AMANDA BOTEGA MASSON DE JESUS
UMA PROPOSTA DE ENSINO DE FRAES VOLTADA PARA A CONSTRUO DO
CONHECIMENTO
LAVRAS MG
2013
AMANDA BOTEGA MASSON DE JESUS
UMA PROPOSTA DE ENSINO DE FRAES VOLTADA PARA A
CONSTRUO DO CONHECIMENTO
Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Federal de Lavras, como parte das exigncias do Programa de Ps-Graduao Profissional em Matemtica, rea de concentrao em Matemtica, para a obteno do ttulo de Mestre.
Orientador
Prof. Dr. Osnel Broche Cristo
LAVRAS - MG
2013
Ficha Catalogrfica Elaborada pela Coordenadoria de Produtos e Servios da Biblioteca Universitria da UFLA
Jesus, Amanda Botega Masson de. Uma proposta de ensino de fraes voltada para a construo do conhecimento / Amanda Botega Masson de Jesus. Lavras : UFLA, 2013.
71 p. : il. Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Lavras, 2013. Orientador: Osnel Broche Cristo. Mestrado Profissional em Matemtica Bibliografia. 1. Fraes Ensino Fundamental. 2. Regras. 3. Atividades. I.
Universidade Federal de Lavras. II. Ttulo.
CDD 372.72
AMANDA BOTEGA MASSON DE JESUS
UMA PROPOSTA DE ENSINO DE FRAES VOLTADA PARA A
CONSTRUO DO CONHECIMENTO
Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Federal de Lavras, como parte das exigncias do Programa de Ps-Graduao Profissional em Matemtica, rea de concentrao em Matemtica, para a obteno do ttulo de Mestre.
APROVADA em 20 de setembro de 2013.
Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha UFSJ
Dr. Rita de Cssia Dornelas Sodr Broche UFLA
Prof. Dr. Osnel Broche Cristo Orientador
LAVRAS - MG
2013
A meu pai, Loredo Masson, que sempre me apoiou nos estudos e esperou,
ansiosamente, pelo trmino deste.
DEDICO
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela vida e por sempre me proporcionar grandes oportunidades.
Universidade Federal de Lavras (UFLA) e ao Departamento de
Matemtica (DEX), pela oportunidade concedida para a realizao do mestrado.
Coordenao e Aperfeioamento de Pessoal em Nvel Superior
(CAPES) pela concesso de bolsa de estudos.
Ao professor Dr. Osnel Broche Cristo, pela orientao e pacincia.
Ao meu pai e minha irm, que foram fundamentais para a melhoria e
concluso deste trabalho.
minha me, pelo amor, apoio, pelas constantes oraes e por tanto ter
cuidado de minha filha, Ana Beatriz, nos momentos difceis.
Ao meu marido e minha filha que ho de entender e perdoar as minhas
ausncias.
Aos primos Brian e Karoline, pelas orientaes e disponibilidade para
ajudar sempre que fora preciso.
Aos colegas de trabalho que, na medida do possvel, facilitaram minha
chegada at aqui.
Aos colegas de curso, com quem dividi alegrias e angstias, em especial
Elisngela, que esteve presente do primeiro ao ltimo dia de curso.
E a todos os amigos que, carinhosamente, torceram por mim.
RESUMO
O presente trabalho apresenta uma proposta de ensino de fraes, pautada na experimentao do aluno, que seja significativa e coerente com a etapa do desenvolvimento cognitivo dos alunos do 6 ano do Ensino Fundamental. Para evitar que regras e frmulas sejam decoradas sem a devida compreenso, so apresentadas atividades em que o aluno participa diretamente do processo de construo das tcnicas operacionais envolvidas na equivalncia e nas operaes de adio e subtrao de fraes. Visto que essas construes s seriam possveis diante de uma base bem consolidada, so apresentadas, tambm, atividades de identificao de fraes. Aulas, assim conduzidas, podem auxiliar na efetiva aprendizagem de fraes.
Palavras-chave: Frao. Ensino. Regras. Atividades.
ABSTRACT
This notes paper presents a proposal for teaching fractions, based on the student's trial, which is significant and consistent with the stage of cognitive development of students in the 6th grade of elementary school. To avoid rules and formulas are decorated without proper understanding, are presented activities in which the student participates directly in the process of building techniques involved in operational equivalence and the operations of addition and subtraction of fractions. Since those buildings would only be possible on the basis of as well established, are also presented identification activities fractions. Lessons well conducted, can assist in effective learning of fractions.
Keywords: Fraction. Education. Rules. Activities.
SUMRIO
1 INTRODUO ................................................................................. 9 2 CONCEITO DE FRAO ............................................................... 12 2.1 Relao parte/todo............................................................................. 12 2.2 Quociente ........................................................................................... 13 2.3 Razo ................................................................................................. 13 2.4 Operador ........................................................................................... 13 3 O ENSINO DE FRAES COMO PARTE DE UM TODO .......... 15 3.1 Identificao de fraes ..................................................................... 15 3.1.1 Atividade 1: Identificao de Fraes em um Retngulo ..................... 18 3.1.2 Atividade 2: Identificao de Fraes em um Crculo ......................... 19 3.1.3 Atividade 3: Identificao de Fraes em um Hexgono ..................... 21 3.1.4 Atividade 4: Identificao de Fraes em Figuras no Divididas
Igualmente .......................................................................................... 23 3.1.5 Atividade 5: Reconstruo da Unidade ............................................... 25 3.2 Fraes equivalentes.......................................................................... 27 3.2.1 Atividade 6: Introduo de Fraes Equivalentes no Retngulo .......... 33 3.2.2 Atividade 7: Introduo de Fraes Equivalentes no Crculo ............... 36 3.2.3 Atividade 8: Fraes Decimais Equivalentes ...................................... 38 3.2.4 Atividade 9: Fraes Equivalentes ...................................................... 40 3.3 Adio e subtrao com fraes ........................................................ 43 3.3.1 Atividade 10: Introduo Adio e Subtrao de Fraes ................. 46 3.3.2 Atividade 11: Adio e Subtrao de Fraes em Partes do Crculo .... 47 3.3.3 Atividade 12: Adio e Subtrao de Fraes ..................................... 50 4 CONCLUSO ................................................................................... 53 REFERNCIAS ................................................................................ 54 APNDICES ..................................................................................... 56
9
1 INTRODUO
Dentre os contedos matemticos abordados no Ensino Fundamental,
fraes um dos menos consolidados pelos alunos. Dificuldades em operaes
bsicas como adio e subtrao de fraes vo sendo acumuladas, e muitos
estudantes chegam ao 9 ano do Ensino Fundamental sem as habilidades
mnimas necessrias.
O contedo de fraes trabalhado desde o 4 ano do Ensino
Fundamental, porm, abordado de maneira elementar e mais ligado prtica
do dia a dia, como dividir um bolo ou juntar as metades. J no 6 ano, o assunto
retomado, por exemplo, com as leituras das fraes, algumas representaes
simples e, de um tpico para outro, comeam a ser apresentadas regras para
resolver situaes-problema. So regras para encontrar fraes equivalentes,
para simplificar fraes, comparar, adicionar, subtrair, multiplicar e dividir
fraes. Para um aluno que est, em mdia, com 11 anos, aceitar e memorizar
essas regras que, a princpio, no fazem sentido, pode ser um caminho rduo.
Porm, acreditamos que possvel levar a compreenso ao aluno, partindo de
exemplos simples, ao mesmo tempo em que ele mesmo constri as regras,
atravs de experimentos, manipulao e observaes conduzidas pelo professor.
Inspirados, inicialmente, no material de Gimenez e Bairral (2005),
surgiu o desejo de desenvolver este trabalho no mbito das fraes, com o
intuito de propor para o professor uma sequncia de aulas que fosse diferenciada
dos livros didticos.
Para a elaborao de atividades que levassem o aluno compreenso de
regras futuras, observou-se que seria necessrio um aprofundamento na
identificao de fraes, atravs de exerccios mais elaborados e que no
ficassem presos a representaes geomtricas simples, como crculos e
retngulos. Em seguida, como ponto culminante do ensino-aprendizagem, seria
10
necessrio explorar mais as fraes equivalentes e, a partir de ento, trabalhar as
operaes de adio e subtrao de fraes, ao mesmo tempo em que se
desenvolvia o clculo mental dessas operaes.
Comeou, ento, a busca por mais autores que tratassem do assunto e,
pde-se observar que as fraes apresentam um contedo amplo, com vrios
significados, que possui difcil assimilao e alvo de estudo de muitos
pesquisadores matemticos. Dentre alguns desses pesquisadores, comungamos
das ideias de LOPES, que defende um ensino de fraes sem a prescrio de
regras e macetes para realizar operaes (LOPES, 2008, p. 4).
Nesse sentido, apresentamos neste trabalho, primeiramente, uma breve
explanao do conceito de fraes que, de acordo com os Parmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), assume diferentes significados: relao
parte/todo, diviso, razo e operador. Enfocando a ideia de frao como parte de
um todo, comeamos com um referencial terico de identificao de fraes,
que justifique as atividades que sero propostas em seguida. So cinco
atividades: as duas primeiras so introdutrias, e as seguintes, devem ser
aplicadas aps alguns exerccios bsicos de identificao de fraes, pois
exigem maior compreenso do assunto.
Dando continuidade ao trabalho, as fraes equivalentes so
apresentadas na mesma linha anterior. Todas as quatro atividades propostas
procuram introduzir o conceito de fraes equivalentes; e so conduzidas de
forma gradativa levando o aluno a construir e, aos poucos, a consolidar as
relaes matemticas envolvidas. Portanto, a sequncia das atividades deve ser
fielmente seguida.
Por ltimo, so abordadas as operaes de adio e subtrao de fraes.
Aps o referencial terico, so apresentadas atividades que introduzem as
operaes dando um suporte para o desenvolvimento do clculo mental, e
11
levando o aluno a observar a relao que existe entre as fraes equivalentes e o
clculo dessas operaes.
12
2 CONCEITO DE FRAO
Ao se falar em fraes, a primeira ideia que passa, normalmente, pela
cabea de uma criana, ou de um adulto, a de uma figura geomtrica (na
maioria das vezes, um retngulo) dividida em partes iguais. Esse mesmo
conceito encontrado no dicionrio, que traz as seguintes definies:
Sf. 1. Parte de um todo. 2. Mat. Nmero que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. [Pode ser escrita em forma decimal, como por ex., 0,5 ou 0,375; ou na forma de diviso entre dois nmeros inteiros, um acima outro abaixo de um trao: .] (FERREIRA, 2009, p. 416).
Porm, essas podem ser apenas duas, das vrias definies de frao.
Pesquisadores matemticos classificam as fraes por seus diferentes
significados e, mesmo havendo diferenciao entre um autor e outro, podemos
incluir esses significados nas quatro ideias apresentadas pelos Parmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998): relao parte/todo, quociente, razo e
operador.
2.1 Relao parte/todo
Representa partes do todo (unidade). Normalmente, apresentada em
forma de figuras geomtricas divididas em partes iguais. Nesse caso, a frao
3/5 indica que o todo est dividido em cinco partes iguais e que trs delas foram
tomadas.
13
2.2 Quociente
Representa um nmero inteiro dividido por outro
. Normalmente, apresentada no momento em que se deseja obter o
nmero decimal correspondente. Aqui, a frao 3/5 indica trs unidades
divididas em cinco partes iguais.
2.3 Razo
Diferentemente das anteriores, a ideia de razo no compara partes com
o todo, mas sim, parte com parte. Sua representao fracionria usada como
um ndice comparativo entre duas grandezas. 3/5 pode representar, por exemplo,
a razo do nmero de bolas brancas para o nmero de bolas pretas, assim, a cada
oito bolas, trs so brancas e cinco so pretas. Essa ideia proposta,
normalmente, nos livros de 7 ano e, muitas vezes, isolada das outras ideias de
frao.
2.4 Operador
Essa ideia desempenha um papel de transformao. O nmero racional
age sobre uma situao e a modifica. trabalhada em situaes do tipo que
nmero devo multiplicar por 5 para obter 2 (BRASIL, 1998, p. 103).
Segundo os PCNs (BRASIL, 1998), as ideias de relao parte/todo,
quociente e razo devem ser introduzidas no segundo ciclo do Ensino
Fundamental, mas s sero consolidadas ao longo do terceiro e quarto ciclos,
14
quando haver maior nvel de aprofundamento dos contedos. tambm no
terceiro ciclo que deve ser apresentada a ideia de operador.
15
3 O ENSINO DE FRAES COMO PARTE DE UM TODO
A ideia de frao como parte de um todo , normalmente, iniciada no 4
ano do Ensino Fundamental e no 6 ano deve ser retomada como forma de
continuidade e aprofundamento (BRASIL, 1998). Para alguns alunos, ideias
primordiais de fraes so vividas em casa. Para Vasconcelos e Belfort (2006, p.
41),
[...] muito comum ele ter de repartir ou o po, ou o chocolate com o irmo ou irmos, ou com um ou mais amigos. Cada um deles recebendo 1/2, 1/3, ou 1/4 do po, do bolo ou do chocolate.
Mas ressalta que essa ideia deve ser aprimorada na escola, e que
comum ouvir a expresso a metade maior, mostrando que o conceito de frao
ainda no est bem construdo.
3.1 Identificao de fraes
Muitas vezes, os alunos identificam fraes comparando as partes
tomadas com as partes no tomadas. Por exemplo, a parte colorida do retngulo
abaixo comumente representada por 2/3, ao invs de 2/5.
O erro na representao acima pode estar relacionado confuso dos
conceitos de frao frao como parte de um todo x razo como se
16
tivssemos a situao: a cada cinco crianas duas so meninos e trs so
meninas, ento, a razo de meninos para meninas seria 2/3. Para Vasconcelos e
Belfort (2006, p. 39):
[...] como muitos outros temas de Matemtica, seu ensino limita-se, em geral, aplicao de frmulas e regras, sem que os alunos entendam muito bem o que esto fazendo. E, no caso especfico das fraes, muitas vezes a explanao limita-se a algumas ideias particulares, sem abranger todas as ideias que lhe so associadas. So frmulas e regras desprovidas de significados e que devem ser memorizadas e repetidas.
Uma soluo para dar significado representao das fraes como
parte de um todo pode ser a estratgia de valorizar a unidade, sugerida por
Gimnez e Bairral (2005). Segundo Gimnez e Bairral (2005, p. 8), o
denominador [...] se refere unidade porque a constri, a recupera. [...] Por isso
importante apresentar situaes nas quais devemos construir e reconstruir a
unidade. Por exemplo, partes correspondentes a 1/5 devem se repetir cinco
vezes para construir a unidade; ou ento, partes correspondentes a 1/6 devem se
repetir seis vezes para reconstruir a unidade; ou partes que correspondem a 1/10
devem se repetir 10 vezes.
Esse tipo de abordagem no muito comum nos livros didticos. Aps
algumas pesquisas, encontramos nos livros Matemtica Hoje Feita Assim
(2000) e Projeto Velear (2013), ambos do autor Lopes (2000, 2013),
atividades que trabalham a reconstruo do inteiro. So atividades que podem
dar sentido ao denominador, fazendo com que os alunos compreendam sua
funo. Isso tambm poder evitar que representem as fraes com os termos
invertidos, trocando o numerador com o denominador.
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Em uma das questes da Prova Brasil (BRASIL, 2008), aplicada a
alunos do 9 ano, verifica-se que o conceito de fraes associado ideia de parte
de um todo, juntamente com sua representao, no est bem consolidado.
Figura 1 Prova Brasil - Identificao de Fraes
Fonte: Brasil (2008, p. 179)
A anlise dos resultados descrita acima mostra que 19% dos alunos
relacionaram a situao dada ideia de razo, marcando a letra A, outros 14%,
alm de associar razo, tambm inverteram o numerador e o denominador.
Uma das sugestes do Inep para sanar essa dificuldade que se trabalhe mais
com material concreto.
Diante dessas dificuldades do ensino/aprendizagem na introduo das
fraes, propomos as atividades 1 a 5 que se seguem.
18
3.1.1 Atividade 1: Identificao de Fraes em um Retngulo
Esta atividade apresenta as fraes como parte de um todo de forma
introdutria. Tem o objetivo de relacionar a unidade s suas partes fracionrias
e, assim, identificar fraes.
Material Utilizado: Fichas retangulares de mesmo tamanho em cores
diversas: uma delas representar a unidade, e as demais devero ser recortadas,
representando as partes do todo. (ver apndices A - F).
Tempo Previsto: 30 minutos
Com fichas de mesma cor, unidas lado a lado, verificar que elas ficam
com a mesma dimenso da ficha que representa a unidade. Assim, os alunos
devero concluir que:
Se a unidade formada por duas fichas (partes do todo), ento cada uma
dessas fichas representa 1/2 da unidade.
Marcar, em cada ficha, a representao fracionria 1/2.
Se a unidade formada por trs fichas (partes do todo), ento cada uma
dessas fichas representa 1/3 da unidade.
Marcar, em cada ficha, a representao fracionria 1/3.
19
Se a unidade formada por quatro fichas, ento cada ficha representa
1/4 da unidade;
Marcar, em cada ficha, a representao fracionria 1/4.
Se a unidade formada por cinco fichas, ento cada ficha representa 1/5
da unidade;
Marcar, em cada ficha, a representao fracionria 1/5.
O mesmo procedimento dever ser feito com as demais fichas, a fim de
identificar, e marcar, a representao fracionria correspondente a cada ficha.
3.1.2 Atividade 2: Identificao de Fraes em um Crculo
Esta atividade tambm tem o objetivo de relacionar a unidade s suas
partes fracionrias, porm representada por um crculo.
Material Utilizado: Fichas circulares de mesmo tamanho em cores
diversas, onde uma delas representar a unidade, e as demais devero ser
recortadas como setores circulares, representando as partes do todo. Optamos
aqui por trabalhar apenas com 2, 3, 4, 6 e 12 partes. (ver apndices G - I).
Tempo Previsto: 20 minutos
20
Com setores circulares de mesma cor, unidos, de modo a formar um
crculo, verificar que eles ficam com as mesmas dimenses do crculo que
representa a unidade. Assim, os alunos devero concluir que:
Se a unidade formada por dois setores circulares, ento cada um desses
setores representa 1/2 da unidade.
Anotar, em cada setor, a representao fracionria 1/2.
Se trs setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/3 da
unidade;
Se quatro setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/4 da
unidade;
Se seis setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/6 da
unidade;
21
Se doze setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/12 da
unidade;
Em cada um dos setores, dever ser anotada a frao correspondente ao
crculo inteiro.
3.1.3 Atividade 3: Identificao de Fraes em um Hexgono
Esta atividade apresentada em forma de exerccio e aprofunda o
contedo de identificao de fraes, portanto, deve ser aplicada aps exerccios
do livro didtico. Seu objetivo identificar fraes em figuras no tradicionais, e
traz o hexgono regular como exemplo.
Tempo Previsto: 40 minutos
Nesta etapa escolar, os alunos ainda no tm muito contato com figuras
geomtricas que no sejam quadrados, retngulos, tringulos ou crculos.
Portanto, a primeira etapa desta atividade o reconhecimento da figura dada: um
polgono de seis lados iguais, ou seja, o hexgono regular.
22
Em seguida, faz-se necessria a observao de que as partes de um
mesmo hexgono so equivalentes entre si, ou seja, a figura est dividida em
partes iguais. Para esse momento deve-se abrir um espao aos alunos para
observarem criteriosamente e discutirem sobre suas concluses.
Figura 2 Hexgonos divididos igualmente
Fonte: Adaptada de Gimnez e Bairral (2005)
Estando os alunos convencidos de que as partes de um mesmo inteiro
so iguais, devero anotar a frao que cada parte representa. Por exemplo, o
hexgono abaixo est dividido em 18 partes iguais, logo, cada parte representa
1/18.
23
3.1.4 Atividade 4: Identificao de Fraes em Figuras no Divididas Igualmente
Esta atividade apresentada em forma de exerccio, e aprofunda o
contedo de identificao de fraes. O objetivo desta atividade identificar
fraes em figuras que no esto igualmente divididas, cabendo ao aluno,
observar e traar segmentos que as deixem divididas em partes iguais.
Tempo Previsto: 50 minutos
Num primeiro contato com a figura abaixo, provvel que muitos
alunos representem a parte colorida, erroneamente, pela frao 1/3.
Portanto, antes de iniciar essa atividade, necessrio que o professor
relembre aos alunos de que o denominador da frao representa o nmero de
partes iguais em que ela est dividida.
Alguns dos quadrados abaixo (figura 3) esto divididos igualmente, mas
outros no. Sendo assim, quando necessrio, devero traar segmentos internos,
a fim de obter partes iguais e, ento, escrever a frao associada parte colorida.
24
Figura 3 Quadrados divididos
Fonte: Adaptada de Gimnez e Bairral (2005)
Espera-se que seja traada a menor quantidade possvel de segmentos,
para que a frao seja representada na sua forma simplificada. Porm, pode
ocorrer de alguns alunos dividirem os quadrados em mais partes que o
necessrio, sem que isso torne a atividade errada. Por exemplo, dividir o quinto
quadrado (2 linha da 1 coluna) em oito partes iguais ao invs de quatro.
Portanto, importante que, no momento da correo dos exerccios, o professor
registre no quadro as diferentes respostas encontradas por eles, abrindo assim
um espao para iniciar a noo de fraes equivalentes.
25
3.1.5 Atividade 5: Reconstruo da Unidade
Esta atividade apresentada em forma de exerccio e seu objetivo
reconhecer a funo do denominador. Para isso, trabalha a reconstruo do
inteiro.
Material Utilizado: Tesoura e folhas coloridas diversas para a
confeco de polgonos.
Tempo Previsto: 90 minutos
Atravs do denominador de uma frao possvel reconstruir a unidade.
Por exemplo, pela frao 1/6, podemos concluir que a unidade formada por
seis partes de 1/6.
Assim, se um quadrado representa 1/6 de um retngulo, ento esse
retngulo formado por seis quadrados idnticos ao primeiro.
Ou,
Dessa forma, reconstrumos a unidade qual o quadrado pertencia.
26
A fim de aplicar a funo do denominador, que recuperar a unidade, o
professor pode expor exerccios que apresentem figuras geomtricas como parte
de outra figura e pedir que reconstruam a unidade.
Vejamos alguns exemplos:
Um tringulo retngulo representa 1/2 de um retngulo, ou seja, a
unidade formada por dois tringulos retngulos iguais.
Um tringulo equiltero representa 1/3 de um trapzio issceles. Logo, o
trapzio formado por trs tringulos equilteros de mesmo tamanho.
Um hexgono, em forma de L, representa 1/5 de uma figura qualquer,
ento, a unidade a qual este hexgono pertence pode ser, por exemplo:
Ou,
27
Observemos que, neste ltimo exemplo, a parte branca representa uma
ausncia do todo.
Disponibilizamos, no apndice J, uma lista de exerccios que descreve
situaes como as que foram exemplificadas acima. Juntamente com a lista, o
aluno dever receber um molde (apndice K) para a reproduo dos polgonos
citados na lista. Para melhor visualizao das partes do todo, interessante que
esses polgonos sejam reproduzidos em folhas coloridas diversas.
Observando o denominador da frao dada, espera-se que o aluno seja
capaz de identificar o nmero exato de polgonos que dever ser reproduzido em
cada situao.
3.2 Fraes equivalentes
Os PCNs (BRASIL, 1998) reconhecem que h uma grande dificuldade
na aprendizagem dos nmeros racionais, possivelmente, pelo fato de que esses
nmeros rompem muitas ideias criadas pelos nmeros naturais.
At o 3 ano do Ensino Fundamental, o nico conjunto numrico
conhecido pelos alunos o conjunto dos naturais, e ele representa uma
determinada quantidade atravs de um nico smbolo numrico. No 4 ano, os
28
alunos comeam a ter seu primeiro contato com os nmeros racionais e, a partir
da, segundo os PCNs (BRASIL, 1998) iro encontrar dificuldades com as
rupturas de ideias construdas pelos nmeros naturais. Uma dessas dificuldades
estaria nas infinitas escritas fracionrias para representar um mesmo nmero,
como por exemplo:
Se h essa dificuldade na compreenso das mltiplas representaes
fracionrias, ento se faz necessria maior ateno ao ensino das fraes
equivalentes. Para Lopes (2008, p. 9),
[...] o conceito de frao equivalente um dos mais importantes no ensino-aprendizagem das fraes, mas considero insuficiente o trabalho restrito a grades retangulares. Temos observado que para escrever uma frao equivalente, na maioria dos casos, a atividade da criana reduz-se a contagem do total de clulas, tal como foi instruda.
Os resultados da Prova Brasil de 2009, aplicada a alunos do 9 ano do
Ensino Fundamental, tambm mostram deficincias na identificao das fraes
equivalentes.
29
Figura 4 Prova Brasil - Equivalncia de Fraes
Fonte: Brasil (2008, p. 180)
Pela avaliao do Inep, sintomtico que 41% dos alunos tenham
escolhido a alternativa B, possivelmente devido igualdade entre os
denominadores das fraes. A sugesto dada ao professor que trabalhe com
materiais concretos, como fichas e cartolinas, para a verificao da equivalncia.
Mas, analisando alguns livros didticos, podemos observar que,
normalmente, a apresentao das fraes equivalentes se faz em uma rpida
abordagem, dando-nos a entender que apenas um recurso para introduzir a
simplificao de fraes.
No livro Praticando Matemtica, de Andrini e Vasconcellos (2012) as
fraes equivalentes so apresentadas com uma rpida exemplificao de
representaes fracionrias diferentes que correspondem a uma mesma
quantidade.
30
Figura 5 Conceito de Equivalncia 1
Fonte: Praticando Matemtica (ANDRINI; VASCONCELLOS, 2012, p. 179).
Em seguida, j apresenta o mtodo algbrico para obter uma frao
equivalente.
Giovanni Jnior e Castrucci (2009) em, A Conquista da Matemtica,
introduzem o assunto apresentando trs escritas fracionrias diferentes para uma
mesma quantidade e traz um segundo exemplo que, intuitivamente, inicia a
simplificao de fraes.
31
Figura 6 Conceito de Equivalncia 2
Fonte: A conquista da Matemtica (GIOVANNI JNIOR; CASTRUCCI, 2009, p. 178).
Posteriormente, apresenta o clculo algbrico para obter as fraes
equivalentes.
J Lopes (2013), na primeira edio de Projeto Velear, inicia as
fraes equivalentes atravs de uma experimentao com dobraduras. Em
seguida, cita outro exemplo, que tambm pode ser realizado com a dobradura e
32
encaminha o aluno a fazer observaes a respeito das dobras realizadas e ento,
constri o processo algbrico.
Figura 7 Conceito de Equivalncia 3
Fonte: Projeto Velear (LOPES, 2013, p. 172).
33
Ao final, apresenta outros exemplos j com a tcnica.
Sentindo a necessidade de haver mais material didtico que trabalhe o
conceito de fraes equivalentes que propomos, aqui, atividades que possam
servir como introduo ao assunto. As atividades buscam a compreenso do
assunto na expectativa de que, ao longo do processo, o prprio aluno chegue s
tcnicas operacionais; e a sim, seja capaz de resolver exerccios do livro
didtico.
Segundo os PCN (BRASIL, 1998, p. 103).
O conceito de equivalncia assim como a construo de procedimentos para a obteno de fraes equivalentes so fundamentais para resolver problemas que envolvem a comparao de nmeros racionais expressos sob a forma fracionria.
Assim, estando as fraes equivalentes bem trabalhadas e consolidadas,
assuntos como simplificao e comparao de fraes podem seguir a mesma
linha de ensino das fraes equivalentes. Esses ltimos no foram abordados
neste trabalho.
3.2.1 Atividade 6: Introduo de Fraes Equivalentes no Retngulo
A atividade apresentada de forma introdutria e tem o objetivo de
conceituar fraes equivalentes.
Material Utilizado: Fichas retangulares coloridas, representando as
partes de um inteiro. Nestas fichas dever estar registrada a frao do todo que
cada uma representa (ver atividade 1)
Tempo Previsto: 30 minutos
34
Com fichas de mesma cor, unidas lado a lado, os alunos devero
observar aquelas que ficam com a mesma dimenso de outra, e, com a mediao
do professor, concluir que:
Duas fichas de 1/4 representam a mesma poro de uma ficha de
1/2, logo, .
Trs fichas de 1/6 representam a mesma poro de uma ficha de
1/2, logo, .
Duas fichas de 1/6 representam a mesma poro de uma ficha de
1/3, logo, .
Quatro fichas de 1/8 representam uma ficha de 1/2, logo, .
35
Duas fichas de 1/8 representam uma ficha de 1/4, logo, .
Trs fichas de 1/9 representam uma ficha de 1/3, logo, .
Cinco fichas de 1/10 representam uma ficha de 1/2, logo, .
Seis fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/2, logo, .
Quatro fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/3, logo, .
36
Trs fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/4, logo, .
Duas fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/6, logo, .
Ao final, atravs das relaes de igualdade, pode-se observar que
, e, porm, o professor no
deve apresentar, nem comentar, a operao matemtica (multiplicao dos
termos da frao) que envolve essas relaes de equivalncia. Esse um
momento de reconhecimento de fraes equivalentes e, a relao algbrica ser
refletida apenas na atividade 9.
3.2.2 Atividade 7: Introduo de Fraes Equivalentes no Crculo
A atividade tambm tem o objetivo de conceituar fraes equivalentes,
porm em partes de um crculo.
Material Utilizado: Setores circulares coloridos, representando as
partes de um inteiro. Nesses setores dever estar registrada a frao do todo que
cada um representa (ver atividade 2)
Tempo Previsto: 30 minutos
37
Com setores de uma mesma cor, unidos de modo a formar parte de um
crculo, os alunos devero observar aqueles que ficam com a mesma dimenso
de outro e, assim, observar que:
Dois setores que correspondem a 1/4 equivalem a um setor 1/2, ou
seja, .
Trs setores que correspondem a 1/6 equivalem a um setor 1/2, ou
seja, .
Dois setores que correspondem a 1/12 equivalem a um setor 1/6, ou
seja, .
Trs setores que correspondem a 1/12 equivalem a um setor 1/4, ou
seja, .
38
Quatro setores que correspondem a 1/12 equivalem a um setor 1/3,
ou seja, .
Seis setores que corresponde a 1/12 equivalem a um setor 1/2, ou
seja, .
3.2.3 Atividade 8: Fraes Decimais Equivalentes
Esta atividade tem o objetivo de identificar fraes decimais
equivalentes.
Material Utilizado: Material Dourado.
Tempo Previsto: 50 minutos
O primeiro momento desta atividade deve ser destinado identificao
das peas do Material Dourado.
39
Em seguida, os alunos devero montar o cubo utilizando peas menores,
de um mesmo tipo, e registrar:
Um cubo formado por 10 placas;
Um cubo formado por 100 barras.
Ao se desejar formar o cubo com os cubinhos, espera-se que o aluno seja
capaz de observar, por exemplo, que se dez cubinhos so iguais a uma barra, e
so necessrias 100 barras para formar o cubo, ento sero necessrios 10x100 =
1000 cubinhos para formar o cubo. queles que no chegarem a essa concluso,
o professor dever fazer a mediao e lembr-los tambm de que o cubo
macio, ou seja, de que existem cubinhos em todo o seu interior.
Feito os reconhecimentos acima, o professor poder estabelecer as
seguintes relaes:
Cubo 1 inteiro
Placa
Barra
Cubinho
40
Num segundo momento, devero montar as outras peas do Material
Dourado para que sejam feitas as equivalncias entre elas, e, utilizando as
relaes acima, concluir que:
Uma barra formada com 10 cubinhos, logo, ;
Uma placa formada por 10 barras, logo, ;
Um cubo formado por 10 placas, logo, ;
Uma placa formada por 100 cubinhos, logo, ;
Um cubo formado por 100 placas, logo, ;
Um cubo formado por 1000 cubinhos, logo, .
Ao final, relacionar todas as igualdades encontradas:
, ,
provvel que, nesse estgio grande parte dos alunos perceba que, entre
essas fraes equivalentes, h um acrscimo de zeros nos termos de uma frao
para outra. O professor pode aproveitar o momento para esclarecer que esse
acrscimo de zeros significa que os termos foram multiplicados pelas potncias
de 10, mas, no deve apresentar tcnicas de clculos para encontrar fraes
equivalentes. Estas sero desenvolvidas na atividade que se segue.
3.2.4 Atividade 9: Fraes Equivalentes
Esta atividade tem o objetivo de concluir a operao matemtica
envolvida no processo de equivalncia de fraes.
41
Material Utilizado: Rgua e folhas retangulares para dobraduras.
Tempo Previsto: 90 minutos
Com o acompanhamento do professor, os alunos devero dobrar uma
folha ao meio, na posio que desejarem, e colorir uma das partes. Sobre a parte
colorida, escrever 1/2. Novamente com a folha dobrada, dobrar ao meio mais
uma vez, de forma que, ao abri-la, obtenham um retngulo dividido em quatro
partes iguais.
Com a folha totalmente aberta, deve-se observar que, agora, o retngulo
est dividido em quatro partes iguais estando duas coloridas; assim, a frao
correspondente 2/4. Como a poro colorida no foi alterada, as fraes
1/2 e 2/4 representam a mesma quantidade, logo, .
Com a mediao do professor, os alunos devero constatar que, da
primeira diviso do retngulo para a ltima, o nmero de partes coloridas
(numerador) e o nmero total de partes (denominador) foram duplicados.
42
Em outra folha retangular, e com o uso da rgua, dividi-la e dobr-la em
trs partes iguais; colorir uma das partes e identific-la pela frao 1/3. Com a
folha ainda dobrada em trs, dobr-la ao meio e, em seguida, abrir.
Observando-se as partes depois da ltima dobra, conclui-se que a parte
colorida que representava 1/3, agora representa 2/6. Como a parte colorida
no foi alterada, ento 1/3 e 2/6 representam a mesma poro, logo, .
Nesse momento, necessrio que os alunos sejam instigados a
perceberem que o ato de dividir a folha ao meio, fez com que duplicasse o
nmero de partes, fossem elas, coloridas ou no. Espera-se que, assim, o aluno
comece a perceber, intuitivamente, a multiplicao envolvida nesse processo de
equivalncia.
Para dar continuidade construo desse processo multiplicativo, dobrar
outra folha em quatro partes iguais e, colorir uma das partes identificando-a por
1/4. Em seguida, com a folha ainda dobrada, dividi-la e dobr-la em trs partes
iguais.
43
Os alunos devero observar que quando o retngulo foi dividido em
trs, o nmero de partes iniciais foi triplicado. Assim, o denominador que era 4
passou a ser 12, e o numerador que era 1, passou a ser 3, ou seja, .
Prosseguindo para melhor observao, pode-se dobrar outra folha, por
exemplo, em cinco partes iguais e depois em quatro, resultando vinte partes
iguais; ou, dobrar em seis e depois em quatro ou cinco partes iguais; buscando
sempre a explicao a respeito da mudana dos termos (numerador e
denominador) da frao inicial, assim como foi feito nos exemplos anteriores.
Ao final, espera-se que o aluno conclua que se uma frao tem seus
termos multiplicados por um mesmo nmero natural, a nova representao
fracionria representa a mesma poro da frao inicial, ou seja, so fraes
equivalentes.
3.3 Adio e subtrao com fraes
Para um professor de Matemtica do Ensino Fundamental II, ou at
mesmo do Ensino Mdio, no novidade encontrar alunos somando (ou
subtraindo) os numeradores e os denominadores de duas fraes, na tentativa de
44
efetuar a adio (ou subtrao) de fraes. Em operaes do tipo ,
apresentam como resultado a expresso mesmo observando que ela no faz
sentido nenhum.
Um exemplo desse tipo de erro pde ser visto na resoluo de uma das
questes da Prova Brasil de 2009, aplicada aos alunos do 9 ano de escolas
pblicas. Sua anlise mostrou que 74% dos alunos no dominavam adio e
subtrao de fraes, ou a multiplicao entre elas.
Figura 8 Prova Brasil - Operaes com Fraes
Fonte: Brasil (2008, p. 181-182)
A nosso ver, os 31% que marcaram a alternativa B podem ter
somado/subtrado os numeradores, enquanto que o denominador 3, foi repetido,
j que o nmero inteiro no apresenta, visualmente, um denominador. Obtm-se,
dessa forma, o resultado .
Talvez esse tipo de erro ocorra devido memorizao de regras, que
muitas vezes so apresentadas sem a compreenso do aluno. Uma frequente
utilizao de fraes equivalentes nas adies de fraes com denominadores
45
diferentes pode evitar o excesso de regras e diminuir os erros causados por elas.
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998, p. 67),
O importante superar a mera memorizao de regras e de algoritmos (divide pelo debaixo e multiplica pelo de cima, inverte a segunda e multiplica) e os procedimentos mecnicos que limitam, de forma desastrosa, o ensino tradicional do clculo.
Analisando alguns livros didticos, observamos que todos eles
introduzem a adio/subtrao de fraes com denominadores diferentes, de
acordo com os PCN (BRASIL, 1998, p. 104) que recomenda transform-las em
fraes com o mesmo denominador (no necessariamente o menor), aplicando
as propriedades das fraes equivalentes. Portanto, cabe ao professor dar
continuidade a esse mtodo de resoluo.
Alm disso, Hilton (1980), em seu artigo Devemos Ensinar Fraes?,
faz uma interessante citao a respeito do clculo mental:
[...] a intuio deveria desempenhar um papel muito maior na aritmtica de fraes do que na lgebra de funes racionais. No se deseja que um aluno calcule , ou mesmo, , com auxlio da regra para calcular a/b + c/d.
Fraes mais comuns no dia a dia, como o caso das citadas por Hilton,
so de fcil percepo visual e, assim, possveis de serem calculadas
mentalmente. As vantagens a so: desenvolvimento do raciocnio lgico;
agilidade na resoluo de um problema; e, at mesmo, auxlio na compreenso
do processo de adio/subtrao de outras operaes mais complexas, evitando
assim, as respostas absurdas.
46
nesse sentido que apresentamos a seguir, atividades introdutrias do
clculo de adio/subtrao de fraes, que visam a auxiliar o clculo mental e,
num segundo momento, perceber a funo das fraes equivalentes.
3.3.1 Atividade 10: Introduo Adio e Subtrao de Fraes
O objetivo desta atividade introduzir a noo de adio e subtrao de
fraes, relacionando as operaes parte do inteiro que cada uma representa.
Tempo Previsto: 90 minutos
Operaes de adio e de subtrao devero ser relacionadas regio
colorida de uma figura geomtrica.
Observando algumas figuras disponibilizadas pelo professor os alunos
devero encontrar operaes que possam representar a parte colorida da figura
dada. Por exemplo, na figura a seguir, podem-se associar as seguintes operaes
de adio.
A mesma figura pode, tambm, ser associada subtrao, em que se
retirou do todo, uma parte correspondente a 1/4.
47
Observando-se que a parte colorida da figura representa 3/4, deve-se
concluir que esse o resultado das operaes a ela associada.
Acreditamos que essa relao das operaes com a figura pode auxiliar
no desenvolvimento do clculo mental.
Como as operaes relacionadas a uma mesma figura so infinitas,
disponibilizamos, nos apndices M e N algumas operaes, juntamente com sua
representao geomtrica (apndice L), que podem ser entregues aos alunos para
que faam a correspondncia adequada.
3.3.2 Atividade 11: Adio e Subtrao de Fraes em Partes do Crculo
O objetivo desta atividade efetuar adio e subtrao de fraes
atravs da representao de seus termos.
Material Utilizado: Setores circulares coloridos, representando as
partes de um inteiro. Os mesmos setores j foram trabalhados nas atividades 2 e
7.
Tempo Previsto: 90 minutos
48
Operaes de adio e de subtrao de fraes devero ser representadas
utilizando as partes de um crculo, em que cada termo da operao ser
representado por seu setor correspondente.
Na adio de frao, esses setores correspondentes a cada parcela
devero ser colocados lado a lado, de modo a formar parte de um crculo.
Depois, substituir a regio formada, por setores de uma nica cor (ou por
um nico setor), e que sejam, juntos, equivalentes ao total.
Na subtrao, o setor correspondente ao segundo termo da operao
(subtraendo) deve ser sobreposto ao primeiro termo (minuendo). A regio que
no foi sobreposta representa o resultado da subtrao.
49
Em seguida, substituir a parte restante por setores de uma nica cor, e
que juntos, sejam equivalentes a esse restante.
Os setores a serem escolhidos para substituir os resultados devem ser os
maiores possveis, a fim de evitar fraes no simplificadas. Por exemplo, na
operao acima, a parte restante do setor vermelho tambm poderia ser
substituda por dois setores de 1/12, mas optamos pelo setor 1/6 por ser
maior.
O material concreto que foi disponibilizado por ns (setores circulares)
representa fraes de denominadores 2, 3, 4, 6 e 12. Logo, as operaes
possveis de serem realizadas da maneira que aqui propomos so restritas.
Assim, para auxiliar o trabalho do professor, deixamos no apndice O uma lista
de exerccios com a qual se poder trabalhar com os setores disponibilizados.
50
3.3.3 Atividade 12: Adio e Subtrao de Fraes
O objetivo desta atividade efetuar adio e subtrao de fraes e
reconhecer que, no caso de denominadores diferentes, as fraes equivalentes
so fundamentais para o clculo.
Material Necessrio: Fichas retangulares coloridas representando
partes de um todo. As mesmas fichas j foram utilizadas nas atividades 1 e 6.
Tempo Previsto: 90 minutos
Operaes de adio e de subtrao de fraes devero ser representadas
utilizando as partes de um retngulo, no qual cada termo da operao ser
representado pelas fichas correspondentes.
Se a operao apresenta denominadores iguais, basta, no caso da adio,
colocar as fichas lado a lado, de modo a formar parte de um retngulo, e cont-
las. Ao final, se for possvel, substituir a regio total por outras fichas maiores e
de uma mesma cor, e que sejam, juntas, equivalentes ao resultado inicial.
No caso da subtrao com denominadores iguais, devem-se expor as
fichas referentes ao primeiro termo da operao (minuendo) e, em seguida,
retirar as que correspondem ao segundo termo (subtraendo). Se possvel,
51
substituir as fichas restantes por outras maiores e de uma mesma cor, e que
sejam juntas, equivalentes a essa regio.
Em adies de denominadores diferentes, as fichas correspondentes
tambm sero colocadas lado a lado, mas, em seguida, devero ser substitudas
por outras fichas de cores iguais, e equivalentes ao total. Assim, estar
representada uma adio de fraes com denominadores iguais e o mesmo
procedimento, descrito anteriormente, dever ser seguido.
Nas subtraes com denominadores diferentes, o segundo termo da
operao deve ser sobreposto ao primeiro, representando assim, a parte que foi
retirada. A regio no sobreposta representa o resultado da subtrao, e dever
ser substituda por setores de uma mesma cor.
52
Como sugesto, disponibilizamos no apndice P uma lista de exerccios
envolvendo adio e subtrao de fraes possveis de serem trabalhadas com as
fichas retangulares expostas neste trabalho. importante ressaltar que, nessa
lista, algumas operaes apresentam como resultado nmeros maiores que um
inteiro, portanto, elas podem ser apresentadas em forma de nmero misto. Por
exemplo, 2
6+
5
6 pode ser representado por 1
1
6.
Espera-se que ao final da atividade, o aluno perceba que a substituio
de fichas feita no resultado das operaes, pode ser feita anteriormente, em cada
termo, e com as mesmas fichas. Ou seja, para efetuar adio e subtrao de
fraes com denominadores diferentes, basta encontrar uma frao equivalente,
de denominadores iguais, a cada um dos termos da operao.
53
4 CONCLUSO
Diante da complexidade do conceito de fraes, que se divide em, pelo
menos, cinco ideias diferentes, esse um contedo de difcil assimilao. A
ideia de frao como parte de um todo deve ser aprofundada no 6 ano do Ensino
Fundamental, e o que se veem so dificuldades cada vez maiores, a ponto de
amedrontar os alunos.
O presente trabalho props atividades que visam a diminuir a distncia
entre o concreto e a abstrao, proporcionando momentos de construo e
observao que so fundamentais para a compreenso do contedo.
Durante a elaborao deste trabalho, estando atuante em turmas de 6
ano de uma escola pblica, foi possvel colocar em prtica algumas atividades (1
a 7) que, aqui, propusemos j com as devidas melhorias frente s dificuldades
encontradas. Assim, pudemos constatar que so atividades possveis de serem
realizadas com desejvel xito, desde sua aplicao at o seu resultado no
aprendizado, alm de proporcionar aulas mais interativas e interessantes para o
aluno. Porm, uma das grandes dificuldades que podem ser encontradas o
tempo que deve ser destinado s aulas de fraes, pois as atividades exigem uma
relevncia maior ao contedo, o que pode comprometer o ensino dos demais.
Finalizamos este trabalho com o desejo de sermos colaboradores desse
processo de construo de um contedo to substancioso como o das fraes;
despertando para uma aprendizagem significativa e que reduza os dficits de
aprendizagem. Fica, porm, o desafio de se trabalharem na mesma linha da
pesquisa, contedos como simplificao e comparao de fraes e as operaes
de multiplicao e diviso.
54
REFERNCIAS
ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Fraes. So Paulo: Ed. Brasil, 2012. 288 p. (Coleo Praticando Matemtica).
BRASIL. Parmetros Curriculares Nacionais: matemtica: ensino de quinta a oitava sries. Braslia, 1998. 92 p.
BRASIL. PDE - Plano de Desenvolvimento da Educao: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referncia, tpicos e descritores. Braslia: MEC-SEB-INEP, 2008. 199 p.
FERREIRA, A. B. H. Mini-Aurlio: o dicionrio da lngua portuguesa. 7. ed. Curitiba: Positivo, 2009. 416 p.
GIMENEZ, J.; BAIRRAL, M. Fraes no currculo do ensino fundamental: conceituao, jogos e atividades ldicas. Seropdica: GEPEM/EDUR, 2005. v. 2, 130 p. (Srie Pensamento em Ao).
GIOVANNI JNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A forma fracionria dos nmeros racionais. So Paulo: FTD, 2009. 336 p. (Coleo A Conquista da Matemtica).
HILTON, P. Do we still need fractions on the elementary curriculum? In: INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 4., 1980, Boston. Proceedings... Boston: Birkhuser, 1980. p. 37-41. Disponvel em: . Acesso em: 27 nov. 2012.
LOPES, A. J. As fraes. So Paulo: FTD, 2000. 303 p. (Coleo Matemtica Hoje Feita Assim).
55
LOPES. A. J. Fraes. So Paulo: Scipione, 2013. 288 p. (Projeto Velear).
LOPES, A. J. O que nossos alunos podem estar deixando de aprender sobre fraes, quando tentamos lhes ensinar fraes. Bolema, Rio Claro, ano 21, n. 31, p. 1-22, 2008.
VASCONCELOS, C. B.; BELFORT, E. Diferentes significados de um mesmo conceito: o caso das fraes. Discutindo Prticas em Matemtica, Rio de Janeiro, n. 13, p. 39-49, ago./set. 2006. Disponvel em: . Acesso em: 4 dez. 2012.
56
APNDICES
APNDICE A - Partes do retngulo: 1 inteiro e 1/2
57
APNDICE B - Partes do retngulo: 1/3 e 1/4
58
APNDICE C - Partes do retngulo: 1/5 e 1/6
59
APNDICE D - Partes do retngulo: 1/7 e 1/8
60
APNDICE E Partes do retngulo: 1/9 e 1/10
61
APNDICE F Partes do retngulo: 1/11 e 1/12
62
APNDICE G Partes do Crculo: 1 inteiro e 1/2
63
APNDICE H Partes do Crculo: 1/3 e 1/4
64
APNDICE I Partes do Crculo: 1/6 e 1/12
65
APNDICE J - Lista de Exerccios: Reconstruo do Inteiro
Utilizando o molde dos polgonos, reproduza quantas peas forem necessrias
para criar as situaes descritas a seguir. Monte-as e cole-as no caderno. Nos
itens 6 ao 10, use sua criatividade.
01) O tringulo equiltero representa 1/3 de um trapzio issceles, como este:
. Verifique atravs de uma montagem.
02) Um determinado retngulo representa 1/6 de um quadrado. Represente o
quadrado.
03) O tringulo equiltero representa 1/4 de um tringulo equiltero maior.
Construa-o.
04) O tringulo retngulo representa 1/2 de um retngulo. Construa o retngulo.
05) O tringulo retngulo issceles representa 1/2 de um quadrado. Construa-o.
06) Um hexgono representa 1/5 de uma figura. Construa a figura.
07) Um octgono representa 1/6 de uma figura. Represente-a.
08) Um losango representa 1/3 de uma figura. Construa-a.
09) Um trapzio issceles representa 1/4 de uma figura. Construa-a.
10) Um hexgono representa 1/6 de uma figura. Construa-a.
66
APNDICE K Moldes de Polgonos para a Reconstruo dos Inteiros
67
APNDICE L - Representaes Geomtricas para Adio/Subtrao de
Fraes
68
APNDICE M - Fichas de Adio de Fraes
69
APNDICE N - Fichas de Subtrao de Fraes
70
APNDICE O - Lista de Exerccios: Adio/Subtrao com Partes do
Crculo
01) Represente as operaes abaixo com as partes correspondentes do crculo.
Em seguida, com peas de uma mesma cor, encontre a frao equivalente ao
total representado e registre o resultado.
02) Utilizando as partes do crculo, represente as operaes abaixo colocando a
pea menor sobre a maior. Depois, com peas de uma mesma cor, encontre a
frao equivalente parte restante que no foi coberta. Registre o resultado.
71
APNDICE P - Lista de Exerccios: Adio/Subtrao com Partes do
Retngulo
01) Represente as operaes utilizando os cartes retangulares, em seguida, se
for possvel, substitua-os por cartes maiores e equivalentes ao total. Registre
todos os caminhos percorridos por voc.
02) Represente as operaes utilizando os cartes retangulares, em seguida,
substitua-os por cartes de uma mesma cor e equivalentes ao total. Registre
todos os caminhos percorridos por voc.