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Elementi di Calcolo delle

Probabilità

Corso di Calcolo delle Probabilità ed Inferenza

a.a. 2013/2014 - Primo Semestre

Prof. Filippo DOMMA

Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata

Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza Università della Calabria

Calendario

- Lezioni: dal 30/09/2013 al 21/12/2013

- Esami (scritti):

1° appello 13 Gennaio 2014 ore 9:00

2° appello 10 Febbraio 2014 ore 9:00

3° appello 9 Giugno 2014 ore 9:00

4° appello 7 Luglio 2014 ore 9:00

5° appello 8 Settembre 2014 ore 9:00

Elementi di Calcolo delle Probabilità 2

- Orario delle Lezioni:

Lunedì, Martedì e Mercoledì

dalle 9 alle 11 in ZENITH 1

- Orario di Ricevimento Studenti:

Giovedì dalle 11 alle 13

(Studio docente: Cubo 0C, ultimo piano)

- Modalità esame: Scritto ed Orale

Elementi di Calcolo delle Probabilità 3

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Prova, Evento e Probabilità

Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.

Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di

incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il Calcolo delle Probabilità

sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.

Evento: è uno dei possibili risultati della prova.

Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e

soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del Calcolo delle

Probabilità.

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Def.1. Spazio dei Campioni.

E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento

concettuale. Verrà indicato con W.

Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.

L’evento certo è quello che si verifica sempre, W.

L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, f.

Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).

E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W.

5


Diagrammi di Venn

UNIONE INTERSEZIONE

NEGAZIONE EVENTI

INCOMPATIBILI EVENTI

NECESSARI

A B A

W

A

6


Proprietà Unione Intersezione

Commutativa

Idempotenza

Associativa

Distributiva

ABBA ABBA

AAA AAA

)CB(AC)BA( )CB(AC)BA(

)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A

Inoltre, si ha:

AA f WWA WAA

ffA AA W f AA

7


Leggi di De Morgan

BABA

Partizione dello Spazio Campionario

BABA

BABA

BABA

(1)

(2)

Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad W formano una partizione

dello spazio campionario se:

(1) k1,...,ji AA ji f

(2) W

k

1i

iA

cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

8


Esercizio 1

Esercizio 2

Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8},

B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio W={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Determinare i seguenti sottoinsiemi:

)CB(AE1 CBAE2 CBE3

CCE6

BAE4

BAE5

Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline

da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo

spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si

identificano i seguenti eventi:

1. Le due palline estratte sono di colore differente;

2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;

3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.

9


Esercizio 3

Esercizio 4

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da

gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con

gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che

rappresentano i seguenti eventi:

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e

di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo

all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:

1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali;

2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5;

3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello

riportato dalla faccia superiore dell’altro.

1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado;

2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.

10


Esercizio 5

Esercizio 7

Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a

caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in

questione.

Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento

“la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un

numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?

Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e delle

“croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete.

Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.

Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento

“nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?

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A A 0APr

1WrP

f BA

BPAPBAP rrr

Assiomi del Calcolo delle Probabilità.

Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è

considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la

teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

1.

2.

3. Siano A e B due eventi incompatibili

allora

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0frP

APAP rr 1

BAPBAPAP rrr

BAPBPAPBAP rrrr

Teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilità

Teo.1.

Teo.2.

Teo.3.

Teo.4.

Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

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Def. 4. Classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli

di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di

volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si

manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità.

L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.

Def. 6. Soggettivista.

La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente

formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un

evento.

Definizione di probabilità.

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Esercizio 9 Dato un esperimento tale:

5.0)A(Pr 31

r )B(P 41

r )BA(P

Calcolare:

BAPr BAPr BAPr

BAPr BAPr

Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che:

8.0)A(Pr 7.0)B(Pr 6.0)BA(Pr

Calcolare:

BAPr BAPr BAPr


Esercizio 11

Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R),

9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G).

Effettuiamo la seguente prova:

“estrazione di due palline con riposizione”.

Calcolare la probabilità che:

a) entrambe le palline siano rosse;

b) la prima sia rossa e la seconda bianca;

c) la prima gialla e la seconda non-rossa;

d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;

e) che almeno una sia rossa.

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BP

BAPBAP

r

rr

/ 0BPr

Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.

Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano

il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati).

Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero

l’evento B condiziona l’evento A), è:

per

In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume

che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.

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0/ BAPr

1/ W BPr

BAPBAPBAAP rrr /// 2121

Si può verificare che valgono gli assiomi del Calcolo delle Probabilità:

1.

2.

3. Se A1 e A2 sono incompatibili allora

Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio.

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0/ f BPr

BAPBAP rr /1/

BAAPBAAPBAP rrr /// 21211

BAAPBAPBAPBAAP rrrr //// 212121

Valgono anche i teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilità nel

caso in cui esiste un evento condizionante

Teo.5.

Teo.6.

Teo.7.

Teo.8.

Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

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Il teorema di Bayes

Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:

supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6

nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso

un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.

Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la

probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare

ciascuna delle urne è di 0.5 ?

Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto

come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1,

C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa

valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.

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f

K

i

i

K

i

i CACA11

K

i

i

K

i

i CACAAA11

W

K

i

iC1

W ji f ji CC

Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di W, cioè

e

L’evento A può essere scritto nel seguente modo

Osservando che

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si ha:

K

1i

ir

K

1i

irr CAPCAPAP

Ricordando che

CP

CAPC/AP

ir

irir iririr C/APCPCAP

Si può scrivere:

ir

K

1i

ir

K

1i

irr C/APCPCAPAP

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La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità

che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?

K

1i

irir

jrjr

r

jr

jr

C/APCP

C/APCP

AP

ACPA/CP

L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a

posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto

alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori

della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1).

Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze,

rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano

l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.

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Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le

probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:

2r2r1r1r

1r1r1r

UPU/BPUPU/BP

UPU/BPB/UP

516129.01875.02.0

2.0

2

1

8

3

2

1

10

42

1

10

4


Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo

che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj]

sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo

per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula,

infatti, si combinano informazioni a priori e

verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori

P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj] , tanto più

la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori

sulle cause Cj.

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Definizione di Indipendenza.

Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un

altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti;

questo può essere formalizzato con la seguente:

Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si

verifica una delle seguenti condizioni:

1.

2.

3.

BPAPBAP rrr

APB/AP rr

BPA/BP rr

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Teo. 9 Se A e B sono indipendenti allora

1.

2.

3.

BPAPBAP rrr

BPAPBAP rrr

BPAPBAP rrr

La dimostrazioni del teorema è lasciata per esercizio.

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Esercizio 12

Supponiamo di avere un’urna che contiene 5 palline rosse (R), 4

bianche (B),3 nere (N)

e 6 gialli (G). Effettuiamo la seguente prova:

“ estrazione di due palline senza riposizione”.

Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:

a) la prima rossa e la seconda rossa;

b) la prima bianca e la seconda rossa;

c) la prima gialla e la seconda non-rossa;

d) la prima non-nera e la seconda bianca;

e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca;

f) la prova generi almeno una pallina rossa.

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Esercizio 13

Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi

sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale

di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un

programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine

rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare

la probabilità che:

1. il bambino sia stato spaventato;

2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è

stato/a spaventato/a;

3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o

non è stata/o spaventato/a;

4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto

non è stato spaventato.

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Esercizio 14

Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi

sia dalla ditta A che dalla ditta B.

Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino.

Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5%

difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%.

La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B.

Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo

riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che

sia stato fornito da A?

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Esercizio 15

Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che:

Determinare P[B] se:

a) A e B sono disgiunti ;

b) A e B sono indipendenti ;

c) Pr[A/B]=0.6

7.0APr 8.0BAPr

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Esercizio16

La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio

iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe d’età.

Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata

e nel 5% dei casi in una persona sana.

a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A

nella data classe di età?

b) Qual è la probabilità che una persona sia malata

se il test A è negativo?

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Riferimenti Bibliografici.

- G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”.

Maggioli Editore. Rimini. [C]. Pag. 1-23.

- A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988),

“Introduzione alla Statistica”, McGraw-Hill, Milano. [MGB].

Pag. 1-53.

- D. Piccolo e C. Vitale (1984), “Metodi Statistici per l’analisi

economica”. Il Mulino, Bologna. [PV]. Pag. 119-150.

- R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”,

Il Mulino, Bologna. [O]. 15-55.

- D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. [P].

Pag. 215-291.

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