DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Iterazione Vs RicorsioneIterazione Vs Ricorsione
Marco D. Santambrogio – [email protected]. aggiornata al 7 Gennaio 2014
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Nota per i “7”Nota per i “7”
• Cosa: Prova “colpo-singolo” No libri, e/o appunti 1 exe in C in 30’
• Quando Domani: martedì 8 Gennaio Dalle 12.15 alle 13
• Dove BL27.18
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ObiettiviObiettivi
• Induzione matematica• Iterazione• Cosa significa “ricorsivo”• Iterazione Vs ricorsione
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L’induzione matematicaL’induzione matematica
• Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni
• Definizione: numeri pari 1) 0 è un numero pari 2) se n è un numero pari anche n+2 è un
numero pari• Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2
(distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione)
1) n=1 : vero 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per
k+1:(2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di
induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione
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Il tacchino induttivistaIl tacchino induttivista
• Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA)
• Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista
• Il tacchino segue il seguente ragionamento: Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @
7am Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato
il cibo @ 7am Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il
cibo• … Thanksgiving
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Iterazione e ricorsioneIterazione e ricorsione
• Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione
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IterazioneIterazione
• L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo
• Il calcolo del fattoriale: 0!=1 n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)
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IterazioneIterazione
• Il calcolo del fattoriale mediante una tecnica iterativa:
function [f]=fact(n)
f=1;
for i=1:n
f=f*i;
end
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La ricorsioneLa ricorsione
• Dal latino re-currere ricorrere, fare ripetutamente la stessa
azione• In informatica: si tratta di
procedure/funzioni che richiamano se stesse
• Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: algoritmi strutture dati
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““FlussoFlusso”” di lavoro di lavoro
• Il programmatore formula l’algoritmo dal generale al particolare Si descrivono la funzione sulla globalità
dei dati in termini della funzione stessa sui dati disgregati
• L’algoritmo viene poi eseguito dal particolare al generale Vengono infatti lasciate in sospeso le
operazioni globali e il calcolo vero e proprio inizia dai dati atomici
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Definizione ricorsiva del fattorialeDefinizione ricorsiva del fattoriale
1) n!=1 se n=02) n!= n*(n-1)! se n>0
riduce il calcolo a un calcolo più semplice
ha senso perché si basa sempre sul fattoriale del numero più piccolo, che io conosco
ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1)
1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione
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Algoritmo ricorsivo per Algoritmo ricorsivo per fattorialefattoriale
function [f]=factRic(n)
if (n==0)
f=1;
else
f=n*factRic(n-1);
end•Quando si può dire che una ricorsione è ben definita?
Informalmente: se ogni volta che applico la ricorsione sono significativamente più vicino al passo base, allora la definizione non è circolare.
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Esempio di tracciaEsempio di traccia
• Calcoliamo il fattoriale di 4:• 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4• 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3• 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2• 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1• 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo:• il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1• il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2• il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6• il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè
4*6=24
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n:3 f:..factRic
(1)
n:3 f:..factRic
(2)
n:2 f:..factRic
n:3 f:..factRic
(3)
n:2 f:..factRic
n:1 f:..factRic
n:3 f:..factRic
(4)
n:2 f:..factRic
n:1 f:..factRic
n:0 f:..factRic
n:3 f:..factRic
(5)
n:2 f:..factRic
n:1 f:..factRic
n:0 f:1factRic
n:3 f:..factRic
(6)
n:2 f:..factRic
n:1 f:1factRic
n:3 f:..factRic
(7)
n:2 f:2factRic
n:3 f:6factRic
(8)
Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out)Cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creatiSi usa una struttura di dati detta PILA
Gestione a pila degli ambienti Gestione a pila degli ambienti locali delle funzionilocali delle funzioni
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Altri esempi di funzioni Altri esempi di funzioni ricorsivericorsive
• I numeri di Fibonacci (dinamiche di popolazione)
• Il Massimo Comun Divisore
(algoritmo di Euclide)
• Il problema delle torri di Hanoi
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FibonacciFibonacci
• Leonardo Fibonacci Matematico italiano Compie numerosi viaggi e
assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo,
Nel 1202 pubblica: il Liber abaci
Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi• il sistema decimale
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Il problema dei “Il problema dei “conigliconigli””
“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.”
L. Fibonacci da Liber Abaci
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I numeri di FibonacciI numeri di Fibonacci
Idea di base
1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1
2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1
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I numeri di FibonacciI numeri di Fibonacci
1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1
2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1
Vengono usati per modellare la crescita di animali per diverse generazioni
function [f]=fib (n)
if n==1 | n==2
f = 1;
else
f = fib(n - 2) + fib(n - 1);
end
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Il MCDIl MCD
Definizione:1) MCD(m,n)=m se m=n2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m
esempio:MCD(21,56) = MCD(21,35) =
MCD(21,14)== MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7
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IL MCDIL MCD
Iterativo:
function [M]=MCDeuclid(m,n)
while m ~= n
if m>n
m=m-n;
else
n=n-m;
end
end
M=m;
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IL MCDIL MCD
Iterativo:
function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end end M=m;
Ricorsivo:
function [M]=MCDeuclidRic(m,n)
if m==n
M=m;
else if m>n
M = MCDeuclidRic(m-n,n);
else
M = MCDeuclidRic(m,n-m);
end
end• Attenzione alla condizione di
terminazione!!!!!• N.B. è sempre possibile trovare un
corrispondente iterativo di un programma ricorsivo!!!
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Pausa…Pausa…
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Un problema interessante:Un problema interessante:La torre di BrahmaLa torre di Brahma
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La leggendaLa leggenda
• Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.
• E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina.
• Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.
• Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo. tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.
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Le torri di HanoiLe torri di Hanoi
http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html
Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine
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Le torri di HanoiLe torri di Hanoi
• Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno)
• La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: da quale asta vogliamo partire (source), a quale asta vogliamo arrivare (dest), l’altra asta, che possiamo usare come
supporto temporaneo (spare).
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L’idea di baseL’idea di base
• Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario Devo quindi prima spostare n - 1 anelli
dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione
Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione
Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..
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L’uso della ricorsioneL’uso della ricorsione
• Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore.
• In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.
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Le torri di Hanoi: strategiaLe torri di Hanoi: strategia
Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre Calla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta
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Le torri di Hanoi: Le torri di Hanoi: pseudocodicepseudocodice
FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare):IF disk == 0, THEN: move disk from source to destELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest //
/* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) //
/* (Passo 3) */END IF
Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.
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Soluzione in codice MATLAB con simulazioneSoluzione in codice MATLAB con simulazione
function []=hanoi(n, da, a, per) if (n>1) hanoi(n-1, da, per, a); end; fprintf('\n sposta un disco dal piolo %d al piolo %d \n', da, a); if (n>1) hanoi(n-1, per, a, da); end;
>> hanoi(3, 1, 2, 3) sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 2 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 1 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 >>
hanoi(3, 1, 2, 3)
hanoi(2, 1, 3, 2) hanoi(2, 3, 2, 1)
hanoi(1, 1, 2, 3) hanoi(1, 2, 3, 1) hanoi(1, 3, 1, 2) hanoi(1, 1, 2, 3)
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Fonti per lo studio + Fonti per lo studio + CreditsCredits• Fonti per lo studio
Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio• Capitolo 4
– Particolare attezione al 4.5
• Credits Prof W. Fornaciari Prof. A. Morzenti
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