Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la Matematică Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E.c)

Proba scrisă la MATEMATICĂ Varianta 7

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

I.FELADAT (30 pont) 5p 1. Egy ( ) 1n n

a ≥ számtani haladványban adottak4 7a = és 9 22a = . Számítsd ki az 14a -értékét.

5p 2. Határozd meg az :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= − és :g →ℝ ℝ , ( ) 5g x x= − függvények metszéspontjának

koordinátáit.

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet 3 12

4x− = .

5p 4. Határozd meg hány olyan háromjegyű szám képezhető az { }0,1,2,3M = halmaz elemeivel, amelyben a

számjegyek különbözőek?.

5p 5. Egy xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak a következő pontok ( )1,2A és ( )3,0B . Határozd

meg az A pontnak B pont szerinti szimmetrikusát.

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha tudjuk, hogy 6AB = , 5AC = és

( ) 60m BAC = �∢ .

II.FELADAT (30 pont)

1. Adott a következő egyenletrendszer

2 0

1

2

x y z

x y z

x y az

+ − = − + = + + =

, ahol a ∈ℝ .

5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát. 5p b) Határozd meg az a valós szám azon értékeit, amelyekre az egyenletrendszer mátrixa invertálható. 5p c) Oldd meg az egyenletrendszert ha 0a = . 2. A valós számok halmazán értelmezzük a következő asszociatív műveletet 1x y x y∗ = + − .

5p a) Igazold, hogy 1x x∗ = , bármely x ∈ℝ . 5p b) Oldd meg az 4x x x∗ ∗ = egyenletet a valós számok halmazán.

5p c) Határozd meg azt az n, 2n ≥ természetes számot, amelyre 1 2 14n nC C∗ = .

III.FELADAT (30 pont)

1. Adott a következő függvény ( ) 1: 0, , ( )

x

xf f x

e

++∞ → =ℝ .

5p a) Igazold, hogy ( )( )'

1

f x x

f x x= −

+ bármely ( )0,x∈ +∞ esetén.

5p b) Igazold, hogy az f függvény monoton csökkenő az ( )0,+∞ halmazon.

5p c) Határozd meg a ( ): 0,g +∞ →ℝ , ( ) ( )2 2xe f xg x

x

⋅= függvény grafikus képéhez húzott ferde aszimptota

egyenletét. 2. Adott az :f →ℝ ℝ , ( ) 2012 2011 2f x x x x x= + + + függvény.

5p a) Határozd meg az f függvény :F →ℝ ℝ primitív függvényét,ha tudjuk, hogy ( )0 1F = .

5p b) Számítsd ki ( )1

01

f xdx

x +∫ értékét.

5p c) Számítsd ki [ ]: 1,2 ,g →ℝ ( ) ( ) 2012 2011g x f x x x= − − függvény grafikonjának Ox tengely körüli

forgatásából származó test térfogatát.