Ekonometria.
Co wynika z podejścia stochastycznego?
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-6 -4 -2 0 2 4 6x
f(x)
co to jest zmienna losowa?
Repetytorium z rachunku prawdopodobieństwa, czyli
Prawdopodobieństwoliczba z zakresu <0,1> określająca siłę przekonania, że zajdzie niepewne zdarzenie
Zmienna losowa zmienna, która przyjmuje różne wartości wyznaczone przez los funkcja
W rachunku prawdopodobienstwa wartosc opisujaca spodziewany (srednio) wynik doswiadczenia losowego.Wartosc oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykly.Estymatorem wartosci oczekiwanej rozkladu cechy w populacji jest srednia arytmetyczna.
WartoWartoscsc oczekiwana oczekiwana E(E(XX), ), (przeci(przecieetna, tna, ssrednia), nadzieja matematycznarednia), nadzieja matematyczna
ppii - prawdopodobienstwo wystapienia i-tego wyniku
xxii –i-ty wynik
E(X)=E(X)= – wartosc oczekiwana
i
m
ii xpXE
1
)(
Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzedu zmiennej losowej
ppii - prawdopodobienstwo wystapienia i-tego wyniku
xxii –i-ty wynik
E(X)=E(X)= – wartosc oczekiwana
DD(X)(X)==– wariancja
i
m
ii pxxXD
2
1
22 )()(
WariancjaWariancja DD22((XX), ), 22, , ss22
miara zmiennomiara zmiennosscici
Populacja
WariancjaWariancja DD22((XX), ), 22, , ss22
miara zmiennomiara zmiennosscici
n
xxs
m
ii
2
12
)(
Próba
1
)( 2
12
n
xxs
m
ii
Odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartosci jakiejs wielkosci (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) sa rozrzucone wokól jej sredniej. Im mniejsza wartosc odchylenia tym obserwacje bardziej skupione wokól sredniej.
1
)(1
2
n
xxs
n
ii
Odchylenie standardoweOdchylenie standardowe D(D(XX), ), , s, smiara zmiennomiara zmiennosscici
2ss
WspWspóóllczynnik korelacji czynnik korelacji , r, r
Współczynnik korelacji liniowej
n
i
n
iii
n
iii
yx
xy
yyn
xxn
yyxxn
ss
yxr
1 1
22
1
)(1
)(1
))((1
),cov(
11 xyr
(lac.) wzajemny zwiazekWzajemne powiazanie, wspólzaleznosc jakichs zjawisk lub obiektówW teorii prawdopodobienstwa i statystyce na ogól rozumie sie jako zaleznosc liniowa zmiennych losowych
Funkcja gestosci
Zmienna losowazmienna, która przyjmuje rózne wartosci wyznaczone przez los funkcja
ciagle i skokowe (dyskretne)
Dystrybuantaprawdopodobienstwo ze zmienna losowa X przyjmie wartosc mniejsza, lub równa x
x
duufxXPxF )()()(
Charakterystyki zmiennej losowej N()
Funkcja gęstości rozkładu normalnego N (0,1)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
f(x)
Zakres zmienności x2
2
2
)(
21
)(
x
exfFunkcja gęstości
Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0,1)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-6 -4 -2 0 2 4 6x
F(x
)
Dystrybuanta
x
duufxXPxF )()()(dtexF
tx2
2
2
)(
21
)(
Charakterystyki zmiennej losowej
Rozkłady normalne przy różnych
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x)
Rozkłady normalne przy różnych
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x)
Przedziały prawdopodobieństwa dla rozkładu Normalnego
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
f(x)
KlasycznaMetodaNajmniejszychKwadratów
n - liczba obserwacjik - liczba zmiennych objaśniającychy - wektor obserwacji empirycznych zmiennej objaśnianej (endogenicznej, zależnej)
X - macierz obserwacji zmiennych objaśniających (egzogenicznych, niezależnych)
ny
yy
y...
2
1
nknn
k
k
xxx
xxxxxx
X
,...,,...
,...,,,...,,
21
22221
11211
EkonometriaEkonometria
- wektor obserwacji teoretycznych (z modelu) b - wektor parametrów modelu
y
Klasyczna Metoda Najmniejszych KwadratówKlasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów
XbyXbXbXby kk ˆ...ˆ 2211
minˆ1
2
n
ttt yySKR
kb
b
b ...1
yXXXb TT 1)(
ttt yye ˆ e- składnik resztowy (reszta)
SKR
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
Prod
uk
cja
y,y
t
Y Yt
Co to jest podejście stochastyczne?
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-6 -4 -2 0 2 4 6x
f(x)
Y - zmienna objaśniana - składnik systematyczny - składnik przypadkowy (losowy)
Podejście stochastycznePodejście stochastyczne
YY= = + +
21)( xyE
Linia regresji populacji generalnej
Podejście stochastycznePodejście stochastyczne
Wszystkie możliwe wyniki obserwacjiModel hipotetyczny
),(XfY
Posiadane wyniki obserwacjiModel ekonometryczny(oszacowanie modelu hipotetycznego)
21XY
21ˆ bXby
21ˆ bXby
?Wnioskowanie z określonym
prawdopodobieństwem
y
Podejście stochastycznePodejście stochastyczne
Estymatory - funkcje zmiennych losowych np.
yXXXb TT 1)(
21XY
Dobre estymatory
Podejście stochastycznePodejście stochastyczne
metody szacowania parametrów
nieobciążonenieobciążone przy dużej liczbie prób średnie ocen b bliskie
zgodnezgodne przy dużej liczbie obserwacji w próbie oceny b bliskie
efektywneefektywne małe średnie kwadratów odchyleń (b- )2
)(bE
1)(lim
n
bP
Założenia modelu standardowego
KMNK
1. Zmienna objaśniająca ( XX ) jest nielosowa
2. Składnik losowy ma rozkład normalny : N(,)
Założenia modelu standardowego
3. Zakłócenia mają tendencję do wzajemnej redukcjiE() = 0
Wykorzystanie reguł
elementarnej statystyki
Wnioskowanie statystyczne w oparciu o rozkład
t-Studenta i F
Uchylenie =>estymatory nie są
nieobciążone4. Składnik losowy jest sferyczny: - brak autokorelacji - homoskedastyczność
Utrata efektywności estymatorów
ji Brak autokorelacji składnika losowego
cov( i, j ) = 0
Założenia modelu standardowego
e E(Y)
AutokorelacjaAutokorelacja
e E(Y)
Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego:- pominięcie sezonowości- błędny dobór postaci funkcji.
Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego:- pominięcie sezonowości- błędny dobór postaci funkcji.
Założenia modelu standardowego
AutokorelacjaAutokorelacja
Postępowanie w przypadku autokorelacji
tit
p
iit u
1
p - pewna liczba N
i - współczynniki autokorelacji
ut - proces czysto losowy
E(ut)=0, u2
Proces czysto losowy:proces stacjonarny, w którym- w czasie dyskretnym- wszystkie zmienne losowe są wzajemnie niezależne
Proces czysto losowy:proces stacjonarny, w którym- w czasie dyskretnym- wszystkie zmienne losowe są wzajemnie niezależne
Obniżenie efektywności estymatorów KMNK
Problematyczne stosowanie testów istotności t i F
Możliwe większe błędy - szacunki dodatkowych parametrów
e E(Y)
e E(Y)
homoskedastyczny
HomoskedastycznośćHomoskedastyczność Składnik losowy jest o takiej samej wariancji D2() = 2
heteroskedastyczny
IV. Weryfikacja modelu
czyli jak ocenić model?
II. Konstrukcja modelu
II. Konstrukcja modelu
III. Estymacja parametrów
III. Estymacja parametrów
IV. Weryfikacja modelu
IV. Weryfikacja modelu
V. PrognozaV. Prognoza
I. Specyfikacja zmiennych
I. Specyfikacja zmiennych
Etapy budowy modelu ekonometrycznegoEtapy budowy modelu ekonometrycznego
Weryfikacja modelu
Weryfikacja merytoryczna
Weryfikacja statystyczna
Ocena jakości modelu
Badanie istotności
zmiennych
Badanie Rozkładu
reszt
znaki parametrów• skala parametrów• konsekwencje prognostyczne• konsekwencje modelowe
Co oznacza weryfikacja merytoryczna?
Co oznacza badanie istotności zmiennych ?
Zmienna objaśniająca jest istotna jeżeli w zauważalny (wyraźny) sposób wpływa na zmienną objaśnianą
• Wszystkie zmienne objaśniające muszą być istotne• Metoda - wnioskowanie statystyczne w oparciu o statystykę t-Studenta• - poziom istotności (=0,05 =0,10)
V. Prognoza
czyli jak wykorzystać model?
y
y
Przedziały ufności dla linii regresjiPrzedziały ufności dla linii regresji
21ˆ bxby
y
x
11
1
2
2*
nxx
xxsV n
tt
t
Funkcja gęstości rozkładu normalnego N(0,1)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
f(x)
SkSkaad sid siee biorbioraa przedziaprzedzia lly ufnoy ufnossci?ci?
2
11)(
kkXP NierNieróównownoscsc CzebyszewaCzebyszewa
];[ **
tknttkntt VtyVtyy
0%
5%
10%
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Statystyka t-Studenta
Od czego zaleOd czego zalezzy szerokoy szeroko scsc przedziaprzedzia llóó w ufnow ufnossci?ci?
];[ **
tknttkntt VtyVtyy
0%
1%
2%
3%
4%
5%
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
Statystyka t-Studenta
Od czego zaleOd czego zalezzy szerokoy szerokoscsc przedziaprzedzia llóów ufnow ufnossci?ci?
Q=100 Q=6
Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego:Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego:
- Jaką metodę najlepiej zastosować przy szacowaniu parametrów modelu? - Jaki błąd może zostać popełniony przy szacowaniu?- Na jaki błąd się narażamy dokonując prognozy?
Wybrane metody taksonomii,
czyli jak dobierać zmienne do modelu?
Next:
A. Aczel Statystyka w zarządzaniu PWN 2000 A.Welfe Ekonometria, PWE’95
Z.Czerwiński Dylematy ekonomiczne, PWE’92
Z. Czerwiński Moje zmagania z ekonomią, Wydawnictwo AE Poznań 2002
A. Zeliaś Teoria prognozy PWE’97
J.Gajda Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wydawnictwo C.H. Beck 2001
K.Jajuga (red.) Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O.Langego we Wrocławiu’99W.Kordecki Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje twierdzenia wzory. Oficyna Wydawnicza GIS 2001
B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe. Materiały
dydaktyczne AE Poznań’2000
W.Samuelson, S.Marks Ekonomia menedżerska, PWE’98
W.Sadowski (red.) Elementy ekonometrii i programowania matematycznego. PWN’80
M.Cieślak (red.) Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN’97
G.Chow Ekonometria, PWN’95
LiteraturaLiteratura