FORMULACIN HAMILTONIANA: ECUACIONES

1. El punto de suspensin de un pndulo simple de masa y de longitud l est obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y est conectado a un punto de la periferia de un volante de masa y de radio . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.

m

M a

cossincos2

lylax

=+=

&&&&&

lsinylasinx

=+= cos2

( )

( )

=

+

++==

=====

=

+=

&&&&

&&&&

&

&&&&

A,21

coscossin2sin222

cos4122

21

cossin2sin22

22222

224

0

2

2

22222

L

mglalmmaIlmL

mglV

MRlaMlarrdrlI

IT

almmalmT

a

D

p

32

2cos2sin2224)2sin24(2

12cossin2

cossin22sin24)1(

)1(21

2sin24cossin2cossin22

mlamaIml

mlalmalmaI

TT

P

P

maIalmalmml

+

+=

=

=

=

+=

A

PAP

AP

A

&&

coscossin4222)2sin24(21 mglPPalmPmlPmaIH

+++=

No hay ninguna que sea obviamente cclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explcitamente del tiempo.

Las ecuaciones de Hamilton son:

PHHP

PHHP

=

=

=

=

&&

&&

;

;

-------------------------------------------

2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma

])()cos[(2

22 tqsintqtsinqmL ++= &

Cul es la Hamiltoniana correspondiente?Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada

tqsinQ = , hallar la Lagrangiana en funcin de Q y su derivada, y tambin la correspondiente Hamiltoniana .Se conserva ? H H

33

[ ]

22

)cos(

)()cos(2

2222

22

mqtsinqmH

LqpH

tqtsinqtmsinqLp

tqtsintqtsinqmL

==

+==

++=

&

&

&&

&

donde

tsintq

tmsinpq

1)cos( =&

Entonces la Hamiltoniana es:

2)cos(

2222 mqtq

tmsinpmH =

No se conserva al depender del tiempo.

22211

1222

1

21

21

)(2

cos

QmPm

H

QmPQQmL

tqtsinqQ

tqsinQ

=

=+=+=

=

&&&&

S, se conserva.

-----------------------------------------

3. Considrese un cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetra, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es . Sobre la superficie lateral del cilindro est fija rgidamente una espira uniforme pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa . El ngulo formado por la hlice respecto de la vertical es tal que desciende una altura 2 por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supngase que la partcula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partcula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprtense todas las variables cclicas del sistema.

I

m

34

=+=+=

zryrx )sin(;)cos(

siendo la constante de la espiral: 2=L

[ ]2222 )((21 &&& ++= RmTparticula

2

21 &ITcilindro = mgV =

[ ] mgaIRmL +++++=2

)2(21 222222 &&&&&&

=

++=

&

&&&&&&& A),(

21)(

),(21

22

222

ImRmRmRRmT

=

2

1

2

1

&&

App

( )

++

= 21

222

22

21 )(,

21

pp

RmmRmRImR

ppT

siendo 42222 ))(( RmmRIRm ++=

pero es cclica de modo que es constante: Lo que equivale a la conservacin del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo

,

2p .2 constp ==

0=.0)( 22 =++ && ImRmR

Entonces,

.)(21 2

12 pImRT +=

35

Definiendo + ImR

21 ,

mgp

H =2

21

Las ecuaciones de movimiento son:

1pH=& ;

= Hp1&

1p=& ; mgp =1&

)0(;)( 01 ==== &&tmgttmgp en t .0=2

0 2tmg

+=

242222

2

0 ))((2t

RmmRIRmImRmg

++++=

Movimiento uniformemente acelerado:

mg=&& ;

ImRmRmg

+= 22

&&

----------------------------------------

4. Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma

[ ]kbeebqpqbeptqpH ttt +++= )(22

),,(22

en donde y son constantes. b, ka) Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana. b) Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo

explcitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido. c) Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y

explicar su relacin con la Hamiltoniana anterior.

22

22qpqpH +=

con kbeebbe ttt ++ )(; HpqqqL = &&),( qp

pH ==&q

36

Entonces,

22

22 qpL = Sustituyendo el p:

22

2)(

2),( qqqqqL += &&

Recurdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es

equivalente al Lagrangiano dtdFLL +1

siendo F arbitrario. Ntese que

= teqdtd 2 .2 2 tt eqeqq &

Resulta inmediato ver que

,22

)(2

2221 q

kqeqdtdLL t = &

de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armnico:

221 22

qkqL = & y el Hamiltoniano asociado es:

.22

221 q

kqH += & ----------------------------------------

5. Dos masas puntuales y estn unidas por una cuerda de longitud constante . La primera partcula puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el

Lagrangiano, tambin el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura.

1m 2ml

1. Lagrangiano. Usamos z y como coordenadas.

37

1x cos)( zl = , entonces cossin)(1 zzlx &&& =sin)(1 zly = , entonces sincos)(1 zzly &&& =

22122122

21

211 )(222

1)(21 &&&&& zlmzmmzmyxmT ++=++=

gzmV 2=

gzmzlm

zmm

L 2221221 )(

22+++= &&

Ntese que es coordenada cclica: .0=L El correspondiente momento conjugado

es constante

.)( 212 ==== constzlmLp &&

2. Routhiano.

Es Vzlm

zmm

zlmLpppzR ++== 221221221221 )(22)();,( &&&&

Finalmente:

21);,( 21 =ppzR 22122

1

22

2)(z

mmgzm

zlmp &+

Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad, , puesto que

z.2 == constp

El potencial efectivo es .)(2 21

2

2 zlmgzm +

.0=

zR

zR

dtd

&

Entonces,

).)(2

()( 21

22

221 zlmp

gzmz

zmm =+ &&

Naturalmente, una primera integral de la ultima ecuacin es la ecuacin de la energa:

constEzlm

pgzmz

mm ==++

21

22

2221

)(22&

Despejando , se obtiene la solucin para z& :)(tz

++

==2

1

22

221 )(2

)(

zlmp

gzmEmm

z

dztz

dzdt &

38

Para la coordenada cclica tenemos: )(t

[ ] ,)( 212 dt

tzlmp

d = lo que reduce la solucin a dos cuadraturas.

El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz

a invertir:

21

1211 ;)( mm

pzzmm

zLp +=+== &&&

21

2212 )(

;)(zlm

pzlmLp ==

= &&

&

T= 21

22

21

21

)(2)(2 zlmp

mmp

++

=+= VTH gzmzlm

pmm

p22

1

22

21

21

)(2)(2++

Evidentemente es tambin cclico en H .0: 2 === constpH

Ntese que la existencia de una coordenada cclica reduce en dos(no en uno) el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano.

------------------------------------------

6. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas q : i

a) constryase una funcin , anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean q y .

( tpqG ii ,, &&&i &pi

)

) )

b) Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.

a) A partir de la lagrangiana , construimos la funcin G mediante una transformacin de Legendre:

( tqqL ii ,, & ( tpq ii ,, &&( )tqqLpqG iiii ,, && = .

Diferenciando esta expresin se obtiene:

ttLq

qLq

qLqppqG i

ii

iiiii dddddd

+= &&&&

39

Aqu, el segundo y el tercer trmino se anulan en virtud de la ecuacin de Lagrange, , mientras que de la definicin de momento generalizado,

resulta: ii pqL &= / ii qLp &= / ,

ttLqppqG iiii dddd = &&

De forma que la diferencial de la nueva funcin G expresada en funcin de t como variables independientes.

ii pq && , y

b) Para obtener las ecuaciones de movimiento, comparamos el resultado anterior con la forma general de la diferencial de , ( )tpqG ii ,, &&

ttGp

pGq

qGG i

ii

i

dddd +

+= &&&& ,

obtenindose

ii p

Gq &= ,

ii q

Gp &= ,

tL

tG

=

, que son las ecuaciones del movimiento pedidas.

-------------------------------------

7. En un sistema de n grados de libertad el clculo de 2n constantes del movimiento del tipo fi(q1,..., qn, p1,...,pn, t), i = 1,...,2n, permite, en principio, integrar el problema. Considrese una partcula de masa m que se mueve en un plano vertical cartesiano (q1, q2) bajo la accin de la gravedad. Sin recurrir a la integracin de las ecuaciones de Hamilton, sino utilizando stas en la ecuacin general de una constante del movimiento, encontrar cuatro constantes del movimiento de forma a recuperar a partir de ellas la conocida solucin general: q1 = c1 + c2t ; q2 = c3 + c4t gt2/2. (Nota) : busque soluciones a la ecuacin en derivadas parciales para una constante del movimiento que dependan alternativamente de un par de variables conjugadas: primero, slo de (q1, p1); segundo, slo de (q2, p2). Combnelas despus con otras constantes del movimiento triviales para dar el resultado pedido).

Tomando q1 como la coordenada espacial horizontal y q2 la vertical, la hamiltoniana de la partcula es

22

222

21 mgq

mp

mpH ++

40

de modo que

, 0 , , 21

2

2

1

1

mgqH

qH

mp

pH

mp

pH ====

y las ecuaciones de Hamilton son

=

=

==

mgp

p

mp

qmp

q

2

1

22

11

0

&

&

&

&

Mientras que la condicin para que una funcin f(q1, q2, p1, p2, t) sea una constante del movimiento es

02

2

1

1

2

=+++tf

qf

mp

qf

mp

pfmg

Busquemos una solucin a esta ecuacin del tipo f(q1, p1, t). Una simple inspeccin de la ecuacin permite ver que

11

1 cmtp

q = es una solucin. Procediendo de forma equivalente, podemos ver que

21 mcp =

2

32

22 c

gtm

tpq = 42 mcmgtp =+

son tambin soluciones. Combinando todas ellas, encontramos la trayectoria del tiro parablico.

-----------------------------------------

8. La ecuacin de movimiento de una masa que se desliza sin rozamiento bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un cable cuya forma es la de una curva suave , viene dada por:

m

)(xfy =0hcoshsenhcosh 22 =++ xgsenxxxxx &&& .

a) Demostrar que la simple definicin lleva a una representacin de la ecuacin de movimiento anterior en variables que

xmp &=( , )x p no es hamiltoniana.

b) Encontrar la buena definicin del momento conjugado a la posicin x que s lleva a una representacin hamiltoniana.

c) Encuentre el hamiltoniano. a) Haciendo la transformacin , la ecuacin del movimiento se reduce a: pxm =&

41

xH

xxmgx

mpp

pH

mpx

==

==

coshtanhtanh

,

2

&

&

Queda claro que, con estas ecuaciones, no se cumple pxHxpH 22 = . No pueden, por lo tanto, derivar de un formalismo hamiltoniano.

b) La energa potencial es V . Mientras, la cintica viene dada por:

)(),( xfmgmgyyx ==

( )22222 )(2

)(2

xfxxmyxmT +=+= &&&& Una vez construido el lagrangiano, llegamos a la siguiente ecuacin de Lagrange:

( )[ ]( ) ( ) 0)()()(2)(1

)()(1

2

2

=+++=++

xfmgxfxfxxmxfxm

xfmgxfxmdtd

&&&&

&

Identificando trminos con los de la ecuacin del enunciado:

xxfxxxfxf

xxf

senh )(;cosh senh )()(2

;cosh)(1 22

==

=+

De lo que deducimos fcilmente que:

xxf cosh)( = Dicho todo lo anterior, es fcil ver que:

( ) ( )xm pxxxmxLp 22 senh1;senh1 +=+== &&& c)

( )

( ) xmgxm pxmgxxmpxLpxH

coshsenh12

1

coshsenh121

2

2

22

++

=++== &&&

------------------------------------------- 9. Obtenga el hamiltoniano de un mvil, sometido a un potencial V, que se

desplaza sobre un disco horizontal que gira con una velocidad angular constante . Hgalo en los sistemas de referencia del laboratorio y del disco y establezca la relacin entre ambos hamiltonianos. Utilice la notacin

( ) para las coordenadas en el sistema laboratorio y para las correspondientes en el sistema que gira con el disco.

lablab, yx( yx, )

42

Lo importante aqu, es tener en cuenta que, para la construccin del hamiltoniano, T y V tienen que ser evaluadas en el sistema inercial (laboratorio).

( )lablab2lab ,2 yxVvmL =

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas del sistema laboratorio y las del sistema no inercial giratorio, son:

sencossencos

lab

lab

xyyyxx

+==

Si el disco gira, por ejemplo, en el sentido contrario a las agujas del reloj, la diferenciacin con respecto al tiempo de las ecuaciones (con ) t =

( )( )

sencossencos

cossensencos

lab,

lab,

yxvvvyxvvv

xyy

yxx

++=+=

Un simple clculo nos lleva a:

( ) 22222lab 2 ryvxvvvv xyyx ++= ( )222 yxr += . Sustituyendo la expresin anterior en el lagrangiano inicial, obtenemos su representacin en las coordenadas del sistema giratorio. El paso siguiente es el de la obtencin de los momentos en el sistema giratorio.

( )( )xvm

vLp

yvmvLp

yy

y

xx

x

+==

==

El hamiltoniano en el sistema no inercial se construye de la forma usual

LvpvpH yyxx += = ( ) ( ) ),(

2

22

yxVxpypm

ppyx

yx +++ Finalmente, la relacin entre ambos hamiltonianos se obtiene teniendo en cuenta que el correspondiente al sistema inercial ser aqul que resulta de hacer nula la velocidad angular en la ecuacin anterior:

zlHH = = 00 -------------------------------------------

43

10. La relacin entre los hamiltonianos de una partcula movindose en un potencial V, definidos, respectivamente, en un sistema inercial y en un sistema no inercial que gira alrededor del eje z con velocidad angular constante , es

( l es la componente correspondiente del momento angular definido en el sistema no-inercial). Haciendo uso de esta ltima relacin demuestre el Teorema de Larmor, que asegura que puede eliminarse el efecto de un campo magntico estacionario uniforme sobre una partcula cargada en movimiento colocndose el observador en un sistema de referencia giratorio. Halle la frecuencia con la que debe girar el sistema de referencia no inercial (frecuencia de Larmor).

zinercialinercialno lHH = z

Ayuda: Recuerde que el lagrangiano de una partcula cargada en un campo

electromagntico viene dado por Avc

eemvL

rr += 221 . Recuerde tambin que la

ecuacin ( rBA rrr = 21 ) r define un campo magntico uniforme. Por ltimo, tome el eje z como direccin del campo uniforme y como eje de giro del sistema giratorio. B

Dado el lagrangiano del enunciado del problema es fcil obtener el momento conjugado y el hamiltoniano (recuerde que estamos en un sistema inercial). Son, respectivamente,

+

=+= eAcep

mHA

cevmp inercial

2

21 ,

rrrrr

H es constante slo si los campos son estacionarios. En el campo magntico de caractersticas impuestas en el enunciado campo magntico uniforme en la direccin z y ( rBA r= 21 )rr el hamiltoniano se transforma en:

zlmc

eBeBr

mc

e

m

pinercialH 2

224

122

2

2

2++=

Podemos, ahora, invocar el problema 9. La comparacin con la relacin del enunciado lleva inmediatamente a encontrar la frecuencia de Larmor y el hamiltoniano en el sistema giratorio:

mc

eBL 2

=

+

+= eBrmce

mp

giratorioH22

41

22

2

2

2

Vemos que el trmino lineal en B est ausente. Esto indica que, si el campo es pequeo, la dependencia en ste es despreciable (en trminos de segundo orden).

-------------------------------------------

11. Sabemos que no existe una forma estndar de obtener una funcin generatriz

que lleve a una formulacin ms conveniente. Sin embargo, el empleo de las propiedades que deseamos en la formulacin de destino, permite obtenerla

44

fcilmente. Un ejemplo clsico es el de la funcin en el caso de la cada libre de un cuerpo en un campo gravitatorio . Queremos que en la nueva formulacin, el Hamiltoniano, , sea slo funcin de la coordenada, Q , y que se cumpla la equivalencia entre los dos momentos, . Obtenga a partir de estos requisitos la forma de la funcin . (Recuerde que

( tQqF ,,1

pP =

)mgq

)t,K

( QqF ,1 qFp = 1 , QFP = 1 y tFHK += 1 )

Partimos de la expresin , que se traduce en el contexto presente en HK =

( ) mgqm

pQ +=2

f2

,

entendindose que f expresa la forma de . De esta ltima expresin obtenemos ( )Q K( )[ ]2122f2 gqmQmp =

Podemos hacer uso del requisito dado por la identificacin de ambos momentos

QF

qFPp

=== 11

Se desprende que f . Finalmente, la funcin generatriz resulta de la integracin de la ecuacin

( ) mgQQ =

( )[ ]qFqQgmp == 12 2

1

2

dando ( ) ( )[ ]23221 23 1, qQgmgmQqF =

------------------------------------------- 12. Un cuerpo, de masa m=1, se mueve en un campo en el cual la energa potencial

es , siendo g la aceleracin de la gravedad. Se sabe que la ecuacin del movimiento es

g f x( )

0)()()( =++ xgCxxBxxA &&& , siendo A(x), B(x) y C(x) tres funciones continuas. Si , axaaxaaxaxA 4-e243-e282-e241)( ++=a.- Cul es la expresin de la energa potencial?; Dibjela; b.- Cul es la expresin del hamiltoniano?; c.- Cul es la frecuencia de las pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio?

Sea V la energa potencia. La ecuacin de Lagrange es: f(x)),( ggyyx == ( ) ( ) 0fff2f1 2 =+++ gxxx &&&& , con dxdff = . Comparando con la ecuacin

0)()()( =++ xgCxxBxxA &&& , identificamos

2f1)( +=xA Si es la expresin dada en el enunciado, tendremos: A x( )

45

2axe1f

axe1axae2f

ax4e24ax3e28ax2e242f

=

=+= aaa

a) La energa potencial es V y su grfica es: 2axe1

= g

b) El hamiltoniano es , con: VTH +=

( ) ( )( )( )2ax

2ax42ax32ax222

22222

e1

);(2

e4e8e412

f22

=

=++

=+=+=

gV

xAxmaaaxm

xxmyxmT

&&

&&&&

c) La frecuencia de las pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio (x=0) vendr dada a partir del desarrollo de V para pequeos desplazamientos: ( ) )(e1 3222ax xOxgagV += quedndonos con el trmino cuadrtico, obtenemos el potencial de un oscilador armnico, de frecuencia:

mga 2=

------------------------------------------- 13.- Encontrar el Lagrangiano y el Hamiltoniano de un pndulo que consta de una masa m unida a una vara rgida y sin masa AB de longitud l,libre de moverse en el plano vertical. El extremo A de la vara slo puede moverse en la direccin vertical y de modo que su desplazamiento respecto al origen de coordenadas O esta fijado por una funcin del tiempo . La gravedad acta verticalmente y hacia abajo. )(tb)Mostrar que la aceleracin vertical del punto A, , tiene el mismo efecto sobre la ecuacin del movimiento que una campo gravitacional dependiente del tiempo.Se conserva el Hamiltoniano? Es el Hamiltoniano igual a la energa total del sistema?

)(t&&

46

a) Tomando como coordenada la variable de la figura tenemos

lsenx = , , coslz = coslx && = lsenz &&& +=( ) senllmmvT &&& 2

21

21 222 +== ; V , ( ) = coslmg

( ) ( ) ++= cos221 22 lmgsenllmL &&& ;

senlmlmpL &&& +== 2 2ml

senlmp && =

Vmml

senmlpLpH +== 22

2

21)(

21 &&&

b) cos2 &&&&&&& mlsenmlml

Ldtd ++=

; mglsenmlL = cos&&

0coscos2 =+++ mglsenmlmlsenmlml &&&&&&&& .)( sen

ltgsen

lg

lsen == &&&& dnde &&+= gtg )( .

Dado que el Hamiltoniano depende del tiempo, a travs de (t), no es una cantidad conservada. La ecuacin que define la coordenada ,

ztx= )(tg , tambin depende

del tiempo por lo que la Hamiltoniana no representa la energa total del sistema (puede comprobarse directamente sobre la expresin calculada).

------------------------------------------- 14. Raznese si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) una cantidad dinmica que depende explcitamente del tiempo podra ser constante del movimiento.

),,( tpqF

b) El sistema dinmico 212221

211 ;2

xxxxxx

axx == && , es un sistema hamiltoniano. a) No existe ninguna condicin que exija que una constante del movimiento no dependa del tiempo, siempre y cuando cumpla la condicin:

47

[ ]tFFH =, .

b) Para que un sistema sea hamiltoniano tiene que existir una matriz H tal que el sistema tenga la siguiente estructura

12

21 ; x

HxxHx

== &&

y esto solo se cumplir si

1

2

21

2

2

1

xx

xxH

xx

=

= &&

y fcilmente vemos que no se cumple para el sistema propuesto.

------------------------------------------- 15. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas : iq1. Constryase una funcin G anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean y .

),,( tpq ii &&iq ip

2. Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.

Realicemos una transformacin de Legendre para

y diferenciemos dicha expresin

que, reorganizando queda

Por otro lado, teniendo en cuenta la forma funcional requerida para su diferencial total debe ser

Igualando ambas expresiones diferenciales

y reorganizando

Debido a la independencia de variables ha de cumplirse

48

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange

obtenemos

con lo que las ecuaciones del movimiento con la nueva funcional G sern

-------------------------------------------

16. En el sistema representado en la figura, el cilindro se mueve por rodadura sobre una superficie lisa, la varilla del pdulo es rgida y muy ligera y la bola del pdulo es pequea. (ver figura al inicio de la solucin). Se pide: 1 - Hallar el lagrangiano , el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento suponiendo que la unin entre el pndulo y el cilindro es rgida. 2 - Hallar lo mismo que en el apartado anterior pero suponiendo que la unin entre el pndulo y el cilindro es articulada y sin rozamiento. 3 - En el caso anterior, hallar la reaccin a la que est sometida la unin pndulo-cilindro. 4 - Hallar las frecuencias de oscilacin para pequeas desviaciones de la posicin de equilibrio. Discutir los lmites para M

-

La coordenada cartesiana X del cilindro, tomando como origen la posicin del cilindro en la que =0, ser:

RX = , && RX =y las coordenadas del pndulo son:

Rlsenx += , &&& Rlx += coscosly = . senly && =

La Energa Cintica es la suma de las energas de la masa suspendida en el pndulo y del cilindro, que tiene energa de translacin y de rotacin:

( ) ( )( ) 222222

2222

22222

cos223

21

21

43

21

21

21

21

21

21

21

&&&&

&&&&

&&&

++

+=++

=+++

=+++=

mlRmlRmMyxmXM

yxmXMRXMRyxmXMIwT

Construir ahora el Lagrangiano y el Hamiltoniano es inmediato:

coscos223

21 222 mglmlRmlRmML +

++

+= & ,

&

&

++

+== cos2

23 22 mlRmlRmMLp ,

( ) coscos22321

22

2

mglmlRmlRMm

pLpH +++==

& .

Las ecuaciones del movimiento son tambin inmediatas, calculemos ahora la ecuacin de Lagrange

( )( ) 02cos223 2222 =++++=

senmlRmlRmlRMmsenmglsenmlR

LdtdL

&&&&&

(1).

50

2). En el caso en que la unin es articulada tenemos dos grados de libertad. Necesitamos dos coordenadas generalizadas: mantendremos el ngulo del apartado anterior, y aadiremos la coordenada horizontal del centro de masas (simbolizada por z):

MmxmXMz +

+= , de este modo las coordenadas cartesianas, y sus derivadas, sern:

lsenmzX '= , cos' &&& lmzX =

lsenMzx '+= , cos' &&& lMzx +=cosly = , senly && =

con Mm

mm +=' y '1' mMmMM =+=

Y por tanto el Lagrangiano es:

( ) ( )( ) coscoscos2321 22

222

12 mglmsenllzzmML ++++= &&&& ,

con )(1 MmmM += , 22 )()23( MmmMmM ++= , del cual deducimos las siguientes ecuaciones de Lagrange:

0=z&& , ( ) ( ) 0coscos 2222222 =+++ mglsenmsenlmsenl &&& , (2) y de la primera ecuacin obtenemos que, como era de esperar, el centro de masas se mueve con velocidad constante. Para el Hamiltoniano calculamos las siguientes expresiones:

zmMpz &

+=23 , ( ) cos21cos 12222 lzlmsenp && += ,

( )( )( )

coscos2

23cos21

232 222

21

2

mglmsenl

Mmpl

p

Mmp

H

z

z +

++++= . 3). La reaccin a la que esta sometida la unin pndulo-cilindro es igual a la fuerza ejercida para mantener la ligadura de esta unin. Para calcular esta fuerza slo tenemos que plantear el problema ignorando la ligadura, con tres grados de libertad correspondientes a los movimientos horizontales de M y m y al vertical de m, y a partir de la expresin de la ligadura calcular el multiplicador de Lagrange correspondiente. Si suponemos que la masa m no esta ligada al cilindro y tomando como coordenadas generalizadas: z, coordenada horizontal del centro de masas, y r coordenadas polares de la masa m con el origen de coordenadas en el centro del cilindro, tenemos que

rsenmzX '= , senrmrmzX &&&& 'cos' =rsenMzx '+= , senrMrMzx &&&& 'cos' ++=

cosry = , cosrsenry &&& =y la ligadura vendr dada por (notacin del apartado 2.4 del Goldstein):

0),,( == lrrzf , . 0=dr 1 011 == zaa 1 =ra Por tanto la Lagrangiana tendr la siguiente expresin:

51

( )( ) ( ) (

cos

cos2coscos23

21

2122

22222

mgr

msenrrsenrrzmsenrrzMmL

+ ++++++

+= &&&&&&&&

y la nica ecuacin de Lagrange que necesitamos para calcular el valor de es:

01 =+

rar

Ldtd

rL &

11 =radonde substituimos las condiciones de ligadura ,

, para obtener la expresin de la fuerza de ligadura:

0, === rrlr &&&

cos)cos(cos)( 22222 mgsenmlsenml = &&& . 4). A) Para el primer caso, tenemos que el punto de equilibrio es , por lo que para oscilaciones pequeas la ecuacin (1), con y despreciando trminos de orden mayor a 1, toma la forma

0=1cos, sen

( )( ) 0222 =++++ &&mlRmlRMmmgl , y por tanto la frecuencia de oscilacin ser

mlRmlRMmmglw

2)( 22 +++= . Sobre la que podemos tomar los siguientes limites:

- M>>m, y entonces . Se comportara prcticamente como un cilindro girando sobre el plano, en el que no habra movimiento peridico.

0w

- m>>M, y lRlR

gl222 ++w , es decir se comporta como un pndulo normal

pero en el que la longitud del hilo es l

lR 2)(' +=l . B) Idem para el segundo caso. La ecuacin (2) la podemos escribir como:

02 =+ mgll && y por tanto

MmMl

gw

+= ,

y los limites son:

- M>>m, y entonces lgw = , que corresponde a la frecuencia de un pndulo

simple. El movimiento del cilindro ser igual al del centro de masas, velocidad constante, y estar desacoplado del pndulo.

- m>>M, y

mMl

gw , es decir cmo un pndulo de longitud mMl=' .l

------------------------------------------- 17. Una partcula de masa m tiene su movilidad restringida a la superficie de una esfera de radio R. No actan fuerzas exteriores sobre la partcula.

52

a) Cul es el nmero de coordenadas generalizadas necesario para describir el problema? b) Escoja el sistema de coordenadas ms apropiado y escriba el lagrangiano y el hamiltoniano c) Pruebe que el movimiento de una partcula se realiza a lo largo de un crculo mximo. a) y b) Son dos grados de libertad y escogiendo coordenadas esfricas

( ) 2222 sen21 && += mRL

y

+=

2

22

2 sen21 pp

mRH

c) constantesenp 0 22 ==== && mRHp

Podemos coger las coordenadas ( tal que la condicin inicial es . Como en este caso no puede ser cero para todo tiempo, concluimos que para todo t. El movimiento de la partcula se realiza a lo largo de un crculo mximo.

) , ( ) 00 ==t&2sen 0=&

------------------------------------------- 18. Obtenga las ecuaciones de Hamilton para los casos siguientes. 1.- Caso en el que las fuerzas generalizadasQ sean suma de una componente

derivada de un potencial y de otra que no lo es:

i

i ii

VQ Qq = +

2.- Caso de un sistema no holnomo, con ecuaciones de ligadura . 0l k k l tk

a q a+ = &

En un caso u otro tenemos, respectivamente k

j jkk k j

Qd L Ladt q q = &

o, lo que es lo mismo k

k j jkk j

QLp aq = &

Por lo tanto, aplicando el procedimiento usual de obtencin de las ecuaciones de Hamilton, se obtiene

k

k k j jkk k j

QH Hq p ap q = = + & &

junto a las ecuaciones 0l k k l t

ka q a+ = &

-------------------------------------------

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