一階與二階RLC電路分析
在含有電感和電容的電路中在含有電感和電容的電路中在含有電感和電容的電路中在含有電感和電容的電路中，，，，其其其其電壓和電流不能瞬間改變電壓和電流不能瞬間改變電壓和電流不能瞬間改變電壓和電流不能瞬間改變，，，，會產生暫態現象會產生暫態現象會產生暫態現象會產生暫態現象。。。。 甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象。。。。了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的。。。。
學習目標學習目標學習目標學習目標
一階電路一階電路一階電路一階電路電路中含有單一儲能元件電路中含有單一儲能元件電路中含有單一儲能元件電路中含有單一儲能元件儲能元件可能是一個電容或是一個電感儲能元件可能是一個電容或是一個電感儲能元件可能是一個電容或是一個電感儲能元件可能是一個電容或是一個電感
二階電路二階電路二階電路二階電路電路中連接兩個儲能元件電路中連接兩個儲能元件電路中連接兩個儲能元件電路中連接兩個儲能元件
在做電路分析時在做電路分析時在做電路分析時在做電路分析時，，，，我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型。。。。 一旦求得此方程組的解一旦求得此方程組的解一旦求得此方程組的解一旦求得此方程組的解，，，，我們就可以分析此電路模型我們就可以分析此電路模型我們就可以分析此電路模型我們就可以分析此電路模型。。。。
例如例如例如例如，，，，在做電阻電路的節點或迴路分析在做電阻電路的節點或迴路分析在做電阻電路的節點或迴路分析在做電阻電路的節點或迴路分析，，，， 電路的數學模型可以表示成一組代數方程式電路的數學模型可以表示成一組代數方程式電路的數學模型可以表示成一組代數方程式電路的數學模型可以表示成一組代數方程式。。。。
當電路含有電感器或電容器當電路含有電感器或電容器當電路含有電感器或電容器當電路含有電感器或電容器時時時時，，，，電路模型就會變成微分方程式電路模型就會變成微分方程式電路模型就會變成微分方程式電路模型就會變成微分方程式 。。。。 因此因此因此因此，，，，為了分析具有儲能元為了分析具有儲能元為了分析具有儲能元為了分析具有儲能元件的電路件的電路件的電路件的電路，，，，需要分析和求解微分方程式的工具需要分析和求解微分方程式的工具需要分析和求解微分方程式的工具需要分析和求解微分方程式的工具。。。。
具有電感器和具有電感器和具有電感器和具有電感器和((((或或或或))))電容器的線性電路分析電容器的線性電路分析電容器的線性電路分析電容器的線性電路分析
當解答可以事先知道時當解答可以事先知道時當解答可以事先知道時當解答可以事先知道時，，，，在一些特殊狀況下在一些特殊狀況下在一些特殊狀況下在一些特殊狀況下，，，，一般方法可以被簡化一般方法可以被簡化一般方法可以被簡化一般方法可以被簡化。。。。 在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情。。。。 在定電源的情況下在定電源的情況下在定電源的情況下在定電源的情況下，，，，將詳細討論其中的兩個特殊狀況將詳細討論其中的兩個特殊狀況將詳細討論其中的兩個特殊狀況將詳細討論其中的兩個特殊狀況。。。。一個是假設微分方程式可以得到一個是假設微分方程式可以得到一個是假設微分方程式可以得到一個是假設微分方程式可以得到，，，，另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的------------但是它通常是更長的時間但是它通常是更長的時間但是它通常是更長的時間但是它通常是更長的時間。。。。
根據戴維寧等效定理根據戴維寧等效定理根據戴維寧等效定理根據戴維寧等效定理，，，，將發展找出將發展找出將發展找出將發展找出具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法。。。。
我們也將討論當我們也將討論當我們也將討論當我們也將討論當線性電路線性電路線性電路線性電路有其它簡單輸入時有其它簡單輸入時有其它簡單輸入時有其它簡單輸入時，，，，此電路的性能此電路的性能此電路的性能此電路的性能。。。。
電路模型電路模型電路模型電路模型
簡介簡介簡介簡介
電容和電感可以儲存能量電容和電感可以儲存能量電容和電感可以儲存能量電容和電感可以儲存能量，，，，而且在一些狀況下能量可以被釋放出而且在一些狀況下能量可以被釋放出而且在一些狀況下能量可以被釋放出而且在一些狀況下能量可以被釋放出。。。。能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數。。。。
當開關切到左邊時當開關切到左邊時當開關切到左邊時當開關切到左邊時，，，，電容接收從電池來的電荷電容接收從電池來的電荷電容接收從電池來的電荷電容接收從電池來的電荷
當開關切到右邊時當開關切到右邊時當開關切到右邊時當開關切到右邊時，，，，
電容經由閃光燈放電電容經由閃光燈放電電容經由閃光燈放電電容經由閃光燈放電
dxxfetxetxet
tTH
xtt
)(1
)()(
0
0
0 ∫=− τττ
τ
一般響應:一階電路
0)0(; xxfxdt
dxTH =+=+τ
給定初始條件，電容電壓或電感電流的數學模型具有以下型式
使用積分因子可以將微分方程式變為具有正合的特性，所以利用積分因子的方法解以上的微分方程式
τ
ττ
t
TH efxdt
dx 1/*=+
TH
ttt
fexedt
dxe τττ
ττ
11=+
TH
tt
fexedt
dττ
τ
1=
∫t
t0
dxxfetxetx
t
t
TH
xttt
)(1
)()(
0
0
0 ∫−
−−
−
+= ττ
τ
0)0();()()( xxtftaxtdt
dx=+=+
注意注意注意注意：：：：這個表示式允許任意的外加函數這個表示式允許任意的外加函數這個表示式允許任意的外加函數這個表示式允許任意的外加函數。。。。不過在這裡不過在這裡不過在這裡不過在這裡我們只討論外加函數是常數的特殊狀況我們只討論外加函數是常數的特殊狀況我們只討論外加函數是常數的特殊狀況我們只討論外加函數是常數的特殊狀況。。。。
τ
t
e−
/*
時間常數電路衰減的速率取決於
時間常數為電路的 "" τ
電路連續切換的研究上
一般式可以被使用在
是任意的初始時間 , , ot
具有定電源的一階電路
dxxfetxetxt
tTH
xttt
)(1
)()(
0
0
0 ∫−
−−
−
+= ττ
τ
0)0(; xxfxdt
dxTH =+=+τ
假如微分方程式等號的右邊是常數
dxef
txetxt
t
xt
TH
tt
∫−
−−
−
+=0
0
)()(0
ττ
τ
⇒=−
−−
τττ
xtxt
eee
dxeef
txetxt
t
xt
TH
tt
∫−
−−
+=0
0
)()(0
τττ
τ
t
t
xt
TH
tt
eef
txetx
0
0
)()(0
+=
−−
−τττ τ
τ
−+=
−−
−ττττ00
)()(0
ttt
TH
tt
eeeftxetx
( ) τ0
)()(0
tt
THTHeftxftx
−−
−+=
0tt ≥
解的型式為
021;)(
0
tteKKtxtt
≥+=−
−τ
在電路上的任意變數具有如下的型式
021;)(
0
tteKKtytt
≥+=−
−τ
只有K_1和K_2的值不同
暫態暫態暫態暫態
時間常數時間常數時間常數時間常數
暫態的變化和時間常數的解釋暫態的變化和時間常數的解釋暫態的變化和時間常數的解釋暫態的變化和時間常數的解釋
定性觀點定性觀點定性觀點定性觀點：：：： 較小的時間常數較小的時間常數較小的時間常數較小的時間常數，，，，暫態現象較快暫態現象較快暫態現象較快暫態現象較快消失消失消失消失
由於小於由於小於由於小於由於小於2%2%2%2%誤差誤差誤差誤差，，，， 在這點之後暫態為零在這點之後暫態為零在這點之後暫態為零在這點之後暫態為零在一個時間常數下降在一個時間常數下降在一個時間常數下降在一個時間常數下降0.6320.6320.6320.632倍倍倍倍
的初始值的初始值的初始值的初始值
正切到在一個時間常數的正切到在一個時間常數的正切到在一個時間常數的正切到在一個時間常數的XXXX軸軸軸軸
CRTH=τ
時間常數
下面的範例將說明時間常數的物理意義
−
+vS
RS a
b
C
+
vc_
對電容充電
THCC
TH vvdt
dvCR =+
電路數學模型
0)0(, == CSS vVv
假設
解具有如下的型式
τ
t
SSC eVVtv−
−=)(
CRTH=τ
暫態
從實際的觀點來看，當暫態可以忽略時，電容被充電
0067.0
0183.00498.0135.0
5
432
368.0
τ
τττ
τ
τ
t
et −
在五個時間常數後，誤差小於1%，暫態可以忽略
dt
dvC C
S
SC
R
vv −
0
: aKCL
=−
+S
SCc
R
vv
dt
dvC
在節點
1. 電路只有獨立恆定電源
微分方程式法
電路含有一個儲能元件
條件
2. 對於關注的變數可以容易得到微分方程式。通常，使用基本的分析工具，如 KCL、 KVL. . .或戴維寧等效定律
3. 微分方程式的初始條件是已知的或者可以利用穩態分析得到
解決策略:使用微分方程式和初始條件來求參數 τ,, 21 KK
( )
1 2
FACT: WHEN ALL INDEPENDENT SOURCES ARE CONSTANT
FOR ANY VARIABLE, ( ), IN THE CIRCUIT THE
SOLUTION IS OF THE FORM
( ) ,Ot t
O
y t
y t K K e t tττττ
−−−−−−−−
= + >= + >= + >= + >
假如微分方程式中已經知道y的型式
將解的型式代入微分方程式，並找出兩個等式
0
01
)0( yy
fyadt
dya
=+
=+ 我們可以利用這項資訊來找出y中的未知變數
feKKaeK
a
tt
=
++
−
−−ττ
τ210
21
0
110a
fKfKa =⇒=
0
120
1 0a
aeKa
at
=⇒=
+−
−
ττ
τ
τ
τ
t
eK
dt
dy −
−= 2⇒>+=−
0,)( 21 teKKty
t
τ
21)0( KKy +=+
利用初始條件得到一個等式
12 )0( KyK −+=
捷徑：將微分方程式以變數係數為1做正規化表示
00
101
a
fy
dt
dy
a
afya
dt
dya =+⇒=+
τ1K
2
)0( .0),( SVvttv => 假設求
的數學模型求出在使用 0 t )( KCL >tv
0)()(
=+−
tdt
dvC
R
Vtv S
2/)0( SVv =初始條件
微分方程式已知，初始條件已知
步驟 1 時間常數
fydt
dy=+τ
從微分項的係數得到時間常數
步驟 2 穩態分析
)( , t 0
0,)(
1
21
穩態值且當
解的型式為
Kv(t)
teKKtv
t
→∞→>
>+=−
τ
τ
在穩態時解變成一個常數。因此解的微分等於零。從微分方程式
SVvdt
dv=⇒= 0
從微分方程式得到的穩態值
SVK =
∴
1
)( 穩態值相等
fKfydt
dy==+
1 則假如數學模型為τ
步驟 3 使用初始條件
1221 )0()0(
0
KvKKKv
t
−=⇒+=
=當
fvK −= )0(2
2/2/)0( 2 SS VKVv −=⇒=
0,)2/()( : >−=−
teVVtv RC
t
SS答案
學習範例
sVtvtdt
dvRC =+ )()(
R/*
)0();(
0,)(
211
21
+=+∞=
>+=−
xKKxK
teKKtx
t
τ
0),( >tti求
的數學模型求使用 0tKVL >
−+ Rv
−
+
Lv)(ti
KVL
)()( tdt
diLtRivvV LRS +=+=
0)0()0()0(
0)0(0=+
+=−⇒
=−⇒<i
ii
it
電感
初始條件
步驟 1R
Vtit
dt
di
R
L S=+ )()(R
L=τ
步驟 2 穩態R
VKi S==∞ 1)(
步驟 3 初始條件
21)0( KKi +=+
−=
−
RL
t
S eR
Vti 1)( :解答
學習範例
)0();(
0,)(
211
21
+=+∞=
>+=−
xKKxK
teKKtx
t
τ
1 2( ) , 0
t
i t K K e tτ−
= + >
的數學模型
求使用
0 t KCL >
)()(
tiR
tvIS +=
)(tv
⇒= )()( tdt
diLtv )()( tit
dt
di
R
LIS +=
步驟 1
步驟 2 SS IKIi =⇒=∞ 1)(
步驟 3 210)0( KKi +==+
−=
−
RL
t
S eIti 1)( :解答
0)0( : =+i初始條件
R
L=τ
練習範例
1 2( ) , 0
t
i t K K e tτ−
= + >
的數學模型0 t >
2
)()(
R
tvti =
從電容電壓來決定電路數學模型，較為簡單
初始條件
VvVkk
kvC 4)0(4)12(
63
3)0( =+⇒=
+=−
0)(
)(
||;0)(
)()(
21
21
=+
==++
P
P
R
tvt
dt
dvC
RRRR
tvt
dt
dvC
R
tv
Ω== kkkRP 26||3
sFCRP 2.0)10100)(102(63 =×Ω×== −τ
步驟 1
步驟 2 0)( 1 ==∞ Kv
步驟 3 VKVKKv 44)0( 221 =⇒=+=+
0],[4)( 2.0 >=−
tVetv
t
0],[3
4)( : 2.0 >=
−
tmAeti
t
解答
0,)( 21 >+=−
teKKti
t
τ
電路的穩態當 0 t <
Vtvtdt
dvO
O 6)()(5.0 =+
][3)()(5.0
12)(4)(2
Atitdt
di
titdt
di
=+
=+ ])[(2)( VtitvO =
0),( >ttvO求
KVL(t>0)
)(ti
的數學模型求使用 0 t KVL >
0)()()( 311 =+++− tiRtdt
diLtiRVS
5.0=τ 步驟 1
0,)( 21 >+=−
teKKtv
t
Oτ
學習範例
步驟 2: 使用穩態分析求K1
Vvtvtdt
dvOO
O 6)(6)()(5.0 =∞⇒=+
1)( KvO =∞
VK 61 =∴
為求初始條件，需要t<0時的電感電流並且在開關期間，使用感應器電流的連續性。
接下來的步驟需要輸出訊號初始值， )0( +Ov
當t<0時，做穩態的假設可以簡化分析
)0();(
0,)(
211
21
+=+∞=
>+=−
xKKxK
teKKtx
t
τ
使用戴維寧定律時，假設電感在穩態狀況下
Ω== 12||2THR
04412 1 =−+− I1I
KVL
KVL][442 1 VIVV OCTH =−==
][41 AI =
][3
4)0()0( AiiL =+=−
0,)( 21 >+=−
teKKtv
t
Oτ
][3
8)0(
3
4)0( Vvi O =+⇒=+
0,3
53)( 5.0 >−=
−
teti
t
a
b
0],[3
106)( 5.0 >−=
−
tVetv
t
O
電路在穩態狀況下 (t<0)
)( tiL必需找出
3
106
3
82221 =⇒−==+ KKKK
Li
0t <
0),( >ttvO求
C
1R
2R
的數學模型求使用 0 tKCL >
0)()(0)( 21
21
=++⇒=+
+ cCCC vt
dt
dvCRR
RR
vt
dt
dvC
sFCRR 6.0)10100)(106()(63
21 =×Ω×=+= −τ步驟 1
)(3
1)(
42
2)( tvtvtv CCO =
+=
步驟 20,)( 21 >+=
−
teKKtv
t
Cτ 01 =K
初始條件。電路在t<0時為穩態狀況
−
−
+
)0(Cv V)12(9
6=
][88)0( 221 VKKKvC =⇒+==+
步驟 3
0],[8)( 6.0 >=−
tVetv
t
C
0],[3
8)( 6.0 >=
−
tVetv
t
O
學習評量
)( tvc決定
)0();(
0,)(
1211
21
+=+∞=
>+=−
iKKvK
teKKtv
C
t
Cτ
0),( 1 >tti求
的數學模型求出使用 0 tKVL >
⇒=+ 0)(18 11 ti
dt
diL
L
0)()(9
11
1 =+ titdt
di
)0();(
0,)(
12111
211
+=+∞=
>+=−
iKKiK
teKKti
t
τ
步驟 1 s9
1=τ
步驟 2 01 =K
要找出初始條件需要t<0的電感電流
)0(1 −i
電路在開關之前為穩態狀況
AV
i 112
12)0(1 =
Ω=−
步驟 3
][1)0()0( 22111 AKKKii =⇒+=+=−
0],[][)( :99
1
1 >== −
−
tAeAetit
t
解答
)(1 ti
−
+
Lv
學習評量
使用戴維寧定律得到數學模型
得到電容電壓或流過電感的電流
Circuitwith
resistancesand
sources
InductororCapacitor
a
b
Representation of an arbitrarycircuit with one storage element
戴維寧等效電路 −
+VTH
RTH
InductororCapacitor
a
b
−
+VTH
RTH a
b
C
+
vc_
Case 1.1Voltage across capacitor
−
+VTH
RTH a
b
L
iL
Case 1.2Current through inductor
在節點a使用KCL
ciRi
0=+ Rc ii
dt
dvCi C
c =
TH
THCR
R
vvi
−=
0=−
+TH
THCC
R
vv
dt
dvC
THCC
TH vvdt
dvCR =+
使用 KVL
−+ Rv
−
+
Lv
THLR vvv =+
LTHR iRv =
dt
diLv L
L =
THLTHL viR
dt
diL =+
==+
TH
THL
L
TH R
vi
dt
di
R
LSCi
範例
Ω6Ω6
Ω6
Ω6
H3
V24−
+
)(tiO
0=t
0>t;(t)iFindO
在此範例中要求出流過電感的電流。數學模型為
TH
TH
O
O
THR
vi
dt
di
R
L=+
此微分方程式的解的型號為
0;)(21
>+=−
teKKtit
O
τ
Ω6Ω6
Ω6
Ω6V24−
+
0>t
Thevenin for t>0at inductor terminals
a
b
=TH
v 0 =TH
R ))66(||6(6 ++
sH
R
L
TH
3.010
3=
Ω==τ
0;03.0 >=+ tidt
diO
O
03.0
3.0 3.0
21
3.02 =++
−
−−tt
eKKeK
0;)( 3.0
2>=
−
teKtit
O⇒= 0
1K
下個步驟: 利用初始條件
Ω6Ω6
Ω6
Ω6V24−
+
)0()0( +=−OOii
0<t
由於 K1=0 所以解為
0;)( 3.0
2>=
−
teKtit
O
求在0+的值6
322
=K
0;6
32)( 3.0 >=
−
teti
t
O
Ω6Ω6
Ω6
Ω6
H3
V24−
+
)(tiO
0<t
Circuit for t<0
1i
2i
3i
0)(6)(6621311
=−+−+ iiiii
0)(6)(6243212
=−+−+− iiii
0)(6)(62313
=−+− iiii3
)0( iiC
=+
mA6
32)(0i:
C=+解答
和電感電流的連續性
使用穩態假設決定 ).0( +Oi
1v
806
24
661
111 =⇒=−
++ vvvv
66
24)0( 1v
iO +=+
迴路分析
節點分析
+
- 0=t
k6
k6
k6
k6
Fµ100
V12
)(tiO
0t(t),iFindO
>範例
−+C
v
6kv
i,0t CO => 時當
假如電容的電壓已知， 則這個問題是可解的
v_c 的數學模型
THC
C
THvv
dt
dvCR =+
+
- 0>t
k6
k6
k6
k6V12
)(tiO
a b−+
THv
kkkRTH 36||6 ==
sF 3.010*100*10*363 =Ω= −τ
63.0
v
=+ CC
C
vdt
dv
數學模型
3.021
t
C eKKv−
+=
65.1
5.1 3.021
5.12 =++
−
−−tt
eKKeK
61
=K
現在，我們須要使用穩態的假設和連續性，決定初值v_c(0+)
+
- 0<t
k6
k6
k6
k6V12
)(tiO
circuit in steady statebefore the switching
−−+ )0(C
v
VvC
6)0( =−
電容電壓的連續性
VvC
6)0( =+
)0(21
+=+C
vKK
0621
=⇒= KK
⇒>= 0;6)( tVtvC
0;16
)( >== tmAk
vti C
O
微分方程式方法
二階二階二階二階電路電路電路電路
電路基本方程式電路基本方程式電路基本方程式電路基本方程式
單一節點單一節點單一節點單一節點 : : : : 使用使用使用使用 KCLKCLKCLKCL
Ri LiCi
0=+++− CLRS iiii
)();()(1
;)(
0
0
tdt
dvCitidxxv
Li
R
tvi CL
t
t
LR =+== ∫
SL
t
t
itdt
dvCtidxxv
LR
v=+++ ∫ )()()(
10
0
對上式微分對上式微分對上式微分對上式微分
dt
di
L
v
dt
dv
Rdt
vdC S=++
12
2
單一迴路單一迴路單一迴路單一迴路 : : : : 使用使用使用使用 KVL KVL KVL KVL
−+ Rv
−+ Cv
0=+++− LCRS vvvv
)();()(1
; 0
0
tdt
diLvtvdxxi
CvRiv LC
t
t
CR =+== ∫
dt
dv
C
i
dt
diR
dt
idL S=++
2
2
SC
t
t
vtdt
diLtvdxxi
CRi =+++ ∫ )()()(
10
0
學習範例學習範例學習範例學習範例 的微分方程式和寫出 )( )( titv
>
<=
0
00)(
tI
tti
SS
Si
RLC RLC RLC RLC 電路並聯的數學模型電路並聯的數學模型電路並聯的數學模型電路並聯的數學模型
dt
di
L
v
dt
dv
Rdt
vdC S=++
12
2
0;0)( >= ttdt
diS
01
2
2
=++L
v
dt
dv
Rdt
vdC
−
+
Sv
>
<=
00
0)(
t
tVtv
SS
RLC RLC RLC RLC 電路串聯的數學模型電路串聯的數學模型電路串聯的數學模型電路串聯的數學模型
dt
dv
C
i
dt
diR
dt
idL S=++
2
2
0;0)( >= ttdt
dvS
02
2
=++C
i
dt
diR
dt
idL
響應方程式響應方程式響應方程式響應方程式
)()()()( 212
2
tftxatdt
dxat
dt
xd=++
解我們研究微分方程式的
齊次解
特解
已知
)()()( :
c
p
cp
x
x
txtxtx +=
0)()()( 212
2
=++ txatdt
dxat
dt
xdc
cc
方程式
齊次解滿足下列微分
假如外力函數假如外力函數假如外力函數假如外力函數 ffff((((tttt) ) ) ) 是一個常數是一個常數是一個常數是一個常數
為特解 )(2
a
AxAtf p =⇒=
Axadt
xd
dt
dx
a
Ax p
pp
p =⇒==⇒= 22
2
2
0 :證明
)()(
)(
2
txa
Atx
Atf
c+=
=對於任意外力函數
0)(4)(2)(2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xd
學習範例學習範例學習範例學習範例
0)(16)(8)(4
, ,
2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xd
自然頻率
和阻尼比找出特性方程式
二次微分項的係數必須為二次微分項的係數必須為二次微分項的係數必須為二次微分項的係數必須為 1 1 1 1
0)(4)(2)(2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xd
2nω
nςω2
0422 =++ ss
特性方程式
阻尼比和自然頻率阻尼比和自然頻率阻尼比和自然頻率阻尼比和自然頻率
2=⇒ nω
5.0=
⇓
ς
齊次齊次齊次齊次微分方程式微分方程式微分方程式微分方程式
0)()()( 212
2
=++ txatdt
dxat
dt
xd
0)()(2)(2
2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xdnn ωςω
正規化
2
11
22
2
22
a
aa
aa
n
nn
=⇒=
=⇒=
ςςω
ωω
阻尼比
無阻尼自然頻率
ς
ωn
0222 =++ nnss ωςω
特性方程式
齊次方程式的分析齊次方程式的分析齊次方程式的分析齊次方程式的分析
0)()(2)(2
2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xdnn ωςω
正規化
02
)(
22 =++
=
nn
st
ss
Ketx
ωςω
為解若且唯若
若且唯若若且唯若若且唯若若且唯若 ssss 是特性方程式的解是特性方程式的解是特性方程式的解是特性方程式的解
ststKes
dt
xdsKet
dt
dx 2
2
2
;)( : ==證明
stnnnn Kesstxt
dt
dxt
dt
xd)2()()(2)(
222
2
2
ωςωωςω ++=++
0222 =++ nnss ωςω
特性方程式
)( 1 :1 相異實根狀況 >ςtsts
eKeKtx 21
21)( +=
)( 1 :2 共軛複數根狀況 <ς
d
nn
js
js
ωσ
ςωςω
±−=
−±−= 21
( )tAtAetx ddt ωωσ
sincos)( 21 += −
tjttjst dndn eeeeωςωωςω ∓−±−
==)(
:提示
tjte ddtj d ωωω
sincos ∓∓
=
)( 1 :3 重根狀況 =ς
ns ςω−=
( ) tnetBBtxςω−
+= 21)(
)022()02(
:
22 =+=++ nnn
st
sss
te
ςωωςω 和
為解若且唯若提示
tstseKeKtx 21
21)( +=
有阻尼振盪頻率=dω
*
12 )( KKtx =⇒實數
[ ]tj
d
deKtxjs
KK )(1
*12 Re2)(
ωσ
ωσ
+−=⇒
±−=
=
2/)( 211 jAAK +=假設
1
0)()(
2
222
2222
−±−=
−±−=
=−++
ςωςω
ωωςςω
ωςωςω
nn
nnn
nnn
s
s
s
阻尼因數 =σ
學習評量學習評量學習評量學習評量
0)(4)(4)(2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xd
0442 =++ ss
特性方程式
0)2(04422 =+⇒=++ sss
242 =⇒= nn ωω 142 =⇒= ςςωn
3) (狀況這是臨界阻尼系統
t
st
etBBtx
etBBtx
221
21
)()(
)()(
−+=
+=
試求試求試求試求下列微分方程式的一般解下列微分方程式的一般解下列微分方程式的一般解下列微分方程式的一般解
0)(16)(8)(42
2
=++ txtdt
dxt
dt
xd
0)(4)(2)(2
2
=++ txtdt
dxt
dt
xd
同除二階同除二階同除二階同除二階微分係數微分係數微分係數微分係數
242 =⇒= nn ωω 5.022 =⇒= ςςωn
2) ( 狀況欠阻尼系統
325.0121;12 =−=−=== ςωωςωσ ndn
( )
( )tAtAetx
tAtAetx
t
ddt
3sin3cos)(
sincos)(
21
21
+=
+=
−
− ωωσ
3103)1(4222 jssss ±−=⇒=++=++
為為為為實數重根實數重根實數重根實數重根 為共軛為共軛為共軛為共軛複數根複數根複數根複數根
dω
學習評量學習評量學習評量學習評量
FCHLR
RLC
2,2,1
:
==Ω=
電路具有下列參數並聯
01
2
2
=++L
v
dt
dv
Rdt
vdC 0
2
2
=++C
i
dt
diR
dt
idL
042
1
02
2
2
2
2
2
=++
=++
v
dt
dv
dt
vd
v
dt
dv
dt
vd
016
3)
4
1(
4
1
2
22 =++=++ ss
s
2
1
4
1;
2
1=⇒== ςςωω nn
+=
−
tAtAetv
t
c4
3sin
4
3cos)( 21
4
4
3
4
11
2
11
2 =−=−= ςωω nd
FFFCHLR
RLC
2,1,5.0,1;2 ==Ω=
電路具有下列參數串聯
齊次齊次齊次齊次微分方程式微分方程式微分方程式微分方程式
022
2
=++C
i
dt
di
dt
id
並代入參數值同除L:
CC
nn =⇒== ςςωω 22;1
C=0.5 C=0.5 C=0.5 C=0.5 欠欠欠欠阻尼阻尼阻尼阻尼C=1.0 C=1.0 C=1.0 C=1.0 臨界阻尼臨界阻尼臨界阻尼臨界阻尼C=2.0 C=2.0 C=2.0 C=2.0 過過過過阻尼阻尼阻尼阻尼
試決定不同試決定不同試決定不同試決定不同CCCC參數的響應類型參數的響應類型參數的響應類型參數的響應類型
解的解的解的解的型式型式型式型式
4
1=σ
C
44 −=根的區別值
網路響應網路響應網路響應網路響應
試試試試決定常數值決定常數值決定常數值決定常數值
Atxtdt
dxt
dt
xdnn =++ )()(2)(2
2
2
ωςω
正規化型式
tsts
n
eKeKA
tx 21
212)( ++=
ω
212)0( KK
Ax
n
+=−+ω
2211)0( KsKsdt
dx+=+
( )tAtAeA
tx ddt
n
n ωωω
ςωsincos)( 212
++=−
12)0( A
Ax
n
=−+ω
21)0( AAdt
dxdn ωςω +−=+
( ) t
n
netBBA
txςω
ω
−++= 212
)(
12)0( B
Ax
n
=−+ω
21)0( BBdt
dxn +−=+ ςω
學習範例學習範例學習範例學習範例 FCHLR5
1,5,2 ==Ω= VvAi CL 4)0(,1)0( =−=
∫ =+++t
Ldt
dvCidxxv
LR
v
0
0)0()(1
011
2
2
=++ vLCdt
dv
RCdt
vd
015.22 =++ ss
特性方程式
5.1;1 ==⇒ ςωn
2
5.15.2
2
4)5.2(5.22
±−=
−±−=s
tt eKeKtv 5.02
21)(
−− +=
為為為為找出未知常數我們需要找出未知常數我們需要找出未知常數我們需要找出未知常數我們需要
)0();0( ++dt
dvv
Vvvv CC 4)0()0()0( ==+=+
+= 0t KCL AT
0)0()0()0(
=+++++
dt
dvCi
R
vL
C
5)5/1(
)1(
)5/1(2
4)0( −=
−−−=+
dt
dv
2;255.02
421
21
21==⇒
−=−−
=+KK
KK
KK
0;22)(5.02 >+= −− teetv tt
RiLi Ci
0=++ CLR iii
步驟步驟步驟步驟 1 1 1 1 數學模型數學模型數學模型數學模型
步驟步驟步驟步驟 2 2 2 2
步驟步驟步驟步驟 3 3 3 3特性根特性根特性根特性根
步驟步驟步驟步驟 4 4 4 4解的型式解的型式解的型式解的型式
步驟步驟步驟步驟 5: 5: 5: 5: 求解未知常數求解未知常數求解未知常數求解未知常數
)0(),0( LC iv假如未給定則找出
分析在分析在分析在分析在t=0+t=0+t=0+t=0+時時時時的電路的電路的電路的電路
%script6p7.m
%plots the response in Example 6.7
%v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0
t=linspace(0,20,1000);
v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);
plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)')
title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')
利用利用利用利用MATLABMATLABMATLABMATLAB畫出電路響應畫出電路響應畫出電路響應畫出電路響應
學習範例學習範例學習範例學習範例 FCHLR 04.0,1,6 ==Ω= VvAi CL 4)0(;4)0( −==
∫ =+++t
CvdxxiC
tdt
diLtRi
0
0)0()(1
)()(
0)(1
)(2
2
=++ tiLC
tdt
di
L
R
dt
id
0)(25)(62
2
=++ titdt
di
dt
id
0256 :2 =++ ss特性方程式
6.062
5252
=⇒=
=⇒=
ςςω
ωω
n
nn
432
100366 : js ±−=
−±−=根 dω
)4sin4cos()( 213 tAtAeti t += −
Aii L 4)0()0( ==
)0( +dt
di計算 )()( t
dt
diLtvL =
)0()0()0( CvRidt
diL −−= 20)0( −=+⇒
dt
di
41 =⇒ A
)4cos44sin4()(3)( 213 tAtAetit
dt
di t +−+−= −
24)4(320:0@ 22 −=⇒+×−=−= AAt
0];)[4sin24cos4()(3 >−= − tAtteti t
+
−
Rv−+ Lv
−
+
Cv0=++ CLR vvv
∫+=−−=t
CC dxxiC
vtdt
diLtRitv
0
)(1
)0()()()(
0];)[4sin224cos4()(3 >+−= − tVttetv t
C
t=0t=0t=0t=0為不連續狀況為不連續狀況為不連續狀況為不連續狀況 使用使用使用使用 t=0 t=0 t=0 t=0 或或或或 t=0+t=0+t=0+t=0+
數學模型數學模型數學模型數學模型
解解解解::::
%script6p8.m
%displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin(4t))
% and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4t))
% use a simle algorithm to estimate display time
tau=1/3;
tend=10*tau;
t=linspace(0,tend,350);
it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t));
vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t));
plot(t,it,'ro',t,vc,'bd'),grid,xlabel('Time(s)'),ylabel('Voltage/Current')
title('CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE')
legend('CURRENT(A)','CAPACITOR VOLTAGE(V)')
利用利用利用利用MATLABMATLABMATLABMATLAB畫出電路響應畫出電路響應畫出電路響應畫出電路響應
學習範例學習範例學習範例學習範例 HLFCRR 2,1,8,10 21 ==Ω=Ω= AiVv LC 5.0)0(,1)0( ==
KVLKVLKVLKVL
0)()()( 1 =++ tvtiRtdt
diL
KCLKCLKCLKCL
)()(
)(2
tdt
dvC
R
tvti +=
0)()()(
)(1
2
12
2
2
=+
++
+ tvt
dt
dvC
R
tvR
dt
vdCt
dt
dv
RL
0)()(1
)(2
211
22
2
=+
+
++ tv
LCR
RRt
dt
dv
L
R
CRt
dt
vd
0)(9)(6)(2
2
=++ tvtdt
dvt
dt
vd 096 :2 =++ ss特性方程式
162,3 =⇒== ςςωω nn
22)3(096 : +==++ sss特性方程式
( )tBBetv t21
3)( += −
Vvv c 1)0()0( =+=+
)0()0(
)0()0(
0
2 dt
dvC
R
vii
t
L +==
+= KCL AT
3)0( =⇒dt
dv
11)0( Bv ==
63)0(3)0( 22 =⇒=+−= BBvdt
dv
( ) 0;61)(3 >+= − ttetv t
在在在在t=0t=0t=0t=0為不連續狀況為不連續狀況為不連續狀況為不連續狀況 使用使用使用使用 t=0 t=0 t=0 t=0 或或或或 t=0+t=0+t=0+t=0+
%script6p9.m
%displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t)
tau=1/3;
tend=ceil(10*tau);
t=linspace(0,tend,400);
vt=exp(-3*t).*(1+6*t);
plot(t,vt,'rx'),grid, xlabel('Time(s)'), ylabel('Voltage(V)')
title('CAPACITOR VOLTAGE')
利用利用利用利用MATLABMATLABMATLABMATLAB畫出電路響應畫出電路響應畫出電路響應畫出電路響應
學習評量學習評量學習評量學習評量 0),( >tti求
當當當當開關開路時開關開路時開關開路時開關開路時，，，，為串聯為串聯為串聯為串聯 RLC RLC RLC RLC電路電路電路電路
0)()0()(2)(3
0
=+++ ∫t
C dxxivtdt
diti
0)(2
1)(
2
3)(
2
2
=++ titdt
dit
dt
id
5.0,1 :
05.05.1 :2
−−=
=++
s
ss
根
特性方程式
0;)( 221 >+=
−− teKeKti
t
t
為求出初始為求出初始為求出初始為求出初始條件條件條件條件，，，，對對對對 t<0t<0t<0t<0做穩態分析做穩態分析做穩態分析做穩態分析
+
=
−
dt
diCvC
AiL 2)0( =
VvC 0)0( =
0)0( =+dt
di
21
21
2
10
2
KK
KK
−−=
+=
0;42)( 2 >+−=−
− teeti
t
t
+
−
Cv
+
−
Rv
−
+
Lv
並且分析並且分析並且分析並且分析t=0+t=0+t=0+t=0+時時時時的電路的電路的電路的電路
KCLt 使用在 += 0 Ai 2)0( =+
=0=0=0=0=2=2=2=2
學習評量學習評量學習評量學習評量 0),( 0
>ttv求
當當當當 t>0 t>0 t>0 t>0 時時時時，，，，為串聯為串聯為串聯為串聯 RLC RLC RLC RLC 電路電路電路電路
)(2)(0 titv =
)(ti
KVLKVLKVLKVL
0)(2)0()(3/2
1)(
2
1
0
=+++ ∫ tivdxxitdt
diC
t
0)(3)(4)(2
2
=++ titdt
dit
dt
id
3,1 :
034: 2
−−=
=++
s
ss
根
特性方程式
0;)(3
21 >+= −− teKeKti tt
AiL 2)0( −=−
=
+
0)0(Cv
Ai 2)0( −=+ 0)0()0( =+=+dt
diCvC
030)0(
20)0(
21
21
=−−⇒=+
−=+⇒=+
KKdt
di
KKi
3
1
1
2
−=
=
K
K
( ) 0;32)(
0;3)(
30
3
>+−=
>+−=∴
−−
−−
teetv
teeti
tt
tt
為求出初始為求出初始為求出初始為求出初始條件條件條件條件，，，，對對對對 t<0t<0t<0t<0做穩態分析做穩態分析做穩態分析做穩態分析
並且分析並且分析並且分析並且分析t=0+t=0+t=0+t=0+時的電路時的電路時的電路時的電路
學習評量學習評量學習評量學習評量 0);(),( 00 >ttvti試求 )(12)(18)( 00 Vtitv +=
KVLKVLKVLKVL
012)(18)(2)0()(36/1
14
0
=+++++− ∫ titdt
divdxxi
t
C
0)(18)(9)(2
2
=++ titdt
dit
dt
id
6,3 :
0189 : 2
−−=
=++
s
ss
根
特性方程式
0;)(6
23
10 >+= −− teKeKti tt
0)0( =Cv AiL 5.0)0( =
分析分析分析分析t=0+t=0+t=0+t=0+時的電路時的電路時的電路時的電路
)(5.0)0()0(0 Aii L =+=+
)0()0()0( 0 +=+=+dt
diL
dt
diLv L
L−++ )0(Lv
−
=+
+
0)0(Cv
012)0(18)0(4 =+++++− LL iv
210
210
5.0)0(
632/17)0(
KKi
KKdt
di
+==+
−−=−=+
Ω
Ω
對對對對 t<0t<0t<0t<0做穩態分析做穩態分析做穩態分析做穩態分析
)0(Li
−
+
)0(CvV24
17)0( −=+Lv
0;6
14
6
11)(
630 >+−= −− teeti tt
6
14;
6
1121 =−= KK
二階
電路
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