada LHP (Left Half Plane).

1

21

1

2A

1

1

21

1

2A

1


Pole diperoleh dengan mencari akar-akar sbb :

1 + 2 Tn

2(s) = 0

Jika sk = k + k merepresentasikan pole maka memenuhi :

1ba 2

2k

2

2k

dimana :

n2,...,3,2,1kn2/1k2bCos

n2/1k2aSin

/112

1/11

2

1b

/112

1/11

2

1a

k

k

n/1n/1

2

n/1n/1

2

2

2

Dengan menggunakan hanya pole padaa LHP, maka :

genapn,1

b

ganjiln,b

K

bsb...sbs)s(V

)s(V

K

ss

K)s(H

2

0

0

011n

1nn

n

n

poleLHP

k

n

Dapat dilihat pada tabel 3.4 buku : L. C. Ludeman, "Fundamentals of Digital Signal Procesing",

Penentuan orde filter n :

1log

1gglogn

2rr

2

dimana :

2

2

rn

1Agdan

jH

1A


Contoh : Desain Filter analog

Rencanakan LPF analog Chebyshev dengan bandwidth 1-rad/det dengan karakteristik sbb : Ripple passband 2 dB

Frekuensi cutoff 1 rad/det Atenuasi stopband 20 dB atau lebih pada 1,3 rad/det

Penyelesaian :

20 logH(j1) = 20 log[1/(1 + 2)]1/2 = 10 log [1/(1 + 2)] = -2

20 logH(j1,3) = 20 log(1/A2)1/2= 20 log (1/A) = -20

Sehingga diperoleh :

A = 10 = 0,76478

maka : g = 13,01 n = 4.3 5

Dengan melihat tabel 3.4 pada buku : L. C. Ludeman, "Fundamentals of Digital Signal Procesing",

untuk n = 5 dan ripple = 2 dB diperoleh :

08172,0s.45935,0s.6934,0s.4995,1s.70646,0s

08172,0)s(H

23455



PROSEDUR DISAIN FILTER DIGITAL IIR, METODE TRANSFORMASI

BILINIER, pendekatan filter analog CHEBYSHEV

LOW PASS FILTER (LPF), Magnitude Squared Response


s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

1

2r

Menghitung orde LPF analog Chebyshev normalisasi :

- 10 log[1/(1 + 2)] = K1 - 20 log (1/A) = K2

110 10/1K A = 10-K2/20]

- 110

110)1(10/

10/

2

2

1

2

K

KA

g

- 1log

]1gglog[n

2rr

2


dengan melihat ripple dan orde n diperoleh :

Hn(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) LPF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

c

nas

SSHSH

)()( = . . . . . .

Fungsi transfer H(Z) LPF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

dB

1 2 1 2

dB dB

0 0 0 K1

K2

K1

K2

K1

K2

1 r




HIGH PASS FILTER (HPF), Magnitude Squared Response


s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

1

2r


- 10 log[1/(1 + 2)] = K1 - 20 log (1/A) = K2

110 10/1K A = 10-K2/20]

- 110

110)1(10/

10/

2

2

1

2

K

KA

g

- 1log

]1gglog[n

2rr

2



Hn(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) HPF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

sS

SHSH cna

)()( = . . . . . .

Fungsi transfer H(Z) HPF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

dB dB dB

0 0 0 K1

K2

K1

K2

K1

K2

1 2 1 2 1 r




BAND PASS FILTER (BPF), Magnitude Squared Response Spesifikasi digital Transf. ke Analog LPF Normalisasi

s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

LU2

UL22

LU1

UL21

r

B

A

B,Amin


- 10 log[1/(1 + 2)] = K1 - 20 log (1/A) = K2

110 10/1K A = 10-K2/20]

- 2

2 )1A(g

-

1log

]1gglog[n

2rr

2



Hn(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) BPF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

LU

UL2

na

s

sS

)S(H)S(H

= . . . . . .

Fungsi transfer H(Z) BPF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

1 L U 2 1 L U 2 1 r

dB dB dB

0 0 0

K1

K2

K1

K2

K1

K2




BAND STOP FILTER (BSF), Magnitude Squared Response Spesifikasi digital Transf. ke Analog LPF Normalisasi

s

iii

f

f2T

;

2tan

T

2 ii

;

UL22

LU2

UL21

LU1

r

B

A

B,Amin


- 10 log[1/(1 + 2)] = K1 - 20 log (1/A) = K2

110 10/1K A = 10-K2/20]

- 2

2 )1A(g

-

1log

]1gglog[n

2rr

2

Fungsi transfer H(S) LPF normalisasi : (dapat dilihat pada tabel 3.4 ) dengan melihat ripple dan orde n diperoleh :

Hn(S) = . . . . .

Fungsi transfer H(S) BSF analog hasil disain : (dapat dilihat pada tabel 3.2)

UL2

LUna

s

sS

)S(H)S(H

= . . . . . .

Fungsi transfer H(Z) BSF digital hasil disain :

)z1(

)z1(.

T

2S

)S(H)z(H1

1

a

= . . . . . . . .

dB dB dB

0 0 0

K1

K2

K1

K2

K1

K2

L 1 2 U L 1 2 U 1 r


LATIHAN Disain Filter Digital IIR

1. Disain filter digital IIR yang memenuhi spesifikasi sbb :

HPF dengan redaman 3 dB pada frekuensi cutoff = 45 KHz.

Redaman stopband minimal 10 dB pada frekuensi = 30 KHz.

Frekuensi sampling = 120 KHz.

Pendekatan ke filter Butterworth a) Tentukan H(z) b) Tentukan persamaan beda koefisien konstan linier filter tersebut. c) Gambarkan realisasi filter

2. Rencanakan filter digital IIR yang dispesifikasikan dengan H(z) bila digunakan pada Pre-

filtering struktur A/D-H(z)-D/A yang memenuhi spesifikasi sebagai berikut : • Filter low-pass dengan redaman 3 dB pada frekuensi cutoff 500 Hz • Redaman stop band minimal 15 dB pada frekuensi 750 Hz • Laju sampling 2000 sampel/detik • Monotonic passband (Butterworth) a. Tentukan fungsi sistem H(z) b. Tentukan persamaan beda sistem hasil desain c. Gambarkan struktur realisasi filter hasil desain saudara

3. Disain filter digital yang memenuhi spesifikasi sbb :

LPF dengan redaman ripple 2 dB pada frekuensi cutoff = 15 KHz.

Redaman stopband minimal 10 dB pada frekuensi = 30 KHz.

Frekuensi sampling = 100 KHz.

Pendekatan filter Chebyshev a) Tentukan H(z) b) Tentukan persamaan beda c) Gambarkan realisasi filter

Pengolahan Sinyal Digital, Bab VI :Realisasi Sistem Diskrit

Bab V - 1

Bab 6

Realisasi Filter Digital

6.1 Pendahuluan

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang disain filter digital baik filter FIR maupun

IIF. Filter digital biasanya digunakan pada sistem digital yang mempunyai struktur

rangkaian A/D – H(z) – D/A dan dapat diimplementasikan dari persamaan beda

koefisien konstan linier orde ke-N, yang diperoleh dari 𝐻(𝑧) atau ℎ(𝑛). Persamaan beda

dapat diimplementasikan dengan program komputer, rangkaian digital atau IC yang

dapat diprogram, misalnya menggunakan TMS instrument. Pada bab ini menjelaskan

beberapa realisasi alternatif dari filter digital atau sistem diskrit yaitu dalam bentuk

langsung, serial (cascade) dan paralel.

6.2 Raelisasi Bentuk Langsung Filter IIR

Sistem diskrit paling umum dari sistem linier-time invariant (LTI) dapat dikarakterisasi

dengan fungsi sistem untuk 𝑀 ≤ 𝑁:

𝐻 𝑧 = 𝑏𝑘𝑧

−𝑘𝑀𝑘=0

1 + 𝑎𝑘𝑧−𝑘𝑁𝑘=1

(6.1)

Berdasarkan fungsi sistem pada persamaan (6.1) dan sifat transformasi-z, sistem

dengan input 𝑥 𝑛 dan output digital 𝑦(𝑛). Sistem LTI dapat dikarakterisasi dengan

persamaan beda koefisien konstan linier orde-N sebagai berikut:

𝑦 𝑛 = − 𝑎𝑘𝑦 𝑛 − 𝑘 + 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

𝑁

𝑘=1

(6.2)

Realisasi filter menggunakan persamaan (6.2) disebut sebagai realisasi bentuk langsung

I. Output 𝑦(𝑛) dinyatakan dengan jumlahan input 𝑥(𝑛) saat ke-n (saat ini) yang diberi

bobot, input-input sebelumnya 𝑥(𝑛 − 𝑘), untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑀 dan output sebelumnya

𝑦(𝑛 − 𝑘), untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑁. Realisasi bentuk langsung I dapat dilihat pada gambar

6.1. Blok delay merepresentasikan bentuk strorage (penyimpanan) atau delay (waktu

tunda), blok multiplier (pengali) merepresentasikan penguatan sinyal dan blok adder

(penjumlah) merepresentasikan penjumlahan sinyal.

Realisasi bentuk lain dari persamaan (6.2) dapat diperoleh dengan memecah 𝐻(𝑧)

menjadi perkalian dua fungsi transfer 𝐻1(𝑧) dan 𝐻2(𝑧), dimana 𝐻1(𝑧) hanya

mengandung penyebut atau pole-pole sedangkan 𝐻2(𝑧) hanya mengandung pembilang

atau zero-zero seperti berikut:


Bab V - 2

𝐻 𝑧 = 𝐻1 𝑧 . 𝐻2 𝑧 = 𝑌(𝑧)/𝑋(𝑧) (6.3)

𝐻1 𝑧 = 1/(1 + 𝑎𝑘𝑧−𝑘

𝑁

𝑘=1

) (6.4)

𝐻2 𝑧 = 𝑏𝑘𝑧−𝑘

𝑀

𝑘=0

) (6.5)

Gambar 6.1 Realisasi bentuk langsung I

Gambar 6.2 Dekomposisi untuk realisasi bentuk langsung II

Output filter 𝑦(𝑛) diperoleh dari sistem 𝐻 𝑧 yang diusun seri dari fungsi sub sistem

𝐻1(𝑧) dengan fungsi sub sistem 𝐻2(𝑧) seperti terlihat pada gambar 6.2. Output sub

sistem 𝐻1 𝑧 adalah 𝑝(𝑛) sebagai input sub sistem 𝐻2(𝑧) yang menghasilkan output

𝑦(𝑛). Transformasi-z dari 𝑝(𝑛) dan 𝑦(𝑛) sebagai berikut

𝑦(𝑛) 𝑥(𝑛)

−𝑎1

−𝑎2

−𝑎𝑁−1

−𝑎𝑁

𝑏0

𝑏1

𝑏2

𝑏𝑀−1

𝑏𝑀

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

𝐻(𝑧)

𝐻1(𝑧) 𝐻2(𝑧) 𝑝(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)

𝐴𝑙𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑠

𝐴𝑙𝑙 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠


Bab V - 3

𝑃 𝑧 = 𝐻1 𝑧 . 𝑋(𝑧) (6.6)

𝑌 𝑧 = 𝐻2 𝑧 . 𝑃(𝑧) (6.7)

Substisusikan pers. (6.4) dan pers. (6.5) ke pers. (6.6) dan pers. (6.7) sehingga menjadi

𝑃 𝑧 = 1

1 + 𝑎𝑘𝑧−𝑘𝑁𝑘=1

. 𝑋(𝑧) (6.8)

𝑌 𝑧 = 𝑏𝑘𝑧−𝑘

𝑀

𝑘=0

. 𝑃(𝑧) (6.9)

Dengan mentransformasi-z balik pers. (6.8) dan pers. (6.9) menghasilkan pasangan

persamaan beda seperti pada pers. (6.10) dan pers. (6.11). Selanjutnya realisasi sistem

diskrit dari dua sub sistem 𝐻1 𝑧 dan 𝐻2 𝑧 tersusun serial seperti pada gambar 6.3.

𝑝 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑎𝑘𝑝(𝑛 − 𝑘)

𝑁

𝑘=1

(6.10)

𝑦 𝑛 = 𝑏𝑘𝑝(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=0

(6.11)

Gambar 6.3 Realisasi sistem diskrit menggunakan dua sub sistem

𝑦(𝑛) 𝑏0

𝑏1

𝑏2

𝑏𝑀−1

𝑏𝑀

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

−𝑎1

−𝑎2

−𝑎𝑁−1

−𝑎𝑁

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

𝑥(𝑛) 𝑝(𝑛)


Bab V - 4

Gambar 6.3 terlihat bahwa ada dua cabang elemen delay yang dapat digabung menjadi

satu saja dan disebut sebagai realisasi bentuk langsung II yang ditunjukkan pada

gambar 6.4. Pada realisasi bentuk langsung II, jumlah elemen blok delay sebanyak N,

sesuai dengan orde persamaan beda. Rangkaian ini merupakan salah satu bentuk

realisasi yang mengandung elemen delay minimum. Bentuk ini bukan berarti yang

terbaik, akan tetapi merupakan pertimbangan penting dalam implementasi sistem

digital dalam kaitannya dengan permasalahan kuantisasi.

Gambar 6.4 Realisasi bentuk langsung II

6.3 Raelisasi Cascade Filter IIR

Sistem diskrit dengan fungsi transfer 𝐻 𝑧 bila diberi input 𝑥(𝑛), maka keluaran sistem

adalah 𝑦(𝑛). Kita dapat menyatakan dalam bentuk tranformasi-z sehingga menjadi :

−𝑎1

−𝑎2

−𝑎𝑀−1

𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛) 𝑏0

𝑏1

𝑏2

𝑏𝑀−1

𝑏𝑀

𝑧−1

𝑧−1

𝑧−1

−𝑎𝑀

𝑧−1 −𝑎𝑁

−𝑎𝑁−1


Bab V - 5

𝑌 𝑧 = 𝐻 𝑧 . 𝑋(𝑧) (6.12)

Pada realisasi cascade, 𝐻 𝑧 dipecah menjadi perkalian fungsi transfer diantara

subsistem yaitu 𝐻1 𝑧 , 𝐻2 𝑧 , 𝐻3 𝑧 , . . . , 𝐻𝐾 𝑧 , setiap sub sistem berbentuk rasio

polinomial 𝑧−1, sehingga 𝐻(𝑧) menjadi:

𝐻 𝑧 = 𝐻𝐾 𝑧 . 𝐻𝐾−1 𝑧 . 𝐻𝐾−2 𝑧 …𝐻1 𝑧 (6.13)

Selanjutnya 𝑌 𝑧 dapat ditulis menjadi

𝑌 𝑧 = 𝐻𝐾 𝑧 . 𝐻𝐾−1 𝑧 . 𝐻𝐾−2 𝑧 …𝐻1 𝑧 𝑋(𝑧) (6.14)

Dari pers (6.14) dapat ditransformasi-z balik menjadi

𝑦 𝑛 = ℎ𝐾 𝑛 ∗ ℎ𝐾−1 𝑛 ∗ ℎ𝐾−2 𝑛 …ℎ1 𝑛 ∗ 𝑥(𝑛) (6.15)

Output 𝑦(𝑛) diperoleh dari sinyal input yang melewati proses pada subsistem-

subsistem secara serial sebanyak 𝑘 subsistem seperti terlihat pada gambar 6.5. Output

masing-masing subsistem didefinisikan sebagai 𝑦1(𝑛), 𝑦2(𝑛), . . . , 𝑦𝐾−1(𝑛). Fungsi sistem

𝐻(𝑧) dipecah menjadi beberapa subsistem yang disusun secara seri, biasanya subsistem

tersebut merupakan fungsi biquadratic. Bentuk biquadratic dapat dinyatakan dalam bentuk

umum 𝐻𝑘(𝑧) adalah

𝐻𝑘 𝑧 =𝑏0𝑘 + 𝑏1𝑘𝑧

−1 + 𝑏2𝑘𝑧−2

1 + 𝑎1𝑘𝑧−1 + 𝑎2𝑘𝑧−2𝑘 = 1,2,3 …, 𝐾 (6.16)

Gambar 6.5 Representasi cascade dari 𝐻(𝑧)

6.4 Raelisasi Paralel Filter IIR

𝐻1(𝑧) 𝐻2(𝑧) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)

𝐻(𝑧)

𝑦1(𝑛)

𝐻𝐾(𝑧) 𝑦2(𝑛) 𝑦𝐾−1(𝑛)