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Dra. Noemí L. Ruiz

2005-2006© Derechos Reservados

Dra. Noemí L. Ruiz

2005-2006© Derechos Reservados

Números Reales

Números Reales

Objetivos de la lección

Objetivos de la lección

1. Conocer los distintos subconjuntos de los números Reales

2. Identificar a qué conjuntos de los Reales pertenece un número dado

Conjuntos de los Reales

Conjuntos de los Reales

Números NaturalesNúmeros Naturales

(“Natural Numbers”) Son los números que se utilizan

para contar: {1, 2, 3, 4, 5, …}

Números CardinalesNúmeros

Cardinales(“Whole Numbers”)

Son los mismos números Naturales a los cuales se les ha añadido el número Cero:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

(“Integers”) Son todos los números

Cardinales a los cuales se les ha añadido el reflejo de los números Naturales en la parte izquierda de la recta numérica, o sea, los opuestos de los números Naturales.

{…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Números Enteros

Números Enteros

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(“Rational Numbers”) Son los números que se

pueden escribir como una fracción, en la cual el numerador y denominador son Enteros, excepto el denominador que no puede ser

Números RacionalesNúmeros

Racionales

cero.

Ejemplos de Racionales

Ejemplos de Racionales

• Fracciones

• Decimales

– Propias– Impropias– Mixtas

– Exactos– Periódicos

Naturales Cardinales Enteros

(“Irrational Numbers”) Son los números que no son

racionales, o sea, aquellos que no se pueden escribir como fracción, como por ejemplo:

Raíces cuadradas que no son exactas (inexactas)

Decimales infinitos que no son periódicos

Números Irracionales

Números Irracionales

(“Real Numbers”) Es la unión de los números

Racionales con los Irracionales.

Números Reales

Números Reales

Practica identificar números

Practica identificar números

¿A qué conjuntos pertenece: –9?

¿A qué conjuntos pertenece: –9?


Racionales IrracionalesReales

¿A qué conjuntos pertenece: 0?

¿A qué conjuntos pertenece: 0?



¿A qué conjuntos pertenece: 30,456?¿A qué conjuntos

pertenece: 30,456?



¿A qué conjuntos pertenece: -25,000?

¿A qué conjuntos pertenece: -25,000?



¿A qué conjuntos pertenece: 25.4 ?¿A qué conjuntos pertenece: 25.4 ?



¿A qué conjuntos pertenece: 3.232323…

?

¿A qué conjuntos pertenece: 3.232323…

?



¿A qué conjuntos pertenece: ?¿A qué conjuntos pertenece: ?



4.78




35




25




3

¿A qué conjuntos pertenece: 3.14 ?¿A qué conjuntos pertenece: 3.14 ?






7

8




13

5




10

5




10

3




10

10




10

10

¿A qué conjuntos pertenece: 2.13453… ?

¿A qué conjuntos pertenece: 2.13453… ?



Clic para salir

¿Por qué el denominador no puede

ser cero?

¿Por qué el denominador no puede

ser cero?• La división por cero no está definida ya

que no existe número alguno que se obtenga como resultado cuando se divide por cero.

• Ejemplo: = 0 10

Dividir por 0 significa buscar un número que cuando se multiplique por 0, de 10, en este ejemplo.

¿Qué número se multiplica por 0 y da 10? Ninguno, ya que todo número que se

multiplica por 0 da 0.

10

0

?

NaturalesNaturales

• Para determinar si un número Natural es también Racional, basta tomar un ejemplo.

• Tomemos como ejemplo el número 5.

• ¿Se puede escribir el 5 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?

• Si. El 5 se puede escribir como:5

1

NaturalesNaturales• ¿Habrá alguna otra forma de

fracción equivalente al 5?

• Si. Veamos: 10

,2

15,

3

20,

4

50

10

• ¿Cuántas formas hay de escribir el 5 como fracción?• Hay infinitas maneras de escribir el 5 como una fracción.• Para buscar una fracción equivalente a 5, solo hay que buscar dos números tales que al dividirse se obtenga 5 como resultado.

NaturalesNaturales• ¿Se podrá hacer lo mismo con

los otros números Naturales?• Si. La forma más fácil es

colocar el número sobre 1:10

,1

18,

1

21,

1

38,

1

43

1

• ¿Son todos los Naturales, Racionales? • Sí. Todos los números Naturales son Racionales.

• Para determinar si un número Cardinal es también Racional, basta tomar un ejemplo.

• Tomemos como ejemplo el único número Cardinal que no es Natural, o sea, el 0.

• ¿Se puede escribir el 0 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?

• Si. El 0 se puede escribir como:

0

1

CardinalesCardinales

0

1 Observa que es equivalente a 0. Observa que no hemos escrito el cero en el denominador.

• ¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 0?

CardinalesCardinales

0

2

0

3

0

4

0

7• Si. Veamos: , , ,

• ¿Cuántas formas hay de escribir el 0 como fracción?• Hay infinitas maneras de escribir el 0 como una fracción.

CardinalesCardinales• ¿Se podrá hacer lo mismo con

los otros números Cardinales?

• ¿Son todos los Cardinales Racionales? • Sí. Todos los números Cardinales son Racionales.

12

1

25

1

31

1

58

1

93

1

• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1: , , , ,

• Para determinar si un número Entero es también Racional, basta tomar un ejemplo como hemos hecho antes.

• Tomemos como ejemplo un número negativo: -4

• ¿Se puede escribir el -4 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?

• Si. El -4 se puede escribir como:

4

1

EnterosEnteros

EnterosEnteros• ¿Se podrá hacer lo mismo con

los otros números Enteros?

12

1

25

1

31

1

58

1

0

1

• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1: , , , ,

• ¿Son todos los Enteros Racionales? • Sí. Todos los números Enteros son Racionales.

Fracciones Propias

Fracciones Propias

• Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador.

Observa que todas las fracciones propias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales.

2

3

3

5

3

7

26

37

4

100• Ejemplos: , , , ,

Fracciones ImpropiasFracciones Impropias

• Son aquellas fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.

Observa que todas las fracciones impropias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales.

12

3

7

53

1

6

6

40

40• Ejemplos: , , , ,

Fracciones Mixtas

Fracciones Mixtas

• Son aquellas fracciones que consisten de un número entero y una fracción propia.

Observa que la fracción del número mixto siempre es una fracción propia.

13

3

12

5

316

8

124

6 4

4521

• Ejemplos: , , , ,

• Para determinar si una fracción mixta es Racional, basta con tomar un ejemplo y ver si se puede convertir a una fracción que cumpla con la definición de Racional.

• ¿Se puede convertir un número mixto a fracción?

• Sí, veamos el ejemplo en la próxima pantalla.

• Por tanto, las fracciones mixtas son Racionales.

Fracciones Mixtas

Fracciones Mixtas

• ¿Cuál es el proceso para convertir el número mixto a fracción?

• Para convertir un número mixto a fracción:– Se multiplica el entero por el

denominador.– A ese resultado se le suma el

numerador. Este es el numerador de la fracción.

– Se coloca el mismo denominador en la fracción.

Fracciones Mixtas

Fracciones Mixtas

Observa que siempre se obtiene una fracción impropia

13

5

16

5• Ejemplo: =

Decimales exactos

Decimales exactos

• Son aquellos que no son periódicos. Los periódicos son los que se repite infinitamente una misma cifra o período.

• Ejemplos: 0.5, 0.23, 2. 145• ¿Se pueden convertir estos

decimales a fracción?• Sí, veamos el ejemplo en la

próxima pantalla.• Por tanto, los decimales exactos

son Racionales.

Decimales exactos

Decimales exactos

• Para convertir un decimal exacto a fracción: – Leerlo correctamente, de acuerdo al

valor de lugar decimal– Colocar el denominador que

corresponda al valor de lugar decimal

Observa que el valor de lugar decimal incrementa en potencias de 10 y esta potencia corresponde al denominador de la fracción. Observa que el último ejemplo representa un número mixto que se puede convertir a fracción impropia.

1452

1000

23

100

5

10

• Ejemplos:–0.5- cinco décimas- –0.23- veintitres centésimas-–2. 145- dos y cientocuarenta y cinco milésimas-

Decimales PeriódicosDecimales Periódicos

• Son decimales infinitos en los cuales se repite una misma cifra o período de numéros

• ¿Se pueden convertir estos decimales a fracción?• Sí, veamos la explicación en la próxima pantalla.• Por tanto, los decimales periódicos son Racionales.

0.3 0.45 2.376Ejemplos: 4.656565… , , ,


• Se pueden convertir los decimales periódicos a fracción, aunque no demostraremos este proceso en estos momentos ya que es un tanto complejo y se necesitan conocimientos más avanzados.

• Sin embargo, podemos demostrar que si una fracción representa un decimal periódico, entonces, el decimal periódico puede representarse como fracción también.


• Tomemos el ejemplo de la fracción:• Para convertir la fracción a decimal,

hay que dividir el numerador por el denominador. Veamos:

0.33… 3 1.00 -9 10 -9 1

1

3

0.3Observa que 0.33… equivale a y por tanto, es un decimal periódico que se puede escribir como una fracción.

0.3

Muy bien.Muy bien.

Incorrecto. Trata

otra vez.

Incorrecto. Trata

otra vez.