Valor Presente.

Ejercicio # 1

Dentro de 3 años, una persona recibira la suma de $5.000.000, correspondiente a un prestamo otorgado hace tres años a una tasa de interes del 36% anual capitalizado mensualmente. Se debe saber:

¿Cuál fue el valor del prestamo?

Si se le cancelan el credito en dos cuotas iguales, la primera hoy y la segunda al final del plazo. ¿Cuál sera el valor de cada pago?.

Solucion: Lo primero que se debe hacer es hallar la tasa de interes periodica en este caso 3% mensual. Como la tasa de interes mensual, el tiempo de la operación debe dividirse en periodos mensuales a fin de lograr la correspondencia con la tasa de interes.

a) P= ?n=72 meses i= 3%F=$5.000.000

F=5.000.000

1 2 3 4 70 71 72

? i= 3%

Para hallar el valor presente, se utiliza la expresión P=F (1+i)⁻ⁿ

P= 5.000.000(1+0.3) ⁻⁷²

P=5.000.000(1.3)-72

P=5.000.000(0.119047)

P=595.236,87

Valor Futuro.

Ejercicio # 2

Un ahorrador realiza los siguientes depósitos en una cuenta de ahorro que le reconoce un interés del 2.8% mensual; $100.000 hoy; $50.000 dentro de 3 meses; $50.000 dentro de 5 meses; $80.000 dentro de 8 meses.

Se pide:

Hallar la cantidad acumulada al término de 15 meses

Si quisiera realizar un deposito único hoy, que fuera equivalente a todos los depósitos realizados, ¿Cuál sería este valor?.

El siguiente es el diagrama de tiempo valor:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100.000 50.000 50.000 80.000

i=2,8%

La cantidad acumulada al cabo de 15 meses, corresponde a la sumatoria de los valores futuros de cada una de las cantidades que intervienen en el flujo o sea:

F=100.000(1,028)15 +50.000(1,028)12 +80.000(1,028)7

F=151.320,13 + 69.644,59 + 65.902,38 + 97.060,33

F=383.927,43

El pago único hoy equivalente a los pagos parciales realizado, corresponde a la sumatoria de los valores presentes de los depósitos hechos:

P=100.000 + 50.000(1,028)-3 + 50.000(1,028)-3 + 80.000(1,0281)-8

P=100.000 + 46.024,67 + 43.551,63 + 64.142,38

P= $253.718,68

Anualidad

Ejemplo # 3

Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 36 cuotas mensuales iguales de $200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

Cuota inicial= $1.000.000 A= $200.000 n= 36

i%= 2.5% mensual P= ?

El flujo de caja de la operación corresponde el siguiente diagrama

P

1 2 3 36

₀

1.000.000 200.000 200.000 200.000 200.000

Solución

Aplicando la formula se calcula el valor presente de las 36 cuotas iguales, que quedara ubicado al principio del periodo en el que se hace el primer paso.

Notación algebraica Factor de valor presente neto

El valor del vehículo será igual al valor presente de los 36 pagos mensuales más la cuota inicial.

Valor del vehículo= $1.000.000 + $4.711.250 = $5.711.250

Es equivalente pagar en el día de hoy la suma de %5.711.250, que cancelar hoy una cuota inicial de $1.000.000 y 36 cuotas mensuales de $200.000 si la tasa de interés es del 2.5% mensual.

Valor Futuro.

Ejemplo.

Valores M = 10,000 pesosi = 10%n = 1 año

Sustituyendo:Valor Futuro = 10,000 (1 + 0.10) 1        = 10,000 (1.10) 1        = 10,000 (1.10)   VF = 11,000 pesos

El valor final después de invertir 10,000 pesos durante un año a una tasa de interés del 10% es de 11,000 pesos. Para calcular el siguiente periodo, al resultado obtenido le daremos la misma aplicación:

Segundo periodo:Valor Futuro = 11,000 (1 + 0.10) 1       vf = 11,000 (1.10) 1  vf = 11,000 (1.10) vf = 12,100 Pesos

Donde:

F=valor futuro

P= Valor presente

= tasa de interés del primer periodo

= tasa de interés del segundo periodo

= tasa de interés del periodo

Ejemplo:

Si hoy se deposita $1.000 en una cuenta que genera una tasa de interés de 10% anual, ¿cuánto se tendrá al cabo del primer año?Valores P: 1.000 i : 10%Solución:VF=  $1.000 x (1+0,1)VF = $1.100Su valor futuro al final del primer año será de $1.100 Si vuelve a depositar íntegramente la cantidad de $1.100 por un año más., ¿cuánto tendrá al concluir el año 2? Durante ese año ganará 10% de interés sobre los $1.100. VF= $1.000 (1+0.10)(1+0.10) VF= $1.000 x 1,12VF= $1.210Así, el interés ganado será, $1.210 al final del año 2 Para entender la naturaleza del concepto del interés compuesto, podemos dividir el valor futuro de $1.210 obtenido en el ejemplo anterior, en 3 componentes:a) Capital original de $1.000b) Interés Simple: Es el interés sobre el capital original, $100 en el primer año y otros $100 en el segundo año ($200 en el ejemplo).c) Interés Compuesto: Es el interés ganado sobre un interés ya obtenido, existen $10 de intereses ganados en el segundo año sobre los $100 de los intereses ganados en el primer año. VALOR FUTURO DE RENTASEn estos casos se utiliza la

expresión: (FCS) factor de capitalización de la serie IMPORTANTE: En el curso se está trabajando con rentas vencidas Ejemplo. A cuánto ascenderá el monto de una anualidad vencida de $10,000 durante 8 años si se invierte a la tasa del 6% de interés efectivo anual?Valores                                              i  : 6%Vf : ?                              P : 10,000                                                      

n: 8Solución

Vf = 10,000 x  9.897468 Vf = $ 98,974.68Respuesta: al cabo de 8 años el monto obtenido sera igual a $98,974.68EJERCICIO DE VALOR FUTUROFormula: VF = P (1+i)nEjercicio 1 1.- Calcular el valor futuro de $750,000, con un porcentaje anual de 8% y en un plazo de 9 años. Valores P = $750,000i = 0.08n = 9 añosVF = ?  Aplicar la fórmula: VF = P (1+i)n  Sustituir la fórmula: VF = 750000(1+0.08)9VF= 750000(1.08)9 VF= 750000(1.99) VF= $ 1492500  Resultado:Por lo tanto, el valor futuro de $750,000 en un plazo de 9 años y con un interés anual de 8%, es de $1,492,500  Ejercicio 2  Calcular la cantidad que se pagaría al término de 3 años, con una tasa de interés anual de 14% y una cantidad presente de $1,350 Valores C = $1,350i = 0.14n = 3 añosVF= ?  Aplicar formulaVF = P (1+i)nVf = 1350 (1+0.14)3 Vf = 1350 (1.14)3 Vf = 1350 (1.4815) Vf = $2000  Por lo tanto, el valor futuro de $1,350 en un plazo de 3 años y con un interés anual de 14%, es de $2,000Ejercicio de Beneficio de costo.Para la construcción de una nueva autopista se tienen bajo consideración dos rutas. La ruta norte N, localizada a unos 15 kilómetros del centro comercial y que requerirá mayores distancias de viaje para comunicar con el tráfico local. La ruta sur S pasaría directamente por el centro y, aunque su costo de construcción será más alto, reduciría el tiempo de viaje y la distancia para el tráfico local. Suponga que los costos para las dos rutas son los siguientes:

Ruta N Ruta SCosto inicial 10.000.000 15.000.000 Costo anual de mantenimiento 35.000 55.000Costo anual de usuario 450.000 200.000

Si se supone que la duración de las vías será de 30 años, sin valor de salvamento,

¿qué ruta debe aceptarse sobre la base de un análisis beneficio/costo, utilizando

una tasa de interés de 5% anual?SOLUCION:Como la mayor parte de los costos ya

están analizados, la razón B/C estará expresada en términos de valor anual. Costo

total para cada operación, los cotos que se usaran en la relación B/C son el costo

inicial y el costo de mantenimiento.

VA = 10 000.000 (A/P, 5%, 30) + 35.000 = VAN = 685.500 BS

VA= 15 000.000 (A/P, 5%, 30) + 55.000= VAS = 1 030.750BS

1. La ruta S tiene él VA más grande de los costos, de manera que es la

alternativa que debe justificarse, el valor incremental del costo es:

C = VAS - VAN = 345.250 BS anuales

2. Los beneficios en este caso están representados por los costos de los

usuarios de las carreteras, puesto que estos son consecuencias para el

público. Los beneficios sin embargo no son los costos de los usuarios, sino la

diferencia en costos de los usuarios si se selecciona la alternativa S.

3. Reste los beneficios para la alternativa de costo menor de los beneficios para la

alternativa de costo mayor, prestando atención a los signos algebraicos. Utilice

este valor como B. calcule la razón B/C.

B = 450.000bs anual – 200.000bs anual

B = 250.000bs por año para la ruta S

La razón B/C se calcula mediante la ecuación 1.

B/C =

B/C =

4. La razón B/C es menor que 1. Indicando que los beneficios extra asociados

con la ruta S no se justifican o no es factible. Por consiguiente se selecciona

la construcción de la ruta N.

Ejercicios de Costo Capitalizado.

1) El distrito de avalúo de la propiedad para el condado de Marin acaba de

instalar equipo nuevo de cómputo para registrar los valores residenciales de

mercado y calcular sus impuestos. El gerente quiere conocer el costo total

equivalente de todos los costos futuros cuando los tres jueces de condado

adquieran este sistema de software. Si el nuevo sistema se utilizara por un

tiempo indefinido, encuentre el valor equivalente a) actual y b) por cada año de

aquí en adelante.

El sistema tiene un costo de instalación de $150 000 y un costo adicional

de $50 000 después de 10 años. El costo del contrato de mantenimiento es de

$5 000 por los primeros 4 años, y $8 000 después de éstos. Además se espera

que haya un costo de actualización recurrente de $15 000 cada 13 años.

Suponga que anual para los fondos del condado.

Solución:

Se aplicara el procedimiento anterior de 6 pasos:

1. Elabore un diagrama de flujo de efectivo para dos ciclos.

0 2 4 6 8 10 12 14 20 26 año

$ 5 000

$ 8 000

$ 15 000 $ 15 000

$ 50 000

$ 150 000

2. Encuentre el valor presente de los costos no recurrentes de $150 000

ahora, y $50 000 en el año 10, con . Designe este costo

capitalizado como .

3. Convierta el costo recurrente de $15 000 cada 13 años a un valor anual

para los primeros 13 años.

4. El costo capitalizado para las series de dos mantenimientos anuales se

determina en dos formas:

1. Considere una serie de a partir de ahora y hasta el

infinito y calcule el valor presente de

del año 5 en adelante.

2. Encuentre el de para 4 años y el valor presente

de del año 5 al infinito. Si utiliza el primer método, el

costo anual siempre será de . El costo capitalizado

de del año 5 al infinito se encuentra usando la

ecuación por el factor .

En este caso se utilizara la 1era opción:

Las dos series de costo anual se convertirán al costo capitalizado

5. El costo capitalizado total se obtiene al sumar los tres valores de

.

6. Con la ecuación determinar el valor de para siempre.

Por lo tanto, la interpretación correcta es que los oficiales del condado

de Marin han comprometido el equivalente de $ 17 350 para siempre al operar

y dar mantenimiento al software de evaluación de propiedades.

2) Ejercicio: APSco, un subcontratista grande de electrónica de la fuerza

aérea, necesita adquirir inmediatamente 10 máquinas de soldar, con un calibre

preparado especialmente para ensamblar componentes en circuitos impresos.

Se necesitarán más máquinas en el futuro. El ingeniero encargado de la

producción señala a continuación dos alternativas simplificadas y viables. La

TMAR de la compañía es de 15% anual.

Alternativa LP (a largo plazo). Un contratista proveerá por $8 millones el

número necesario de máquinas (hasta un máximo de 20), ahora y en el

futuro, por el tiempo que APSco las necesite. Los derechos anuales del

contrato son un total de $25 000 sin costo anual adicional por máquina.

En el contrato no existe tiempo límite ni los costos se incrementarán.

Alternativa CP (a corto plazo). APSco compra sus propias máquinas por

$275 000 cada una gasta un estimado de $12 000 por máquina de costo

anual de operación (COA). La vida útil de un sistema de soldar es 5

años.

Realice una evaluación de costo capitalizado a mano por computadora.

Una vez que se complete la evaluación utilice una hoja de cálculo para análisis

de sensibilidad determine el número máximo de máquinas de soldar que

pueden comprarse ahora y que aún tengan un costo capitalizado menor que la

alternativa a largo plazo.

1. Para la alternativa LP, determine el del utilizando la ecuación

, con . Sume esta cantidad a los derechos iniciales

del contrato, la cual es ya un costo capitalizado, una cantidad en valor

presente.

2. Para la alternativa CP, calcule primero la cantidad anual equivalente

para el costo de compra durante una vida de 5 años, y sume el valor del

para las 10 máquinas. Después determine el total utilizando

la ecuación .

La alternativa CP tiene un menor costo capitalizado de

aproximadamente $1.9 millones de valor presente en dólares.