Caracas: 15-01-2015.
CONTINUACIÓN DE LOS EJERCICIOS SOBRE EL CONTENIDO DEL PRIMER
PARCIAL
Ejercicio 1.
Dadas las rectas: 1
1
2
1
zyxr y
22
3
yx
zxs , se pide:
a) Hallar la ecuación del plano determinado por r y s.
b) Hallar la distancia desde el punto A (0, 1, –1) a la recta s.
a) La recta r tiene como vector director 1,2,1 ru y un punto de la recta será
Pr (0, 1, –1),
Para hallar el vector director de s y un punto, pasamos la ecuación a
paramétricas:
3
2222
3
z
y
x
yx
zxs 1,2,1 su y Ps (0, –2, 3),
ATENCIÖN: se puede calcular el vector director de la recta s, haciendo el
producto vectorial de los dos vectores normales a los respectivos planos que
forman a s, es decir:
)1,2,1()(2
012
101
ijk
kji
us
Estudiamos la posición relativa de las dos rectas.
0
121
121
kji
uxu sr , por lo que las rectas son paralelas, en este caso es
evidente ya que sr uu , pero no son coincidentes, ya que Pr no pertenece a la
recta s.
Luego para calcular la ecuación del plano, tomamos un vector que vaya de una
recta a otra: 4,3,0 sr PP , al vector 1,2,1 ru , así como uno de los
puntos de las rectas, Pr = (0, 1, –1), por ejemplo, se escribe la ecuación del
plano:
01345
114
123
10
zyx
z
y
x
b) Para hallar la distancia entre el punto A(0, 1, – 1) y la recta s:
d(A, s) =
s
ss
u
APu
Dados Ps(0, –2, 3) y A(0, 1, –1), APs = (0, 3, –4)
)3,4,5()43(38
430
121
jiki
kji
APu ss
d (A, s) = uu
APu
s
ss
3
5
6
25
141
91625