Elementos de Máquinas para Automação
PMR 3307 - A01
INTRODUÇÃO
2019.2
2
PMR-3307
Informações gerais
Docentes: Prof. Dr. Nicola Getschko e Prof. Dr. Rodrigo Stoeterau
Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos
- Salas MS-04 / MS-03
e-mails: [email protected] / [email protected]
Horário: Terças-feiras das 9:20 – 11:00 – A03
Sextas-feiras das 07:30-9:10 – A03
3
Método de Avaliação
𝑵𝑭 =𝑨𝒗𝟏 + 𝑨𝒗𝟐
𝟐∗ 𝟎, 𝟕 + 𝑵𝒐𝒕𝒂𝒑𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 ∗ 𝟎, 𝟑
➔ NF 5
➔ A frequência mínima é de 75%; alunos que se
ausentarem por mais de oito (08) aulas serão
reprovados.
PMR-3307
4
Cronograma de aulas
PMR-3307
5
PMR-3307
Cronograma de aulas
PMR-3307
Bibliografia
• Shigley, J. F.; Budynas, R.; Nisbett, J. K., Elementos de Máquinas. 8ª edição, McGraw-Hill
• Norton, R. L., Projeto de Máquinas, uma abordagem integrada, Prentice-Hall Publishing, 1998.
• Juvinall, R. C.; Marshek, K. M.,Projeto de components de máquinas, LTC
• Niemann, H. Elementos de máquinas, vol i, II e III
7
Objetivo
Apresentar os fundamentos para o dimensionamento
de elementos de máquinas utilização de critérios de
falha e dinâmica, incluindo as formas de cálculo dos
esforços internos e externos e combinação de tensões
usando Círculo de Mohr.
Apresentar uma abordagem holística para a solução
de problemas de engenharia que envolvam o projeto
de sistemas mecânicos
PMR-3307
Conduçãos do curso
• As sessões consistirão de aulas expositivas dialogadas, com discussão dos assuntos do curso e reuniões para os trabalhos em grupo.
• Estão previstas as seguintes atividades EXTRA-SALA: trabalhos práticos, com leitura e estudo de textos, preparação dos relatórios e apresentação
• Será enfatizada a troca de experiências entre os participantes, e entre estes e o professor.
• Discussões serão estimuladas durante as aulas.
8
PMR-3307
Conduçãos do curso
➢ Importante
✓ ler, pensar, entender, reler, discutir e aplicar.
✓ Não separar o curso da sua vida profissional;
✓ aplicar ao seu trabalho sempre que possível
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PMR-3307
10
Tópicos
➢ Introdução
➢ Processo de desenvolvimento de produto
➢ Projeto detalhado
PMR-3307
11
PMR-3307
12
Introdução
▪ Projeto
▪ Design
▪ Project
▪ Konstruktion
▪ Projekt
PMR-3307
≠
≠
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Processo de desenvolvimento de produto
PMR-3307
ideia produto
Trajetória do Projeto
IdeiaProduto
14
PMR-3307
15
Processo de desenvolvimento de produto
PMR-3307
ideia produto
Segundo Shigley
16
Processo de desenvolvimento de produto
PMR-3307 Gestão do Processo de Desenvolvimento de Produtos – Resenfeld, H.; Forcelini, F.
17
PMR-3307
Fases do Projeto
Necessidades Requisitos Especificações
Projeto Informacional
- Tangíveis- Intangíveis
Requisitosdo projeto
Especificações do projeto
Ex: Peso até 12 kg
Ex: Custo até R$ 235,00
Projeto Detalhado
Preparação produção
Lançamento do Produto
Projeto Conceitual
Projeto Informacional
Planejamento do Projeto
Ex: Leve
Ex: Barato
18
PMR-3307
Fases do Projeto
Projeto Detalhado
Preparação produção
Lançamento do Produto
Projeto Conceitual
Projeto Informacional
Planejamento do Projeto
SoluçõesEspecificações
Projeto Conceitual
Especificações do projeto
Estrutura de blocos diagramas
Escolha das melhores soluções
19
PMR-3307
Fases do Projeto
Soluções Projeto de engenharia
Projeto Detalhado
Melhore solução
Projeto Detalhado
Preparação produção
Lançamento do Produto
Projeto Conceitual
Projeto Informacional
Planejamento do Projeto
Aqui está a nossa
disciplina
20
PMR-3307
Fases do Projeto
Projeto de engenharia
Projeto Detalhado
Projeto Detalhado
Preparação produção
Lançamento do Produto
Projeto Conceitual
Projeto Informacional
Planejamento do Projeto
Dimensionamento e especificação de
componentes
MockupsProtótipos- Computacionais- Analíticos- Funcionais
Desenhos de engenharia
Desenhos de fabricação
Documentação total (montagem, manutenção,
manuais, testes, etc.)
Aqui está a nossa
disciplina
21
PMR-3307
Fases do Projeto
Projeto de engenharia
Projeto Detalhado
Projeto Detalhado
Preparação produção
Lançamento do Produto
Projeto Conceitual
Projeto Informacional
Planejamento do Projeto
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Detalhamento
PMR-3307
• Qual material?• Qual geometria?• Quais dimensões?• Qual critério de
falha?• Quais normas?• Qual processo de
fabricação?• Quais tolerâncias?• Qual acabamento?• Quais mancais?• Qual custo?• Etc.
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PMR-3307
Recomendações de como resolver um problema
➢ Somente unidades no SI
➢ Faça bons desenhos de rascunhos
• Identifique o sistema de coordenadas
• Nomeie dimensões e forças
• Bons diagramas de corpo livre são bons auxiliares na solução
➢ Mostre de forma organizada seu raciocínio
➢ Siga as convenções
➢ Desenvolva o raciocínio simbolicamente. Deixem os números para o final
➢ Verifique as respostas. Sempre pergunte: Faz sentido?
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PMR-3307
Forças, momentos e vetores
➢ Forças
• Quais suas origens?
→ Contato?
→Gravitacionais?
→ Campos?
• Identifique a força (nomeie)
• Identifique o ponto de aplicação
• Identifique a intensidade
• Identifique a direção
՜𝐹𝑎
g
a
b
𝐹𝑏
cm
𝐹𝑎 = 𝐹𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐹𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐹𝑎𝑧𝑘
x
y
z
՜𝐹
𝐹 = 𝐹𝑎 + 𝐹𝑏
25
PMR-3307
Forças, momentos e vetores
➢ Momentos
• = Torque
• Momento = força * distância
• Identifique o momento (nomeie)
• Identifique o ponto de aplicação
• Identifique a intensidade
• Identifique as distâncias até
o ponto de aplicação
• Identifique a direção
• Use a regra da mão direita
՜𝐹𝑎
g
a
b 𝐹𝑏𝑥
cm
x
y
z
𝑀 = 𝑀𝑎𝑥 +𝑀𝑎𝑦 −𝑀𝑏𝑥 +𝑀𝑏𝑦
•
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑏𝐹𝑏𝑦
՜𝑀
𝑀𝑎𝑥 = 𝑎𝑦𝐹𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑎𝑥
𝑏𝑦
𝑏𝑥
𝑎
𝑏
26
PMR-3307
Exercício 01
➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
Ref•
𝐹𝑏 = 2. 𝐹𝑎
𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎
𝑅𝑒𝑓
𝐹𝑛 = 0
𝑅𝑒𝑓
𝑀𝑛 = 0
27
PMR-3307
𝐹𝑏 = 2. 𝐹𝑎
𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎
𝑹𝒆𝒇
𝑭𝒏 = 𝟎
➢ Identifique o sistema de coordenadas
Exercício 01
➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia
28
PMR-3307
𝐹𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑥
2+ 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑦
2
𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝟎
𝐹𝑎𝑥 = 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎𝐹𝑎𝑦 = 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎
𝐹𝑐𝑥 = 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐𝐹𝑐𝑦 = 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐
𝐹𝑏𝑥 = 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏𝐹𝑏𝑦 = 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙= 𝟎
𝐹𝑎𝑥 = 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎𝐹𝑐𝑥 = 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐−𝐹𝑏𝑥 = 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝟎
𝐹𝑎𝑦 = 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎
−𝐹𝑏𝑦 = 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏
𝐹𝑐𝑦 = 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐
Exercício 01
➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia
29
PMR-3307
𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝟎𝐹𝑎𝑥 = 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎𝐹𝑎𝑦 = 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎
𝐹𝑐𝑥 = 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐𝐹𝑐𝑦 = 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐
𝐹𝑏𝑥 = 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏𝐹𝑏𝑦 = 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙= 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝟎
X(+)
Y(+)
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎 − 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏 + 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝐹𝑎.sin 𝑎 − 2 𝐹𝑎.sin 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.sin 𝑐 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙= 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎 + 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐 − 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙=𝐹𝑎.cos 𝑎 − 2 𝐹𝑎.cos 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.cos 𝑐 = 𝟎
𝐹𝑏 = 2. 𝐹𝑎
𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎
Exercício 01
➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia
30
PMR-3307
𝐹𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑎.cos 𝑎 − 2 𝐹𝑎.cos 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.cos 𝑐2+ 𝐹𝑎.sin 𝑎 − 2 𝐹𝑎.sin 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.sin 𝑐
2
𝑹𝒆𝒇
𝑭𝒏 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝐹𝑎.sin 𝑎 − 2 𝐹𝑎.sin 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.sin 𝑐 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙=𝐹𝑎.cos 𝑎 − 2 𝐹𝑎.cos 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.cos 𝑐 = 𝟎
𝐹𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑥
2+ 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑦
2
Exercício 01
➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia
31
PMR-3307
𝐹𝑏 = 2. 𝐹𝑎
𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝑀𝑎𝑥 - 𝑀𝑎𝑦 - 𝑀𝑏𝑥 +𝑀𝑏𝑦
- 𝑀𝑐𝑥 - 𝑀𝑐𝑦
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑎𝑥. 𝑑𝑎𝑦 - 𝐹𝑎𝑦 . 𝑑𝑎𝑥 - 𝐹𝑏𝑥. 𝑑𝑏𝑦+ 𝐹𝑏𝑦. 𝑑𝑏𝑥 - 𝐹𝑐𝑥 . 𝑑𝑐𝑦- 𝐹𝑐𝑦. 𝑑𝑐𝑥
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑎.cos 𝑎. 𝑑𝑎𝑦 - … .
𝑹𝒆𝒇
𝑴𝒏 = 𝟎
Exercício 01 - Solução
➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia
32
PMR-3307
Carregamentos
➢ Forças
▪ Concentrados
▪ Distribuídos
➢ Momentos
𝑭𝒂
𝑭𝒃
՜𝑭𝒄
𝑷𝒂
𝑷𝒃
՜𝑷𝒄
𝑴𝒂
𝑴𝒃
𝑴𝒄
33
PMR-3307
Apoios
• Fixo
• Deslizante
• Engastado
• Com cabo
• Com contato
𝑅𝑏
𝑅𝑎
𝑅𝑏𝑅𝑎
𝑅𝑏
𝑅𝑎𝑅𝑏
𝑅𝑎
𝑅𝑏
՜𝐹𝑎
՜𝑇
34
PMR-3307
Apoios e reações
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
Ref•
𝐹𝑐𝑥
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑐𝑦
𝑎
𝑐
𝐹𝑏𝑥
𝐹𝑏𝑦
𝑏
x
y
z
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
Ref•
𝐹𝐴2𝑥
𝐴1𝐹𝐴1𝑦
𝐹𝐴2𝑦
𝐴2
՜𝑀՜
𝑀
𝐴1
𝐴2
PMR-3307
Apoios, reações e modelo de viga
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
𝐹𝑐𝑥
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑐𝑦
𝑎
𝑐
𝐹𝑏𝑥
𝐹𝑏𝑦
𝑏
x
y
z
35
𝐼 ⇒ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖a
Á𝑟𝑒𝑎
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝐹𝐴2𝑥
𝐴1
𝐴2
36PMR-3307
Apoios, reações e esforços internos
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
Ref•
𝐹𝑐𝑥
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑐𝑦
𝑎
𝑐
𝐹𝑏𝑥
𝐹𝑏𝑦
𝑏
x
y
z
𝐹𝐴1𝑦
𝐹𝐴2𝑦
𝐴2
՜𝑀
36 𝐹𝐴1𝑦
𝐹𝐴2𝑦
𝐹𝐴2𝑥
𝐹𝐴2𝑥
𝐴1
𝐴2𝐴1
𝐴2
37PMR-3307
Apoios, reações e modelo de viga
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
𝐹𝑐𝑥
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑐𝑦
𝑎
𝑐
𝐹𝑏𝑥
𝐹𝑏𝑦
𝑏
x
y
z
𝐹𝐴1𝑦
𝐹𝐴2𝑦37
𝐼 ⇒ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖a
𝐸
Á𝑟𝑒𝑎
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
37
՜𝐹𝑎
𝐹𝑏
՜𝐹𝑐
𝐹𝑐𝑥𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑐𝑦
𝑎𝑐
𝐹𝑏𝑥
𝐹𝑏𝑦
𝑏
𝐴1𝐹𝐴1𝑦𝐹𝐴2𝑦
՜𝑀
՜𝑀
՜𝑀
𝐹𝐴2𝑥
𝐹𝐴2𝑥
𝐴1
𝐴2
PMR-3307
No projeto
z
x
y
38
𝑎
𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙
𝟐+ 𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚
𝟐
𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝑭𝒂.cos 𝒂 −2 𝑭𝒂.cos 𝒃 + (3/2) 𝑭𝒂.cos 𝒄𝟐+ 𝑭𝒂.sin 𝒂 − 2 𝑭𝒂.sin 𝒃 + (3/2) 𝑭𝒂.sin 𝒄
𝟐
𝑏
PMR-3307
Forças e momentos atuantes
𝑷𝒆 𝑷𝒑𝒍 ՜𝑭𝒄
՜𝑭𝒇
𝑭𝒑𝑴𝒕
𝑷𝒑ç 𝒛
z
x
y
39
𝑏𝑎
40
PMR-3307
Reações - Bidimensional -
𝑹𝒂𝒙𝑹𝒃𝒙
z
x
y
𝑹𝒃𝒛
𝑏𝑎
PMR-3307
Diagramas de corpo livre
- Bidimensional -
𝑹𝒂𝒙𝑹𝒃𝒙
𝑹𝒂𝒛
𝑷𝒆 𝑷𝒑𝒍 𝑷𝒑𝒄(𝒛)՜𝑭𝒄
՜𝑭𝒇
𝑭𝒑𝑴𝒕
z
x
y
41
𝑏𝑎
PMR-3307
Diagramas de corpo livre
- Tridimensional -
z
x
𝑹𝒂𝒙𝑹𝒃𝒙
𝑹𝒂𝒛
𝑷𝒆 𝑷𝒑𝒍 𝑷𝒑𝒄՜𝑭𝒄
՜𝑭𝒇
𝑹𝒂𝒚𝑹𝒃𝒚
𝑹𝒂𝒛
𝑷𝒑𝒍՜𝑭𝒄
՜𝑭𝒇
𝑭𝒑
𝑴𝒕z
y
42
𝑴𝒕
43
PMR-3307
Carregamentos
44
PMR-3307
Exercício 02
➢ O fuso de esferas recirculantes, utilizando para converter movimento no sistema de posicionamento linear abaixo, pode usar duas soluções de montagem. Uma com fuso bi –apoiado, e outra em balanço. Desenvolva as equações de equilíbrio estático, e as equações de esforços e flexão para as duas soluções propostas. Use as considerações que vocês acharem necessárias. Qual das duas soluções produz menor flexão na extremidade (a)?
𝑏
𝑎 𝑏
𝑎𝑐
𝑐
Ltotal
Lfuso = Ltotal/4Lfuso = Ltotal/4
PMR-3307
➢ Desenvolvendo as equações de equilíbrio estático para o corpo rígido abaixo
x
y
L
A B
C F
LL
45
Estado de tensão geral sobre um elemento
PMR-3307
x
y
L
AB
C F
LL
1 2
3
𝑅𝑏𝑥
𝑅𝑏𝑦𝑅𝑎𝑦
𝐹 + 𝑅𝑏𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0
𝑀𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑎𝑦 + 𝑅𝑏𝑦 = 0
𝑅𝑏𝑦 . 𝐿 + 𝐹 . (3
4𝐿2) = 0
𝑅𝑏𝑦 . 𝐿 + 𝐹 . (𝐿. − sin 𝜃) = 0
𝑅𝑏𝑥 = −𝐹
𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃
𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃
46
➢ Desenvolvendo as equações de equilíbrio estático para o corpo rígido abaixo
Estado de tensão geral sobre um elemento
PMR-3307
x
y
47
➢ Desenvolvendo as equações de equilíbrio estático para o corpo rígido abaixo
Estado de tensão geral sobre um elemento
PMR-3307
Resultantes Internas
Análise individual dos esforços
x
y
L
AB
C F
LL
1 2
3
𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃
𝑅𝑏𝑥 = −𝐹
A
CL
1
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑐𝑦
𝐹𝑐𝑥
𝑭𝟏
𝑭𝟏
𝐹𝑐𝑥 + 𝐹𝑎𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0
𝑀𝐵 = 0
𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑐𝑦 + 𝐹𝑎𝑦 = 0
-𝐹𝑐𝑦 . 𝐿. cos 𝜃 + 𝐹𝑐𝑥 . sin 𝜃 = 0
𝐿. sin 𝜃
𝐿. cos 𝜃
48
PMR-3307
x
y
L
AB
CF
L1 2
3
𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃 𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃
𝑅𝑏𝑥 = −𝐹
B
C
L
2
𝐹𝑏𝑦
𝐹𝑏𝑥
𝐹𝑐𝑦
𝐹𝑐𝑥
𝐹𝑐𝑥 + 𝐹𝑏𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0
𝑀𝐵 = 0
𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑐𝑦 + 𝐹𝑏𝑦 = 0
𝐹𝑐𝑦 . 𝐿. cos 𝜃 + 𝐹𝑐𝑥 . sin 𝜃 = 0
𝐿. sin 𝜃
𝐿. cos 𝜃
𝑭𝟐
𝑭𝟐
49
Resultantes Internas
Análise individual dos esforços
PMR-3307
x
y
L
AB
C F
LL
1 2
3
𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃 𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃
𝑅𝑏𝑥 = −𝐹
A B
𝐹𝑎𝑦
𝐹𝑎𝑥
𝐹𝑏𝑦
𝐹𝑏𝑥
L
3
𝐹𝑐𝑥 + 𝐹𝑎𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0
𝑀𝐴 = 0
𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑐𝑦 + 𝐹𝑎𝑦 = 0
−𝐹𝑏𝑦 . 𝐿 = 0
𝑭𝟑
𝑭𝟑
50
Resultantes Internas
Análise individual dos esforços
51
PMR-3307
Esforços combinados
( Tensões combinadas)
x
y
L
AB
C F
LL
1 2
3
𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃
𝑅𝑏𝑥 = −𝐹 AB
C F
L
1
2
L
𝑭𝟏
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑭𝟐
𝑭𝟏 𝑭𝟐𝜑
PMR-3307
Esforços combinados
x
y
L
A B
3
AB
C F
L
1
2
L
𝑭𝟏
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑭𝟐
𝑭𝟏 𝑭𝟐𝜑
C
𝑭𝟐
𝑭𝟑 𝑭𝟑
𝑅𝑏𝑦𝑅𝑎𝑦
𝑭𝟑 𝑭𝟑
52
PMR-3307
Diagrama de Esforços
x
y
L
A B
3
𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑅𝑏𝑦
𝑭𝟑 𝑭𝟑
L(x)
A
3
𝑭𝟏
𝑅𝑎𝑦
𝑭𝟑𝑬𝑨𝒓𝒚 (𝒙)
𝑬𝑨𝒓𝒙 (𝒙)
𝑴𝑨𝒓 (𝒙)
L(x)
3
𝑅𝑏𝑦
𝑬𝑩𝒓𝒚 (𝒙)
𝑬𝑩𝒓𝒙 (𝒙)
𝑴𝑩𝒓 (𝒙)
B
𝑭𝟐
Força cortante
Força axial
Momento
Flexão53
PMR-3307
Estado de tensão geral sobre um elemento
x
y
L(x)
A
3
𝑭𝟏
𝑅𝑎𝑦
𝑭𝟑𝑬𝑨𝒓𝒚 (𝒙)
𝑬𝑨𝒓𝒙 (𝒙)
𝑴𝑨𝒓 (𝒙)
𝑬𝑨𝒓𝒚 (𝒙)
𝑬𝑨𝒓𝒙 (𝒙)𝑴𝑨𝒓 (𝒙)
𝑬𝑨𝒓𝒛 (𝒙)
𝑴𝑨´𝒓 (𝒙)
x
y
z
𝝉𝒙𝒙 ≅ 𝝈𝒙𝝉𝒛𝒛 ≅ 𝝈𝒛
𝝉𝒚𝒚 ≅ 𝝈𝒚
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚
𝝉𝒚𝒛𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒛𝒙
𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒛𝝈𝒙
𝝈𝒚
Estado de tensão geral sobre um elemento
54
PMR-3307
Equações diferenciais de equilíbrio
Elemento infinitesimal com tensões e forças
atuando
x
y
𝝉𝒙𝒚
𝝉𝒚𝒛 +𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦𝑑𝑦
𝝉𝒙𝒚 +𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥𝑑𝑥
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑦
+ 𝑋 = 0
𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝜎𝑦𝜕𝑦
+ 𝑌 = 0
𝑀𝑧 = 0 ⇒ 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥
𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑦
+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧
+ 𝑋 = 0
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒚
𝝈𝒚 +𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦𝑑𝑦
𝝈𝒙 +𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
𝑑𝑥𝝈𝒙
55
PMR-3307
Exercício 3
➢ Uma barra de 10 mm2 e L em mm é fixada suspensaconforme a figura abaixo. O peso por unidade decomprimento é . Determine a tensão normal nessabarra utilizando as equações diferenciais de equilíbrio.
x
y
L
56
PMR-3307
Exercício 3
➢ Diagrama de corpo livre e equações de equilíbrio.
x
y
L
Ry
RxMr
X = L
A (10 mm2)
𝑋 − 𝑅𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0
𝑀𝑜 = 0
𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑦 = 0
𝑋 = 𝑅𝑥
𝑅𝑥 = Ԧ𝛾𝐿o
𝑀𝑟 = 0
x
y
L
Ry
RxMr
o
57
PMR-3307
Exercício 3
➢ Equações diferenciais de equilíbrio.
𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑦
+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧
+ 𝑋 = 0𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦+ 𝑋 = 0
𝟎
𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
+𝛾
𝐴= 0
𝑑𝜎𝑥 = −𝛾
𝐴𝑑𝑥
𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥
= −𝛾
A
න0
𝐿
𝑑𝜎𝑥 = −𝛾
𝐴න0
𝐿
𝑑𝑥 𝜎𝑥 = −𝛾
𝐴(𝐿 − 𝑥)
𝟎
x
y
L
Ry
RxMr
X = L
A (10 mm2)
o
𝜎𝑥0 = −𝛾
𝐴(𝐿) 𝜎𝑥𝐿 = 0
𝜎𝑥 (𝐿) = 0
58
59
PMR-3307
Exercício 3
➢ Diagramas de esforços
𝜎𝑥 (𝐿) = 0
x
y
L
Ry
RxMr
X = L
A (10 mm2)
o
M Vo o o
MomentoForça
cortante
𝜎𝑥 o 𝑣
Força axial Flexão
FIM DA AULA 01
Próximas aula
3ª feira - Teorias de Falha: Falha por impacto – Prof. Nicola;
6ª feira - Comportamento mecânico dos materiais– Prof. Rodrigo
PMR-3307
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