INECUACIONES CUADRÁTICAS, POLINOMIALES Y RACIONALES
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Son de la forma: P(x) = ax2 + bx + c > 0
El método que facilita la solución de las inecuaciones cuadráticas es el método delos valores críticos.
Pasos a seguir:• Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x) • Se ubican los valores críticos en la recta.• Se determinan los signos de los intervalos de variación.• La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 o P(x) 0 y será
el intervalo negativo si P(x) < 0 o P(x) 0 .
Sea el polinomio P(x) = ax2 + bx + c > 0 donde P(x) puede factorizarse tal como:
P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 )entonces se presentan los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 ,sonreales y diferentes, es decir:
• Si P(x) > 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en larecta numérica quedan distribuidos así:
La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signopositivo.
Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.
+ - + + - +
- r1 r2 . . . rn -1 rn +
solución
{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x
: dofactorizan 0242x5xx 23
+ +--
, 4 3 , -2x -2 3 4
• Si P(x) > 0
• Si P(x) < 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en larecta numérica quedan distribuidos así:
La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signonegativo.
- r1 r2 . . . rn -1 rn +
+ - + + - +
Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.
solución
}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x
: dofactorizan 082x9x2xx 234
- +-+
2 , 1 1- , -4x -4 1 2-1
+
• Si P(x) < 0
SEGUNDO CASO :Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad mayor queuno, se tiene:suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces, entonces:
Si m es par, los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales ,es decir no son alterados
Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 0 , Hallar el conjunto Solución.
{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x
: dofactorizan 0814x3x4x2
234
x
- +-+
1 ,4 2- , -x -2 1 4
Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto Solución.
Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri tienen signos diferentes.
{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x
: dofactorizan 0617x14x4xx3
245
+ +--
1,3 2- , -x
-2 1 3
TERCER CASO: Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en estecaso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos ypara dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.
Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0,Hallar el conjunto
Solución.
{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x
: dofactorizan 02420x-2xx2x2
2345
x
+ +--
, 3 1 , -2x
-2 1 3
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