1ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Pruebas de hipótesis
ResumenUna de las temáticas que se aborda desde el curso Inferencia Estadística es el de
pruebas de hipótesis, por lo cual se presenta una miscelánea de problemas
resueltos correspondientes a contrastes unilaterales y bilaterales cuando lo que se
quiere estimar en una población es, un promedio poblacional μ; una proporción p; y en el caso de dos poblaciones, una diferencia de medias o una diferencia de
proporciones
Diana Milena Caliman
Jeammy Julieth Sierra Hernández
Miscelánea de problemas
1. Una muestra aleatoria de zapatos (n = 40) usados por los soldados en
campaña en un desierto revela una vida media de 1.08 años, con una desviación
estándar de 0.5 años. Se sabe que en condiciones normales dichos zapatos
tienen una vida media de 1.28 años. Al nivel de significación del 5%, ¿Hay razón
para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe a su
uso en el desierto?
Tabla de datos:
Media poblacional μ=1.28
Tamaño de
muestra
n=40
Varianza muestral s2=0.5
Media Muestral x=1.08
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H o : μ ≥ 1.28
H 1: μ < 1.28
∝=0.05
z= x−μs√n
z=1.08−1.280.5√40
=−2.528
Como la prueba de hipótesis es de una cola a izquierda (H 1: μ < 1.28) la cola
(zona amarilla) queda a la izquerda. Para calcular el estadístico teórico (o
tabulado) se puede usar la tabla de la normal. Lo cual consiste en encontrar el
número que deja por debajo el área correspondiente a la zona de rechazo, que es
de 5%. Entonces, se busca en la tabla normal el valor Z que por debajo de él
queda un área de 0,05.
Descargue las tabla normal estandar (acá) y allí en la hoja “Norm+” ubique en las
casilla en blanco el valor 0,05 o en su defecto el más cercano. Como la tabla que
está allí solo contempla valores a partir de 0,5 y sabiendo que el gráfico de la
normal es simétrico, entonces ubique el valor simétrico. Es decir, el Z que por por
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 2: Nivel de significancia α
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debajo de tiene un área de 0,05 es el mismo valor Z pero con signo opuesto que
deja por debajo el 0,95 (debido a que el área por encima es 0,05)
Ubicando la probabilidad 1- = 0,95; como no se encuentra el número exacto de
0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números 0.9494 y
0,9505, por eso Z=−1,645 que es el valor intermedio de -1,64 y -1,65.
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,05). Lo que arroja como resultado -1.645
Se ubica en la gráfica primero el Z teórico (-1,645). Luego, ubica el Z cálculado del
paso 3, si este Z calculado queda por debajo del estadístico teórico se rechaza la
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Ho (por se una prueba de cola izquierda) pero si queda por encima NO se puede
rechazar Ho.
Ya que el Z calculado -2,52 es menor que el teórico -1,645, se rechaza que
μ≥1 .28. Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los
zapatos se debe a su uso en el desierto, al nivel del 5%.
2. Un proceso está programado para empacar la cantidad, media, de una libra
(16 onzas) de café. Se toma una muestra aleatoria de 36 paquetes; resulta
una media de 14.2 onzas y desviación típica de 5.3 onzas. Al nivel del 5%,
¿Se podrá afirmar que no se está cumpliendo con lo indicado en el empaque?
Tabla de datos:
Media poblacional μ=16
Varianza muestral s2=5.3
Tamaño de muestra n=36
Media Muestral x=14.2
H o : μ = 16
H 1: μ¿ 16
∝=0.05
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Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 2: Nivel de significancia α
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Z= x̄−μs√n
=14 .2−165 . 3
√36
=−2. 03
Como la prueba de hipótesis es de dos colas (H 1: μ¿ 16) la zona de rechazo esta
abajo y arriba. Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la
tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se
encuentra el número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está
entre los números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor
intermedio de 1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387
0,83147239
0,83397675
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Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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1 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643
1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588
0,96784323
0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
Como el Z calculado -2,03 es menor que el valor inferior de los estadísticos
teóricos -1,96 se rechaza Ho. Al nivel del 5% si se podrá afirmar que no se está
cumpliendo con lo indicado por la fabrica. Se puede ver que -2.03 se ubica en la
región critica, por lo tanto se estará rechazando la hipótesis nula, y aceptando la
hipótesis alternativa.
3. Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora
por su deficiente llenado que debe ser, en promedio, de 32,5 onzas. Para ello
toma una muestra de 60 botellas, encontrando que el contenido medio es de 31,9
onzas de líquido. Se sabe que la maquina embotelladora debe producir un llenado
con una desviación típica de 3,6 onzas. ¿puede el inspector llegar a la conclusión,
a nivel de significación del 5%, que se están llenando las botellas por debajo de su
especificación del contenido?
Tabla de datos:
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Paso 5: Tomar la Decisión
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Media poblacional μ=32,5
Desviación
poblacional
σ=3,6
Tamaño de muestra n=60
Media Muestral x=31,9
H o : μ = 32,5
H 1: μ < 32,5
∝=0.05
z= x−μ
σ√n
acá se uso la desviación poblacional
z=31,9−32,53,6√60
=−1,29
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,95; como no se encuentra el número
exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números
0.9494 y 0,9505, por eso Z=−1,645 que es el valor intermedio de 1,64 y 1,65.
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,05). Lo que arroja como resultado -1.645
Como el estadístico de prueba Z = -1.29 se sitúa en la zona de aceptación, es
válida la hipótesis nula, lo cual significa que el inspector no debe llegar a la
conclusión de que se está llenando y vendiendo un producto por debajo de su
especificación, al nivel del 5%.
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Paso 5: Tomar la Decisión
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4. La verdadera media del peso de un costal de harina debe ser de 50 kg. Se
pesan 36 costales obteniendo una media de 49.5 kg con una desviación de 1.2 kg.
Haga una prueba de hipótesis, con el 95% de confianza, para verificar si el
contenido de los costales es diferente a 50 kg.
Tabla de datos:
Media poblacional μ=50
Desviación muestral S=1.2
Tamaño de muestra n=36
Media Muestral x=49.5
H o : μ = 50
H 1: μ¿ 50
∝=0.05
Z= x̄−μs√n
=49 .5−501 . 2
√36
=−2 .5
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se encuentra el
número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los
números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de
1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387
0,83147239
0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588
0,96784323
0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
Como el estadístico de prueba (o calculado) Z = -2.5 se sitúa en la zona de
aceptación, es válida la hipótesis nula, se puede Concluir. Si hay diferencia, con
este nivel de confianza, en el llenado de los costales respecto de la especificación
de 50 kg.
5. Una muestra de 200 artículos por una maquina, que debe tener como
especificación un diámetro de 3,6 cm, revela un diámetro promedio de 3,62 cm,
con desviación estándar de 0,21cm. ¿Podría afirmarse que el anterior resultado
se ajusta a las especificaciones de producción?
Tabla de datos:
Media poblacional μ=3,6
Desviación estándar
muestral
S=0,21
Tamaño de muestra n=200
Media Muestral x=3,62
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Paso 5: Tomar la Decisión
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H o : μ = 3,6
H 1: μ ≠ 3,6
∝=0.05
z= x−μs√n
z=3,62−3,60,21√200
=1,35
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se encuentra el
número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los
números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de
1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387
0,83147239
0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,85769035
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
1,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643
1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588
0,96784323
0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
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Paso 5: Tomar la Decisión
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Como el estadístico de prueba (o calculado) Z = 1,35 se ubica en la zona de
aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta
a las especificaciones de producción al nivel del 5%.
6. Un test de psicología tenía una puntuación media de 78 puntos y una
desviación de 6. En un grupo de 16 estudiantes, la puntuación fue de 74. ¿Puede
afirmarse a nivel del 1% que este grupo fue inferior?
Tabla de datos:
Media poblacional μ=78
Desviación
poblacional
σ=6
Tamaño de muestra n=16
Media Muestral x=74
H o : μ = 78
H 1: μ ¿ 78
∝=0.01
z= x−μ
σ√n
z=74−786
√16
=−2,67
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,99; como no se encuentra el número
exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números
0.9898 y 0,9900, por eso Z=−2,67 que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33.Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
1,10,8643339
40,8665004
90,8686431
2
0,87076189
0,87285685
0,87492806
1,20,8849303
30,8868605
50,8887675
60,8906514
5 0,89251230,8943502
3
1,30,9031995
20,9049020
80,9065824
90,9082408
60,9098773
30,9114920
1
1,40,9192433
40,9207301
60,9221961
60,9236414
9 0,92506630,9264707
4
1,5 0,93319280,9344782
90,9357445
10,9369916
40,9382198
20,9394292
4
1,60,9452007
10,9463010
70,9473838
60,9484492
50,9494974
20,9505285
3
1,70,9554345
40,9563670
60,9572837
80,9581848
60,9590704
90,9599408
4
1,80,9640696
80,9648521
1 0,96562050,9663750
30,9671158
80,9678432
3
1,90,9712834
40,9719333
90,9725710
50,9731965
80,9738101
60,9744119
4
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
16ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
20,9772498
70,9777844
10,9783083
10,9788217
30,9793248
40,9798177
92,1 0,9821355
80,9825708
20,9829969
80,9834141
90,9838226
20,9842223
9
2,20,9860965
50,9864474
2
0,98679062 0,9871262
80,9874545
40,9877755
32,3 0,9892758
90,9895559
20,9898295
60,9900969
20,9903581
30,9906132
92,4 0,9918024
60,9920237
40,9922397
50,9924505
90,9926563
70,9928571
9
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado -2.33
Como el estadístico de prueba Z = -2,67, lo cual se puede afirmar que este grupo
fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%.
Prueba de hipótesis para estimar una proporción (siempre con muestras grandes n>30)
7. Una empresa al seleccionar su personal lo somete a un curso de
entrenamiento. Por experiencia el 76% de los aspirantes aprueban el curso. Se
efectúan ciertos cambios en el programa, para el cual se inscribe 40 y 24 lo
aprueban. ¿Podría afirmarse que los cambios introducidos reducen la selección?
(1%)
Tabla de datos:
P̂=2440
=0,60=60 % q̂=1640
=0,40=40 %
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 5: Tomar la Decisión
17ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
H0 : p=0 .76H A : p≠0. 76
∝=0.01
z= p̂− p
√ p̂ q̂n
=(0 .60 )−0 .76
√ (0. 6 )(0 .4 )40
=−2.07
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,99; como no se encuentra el número
exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números
0.9898 y 0,9900, por eso Z=2,3que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33.Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 2: Nivel de significancia α
18ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
1,10,8643339
40,8665004
90,8686431
2
0,87076189
0,87285685
0,87492806
1,20,8849303
30,8868605
50,8887675
60,8906514
5 0,89251230,8943502
3
1,30,9031995
20,9049020
80,9065824
90,9082408
60,9098773
30,9114920
1
1,40,9192433
40,9207301
60,9221961
60,9236414
9 0,92506630,9264707
4
1,5 0,93319280,9344782
90,9357445
10,9369916
40,9382198
20,9394292
4
1,60,9452007
10,9463010
70,9473838
60,9484492
50,9494974
20,9505285
3
1,70,9554345
40,9563670
60,9572837
80,9581848
60,9590704
90,9599408
4
1,80,9640696
80,9648521
1 0,96562050,9663750
30,9671158
80,9678432
3
1,90,9712834
40,9719333
90,9725710
50,9731965
80,9738101
60,9744119
4
20,9772498
70,9777844
10,9783083
10,9788217
30,9793248
40,9798177
9
2,10,9821355
80,9825708
20,9829969
80,9834141
90,9838226
20,9842223
9
2,20,9860965
50,9864474
2
0,98679062 0,9871262
80,9874545
40,9877755
3
2,30,9892758
90,9895559
20,9898295
60,9900969
20,9903581
30,9906132
9
2,40,9918024
60,9920237
40,9922397
50,9924505
90,9926563
70,9928571
9
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 2.33
Como -2.07 cae en la región de aceptación, no reducen la selección los cambios
introducidos, al nivel del 1%
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 5: Tomar la Decisión
19ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
8. Un fabricante dice que su producto tiene el 65% del mercado. Un estudio,
muestra que de 300 productos 180 son del fabricante. Con un 95% de confianza
pruebe la hipótesis del fabricante.
Tabla de datos:
Proporción muestral
Proporción
poblacional
p=180300
=0,6=60 %
P=0.65=65 %
Tamaño de muestra n=300
H0 : p=0 .65H A : p≠0. 65
∝=0.05
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
77.1
02828.005.0
300)6.01)(6.0(
65.0300180
ˆˆˆ
nqpppz
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
20ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se encuentra el
número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los
números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de
1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387
0,83147239
0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643
1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588
0,96784323
0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
21ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
Por cualquiera de las dos comparaciones, se observa, para el nivel de confianza
establecido, que no hay suficiente evidencia estadística para rechazar H0.
Se concluye que el fabricante tiene razón
Prueba de hipótesis para estimar la diferencia de medias
9. Una prueba de resistencia al esfuerzo de dos tipos diferentes de cables,
que presentan desviaciones típicas de 35 y 45 respectivamente, se llevo a cabo,
seleccionando dos muestras de tamaño 32 y 40, con medias de 905 y 925.
¿proporcionan estos resultados, al nivel del 1%, suficiente evidencia de que la
resistencia de B es superior a la de A.
Tabla de datos:
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 5: Tomar la Decisión
Media poblacional μ1=μ2
Varianza poblacional σ 1=35 σ 2=45
Tamaño de muestra n1=32 n2=40
Media Muestral x1=905 x2=925
22ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Ho : μ1−μ2=0H1 : μ1−μ2>0
∝=0.01
z=(x1−x2 )− (μ1−μ2)
√ σ 12
n1+
σ 22
n2
z= (905−925 )−0
√ (35)2
32 +(45 )2
40
=−2 .12
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 2: Nivel de significancia α
23ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,9; como no se encuentra el número
exacto de 0,9 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números
0.9898 y 0,9900, por eso Z=1,28que es el valor intermedio de 1,1 y 1,3.Normal 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,5 0,70884031 0,71226028 0,71566115 0,71904269 0,722404680,6 0,74215389 0,74537309 0,74857111 0,75174777 0,754902910,7 0,77337265 0,77637271 0,77935005 0,78230456 0,785236120,8 0,80233746 0,80510548 0,8078498 0,81057035 0,813267060,9 0,82894387 0,83147239 0,83397675 0,83645694 0,838912941 0,85314094 0,8554277 0,85769035 0,85992891 0,862143431,1 0,87492806 0,8769756 0,87899952 0,88099989 0,88297681,2 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,89972743 0,901474671,3 0,91149201 0,91308504 0,91465655 0,91620668 0,917735561,4 0,92647074 0,92785496 0,92921912 0,93056338 0,931887881,5 0,93942924 0,94062006 0,94179244 0,94294657 0,94408261,6 0,95052853 0,95154277 0,95254032 0,95352134 0,954486021,7 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96246202 0,963273041,8 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,96994596 0,97062102
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 1,28
La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo
tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005
menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula).
Al nivel del 10%, si permite llegar a la conclusión de que la resistencia al esfuerzo
del cable B es superior a la del cable A.
10. Una firma que tiene dos fabricas ubicadas en dos regiones del país desea
establecer el promedio de antigüedad que tienen sus trabajadores, a fin de
establecer un programa para sus pensionados. Se toma de la primera fabrica una
muestra de 60 obreros, la cual reflejo un promedio de trabajo de 16,4 años con
desviación estándar de 5 años, mientras que en la segunda fabrica una muestra
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 5: Tomar la Decisión
24ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
de 40, fue de 15,8 años, con desviación estándar de 4,2 años ¿Al nivel del 5% se
podrá afirmar que hay una diferencia significativa en cuanto a la antigüedad en la
empresa?
Tabla de datos:
Ho : μ1−μ2=0H1 : μ1≠μ2
∝=0.05
z=(x1−x2 )− (μ1−μ2)
√ σ 12
n1+
σ 22
n2
z= (16 ,4−15 , 8 )−0
√ (5)2
60 +(4,2 )2
40
=0 , 65
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 2: Nivel de significancia α
Media poblacional μ1=μ2
Varianza poblacional σ 1=5 σ 2=4,2
Tamaño de muestra n1=60 n2=40
Media Muestral x1=16,4 x2=15,8
25ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se encuentra el
número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los
números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de
1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
26ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387
0,83147239
0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643
1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588
0,96784323
0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo
tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005
menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula).
Se puede concluir que no hay diferencia significativa, al nivel del 5%.
11. Se tienen dos tipos de concretos. Se toma una muestra de tamaño 42 de
cada uno y se obtiene un promedio muestral de la conductividad térmica para el
primero de 0.486 con una desviación estándar de 0.187 y un promedio de 0.359
de conductividad térmica con una desviación estándar de 0.158 para el segundo.
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 5: Tomar la Decisión
27ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Esta información sugiere que el promedio verdadero de conductividad térmica del
primer concreto es mayor que la del segundo, con α=0 .01 .
Tabla de datos:
Ho : μ1−μ2=0H1 : μ1−μ2>0
∝=0.01
z=(x1−x2 )− (μ1−μ2)
√ σ 12
n1+
σ 22
n2
z= (0 .486−0. 359 )−0
√ (0. 187 )2
42 +(0 .158 )2
42
=3. 3
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Media poblacional μ1=μ2
Medias muestrales x1=0,486 x2=0,359
Desviación muestral S1=0,187 S2=0,158
Tamaño de muestra n1=42 n2=42
28ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,99; como no se encuentra el número
exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números
0.9898 y 0,9900, por eso Z=2,3que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33.Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
1,10,8643339
40,8665004
90,8686431
2
0,87076189
0,87285685
0,87492806
1,20,8849303
30,8868605
50,8887675
60,8906514
5 0,89251230,8943502
3
1,30,9031995
20,9049020
80,9065824
90,9082408
60,9098773
30,9114920
1
1,40,9192433
40,9207301
60,9221961
60,9236414
9 0,92506630,9264707
4
1,5 0,93319280,9344782
90,9357445
10,9369916
40,9382198
20,9394292
4
1,60,9452007
10,9463010
70,9473838
60,9484492
50,9494974
20,9505285
3
1,70,9554345
40,9563670
60,9572837
80,9581848
60,9590704
90,9599408
41,8 0,9640696 0,9648521 0,9656205 0,9663750 0,9671158 0,9678432
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Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
29ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
8 1 3 8 3
1,90,9712834
40,9719333
90,9725710
50,9731965
80,9738101
60,9744119
4
20,9772498
70,9777844
10,9783083
10,9788217
30,9793248
40,9798177
9
2,10,9821355
80,9825708
20,9829969
80,9834141
90,9838226
20,9842223
9
2,20,9860965
50,9864474
2
0,98679062 0,9871262
80,9874545
40,9877755
3
2,30,9892758
90,9895559
20,9898295
60,9900969
20,9903581
30,9906132
9
2,40,9918024
60,9920237
40,9922397
50,9924505
90,9926563
70,9928571
9
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 2.33
La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo
tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005
menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula). Se puede concluir que el primer
acero tiene una conductividad térmica mayor.
.
Prueba de diferencia de proporciones
12. Un gerente de una compañía realiza dos muestras de tamaño de 120
empleados, una en cada fábrica, con el fin de determinar el porcentaje de
accidentes de trabajo en el trimestre. En la primera fabrica durante el trimestre de
observación se presentaron 12 casos, mientras que en la segunda, 16. ¿Al nivel
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Paso 5: Tomar la Decisión
30ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
del 5% se podrá afirmar que los accidentes de trabajo son iguales en las dos
fábricas?
Tabla de datos:
Proporciones ¿ 12120
=0,10=10 % Proporciones ¿ 16120
=0,13=13 %
Tamaño de muestra n1=120 n2=120
Ho : p1−p2=0H1 : p1−p2≠0
∝=0.05
z=( p̂1− p̂2)−( p1−p2 )
√ p̂1 q̂1
n1+ p̂ q̂
n2
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 2: Nivel de significancia α
73.0
120)87.0)(13.0(
120)9.0)(1.0(
013.010.0
z
31ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se encuentra el
número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los
números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de
1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387
0,83147239
0,83397675
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32ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
1 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643
1,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588
0,96784323
0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
La accidentalidad en el trabajo es igual en las dos fábricas, al nivel del 5%
13. De 300 residentes de la ciudad 63 están a favor de un aumento en la
velocidad permitida en las carreteras, mientras que de 180 residentes del campo
75 están a favor del cambio. La información indica que la percepción es diferente
en los dos grupos.
Tabla de datos:
población A población B
Proporción
p̂a=63
300=0,21=21%
Proporción
p̂b=52
180=0,29=29%
Tamaño de muestra
n1=300 n2=180
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Paso 5: Tomar la Decisión
33ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Ho : p1−p2=0H1 : p1−p2≠0
∝=0.05
z=( p̂1− p̂2)−( p1−p2 )
√ p̂1 q̂1
n1+ p̂ q̂
n2
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
94.1
180)29.01)(29.0(
300)21.01)(21.0(
029.021.0
z
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
34ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1-α
2=0 . 975
; como no se encuentra el
número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los
números 0,97441194 y 0,97500211, por eso Z=196 que es el valor intermedio de
1,95 y 1,96.
Normal 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,070,9 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83147239 0,833976751 0,84134475 0,84375236 0,84613577 0,848495 0,85083005 0,85314094 0,8554277 0,857690351,1 0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806 0,8769756 0,878999521,2 0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145 0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,897957691,3 0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,914656551,4 0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,929219121,5 0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,941792441,6 0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,952540321,7 0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,961636431,8 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,969258091,9 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.
Comparando los valores de z de prueba y de significancia, z de prueba es menor,
(valor p = 0.2499, mayor que alfa) por lo que no hay evidencia para rechazar la
hipótesis nula.
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 5: Tomar la Decisión
35ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
14. Dos grupos A y B de 100 personas cada uno tienen determinada
enfermedad. Un suero es dado al grupo A, pero no al B. por otra parte, los grupos
son tratados idénticamente. Si encontramos que en el grupo A, 75 personas se
recobran de la enfermedad y en el B, 65, pruebe la hipótesis de que el suero cura
la enfermedad.
Tabla de datos:
Proporciones p1=75
100=0,75 p2=
65100
=0,65
Tamaño de las muestras n1=100n2=100
Ho : p1=p2H1 : p1> p2
∝=0.05
z=p1+ p2
√ p1∗q1
n1+
p2∗q2
n2
= 0,75−0,65
√ (0,75 )(0,25)100
+ (0,65 )(0,35)100
= 0,100,0640
=1,56
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
36ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la
normal, ubicando la probabilidad 1- = 0,95; como no se encuentra el número
exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números
0.9494 y 0,9505, por eso Z=−1,645 que es el valor intermedio de 1,64 y 1,65.
Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel:
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,05). Lo que arroja como resultado -1.645
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
37ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Como el estadístico de prueba Z = 1.56 se sitúa en la zona de aceptación, es
válida la hipótesis nula. Al nivel de investigación del 5%, no podemos aceptar que
el suero cure la enfermedad.
Pruebas de hipótesis para estimar la media y la diferencia de medias (muestras pequeñas n< = 30)
15.Un jefe de personal está dispuesto a contratar una secretaria para ocupar un
puesto a menos que ella cometa más de una equivocación por página
mecanografiada. Se elige una muestra aleatoria de cinco páginas de las
escritas por los aspirantes. Las equivocaciones por paginas son: 3, 3, 4, 0, 1.
Utilizando nivel de significancia de 5%, ¿Qué decisión se debe tomar?
Tabla de datos:
Media poblacional μ=1
Varianza poblacional σ=1.64
Tamaño de muestra n=5
Media muestral x=2,2
Grado de libertad v=5−1=4
H o : μ = 2
H 1: μ ¿ 2
∝=0.05
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
38ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
t= x−μ
s√n
=2,2−11,64√5
=¿ = 1.63
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,1, para un grado de libertad de 4; y nos da como resultado 2,132.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15
1 636,619 127,321 63,657 31,821 25,452 12,706
6,314
4,165
2 31,599 14,089 9,925 6,965 6,205 4,303 2,920 2,282
3 12,924 7,453 5,841 4,541 4,1773,182
2,353 1,924
4 8,610 5,598 4,604 3,747 3,495 2,776 2,132 1,778
5 6,869 4,773 4,032 3,365 3,163 2,571 2,015 1,699
Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra HernándezTutor: Diana Caliman
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 5: Tomar la Decisión
39ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Se acepta la hipótesis nula, puede contratar a la aspirante al nivel del 5%
16. Una muestra de 10 vigas de acero tiene una resistencia media a la
comprensión de 57.498 libras por pulgadas cuadradas (I.p.c) con una desviación
típica de 539 I.p.c. Docimar la hipótesis de que la verdadera resistencia media a la
comprensión de las vigas de acero de las que se extrajo la muestra es μ=57.000.
Utilizar la alternativa bilateral y un nivel de significado del 1%.
Tabla de datos:
Media poblacional μ=57000
Desviación poblacional σ=539
Tamaño de muestra n=10
Media muestral x=57498
Grado de libertad v=10−1=9
H o : μ = 57000
H 1: μ ¿ 57000
∝=0.01
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 2: Nivel de significancia α
40ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
t= x−μ
s√n
= 57.498−57.000539√9
=498(3)
539=2,7710
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,01, para un grado de libertad de 15; y nos da como resultado 3.250
.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,159
4,781 3,6903,250
2,821 2,685 2,262 1,833 1,57410 4,587 3,581 3,169 2,764 2,634 2,228 1,812 1,55911 4,437 3,497 3,106 2,718 2,593 2,201 1,796 1,54812 4,318 3,428 3,055 2,681 2,560 2,179 1,782 1,53813 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533 2,160 1,771 1,53014 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,145 1,761 1,52315 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,508
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Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
41ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Aceptamos que μ = 57000, es decir, que es la verdadera resistencia media a la
comprensión de las vigas de acero, con un nivel de significancia del 1%.
17. Se toma como muestra de 6 mujeres y 10 hombres fumadores. Se requiere
saber si el numero de cigarrillos que consumen los hombres diariamente es
superior al de las mujeres, los datos fueron en promedio 8 cigarrillos en el grupo
de mujeres y 11 en los hombres; las desviaciones típicas son 2,1 y 1,8
respectivamente. Al nivel del 5% ¿Se puede llegar a la conclusión de que los
hombres fuman más que las mujeres?
Tabla de datos:
Grado de libertad v=6+10−2=14
H o : μ1=μ2
H 1: μ1<μ2
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Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Media poblacional μ1=μ2
Varianza poblacional s1=2,1 s2=1,8
Tamaño de muestra n1=6 n2=10
Media Muestral x1=8 x2=11
Paso 2: Nivel de significancia α
42ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
∝=0.05
t=(x1−x2)−(μ1−μ2 )
√( n1−1 )s12+(n2−1 )s2
2
n1+n2−2 √ 1n1
+ 1n2
= (8−11)
√(6−1)2,12+(10−1)1,82
6+10−2 √ 16 +
110
=−3 ,04
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,1, para un grado de libertad de 14; y nos da como resultado 1,761.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,050,1
0,15
13 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533
2,160
1,771 1,53014 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,145 1,761 1,523
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Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
15 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,50818 3,922 3,197 2,878 2,552 2,445 2,101 1,734 1,50419 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1,50020 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 1,49721 3,819 3,135 2,831 2,518 2,414 2,080 1,721 1,494
Se ubica en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta aceptar la conclusión de
que los hombres fuman más que las mujeres.
18. Supongamos que una persona quiere tener desconectado su teléfono, si el
promedio de llamadas que hace al día es menor de 2. Elige aleatoriamente 5 días
y anotas el número de llamadas así: 0, 2, 1, 1, 2. Utilizando ∝=0,05, ¿Debería
retirar al teléfono?
Tabla de datos:
Media poblacional μ=2
Varianza poblacional σ=0,84
Tamaño de muestra n=5
Media muestral x=1,2
Grado de libertad v=5−1=4
H o : μ = 2
H 1: μ ¿ 2
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Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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∝=0.05
t= x−μ
s√n
=1,2−20,84√5
=−1,790,84 = -2,1318
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,1, para un grado de libertad de 4; y nos da como resultado 2,132.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15
1 636,619 127,321 63,657 31,821 25,452 12,706
6,314
4,165
2 31,599 14,089 9,925 6,965 6,205 4,303 2,920 2,282
3 12,924 7,453 5,841 4,541 4,177
3,182
2,353 1,924
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Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
4 8,610 5,598 4,604 3,747 3,495 2,776 2,132 1,778
5 6,869 4,773 4,032 3,365 3,163 2,571 2,015 1,699
Se ubica -2,1318 en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería
desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico (-2,1318) se
podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.
19. Un pescador decide que necesita un sedal que resista más de 10 libras si
ha de capturar el tamaño de pescado que desea. Prueba 16 piezas de sedal de la
marca G y halla una media muestral de 10,4. Si en la muestra se obtiene que la
desviación típica es de 0,5 libras, ¿Qué conclusión se puede sacar de la marca G?
(Nivel de significancia del 5%)
Tabla de datos:
Media poblacional μ=10
Desviación muestral σ=0,5
Tamaño de muestra n=16
Media muestral x=10 , 4
Grado de libertad v=16−1=15
H o : μ = 10
H 1: μ > 10
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Paso 5: Tomar la Decisión
Paso 1: Planteamiento de hipótesis
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∝=0.05
t= x−μ
s√n
= 10,2−100,5√15
= 4√150,5
=4 (3,87)
0,5=3,10
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,1, para un grado de libertad de 15; y nos da como resultado 1,753.
.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15
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Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
9 4,781 3,690 3,250 2,821 2,685 2,262
1,833
1,57410 4,587 3,581 3,169 2,764 2,634 2,228 1,812 1,55911 4,437 3,497 3,106 2,718 2,593 2,201 1,796 1,54812 4,318 3,428 3,055 2,681 2,560 2,179 1,782 1,53813 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533 2,160 1,771 1,530
14 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,1451,761
1,52315 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,508
Se ubica 3,10 en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, se puede concluir que el
sedal de la marca G ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras.
Pruebas de hipótesis para estimar la proporcion y la diferencia de proporciones (muestras pequeñas n< = 30)
20. En una muestra probabilística de 12 amas de casa, el 20% indico
preferencias por la marca A de margarina. Con posterioridad a una campaña
intensiva de radio y televisión, se selecciono una nueva muestra entre amas de
casa del mismo tamaño y clase social. En esta muestra el 22% indico preferencia
por la marca A. De acuerdo con estos resultados y a un nivel del 5%, ¿Podría
rechazarse la hipótesis de que la campaña de publicidad no fue efectiva?
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Paso 5: Tomar la Decisión
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Proporciones p̂1 ¿0,20=20 % Proporciones ¿0,22=22%
Tamaño de muestra n1=12 n2=12
Grado de libertad v=24−2=22
H o : μp 1= μp 2
H 1: μp 1 < μp 2
∝=0.05
t
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
Paso 2: Nivel de significancia α
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100403- Inferencia EstadísticaGuía de ejercicios – Prueba de Hipótesis
Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0, 1, para un grado de libertad de 22; y nos da como resultado 1,717.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 DISTR.T
18 3,922 3,197 2,878 2,552 2,445 2,101
1,734
1819 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1920 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 20
21 3,819 3,135 2,831 2,518 2,4142,080
1,721 2122 3,792 3,119 2,819 2,508 2,405 2,074 1,717 2223 3,768 3,104 2,807 2,500 2,398 2,069 1,714 2324 3,745 3,091 2,797 2,492 2,391 2,064 1,711 2425 3,725 3,078 2,787 2,485 2,385 2,060 1,708 2526 3,707 3,067 2,779 2,479 2,379 2,056 1,706 26
Se ubica -0,12 en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, se puede rechazar que
la campaña publicitaria no fue efectiva.
21. El distribuidor de una maquina afirma que el máximo de elementos
defectuosos por hora que presenta su funcionamiento es del 3%. En una
determinada hora, se toman como muestra 20 artículos producidos, los que a su
vez son sometidos a control, encontrando un artículo defectuoso. ¿al nivel del 5%
se podrá decir que él % de defectuosos es superior al señalado por el
distribuidor?
Proporciones p= 120
=0,050=5 % P=3 %
Tamaño de las muestras n=20
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Paso 5: Tomar la Decisión
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Grado de libertad v=20−1=19
H o : P= 0,03
H 1: p > 0,03
∝=0.05
t= p−P
√ pqn−1
= 0,05−0,03
√ 0.05 (0,95)20−1
=0,4
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,1, para un grado de libertad de 19; y nos da como resultado 1,729.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 0,15
13 4,221 3,372 3,012 2,650 2,533 2,160
1,771
1,53014 4,140 3,326 2,977 2,624 2,510 2,145 1,761 1,52315 4,073 3,286 2,947 2,602 2,490 2,131 1,753 1,51716 4,015 3,252 2,921 2,583 2,473 2,120 1,746 1,51217 3,965 3,222 2,898 2,567 2,458 2,110 1,740 1,508
18 3,922 3,197 2,878 2,552 2,445 2,1011,734
1,50419 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1,50020 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 1,49721 3,819 3,135 2,831 2,518 2,414 2,080 1,721 1,494
No se puede concluir que el porcentaje de defectuosos sea superior al señalado
por el distribuidor, al nivel del 5%.
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22. Se dice con frecuencia que la proporción de funcionamiento públicos que
tienen el hábito de fumar en horas de trabajo, es de 42%. La oficina
gubernamental de salud desea realizar una campaña a fin de disminuir este
porcentaje; para ello debe comprobar ese porcentaje, asi que decide realizar una
investigación por muestreo a 25 funcionarios encontrado que 13 de ellos fuman.
¿Al nivel del 1% la oficina puede aceptar el porcentaje del 42% como indicador?
Proporciones p= 325
=0,52=52 % P=42 %
Tamaño de las muestras n=25
Grado de libertad v=25−1=24
H o : μp= 0,42
H 1: μp ¿ 0,42
∝=0.01
t=p−μp
√ pqn−1
= 0,52−0,42
√ 0.52(0,48)25−1
=0,98
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Paso 1: Planteamiento de hipótesis
Paso 2: Nivel de significancia α
Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)
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Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student,
ubicando = 0,01, para un grado de libertad de 19; y nos da como resultado
2,797.
DISTR.T 0,001 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 DISTR.T
18 3,922 3,197
2,878
2,552 2,445 2,101 1,734 1819 3,883 3,174 2,861 2,539 2,433 2,093 1,729 1920 3,850 3,153 2,845 2,528 2,423 2,086 1,725 2021 3,819 3,135 2,831 2,518 2,414 2,080 1,721 2122 3,792 3,119 2,819 2,508 2,405 2,074 1,717 22
23 3,768 3,1042,807
2,500 2,398 2,069 1,714 2324 3,745 3,091 2,797 2,492 2,391 2,064 1,711 2425 3,725 3,078 2,787 2,485 2,385 2,060 1,708 2526 3,707 3,067 2,779 2,479 2,379 2,056 1,706 26
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Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión
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Si hay razón para aceptar el % de 42, como indicador de fumadores en horas de
trabajo, al nivel del 1%.
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Paso 5: Tomar la Decisión
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