1
ELEKTRONİ K VE Bİ LGİ SAYAR Bİ Lİ MLERİ NDE SAYİSAL ÇO ZÜ MLER DERS NOTLARİ
i
Önsöz
MATLAB, MATrix LABoratory sözcüklerinden gelir. İlk defa 1985’de C.B. Moler
tarafından geliştirilmiş etkileşimli bir paket programlama dilidir. Temelde sayısal ve analitik
olarak matematiksel fonksiyonların ifadelerinin kullanıldığı başta mühendislik alanında olmak
üzere sayısal analiz yöntemleri kullanılan bilimlerde son yıllarda oldukça sık kullanılan bir
yazılımdır.
Elinizdeki bu kitap matlab ilgili bütün eğitimlerde yardımcı olması amacıyla
derlenmiştir. Öncelikle danışman hocam Doç Dr. İlhan TARIMER’in ders notlarından yola
çıkarak internet üzerinde yapılan geniş kapsamlı bir tarama sonucunda derlenen notların size
yardımcı olmasını dilerim. İnternet üzerinden yararlandığım kaynakların hepsini kaynakçada
belirtmeye çalıştım ancak yoğun tempo sırasında yazmayı atladığım kaynaklar olduysa
şimdiden özür dilerim.
ii
İçindekiler
Önsöz i
İçindekiler ii
Şekil Listesi vi
Tablo Listesi ix
Tavsiye Edilen Ders Planı x
1. BAŞLARKEN 1
1.1. Arayüz 2
1.1.1. Command Window 3
1.1.1.1. Command Window Ekranında Değişken İşlemleri 4
1.1.2. Workspace 5
1.1.3. Command History 6
1.2. Operatörler 6
1.2.1. Aritmetiksel Operatörler 6
1.2.2. İlişki Operatörleri 7
1.2.3. Mantıksal Operatörler 7
1.3. İşlem Öncelikleri 7
1.4. Sabitler 8
2. MATRİSLER 9
2.1. Matrislere Değer Yükleme 11
2.2. Vektör ve Matrislerde İndis 16
2.3. Vektör ve Matrislerin Boyutları 17
2.4. Vektör ve Matrislerde Aritmetik İşlemler 19
2.4.1. Ortak Aritmetiksel İşlemler Toplama - Çıkarma 20
iii
2.4.2. Vektör ve Matrislerde Matris(Cebirsel) İşlemler 21
2.4.3. Vektör ve Matrislerde Dizi(Birebir) İşlemler 22
2.5. Diğer Matris İşlemleri 23
2.5.1. Determinant 23
2.5.2. Inverse 23
2.6. Ölçme ve Değerlendirme 24
3. FONKSİYONLAR 25
3.1. Yerleşik(Built-In) Fonksiyonlar 25
3.2. M-Dosyaları 29
3.2.1. Toolbox’larda Tanımlı M-Dosyaları 29
3.2.2. Kullanıcı Tarafından Oluşturulan M-Dosyaları 31
3.2.2.1. Script M-Dosyaları 31
3.2.2.2. Function M-Dosyaları 40
3.3. Ölçme ve Değerlendirme 41
4. GRAFİKLER 42
4.1. 2 Boyutlu Grafikler 46
4.1.1. Plot, Ezplot 46
4.1.2. Bar, Barh 49
4.1.3. Hist 50
4.1.4. Stairs 50
4.1.5. Stem 51
4.1.6. Pie 51
4.1.7. Area 52
4.1.8. Quiver 52
iv
4.1.9. Kanava 53
4.1.10. Polar 53
4.1.11. Loglog 54
4.1.12. Semilox, Semilogy 54
4.1.13. Contour 55
4.2. 3 Boyutlu Grafikler 56
4.2.1. Plot3 56
4.2.2. Bar3, Bar3H 57
4.2.3. Pie3 57
4.2.4. Mesh 58
4.2.5. Surf 59
4.3. Ölçme ve Değerlendirme 60
5. MATLAB’DA PROGRAMLAMA 61
5.1. Giriş Çıkış Deyimleri 61
5.1.1. input 61
5.1.2. disp 61
5.1.3. fprintf 62
5.1.4. Mesaj Kutuları 62
5.2. Koşul Deyimleri 63
5.2.1. if 63
5.2.2. switch case 65
5.3. Döngü Deyimleri 67
5.3.1. for, end 67
5.3.2. while, end 69
v
5.4. Ölçme Değerlendirme 70
6. POLİNOMLAR 71
6.1. Polinomun Kökleri 71
6.2. Kökleri Bilinen Polinomun Katsayılarının Bulunması 72
6.3. Bir Polinomun Herhangi Bir Değer İçin Sonucunun Bulunması 72
6.4. Sonuçları ve Derecesi Bilinen Polinomun Katsayılarının Bulunması 74
6.5. Polinomları Çarpımı ve Bölümü 74
6.6. Polinomlarda Türev 75
6.7. Polinomlarda İntegral 75
6.8. Polinomlarda Diferansiyel 76
6.9. Ölçme Değerlendirme 77
KAYNAKLAR 78
EK 1: Matlab Hızlı Erişim Klavuzu 79
EK 2: Uygulama Sorularının Cevapları 81
Bölüm 2 Sorularının Cevapları 81
Bölüm 3 Sorularının Cevapları 81
Bölüm 4 Sorularının Cevapları 82
Bölüm 5 Sorularının Cevapları 82
Bölüm 6 Sorularının Cevapları 84
Ek 3: Eyleyici Uygulama Örneği 85
EK 4: Vize Sınavı (25 Test Sorusu ve Cevap Anahtarı) 91
vi
Şekiller Listesi
Şekil 1.1. Matlab Arayüz 2
Şekil 1.2. Command Window 3
Şekil 1.3. Değişken Tanımlama 4
Şekil 1.4. Workspace 5
Şekil 1.5. Değişken Grafiği 5
Şekil 1.6. Variable Editor 5
Şekil 1.7. Command History 6
Şekil 2.1. Skaler Matris Örnekleri 9
Şekil 2.2. Skaler Matrislere Değer Yükleme 9
Şekil 2.3. Vektör Örnekleri 10
Şekil 2.4. Vektörlere Değer Yükleme 10
Şekil 2.5. 3 x 4 Matris 11
Şekil 2.6. 4 x 4 Matrise Değer Yükleme 11
Şekil 2.7. : (Kolon) Operatörü 12
Şekil 2.8. Linspace Fonksiyonun Kullanımı 12
Şekil 2.9. Sütun Vektörü 13
Şekil 2.10. Rand Fonksiyonunun Kullanımı 13
Şekil 2.11. Birleştirme Yöntemi 14
Şekil 2.12. Zeros ve Ones Fonksiyonlarının Kullanımı 15
Şekil 2.13. Eyes Fonksiyonunun Kullanımı 16
Şekil 2.14. İndis İşlemleri 16
Şekil 2.1.5 Length ve Size Komutları 17
Şekil 2.16. Reshape Fonksiyonu 18
Şekil 2.17. Fliplr, Flipud ve Rot90 Fonksiyonları 18
Şekil 2.18. Vektör ve Matrislerde Toplama ve Çıkartma 20
Şekil 2.19. Matrislerde Matris Çarpım İşlemi 21
Şekil 2.20. Matrislerde Matris Çarpım İşleminin Diagramı 21
Şekil 2.21. Matris İşlemleri 22
Şekil 2.22. Vektör ve Matrislerde Birebir İşlemler 22
vii
Şekil 2.23. Matrislerde Determinant ve Inverse İşlemleri 23
Şekil 3.1. Mantıksal Fonksiyon Uygulamaları 26
Şekil 3.2. Elfun Grubu Fonksiyonları Uygulamaları 28
Şekil 3.3. Toolbox Listesi 29
Şekil 3.4. Yeni Script Penceresi Açma 31
Şekil 3.5. Yeni Script Penceresi Açma 31
Şekil 3.6. Yeni Script Penceresi 32
Şekil 3.7. Yeni Script Penceresi 32
Şekil 3.8. Edit Komutu ile M-Dosyası Oluşturma 34
Şekil 3.9. File – New Script ile M-Dosyası Oluşturma 34
Şekil 3.10. Erişim Hatası Uyarısı 34
Şekil 3.11. Editör Penceresi 35
Şekil 3.12. M-Dosyasnın Kaydedilmesi 35
Şekil 3.13. Değişken Hatası 35
Şekil 3.14. M-Dosyasının Çalıştırılması 36
Şekil 3.15. Yardım İçeriğini Görüntüleme 36
Şekil 3.16. Type Komutu 36
Şekil 3.17. Input Fonksiyonu 37
Şekil 3.18. Plot Fonksiyonu 38
Şekil 3.19. Menu Fonksiyonu 40
Şekil 3.20. Function Dosyaları 41
Şekil 4.1. 2D ve 3D Koordinat Sistemleri 42
Şekil 4.2. Grid On, Grid Off 43
Şekil 4.3. Title, xlabel ve ylabel Komutlarının Kullanımı 44
Şekil 4.4. axis Komutunun Kullanımı 44
Şekil 4.5. hold Komutunun Kullanımı 44
Şekil 4.6. figure Komutunun Kullanımı 45
Şekil 4.7. subplot Komutunun Kullanımı 45
Şekil 4.8. legend Komutunun Kullanımu 46
Şekil 4.9. Plot Fonksiyonunun Basit Kullanımı 48
Şekil 4.10. Plot Fonksiyonun Gelişmiş Kullanımı 49
viii
Şekil 4.11. Bar ve BarH Fonksiyonları 49
Şekil 4.12. Hist Fonksiyonu 50
Şekil 4.13. Stairs Fonksiyonu 50
Şekil 4.14. Stem Fonksiyonu 51
Şekil 4.15. Pie Fonksiyonu 51
Şekil 4.16. Area Fonksiyonu 52
Şekil 4.17. Quiver Fonksiyonu 52
Şekil 4.18. Kanava Grafiği 53
Şekil 4.19. Polar Fonksiyonu 53
Şekil 4.20. Loglog Fonksiyonu 54
Şekil 4.21. Semilogx ve Semilogy Fonksiyonu 54
Şekil 4.22. Contour Fonksiyonu 55
Şekil 4.23. 2D Örnek 55
Şekil 4.24. Plot3 Fonksiyonu 56
Şekil 4.25. Bar3 ve Bar3H Fonksiyonları 57
Şekil 4.26. Pie3 Fonksiyonu 57
Şekil 4.27. Mesh Fonksiyonu 58
Şekil 4.28. Mesh Fonksiyonu 58
Şekil 4.29. Surface Fonksiyonu 59
Şekil 4.30. Surf ve Mesh Fonksiyonu 59
Şekil 4.31. Surf ve Mesh Fonksiyonu 59
ix
Tablo Listesi
Tablo 1.1. 6
Tablo 1.2. 7
Tablo 1.3. 7
Tablo 1.4. 7
Tablo 1.5. 8
Tablo 2.1. 19
Tablo 2.2. 21
Tablo 3.1. 26
Tablo 3.2. 27
Tablo 3.3. 30
Tablo 3.4. 38
Tablo 3.5. 39
Tablo 3.6. 39
Tablo 3.7. 41
Tablo 4.1. 48
Tablo 5.1. 63
Tablo 5.2. 63
Tablo 5.3. 65
Tablo 5.4. 67
Tablo 5.5. 69
x
Tavsiye Edilen Ders Planı
HAFTA BÖLÜM ADI
I. Hafta Arayüz, Operatörler, İşlem Öncelikleri, Sabitler
II. Hafta Matrislere Değer Yükleme, İndis, Boyutları
III. Hafta Vektör ve Matrislerde Aritmetik İşlemler, Determinant, Inverse
IV. Hafta Built In Fonksiyonlar
V. Hafta M Dosyaları – Script
VI. Hafta M Dosyaları - Function
VII. Hafta Grafikler – 2D.
VIII. Hafta Grafikler – 2D
IX. Hafta Grafikler – 3D
X. Hafta Matlab’da Programlama – Giriş Çıkış Deyimleri
XI. Hafta Matlab’da Programlama – Koşul Deyimleri, Döngü Deyimleri
XII. Hafta Polinomlar – Kökleri, Katsayıları
XIII. Hafta Polinomlar – Çarpma, Bölme, Türev
XIV. Hafta Polinomlar – İntegral, Diferansiyel
1
1. BAŞLARKEN
Mathwork firması tarafından geliştirilen MATLAB programının 2005 yılından itibaren
tüm eklenti ve güncellemeleri 6 ayda bir yeni bir sürüm şeklinde şeklinde piyasaya
sürülmektedir. Yılın ilk 6 ayında ki sürüm için a, ikinci 6 ayındaki sürüm için b kodunu
kullanır. Bu döküman 2012 a versiyonu kullanılarak hazırlanmıştır.
Bu bölümde öncelikle MATLAB hakkında kısaca bilgi verdikten sonra sırasıyla
MATLAB kullanıcı arayüzünü, MATLAB’da değişken tanımlarken dikkat edeceğimiz
hususları ve değişkenlerle ilgili MATLAB komutlarını, kullanabileceğimiz aritmetiksel ve
mantıksal öperatörler ile işlem önceliklerini ve son olarak da MATLAB’da tanımlı sabitler
hakkında bilgi vereceğiz.
MATLAB numerik hesaplamarı, ileri düzey grafikleri ve görüntülemeyi, ve üst düzey
programlama dilini birleştiren, entegre teknik hesaplama ortamıdır. MATLAB’ın temelindeki
yapı boyutlandırma gerektirmeyen matrislerdir. Yapılan tüm girdi ve çıktılar hiçbir bildirim
gerektirmeden bir matris olarak tanımlanır.
MATLAB’ın kullanım yerlerini saymak gerekirse;
Denklem takımlarının çözümü, doğrusal ve doğrusal olmayan diferansiyel
denklerinin çözümü, integral hesabı gibi sayısal hesaplamalar
Veri çözümleme işlemleri
İstatiksel hesaplamalar ve çözümlemeler
Grafik çizimi ve çözümlemeler
Bilgisayar destekli denetim sitemi tasarımı
Devre analizinde düğüm kol denklemlerinin çözümü
MATLAB programının profesyonel ve öğrenci versiyonu olmak üzere iki farklı
versiyonu mevcuttur.
MATLAB programını çalıştırdığımızda karşımaza gelen arayüzün(Şekil 1.1.1.) büyük
kısmını komut ekranı(Command Window) penceresi oluşturur. Komut ekranında gördüğümüz
“>>” işaretine prompt adı verilir. MATLAB programının öğrenci versiyonunda prompt
“EDU>>” şeklinde görünür.
Prompt satırında istenilen komut kullanılıp sonucun görünmesi sağlanır. Ayrıca
yazılan komutlardan oluşan programlar kaydedilir.
Başlangıç aşamasında aşağıdaki komutlar yardımıyla MATLAB’dan yardım
alınılabilir.
info: Bilgi almak için gerekli iletişim bilgilerini gösterir.
demo: MATLAB tarafından hazırlanan eğitim videolarına erişilmesini sağlar.
help: Herhangi bir komutun kullanımı hakkında bilgi alınmasını sağlar,
help fonksiyon_adı yazarak komut hakkında ayrıntılı bilgi alınır.
helpbrowser: Yardım ekranını açılmasını sağlar
lookfor: Belirli bir sözcük yada deyim için yardım arar
MATLAB’ı kapatmak istenildiğinde komut satırında quit ya da exit yazmak veya
Dosya menüsünden Exit MATLAB’ın seçilmesi gerekir.
2
1.1. Arayüz
Şekil 1.1. de MATLAB ayayüzü görülmektedir.
Şekil 1.1. MATLAB Arayüz
Şekil 1.1. de görüldüğü üzere MATLAB arayüzü 5 ana kısımdan oluşmaktadır.
Bunlar;
Menu: Ana menünün bulunduğu pencere
Current Folder: MATLAB’ın çalışma klasörü içinde bulunan dosyaları
gösterir.
Command Window: MATLAB komutlarının çalıştırılabildiği pencere
Workspace: Aktif olarak kullanılan değişkenlerin isimlerini ve değerlerini
gösterir.
Command History : Yapılan bütün işlemlerin kaydını görelebildiği pencere.
3
1.1.1 Command Window
Şekil 1.2. de Command Window ekranı görülmektedir.
Şekil 1.2. Command Window
Command Window penceresinden komutlar veya programlar çalıştırılır ayrıca
değişken işlemleri de bu pencereden gerçekleştirilir. Command Windows ekranını
temizlemek için clc komutu kullanılır.
4
1.1.1.1 Command Window Ekranında Değişken İşlemleri
Şekil 1.3. de Command Window ekranında değişken tanımlama işlemleri
görülmektedir.
Şekil 1.3. Değişken Tanımlama
Değişkenler atanan ya da hesaplanan sonucu tutmakla görevli olan yapılardır. Şekil
1.3. de Command Window ekranında b, c, d, e olmak üzere 4 farklı değişken tanımlanıp
bunlara değer atanmıştır. Değişkenlere değer atama operatörü olarak “=” işareti kullanılır.
Değişkenlerimiz skaler, vektör ya da matris şeklinde olabilir. Değişkeni tanımladıktan sonra
çıktının ekranda görünmesi istenmiyorsa satır sonuna “;” işareti eklenir. Değişken isimlerinde
büyük küçük harf duyarlılığı vardır. MATLAB Command Window ekranında yapılan işlem
herhangi bir değişken atanmazsa sonuç ans değişkeni içinde tutulur.
MATLAB da değişkenler için kullanılan komutlar;
who: Hafızadaki değişkenleri listeler.
whos: Hafızadaki değişkenleri boyutlarıyla beraber listeler.
clear: Hafızadaki değişkenleri siler.
save: Hafızadaki değişkenleri kaydeder.
5
1.1.2 Workspace
Şekil 1.4. de Workspace ekranı görülmektedir.
Şekil 1.4. Workspace
Workspace ekranı kullanılan değişkenlerin isimlerinin ve değerlerinin görüldüğü
ekrandır. Bu ekranı kullanarak değişken değerlerini görebilmenin yanı sıra üzerinde ters
tıklanarak değişkenleri silebilir, isimleri ya da değerleri değiştirilebilir.
Şekil 1.5. de bir değişkenin grafiği, Şekil 1.6. da ise Variable Editör ekranı
görülmektedir.
Şekil 1.5. Değişken Grafiği Şekil 1.6. Variable Editor
Şekil 1.5. de Workspace ekranında listelenen değişkenlerden c vektörü üzerinde ters
tıklanıp değişkenin grafiği çizilmiştir. Şekil 1.6. da Workspace ekranında e matrisi üzerinde
çift tıklanılıp Command Window penceresinin hemen üstünde Variable Editor penceresinin
açılması sağlanmıştır.
Variable Editor penceresini kullanarak değişkenlerin değerleri değiştirilebilir.
6
1.1.3 Command History
Şekil 1.7. de Command History ekranı görülmektedir.
Şekil 1.7. Command History
Command Window ekranında yaptığımız bütün işlemleri Command History ekranında
görebiliriz.
1.2 Operatörler
1.2.1 Aritmatiksel Operatörler
Tablo 1.1. Aritmetiksel Operatörler
İşlem Cebirsel Biçimi MATLAB Karşılığı
Toplama a+b a+b
Çıkarma a-b a-b
Çarpma axb a*b
Bölme a/b a/b
Sola Bölme b/a a\b
Üs Alma ab a^b
7
1.2.2 İlişki Operatörleri
Tablo 1.2. İlişki Operatörleri
İşlem Karşılığı
Eşit ==
Eşit Değil ~=
Küçük <
Büyük >
Küçük Eşit =
1.2.3 Mantıksal Operatörler
Tablo 1.3. Mantıksal Operatörler
İşlem Karşılığı
Ve &
Veya |
Değil ~
1.3 İşlem Öncelikleri
Tablo 1.4. İşlem Öncelikleri
Öncelik İşlem
1 Parantez
2 Üs alma, soldan sağa doğru
3 Çarpma ve bölme, soldan sağa doğru
4 Toplama ve çıkarma, soldan sağa doğru
8
1.4 Sabitler
Değişkenler isminden de anlaşılacağı gibi sabit olmayan değerleri depolamak için kullanılır. Değişkene atanan değeri ya direkt olarak kullanıcı belirler ya da bir işlem sonucu
hesaplanabilir. Ancak bazı değerler vardır ki bunlar kullanıcının belirlemesine yada hesaplamasına gerek olmadan bir sabite atanır. Kısaca sabitlere değeri değişmeyen değişken
denilebilir. MATLAB’da kullanılan sabitlerden bir kısmı aşağıda sıralanmıştır.
Tablo 1.5. Sabitler
Sabit Adı Değeri
Pi 3,14
İnf Sonsuz
Nan Rakam olmayan, Tanımsız 0/0
Eps İki sayı arası en ufak fark 2.2204*e16
i, j Karmaşık sayıların sanal kısmı
Clock Vektör olarak zaman bilgisi
Date Dizi olarak tarih bilgisi
9
2.MATRİSLER
MATLAB programında bütün değişkenler matris olarak kabul edilir. Matrisler satır ve
sütünlardan oluşan sayı dizileridir. MATLAB’da genel olarak kullanılan veri tipleri vektörler
ve matrislerdir. Matris boyutları satır sayısı (row) x sütün sayısı (column) r x c şeklinde ifade
edilir.
Boyutu 1x1 olarak ifade değilen matrislere skaler adı verilir. Skalerler sadece tek bir
değer barındırır. Örneğin 4 sayısı boyutu 1x1 olan matristir.
Şekil 2.1. Skaler matris örnekleri, Şekil 2.2. de ise MATLAB da skaler değişken
tanımlama işlemi görülmektedir.
5 8 12 0 -7
Şekil 2.1. Skaler Matris Örnekleri
Şekil 2.2. Skaler matrislere değer yükleme
Şekil 2.2. de Command Window ekranında a, b, c, d, e olmak üzere 5 farklı skaler
değişken tanımlanıp bunlara değer atanmıştır.
10
Tek bir satır (1 x n) ya da tek bir sütundan(n x 1) oluşan matrislere vektör adı verilir.
Şekil 2.3. de vektör örnekleri, Şekil 2.4. de ise MATLAB da vektörel değişkenlere
değer atama işlemi görülmektedir.
4
6 3 0 12 4 -4 -1 15 30
8
10
Şekil 2.3. 4x1 ve 1x8 Vektör Örnekleri
Şekil 2.4. 4x1 ve 1x8 Vektöre Değer Yükleme
Şekil 2.4. de Command Window ekranında a ve b olmak üzere 2 farklı vektörel
değişken tanımlanıp bunlara değer atanmıştır. Sütün vektörü yaratmak için ‘;’ operatörü
kullanılmıştır.
11
Şekil 2.5. de 3x4 lük bir matris , Şekil 2.6. da ise 4x4 lük bir matrisin MATLAB da
tanımlanması görülmektedir.
0 2 4 6
8 10 12 14
16 18 20 22
24 26 28 30
Şekil 2.5. 3x4 Matris
Şekil 2.6. 4x4 Matrise Değer Yükleme
Şekil 2.6. da Command Window ekranında 4x4 boyutlarında bir matris tanımlanıp a
değişkenine atanmıştır. Matrisde alt satıra geçmek için ‘;’ operatörü kullanılmıştır.
2.1 Vektör ve Matrislere Değer Yükleme
Yukarı da görüldüğü gibi vektör yada matrislere değer yüklerken köşeli parantez
kullanılır “[...... ]” sütunlar ayırmak için boşluk bırakılır (istenirse boşluk bırakmadan virgül
“,” işaretiyle de sütünlar ayrılabilir) satırları ayırmak için ise noktalı virgül “;” işareti
kullanılır. Matrislerde her satırda aynı sayıda eleman olmak zorundadır.
Vektör ve matrisleri oluştururken en büyük kolaylıklardan birini iki nokta üst üste“:”
yani kolon operatörü sağlar. Kolon operatörü başlangıç_değeri:bitiş_değeri veya
başlangıç_değeri:artış_miktarı:bitiş_değeri biçiminde kullanılır.
12
Şekil 2.7. de ‘:’ (kolon) operatörünün kullanılması görülmektedir.
Şekil 2.7. : (kolon) Operatörü
Şekil 2.7. de a vektörünü oluşturmak için kolon operatörü 1:10 şeklinde kullanılmış.
Bu komut ile 1’den 10’a kadar olan 1 er artımlı bir a vektörü oluşturulmuştur. B vektörü de a
vektörüyle aynı yöntem kullanılarak oluşturulmuştur. C vektörründe kolon operatörü 5:2:15
şeklinde kullanılmış. Bu komut ile 5’den 15’e kadar 2 şer artan bir vektör oluşturulmuştur.
Artış miktarı pozitif ya da negatif olabilir.
Kolon operatörüne benzer olarak linspace fonksiyonunu da kullanılabilir. Linspace
fonksiyonu linspace(başlangıç_değeri, bitiş_değeri, vektörün_eleman_sayısı) şeklinde
kullanılır. Artış miktarı başlangıç ve bitiş arasında eleman sayısını tutturacak şekilde
fonksiyon tarafından otomatik olarak ayarlanır.
Şekil 2.8. de Linspace fonksiyonun kullanılışı görülmektedir.
Şekil 2.8. Linspace Fonksiyonunun Kullanımı
Şekil 2.8 de a vektörünü oluşturmak için linspace(4, 20, 3) komutu uygulanmıştır. Bu
sayede a vektörü 4’den başlayıp 20’de biten 3 elemanlı bir vektör şeklinde tanımlanmıştır.
Artış miktarı bu kurala uygun olarak otamatik olarak 8 hesaplanmıştır. Daha sonra a
13
vektörünü oluşturmak için linspace(4, 20, 3) komutu uygulanmıştır. Bu sayede b vektörü
4’den başlayıp 20’de biten 5 elemanlı bir vektör şeklinde tanımlanmıştır. Artış miktarı bu
kurala uygun olarak otamatik olarak 4 hesaplanmıştır. En sonunda c vektörünü oluşturmak
için linspace(4, 20, 8) komutu uygulanmıştır. Bu sayede c vektörü 4’den başlayıp 20’de biten
8 elemanlı bir vektör şeklinde tanımlanmıştır. Artış miktarı bu kurala uygun olarak otamatik
olarak 2.2857 hesaplanmıştır.
Şekil 2.7. ve Şekil 2.8. de kolon operatörü ve
linspace fonksiyonuyla oluşturduğumuz vektörleri
incelediğimizde hepsinin satır vektörü olduğunu görürüz,
sizce bu komutlarla sütun vektörü yaratabilir miyiz?
Direkt olarak yaratamazsak bile dolaylı yoldan bu
işlemi gerçekleştirebiliriz. Şekil 2.9. da görüldüğü gibi
öncelikle 1. adımda satır vektörü olan a vektörü yaratılıp
daha sonra 2. adımda transpozesini alınarak satır vektörü
olarak yaratılan vektör sütun vektörü olan b ye
dönüştürülmüştür. MATLAB programında bir vektörün
ya da matrisin transpozesini “’” operatörü ile alabiliriz.
Şekil 2.9. Sütun Vektörü
: operatörü ve linspace fonksiyonu dışında matris yaratmak için kullanabilecek bir
diğer fonksiyon da rand fonksiyonudur. Rand fonksiyonu rand, rand(n) yada rand(r,c)
biçiminde kullanılabilir. Rand fonksiyonu ile elemanları 0-1 arasında rastgele sayılardan
oluşan istenilen boyutta bir matris yaratılır.
Şekil 2.10. da Rand fonksiyonun kullanılışı görülmektedir.
Şekil 2.10. Rand Fonksiyonun Kullanımı
14
Şekil 2.10. da fonksiyonu ilk olarak rand(3) şeklinde kullanarak 3 x 3 boyutunda bir
kare matris, daha sonra rand(3,5) şeklinde kullanarak 3 x 5 boyutunda bir matris elde
edilmiştir. Son olarak rand(1,5)*10 şeklinde kullanıp rand fonksiyonu ile elemanları sadece 0-
1 arasında yaratılan matrislerden farklı olarak elemanlarının daha büyük sayılara ulaşması
sağlanmıştır. Round fonksiyonu ile oluşan büyük sayılar yuvarlanarak matrisin bütün
elemanların tam sayı olması sağlanmıştır. Her 3 işlemdede fonksiyon bir değişkene
atanmadığı için oluşturulan matrisler ans değişkenine atanmıştır. Hatırlanacağı üzere
MATLAB programında işlem sonucu bir değişkene atanmaz ise ans değişkeninde tutulur.
Yukarıda ki örneklerden farklı bir şekilde fonksiyon sadece rand şeklinde kullanıldığında 0 –1
arasında skaker bir sayı üretir.
Bir vektörü çoğaltarak ya da vektörleri birleştirerek de, yeni vektör ya da matrisler
oluşturulabilir.
Şekil 2.11. de vektör birleştirme işlemi görülmektedir.
Şekil 2.11. Birleştirme Yöntemi
15
Şekil 2.11. de öncelikle a, b, c isminde 1x3 boyutunda 3 adet vektör tanımlanmıştır.
Daha sonra bu vektörler birleştirilerek 1x9 boyutunda d vektörü ve 3x3 boyutunda e matrisi
oluşturulmuştur. Eğer vektör ya da vektörlerden matris oluşturacaksak sütün sayılarının aynı
olmasına dikkat etmeliyiz.
Yukardakilerin dışında özel matrisler yaratmak için kullanılan başka fonksiyonlarda
mevcuttur. Bunlardan ilki zeros fonksiyonudur. Zeros fonksiyonu zeros(n) yada zeros(r,c)
şeklinde kullanılabilir. Zeros fonksiyonu ile bütün elemanları 0 dan oluşan matrisler elde
edebiliriz. Bir diğer özel matris yaratma fonksiyonu ones fonksiyonudur. Ones fonksiyonu
ones(n) yada ones(r,c) şeklinde kullanılabilir. Ones fonksiyonu ile bütün elemanı 1 den
oluşan matrisler elde edebiliriz.
Şekil 2.12. de özel matris yaratma fonksiyonlarından zeros ve ones görülmektedir.
Şekil 2.12. Zeros ve Ones Fonksiyonlarının Kullanımı
Şekil 2.12. de birinci adımda zeros(3) komutu bütün elemanları 0 dan oluşan 3 x 3
boyutunda bit matris yaratılmıştır. İkinci adımda zeros(2,4) komutu bütün elemanları 0 dan
oluşan 2 x 4 boyutunda bit matris yaratılmıştır. Üçüncü adımda ones(4) komutu bütün
elemanları 1 den oluşan 4 x 4 boyutunda bit matris yaratılmıştır. Dördüncü ve son adımda ise
ones(3,8) komutu bütün elemanları 1 den oluşan 3 x 8 boyutunda bit matris yaratılmıştır.
16
Bir diğer özel matris ise köşegen üzerindeki elemanları 1
geri kalan elemanlarının 0 olduğu kare matrislerdir. Bu matrislere
birim matris denir. Birim matrisler eye(n) fonksiyonu ile
oluşturulur. Diğerlerinden farklı olarak birim matris sadece n x n
boyutunda oluşturulabilir. Şekil 2.13. de eye(3) komutu ile 3 x 3
boyutunda birim matris oluşturulmuştur.
Şekil 2.13 Eye Fonksiyonun Kullanımı
2.2 Vektör ve Matrislerde İndis
MATLAB programında vektör ya da matris
değişkenlerine atanan değerler indisli olarak
kaydedilir. Bu sayede vektörün ya da matrisin
herhangi bir elemanını görebilir veya
değiştirebiliriz. Vektör ve matrislerde ilk
elemanın indisi 1 den başlamaktadır.
Şekil 2. 14. de indis işlemleri görülmek
tedir.
1. adımda c vektörü oluşturulmuştur, 2.
adımda c vektörünün 3. elemanına 0 değeri
atanmıştır 3. adımda c vektörünün 6. Elemanı [
] değerine eşitlenerek silinmiştir (Silme işlemi
sadece vektörlerde yapılabilir matrislerde
gerçekleşmez). 4. adımda 2 x 3 boyutunda olan
d matrisi tanımlanmıştır. Matris indisi
belirtirken tıpkı matris boyutunu belirtirken
yapıldığı gibi öncelikle satır sonra sütun indisini
belirtilir.
Matrislerde indis kullanarak bir eleman
veya bir satır yada sütun görelebilir,
değiştirilebilir. Yandaki şekilde görüleceği gibi
6. adımda 1. satır, 7. adımda ise 2. sütun
elemanları görülmüştür. Ancak değiştirme
yapmak istendiğin de yazılan eleman sayısı ile
satır ya da sütünda ki eleman sayısının aynı
olması gerekmektedir. İndis numarası yazmadan
“end” operatörü kullanılabilir. End operatörü
satırın ya da sütunun son elemanın indisini
belirtir. 5. ve 8. adımlarda end oparatörü
kullanılmıştır.
Şekil 2.14. İndis İşlemleri
Eğer belirttiğimiz indis matris ya da vektörün en büyük indisinden daha büyük
değerde olursa “Index exceeds matrix dimensions” hata mesajını görürüz.
17
2.3 Vektör ve Matrislerin Boyutları
Vektör ve matrislerin boyutları length ve size komutlarıyla öğrenilir. Length komutu
ile bir vektörün eleman sayısını verir. Komut matrislerde uygulandığında satır ya da
sütunlarında bulunan elemanlardan sayısı büyük olanı verir. Size komutu ile vektör ya da
matrislerin satır ve sütun sayılarını elde edilir.
Şekil 2.15. de length ve size fonksiyonlarının kullanımı görülmektedir.
Şekil 2.15. Length ve Size komutları
Şekil 2.15. de öncelikli 1 x 10 boyutunda a vektörü daha sonra ise 2 x 5 boyutlarında b
matrisi oluşturulmuştur. 1. adımda length(a) komutuyla a vektörünün eleman sayısı
hesaplanmıştır. 2. adımda length komutu b matrisine uygulandığında sütünlarında bulunan
eleman sayısı büyük olduğundan 5 sonucu elde edilmiştir. 3. adımda size(a) komutuyla a
vektörünün satır ve sütün sayısı, 4. adımda size(b) komutuyla b matrisinin satır ve sütün
sayısı hesaplanmıştır.
Ayrıca bir vektör ya da matrisin toplam eleman sayısını numel komutuyla
öğrenebiliriz.
18
Mevcut bir matris yeniden boyutlandırılabilir. Bir matrisin yeniden boyutlandırılması
için kullanılabilen fonksiyonlardan biri reshape(değişken_adı,r,c) fonksiyonudur. Burada
dikkat edilmesi gereken en önemli husus, matrisi yeniden boyutlandırılırken toplam eleman
sayısının çarpanlarına uygun bir şekilde hareket edilmesidir, örneğin 6 x 3 boyutlarında bir
matrisin 18 elemanı olduğuna göre boyutlandırmadan sonra ancak ve ancak 1 x 18, 18 x 1, 2 x
9 ya da 9 x 2 boyutlarında bir matris oluşturulabilir. Boyutlandırmadan sonra elde edilen
matris eski matrisin elemanlarının ilk sütundan başlayarak sırasıyla yerleştirilmesi sonucunda
oluşturulur.
Matrisleri yeniden boyutlandırma için reshape fonksiyonundan başka sütunları soldan
sağa doğru ters çeviren fliplr(değişken_adı) fonksiyonu satırları yukardan aşağıya ters
çeviren flipud(değişken_adı) fonksiyonu ve matrisi saat yönünün tersinde 90 derece
döndüren rot90(değişken_adı) fonksiyonları da kullanılabilir.
Şekil 2.16. da reshape, 2.17. de fliplr, flipud ve rot90 fonksiyonlarının kullanımı
görülmektedir..
Şekil 2.16. Reshape Fonksiyonu Şekil 2.17. Fliplr, Flipud ve Rot90
Fonksiyonları
19
Şekil 2.16. da öncelikle 6 x 3 boyutunda a matrisi oluşturulmuştur. Daha sonra
reshape(a,3,6) komutuyla 3 x 6 boyutunda olacak şekilde yeniden boyutlandırılmıştır. Şekil
2.17. de öncelikle 4 x 3 boyutunda a matrisi oluşturulmuştur. Daha sonra 1. adımda fliplr(a)
komutuyla a matrisinin sütunları soldan sağa ters çevrilmiştir. 2. adımda flipud(a) komutuyla
a matrisinin satırları yukarıdan aşağıya ters çevrilmiştir. Son olarak 3. adımda ise rot90(a)
komutuyla a matrisi saat yönünde 90 derece döndürülerek yeniden düzenlenmiştir.
Herhangi bir matrisi çoğaltarak daha büyük boyutlarda bir matris elde etmek istersek
repmat(değişken_adı,satır adeti,sütun adeti) fonksiyonunu kullanabiliriz.
Bir vektörün elemanlarından biri ya da bir kaçını silerek de yeniden
boyutlandırabiliriz. Bunun için silmek istediğimiz eleman ya da elemanların bulunduğu indis
ya da indisleri [ ] değerine eşitlememiz yeterlidir. Bu işlem matrislerde gerçekleşmez.
2.4 Vektör ve Matrislerde Aritmetik İşlemler
MATLAB’ da iki farklı aritmetik işlem türü tanımlıdır. Bunlardan birincisi dizi
işlemleri ya da diğer adıyla birebir işlemlerdir, ikincisi ise matris işlemleri ya da diğer adıyla
cebirsel işlemlerdir.
Matris işlemleri lineer cebir kurallarına göre çalışır. Dizi işlemleri ise birebir
elemanlar üzerinden hesaplama olanağı sağlar. Matris işlemleri ve dizi işlemleri arasındaki
tek fark işlem işaretinden önce “.” operatörünün bulunmasıdır. Birebir işlemlerde toplama ve
çıkarma hariç işlem işaretinden önce “.” operatörü yazılır. Toplama ve çıkarma işlemlerinde
her iki aritmetik işlem türünde de aynı olduğundan böyle bir ayrıma gerek yoktur. Tablo 2.1.
de her iki işlem türü için geçerli olan işlem operatörleri görülmektedir.
Matris transpoze ile birebir transpoze arasındaki fark sadece kompleks matrislerde
görülebilir.
Tablo 2.1. Vektör ve Matrislerde Aritmetik İşlemler
Aritmetik İşlemler
Dizi (Birebir) İşlemler Matris (Cebirsel) İşlemler
+ Toplama + Toplama
- Çıkarma - Çıkarma
.* Birebir Çarpma * Matris Çarpma
.^ Birebir Üs Alma ^ Matris Üs Alma
.\ Birebir Sağdan Bölme \ Matris Sağdan Bölme
./ Birebir Soldan Bölme / Matris Soldan Bölme
.' Birebir Transpoze ' Matris Transpoze
20
2.4.1 Vektör ve Matrislerde Ortak Aritmetiksel
İşlemler(Toplama – Çıkarma)
Yukarıda anlatıldığı gibi Toplama ve
Çıkarma işlemleri her iki aritmetiksel hesaplamada
da aynı yöntemle hesaplanır. Toplama veya
çıkartma işlemlerinde sonucu karşılıklı olarak her
elemanın birbiriyle toplanması yoluyla bulunur.
Bir matris yada vektör yalnızca kendisiyle aynı
sütun ve satır sayısına sahip yani aynı boyutlarda
bir matris ve vektörle toplanabilir yada
çıkartılabilir. Bu kurala uyulmaması durumunda
“Matrix dimensions must agree” hatasını alırız. Bir
matris ya da vektör skaler bir büyüklükle
toplandığında veya çıkartıldığında sonuç skaler
büyüklüğün matris ya da vektörün her elemanıyla
ayrı ayrı toplanması veya çıkartılmasıyla
hesaplanır.
Şekil 2. 14. de toplama ve çıkarma
işlemleri görülmektedir.
Şekil 2.14. de öncelikle 3 x 3 boyutunda a
matrisi, 3 x 3 boyutunda b matrisi, 2 x 2
boyutunda c matrisi ve 1 x 6 boyutunda d vektörü
oluşturulmuştur 1. adımda a ve b matrislerinin her
elemanı birbiriyle ayrı ayrı toplanarak
hesaplanmıştır. 2. adımda 3 x 3 boyutlarında a
matrisiyle 2 x 2 boyutlarında b matrisi toplanmak
istendiğinde hata mesajı görülmüştür. 3. ve 4.
adımlarda d vektörünün ve c matrisinin skaler bir
büyüklük olan 2 ile toplanmasının sonuçları
hesaplanmıştır. 5. adımda iki matrisin birbirinden
çıkartılmıştır. 6. adımda ise d vektöründen skaler
bir büyüklük olan 5 in çıkartılmasının sonucu, 7.
adımda ise c matrisinden skaler bir büyüklük olan
3 ün çıkartılmasının sonucu hesaplanmıştır.
Şekil 2.18. Vektör ve Matrislerde Toplama ve Çıkartma
21
2.4.2 Vektör ve Matrislerde Matris(Cebirsel) İşlemler
Tablo 2.2. Matris İşlemler
Matris(Cebirsel) İşlemler
* Matris Çarpma C=A*B, A ve B matrislerin cebirsel çarpımı A matrisinin sütün sayısı ile B matrisinin satır sayısı eşit olmak zorundadır.
^ Matris Üs Alma C=A^B A matrisinin üssünü alır. B skaler olmalıdır.
\ Matris Sağdan Bölme C=A\B, C=B/A, A ve B matrislerinin sütun sayıları eşit olmak zorundadır.
/ Matris Soldan Bölme C=A/B A ve B matrislerinin cebirsel bölümü. A ve B matrislerinin sütun sayıları eşit olmak zorunda
' Matris Transpoze C=A’ A matrisinin cebirsel transpozu
Matris işlemleri lineer cebir kurallarını sağlamak durumundadır, ve çok boyutlu diziler
için uygun değildir. Örneğin iki matrisin çarpımı için birinci matrisin sütun sayısı ile ikinci
matrisin satır sayısının eşit olması gerekir aksi halde işlem gerçekleşmez.
İki matrisin matris çarpımı hesaplandığında elde ettiğimiz matrisin satır sayısı birinci
matrisin satır sayısı kadar, sütun sayısı ise ikinci matrisin sütun sayısı kadar olacaktır.
Şekil 2.19. Matrislerde Matris Çarpım İşlemi
Şekil 2. 19. da 2 x 3 boyutunda olan bir matrisle 3 x 2 boyutunda olan bir matris
çarpılarak sonuç matrisinin elemanları hesaplanmıştır. Şekil 2.20. de çarpma işleminin
diagramı görülmektedir.
Şekil 2.20. Matrislerde Matris Çarpım İşleminin Diagramı
22
Şekil 2.21. de matrislerin cebirsel çarpımı ve cebirsel
transpozunun hesaplanması görülmektedir.
Şekil 2.21.’ de öncelikle 4 x 3 boyutunda a matrisi ve 3
x 3 boyutunda b matrisi oluşturulmuştur. 1. adımda sütün ve
satır sayısı uyumlu a ve b matrisleri çarpılıp sonuç
hesaplanmıştır. 2. adımda 4 x 3 boyutunda ki a matrisinin
tranpozunun alınmasıyla 3 x 4 lük sonuç matrisi
oluşturulmuştur.
Şekil 2.21. Matris İşlemleri
2.4.3 Vektör ve Matrislerde Dizi(Birebir)
İşlemler
Dizi işlemlerinin uygulanacağı bütün
vektör ve matrisler satır ve sütun olarak eşit
boyutta olmak zorundadır. Aksi halde hata
mesajıyla karşılaşırız.
Şekil 2.22. de matrislerin birebir çarpımı,
bölümü ve üs alma işlemleri görülmektedir
Şekil 2.22. de öncelikle 3 x 3 boyutlarında
olan a ve b matrisleri oluşturulmuştur. 1. adımda
a ve b matrisleri biriber çarpılmıştır. Bu çarpmada
bütün elemanlar kendisiyle aynı indisli
elemanlarla çarpılarak sonuç matrisini
oluşturulmuştur. 2. adımda b matrisi a matrisine
birebir bölünmüştür. Bu bölmede bütün
elemanların kendisiyle aynı indisli elemana
bölünerek sonuç matrisini oluşturmuştur. 3.
adımda ise a matrisinin birebir küpü alınmıştır.
Bu işlemde de bütün elemanların tek tek küpü
alınarak sonuç matrisi oluşturulmuştur.
Şekil 2.22. Vektör ve Matrislerde Birebir İşlemler
23
2.5. Diğer Matris İşlemleri
Yukarıda bahsedilen hususlar dışında matrislerde 2 önemli husus daha vardır. Bunlar;
1) Determinant
2) İnverse
2.5.1 Determinat
Determinant kare matrislerle ilişkili özel bir sayıdır. MATLAB programında bir
matrisin determinantını hesaplamak için det(x) fonksiyonunu kullanılır.
2.5.2 Inverse
Inverse bir matrisin tersinin hesaplanma işlemidir. MATLAB programında inverse
almak için ya inv(x) fonksiyonu ya da x^-1 olacak şekilde üs alma işlemi yapılır. Burada
dikkat edilecek husus üs alma işleminin birebir değil cebirsel üs şeklinde olması gerektiğidir.
Şekil 2.5.1. de det ve inv fonksiyonlarının kullanımı görülmektedir.
Şekil 2.23. Matrislerde Determinant ve Inverse İşlemleri
Şekil 2.1. de önce 4 x 4 boyutunda olan a matrisi oluşturulmuştur. 1. adımda det(a)
komutu ile a matrisnin determinantı hesaplanmıştır. 2. adımda inv(a), 3. adımda a^-1
komutuyla a matrisinin inversi yani tersi oluşturulmuştur.
24
2.6. Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki soruları çözünüz.
1) Elemanları 0-100 arası rastgele tam sayılardan oluşan 3 x 6 boyutunda a matrisini yaratıp
transpozunu alarak b matrisini oluşturun.
2) A matrisinin ilk üç sütunundan c matrisi son üç sütunundan d matrisi oluşturup bunları
birbiriyle birebir çarparak e matrisini oluşturun. E matrisinin determinantını hesaplayın.
3) B matrisinin 3. ve 5. satırlarından 1 x 6 boyutunda f vektörünü oluşturup birebir karesini
alaral g matrisini oluşturun.
4) A matrisini 2 x 9 boyutunda yeniden boyutlandırarak h matrisini oluşturun. Bu ana kadar
yapılan işlemler sonucu hafızada tutulan bütün değişkenleri işlemler sonucu oluşan bütün
değişkenleri bolum2.mat dosyasına kaydedin
Not: Soruların cevaplarını Ek2 de bulabilirsiniz.
25
3. FONKSİYONLAR
MATLAB’ın çok güçlü ve çok kapsamlı bir fonksiyon yapısı vardır. Bu yapıyı
temelde 3 grupta sınıflandırmak mümkündür. Bunlar;
1) Yerleşik(Built-In) fonksiyonlar
2) M-dosyalarından oluşan MATLAB toolboxlarında tanımlı fonksiyonlar.
3) Özel uygulamalar için kullanıcıların tarafından oluşturulan M-dosyaları.
MATLAB’da mevcut fonksiyonlar genel olarak aşağıdaki kategorilere ayrılır.
Temel matematiksel fonksiyonlar
Özel fonksiyonlar
Temel matrisler ve matris işlemleri
Veri analizleri
Polinomlar
Diferensiyel denklem çözümleri.
Lineer olmayan denklemler ve optimizasyon
Sayısal integral hesaplamaları.
Sinyal işleme
Fonksiyonlar hususunda unutmaması gereken en önemli husus MATLAB’ ın geniş ve
kapsamlı yapısından dolayı hepsinin tek bir dökümanda işlenmesinin neredeyse
imkansızlığıdır. Burada tanıtılanlar dışında da birçok MATLAB fonksiyonu mevcuttur.
Fonksiyonların tam listesine http://www.mathworks.com/help/matlab/functionlist.html
adresinden ulaşılabilir.
3.1. Yerleşik(Built-In) Fonksiyonlar
MATLAB’ da birçok yerleşik fonksiyon vardır. help komutunu kullanarak gerek
fonksiyonların nasıl kullanılacağı gerekse yerleşik fonksiyon grupları görülebilir. Command
window ekranında help yazıp enter tuşuna basıldığında fonksiyon gruplarının listesini
görülür. Komut satırında helpwin yazıldığında aynı listeyi komut satırında görüntülemek
yerine yeni bir pencerede görüntülenmesi sağlanır. Bu liste oldukça uzun olmakla beraber
grupları önem sırasına göre listelemiştir. Fonksiyon grupları birbiriyle ortak özellikleri olan
fonksiyonların bir araya gelmesiyle oluşmuştur. En bilinen fonksiyon grupları arasında temel
matematik fonksiyonlarının oluşturdurğu elfun, temel matris fonksiyonlarının oluşturduğu
elmat, özel matematik fonksiyonlarının oluşturduğu specfun veya random fonksiyonlarının
oluşturduğu randfun grupları söylenebilir.
http://www.mathworks.com/help/matlab/functionlist.html
26
Yukarda ki basit ya da karmaşık matematiksel fonksiyonlar dışında MATLAB
programında tanımlı olan mantıksal fonksiyonlar da mevcuttur. Aşağıda ki tabloda MATLAB
programında kullanılan mantıksal fonksiyonlar ve işlevleri görülmektedir.
Tablo 3.1. Mantıksal Fonksiyonlar
Mantıksal Fonksiyonlar
xor(a,b) A ve b matrislerinin elemanları birebir xor işlemine tabi tutulur. Bu işlemde yalnız biri 0 dan farklıysa sonuç 1, her ikisi de 0 veya her ikisi de 0 dan farklıysa
sonuç 0 olur
any(x)
X vektörünün elemanlarının içinde 0 dan farklı bir eleman varsa sonuç 1,
aksi halde sonuç 0. Any fonksiyonunu bir matrise tabi tutarsak matrisin her
sütunu ayrı bir vektör olarak alıp ortaya hesaplanan skaler büyüklüklerle bir sonuç vektörü oluşturur.
all(x) X vektörünün bütün elemanları 0 dan farklıysa sonuç 1, aksi halde sonuç 0.
All fonksiyonunu bir matrise tabi tutarsak matrisin her sütunu ayrı bir vektör olarak alıp hesaplanan skaler büyüklüklerle bir sonuç vektörü oluşturur.
Şekil 3.1. de mantıksal fonksiyon uygulamaları görülmektedir.
Şekil 3.1. Mantıksal Fonksiyon Uygulamaları
Şekil 3.1. de öncelikle 3 x 4 boyutunda a matrisi ve yine 3 x 4 boyutunda b matrisi
oluşturulmuştur. 1. Adımda iki matrise xor işlemi, 2 adımda iki matrise any işlemi, 3. Adımda
iki matrise all işlemi uygulanmıştır.
27
Aşağıda temel matematik fonksiyonlarının oluşturduğu elfun grubunun bazı üyeleri
hakkında açıklama verilecektir.
Tablo 3.2. Elfun Grubu Fonksiyonları
Elfun
Grup Fonksiyon Adı Görevi Şekil
Com
ple
x
abs(x) Mutlak değer hesaplar ve karekterleri sayıya dönüştürür 1
angle(x) X karmaşık sayısının faz açısını radyan cinsinden
hesaplar 2
complex(x,y) x + yi formunda karmaşık sayı oluşturur. 3
conj(x) X karmaşık sayısının eşleniği hesaplar 4
imag(x) X karmaşık sayısının sanal kısmını verir 5
real(x) X karmaşık sayısının gerçek kısmını verir 6
Unwrap Faz açısını düzenler
isreal(x) X sayısı reel sayı ise “1” değilse “0” değerini verir 7
Cplxpair Karmaşık eşlenik çiftleri içine sayıları sıralama
Roundin
g
fix(x) Sıfıra doğru tam sayıya yuvarlar 8
floor(x) Sayının tam kısmını alır 9
ceil(x) En yakın büyük tam sayıya yuvarlar 10
round(x) En yakın tam sayıya yuvarlar 11
mod(x,y) Bölümünden kalanı hesaplar(işaretli olarak) 12
rem(x) Bölümünden kalanı hesaplar(işaretsiz olarak)
sign(x) Verinin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirler. 13
Exponen
tial
exp(x) ex üzeri değerini hesaplar 14
log(x) ln(x) değerini hesaplar. 15
log10 (x) Log10(X) değerini hesaplar. 16
pow2(x) 2x değerini hesaplar 17
realpow(x,y) xy değerini hesaplar. 18
reallog(x) Real sayının e tabanında logunu alır.
sqrt(x) Karekökünü hesaplar 19
Tri
gonem
etri
c
sin(x) X radyan değerinin sinüs değerini hesaplar 20
sind(x) X derece değerinin sinüs değerini hesaplar 21
sinh(x) X radyan değerinin hiperbolik sinüs değerini hesaplar 22
asin(x) X radyan değerinin ters sinüs değerini hesaplar 23
asind(x) X derece değerinin ters sinüs değerini hesaplar
asinh(x) X radyan değ. ters hiperbolik sinüs değerini hesaplar
cos(x) X radyan değerinin kosinüs değerini hesaplar
tan(x) X radyan değerinin tanjant değerini hesaplar
cot(x) X radyan değerinin cotanjant değerini hesaplar
sec(x) X radyan değerinin sekand değerini hesaplar
csc(x) X radyan değerinin kosekand değerini hesaplar
hypot(x,y) X ve y sayılarının karelerini toplayıp karekökünü alır. 24
28
Şekil 3.2. de elfun grubu üyelerinden bazılarının uygulamalrı görülmektedir.
Şekil 3.2. Elfun Grubu Fonksiyonları Uygulamaları
Şekil 3.2. de tablo 3.2 de listelenen elfun grubu fonksiyonlarının bazılarının
uygulaması yapılmıştır.
29
3.2. M-Dosyaları
M-dosyaları MATLAB ortamında kullanılan komutlardır. Bu dosyalar .m uzantıya
sahiptirler. Her kullanıcı amacına göre M-File oluşturabileceği gibi program ile birlikte gelen
veya diğer kullanıcıların hazırladığı ve TOOLBOX adı verilen dosya grubunda bulunan M-
File’larını kullanabilir.
M-dosyaları 2 gruba ayrılır. Bunlar;
1) MATLAB sürümlerinde tanımlı ya da 3. parti geliştiricilerin oluşturduğu
toolboxlarda bulunan M-dosyaları
2) Kullanıcı tarafından oluşturulan M-dosyaları.
3.2.1. ToolBox’larda Tanımlı M-Dosyaları
MATLAB’ın son sürümünde tanımlı olan toolbox’ların listesine
http://www.mathworks.com/help/relnotes/ adresinden ulaşılabilir. MATLAB oturumunda
aktif olarak kullanılan toolbox’ların listesi license('inuse') komutuyla görülebilir. Sistemde
kurulu olan MATLAB sürümünde herhangi bir toolbox’ın kurulu olup olmadığı license
checkout komutuyla öğrenilir. Sonuç olarak 1 değerini elde edersek
belirtilen toolbox sistemde kurulu haldedir. Sistemde kurulu olan tüm toolbox’ların listesi ver
komutuyla elde edilir. Tablo 3.3. de MATLAB 2012 a sürümünde tanımlı olan toolboxların
tam listesini görülebilir. Ayrıca Start (Burada kastedilen MATLAB programına ait Start
butonudur.) butonu tıklanıp Toolboxes seçeneği altında da bu liste görülebilir.
Şekil 3.3. de Start-Toolbox seçeneği altındaki toolbox’lar görünmektedir.
Şekil 3.3. Toolbox Listesi
http://www.mathworks.com/help/relnotes/
30
MATLAB da tanımlı olmayan 3. parti geliştiriciler tarafından geliştirilen toolbox’ları
kurmak ve kullanmak için File-Set Path seçeneğini tıklanarak gelen ekranda Add Folder
veya Add with Subfolders butonunu tıklanıp toolbox’ın bulunduğu klasör işaretlenmelidir.
Tablo 3.3. Matlab 2012 a Versiyonunda Tanımlı Toolbox Listesi
ToolBox Name ToolBox Name ToolBox Name
MATLAB Image Acquisition T. SimEvents
Simulink Image Processing T. SimHydraulics
Aerospace Blockset Instrument Control T. SimMechanics
Aerospace Toolbox MATLAB Builder EX SimPowerSystems
Bioinformatics Toolbox MATLAB Builder JA SimRF
Communications System T. MATLAB Builder NE Simscape
Computer Vision System T. MATLAB Coder Simulink 3D Animation
Control System Toolbox MATLAB Compiler Simulink Code Inspector
Curve Fitting Toolbox MATLAB Distributed Computing Server Simulink Coder
DO Qualification Kit MATLAB Report Generator Simulink Control Design
DSP System Toolbox Mapping Toolbox Simulink Design Optimization
Data Acquisition Toolbox Model Predictive Control T. Simulink Design Verifier
Database Toolbox Model-Based Calibration T. Simulink Fixed Point
Datafeed Toolbox Neural Network Toolbox Simulink PLC Coder
Econometrics Toolbox OPC Toolbox Simulink Report Generator
Embedded Coder Optimization Toolbox Simulink Verification and Validation
Filter Design HDL Coder Parallel Computing Toolbox Spreadsheet Link EX
Financial Derivatives T. Partial Differential Equation T. Stateflow
Financial Toolbox Phased Array System T. Statistics Toolbox
Fixed-Income Toolbox RF Toolbox Symbolic Math Toolbox
Fixed-Point Toolbox Real-Time Windows Target System Identification T.
Fuzzy Logic Toolbox Robust Control Toolbox SystemTest
Global Optimization T. Signal Processing Toolbox Vehicle Network Toolbox
HDL Coder SimBiology Wavelet Toolbox
HDL Verifier SimDriveline xPC Target
IEC Certification Kit SimElectronics xPC Target Embedded Option
Yukarıda listelenen toolboxlar arasında bazılarını açıklamak gerekirse;
Control Systems Toolbox (Kontrol Sistemleri Araç kutusu): Durum uzayı
tekniklerini kullanarak kontrol mühendisliği ve sistemler teorisi ile ilgili fonksiyonlardan
oluşmaktadır.
Robust-Control Toolbox (Robot Kontrol Araç kutusu): Robot kontrol sistemleri
tasarımı ile ilgili fonksiyonlardan oluşmaktadır.
31
3.2.2. Kullanıcı Tarafından Oluşturulan M-Dosyaları
MATLAB’ta kullanıcıların çalıştırılmak üzere oluşturduğu M-dosyaları iki biçimde
hazırlanabilir.
Birincisi, komutlar dizisi biçiminde yazılan düz yazı (script) M-dosyaları.
İkincisi MATLAB’ın kendi M-dosyalarına benzer biçimde hazırlanan
fonksiyon(function) M-dosyalarıdır. Bu dosyalar herhangi bir ana program içinde
bir alt program gibi kullanılabilirler.
3.2.2.1. Script M-Dosyaları
Scriptler bir nevi birden fazla satırın yani komutun bir kerede otomatik olarak
çalıştırılması gibi düşünülebilir. Bu tanım itibariyle Scriptler bir çeşit program dosyasıdır.
Dolayısı ile Matlab’de, M-Dosyaları oluşturularak programlama yapılabilir.
Scriptler fonksiyonlara göre daha basit yapıda programlardır çünkü giriş paremetresi
almaz veya çıkışa değer döndürmezler. Yalnız bu durum bazen sorunlara yol açabilir. Script
içinde yapılan işlemlerde kullanılan değişkenlere ya script içinde işlemden önce ya da script
çalıştırılmadan önce Command Window ekranında mutlaka değer atanması
gerekmektedir(Şekil 3.13).
Bir scripti iki şekilde oluşturabiliriz. Bunlar;
File-New-Script i tıklamak(Şekil 3.4.)
Komut satırında edit yazıp entere basmak.(Şekil 3.5.)
Her iki durum da script yazmak için kullanılacak editör ekranı ortaya çıkacaktır.
Editör ekranı bağımsız bir pencerede(Şekil 3.6.) ya da MATLAB ekranında bitişik
olarak(Şekil 3.7.) çalıştırılabilir.
Şekil 3.4. ve 3.5. de yeni script penceresi açma yolları görülmektedir.
Şekil 3.4. Yeni Script Penceresi Açma Şekil 3.5. Yeni Script Penceresi Açma
32
Şekil 3.6. ve 3.7. de yeni script penceresinin ekrandaki konumlanabileceği yerler
görülmektedir
Şekil 3.6. Yeni Script Penceresi Şekil 3.7. Yeni Script Penceresi
Hangi yöntemle açılırsa açılsın script yazıldıktan sonra .m uzantısıyla
kaydedilmelidir(Şekil 3.12). Burada dikkat edilecek en önemli husus scripte verilen isimle
aynı isimde bir değişken adı olmayacağıdır. Kaydedilen M-Dosyasını çalıştırmak için dosya
adının Command Window da yazılıp enter tuşuna basılması yeterlidir(Şekil 3.14). MATLAB
2012 a sürümünde M-Dosyalarının default saklanma konumu C:\Program
Files\MATLAB\R2012a klasörüdür. Ancak Windows 7 ve daha üst sürümlerde bu klasöre
kayıt yapılmak istenildiğinde yetki hatası verebilir(Şekil 3.10). Bu klasörden farklı bir klasöre
kaydedilen ya da farklı bir klasörde bulunan M-Dosyaları ismini yazarak çalıştırmak
istenildiğinde tıpkı toolbox kurulumunda olduğu gibi File-Set Path seçeneğini tıklanarak
gelen ekranda Add Folder veya Add with Subfolders butonunu tıklanıp M-Dosyalarımızın
bulunduğu klasörü işaretlenmesi gerekmektedir.
Aktif klasördeki M-Dosyalarını listelemek için Command Window ekranında what
komutu girilir.
Bir M-Dosyasının içeriğini type komutuyla görülebilir(Şekil 3.16), eğer
bir M-Dosyasının içeriğin, değiştirmek için edit komutuyla M-Dosyasını editör
ekranınında açarak istenilen değişiklikler yapılabilir. Bu yöntemle var olmayan bir M-Dosyası
açılmak istendiğinde MATLAB bu dosyanın var olmadığını ve yaratmak istenilip
istenilmediğini soracaktır(Şekil 3.8). Bir M-Dosyasını silmek için delete
komutunu kullanılır.
Yazılacak scriptte MATLAB fonksiyonlarının tamamını kullanılabilir. Ancak bu
noktada I/O işlemleri için kullanılan 3 temel fonksiyon hakkında bilgi verilecektir. Bunlar;
Input: Bilgi girişi komutu. Girilen verinin bir değişkene atanmasını sağlar.
Ör: a=input('Birinci sayiyi giriniz: ');
Disp: Ekrana her seferinde sadece bir ifadenin yada değişkenin yazdırılmasını
sağlayan komut. Formatlı bir ekran çıkışı istenildiğinde fprintf komutu
kullanılır. Fprintf komutu ile aşağıdaki ekran çıkış formatları kullanılabilir;
o %d: Tamsayı
o %f: Gerçek Sayı
o %c: Tek karakter
o %s: String
Ör: disp('---------Iki sayinin toplamini bulan program--------------'):
Ör: fprintf('Bu işlemde kullanılan rakam %d ve karekter %c dir',25, 's');
33
NOT: fprintf komutu kompleks sayıların sadece gerçek kısmını gösterir, bu nedenle
kompleks sayılarda disp komutu kullanılmalıdır.
Plot: Verilerin grafiğini çizmek için kullanılan komuttur. Oldukça geniş bir
uygulama alanı olan bu komutu ileride daha ayrıntılı bir şekilde işlenecektir.
Ör: Plot(x,y)
%: Programın derlenmesi dışında tutulacak açıklama ifadelerin yazılmasını
sağlayan komut. % komutunun bir diğer kullanımı ise oluşturulan M-Dosyası
için help komutu kullanıldığında görüntülenecek yardım bilgisini
oluşturabilmektir. M-Dosyasının başında boşluk bırakmadan yazılan % satırları
help komutu girildiğinde Command Window ekranında
görüntülenir. Bu satırlarda yazan yardım ifadeleri üzerinden lookfor komutunu
kullanarak arama yaptırılabilir. Bunun için lookfor -all
komutu kullanılır.
Ör: %Bu program bir silindirin hacmini hesaplar
NOT: Input, Disp ve fprintf komutu ile ekrana yazdırılacak ifadelerin '.......' işaretleri arasında yazılması gerekir. Ayrıca Input ve fprintf komutlarında \n parametresi ile alt satıra geçişi
sağlanabilir. \n parametresinin '... ' ifadeleri arasında yazılması gerekir.
Script dosyada kullanılan bütün değişkenler MATLAB ekranında değişkenlerin ve
değerlerinin listelendiği Workspace ekranında listelenir(Şekil 3.14). Yukarıda belirtilen
hususu tekrar hatırlatmak gerekirse script içinde yapılan işlemlerde kullanılan değişkenlere ya
script içinde işlemden önce ya da script çalıştırılmadan önce Command Window ekranında
mutlaka değer atanması gerekmektedir.
Değişkenlere değer yüklenirken kullanabilecek bir diğer yöntem de değişken
değerlerini bir dosyaya yüklemektir. MATLAB da değişken değerlerini kaydetmek ve geri
yüklemek için iki farklı türde dosyaya kullanılabilir.
Bunlardan birincisi .dat dosyaları, ikincisi ise .mat dosyalarıdır. Bir .dat dosyası içinde
değişken değerlerini kaydetmek için save –ascii, geri
yüklemek için load , dosya içeriğini görmek için type komutları
kullanılır. Burada dikkat edilmesi gereken husun dosya adının .dat uzantısına sahip olması
zorunluluğudur.
Diğer tür olan .mat dosyalarına ise .dat dosyalarına göre daha basit kayıt
gerçekleştirilir. İki dosya türü arasında ki en önemli fark .dat dosyalarında kaydedilecek
değişkenleri seçebilirken .mat dosyalarına o anda hafızada ki bütün değişkenleri
kaydedilmesidir. Bir .mat dosyasına değişken değerlerini kaydetmek için save,
geri yüklemek için load komutları kullanılır. Dosya adı yazarken uzantı
yazılmasına gerek yoktur. Dosya .mat uzantısını otomatik olarak alır.
Ayrıca excel dosyalarından da veri okuyarak değişkenlere değer yüklenebilir, bunun
için değişken_adı=xlsread('') komutu uygulanır.
Not: Bir ufak hatırlatma, who komutu ile hafızada bulunan değişkenlerin listesi görülebilir,
clear komutu ile tamamını silinebilir.
34
Şekil 3.8. ve 3.9. da yeni script penceresi açma yolları görülmektedir.
Şekil 3.8. Edit Komutu ile M-Dosyası
Oluşturma
Şekil 3.9. File-New-Script ile M-Dosyası
Oluşturma
Şekil 3.10. da Program Files klasörüne erişim hatası görülmektedir.
Şekil 3.10. Erişim Hatası Uyarısı
35
Şekil 3.11. de Editör penceresi görülmektedir.
Şekil 3.11. Editör Penceresi
Şekil 3.12. de M-Dosyasının kaydeilmesi görülmektedir.
Şekil 3.12. M-Dosyasının Kaydedilmesi
Şekil 3.13. de işlemde kullanılmasına rağmen değer yüklenmemiş değişkenin yol açtığı hata mesajı görülmektedir.
Şekil 3.13. Değişken Hatası
36
Şekil 3.14. de bir M-Dosyasının çalıştırılması görülmektedir.
Şekil 3.14. M-Dosyasının Çalıştırılması
Şekil 3.15.de M-Dosyasının yardım içeriğini oluşturma ve görüntüleme görülmektedir.
Şekil 3.15. Yardım İçeriğini Görüntüleme
Şekil 3.16. da type komutu ile bir M-Dosyasının içeriğinin görülmesi görülmektedir.
Şekil 3.16. Type Komutu
37
Yukarıdaki şekillerde basit bir M-Dosyasının oluşturulması ve çalıştırılması ekranları
görülmektedir. Şekil 3.8. veya Şekil 3.9. yöntemlerinden herhangi biriyle açılan editör
penceresinde oluşturulan scriptin yazımı tamamladıktan sonra Şekil 3.12. olduğu gibi
kaydedilir. Burada tekrar hatırlaması gereken husus kesinlikle scriptle aynı isimde bir
değişken adının olmaması gerektiğidir. Şekil 3.13. da görüldüğü üzere scripti çalıştırmak için
Command Windows ekranında scriptin adı yazılıp enter tuşuna basılır ancak scriptte herhangi
bir işlemde kullanılan değişkenlere bir değer yüklenmemesi durumunda script çalışmaz. Şekil
3.14. de 1. adımda görüldüğü üzere bu değişkenlere Command Window ekranında da değer
yüklenebilir. Ancak bu durum birçok soruna yol açabilecek oldukça kullanışsız bir yöntemdir.
Bu sebeple scriptte yapılacak işlemlerde kullanılan değişken değerlerinin scriptin içinde
girilmesi sağlanmalıdır. Bir değişkene değer girişi için input fonksiyonunu kullanılır.
Şekil 3.17. de input fonksiyonun uygulanması görülmektedir.
Şekil 3.17 Input Fonksiyonu
Şekil 3.17. de scriptte kullanılan değişkenlere kullanıcının değer ataması için input
fonksiyonunu kullanılmaktadır. Script çalıştırıldıktan sonra sırasıyla değişkenler için değer ataması yapılıp hesaplanan sonuç ekrana yazılmaktadır. Değişken değerleri Workspace ekranınında da görülebilir.
38
Şekil 3.18. de plot fonksiyonun uygulaması görülmektedir.
Şekil 3.18. Plot Fonksiyonu
Şekil 3.18. de scripte grafiksel destek için plot fonksiyonunu kullanılmaktadır, şekilde
görüldüğü üzere scripti düzenlemek için kullandığımız Editör ekranın da düzenlenilen her
script ayrı bir sekme olarak görülmektedir. Plot fonksiyonu ile Figure penceresinde istenilen
değişkenlerin grafiğini görülür.
Plot fonksiyonunun kullanımında grafiğe renk verilebilir. Bunun için Plot(x,y, 'renk_kodu') komutu uygulanır.
Tablo 3.4. Renk Kodları
Renk Kodları
Renk Kodu Değeri
b Blue(Mavi)
c Cyan(Açık Mavi)
g Green(Yeşil)
k Black(Siyah)
m Magenta(Mor)
r Red(Kırmızı)
y Yellow(Sarı)
39
Plot fonksiyonu ile çizgisel grafiklerden farklı işaretli grafiklerde oluşturulabilir. Bu
işaretli grafikler renkli ya da renksiz olarak kullanılabilir. Bunun için Plot(x,y, 'işaret_kodu')komutunu uygulanır.
Tablo 3.5. İşaret Kodları
İşaret Kodları
İşaret Kodu Değeri
o Circle(Daire)
d Diamond(Elmas)
h Hexagram(Altı Köşeli Yıldız)
p Pentegram(Beş Köşeli Yıldız)
+ Plus(Artı)
. Point(Nokta)
s Square(Kare)
* Star(Yıldız)
v Down Triangle(Aşağı Doğru Üçgen)
< Left Triangle(Sola Doğru Üçgen)
> Right Triangle(Sağa Doğru Üçgen)
^ Up Triangle(Yukarı Doğru Üçgen)
x X Mark(X işareti)
Plot fonksiyonunda çizgisel grafiklerde kullanılan çizginin stili değiştirilebilir. Bunun için Plot(x,y, 'çizgi_stili')komutu uygulanır.
Tablo 3.6. Çizgi Stilleri
Çizgi Stilleri
Çizgi Stili Değeri
-- Dashed(Kesik Çizgi)
-. Dash dot(Noktalı Kesik Çizgi)
: Dotted(İki Nokta Üst Üste Çizgi)
- Solid(Normal Çizgi)
İşaret ya da çizgi stiline karar verildikten sonra renk kodları da değiştirilebilir. Ayrıca Grid on ya da Grid off komutlarıyla grafiğin arka planında grid işaretlerinin görünüp
görünmemesi de ayarlanabilir. Ayrıca grafik başlığı için title, x ekseni başlığı için xlabel, y ekseni başlığı için ylabel ve gösterge paneli için legend fonksiyonlarını kullanılır. Title,
xlabel, ylabel ve legend fonksiyonu ile ekranı yazdırılacak ifadeler tırnak içinde yazılmak zorundadır.
Plot fonksiyonu dışında bar ve pie gibi 2 boyutlu ya da plot3 ve surface gibi 3
boyutlu grafik oluşturmaya yarayan fonksiyonlar da MATLAB’da kullanılabilir.
Grafik fonksiyonları bir sonraki bölümde daha ayrıntılı olarak işlenecektir.
40
Şekil 3.19. da menu fonksiyonun uygulaması görülmektedir.
Şekil 3.19. Menu Fonksiyonu
Şekil 3.19. da scriptte kullanıcının seçim yapabilmesi için menu fonksiyonunu kullanılmaktadır, kullanıcı scripti çalıştırdığında karşısına iki seçenekli bir menü gelecek ve
istediği seçim doğrultusunda script çalışmaya devam edecektir. Menu komutundan sonra kullanıcının yaptığı seçime göre dallanma yapabilmek için if komutunu kullanılmalıdır. İf
komutu bölüm 4.2.1 de incelenebilir.
3.2.2.2. Function M-Dosyaları
Aslında bu ana kadar birçok function yapısında dosya kullandık gerek MATLAB’ın
built-in fonksiyonları gerekse dahili ya da harici toolboxlarda kullanılan M-Dosyalarının
tamamı function yapısındadır. Functionlar giriş paremetresi alabilen ve geri değer
döndürebilen scriptler olarak düşünülebilir. Functionlar scriptlere göre birçok açıdan daha
fonksiyoneldir. Functionlar da scriptler gibi Editör ekranında oluşturulur ve .m uzantısıyla
kaydedilir.
Function yapısında dikkat edilmesi gereken 4 önemli husus vardır. Bunlar;
Dosya “Function” ifadesiyle başlamalıdır.
Dosya fonksiyona verilen isimle kaydedilmek zorundadır. Örneğin aşağıdaki
örnekte dosya adı my_fun.m olmak zorundadır.
Dosya içinde tanımlanan tipler sadece dosya içinde geçerlidir yani localdir.
Giriş ve çıkış parametlerinin sayısı dosyanın ilk satırında deklare edilmek zorundadır.
41
Tablo 3.7. Function yapıları
Function Yapıları
Function outputs = my_fun(inputs) %Fonksiyon hakkındaki açıklamalar
code .
. code outputs=...
end
Şekil 3.20. de basit yapıda
işlem yapabilen bir fonksiyon
görülmektedir. Dikkat edilmesi
gereken hususlara uygun olarak
dosya function ifadesiyle başlamış
çıkış parametresi olarak alan, giriş
paremetreleri olarak ise kisa ve uzun
değişkenleri tanımlanmıştır. Dosya
fonksiyona verilen isimle yani
hesapla.m olarak kaydedilmiştir.
Command Window ekranında tıpkı
scriptler gibi çalıştırılan function’lar
verilen giriş paremetlerine uygun
olarak sonucu hesaplayıp çıkış
değerini göstermiştir.
Şekil 3.20. Function Dosyaları
3.3. Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki soruları çözünüz.
1) Kullanıcının girdiği ifadenin uzunluğunu bulan scripti yazınız.
2) Santigrad olarak girilen sıcaklık ölçümünü Kelvin ve Fahrenhayt olarak çeviren scripti
yazınız.
3) Giriş parametresi olarak girilen a b c kenar uzunluklarına göre üçgenin çevresini
hesaplayıp yazdıran function u yazınız.
4) Giriş paremetresi olarak girilen xbas, xbit, ybas, ybit ve el_say sayılarına göre x ve y
vektörlerini oluşturup bunların çizgi grafiğini çizen function u yazınız
Not: Soruların cevaplarını Ek2 de bulabilirsiniz.
42
4.GRAFİKLER
MATLAB grafik sistemi, verilerin hazırlanmasında ve görselleştirilmesinde çok değişik ve kendine has özellikleriyle bir kullanıcılara büyük kolaylık sağlamaktadır.
MATLAB programında grafikler temel olarak 2 ana grupta incelenebilir. Bunlar;
1) 2 Boyutlu(2D) Grafikler
2) 3 Boyutlu(3D) Grafikler
Şekil 4.1. de 2D ve 3D koordinat sistemleri görülmektedir.
Şekil 4.1. 2D ve 3D Koordinat Sistemi
MATLAB 2D ve 3D başta olmak üzere çok gelişmiş grafik araçları sunar. Bunlar;
Çizgi (line) grafikler (plot, plot3, polar)
Yüzey (surface) grafikler (surf, surfc)
Ağ (mesh) grafikler (mesh, meshc, meshgrid)
Eş yükselti (contour) grafikler (contour, contourc, contourf)
Çubuk (bar), pasta(pie) vb. özel grafikler (bar, bar3, hist, rose, pie, pie3)
Animasyonlar (movein, movie)
Resim ve videolar (imread, image, mplay, Videoreader)
43
MATLAB’ da bütün grafik, resim, video ya da animasyonların çıktısı “figure” adı
verilen pencerelerde verilir. X ve y eksenlerinin sayısal sınırları aksi belirtilmedikçe grafiği
çizilecek verilere göre ayarlanır.
2D ya da 3D olmasına bakılmaksızın Figure penceresi için geçerli olan komutlar
şunlardır;
1) Grid: Figure penceresinde ki grafiğin arka planın ölçekli olarak gösterilmesini sağlar.
Grid ve ya Grid On yazarak ölçekli gösterimi aktif hale getirilebilir. Bu özelliği
kapatmak için Grid Off komutu kullanılır.
Şekil 4.2. de Grid On ve Grid Off durumları görülmektedir
Şekil 4.2. Grid On, Grid Off
2) title(‘....’): Grafik başlığını belirlemek için kullanılan komuttur(Şekil 4.3).
3) xlabel(‘....’): Çizilen grafiğin x ekseni başlığını ayarlar(Şekil 4.3).
4) ylabel(‘....’): Çizilen grafiğin y ekseni başlığını ayarlar(Şekil 4.3).
5) zlabel(‘....’): Çizilen grafiğin z ekseni başlığını ayarlar(3 boyutlu çizimlerde
kullanılabilir).
6) axis([xbaşlangıç xbitiş ybaşlangıç ybitiş]): Yukarı da belirtildiği gibi x ve y eksenlerinin sayısal
sınırları grafiği çizilecek verilere göre ayarlanır. Şekil 4.2. de görüldüğü gibi boş grafik
ekranların da x ve y eksenleri 0-1 arasında ayarlanmıştır. Grafik eksenlerindeki sayı
değerlerinin başlangıç ve bitiş noktalarını ayarlamak için axis komutu kullanılır(Şekil
4.4).
7) Hold: Birden fazla grafiğin tek bir figure penceresinde ve tek eksen kullanarak
göstermek için kullanılan komuttur. Hold On yazarak bu özelliği açar, Hold Off
yazarak da kapanmasını sağlanabilir(Şekil 4.5).
8) figure: Yeni bir figure penceresinin oluşturulup açılmasını sağlar(Şekil 4.6).
44
Şekil 4.3. de title, xlabel ve ylabel komutlarının kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.3. Title, xlabel ve ylabel Komutlarının Kullanımı
Şekil 4.4. de axis komutunun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.4. axis Komutunun Kullanımı
Şekil 4.5. de hold komutunun kullanımı görünmektedir
Şekil 4.5. hold Komutunun Kullanımı
45
Şekil 4.6. da figure komutunun kullanımı görünmektedir
Şekil 4.6. figure Komutunun Kullanımı
Şekil 4.6. da figure komutu kullanılarak birden fazla grafik penceresinin oluşturulması
sağlanmıştır.
9) subplot(r,c,n): Birden fazla grafiği tek bir figure penceresinde ve ayrı ayrı eksenler
kullanarak(yani bir nevi ekranı bölerek) göstermek için kullanılan komuttur. Ekran kaç
satır ve kaç sütüna bölünecekse r(row) ve c(column) paremetrelerinde belirtilip kaçıncı
sırada görüntüleneceği n parametresinde bildirilip ekranda görüntülenmesi sağlanır.
Şekil 4.7. de subplot komutunun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.7. subplot Komutunun Kullanımı
Şekil 4.7. de subplot komutu kullanılarak tek bir figure ekranında birden fazla grafik
oluşturulması sağlanmıştır. Grafiğin ekrandaki görünme sırası işlem sırasından bağımsız
tamemen n parametresine bağlıdır.
46
10) text(x,y, ‘....’): x,y koordinatlarında istenilen yazının görünmesini sağlar.
11) gtext(‘....’): İstenilen yazının figure penceresinde ki grafik üzerinde te ilk tıklanan
noktada kalıcı olarak görüntülenmesini sağlar
12) legend(‘....’, ‘....’, ‘....’.......): Grafik için gösterge kutusunun gösterilmesini sağlar.
Kapatmak için legend off komutunu kullanılır.
Şekil 4.8. de legend komutunun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.8. legend Komutunun Kullanımı
13) close all: Açık bulunan bütün figure pencerelerini kapatır.
4.1. 2 Boyutlu(2D) Grafikler
MATLAB da birçok 2 boyutlu(2D) grafik çizim fonksiyonu bulunmaktadır. Bunlar;
1) Plot, Ezplot
2) Bar, Barh
3) Hist
4) Stairs
5) Stem
6) Pie
7) Area
8) Quiver(Vektör)
9) Kanava
10) Polar
11) Loglog
12) Semilogx, Semilogy
13) Contour
4.1.1. Plot, Ezplot
Plot x-y koordinat düzlemine lineer grafik çizmek için kullanılır. Plot(x) ya da Plot(x,y) şeklinde kullanılır. Grafik çizgisinin özelliklerini değiştirmek istediğimizde Plot(x,y,’s’) şeklinde de kullanılabilir. S parametresinde çizginin rengi stili ya da biçimi
belirtilir. Bu özelliklerden sadece biri veya ikisi yada üçü birden s parametresinde ayarlanabilir.
47
Bir fonksiyonun istenilen aralıktaki grafiğini çizmek için 3 farklı yol izlenebilir.
Bunlar; 1) Plot komutu Polyval komutu ile birlikte kullanarak bir fonksiyonun istenilen aralıktaki
grafiği çizdirebilir. Bunun için plot([aralık],polyval([katsayılar],[aralık])) komutu uygulanır.
2) Plot komutunu yalnız başına kullanarak da fonksiyonun istenilen aralıktaki grafiğini
çizelebilir. Bunun için plot([aralık],fun) komutu uygulanır. Burada dikkat edilecek üç önemli husus vardır. Bunlardan birincisi aralığı tanımladığımız vektör değişkeninin
ismi ile grafiği çizilecek fonksiyonun değişken ismi aynı olması, ikincisi fonksiyonda ki bütün üs alma işlemleri birebir işlem şeklinde yani ‘.’ operatörü kullanılarak yapılması ve son olarak üçüncüsü ise fun değişkeninde tanımlanan fonksiyon
kesinlikle tırnak içinde yazılmamasıdır. 3) Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için kullanabileceğimiz bir diğer komut da
Ezplot’dur. Ezplot komut ezplot(fun, [aralık]) şeklinde uygulanır. Ezplot komutu ezplot(fun) şeklinde uygulandığında aralığı -2π 2π olarak alır. Bu aralık -6 6 aralığına karşılık gelir.
NOT: Direkt olarak fonksiyonu yazarak çözüme ulaşabileceğimiz komutlarda(Bu kuralın tek istasnası plot komutu için yazacağımız fonksiyondur)fonksiyonu ‘...’ arasına yazmalı ya da
komuttan hemen önce fonksiyonda kullanılan harfleri(x,y vb) syms fonksiyonu ile sisteme tanıtılmalıdır. Aksi halde hata mesajıyla karşılaşılır.
Ör: y=x4 + 2x3 – 10x2 – 7x + 4 fonksiyonu -10 – 10 aralığındaki grafiğini yukarıda ki 3
yöntemi de kullanarak çiziniz.
Çözüm için geçerli olan aralık vektörü [-10:10], katsayı vektörü [1 2 -10 -7 4], plot için fun
değeri x.^4+2*x.^3-10*x.^2-7*x+4 ve ezplot için fun değeri ‘x^4+2*x^3-10*x^2-7*x+4’ dür.
48
Yukarıda y=x4 + 2x3 – 10x2 – 7x + 4 fonksiyonu 3 farklı yöntem kullanılarak
çizdirilmiştir. Grafiklerin tek bir figure penceresinde görünmesini sağlamak için subplot komutu kullanılmıştır. Çizimler plot ve ezplot komutları kullanılarak gerçekleştirilmiştir.
Çizimlerden önce katsayı vektörü p, aralık vektörü t, plot komutu için kullanılacak fun1 ve ezplot komutu için kullanılacak fun2 fonksiyonlarının tanımlanması sağlanmıştır
Tablo 4.1. Plot Fonksiyonu Çizgi Ayarları
Renk Kodları
Renk Kodu
Değeri
B Blue(Mavi)
C Cyan(Açık
Mavi)
G Green(Yeşil)
K Black(Siyah)
M Magenta(Mor)
r Red(Kırmızı)
y Yellow(Sarı)
İşaret Kodları
İşaret Kodu
Değeri
o Circle(Daire)
d Diamond(Elmas)
h Hexagram(Altı
Köşeli Yıldız)
p Pentegram(Beş Köşeli Yıldız)
+ Plus(Artı)
. Point(Nokta)
s Square(Kare)
* Star(Yıldız)
v Down Triangle
(Aşağı Doğru Üç.)
< Left Triangle(Sola Doğru Üçgen)
> Right Triangle(Sağa
Doğru Üçgen)
^ Up Triangle(Yukarı Doğru Üçgen)
x X Mark(X işareti)
Çizgi Stilleri
Çizgi Stili Değeri
-- Dashed(Kesik Çizgi)
-.
Dash
dot(Noktalı Kesik Çizgi)
:
Dotted(İki
Nokta Üst Üste Çizgi)
- Solid(Normal Çizgi)
Şekil 4.9. da plot fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.9. Plot Fonksiyonun Basit Kullanımı
Şekil 4.9. da öncelikle a ve b vektörü yaratılıp daha sonra plot komutu ile grafikleri çizilmiştir
49
Şekil 4.10. da plot fonksiyonun hold fonksiyonuyla beraber kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.10. Plot Fonksiyonun Gelişmiş Kullanımı
Şekil 4.10. da öncelikle t vektörü yaratılmış, daha sonra cos grafiği çizmek için x,
sinüs grafiği çizmek için y eğrileri tanımlanmıştır. Hold komutunun kullanılmasıyla iki grafiiğin tek bir ekseni kullanması sağlanmıştır. Grafik, x ekseni ve y ekseni başlıkları oluşturulmuştur. Son olarak text komutu kullanılarak grafik üzerinde istenilen noktalara yazı
yazılması sağlanmıştır.
4.1.2. Bar, Barh
Bar grafiklerini kullanarak grafik çiziminde kullanılan komuttur. Bar(x) ya da Bar(x,y) şeklinde kullanılır. Ayrıca yatay olarak kullanılmasını sağlayan Barh(x) ve Barh(x,y) komutları da mevcuttur.
Şekil 4.11. de Bar ve BarH fonksiyonlarının kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.11. Bar ve Barh Fonksiyonları
Şekil 4.11. de öncelikle a vektörü oluşturulmuş daha sonra bu vektörün bar(a) komutuyla dikey, barh(a) komutuyla yatay bar grafikleri çizdirilmiştir.
50
4.1.3. Hist
Histogram grafiği çiziminde kullanılan komuttur. Hist(x) şeklinde kullanılır.
Şekil 4.12. de hist fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.12. Hist Fonksiyonu
Şekil 4.12. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra bu vektörün hist(a)
komutuyla histogram(sıklık) grafiği çizdirilmiştir.
4.1.4. Stairs
Basamak şeklinde grafik çiziminde kullanılan komuttur. Stairs(x) ya da Stairs(x,y) şeklinde kullanılır.
Şekil 4.13. de stairs fonksiyonun kullanımı görünmekted ir.
Şekil 4.13. Stairs Fonksiyonu
Şekil 4.13. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra bu vektörün stairs(a)
komutuyla basamak grafiği çizdirilmiştir.
51
4.1.5. Stem
Nokta şeklinde grafik çiziminde kullanılan komuttur. Stem(x) ya da Stem(x,y) şeklinde kullanılır.
Şekil 4.14. de stem fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.14. Stem Fonksiyonu
Şekil 4.14. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra bu vektörün stem(a)
komutuyla nokta grafiği çizdirilmiştir.
4.1.6. Pie
Yüzdelik dilim şeklinde grafik çiziminde kullanılan komuttur. Pie(x) şeklinde kullanılır. Ancak bu şekilde grafiği çizilecek vektörde negatif değerli eleman bulunmamalıdır.
Şekil 4.15. de pie fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.15. Pie Fonksiyonu
Şekil 4.15. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra bu vektörün pie(a) komutuyla
pasta grafiği çizdirilmiştir.
52
4.1.7. Area
Alan grafiği çiziminde kullanılan komuttur. Area(x) ya da Area(x,y) şeklinde kullanılır.
Şekil 4.16. da area fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.16. Area Fonksiyonu
Şekil 4.16. da öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra bu vektörün area(a)
komutuyla pasta grafiği çizdirilmiştir.
4.1.8. Quiver
x ve y koordinat değerlerine sahip bir noktanın dx ve dy kadar yer değiştirdiği
düşünülsün. Bu noktadaki (dx,dy) vektörünü çizdirmek istenildiğinde, quiver fonksiyonu
kullanılır. quiver(y,x,dy,dx) komutu ile bir jeodezik dik koordinat sisteminde vektör çizimi
gerçekleştirilir. Vektörleri ölçeklendirmek için, s ölçek faktörü quiver fonksiyonuna beşinci
bir değişken olarak eklenmelidir; quiver(y,x,dy,dx,s)
Şekil 4.17. de quivery fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.17. Quiver Fonksiyonu
Şekil 4.17. de öncelikle x, y, dx ve dy vektörleri yaratılmış, daha sonra bu vektörlerin
quiver(y,x,dy,dx) komutuyla vektör grafikleri çizdirilmiştir.
53
4.1.9. Kanava
Kanava jeodezik çizimlerde kullanılan bir tekniktir. Plot fonksiyonu kullanılarak ekrana üçgen noktalar çizilerek oluşturulan bir grafik çeşididir.
Şekil 4.18. de kanava grafiğinin kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.18. Kanava Grafiği
Şekil 4.18. de öncelikle x ve y vektörleri yaratılmış, daha sonra bu vektörlerin
plot(y,x) komutuyla kanava grafiği çizdirilmiştir.
4.1.10. Polar
Polar koordinatları kullanarak grafik çiziminde kullanılan komuttur.
Şekil 4.19. da polar fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.19. Polar Fonksiyonu
Şekil 4.19. da öncelikle t vektörü yaratılmış, daha sonra polar komutuyla polar kordinat sisteminde grafiği çizdirilmiştir.
54
4.1.11. Loglog
X ve y eksenleri için logaritmik ölçeklendirme kullanarak grafik çiziminde kullanılan komuttur. Loglog(x) ya da Loglog(x,y) şeklinde kullanılır. Ancak bu şekilde grafiği çizilecek vektörde negatif değerli eleman bulunmamalıdır.
Şekil 4.20. de loglog fonksiyonun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.20. Loglog Fonksiyonu
Şekil 4.20. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra loglog(a) komutuyla logaritmik grafiği çizdirilmiştir.
4.1.12. Semilogx ya da Semilogy
Semilogx x eksenini logaritmik y eksenini lineer olarak ölçeklendirerek grafik
çiziminde kullanılan komuttur. Semilogx(x) ya da Semilogx(x,y) şeklinde kullanılır. Semilogy ise y eksenini logaritmik x eksenini lineer olarak ölçeklendirerek grafik çiziminde
kullanılan komuttur. Semilogy(x) ya da Semilogy(x,y) şeklinde kullanılır.
Şekil 4.21. de semilogx ve semilogy fonksiyonlarının kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.21. Semilogx ve Semilogy Fonksiyonu
Şekil 4.21. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra semilogx(a) komutuyla x
eksenli logaritmik, semilogy(a) komutuyla y eksenli logaritmik grafikleri çizdirilmiştir.
55
4.1.13. Contour
Contour grafik çiziminde kullanılan komuttur. Contour(x) şeklinde kullanılır. Ancak X matris olmak zorundadır.
Şekil 4.22. de contour fonksiyonunun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.22. Contour Fonksiyonu
Şekil 4.22. de öncelikle a vektörü yaratılmış, daha sonra contour(a) komutuyla eş yükselti grafiği çizdirilmiştir.
Yukarıda bahsedilen 2D grafiklerin tamamında aynı vektör kullanılarak(negatif değer
barındırmaması gereken ve polar koordinat düzlemini kullanan grafik türleri hariç) çizim yapılmıştır. Aşağıdaki örnekte ise yukarıda ki grafiklerin bazıları kullanılarak oluşturulan
yıl – doğum oranı grafikleri görülmektedir.
Şekil 4.23. 2D Örnek
56
4.2. 3 Boyutlu(3D) Grafikler
MATLAB da birçok 3 boyutlu(3D) grafik çizim fonksiyonu bulunmaktadır. Bunlar;
1) Plot3
2) Bar3, Bar3h
3) Pie
4) Mesh
5) Surface
3D grafiklere başlamadan önce bu grafiklerde kullanacağımız bir fonksiyondan bahsetmek istiyorum. Meshgrid fonksiyonu grafik çiziminde direkt olarak kullanılan bir komut değildir. Ancak 3 boyutlu çizimlerde verilerin oluşturulmasında kullanılmaktadır.
Meshgrid ile elde edilen koordinat verileri [X,Y] matrisine aktarılır. Bu işleme interpolasyon denir. Daha sonra bu matrise bağlı olarak Z=f(X,Y)gibi bir matris elde ederiz. Z fonksiyonu
uzayda bir yüzey belirtir. Z fonksiyonu matematiksel bir formülle hesaplanabileceği gibi MATLAB ın hazır fonksiyonlarıyla da elde edilebilir. Bu fonksiyonlar arasında Peaks, Cylinder,Sphere ve Ellipsoid i sayılabilir. Herhangi bir koordinat verilerinde tepe ve alt tepe
değerlerini elde etmek istiyorsak Peaks(X,Y) komutu uygulanır. Cylinder dairesel, Sphere küresel, Ellipsoid ise elipsel sonuçlar üretir.
4.2.1. Plot3
x-y-z koordinat düzlemine çizmek için kullanılır. Plot(x,y,z) şeklinde kullanılır.
Grafik çizgisinin özellikleri değiştirilmek istendiğinde Plot(x,y,z’s’) şeklinde de kullanılabilir.
S parametresinde çizginin rengini stilini ya da biçimini belirtir. Bu özelliklerden sadece biri
herhangi ikisi yada üçü birden s parametresinde ayarlanabilir. S paremetresinin değerleri
yukarıda Tablo 4.1 de olduğu gibidir
Şekil 4.24. de plot3 fonksiyonunun kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.24. Plot3 Fonksiyonu
Şekil 4.24. de öncelikle t vektörü yaratılmış, daha sonra plot3 komutuyla 3 boyutlu trigonometrik grafiği çizdirilmiştir.
57
4.2.2. Bar3, Bar3h
3 boyutlu bar grafiklerini kullanarak grafik çiziminde kullanılan komuttur. Bar3(x,y) şeklinde kullanılır. Ayrıca yatay olarak kullanılmasını sağlayan Bar3h(x,y) komutları da mevcuttur.
Şekil 4.25. de Bar3 ve Bar3H fonksiyonlarının kullanımı görünmektedir.
Şekil 4.25. Bar3 ve Bar3h Fonksiyonları
Şekil 4.25. de öncelikle a ve b vektörleri oluşturulmuş daha sonra bu vektörün
bar3(a,b) komutuyla dikey, bar3h(a,b)