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Lımites y continuidadDerivadas

Funciones de una variable

Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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Motivacion

Conceptos matematicos

Funciones

Continuidad

Derivada

Integral

Mundo real


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Definicion de funcion

R ⊃ A: Dominio

R ⊃ B: Imagen

f : A→ B

AB

x y

f

y = f (x)

Definicion

Una funcion f asigna exactamente un elemento y de Y a cadaelemento x de X .

Ejemplo

f (x) = x2 + 3 x − 4

f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6

x y


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R ⊃ A: Dominio

R ⊃ B: Imagen

f : A→ B

AB

x y

f

y = f (x)

Definicion


Ejemplo

f (x) = x2 + 3 x − 4

f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6

x y


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R ⊃ A: Dominio

R ⊃ B: Imagen

f : A→ B

AB

x y

f

y = f (x)

Definicion


Ejemplo

f (x) = x2 + 3 x − 4

f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6

x y


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Grafica de una funcion

Definicion

La grafica de una funcion es el conjunto de puntos (x , y) cony = f (x).

Por ejemplo:

y = f (x) = x2

f

(1

2

)=

1

4

Parametrica: (x ,y)=(cos(t),sen(t)), t∈(0,2π)

Implıcita: x2+y2=1

Explıcita: y = ±√

1− x2 ?= f (x)

.M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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Funciones “conocidas”

Funcion Definicion y dominio Valores computables

Polinomios f (x)=a0+a1 x+a2 x2+···+an xn Todos

=∑n

i=0 ai xi

Racionales f (x) = p(x)q(x) , q(x) 6= 0 Todos

Exponencial f (x) = ex f (0) = 1

Logaritmo f (x) = ln x , x 6= 0 f (1) = 0

Seno f (x) = sen x f (0) = 0, f (π/2) = 1, · · ·

Coseno f (x) = cos x f (0) = 1, f (π/2) = 0, · · ·


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Lımite de una funcion

Motivacion

Dos funciones muy distintas cerca de x = 2pero ninguna esta definida en x = 2.

f (x) =x2 − 4

x − 2f (x) =

x2 − 4.1

x − 2

Definicion

Para que limx→a

f (x) = L tenemos que:

dado cualquier ε, conseguir |f (x)− L| < ε

buscando un δ(ε) y haciendo |x − a| < δ

La definicion tambien sirve si

{a =∞ =⇒ x > k

L =∞ =⇒ f (x) > K


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Lımite de una funcion

Motivacion

Dos funciones muy distintas cerca de x = 2pero ninguna esta definida en x = 2.

f (x) =x2 − 4

x − 2f (x) =

x2 − 4.1

x − 2

Definicion

Para que limx→a

f (x) = L tenemos que:

dado cualquier ε, conseguir |f (x)− L| < ε

buscando un δ(ε) y haciendo |x − a| < δ

La definicion tambien sirve si

{a =∞ =⇒ x > k

L =∞ =⇒ f (x) > K


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Calculo de lımites

Para “funciones conocidas” limx→a

f (x) = f (a) si a en el dominio

limx→2

x3 + sen x − ecos x

ln(x + 5) +√x3 − 7

Lımites lateraleslimx→0|x | = 0

Cancelacion

limx→2

x2 − 4

x − 2limx→1

1−√x

1− x


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Lımites: teorema de compresion

Teorema

Si se encuentran dos funciones g(x),h(x) tales que:

g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

limx→a

g(x) = = limx→a

h(x) = L

entonces limx→a

f (x) = L.

Ejemplo: limx→0

x sen1

x

Regla mnemotecnica: cero x acotado = cero


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Lımites: teorema de compresion

Teorema

Si se encuentran dos funciones g(x),h(x) tales que:

g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

limx→a

g(x) = = limx→a

h(x) = L

entonces limx→a

f (x) = L.

Ejemplo: limx→0

x sen1

x

Regla mnemotecnica: cero x acotado = cero


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Lımites: aproximacion diferencial1

Teorema

limx→a

f (x)

g(x)=

(0

0

)= lim

x→a

f ′(x)

g ′(x)

Tambien es valido para la indeterminacion∞∞

Otras indeterminaciones se convierten tomando el logaritmo,la exponencial, sacando factor comun...

0 · ∞ ∞0 00 1∞ ∞−∞

Ejemplos:

limx→0

(1

ln x + 1− 1

x

)limx→0

x ln x limx→1

x1

x−1 limx→0

(sen x)x

1La regla de L’Hopital es un caso particular del concepto de aproximacion por la derivada que veremos mas adelante


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Continuidad

Definicion

Una funcion f es continua en un punto a si limx→a

f (x) = f (a)

Tienen que existir los dos lados de la igualdad:

limx→a

f (x) = L


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Continuidad

Definicion


f (x) = f (a)


f (a) = L


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Continuidad

Definicion


f (x) = f (a)


limx→a

f (x) = f (a)


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Discontinuidades

De salto: limx→a+

f (x) 6= limx→a−

f (x)

Ejemplo: f (x) = |x |+ 1

Infinita: limx→a

f (x) = ±∞

Ejemplo: f (x) = 1x

Esencial: limx→a

f (x) no existe

Ejemplo: f (x) = x + sen 1x−1

Evitable: f (a) 6= limx→a

f (x)

Ejemplo: f (x) = x2−4x−2


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Discontinuidades

De salto: limx→a+

f (x) 6= limx→a−

f (x)

Ejemplo: f (x) = |x |+ 1

Infinita: limx→a

f (x) = ±∞

Ejemplo: f (x) = 1x

Esencial: limx→a

f (x) no existe

Ejemplo: f (x) = x + sen 1x−1

Evitable: f (a) 6= limx→a

f (x)

Ejemplo: f (x) = x2−4x−2


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Derivada

Definicion

Una funcion f es derivable en el punto a si existe el lımite

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h

La funcionf (b)− f (a)

b − aes la

pendiente de la secante enpor a, b.

En el lımite, la secante seconvierte en la tangente.

Si f es derivable, entoncestambien es continua. .


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Derivada

Definicion


f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h


b − aes la





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Derivada

Definicion


f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h


b − aes la





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Derivada

Definicion


f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h


b − aes la





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Recta tangente y aproximacion lineal

La recta tangente tiene la misma pendiente de la curva y pasapor el punto (a, f (a)):

y − f (a) = f ′(a) (x − a)

Por ejemplo: f (x)=ex

a=0

}=⇒ y = x + 1

Puede tomarse como aproximacion para x 6= a:

f (x) ≈ f (a) + f ′(a) (x − a)

Por ejemplo: e0.1 ≈ 1.1

En el lımite, la aproximacion es exacta.

Por ejemplo: limx→0

sen x

x= 1


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Reglas de derivacion 2

2Fuente: http://www.derivadas.es/2009/08/18/reglas-de-derivacion/M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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Derivada de la funcion inversa

Definicion de inversa: f(f −1(x)

)= x

Regla de la cadena: f ′(f −1(x)

) (f −1)′

(x) = 1

(f −1)′

(x) =1

f ′ (f −1(x))

Por ejemplo: f (x) = arctan x


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Derivacion implıcita

Se puede derivar una expresion que defineimplıcitamente una funcion.

Todas las reglas de derivacion siguensiendo validas.

Por ejemplo: calcular la recta tangente dela funcion y = f (x) en x = 0 dada por

x5 + x y + y5 = 32

Puede usarse para facilitar los calculos: derivacion logarıtmica

f (x) =x3 sen2 x

(x + 1) (x − 2)2


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Maximos y mınimos

Teorema

En un extremo local x , ocurre:

f ′(x) = 0

o

f ′(x) no existe

f (x) =?

Calcular los extremos absolutos.
