División de Ciencias Forestales
Departamento en Estadística
Matemática y Cómputo
Modelos Probabilísticos de Inventarios
T e s i s p r o f e s i o n a l
Que como requisito parcial para obtener el título de:
L I C E N C I A D O EN E S T A D Í S T I C A
P R E S E N T A:
Pascual Pascual Miguel
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Diciembre del 2009
ii
Esta tesis fue realizada por C. Pascual Pascual Miguel, bajo la dirección del Doctor Eduardo
Gutiérrez González. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comité Revisor y Jurado
Examinador, para obtener el título de Licenciado en Estadística.
PRESIDENTE.
Dr. Eduardo Gutiérrez González
_______________________________
SECRETARIO.
Dr. Antonio Villanueva Morales
______________________________
VOCAL.
Lic. Margarito Soriano Montero
______________________________
SUPLENTE.
M. C. Alejandro Corona Ambriz
______________________________
SUPLENTE.
M. C. Ángel Leyva Ovalle
______________________________
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Diciembre del 2009
iii
Agradecimientos
A dios que me dio el ser.
A la Universidad Autónoma Chapingo por darme la valiosa oportunidad de formarme
profesionalmente y por ser mi hogar durante siete maravillosos años.
Al Dr. Eduardo Gutiérrez González, por su paciencia y su valioso tiempo brindado para la
elaboración del presente trabajo. Y a los profesores que conforman mi comité asesor.
A todos mis profesores de la licenciatura en Estadística que se esforzaron en mi formación
profesional.
Especialmente a mi familia por todo el desgaste físico y económico que brindaron, y por su
gran muestra de cariño y amor.
iv
Dedicatoria
A mis padres: Teresa y Alejandro, por enseñarme
a luchar hacia delante, por su gran corazón
y capacidad de entrega, pero sobre todo por
enseñarme a ser responsable, gracias a
ustedes he llegado a esta meta. Los AMO.
A mis hermanas (os): Miguel, Mariola, Juanita,
Alejandro y Ashley, que son parte importen
en mi vida y que siempre me compartieron
su apoyo y cariño, los AMO.
A mis abuelos: Pascual y Felipe,
por sus sabios consejos durante
esta etapa de mi vida.
A la memoria de mis abuelas: María † y Juana
†,
que Dios los tenga en su gloria.
A Gladis, una mujer extraordinaria
que siempre me ha brindado su cariño y amor.
A mis amigos (as), que con quienes
compartí momentos gratos e inolvidables,
desde mi infancia hasta mi formación profesional.
A todas las amistades que de alguna
forma aportaron su granito de arena
en mi formación profesional.
Con cariño
Pascual
v
Contenido
Introducción .......................................................................................................................... 1
Planteamiento ....................................................................................................................... 3
0bjetivos ................................................................................................................................ 4
CAPÍTULO 1 .......................................................................................................................... 5
MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILÍSTICOS ............................................................................... 5
1.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 5
1.2 ANÁLISIS MARGINAL .......................................................................................................................... 5
1.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR DE
PERIÓDICOS DEMANDA DISCRETA ....................................................................................................... 6
ANÁLISIS DEL MÉTODO .................................................................................................................. 7
1.4 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR DE
PERIÓDICOS DEMANDA CONTINUA .................................................................................................... 11
1.5 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA .................................................................... 14
1.6 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS ................... 16
1.7 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS ................................................................................................. 22
1.8 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE VENTAS
PENDIENTES Y PÉRDIDAS ...................................................................................................................... 27
1.9 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DEMANDA INCIERTA: MÉTODO DE NIVEL DE
SERVICIO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE LA RESERVA DE SEGURIDAD ............................. 29
1.10 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE SEGURIDAD
PARA 1SLM .............................................................................................................................................. 31
1.11 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE SEGURIDAD
PARA 2SLM ............................................................................................................................................. 33
1.12 MODELO DE INVENTARIOS DE DOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN................ 35
1.13 MODELO DE VARIOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN ........................................... 37
CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................ 38
MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA DE DISTRIBUCIÓN CONOCIDA ........................ 38 2.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 38 2.2 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA DISCRETA ......... 38
2.2.1 DEMANDA CON DISTRIBUCION BINOMIAL ......................................................................... 38 2.2.2 DEMANDA CON DISTRIBUCION POISSON ............................................................................ 38 2.2.3 DEMANDA CON DISTRIBUCION GEOMÉTRICA ................................................................... 41
2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA CONTINUA ........ 42 2.3.1 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME ............................................... 42 2.3.2 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................................... 43 2.3.3 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN GAMMA .................................................... 44 2.3.4 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ........................................ 45 2.3.5 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL .................................................. 45
2.4 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA ................................................................... 47 1) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ......... 48
vi
2) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ............. 48 3) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA............... 48 4) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL .. 49 5) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ............ 49
2.5 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS ................... 50 2.5.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ..... 51 2.5.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........ 51 2.5.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA .......... 52 2.5.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
................................................................................................................................................................. 53 2.5.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ........ 53
2.6 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS ................................................................................................ 56 2.6.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ..... 57 2.6.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........ 57 2.6.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA .......... 58 2.6.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
................................................................................................................................................................. 59 2.6.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ........ 59
2.7 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE VENTAS
PENDIENTES Y PÉRDIDAS ...................................................................................................................... 62 2.7.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME ..... 62 2.7.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........ 63 2.7.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA .......... 64 2.7.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
................................................................................................................................................................. 64 2.7.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ........ 65
CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................ 68
MODELOS DE INVENTARIOS DINÁMICOS Y CON CADENAS DE MARKOV ............................... 68 3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 68 3.2 MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO ............................................................................................. 68 3.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS .............................................................................................................. 78
3.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS CADENAS DE MARKOV .................................................... 79 3.3 .2 MODELO CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO POISSON ......... 82
CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................ 88
APLICACIÓN ................................................................................................................................................. 88 4.1 CASO DE ESTUDIO ............................................................................................................................. 88 4.2 METODOLOGÍA ................................................................................................................................... 89 4.3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ............................................................................................................ 96
Conclusiones .................................................................................................................... 106
Bibliografía ........................................................................................................................ 107 Anexo………………………………………….…………………………………………………… 109
vii
Índice de tablas
Tabla 4.1. Muestra de la demanda y devoluciones…...……………..……………………….96
Tabla 4.2. Clases y frecuencias de la demanda…..…………………………………………..96
Tabla 4.3. Clases y frecuencias de las devoluciones………………………………………..97
Tabla 4.4. Análisis de ventas semanales…………………...………………………………...101
Tabla 4.5. Muestra de la demanda…………………………...………………………………...102
Tabla 4. 6. Clases y frecuencias de la demanda…..………………………………………..102
Tabla 4.7. Análisis de la demanda semanal…………………………………………….……105
Índice de figuras
Figura 1.1. Muestra el costo esperado y su valor mínimo…………………..……….…….…6
Figura 4.1. Histograma de la demanda….………………………………………………………97
Figura 4.2. Histograma de las devoluciones…………………………………………………..97
Figura 4.3. Prueba de bondad y ajuste, prueba de normalidad en R…..……………….…99
Figura 4.4. Histograma de la demanda…………………………….………………………….103
viii
RESUMEN
En la presente investigación se revisan los modelos probabilísticos de inventarios partiendo
del análisis marginal como la base teórica de los modelos probabilísticos existentes. Se
generalizan los modelos probabilísticos a partir de familias de distribuciones conocidas
obteniendo resultados importantes y algoritmos de solución que son fáciles de aplicar para la
estimación del lote económico.
De forma introductoria se ilustra la solución de ejemplos de inventarios con demanda
dinámica probabilística e inventarios generados por cadenas de Markov.
Se desarrolla una metodología para la estimación del lote económico ( q ) fundamentada
en la teoría de la inferencia estadística y se ilustra la solución de inventarios de dos productos
de forma independiente.
Palabras clave
Estadística, cadena, inventario, modelo y probabilidad.
ix
SUMMARY
In this research we review probabilistic inventory models based on the marginal analysis as
the theoretical basis of the existing probabilistic models.It generalizes the probabilistic models
from known distributions to obtain significant results and solution algorithms that are easy to
apply to estimate the efficient lot.
In an introductory we illustrate the solution of examples of probabilistic dynamic demand
inventories and inventories generated by Markov chains.
We develop a methodology for estimating the efficient lot ( q ) based on the theory of
statistical inference, and illustrate of inventories solution of two products independently.
Keywords
Statistics, chain, inventory, and probability model.
1
Introducción
Un inventario constituye la cantidad de existencias de un bien o recurso cualesquiera, un
Sistema de Inventarios es el conjunto de políticas y controles que regulan los niveles de
inventario y determinan que niveles de inventario se deben mantener [Nahmias (2007)].
Por otra parte Ballou (2004) considera a los inventarios como acumulaciones de
materias primas, provisiones, componentes, trabajo en proceso, y productos terminados que
aparecen en numerosos puntos a lo largo del canal de producción y de logística en una
empresa.
El objetivo básico de los inventarios es especificar cuando se deben ordenar los artículos
y cuál debe ser el volumen de la orden [Winston(2004)].
Mantener un nivel de inventario genera costos que se deben de tener en cuenta cuando se
toma alguna decisión [Ballou (2004)]. A continuación se mencionan:
1. Costos de ordenar o fabricar,
2. Costos de mantener o almacenar,
3. Costos de penalización por faltantes o demanda insatisfecha,
Otros costos relevantes:
4. Los ingresos,
5. Los costos de recuperación o salvamento y
6. Las tasas de descuento.
Los inventarios en general tienen una demanda probabilística. Luego, en esta
investigación se generalizan los modelos probabilísticos ya existentes de inventarios de un
solo periodo que tienen como fundamento teórico el análisis marginal. Las funciones de
distribuciones que se generalizan partiendo de la teoría son: la binomial, Poisson, geométrica,
uniforme, normal, gamma, exponencial y la weibull.
Los resultados generalizados con las funciones de distribución son tan importantes y
fáciles de aplicar para la estimación del lote económico ( q ) que está en función del costo y el
punto de reorden óptimo.
Estos resultados son aplicables a ciertos inventarios probabilísticos que presenten una
tendencia o comportamiento de cualquiera de las distribuciones mencionadas anteriormente.
La aplicación se lleva a cabo mediante la elaboración de algoritmos de solución, es decir,
2
pasos para resolver un problema de aplicación; y el algoritmo se aplica de forma iterativa para
llegar a una solución óptima.
Los inventarios probabilísticos se complementan con una introducción a inventarios
dinámicos probabilísticos y los inventarios con procesos estocásticos, en particular con
cadenas de Markov que dan solución a ciertos inventarios que presentan un comportamiento
discreto y que siguen cierto proceso, como por ejemplo el proceso Poisson.
Se propone una metodología que da solución a los inventarios que presentan una
tendencia de las distribuciones generalizadas. Esta metodología se fundamenta en la teoría de
la inferencia estadística, por lo mismo que se requiere la determinación de la distribución, la
estimación de los parámetros y pruebas de bondad de ajuste.
La metodología propuesta se ilustra mediante la solución de dos inventarios
probabilísticos de forma independiente siguiendo de forma detallada los pasos propuestos en
la metodología y utilizando los datos que provienen de la demanda en una tienda de
conveniencia.
De esta forma el trabajo se desarrolla en cuatro capítulos los cuales son los siguientes:
En el capítulo uno se revisará las bases teóricas de los modelos probabilísticos, iniciando
con el análisis marginal, como fundamento teórico para la creación de los modelos de
inventarios probabilísticos.
En el capítulo dos se desarrollarán los modelos probabilísticos de inventarios,
clasificándolos por el tipo de distribución de su demanda, se verán inventarios con funciones
de distribución conocidas.
En el capítulo tres se hace una introducción a modelos dinámicos probabilísticos
mediante la ilustración de ejemplos y la teoría de procesos estocásticos, en particular las
cadenas de Markov aplicadas a inventarios probabilísticos.
Finalmente en el capitulo cuatro se desarrolla una metodología para la solución de
problemas de inventario probabilístico para tiendas de conveniencia o a empresas similares, es
decir, que maneje este tipo de inventarios.
3
Planteamiento
La demanda siempre es incierta, es por ello que se desarrolla modelos probabilísticos para
mitigar esta incertidumbre y que conlleva a la de decisión adecuada u optima en la cantidad
del lote económico a pedir.
La obtención de los modelos probabilísticos de inventarios parte de la teoría
fundamental que es el análisis marginal. El análisis marginal se fundamenta en la
minimización del costo total del lote económico.
La generalización de los modelos probabilísticos de inventarios con funciones de
distribución más conocidas es muy importante, puesto que por medio de ellos se generan
resultados y algoritmos de solución a ciertos inventarios probabilísticos. En este caso a
inventarios de tiendas de conveniencia.
De forma introductoria se ilustra ejemplos de inventario dinámicos probabilísticos y
procesos estocásticos.
Finalmente de se desarrolla una metodología para la estimación del lote económico para
estos tipos de inventarios, misma que se ilustra con dos problemas, es decir, con dos productos
de una tienda de conveniencia.
4
0bjetivos
En el presente trabajo se siguen los siguientes objetivos:
Revisar las bases teóricas de los modelos probabilísticos.
Construir modelos de inventarios probabilísticos con funciones de distribución
desconocidas.
Construir modelos de inventarios probabilísticas con funciones de distribución
conocidas.
Revisar la teoría de modelos de inventarios estocásticos.
Desarrollar una metodología para la aplicación de los modelos de inventarios
probabilísticos.
5
Capítulo 1
MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILÍSTICOS
1.1 INTRODUCCIÓN
En los modelos deterministas de inventarios se requiere que se conozca con certeza la
demanda durante cualquier periodo, o que se pueda aplicar la aproximación a los modelos que
cumplen con un coeficiente de variación pequeño. Pero en general las demandas son de tipo
probabilístico y dependen de cierta distribución, de esta forma el trabajo que se presenta
resume los modelos de inventarios probabilísticos más usados, llevando en cada caso una
metodología de pasos para poder generalizar a diferentes tipos de distribuciones.
Por su parte en este capítulo se revisarán las bases de los modelos probabilísticos,
iniciando con el análisis marginal, como fundamento teórico para la creación de los modelos
de inventarios probabilísticos. En los modelos probabilísticos de inventarios, se revisarán
inventarios de periodo único en los que se termina un problema una vez que se ha hecho una
decisión única de pedido.
El capítulo finaliza resumiendo los modelos de inventarios en varios periodos, estos se
desarrollan bajo la teoría para la estimación de los valores críticos **
2
*
1 ,...,, nqqq que describen
la política óptima de inventario.
1.2 ANÁLISIS MARGINAL
Supóngase que la variable aleatoria D, descrita en el modelo de periodo único, es discreta de
valor entero, donde )()( dpdDP . Sea el costo esperado )(qE tal que
d
qdcdpqE ),()()( . (1)
En la mayoría de las aplicaciones prácticas )(qE es una función convexa de q.
Modelos de Inventarios probabilísticos. 6
6
Fig. 1.1 Muestra el costo esperado y su valor mínimo.
Fuente: Elaboración propia
Sea *q el valor de q que hace mínimo a )(qE . Si )(qE es una función convexa, note
que *q es el valor mínimo de q para el cual
0)()1( ** qEqE . (2)
Esta ecuación representa el cambio de costo esperado cuando se aumenta en una unidad
el lote q.
El análisis se realiza aumentando q, a partir de cero, en una unidad y observando el signo
de la diferencia que se mantendrá negativa hasta llegar a *q , para que la diferencia se
convierta en positiva. Este método para determinar a *q al calcular en forma repetida el valor
esperado al sumar una unidad marginal el valor de q, se denomina método de análisis
marginal. El método es útil cuando es fácil determinar una expresión sencilla para
)()1( qEqE .
1.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR
DE PERIÓDICOS DEMANDA DISCRETA
Supóngase que la empresa tiene la sucesión de eventos:
La empresa decide cuántas unidades pedir o producir, *q .
La demanda es estocástica, pero se conoce su distribución de probabilidad )(dp .
Dependiendo de d y q, se incurre en el costo ),( qdc .
Los problemas que siguen la secuencia anterior se suelen llamar problemas del
vendedor de periódicos. Los cuales se caracterizan por la situación de que el vendedor de
periódicos puede pedir una mayor cantidad de la que venderá (perdiendo porque el periódico
sobrante se lo aceptan a un precio menor del que se lo vendieron, o en el caso de comprar
menos periódico gana menos de lo que pudo haber ganado, pérdida de oportunidad).
*q 1* q 1* q
● ●
)(qE
q
Capítulo 1. 7
7
ANÁLISIS DEL MÉTODO
Empleando el análisis marginal para el problema del vendedor de periódico cuando la
demanda es una variable aleatoria discreta y ),( qdc tiene la forma:
qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd
qcqdc u),( (términos sin q) )1( qd
(3)
En donde, 0c es el costo unitario de comprar o producir demasiado, sobreabastecimiento.
Por lo tanto, 0c es el costo debido a tener una unidad de excedente, de tal manera que a 0c se le
suele llamar costo de sobreabastecimiento. Similarmente uc es el costo unitario de tener
faltantes y se le llama costo de subabastecimiento.
Para encontrar *q que minimiza el costo esperado, esto es, el valor mínimo de q para el
que
0)()1( qEqE ,
se tiene lo siguiente:
0sin términos)(
sin términos)(
)(1sin términos)(sin términos)()1(
0
0
0
qqcqDPcc
qqcqDqPcc
qDPqqcqDPqqcqEqE
uu
uu
u
Por lo tanto, resulta que )(qE será reducida al mínimo por el valor mínimo de q
(denotado *q ) que satisface 0)(0 uu cqDPcc . Es decir,
u
u
cc
cqDP
0
* )( o ucc
cqDP
0
0* )( (4)
Además, en promedio pedir 1q unidades costará
)(1)(0 qDPcqDPc u o uu cqDPcc )(0 ,
más las q unidades que se piden.
EJEMPLO 1
Supóngase que en agosto se tiene que decidir cuántos calendarios encargar para vender a
principios del próximo año. Cada calendario cuesta $4 y se vende a $9. Después del primero
de enero cualquier calendario no vendido se remata en $2. Se estima la demanda a partir de la
distribución, mostrada a continuación
Modelos de Inventarios probabilísticos. 8
8
Demanda Probabilidad
100 0.30
150 0.20
200 0.30
250 0.15
300 0.05
Si se desea maximizar la ganancia neta esperada debido a ventas de calendarios. ¿Cuántos
calendarios se deben pedir en agosto?
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd
qcqdc u),( (términos sin q) )1( qd
En donde, q es el número de calendarios que se piden en agosto y d el número de calendarios
necesitados hasta el primero de enero.
De esta forma,
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q calendarios a $4 cada uno ( q4 ), venta de calendarios a
$9 cada uno ( d9 ) y devolución de dq calendarios ( )(2 dq ). Obteniendo
un costo total de dqdqdq 72)(294 . Luego, 20 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q calendarios a $4 cada uno ( q4 ) y venta de calendarios a
$9 cada uno ( q9 ). Obteniendo un costo total de qqq 594 . Luego, 5uc .
Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario
71.07
5
52
5)(
0
*
u
u
cc
cqDP .
Así, de la tabla de probabilidades
Capítulo 1. 9
9
Demanda Probabilidad Acumulada
100 0.30 0.30
150 0.20 0.50
200 0.30 0.80
250 0.15 0.95
300 0.05 1.00
De aquí se concluye que en agosto debe pedirse 200* q calendarios.
En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200vo. calendario que se
pide es 50.0)200( DP , lo cual significa que el 200vo. calendario vendido tiene
probabilidad 5.05.01 de no ser vendido. De tal forma que el 200vo. calendario aumentará
los costos esperados en
5.15.0*55.0*2)(1)(0 qDPcqDPc u (ganancia)
Por lo tanto, se deberá pedir el 200vo. calendario.
Similarmente, la probabilidad de vender el 201vo. calendario que se pide es
20.0)201( DP , lo cual significa que el 201vo. calendario vendido tiene probabilidad
8.02.01 de no ser vendido. De tal forma que el 201vo. calendario aumentará los costos
esperados en
6.02.0*58.0*2)(1)(0 qDPcqDPc u (pérdida).
Por lo tanto, no se deberá pedir el 201vo. calendario.
Costo total
200,1000
200,7400
,5
,72
d
dd
qdq
qddq
EJEMPLO 2
Supóngase que la energía en la estación de León se suministra mediante celdas solares. Una
vez al año vuela un avión y les vende celdas a $200 cada una. Se estima la demanda a partir
de la distribución de probabilidad mostrada en la tabla de abajo. Debido a la incertidumbre de
las necesidades futuras, en la planta sólo se puede adivinar el número de celdas que se
necesitarán durante el año venidero. Si se acaban las celdas, se debe hacer un pedido especial
pagando $300 por cada una.
a) Suponiendo que es relevante en este caso el problema del vendedor de periódicos,
¿cuántas celdas debe pedir al avión?
b) En el inciso (a), ¿cuál costo se está ignorando?
Modelos de Inventarios probabilísticos. 10
10
Demanda celdas Probabilidad
50 0.20
60 0.15
70 0.30
80 0.10
90 0.15
100 0.10
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd
qcqdc u),( (términos sin q) )1( qd
En donde, q es el número de celdas que se piden cuando el avión vuela y d el número de
celdas necesitadas durante el año. De esta forma,
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ), utilización de celdas
$200 cada una ( d200 ) y no se usan las celdas dq no se tienen costo.
Obteniendo un costo total de dq 200200 . Luego, 2000 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ) y cuando la demanda
rebase la cantidad pedida a $300 cada una ( )(300 qd ). Obteniendo un costo
total de dqqdq 300100)(300200 . Luego, 100uc .
Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario
33.0100200
100)(
0
*
u
u
cc
cqDP .
Así, de la tabla de probabilidades se tiene que 60* q celdas.
El costo total
565.0*10035.0*200)(1)(0 qDPcqDPc u .
Capítulo 1. 11
11
1.4 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR
DE PERIÓDICOS DEMANDA CONTINUA
Se revisará el modelo de inventarios del vendedor de periódicos pero con demanda D variable
aleatoria continua y función de densidad )(df . De forma similar que en el caso discreto, se
obtiene una expresión con la que se puede calcular el valor óptimo de *q , pero a diferencia
del caso discreto en el continuo se obtiene mediante una igualdad. Es decir, )(qE será
reducido al mínimo por el valor mínimo de q (denotado *q ) que satisface a (4)
u
u
cc
cqDP
0
* )( o ucc
cqDP
0
0* )( .
De tal forma que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la última que se
pida tenga una probabilidad
ucc
cqDP
0
0* )( de venderse.
EJEMPLO 3
Suponga que la asociación de Ingeniería Industrial efectúa un congreso anual y el año próximo
será en Baja California Sur. Para tal efecto seis meses antes de la fecha señalada para su inicio
es necesario reservar las habitaciones en el hotel sede. En este momento se puede hacer la
reservación pagando $500 por cada habitación, pero no se sabe con certeza cuánta gente
asistirá. Sin embargo, se estima que el número de habitaciones necesarias sigue una
distribución normal con una media de 500 y una desviación de 200. Si el número necesario de
habitaciones es mayor que el reservado se tendrán que alquilar habitaciones en hoteles
cercanos a un costo de $800. Para los participantes será incómodo alojarse en otros hoteles y
la distancia aumenta el costo en $100, ¿Cuántas habitaciones se recomienda reservar?
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd
qcqdc u),( (términos sin q) )( qd
Se tiene la densidad de la demanda dada para el número de habitaciones, de donde, q es
el número de reservaciones que se piden seis meses antes y d el número de habitaciones
necesitados hasta el primero de enero.
De esta forma,
Modelos de Inventarios probabilísticos. 12
12
Si qd , entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones
reservadas con anterioridad y por lo tanto, el costo total es de q500 . Luego,
5000 c .
Si qd se incurre en los siguientes costos (la ganancia se denota por el signo
negativo): Costos de reservación de q habitaciones a $500 cada una ( q500 ),
costos de renta qd habitaciones en hoteles vecinos $800 cada uno
( )(800 qd ) y finalmente costos de incomodidad a los participantes adicionales
$100 cada uno ( )(100 qd ). Obteniendo un costo total de
dqqdqdq 900400)(100)(800500 .
Luego, 400uc .
Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario,
tal que
444.0400500
400)(
0
*
u
u
cc
cqDP .
En donde, )200,500(~ 2ND si estandarizamos
444.0200
500*
qZP .
Con el uso de tablas de la distribución normal 14.0200
500*
q
, despejando *q se
tiene
472* q reservaciones.
EJEMPLO 4
El precio de un boleto de avión es de $2,000. Cada aeronave tiene capacidad para transportar
hasta 100 pasajeros. Por experiencias se sabe que algunos de los pasajeros que ya han
comprado el boleto no se presentan (faltan). Por esta razón la aerolínea intenta vender más de
100 boletos para cada vuelo. Pero la ley establece que cualquier pasajero con boleto que no
puede abordar el avión debe recibir una compensación de $1,000. Los datos indican que el
número de faltas puede estimarse a partir de una distribución normal con media 20 y
desviación estándar 5. Para maximizar los ingresos esperados menos costos de
compensaciones. ¿Cuántos boletos es aconsejable vender? A quién no use boleto se le
reembolsa $1,750?
Capítulo 1. 13
13
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd
qcqdc u),( (términos sin q) )( qd
Debido a que se da la distribución del número de faltantes, se tiene, q el número de
boletos vendidos por la aerolínea y d el número de faltas.
De esta forma, dq es el número de clientes que se presentan realmente en el vuelo.
Si 100 dq (o 100 qqd ), entonces abordarán 100 pasajeros el avión,
pagando 000,200)100(2000 a la aerolínea, y no se recibirán dq clientes.
Los cuales recibirán una compensación de )(1000 dq . Por lo tanto, si dq el
costo total para la aerolínea será de
20000075010001750200000)(1000 dqddq .
Luego, 10000 c .
Si 100 dq (o 100 qqd ), entonces todos los pasajeros que se
presenten abordarán el avión y el costo para la aerolínea será
dq 17502000002000 . Luego, 2000uc .
Finalmente el valor de *q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario,
tal que
667.020001000
2000)(
0
*
u
u
cc
cqDP .
En donde, )5,20(~ 2ND estandarizando
667.05
20*
qZP .
Con el uso de tablas de la distribución normal 43.05
20*
q
, despejando *q se tiene
10015.22 ** qq .
Se concluye que la aerolínea debe vender hasta 122 o 123 boletos y no más.
Modelos de Inventarios probabilísticos. 14
14
1.5 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA
Estos modelos se caracterizan por lo siguiente:
La demanda no se conoce con certeza, se estima una distribución de probabilidad que
describe su comportamiento.
El tiempo de entrega L es distinto de cero.
Los mayores problemas se presentan durante el tiempo de entrega, por lo que se trabaja
con la distribución de probabilidad que describe la demanda durante el tiempo de
entrega )(ufL .
Por otro lado, la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de entrega L esté
entre a y b es b
a
L duuf )( y la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de entrega no
exceda a la cantidad es la distribución acumulada
0
)()( duufF LL , para 0u , estas
distribuciones de probabilidad se suponen independientes del tiempo en el que se ordena y el
nivel de inventario. La demanda promedio por unidad de tiempo d , entonces la demanda
promedio durante el tiempo de entrega es
0
)( duuufdLd L. Si s es el punto de reorden,
entonces el nivel de inventario cuando se recibe la orden es de Lds , tomando en cuenta la
aleatoriedad de la demanda el nivel esperado de inventario al recibir la orden es de:
s
L duufussy
0
)()()( (5)
s
Ld duufsusy )()()( (déficit) (6)
)()(
)()()()()()()()(
0000
sysy
duufusduufusduufusduuufduufsLds
d
s
L
s
LLLL
Por lo tanto, resulta
)()( syLdssy d . (7)
Si se usa la política de inventario que consiste en llevar el inventario hasta s cada vez que
se presenta una demanda. El valor de s que minimiza el costo de inventario, sin reconocer el
costo por ordenar, se obtiene a partir de:
Capítulo 1. 15
15
s
L
s
Ld duufsuq
dpduufush
q
dsypsyhsCT )()()()()()()(
0
Para obtener un mínimo, se deriva el costo total
q
dpduuf
q
dph
duufq
dpduufh
duufq
dpduufh
duufq
dpsfss
q
dpduufhsfssh
duufsuq
dpduufush
ds
d
ds
sCTd
s
L
s
L
s
L
s
L
s
L
s
LL
s
LL
s
L
s
L
0
00
0
0
0
)(
)(1)(
)()(
)()()()()()(
)()()()()(
Se iguala a cero la primera derivada y se obtiene
q
dph
q
dp
duufsF
s
LL
0
)()( . (8)
EJEMPLO 5
Las órdenes para un artículo se reciben después de una semana que se solicitaron. La
demanda durante el tiempo de entrega es )3,8( 2N . El tamaño promedio de la orden es de una
unidad. El costo por inventario es de $10 por unidad por semana, el costo por déficit es de
$100 por unidad demanda no satisfecha. Encontrar el tamaño adecuado de s.
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
10h costo por inventario por unidad
100p costo por déficit por unidad
8d demanda media
1q tamaño de la orden
Sustituyendo los valores en
Modelos de Inventarios probabilísticos. 16
16
9877.0810
800
1
810010
1
8100
)(
q
dph
q
dp
sFL
Estandarizando la demanda
9877.03
8)(
sZPsFL
De tablas porcentuales de la distribución normal
25.23
8
s.
Despejando el punto de reorden
1575.14 s artículos.
1.6 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS
Si el costo por ordenar K es significativo se usa la política ),( qs , esto es, se pide una orden de
tamaño q, cada vez que el nivel de inventario es s. Cuando la demanda no se satisface se
convierten en ventas pendientes, el nivel de inventario, ),( sqy , depende de q y s, y se estima
a partir del inventario residual )(sy más la mitad de la cantidad promedio añadida al almacén
cuando se recibe la orden )(syq d , esto es
)(2
1)(),( syqsysqy d . (9)
De las expresiones anteriores
)()( syLdssy d o Ldssysyd )()( (10)
Luego,
2222
)()(
2
1)()(
2
1)(),(
LdsqsyLdssyqsysyqsysqy d
El costo total
Capítulo 1. 17
17
22)(
22
)(
)(22
)(22
)(2222
)(
)(),(),(
2 Ldhhssy
hqh
q
LdpdpssydpdK
Ldq
dp
q
dpssy
q
dp
Ldhhssy
hqh
q
dK
Ldssyq
dp
Ldsqsyh
q
dK
syq
dpsqyh
q
dKsqCT d
Derivando parcialmente con respecto a q y s, e igualando a cero se obtiene el sistema de
ecuaciones
2
)(),(
2
2 h
q
LdpdpssydpdKsqCT
q
Igualando a cero y factorizando dp se obtiene Ldssysyd )()(
0
2
)(2
h
q
LdssydpdK
Sustituyendo Ldssysyd )()( , resulta
02
)(2
h
q
sydpdK d
Despejando a q
h
sypKdq d )(2 . (11)
Similarmente para s, se deriva el costo total parcialmente con respecto a s
2)(
2
)(
),(h
sys
h
q
dpsys
dp
sqCTs
.
Igualando a cero y resolviendo con respecto a la derivada parcial
Modelos de Inventarios probabilísticos. 18
18
02
)(2
02
)(2
)(
q
dphsy
sq
dph
hsy
s
h
q
dpsys
dp
2
2)(
h
q
dp
h
q
dp
sys
Por otro lado, se vio que
s
L duufussy
0
)()()( , luego
)()()()01()()()()()(
000
sFduufduufsfssduufuss
sys
L
s
L
s
LL
s
L
Obteniendo finalmente, al sustituir )()( sFsys
L
, en la penúltima expresión
2
2)(
h
q
dp
h
q
dp
sFL
. (12)
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con (11),
h
sypKdq d )(2 .
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (12), con su
distribución correspondiente.
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando (6),
s
Ld duufsusy )()()(
con su distribución correspondiente.
Capítulo 1. 19
19
NOTA
En el caso de la distribución normal estándar se tienen tablas, llamadas pérdida
de la normal unitaria (ver anexo A), denotada por )(I e igual a
)(2
exp2
1)()(
2
dyduu
uI
.
En el caso de la distribución normal no estándar, primeramente se estandariza
s
d duu
susy2
2
2
)(exp
2
1)()(
con el cambio
uz , se estandariza, resultando
L
LL
s LL
Ld
sIdu
zszsy
L
L
2exp
2
1)( .
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (11), regresar al paso 1 y calcular q.
Repetir hasta que dos valores sucesivos de q estén suficientemente cercanos de
modo que una iteración más no proporcione una mejora apreciable.
EJEMPLO 6
Las órdenes para un artículo se reciben después de una semana que se solicitaron. La
demanda durante el tiempo de entrega es )3,8(~ 2NdL . El tamaño promedio de la orden es
de una unidad. El costo por inventario es de $10 por unidad por semana, el costo por déficit es
de $100 por unidad demandada no satisfecha. Agréguese un costo por ordenar de $8.
Encontrar el tamaño adecuado de s.
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario, 8)3,8(~ 2 dNLdd L
10h costo por inventario por unidad
100p costo por déficit por unidad
8d demanda media
1q tamaño de la orden
8K costo por ordenar
Modelos de Inventarios probabilísticos. 20
20
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
57.3
10
)8)(8(2
10
))100(08)(8(2)(2
h
sypKdq d
.
Paso 2. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
95634.0
2
10
57.3
)8(1002
10
57.3
)8(100
2
2)(
h
q
dp
h
q
dp
sFL .
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
956.03
8
956.0
sZP
sDP
Resulta 71.13
8
s, de donde 13.13s .
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( con su distribución
correspondiente.
sIdu
ususy
s
d 2
2
2
)(exp
2
1)()( .
Luego, el valor de )13.13()( dd ysy se encuentra del punto 2 de la nota anterior y las tablas
de las integrales de pérdida normales
0534.0)0178.0(371.133
813.133)13.13(
IIyd
Paso 4. Con 0534.0)13.13( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
62.4
10
)34.13)(8(2
10
))0534.0(1008)(8(2)(2
h
sypKdq d
Paso 5. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
Capítulo 1. 21
21
944.0
2
10
62.4
)8(100
2
10
62.4
)8(100
2
2)(
h
q
dp
h
q
dp
sFL.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, y después de estandarizar resulta
589.13
8
s, de donde 767.12s .
Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6)
59.133
8767.123)767.12( IIyd
.
Luego, el valor de )767.12()( dd ysy se encuentra del punto 2 de la nota anterior y las tablas
de las integrales de pérdida normales
0714.0)0238.0(359.133
8767.123)767.12(
IIyd
Paso 7. Con 0714.0)767.12( dy y encontrar el valor de q correspondiente.
92.4
10
)14.15)(8(2
10
))0714.0(1008)(8(2)(2
h
sypKdq d
Paso 8. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
94.0
2
10
92.4
)8(100
2
10
92.4
)8(100
2
2)(
h
q
dp
h
q
dp
sFL.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar, resulta
555.13
8
s, de donde 665.12s .
Paso 9. Con el último valor de s encontrar su correspondiente q, empleando la expresión (6)
555.133
8665.123)665.12( IIyd
.
Luego, el valor de )665.12()( dd ysy se encuentra del punto 2 de la nota anterior y las tablas
de las integrales de pérdida normales
Modelos de Inventarios probabilísticos. 22
22
0765.0)0255.0(356.1356.13)767.12( IIyd .
Paso 10. Con 0765.0)767.12( dy se encuentra el valor correspondiente de q
00.5
10
)65.15)(8(2
10
))0765.0(1008)(8(2)(2
h
sypKdq d
Este es el valor de 5q ya que varía muy poco con respecto al anterior.
1.7 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS
En este caso el nivel esperado de existencias se estima mediante
2
)(),(q
sysqy (13)
Por consiguiente, el costo total se calcula con
q
dsycrpsqyh
q
dKsqCT d )()(),(),( (14)
donde el costo por déficit )( crp incluye la ganancia pérdida, r precio de venta y c su
costo.
Se obtendrá el lote económico q y la probabilidad de tener un nivel de inventario s.
Derivando se obtiene:
22)()(),(),(
)()(),(),(
q
dsycrpsqyh
q
dKsqCT
q
q
dsycrpsqyhsqCT
s
dq
ds
Pero de (13),
)(),(
2
1),(
sysqy
sqy
ss
q
Sustituyendo en la expresión anterior e igualando a cero
0)()(2
0)()()(
22 q
dsycrp
h
q
dK
q
dsycrpsyh
d
ds
Capítulo 1. 23
23
En la segunda ecuación se despeja a q, para esto se multiplica por 2q
0)()(2
2 dsycrpqh
dK d.
Luego,
dsycrpKqh
d )()(2
2 .
Finalmente el lote económico, se calculará como:
h
dsycrpKq d )()(2 (15)
Ahora se calcula la probabilidad del nivel de inventario s. En la ecuación
0)()()( q
dsycrpsyh ds ,
se despeja a q. Se sustituye )()( sFsys
L
,
0)()()( q
dsycrpshF dL
Por otro lado, se tenía
s
d duu
susy2
2
2
)(exp
2
1)()(
Derivando con respecto a s,
)(12
)(exp
2
1
2
)(exp
2
1)10(
2
)(exp
2
1)()(
2
2
2
2
2
2
sFduu
duuu
sssyds
d
L
s
s
d
De tal forma que
Modelos de Inventarios probabilísticos. 24
24
0)()()(
0)(1)()(
q
dcrpsFh
q
dcrp
q
dsFcrpshF
L
LL
Finalmente, la probabilidad de un nivel de inventarios s
hq
dcrp
q
dcrp
sFL
)(
)(
)( . (16)
Así, la solución al modelo con ventas pérdidas está dada por (15) y (16)
EJEMPLO 7
Resolver el ejemplo anterior en el que 1000r y 630c . Las órdenes para un artículo se
reciben después de una semana que se solicitaron. La demanda durante el tiempo de entrega
es )3,8( 2N . El tamaño promedio de la orden es de una unidad. El costo por inventario es de
$10 por unidad por semana, el costo por déficit es de $100 por unidad demandada no
satisfecha. Agréguese un costo por ordenar de $8. Encontrar el tamaño adecuado de s.
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
10h costo por inventario por unidad
100p costo por déficit por unidad
8d demanda media
1q tamaño de la orden
8K costo por ordenar
1000r precio de venta y
630c costo por unidad.
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
58.3
10
)8)(8(2
10
)0)6301000100(8)(8(2)()(2
h
sycrpKdq d
Paso 2. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
Capítulo 1. 25
25
997.0
101
8)6301000100(
1
8)6301000100(
)(
)(
)(
hq
dcrp
q
dcrp
sFL.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
997.03
8
997.0
sZP
sDP
Resulta 75.23
8
s, de donde 25.16s .
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( .
sIdu
ususy
s
d 2
2
2
)(exp
2
1)()( .
Luego, el valor de )25.16()( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida
normales
0027.0)0009.0(375.233
825.163)25.16(
IIyd
Paso 4. Con 0027.0)25.16( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
85.3
10
)0027.0)6301000100(8)(8(2)()(2
h
sycrpKdq d
.
Paso 5. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
9899.0
1085.3
8)6301000100(
85.3
8)6301000100(
)(
)(
)(
hq
dcrp
q
dcrp
sFL.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
Modelos de Inventarios probabilísticos. 26
26
9899.03
8
9899.0
sZP
sDP
Resulta 323.23
8
s, de donde 969.14s .
Paso 6. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( . Luego, el valor de
969.14)( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida normales
0105.0)0035.0(3323.23)969.14( Iyd .
Paso 7. Con 0105.0)969.14( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
5493.4
10
)0105.0)6301000100(8)(8(2)()(2
h
sycrpKdq d
.
Paso 8. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
9880.0
1055.4
8)6301000100(
55.4
8)6301000100(
)(
)(
)(
hq
dcrp
q
dcrp
sFL.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
988.03
8
988.0
sZP
sDP
Resulta 26.23
8
s, de donde 78.14s .
Paso 9. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( . Luego, el valor de
)78.14()( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida normales
0123.0)0041.0(326.23)78.14( Iyd .
Paso 10. Con 0123.0)78.14( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
Capítulo 1. 27
27
70.4
10
)0123.0)6301000100(8)(8(2)()(2
h
sycrpKdq d
.
Así, como el valor de q ya no cambia significativamente, se tiene 5* q artículos.
1.8 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE
VENTAS PENDIENTES Y PÉRDIDAS
En la práctica, es frecuente que una fracción de los clientes, que aparecen cuando se ha
agotado la existencia, acepte esperar a que se surta su pedido y el resto 1 de estos clientes
prefieren buscar la satisfacción de la demanda con otro proveedor.
Usando, en este caso, el mismo razonamiento que en los anteriores se obtiene que los
parámetros correspondientes al costo mínimo sean:
h
dsycrpKq
d )())(1(2
2))(1(
2))(1(
)(h
hq
dcrp
h
q
dcrp
sFL
.
(17)
El algoritmo de solución es el mismo que de los casos que se están combinando
EJEMPLO 8
Las órdenes de un artículo se reciben una semana después de que son puestas. )3,8( 2NDL ,
8$K , 1$h por semana, 10$p , 70$r , 63$c , %80
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
1h costo por inventario por unidad
10p costo por déficit por unidad
8d demanda media
1q tamaño de la orden
8K costo por ordenar
70r precio de venta y
63c costo por unidad.
Modelos de Inventarios probabilísticos. 28
28
80.0 fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
28
1
)0()6370)(80.01(108)8(2)())(1(2
h
sycrpKdq d
.
Paso 2. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
8845.0
)80.0(2
11
28
8)6370)(80.01(10
)80.0(2
1
28
8)6370)(80.01(10
)(
sFL.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
8845.03
8
8845.0
sZP
sDP
Resulta 198.13
8
s, de donde 594.11s .
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( .
sIdu
ususy
s
d 2
2
2
)(exp
2
1)()( .
Luego, el valor de )594.11()( dd ysy se encuentra de las tablas de integrales de pérdida
normales
1683.0)05610.0(3198.13)594.11( Iyd .
Paso 4. Con 1683.0)594.11( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
60.12
1
)1683.0()6370)(80.01(108)8(2)())(1(2
h
sycrpKdq d
.
Paso 5. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
Capítulo 1. 29
29
872.0
)80.0(2
11
60.12
8)6370)(80.01(10
)80.0(2
1
60.12
8)6370)(80.01(10
)(
sFL .
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
872.03
8
sZP
Resulta 136.13
8
s, de donde 408.11s .
Paso 6. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( .
19.0)14.1(3136.13)41.11( IIyd .
Paso 7. Con 19.0)41.11( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
75.12)19.0(4.11816
)())(1(2
h
sycrpKdq d
.
Así, como el valor de q ya no cambia significativamente, se tiene 13* q artículos.
1.9 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DEMANDA INCIERTA: MÉTODO DE
NIVEL DE SERVICIO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE LA RESERVA DE
SEGURIDAD
En la práctica, generalmente resulta que es difícil determinar con exactitud el costo de acrecer
de una unidad (costo de oportunidad). Por tal motivo, los gerentes frecuentemente deciden
controlar la escasez al cumplir con un nivel de servicio especificado. Por tal razón resulta tener
una importancia relativa la medición del nivel de servicio especificado. Sean dos medidas:
Medida 1 del nivel de servicio 1SLM . Fracción esperada (expresada
generalmente como porcentaje) de toda la demanda que se satisface a tiempo.
1SLM .el porcentaje de demanda que se satisface oportunamente.
Medida 2 del nivel de servicio 2SLM . Número esperado de ciclos por año
durante el cual hay escasez.
2SLM número esperado de ciclos por año con déficit.
En esta parte se supondrá que la escasez se acumula.
Modelos de Inventarios probabilísticos. 30
30
EJEMPLO 9
Considérese un sistema de inventario en el que la demanda anual promedio es de 1000
artículos, la cantidad económica de pedido es 100. La demanda durante el tiempo de entrega
es aleatoria y se describe mediante la distribución de probabilidad discreta uniforme para las
demandas 20, 30, 40, 50 y 60. Para un punto de reorden de 30 unidades, determine 1SLM y
2SLM .
Solución
100* qEOQ artículos
30r punto de reorden
1000D demanda anual de artículos
Demanda esperada en un tiempo de entrega L es
40)6050403020(5
1Ld .
Como el punto de reorden es 30, el tamaño del déficit es 0, 0, 10, 20 y 30,
respectivamente para cada una de las demandas. De tal forma que el número esperado por
faltantes por ciclo está dado por:
12))3060()3050()3040(00(5
1 .
Por otro lado, el número promedio de pedidos es
10100
1000)(
q
DE.
Luego, el número promedio de carencias que se presentan durante un año, está dado por:
Número promedio de pedidos número esperado de faltantes por ciclo
12012*10 carencias durante el año.
De tal modo que la demanda satisfecha oportunamente es de 8801201000 .
Finalmente,
%8888.01000
8801 SLM .
Con esto se puede apreciar que aún si el punto de reorden es menor que la demanda
promedio durante el tiempo de entrega, se puede tener un 1SLM relativamente alto, porque
las carencias sólo se pueden presentar durante el tiempo de entrega, que con frecuencia es una
parte pequeña de cada ciclo.
Se puede establecer la fórmula para el 1SLM
Capítulo 1. 31
31
q
y
q
yE
DE
qDEyEDESLM ddd
1
)(1
)(
)()()(1 (18)
Así, se tiene por fórmula
88.0100
121
)(11
q
yESLM d
Ahora se calcula el 2SLM para un punto de reorden de 30. Primeramente recuérdese
que con ese punto de reorden había escasez para las demandas de 40, 50 y 60. Es decir,
durante cualquier ciclo en el que la demanda en el tiempo de entrega, LD , sea mayor a 30.
Así, la probabilidad de escasez durante un ciclo está dada por:
5
3
5
1
5
1
5
1)60()50()40()( LLLd DPDPDPyP .
Luego, como se tiene un número promedio de 10 ciclos por año, el número esperado de
ciclos por año que representan carencias es de 66.0*10 . Es decir, 62 SLM .
Puede establecerse la fórmula para el 2SLM
q
yEyPSLM d
d
)()(2 . (19)
1.10 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE
SEGURIDAD PARA 1SLM
Dado un valor deseado de 1SLM , ¿cómo determinar el punto de reorden que dé el nivel de
servicio deseado? Supóngase que se pide la cantidad económica de pedido q y y que se usa un
punto de reorden r, de (18)
q
yESLM
q
yESLM dd )(
11)(
11 .
En el ejemplo anterior para calcular dd yyE )( se utilizó el hecho de que la
distribución era discreta uniforme. Cuando se trata de la distribución normal ),( 2N anual,
para el caso de un tiempo de entrega L sería
LLN
2
,
y se usa
L
LL
r LL
L
r
Ld
rIdu
zrzduufrury
LL
L
2exp
2
1)()()( .
En donde el subíndice L indica la media y desviación estándar en el tiempo de entrega.
Modelos de Inventarios probabilísticos. 32
32
Así, sustituyendo esta expresión de dd yyE )( en q
yESLM d )(
11 , se obtiene la
fórmula para el punto de reorden r.
LL
L SLMqrI
)11(
(20)
Luego de las tablas de la función de pérdida normal se puede conocer r , con
L
L
L
SLMqIr
)11(1 (20a)
EJEMPLO 10
Se venden en promedio 1000 procesadores de alimentos al año. Cada pedido cuesta $500. El
tiempo de entrega es un mes. Cuesta $100 almacenar un procesador durante un año. La
demanda anual de procesadores se distribuye normalmente con desviación estándar 69.28.
Para cada uno de los siguientes valores de 1SLM determine el punto de reorden: 80%, 90%,
95%, 99% y 99.9%.
Solución
1000)( DDE artículos
500K
100h
)240,(~ 2ND
Se requieren los valores de q, L y L , Primeramente se calcula el valor de q, con lote
económico
100100
)1000)(500(22
h
DKq .
Para L y L , se tiene que el tiempo de entrega es un mes, como los valores de la
demanda están dados en años, se tiene que dividir entre 12.
33.8312
1000L y 20
12
240L .
Ahora empleando la fórmula 20 o 20a para cada uno de los 1SLM
1. 80.01SLM
Capítulo 1. 33
33
6533.65
33.8390.02033.83120
33.8320
)80.01(10020
)11(
1
11
I
ISLMq
Ir L
L
L
2. 90.01SLM
8063.79
33.83185.02033.835.020
33.8320
)90.01(10020
)11(
1
11
I
ISLMq
Ir L
L
L
3. 95.01SLM
9023.90
33.83345.02033.8325.020
33.8320
)95.01(10020
)11(
1
11
I
ISLMq
Ir L
L
L
4. 99.01SLM
10843.10833.83255.12033.8305.020
33.8320
)99.01(10020
)11(
1
11
I
ISLMq
Ir L
L
L
5. 999.01SLM
12723.12733.83195.22033.83005.020
33.8320
)999.01(10020
)11(
1
11
I
ISLMq
Ir L
L
L
1.11 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE
SEGURIDAD PARA 2SLM
Suponga que un gerente desea tener suficiente reserva de seguridad como para asegurar que 0s
ciclos por año en promedio se tenga escasez. Sea LD la demanda durante el tiempo de reorden
y y r un punto de reorden, una fracción )( rDP L de todos los ciclos conducirá a escasez.
Como se tendrá un promedio de qDE )( ciclos por año (recuérdese que se supone
acumulación de pedidos), un promedio de
0
)()(s
q
DErDP L
o bien )(
)( 0
DE
qsrDP L .
Modelos de Inventarios probabilísticos. 34
34
Así, se obtiene el punto de reorden r de 2SLM , para la demanda durante el tiempo de
entrega. Sólo falta determinar la distribución de la demanda,
Discreta )(
)( 0
DE
qsrDP L .
Continua )(
)( 0
DE
qsrDP L .
(21)
EJEMPLO 11
En ejemplo anterior determine 2SLM , cuando se desea asegurar que la escasez ocurra durante
un promedio de dos tiempos de entrega por año.
Solución
1000)( DDE artículos,
500K ,
100h ,
20 s
Se cálculo 100q , 33.8312
1000L y 20
12
240L . Luego, si
)240,(~ 2ND , entonces )20,33.83(~ 2NDL . Por la fórmula (21)
20.01000
)100(2
)()( 0
DE
qsrDP L .
De las tablas porcentuales de la normal estándar, resultará
8416.020
33.8380.0)
20
33.83(
rrZP .
Finalmente, 10016.100)8416.0(2033.83 r . Así, el nivel de reserva de
seguridad que produce un promedio de dos agotamientos por año sería:
1783.1633.8316.100)( LDEr .
1.12 MODELO DE INVENTARIOS DE DOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN
Los supuestos del modelo son los siguientes:
1. La planeación se hace para dos periodos, en donde la demanda insatisfecha en el
periodo 1 se acarrea para satisfacerla en el periodo 2, pero no se permite acarrear
faltantes del periodo 2.
Capítulo 1. 35
35
2. Las demandad 1D y 2D para los periodos 1 y 2 son variables aleatorias independientes
e idénticamente distribuidas. Su distribución de probabilidad común tiene la función de
densidad de probabilidad )(D y la función de distribución )(D .
3. El nivel de inventario inicial al principio del periodo 1 es 01 x .
4. El objetivo es minimizar el costo total esperado para ambos periodos, en donde los
componentes del costo para cada periodo son:
c = costo unitario de comprar o producir cada unidad.
h = costo de mantener inventario por unidad que queda al final del periodo.
p = costo por faltantes por unidad de demanda no satisfecha al final del cada
periodo.
Para comenzar el análisis, sea
*
iq valor óptimo de 2,1iparaqi .
)( 11 xC costo total esperado para ambos periodos cuando se sigue la política optima
dado que 1x es el nivel de inventario (antes de reabastecer) al principio del periodo 1.
)( 22 xC costo total esperado solo para el periodo 2 cuando se sigue la política optima
dado que 2x es el nivel de inventario (antes de reabastecer) al principio del periodo 2.
Para usar el enfoque de programación dinámica, primero se obtiene *
222 )( qyxC , donde
se tiene solo un periodo por analizar. Después se utilizan estos resultados para encontrar
*
111 )( qyxC . De los resultados del modelo de un solo periodo, *
2q se encuentra resolviendo
hp
cpq
*
2
Dado 2x , entonces la política óptima resultante es
ordena seno q
q hasta inventario de nivel el elevar para xq ordena seqxSi
*
2
*
22
*
2
*
2
2
)( (22)
El costo óptimo se puede expresar como
*
22
*
22
*
2
*
222
22),()(
),()(
qxsiqLxqc
qxsixLxC (23)
En donde )(zL es el costo esperado de almacenaje y faltantes para un solo periodo cuando
existe z unidades en inventario (después de reabastecer). Ahora )(zL se puede expresar como
Modelos de Inventarios probabilísticos. 36
36
dzpdzhzL D
z
D
q
)(()()()(0
Cuando se consideran ambos periodos, los costos consisten en el costo de compra
)( 11 xqc , el costo esperado de almacenaje y faltantes )( 1qL y los costos asociados a seguir
una política durante el segundo periodo. Así, el costo esperado si se sigue una política optima
en los dos periodos está dado por
)()()(min)( 221111111
xCEqLxqcxCxq
.
En donde )( 22 xCE se obtiene de la siguiente manera. Observe que 112 Dqx de manera
que 2x es una variable aleatoria al principio del periodo 1. Entonces
*
211
*
211
*
2
*
21111
11222),()(
),()()(
qDqsiqLDqqc
qDqsiDqLDqCxC
Así, )( 22 xC es una variable aleatoria y su valor esperado está dada por
dqLqqcdqLdqCxCE D
D
D )()()()()()()()(*21
*21
*
21
*
2
0
1
0
1222
Entonces
dqLqqc
dqLqLxqc
xC
D
D
xq
)()()(
)()()()(
min)(
*21
*21
11*
21
*
2
0
1111
11 (24)
Se puede demostrar que )( 11 xC tiene un valor mínimo único y que el valor optimo de
1q , denotado por *
1q , satisface la ecuación
0)()()()()(
*21
0
*
1
*
2
*
1
*
1
dqhpqqpcqhpp D
Entonces, la política óptima que resulta para el periodo 1 es la siguiente
ordena seno q
q hasta inventario de nivel el elevar para xq ordena seqxSi
*
1
*
11
*
1
*
1
1
)( (25)
Capítulo 1. 37
37
1.13 MODELO DE VARIOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN
Ahora, se considera la extensión del problema anterior de dos periodos a n periodos, donde
2n , con suposiciones idénticas. La única diferencia es que se usa un factor de descuento
)1,0( , para calcular el costo total esperado para n periodos. El problema sigue siendo
encontrar números críticos **
2
*
1 ,...,, nqqq que describan la política óptima de inventario. Al igual
que el modelo de dos periodos, es difícil obtener estos valores numéricos, pero se puede
demostrar que la política óptima tiene la siguiente forma.
Para cada periodo i, (i=1, 2,…, n) con ix como nivel de inventario al iniciar este periodo
(antes de reabastecer) se hace lo siguiente:
i periodo el en ordenar no q
q hasta inventario de nivel el elevar para xq ordena seqxSi
i
iiii
i *
*** )( (26)
Lo que es más
*
1
*
2
*
1
* ... qqqq nn
Para el caso de un número finito de periodos, todos estos números críticos ,..., *
2
*
1 qq son
iguales. Sea *q este valor constante. Se puede demostrar que
*q satisface la ecuación
hp
cpq
)1(* (27)
38
Capítulo 2
MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA DE DISTRIBUCIÓN
CONOCIDA
2.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se desarrollarán los modelos de inventarios revisados en el capítulo previo,
pero con base a funciones de distribución probabilísticas más comunes, como son la binomial,
geométrica, poisson, exponencial, gama y beta. Además se desarrollarán algunos ejemplos con
dichos modelos.
Es muy importante el desarrollo teórico de los inventarios con función de distribución
conocida para facilitar la aplicación de los resultados que se obtendrán en el cálculo del costo
mínimo y el punto de reorden óptimo a ciertos inventarios que muestren un comportamiento
como los mencionados en el párrafo anterior.
2.2 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA DISCRETA
En esta sección se desarrollarán los modelos de inventarios de artículos perecederos con
distribución de la demanda conocida, cuando la distribución de la demanda es discreta. Para
esto se tomará como base de estudio el análisis marginal desarrollado en el capítulo anterior.
El problema es el siguiente, supóngase que en el departamento de compras, el encargado
de tomar las decisiones de la empresa tiene que decidir cuántas unidades pedir o producir, es
decir encontrar el lote económico *q . Para esto se analizarán diferentes casos de la demanda
y su costo.
La demanda es estocástica, pero se conoce su distribución de probabilidad )(dp .
El costo incurrido, ),( qdc , es una función de d y q.
Empleando el análisis marginal para el modelo de inventarios discretos, se obtuvo en el
capítulo anterior el resultado general:
Capítulo 2. 39
39
u
u
cc
cqDP
0
* )( . (1)
En donde,
0c : El costo de sobreabastecimiento, es decir, el costo unitario de comprar o producir
demasiado.
uc : El costo de subabastecimiento, es decir, el costo unitario de tener faltantes.
Ahora se analizarán los diferentes tipos de demanda discreta más conocidas para este
tipo de modelo de inventario.
2.2.1 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En el caso de artículos perecederos suponga una demanda aleatoria, D, con distribución
binomial y parámetros (n, p), entonces se tiene que el lote económico que minimiza los costos
se obtiene de la fórmula (1)
u
uq
i
ini
cc
cpp
i
nqDP
00
*
*
1)( , (2)
para estimar la *q que minimiza los costos, se obtiene por tablas de la distribución binomial,
donde * 1,2,...,q n .
EJEMPLO 12
Una agencia de autos en un área metropolitana está intentando cuantos autos comprar cada
semana. Es posible aproximar la demanda de auto mediante una distribución geométrica con
parámetros n=10 p=0.4. El auto cuesta 35 mil dólares a la agencia y los vende a 50 mil
dólares el ejemplar. La agencia de autos no obtiene ningún beneficio de autos sobrantes y se
regresan al proveedor. ¿Cuántos autos debe comprar cada semana?
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ), venta de autos a 50 cada uno
( d50 ). Obteniendo un costo total de dq 5035 . Luego, 350 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ) y venta de autos a 50 cada
uno ( q50 ). Obteniendo un costo total de qqq 155035 . Luego, 15uc .
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 40
40
3.01535
1538.3)3(
1)(00
*
*
DP
cc
cpp
i
nqDP
u
uq
i
ini
Por lo tanto, la agencia debe hacer un pedido de 3 autos por semana.
2.2.2 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN POISSON
En el caso de artículos perecederos con demanda D y distribución de probabilidad Poisson con
parámetro 0 , se tiene que de la fórmula 1
*
*
0 0
( )!
iq
u
i u
cP D q e
i c c
, (3)
para estimar la *q que minimiza los costos, se obtiene por tablas de la distribución Poisson,
donde * 0,1,2,...q .
EJEMPLO 13
Supóngase que la energía en la estación de León se suministra mediante celdas solares. Una
vez al año vuela un avión y les vende celdas a $200 cada una. Se estima la demanda a partir
de una distribución de probabilidad poisson con parámetro 30 . Debido a la incertidumbre
de las necesidades futuras, en la planta sólo se puede adivinar el número de celdas que se
necesitarán durante el año venidero. Si se acaban las celdas, se debe hacer un pedido especial
pagando $300 por cada una.
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ), utilización de celdas
$200 cada una ( d200 ) y no se usan las celdas dq no se tienen costo.
Obteniendo un costo total de dq 200200 . Luego, 2000 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ) y cuando la demanda
rebase la cantidad pedida a $300 cada una ( )(300 qd ). Obteniendo un costo
total de dqqdq 300100)(300200 . Luego, 100uc .
Finalmente el valor de *q se obtiene con la fórmula (3)
Capítulo 2. 41
41
33.033.0)27(
!)(
0
00
*
*
u
u
u
uq
i
i
cc
cDP
cc
c
ieqDP
Así, de la tabla de probabilidades se tiene que 27* q celdas.
2.2.3 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
En el caso de artículos perecederos con demanda D y distribución de probabilidad geométrica
con parámetro p, se tiene de la fórmula 1
*
***
1111
1111)(
1
1
1
1* qqq
i
iq
i
ip
p
ppppppqDP
Ahora, sea 0
u
u
ck
c c
, entonces despejando a *q de la expresión anterior se obtiene el
siguiente resultado:
p
kq
kpq
kp
kp
kpqDP
q
q
q
1ln
)1ln(
)1ln(1ln
)1ln(1ln
11
11)(
*
*
*
*
*
*
Por lo tanto, sustituyendo el valor de k para determinar el tamaño de lote económico que
minimice los costos en un inventario con distribución de probabilidades geométrica con
parámetro p la siguiente expresión:
p
cc
c
qu
1ln
ln0
0
* . (4)
EJEMPLO 14
Una agencia de autos en un área metropolitana está intentando calcular cuantos autos comprar
cada semana. Es posible aproximar la demanda de auto mediante una distribución geométrica
con parámetro p=0.1 El auto cuesta 35 mil dólares a la agencia y los vende a 50 mil dólares el
ejemplar. La agencia de autos no obtiene ningún beneficio de autos sobrantes y se regresan al
proveedor. ¿Cuántos autos debe comprar cada semana la agencia?
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 42
42
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ), venta de autos a 50 cada uno
( d50 ). Obteniendo un costo total de dqdq 50355035 . Luego, 350 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ) y venta de autos a 50 cada
uno ( q50 ). Obteniendo un costo total de qqq 155035 . Luego, 15uc .
Ahora, aplicando el resultado (3) se obtiene *q .
38.3
1.01ln
1535
35ln
*
q
Por lo tanto, se debe hacer un pedido de 3 autos a la semana.
2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS DEMANDA
CONTINUA
Se revisará el modelo de inventarios del vendedor de periódicos pero con demanda D variable
aleatoria continua y función de densidad )(df . De forma similar que en el caso discreto, se
obtiene una expresión con la que se puede calcular el valor óptimo de *q , pero a diferencia del
caso discreto en el continuo se obtiene mediante una igualdad. Es decir, )(qE será reducido
al mínimo por el valor mínimo de q (denotado *q ) que satisface a u
u
cc
cqDP
0
* )( .
Luego, el pedido óptimo será solicitar *q unidades hasta el punto en el que la última que se
pida tenga probabilidad
u
u
cc
cqDP
0
* )( de venderse. (5)
A continuación se desarrollarán los modelos de inventarios con función de densidad
conocida.
2.3.1 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida uniforme sobre el intervalo ),( ba y la
función de densidad de probabilidades está dada por
d.o.f,0
,1
)(
bxaabxf
Capítulo 2. 43
43
Entonces
bq
aq
bqaab
aq
qDP
*
*
**
*
si,1
si,0
si,
Ahora, se procede a despejar a *q de la expresión anterior igualando a (5), por lo que se
tiene:
u
u
cc
c
ab
aqqDP
0
** )( .
Finalmente, el valor de *q que minimiza los costos es:
aabcc
cq
u
u
0
*. (6)
En donde, a se refiere a la demanda mínima posible y b a la demanda máxima posible, según
la distribución de la demanda.
2.3.2 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sea D una variable aleatoria continua distribuida normalmente con parámetros 2y , y
función de densidad
xexf x 222
2
1
.
Entonces,
dxeqDP x
q22
*
2*
2
1
.
Para calcular *q se debe estandarizar la expresión anterior. Como D
Z
una
variable aleatoria normal estándar cuando D es normalmente distribuido con parámetros 2y , implica que la función de distribución de D puede ser expresada como
ZPqDP .
Ahora, se despeja *q de la expresión anterior igualando a (5)
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 44
44
.
0
1*
0
**
u
u
u
u
cc
cq
cc
cqqDP
Por lo tanto, la cantidad de lote económico en el caso de una demanda con distribución
normal estará dada por:
u
u
cc
cq
0
1* . (7)
2.3.3 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN GAMMA
Sea D una variable aleatoria continua que tiene una distribución tipo gamma con parámetros
, , >0 >0y . Para determinar el tamaño del lote económico, se tiene de la expresión (5)
que kqFqDP D ** , despejando en forma general a la cantidad de lote económico
u
u
Dcc
cFq
0
1* . (8)
Ahora si se cuenta con tablas estadísticas de cuantiles para la distribución gamma o se
dispone de algún paquete matemático, por medio de los métodos numéricos se puede
encontrar el valor del lote económico *q .
En el caso de que Zm , entonces si se denota xy
dyeym
xdexm
qDP
q
ym
q
xm
**
0
1
0
)(1*
!1
1)()(
!1
1
,
denotando dyeyqI
q
ym
m
*
0
1*
1 )(
e integrando por partes, 1 myu , dyymdu m 2)1( y
dyedv y , yev , se tendrá
.)()1()(
!1
1
)()1(!1
1)(
!1
1
*
2
)(1*
*
20
1*
1
*
*
*
qImeqm
qImeym
qIm
qDP
m
qm
m
qy
y
ym
m
Se obtuvo una fórmula recursiva, que se aplica hasta llegar a )( *
0 qI
Capítulo 2. 45
45
)1(1
)!0(
)(
)!1(
)(
)!2(
)(
)!1(
)(1
1)!1())(1()(!1
)()!1())(1()(!1
0*1*2*1*)(
)(*2*1*)(
*
0
*2*1*)(
*
*
*
*
*
mF
m
q
m
qe
eqmqmqm
e
qIqmqmqm
eqDP
mmq
qmmq
mmq
Donde *Poisson~ qv . Por otro lado, para despejar a *q de la expresión anterior, se tiene
kmFkmFqDP VV 1111* .
En donde, 0
u
u
ck
c c
, luego de las tablas de la distribución de poisson se encuentra el valor
de que hace que se cumpla la desigualdad
u
m
i
i
cc
c
i
e
0
01
0 !
y *q . (9)
2.3.4 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Cuando la demanda tiene una distribución exponencial, como se sabe se trata de un caso
especial de la distribución gamma con 1 , luego utilizando cualquiera de las expresiones
(8) o (9) , por ejemplo esta última
0
0
0
0
0
00
0
ln! c
cc
cc
ce
cc
c
i
e u
uui
i
.
Finalmente, el lote económico, *q , para esta distribución
0
0* ln1
c
ccq u
. (10)
2.3.5 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Sea D una variable aleatoria continua con función de densidad Weibull con parámetros
, ,v y , es decir su función de densidad estará dada por:
vx
vxvxvx
xf
si,0
si,exp
)(
1
Entonces, para determinar el lote económico se tiene que resolver
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 46
46
vq
vqvv
vx
dxvxvx
qDP
q
v
q
v
*
*
1
*
exp1
expexp
exp
exp)(
*
*
Ahora, se sabe que debe cumplirse *P D q k , de donde se despeja *q , luego
kvq
k
vq
kvq
kvq
kvq
1
1ln
1
1ln
1ln
1lnexp ln
exp1
*
*
*
*
*
Por lo tanto, para 0
u
u
ck
c c
la expresión que minimiza los costos para el lote
económico en una distribución Weibull, estará dada por
0
* 1lnc
cvq u (11)
EJEMPLO 15
Un puesto de periódicos en un área metropolitana está intentando determinar cuántos
ejemplares de un periódico dominical debe comprar cada semana. Es posible aproximar la
demanda del periódico mediante una distribución gamma con parámetros 29 y .
El periódico cuesta 0.35 dólares al puesto y los vende a 0.50 dólares el ejemplar. El puesto de
Capítulo 2. 47
47
periódico no obtiene ningún beneficio de los periódicos sobrantes y, por ello, absorbe el 100%
de la pérdida de los que no se venden. ¿Cuántos ejemplares debe comprar cada semana del
periódico dominical?
Solución
7.00 c
15.0uc .
Como es entero entonces se aplica la ecuación (9). Utilizando la tabla de función de
distribución Poisson:
8235.0
15.07.0
7.0
! 0
01
0
u
m
i
i
cc
c
i
e
Para que se cumpla la desigualdad anterior 5.29 y 25.142
5.29*
q . Por lo tanto, al
empleado del puesto de periódico se le aconseja hacer un pedido de 14 o 15 periódicos.
2.4 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA
Estos modelos se desarrollaron y se explicaron en el capítulo 1, obteniendo la fórmula para el
punto de reorden cuando se utiliza la política de inventario que consiste en llevar el inventario
hasta s cada vez que se presenta una demanda. El valor de s que minimiza el costo de
inventario, sin reconocer el costo por ordenar, se obtiene a partir de:
dpqh
dp
q
dph
q
dp
duufsF
s
LL
0
)()( . (12)
En donde,
El tiempo de entrega L es distinto de cero.
)(ufL la demanda durante el tiempo de entrega.
0
)( duuufdLd L la demanda promedio por unidad de tiempo durante el tiempo de
entrega.
s es el punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin el costo por ordenar.
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 48
48
A partir de la fórmula (12) se pueden obtener expresiones similares al caso de artículos
perecederos con demanda continua, para el lote económico, si se realiza dpqh
dpk
en lugar
de 0
u
u
ck
c c
ahorrando los desarrollos.
1) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida uniforme sobre el intervalo ),( ba que
representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto de reorden que
minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará dado por
aabdpqh
dps
. (13)
2) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida normal con parámetros 2y , que
representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto de reorden con el que
se minimiza el costo de inventario, sin costo por ordenar, estará dado por
dpqh
dps 1 . (14)
3) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida tipo gamma con parámetros
, , >0 >0y que representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto
de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará dado por
dpqh
dpFs T
1 . (15)
Para la distribución gamma con parámetros , , >0 >0y .
En el caso de que Zm , se obtuvo kmFkmFqDP VV 1111* .
En donde, dpqh
dpk
, luego de las tablas de la distribución de poisson se encuentra el valor
de que hace que se cumpla la desigualdad
dpqh
qh
i
em
i
i
1
0 !
y s . (16)
Capítulo 2. 49
49
4) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Cuando D tiene una distribución exponencial, como se sabe trata de un caso especial de la
distribución gamma con 1 , luego utilizando (16), para la demanda durante el tiempo de
entrega, su punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará
dado por
qh
dpqhs ln
1
. (17)
5) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Cuando D tiene una distribución Weibull con parámetros , ,v y , para la demanda durante
el tiempo de entrega, su punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por
ordenar, estará dado por
qh
dpvs 1ln . (18)
EJEMPLOS 16
Un impresor que en la actualidad está haciendo una compra mensual, estudió el
comportamiento del papel libro de 70 gr. en los últimos doce meses. Encontró que su demanda
fue de: 10, 11, 10, 9, 10, 11, 9, 10.5, 10, 9, 9 y 11.5 toneladas por mes. Esta obedece a una
función de distribución uniforme en el intervalo 12,5.8 , y la orden se recibe después de una
semana que se solicitaron. El tamaño promedio de la orden es 10 unidades. El costo por
inventario es de $345.00 por unidad por semana y el costo por déficit es $200.00 por unidad.
¿Calcule el punto de reorden?
Solución
1L semana, tiempo en recibir el inventario
400h costo por inventario por unidad
200p costo por déficit por unidad
25.10d demanda media
10q tamaño de la orden
Utilizando la ecuación (13)
69.95.85.812)25.10(200)400(10
)25.10(200
s .
Por lo tanto, el punto de reorden es de 9 ó 10 toneladas.
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 50
50
2.5 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS
La parte teórica de estos modelos se desarrolló a detalle en el capítulo anterior obteniendo los
siguientes resultados y algoritmos de solución:
a)
)(2
h
sypKdq d .
b) qhdp
qhdpsFL
2
2)( .
En donde,
K costo por ordenar,
q tamaño de la orden,
s nivel de inventario,
s
Ld duufsusy )()()( ,
d demanda media durante el tiempo de entrega,
p costo por déficit por unidad y
h costo por inventario por unidad
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (b).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( .
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
Repetir hasta que dos valores sucesivos de q estén suficientemente cercanos de modo
que una iteración más no proporcione una mejora apreciable.
Ahora se desarrollarán las fórmulas para aplicar el algoritmo de solución en cada una de
las distribuciones vistas. Para esto nótese que en realidad sólo interesan las fórmulas para los
pasos 2 y 3, ya que 1 y 4 son los mismos para cualquier distribución. El paso dos se puede
Capítulo 2. 51
51
hacer simplificando cálculos si se emplea la sección anterior con qhdp
qhdpk
2
2 en lugar de
dpqh
dpk
. De esta forma se iniciarán siempre con los cálculos del paso 3.
2.5.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución uniforme entre
a y b.
Para encontrar el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
abqhdp
qhdps
2
2
(19a)
Para el paso 3 se requiere calcular
)(2
)(
2
)(11)()()()(
22
ab
sbsu
abdu
absuduufsusy
b
s
b
ss
Ld
.
En caso de que bs vale cero. Es decir,
0)(,)(2
)()(
2
sy
ab
sbsy dd cuando bs (19b)
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de
una distribución uniforme de la demanda.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (19a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (19b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.5.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal con
parámetros ),( 2 .
Para encontrar el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qhdp
qhdps
2
21
(20a)
Para el paso 3 se requiere calcular )(syd .
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 52
52
sDPdxxfsF
s
LL 0)()(0
Para el caso de de la normal estándar el valor de sIsyd )( se obtiene de la tabla de
la pérdida normal unitaria.
Para la normal no estándar se tiene el siguiente resultado
L
LL
s LL
Ld
sIdu
zszsy
L
L
2exp
2
1)(
I se obtiene de la tabla de la pérdida normal unitaria. Es decir,
0)(,)(
sy
sIsy d
L
LLd
cuando bs (20b)
Finalmente se tiene el siguiente algoritmo de solución para la distribución normal.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (20a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (20b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.5.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución gamma con
parámetros , , >0 >0y .
Para encontrar el valor de s utilizamos el desarrollo de la sección anterior.
)2(
2
qhdp
qhs
(21a)
Para el paso 3 se requiere calcular
s
u
s
u
s
Ld dueu
sdueu
uduufsusy
11
)()()( .
Aplicando el resultado de 3.3.3 se tiene el siguiente resultado
21!1
)(
VVs
d FFes
sy (21b)
El valor de la función VF se obtiene de la tabla de distribución poisson.
Capítulo 2. 53
53
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de
una distribución gamma de la demanda.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (21a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (21b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.5.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución exponencial,
para alguna 0 .
Para encontrar el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qh
qhdps
2
2ln
1
(22a)
Para el paso 3 se requiere calcular
s
b
s
u
s
Ld eduesuduufsusy
1
)()()()( .
En caso de que 0 vale cero. Es decir,
0)(,1
)( syesy ds
d
cuando 0 (22b)
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de
una distribución exponencial de la demanda.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (22a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (22b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.5.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull con
parámetros yv, .
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 54
54
Para encontrar el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qh
dpvs
2
1ln
(23a)
Para el paso 3 se requiere calcular
sss
Ld duvu
duvuvu
suduufsusy
expexp)()()()(
1
s
d duvu
sy
exp)( (23b)
Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas. Ahora
se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de una
distribución weibull de la demanda.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (23b).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (23a).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
EJEMPLOS 17
Una empresa determinada, vende a turistas diversos artículos de calidad hechos a mano. La
entrega se hace en promedio en una semana. Esta empresa vende miniaturas talladas a mano
de un soldado colonial, cada año, pero el patrón de demanda anual es incierto, el tiempo de
entrega obedece a una distribución gamma con parámetros 315 y
. Las réplicas se
venden a $40.00 cada una, el costo anual de mantenimiento de inventario representa el 25 %
del precio de venta por unidad, el costo por pedido es de $2.00. Y el costo por déficit es de
$15.00 por unidad. ¿Calcular el tamaño de la orden?
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
10h costo por inventario por unidad
15p costo por déficit por unidad
5d demanda media
5q tamaño de la orden
2K costo por ordenar
Capítulo 2. 55
55
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
41.1
10
))15(02)(5(2)(2
h
sypKdq d
Paso 2. Con el valor más reciente de q y con las tablas porcentuales de la distribución normal
se encuentra s.
06.0
)10)(41.1()5)(15(23
)10)(41.1(2
2
2
qhdp
qhs
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( con su distribución
correspondiente.
84.1615184.0
131514!1153
09.0(321
!1)06.0( )09.0(3
15
VVVV
s
d FFeFFes
y
Paso 4. Con 84.16)06.0( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
95.15
10
))15(84.162)(5(2)(2
h
sypKdq d
Paso 5. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
34.0
)10)(95.15()5)(15(23
)10)(95.15(2
2
2
qhdp
qhs
Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6)
36.1615136.0
131514!1153
34.0(321
!1)34.0( )34.0(3
15
VVVV
s
d FFeFFes
y
Paso 7. Con 36.16)34.0( dy y encontrar el valor de q correspondiente.
73.15
10
))15(36.162)(5(2)(2
h
sypKdq d
Paso 8. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
34.0
)10)(73.15()5)(15(23
)10)(73.15(2
2
2
qhdp
qhs
Paso 9. Con el último valor de s encontrar su correspondiente q, empleando la expresión (6)
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 56
56
36.1615136.0
131514!1153
34.0(321
!1)34.0( )34.0(3
15
VVVV
s
d FFeFFes
y
Paso 10. Con 0765.0)767.12( dy se encuentra el valor correspondiente de q.
73.15
10
))15(36.162)(5(2)(2
h
sypKdq d
Este es el valor de 73.15q ya que no varía con respecto al anterior. Por lo tanto, se
recomienda hacer un pedido de 16 unidades.
2.6 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS
Los resultados que se muestran a continuación se obtuvieron en el capítulo uno de forma
detallada.
h
dsycrpKq d )()(2 (a)
La probabilidad de un nivel de inventarios s
hqdcrp
dcrp
hq
dcrp
q
dcrp
sFL
)(
)(
)(
)(
)( . (b)
En donde,
K costo por ordenar,
q tamaño de la orden,
s nivel de inventario,
s
Ld duufsusy )()()( ,
d demanda media durante el tiempo de entrega,
p costo por déficit por unidad,
h costo por inventario por unidad,
c costo por unidad y
r precio de venta.
Así, la solución al modelo con ventas perdidas está dada por las dos expresiones
anteriores. Utilizando los resultados obtenidos en la sección 3.5 y el algoritmo de solución
para obtener los resultados de las siguientes funciones de distribución acumulada.
Capítulo 2. 57
57
Para el paso dos se nota que se puede hacer simplificando cálculos basándonos en la
sección anterior con
hqdcrp
dcrpk
en lugar de
qhdp
qhdpk
2
2. Así se inicia siempre
con los cálculos del paso 3.
2.6.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución uniforme entre
a y b.
Para encontrar el valor de s es:
ab
qhdcrp
dcrps
(24a)
Para el paso 3 se requiere calcular )(syd considerando el resultado de la sección 3.5.1.
0)(,)(2
)()(
2
sy
ab
sbsy dd cuando bs (24b)
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (24a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (24b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.6.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal con
parámetros ),( 2 .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qhdcrp
dcrps 1
(25a)
Para el paso 3 se requiere calcular )(syd .
Para el caso de de la normal estándar el valor de sIsyd )( se obtiene de la tabla de
pérdida normal unitaria (ver anexo A).
Para la normal no estándar se tiene el siguiente resultado
L
LLd
sIsy
)(
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 58
58
Es decir,
0)(,)(
sy
sIsy d
L
LLd
cuando bs (25b)
Finalmente se tiene el siguiente algoritmo de solución para la distribución normal.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (25a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (25b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.6.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución gamma con
parámetros , , >0 >0y .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qhdcrp
qhs
(26a)
Para el paso 3 se requiere calcular )(syd , pero como ya se calculó en la sección 2.5.3 se tiene
que
21!1
)(
VVs
d FFes
sy (26b)
Ahora, se resume el algoritmo de solución de la siguiente forma.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (26a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (26b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
Capítulo 2. 59
59
2.6.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución exponencial,
para alguna 0 .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qhdcrp
qhs
1ln
1
(27a)
Para el paso 3 )(syd se calculo en la sección 3.5.4.
0)(,1
)( syesy ds
d
cuando 0 (27b)
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de
una distribución exponencial de la demanda.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (27a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (27b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.6.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull
, ,v y .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
qh
dcrpvs 1ln
(28a)
Para el paso 3 se usa el resultado obtenido en la sección 3.5.5.
s
d duvu
sy
exp)( (28b)
Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas.
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 60
60
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (28a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (28b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
EJEMPLOS 18
Una empresa determinada, vende a turistas diversos artículos de calidad hechos a mano. La
entrega se hace en promedio en una semana. Esta empresa vende miniaturas talladas a mano
de un soldado colonial, cada año, pero el patrón de demanda anual es incierto, el tiempo de
entrega obedece a una distribución exponencial con parámetro 5.0
. Las réplicas tienen un
costo de $25.00 y se venden a $40.00 cada una, el costo anual de mantenimiento de inventario
representa el 25 % del precio de venta por unidad, el costo por pedido es de $2.00. Y el costo
por déficit es de $15.00 por unidad. ¿Calcular el tamaño de la orden?
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
10h costo por inventario por unidad
15p costo por déficit por unidad
5d demanda media
1q tamaño de la orden
2K costo por ordenar
40r precio de venta y
30c costo por unidad.
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
89.0
10
2)0)304015(2(2)()(2
h
dsycrpKq d
Paso 2. Con el valor más reciente de q y con las tablas porcentuales de la distribución normal
se encuentra s.
78.3)10(89.02304015)10(89.0
1ln
5.0
11ln
1
qhdcrp
qhs
Capítulo 2. 61
61
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( con su distribución
correspondiente.
3.05.0
11)78.3( )78.3(5.0 eey s
d
Paso 4. Con 3.0)78.3( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
96.1
10
23.0)304015(22)()(2
h
dsycrpKq d
Paso 5. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
53.2)10(96.1230401596.1
1ln
5.0
11ln
1
qhdcrp
qhs
Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6).
56.05.0
11)53.2( )53.2(5.0 eey s
d
Paso 7. Con 56.0)53.2( dy y encontrar el valor de q correspondiente.
54.2
10
256.0)304015(22)()(2
h
dsycrpKq d
Paso 8. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
18.2)10(54.22304015)10(54.2
1ln
5.0
11ln
1
qhdcrp
qhs
Paso 9. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6).
67.05.0
11)18.2( )18.2(5.0 eey s
d
Paso 10. Con 67.0)18.2( dy se encuentra el valor correspondiente de q.
75.2
10
267.0)304015(22)()(2
h
dsycrpKq d
Este es el valor de 75.2q ya que no varía mucho con respecto al anterior. Por lo tanto, se
recomienda hacer un pedido de 3 unidades.
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 62
62
2.7 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE
VENTAS PENDIENTES Y PÉRDIDAS
Usando el mismo razonamiento como en casos anteriores, y usado los siguiente resultados que
se exponen a continuación.
a)
h
dsycrpKq d )())(1(2
b)
2))(1(
2))(1(
)(h
hq
dcrp
h
q
dcrp
sFL
En donde,
K costo por ordenar,
q tamaño de la orden,
s nivel de inventario,
s
Ld duufsusy )()()( ,
d demanda media durante el tiempo de entrega,
p costo por déficit por unidad,
h costo por inventario por unidad,
c costo por unidad,
r precio de venta y
fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.
Los pasos del algoritmo de solución son los mismos como en la sección 3.5 y 3.7.
Ahora con
hhq
dcrp
hq
dcrp
k
2
11
2
11
en lugar de
hqdcrp
dcrpk
. Así, se
inicia siempre con los cálculos del paso 3.
2.7.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución uniforme entre
a y b.
Para calcular el valor de s es:
Capítulo 2. 63
63
ab
hhq
dcrp
hq
dcrp
s
2
11
2
11
(29a)
Para el paso 3 se considera resultados de la sección 3.5.1.
0)(,)(2
)()(
2
sy
ab
sbsy dd cuando bs (29b)
Finalmente, se resume el algoritmo de solución para esta función distribución.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (29a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (29b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.7.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal con
parámetros ),( 2 .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
hhq
dcrp
hq
dcrp
s
2
11
2
11
1
(30a)
Para el caso de la normal estándar el valor de sIsyd )( se obtiene de la tabla de la
pérdida normal unitaria. En el caso de la normal no estándar
L
LLd
sIsy
)(
Es decir,
0)(,)(
sy
sIsy d
L
LLd
cuando bs (30b)
Finalmente, se resume el algoritmo de solución para esta función distribución.
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 64
64
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (30a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (30b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.7.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución gamma con
parámetros , , >0 >0y .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
hhq
dcrp
hs
2
11
(31a)
Para el paso 3 se utiliza resultados de la sección 3.5.3.
21!1
)(
VVs
d FFes
sy (31b)
Ahora, se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (31a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (31b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.7.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución exponencial,
para alguna 0 .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
hh
q
dcrp
hs
2
11
1ln
1
(32a)
Para el paso 3 )(syd se calculó en la sección 3.5.4.
Capítulo 2. 65
65
0)(,1
)( syesy ds
d
cuando 0 (32b)
Ahora, se puede resumir el algoritmo de solución para esta función de distribución.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (32a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (32b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
2.7.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull
, ,v y .
Para calcular el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
2
11ln
qh
dcrpvs
(33a)
Para el paso 3 se usa el resultado obtenido en la sección 3.5.5.
s
d duvu
sy
exp)( (33b)
Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas. Ahora,
se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente forma.
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (33a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (33b).
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
EJEMPLOS 19
Un productor de microcomputadoras compra una unidad de procesamiento central de un solo
chip por $5.00 y el precio de de venta es de $12.00 cada uno. Según los planes de producción,
se necesitarán 10,000 unidades durante el próximo año, pero esto dependerá de las ventas. En
realidad, la empresa piensa que la demanda durante el tiempo de entrega estará distribuida por
Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 66
66
una weibull con parámetros 202,0 yv . El gerente de abastecimiento hace planes
basándose en un tiempo de entrega promedio de una semana. El costo de cada pedido son de
$10.00, mientras que los costos de inventario es de $ 1.00 por unidad por semana y el costo
por déficit es de $15.00. Y una fracción de 0.7 de clientes esta dispuesto a esperar el producto.
¿Calcule el tamaño óptimo del pedido?
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
1h costo por inventario por unidad
15p costo por déficit por unidad
45.35d demanda media
5q tamaño de la orden
10K costo por ordenar
12r precio de venta
5c costo por unidad y
70.0 fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
63.26
1
34.35)0))512)(7.01(15(10(2)())(1(2
h
dsycrpKq d
Paso 2. Con el valor más reciente de q y con las tablas porcentuales de la distribución normal
se encuentra s.
12.2
2
7.0
69.26
45.355127.01151ln20
2
11ln 20
qh
dcrpvs
Paso 3. Con el último valor de s encontrar
s
Ld duufsusy )()()( con su distribución
correspondiente.
001.02
exp)12.2(12.2
20
duu
yd
Paso 4. Con 001.0)12.2( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
65.26
1
34.35)001.0))512)(7.01(15(10(2)())(1(2
h
dsycrpKq d
Paso 5. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
Capítulo 2. 67
67
12.2
2
7.0
65.26
45.355127.01151ln20
2
11ln 20
qh
dcrpvs
Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6).
001.02
exp)12.2(12.2
20
duu
yd
Paso 7. Con 001.0)12.2( dy y encontrar el valor de q correspondiente.
65.26
1
34.35)01.0))512)(7.01(15(10(2)())(1(2
h
dsycrpKq d
Este es el valor de 65.26q ya que no varía con respecto al anterior. Por lo tanto, se
recomienda hacer un pedido de26 ó 27 unidades.
68
Capítulo 3
MODELOS DE INVENTARIOS DINÁMICOS Y CON CADENAS DE
MARKOV
3.1 INTRODUCCIÓN
En los capítulos previos se revisaron los inventarios en un sólo periodo y generalizaron para
dos o más periodos, analizando los casos más comunes y sus generalizaciones a diferentes
familias de distribuciones, ahora en el presente capítulo se escribe brevemente sobre otros dos
tipos de inventarios probabilísticos que hacen falta de analizar, los inventarios dinámico-
probabilísticos y finalmente los inventarios obtenidos mediante cadenas de Markov.
Los inventarios dinámico-probabilísticos como es característico partirán de una demanda
incierta y una función recursiva que determine el costo en cada etapa del inventario para la
toma de la mejor decisión y avanzar a la siguiente etapa.
En el caso de los inventarios obtenidos mediante cadenas de Markov se parte de la
definición de un proceso estocástico, los conceptos básicos de las cadenas de markov, y las
condiciones que debe cumplir una cadena de markov. Finalmente, para la parte de inventarios
se ilustran éstos con un proceso de Poisson.
3.2 MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO
En el modelo dinámico probabilístico la demanda es incierta. Por lo tanto, se siguen los
siguientes pasos para encontrar el modelo.
El problema se divide en etapas,
A cada etapa se le asocian varios estados (número de artículos en el almacén, iy ),
Se toma una decisión en cada etapa (número de artículos por ordenar, iq ),
Con la decisión tomada se transforma el estado actual en un nuevo estado en la etapa
siguiente (función de transición)
Capítulo 3. 69
69
)(1 iiii DEqyy
Observar que dado el estado actual, la decisión óptima para cada una de las etapas
restantes no depende de estados o decisiones previas.
Se obtiene la función recursiva que determina, en la etapa t , el costo correspondiente a
Tttt ,,2,1,
)(min)( *11 iiiiii
qii yJEyhqcKyJ
i (1)
En donde, )(*1 ii yJE es el costo esperado mínimo para el almacenamiento de iy en la
siguiente etapa.
EJEMPLO 20
Se considera el siguiente sistema de inventario durante tres periodos. Al principio de cada
periodo es necesario determinar cuántas unidades producir durante dicho periodo. El costo de
producción es )(qc , donde 0)0( c y para qqc 2030)( . La capacidad de producción está
limitada a 4 unidades durante cada periodo. Después de tener la producción se observa la
demanda aleatoria del periodo que puede ser de 1 o 2 unidades con la misma probabilidad.
Después de satisfacer la demanda se observa la existencia en el almacén a la que se carga un
costo de almacenamiento de $10 por unidad. La capacidad del almacén está limitada a tres
artículos. Se necesita satisfacer a tiempo toda la demanda. La existencia al final del tercer
periodo se remata a $20 la unidad. Al inicio se cuenta con una unidad en la bodega. Use la
programación dinámica para determinar una política de producción que minimice el costo neto
esperado incurrido durante los tres periodos.
Solución
Se determinará la función de transición )(1 iiii DEqyy , para esto se requiere la
demanda esperada. Del enunciado la demanda aleatoria del periodo puede ser de 1 o 2
unidades con la misma probabilidad. Luego, 23)5.0(2)5.0(1)( DE . Así,
231 iii qyy .
Ahora la función recursiva, )(min)( *11 iiiiii
qii yJEyhqcKyJ
i . Para esto
)2()1(2
1
2
1)2(
2
1)1()( 1
*11
*11
*11
*1
*1 iiiiiiiiiiiiii qyJqyJqyJqyJyJE
De tal forma que la función recursiva está dada por:
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 70
70
2
1)2(
2
1)1(min)( 1
*11
*11 iiiiiiiiii
qii qyJqyJyhqcKyJ
i
Etapa 3
En particular la fórmula recursiva en la tercera etapa se debe contemplar que la
existencia al final del tercer periodo se remata a $20 la unidad, pero )(*1 ii yJE se
considera costo, y el remate es ganancia, luego se analiza
)2()1()20(2
11
*11
*1 iiiiii qyJqyJ
151010))(1(30min
21)20(2
1)23(1020))(1(30min
)2()1()20(2
1))(1(min)(
233
32323233
32323333323
3
3
3
yqq
qyqyqyqq
qyqyyhqcqKyJ
q
q
q
En donde, )(x es la función delta de Dirac. La función de transición 23323 qyy .
21 yyi
Costo esperado de
almacenamiento
23323 qyy
Cantidad de
artículos por
ordenar en la
etapa actual
3q
Costos esperado total
151010))(1(30)( 23323 yqqyJ
3 23 0 1515)3(10)0(10)11(30)3(3 J
3 25 1 2515)3(10)1(10)01(30)3(3 J
2 21 0 515)2(10)0(10)11(30)2(3 J
2 23 1 3515)2(10)1(10)01(30)2(3 J
2 25 2 4515)2(10)2(10)01(30)2(3 J
1 21 1 4515)1(10)1(10)01(30)1(3 J
1 23 2 5515)1(10)2(10)01(30)1(3 J
1 25 3 6515)1(10)3(10)01(30)1(3 J
0 21 2 6515)0(10)2(10)01(30)0(3 J
0 23 3 7515)0(10)3(10)01(30)0(3 J
0 25 4 8515)0(10)4(10)01(30)0(3 J
Etapa 2
La función de transición 23212 qyy .
Capítulo 3. 71
71
2
)2()1())(1(min)( 213213
22222122
qyJqyJyhqcqKyJ
q
o sustituyendo 23212 qyy
2
)2()1(151030))(1(30min
2
)2()1()23(1020))(1(30min
2
)2()1())(1(min)(
213213122
2132132122
2132132222212
2
2
2
qyJqyJyqq
qyJqyJqyqq
qyJqyJyhqcqKyJ
q
q
q
Los mejores costos en la etapa 3: 15)3(3 J , 5)2(3 J , 45)1(3 J y 65)0(3 J .
11 yyi
Costo esperado de
almacenamiento
23212 qyy 2q
Costo esperado total periodos del 2 al 3
2
)2()1(
151030))(1(30)(
213213
12212
qyJqyJ
yqqyJ
3 23 0
352
)1()2(15)3(10)0(30)11(30)3( 33
2
JJ
J
3 25 1
652
)2()3(15)3(10)1(30)01(30)3( 33
2
JJ
J
2 21 0
602
)0()1(15)2(10)0(30)11(30)2( 33
2
JJ
J
2 23 1
852
)1()2(15)2(10)1(30)01(30)2( 33
2
JJ
J
2 25 2
852
)2()3(15)2(10)2(30)01(30)2( 33
2
JJ
J
1 21 1
1102
)0()1(15)1(10)1(30)01(30)1( 33
2
JJ
J
1 23 2
1052
)1()2(15)1(10)2(30)01(30)1( 33
2
JJ
J
1 25 3
1052
)2()3(15)1(10)3(30)01(30)1( 33
2
JJ
J
0 21 2
1302
)0()1(15)0(10)2(30)01(30)0( 33
2
JJ
J
0 23 3
1252
)1()2(15)0(10)3(30)01(30)0( 33
2
JJ
J
0 25 4
1252
)2()3(15)0(10)4(30)01(30)0( 33
2
JJ
J
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 72
72
Etapa 1
Por condiciones del problema, 10 y . Luego, la función de transición.
2123 1101 qqyy .
De esta forma la función recursiva de costos
2
)1()(1020))(1(30
2
)2()1(1020))(1(30)(
1212111
10210211101
qJqJyqq
qyJqyJyqqyJ
Se puede hacer sustituyendo la función de transición
2
)1()(530))(1(30
2
)1()()21(1020))(1(30)(
121211
121211101
qJqJqq
qJqJqqqyJ
En donde, los mejores costos en la etapa 2, son: 35)3(2 J , 60)2(2 J , 105)1(2 J y
125)0(2 J .
01 yyi
Costo esperado
de
almacenamiento
1y
Cantidad de artículos
por ordenar en la
etapa actual (1 )
1q
Costo esperado total periodos del 1 al 3
2
)1()(102030)( 1212
1101
qJqJyqyJ
1 21 1
1702
)0()1(
2
110)1(2030)1( 22
1
JJ
J
1 23 2
5.1672
)1()2(
2
310)2(2030)1( 21
1
JJ
J
1 25 3
5.1622
)2()3(
2
510)3(2030)1( 21
1
JJ
J
La solución óptima corresponde al costo esperado de $162.50 que alcanza cuando en la
primera etapa se producen 31 q unidades. Para conocer con cuántas unidades se iniciará en la
etapa 2, se tiene que la demanda por etapa puede ser de 1 o 2 unidades, así es necesario
analizar las dos situaciones. Por ejemplo, si 11 d , entonces la etapa 2 inicia con
3131110 dqy .
Eligiendo el menor costo en la segunda etapa cuando se inicia con 3 unidades, resulta un
costo de 35)3(2 J y se obtiene cuando en la segunda etapa se producen 02 q unidades.
Similarmente se analizan las diferentes opciones de la demanda en la segunda etapa, para ver
con cuántas unidades se deberá iniciar la tercera etapa. En la siguiente tabla se resumen las
diferentes opciones.
Capítulo 3. 73
73
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Pro
ducció
n
1q
Dem
anda
1d
Inicio etapa 2
1101 dqyy
Pro
ducció
n
2q
Dem
anda
2d
Inicio etapa 3
2212 dqyy
Pro
ducció
n
3q
Dem
anda
3d
Final etapa 3
3323 dqyy
(remate)
3 1 3
0 1 2 0 1 1
0 2 0
0 2 1 1 1 1
1 2 0
3 2 2
0 1 1 1 1 1
1 2 0
0 2 0 2 1 1
2 2 0
EJEMPLO 21
Chip Milton vende sudaderas en los juegos de fútbol. Con igual probabilidad puede vender
200 o 400 en cada juego. Cada vez que Chip hace un pedido, paga $5000.00 más $5.00 por
cada sudadera pedida. Cada sudadera se vende a $80.00. Se carga un costo de almacenamiento
de $20.00 por sudadera que sobra al final del juego, debido al costo de oportunidad del capital
ligado a las sudaderas, y a sus costos de almacenamiento. Chip puede almacenar 400
sudaderas cuando mucho después de cada juego. Suponiendo que el número de sudaderas
pedidas por Chip debe ser múltiplo de 100, determine una política de pedidos que maximice
las ganancias netas que se obtengan durante los tres primeros juegos de la temporada. Suponga
que cualquier sobrante tiene un valor de $60.00 por sudadera.
Solución
Se va a determinar la función de transición )(1 iiii DEqyy , para esto se requiere la
demanda esperada. Del enunciado la demanda aleatoria del periodo puede ser de 200 o 400
unidades con la misma probabilidad. Entonces, 300)5.0(400)5.0(200)( DE . Así,
3001 iii qyy .
Ahora la función recursiva, )(min)( *11 iiiiii
qii yJEyhqcKyJ
i . Para esto
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 74
74
)400()200(2
1
2
1)400(
2
1)200()(
1
*
11
*
1
1
*
11
*
1
*
1
iiiiii
iiiiiiii
qyJqyJ
qyJqyJyJE
De tal forma que la función recursiva está dada por:
2
1)400(
2
1)200(min)( 1
*
11
*
11 iiiiiiiiiiq
ii qyJqyJyhqcKyJi
Partido 3
En particular la fórmula recursiva en la tercera etapa se debe contemplar que la existencia al
final del tercer periodo se remata a $60 la unidad, pero )(*1 ii yJE se considera costo, y el
remate es ganancia, luego se considerará )400()200()60(2
11
*
11
*
1 iiiiii qyJqyJ
120004010))(1(5000min
400200)60(2
1
)300(2050))(1(5000
min
)400()200()60(2
1))(1(min)(
233
3232
3233
32323333323
3
3
3
yqq
qyqy
qyqq
qyqyyhqcqKyJ
q
q
q
En donde, )(x es la función delta de Dirac. La función de transición 300323 qyy .
21 yyi
Costo esperado de
almacenamiento
300323 qyy
Cantidad de
artículos por
ordenar en la
etapa actual
3q
Costos esperado total
120004010))(1(5000)( 23323 yqqyJ
400 100 0 4000)400(3 J
300 0 0 0)300(3 J
300 100 100 4000)300(3 J
200 0 100 8000)200(3 J
200 100 200 7000)200(3 J
100 0 200 11000)100(3 J
100 100 300 10000)100(3 J
0 0 300 14000)0(3 J
0 100 400 13000)0(3 J
Capítulo 3. 75
75
Partido 2
La función de transición 300212 qyy .
2
)400()200())(1(min)( 213213
22222122
qyJqyJyhqcqKyJ
q
o sustituyendo 300212 qyy
2
)400()200(60002070))(1(5000min
2
)400()200(
)300(2050))(1(5000
min
2
)400()200())(1(min)(
213213
122
213213
2122
213213
2222212
2
2
2
qyJqyJyqq
qyJqyJ
qyqq
qyJqyJyhqcqKyJ
q
q
q
Los mejores costos en la etapa 3: 4000)400(3 J , 0)300(3 J , 7000)200(3 J ,
10000)100(3 J y 13000)0(3 J .
11 yyi
Costo esperado de
almacenamiento
300212 qyy 2q
Costo esperado total periodos del 2 al 3
2
)400()200(
60002070))(1(5000)(
213213
12212
qyJqyJ
yqqyJ
400 100 0 12000)400(2 J
300 0 100 22000)300(2 J
200 100 200 27000)200(2 J
100 100 300 32000)100(2 J
0 25 400 37000)0(2 J
Partido 1
Por condiciones del problema, 00 y . Luego, la función de transición.
300300 1101 qqyy .
De esta forma la función recursiva de costos
2
)400()200(2050))(1(5000)( 1212
11101
qJqJyqqyJ
Se puede hacer sustituyendo la función de transición
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 76
76
2
)400()200(600070))(1(5000
2
)400()200()300(2050))(1(5000)(
121211
121211101
qJqJqq
qJqJqqqyJ
01 yyi
Costo esperado
de
almacenamiento
30011 qy
Cantidad de artículos
por ordenar en la
etapa actual (1 )
1q
Costo esperado total periodos del 1 al 3
2
)400()200(
6000705000)(
1212
101
qJqJ
qyJ
0 0 400 59000)0(1 J
La solución óptima corresponde al costo esperado de $59000.00 que alcanza cuando en
la primera etapa se hace un pedido de 4001 q unidades. Para conocer con cuántas unidades
se iniciará en la etapa 2, se tiene que la demanda por etapa puede ser de 200 o 400 unidades,
así es necesario analizar las dos situaciones. Por ejemplo, si 2001 d , entonces la etapa 2
inicia con 2002004000110 dqy .
Eligiendo el menor costo en la segunda etapa cuando se inicia con 200 unidades, resulta
un costo de 27000)200(2 J y se obtiene cuando en la segunda etapa se un pedido de
2002 q unidades. Similarmente se analizan las diferentes opciones de la demanda en la
segunda etapa, para ver con cuántas unidades se deberá iniciar la tercera etapa. En la siguiente
tabla se resumen las diferentes opciones.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Ped
ido
1q
Dem
anda
1d
Inicio etapa 2
1101 dqyy
Ped
ido
2q
Dem
anda
2d
Inicio etapa 3
2212 dqyy
Ped
ido
3q
Dem
anda
3d
Final etapa 3
3323 dqyy
(remate)
400 200 200
200 200 200 200 200 200
200 400 0
200 400 0 400 200 200
400 400 0
400 400 0
400 200 200 200 200 200
200 400 0
400 400 0 400 200 200
400 400 0
Capítulo 3. 77
77
GENERALIZACIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO
Generalizando el razonamiento que condujo a la ecuación (1) se tiene lo siguiente: supóngase
que los estados posibles durante el periodo 1t son nsss ,...,, 21 y que la probabilidad de que
el estado del periodo 1t sea ii Pess . Entonces el costo mínimo esperado en que se incurre
durante los periodos ,...,2,1 tt al término del problema, es
n
i
iti sJp1
1 )(
donde )(1 it sJ el costo mínimo esperado en que se incurre desde el periodo 1t hasta el final
del problema, dado que el estado durante el periodo 1t es is .
Figura 3.1 Diagrama de flujo para las etapas de un modelo estocástico dinámico.
Fuente: Elaboración propia
En lo que se refiere este diagrama sea S el numero de estados posibles en la etapa 1n
y etiquete estos estados al lado derecho por S,...,2,1 . El sistema cambia al estado i con
probabilidad ip S,...,2,1 dado el estado ns y la decisión nx en la etapa n . Si el estado
cambia al estado i , iC es la contribución de la etapa n a la función objetivo.
Debido a la estructura probabilística, la relación entre )(),( 1
*
1 nnnnn sJyxsJ
necesariamente es mas complicada que para el caso determinístico. La forma exacta de esta
relación dependerá de la forma global de la función objetivo.
Política Ss,
Para la política de inventario se siguen los siguientes pasos.
Probabilidad Contribución Etapa n+1
de la etapa n
1
1C
)1(*
1nJ
1p
nS nx 2p 1C 2
sp )2(*
1nJ
1C
S
)(*
1 SJ n
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 78
78
1. El costo de producir 0x unidades durante un periodo consta de un costo fijo K y un
costo variable de producción c por unidad.
2. La demanda durante un periodo dado será x con probabilidad )(xp .
3. Se carga un costo de almacenamiento de h por unidad a cada inventario al término del
periodo. Si hace falta, se incurre en un costo d de escasez por unidad. El costo donde
no se permite escasez se puede obtener al hacer muy grande.
4. La meta es reducir al mínimo el costo total incurrido durante los periodos T,...,2,1 .
5. Se debe de satisfacer todas las demandas al final del periodo t .
Scarf (1060) para un problema de inventario así, uso la programación dinámica para demostrar
que: para cada Ttt ,...,2,1 , existe un par de números ),( tt Ss tales que si 1ti , la entrada
inventada por el periodo t , es menor que tS , entonces una unidad 1 tt iS se produce
tt si 1 , entonces es optimo no producir durante el periodo t a esta política se llama política
Ss, .
3.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Un proceso estocástico se puede definir de la siguiente forma:
Sea PF,, un espacio de probabilidad y E un conjunto no vacío. Un proceso estocástico es
una colección de variables aleatorias TtX t : , indexadas por algún conjunto T.
usualmente,
continuotiempoaoestocásticproceso
discretotiempoaoestocásticprocesoT
R
,...2,1,0,
El conjunto E es el espacio de estados si E es numerable se dice que el proceso tiene un
espacio de estado discreto mientras que si E continuo entonces se dice que tiene espacio de
estados continuo.
Por ejemplo, el proceso estocástico ,...,, 321 XXX , puede representar la colección de
niveles semanarios (o mensuales) de inventario de un producto dado, o bien, puede representar
la colección de demandas semanales (o mensuales) de ese producto.
El conjunto T es el conjunto índice del proceso estocástico. Si T es contable, entonces
el proceso es un proceso en tiempo discreto. Si T es un intervalo abierto o cerrado de la recta
real, entonces el proceso es de tiempo continuo. El conjunto de los posibles valores de las
variables aleatorias tX , Tt , es el espacio de estados del proceso. Este espacio de estados
puede ser, también, continuo o discreto.
Capítulo 3. 79
79
3.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS CADENAS DE MARKOV
Un modelo de Markov consiste en un conjunto de estados discretos. Este conjunto es
exhaustivo y describe todos los posibles estados donde el sistema puede estar. La transición
del estado i a j ocurre con una probabilidad ijP .
PROPIEDAD DE LA CADENA MARKOV
Una cadena discreta de markov en un Proceso Estocástico con 0 ZT y que cumple:
SiijiiXjXPiXiXjXP ttttt 101001 ,...,;,,,..., la Probabilidad de
transición.
En palabras, esta propiedad markoviana establece que la probabilidad condicional de
cualquier “evento” futuro dados cualquier “evento” pasado y el estado actual iX t , es
independiente del evento pasado y sólo depende del estado actual del proceso.
Definición. Se dirá que una CM (que cumple con la propiedad marcovina) tiene probabilidad
de transición si1, tt
ijP no dependa de t.
Definición. Si la CM ,...2,,1,0, nPt “es estacionaria” a la matriz SjiijPP
,
1101
1,
tt
tt
ijij XjXPiXjXPPP
Se le conoce como Matriz Transición de Probabilidades a la matriz
nnnn
n
n
PPP
PPP
PPP
P
10
11110
00100
Además, cumplen las filas con la siguiente condición:
iPSj
ij
1 .
Para calcular el tiempo de espera de primera pasada del estado i al estado j . Denote
esta esperanza por ij , que se define por las expresiones.
1,
,
0
)(
0
)(
0
)(
n
n
ij
n
n
ij
n
n
ij
ij
fsinf
fsi
Siempre que
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 80
80
10
)(
n
n
ijf
Entonces ij satisface de manera única, la ecuación
jk
kjikij p 1
Donde )(n
ijf denota la probabilidad de que el tiempo de primera pasada del estado i al j sea
igual a n .
ECUACIONES DE CHAPMAN – KOLMOGÓROV
Las ecuaciones de Chapman – Kolmogórov proporcionan un método para calcular
probabilidades de transición de n pasos.
nmconnyjitodaparaPPPM
k
mn
kj
m
ik
n
ij
0,0
)()()(
Estas ecuaciones señalan que al ir del estado i al estado j en n pasos, el proceso estará
en algún estado k después de exactamente )( nmm pasos.
Así, )()( mn
kj
m
ik PP es sólo la probabilidad condicional de que si se comienza en el estado i ,
el proceso vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en nm pasos.
Proposición. La matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de nn PP .
CLASIFICACIÓN DE ESTADOS DE UNA CADENA DE MARKOV
Definición. Se dice que el estado j es accesible desde el estado i si 0)( n
ijp para alguna
0n .
En general, una condición suficiente para que todos los estados sean accesibles es que exista
un valor de n para el que 0)( n
ijp para toda jyi .
Definición. Si el estado j es accesible desde el estado i y el estado i es accesible desde el
estado j , entonces se dice que los estados jyi se comunican.
En general:
1) Cualquier estado se comunica consigo mismo,
2) Si el estado i se comunica con el estado j , entonces el estado j se comunica con el
estado i y
Capítulo 3. 81
81
3) Si el estado i se comunica con el estado j y el estado j se comunica con el estado k ,
entonces el estado i se comunica con el estado k .
Definición. Se dice que una cadena de Markov es irreducible si existe solo una clase, es decir,
si todos los estados se comunican.
Definición. Sea iif la probabilidad de que el proceso regrese al estado i dado que comienza
en el estado i . El estado i se llama estado recurrente si 1iif y es transitorio si 1iif .
Definición. Se dice que un estado i es absorbente si la probabilidad de transición iip sea
igual a 1.
PROPIEDADES DE LAS CADENAS DE MARKOV A LARGO PLAZO
Distribución límite
La distribución límite es un vector t ,...,, 21 , es la única solución del sistema.
TjPT
k
ijkj ,...,2,1,0,0
.
10
T
k
k
El límite de una matriz de transición es:
jtt
jXP
lim
Justificación
jj
T
k
T
k
t
kjtt
T
k
t
kj
T
k
tt
kXPkXPPjXP
kXPPkXPkXjXPjXP
0
0
0
00
0
0
0
00
limlim
,
Esto es, de forma matricial:
n
n
n
n
nnt
n
nt
n
nt
n
nt
n
t
n
t
n
nt
n
t
n
t
n
t
PPP
PPP
PPP
P
10
10
10
10
11110
00100
limlimlim
limlimlim
limlimlim
lim
Este resultado es importante cuando se calcula un costo promedio a largo plazo asociado a una
cadena de Markov.
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 82
82
El costo promedio esperado en el que se incurre a lo largo de los primeros n periodos está
dado por la expresión
n
t
tXCn
E1
)(1
Sabiendo que
j
n
k
k
ijn
pn
0
1lim
Entonces, el costo promedio esperado por unidad de tiempo (a largo plazo), está dado por
j
M
j
n
t
tn
jCxCn
E
11
)()(1
lim
Las cadenas de Markov estudiadas en este capítulo tienen las siguientes propiedades:
1. Un número finito de estados,
2. Probabilidades de transición estacionarias.
También se supondrá que se conocen las probabilidades iníciales iXP 0 para toda i .
3.3 .2 MODELO CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO POISSON
El proceso de conteo 0),( ttN es un Proceso de Poisson con tasa 0 si
i. 0)( tN ,
ii. El proceso tiene incrementos independientes,
iii. En número de eventos en cualquier intervalo de magnitud t tiene una distribución de
Poisson con media t , es decir,
,...1,0,!
)()( nn
tnsNstNP
n
,
De la condición (iii) se deduce que un proceso de Poisson tiene incrementos
estacionarios y que ttNE )( de donde es llamada la tasa del proceso.
EJEMPLO 22
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar
cada semana. Sean ,..., 21 DD las demandas respectivas de esta cámara durante la primera,
segunda,…, semanas. Se supone que las iD son variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas que tienen una distribución Poisson con media de uno. Sea 0X el
Capítulo 3. 83
83
número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, 1X el número de
cámaras que se tienen al final de la semana uno, 2X el número de cámaras que se tienen al
final de la semana dos, etc. Suponga que 30 X . El sábado en la noche la tienda hace un
pedido que le entregan en el momento de abrir la tienda el lunes. La tienda usa la siguiente
política para ordenar: si no hay cámaras en el inventario, ordena tres cámaras. De otra manera,
si se cuenta con cámaras en el almacén, no se hace el pedido. Se supone que las ventas se
pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, tX para ,...,1,0t es un proceso
estocástico de la forma de que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los
enteros 3,2,1,0 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la
semana. Las variables aleatorias tX son dependientes y se pueden evaluar en forma iterativa
por medio de la expresión
,...2,1,0,
00,
00,3
1
1
1
tparaXsiDXmáx
XsiDmáxX
ttt
tt
t
Solución
tX representa el estado del sistema en el tiempo t dado que el estado actual es iX t . 1tX
depende solo de 1tD (la demanda en la semana 1t ) y 1tX . Como 1tX es independiente de
la historia del sistema de inventarios, el proceso estocástico ,...1,0tX t tiene la propiedad
markoviana y por lo tanto es una cadena de Markov.
Ahora, se obtienen las probabilidades de transición, es decir, los elementos de la matriz
de transición.
3323130
23222120
13121110
03020100
3
2
1
0
3210
pppp
pppp
pppp
pppp
P
estado
Dado que 1tD tiene una distribución Poisson con media uno. Entonces,
,...,1,0,!
1 1
1
nparan
enDP
n
t
Así,
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 84
84
080.0184.0368.0368.01213
184.02
2
368.01
368.00
11
1
1
1
1
1
1
tt
t
t
t
DPDP
eDP
eDP
eDP
Para el primer renglón de P , se trata de la transición del estado 0tX a algún estado
1tX . Como se finió 00,3 11 ttt XsiDmáxX
Por lo tanto, para la transición a ,12,3 111 ttt XoXX
184.02
368.01
368.00
101
102
103
t
t
t
DPp
DPp
DPp
Una transición de 00 1 tt XaX implica que la demanda de cámaras en la semana
1t es 3 o más, después que se agreguen tres cámaras al inventario agotado al principio de la
semana, de manera que 080.03100 tDPp .
Para los otros dos renglones de P, la fórmula que se ocupa para los siguientes estados es
10,11 tttt XsiDXmáxX
Esto implica que tt XX 1 entonces, 0,0,0 231312 ppp . Para las otras
transiciones,
264.0368.0368.01112
368.01
368.00
632.0011
368.00
1120
121
122
1110
111
tt
t
t
tt
t
DPDPp
DPp
DPp
DPDPp
DPp
Para el último renglón de P, la semana 1t comienza con tres cámaras en inventario y
los cálculos de las probabilidades de transición son junto las mismas que para el primer
renglón. En consecuencia, la matriz de transición completa es
368.0368.0184.0080.0
0368.0368.0264.0
00368.0632.0
368.0368.0184.0080.0
3
2
1
0
3210
P
estado
Capítulo 3. 85
85
Ahora, analizando la matriz de transición de probabilidades a dos etapas se tiene que:
165.0300.0286.0249.0
097.0233.0319.0351.0
233.0233.0252.0283.0
165.0300.0286.0249.0
368.0368.0184.0080.0
0368.0368.0264.0
00368.0632.0
368.0368.0184.0080.0
368.0368.0184.0080.0
0368.0368.0264.0
00368.0632.0
368.0368.0184.0080.0
2)2( PP
Por lo tanto, dado que queda una cámara en existencia al final de una semana, la
probabilidad de que no se tenga cámara alguna en existencia 2 semanas más tarde es de
283.0)2(
10 p
Análogamente, dado que quedan 2 cámaras en existencia al final de una semana, la
probabilidad de que se tengan 3 cámaras en existencia 2 semanas más tarde es de
097.0)2(
23 p
Ahora, se obtiene la matriz de transición en 4 pasos.
164.0261.0286.0289.0
171.0263.0283.0284.0
166.0268.0285.0282.0
164.0261.0286.0289.0
165.0300.0286.0249.0
097.0233.0319.0351.0
233.0233.0252.0283.0
165.0300.0286.0249.0
165.0300.0286.0249.0
097.0233.0319.0351.0
233.0233.0252.0283.0
165.0300.0286.0249.0
22)2()2()4( PPPPP
Por lo tanto, dado que resulta en existencia una cámara al final de una semana, la
probabilidad de que no se tengan cámaras en existencias 4 semanas más tarde es de
282.0)4(
10 p
De manera análoga dado que quedan 2 cámaras en existencia al final de una semana, la
probabilidad de que se tengan 3 cámaras 4 semanas más tarde es de
71.1.0)4(
23 p
Modelos de inventarios dinámicos y con cadenas de Markov. 86
86
Finalmente, se calcula el tiempo esperado hasta que ya no se tenga cámaras en el
almacén, suponiendo que el proceso inicia cuando se tienen tres cámaras; es decir, se puede
obtener el tiempo esperado de primera pasada 30 .
Si se considera que todos los estados son recurrentes, el sistema de ecuaciones conduce
al sistema de ecuaciones.
30132012101110
30232022102120
30332032103130
1
1
1
ppp
ppp
ppp
Esto es
1010
201020
30201030
368.01
368.0368.01
368.0368.0184.01
La solución es 50.351.2,58.1 302010 y .
Por lo tanto, el tiempo esperado hasta que la tienda se quede sin cámaras es de 3.5
semanas.
Luego, después de muchas semanas, la probabilidad de encontrar cero, uno, dos y tres
cámaras en el almacén tiende a 166.0263.0,286.0 320 y , respectivamente. Estos
resultados se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
3210
303
3202
32101
32100
1
368.0368.0
368.0368.0368.0
184.0368.0368.0184.0
080.0264.0632.0080.0
y los tiempos de recurrencia correspondientes son
semanas
semanas
semanas
semanas
02.61
79.31
51.31
51.31
3
33
2
22
1
11
0
00
Capítulo 3. 87
87
Por último, supóngase que en el almacén de cámaras se asigna los siguientes costos por
almacenamiento al final de semana:
Si 0tX , entonces 0)0( C .
Si 2tX , entonces 2)1( C .
Si 2tX , entonces 8)2( C y 3tX , 18)3( C .
Finalmente, el costo promedio esperado por semana, a largo plazo, por mantener el
inventario se calcula de la siguiente forma.
67.5)166.0(18)264.0(8)285.0(2)285.0(0)(1
lim1
n
t
tn
xCn
E
88
Capítulo 4
APLICACIÓN
4.1 CASO DE ESTUDIO
Los datos presentados en el caso de estudio pertenecen a una tienda de conveniencia de la cual
no se mencionará su marca comercial ni su ubicación por razones de privacidad comercial. Sin
embargo, es importante mencionar que la tienda en donde se realizó el estudio se encuentra en
una zona mixta, es decir, su demanda es variable ya que en su ubicación se encuentran casas
habitación y oficinas.
Las tiendas de conveniencia son aquellas que basan su éxito en el amplio catálogo que
manejan; alrededor de tres mil artículos, de los cuáles el treinta por ciento es de alta
frecuencia. Estas tiendas están situadas en lugares estratégicos que permiten al cliente tener
casi cualquier producto a su alcance las 24 hrs del día. Esta ventaja en servicio al cliente
representa también un problema en el momento del cálculo de la cantidad de artículos a pedir.
Por esta razón toma importancia la estadística en la teoría de inventarios para el cálculo
de lote económico al mínimo costo. Para ilustrar la aplicación se analiza dos productos de
forma independiente, uno con comportamiento continuo y el otro discreto.
Capítulo 4. 89
89
4.2 METODOLOGÍA
Para la aplicación de los modelos de inventarios revisados en los capítulos previos se propone
la siguiente metodología (mostrada en el diagrama de abajo) que ayude al decisor en un
problema práctico a tomar decisiones sobre la mejor elección del mejor modelo de inventarios.
Posteriormente, se describe cada una de las etapas de la metodología y resolverán dos
problemas.
Inicio
Ordenar la información
Estimación
distribución de la demanda
Prueba de bondad y ajuste
Estimación de los parámetros
Elección del modelo
Estimación
Lote económico q
Selección de la información
Comprobación del modelo
Aplicación. 90
90
4.2.1 inicio
En esta etapa se determinan los tipos de datos que se va a utilizar y su origen.
4.2.2 ORDENAR LA INFORMACIÓN
Se organiza la información para facilitar el manejo, el análisis y la interpretación de los datos.
Generalmente la información se obtiene de bases de datos que no están ordenados para el
análisis que se pretende hacer con éstos, es por ello, que se le da un tratamiento de reorden. En
particular, para los datos procedentes de un inventario se considera lo siguiente.
Los campos más indispensables que se pueden tomar en cuenta en el manejo de la
información para su control y diseños de los modelos son los siguientes:
1. Nombre del artículo.
2. Descripción del artículo.
3. Número de artículo.
4. Código de proveedor.
5. Nombre del proveedor.
6. Costo del artículo.
7. Precio del artículo.
8. Número de movimiento en inventario.
9. Tipo de movimiento en inventario.
I. Entradas.
II. Salidas.
III. Otros movimientos.
10. Descripción de movimiento
11. Número de unidades en existencia
4.2.3 SELECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se toman los datas de interés para su análisis estadístico, previamente ordenados y los que
pueden ser de utilidad para hacer estimaciones sobre la cantidad de lote económico que se
pretende pedir.
4.2.4 DETERMINACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA DEMANDA
Mediante los métodos estadísticos se estima la distribución que siguen las demandas,
partiendo intuitivamente de un histograma para tener una idea del comportamiento de los
datos. Una vez teniendo una distribución inicial de los datos se buscan los estimadores de los
parámetros de dicha distribución. Finalmente se realiza una prueba de bondad de ajuste para
determinar la distribución de la demanda.
Capítulo 4. 91
91
4.2.4.1 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Para la estimación de los parámetros de una distribución, en estadística existen varios
métodos, como el de momentos y máxima verosimilitud (descritos más abajo), que
dependiendo de los tipos de parámetros que se pretende estimar el método puede tomar un
grado de complejidad elevado que no sea posible encontrarlo explícitamente, sino únicamente
por simulación y la solución se determina mediante paquetes estadísticos.
Un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar
un parámetro desconocido de la población. Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio
de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho
artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la media aritmética de las observaciones
puede utilizarse como estimador del precio medio.
Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general, se
escogerá el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgamiento,
eficiencia, convergencia y consistencia.
El valor de un estimador proporciona lo que se denomina en estadística una estimación
puntual del valor del parámetro en estudio. En general, se suele preferir realizar una
estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a,b] dentro del cual se espera
esté el valor real del parámetro con un cierto nivel de confianza. Utilizar un intervalo resulta
más informativo, al proporcionar información sobre el posible error de estimación, asociado
con la amplitud de dicho intervalo. El nivel de confianza es la probabilidad de que a priori el
verdadero valor del parámetro quede contenido en el intervalo.
Los métodos más utilizados para encontrar estimadores:
a) Método de los Momentos
Este método fue propuesto por Pearson (1857-1936) y consiste en igualar un determinado
número de momentos teóricos de la distribución de la población con los correspondientes
momentos muéstrales, para obtener una o varias ecuaciones que, resueltas, permitan estimar
los parámetros desconocidos de la distribución poblacional.
Por ejemplo, sea nXXX ,...,, 11 una m.a.s. de una distribución con función de densidad
),;( 21 xf . Como se tienen 2 parámetros, se consideran los dos primeros momentos respecto
al origen,
dxxfxXn
dxxxfXn
n
i
i
n
i
i
),(1
,),(1
21;2
1
221;
1
b) Máxima Verosimilitud
El método de Máxima Verosimilitud tiene la propiedad de seleccionar como estimación, el
valor del parámetro que maximiza el valor de la probabilidad de la muestra aleatoria
Aplicación. 92
92
observada. El método consiste en encontrar el valor del parámetro que maximiza el valor de la
función de verosimilitud.
Por ejemplo, para una muestra aleatoria nXXX ,...,, 11 de una distribución con función
de probabilidad o de densidad )( ;xf , la función L, se denomina Función de Verosimilitud de
la Muestra:
n
i
iXn xfxxxLi
1
11 );(,...,,;
El Estimador de Maxima Verosímil, ̂ , debe satisfacer la ecuacion
nn xxxLxxxL ,...,,;max,...,,; 1111
,
siendo θ ∈ Θ el Espacio Paramétrico.
El Método de Máxima Verosimilitud tiene la propiedad de proporcionar estimadores que
son funciones de estadísticos suficientes, si y sólo si el Estimador de Máxima Verosimilitud es
único. Debido a la naturaleza de la función L, suele ser más fácil maximizar )ln(L .
4.2.4.2 PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE
Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una
determinada distribución, esta distribución puede estar completamente especificada (hipótesis
simple) o perteneciente a una clase paramétrica (hipótesis compuesta).Con mucha frecuencia
no se conoce la distribución de probabilidad de la variable aleatoria en estudio, digamos X, y
se desea probar la hipótesis de que X sigue una distribución de probabilidad particular. Por
ejemplo, podría ser de interés probar la hipótesis de que X sigue una distribución normal, una
exponencial, etc.
Las pruebas de bondad de ajuste más conocidas son:
La ji – cuadrada,
Kolmogórov – Smirnov,
Shapiro – Wilk.
a) Pruebas 2
Las pruebas 2 , están diseñados para variables aleatorias discretas y continuas con un
número finito de valores, si esto no ocurriese los valores de la variable se agrupan en un
número finito de clases.
Hipótesis nula 00 : FXH
Se puede hacer mediante el estadístico de Pearson.
Capítulo 4. 93
93
Estadístico de Pearson
2
),1(
1
2
2 ~)(
mk
k
i i
iic
np
npn.
En donde, m cantidad de parámetros a estimar.
k - número de clases en la tabla de distribución de frecuencias.
in - el número de datos en la clase i,
n - tamaño de la muestra,
ip - es la probabilidad de que la variable aleatoria X (poblacional) tome valores en
el intervalo i.
En ocasiones se simboliza
esperada frecuencia
observada frecuencia
ii
ii
Fenp
Fon
Regla de decisión:
Rechazar 0H al nivel de significancia , si:2
),1(
2
mkc .
b) Prueba de Kolmogorov -Smirnov
Se basa en el concepto de la función de distribución empírica y sus propiedades como
aproximación de la función de distribución teórica. Dada una muestra aleatoria de una variable
aleatoria continua nXXX ,...,, 21 y una hipótesis simple sobre el comportamiento de esa
variable 00 : FXH considera el estadístico
)()(sup 0 xFxFD nx
n
y rechaza la hipótesis nula cuando el valor de este estadístico es grande. Para estudiar el
comportamiento de nD , cuyos valores están en el intervalo (0,1), y que a medida que el
tamaño de muestra aumenta tiende a tomar valores más próximos a cero (Teorema de
Glivenko-Canteli), se utilizan los estadísticos
)()(sup)()(sup 00 xFxFDxFxFD nx
nnx
n
que permite comprobar que
ni
n
ixFxF
n
iD iin ,...,1
1)(),(max )(0)(0 .
La distribución de nD es independiente de la distribución formulada en la hipótesis
nula, ya que la transformación de los estadísticos ordenados de una variable continúa por su
Aplicación. 94
94
función de distribución da lugar a los estadísticos ordenados de una )1,0(U . En consecuencia
nD está tabulado para muestras de tamaño pequeño y para muestras de tamaño grande se
utiliza la aproximación asintótica
1
21 22
11limi
zii
nrn
en
zDP
La distribución nD sirve para buscar bandas de confianza para la función de distribución
teórica de una variable.
c) Pruebas de normalidad
Comprueban la hipótesis compuesta NormalXH :0
1. Pruebas gráficas basadas en los P-P plots y Q-Q plots.
2. Lillefors: )(ˆ)(sup , xFxFD sxnx
n
| es una modificación de la prueba de Kolmogórov
- Smirnov, de cómo busca los parámetros de la normal a partir de la muestra ya se está
ajustando a la muestra. Por tanto este estadístico toma valores en general menores que
el de K-S y posee unas tablas propias para este caso. Existen tablas especiales para el
caso exponencial.
3. Shapiro – Wilk: ),...,1),(( )()(
2 niEXRW ii , con )(iE Esperanza del estadístico
ordenado de orden i de una muestra aleatoria de tamaño n de N(0,1). Otras expresiones
para este estadístico son:
2
2
)(
2/
1
)(
2
2
)()1(
2/
1
)(
1 )()(
ns
xxa
ns
xxa
W
i
n
i
n
iiin
n
i
n
in
donde los coeficientes )(
1
)( n
in
n
i aa dependen del tamaño de muestra y se buscan en
las tablas de Shapiro – Wilk.
La región crítica de esta prueba es cWRC , donde el valor se obtiene buscando
el comportamiento de W en el caso de que la distribución sea normal.
4. Agostino: se basa en el estadístico
sn
xxin
sn
xn
i
sn
xxi
Diin
n
i
i
n
i
i
n
i
2
)()1(
2/
1
2
)(
1
2
)(
1
)(2
1
2
1)(
se puede utilizar para n>50 y tiene como región crítica 21 cWocWRC ,
donde los límites de la región crítica se encuentran tabulados bajo la hipótesis de
Capítulo 4. 95
95
normalidad. Para tamaños de muestra muy grandes mayores de 250 se utiliza una
aproximación asintótica del estadístico D a una normal.
4.2.5 ELECCIÓN DEL MODELO
En los modelos clásicos sólo se contemplan las demandas, pero en los inventarios de las
tiendas de conveniencia a parte de la demanda se tiene que tomar en consideración que el
reabastecimiento de productos en muchas ocasiones ocurre por devoluciones por parte del
centro de abastecimiento a las tiendas. Dichas devoluciones también son aleatorias y esto
dificulta el problema del inventario, porque se debe tener una demanda real que sería:
devoluciónclientes demanda si;0,
devoluciónclientes demanda si;,devoluciónclientes demandareal Demanda
Es decir, para conocer la distribución de la demanda real se requiere conocer la
distribución de la demanda de los clientes y la distribución de las devoluciones.
Posteriormente, por medio de alguna técnica de transformación de distribuciones encontrar la
distribución deseada.
4.2.6 ESTIMACIÓN DEL LOTE ECONÓMICO (q)
Una vez obtenido la distribución de la demanda se procede a estimar el tamaño del lote
económico, de acuerdo al tipo de demanda se ajustan los modelos propuestos o se deduce otro
modelo.
4.2.7 COMPROBACIÓN DEL MODELO (q)
Con el valor obtenido en la etapa de la sección 4.2.6 se realiza la comprobación de que bajo
este resultado durante los periodos establecidos y tiempos de reorden de inventario no se tenga
un nivel de inventario excesivo, ni tampoco varios días con déficit. Además de que los costos
de inventario sean bajos.
Aplicación. 96
96
4.3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
En la solución de los problemas se omiten los pasos uno a tres, porque los datos se obtuvieron
previamente ordenados por parte de la tienda de conveniencia. Los datos utilizados para el
análisis aparecerán en cada problema.
4.3.1 PROBLEMA UNO (Conchita Encanto 200G)
Salidas Entradas Salidas Entradas Salidas Entradas
20 0 16 6 15 0
10 2 7 3 12 0
19 1 3 4 9 0
17 5 8 0 16 0
12 3 14 1 10 0
14 2 12 3 14 0
4 1 9 0 4 0
11 0 24 0 10 10
20 0 9 0 8 0
21 2 7 2 13 0
11 4
Tabla 4.1. Muestra de la demanda y devoluciones. Salida: ventas diarias del artículo y
Entradas: devoluciones por parte del consumidor.
Fuente. Elaboración propia.
Paso 4.
Se analizan los datos para encontrar una distribución conocida a partir de un histograma de
forma independiente de los datos que se tiene.
Para los datos de la demanda.
Clases Frecuencia
3 6.5 3
6.5 10 7
10 13.5 9
13.5 17 6
17 21.5 5
21.5 24 1
Tabla 4.2. Clases y frecuencias de la demanda.
Fuente. Elaboracion propia.
Capítulo 4. 97
97
Figura 4.1. Histograma de la demanda.
Fuente. Elaboración propia.
Para los datos de las devoluciones.
Clases Frecuencia
0 2 19
2 4 7
4 6 3
6 8 1
8 10 1
Tabla 4.3. Clases y frecuencias de las devoluciones.
Fuente. Elaboracion propia.
Grafica 4.2. Histograma de las devoluciones.
Fuente. Elaboracion propia.
0123456789
10
6.5 10 13.5 17 21.5 24
Cla
se
Frecuencia
Histograma
Demanda
0
5
10
15
20
2 4 6 8 10
Cla
se
Frecuencia
Histograma
Devoluciones
Aplicación. 98
98
Paso 4.1.
Para estimar los parámetros se utiliza el método de máxima verosimilitud.
Para la distribución normal
05.27)(1
1
23.121
1
22
1
n
i
i
n
i
i
xxn
S
xn
X
Para la distribución gamma
El logaritmo natural de la función de verosimilitud es
)(ln)ln()1()ln()ln(11
nxxnLn
i
i
n
i
i
de la anterior ecuación se obtiene un sistema de ecuaciones no lineales, donde )( es la
función digamma que se define como
)()(ln
d
d.
0
0)ln()()ln(
1
1
n
i
i
n
i
i
xn
xnn
por lo que nos lleva a utilizar un paquete estadístico (Proyecto R) para encontrar los
estimadores
8.0ˆ
27.1ˆ
Paso 4.2.
Para corroborar la distribución de los datos se procede a realizar una prueba de normalidad
mediante la prueba Shapiro – Wilk.
Hipótesis
)05.27,23.12(~:)05.27,23.12(~: 00 normalDHvsnormalDH
La estadística de prueba es 976.0W 1 y el valor crítico a un nivel de confianza del 5% es
929.005.0,31 W . Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula.
También se hace la prueba de Kolmogorov – Smirnov.
La estadística de prueba es 098.0D 1 y el valor crítico a un nivel de confianza del 5%
es 278.005.0,31 D . Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula.
Capítulo 4. 99
99
De acuerdo a la prueba de normalidad, los datos presentan indicios de una distribución
normal con parámetros, media 23.12 . y varianza 05.272 .
Por otro lado, se realiza la prueba de bondad de ajuste sobre los datos de las
devoluciones y .se aplica la prueba de la ji – cuadrada Pearson.
Figura 4.3. Prueba de bondad y ajuste, prueba de normalidad en R.
Fuente. Elaboración propia.
Hipótesis
)0.0,27.1(~:)0.0,27.1(~: 00 gammanesdevolucicoHvsgammaesdevolucionH
El estadístico de prueba es
23.39
12
2
2
n
i
ic
xx
donde 56.1x y 97.12 , parámetros poblacionales estimados de la población que tiene
una distribución gamma.
Regla de decisión:
Rechazar :0H la distribución es );( θxf , al nivel de significancia , si: )),1((22 kntc .
Aplicación. 100
100
donde
n: número de observaciones.
k: número de parámetros a estimar.
Ahora se calcula el valor crítico que es
34.412
05.0,28
2
)1( kn
Por lo tanto, la hipótesis nula no se rechaza a un nivel de significancia de %5, esto indica
que las devoluciones tienen una distribución )8.0,27.1(gamma .
Paso 5.
Se determina la forma del modelo que se pretende aplicar para la estimación de la demanda. El
modelo a utilizar es:
devoluciónclientes demanda si;0,
devoluciónclientes demanda si;,devoluciónclientes demandareal Demanda
Paso 6.
De acuerdo a la gráfica anterior, las entradas por devolución tienen un comportamiento de una
distribución gamma con parámetros 8.0,27.1 . Por lo tanto, el promedio de
devoluciones por día es de 1.58 artículos.
Ahora, se estima *q con las dos demandas estimadas, es decir, las diferencia entre la
demanda (normal) y las devoluciones (gamma).
Partiendo de la teoría básica
u
u
cc
cqDP
0
* )(
donde
)8.0,27.1()05.27,23.12(~ gammanormalD
Con la distribución resultante de la suma de una normal y una gamma no se puede
calcular analíticamente la función de densidad, es por esto que se utiliza un método de
aproximación implementado en R (paquete estadístico).
Primeramente se calcula los valores de ucyc0 . Partiendo de los siguientes precios: el
costo por unidad es de $3.22 y el precio de venta es de $4.5.
De esta forma,
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q unidades a $3.22 cada uno ( q22.3 ), venta de unidades a
Capítulo 4. 101
101
$4.5 cada uno ( d5.4 ) y devolución de dq unidades ( )(5.4 dq ).
Obteniendo un costo total de dqdqdq 028.1)(5.45.422.3 . Luego,
28.10 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q unidades a $3.22 cada uno ( q22.3 ) y venta de unidades a
$4.5 cada uno ( q5.4 ). Obteniendo un costo total de qqq 28.15.422.3 .
Luego, 28.1uc .
Finalmente,
23.115.028.128.1
28.1)( **
qqDP
Por lo tanto, es aconsejable pedir un lote económico de 79 artículos semanales.
Paso 7.
En esta etapa se comprueba el modelo como se muestra en la siguiente tabla.
demanda
efectiva
Unidades
calculadas
Cantidad a
pedir q/semanal
demanda
efectiva
Unidades
calculadas
Cantidad a
pedir q/semanal
20 59 79 8 71 79
8 51 13 58
18 33 9 49
12 21 9 40
9 12 24 16
12 0 9 7
3 -3 5 2
11 68 79 15 64 79
20 48 12 52
19 29 9 43
7 22 16 27
10 12 10 17
4 8 14 3
-1 9 4 -1
Tabla 4.4. Análisis de ventas semanales.
Fuente. Elaboración propia.
De acuerdo a la tabla anterior, se concluye que el modelo es adecuado para la estimación de
lote económico semanal, ya que existen pocas unidades de sobre abastecimiento y sólo se
tienen dos días de déficit al mes, que representa un 7% de desabasto.
Aplicación. 102
102
4.3.2 PROBLEMA DOS (Activia bebfres 250G )
Se muestran los datos abajo en la siguiente tabla.
No Salidas No Salidas No Salidas
1 6 12 1 22 1
2 5 13 12 23 0
3 2 14 2 24 3
4 4 15 2 25 8
5 3 16 7 26 5
6 4 17 7 27 3
7 1 18 7 28 3
8 7 19 4 29 3
9 6 20 4 30 4
10 9 21 5 31 1
11 4
Tabla 4.5. Muestra de la demanda.
Fuente. Elaboración propia.
Paso 4.
Se analiza los datos para encontrar una distribución conocida a partir de un histograma.
Clases Frecuencia
0 2 5
2.4 4 8
4.8 6 9
7.2 8 6
9.6 10 2
12 1
Tabla 4.6. Clases y frecuencias de la demanda.
Fuente. Elaboración propia.
De la gráfica siguiente se observa que los datos de la demanda tienen una distribución que se
asemeja a una Poisson. Para verificar esto último se realizará una prueba de bondad de ajuste.
Capítulo 4. 103
103
Grafica 4.4. Histograma de la demanda.
Fuente. Elaboracion propia.
Paso 4.1.
Para estimar los parámetros se utiliza el método de máxima verosimilitud determinando.
Estimador
3.41ˆ
1
n
i
ixn
Paso 4.2.
Para corroborar la distribución de los datos se realiza una prueba de Ji – cuadrada.
Hipótesis
)3.4(~:)3.4(~: 00 PoissonDHvsPoissonDH
El estadístico de prueba es
)1(~)( 2
1
22
mknp
npnk
i i
iic
en donde, m cantidad de parámetros a estimar.
k - número de clases en la tabla de distribución de frecuencias.
in - el número de datos en la clase i,
n - tamaño de la muestra,
ip - es la probabilidad de que la variable aleatoria X (poblacional) tome valores en el
intervalo i.
Ahora se calcula el estadístico y el valor crítico
35.42 c
0239.52
025.0,1
2
)1( mk
0
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 12
Cla
se
Frecuencia
Histograma
Demanda
Aplicación. 104
104
Por lo tanto, la hipótesis nula no se rechaza a un nivel de significancia de %2.5, esto
indica que la demanda tiene una distribución )3.4(Poisson
Paso 5.
Se determina la forma del modelo que se pretende aplicar para la estimación de la demanda. El
modelo a utilizar es:
devoluciónclientes demanda si;0,
devoluciónclientes demanda si;,devoluciónclientes demandareal Demanda
Paso 6.
Como las devoluciones son ceros, entonces el problema se haces más simple.
Ahora, se estimará *q con la distribución obtenida previamente.
Partiendo de la teoría básica
u
u
cc
cqDP
0
* )(
donde
)3.4(~ PoissonD
Se calcula los valores de ucyc0 . Partiendo de los siguientes precios: el costo por
unidad es de $4 y el precio de venta es de $7.
De esta forma,
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q unidades a $4 cada uno ( q4 ), venta de unidades a $7
cada uno ( d7 ). Obteniendo dq 74 . Luego, 40 c .
Si qd se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q unidades a $4 cada uno ( q4 ) y venta de unidades a $7
cada uno ( q7 ). Obteniendo un costo total de qqq 374 . Luego, 3uc .
Finalmente,
527.067.223.7
67.2)( **
qqDP
Por lo tanto, es aconsejable pedir un lote económico de 35 artículos semanales. Pero el
producto se vende por paquete de 10 unidades, entonces se debe comprar 3 paquetes.
Paso 7.
En esta etapa se comprueba el modelo como se muestra en la siguiente tabla.
Capítulo 4. 105
105
Demanda Unidades
calculadas
Cantidad a pedir
q/semanal Demanda
Unidades
calculadas
Cantidad a pedir
q/semanal
6 24 30 2 28 30
5 19 7 21
2 17 7 14
4 13 7 7
3 10 4 3
4 6 4 -1
1 5 5 -6
7 23 30 1 29 30
6 17 0 29
9 8 3 26
4 4 8 18
1 3 5 13
12 -9 3 10
2 -11 3 7
Tabla 4.7. Análisis de la demanda semanal.
Fuente. Elaboración propia.
Analizando la tabla anterior es aceptable el modelo para la estimación del lote
económico. Con déficit de cuatro días, es decir, 14% de desabasto al mes.
106
Conclusiones
Después de realizar el trabajo, se obtiene como punto final que la aplicación de la teoría básica
o clásica de inventarios para estimación del lote económico sin herramientas estadísticas tiene
una alta probabilidad de hacer malas estimaciones del lote económico, esto es, debido a que se
tiene el elemento aleatorio en la demanda de los artículos mismo que está en función de las
necesidades de los clientes.
Por esta razón, la estadística toma importancia en los inventarios, en particular los
modelos probabilísticos clásicos que se generalizan al aplicarse a familias de distribución
conocida, como por ejemplo: Poisson, uniforme, exponencial, normal, entre otras. Con las que
se proporcionan las formulas, resultados y algoritmos para la aplicación de una manera
sumamente sencilla, para la persona que esté interesada en utilizar un tipo de estos modelos,
en la obtención del lote económico.
Los modelos desarrollados son aplicables a inventarios que maneja una tienda de
conveniencia o empresa con características similares en donde se trabaja todos los días y se
tiene demanda constantes y poco espacio de almacenamiento, también se caracterizan por la
ubicación estratégica que poseen y los tipos de consumidores a acuden a estas tiendas.
Por esta razón, se propuso una metodología para la estimación de lote económico en
tiendas de conveniencia. La metodología se probó en dos productos de una tienda de
conveniencia, dando resultados bastantes satisfactorios, comparados con los que ellos obtienen
en la práctica.
Con lo anterior se cumple los objetivos propuestos al inicio de este trabajo ya que se
generalizaron los modelos probabilísticos existentes y que se complementa con la introducción
de otras dos formas de inventarios probabilísticos los cuales son: inventarios dinámicos
probabilísticos y los inventarios que se obtienen por cadenas de Markov.
Finalmente se genera nueva información que no figura en la literatura, en particular lo
desarrollado en el capítulo 2.
107
Bibliografía
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los negocios. 9ª Ed. Bogota: Mc Graw Hill.
[2] Brito, Jose A. (1999). Contabilidad Básica e Intermedia (Contabilidad I y II).
Ediciones Centro de Contadores, 5ª Ed.
[3] Bundich, Frank S. Matemáticas Aplicadas para la Administración, Economía y
Ciencias Sociales. Editorial Mc Graw Hill, 2000.
[4] Feller, William. Introducción a la Teoria de Probabilidades y sus Aplicaciones. Mc
Graw Hill, 2001.
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Administración. Mc. Graw Hill, 2004.
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1995.
[7] H. Ballou Ronald, “Logística. Administración de la cadena de suministro”, Editorial
Prentice Hall, 5ª Ed. México 2004. Decisiones sobre Políticas de Inventarios. Cap. 9.
[8] Hiller, Frederick S. y G. J. Lieberman. Investigación de Operaciones, 7ª Ed. México
Editorial McGraw-Hill, 2002, ISBN 970-10-3486-4.
[9] J. Aquilano Richard, “Administración de la Producción y Operaciones para una
Ventaja Competitiva”, Editorial MacGraw Hill, 10ª Ed. México 2005. Control de
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