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Cualquier estudio de ingeniería de costas oportuaria tal como el diseño de una regeneraciónde playa o de un puerto requiere la estimación delas condiciones del oleaje en el área de interés. Engeneral, las condiciones de oleaje son conocidasen mar abierto por lo cual es necesario transferir lainformación disponible, instrumental, visual o depredicción, de alturas y direcciones a la zona deestudio. Por ello, la necesidad de determinar eloleaje de diseño, o de datos para alimentar mode-los de transporte de sedimentos o de circulaciónen la zona de rompientes, ha dado lugar, en las dosúltimas décadas, a avances importantes en el mo-delado de los procesos de transformación de lasondas.

El oleaje de viento generado por una borras-ca en mar abierto está formado, generalmente, porcomponentes abarcando un amplio rango de fre-cuencias. Las componentes con más altas frecuen-cias se propagan con una menor celeridad que

aquellas correspondientes a las bajas frecuencias.A medida que éstas se propagan a lo largo de laplataforma continental hacia la costa, las compo-nentes de onda larga lideran el grupo de ondasviajando, a continuación, las ondas de corto perí-odo. En profundidades indefinidas las ondas ge-neradas por el viento no se ven afectadas por labatimetría. A partir de que el tren de ondas co-mienza a propagarse en aguas más someras, ésteempieza a refractarse por efecto de la batimetría ode las corrientes o se difracta alrededor de abrup-tas variaciones del fondo tales como cañones sub-marinos o bajos. Parte de la energía es reflejadahacia mar abierto. A medida que la propagacióncontinúa en dirección hacia la costa, las ondaspierden parte de su energía por efecto de la fric-ción en el fondo. A pesar de ello, la amplitud de laonda aumenta y la longitud de onda se va redu-ciendo dando lugar al peraltamiento de las ondas.Dado que, en profundidades reducidas, la celeri-dad de la onda es proporcional a la raíz cuadrada

37INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 7 · Nº 1 MARZO 2000

Introducción

Resumen:Este artículo presenta un resumen de la evolución de los modelos matemáticos utilizados para el estudiode la propagación del oleaje, concentrándose especialmente en los últimos avances alcanzados. Se pre-senta, por tanto, un pequeño resumen de los progresos realizados en las dos últimas décadas para luegodesarrollar más detalladamente las últimas investigaciones relativas a modelos unificados o modelos ba-sados en las ecuaciones de Navier-Stokes.

Es necesario hacer énfasis en el hecho de que el modelado matemático es tan sólo uno de los aspectos queabarca el estudio de la propagación del oleaje en el campo de la Ingeniería de Costas, dado que otras con-sideraciones tales como la definición de la batimetría, selección de los datos de partida relativos al climamarítimo, tratamiento de los contornos, etc. condicionan completamente el resultado final. Estos últimosaspectos, muy ligados al binomio modelo-modelador, quedan fuera del alcance de este artículo aunque nodeben ser olvidados.

Palabras clave: oleaje, modelos numéricos, Navier-Stokes, Boussinesq, mild-slope.

Philip L.-F. Liu. 1

Iñigo J. Losada. 2

EL MODELADO MATEMATICO DE LA PROPAGACIONDEL OLEAJE EN INGENIERÍA DE COSTAS

1 School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, NY, USA2 Grupo de Ingeniería Oceanográfica y de Costas, Universidad de Cantabria, Santander, España

de la profundidad, el frente de la onda se desplazaa una velocidad menor que la cresta de la ondadando lugar a un volteo de la cresta. Este volteogenera usualmente un chorro de agua que se in-yecta cerca de la base de la onda dando lugar a unagran salpicadura. La turbulencia asociada a estarotura de la onda es responsable no sólo de unagran disipación de energía sino también del trans-porte de sedimentos que se produce en la zona derompientes.

Al comienzo de los años sesenta, el métodobasado en la teoría del rayo era el más extendidoentre los ingenieros de costas y portuarios a la ho-ra de determinar las características del oleaje ne-cesarias en la zona de estudio. En España, se apli-có el método llamado de los Planos de Oleaje,desarrollado por Iribarren en los años treinta. Hoyen día los métodos computacionales y las caracte-rísticas de los ordenadores disponibles dan al in-geniero la oportunidad de utilizar modelos numé-ricos sumamente sofisticados para establecer elclima marítimo de diseño. Estos modelos numéri-cos se basan en diferentes ecuaciones, condicio-nes de contorno y esquemas numéricos, que lle-van inherentes varias limitaciones a la hora de es-tablecer su aplicabilidad en casos reales. Más aún,el esfuerzo computacional necesario para resolverla transformación del oleaje en grandes zonas deestudio, incluyendo todos los procesos implica-dos, con diferentes escalas temporales y espacia-les, es todavía demasiado grande.

En la actualidad los modelos numéricos parael estudio de la transformación del oleaje puedenclasificarse esencialmente en : a) modelos que re-suelven la fase, basados en las ecuaciones no esta-cionarias de conservación de la masa y cantidad demovimiento integradas en vertical, y b) modelospromediados en la fase que se basan en la conser-vación de la energía espectral. La aplicación de losmodelos que resuelven la fase se limita a áreas re-lativamente pequeñas (órdenes del kilómetro)mientras que los modelos promediados en la fase,no precisan una resolución tan pequeña pudiendoser aplicados a áreas mucho mayores. Además, losdiferentes procesos involucrados en la propagacióndel oleaje no son tratados de igual forma en cadauno de los tipos de modelos por lo que será necesa-rio aplicar uno u otro en función de aquellos proce-sos que preponderen en cada caso de interés.

Las líneas más recientes de investigación se hancentrado en el desarrollo de modelos unificados ca-paces de describir la propagación transitoria de ondas

completamente no lineales desde profundidades in-definidas hasta reducidas abarcando grandes áreas detrabajo. Además, se ha alcanzado un progreso consi-derable en el modelado de la rotura del oleaje y en lasimulación de la interacción onda-estructura.

El objeto de este artículo es presentar un pe-queño resumen de la evolución del modelado de lapropagación del oleaje durante las dos últimas dé-cadas y especialmente de los últimos avances re-lativos al desarrollo de modelos unificados y de lasimulación de la rotura del oleaje.

Teorías de ondas

En principio, el movimiento oscilatorio aso-ciado a las ondas en un fluido Newtoniano e in-compresible, puede ser modelado mediante lasecuaciones de Navier-Stokes, que representan losprincipios de conservación de la masa y del mo-mento lineal. Las condiciones de contorno en lasuperficie libre que garantizan la existencia de unainterfase y la continuidad del tensor de tensiones através de la superficie libre son necesarios para de-terminar la posición de la superficie libre. Tanto lasecuaciones de Navier-Stokes como las condicio-nes de contorno en la superficie libre son no linea-les. Por tanto, y aunque se considere que la turbu-lencia puede despreciarse, el esfuerzo computacio-nal necesario para resolver el problema tridimen-sional de la propagación de la onda, con una esca-la horizontal de cientos de longitudes de onda, esdemasiado grande para poder ser asumido dentrodel mundo profesional de la ingeniería.

La teoría del rayo

Con el fin de reducir la demanda de esfuerzocomputacional se ha tendido a reducir el dominiocomputacional. Más aún, el trabajo de los investi-gadores ha ido encaminado hacia el desarrollo deun modelo unificado capaz de propagar las ondasdesde profundidades indefinidas hasta reducidas,incluso dentro de la zona de rompientes. El prede-cesor de estos modelos es la aproximación de lateoría del rayo para ondas infinitesimales propa-gándose por una batimetría suavemente variableen distancias mucho mayores que la longitud deonda local. En esta aproximación, se comienzaobteniendo los rayos con base en la teoría óptico-geométrica, en la que se definen los rayos como lalínea tangente al vector número de onda. A conti-nuación se calcula la variación espacial de la en-volvente de la onda a lo largo de los rayos con ba-se en el principio de conservación de la energía.

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PHILIP L.-F. LIU e IÑIGO J. LOSADA

La discretización numérica puede realizarsepaso a paso a lo largo del rayo, con pasos no nece-sariamente muy pequeños en comparación con lalongitud de onda característica. Dado que la teoríadel rayo no permite el flujo de energía a través delrayo, pierde su validez cerca de los caústicos, don-de se produce la intersección entre los rayos, y portanto, los efectos de la difracción o no lineales sonimportantes. A pesar de que existen varias meto-dologías para resolver este problema localmente,no es siempre conveniente implementar este tipode correcciones en casos prácticos.

Ecuación de la mild-slope (pendientesuave)

En el marco de la teoría lineal de ondas, Ec-kart (1952) y Berkhoff (1972, 1976) posterior-mente, propusieron una mejoría a la aproximacióndel rayo introduciendo una teoría para dos dimen-siones que es adecuada para estudiar procesos derefracción y difracción en grandes extensiones.Esta teoría se basa fundamentalmente en asumirque los modos evanescentes no son importantescuando las ondas se propagan sobre batimetríasuavemente variable, excepto en las cercanías deobstáculos tridimensionales. Para una onda mono-cromática de frecuencia ω y superficie libre η, sepuede expresar el potencial de velocidades corres-pondiente al modo propagante como

donde k(x,y) y h(x,y) varían suavemente en las di-recciones horizontales, x e y, y de acuerdo a la re-lación de dispersión lineal

siendo g la aceleración de la gravedad. Basándoseen una técnica de perturbaciones Smith y Sprinks(1975) mostraron que la superficie libre debe sa-tisfacer la siguiente ecuación

donde

representan la celeridad de la onda y de grupo pa-ra una onda plana progresiva. La ecuación dife-rencial de tipo elíptico, (3), es válida asintótica-mente cuando es suficientementepequeño, y se conoce como ecuación de la pen-diente suave (mild-slope equation). Una pruebade su versatilidad puede observarse en sus dos lí-mites asintóticos. Para ondas largas en profundi-dades reducidas el límite de la ecuación (3) parakh<<1 se reduce a la conocida ecuación lineal pa-ra ondas largas y es válida incluso si δ =O(1) . Porotro lado, para ondas cortas en profundidades in-definidas (kh>>1 ), (3) se reduce a la ecuación deHelmholtz donde k satisface la ecuación de la dis-persión (2). Ambos límites son adecuados paracalcular la difracción correctamente. Por tanto, laecuación de la mild-slope puede utilizarse comouna buena interpolación para cualquier kh y esadecuada para propagar ondas desde profundida-des indefinidas hasta reducidas siempre y cuandola hipótesis de linealidad sea aceptable. La ecua-ción (3) puede ser, asimismo, derivada para teneren cuenta la presencia de corrientes (Liu, 1990).

Aproximación parabólica

Una de las dificultades a la hora de aplicar laecuación de la mild-slope en grandes extensionessurge a la hora de especificar las condiciones decontorno en la línea de la costa, condición necesa-ria para poder resolver la versión elíptica de laecuación de la mild-slope. El problema radica enque la localización de la línea de rotura no es cono-cida a priori, desconociendo, por tanto, la cantidadde energía disipada, reflejada o transmitida en elcontorno. Una solución a este problema consiste enaplicar la aproximación parabólica de la ecuaciónde la mild-slope. Para casos en los que la onda sepropaga esencialmente hacia adelante, la aproxi-mación parabólica extiende la validez de la teoríadel rayo permitiendo la “difusión” de energía a tra-vés del rayo. Por tanto, los efectos de la difracciónse incluyen de forma aproximada en la aproxima-ción parabólica. A pesar de que la aproximación pa-rabólica se ha utilizado primordialmente para casosen los que la onda se propaga hacia adelante, la in-troducción de un método iterativo posibilita incluirpropagaciones débiles hacia atrás, por ejemplo,cuando se produce reflexión en un contorno (Liuand Tsay 1983; Chen and Liu 1994).

Ondas de Stokes

Para ondas de amplitud finita, la hipótesis deno linealidad que requiere que


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kA<<1 en cualquier punto del dominio y A/h <<1 en reducidas (kh<<1 )

puede dejar de ser válida. En profundidades inde-finidas e intermedias es posiblemente más ade-cuado utilizar teorías de Stokes de órdenes supe-riores que tienen en cuenta los efectos de la am-plitud finita basándose en la teoría de las perturba-ciones. El hecho de que la amplitud sea finita tie-ne un efecto directo en la dispersión por frecuen-cias y, por tanto, en la celeridad de la onda. Porejemplo, para ondas de Stokes de segundo ordenla ecuación de la dispersión no lineal tiene la si-guiente estructura

donde

y A representa la amplitud de la onda. La ecuación(6) puede entenderse como una serie de potenciasde un parámetro pequeño, kA<<1. La correspon-diente versión no lineal de la ecuación de la mild-slope y su aproximación parabólica fueron pre-sentadas en Kirby and Dalrymple (1983) y Liuand Tsay (1984). Sin embargo, es necesario proce-der con cautela a la hora de extender la teoría nolineal de Stokes a profundidades reducidas, dadoque deben cumplirse una serie de condiciones adi-cionales. En el límite kh<<1 la ecuación de la dis-persión no lineal puede aproximarse como

Para garantizar que la serie es convergentepara A/h <<1, es necesario asegurarse de que elcoeficiente que afecta al segundo término de la se-rie es de orden uno o más pequeño, es decir

que se conoce como parámetro de Ursell. La condi-ción (9) que impone que el parámetro de Ursell seade orden uno o menor en profundidades reducidases muy difícil de satisfacer. De acuerdo con la teo-ría lineal, en profundidades reducidas, la amplitud,A, aumenta proporcionalmente a y kh decrece

con . Por tanto, el número de Ursell aumentaráproporcionalmente a a medida que la profundi-dad decrece y superará, por tanto, el orden uno pa-ra una profundidad dada. Con ello, se puede llegara la conclusión de que la teoría no lineal de Stokesno es aplicable en profundidades reducidas y que esnecesario encontrar ecuaciones alternativas paramodelar la transformación de las ondas.

Aproximación de Boussinesq

Asumiendo que tanto la no linealidad comola dispersión frecuencial son débiles y del mismoorden de magnitud, Peregrine (1967) derivó lasecuaciones estándar de Boussinesq, para fondovariable.

donde es la velocidad promediada en vertical,η, el desplazamiento de la superficie libre, h, laprofundidad referida al nivel en reposo,

un operador diferencial, g la acele-ración de la gravedad y t, un subíndice que indicaderivación respecto al tiempo.

A pesar de que Peregrine expresó sus ecuacio-nes utilizando la velocidad integrada en vertical co-mo variable dependiente, dichas ecuaciones puedenobtenerse con una estructura similar utilizando co-mo variable la velocidad en el fondo o en la superfi-cie libre. La ecuación de la dispersión y la celeridadde la onda derivadas, son algo diferentes para estasegunda versión de las ecuaciones, aunque el ordende magnitud de la exactitud de dichas ecuaciones esla misma. Los resultados numéricos basados en lasecuaciones estándar de Boussinesq o en formulacio-nes equivalentes han dado una buena comparacióncon datos de campo (Elgar and Guza, 1985) y de la-boratorio (Goring, 1978, Liu et al., 1985).

Dado que esta aproximación exige asumir quelos efectos de la dispersión frecuencial y no linealessean débiles, las ecuaciones estándar de Boussinesqno son aplicables en profundidades muy reducidasdonde los efectos no lineales empiezan a ser más im-portantes que los efectos de la dispersión frecuencial,ni en profundidades indefinidas donde la dispersiónfrecuencial es del orden de la unidad. Las ecuaciones



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estándar de Boussinesq formuladas en función de lavelocidad promediada en vertical, dejan de ser váli-das cuando la profundidad es mayor que un quinto dela longitud de onda equivalente en profundidades in-definidas. En la mayor parte de las aplicaciones inge-nieriles, donde el espectro incidente está formado pormúltiples componentes frecuenciales, sería deseableque la condición de profundidad no fuera tan restric-tiva. Más aún, la resolución numérica de las ecuacio-nes de Boussinesq, las altas frecuencias, con longitu-des de onda semejantes al tamaño de la malla puedendar lugar a inestabilidades.

Para poder extender la aplicación a ondasmás cortas (o profundidades mayores), se han in-troducido varias formulaciones modificadas de lasecuaciones de Boussinesq (e.g. Madsen et al.1991, Nwogu 1993, Chen and Liu, 1995). A pesarde que los métodos de derivación son diferentes,las relaciones de dispersión de las componentes li-neales de estas ecuaciones de Boussinesq modifi-cadas, son similares, y pueden considerarse comoligeras modificaciones de la aproximación (2,2)de Padé, de la ecuación de la dispersión completapara ondas lineales (Witting, 1984). Las ecuacio-nes de continuidad y de conservación del momen-to integradas en vertical pueden expresarse enfunción del desplazamiento de la superficie libre,η, y de uα , vector horizontal de velocidades a unaprofundidad zα , tal que

Se ha demostrado que, con una selección óp-tima de zα =-0.531h las ecuaciones modificadas de

Boussinesq son válidas para modelar la propa-gación de ondas desde profundidades indefinidashasta reducidas incluyendo la interacción ola-co-rriente (Chen et al., 1998). Es necesario hacer énfa-sis en que el término de aceleración convectiva en laecuación del momento (11) y (13), se ha escrito deforma conservativa. Este término podría ser susti-tuido por su expresión correspondiente no conser-vativa, es decir, , respectivamente, sinque ello conduzca a variaciones en el orden de mag-nitud de la exactitud de las ecuaciones del modelo.

Modelo unificado

A pesar de que estas ecuaciones modificadasde Boussinesq funcionan con éxito en profundida-des indefinidas e intermedias, su aplicación sigueviéndose limitada por la hipótesis de débil no li-nealidad. A medida que las ondas se aproximan ala costa, la altura de ola aumenta por efecto delasomeramiento y la ola rompe incluso en las pla-yas naturales más tendidas. La relación entre la al-tura de ola y la profundidad asociada a este proce-so físico, toma valores demasiado grandes para laaproximación de Boussinesq. Las ecuaciones másapropiadas para el primer orden de la solución de-bieran ser las ecuaciones no lineales en profundi-dades reducidas (NSWE). Por supuesto esta res-tricción en la aplicabilidad de las ecuaciones tipoBoussinesq puede soslayarse, eliminado la hipóte-sis de débil no linealidad (p.e. Liu 1994, Wei etal., 1995). En sentido estricto estas ecuaciones,completamente no lineales, no pueden seguirsiendo consideradas del tipo Boussinesq, dadoque la no linealidad ya no está en equilibrio con ladispersión frecuencial, habiendo sido esta hipóte-sis la esencia de la aproximación de Boussinesq.

Las ecuaciones completamente no lineales ydébilmente dispersivas son, (Liu, 1994):

.

Estas ecuaciones no son más que la formula-ción de la conservación de la masa y de la cantidadde movimiento respectivamente, y han sido deriva-das sin realizar ninguna aproximación relativa a lano linealidad de las mismas. Por tanto, si en laecuación de conservación de la cantidad de movi-miento (15) se reemplaza la expresión del términoinercial por , será necesario añadir

términos de orden superior con el fin de mantenerel orden de magnitud de la exactitud de las ecua-ciones. Es relativamente sencillo demostrar quelas ecuaciones de Boussinesq convencionales,(10) y (11), y las ecuaciones de Boussinesq modi-ficadas, (12) y (13), son casos particulares de lasecuaciones unificadas (14) y (15).



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Disipación de energía

En las secciones anteriores todas las teoríasde ondas presentadas se han basado en la hipótesisde que durante el proceso de transformación de lasondas no se produce disipación de energía. Sinembargo, en la mayor parte de los fenómenos quese producen en la costa, la disipación de energíaproducida, por ejemplo, por fricción en el fondo opor procesos de rotura, puede ser muy importante.La ecuación de la mild-slope puede ser modifica-da de manera muy simple para tener en cuenta es-tos fenómenos incluyendo una función de disipa-ción de energía que describa la tasa de variaciónde la energía asociada a la onda. Las funciones dedisipación de energía suelen ser definidas, usual-mente, de forma empírica de acuerdo a los dife-rentes procesos de disipación que pretenden sermodelados (p.e. Dalrymple et al., 1994). Análoga-mente, en los modelos numéricos basados en lasecuaciones del tipo Boussinesq, la rotura puedeser parametrizada introduciendo un nuevo térmi-no en la ecuación del momento integrada en verti-cal. Mientras que Zelt (1991), Karambas y Kouti-tas (1992) y Kennedy et al. (2000) utilizan un mo-delo basado en la viscosidad de remolino, Broc-chini et al. (1992) y Schäffer et al. (1993) optanpor la implementación de un modelo del “roller”,más complicado, y basado en el concepto del “ro-ller” superficial que se produce en la rotura en de-crestamiento (spilling). En el modelo del “roller”el espesor del “roller” en cada punto y la orienta-ción del “roller” deben ser datos conocidos a prio-ri. Además, en cualquiera de las dos aproximacio-nes al problema, es necesario imponer el inicio delproceso de rotura con base en ciertas hipótesis. Elajuste entre los resultados numéricos y los datosde evolución de la superficie libre en el laborato-rio y en el campo es bueno siempre que se realiceun calibrado adecuado de los parámetros inclui-dos en los modelos de rotura. Sin embargo, ningu-no de estos modelos es capaz de reproducir con-venientemente el campo de velocidades o de de-terminar la distribución espacial de la energía ci-nética turbulenta. Estas limitaciones hacen nece-saria la utilización de modelos más específicospara analizar el proceso de rotura.

Modelado de la rotura de las ondasmediante las ecuaciones promediadas deReynolds (Reynolds Averaged Navier-Sto-kes equations (RANS))

El modelado numérico tridimensional del pro-ceso de rotura entraña una dificultad extrema, ha-

ciendo precisa la superación de varios retos impor-tantes. En primer lugar, se hace necesaria la descrip-ción de la evolución de la posición de la superficie li-bre durante el proceso de rotura con el fin de mode-lar adecuadamente la dinámica asociada a dicha su-perficie. En segundo lugar, es necesario modelar losmecanismos físicos asociados a la generación, trans-porte y disipación de turbulencia durante todo el pro-ceso de la rotura. Y finalmente, es necesario superarla enorme demanda de recursos computacionales re-querida para la resolución de este problema.

Hasta el momento, se han obtenidos varios re-sultados bidimensionales con éxito. Por ejemplo, larotura bidimensional de ondas ha sido estudiadamediante el método MAC (Marker And Cell), (p.e.Johson et al., 1994) y el VOF (Volume Of Fluid)(p.e. Ng and Kot, 1992, Lin and Liu, 1998a, b).

(Lin y Liu, 1998a) muestran que la rotura endecrestamiento y voluta del oleaje en la zona derompientes puede modelarse en dos dimensionesmediante las ecuaciones promediadas de Reynolds(RANS), acopladas con un modelo de cierre de laturbulencia del tipo k-ε , de segundo orden. Por otrolado, el modelado basado en la aproximación LES(Large Eddy Simulation, o de simulación de vórti-ces de gran escala, ha sido aplicado con éxito parael estudio de flujos en canales abiertos en los queno se produce la rotura de la superficie libre (p.e.Hodges, 1997). Sin embargo, hasta el momento, seha hecho muy poco trabajo en el modelado tridi-mensional del proceso de rotura. Miyata et al.(1996) y Kawamura (1998) presentan modelos nu-méricos para el estudio tridimensional de ondas ge-neradas por barcos mediante la simulación de unasuperficie libre uniforme pasando a lo largo un ci-lindro vertical. Sin embargo, el proceso dinámicocuasi-estacionario de las ondas generadas por bar-cos es muy diferente al proceso de la rotura del ole-aje en la zona de rompientes.

En esta sección se presenta someramente laformulación matemática y el algoritmo numéricocorrespondientes al modelado de la rotura de unaonda. Una descripción más detallada puede en-contrarse en Liu y Lin (1997) y Lin y Liu (1998a,b). El modelo de rotura se basa en las ecuacionespromediadas de Reynolds (RANS). A pesar deque el modelo ha sido inicialmente aplicado al es-tudio de problemas bidimensionales, se presentanlas ecuaciones completas tridimensionales con elfin de favorecer su uso en investigaciones poste-riores. En un flujo turbulento el campo de veloci-dades y de presiones puede descomponerse en dos


partes: la velocidad y presión medias(media de conjunto) y la velocidad y presión tur-bulentas, y Por tanto,

en donde i= 1, 2, 3 para un flujo tridimensional.Asumiendo que el fluido es incompresible, el flu-jo medio puede describirse mediante las ecuacio-nes de Navier-Stokes promediadas según Rey-nolds (RANS)

donde ρ es la densidad del fluido, gi la componentei-ésima de la aceleración de la gravedad, el tensor detensiones medio es , µ es la viscosidad

molecular del fluido y , es el

tensor de deformación del flujo medio. En laecuación de conservación del momento (18), lainfluencia de las fluctuaciones turbulentas en elflujo medio se representa mediante el tensor detensiones de Reynolds . Se han desarro-llado varios modelos de cierre de segundo ordenpara el problema turbulento y con diferentes apli-caciones, que han sido revisados recientemente enun artículo (Jaw and Chen, 1998a y b). En el mo-delo considerado, las tensiones de Reynolds

se formulan mediante un modelo alge-braico no lineal de tensiones (Shih et al., 1996;Lin y Liu, 1998a, b):

en donde Cd , C1, C2 y C3 son unos coeficientes em-píricos, δij la delta de Kronecker, la

energía cinética turbulenta y es la tasa

de disipación de la energía turbulenta, dondeν = µ / ρ es la viscosidad cinemática molecular.Obsérvese que para un modelo convencional deviscosidad de remolino C1 = C2 = C3 = 0 en (19)y que, por tanto, la viscosidad de remolino se ex-presa como . La ventaja del modelo no

lineal de las tensiones de Reynolds (19) frente al mo-delo convencional de viscosidad de remolino, es queel primero puede aplicarse, en general, a flujos tur-bulentos anisótropos.

Las ecuaciones de gobierno para k y ε son(Rodi, 1980; Lin y Liu, 1998a, b)

donde σk, σε, C1ε y C2ε son coeficientes empíri-cos. En la ecuación de transporte de la energía ci-nética turbulenta (20), el término a la izquierda re-presenta la convección, mientras que el primertérmino a la derecha representa la difusión. El se-gundo y tercer término a la derecha de (20) repre-sentan la producción y disipación de energía ciné-tica turbulenta, respectivamente.

Los coeficientes en las ecuaciones (19) y(21) se pueden determinar mediante la realizaciónde múltiples experimentos sencillos e intentandoimponer el sentido físico. Los valores recomenda-dos de estos coeficientes son (Rodi, 1980, Lin yLiu, 1998a, b):



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donde (índices repetidos

no se suman) y

Para resolver el problema, es necesario, ade-más, imponer unas condiciones de contorno apro-piadas. Para el flujo medio, se impone una condi-ción de adherencia en la superficie sólida, y unacondición de suma de tensiones igual a cero en lasuperficie libre media, despreciando por tantocualquier efecto aerodinámico. Para el flujo tur-bulento, en el contorno sólido, se impone una dis-tribución logarítmica de la velocidad tangencialmedia en la capa límite turbulenta, de modo quelos valores de k y ε puedan ser expresados comouna función de la distancia al contorno y de la ve-locidad tangencial media fuera de la subcapa vis-cosa. En la superficie libre, se impone las condi-ciones de gradiente nulo tanto para k como para ε,es decir . Para las condiciones iniciales

se asume un bajo nivel de k. La justificación paraesta aproximación puede encontrarse en Lin y Liu(1998a,b).

Las ecuaciones RANS se resuelven median-te un método de proyección en dos pasos en dife-rencias finitas (Chorin, 1968) en una malla rectan-gular que se divide en m * n celdas. Para discreti-zar las derivadas temporales, se utiliza un esque-ma de avance en el tiempo. Los términos convec-tivos se resuelven combinando un esquema de de-rivación centrada y un esquema “upwind”. Paradiscretizar las otras derivadas espaciales, gradien-tes de presiones y de tensiones tangenciales, seutiliza el esquema de derivación centrada. Lasecuaciones de transporte para k y ε se discretizande forma similar. El movimiento de la superficielibre se resuelve utilizando una técnica VOF (Vo-lume Of Fluid). En este modelo se obtiene el cam-bio de la función VOF que depende de la densidadmedia en cada celda para luego reconstruir la su-perficie libre. La información detallada puede en-contrarse en Kothe et al. (1991), Lin y Liu (1997),y Lin y Liu (1998a, b).

El modelo matemático descrito ha sido veri-ficado comparando los resultados numéricos condatos experimentales o con soluciones analíticaspara casos simples. Si no hay rotura, los modelosnuméricos pueden generar y propagar fielmentetanto ondas solitarias como periódicas (Liu y Lin,1997). Asimismo, el modelo numérico es capaz de

simular el volteo del chorro superficial que se pro-duce en la fase inicial de la rotura en voluta (Lin yLiu, 1998b). Tanto para rotura en decrestamientocomo en voluta en una playa, el modelo ha sidoverificado con datos de laboratorio obtenidos porTing y Kirby (1994, 1995). La descripción deta-llada de los resultados numéricos, así como lascomparaciones con datos experimentales puedenencontrarse en Lin y Liu (1997), y Lin y Liu(1998a, b). En general el acuerdo entre datos nu-méricos y experimentales obtenido ha sido muybueno. Aunque no se muestren en este artículo, es-tos resultados han sido utilizados para dar una ex-plicación a la generación y transporte de turbulen-cia y vorticidad durante el proceso de rotura en lazona de rompientes. Los perfiles verticales de laviscosidad de remolino se calcularon para toda lazona de rompientes. Más aun, el modelo es válidopara demostrar los diferentes procesos de difusiónque se producen cuando se produce el vertido decualquier contaminante en el interior o el exteriorde la zona de rompientes (Lin y Liu, 1998b).

Más recientemente, el modelo de rotura hasido extendido para investigar la interacción deloleaje con estructuras de protección de costas in-cluyendo el proceso de rotura (Liu et al. 1999,2000). Las estructuras consideradas pueden seremergidas o sumergidas. Las fuerzas inducidaspor el oleaje sobre la estructura pueden ser obteni-das a partir de la ley de presiones sobre la superfi-cie de la estructura. Actualmente, el modelo se hadesarrollado en su versión bidimensional. Es sinembargo, muy deseable, su extensión a tres di-mensiones.

Fig. 1. Evolución de la rotura de una onda solitaria en diferentes ins-tantes. Intensidad turbulenta normalizada. Resultados numéricosobtenidos mediante el modelo presentado en (Lin y Liu, 1998a).



Fig 2. Campo de velocidades asociado al proceso de rotura de unaonda solitaria en cuatro instantes diferentes obtenido mediante el

modelo presentado en (Lin y Liu, 1998a).

Conclusiones

A pesar de que, gracias al rápido incrementodel poder computacional de los ordenadores, cadadía nos encontramos más cerca de poder resolvernuméricamente las ecuaciones de Navier-Stokesen grandes dominios directamente, todavía es ne-cesario trabajar con teorías alternativas que, me-diante algunas hipótesis simplificativas, permitanmodelar la propagación del oleaje de acuerdo a lasnecesidades de la ingeniería de costas. En los últi-mos años se ha realizado un enorme progreso en-caminado a desarrollar modelos matemáticos uni-ficados útiles para modelar los procesos de trans-formación del oleaje desde profundidades indefi-nidas hasta reducidas. Los resultados de la últimageneración de modelos numéricos basados enecuaciones unificadas tipo Boussinesq han sidocontrastados con datos experimentales especial-mente para su aplicación para el estudio de la hi-drodinámica en la zona de rompientes, dado queéste ha sido el motivo esencial para impulsar sudesarrollo. Aunque ya existen diferentes versionesen diferencias finitas, su aplicación sistemática enel mundo de la ingeniería de costas no se produci-rá hasta dentro de algunos años, siendo necesario

mejorar el modelado de la rotura o de algunascondiciones de contorno con el fin de conferir almodelo numérico la robustez necesaria para unaposible aplicación indiscriminada. Además, suaplicación a problemas de la ingeniería portuariase encuentra en pleno desarrollo. Por todo ello, enla actualidad prevalece la aplicación de modelosde propagación basados en la ecuación de la mild-slope, o alguna de las versiones modificadas delas ecuaciones de Boussinesq.

Como se ha comentado en este artículo, elmodelado de la rotura o de la interacción con es-tructuras ha mejorado considerablemente con eldesarrollo de modelos basados en las ecuacionesde Navier-Stokes. Sin embargo, este tipo de mo-delos se encuentran en una situación pretecnológi-ca siendo necesario mejorar considerablementealgunos aspectos como la extensión de los mis-mos a 3-D, mejora del modelado de la turbulencia,la optimización de los algoritmos con el fin de re-ducir el coste computacional o el modelado delflujo en medios porosos.

Agradecimientos

P.L.-F. Liu agradece la financiación recibidade la National Science Foundation, Office of Na-val Research, Army Research Office y Sea GrantProgram. Iñigo J. Losada desea expresar su grati-tud a la Comisión Interministerial de Ciencia yTecnología por la financiación concedida a travésdel proyecto de investigación MAR99-0653.

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