APLICACIONES PROBLEMAS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Existen en el mundo fsico, en biologa, medicina, demografa,
economa, etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o
descomposicin varia en forma proporcional a la cantidad presente, es
decir:
Ejemplo:
Cuando t = 0, haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo
de 6 horas, esa cantidad disminuyo el 3%. Si la razn de
desintegracin, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de
la sustancia presente, calcule la cantidad que queda despus de un
da.
Mg. Edinson Idrogo Burga 2
kxdt
dx
00)( xtx
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Si se tiene un cuerpo a una temperatura T, sumergido en un medio de
tamao infinito de temperatura Tm (Tm no vara apreciablemente con el
tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la
siguiente enunciado:
La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es
proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y
el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la
misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entonces la
ecuacin diferencial de la ley de enfriamiento es:
)( TaTkdt
dT
3 Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos:
1) Un cuerpo se calienta a 110C y se expone al aire libre a una
temperatura de 10C . Si al cabo de una hora su temperatura es de
60C . Cuanto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfre a
30 C
2) La temperatura de una cerveza fra que inicialmente se encuentra a
35F, se eleva a 40F en 3 minutos al encontrarse en un cuarto con
temperatura de 70F. Cul ser la temperatura de la cerveza si se
deja por un espacio de 20 minutos?
4 Mg. Edinson Idrogo Burga
PROBLEMAS DE MEZCLA
Considrese un tanque que tiene un volumen inicial V0 de solucin (una
mezcla de soluto y solvente). Hay un flujo tanto de entrada como de
salida y se quiere calcular la cantidad de soluto x(t) que hay en el tanque
en cualquier instante de tiempo t, en funcin de la cantidad inicial de
soluto x0 al tiempo de iniciar el proceso de mezclado.
5 Mg. Edinson Idrogo Burga
Supngase que la solucin que se inyecta al tanque tiene una
concentracin de C1 gramos de soluto por litro, y fluye al mismo con
una tasa de Q1 litros por segundo, en tanto que la sustancia contenida
en el tanque se mantiene bien mezclada por agitacin y fluye hacia
fuera de este a una tasa de Q2 litros por segundo.
La concentracin de soluto en el tanque en cualquier instante de tiempo
t, viene dada por la ecuacin:
Donde x(t) es la cantidad de soluto en cualquier instante de tiempo t y V(t) denota volumen de lquido en el tanque en cualquier instante de
tiempo t.
El volumen de lquido en el tanque, en cualquier instante de tiempo t,
viene dado por la ecuacin:
)(
)()(2
tv
txtC
tQQvtv )()( 210
6 Mg. Edinson Idrogo Burga
La ecuacin diferencial asociada a problemas de mezclas es la ecuacin
diferencial lineal
Sujeta a la condicin:
Se obtendr la ley de variacin de la cantidad de soluto x(t) en un
instante de tiempo t.
11
210
2 )()(
CQtxtQQv
Q
dt
dx
0)0( xx
7 Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos:
1. Considere un gran tanque que contiene 1000 L de agua, dentro del cual
una solucin salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad
constante de 6 L/min. La solucin dentro del tanque se mantiene bien
agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 5 L/min. Si
la concentracin de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1
kg/L, Determina la concentracin de sal en el tanque para t = 20 min.
2. Una solucin de salmuera de sal fluye a razn constante de 8 L/min
hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 100 L de
solucin de salmuera en la cual estaban disueltos 5 kg de sal. La
solucin en el interior del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia
el exterior con la misma rapidez. Si la concentracin de sal en la
salmuera que entra al tanque es de 0.5 kg/L, Determina la cantidad de
sal presente en el tanque al cabo de t minutos.
8 Mg. Edinson Idrogo Burga
TRAYECTORIAS ORTOGONALES Consideremos una familia de curvas planas
Donde cada valor del parmetro c representa una curva.
Los problemas que se presentan en los campos tales como
electrosttica, hidrodinmica y termodinmica es de encontrar una
familia de curvas que dependen de un parmetro k.
con la propiedad que cualquier curva de (1) al interceptar a cada curva
de la familia (2) las rectas tangentes a las curvas sean perpendiculares.
(1) 0),,( cyxf
)2( 0),,( kyxg
9 Mg. Edinson Idrogo Burga
A las familias de las curvas (1) y (2) se denominan trayectorias ortogonales
Si se tiene la familia de curvas (1), para encontrar la familia de curvas
(2), primero se encuentra la ecuacin diferencial de la familia dada en
(1) y despejamos y obteniendo.
Como la pendiente de las trayectorias ortogonales debe ser la inversa
negativa de la pendiente (3) es decir
Luego las trayectorias ortogonales se la familia dada se obtienen
resolviendo la ecuacin diferencial (4).
)3( ),( yxFy
)4( ),(
1
yxFy
10 Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos:
1) Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parbolas con
vrtice en el origen y foco sobre el eje Y.
2) Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de
circunferencias que pasan por el origen y cuyos centros estn en el
eje X.
11 Mg. Edinson Idrogo Burga
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Conceptos Bsicos:
Existencia y unicidad
Para una ecuacin diferencial general de orden n, un problema de valor
inicial es:
Resolver:
Sujeto a:
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
10
1
1000 )( ,, )( ,)( n
n yxyyxyyxy
12 Mg. Edinson Idrogo Burga
INDEPENDENCIA O DEPENDENCIA DE FUNCIONES
Se dice que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si existen constantes, escalares tal que:
si alguno de entonces diremos que
son funciones linealmente dependientes
EL WRONSKIANO
supngase que cada una de las funciones
posee n-1 derivadas al menos. El determinante
es el wronskiano
de las funciones
)(,),(),( 21 xfxfxf n
nccc ,,, 21
0 0)()()( 212211 nnn cccxfcxfcxfc
0,,, 21 nccc
)(,),(),( 21 xfxfxf n
)(,),(),( 21 xfxfxf n
)1()1(
2
)1(
1
21
21
n
n
nn
n
n
fff
fff
fff
W
13 Mg. Edinson Idrogo Burga
CRITERIO PARA FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Un conjunto de funciones son linealmente
independientes si
Ejemplos:
Demostrar que las funciones dadas son linealmente independientes
1)
2)
)(,),(),( 21 xfxfxf n
IxW ,0
xxx exxfxexfexf 2321 )( ,)( ,)(
xsenexfxexf xx 2)(,2cos)( 323
1
14 Mg. Edinson Idrogo Burga
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN
Si son soluciones de una ecuacin lineal
homognea , la combinacin lineal
En que las son constantes, tambin es una
solucin.
Ejemplo:
Dadas las funciones , ambas son
soluciones de la ecuacin diferencial en
el intervalo . Aplicando el principio de superposicin
encontrar otra solucin para la ecuacin diferencial dada.
kyyy ,,, 21
kk ycycycy ,,, 2211
kici ,,2,1 ,
15 Mg. Edinson Idrogo Burga
Lnxxxyxxy 222
1 )(;)(
0423 yyxyx x
TRABAJO PRACTICO (20 min)
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
4) Un termmetro que marca 75F se lleva fuera donde la temperatura es de 20F, cuatro minutos despus el termmetro marca 30F. Encontrar:
(a) La lectura del termmetro siete minutos despus de que este ha sido llevado al exterior y,
(b) El tiempo que le toma el termmetro caer desde 75F hasta ms o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire.
Mg. Edinson Idrogo Burga 16
)1(coscos )1 2 senxxyxyy
2)0( ,24 )2 2/1 yyeyy x
dxyysenxxdy )(cos )3 2
ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR Las ecuaciones diferenciales de orden superior son de la forma:
Donde: y R son funciones solo de x o constantes.
La ecuacin (1) se puede escribir en la forma:
Observacin:
- Si , la ecuacin (1) se le denomina ecuacin lineal Homognea
- Si , la ecuacin (1) se le denomina ecuacin lineal no
Homognea
)1()()()()()( 011
1
1 xRyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
naaa ,,, 10
0),,,,( )( nyyyxF
0)( xR
0)( xR
17 Mg. Edinson Idrogo Burga
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGNEAS DE
COEFICIENTES CONSTANTES
Las E.D lineales homogneas de coeficientes constantes son de la forma:
Donde: son constantes.
SOLUCIN DE UNA E. D. LINEAL HOMOGNEA DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Consideremos la ecuacin caracterstica:
Como la ecuacin es de grado n, entonces se puede obtener las siguientes
races
)2( 0011
1
1
yadx
dya
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
naaa ,,, 10
0011
1
amamaman
n
n
n
nmmm ,,, 21 18 Mg. Edinson Idrogo Burga
Las cuales pueden ser: reales distintas, reales iguales o races
complejas .
Luego para dar solucin a la ecuacin (2) consideramos los siguientes
casos:
CASO I:
Si las races de la ecuacin caracterstica son reales distintas es decir:
Entonces una solucin complementaria de la ecuacin diferencial (2)
es:
Donde: son constantes reales.
nmmm ,,, 21
xm
n
xmxm
cnecececy 21 21
nccc ,,, 21
19 Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
Caso II:
Si las races de la ecuacin caracterstica son reales distintas es decir:
Entonces una solucin complementaria de la ecuacin diferencial (2) es:
Donde: son constantes reales
0 )12
2
ydx
yd0652 )2 yyyy
mmm 21
mxmxmxc excxececy2
321
,, 21 cc
20 Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
044 )1 yyy
033 )2 yyyy
0168 )3 yyyiv
0253 )4 yyyyyiv
21 Mg. Edinson Idrogo Burga
Caso III:
Si las races de la ecuacin caracterstica son nmeros complejos, es decir:
Entonces una solucin complementaria de la ecuacin diferencial (2) es:
Donde: son constantes reales
imim 2211 ,
xsenecxecxsenecxecyxxxx
c 242312112211 coscos
,, 21 cc
22 Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
0 )1 yy
0 )2 yyy
0 )3 yyvi
053 )4 yyyy
0)0( ,1)0( ,054 )5 yyyyy
23 Mg. Edinson Idrogo Burga
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1) Eduardo Espinoza Ramos. (2010). Ecuaciones Diferenciales y sus
Aplicaciones. Lima Per.
2) Dennis Zill. Ecuaciones Diferenciales con modelado. Mxico: Ed.
Grupo editorial Iberoamrica.
3) R. Kent Nagle, Edward B. Salf. Fundamentos de Ecuaciones
Diferenciales. Ed. Addison Wesley Iberoamericana.
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