Cálculo de la resistencia de una puesta a tierra en un terreno homogéneo
• Introducción • Electrodo elemental general• Barra vertical• Conductor horizontal recto• Resistencia mutua entre electrodos elementales• Método general de solución de puestas a tierra compuestas• Resistencia de combinaciones de barras• Resistencia de combinaciones simples de conductores• Resistencia de combinaciones de conductores y barras• Resistencia de mallas de tierra• Interconexión de puestas a tierra
IntroducciónLo normal es que los terrenos no sean homogéneos en sus características
eléctricas. Por tanto, una forma de enfrentar esta situación es aplicar los
procedimientos deducidos en este capitulo para un medio homogéneo, a la
situación real de medios no homogéneos, sobre la base de una equivalencia
de resistividades. En otras palabras, aplicar los criterios y expresiones
obtenidas para un medio homogéneo pero utilizando una resistividad
equivalente deducida con algún criterio valido para fines prácticos.
En el calculo del potencial de los electrodos o conjuntos de electrodos, se
desprecian los efectos inductivos y capacitivos de estos, considerándose
solo la resistencias propias (con respecto a la tierra remota) y mutuas entre
electrodos. De un análisis simple se pude concluir que a las frecuencias de
50/60 Hz. Las reactancias mutuas tienen valores muy inferiores a las
resistencias mutuas. Lo inverso sucede con las reactancias capacitivas,
propias y mutuas, ya estos valores son considerablemente superiores a las
resistencias correspondientes.
Electrodo elemental generalEn esta sección se establecen los criterios y las bases de cálculo de la
resistencia de electrodos elementales. Aunque estas bases son en principio
aplicables a un electrodo de cualquier forma, en la practica los electrodos
utilizados, ya sea en forma aislada o formando parte de sistemas
compuestos, son la barra vertical y el conductor horizontal. Otros tipos de
electrodos, tales como el anillo o la plancha metálica rectangular, se utilizan
en situaciones especiales o como complemento a otros electrodos de una
puesta a tierra.
La base de calculo de un electrodo elemental es suponerlo formado por
pequeños electrodos que actúan como fuentes radiales de corriente o
esferas metálicas. El comportamiento del electrodo en global, se obtiene por
superposición del efecto de todos estos pequeños electrodos que lo
conforman.
Conceptos básicos
Sea una pequeña esfera metálica de un material de resistividad nula y radio
r, inmersa en un medio infinito de resistividad homogénea . Esta esfera se
considera representativa de una fuente puntual que dispersa, en forma
radial, una corriente total I hacia el medio.
Fuente puntual en un medio infinito.
Sobre la superficie imaginaria de una esfera de radio u (u>r), con la esfera metálica, la densidad de corriente i vale:
De acuerdo a la ley de Ohm, el valor de la intensidad del campo eléctrico (de dirección radial), es:
(V/m)
El potencial en un punto P, a una distancia q del centro de una esfera metálica, vale:
(V)
Si se considera a continuación que la esfera metálica no se encuentra en un
medio infinito, sino en un semiespacio terreno/aire, es necesario satisfacer,
además, las siguientes condiciones en el contorno entre espacios
;
Una forma de satisfacer las condiciones anteriores, es aplicar el método de las imágenes.
24 u
Ii
24 u
Ii
24 u
Ii
24 u
Ii
q
q
Idu
4
0zi
Método de las imágenes:
Este método consiste básicamente en considerar un medio infinito de resistividad , en el cual, además del efecto de la esfera real, está presente el efecto de una esfera igual, reflejada en la superficie que representa la separación entre ambos medios. En este caso, considerando que el terreno tiene una conductividad mucho mayor que el aire la corriente dispersada por la imagen tiene una magnitud y signo igual a la esfera real.
Fuente puntual de corriente y su imagen.
El potencial en el punto P(x, y, z) del terreno, esta dado entonces, por la suma de los potenciales producidos en ese punto por la esfera real y la esfera imagen:
''' 4π
ρI
4π
ρIP qq
La expresión anterior es la base para él calculo del potencial producido en un punto del terreno por un electrodo de forma cualquiera. El electrodo se supone dividido en elementos infinitesimales cada uno de los cuales se asemeja a una pequeña esfera o fuente puntual de corriente. El potencial total es la suma (integral) de los potenciales infinitesimales producidos por cada una de las fuentes puntuales en que se divide el electrodo. Así, para un electrodo elemental de cualquier forma, el potencial producido por un elemento de este, en un punto P(x, y, z) del terreno, vale:
'' 4π
ρdI
4π
ρdIP
dqq
donde el punto P queda determinado por un sistemas de coordenadas convenientemente elegido. Normalmente, el valor de z se mide a partir de la superficie del terreno.
La corriente dispersada por un elemento ds del electrodo elemental vale:
Donde ds es la longitud del elemento, medida en la dirección axial de electrodo; e i(s) es la densidad lineal de dispersión de de corriente hacia el terreno, variable a lo largo del electrodo. Por tanto:
dssidI )(
"
)(
'
)(
4 q
si
q
siIP
d
El potencial total en un punto P(x, y, z) vale:
Como se desconoce la función de densidad i(s), no es posible una solución analítica de la expresión anterior. Por lo tanto, se acostumbra a considerar una distribución uniforme de dispersión de corriente en el electrodo, igual al valor medio de esta. Si se comparan los resultados obtenidos al aplicar este criterio, con una solución numérica de la expresión anterior, la diferencia es normalmente inferior a 5% lo que es aceptable para fines prácticos. Por tanto, se supone
donde I es la corriente total dispersada por el electrodo y l es la longitud axial de este. Suponiendo esto:
cuya solución general es:
sds
q
si
q
siIP "
)(
'
)(
4
l
Iteconssi tan)(
)(s "q'q
1ds11
l4
IP
),,(4
zyxFl
IP
Potencial del electrodo y resistencia de puesta a tierra
Si el diámetro del electrodo es mucho menor que su longitud, su potencial propio se puede obtener como un caso especial de la expresión anterior, sobre la superficie del electrodo. Como consecuencia del supuesto que i(s) sea constante, el potencial 0 del electrodo aparece como función de s lo que no es correcto. Así en términos generales:
La situación anómala dada por la expresión anterior, en que el potencial aparece como función de s, se puede resolver considerando como potencial real del electrodo:
a) El potencial existente en un punto del electrodo denominado punto característico (coronado con ^). Este punto, elegido en forma relativamente arbitraria, se considera representativo del potencial del electrodo. Para los electrodos elementales usados en la practica (conductor horizontal y barra), normalmente se adopta como punto característico el punto central de su longitud. Con este criterio:
)s(G)s(l4
I0
)s(G)ss(ˆl4
I0
b)El valor medio del potencial 0(s):
Lo normal es que los valores de y med no sean muy diferentes entre sí siendo más exacto med. La elección de uno de ellos, como representativo de para él calculo de la resistencia de puesta a tierra, tiene por objeto simplificar las expresiones o formulas deducidas. De ahí que sea posible encontrar en la literatura atinente, expresiones de distinta apariencia para él calculo de la resistencia para un mismo electrodo. Sin embargo, los resultados de su aplicación práctica no difieren en más de un 5 a 10%, en la mayoría de los casos.
Sobre la base de estas dos ultimas expresiones, la resistencia de puesta a tierra del electrodo general, vale:
o bien:
ds)s(Gds)s(ssmed
200 l4
I
l
1
0 00
sGˆ
Rl4I
0
s
med ds)s(GR2
0
l4I
Ya sea que la resistencia del electrodo se determine sobre la base de una de las expresiones de R, esta puede expresarse como:
o bien:
donde R' corresponde a la resistencia del electrodo enterrado a una profundidad infinita (solo el efecto del electrodo real), y R" es una resistencia adicional debida a una profundidad finita de enterramiento (efecto adicional del electrodo imagen).
Potencial sobre la superficie del terreno:
Sobre la superficie del terreno, z = 0 y, por tanto, q" = q'. Entonces, de acuerdo a (2.12) para un punto P(x, y) sobre la superficie del terreno:
La aproximación de considerar la densidad de corriente i(s) uniforme a lo largo del electrodo es generalmente aceptable para el calculo de 0 y R. Sin embargo, en algunos casos esta suposición no es valida para el calculo de s y es necesario utilizar una mejor representación de la función de densidad i(s), dividiendo el electrodo en varios segmentos
)"s(G)'s(GRRR '''
l4l4
s
''
s
'''' ds)s(Gds)s(GRRR22 l4l4
)z,y,x(Fs
0l4
I
Distribución de corriente en el electrodo:
A partir de la expresión es posible obtener una
primera aproximación de i(s).Para que 0 sea constante,
independientemente de s, puede estimarse:
Así la corriente total que dispersa el electrodo es:
de donde se obtiene el valor medio de corriente dispersada por el electrodo:
)s(G)s(l4
I0
)(sG
(s) 204
i
ds14
dsiI 0 s sGs s
)(sGs
3ds1
l
4
l
Imed
i 0
De las expresiones (2) y (3) se obtiene una relación aproximada entre la densidad de corriente dispersada por el electrodo a una distancia s, y el valor medio de la corriente dispersada:
El valor medio de la integral del denominador de la expresión anterior es difícil de obtener analíticamente y debe recurrirse a una solución numérica.
Sobre la base de lo anterior, es posible también obtener una mejor estimación de la resistencia de la puesta a tierra del electrodo:
A su vez, el potencial sobre la superficie del terreno se puede recalcular más exactamente. Reemplazando (2) en (1) y como q”= q’, se obtiene:
s dssG
sG
l
medi
si1
s dssG
IR
14
0
s
sds
sGqds
q
sis '
10
2'2
s dssGq
s'
12
0
Donde:
La expresión anterior se puede generalizar a una puesta a tierra formada
por N electrodos:
N
1ns
nn0
s
n
dssGsq'
12
Resistencia mutua entre dos electrodos:
En términos generales, la resistencia mutua entre dos electrodos se puede
definir como la relación entre la variación del potencial en uno i de ellos,
dividido por la variación de corriente dispersada en el otro electrodo j,
manteniéndose constante las restantes corrientes. En otros términos:
El cálculo práctico de la resistencia mutua entre dos electrodos se realiza
suponiendo la presencia de solo ellos, uno de los cuales dispersa una
corriente I1, que induce un potencial 21 en el otro. Así:
i
jI
jiR
jI
iij
R
1
2121 I
R
La corriente I1 que dispersa el electrodo 1, produce en un punto P(x, y, z)
sobre la superficie del electrodo 2, de acuerdo a , el
potencial:
Al igual que para la resistencia propia de un electrodo, la resistencia muta
se puede determinar sobre la base del potencial determinado para un
punto característico del electrodo, o bien, considerando el potencial medio
inducido. Así:
o bien:
donde la función F(x, y, z)se define para puntos en la superficie del
electrodo 2.
),,(4
zyxFl
IP
zyxFl
I,,
14
121
)2
zz,2
yy,2
xF(x4π
ρ
I
)s(
11
2121 ˆˆˆ
l
ˆR
22 s 2
212221
21
med 2121 ds z)y,F(x,
ll4π
ρds
l
1
I)s(R
s
Barra verticalEn la figura se representa una barra de longitud l, diámetro 2a, enterrada verticalmente a partir de una profundidad t, en un medio homogéneo de resistividad ρ. La densidad lineal de corriente dispersada por la barra hacia el terreno se supone constante, de un valor i = I / l. Como existe simetría axial, un punto cualquiera del terreno se puede definir por las coordenadas r, z.
lt
t
P ds'q'
1
q'
1
l4π
Iρ 2222 rzs''q;rzs'q donde:
La solución general de P es:
lztv
ztvr
vash
lztu
ztur
uash
l
IP
1
2
1
24
Resistencia propia de la barra:
El potencial propio de la barra se obtiene de la expresión anterior para r = a (radio de la barra), y resulta función de z, (lo que es incorrecto) como consecuencia de haber supuesto i = constante.
a) Si se considera el centro de la barra, z = t + (l / 2), como punto característico representativo de su potencial, resulta:
b) Determinando el valor medio de la expresión (1):
se obtiene la resistencia:
)(1lztv
ztva
vash
lztu
ztua
uash
l4
Iρ(z)
1
2
1
2
0
a
tlash
a
tlash
a
lash
l
Iz
2
4
2
43
22
4)(
0
lt
t
0med0 dz(z)l
1
2t;2tl;2ll;u
2tl2t;l0;0;u
2a2uauashu
l4
ρR
2
Si en la expresión anterior, l >>a, lo que es normal, y además, 4t2>>a2:
Para t = 0:
Otras expresiones validas son:
para t = 0 también.
Otra expresión considerando la profundidad de enterramiento puede ser:
(2)1a
2tlash
l
2tl1
a
2tash
l
t1
a
2t2lash
l
tl1
a
lash
l2
ρR
)(31a
4lLn
2ππ
ρ1
a
2lash
l2
ρR
(4)a
2lLn
l2
ρR
(5)4tl
4t3l
a
lLn
l2
ρR
t (m)R ()
según (2)
R () (%)
según (5)
R () (%)
según (3)
R () (%)
según (4)
0 33.55 34.40 2.5 33.53 0.1 35.16 4.8
0.5 32.11 33.58 4.6 33.53 4.4 35.16 9.5
0.75 31.80 33.32 4.8 33.53 5.4 35.16 10.6
1 31.58 33.13 4.9 33.53 6.2 35.16 11.3
29.87 31.48 5.4 33.53 12.3 35.16 17.7
Comparación de valores de resistencia de una barra de 3 m y 5/8“ de diámetro, calculados con diferentes expresiones.
Potencial sobre la superficie del terreno.
El potencial sobre la superficie del terreno, en el contorno de una barra única, puede determinarse de (1), para z = 0:
o, en su forma logarítmica equivalente:
Los gráficos de la siguientes figuras indican el valor del potencial sobre la superficie del terreno en los contornos de una barra estándar de 3 m de longitud y 5/8 de diámetro.
r
tash
r
tlash
l
Ir
s 2
22
22
2 rtt
rtltlLn
l
Ir
s
Potencial superficial en los contornos de una barra de 3 m y 5/8’’.
Potencial superficial en los contornos de una barra de 3 m y 5/8’’.
10-2
10-1
100
101
10-2
10-1
100
Ten
sion
sup
erfic
ial e
n p.
u. d
el p
ote
nci
al d
el e
lect
rodo
Coordenada r en m
t = 0 t = 0.25 mt = 0.50 mt = 1.00 m
Potencial sobre la superficie del terreno para diferentes valores de t (profundidad del electrodo por debajo de la superficie)
De los gráficos se puede observar que para una barra única enterrada a partir de la superficie del terreno (t = 0), la solicitación máxima de voltaje entre pies a que esta sometida una persona supera el voltaje tolerable. Una solución comúnmente adoptada para reducir la solicitación entre pies en el contorno de una barra, es enterrarla a partir de un valor t de 0.25 a 0.50 m, o aislándola en su parte superior en esa longitud, como se indica en la siguiente figura. De esta manera se reduce considerablemente la solicitación entre pies. En el primer caso es necesario que el tramo enterrado del conductor de unión este también aislado de tierra.
Si se usa una barra como electrodo único de puesta a tierra, la solicitación máxima entre manos y pies, es prácticamente igual al valor de potencial adquirido por esta, lo que excede frecuentemente el valor tolerable. Por lo tanto es necesario que las partes metálicas, conectadas a tierra mediante una barra única no estén accesibles a un contacto por parte de las personas.
Así en zonas frecuentemente concurridas por personas, puede ser conveniente el uso de complementos a la barra de puesta a tierra; por ejemplo, un anillo u otro elemento que permita reducir las solicitaciones entre manos y pies. Otra opción es evitar el posible contacto con objetos metálicos conectados a la barra.
En el caso de subestaciones en altura, o para postes de madera u hormigón que pasan por zonas pobladas y que utilizan una barra como electrodo de puesta a tierra, es recomendable aislar el cable de conexión a la puesta a tierra –normalmente desnudo- de manera que no pueda ser tocado directamente por las personas en su quehacer normal.
Forma de reducir la solicitación de voltaje entre pies para una barra única.
Superficies equipotenciales de la barra:
De las expresiones del potencial en el terreno y de la resistencia de una barra vertical, se puede determinar con aproximación aceptable, sus superficies equipotenciales. En las figuras siguiente se muestra el perfil de las superficies equipotenciales de una barra de 3 metros de longitud y 0.02 m de diámetro, enterrada a partir de la superficie del terreno (t= 0.5 m y t = 0).
En la figura se puede apreciar que a partir de determinado valor de > 0.3 0 , el perfil de las superficies equipotenciales,
son con gran aproximación un arco de circulo. Para fines prácticos, se puede entonces afirmar que una barra se comporta como un semiesfera equivalente. Esta semejanza es útil para el calculo simplificado de puestas a tierras formadas por conjuntos de barras.
Conductor horizontal rectoEn la siguiente figura se representa un conductor recto de longitud l y radio a, enterado horizontalmente a una profundidad t, en un medio homogéneo de resistividad ρ.
Si el conductor de la Figura 4.9 dispersa una corriente total I, que se supone uniformemente distribuido en su largo, el potencial inducido en un punto P(x,y,z) del terreno, según (4.11), vale:
donde: ,
La solución general de es:
dsl
qql
Ip
0 "
1
'
1
4
222' yztxsq 222" yztxsq
xv
lxvyzt
vash
xu
lxuyzt
uash
l
Ip
1
2
22
1
2
224
Resistencia propia del conductor:
El potencial propio del conductor se determina de la expresión anterior, para P(x, y = a, z = t):
(1)
Al igual que para la barra, el potencial del conductor aparece en la expresión (2.51) como función de la variable en dirección axial (x para el conductor), consecuente con la suposición de i = constante. Por tanto, se debe determinar un potencial característico medio para el conductor, en forma similar a lo hecho para la barra.
a) Considerando el centro del conductor como un punto característico representativo de su potencial:
xv
lxvat
vash
xu
lxua
uash
l
Ip
1
2224
1
24
t
lash
d
lash
lI
lxR
42
20
ˆ
La expresión logarítmica equivalente, considerando l d, es:
(2)
Para l 4t, se obtiene de (2) una expresión sencilla, encontrada frecuentemente en la literatura, para la resistencia de un conductor horizontal:
(3)
b) Determinando R sobre la base del valor medio
(4)
Lo normal es que l d y l 2t, por tanto, la expresión logarítmica aproximada obtenida de (2.56), es:
(5)
ltld
ltLn
lR
2162
8
2
dt
lLn
lR
2
2
l dxxlmed 0 01
0
1221
2
22
2
2lt
l
t
l
d
t
lash
d
lash
lR
l
dt
l
tl
dt
tlLn
lR
2
42
222224
2
Adicionalmente, si l t y t d:
(6)
En la tabla siguiente se comparan los valores de resistencia de conductores de distinta longitud, de diámetro 4/0 AWG (d = 0.01326 m), para t =1 m, calculados con las expresiones (4) a (6), (2) y (3), para = 100 -m
l
t
dt
tlLn
lR
22
224
2
t (m)R ()
según (4)
R () (%)
según (6)
R () (%)
según (2)
R () (%)
según (3)
1 79.00 91.00 15.0 83.80 6.1 68.80 -13.2
2 46.7 48.50 3.8 49.30 5.4 45.5 -2.8
5 23.20 23.33 0.5 24.40 5.224.00 3.4
10 13.5 13.50 0.0 14.30 5.4 14.20 5.0
100 2.1 2.10 0.0 2.20 4.6 2.20 4.6
De la tabla anterior se concluye que para las longitudes del conductor superiores a 5 veces la profundidad t de enterramiento, las expresiones aproximadas (6), poseen errores casi nulos. Las expresiones (2) y (3), determinadas sobre la base del punto característico, tienen errores del orden de 5% con respecto a la expresión (4), que es la más exacta.
Potencial sobre la superficie del terreno
El potencial sobre la superficie del terreno, en el contorno de un conductor horizontal, se obtiene de la expresión (1), para z = 0.
La expresión logarítmica equivalente es:
22222,
yt
lxash
yt
xash
l
Iyx
s
222
222
2,
ytlxlx
ytxxLn
l
Iyx
s
Potencial superficial en el contorno de un conductor de 10 m de longitud y 0.01 m de radio.
Potencial superficial en el contorno de un conductor de 10 m de longitud y 0.01 m de radio.
De la expresión anterior se obtiene la siguiente expresión para determinar aproximadamente el valor de Vpaso, válida para l > 4 t, considerando una separación de 1 m entre pies.
Donde: H = 4 t2 + 1
Si l >10 t , la expresión anterior se simplifica a:
Las expresiones anteriores permiten determinar el Vpaso con un error inferior al 5% con respecto a los determinados con las expresiones de potencial superficial vistas anteriormente. Estas expresiones son útiles, por ejemplo, en el calculo de la solicitación que se produce en las proximidades de una tubería larga que esta unida galvanicamente a una puesta a tierra. En el ejemplo que se vera mas adelante se presenta una situación de este tipo
2
2
p)(ppasol2HHHH
l2HHHHLn
lπ2
IρVV
max
HH
HHLn
lπ2
IρVV
maxp)(ppaso
Superficies equipotenciales de un conductor horizontal:
De las expresiones del potencial en el terreno y de la resistencia de un conductor horizontal, se puede determinar con aproximación aceptable, sus superficies equipotenciales. En las figuras siguiente se muestra el perfil de las superficies equipotenciales de un conductor de 10 metros de longitud y 0.02 m de diámetro, enterrado a partir de la superficie del terreno (t = 0.5 m y t = 0).
Ejemplo:Una tubería metálica desnuda, de 100 m de longitud y 4’’ de diámetro, esta conectada galvanicamente a una puesta tierra de una subestación, como se muestra en la figura siguiente. La resistencia de la puesta a tierra es de 2.5 , y la resistividad del terreno (homogéneo) es de 100 -m. Se debe determinar la profundidad de enterramiento de la tuberia para evitar que las solicitaciones entre pies en su contorno, sean mayores que las tolerables. La corriente residual de falla es de 2 000 A y perdura durante 1 seg.
L = 100 mp
20 m
20 m
1 (S/E)
2 (tubería)
2 000 A
1 seg
Solución:a) Voltaje tolerable entre pies.Lo habitual es que no se utilice un material artificial de alta resistividad en la superficie del terreno, fuera del recinto de la subestación. En esta situación, la resistencia de contacto Rp de un pie en el terreno, es:
Por tanto:
b) Corriente dispersada por la tubería.Solo una parte de la corriente total de falla de 2 000 A, es dispersada por la tubería. De acuerdo al circuito equivalente de la siguiente figura, esta corriente vale:
53120804
100
4.
.rR
pp
V.t
R.V p
pptol 51882320116
tottuberia IRRR
RRII
122211
12112 2
R12
R22- R12R11- R12
I1 I2
12
(I1+I2)
Circuito equivalente de dos electrodos interconectados
Donde R11 es la resistencia propia de la puesta a tierra de la subestación (2.5 ), R22 es la resistencia propia de la tubería que se puede determinar con la siguiente expresión y R12 corresponde a la resistencia mutua entre ambas.
La resistencia mutua entre la puesta a tierra de la subestación y la tubería, se puede determinar con buena aproximación suponiendo la primera como una fuente puntual de corriente (semiesfera equivalente), y determinando el valor medio del potencial inducido en la segunda. Así:
c) Calculo del voltaje de paso.Por tratarse de una tubería relativamente larga (l > 10 t), se puede determinar el valor del voltaje de paso Vpaso, mediante la siguiente expresión en la siguiente tabla se muestran los resultados para diferentes profundidades:
1221
2
22
2
2lt
l
t
l
d
t
lash
d
lash
lR
0.3810
110Ln0.159
p
lpLn
lπ2
ρds
sπ2
ρ
l
1R
lp
p
12
HH
HHLn
lπ2
IρVV
maxp)(ppaso
t (m) R22 () I2 (A) H(m2) Vpaso (V)
0.25 2.05 1 120 1.25 514
0.50 1.94 1 150 2.00 323
0.75 1.88 1 170 3.25 233
1.00 1.83 1 190 5.00 182 < Vpp tol
1.25 1.79 1 200 7.25 149
1.50 1.76 1 210 10.00 126
De la tabla anterior se concluye que es necesario enterrar la tubería a una profundidad no menor de 1 m, de manera que la solicitación entre pies no sobrepase el valor tolerable.
Resistencia mutua entre electrodos elementalesGeneralización de las expresiones de resistencias
Las puestas a tierra usadas comúnmente en la práctica están formadas por combinaciones, generalmente regulares, de conductores horizontales y barras verticales. En las secciones anteriores se determinan las expresiones para el cálculo de las resistencias propias de estos electrodos. En esta sección se establecen las expresiones para el cálculo de las resistencias mutuas de estos electrodos.
En este punto es conveniente introducir un cambio en la presentación del procedimiento de cálculo de la resistencia de los electrodos elementales, con respecto a lo realizado en las secciones anteriores. Esto permite generalizar el método de cálculo para determinar, tanto las resistencias mutuas como propias, con una cantidad mínima de expresiones.
Anteriormente se ha expresado que el potencial y, por tanto, la resistencia propia de un electrodo, o mutua con otro electrodo, se puede determinar como la suma del efecto del electrodo real, más el efecto de la imagen de este. Sobre esta base, es suficiente establecer una expresión general de potencial o resistencia de puesta a tierra, para dos elementos inmersos en un medio infinito de resistividad homogénea . Mediante una transformación adecuada del sistema de coordenadas, se pueden determinar las necesidades combinacionales relativas de electrodos.
Así, la resistencia mutua entre un electrodo inducido i y un electrodo inductor j, se puede expresar como:
donde Rij’ y Rij” son respectivamente las resistencias debidas al potencial producido en i por el electrodo real j’ y por el electrodo imagen j”.
Resistencia mutua entre dos electrodos en paralelo
"'ij
Rij
Rij
R
En la figura anterior se muestran dos electrodos elementales cualesquiera, de longitudes l1 y l2, paralelas entre si, ubicados en un mismo plano e inmersos en un medio infinito de resistividad . Si solamente el electrodo 1 dispersa una corriente I1 hacia el medio, donde, el potencial en un punto P (, = p) sobre el electrodo 2, vale:
El valor medio del potencial sobre el electrodo 2, es:
donde los limites superiores corresponden a valores a sumar de la expresión dentro del paréntesis cuadrado y los inferiores a valore a sumar con signo negativo. Además, la función es simétrica, esto es, F (u) = F (-u); por tanto, R21 = R12 para toda combinación de parámetros.
Sobre la base de la expresión anterior, se pueden determinar las impedancias propias y mutuas para distintos electrodos y combinaciones de ellos.
α1
u
1lα
2up
uash
l4
ρIl
0 2p2sα
ds
l4
ρIα
21φ
1
11
1
1
1
;2
12;
2 22
214
121
2
1lmml
mllm
lm
mpu
p
uuash
ll
Id
lmed
Resistencia mutua entre dos barras paralelas:
- La resistencia R’21, debida al efecto del
electrodo real 1’, se obtiene para p’=D, m = t1-t2.
-La resistencia R”21, debida al efecto del
electrodo imagen 1”, se determina
p” = D, m” = l1 + t1 + t2.
Por tanto la expresión general de resistencia
mutua entre dos barras paralelas,
representadas en la Figura, es:
7,
5,
3.
1
8,
6,
4,
2
22
21421
"21'
1221
uuuu
uuuuDu
p
uuash
llRRRR
Donde: u1 = l2-t1-t2 , u2 = t1-t2 , u3 = l1+t1-t2 , u4 = -l1+l2-t1+t2 ,
u5 = l1+l2+t1+t2 , u6 = l1+t1+t2 , u7 = t1+t2 , u8 = l2+t1+t2
Lo habitual es que las barras que se utilizan en una puesta a tierra, tengan igual longitud l, y estén enterradas a partir de una misma profundidad t. En este caso:
Si además, t = 0:
Otra expresión que suele encontrarse en la literatura, para la resistencia mutua entre dos barras de igual longitud e igual profundidad de enterramiento, es la deducida sobre la base de suponer el punto característico de potencial, ubicado en el centro de una de las barras:
La resistencia propia de una barra se obtiene como un caso particular de las expresiones anteriores, para D = a (radio de la barra).
2t,2tl,2ll,
2tl2t,l0,0,
2D2uD
uashu
l4
ρ
21R
12R
2
221
2
2242112
lDl
D
D
lash
lRR
D
tlash
D
tlash
D
lash
lRR
2
4
2
43
22
242112
2t,2tl,2ll,
2tl2t,l0,0,
2a2ua
uashu
l4
ρ
11R
2
Por lo tanto, la expresión general de resistencia para barras de igual longitud e igual profundidad de enterramiento (situación común en la práctica), es:
Donde Dii = aii, es el radio de la barra i.
Resistencia mutua entre dos conductores horizontales paralelos enterrados a igual profundidad
ttlll
tltlDiju
Dij
uuash
lijR
2,22,,
2,2,0,0
2224
Por tanto, la resistencia mutua entre dos conductores paralelos, ubicados a
igual profundidad, vale:
La resistencia propia de un conductor horizontal, se obtiene como un caso
particular de (2.81) para y2 = a (radio del conductor), x2 = 0.
12,
22
12,
2
422
2242
2
22
221412
lxxl
xllx
tyuty
uuashyu
y
uuash
llR
12,
22
12,
2
2422
2242
2
22
22411
lxxl
xllx
tyuty
uuashyu
y
uuash
lR
Combinaciones habituales de conductores horizontales:
Las puestas a tierra compuestas y las mallas de tierra tienen, en su etapa de
proyecto básico, disposiciones regulares y simétricas de sus elementos. Por
tanto, se repiten con frecuencia las disposiciones de dos conductores
horizontales mostradas a continuación:
a)2 conductores iguales paralelos. b) 2 conductores iguales en serie.
Para el caso a): l1 = l2 =l, x2 = 0, y2 = D. Por tanto: ll
tDutD
uuashDu
D
uuash
lR
,
0,0
42242
222412
Para el caso b) : x2 = l, y2 = a. Por lo tanto:
Resistencia mutua entre dos electrodos ortogonales
0,2
,
42242
222412
l
ll
tauta
uuashau
a
uuash
lR
En la figura anterior se muestran dos conductores horizontales cualesquiera
de longitudes l1 y l2, ortogonales entre si, e inmersos en un medio de
resistividad homogénea ρ. Los electrodos se ubican en un sistema arbitrario
de coordenadas α, β, γ. El electrodo inductor 1 esta en un plano α, β, γ = 0, y
el electrodo inducido, en un plano α, β, γ = q. Si solamente el electrodo 1
dispersa una corriente I1 hacia el medio, el potencial en un punto P (α = m,
β, γ = q) del electrodo 2, es:
El valor medio del potencial sobre el electrodo2, vale:
Donde:
01
12
1
0 2214
12221
41
21
H
lmH
l
q
Hash
l
I
qsm
ds
l
I
1
2
1
0
1
2
222arctan
2222214
11
221
2
121
H
H
l K
KqKHq
HKq
q
KHash
qK
HKash
ll
Ik
kd
lmed
pKlpK 221 ,
Resistencia mutua entre un conductor horizontal y una barra vertical:
Asumiendo que el conductor horizontal se ubica en la dirección del eje X:
Donde: K1 = l2 , K2 = 0 , H1 = x2 H2 = x2 – l1
La resistencia R’’12debido al efecto del electrodo imagen 1’’ se obtiene con
una expresión similar a la anterior pero con K1 = 2 t + l2 , K2 =2 t , H1 = x2 ,
H2= x2 - l1.Para el calculo de la resistencia mutua entre conductores
horizontales ubicados en dirección del eje Y y barras verticales se permutan los valores de x2 e y2 en la expresión anterior.
l1x2
y2
Y
X1
2
2
1’
1’’
t
t
Z
X
l2
x2
1
2
1
2
H
H
K
K
22
222
2
22
222
2
2121
yKHy
KHarctany
yH
KashH
yK
HashK
llπ4
ρR'
Método general de solución de puestas a tierra compuestas
La mayoría de las puestas a tierra usadas en la práctica están formadas por una combinación apropiada de diferentes electrodos elementales interconectados entre sí. Este conjunto de electrodos tiene generalmente dos objetivos: por un lado, obtener un valor de resistencia que no sobrepase lo requerido, lo que es difícil obtener con un simple electrodo, y por otro lado reducir las solicitaciones de voltaje en el interior y contorno de la puesta a tierra mediante una disposición adecuada de sus componentes. En lo que sigue a continuación, se establecen las ecuaciones generales que permiten calcular la resistencia de puesta a tierra de un conjunto de electrodos.
1
2
i
n
En la figura anterior se muestra un conjunto de n electrodos elementales, inicialmente no interconectado galvanicamente entre sí, cada uno de los cuales dispersa una corriente I. El potencial de cada electrodo se obtiene como la suma algebraica del potencial producido por la propia corriente dispersada, más los potenciales inducidos en este por cada una de las corrientes dispersadas en los restantes electrodos. Así para el conjunto de electrodos elementales:
donde: Ii es la corriente dispersada por el electrodo i.
Ri i es la resistencia propia del electrodo i
Ri j (i j) es la resistencia mutua entre los electrodos i y j
nnn3n32n21n1nnn3n2n1n
nin3i32i21i1ini3i2i1i
n2n3232221212n2322212
n1n3132121111n1312111
IRIRIRIR
IRIRIRIR
IRIRIRIR
IRIRIRIR
El sistema anterior de ecuaciones se puede escribir en forma resumida como:
o, en forma resumida:
La matriz de resistencias [R] es simétrica, (Ri,j = Rj,I), con todos sus términos mayor que cero. Además, para una determinada fila, el termino ii de la diagonal (resistencia propia del electrodo i) es siempre mayor que los otros términos (resistencias mutuas con los otros electrodos). En el caso de puestas a tierra de geometría simétrica, los términos de la diagonal son iguales entre si, o parcialmente iguales.
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
n
i
I
I
I
I
RRRR
RRRR
RRRR
RRRR
2
1
21
21
222221
111211
2
1
I R
Si se considera a continuación que los electrodos de la figura 2.22 están interconectados galvanicamente entre si, se puede asumir que todos poseen un mismo potencial 0 lo que es valido con gran aproximación para las frecuencias industriales. Entonces:
Por definición, la resistencia de puesta a tierra del conjunto de electrodos se determina como el cuociente entre el potencial de esta y la corriente total dispersada:
Por lo tanto, para calcular la resistencia del conjunto es necesario determinar las corrientes dispersadas por cada uno de los electrodos elementales, lo que implica alguna forma de solución de la expresión de la lamina anterior. Una forma clásica de solución de {I} es premultiplicar por la matriz inversa de [R], obteniéndose:
donde [R]-1 = [G], es la matriz inversa de R también simétrica.
ni 21
iitot II
R 00
011 1 RRI
Así, la solución de [I] puede expresarse como:
De donde, las corrientes dispersadas por los electrodos son:
0
21
21
222221
111211
2
1
1
1
1
1
nnninn
iniiii
ni
ni
n
i
GGGG
GGGG
GGGG
GGGG
I
I
I
I
nnn3n2n1n
ini3i2i1i
2n2322212
1n1312111
GGGGI
GGGGI
GGGGI
GGGGI
0
0
0
0
La corriente dispersada por un determinado electrodo i es:
y la corriente total dispersada por la puesta a tierra:
La resistencia de puesta a tierra del conjunto, es:
El denominador de la expresión anterior (2.108) corresponde a la suma de
todos los términos Gi j de la matriz [G].
n
jiji GI
10
n
i
n
jij
n
iitot GII
1 10
1
n
i
n
jij
tot GIR
1 1
0 1
Ejemplo:
Determinar la resistencia de puesta a tierra mostrada en la figura, formada
solo por conductores horizontales 4/0 AWG (d = 0.01326 m), enterrados a
una profundidad t = 1 m. La resistividad del terreno (homogéneo) es 100 -
m
7
43
21
65 10 m
10 m
Solución:
Los términos de la matriz de resistencias propias y mutuas entre electrodos elementales, y considerando la simetría del conjunto, son:
R11 = R22 = R33 = R44 =23.206
R55 = R66 = R77 = 13.536
R12 = R21 = R34 = R43 = 3.867
R13 = R31 = R24 = R42 = 1.545
R14 = R41 = R23 = R32 R15 = R51 = R16 = R61 = R26 = R62 = R27 = R72 =1.402
R35 = R53 = R36 = R63 = R46 = R64 = R47 = R74 =3.399
R17 = R71 = R25 = R52 = R37 = R73 = R45 = R54 =1.757
R56 = R65 = R67 = R76 =2.554
R57 = R75 =1.473
Por tanto la matriz [R], es:
Invirtiendo la matriz [R], la resistencia exacta de la puesta a tierra es:
5313554247313993757139937571
5542531355423993399339933993
4731554253137571399375713993
3993399375712023867354514021
7571399339938673202340215451
3993399375715451402120238673
7571399339934021545186732023
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
R
74212690
11
1 1
..G
R n
i
n
jij
Resistencia de combinaciones de barrasUn conjunto de barras enterradas verticalmente en el terreno es una
solución usada frecuentemente, ya sea como puesta a tierra única o como
complemento de puestas a tierra complejas. En ciertas ocasiones, como
por ejemplo en puestas a tierra de estructuras o postes de líneas de
transmisión, un conjunto de barras es la solución más conveniente debido
a la simplicidad de la faena de construcción. En otros casos la utilización
de barras puede llegar a ser una solución impuesta por razones prácticas
de espacio disponible para la construcción de la puesta a tierra. Un ejemplo
típico de esto último es la construcción de una puesta a tierra en una zona
previamente pavimentada. Utilizando solo barras se reducen los deterioros
del área. Sin embargo, es preciso tener presente que en un terreno
pedregoso, la faena de hincar barras utilizando los métodos tradicionales
puede ser dificultoso o prácticamente imposible. En situaciones como esta
debe recurrirse a métodos mas laboriosos y de mayor costo que lo normal
–por ejemplo, el uso de maquinas perforadoras especiales- sobretodo al
utilizar barras de longitudes superiores a los usuales 3 m.
Las barras que se utilizan habitualmente en la practica son de medidas
normalizadas, de una longitud de 10 pies (3 m aprox.) y diámetros de 5/8,
3/4 y 1 pulgada. Son fabricadas de acero para darle la rigidez mecánica
necesaria para poder enterrarlas y recubiertas con una capa delgada de
cobre, para evitar que se corroan en terrenos agresivos. Cuando se
combinan con conductores horizontales en una puesta a tierra, lo normal
es que se entierren a partir de la profundidad t de estos últimos. Si se
instalan en forma aislada, dependiendo de cada caso y del lugar, pueden
enterarse a partir de la superficie del suelo (t = 0). Las barras suministradas
por los proveedores de clásicos de este tipo de equipo, pueden acoplarse
entre si mediante uniones atornilladas, para así obtener longitudes
mayores. Sin embargo excepto para terrenos blandos y finos, no es posible
asegurar un hincamiento vertical efectivo al utilizar los procedimientos
mecánicos normales. Si se requiere enterrar una barra de una longitud
superior a 3 m, es conveniente realizar una perforación previa de un
diámetro de aproximadamente 3 a 4 pulgadas, mediante un equipo
adecuado.
En esta perforación se instala la barra, en forma centrada, la cual puede
ser una tubería de cobre o de acero galvanizado, dependiendo de la
agresividad del terreno. El espacio entre la barra y el terreno natural se
rellena con material fino bien compactado –de preferencia arcilloso- para
asegurar un buen contacto eléctrico y mecánico.
Una ventaja importante de la barra es que se puede con ella alcanzar
estratos de baja resistividad, que se ha determinado de mediciones. Así, si
el terreno posee un estrato superior de alta resistividad, en el que se han
instalado los conductores horizontales de la puesta a tierra, y un estrato
mas profundo de menor resistividad, que se puede alcanzar con barras
adecuadas, es conveniente el uso de estas como complemento de la
puesta a tierra. De este modo, se puede lograr valores adecuados de la
resistencia a un menor costo.
Método general de solución de un conjunto de barras
En la Figura siguiente se representa un caso general de un conjunto de barras de distintas características, ubicadas en un sistema arbitrario de coordenadas X, Y sobre la superficie del terreno. Cada barra esta definida por su longitud l, su profundidad de enterramiento t, su radio a, y su ubicación x, y.
Sobre la base de la figura anterior, se puede realizar un programa simple
para el cálculo de un conjunto de barras en un terreno homogéneo. Para el
caso general de barras de distintas dimensiones, las resistencias propias y
mutuas que forman la matriz [R], se determinan con la expresión general
de barras vista anteriormente.
-Para una barra i, la resistencia propia Rii se obtiene haciendo:
l1=l2 =li , t1=t2=ti , D=ai
-La resistencia mutua Rij se obtienen de (4.74) para:
l1= li , l2 =lj , t1=ti , t2=tj , D=Dij
Si se utilizan solo barras de igual longitud, diámetro y profundidad de
enterramiento se usa la expresión que tiene en cuenta esto en lugar de la
expresión general.
Una vez invertida la matriz [R], la resistencia del conjunto se obtiene con
como el inverso de la sumatoria de la matriz conductancia resultante .
Existen diversos métodos que permiten el cálculo aproximado de la
resistencia de un conjunto de barras como por ejemplo: el método de Tagg
y el método de Schwartz.
Resistencia de combinaciones de conductores horizontales
Lo normal es que una sola barra o un simple conductor horizontal no sea una solución satisfactoria de puesta a tierra, aun para una pequeña instalación eléctrica, considerando los requisitos impuestos: valor máximo de resistencia, seguridad para personas, etc. Si por otro lado, tampoco se justifica la construcción de una malla de tierra demasiado elaborada y costosa, una opción es utilizar una combinación sencilla de conductores horizontales dispuestos de manera convenientes. Este tipo de puesta a tierra presenta características que la hacen recomendable en numerosos casos, ya que: 1.Se pueden usar en su construcción conductores flexibles de cobre, pletinas de hierro negro o galvanizado y hierro negro de sección redonda. Los elementos horizontales de una puesta a tierra son más baratos por unidad de longitud que las barras de acero recubiertas con cobre.2.En comparación con los conjuntos de barras, los conjuntos de conductores horizontales permiten un control más efectivo de las solicitaciones de voltaje en una puesta a tierra, con una disposición adecuada de estos.
3. Para un mismo valor de resistencia a las frecuencias industriales,
poseen normalmente mejores características a impulso que los conjuntos
de barras.
4.En terrenos duros o muy pedregosos, los conjuntos de barras son de
difícil ejecución. En estas condiciones, una puesta a tierra formada solo
por conductores horizontales, puede ser la solución más aconsejable. A
la inversa si el terreno esta constituido por materiales finos y la faena de
hincar las barras es simple, la solución mas económica puede ser el
empleo de estas, ya que no es necesario realizar las excavaciones que
son requeridas para los conductores horizontales.
Los conductores que conforman una puesta a tierra se entierran
normalmente a profundidades que varían entre 0.25 m y 1 m. Una
profundidad de 0.50 m, proporciona una adecuada seguridad al daño
mecánico y reduce el volumen de excavaciones necesarias, sin que se
afecten en forma importante sus características eléctricas.
Método general de cálculo de las resistencias de puestas a tierra
formadas por conductores horizontales
Se puede construir un programa simple de computo basado en el método
general descrito para el calculo de la resistencia de una combinación
cualquiera de conductores horizontales, enterrados paralelos a la
superficie del terreno a igual profundidad, y dispuestos entre si de forma
paralela u ortogonal. La resistividad del terreno se supone homogénea.
De acuerdo a la Figura anterior los electrodos de la puesta a tierra se
ubican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas x, y. Una
alternativa sugerida es definir dos subconjuntos de conductores, uno en
cada dirección.
Cada conductor queda determinado por la ubicación de su punto inicial
(coordenada x, y del extremo mas próximo al origen), y por su longitud l.
La matriz de resistencias [R] se crea sobre la base de la expresión
establecida para el cálculo de las resistencias propias y mutuas entre
elementos paralelos, y con la expresión para calcular resistencias mutuas
entre elementos ortogonales las resistencias del conjunto se determinan
como la inversa de la sumatoria de los elementos de la matriz
conductancia.
Anteriormente se indico que la densidad de corriente dispersada por un
electrodo no es uniforme, sino que varia a lo largo de este. Sin embargo,
para hacer posible los cálculos de resistencias propias y mutuas de los
electrodos mediante expresiones analíticas, se ha supuesto la densidad
constante de magnitud igual al valor medio de la densidad de dispersión
Para un conductor único, la densidad de corriente dispersada crece hacia
los extremos, disminuyendo hacia el centro. Si el electrodo es parte de
una puesta a tierra compuesta, la magnitud y la distribución de la
densidad de corriente se modifica adicionalmente, por la proximidad con
otros electrodos en esquinas y cruces. Una forma de representar en cierta
medida este efecto de variación dela densidad de corriente dispersada y
en teoría determinar con mas exactitud la resistencia, es dividir cada
electrodo de la puesta a tierra, en acierto numero de trozos iguales o
segmentos; donde cada uno se trata como un electrodo independiente.
Esta división de los electrodos elementales conduce a un aumento
considerable en los requerimientos de memoria y tiempos de cálculo, con
un beneficio en exactitud en el cálculo de resistencia, que no se justifica
para fines prácticos en la mayoría de los casos. La situación es diferente
cuando se trata de determinar los potenciales y solicitaciones de voltaje
en el interior y contorno de una puesta a tierra. Para este cálculo es
inevitable tener que dividir los electrodos, al menos los próximos al punto
de interés.
Resistencia de combinaciones de conductores y barras
En determinadas situaciones se justifica el empleo de una puesta a tierra
consiste en una combinación mas o menos simples de conductores
horizontales y barras verticales, convenientemente dispuestas.
El empleo de barras se puede justificar, especialmente en puestas a
tierras de pequeña dimensiones relativas, ya que ayudan a mantener la
resistencia dentro de un rango menor de variación ante los cambios
estaciónales de la resistividad del terreno. Sobre la base de las expresiones indicadas en la sección 2.8, es posible construir un programa de cómputo de la resistencia de una combinación cualquiera de conductores horizontales de igual diámetro y profundidad de enterramiento (que es la situación más frecuente) y un conjunto de barras hincadas verticalmente a partir de la profundidad de los conductores. En la Tabla siguiente se esquematiza el proceso de cálculo de la resistencia de puesta a tierra. De acuerdo a lo propuesto, se definen 3 conjuntos de electrodos: un conjunto de electrodos: un conjunto de nx
conductores horizontales en dirección del eje X, un conjunto de ny
conductores horizontales en dirección del eje Y, y un conjunto de nb
barras verticales.
Cada uno de los elementos de los conjuntos están definidos por sus
coordenadas x, y del extremo más cercano al origen, y por su longitud l.
La matriz [R], de dimensión (nx + ny + nb) x (nx+ ny + nb), se forma sobre la
base de las expresiones generales entre elementos paralelos y entre
elementos ortogonales-. Aprovechando la simetría de la matriz [R], es
necesario calcular solo aproximadamente la mitad de los términos de la
matriz. Una vez formada se puede invertir con alguno de los algoritmos
clásicos y determinar la resistencia como la inversa de la sumatoria de los
elementos de la matriz conductancia.
Si es necesario se puede generalizar el programa descrito, considerando
conductores horizontales de distinto diámetro y distinta profundidad de
enterramiento, y barras verticales de distinto diámetro, profundidad y
longitud; también sobre la base de las expresiones indicadas.
Esquema de calculo de una puesta a tierra formada por conductores y barras Datos generales: Resistividad: ρ Numero de cond. en dirección X: nx
Numero de cond. en dirección Y: ny
Profundidad de los cond: t
Radio de los conductores: ac
Numero de barras: nb
Radio de las barras: ab
Datos de los conductores en dirección X: xi, yi, li
Datos de los conductores en dirección Y: xi, yi, li
Datos de las barras: xi, yi, li
Creación de la matriz R Resistencias propias y mutuas entre conductores paralelos en dirección X.
Para i = 1...nx, j = 1...nx : l1 = li , l2 = lj
m = xj – xi , p = | yj – yi | + ac R’
R”
22 4tpp
Resistencias propias y mutuas entre conductores paralelos en dirección Y.
Para i = 1..ny, j = 1..ny : l1 = li , l2 = lj
m = yj –yi , p = | xj – xi | + ac R’
R” Resistencia mutua entre conductores en direcciones X e Y..
Para i = 1..nx, j = 1..ny : l1 = li , l2 = lj
m = xj – xi, p = yj – yi q = 0 R’ q = 2t R” Resistencias propias y mutuas entre barras.
Para i = 1..nb, j = 1..nb : l1 = l2 , l2 = lj , m = 0 R’
m = li +2t R” Resistencia mutua entre conductores en dirección X y barras.
Para i = 1..nx, j = 1..nb : l1 = li , l2 = lj
m = yj – yi , q = xj – xi , p = 0 R’ p = 2t R” Resistencia mutua entre conductores en dirección Y y barras.
Para i = 1..ny, j = 1..nb : l1 = li, l2 = lj
m = xj – xi,, q = yj – yi, p = 0 R’ p = 2t R”•Inversión de la matriz [R].Calculo de R.
22 4tpp
bijij ayyxxp 22
Resistencia de mallas de tierraEn, general una puesta a tierra debe cumplir con el requerimiento de poseer una resistencia que no exceda un valor especificado, como es el caso de puestas a tierra de estructuras de líneas de transmisión, instalaciones de comunicación, pequeñas instalaciones de potencia, etc. Dependiendo de cada situación, es posible que se requiera, además, que sea segura para las personas y equipos.Si se trata de instalaciones de gran tamaño como subestaciones, centrales generadoras, industrias con suministro eléctrico en alta tensión, etc., el requerimiento mas importante es garantizar un alto grado de seguridad para las personas que laboran y transitan en estas instalaciones y para otras personas ajenas que podrían verse afectadas.
Una forma de cumplir con este objetivo de una alta seguridad para las
personas y equipos, es utilizar lo que se denomina malla de tierra
(“ground grid”, en ingles). Esta denominación tiene relación con la forma
física de la puesta a tierra, esto es, conjunto de conductores paralelos,
entrelazados entre si formando una red o malla, generalmente de forma
rectangular. Este reticulado pretende simular en cierto grado a una
plancha o superficie metálica que cubriese toda el área de la instalación.
En esta situación limite, teórica e impracticable, las solicitaciones de voltaje mano-pie y pie-pie, en el interior de la instalación serian nulas. En el caso real de una malla, estas solicitaciones están presentes; sin embargo, utilizando una disposición y un número adecuado de conductores, se pueden reducir a valores que no sobrepasen lo aceptable. La condición de seguridad se cumplirá entonces con una conveniente (en teoría optima) combinación de resistencia de puesta a tierra y combinación de electrodos.La geometría o disposición de los electrodos de la malla, determina la relación entre las solicitaciones de voltaje en su interior y contorno, y el potencial . De este modo, si para una cierta disposición inicial estimada de los conductores, las solicitaciones excedan lo permitido, debido por ejemplo a un valor alto de la resistividad del terreno, será necesario disminuir la distancia entre conductores, haciendo mas tupida la malla. Por lo contrario, si las solicitaciones son muy inferiores a las toleradas, bastara con una malla con conductores mas separados.El cálculo de la resistencia de una malla de tierra se efectúa siguiendo el método indicado para combinación de conductores y barras y cuyo procedimiento esta resumido en la tabla vistas. Solo corresponden algunas consideraciones particulares, en relación al tamaño de la malla de tierra y el hecho de suponer equipotencial el conjunto de electrodos.
En una malla básica, los conductores que la conforman están espaciados uniformemente en cada una de las direcciones, tal como se muestra en la figura siguiente. Sin embargo, en la práctica, la ejecución de la malla deberá adaptarse a la instalación real al considerar la presencia de edificios, equipos, fundaciones, etc.; lo que obliga a modificar el trazado de los conductores de la malla regular inicialmente considerada. Es necesario que el proyecto tenga en cuenta estas situaciones, realizando una disposición conservativa de los electrodos, sin caer en un uso exagerado y antieconómico de estos. Como por ejemplo en la figura siguiente se muestra lo que podría ser la modificación de una malla regular, impuesta por la situación real de la instalación. Lo normal es que no se produzcan diferencias importantes en los valores de resistencia y en las solicitaciones de voltaje, entre la malla regular básica que se ha proyectado y la malla adaptada a las condiciones reales de la instalación.
Las solicitaciones de voltaje, Vcont, entre manos y pies en una malla con conductores espaciados regularmente, tienen sus valores máximos en los módulos externos, en particular en las esquinas. Se propone una disposición de conductores con una separación mayor en el centro de la malla, disminuyendo progresivamente hacia el exterior, como se muestra en la figura a). Con esto se persigue que todos los módulos posean aproximadamente el mismo valor de Vcont, lográndose una reducción de la longitud total de conductores y excavaciones para igual es valores de solicitaciones. Una forma usada frecuentemente para reducir los valores de Vcont en los módulos de las esquinas de una malla, es utilizar adicionalmente a los conductores de una malla básica, conductores en cruz en estos módulos, como se muestra en la Figura b). De esta manera es posible reducir en algún grado el uso de conductores en el resto de la malla.
a) separación progresiva de conductores. b) cruces en esquina.
Consideraciones sobre el cálculo exacto de mallas de tierra Una manera de disminuir el volumen de cálculo al determinar la resistencia de una malla, es reducir el tamaño de la matriz [R] de resistencias propias y mutuas; lo que puede lograrse definiendo de forma conveniente los electrodos que conforman la malla sin que se produzca un error importante en los resultados. Como por ejemplo, en la figura siguiente se muestra una malla de tierra cuyos electrodos se han definido en forma semi-exacta y en forma aproximada. Si la malla del ejemplo tiene una dimensión de 48 x 24 m, t = 0.5 m, a = 0.00663 m, = 100 -m y se representa mediante 24 elementos, como en la situación a), la resistencia determinada con el método general es 1,451. Este valor crece a 1,454, al definir los elementos de acuerdo a b). Sin embargo los tiempos de cómputo se reducen en más de 50 veces.
b)a)
Otra forma de disminuir el tiempo de formación de la matriz [R] de una
malla, es reducir el número de términos de ella que deben calcularse. Si
la malla posee simetría total o parcial, el cálculo de las resistencias
propias se reduce a su determinación para cada uno de los electrodos en
las direcciones A y B. Sin embargo donde se puede conseguir una
reducción importante es en el calculo de las resistencias mutuas,
considerando que se repiten con gran frecuencia, disposiciones
homologas entre pares de electrodos; esto es, disposiciones que
presentan la misma disposición relativa entre dos de ellos y que, por
tanto, dan lugar a iguales resistencias mutuas. La figura siguiente se
muestra una malla de tierra sencilla simétrica, que presenta numerosos
casos de pares homólogos de elementos, lo que permite reducir
considerablemente el volumen de cálculo. Si en la malla sencilla
supuesta, no se considerase el criterio de homologia entre pares de
electrodos deberían determinarse N (N + 1) / 2 = 78 valores,
correspondientes a todas las resistencias propias, mas la mitad de todas
las resistencias mutuas. Sin embargo al considerar elementos y pares de
elementos homólogos, se deberán calcular solo 16 valores que agrupan a
los siguientes términos de la matriz [R]:
1 1-1 / 2-2 / 3-3 / 4-4 / 5-5 / 6-6
2 1-2 / 3-4 / 5-6
3 1-3 / 2-4 / 4-6 / 3-5
4 1-4 / 2-3 / 3-6 / 4-5
5 1-5 / 2-6
6 1-6 / 2-5
7 1-7 / 1-9 / 2-9 / 2-11 / 3-7 / 3-8 / 3-9 / 3-10 / 4-
9 / 4-10 / 4-11 / 4-12 / 5-8 / 5-10 / 6-10 /
6-12
8 1-8 / 1-10 / 2-10 / 2-12 / 5-7 / 5-9 / 6-9 / 6-11
9 1-11 / 2-7 / 3-11 / 3-12 / 4-7 / 4-8 / 5-12 / 6-8
10 1-12 / 2-8 / 5-11 / 6-7
11 7-7 / 8-8 / 9-9 / 10-10 / 11-11 /
12-12
12 7-8 / 9-10 / 11-12
13 7-9 / 8-10 / 9-11
14 7-10 / 8-9 / 9-12
15 7-11 / 8-12
16 7-12 / 8-11
Malla simétrica de tierra con pares homólogos de elementos.
Finalmente otra condición que ayuda a disminuir los tiempos de cómputo es la simetría en las corrientes dispersadas por los electrodos. En la figura siguiente se muestra una malla de tierra simétrica compuesta por 24 electrodos elementales (representación semi-exacta). La inversión de la matriz en la forma tradicional determina las 24 corrientes dispersadas por los electrodos; sin embargo, por inspección, se deduce que es suficiente determinar solo las corrientes de los electrodos1 / 2 / 4 / 5 / 13 / 14 / 16 / 17, esto es 8 en lugar de 24. Si además los electrodos de la malla se representasen en forma aproximada como en la figura anterior debería determinarse la corriente en solo 4 de los 8 electrodos.Para una malla con un numero grande de electrodos elementales, basta calcular la corriente en aproximadamente una cuarta parte de ellos.
El procedimiento de cálculo reducido consiste en escribir la ecuación
general de los potenciales en la forma particionada:
donde las submatrices RAA, RAB, RBA, y RBB se obtienen de la matriz [R]
intercambiando filas y columnas de manera de dejar en RAA solo los
electrodos que deben calcularse, e Ia es el subvector correspondiente de
corrientes. La solución de la expresión anterior para {IA} es:
Aplicando la expresión anterior se reduce el tiempo de determinación de
las corrientes a aproximadamente un 55 a 62 % del empleado al invertir la
matriz completa.
1BBAB
1
BA1
BBABAAA RR1··R·RRRI
B
A
BBBA
ABAA
I
I
RR
RR
Cálculo aproximado de la resistencia de una malla de tierra
El cálculo exacto de la resistencia de una malla de tierra formada por un
numero grande de electrodos elementales, exige disponer de programas
d computo especiales, no siempre accesible para el ingeniero no
especialista. Por esta razón, es conveniente constar con procedimientos
que simplifiquen el cálculo de la resistencia con una aproximación
aceptable para fines prácticos.
Aun cuando se disponga de métodos elaborados y exactos para el calculo
de una malla, el uso de expresiones aproximadas de fácil y rápido uso,
permite al proyectista tener un primer conocimiento de este parámetro y
concluir acciones básicas a realizar.
Los procedimientos más frecuentes en cálculo aproximado de la
resistencia de un malla de tierra son el método de Laurent y el método de
Schawarz.
Método de Laurent.Según Laurent la resistencia de una malla de tierra constituida solo por conductores horizontales se puede determinar en forma aproximada con la siguiente expresión:
donde: es la resistividad del terreno, supuesto homogéneo.r es el radio equivalente del área cubierta por la malla. Si la malla es un rectángulo de lado A y B, el radio equivalente, vale:
L es la cantidad total de conductor de la malla.El primer termino del a expresión equivale a la resistencia que tendría un plancha metálica, de las dimensiones de la malla de tierra, y corresponde a una situación limite considerando una cantidad infinita de conductor en el interior de ésta. El segundo termino es un resistencia adicional, que considera el efecto de la cantidad real de conductor de la malla.
LrR
4
BA
r
Método de Schwarz.
Schwarz ha propuesto expresiones para el calculo aproximado de mallas
de tierra formadas por un reticulada y un conjunto de barras verticales.
Estas expresiones proporcionan una exactitud mejor que con el método
de Laurent. El procedimiento consiste en determinar separadamente la
resistencia del reticulado de conductores horizontales y del conjunto de
barras y, a continuación, la resistencia mutua entre ambos conjuntos.
Estas resistencias se combinan en una expresión final para la resistencia
total.
a). Resistencia del reticulado:
b). Resistencia del conjunto de barras:
donde:
L es la resistividad del terreno N es el numero de barras
dc es el diámetro del conductor l es la longitud de cada barra
t es la profundidad de enterramiento db es el diámetro de la barra
2
12k
BA
Lk
dt
LLn
LR
c
c
21
b
1BA
l21
d
l8
l2N
kLn
NRb
k1 y k2 son coeficientes empíricos que dependen de la superficie abarcada
por la malla, la relaciona A/B y de la profundidad de enterramiento. Se han
obtenido en forma experimental en modelos; sin embargo, a partir de
éstos, es posible deducir las siguientes expresiones analíticas que lo
representan con un aproximación aceptable:
En las expresiones anteriores se ha supuesto que la malla tiene forma
rectangular. Sin embargo, si se aparta moderadamente de la forma
rectangular puede aproximarse a esta condición sin cometer errores de
importancia. En este caso se remplaza el producto A B, por la superficie
de la malla.
B
A
BA
t.
BA
t.k
B
A.
BA
t..k
1508
55
044032
431
2
1
En su forma original, la expresión para la resistencia del conjunto de
barras, supone que estas están enterradas a partir de la superficie del
terreno. En la práctica, las barras se entierran aproximadamente a partir
de la profundidad t de enterramiento de los conductores horizontales, por
tanto es conveniente incluir este parámetro, con lo que la expresión queda
como:
c). Resistencia mutua entre conjuntos:
d). Resistencia combinada de ambos conjuntos.
2
1
b
1BA
l2
t4l
t4l3
d
l2
l2N
kLn
NRb
1
l
l c
cmdt
LnRR
mbc
mbc
RRR
RRRR
2
2
Ejemplo
Calcular la resistencia de puesta a tierra de la malla indicada en la figura,
constituida por un reticulado y un conjunto de barras. El conductor de la
malla es 4/0 AWG-7 (a = 0.00663 m), y está enterrado a 0.5 m de
profundidad en un terreno de = 100 -m. Las barras son de 3 m de
longitud diámetro 5/8”, y están enterradas a partir de la profundidad de los
conductores.
3636
36
24
a). Solución según Schwarz.
Para los fines de determinar los valores de A y B, la malla real se puede
asumir como una malla de 72 x 30 m, que posee igual superficie que la
malla real. Por tanto:
La cantidad total de conductor de la malla es L=408 m. La resistencia del
reticulado es:
y la del conjunto de barras es:
75530
72
1602
50150
1602
50855
3130
720440
1602
5032431
2
1
..
..
.k
....
.k
1617551602
40831
01326050
4082
408
100..
.
..LnRc
915161602
3312
0.543
50433
0.0159
32
362
100 2.
..LnRb
La resistencia mutua entre ambos conjuntos es:
Finalmente, la resistencia combinada de ambos conjuntos, es:
b). Este mismo caso, resuelto en forma exacta, da los siguientes
resultados:
Rc ex = 1.07 Rb ex = 5.65 Rex = 1.04
Por lo tanto, las diferencias son de aproximadamente +8 % para el
reticulado, +5 % para las barras y +10 % para los conjuntos combinados.
En ambos casos se observa el casi nulo efecto de las barras en un
terreno homogéneo.
96020161101326050
408
084
10061 ...
..Ln.Rm
1519602915161
960915161 2
....
...R
En el ejemplo anterior, la malla de tierra no se aleja demasiado de la
forma rectangular y puede aproximarse a esa condición, sin que se
cometan errores de importancia. Sin embargo, si la puesta a tierra tiene
una forma acentuadamente heterogénea, es necesario proceder de
distinta forma. Una posible solución es dividir la malla en diferentes partes
o submallas, cada una de ellas de forma rectangular, o semejante a un
rectángulo. De este modo cada submalla se puede considerar como un
electrodo cuya resistencia propia Rii se determina aplicando las
expresiones de Schwarz, considerando sus conductores y barras. Las
resistencias mutuas Ri j entre mallas se pueden determinar asumiéndolas
representadas por semiesferas o fuentes radiales de corriente ubicadas
en los centros de las áreas. Así:
Donde si j es la distancia entre centros de mallas.
y al igual que en el método general, la resistencia se determina como el
inverso de la sumatoria de la matriz conductancia obtenida de la matriz de
resistencias propias y mutuas de los electrodos equivalentes que
representan a cada submalla.
jiji s
R
2
Interconexión de puestas a tierraEn determinadas situaciones puede ser conveniente interconectar
diferentes puestas a tierra de una instalación, con el objeto de mejorar las
características del conjunto y disminuir las diferencia de potencial entre
distintos puntos de éstas. Sin embargo, no siempre es adecuado realizar
la interconexión de puestas a tierra, y en cada situación debe analizarse
las ventajas e inconvenientes de hacerlo.
Método de cálculo aproximado de puestas a tierra interconectadas.
El cálculo exacto de puestas a tierras interconectadas se puede realizar
aplicando el mismo procedimiento general utilizado para una sola,
considerando los elementos de todas las puestas a tierra y los elementos
de interconexión embebidos en el terreno. Sin embargo, para fines
prácticos es conveniente y suficiente emplear métodos aproximados, que
proporcionen una exactitud adecuada. Una forma de proceder, es
considerar a cada uno de los componentes, puestas a tierra y cables de
interconexión como electrodos equivalentes. Conociendo la resistencia
propia de cada uno y las mutuas entre ellos, se puede utilizar el método
general de calculo, pero ahora aplicado a los electrodos equivalentes.
En la figura siguiente se muestra un esquema de interconexión de tres
mallas de tierra.
De acuerdo a lo indicado, la solución del sistema esquematizado en la figura, implica formar la matriz de resistencias propias y mutuas para todos los electrodos equivalentes embebidos en el terreno, y resolver el sistema. La solución permite determinar la resistencia del conjunto, las corrientes dispersadas por cada una de las partes y con estas calcular las solicitaciones de voltaje Vcont y Vpaso en cada malla.
S13
S23
S12
1 2
3
4
Resistencia mutua entre puestas a tierra y conductores de
interconexión.
No es fácil deducir un criterio único para el calculo aproximado de la
resistencia mutua entre una puesta a tierra y un conductor de
interconexión ubicado en cualquier posición relativa. Una solución posible,
sobre la base de la siguiente figura es la que se muestra a continuación.
Con los parámetros definidos en la figura:
y:
l
S
x1 x2
X
Puesta a tierra
y1
y2
Y
sR*
212
2
1211
1211
B1l2
121212
12
12
12
1221
21
21
221
2
22
22
222
2
212
***
**
RRR
:comoaminerdetsemutuaaresistencilay
xx
yyB,
xx
xyxyA:donde
x)B(ABxABx)B(AB
x)B(ABxABx)B(ABLnR
Recommended
