VUIBERT
PHYSIQUE MPSI-PCSI-PTSIMĂTHODESâąEXERCICESâąPROBLĂMES
SOMMAIRE1. Oscillateurs harmoniques â 2. Propagation dâun signal â 3. Optique gĂ©omĂ©trique 4. Introduction au monde quantique â 5. Circuits dans lâARQS â 6. Circuits linĂ©aires du premier ordre â 7. Oscillateurs amortis â 8. Filtrage linĂ©aire â 9. CinĂ©matique du point â 10. Loi de la quantitĂ© de mouvement â 11. ĂnergĂ©tique du point matĂ©riel 12. Mouvement de particules chargĂ©es â 13. Loi du moment cinĂ©tique â 14. Mou- vement dans le champ dâune force centrale conservative â 15. Description macro-scopique de la matiĂšre â 16. Description microscopique de la matiĂšre â 17. Premier principe de la thermodynamique â 18. Second principe de la thermodynamique 19. Machines dithermes â 20. Statique des fluides â 21. Champ magnĂ©tique â 22. Forces de Laplace â 23. Lois de lâinduction â 24. Induction de Neumann â 25. Induction de Lorentz.
Les auteurs :Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à Cherbourg.
Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes.
Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.
Marc Strubel est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer à Mulhouse.
ISBN : 978-2-311-40225-4
www. .fr
Des ouvrages pour faire la diffĂ©rence : â des synthĂšses de cours et mĂ©thode pour acquĂ©rir les connaissances indispensables
et rĂ©viser efficacement,â de nombreux exercices intĂ©gralement corrigĂ©s pour sâentraĂźner et se mettre en situation
dâĂ©preuve : exercices guidĂ©s, exercices dâapplication et problĂšmes.
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IQUE
MPSI PCSI PTSI
PHYSIQUEMPSI - PCSI - PTSI
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â Rappels de coursâ Conseils de mĂ©thode â Exercices guidĂ©s â Exercices dâapprofondissementâ ProblĂšmes de synthĂšse â Tous les corrigĂ©s dĂ©taillĂ©s
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MĂTHODESâąEXERCICESâąPROBLĂMES
F. Bruneau
M. Cavelier
Y. Lozier
M. Strubel
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Table des matiĂšres
Chapitre 1. Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Tension exercĂ©e par un ressort ; allongement 5 â 2. Ăquation de lâoscillateur harmo-nique 6 â 3. Solutions de lâĂ©quation de lâoscillateur harmonique 7 â 4. Les fonctionssinus et cosinus en physique 8 â 5. Ănergie mĂ©canique de lâoscillateur harmonique 10 â6. Portrait de phase 11 â Exercices 12 â CorrigĂ©s 17
Chapitre 2. Propagation dâun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271. Exemples de signaux â spectre 27 â 2. Onde progressive 28 â 3. Onde progressivesinusoĂŻdale 30 â 4. InterfĂ©rences entre deux ondes de mĂȘme frĂ©quence 31 â 5. Bat-tements 34 â 6. Ondes stationnaires mĂ©caniques 34 â 7. Diffraction Ă lâinfini 35 â8. Polarisation rectiligne de la lumiĂšre (PCSI) 36 â Exercices 37 â CorrigĂ©s 44
Chapitre 3. Optique gĂ©omĂ©trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511. LumiĂšre dans les milieux 51 â 2. LumiĂšre et miroirs 53 â 3. Les lentilles minces 54 âExercices 56 â CorrigĂ©s 60
Chapitre 4. Introduction au monde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691. Aspect corpusculaire de la lumiĂšre : introduction du photon 69 â 2. La dualitĂ© onde-corpuscule 70 â 3. Fonction dâondes et probabilitĂ©s 71 â 4. Relation dâindĂ©terminationde Heisenberg (PCSI, PTSI) 71 â 5. Quantification de lâĂ©nergie dâune particule confi-nĂ©e 72 â Exercices 73 â CorrigĂ©s 79
Chapitre 5. Circuits dans lâARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851. GĂ©nĂ©ralitĂ©s sur le courant Ă©lectrique 85 â 2. DipĂŽles et courant 86 â Exercices 90 âCorrigĂ©s 94
Chapitre 6. Circuits linĂ©aires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031. Mise en Ă©quation des circuits 103 â 2. DĂ©charge en rĂ©gime libre 106 â 3. Portrait dephase 107 â Exercices 109 â CorrigĂ©s 112
Chapitre 7. Oscillateurs amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211. Circuit oscillant 121 â 2. RĂ©gime sinusoĂŻdal forcĂ© 125 â Exercices 126 â CorrigĂ©s 130
Chapitre 8. Filtrage linĂ©aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391. PĂ©riode et frĂ©quence 139 â 2. Filtre RC sĂ©rie 140 â 3. Les diffĂ©rents filtres 142 âExercices 145 â CorrigĂ©s 149
Chapitre 9. CinĂ©matique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591. Description du mouvement 159 â 2. RepĂ©rages classiques 160 â 3. Vitesse dâun pointdans un rĂ©fĂ©rentiel 162 â 4. LâaccĂ©lĂ©ration dâun point 163 â 5. Choix du repĂ©rage 164 â6. Mouvements fondamentaux 164 â 7. Mouvement des solides 164 â Exercices 166 âCorrigĂ©s 171
1
Table des matiĂšres
Chapitre 10. Loi de la quantitĂ© de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791. ĂlĂ©ments cinĂ©tiques 179 â 2. Les lois de Newton et leurs consĂ©quences 179 â 3. RĂ©-solution dâun problĂšme de mĂ©canique du point 181 â 4. Les forces usuelles 181 âExercices 183 â CorrigĂ©s 190
Chapitre 11. ĂnergĂ©tique du point matĂ©riel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971. Puissance et travail dâune force 197 â 2. ThĂ©orĂšme de la puissance et de lâĂ©nergiecinĂ©tique 197 â 3. Forces conservatives et Ă©nergie potentielle 198 â 4. Ănergie mĂ©-canique 199 â 5. Mouvement conservatif Ă une dimension 199 â Exercices 201 âCorrigĂ©s 205
Chapitre 12. Mouvement de particules chargĂ©es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2131. Force de Lorentz et champ Ă©lectromagnĂ©tique 213 â 2. Mouvement dâune particulechargĂ©e dans un champ Ă©lectrique uniforme et indĂ©pendant du temps 214 â 3. Mouve-ment dâune particule chargĂ©e dans un champ magnĂ©tique uniforme et indĂ©pendant dutemps 215 â 4. Produit vectoriel 216 â Exercices 218 â CorrigĂ©s 223
Chapitre 13. Loi du moment cinĂ©tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2291. Moment cinĂ©tique 229 â 2. Moment dâune force 230 â 3. Loi du moment cinĂ©-tique pour un point matĂ©riel 232 â 4. Solide en rotation autour dâun axe fixeâ 233 â5. Approche Ă©nergĂ©tique pour un solide en rotation et un systĂšme dĂ©formable 233 âExercices 235 â CorrigĂ©s 240
Chapitre 14. Mouvement dans le champ dâune force centrale conservative . . . . 2491. Force centrale conservative 249 â 2. Force centrale et conservation du moment ci-nĂ©tique 250 â 3. Force centrale conservative et conservation de lâĂ©nergie 251 â 4. Casparticulier du mouvement dans un champ newtonien 252 â Exercices 254 â Corri-gĂ©s 258
Chapitre 15. Description macroscopique de la matiĂšre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2651. SystĂšmes et variables dâĂ©tat 265 â 2. Ătat physique et Ă©quation dâĂ©tat 267 â Exer-cices 271 â CorrigĂ©s 276
Chapitre 16. Description microscopique de la matiĂšre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2831. Les trois Ă©chelles 283 â 2. Distribution des vitesses dans un gaz 284 â 3. PressioncinĂ©tique 286 â 4. TempĂ©rature cinĂ©tique 287 â 5. Ănergie interne 287 â Exercices 289â CorrigĂ©s 294
Chapitre 17. Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031. Transformation thermodynamique dâun systĂšme 303 â 2. Ăchange dâĂ©nergie mĂ©ca-nique avec lâextĂ©rieur 304 â 3. Ăchange dâĂ©nergie par transfert thermique avec lâex-tĂ©rieur 305 â 4. Premier principe de la thermodynamique 306 â 5. Enthalpie 308 âExercices 310 â CorrigĂ©s 314
Chapitre 18. Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211. RĂ©versibilitĂ©-IrrĂ©versibilitĂ© 321 â 2. DeuxiĂšme principe 322 â 3. La fonction entro-pie 323 â 4. Bilan entropique 324 â Exercices 325 â CorrigĂ©s 330
2
MĂTHODE
12Chapitre
Mouvementde particules chargées
1. Force de Lorentz et champ électromagnétique
Définition 12.1. Force de Lorentz et champ électromagnétique
Soit, en un point M Ă un instant t , une particule ponctuelle de charge q , demasse m et de vitesse ââvR (M , t ) par rapport Ă un rĂ©fĂ©rentiel R . On nomme force de
LorentzââFL la rĂ©sultante des forces auxquelles elle est soumise du fait de sa charge.
âą La composante deââFL indĂ©pendante de la vitesse est la force Ă©lectrique
ââFE
qui dĂ©finit le champ Ă©lectrique en M Ă lâinstant t dans R ,ââER (M , t ) =
ââFE
q.
âą La composante deââFL dĂ©pendante de la vitesse est la force magnĂ©tique
ââFB
qui dĂ©finit le champ magnĂ©tique en M Ă lâinstant t dans R ,ââBR (M , t ) tel que
ââvR (M , t )â§ââBR (M , t ) =ââFB
q.
Lâensemble des champsââER (M , t ) et
ââBR (M , t ) constitue le champ Ă©lectromagnĂ©-
tique dans le référentiel R .
La force de Lorentz est donc donnée par :
ââFL =q
ïżœââER (M , t )+ââvR (M , t )â§ââBR (M , t )
ïżœ
.
Propriété 12.1. Champ électrique
⹠Le champ électrique est produit par les charges et sa structure dépend deleur répartition spatiale.
⹠En appliquant une différence de potentiel U entre deux plaques planesparallÚles et distantes de d , on obtient un champ électrique perpendiculaire
...
213
Physique MPSI-PCSI-PTSI
aux plans, dirigé dans le sens des potentiels décroissants et de norme E =U
d.
âą Le champ Ă©lectriqueââER (M , t ) sâexprime en V.mâ1.
Propriété 12.2. Champ magnétique
⹠Le champ magnétique est produit par le mouvement des charges et sa struc-ture dépend de celle du mouvement.
âą Le champ magnĂ©tiqueââBR (M , t ) sâexprime en Tesla : T avec 1 T= 1 kg.Aâ1.sâ2.
Propriété 12.3. Une approximation utile
On peut toujours nĂ©gliger le poids dâune particule chargĂ©e devant la force deLorentz.
Propriété 12.4. Puissance de la force de Lorentz
La puissance de la force de Lorentz dans le référentiel R est donnée par :
PR (ââFL ) =q
ââER (M , t ) · ââvR (M , t ).
Elle est donc égale à la puissance dans R de la force électrique. La puissance dansR de la force magnétique est nulle.
Conséquence 12.5.
âą Seul un champ Ă©lectrique peut modifier lâĂ©nergie cinĂ©tique dâune particulechargĂ©e.
âą Un champ magnĂ©tique permet de courber la trajectoire dâune particule sansmodifier son Ă©nergie cinĂ©tique.
2. Mouvement dâune particule chargĂ©e dans un champĂ©lectrique uniforme et indĂ©pendant du temps
Force Ă©lectrique uniquement :ââFE =q
ââE . On note ââv0 la vitesse initiale.
Propriété 12.6. Nature du mouvement
Lâapplication du principe fondamental de la dynamique (PFD) Ă la particulechargĂ©e en mouvement dans R galilĂ©en, permet de montrer que le mouvement estuniformĂ©ment accĂ©lĂ©rĂ©.
214
Chapitre 12 â Mouvement de particules chargĂ©es
MĂTHODEPropriĂ©tĂ© 12.7. Types de trajectoires
LâintĂ©gration des Ă©quations du mouvement obtenues par application du PFDdans R permet dâobtenir le type de la trajectoire en fonction des conditions ini-tiales :
âą Si la vitesse initiale ââv0 de la particule est parallĂšle au champ Ă©lectriqueââE ,
la trajectoire est rectiligne.âą Si la vitesse initialeââv0 de la particule nâest pas parallĂšle au champ Ă©lectriqueââE , la trajectoire est une parabole dâaxe colinĂ©aire Ă
ââE .
DĂ©finition 12.2. Potentiel et Ă©nergie potentielle Ă©lectrostatique
La force Ă©lectrique est conservative. Dans un champ Ă©lectriqueââE , une particule
de charge q acquiert une énergie potentielle définie par :
Ep =qV + c s t e
oĂč V est le potentiel Ă©lectrostatique associĂ© Ă ââE au point oĂč se trouve la particule.
Propriété 12.8. Potentiel électrostatique dans un champ uniforme
Supposons un champ uniforme de la formeââE = Eââux , lâĂ©nergie potentielle dâune
particule de charge est :
Ep (x ) =âq E x + c s t e .
Le potentiel Ă©lectrostatique associĂ© au champ uniformeââE = Eââux est donc :
V (x ) =âE x .
DĂ©finition 12.3. Ălectron-volt
1 eV= 1, 6.10â19 J correspond Ă lâĂ©nergie quâacquiert un Ă©lectron accĂ©lĂ©rĂ© dansune diffĂ©rence de potentiel de 1 V.
3. Mouvement dâune particule chargĂ©e dans un champmagnĂ©tique uniforme et indĂ©pendant du temps
Force magnĂ©tique uniquement :ââFB =qââv â§ââB . On note ââv0 la vitesse initiale.
Propriété 12.9. Mouvement et pulsation cyclotron
Le mouvement dâune particule chargĂ©e de charge q et de masse m dans un
champ magnĂ©tiqueââB uniforme et stationnaire est dans le cas oĂč la vitesse initiale
ââv0 de la particule est orthogonale au champ magnĂ©tiqueââB , un mouvement circu-
...
215
Physique MPSI-PCSI-PTSI
laire uniforme Ă la vitesse angulaireÏ=âq B
m. La valeur absolue deÏ correspond
Ă la pulsation cyclotronÏc =|q |Bm
.
Propriété 12.10. Trajectoire
Le cercle suivi par la particule est telle que :
âą il est inscrit dans la plan perpendiculaire Ă ââB ;
⹠le sens de parcours dépend du signe de q ;
⹠son rayon est donné par R =m v0
|q |B.
MĂ©thode : Ă©tude du mouvement
âą Lâapplication du thĂ©orĂšme de lâĂ©nergie cinĂ©tique permet de montrer que lemouvement est uniforme : la norme de la vitesse reste constante.
âą On admet que la trajectoire est circulaire. On Ă©crit le principe fondamental dela dynamique et on projette sur le repĂšre des coordonnĂ©es polaires (ââu r ,ââuΞ )dĂ©finies dans le plan du cercle. La projection suivantââuΞ permet de montrerlâuniformitĂ©, la projection suivant ââu r permet dâobtenir lâexpression de la
vitesse angulaireÏ=âq B
m.
4. Produit vectoriel
Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 1
ââA
ââB
ââC
O
âââC â= âââA ââââB âsinΞ .
La direction deââC est donnĂ©e par la rĂšgle du tournevis :
un tournevis tournant deââA vers
ââB progresse dans le sens de
ââC .
ââC est perpendiculaire au plan (
ââA ,ââB ).
Propriété 12.13.
Le produit vectoriel est :
âą nul si et seulement si lâun des vecteurs est nul ou si les deux vecteurs sontcolinĂ©aires ;
âą anticommutatif :ââA â§ââB =âââB â§ââA ;
âą distributif Ă gauche et Ă droite sur lâaddition :ââA â§
ïżœââB +
ââCïżœ
=ââA â§ââB +
...
216
Chapitre 12 â Mouvement de particules chargĂ©es
MĂTHODEââ
A â§ââC et
ïżœââB +
ââCïżœ
â§ââA =ââB â§ââA +ââC â§ââA ;
âą pour tout rĂ©el n : (nââA )â§ââB =ââA ⧠(nââB ) = n (
ââA â§ââB ).
Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 2
Dans la base cartĂ©sienne on a : ââux â§ââu y =ââu z et ââu z â§ââux =
ââu y et ââu y â§ââu z =ââux .
Ainsi pour un vecteurââA = Ax
ââux + Ayââu y + Az
ââu z et un vecteurââB = Bx
ââux +Byââu y + Bz
ââu z on obtient :
ââA â§ââB =âââB â§ââA =
ïżœ
Ay Bz âAz By
ïżœââux +(Az Bx âAx Bz )ââu y +
ïżœ
Ax By âAy Bx
ïżœââu z .
217
ExercicesMouvement de particules chargées
On donne : masse de lâĂ©lectron : m = 9.10â31 kg ; charge Ă©lĂ©mentaire e = 1, 6.10â19 C ;intensitĂ© de la pesanteur g = 9, 81 msâ1 ; masse du proton mp = 1, 67.10â27 kg.
Dans tous les exercices le rĂ©fĂ©rentiel dâĂ©tude est le rĂ©fĂ©rentiel du laboratoire supposĂ©galilĂ©en.
Exercices guidés
Exercice A (10 min.)
En chauffant par effet Joule un filament de matĂ©riau rĂ©fractaire Ă suffisamment hautetempĂ©rature, une faible fraction de ses Ă©lectrons peuvent acquĂ©rir lâĂ©nergie nĂ©cessairepour quitter le filament (effet thermoĂ©lectronique). Ainsi, pendant des dĂ©cennies, lasource dâĂ©lectrons habituellement utilisĂ©e Ă©tait constituĂ©e par un filament de tungstĂšneportĂ© Ă 2 500°C.
On suppose quâun Ă©lectron quitte le filament avec une vitesse initiale nulle et quâilest accĂ©lĂ©rĂ© vers une plaque portĂ©e au potentiel Vf = 100 volts, le filament Ă©tant aupotentiel nul. La distance entre le filament et les plaques est d = 1 cm. On fera commesi le champ Ă©lectrique entre le filament et la plaque Ă©tait uniforme. Montrer quâon peutnĂ©gliger le poids devant la force Ă©lectrique. Quelle est en joules puis en Ă©lectron-volts,lâĂ©nergie cinĂ©tique Ec f de lâĂ©lectron sur la plaque ? Quelle est la durĂ©e du trajet entre lefilament et la plaque ?
Exercice B (20 min.)
Un Ă©lectron ayant une vitesse initialeââv0 faisant un angle α avec lâhorizontale, pĂ©nĂštreen O dans une rĂ©gion de lâespace dĂ©limitĂ© par deux plaques horizontales de longueurL = 5 cm, sĂ©parĂ©es dâune distance d = 2 cm. Le champ Ă©lectrique entre les plaque estââE = E0
ââu y avec E0 = 103 V.mâ1.
y
xO |Iα
ââv0
L
d
Figure 12.1. Mouvement dâun Ă©lectron dans un champ Ă©lectrique
218
Chapitre 12 â Mouvement de particules chargĂ©es
1) DĂ©terminer un encadrement de la norme de la vitesse initiale v0 pour que lâĂ©lec-tron ne touche aucune des plaques.
2) Quelle vitesse initiale v0 doit-on donner pour que lâĂ©lectron passe en sortie aumilieu des deux plaques ?
Exercice C (15 min.)
1) On considĂšre deux situations pour une particule chargĂ©e positivement se dĂ©pla-çant dans le plan horizontal xOy Ă la vitesse ââv . Dans la situation 1, sa vitesseââv1 faisant un angle α= 45° avec lâaxe Ox . Elle subit alors une force magnĂ©tiqueââF1 dirigĂ©e suivant ââu z . Dans la situation 2, sa vitesse ââv2 , de mĂȘme norme quâen
situation 1, est suivant Oy et elle subit une force magnĂ©tiqueââF2 dirigĂ©e suivant
âââu z . Les deux forces ont exactement la mĂȘme norme. DĂ©terminer lâorientationdu champ magnĂ©tique.
z
y
x
O
α
ââu z
ââF1
ââv1
Situation 1
z
y
x
O
ââu z
ââF2
ââv2
Situation 2
Figure 12.2. Mouvement dâune particule chargĂ©e dans un champ magnĂ©-tique
2) On considĂšre dĂ©sormais une particule de charge q = â10e avec une vitessev0 = 106 m.sâ1 dans le plan xOy faisant un angle α= 45° avec lâaxe Ox . Le champmagnĂ©tique uniforme et stationnaire a une intensitĂ© de B0 = 0, 05 T.
(a) On choisitââB = B0
ââu z , dĂ©crire la force agissant sur la particule.
(b) On observe une force magnĂ©tiqueââFm = Fââu z avec F = 2.10â14 N, dĂ©crire le(s)
champ(s) magnétique(s) possible(s).
219
EXERCICES
Physique MPSI-PCSI-PTSI
Exercices
Exercice 1 (20 min.)
Q P Qâ
Pâ
T1 T2 T3ââv1
UPQ
UP âČQ âČ
ââux
ââu y
âąââu z
Figure 12.3. Filtre sélectif
1) On fait arriver avec une vitesse nĂ©gligeable, des ions 3517C l â de masse m1 et 37
17C l â
de masse m2 en un point T1. Ils sont accĂ©lĂ©rĂ©s sous une diffĂ©rence de potentielUPQ =VPâVQ =U0 = 100 V. DĂ©terminer les vitesses v1 et v2 au point T2. On donne :masse molaire de lâion 35
17C l â M 1 = 35 g.molâ1, masse molaire de lâion 3717C l â
M 2 = 37 g.molâ1, nombre dâAvogadro NA = 6, 02.1023 molâ1.2) Entre les deux plaques parallĂšles P âČ et Q âČ distantes de d = 5 cm on impose une
diffĂ©rence de potentiel UP âČQ âČ = VP âČ âVQ âČ =U1 = 200 V et un champ magnĂ©tiqueââB = B0
ââu z uniforme. DĂ©terminer la valeur que doit avoir B0 pour que seules lesions 35
17C l â aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent par le trou T3.3) On conserve la valeur prĂ©cĂ©dente de B0. Quelle valeur U2 faut-il imposer Ă UP âČQ âČ
pour que seuls les ions 3717C l â aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent
par le trou T3. Comment agir sur UPQ , pour obtenir le mĂȘme rĂ©sultat en conservantles valeurs U1 et B0 ?
Exercice 2 (15 min.)
Dans lâexpĂ©rience de Millikan, on pulvĂ©rise finement un liquide pour obtenir desgouttelettes supposĂ©es sphĂ©riques de rayon r . Les gouttelettes pĂ©nĂštrent entre deuxplaques planes horizontales placĂ©es dans lâair. On envoie pendant un bref instant unfaisceau de rayons X pour fixer des charges Ă©lectriques sur les gouttelettes. On considĂšreune gouttelette portant une charge q . On effectue deux manipulations :
âą On impose un champ Ă©lectrique uniforme E entre les plaques pour obtenir lâĂ©qui-libre de la gouttelette.
âą On supprime le champ E et on mesure la vitesse limite vl de chute de la goutte-lette.
Montrer que ces deux manipulations permettent dâobtenir la valeur de la charge qen fonction de η viscositĂ© de lâair, vl , Ï la masse volumique du liquide, Ïa la massevolumique de lâair, g intensitĂ© de la pesanteur et E . On donne le loi de Stockes pour lefrottement F = 6Ïηr v avec v vitesse de la gouttelette de rayon r .
220
Chapitre 12 â Mouvement de particules chargĂ©es
Exercice 3 (15 min.)
O1 2 345 ââux
ââu y
ââv0
âąââu z
âąââB
Figure 12.4. Trajectoires dans un champ magnétique uniforme
Tous les ions sont soit de chargeâe soit de charge+e et sont injectĂ©s en O avec la mĂȘme
vitesse initiale ââv0 . Le champ magnĂ©tique est uniforme et stationnaireââB = Bââu z . La
trajectoire 1 correspond à un ion Li+ de masse m1 = 6,9 u.m.a (1 u.m.a= 1,66.1027 kg.AprÚs avoir déterminé le rayon du cercle pour une particule de charge q et de masse m ,calculer la charge et la masse des particules des trajectoires 2, 3, 4 et 5.
Exercice 4 (20 min.)
Un cyclotron est formĂ© de deux demi-cylindres, appelĂ©es "Dees", Ă lâintĂ©rieur desquels
rĂšgne un champ magnĂ©tique uniformeââB perpendiculaire au plan des demi-cylindres.
Une tension U , de frĂ©quence f , appliquĂ©e entre les deux "Dees", permet dâaccĂ©lĂ©rer leproton Ă chaque passage dans lâespace entre les "Dees". Les protons sont injectĂ©s aucentre S.
âąS
ââux
ââu y
âąââu z
âąââB
âąââB
Figure 12.5. Cyclotron
On veut obtenir un faisceau de proton de Ec m a x = 1 MeV sur une derniĂšre trajectoirecirculaire de rayon Ă©gal Ă rm a x = 50 cm aprĂšs aprĂšs avoir effectuĂ© 100 tours dans lecyclotron.DĂ©terminer lâintensitĂ© du champ magnĂ©tique, la valeur de U et le frĂ©quencef .
Exercice 5 (20 min.)
Une particule de masse m , de charge Ă©lectrique q est introduite sans vitesse initiale Ă lâorigine O dâun rĂ©fĂ©rentiel galilĂ©en (O,x , y , z ). Dans lâespace rĂšgnent un champ Ă©lec-
trique uniformeââE = Eââu y et un champ magnĂ©tique uniforme
ââB = Bââu z . DĂ©terminer
x (t ), y (t ) et z (t ).
221
EXERCICES
Physique MPSI-PCSI-PTSI
Exercice 6 (15 min.)
Un proton sans vitesse initiale est accĂ©lĂ©rĂ© par une diffĂ©rence de potentiel de 103 Vpuis pĂ©nĂštre dans une rĂ©gion de lâespace oĂč rĂšgne un champ magnĂ©tique uniforme. Satrajectoire est dâabord un cercle de rayon r1 = 10 cm. AprĂšs 20 tours le rayon nâest plusque de r2 = 9, 5 cm. Ăvaluer la force de frottement produite par les molĂ©cules de gaz quifrappent le proton le long de sa trajectoire.
Exercice 7 (20 min.)
POUR ALLER PLUS LOIN
Dans le cadre de la mĂ©canique relativiste, pour une particule de masse m et de vitesseââv la quantitĂ© de mouvement a pour expression ââp = Îłmââv oĂč Îł =
1Ă
1âv 2
c 2
, lâĂ©nergie
cinĂ©tique est donnĂ©e par Ec = (Îłâ1)m c 2 enfin lâĂ©nergie totale vĂ©rifie E 2 = p 2c 2+m 2c 4.
En mĂ©canique relativiste, le principe fondamentale de la dynamique sâĂ©crit dans un
rĂ©fĂ©rentiel galillĂ©en comme en mĂ©canique classiquedââpd t=ââF . Nous allons Ă©tablir la loi
de vitesse relativiste pour une particule de charge q et de masse m placée avec une vitesse
initiale nulle dans un champ Ă©lectriqueââE = Eââux
1) Montrer que : p =q E0t ou Îłm v =q E0t . La prĂ©sence du terme Îł dans lâexpression dela quantitĂ© de mouvement nous empĂȘche dâintĂ©grer une seconde fois directement.
2) En utilisant lâĂ©quation prĂ©cĂ©dente et lâexpression de lâĂ©nergie totale de la particuledonnĂ©e dans le texte, trouver la loi de la vitesse v (t ).
3) Montrer que dans le cas des champs électriques faibles on retrouve la loi classiquedu mouvement uniformément accéléré.
222
CORRIGĂS
CorrigésMouvement de particules chargées
Corrigés des exercices guidés
Exercice A
On considĂšre le champ uniforme donnĂ© par E =Vf â0
d= 104 . Calculons
e E
m g=
1, 8.1014. Le poids de lâĂ©lectron est bien nĂ©gligeable devant la force Ă©lectrique.
La force Ă©lectrique est conservative, lâĂ©nergie mĂ©canique Em = Ec +Ep = Ec â e V delâĂ©lectron est constante. LâĂ©lectron quitte le filament avec une Ă©nergie mĂ©canique nullecar sa vitesse initiale est nulle et le potentiel du filament est nul. On a donc :
Ec f â e Vf = 0 soit Ec f = e Vf = 1, 6.10â17 J = 100 eV.
Choisissons le champ électrique uniforme suivant un axe Ox avec O point de départ
de lâĂ©lectron sur le filament :ââE = â
Vf
dââux . Le signe â est dĂ» au fait que le champ
Ă©lectrique est dans le sens des potentiels dĂ©croissants donc de la plaque vers le filament.Lâapplication du principe fondamentale de la dynamique Ă lâĂ©lectron nous donne :
mââa =e Vf
dââux soit en projection sur Ox : x =
e Vf
m d.
On intĂšgre deux fois en tenant compte des conditions initiales x (0) = 0 et x (0) = 0 et onobtient :
x (t ) =e Vf t 2
2m dainsi la durée pour avoir x = d : t f =
r
2m d 2
e Ve= 3, 35 ns.
Exercice B1) Appliquons le principe fondamental de la dynamique Ă lâĂ©lectron : mââa =âe E0
ââu y .
Le mouvement est uniformĂ©ment accĂ©lĂ©rĂ© avecââa =âe E0
ââu y
m. Projetons sur Oy puis
intégrons en tenant compte des conditions initiales y (0) = 0 et y (0) = v0 sinα :
y =âe E0
msoit y =
âe E0t
m+v0 sinα et ainsi y =
âe E0t 2
2m+v0t sinα.
Projetons sur Ox puis intégrons en tenant compte des conditions initiales x (0) = 0 etx (0) = v0 cosα :
x = 0 soit x = v0 cosα et ainsi x = v0t cosα.
223
Physique MPSI-PCSI-PTSI
En Ă©liminant le temps on obtient comme dans lâĂ©tude de la chute libre lâĂ©quation de latrajectoire qui est une parabole :
y =âe E0x 2
2m v 20 cos2α
+x tanα.
En x = 0, 05 m, il existe deux positions extrĂȘmes de passages en y =+0, 01 m et y =â0, 01
m. DĂ©terminons les vitesses v0 =
r
e E0x 2
2m cos2Î±ïżœ
x tanαâ yïżœ associĂ©es au passage par
ces points Ă lâaide de lâĂ©quation de la trajectoire. On obtient pour le point (0,05,0,01)v01 = 3,23.106 m.sâ1 et pour le point (0,05,â0,01) v01 = 3,17.106 m.sâ1. LâĂ©lectron netouchera aucune des deux plaques si v02 < v0 < v01.
2) Pour passer en (0, 05, 0) il faut imposer une vitesse v0 =
Ă
e E0x
2m cosαsinα= 3, 20.106
m.sâ1.
Exercice C1) Utilisons la mĂ©thode 1 du calcul du produit vectoriel. Notons Ξ1 lâangle entre ââv1
et le champ magnĂ©tiqueââB et Ξ2 lâangle entre ââv2 et le champ magnĂ©tique
ââB . On a
dâaprĂšs le texte :
âââF1 â= âââF2 â soit âââv1 ââ
ââB âsinΞ1 = âââv2 ââ
ââB âsinΞ2.
Les vitesses Ă©tant de mĂȘme norme, les angles Ξ1 et Ξ2 sont nĂ©cessairement Ă©gaux et
le champ magnĂ©tiqueââB est donc la bissectrice de lâangle compris entre ââv1 et ââv2 . Le
champ magnĂ©tiqueââB fait donc un angle de 67, 5° avec lâaxe Ox .
2) (a) Utilisons la mĂ©thode 2 du calcul du produit vectoriel.ââF =qââv0 â§
ââB =â10e
ïżœ
v0 cosαââux +v0 sinαââux
ïżœ
⧠B0ââu z = 10e v0 B0
ïżœ
cosαââu y â sinαââux
ïżœ
.
La force fait un angle de 135° par rapport Ă lâaxe Ox et son intensitĂ© est de 8.10â14 N.(b) La force Ă©tant suivant Oz le champ magnĂ©tique doit ĂȘtre dans le plan xOy . Si on
note Ξ lâangle entre ââv0 etââB , on a : F = 10e v0 B0 sinΞ . On obtient sinΞ = 0, 25 soit deux
valeurs possibles de Ξ : 14, 5° ou 165, 5°.
Si on choisit la premiĂšre valeur, le champ magnĂ©tiqueââB est donc Ă 30, 5° de lâaxe Ox .
Corrigés des exercices
Exercice 1
1) La charge des ions est q =âe . La masse dâun ion 3517C l â est donnĂ©e par m1 =
M 1
NA.
Par conservation de lâĂ©nergie mĂ©canique entre les plaques P et Q , on a :
1
2m1v 2
1 +qVP =qVQ soit v1 =Ă
2e NAU0
M 1= 23, 5.103 m.sâ1.
224
CORRIGĂS
Chapitre 12 â Mouvement de particules chargĂ©es
De mĂȘme pour les ions 3717C l â on trouve v2 = 22, 8.103 m.sâ1.
2) Un ion va ĂȘtre soumis Ă la somme de la force Ă©lectriqueââFE =q
U1
dââu y et de la force
magnĂ©tique FB =qââv â§ââB . La mouvement des ions 3517C l â sera rectiligne uniforme sâil y
a compensation exacte entre lâaction des forces Ă©lectrique et magnĂ©tique :
qU1
dââu y +qv1 B0
ââux â§ââu z âqU1
dââu y âqv1 B0
ââu y soit B0 =U1
d v1= 0, 17 T.
3) De mĂȘme quâĂ la question prĂ©cĂ©dente, il faut U2 = B0d v2 = 194 V.Si on souhaite conserver les rĂ©glages de la question mais obtenir une trajectoire
rectiligne pour les ions 3717C l â, il faut modifier UPQ pour changer la vitesse v2 et lâamener
Ă la valeur de v1. On doit imposer U âČ0 =m2v 2
1
2e= 106 V.
Exercice 2Ăcrivons lâĂ©quilibre des forces subies par la gouttelette dans la premiĂšre manipulation
(on suppose q positif) :
qââE +
4
3ÏÏr 3ââgïžž ïž·ïž· ïžž
poids de la gouttelette
â4
3ÏÏa r 3ââgïžž ïž·ïž· ïžž
poussĂ©e dâArchimĂšde
=ââ0 .
On en déduit la charge :
q =4Ïr 3
ïżœ
ÏâÏaïżœ
3E.
Il faut donc obtenir le rayon de la gouttelette et câest lâobjet de la deuxiĂšme manipulation.
Ăcrivons le principe fondamental de la dynamique en absence de champââE :
mdââvd t=
4
3ÏÏr 3ââgïžž ïž·ïž· ïžž
poids de la gouttelette
â4
3ÏÏa r 3ââgïžž ïž·ïž· ïžž
poussĂ©e dâArchimĂšde
â 6Ïηrââvïžž ïž·ïž· ïžž
force de Stockes
.
En rĂ©gime permanent on atteint la vitesse limiteââvl telle que :
ââ0 =
4
3ÏÏr 3ââg â
4
3ÏÏa r 3ââg â6Ïηrââvl soit r =
r
9ηvl
2ïżœ
ÏâÏaïżœ
g.
En reportant dans lâexpression de q , on obtient :
q =18Ï
E
r
η3v 3l
2ïżœ
ÏâÏaïżœ
g.
225
Physique MPSI-PCSI-PTSI
Exercice 3Appliquons le principe fondamental de la dynamique Ă une particule de charge q et
de masse m : mââa =qââv â§ââB . La trajectoire et un demi cercle de centre C de rayon R .Projetons sur un repĂšre polaire de centre C dans le plan du demi-cercle. (C ,ââu r ,ââuΞ ,ââu z
forment un triĂšdre direct. On a :
mââa =âmv 2
0
Rââu r =qv0 Bââu r et donc R =
m v0
|q |B.
La force magnétique en O est :
ââF0 =qv0
ââu y ⧠Bââu z =qv0 Bââux ,
les ions positifs vont vers la droite (ce qui est cohĂ©rent avec la trajectoire 1 pour lâionLi+), les ions nĂ©gatifs vers la gauche.
On peut donc conclure sur les charges : +e pour 2 et 3 âe pour 4 et 5. On obtient lesmasses en comparant le rayon R1 de 1 avec le rayon Ri de i . Ainsi :
m i =m1Ri
R1.
On trouve ainsi : m2 =m4 = 1, 5m1 et m3 = 3m1 et enfin m5 = 2, 5m1.
Exercice 4
Les protons ont en sortie une vitesse vm a x =
r
2Ec m a x
mp. Nous savons que le rayon
de la trajectoire est alors Rm a x = 0.5 m et nous avons vu dans lâexercice prĂ©cĂ©dent
Rm a x =mp vm a x
e B.
On obtient ainsi B =
p
2mp Ec m a x
e rm a x= 0.29 T.
Les protons doivent ĂȘtre accĂ©lĂ©rĂ©s Ă chaque demi-tour quand ils passent dans lâespaceentre les « Dees ». Ă chaque passage la variation dâĂ©nergie cinĂ©tique est par le thĂ©orĂšmede lâĂ©nergie cinĂ©tiqueâEc = eU . On a 200 passages donc Ec m a x = 200eU et U = 5 kV.
Pour accĂ©lĂ©rer le proton il faut inverser le sens du champ avec la mĂȘme pulsation que
la pulsation cyclotron du mouvement soit une fréquence f =e B
2Ïmp= 4, 4 MHz.
Exercice 5Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la particule dans le référentiel
galilĂ©en du laboratoire : mââa =qââE +qââv â§ââB . Projetons suivant les axes Ox , Oy et Oz
et on doit donc résoudre le systÚme différentiel 1 :
x =Ïc y
y =ÏcE
BâÏc x .
z = 0
226
CORRIGĂS
Chapitre 12 â Mouvement de particules chargĂ©es
Une premiÚre intégration sur le temps (en tenant compte des conditions initiales (x (0) =0, y (0) = 0, z (0) = 0) en (0, 0, 0) nous donne le systÚme 2 :
x =Ïc y
y =ÏcE t
BâÏc x .
z = 0
La derniĂšre Ă©quation du systĂšme 2 montre que z = 0 quelque soit t : le mouvementsâeffectue dans le plan xOy . Combinons la premiĂšre relation du systĂšme 2 avec ladeuxiĂšme relation du systĂšme 1, on obtient une Ă©quation en y :
y +Ï2c y =Ïc
E
B= 0 qui donne y (t ) =
E
Ïc B(1â cosÏc t )
On intĂšgre alors :
x =Ïc y =E
B(1â cosÏt ) on obtient : x (t ) =
E t
Bâ
E
BÏcosÏt .
Exercice 6Voici un exemple de solution possible.
Estimons tout dâabord la longueur du parcours effectuĂ© par le proton. Le rayon moyendes cercles est de rm = 9, 25 cm. On peut donc estimer la longueur Ă l = 20.2Ïrm = 11, 62m.
Déterminons la vitesse initiale sur la trajectoire de rayon r1. Accélérés sous 103 Vles protons de charge e acquiÚrent une énergie cinétique de Ec 1 = 1 keV. On a donc
v1 =
r
2Ec 1
mp= 4, 38.105 m.sâ1.
Estimons la vitesse sur la trajectoire de rayon r2. Nous avons vu dans lâexercice 6 que
R =m v
q B. On a donc :
v1
r1=
v2
r2et ainsi v2 = v1
r2
r1= 4, 15.105 m.sâ1.
On suppose que le frottement est une force constante F et opposĂ©e au mouvement.Son travail sur les 20 tours est rĂ©sistant et environ Ă©gal Ă W =âl F .
En appliquant le thĂ©orĂšme de lâĂ©nergie cinĂ©tique entre lâĂ©tat initial et lâĂ©tat final, onobtient :
âl F =1
2mp v 2
2 â1
2mp v 1
2 soit F = 1, 3.10â18 N.
Exercice 71) Appliquons le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen
du laboratoire en projection sur la direction Ox puis intĂ©grons en tenant compte du faitque la vitesse, et donc la quantitĂ© de mouvement, soit nulle Ă lâinstant initial.
227
Physique MPSI-PCSI-PTSI
dââpd t=q E0
ââux soit p =q E0t ou Îłm v =q E0t .
La prĂ©sence du terme Îł dans lâexpression de la quantitĂ© de mouvement nous empĂȘchedâintĂ©grer une seconde fois directement.
2) Nous allons donc passer par lâĂ©nergie. On a en utilisant la formule du texte et lerĂ©sultat de la question 1 :
E 2 = p 2c 2+m 2c 4 =q 2E 2c 2t 2+m 2c 4 soit E 2 =q 2E 2c 2ïżœ
t 2+Ï2ïżœ
.
comme on a p =E v
c 2, on obtient avec lâĂ©quation de la question 1 :
E v
c 2=
q E
c
p
ïżœ
t 2+Ï2ïżœ
=q E t soit v =c t
p
ïżœ
t 2+Ï2ïżœ
dâoĂč v =q E t
m
Ă
ïżœ
1+ïżœ
q E t
m c
ïżœ2ïżœ
3) Si le champ E tend vers zéro, on peut faire un développement limité de v ; Onobtient ainsi :
v 'q E t
m
ïżœ
1â1
2
ïżœ
q E t
m c
ïżœ2ïżœ
.
Pour les champs faibles on retrouve bien lâexpression classique du mouvement rectiligne
uniformément accéléré : v 'q E t
m.
228
VUIBERT
PHYSIQUE MPSI-PCSI-PTSIMĂTHODESâąEXERCICESâąPROBLĂMES
SOMMAIRE1. Oscillateurs harmoniques â 2. Propagation dâun signal â 3. Optique gĂ©omĂ©trique 4. Introduction au monde quantique â 5. Circuits dans lâARQS â 6. Circuits linĂ©aires du premier ordre â 7. Oscillateurs amortis â 8. Filtrage linĂ©aire â 9. CinĂ©matique du point â 10. Loi de la quantitĂ© de mouvement â 11. ĂnergĂ©tique du point matĂ©riel 12. Mouvement de particules chargĂ©es â 13. Loi du moment cinĂ©tique â 14. Mou- vement dans le champ dâune force centrale conservative â 15. Description macro-scopique de la matiĂšre â 16. Description microscopique de la matiĂšre â 17. Premier principe de la thermodynamique â 18. Second principe de la thermodynamique 19. Machines dithermes â 20. Statique des fluides â 21. Champ magnĂ©tique â 22. Forces de Laplace â 23. Lois de lâinduction â 24. Induction de Neumann â 25. Induction de Lorentz.
Les auteurs :Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à Cherbourg.
Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes.
Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.
Marc Strubel est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer à Mulhouse.
ISBN : 978-2-311-40225-4
www. .fr
Des ouvrages pour faire la diffĂ©rence : â des synthĂšses de cours et mĂ©thode pour acquĂ©rir les connaissances indispensables
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