Elliptische Integrale und Funktionen nachJ
CopyrightŠ 2004â2015 Ralf Hoppe
Revision : 295
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Elliptische Integrale 52.1 Unvollständiges elliptisches Integral erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Spezielle Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Spezielle Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.4 Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.5 Erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.6 Zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.7 Imaginäre Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Vollständiges elliptisches Integral erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Inhaltsverzeichnis
2.2.2 Spezielle Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 G-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Elliptische Funktionen 153.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Spezielle Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Spezielle Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5 Erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Doppelte Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.9 Halbe Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.10 Imaginäre Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.11 Komplexe Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.12 Ănderung des Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Modultransformationen 344.1 EinfĂźhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Rationale LĂśsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Elliptische LĂśsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Die Transformationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Transformationen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.1 Imaginäre Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.2 Reelle Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Quadratische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.7.1 L-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7.2 G-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.8 Erste elliptische Haupttransformation, n ungerade . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8.1 Periodenbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8.2 Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.8.3 Rationale LÜsungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8.4 Nullstellen (Koeffizienten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.8.5 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8.6 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.8.7 Beziehungen fßr die elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 674.8.8 Der Multiplikator M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8.9 Das Modul Ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.8.10 Das komplementäre Modul ΝⲠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9 Erste elliptische Haupttransformation, n gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.9.1 Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.9.2 Rationale LĂśsungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2
Abbildungsverzeichnis
4.9.3 Nullstellen (Koeffizienten), Pole und Extremwerte . . . . . . . . . . . 754.9.4 Beziehungen fßr die elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 754.9.5 Das Modul Ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.9.6 Der Multiplikator M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.9.7 Das komplementäre Modul kⲠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.10 Zweite elliptische Haupttransformation, n ungerade . . . . . . . . . . . . . . . 834.10.1 Periodenbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.10.2 Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.10.3 Rationale LÜsungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.10.4 Nullstellen (Koeffizienten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.10.5 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.10.6 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.10.7 Beziehung fßr sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.10.8 Der Multiplikator M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.10.9 Das Modul ΝⲠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.11 Zweite elliptische Haupttransformation, n gerade . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Numerische Berechnungen 925.1 Der AGM-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2 Vollständiges Elliptisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Unvollständiges Elliptisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4 Elliptischer Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Sâs drittes Problem 102
Abbildungsverzeichnis
1 F(Ď; k) fĂźr verschiedene Module k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 F(Ď; k) im Intervall 0 â¤ Ď â¤ 4Ď . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Funktionsverlauf des Integranden (1â k2 sin2Ď)â1/2 . . . . . . . . . . . . . . . 114 K, KⲠund K/KⲠals Funktion des Moduls k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Elliptische Basisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Eine Periode des elliptischen Sinusâ sn(Îą+ jβ; k) . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Eine Periode der elliptischen Delta-Amplitude dn(Îą+ jβ; k) . . . . . . . . . . 298 Elliptischer Sinus sn
[
Re(u)+ j Im(u); k]
mit Parameterlinien . . . . . . . . . . 409 Gitter rein imaginärer/reeller Werte fßr y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110 LÜsung der L-Transformation y = f (x; k) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211 L-Transformation in Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12 Modultransformation Îť =1â kâ˛
1+ kâ˛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13 Verlauf fĂźr x und y im Intervall âK ⤠u ⤠K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6214 Verlauf von u in der komplexen Ebene (n = 7, ungerade) . . . . . . . . . . . . 6315 Erste elliptische Haupttransformation fĂźr n = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6416 Verlauf von u in der komplexen Ebene (n = 6, gerade) . . . . . . . . . . . . . . 73
3
Tabellenverzeichnis
17 Erste elliptische Haupttransformation fĂźr n = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7418 Parameterdarstellung der 2. elliptischen Transformation (n = 3) . . . . . . . . . 8419 Zweite elliptische Haupttransformation (n = 7) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8520 Zweite elliptische Haupttransformation fĂźr n = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 9121 Toleranzschema fĂźr | f (x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Tabellenverzeichnis
1 Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 302 Elliptischer Sinus auf dem Gitter ΡK+jÎśKⲠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Elliptische Funktionen bei Ănderung des Arguments . . . . . . . . . . . . . . 334 Perioden der elliptischen Basisfunktionen [AS72, 16.2] . . . . . . . . . . . . . 335 Funktionswerte x, y fĂźr C = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Funktionswerte x, y fĂźr C = Ί/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Algorithmenverzeichnis
1 Numerische Berechnung von K(k) mittels AGM . . . . . . . . . . . . . . . . . 972 Numerische Berechnung von x = sn(u; k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Symbolverzeichnis
E(Ď; k) Unvollständiges ell. Integral zweiter Art (Lâsche Normalform)
F(Ď; k) Unvollständiges ell. Integral erster Art (Lâsche Normalform)
Fâ(x; k) Unvollständiges ell. Integral erster Art (J-Form)
gd(x) G-Funktion (gd x = arctan(sinh x))
K(k) Vollständiges ell. Integral erster Art
Î (Ď; k; n) Unvollständiges ell. Integral dritter Art (Lâsche Normalform)
1 Einleitung
Dieser Teil behandelt grundlegende Eigenschaften des vollständigen und unvollständigen el-liptischen Integrals erster Art sowie der Jâschen elliptischen Funktionen. Leider ist die(fĂźr den Ingenieur zumutbare) deutschsprachige Literatur zu diesen Themen nicht unbedingt
4
2 Elliptische Integrale
zahlreich, so daĂ sich viele Quellenverweise auf ältere oder englischsprachige Werke bezie-hen.1 Als Ăbersichten sind hier vor allem [WW27, Pil54] und natĂźrlich [AS72] zu nennen,weitere Tafeln und ansprechende Abbildungen enthält z. B. [JE52]. AusschlieĂlich diesemspeziellen Thema widmen sich [Ach70], [Tri48] und (nebst einer EinfĂźhrung in die Funk-tionentheorie) auch [Hur00]. Weitere Details mit einer Unmenge von Formeln findet man un-ter anderem in [Cay76] und [Web91]. Alle diese Quellen befassen sich (in unterschiedlicherTiefe) auch mit der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen, in [Koe74] wird vondoppelt-periodischen Funktionen im Allgemeinen ausgegangen. Nicht zu vergessen seien au-Ăerdem [Jac29] bzw. [BW91] sowie [Leg28], welche als Ursprungswerke anzusehen sind.
Alle im weiteren dargelegten Beweise stĂźtzen sich fast ausschlieĂlich auf die bekannten Grund-regeln der hĂśheren Mathematik und sollten deshalb fĂźr Ingenieure technischer Fachrichtungennachvollziehbar sein.2
2 Elliptische Integrale
Elliptische Integrale sind Integrale der FormâŤ
R(w, x)dx, wobei R eine rationale Funktion vonw und x, w2 dagegen eine kubische oder biquadratische Funktion von x ist.3 Alle diese Parame-terintegrale lassen sich auf drei Grundformen reduzieren, die man das Lâsche Normalin-tegral erster Art F(Ď; k), zweiter Art E(Ď; k) und dritter Art Î (Ď; k; n) nennt [AS72, 17.4.41 ff.],[Tri48, II, § 3], [Hur00, II-6, § 2].
F(Ď; k) =
⍠Ď
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
E(Ď; k) =
⍠Ď
0
â
1â k2 sin2ĎdĎ
Î (Ď; k; n) =
⍠Ď
0
dĎ
(1+nsin2Ď)â
1â k2 sin2Ď
Der allen gemeinsame Parameter k wird Modul genannt. AuĂerdem ist mit
kⲠ=â
1â k2 (1)
1Einige der zitierten BĂźcher sind dafĂźr aber als Online-Ausgabe der FranzĂśsischen Nationalbibliothek http://gallica.bnf.fr im Internet einsehbar.
2Insbesondere wurde auf die EinfĂźhrung der Theta- sowie WĂâschen Funktionen, welche von vielen Auto-ren gern zur eleganten BeweisfĂźhrung verwendet werden, verzichtet (siehe z. B. in [Hur00] und [Ach70]).
3Diese Integrale haben ihren Namen wegen der Rolle, die sie bei der Berechnung von EllipsengrĂśĂen (insbesondereder Bogenlänge) spielen.
5
2 Elliptische Integrale
ein komplementäres Modul definiert. Als hilfreich erweisen sich in vielen Fällen auch die bino-mischen Darstellungen des Moduls.
k2 = (1â kâ˛)(1+ kâ˛) kâ˛2 = (1â k)(1+ k) (2)
2.1 Unvollständiges elliptisches Integral erster Art
2.1.1 Definition
Lâsche Normalform Das unvollständige elliptische Integral erster Art ist in seinerL-Form folgendermaĂen definiert
F(Ď; k) =
⍠Ď
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
, (3)
wobei mit k das Modul und Ď die Amplitude bezeichnet wird.
J-Form Mit der Substitution t = sinĎ in Gleichung 3 gelangt man zu der von C.G.J. Jbevorzugten Form.
F(Ď; k) =
⍠x
0
dtâ
(1â t2)(1â k2t2), x = sinĎ (4)
Beweis. Einsetzen der Substitution sowie der Ableitung dt/dĎ = cosĎ in Definitionsgleichung 3fĂźhrt sofort zum Ergebnis
F(Ď; k) =
⍠Ď
Ď=0
dt
cosĎâ
1â k2 sin2Ď
=
⍠sinĎ
0
dtâ
(1â t2)(1â k2t2).
Um im weiteren die Eindeutigkeit zu gewährleisten und auĂerdem eine einfache Schreibweisedes Integrals bei Verwendung des Argumentes x zu erhalten, soll auĂerdem definiert sein:
6
2 Elliptische Integrale
Fâ(x; k) =
⍠x
0
dtâ
(1â t2)(1â k2t2). (5)
Râsche Normalform Eine weitere, heute nicht mehr so geläufige Form, ist die R-âsche Form. Sie kommt zustande, wenn man in der Jâschen Darstellung nach Glei-chung 5 den Term t2 = Ξ substituiert. Mit dem zugehĂśrigen Differential dΞ = 2tdt ergibt sichso
Fâ(x; k) =
1
2
âŤ
âx
0
dΞâ
Ξ(1â Ξ)(1â k2Ξ)
und letztlich (die nicht besonders gekennzeichnete) Râsche Normalform des Integrals.
âŤ
dΞâ
Ξ(1â Ξ)(1â k2Ξ)
G-Form Eine von C.F. G intensiv verwendete Form des elliptischen Integrals ersterArt4 ist
⍠w
0
dtâ
(t2+a2)(t2+b2)=
1
aF(Ď; k), w = b tanĎ (6)
mit dem Modul
k =
â
1â(
b
a
)2
(7)
sowie dem komplementären Modul (konform zu Definitionsgleichung 1)
kⲠ=â
1â k2 =b
a. (8)
Beweis. Um dieses Integral auf F(Ď; k) zurĂźckzufĂźhren, wird zuerst eine passende Substitutionnach [AS72, 17.4.41 ff.] gewählt
tanĎ =t
b(9)
4Weitere Integrale dieser Art, die alle Vorzeichenkombinationen der Summanden abdecken, sind in [AS72,17.4.41 ff.] zu finden.
7
2 Elliptische Integrale
und dann mit Hilfe von (tanĎ)Ⲡ= 1+ tan2Ď = cosâ2Ď die Ableitung dt/dĎ gebildet.
dt
dĎ= b(1+ tan2Ď) =
b
cos2Ď
Einsetzen in das Ausgangsintegral ergibt
⍠w
0
dtâ
(t2+a2)(t2+b2)=
⍠Ď
0
dĎâ
a2 cos2Ď+b2 sin2Ď
=1
a
⍠Ď
0
dĎâ
1â (1âb2/a2) sin2Ď
. (10)
Vergleich mit Formel 3 zeigt, daĂ es sich hier um das unbestimmte elliptische Integral erster Artaâ1F(Ď; k) handelt.5
Lâsche Normalform mit Modulwinkel Manchmal wird das elliptische Integral ersterArt auch Ăźber den sogenannten Modulwinkel Î, mit k = sinÎ, angegeben.6
F(Ď; Î) =
⍠Ď
0
dĎâ
1â sin2Îsin2Ď
2.1.2 Spezielle Werte
Der Funktionswert fĂźr Ď = 0 ist trivial und direkt aus Definitionsgleichung 3 ersichtlich.
F(0; k) = 0
FĂźr Ď = Ď/2 entartet die Funktion zum vollständigen elliptischen Integral erster Art K(k), wobeik dann die Rolle des Arguments Ăźbernimmt (vgl. Abschnitt 2.2).
F(Ď2 ; k) =
⍠Ď2
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
= K(k) (11)
Der Funktionswert bei Ď = Ď ergibt sich auf dieser Grundlage zu 2K(k).
5Ein Vergleich mit Formel 5 fĂźhrt zur Relation w = bx (1â x2)â1/2.6Diese Schreibweise ist in der elektrischen Filtertheorie recht verbreitet [Cau54], [Zve67].
8
2 Elliptische Integrale
Beweis.
F(Ď; k) =
⍠Ď
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
=
⍠Ď2
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
+
⍠Ď
Ď2
dĎâ
1â k2 sin2Ď
= K(k)â⍠Ď
2
0
dĎâ
1â k2 sin2(Ď+Ď)
= 2K(k)
2.1.3 Spezielle Module
FĂźr spezielle Module sind geschlossene LĂśsungen des Integrals mĂśglich.
F(Ď; 0) =
⍠Ď
0dĎ = Ď (12)
F(Ď; 1) =
⍠Ď
0
dĎ
cosĎ=
⍠Ď
0secĎdĎ = ln
âŁ
âŁ
âŁ
âŁ
âŁ
tan(
Ď
2+Ď
4
)
âŁ
âŁ
âŁ
âŁ
âŁ
(13)
2.1.4 Funktionsverlauf
Zuerst sei auf Abbildung 1 verwiesen, die F(Ď; k) im Intervall 0⤠Ď⤠Ď/2 darstellt. Relativ leichtnachzuweisen ist, daĂ F(Ď; k) eine ungerade Funktion ist.
Beweis. Mit der Substitution âĎ = Ď in der Definitionsgleichung des Integrals kann man schnellbeweisen, daĂ F(âĎ; k) = âF(Ď; k) gilt.
F(âĎ; k) =
⍠âĎ
Ď=0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
=
⍠Ď
Ď=0
âdĎâ
1â k2 sin2Ď
= âF(Ď; k)
F(Ď; k) ist fĂźr alle Ď eine monoton steigende Funktion. Die BegrĂźndung liegt in Gleichung 16,der ersten Ableitung von F(Ď; k). FĂźr kleine Werte k gilt F(Ď; k) â 2
ĎĎK(k), was sich direkt aus
Abbildung 1 ablesen läĂt, wenn man auĂerdem Gleichung 11 berĂźcksichtigt.
9
2 Elliptische Integrale
Ď
Ď
Ď
Ď/4 Ď/2
F( ; 0.9)
F( ; 0.5)
F( ; 0.1)
0
0
1.0
2.0
Abbildung 1: F(Ď; k) fĂźr verschiedene Module k
Eine besondere Bedeutung im Zusammenhang mit den elliptischen Funktionen (Abschnitt 3) hatfolgende Relation, die auch in Abbildung 2 erkennbar ist.
F(Ď+nĎ; k) = F(Ď; k)+2nK(k) (14)
Beweis. Sie ergibt sich, wenn man mit n = 1 beginnt und dann iterativ fortsetzt.
F(Ď+Ď; k) =
⍠Ď+Ď
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
=
⍠Ď
âĎ
dĎâ
1â k2 sin2(Ď+Ď)
=
⍠Ď
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
â⍠âĎ
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
= F(Ď; k)+F(Ď; k)
= F(Ď; k)+2K(k) (15)
AuĂerdem ist Gleichung 14 eine logische SchluĂfolgerung, wenn man wie gewohnt das Integralals Fläche unter der periodischen Kurve (1â k2 sin2Ď)â1/2 interpretiert (vgl. Abbildung 3).
10
2 Elliptische Integrale
8K
4K
2K
00 Ď 4Ď3Ď2Ď
K
3K
5K
7K
6K
Abbildung 2: F(Ď; k) im Intervall 0 â¤ Ď â¤ 4Ď
Ď2â2Ď âĎ Ď
1/kâ
1.5
1.0
0.5
0
0
Abbildung 3: Funktionsverlauf des Integranden (1â k2 sin2Ď)â1/2
11
2 Elliptische Integrale
Aus der zweiten Ableitung nach Gleichung 17 und dem Funktionsverlauf entsprechend Abbil-dung 2 ist ersichtlich, daĂ die Wendepunkte bei Ď ÂˇĎ/2 mit Ď â Z liegen.
2.1.5 Erste Ableitung
Das Differential von F(Ď; k) ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung7
Fâ˛(Ď; k) =1
â
1â k2 sin2Ď
. (16)
2.1.6 Zweite Ableitung
Nochmaliges Differenzieren der ersten Ableitung Fâ˛(Ď; k) ergibt
Fâ˛â˛(Ď; k) = â1
2(1â k2 sin2Ď)â
32 (â2k2 sinĎcosĎ)
=k2
2Fâ˛(Ď; k) sin2Ď . (17)
2.1.7 Imaginäre Argumente
Fßr imaginäre Argumente entartet das unvollständige elliptische Integral zu
F(jΞ; k) = jF[
arctan(sinhΞ); kâ˛]
. (18)
Beweis. Einsetzen des imaginären Arguments im Sinne von Ď = jΞ in Definitionsgleichung 3fĂźhrt zu
F(jΞ; k) =
⍠jΞ
Ď=0
dĎâ
1â (1â kâ˛2) sin2Ď
.
Mit der (im Intervall |Ď| ⤠Ď/2) eindeutigen Substitution
sinĎ = j tanθ (19)
und deren Ableitung dĎ/dθ = j/cosθ kann man das Differential dĎ/â
1â k2 sin2Ď relativ einfachmit Hilfe des komplementären Moduls kⲠausdrĂźcken.8
7 ddx
⍠x
af (Ξ)dΞ = f (x)
8Gleichung 19 stellt im Prinzip Jâs imaginäre Transformation dar.
12
2 Elliptische Integrale
F(Ď; k) =
⍠sinĎ=sinĎ
sinĎ=0
jdθ
cosθâ
1+ (1â kâ˛2) tan2 θ
= j
⍠j tanθ=sin jΞ
tanθ=0
dθâ
cos2 θ+ (1â kâ˛2) sin2 θ
= j
⍠arctan(sinhΞ)
0
dθâ
1â kâ˛2 sin2 θ(20)
Schreibt man die rechte Seite von Gleichung 18 mit Hilfe der G-Funktion gdΞ =arctan(sinhΞ), dann gilt entsprechend:
F(jΞ; k) = jF(gdΞ; kâ˛) .
2.2 Vollständiges elliptisches Integral erster Art
2.2.1 Definition
Das vollständige elliptische Integral erster Art wird meist in den folgenden drei Formen, die sichdurch die Art des Arguments unterscheiden, angegeben:
K(k) =
⍠1
0
dtâ
(1â t2)(1â k2t2), 0 ⤠|k| ⤠1 (21)
K(m) =
⍠1
0
dtâ
(1â t2)(1âmt2), 0 ⤠m ⤠1 (22)
K(Ď) =
⍠1
0
dtâ
(1â t2)(1â t2 sin2Ď), âĎ
2â¤ Ď â¤ Ď
2(23)
Häufig ist auch die Darstellung in der Lâschen Normalform nach Gleichung 24, die sichwieder mit der Substitution t = sinĎ aus Definitionsgleichung 21 ergibt.
K(k) =
⍠Ď2
0
dĎâ
1â k2 sin2Ď
(24)
13
2 Elliptische Integrale
k
2Ď
Ď
3/2Ď
Ď/2
0.00.750.500.250.0
K/Kâ
K
Kâ
1.0
Abbildung 4: K, KⲠund K/KⲠals Funktion des Moduls k
Von Bedeutung ist auch das komplementäre elliptische Integral Kâ˛.
KⲠ= K(
kâ˛)
= K(
â
1â k2)
(25)
2.2.2 Spezielle Werte
K(0) =
⍠Ď2
0dĎ =
Ď
2= KⲠ(1) (26)
K(1) =
⍠Ď2
0
dĎ
cosĎ=â = KⲠ(0)
2.2.3 Funktionsverlauf
Die Funktionsverläufe von K und KⲠsowie das Verhältnis beider Integrale fßr reelles Argumentk sind in Abbildung 4 dargestellt.
2.2.4 G-Form
Eine schon in Abschnitt 2.1 mit Hinweis auf C.F. G eingefĂźhrte Variante dieses Integraltypsist
14
3 Elliptische Funktionen
⍠â
x=0
dxâ
(x2+a2)(x2+b2). (27)
Wie schon in Gleichung 6 kann es auch dargestellt werden als
⍠â
x=0
dxâ
(x2+a2)(x2+b2)=
1
a
⍠Ď2
0
dĎâ
1â (1âb2/a2) sin2Ď
=1
aF
Ď
2;
â
1â(
b
a
)2
=1
aK
â
1â(
b
a
)2
. (28)
Mit dem Modul entsprechend Gleichung 7 ergibt sich die Ăquivalenz
⍠â
0
dxâ
(x2+a2)(x2+b2)=
1
2
⍠â
ââ
dxâ
(x2+a2)(x2+b2)=
1
aK(k) .
3 Elliptische Funktionen
3.1 Definition
Die Definition der Jâschen elliptischen Funktionen ist eng verknĂźpft mit der Umkehrfunk-tion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art u = F(Ď; k) in seiner LâschenNormalform nach Gleichung 3, der sogenannten Amplitudenfunktion.
Ď = am(u; k) . (29)
Mit Hilfe von am(u; k) kĂśnnen die drei elliptischen Basisfunktionen Sinus Amplitudinis sn, Co-sinus Amplitudinis cn und Delta Amplitudinis dn folgendermaĂen angegeben werden [Jac29,§ 17]:
sn(u; k) = sin[am(u; k)] = sinĎ = x (30)
cn(u; k) = cos[am(u; k)] = cosĎ =â
1â sin2Ď =â
1â x2 (31)
dn(u; k) = â am(u; k) = â(Ď; k) =â
1â k2 sin2Ď =â
1â k2x2 . (32)
15
3 Elliptische Funktionen
Nahezu direkt ablesbar sind die wichtigen Beziehungen:
sn2(u; k)+ cn2(u; k) = 1 (33)
dn2(u; k)+ k2sn2(u; k) = 1 . (34)
Ăber das komplementäre Modul kⲠ=â
1â k2 sind weitere nĂźtzliche Identitäten zu ermitteln.
k2cn2(u; k)+ kâ˛2 = dn2(u; k) (35)
cn2(u; k)+ kâ˛2sn2(u; k) = dn2(u; k) (36)
Gleichung 30 läĂt nun auch die folgende neue Darstellung des unvollständigen elliptischen In-tegrals entsprechend Definitionsgleichung 5 zu.
u = Fâ(x; k) =
⍠sn(u; k)
0
dtâ
(1â t2)(1â k2t2)(37)
Von den drei Basisfunktionen sind alle weiteren Jâschen elliptischen Funktionen folgender-maĂen abgeleitet:9 die mit den Buchstaben pq abgekĂźrzte Funktion ist definiert als der Quotientder Basisfunktionen p und q. Dabei kĂśnnen p und q mit folgenden Buchstaben besetzt sein:s (sn), c (cn), d (dn), n (1), was zu 9 Varianten fĂźhrt.
sc(u; k) =sn(u; k)
cn(u; k)sd(u; k) =
sn(u; k)
dn(u; k)ns(u; k) =
1
sn(u; k)
cs(u; k) =cn(u; k)
sn(u; k)cd(u; k) =
cn(u; k)
dn(u; k)nc(u; k) =
1
cn(u; k)
ds(u; k) =dn(u; k)
sn(u; k)dc(u; k) =
dn(u; k)
cn(u; k)nd(u; k) =
1
dn(u; k)
3.2 Spezielle Werte
Die speziellen Werte fĂźr die drei elliptischen Basisfunktionen ergeben sich direkt aus denen derAmplitudenfunktion am(u; k),
9Diese heutige kurze Notation stammt von W.L. G und C. G.
16
3 Elliptische Funktionen
am(0; k) = 0
am(K; k) =Ď
2am(2K; k) = Ď
am(2nK; k) = nĎ
welche sich selbst wiederum (im Sinne ihrer Definition als Umkehrfunktion) aus den speziellenWerten von F(Ď; k) ergeben (vgl. Abschnitt 2.1).
sn(0; k) = 0 cn(0; k) = 1 dn(0; k) = 1
sn(K; k) = 1 cn(K; k) = 0 dn(K; k) =â
1â k2 = kâ˛
sn(2K; k) = 0 cn(2K; k) = â1 dn(2K; k) = 1
sn(3K; k) = â1 cn(3K; k) = 0 dn(3K; k) = kâ˛
Aus den Formeln fĂźr halbe Argumente (siehe Gleichung 54) kann man die Werte fĂźr u = K/2ermitteln.
sn(
K2 ; k
)
=1
â1+ kâ˛
=cn(K/2; k)
dn(K/2; k)(38)
cn(
K2 ; k
)
=
â
kâ˛
1+ kâ˛
dn(
K2 ; k
)
=âkâ˛
3.3 Spezielle Module
Die folgenden speziellen Werte fĂźr das Modul k ergeben sich direkt aus den Gleichungen 12und 13.10
sn(u; 1) = tanhu
cn(u; 1) = sechu =1
coshudn(u; 1) = sechu
Fßr verschwindendes Modul erhält man
10Ursache ist, daĂ das unvollständige elliptische Integral erster Art F(Ď; k) fĂźr k = 0 und k = 1 entartet (siehe Ab-schnitt 2).
17
3 Elliptische Funktionen
dn(u; k)
cn(u; k)
sn(u; k)
uâ1.0
â0.5
0.5
1.0
kâ
0
â2K âK 0 K 2K
Abbildung 5: Elliptische Basisfunktionen
sn(u; 0) = sinu
cn(u; 0) = cosu
dn(u; 0) = 1 .
3.4 Funktionsverlauf
Durch die Anwendung der trigonometrischen Funktionen auf die Amplitudenfunktion am(u; k)und wegen Gleichung 14 sind alle elliptischen Funktionen periodisch. Wie Abbildung 5 illu-striert, ist dabei K = K(k) entweder die sogenannte (reelle) Halb- oder Viertelperiode.11 DieFunktionsverläufe aller anderen Jâschen elliptischen Funktionen sind zum Beispiel in [AS72]zu finden.
Zu bemerken ist an dieser Stelle, daĂ anders als bei den trigonometrischen Funktionen im allge-meinen immer gilt sn(u+K; k) , cn(u; k).
11In Analogie zu den einfach-periodischen Funktionen, wie z. B. sin x und cos x, deren Perioden bekanntlich 2Ď betra-gen, ist es bei doppelt-periodischen Funktionen (insbesondere den Wâschen elliptischen â-Funktionen)meist Ăźblich, die Periode mit 2Ď zu bezeichnen [WW27, § 20¡1], [Tri48, I, § 2].
18
3 Elliptische Funktionen
3.5 Erste Ableitung
Um die Ableitung von sn(u; k) zu bestimmen soll zuerst das Differential der Amplitudenfunktionam(u; k) ermittelt werden. Unter BerĂźcksichtigung von Gleichung 16 ergibt sich im Zusammen-hang mit der Regel fĂźr die Ableitung einer Umkehrfunktion:
amâ˛(u; k) =1
Fâ˛(u; k)=
â
1â k2 sin2 u .
Nun kann mit Hilfe der Kettenregel weiter abgeleitet werden.
snâ˛(u; k) =d
dusinam(u; k)
= cosam(u; k) ¡ amâ˛(u; k)
= cn(u; k)â
1â k2 sin2 u
= cn(u; k)dn(u; k) (39)
Die erste Ableitung fĂźr cn(u; k) kann entweder in gleicher Art und Weise ermittelt werden, oderaber wie in [Koe74, 19] durch direkte Differentiation von Gleichung 33.
0 =d
dusn2(u; k)+
d
ducn2(u; k)
0 = sn(u; k)snâ˛(u; k)+ cn(u; k)cnâ˛(u; k)
0 = sn(u; k)cn(u; k)dn(u; k)+ cn(u; k)cnâ˛(u; k)
cnâ˛(u; k) = âsn(u; k)dn(u; k)
Fßr dn(u; k) kann wieder äquivalent vorgegangen werden, nur Ausgangspunkt ist diesmal Glei-chung 34.
0 =d
dudn2(u; k)+ k2 d
dusn2(u; k)
0 = dn(u; k)dnâ˛(u; k)+ k2sn(u; k)snâ˛(u; k)
0 = dn(u; k)dnâ˛(u; k)+ k2sn(u; k)cn(u; k)dn(u; k)
dnâ˛(u; k) = âk2sn(u; k)cn(u; k)
Mit x = sn(u; k) entsprechend der Definitionsgleichung 30 des elliptischen Sinusâ sowie denRelationen 33 und 34 lassen sich auĂerdem folgende Darstellungen angeben.
xâ˛2 = (1â x2)(1â k2x2), x = sn(u; k)
xâ˛2 = (1â x2)(kâ˛2+ k2x2), x = cn(u; k)
xâ˛2 = (1â x2)(x2â kâ˛2), x = dn(u; k)
19
3 Elliptische Funktionen
3.6 Zweite Ableitung
FĂźr den elliptischen Sinus sei hier noch exemplarisch die zweite Ableitung entwickelt.
snâ˛â˛(u; k) =d
ducn(u; k)dn(u; k)
= dn(u; k)cnâ˛(u; k)+ cn(u; k)dnâ˛(u; k)
= âdn(u; k)sn(u; k)dn(u; k)â k2cn(u; k)sn(u; k)cn(u; k)
= âsn(u; k)[
dn2(u; k)+ k2cn2(u; k)]
In gleicher Art und Weise ergibt sich fĂźr die anderen beiden Funktionen
cnâ˛â˛(u; k) = âcn(u; k)[
dn2(u; k)â k2sn2(u; k)]
dnâ˛â˛(u; k) = k2dn(u; k)[
sn2(u; k)â cn2(u; k)]
.
Wie fĂźr die erste Ableitung auch, kann man die Gleichungen ebenfalls auf der Basis von x
schreiben.
xâ˛â˛2 = âx(1+ k2â2k2x2), x = sn(u; k)
xâ˛â˛2 = âx(1â2k2+2k2x2), x = cn(u; k)
xâ˛â˛2 = x(2â k2â2x2), x = dn(u; k)
3.7 Additionstheoreme
Die Additionstheoreme der elliptischen Funktionen haben grundlegende Bedeutung fĂźr vieleweitere Formeln. Deshalb haben zahlreiche Mathematiker des 18. und 19. Jahrhunderts, unteranderem A.-M. L, C.G.J. J, J. L und C.F. G, sich mit dem Beweis dieserGleichungen beschäftigt.12 Zuerst hat jedoch L. E im Jahre 1756/57 das Additionstheoremdes elliptischen Sinusâ (E-Theorem) bewiesen [WW27, § 22¡2], [Hur00, II-3].
sn(u+ v) =snucnvdnv+ snvcnudnu
1â k2 sn2 usn2 v(40)
Beweis. Der hier dargelegte Beweis folgt (wie auch [Ach70, § 28]) in wesentlichen Schrittenden Ausfßhrungen von J.G. D. Als Ausgangspunkt dient dabei die Differentialgleichungder Transformationstheorie (Formel 69 fßr den Fall Ν = k und M = 1),
12In [Cay76, II] sind einige der Beweiswege enthalten.
20
3 Elliptische Funktionen
M dθâ
1âÎť2 sin2 θ=
dĎâ
1â k2 sin2Ď
dxâ
(1â x2)(1â k2x2)=
dyâ
(1â y2)(1â k2y2)
fĂźr die hier eine LĂśsung gefunden werden soll. Genauso wie in Abschnitt 4.5 erweist es sich alsgĂźnstig zur Parameterform des Differentials Ăźberzugehen.
du =dx
â
(1â x2)(1â k2x2)=
dyâ
(1â y2)(1â k2y2)(41)
Die einzelnen Ableitungen nach u kann man integrieren
dx
du=
â
(1â x2)(1â k2x2)dy
du=
â
(1â y2)(1â k2y2)
u =
⍠x
0
dxâ
(1â x2)(1â k2x2)= F
â(x; k) v = uâA =
⍠y
0
dyâ
(1â y2)(1â k2y2)= F
â(y; k) (42)
und (bei BerĂźcksichtigung der Integrationskonstante A) Gleichung 41 auch darstellen als:
uâ v = A .
Nach diesen einfachen Vorbetrachtungen differenziert man nun das Quadrat der Ableitungendx/du sowie dy/du in den Gleichungen 42 nocheinmal nach u, also folgendermaĂen:
d
du
d
du
(
dx
du
)2
=d
du
[
(1â x2)(1â k2x2)]
2dx
du
d2x
du2= â2x
dx
du(1â k2x2)â2xk2 dx
du(1â x2)
d2x
du2= x(2k2x2â k2â1) .
Auf dem gleichen Weg gelangt man zu:
d2y
du2= y(2k2y2â k2â1) .
Stellt man die zuletzt gewonnenen Formeln nach 1+k2 um und setzt sie nach Multiplikation mitxy beide gleich, so erhält man das folgende wichtige Zwischenergebnis
21
3 Elliptische Funktionen
2k2x2xyâ yd2x
du2= 2k2y2xyâ x
d2y
du2
yd2x
du2â x
d2y
du2= 2k2xy(x2â y2)
d
du
(
ydx
duâ xdy
du
)
= 2k2xy(x2â y2) . (43)
Jetzt soll unabhängig davon der Ausdruck
y2
(
dx
du
)2
â x2
(
dy
du
)2
bestimmt werden. Einsetzen der Ableitungen von 42 gefolgt von Ausmultiplizieren und Zusam-menfassen fßhrt zur nächsten Zwischengleichung.
y2
(
dx
du
)2
â x2
(
dy
du
)2
= y2(1â x2)(1â k2x2)â x2(1â y2)(1â k2y2)
= y2+ k2y2x4â x2â k2x2y4
= (y2â x2)(1â k2x2y2) (44)
Nun dividiert man Gleichung 43 durch die soeben entwickelte und wendet auf den linken Nennerden binomischen Satz an.
ddu
(
y dxdu â x
dydu
)
y2(
dxdu
)2â x2
(
dydu
)2=
2k2xy(x2â y2)
(y2â x2)(1â k2x2y2)
ddu
(
y dxdu â x
dydu
)
y dxdu â x
dydu
=2k2xy(x2â y2)(y dx
du + xdydu )
(y2â x2)(1â k2x2y2)
ddu
(
y dxdu â x
dydu
)
y dxdu â x
dydu
=2k2xy(y dx
du + xdydu )
(k2x2y2â1)
Es ist zu erkennen, daà auf beiden Seiten Zähler und Nenner dem logarithmischen Differentiati-onssatz
[
ln f (u)]â˛= f â˛(u)/ f (u) entsprechen.13
d
duln
(
ydx
duâ xdy
du
)
=d
duln
(
k2x2y2â1)
13FĂźr die rechte Seite gilt bei Anwendung der Produktregel ddu (k2x2y2 â 1) = k2
(
2x dxduy
2 +2y dydu x
2)
=
2k2xy(
y dxdu + x
dydu
)
22
3 Elliptische Funktionen
Integration nach u und Einsetzen der Differentiale von Gleichung 42 fĂźhrt zu
ln
(
ydx
duâ x
dy
du
)
= ln(
k2x2y2â1)
+B
ydx
duâ x
dy
du=C
(
k2x2y2â1)
ydx
duâ xdy
du=C
(
k2x2y2â1)
,
also
yâ
(1â x2)(1â k2x2)â xâ
(1â y2)(1â k2y2)
k2x2y2â1=C .
Mitâ
(1â x2)(1â k2x2) = cn(u; k)dn(u; k) undâ
(1â y2)(1â k2y2) = cn(v; k)dn(v; k) nach Defi-nitionsgleichung 32 und 30 gilt also:
C =snvcnudnuâ snucnvdnv
k2x2y2â1.
Die Konstante C muĂ nun aber eine Funktion von A sein, also C = Ď(A) = Ď(uâ v) gelten. Umdie Form von Ď zu finden kann man z. B. v = 0 setzen, was zu C = sn(u; k) = Ď(u) fĂźhrt. Also istdie Form von Ď der elliptische Sinus und somit ist der Beweis auf der Grundlage des folgendenSubtraktionstheorems erbracht.
sn(uâ v) =snvcnudnuâ snucnvdnv
k2x2y2â1
Die beiden anderen elliptischen Basisfunktionen sind entweder genauso oder aber aus ihrenDefinitionsgleichungen abzuleiten. Hier wird jedoch darauf verzichtet und statt dessen nur dasErgebnis präsentiert (wobei in den Formeln wieder auf das Modul k verzichtet wird).
cn(u+ v) =cnucnvâ snudnusnvdnv
1â k2 sn2 usn2 v(45)
dn(u+ v) =dnudnvâ k2 snucnusnvcnv
1â k2 sn2 usn2 v(46)
ĂuĂerst interessant sind auch die daraus abgeleiteten Relationen14 fĂźr den elliptischen Sinus
14In [Cay76, § 93] und [Web91, § 93] sind zahlreiche Relationen dieser Art tabelliert.
23
3 Elliptische Funktionen
sn(u+a) sn(uâa) =sn2 uâ sn2 a
1â k2 sn2 usn2 a(47)
[1â sn(u+a)] [1â sn(uâa)] =(cnaâ snudna)2
1â k2 sn2 usn2 a(48)
[1â k sn(u+a)] [1â k sn(uâa)] =(dnaâ k snucna)2
1â k2 sn2 usn2 a(49)
die insbesondere in der Transformationstheorie häufig auch in folgender Form anzutreffen sind(mit sn(K âa) = cna/dna, vgl. Tabelle 3)
[1â sn(u+a)] [1â sn(uâa)]
cn2 a=
[
1â snusn(Kâa)
]2
1â k2 sn2 usn2 a
[1â k sn(u+a)] [1â k sn(uâa)]
dn2 a=
[1â snusn(K âa)]2
1â k2 sn2 usn2 a.
Im Zusammenhang mit den quadratischen Transformationen ist auch folgende Relation interes-sant
(1+ kâ˛) sn(
uâK
2
)
sn(
u+K
2
)
= â1â (1+ kâ˛) sn2 u
1â (1â kâ˛) sn2 u. (50)
Beweis. Es handelt sich hier um einen Spezialfall von Formel 47 mit a = K/2.
(1+ kâ˛) sn(
uâ K
2
)
sn(
u+K
2
)
= (1+ kâ˛)sn2 uâ sn2(K/2)
1â k2 sn2 usn2(K/2)
Ersetzt man noch den speziellen Wert sn(K/2; k) = (1+kâ˛)â1/2, so ist der Beweis schon erbracht.
(1+ kâ˛) sn(
uâ K
2
)
sn(
u+K
2
)
= (1+ kâ˛)sn2 uâ (1+ kâ˛)â1
1â (1â kâ˛) sn2 u
= â1â (1+ kâ˛) sn2 u
1â (1â kâ˛) sn2 u
Weitere ausgewählte Formeln fßr cn und dn sind:
24
3 Elliptische Funktionen
cn(u+a)cn(uâa) =cn2 ucn2 aâ kâ˛2 sn2 usn2 a
1â k2 sn2 usn2 a
dn(u+a)dn(uâa) =dn2 udn2 a+ k2kâ˛2 sn2 usn2 a
1â k2 sn2 usn2 a.
3.8 Doppelte Argumente
Die Gleichungen fĂźr doppelte Argumente ergeben sich direkt aus den Additionstheoremen, wennman u = v setzt.
sn2u =2snucnudnu
1â k2 sn4 u(51)
cn2u =cn2 uâ sn2 udn2 u
1â k2 sn4 u
dn2u =dn2 uâ k2 sn2 ucn2 u
1â k2 sn4 u
Statt des jeweils gleichen Ausdrucks im Nenner dieser Formeln findet man in der Literatur auchhäufig die äquivalenten Darstellungen
1â k2 sn4 u = cn2 u+ sn2 udn2 u = dn2 u+ k2 cn2 usn2 u,
welche sich durch Einsetzen der Definitionsgleichungen 31 und 32 relativ einfach auf 1âk2 sn4 u
reduzieren lassen.
Weitere bekannte Relationen fĂźr doppelte Argumente sind nach [AS72, 16.18.5]
1âdn2u
1+dn2u=
(
k snucnu
dnu
)2
(52)
1â sn2u
1+ sn2u=
(
cnuâ snudnu
cnu+ snudnu
)2
. (53)
3.9 Halbe Argumente
Die Gleichungen fßr halbe Argumente sind aus dem Gleichungssystem fßr doppelte Argumenteableitbar, wenn man u durch u/2 ersetzt und entsprechend umstellt [Tri48, III, § 3].
25
3 Elliptische Funktionen
snu
2=
â
1â cnu
1âdnu(54)
cnu
2=
â
dnu+ cnu
1+dnu(55)
dnu
2=
â
dnu+ k2 cnu+ kâ˛2
1+dnu(56)
3.10 Imaginäre Argumente
Ausgehend von den grundlegenden Definitionsgleichungen des elliptischen Sinusâ
u = F(Ď; k), Ď = am(u; k), sn(u; k) = sinĎ
sowie den Beziehungen 18 und 19 zur imaginären Transformation des elliptischen IntegralsF(Ď; k) kann man fĂźr ein imaginäres Argument u = jv schreiben:
u = F(Ď; k) = F(jΞ; k) = jF[
arctan(sinhΞ); kâ˛]
= jv .
Ausgehend von der Zusammenfassung
v = F[
arctan(sinhΞ); kâ˛]
= F(θ; kâ˛), θ = am(v; kâ˛), sn(v; kâ˛) = sinθ
ist Jâs imaginäre Transformation fĂźr den elliptischen Sinus nun auf direktem Wege zu ge-winnen [Jac29, § 19].
sn(jv; k) = sn(u; k) = sinĎ
= j tanθ = jsinθ
cosθ= j
sn(v; kâ˛)
cn(v; kâ˛)
sn(jv; k) = jsc(v; kâ˛) (57)
Interessant ist daran vor allem zu erkennen, daĂ sn(u; k) zusätzlich zur reellen Periode 2Ď =4K(k) auch eine imaginäre Periode von 2ĎⲠ= 2K(kâ˛) besitzt, d. h. es handelt sich um einedoppelt-periodische Funktion mit dem Periodenpaar (4K,2Kâ˛).
26
3 Elliptische Funktionen
Eine ähnliche Transformationsbeziehung kann man mit Hilfe der Verschiebungsrelation dn(v+K+jKâ˛; k)=jkâ˛sc(u; k) angeben (siehe Tabelle 3).
sn(jv; k) =1
kdn(v+Kâ˛+jK; kâ˛)
Offensichtlich hat sn(u; k) imaginäre Pole u]Ď , die genau dort liegen wo cn(v; kâ˛) verschwindet.15
u]Ď = j(2Ď +1)Kâ˛, Ď â Z (58)
FĂźr cn ist diese Transformation ausgehend von Gleichung 31 recht schnell abzuleiten.
cn(jv; k) =â
1â sn2(jv; k)
=â
1+ sc2(v; kâ˛)
=1
cn(v; kâ˛)= nc(v; kâ˛) (59)
GleichermaĂen fĂźr die elliptische Delta-Amplitude dn(jv; k).
dn(jv; k) = dc(v; kâ˛) . (60)
Beweis. Ausgehend von der Definitionsgleichung 32 fĂźr dn(v; k) gilt:
dn(jv; k) =â
1â k2sn2(jv; k)
=
â
1â k2j2sn2(v; kâ˛)
cn2(v; kâ˛)
=
â
cn2(v; kâ˛)+ k2sn2(v; kâ˛)
cn2(v; kâ˛)
=
â
1â kâ˛2sn2(v; kâ˛)
cn(v; kâ˛)
=dn(v; kâ˛)
cn(v; kâ˛)= dc(v; kâ˛) .
15Eine grundsätzliche Einfßhrung in die doppelt-periodischen (elliptischen) Funktionen kann man z. B. in [WW27,XX], [Tri48, I] und [Cay76] nachlesen. Insbesondere sind dort auch verallgemeinerte Aussagen zur Anzahl undLage der Pol- und Nullstellen sowie den Residuen (Satz von L) enthalten.
27
3 Elliptische Funktionen
AbschlieĂend noch (ohne Beweis) die anderen elliptischen Funktionen fĂźr imaginäre Argumen-te.
sc(jv; k) = jsn(v; kâ˛) sd(jv; k) = jsd(v; kâ˛) ns(jv; k) = âjcs(v; kâ˛)
cs(jv; k) = âjns(v; kâ˛) cd(jv; k) = nd(v; kâ˛) nc(jv; k) = nc(v; kâ˛)
ds(jv; k) = âjds(v; kâ˛) dc(jv; k) = dn(v; kâ˛) nd(jv; k) = cd(v; kâ˛)
Bemerkenswert ist, daĂ alle Jâschen elliptischen Funktionen sowohl fĂźr imaginäre als auchreelle Argumente immer periodisch sind.16
3.11 Komplexe Argumente
Die Gleichungen fßr komplexe Argumente ergeben sich relativ einfach aus den Additionstheo-remen 40, 45, 46 und den Formeln 57, 59, 60 fßr rein imaginäre Argumente. Am Beispiel derelliptischen Delta-Amplitude soll dies kurz dargestellt werden.
dn(Îą+ jβ; k) =dn(Îą; k)dn(jβ; k)â k2sn(Îą; k)cn(Îą; k)sn(jβ; k)cn(jβ; k)
1â k2sn2(Îą; k)sn2(jβ; k)
=dn(Îą; k)dc(β; kâ˛)â k2sn(Îą; k)cn(Îą; k)jsc(β; kâ˛)nc(β; kâ˛)
1â k2sn2(Îą; k)jsc2(β; kâ˛)
dn(Îą+ jβ; k) =dn(Îą; k)cn(β; kâ˛)dn(β; kâ˛)â jk2sn(Îą; k)cn(Îą; k)sn(β; kâ˛)
cn2(β; kâ˛)+ k2sn2(Îą; k)sn2(β; kâ˛)(61)
Die Formeln fĂźr die zwei anderen elliptischen Basisfunktionen kĂśnnen in gleicher Art und Weisegewonnen werden.17
sn(Îą+ jβ; k) =sn(Îą; k)dn(β; kâ˛)+ jcn(Îą; k)dn(Îą; k)sn(β; kâ˛)cn(β; kâ˛)
cn2(β; kâ˛)+ k2sn2(Îą; k)sn2(β; kâ˛)(62)
cn(Îą+ jβ; k) =cn(Îą; k)cn(β; kâ˛)â jsn(Îą; k)sn(β; kâ˛)dn(Îą; k)dn(β; kâ˛)
cn2(β; kâ˛)+ k2sn2(Îą; k)sn2(β; kâ˛)(63)
Zur Veranschaulichung dieser Erkenntnisse sind in den Abbildungen 6 und 7 die von Real- undImaginärteil aufgespannten Flächen grafisch dargestellt.18
28
3 Elliptische Funktionen
β ι
0
â1
4K
2K
Kâ
1
2Kâ
0
(a) Realteil
Kâ ιβ
1
â12K
4K
2Kâ
0
0
(b) Imaginärteil
Abbildung 6: Eine Periode des elliptischen Sinusâ sn(Îą+ jβ; k)
1
0
â1
β ιK
2Kâ
4Kâ
2K
0
(a) Realteil
β ιK
1
0
â1
2Kâ2K
4Kâ
3Kâ
0
(b) Imaginärteil
Abbildung 7: Eine Periode der elliptischen Delta-Amplitude dn(ι+ jβ; k)
29
3 Elliptische Funktionen
Tabelle 1: Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen
Funktion Nullstellen Pole
sn(Îą+ jβ; k) 2ÎłK+2jδKⲠ2ÎłK+j(2δ+1)Kâ˛
cn(Îą+ jβ; k)(2Îł+1)K+2jδKâ˛,2ÎłK+j(2δ+1)Kâ˛
2ÎłK+j(2δ+1)Kâ˛
dn(Îą+ jβ; k) (2Îł+1)K+j(2δ+1)KⲠ2ÎłK+j(2δ+1)Kâ˛
Aus Zähler und Nenner in den Beziehungen 62, 63 sowie 61 kann man direkt auf die entspre-chenden Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen schlieĂen. Tabelle 1 gibt einenĂberblick zu deren Lage, wobei immer Îł,δ â Z gelten soll.
In der Transformationstheorie der Jâschen elliptischen Funktionen (siehe Abschnitt 4) sindinsbesondere die Werte auf dem Gitter ÎłK + jδKⲠinteressant. Hervorzuheben sind dabei diefolgenden Beziehungen:
sn(K + ju; k) = nd(u; kâ˛) (64)
Beweis. Aus Gleichung 62 ergibt sich sofort
sn(K + ju; k) =dn(u; kâ˛)
cn2(u; kâ˛)+ k2sn2(u; kâ˛)
=dn(u; kâ˛)
1â kâ˛2sn2(u; kâ˛)
=1
dn(u; kâ˛)= nd(u; kâ˛)
sn(u+ jKâ˛; k) = kâ1ns(u; k) (65)
Beweis. Es handelt sich hierbei um einen weiteren Trivialfall von Gleichung 62 mit cn(β; kâ˛)= 0und sn(β; kâ˛) = 1.
16Im Gegensatz zu den trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, die immer nur fĂźr die eine oderandere Art von Argumenten diese Eigenschaft aufweisen.
17Wobei der allen gemeinsame Nenner cn2(β; kâ˛)+ k2sn2(Îą; k) ¡ sn2(β; kâ˛) auch als 1â k2sn2(β; kâ˛) ¡ cn2(Îą; k) darge-stellt werden kann.
18Sehr schĂśne Darstellungen (inklusive der des elliptischen Cosinusâ) sind auch in [JE52, VI, Abb. 49 ff.] zu finden.
30
3 Elliptische Funktionen
sn(u+ jKâ˛; k) =sn(u; k)dn(Kâ˛; kâ˛)
k2sn2(u; k)sn2(Kâ˛; kâ˛)
=sn(u; k)
ksn2(u; k)
=1
ksn(u; k)= kâ1ns(u; k)
Insbesondere ergibt sich hieraus
sn(K + jKâ˛; k) = kâ1 (66)
und somit fĂźr das unvollständige elliptische Integral an der Stelle x = kâ1 bezĂźglich Definitions-gleichung 5
F(
1k; k
)
= K + jKⲠ.
sn(u+K + jKâ˛; k) = kâ1nc(u; k) (67)
Beweis. Dieser Fall ergibt sich aus dem vorherigen, indem man u := u+K setzt.
sn(u+K + jKâ˛; k) =1
ksn(u+K; k)
=1
kcn(u; k)
dn(u+K + jKâ˛; k) = jkⲠtanĎ (68)
Beweis. Aus dem Additionstheorem 61 kann man sofort ableiten
dn(u+K + jKâ˛; k) = jkâ˛sc(u; k)
= jkâ˛sn(u; k)
cn(u; k)
31
3 Elliptische Funktionen
Tabelle 2: Elliptischer Sinus auf dem Gitter ΡK+jÎśKâ˛
Ρ Îś u sn(ΡK+jÎśKâ˛+u; k)
gerade gerade imaginär (u = jν) j(â1)Ρ/2sc(ν; kâ˛)ungerade gerade imaginär (u = jν) (â1)Ρ/2nd(ν; kâ˛)gerade gerade reell (â1)Ρ/2sn(u; k)gerade ungerade reell (â1)Ρ/2kâ1ns(u; k)
und dann mittels Definitionsgleichung 30 den Nachweis abschlieĂen.
dn(u+K + jKâ˛; k) = jkâ˛sinĎ
cosĎ= jkⲠtanĎ
In Tabelle 2 sind die (insbesondere fĂźr die elliptischen Modultransformationen, vgl. Abschnitt 4)interessanten Beziehungen fĂźr den elliptischen Sinus zusammengefaĂt.
3.12 Ănderung des Arguments
In diesem Abschnitt sollen noch einige Formeln fĂźr den Ăbergang auf andere Argumente ge-nannt (und teilweise auch abgeleitet) werden. Eine komprimierte Ăbersicht zu den interessan-ten Fällen enthält Tabelle 3, eine vollständige Tabellierung fĂźr alle elliptischen Funktionen istin [AS72, 16.8] zu finden.
Alle Formeln in Tabelle 3 ergeben sich direkt aus den Additionstheoremen 40, 45 und 46 sowieden Gleichungen fĂźr komplexe Argumente, wenn man jeweils die um K bzw. KⲠverschobenenArgumente betrachtet. Aus den Beziehungen in Tabelle 3 fĂźr die gilt sn(u+2Ď) = snu (beispiel-haft fĂźr sn), ist sofort die reelle, imaginäre und komplexe Periode der elliptischen Basisfunktio-nen ersichtlich (siehe Tabelle 4 sowie Abbildungen 6 und 7).
Folgende spezielle (komplexe) Werte ergeben sich auĂerdem aus verschiedenen Fällen in Tabel-le 3.
sn(jKâ˛; k) =â cn(jKâ˛; k) = âjâ dn(jKâ˛; k) = âjâsn(j2Kâ˛; k) = 0 cn(j2Kâ˛; k) = â1 dn(j2Kâ˛; k) = â1
sn(K + jKâ˛; k) =1
kcn(K + jKâ˛; k) = âj
kâ˛
kdn(K + jKâ˛; k) = 0
sn(2K +2jKâ˛; k) = 0 cn(2K +2jKâ˛; k) = 1 dn(2K +2jKâ˛; k) = â1
32
3 Elliptische Funktionen
Tabelle 3: Elliptische Funktionen bei Ănderung des Arguments
v = sn(v; k) cn(v; k) dn(v; k)
âu âsn(u; k) cn(u; k) dn(u; k)
u+Kcn(u; k)
dn(u; k)âkâ˛
sn(u; k)
dn(u; k)
kâ˛
dn(u; k)
uâK âcn(u; k)
dn(u; k)kâ˛
sn(u; k)
dn(u; k)
kâ˛
dn(u; k)
K âucn(u; k)
dn(u; k)kâ˛
sn(u; k)
dn(u; k)
kâ˛
dn(u; k)
u+2K âsn(u; k) âcn(u; k) dn(u; k)
uâ2K âsn(u; k) âcn(u; k) dn(u; k)
2K âu sn(u; k) âcn(u; k) dn(u; k)
u+ jKâ˛1
ksn(u; k)âj
dn(u; k)
ksn(u; k)âj
cn(u; k)
sn(u; k)
u+2jKⲠsn(u; k) âcn(u; k) âdn(u; k)
u+K + jKâ˛dn(u; k)
kcn(u; k)âj
kâ˛
kcn(u; k)jkâ˛
sn(u; k)
cn(u; k)
u+2K +2jKⲠâsn(u; k) cn(u; k) âdn(u; k)
u+4K +4jKⲠsn(u; k) cn(u; k) dn(u; k)
Tabelle 4: Perioden der elliptischen Basisfunktionen [AS72, 16.2]
Reelle Imaginäre KomplexeFunktion Periode
sn 4K 2jKⲠ4K + j4Kâ˛
cn 4K 4jKⲠ2K + j2Kâ˛
dn 2K 4jKⲠ4K + j4Kâ˛
33
4 Modultransformationen
4 Modultransformationen
4.1 EinfĂźhrung
Die Transformationstheorie der Jâschen elliptischen Funktionen und Integrale befaĂt sichmit den rationalen, algebraischen LĂśsungen y = f (x; k) der Differentialgleichung
M dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2)=
dxâ
(1â x2)(1â k2x2). (69)
Wie noch zu sehen sein wird, ist dieses Problem eng verknĂźpft mit der Transformation derJâschen elliptischen Funktionen auf solche Module (kâ Îť, kⲠâ Îťâ˛), die zu ganzzahligenĂbersetzungen der Periodenverhältnisse fĂźhren (Ď/Ďâ˛âΊ/Ίâ˛).
Die hier bevorzugte Betrachtungsweise ist (wie auch in [Jac29, § 20]) vor allem analytisch, dasie dem Leserkreis vertrauter sein dßrfte. Wegen der Vielzahl der existierenden Transformati-onsformeln ist als praktische Referenz die tabellarische Zusammenfassung in [Ach70] empfeh-lenswert.
4.2 Problemstellung
Wie schon erwähnt ist es besonders Differentialgleichung 69, welche bezĂźglich der Transforma-tionstheorie der elliptischen Funktionen eine zentrale Rolle spielt. Ihre äquivalente Schreibweisein der Lâschen Normalform19 ergibt sich, wenn man wieder die Substitutionen x = sinĎund y = sinθ anwendet zu
M dθâ
1âÎť2 sin2 θ=
dĎâ
1â k2 sin2Ď
, (70)
wobei M der sogenannte Multiplikator20 und Îť sowie k die Module sind.21
Es gilt also, eine Substitution θ = Ψ(Ď; k) zu finden, welche diese Ăquivalenz erfĂźllt [Cay76,§ 219], [Ach70, § 34], [Tod84, § 5].22 Man kann das Problem auch so formulieren: Gesucht sind
19FĂźr k = Îť = 0 entspricht Gleichung 69 genau der Differentialgleichung, welche von den TâschenFunktionen erster Art erfĂźllt wird.
20Die EinfĂźhrung eines Multiplikators ist bei den elliptischen Funktionen nach J deshalb erforderlich, weil (imGegensatz zu den Wâschen Funktionen) reelle und imaginäre Periode nicht unabhängig voneinandersind.
21Solange man bei dieser differentiellen Darstellung bleibt, sind die Formeln 70 und 69 absolut gleichwertig. Erstbeim Ăbergang zum (vollständigen oder auch unvollständigen) elliptischen Integral gilt es die entsprechendenIntegrationsgrenzen zu berĂźcksichtigen.
22Es handelt sich anders gesagt um das Auffinden einer Invarianten Ψ(Ď), welche die elliptische Form des Differen-tials erhält.
34
4 Modultransformationen
die Integrale bzw. LĂśsungsfunktionen y= f (x; k) der gewĂśhnlichen (impliziten) Differentialglei-chung 69 erster Ordnung:23
M dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2)=
dxâ
(1â x2)(1â k2x2)
yⲠ=1
M
â
(1â y2)(1âÎť2y2)
(1â x2)(1â k2x2)(71)
M2yâ˛2(1â x2)(1â k2x2)â (1â y2)(1âÎť2y2) = 0 .
Das Finden der Integralkurve y = f (x; k) ist (wie so oft) nicht einfach, hat man aber zwei Trans-formationsfunktionen f und g gefunden, dann kann man durch aufeinanderfolgende Anwendungder entsprechenden Beziehungen auch mindestens eine dritte Transformation angeben.
M dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2)=
dxâ
(1â x2)(1â k2x2), y = f (x; k)
Ldzâ
(1â z2)(1âÎł2z2)=
dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2), z = g(y; Îť)
MLdzâ
(1â z2)(1âÎł2z2)=
dxâ
(1â x2)(1â k2x2), z = g( f (x; k); Îť)
Aus der letzten Gleichung wird sofort ersichtlich, daĂ der zugehĂśrige Multiplikator das Produktder beiden anderen Multiplikatoren M und L ist. Das Modul Îł ist aus der Abhängigkeit von Îťbekannt und kann durch die Beziehung Îť = Ď(k) auch als Funktion von k ausgedrĂźckt werden.
AuĂerdem enthält jede Transformation nach Formel 69 auch gleichzeitig eine âRĂźcktransforma-tionâ, wenn man die Umkehrfunktion f â1 nutzt. Zum besseren Verständnis (und aus GrĂźndender Lesbarkeit) soll y1 = x = f â1(y)= f â1(x1), x1 = y, Îť1 = k, k1 = Îť gesetzt werden, was dy1 = dxund dx1 = dy bedeutet.
M dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2)=
dxâ
(1â x2)(1â k2x2)
dx1â
(1â x21)(1â k2
1x21)=
Mâ1 dy1â
(1â y21)(1âÎť2
1y21)
Die Umkehrfunktionen (der Transformationsbeziehung y1 = f â1(x1) als auch des Moduls Îť1 =
Ďâ1(k1)) enthalten also prinzipiell eine weitere Transformation, deren Multiplikator Mâ1 ist,wenn man im Sinne der eingefĂźhrten GrĂśĂen die Richtung vertauscht.
23FĂźr Ď,θ bedeutet dies sinθ = f (sinĎ; k) und somit Ψ(Ď; k) = arcsin[ f (sinĎ; k)].
35
4 Modultransformationen
4.3 Rationale LĂśsung
Schon C.G.J. J hat in [Jac29] nachgewiesen, daà LÜsungen der Differentialgleichung 70algebraische Funktionen der Form F(x,y) = 0 sein kÜnnen [Tri48, IV], [Hur00, II-5, § 4 ff.]. Fßrdie implizite Darstellung solcher Funktionen wiefolgt
F(x,y) = pm(x)ym+ pmâ1(x)ymâ1+ ¡ ¡ ¡+ p2(x)y2+ p1(x)y+ p0(x), (72)
wobei p0, p1, . . . pmâ1, pm Polynome in x sind, kann bekanntermaĂen in bestimmten Spezialfälleneine explizite LĂśsungsformel y = f (x) ermittelt werden. Bei dem gesuchten Integral f (x) handeltes sich in den einfachsten Fällen um eine irrationale (m = 2) oder rationale Funktion (m = 1),wobei sich Letztere als
y =U(x)
V(x)(73)
mit den Polynomen
U(x) =n
â
ν=0
aνxν = an
nâ
ν=1
(xâ xν)
V(x) =nâ˛â
Âľ=0
bÂľxÂľ = bnâ˛
nâ˛â
Âľ=1
(xâ x]Âľ)
darstellen läĂt.24
Um fßr diesen Funktionstyp den Nachweis zu erbringen, daà es sich um eine LÜsung von Dif-ferentialgleichung 70 handelt, folgen wir [Cay76, § 218 ff.] und setzten zuerst U = U(x) bzw.V = V(x) und bilden dann
â
(1â y2)(1âÎť2y2) sowie die Ableitung yâ˛.
â
(1â y2)(1âÎť2y2) =
â
(U2âV2)(U2âÎť2V2)
V2
yⲠ=dy
dx=Uâ˛V âUV â˛
V2
Dividiert man die Ableitung yⲠdurchâ
(1â y2)(1âÎť2y2) entsteht der Ausdruck
dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2)=
Uâ˛V âUV â˛â
(U2âV2)(U2âÎť2V2)dx (74)
24Man kĂśnnte dies wegen der Ăhnlichkeit von Beziehung 70 mit der Differentialgleichung der TâschenFunktionen erster Art (1â x2)
[
Tâ˛n(x)]2= n2
[
1âT2n(x)
]
vermuten, welche als Spezialfall entsteht, wenn Îť = k = 0gesetzt wird.
36
4 Modultransformationen
welcher ja letztlich der rechten Seite von Gleichung 69 (multipliziert mit Mâ1) entsprechen soll.
Uâ˛V âUV â˛â
(U2âV2)(U2âÎť2V2)=
1
Mâ
(1â x2)(1â k2x2)
Notwendige Voraussetzung dafĂźr ist zuerst einmal, daĂ fĂźr den Grad der Polynome U und V dieEinschränkung |d| = |nâ nâ˛| ⤠1 gilt, d. h. entweder beide Polynome sind vom Grad n (bzw. nâ˛)oder eines ist vom Grade n, das andere aber nâ1.25
Beweis. Der Nachweis basiert auf der letzten Gleichung in folgender Darstellung
M2(1â x2)(1â k2x2)(Uâ˛V âUV â˛)2 = (U2âV2)(U2âÎť2V2)
und vergleicht einfach den Grad von links- und rechtsseitigem Polynom (mit entsprechenderFallunterscheidung).
2(n+nâ˛â1)+4 = 4max(n,nâ˛)
n+nâ˛+1 =
2n (n ⼠nâ˛)2nⲠ(nⲠ> n)
(75)
âŁ
âŁ
âŁnânâ˛âŁ
âŁ
⣠= 1
Eine Funktion ist also vom Grad n, die andere vom Grad n â 1 und deshalb die Differenzd = nânⲠ= Âą1. Allerdings ergeben sich dieselben Verhältnisse auch fĂźr n = nⲠ(also d = 0), dennin diesem Fall verschwindet der hĂśchstwertige Koeffizient (mit Wert anbnâ˛d) in Uâ˛V âUV â˛. Ver-ringert man entsprechend den linksseitigen Grad in Gleichung 75 um Eins (auf der rechten Seitebleibt alles wie gehabt), dann wird sofort erkennbar, daĂ auch n = nⲠeine LĂśsungsmĂśglichkeitist.
Nimmt man nun an, daĂ sich in Gleichung 74 ein Faktor (xâc)2 vom Ausdruck (U2âV2)(U2âÎť2V2) abspalten läĂt, dann ist der Term xâ c in Uâ˛V âUV Ⲡebenfalls als Faktor enthalten.
Beweis. Ist (xâ c)2 ein Faktor (c eine doppelte Nullstelle) von U2 âV2 oder U2 â Îť2V2, dannist (xâ c)2 auch ein Faktor von U âV oder U +V bzw. U âÎťV oder U +ÎťV . Betrachten wir imweiteren nur den Fall, daĂ der Faktor (xâc)2 in UâV enthalten ist (gleiches gilt fĂźr die anderenFälle). Es ergeben sich dann die Darstellungen
U2âV2 = (xâ c)2Q(x) = (U âV)(U +V)
U âV = (xâ c)2P(x)
25Wie auch in [Cay76, § 219] sprechen wir jedoch immer von einer gebrochenen Funktion der Ordnung n.
37
4 Modultransformationen
mit den Ableitungen nach x
Uâ˛âV Ⲡ= 2(xâ c)P(x)+ (xâ c)2Pâ˛(x) = (xâ c)[
2P(x)+ (xâ c)Pâ˛(x)]
2Uâ˛U â2V â˛V = 2(xâ c)Q(x)+ (xâ c)2Qâ˛(x) = (xâ c)[
2Q(x)+ (xâ c)Qâ˛(x)]
.
Bildet man jetzt
Uâ˛V âUV Ⲡ= (Uâ˛âV â˛)(U +V)â (UUâ˛âVV â˛)
= (U +V)(xâ c)[
2P(x)+ (xâ c)Pâ˛(x)]
â (xâ c)[
Q(x)+xâ c
2Qâ˛(x)
]
dann bestätigt das gemeinsame Vorkommen des Faktors xâ c in allen Summanden unsere An-nahme.
Setzt man eine solche Abspaltung fĂźr alle 2nâ 2 Wurzeln von Uâ˛V âUV Ⲡfort, dann bleibt in(U2âV2)(U2âÎť2V2), dessen Grad ja 4n ist, ein Produktterm vom Grad 4 Ăźbrig, der nicht mehrgekĂźrzt werden kann. Mit den konstanten Koeffizienten di ergibt sich demzufolge die Darstel-lung:26
Uâ˛V âUV Ⲡ=C
2(nâ1)â
l=1
(xâ cl) =C ¡T (x)
(U2âV2)(U2âÎť2V2) = (d4x4+d3x
3+d2x2+d1x+d0)
2(nâ1)â
l=1
(xâ cl)2
= (d4x4+d3x
3+d2x2+d1x+d0)T 2(x) .
Kehrt man mit diesen Formeln zurĂźck zur Ausgangsgleichung 74
dyâ
(1â y2)(1âÎť2y2)=
C ¡T (x)dxâ
(d4x4+d3x3+d2x2+d1x+d0)T 2(x)
=C dx
â
d4x4+d3x3+d2x2+d1x+d0
und berĂźcksichtigt auĂerdem, daĂ eine ĂberfĂźhrung des besagten Produktterms in die Form(1â x2)(1â k2x2) immer mĂśglich ist (siehe [Tri48, II, § 3], [WW27, § 20¡54, §20¡6]), dann istmit einer rationalen Polynomfunktion y= f (x) die elliptische Transformation nach Gleichung 70
26Mit der nicht einschränkenden Annahme, daĂ der Leitkoeffizient des Polynoms Uâ˛V âUVⲠgenau Eins ist.
38
4 Modultransformationen
mĂśglich.27 Aus dieser Feststellung heraus kann man bezĂźglich der Bestimmung der Koeffizien-ten von U und V noch die Bedingung
(U2âV2)(U2âÎť2V2) = (1â x2)(1â k2x2)T 2(x)
formulieren.
4.4 Elliptische LĂśsung
Eine auf elliptischen Funktionen basierende LĂśsung der Differentialgleichung 70 ist ermittelbar,wenn man zu einer Parameterdarstellung mit Hilfe der neuen Variablen u Ăźbergeht.28
M dθâ
1âÎť2 sin2 θ=
dĎâ
1â k2 sin2Ď
= du
Integriert man nun beide Seiten und nimmt die Definitionsgleichung 29 der Amplitudenfunktiondes elliptischen Sinusâ (Gleichung 30) hinzu, so ergibt sich fĂźr x
u = F(Ď; k) =
⍠Ď
0
dΞâ
1â k2 sin2 Ξ
(76)
Ď = am(u; k)
x = sinĎ = sn(u; k) .
In Gleichung 76 wurde auf die EinfĂźhrung einer Integrationskonstante verzichtet, da man ohnewesentliche Einschränkung vom Funktionswert u = 0 fĂźr Ď = 0 ausgehen kann.
Fßr y erhält man in gleicher Art und Weise
u = M
⍠θ
0
dΞâ
1â k2 sin2 Ξ
âC = MF(θ; Îť)âC (77)
θ = am(
uâCM
; Îť)
y = sinθ = sn(
u+CM
; Îť)
,
wobei diesmal eine Integrationskonstante C berĂźcksichtigt werden muĂ.
27Man kann auch argumentieren, daĂ U(x) und V(x) so gewählt sein mĂźssen, daĂ der verbleibende Produkttermgenau der L-Form (1â x2)(1â k2x2) und insofern dem Modul k entspricht.
28Offen bleibt natĂźrlich noch die Bestimmung des Multiplikators M und des Moduls Îť.
39
4 Modultransformationen
0.51.0
0.52.0
1/k1/k 1.0
2.0
1
2
3
1
0
â1
2Kâ 2K
0
KKâ Re(u)Im(u)
(a) Realteil
â1.0
â0.2
1.00.5
â0.5
0.20.51.0
â0.2â0.5
0.2
0.0â1.0
1
0
â1
2Kâ 2K
0Im(u) Re(u)
(b) Imaginärteil
Abbildung 8: Elliptischer Sinus sn[
Re(u)+ j Im(u); k]
mit Parameterlinien
Fragt man sich nun, welche Werte der Parameter u grundsätzlich annehmen darf, damit x reellwird, dann ist ein Blick auf Abbildung 8 hilfreich. Sie zeigt nocheinmal den Verlauf von sn fßrkomplexe Argumente, wobei die zusätzlichen Parameterlinien anschaulich illustrieren,29 daà x
nur entlang der Geraden u+ jβKⲠfĂźr reelles u und u+ÎąK fĂźr imaginäres u nicht komplex ist(Îą,β â Z).
Mit diesem Wissen kann man bezĂźglich x den mit Pfeilen markierten âWertepfadâ in Abbil-dung 8a fĂźr das Argument u angeben. Dieser Weg garantiert zwar, daĂ x monoton Werte zwi-schen 0 und â annimmt, jedoch sind weitere x-Werte mĂśglich, wenn man die Periodizität deselliptischen Sinusâ berĂźcksichtigt.
29Um die weiteren Formeln etwas zu verkĂźrzen sollen ab jetzt die folgenden Kurzschreibweisen vereinbart sein:K = K(k) sowie Î = K(Îť).
40
4 Modultransformationen
0
0
u
Reell
Imag
inär
âΊâ˛
Ίâ˛
2Ίâ˛
ΊâΊ
Abbildung 9: Gitter rein imaginärer/reeller Werte fßr y
Soll auch y (oder zumindest y2) reell sein,30 dann muĂ sich u+C auf dem Gitter ÎłMÎ+ jδMÎâ˛
(Îł,δ â Z) bewegen. Abbildung 9 illustriert dieses anschaulich, wobei folgende Definitionen fĂźrdie reelle bzw. imaginäre Periode von x und y gelten sollen:31
2Ď = 4K 2ĎⲠ= j2Kâ˛
2Ί = 4MÎ 2ΊⲠ= j2MÎⲠ.
Sinnvolle Werte fĂźr die Integrationskonstante C sind entsprechend nur C = 0 und C = ÂąMÎ,wobei der Wert ÂąMÎ rein reelle Werte fĂźr y bei geradem Îł ermĂśglicht.32 Auf der Grundlagedieser Betrachtungen, welche ja im Wesen auf der doppelten Periodizität des elliptischen Sinusâbasieren, kann man (ohne etwas zu verändern) die Gleichungen 76 und 77 auch folgendermaĂenschreiben:33
x = sn(u+2ÎąĎ+2βĎâ˛; k)
y = sn(
u+2γΊ+2δΊâ˛âCM
; Îť)
, Îą,β,Îł,δ â Z .
Soll gewährleistet sein, daà nur eine endliche Anzahl mÜglicher (unterschiedlicher) x-Werte zueinem bestimmten Wert y gehÜren (sowie umgekehrt),34 dann muà man ausgehend von diesen
30Reelle Werte fßr y sind Voraussetzung fßr eine rationale LÜsung (vgl. Abschnitt 4.3), rein imaginäre Werte dieeiner irrationalen LÜsung.
31Die reelle Viertelperiode fĂźr x (bezĂźglich u) ist bekanntlich die des elliptischen Sinusâ, also K, fĂźr y entsprechendMÎ. Der Multiplikator M wird an dieser Stelle als reell angenommen, im anderen (nicht ausgeschlossenen) Fallwären Ďâ˛,ΊⲠreell bzw. Ď,Ί imaginär.
32Mit anderen Worten werden die ursprßnglich rein imaginären Werte fßr y entlang der dßnnen Linien in Abbildung 9zu rein reellen Werten (dicke Linien).
33Wegen der Symmetrieeigenschaft des elliptischen Sinusâ sn(u+2K; k) = âsn(u; k) kĂśnnte man diese Beziehungenauch auf die reellen Argumente u+2ÎąK bzw. u+2ÎłMÎⲠreduzieren.
34Im Sinne der Forderung nach einer rationalen LĂśsungsfunktion entsprechend Gleichung 72.
41
4 Modultransformationen
Gleichungen die Periodenbedingung
u+2ÎąĎ+2βĎⲠ= u+2γΊ+2δΊâ˛
2ÎąĎ+βĎⲠ= 2γΊ+δΊâ˛
formulieren. Separiert man darin Real- und Imaginärteil, dann ergibt sich fßr den Fall einesreellen Multiplikators M
ÎąĎ = γΊ
βĎⲠ= δΊâ˛(78)
und im einfachsten Fall, d. h. wenn ι = β = 1 gilt
K = ÎłMÎ, Îł â Z (79)
KⲠ= δMÎâ˛, δ â ZK
Kâ˛=Îł
δ¡ ÎÎâ˛
.
Fßr den Fall eines ganzzahligen Verhältnisses γ/δ bzw. δ/γ, also eines Periodenverhältnisses derForm
K
Kâ˛= nÎ
Îâ˛oder
Kâ˛
K= nÎâ˛
Î, (80)
spricht man bezĂźglich der Beziehung zwischen k und Îť von einer Modulgleichung vom Grad n.
Der Spezialfall γ = n, δ = 1 wird dabei als die 1. elliptische Haupttransformation (n-te Teilungder reellen Periode), der Fall γ = 1, δ = n als 2. elliptische Haupttransformation (n-te Teilung derimaginären Periode) bezeichnet.
4.5 Die Transformationsfunktion
Hier sollen nun ausgewählte Eigenschaften der Transformationsfunktion f (x; k) bzw. des Diffe-rentials (von Gleichung 69) ermittelt werden. Die charakteristischen Eigenschaften sollen späterdazu dienen, Aussagen zur Form von f (x; k) machen zu kÜnnen.
Reziproke Argumente Im Zusammenhang mit reziproken Argumenten sei auf folgende be-merkenswerte Eigenschaft von f (x; k) hingewiesen:
42
4 Modultransformationen
f(
1kx
; k)
=1
Îť f (x; k). (81)
Beweis. Ersetzt man im Ausdruck dx/â
(1â x2)(1â k2x2) der Gleichung 69 die Variable x durch1/kx1
x =1
kx1, dx = â
dx1
kx21
,
dann ändert sich nur das Vorzeichen der rechten Seite.
dxâ
(1â x2)(1â k2x2)= â kdx1
k2x21
â
(1â kâ2xâ21 )(1â k2kâ2xâ2
1 )
= âkdx1
â
(k2x21â1)(k2x2
1â k2)
= âdx1
â
(1â x21)(1â k2x2
1)
Substituiert man nach der gleichen Methode nun auch y durch 1/Νy1, dann tritt auf der linkenSeite ebenfalls (nur) eine Vorzeichenumkehr auf und die Differentialgleichung 69 ändert sichßberhaupt nicht.35 Folglich sind x1 und y1 ebenfalls durch y1 = f (x1; k) verbunden und es gilt:
y = f(
1kx1
; k)
=1
Îťy1=
1
Îť f (x1; k),
d. h. die Transformationsfunktion f muĂ die Eigenschaft laut Gleichung 81 aufweisen.
Funktionsverlauf Weitere Eigenschaften der LÜsungsfunktion ergeben sich aus den Betrach-tungen von Abschnitt 4.3 sowie 4.4. Dazu sei hier nocheinmal auf Abbildung 8a verwiesen,welche den Verlauf des Parameters u in der komplexen Ebene zeigt. Sie zeigt den Weg des Para-meters u insbesondere fßr die elliptischen Haupttransformationen (γ = n, δ = 1 bzw. γ = 1, δ = n)sehr anschaulich. Fßr diese Fälle entarten die Gleichungen 76 und 77 auf den WegabschnittenŠ2undŠ3 (vgl. Abschnitt 3.11).
FĂźr den Fall C = 0 enthält Tabelle 5 eine Ăbersicht in Bezug auf den Verlauf von u nach Abbil-dung 8.
Auf Wegabschnitt Š2 determiniert γ (gerade/ungerade) welche Gleichung fßr y zutrifft, auf Ab-schnitt Š3 ist es δ. Ist γ bzw. δ gerade, dann trifft jeweils Formel Ša zu (irrationale LÜsung), imanderen Fall ist esŠb (rationale LÜsung). Als spezielle Funktionswerte ergeben sich daraus
35Diese Methode kann sehr gĂźnstig zur Bestimmung von Îť fĂźr eine spezifische Transformation angewandt werden.
43
4 Modultransformationen
Tabelle 5: Funktionswerte x, y fĂźr C = 0
Weg Re(u) Im(u) x ¹y1 0 ⤠Re(u) ⤠K 0 sn(u; k) sn(u/M; Ν)
2 K 0 ⤠Im(u) ⤠KⲠnd[Im(u); kâ˛]Ša jsc[Im(u)/M; Îťâ˛]Šb nd[Im(u)/M; Îťâ˛]
3 K ⤠Re(u) ⤠2K KⲠkâ1 ns[Re(u); k]Ša sn(u/M; Îť)Šb Îťâ1 ns[Re(u)/M; Îť]
Tabelle 6: Funktionswerte x, y fßr C = Ί/2
Re(u) Im(u) x ¹y0 ⤠Re(u) ⤠K 0 sn(u; k) cd(u/M; Ν)
K 0 ⤠Im(u) ⤠KⲠnd(Im(u); kâ˛)Ša nd(Im(u)/M; Îťâ˛)Šb jsc(Im(u)/M; Îťâ˛)
K ⤠Re(u) ⤠2K KⲠkâ1ns(Re(u); k)Ša cd(u/M; Îť)Šb Îťâ1dc(Re(u)/M; Îť)
y = f (0; k) = 0
y = f (1; k) =
0 ( |Îł| = 0,2,4, . . .)
+1 ( |Îł| = 1,5,9, . . .)
â1 ( |Îł| = 3,7,11, . . .)
ŠaŠb .
Šb(82)
Eine wesentliche SchluĂfolgerung der vorangegangenen AusfĂźhrungen sowie der Gleichungenin Tabelle 5 ist die, daĂ f (x; k) in diesem Fall eine ungerade Funktion sein muĂ.
Der Fall C = ÂąMÎ fĂźhrt zu einer Verschiebung von y entlang der reellen Achse, wodurch y =
f (x; k) zu einer geraden Funktion wird. Mit Hilfe der Verschiebungsrelationen nach Tabelle 3kann man auch hier eine Ăbersicht angeben, welche Tabelle 6 präsentiert. Ist Îł bzw. δ gerade,dann trifft jeweils FormelŠa zu, im anderen Fall ist esŠb .
Als spezielle Funktionswerte ergeben sich hier:
y = f (0; k) = 1
y = f (1; k) =
0 ( |Îł| = 1,3,5, . . .)
+1 ( |Îł| = 0,4,8, . . .)
â1 ( |Îł| = 2,6,10, . . .)
ŠbŠa .
Ša(83)
Rationale LĂśsungen Mit den soeben gewonnen Erkenntnissen kann man die rationale LĂś-sung nach Formel 73 konkretisieren.
44
4 Modultransformationen
y =
xu(x2)
v(x2)(C = 0 ; Îł ungerade)
u(x2)
v(x2)(C = MÎ ; Îł gerade)
(84)
Herangezogen wurden dazu all die Fälle, welche in den Tabellen 6 und 5 rein reelle Funktions-verläufe erzeugen, also
⢠γ ungerade fßr C = 0 (ungerade Funktion)
⢠und γ gerade fßr C = MΠ(gerade Funktion).
Nun soll noch nachgewiesen werden, daà die Koeffizienten aν und b¾ der Polynome U(x) undV(x) der rationalen LÜsung nach Gleichung 73 nicht unabhängig voneinander, sondern durchfolgenden Relation verbunden sind.
x]Âľ =
1
kxν
xν x]¾ =1
k(85)
Beweis. Um diese Beziehung einfach zu begrĂźnden soll unser Augenmerk der Linearfaktordar-stellung von U(x) und V(x) mittels der Polstellen x
]und Nullstellen x gelten. Im ersten Schritt
wird dazu f (1/kx; k) gebildet.
f(
1kx
; k)
=
annâ
ν=1
[
(kx)â1â xν]
bnâ˛nâ˛â
Âľ=1
[
(kx)â1â x]Âľ
]
= (kx)âdan
nâ
ν=1(1â kxνx)
bnâ˛nâ˛â
Âľ=1(1â kx
]Âľx)
Nach Gleichung 81 und wegen xnâ1 = 0 muĂ nun gelten
f(
1kx
; k)
=1
Îť f (x; k)
(kx)âdan
nâ
ν=1(1â kxνx)
bnâ˛nâ˛â
Âľ=1(1â kx
]Âľx)
=
bnâ˛nâ˛â
Âľ=1(xâ x
]Âľ)
Îťannâ
ν=1(xâ xν)
. (86)
45
4 Modultransformationen
Setzt man im Zähler die speziellen Werte x= kâ1xâ1ν
, dann mĂźssen sowohl links- als auch rechts-seitiger Ausdruck verschwinden.36
xâ x]Âľ = 0
x]Âľ =
1
kxν
Sind die Pole x]¾ aber schon durch die Nullstellen xν determiniert, dann hängen auch die Koeffi-
zienten b¾ von aν ab.
Aus Gleichung 86 kann man, wenn andere spezielle Werte wie z. B. x = 1 eingesetzt werden,auch das Modul Îť bestimmt werden.
Îť = kdbnâ˛
an
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
â
nâ˛â
Âľ=1(1â x
]Âľ)(1â kx]Âľ)
nâ1â
ν=1(1â xν)(1â kxν)
4.6 Transformationen erster Ordnung
Eine tabellarische Ăbersicht der Transformationen erster Ordnung sowie der geeigneten Sub-stitutionen ist unter anderem in [Tri48, lV, § 2] zu finden. Wir beschränken uns hier auf zweiwichtige Transformationen â Jâs reelle sowie imaginäre Transformation.
4.6.1 Imaginäre Transformation
Die imaginäre Transformation wurde in Bezug auf das elliptische Integral erster Art schon inAbschnitt 2.1, fßr den elliptischen Sinus in Abschnitt 3.10 behandelt. Um die Parameter M undΝ aus der allgemeinen Gleichung 70 zu ermitteln, ist ein Blick auf Beziehung 18 notwendig.
F(Ď; k) = jF[arctan(sinh jĎ); kâ˛]
Diese Gleichung ist nun der folgenden speziellen Ausprägung von Differentialgleichung 70
dĎâ
1â k2 sin2Ď
= jdθ
â
1â kâ˛2 sin2 θ(87)
36Fßr den Nenner kann man eine äquivalente Bedingung x = 1/kx]¾ wählen, die aber zum gleichen Ergebnis fßhrt.
46
4 Modultransformationen
mit der Substitution nach Gleichung 19
θ = arctan[sinh(jĎ)]
= j artanh(sinĎ) (88)
Ď = âj arsinh(tanθ) (89)
äquivalent. Aus der spezifischen Beziehung 87 kann man durch Vergleich mit Differentialglei-chung 70 sofort den Multiplikator und die zugeordnete Modulgleichung (vom Grad Eins) able-sen.
M = j, Ν = kⲠ(ΝⲠ= k)
Die Bestimmung des Periodenverhältnisses ist mit diesen Werten kein Problem mehr.
K
Kâ˛=
K(k)
K(kâ˛)=
K(Îťâ˛)
K(Îť)=Îâ˛
Î(90)
Die rationale Beziehung zwischen x und y ist schon in der Substitution 19 enthalten, wenn man(wie immer) Gleichung 76 sowie 77 berĂźcksichtigt.
sinĎ = j tanθ = jsinθ
â
1â sin2 θ
x = jy
â
1â y2
y = jx
â1â x2
4.6.2 Reelle Transformation
Jâs reelle Transformation nach folgender Gleichung
sn(u; k) =1
ksn
(
ku; 1k
)
(91)
ermĂśglicht es, bei allen elliptischen Funktionen auch Module k > 1 zuzulassen.
47
4 Modultransformationen
Beweis. Ausgehend vom Argument des Integrals F(Ď; k)
dĎâ
1â k2 sin2Ď
nimmt man die Substitution sinθ = k sinĎ, welche ja eine algebraische Beziehung erster Ord-nung, nämlich y = kx verkĂśrpert, vor. Mit der Ableitung dθ/dĎ = kcosĎ/cosθ erhält man wiederdie typische Differentialgleichung
dĎâ
1â k2 sin2Ď
=1
k¡
cosθdθ
cosĎâ
1â sin2 θ
=1
k¡ dθ
cosĎ
=1
k¡ dθâ
1â kâ2 sin2 θ(92)
aus welcher nur noch die Parameter M und Îť konform zu Gleichung 70 abgelesen werden mĂźs-sen.
M =1
k, Îť =
1
k
Beweis. Mit den allgemeinen Beziehungen 76 und 77 sowie der vorgenommenen SubstitutionsinĎ = kâ1 sinθ ist der abschlieĂende Beweis mĂśglich.
sn(u; k) = sinĎ =sinθ
k=
1
ksn( u
M; Îť) =
1
ksn
(
ku; 1k
)
4.7 Quadratische Transformationen
Quadratische Transformationen sind durch eine Modulgleichung vom Grad n = 2 bestimmt,37
also durch Periodenverhältnisse wie z. B.
37Eine schĂśne tabellarische Ăbersicht aller 18 quadratischen Transformationen in ihrer Standardform ist in [Cay76,§ 252, § 478 ff.] zu finden.
48
4 Modultransformationen
K
Kâ˛= 2Î
Îâ˛. (93)
4.7.1 L-Transformation
Die L-Transformation ist wahrscheinlich der bekannteste Vertreter aller quadratischenTransformationen [AS72, 17.5], [WW27, § 22¡42], [Ach70, § 38], [Cay76, § 254], [Tri48, IV,§ 7], [Hur00, II-7, § 5]. Sie ist gekennzeichnet durch die âPeriodenbeziehungenâ
K = 2MÎ, jKⲠ= jMÎⲠ(94)
welche eine Teilung der ersten (also reellen) Periode durch zwei anzeigen.38
Transformationsbeziehung Die mit Gleichung 94 verbundenen Transformationsbeziehun-gen sind:39
sn( uM
; Îť) =(1+ kâ˛) sn(u; k)cn(u; k)
dn(u; k)(95)
Îť =1â kâ˛
1+ kâ˛< k (96)
M =1
1+ kâ˛. (97)
Beweis. Beschränkt man sich auf die Periodenrechtecke um den Koordinatenursprung dann lie-gen die Nullstellen von sn(u/M; Îť) bekanntlich bei u = 0,Âą2MÎ, was nach den Periodenverhält-nissen laut Gleichung 94 äquivalent zu u = 0,ÂąK ist. Demzufolge liegen die Nullstellen bezĂźg-lich x bei x = 0,Âą1. In gleicher Art und Weise ergibt sich fĂźr die Pole u
]= 2MÎÂą jMÎⲠ= KÂą jKâ˛
und entsprechend fĂźr x
x]= sn(K Âą jKâ˛; k) =
1
k.
In Bezug auf den allgemeinen LĂśsungsansatzes muĂ es sich fĂźr y = f (x; k) also um eine Bezie-hung der Form
38Deshalb wird diese Transformation auch als reelle Multiplikation der Periodenverhältnisse bezeichnet.39Ein sehr eleganter Beweis von Formel 95 mit Hilfe der Theta-Funktionen ist in [WW27] zu finden. Auch eine
geometrische Interpretation der Transformationsbeziehung 95 ist mÜglich, vgl. [Tri48, IV, § 7], [Cay76, § 420].
49
4 Modultransformationen
y2 = A2x2 1â x2
1â k2x2(98)
handeln. Um nun die Werte fßr den Multiplikator M, das Modul Ν sowie A zu bestimmen ist esgßnstig in beiden LÜsungsansätzen das Verhältnis y/x zu bilden und dann gleichzusetzen.
A
â
1â x2
1â k2x2=
sn(u/M; Îť)
sn(u; k)(99)
Setzt man nun noch die drei ausgewählten Werte u = K/2, u = 0 und u = jKⲠein, dann sind die(ebenfalls drei) Unbekannten leicht zu bestimmen.
1. An der Stelle u = K/2 = MÎ nimmt nach Gleichung 38 der elliptische Sinus (und demzu-folge auch x) den Wert (1+ kâ˛)â1/2 an und es gilt
A
â
kâ˛
1+ kâ˛â k2=â
1+ kâ˛
A = 1+ kâ˛.
a) Setzt man nun den Wert u = 0 und folglich auch x = 0 in Gleichung 99 ein, dannwird wegen der Unbestimmtheit des rechtsseitigen Ausdrucks eine Grenzwertbe-stimmung nach der Regel von B-âH notwendig.
A = limuâ0
sn(u/M; Îť)
sn(u; k)
= limuâ0
snâ˛(u/M; Îť)
snâ˛(u; k)
=1
Mlimuâ0
cn(u/M; Îť)dn(u/M; Îť)
cn(u; k)dn(u; k)
=1
M
b) Den dritten Wert u = jKⲠ= jMÎⲠkann man beim rechtsseitigen GrenzĂźbergangauf den vorhergehenden Fall zurĂźckfĂźhren, wenn sn(u+ jKâ˛; k) = kâ1ns(u; k) bzw.sn(u/M+ jÎâ˛; Îť) = Îťâ1ns(u/M; Îť) nach Tabelle 3 beachtet wird. Um auch den links-seitigen Grenzwert ermitteln zu kĂśnnen, sind vorbereitend noch Zähler und Nenner
50
4 Modultransformationen
durch x zu dividieren.
limxââ
A
â
xâ2â1
xâ2â k2= lim
uâjKâ˛
sn(u/M; Îť)
sn(u; k)1
kM= lim
uâ0
sn(u+ jÎâ˛; Îť)
sn(u+ jKâ˛; k)
kM =Îť
klimuâ0
sn(u/M; Îť)
sn(u; k)
kM =Îť
kM
Îť = k2M2 =(1â kâ˛)(1+ kâ˛)
(1+ kâ˛)2=
1â kâ˛
1+ kâ˛
Eine weitere interessante Darstellung der Transformationsbeziehung ist mĂśglich, wenn man dieVerschiebungsrelation sn(u+K; k) = cd(u; k) zu Hilfe nimmt.
sn( uM
; Îť) = (1+ kâ˛)sn(u; k) sn(u+K; k)
In äquivalenter Art und Weise kann auch die folgende Formel abgeleitet werden, wenn man diePeriodenbeziehungen 94 der L-Transformation berßcksichtigt.
sn( uMâÎ; Îť) sn( u
M+Î; Îť) = â
[
(1+ kâ˛)sn(
u+ K2 ; k
)
sn(
uâ K2 ; k
)]2
Funktionsverlauf Der Verlauf der Transformationsbeziehung y = f (x; k) entsprechend Glei-chung 98
y = (1+ kâ˛)x
â
1â x2
1â k2x2. (100)
ist in Abbildung 10 grafisch dargestellt.
Im Gegensatz dazu zeigen die einzelnen Bilder in Abbildung 11 die äquivalente Parameterdar-stellung nach Gleichung 76 und 77. Der Parameter u läuft wieder auf dem Wegabschnitt Š1 inAbbildung 8a von 0 nach K, dann auf dem TeilstĂźck Š2 bis K + jKⲠund zuletzt bis zum Punkt2K + jKⲠ(bzw. rĂźckwärts nach jKâ˛).
Das Modul Îť Um eine Vorstellung vom Verlauf der Modulgleichung Îť = Ď(k) zu bekommen,wurde Formel 96 in Abbildung 12 grafisch dargestellt.40
40Wegen k > Îť wird diese Darstellung auch als aufsteigende L-Transformation bezeichnet (das Modul auf derrechten Seite der Gleichung ist grĂśĂer als das auf der linken). Aus der Definitionsgleichung 1 des komplementärenModuls ergibt sich folgerichtig ΝⲠ> kâ˛.
51
4 Modultransformationen
ââ âxââ
â
â1/Îť
y
1/Îť
1 1/kâ1â1/k
â1
1
0
0
Abbildung 10: LĂśsung der L-Transformation y = f (x; k)
y
x
u
1.0
0.5
0 K / 2 K0
(a) 0 ⤠u ⤠K
Imy
ââ
v
x
0 Kâ
0
2
â5
Kâ / 2
(b) u = K + jv
x
â
ââ
v
y
0 K / 2 K
0
(c) u = K + jKⲠ+ v
Abbildung 11: L-Transformation in Parameterdarstellung
52
4 Modultransformationen
1.00.50
0
1.0
0.5
k
Îť
Abbildung 12: Modultransformation Îť =1â kâ˛
1+ kâ˛
Aus der Modulbeziehung 96 kĂśnnen auĂerdem die folgenden nĂźtzlichen Vertauschungsrelatio-nen abgeleitet werden.
1+ kⲠ= 1+1âÎť1+Îť
=2
1+Îť
1+Îť =2
1+ kâ˛(101)
Gebräuchliche Darstellungen fĂźr das Modul k sind auĂerdem
k2 = 1â(
1âÎť1+Îť
)2
=(1+Îť)2â (1âÎť)2
(1+Îť)2
k2 =4Îť
(1+Îť)2= Îť(1+ kâ˛)2
k =2âÎť
1+Îť= (1+ kâ˛)
âÎť (102)
die wegen der Symmetrie von Formel 96 äquivalent auch fßr ΝⲠgelten.
ΝⲠ=2âkâ˛
1+ kâ˛= (1+Îť)
âkⲠ(103)
53
4 Modultransformationen
Eine weitere nĂźtzliche Formel fĂźr Îť ist die folgende
Îť =
(
k
1+ kâ˛
)2
=
(
1â kâ˛
k
)2
,
die sich aus der Multiplikation von Gleichung 96 mit 1+ kⲠbzw. 1â kⲠunter BerĂźcksichtigungder Definition des komplementären Moduls in Formel 1 ergibt.
Beziehungen fĂźr cn Die Transformationsbeziehung fĂźr cn(u/M; Îť) lautet
cn( uM
; Îť) =1â (1+ kâ˛)sn2(u; k)
dn(u; k). (104)
Beweis. Ausgangspunkt soll Definitionsgleichung 31 sowie die L-Transformation des el-liptischen Sinusâ in Formel 95 sein. Nach Kombination beider Gleichungen multipliziert manzuerst alle Terme aus, extrahiert danach (1+ kâ˛)sn2(u; k) und vereinfacht abschlieĂend durchAnwendung des binomischen Satzes.
cn2( uM
; Îť) = 1â sn2( uM
; Îť)
=dn2(u; k)â (1+ kâ˛)2sn2(u; k)cn2(u; k)
dn2(u; k)
=1â (1+ kâ˛)(1â kâ˛)sn2(u; k)â (1+ kâ˛)2sn2(u; k)+ (1+ kâ˛)2sn4(u; k)
dn2(u; k)
=1â2(1+ kâ˛)sn2(u; k)+ (1+ kâ˛)2sn4(u; k)
dn2(u; k)
=[1â (1+ kâ˛)sn(u; k)]2
dn2(u; k)
Beziehungen fĂźr dn Die Beziehung fĂźr dn kann ebenfalls ausgehend von der des elliptischenSinusâ in Gleichung 95 und mit Hilfe seiner Definitionsgleichung 32 ermittelt werden.
dn( uM
; Îť) =1â (1â kâ˛)sn2(u; k)
dn(u; k)(105)
54
4 Modultransformationen
Beweis.
dn2( uM
; Îť) = 1âÎť2sn2( uM
; Îť)
= 1âÎť2(1+ kâ˛)2 sn2(u; k)cn2(u; k)
dn2(u; k)
=dn2(u; k)â (1â kâ˛)2sn2(u; k)cn2(u; k)
dn2(u; k)
=1â k2sn2(u; k)â (1â kâ˛)2sn2(u; k)
[
1â sn2(u; k)]
dn2(u; k)
Ausmultiplizieren sowie nachfolgende Anwendung des Binomischen Satzes fĂźhrt zu
dn2( uM
; Îť) =1â2(1â kâ˛)sn2(u; k)+ (1â kâ˛)2sn4(u; k)
dn2(u; k)
=
[
1â (1â kâ˛)sn2(u; k)]2
dn2(u; k).
Die weitere Umformung der rechten Seite von Gleichung 105 kann jetzt noch so erfolgen, daĂsie einzig und allein auf dn(u; k) basiert.
dn( uM
; Îť) =1
1+ kâ˛Âˇkâ˛+dn2(u; k)
dn(u; k)=
1
2¡(1âÎť)+ (1+Îť)dn2(u; k)
dn(u; k)
Beweis. FĂźr den Beweis verwendet man am einfachsten Definitionsgleichung 32 und Hilfsfor-mel 2.
dn( uM
; Îť) =1â (1â kâ˛)sn2(u; k)
dn(u; k)
=1+ kâ˛â
[
1âdn2(u; k)]
(1+ kâ˛)dn(u; k)
=1
1+ kâ˛Âˇkâ˛+dn2(u; k)
dn(u; k)
Trigonometrische Beziehungen BezĂźglich Differentialgleichung 70 ist die L-Transformationdurch die Substitution
55
4 Modultransformationen
sinθ =(1+ kâ˛) sinĎ cosĎ
â
1â k2 sin2Ď
(106)
gekennzeichnet. Mit der Beziehung fĂźr doppelte Winkel sin2Ď= 12 sinĎ cosĎ ist äquivalent dazu
sinθ =1
1+Ν¡
sin2Ďâ
1â k2 sin2Ď
.
Aus Gleichung 104 ergibt sich folgerichtig fĂźr den Cosinus
cosθ =1â (1+ kâ˛) sin2Ďâ
1â k2 sin2Ď
=cos2Ďâ kⲠsin2Ďâ
1â k2 sin2Ď
(107)
und mit dem Theorem sin2Ď = 12 (1â cos2Ď) sowie der Modulbeziehung 96
cosθ =1
2¡1â kâ˛+ (1+ kâ˛)cos2Ď
â
1â k2 sin2Ď
=1
1+Ν¡
Îť+ cos2Ďâ
1â k2 sin2Ď
.
Insbesondere fĂźr numerische Berechnungen hat der trigonometrische Tangens Bedeutung. Dieentsprechenden Beziehungen kĂśnnen direkt aus Formel 95 sowie 104 gewonnen werden.
tanθ =sinθ
cosθ=
(1+ kâ˛) sinĎ cosĎ
cos2Ďâ kⲠsin2Ď=
(1+ kâ˛) tanĎ
1â kⲠtan2Ď(108)
Eine weitere oft verwendete Darstellungsvariante auf der Grundlage des Tangens ist
tan(θâĎ) = kⲠtanĎ . (109)
Beweis. Ausmultiplizieren von Gleichung 108 gefolgt von Umstellen nach kⲠtanĎ ergibt
(1â kⲠtan2Ď) tanθ = (1+ kâ˛) tanĎ
tanθâ kⲠtanθ tan2Ď = tanĎ+ kⲠtanĎ
tanθâ tanĎ = kⲠtanĎ(1+ tanθ tanĎ)
kⲠtanĎ =tanθâ tanĎ
1+ tanθ tanĎ.
Mit dem Additionstheorem tan(Îąâβ) = tanÎąâtanβ1+tanι¡tanβ kann man nach tan(θâĎ) auflĂśsen.
56
4 Modultransformationen
tan(θâĎ) = kⲠtanĎ.
Eine ebenfalls oft zu findende Darstellung mit Hilfe des trigonometrischen Sinusâ lautet:
sin(2Ďâ θ) = Îťsinθ (110)
sin[
Ďâ (θâĎ)]
= Îťsin[
Ď+ (θâĎ)]
.
Beweis. Sie kann aus Gleichung 109 abgeleitet werden, wenn man die trigonometrische Pro-duktformel sinιcosβ = 1/2
[
sin(Îą+β)+ sin(Îąâβ)]
anwendet.
sin(θâĎ)
cos(θâĎ)= kâ˛
sinĎ
cosĎ
sin(θâĎ) cosĎ = kⲠcos(θâĎ) sinĎ
sinθâ sin(2Ďâ θ) = kⲠsinθ+ kⲠsin(2Ďâ θ)(1+ kâ˛) sin(2Ďâ θ) = (1â kâ˛) sinθ
sin(2Ďâ θ) =1â kâ˛
1+ kâ˛sinθ
Beziehungen fĂźr F(Ď; k) Aus den allgemeinen Transformationsbeziehungen 77 und 76 sowieFormel 97 resultiert sofort folgende Darstellung
u = F(Ď; k) = MF(θ; Îť) (111)
F(θ; Îť) = (1+ kâ˛)F(Ď; k) . (112)
4.7.2 G-Transformation
Die G-Transformation realisiert im Gegensatz zur L-Transformation (welche die reel-le Periode teilt) eine Division der imaginären Periode durch zwei [Ach70, § 39], [Cay76, § 246].Sie wird in vielen Literaturquellen durch folgende Gleichungen beschrieben.
57
4 Modultransformationen
sn( uM
; Îť) =(1+ k) sn(u; k)
1+ k sn2(u; k)(113)
M =1
1+ k(114)
Îť =2âk
1+ k(115)
Es ist nun relativ einfach die G-Transformation mit Hilfe der elliptischen Funktionen direktaus der L-Transformation abzuleiten.41
Beweis. Nimmt man als Ausgangspunkt Gleichung 95 der L-Transformation und ersetztsn(u; k)cd(u; k) mit Hilfe von Gleichung 52, dann ergibt sich
sn( uM
; Îť) =1+ kâ˛
k
â
1âdn(2u; k)
1+dn(2u; k).
Quadrieren und Umstellen nach dn(2u; k) fĂźhrt zu einer ersten recht bekannten Gleichung derG-Transformation.
Îťsn2( uM
; Îť) [1+dn(2u; k)] = 1âdn(2u; k)
dn(2u; k)[
1+Îťsn2( uM
; Îť)]
= 1âÎťsn2( uM
; Îť)
dn(2u; k) =1âÎťsn2(u/M; Îť)
1+Îťsn2(u/M; Îť)(116)
Will man die Beziehungen fĂźr den elliptischen Sinus ermitteln, dann ist auf der linken Seite nochsn(2u; k) zu extrahieren. Dazu verwendet man am am einfachsten Definitionsgleichung 32 derDelta-Amplitude sowie Hilfsformel 102.
1â k2sn2(2u; k) =
[
1âÎťsn2(u/M; Îť)
1+Îťsn2(u/M; Îť)
]2
k2sn2(2u; k) =
[
1+Îťsn2(u/M; Îť)]2â
[
1âÎťsn2(u/M; Îť)]2
[
1+Îťsn2(u/M; Îť)]2
k2sn2(2u; k) =4Îťsn2(u/M; Îť)
[
1+Îťsn2(u/M; Îť)]2
sn(2u; k) =(1+Îť)sn(u/M; Îť)
1+Îťsn2(u/M; Îť)
41Häufig wird diese Transformation deshalb auch als absteigende L-Transformation bezeichnet.
58
4 Modultransformationen
Nimmt man zuletzt noch die Ersetzungen
ug =u
Mug
Mg
= 2u
Îťg = k (Îg = K)
kg = Îť (Kg = Î)
vor und bezieht die Transformationsbeziehungen 95, 97, und 96 mit ein, dann erhält man dieBeziehungen der G-Transformation.42
u = ugM =ug
2Mg
Mg =1
2M=
1+ kâ˛
2=
1
1+Îť=
1
1+ kg
Îťg =2âÎť
1+Îť=
2â
kg
1+ kg
kg =1â kâ˛
1+ kâ˛=
1âÎťâ˛g1+Îťâ˛g
Beziehungen fĂźr dn FĂźr die Delta-Amplitude dn ergibt sich die Transformationsbeziehungrecht einfach aus Zwischenformel 116, wenn Gleichung 34 in der Form
k2sn2(u; k) = 1âdn2(u; k)
berĂźcksichtigt wird.
dn( uM
; Îť) =1â ksn2(u; k)
1+ ksn2(u; k)
=kâ
[
1âdn2(u; k)]
k+[
1âdn2(u; k)] (117)
42Um die Eindeutigkeit bei der Darstellung der Zusammenhänge mit der L-Transformation zu wahren, sindalle GrĂśĂen aus den Formeln der G-Transformation mit âgâ indiziert worden
59
4 Modultransformationen
Beziehungen fĂźr cn Die noch ausstehende Beziehung fĂźr cn lautet
cn( uM
; Îť) =cn(u; k)dn(u; k)
1+ ksn2(u; k). (118)
Trigonometrische Beziehungen Die gesuchte Beziehung fĂźr den Sinus erhält man wiederdurch direkte Umsetzung von Transformationsbeziehung 113 mit Hilfe der trigonometrischenĂquivalenzen in Gleichung 70 sowie 30.
sinθ =(1+ k) sinĎ
1+ k sin2Ď
Eine eng mit der G-Form des elliptischen Integrals erster Art (siehe Gleichung 6) verbun-dene Darstellung ist immer die Ăźber den Tangens. Sie kann aus der vorangegangenen Gleichungsowie dem Ăquivalent fĂźr den Cosinus nach Formel 118
cosθ =cosĎ
â
1â k2 sin2Ď
1+ k sin2Ď
gewonnen werden, wenn man dann noch die trigonometrische Beziehung sin2Ď = tan2Ď/(1+tan2Ď) hinzuzieht.
tanθ =sinθ
cosθ=
(1+ k) sinĎ
cosĎâ
1â k2 sin2Ď
=(1+ k) tanĎ
â
1â k2 tan2 Ď
1+tan2 Ď
= (1+ k) tanĎ
â
1+ tan2Ď
1+ kâ˛2 tan2Ď(119)
Periodenverhältnis Die Bestimmung des Periodenverhältnisses gestaltet sich ausgehend vonden Periodenbeziehungen der L-Transformation relativ einfach. Man muĂ dabei nur Glei-chung 94 auf die mit einem tiefgestellten âgâ gekennzeichneten GrĂśĂen der G-Transformationumsetzen.
60
4 Modultransformationen
Îg = 2MKg =Kg
Mg
jÎâ˛g = jMKâ˛g = jKâ˛g
2Mg
2Kg
Kâ˛g=Îg
Îâ˛g(120)
4.8 Erste elliptische Haupttransformation, n ungerade
4.8.1 Periodenbeziehungen
Charakteristisch fĂźr die 1. elliptische Haupttransformation ist, daĂ die reelle Periode 2Ί= 4MÎvon y = g(u/M; Îť) genau n-mal die reelle Periode 2Ď = 4K von x = sn(u; k) teilt, die imagi-nären Perioden aber gleich sind (n-te Teilung der ersten Periode,43 vgl. Fall Îł = n, δ = 1 inAbschnitt 4.5).
K = nMÎ (121)
KⲠ= MÎⲠ(122)
Das sich ergebende Periodenverhältnis
Îâ˛
Î= n
Kâ˛
K(123)
zeigt, daĂ es sich bei der Beziehung zwischen Îť und k um eine Modulgleichung vom Grad n
handelt.44
Den Verlauf fĂźr x und y im Bereich âK ⤠u ⤠K in Abhängigkeit vom Parameter u zeigt Abbil-dung 13.
4.8.2 Funktionsverlauf
Fßr ungerades γ = n muà die Integrationskonstante C aus Abschnitt 4.5 verschwinden, damit yauf WegabschnittŠ2 in Abbildung 8a reell ist.45
43In der Literatur wird der Begriff der ersten Periode sehr häufig anstatt reelle Periode verwendet, da er besser derVerallgemeinerung mehrfach-periodischer Funktionen entspricht (siehe z. B. [Koe74]).
44Welche der Ungleichung Ν < k genßgt (vgl. Abbildung 4, in der das Verhältnis K/KⲠals Funktion des Moduls k
dargestellt ist).45Nach Tabelle 5 gilt auf diesem TeilstĂźck y = nd(Im(u)/M; Îťâ˛).
61
4 Modultransformationen
y(n = 5)
(n = 3)y
x
0âK K
0
â1
1
u
(a) n ungerade
x
0âK K
0
â1
1
u
(n = 4)y
y(n = 2)
(b) n gerade
Abbildung 13: Verlauf fĂźr x und y im Intervall âK ⤠u ⤠K
y = sn( uM
; Îť) (124)
Der zugeordnete Verlauf des Parameters u ist fĂźr diesen Fall nocheinmal anschaulich in Abbil-dung 14 illustriert (inklusive der positiven Nullstellen und Pole), wobei fett dargestellte Gitter-netzlinien reelle Werte des elliptischen Sinusâ kennzeichnen.
Der Funktionsverlauf von y = f (x; k) ist in Abbildung 15 dargestellt.
Er ist direkt aus dem Gitter in Abbildung 14 erklärbar, wenn man folgendes bedenkt:
1. Auf WegabschnittŠ1 läuft x von 0 nach 1 (u entsprechend von 0 bis K), während y wegenGleichung 121 genau n-mal die reelle Viertelperiode des elliptischen Sinus durchläuft unddadurch (nâ1)/2 Nullstellen erzeugt.46
2. Auf WegabschnittŠ2 läuft x von 1 bis 1/k (siehe auch Tabelle 5). Da die imaginären (Halb-) Perioden von x und y nach Formel 122 aber gleich sind, bewegt sich y äquivalent von 1bis 1/Ν.
3. Auf AbschnittŠ3 des Weges von u herrschen ähnliche Verhältnis wie auf dem Ersten, nurdaĂ y hier invertiert ist und so wegen Formel 121 genau (nâ1)/2 Pole generiert.
4.8.3 Rationale LĂśsungsfunktion
Aus den wichtigsten Eigenschaften der Differentialgleichung 70 sowie der Transformationsfunk-tion, welche in Abschnitt 4.5 erarbeitet wurden, hat schon C.G.J. J in [Jac29] die folgen-de spezielle Form der rationalen Transformationsfunktion geschluĂfolgert (vgl. auch [Cay76,§ 229], [Ach70, § 40]).
46Die Nullstelle bei x = 0 nicht mitgezählt.
62
4 Modultransformationen
j2Kâj3Kâ
0
jKâ
0
âjKâ
3K2KKâ3K â2K âKu
u:
x:
y:
Imag
inär
Reell
u:
x:
y: â
â
Kn
2Kn
3Kn
4Kn
5Kn
6Kn
K0
0
0
+1
0 0 0â1 +1â1 +1
1/Îť
1/k
K+jKâjKâ
2
3
1
Abbildung 14: Verlauf von u in der komplexen Ebene (n = 7, ungerade)
63
4 Modultransformationen
â
ââ x
â1/Îť
1/k
1/Îť
y
â0
0
1
â1
0
+1
Abbildung 15: Erste elliptische Haupttransformation fĂźr n = 7
y =x
M¡
(
1â x2
a22
) (
1â x2
a24
) (
1â x2
a26
)
¡ ¡ ¡
(1â k2a22x
2)(1â k2a24x
2)(1â k2a26x
2) ¡ ¡ ¡=
x
M
nâ1â
ν=2,4,6,...
1â x2
a2ν
1â k2a2νx
2(125)
Sie gewährleistet insbesondere, daĂ
⢠y = f (x; k) eine rationale, ungerade Polynomfunktion der Form U(x)/V(x) ist;
⢠das Verhalten fßr reziproke Argumente der Art 1/kx konform zu Gleichung 81 erfßlltwerden kann;
⢠sowie die speziellen Werte f (0; k) = 0 und f (1; k) = (â1)(nâ1)/2 realisierbar sind.47
4.8.4 Nullstellen (Koeffizienten)
Offen ist unter anderem die Bestimmung der Koeffizienten ai, welche sowohl zur Berechnungvon M als auch Îť benĂśtigt werden. Dazu muĂ man sich Ăźber die Lage und Anzahl der Nullstellenin Gleichung 125 klar werden.
1. Die durch Gleichung 125 repräsentierte Funktion hat n Nullstellen, wobei (nâ1)/2 davonletztlich die Koeffizienten aν erzeugen.
47Wobei der Wert f (1; k) = (â1)(nâ1)/2 durch den Multiplikator M angepaĂt wird.
64
4 Modultransformationen
2. In der gleichwertigen (elliptischen) Parameterdarstellung 77, also in y = sn(u/M; Îť), mĂźs-sen diese Nullstellen ebenfalls enthalten sein.
Die Koeffizienten aν der rationalen Transformationsgleichung 125 sind nun folgendermaĂenbestimmt
aν = sn(
νKn
; k)
, ν = 2,4,6, . . . ,nâ1 . (126)
Beweis. Kennt man die Nullstellen xν von Gleichung 125, dann kennt man auch die Koeffizien-ten aν darin.48
aν = xν, ν = 2,4,6, . . . ,nâ1
Die reellen Nullstellen, die alle im Bereich |x| < 1 bzw. |u| < K liegen, ergeben sich aus derelliptischen Parameterdarstellung fĂźr y
y = sn(uνM
; Îť)
= 0
uν = νMÎ, |ν| = 0,2,4,6, . . . ,nâ1
sowie der fĂźr x in Verbindung mit den Periodenbeziehungen.
xν = sn(uν; k)
xν = sn(
νKn
; k)
⤠1, |ν| = 0,2,4,6, . . . ,nâ1 (127)
4.8.5 Polstellen
Die nâ1 reellen Pole ermitteln sich nun recht einfach, wenn man in Gleichung 125 die Produkt-terme des Nenners Null setzt.
x]ν =
1
kaν=
1
kxν
x]ν =
1
ksn(
νKn
; k) âĽ
1
k, |ν| = 2,4,6, . . . ,nâ1 (128)
48Wobei an dieser Stelle nur die positiven und von Null verschiedenen Nullstellen betrachtet werden.
65
4 Modultransformationen
Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn die elliptische Darstellung mittels Gleichung 76und 77 als Ausgangspunkt genommen wird. Die Pole liegen dann offensichtlich auf dem We-gabschnittŠ3 laut Abbildung 14 bzw. Tabelle 5, und zwar bei u
]ν = K + jKâ˛+ νK/n.
4.8.6 Extremwerte
Die lokalen Extremwerte, deutlich sichtbar auch in Abbildung 15, liegen bei
xE = sn(uE; k) =
Âąsn(
νKn
; k)
Âą 1kns
(
νKn
; k) , ν = 1,3,5, . . .nâ2
yE = sn(
uEM
; Î)
=
Âą1
Âą 1Îť
.
Beweis. Die Bestimmung der Extremwerte kann (wie Ăźblich) mit Hilfe der ersten Ableitungvon y = f (x; k) erfolgen. Bedenkt man aber, daĂ y = f (x; k) ja die LĂśsung der Differentialglei-chung 69 ist, dann kann man mit Blick auf Formel 71 sofort zur Bestimmung der Nullstellenvon dy/dx Ăźbergehen.
dy
dx=
1
M¡cn( u
M; Îť)dn( u
M; Îť)
cn(u; k)dn(u; k)= 0 .
Die Kombination der Nullstellen von cn(u/M; Îť) und dn(u/M; Îť) fĂźhrt nach Tabelle 1 fĂźr u zuden Extremstellen
uE
M= (2Ρ+1)Î+ jÎśÎâ˛, Ρ, Îś â Z
uE = (2Ρ+1)K
n+ jΜKⲠ.
BerĂźcksichtigt man die Ausprägungen des elliptischen Sinusâ fĂźr spezielle Argumente nach Ta-belle 2, dann kann der Beweis abgeschlossen werden.
xE = sn(uE; k) =
Âąsn(
νKn
; k)
(ν = 1,3,5, . . .nâ2 ; Îś gerade)
Âą 1kns
(
ÂľKn
; k)
(Âľ = 1,3,5, . . .nâ2 ; Îś ungerade)
yE = sn(
uEM
; Î)
=
Âą1 (ν = 1,3,5, . . .nâ2 ; Îś gerade)
Âą 1Îť
(Âľ = 1,3,5, . . .nâ2 ; Îś ungerade).
66
4 Modultransformationen
4.8.7 Beziehungen fĂźr die elliptischen Funktionen
Transformationsbeziehung fĂźr sn Die Transformationsbeziehung bei Verwendung des el-liptischen Sinusâ ist direkt in Gleichung 125 enthalten, wenn man x und y entsprechend derBeziehungen 76 und 77 ersetzt.
sn( uM
; Îť) =sn(u; k)
M
nâ1â
ν=2,4,6,...
1â sn2(u; k)
sn2(νK/n; k)
1â k2sn2(
νKn
; k)
sn2(u; k)(129)
Aus der letzten Darstellung der Transformationsbeziehung läĂt sich auch die Linearfaktorzerle-gung mit Hilfe der Pol- und Nullstellen gewinnen.
y =x
M
nâ1â
ν=2,4,6,...
1â x2
x2ν
1â k2x2νx2
y =x
M
nâ1â
ν=2,4,6,...
1
k2x4ν
¡(xâ xν)(x+ xν)
(xâ 1kxν
)(x+ 1kxν
)
y = (â1)nâ1
2k
ÎťMx
nâ1â
ν=2,4,6,...
(xâ xν)(x+ xν)(xâ x
]ν)(x+ x]ν)
Weitere interessante Darstellungen der Transformationsbeziehung 129 ergeben sich bei Vorweg-nahme von Gleichung 138
nâ2â
ν=1,3,5,...
sn2(
νKn
; k)
= M
nâ1â
ν=2,4,6,...
sn2(
νKn
; k)
sowie Multiplikationsformel 47.
sn( uM
; Îť) =sn(u; k)
M
nâ1â
ν=2,4,6,...
1
sn2(
νKn
; k) ¡
sn2(
νKn
; k)
â sn2(u; k)
1â k2sn2(
νKn
; k)
sn2(u; k)
= (â1)nâ1
2sn(u; k)
nâ2â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKn
; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...
sn(
u+ νKn
; k)
sn(
uâ νKn
; k)
= (â1)nâ1
2
â
Îť
knsn(u; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...
sn(
u+ νKn
; k)
sn(
uâ νKn
; k)
= (â1)nâ1
2
â
Îť
kn
nâ1â
ν=â(nâ1),â(nâ3),...
sn(
u+ νKn
; k)
67
4 Modultransformationen
Transformationsbeziehung fĂźr cn Die Beziehungen fĂźr cn und dn kĂśnnen z. B. abgeleitetwerden, indem man die Pole und Nullstellen der (ebenfalls) rationalen Polynome cn2(u/M; Îť) =1â y2 und dn2(u/M; Îť) = 1âÎť2y2 ermittelt. Beide Funktionen haben die gleichen Pole, wie derelliptische Sinus y = sn(u/M; Îť) = U(x)/V(x) fĂźr diesen Fall.
1â y2 =V2(x)âU2(x)
V2(x)
1âÎť2y2 =V2(x)âÎť2U2(x)
V2(x)
Zur Bestimmung der Linearfaktoren des Zählers wird zuerst der elliptische Cosinus cn(u/M; Îť)betrachtet, dessen Nullstellen bei (2ν+1)MÎ = (2ν+1)K/n mit ν â Z liegen. An diesen Stellennimmt x nach Gleichung 76 die Werte sn[(2ν+1)K/n; k] an. Da der Grad des Zählerpolynomsgenau dem von y entspricht läĂt sich folgende Linearfaktordarstellung angeben, die abgesehenvom Vorfaktor A eindeutig bestimmt ist.
1â y2 = cn2( uM
; Îť) = A2
4nâ1â
Âľ=1,3,5,...
[
xâ sn(
ÂľKn
; k)]
nâ1â
ν=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
Wegen der Symmetrie sn(K âu; k) = sn(K +u; k) und der Spiegelungsbeziehung sn(2K âu; k) =âsn(2K +u; k) kann man den Zähler vereinfachen.
cn2( uM
; Îť) = A2(1â x2)
nâ2â
Âľ=1,3,5,...
[
x2â sn2(
ÂľKn
; k)]2
nâ1â
ν=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
= A2(1â x2)nâ2â
Âľ=1,3,5,...
sn4(
ÂľKn
; k)
¡
nâ2â
Ρ=1,3,5,...
[
1â x2
sn2(ΡK/n; k)
]2
nâ1â
ν=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
Aus dem schon bekannten Funktionswert y = f (0; k) = 0 entsprechend Abschnitt 4.5, Formel 82kann man abschlieĂend den Vorfaktor A ermitteln
68
4 Modultransformationen
1 = A2nâ2â
Âľ=1,3,5,...
sn4(
ÂľKn
; k)
A2 =1
nâ2â
Âľ=1,3,5,...sn4
(
ÂľKn
; k)
und damit die Transformationsbeziehung fĂźr cn angeben.
cn( uM
; Îť) = cn(u; k)
nâ2â
Âľ=1,3,5,...1â sn2(u; k)
sn2(ÂľK/n; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
sn2(u; k)
(130)
Transformationsbeziehung fĂźr dn FĂźr dn kann man in gleicher Art und Weise verfahren,also beginnend mit der Bestimmung der Nullstellen. Wegen dn(v+ jKâ˛; k) = âjcs(v; k) nach Ta-belle 3 liegen die Nullstellen (bezĂźglich u) bei (2ν+1)MÎ+ jMÎⲠ= (2ν+1)K/n+ jKⲠmit ν â Z.Da aber (vgl. ebenfalls Tabelle 3) fĂźr sn die Beziehung sn(v+ jKâ˛; k) = kâ1ns(v; k) gilt, nimmtx an den Nullstellen die Werte kâ1 ns[(2ν+1)K/n; k] an. Nun ist man (wie beim elliptischenCosinus auch) in der Lage eine entsprechende Linearfaktordarstellung anzugeben.
1âÎť2y2 = dn2( uM
; Îť) = B2
4nâ1â
Âľ=1,3,5,...xâ kâ1ns
(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
= B2(
x2â kâ2)
nâ2â
Âľ=1,3,5,...
[
x2â kâ2ns2(
ÂľKn
; k)]2
nâ1â
ν=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
Aus dem Funktionswert y = 0 an der Stelle x = 0 kann man wieder den Vorfaktor bestimmen.
B2 = âk2nâ2â
Âľ=1,3,5,...
k4sn4(
ÂľKn
; k)
Einsetzen und Ausmultiplizieren des Zählers liefert das Ergebnis
69
4 Modultransformationen
dn2( uM
; Îť) =(
1â k2x2)
nâ2â
Âľ=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
ÂľKn
; k)
x2]2
nâ1â
ν=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
dn( uM
; Îť) =â
1â k2x2
nâ2â
Âľ=1,3,5,...1â k2sn2
(
ÂľKn
; k)
x2
nâ1â
ν=2,4,6,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
x2
(131)
dn( uM
; Îť) = dn(u; k)
nâ2â
Âľ=1,3,5,...1â k2sn2
(
ÂľKn
; k)
sn2(u; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
sn2(u; k)
. (132)
4.8.8 Der Multiplikator M
Mit dem Funktionswert y = (â1)(nâ1)/2 an der Stelle x = 1 kann man den Multiplikator M inGleichung 125 recht einfach bestimmen (vgl. auch allgemeine Aussagen in Abschnitt 4.5, For-mel 82).
(â1)nâ1
2 =1
M
nâ1â
ν=2,4,6,...
1âaâ2ν
1â k2a2ν
M = (â1)nâ1
2
nâ1â
ν=2,4,6,...
1âaâ2ν
1â k2a2ν
(133)
Mit der Formel fĂźr die Koeffizienten aν ergeben sich neue DarstellungsmĂśglichkeiten sowohlfĂźr M als auch Îť. Dazu soll mit Hilfe der Verschiebungsrelation sn(K âu; k) = cd(u; k) nach 3zuerst der folgende (mehrfach auftretende) Term vereinfacht werden.
1âa2ν
1â k2a2ν
= cd2(
νKn
; k)
, ν = 2,4,6, . . . ,nâ1
= sn2(
K â νKn
; k)
= sn2(
(nâ ν)Kn
; k)
= sn2(
ÂľKn
; k)
, Âľ = nâ2,nâ4, . . . ,5,3,1 (134)
Jetzt kann ausgehend von Gleichung 133 der Multiplikator M konkretisiert werden.
70
4 Modultransformationen
M =
nâ1â
ν=2,4,6,...
1
a2ν
¡1âa2
ν
1â k2a2ν
=
nâ2â
Âľ=1,3,5,...sn2
(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...sn2
(
νKn
; k)
(135)
4.8.9 Das Modul Îť
Aus der Eigenschaft der Unveränderlichkeit von Differentialgleichung 69 fßr x := 1/kx und y :=1/Νy nach Formel 81 kann man das Modul Ν ermitteln.
Îť = M2knnâ1â
ν=2,4,6,...
a4ν = k
nnâ1â
ν=2,4,6,...
(
1âa2ν
1â k2a2ν
)2
(136)
Beweis. Dazu geht man wieder von Gleichung 125 aus und nimmt darin die entsprechendenSubstitutionen vor.
1
Îťy=
1
kM
nâ1â
ν=2,4,6,...
1â 1k2a2
ν x2
1â a2ν
x2
Da auch hier die Bedingung y = f (1; k) = (â1)(nâ1)/2 erfĂźllt sein soll (vgl. spezielle Werte nachFormel 82), kann man, wenn Gleichung 133 hinzugenommen wird, schreiben
1
Îť=
1
kM
nâ1â
ν=2,4,6,...
1â 1k2a2
ν
1âa2ν
Îť = kM
nâ1â
ν=2,4,6,...
1âa2ν
1â 1k2a2
ν
(137)
= kM
nâ1â
ν=2,4,6,...
k2a4ν
nâ1â
ν=2,4,6,...
1âaâ2ν
1â k2a2ν
Îť = M2knnâ1â
ν=2,4,6,...
a4ν .
Setzt man nun die Darstellung fĂźr M nach Formel 135 in Gleichung 137 ein, dann erhält manrecht schnell eine Darstellung fĂźr Îť, die nur noch von den Koeffizienten aν abhängt. Dazu werdenZähler und Nenner auĂerdem mit mit k2a2
ν multipliziert und dann mittels kânâ1
ν=2,4,6,... k2 = kn
weiter vereinfacht.
71
4 Modultransformationen
Îť = (â1)nâ1
2 k
nâ1â
ν=2,4,6,...
1âa2ν
1â 1k2a2
ν
¡1â 1
a2ν
1â k2a2ν
= (â1)nâ1
2 k
nâ1â
ν=2,4,6,...
k2 1âa2ν
k2a2ν â1
¡a2ν â1
1â k2a2ν
Îť = (â1)nâ1
2 knnâ1â
ν=2,4,6,...
(
1âa2ν
1â k2a2ν
)2
Wie auch in [Jac29, § 23] dargestellt, fßhrt (unter Zuhilfenahme von Formel 134) Einsetzen derKoeffizientenbeziehung 126 zu der folgenden bekannten Form fßr Ν:
Îť = knnâ2â
ν=1,3,5,...
sn4(
νKn
; k)
= M2knnâ1â
ν=2,4,6,...
sn4(
νKn
; k)
. (138)
4.8.10 Das komplementäre Modul Îťâ˛
Die Beziehung zwischen den komplementären Modulen kann direkt aus Gleichung 132 abgele-sen werden, wenn man dort den speziellen Wert u = K (also dn(nÎ; Îť) = Îťâ˛) einsetzt.
ΝⲠ= kâ˛
nâ2â
Âľ=1,3,5,...1â k2sn2
(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
= kâ˛
nâ2â
Âľ=1,3,5,...dn2
(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=2,4,6,...dn2
(
νKn
; k)
Mit dn(K âu; k) = kâ˛nd(u; k) kann man diese Relation bei entsprechender Umindizierung sogarnoch weiter vereinfachen.
ΝⲠ=
kâ˛nâ2â
Âľ=1,3,5,...kâ˛2
nâ2â
Âľ=1,3,5,...dn2
[
(nâÂľ)Kn
; k] nâ1
â
ν=2,4,6,...dn2
(
νKn
; k)
=kâ˛n
nâ1â
ν=2,4,6,...dn4
(
νKn
; k)
72
4 Modultransformationen
j2Kâj3Kâ
0
jKâ
0
âjKâ
3K2KKâ3K â2K âKu
Imag
inär
Reell
u:
x:
y:
u:
x:
y: ââ
â
Kn
2Kn
3Kn
4Kn
5Kn
0
0
+1 â1 +1 â100 0
jKâ
K
+1
K+jKâ
1/k
â1/Îť
21
3
Abbildung 16: Verlauf von u in der komplexen Ebene (n = 6, gerade)
4.9 Erste elliptische Haupttransformation, n gerade
4.9.1 Funktionsverlauf
Fßr gerades γ = n muà die Integrationskonstante C aus Abschnitt 4.5 die reelle ViertelperiodeC = Ί/2 = MΠannehmen (vgl. auch Tabelle 6),
y = sn( uM+Î; Îť) = cd( u
M; Îť) (139)
damit y = f (x; k) eine gerade Funktion und auĂerdem auf WegabschnittŠ2 in Abbildung 8a reellist. Der zugeordnete Verlauf des Parameters u (inklusive der positiven Nullstellen und Pole) istdazu nocheinmal anschaulich in Abbildung 16 illustriert.
Der Funktionsverlauf von y = f (x; k) entspricht prinzipiell dem fĂźr ungerade n, nur der Funkti-onswert an der Stelle x = 0 ist wegen der Verschiebung entlang der reellen Achse y = 1 (sieheAbbildung 17).
73
4 Modultransformationen
â
ââ
â
1/Îť
â1/Îť
y
x
1/k
0
0
0
â1
+1
1
Abbildung 17: Erste elliptische Haupttransformation fĂźr n = 6
4.9.2 Rationale LĂśsungsfunktion
Aus den wichtigsten Eigenschaften der Differentialgleichung 70 sowie der Transformationsfunk-tion, welche in Abschnitt 4.5 erarbeitet wurden, kann man wiederum auf die Form der (diesmalgeraden) rationalen Transformationsfunktion schlieĂen [Ach70, Tab. XXII].
y =
(
1â x2
a21
) (
1â x2
a23
) (
1â x2
a25
)
¡ ¡ ¡
(1â k2a21x
2)(1â k2a23x
2)(1â k2a25x
2) ¡ ¡ ¡=
nâ1â
ν=1,3,5,...
1â x2
a2ν
1â k2a2νx
2(140)
Sie erfĂźllt unter anderem auch die speziellen Werte f (0; k) = 1 und f (1; k) = (â1)n/2. Aus demFunktionswert f (0; k) = 1 ergibt sich die noch erwähnenswerte Beziehung:49
nâ1â
ν=1,3,5,...
a2ν =
nâ1â
ν=1,3,5,...
1âa2ν
1â k2a2ν
.
49Diese Relation ist, wenn man die Koeffizientenformel kennt, auch sofort aus sn(
K â νKn ; k)
= cd[
νKn ; k]
abzuleiten.
74
4 Modultransformationen
4.9.3 Nullstellen (Koeffizienten), Pole und Extremwerte
Wie schon Abbildung 16 anschaulich zeigt, ist die Lage der Pole und Nullstellen (gegenĂźberungeradem Grad n) entsprechend der Integrationskonstante C um Ί/2 = MÎ, also fĂźr u um K/n
verschoben (vgl. WegabschnitteŠ1 undŠ3 ).
aν = xν = sn(
νKn
; k)
, ν = 1,3,5, . . . ,nâ1 (141)
x]ν =
1
ksn(
νKn
; k) âĽ
1
k(142)
Gleiches gilt auch fĂźr die Extremwerte
xE =
Âąsn(
νKn
; k)
Âą1
kns
(
νKn
; k) , ν = 0,2,4, . . . ,nâ2
yE =
Âą1
Âą1
Îť
,
wobei einer der Werte fĂźr ν = 0 bei xââ zu liegen kommt.
4.9.4 Beziehungen fĂźr die elliptischen Funktionen
Transformationsbeziehung fĂźr sn Die Transformationsbeziehung fĂźr den elliptischen Si-nus ist wieder direkt in Gleichung 140 enthalten, wenn man x und y durch die entsprechendenelliptischen Funktionen ersetzt.
sn( uM+Î; Îť) =
nâ1â
ν=1,3,5,...
1â sn2(u; k)
sn2(νK/n; k)
1â k2sn2(
νKn
; k)
sn2(u; k)(143)
Eine weitere interessante Darstellung der Transformationsbeziehung 129 ergibt sich auch hiermit Hilfe von Multiplikationsformel 47.
75
4 Modultransformationen
sn( uM+Î; Îť) =
nâ1â
ν=1,3,5,...
1
sn2(
νKn
; k) ¡
sn2(
νKn
; k)
â sn2(u; k)
1â k2sn2(
νKn
; k)
sn2(u; k)
= (â1)n2
nâ1â
ν=1,3,5,...
sn(
u+ νKn
; k)
sn(
uâ νKn
; k)
sn2(
νKn
; k)
= (â1)n2
â
kn
Îť
nâ1â
ν=â(nâ1),â(nâ3),...
sn(
u+ νKn
; k)
Transformationsbeziehung fĂźr cn Ăhnlich wie fĂźr den Fall eines ungeraden n (vgl. Ab-schnitt 4.8.7) kann man auch hier vorgehen und erhält in Folge
cn( uM+Î; Îť) = â
Îťâ˛
Msn(u; k)cn(u; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1â sn2(u; k)
sn2(ÂľK/n; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
sn2(u; k)
. (144)
Beweis. Auch diesmal kann man die Gleichung fĂźr cn durch Betrachtung der Pole und Nullstel-len herleiten (vgl. Abschnitt 4.8.7). Dazu geht man wieder von einem Ansatz aus, in welchemeigentlich nur ein Vorfaktor zu bestimmen ist.
1â y2 = cn2( uM+Î; Îť) = A2
4nâ2â
Âľ=0,2,4,...xâ sn
(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
Wegen der Symmetrie des elliptischen Sinus um K, d. h. sn(K âu; k) = sn(K +u; k) sowie derSpiegelungsbeziehung sn(2K âu; k) = âsn(2K +u; k) kann vorher noch das Produkt im Zählerreduziert werden. LĂśst man dabei auĂerdem die Faktoren fĂźr Âľ = 0,n,2n und 3n heraus, so ergibtsich
cn2( uM+Î; Îť) = âA2x2(1â x2)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...
[
x2â sn2(
ÂľKn
; k)]2
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2.
Um den Vorfaktor A nun zu bestimmen, kann man z. B. den Funktionswert fĂźr xââ heranzie-hen, welcher schon zu y = 1/Îť ermittelt wurde.
76
4 Modultransformationen
1â1
Îť2= lim
xâââA2x2(1â x2)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...
[
x2â sn2(
ÂľKn
; k)]2
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
(
Îťâ˛
Îť
)2
= â limxââ
A2
(
1
x2â1
)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...
[
1â sn2(ÂľK/n; k)x2
]2
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1x2 â k2sn2
(
νKn
; k)]2
A2 =
(
Îťâ˛
Îť
)2 nâ1â
ν=1,3,5,...
[
k2sn2(
νKn
; k)]2
A2 =
(
knÎťâ˛
Îť
)2 nâ1â
ν=1,3,5,...
sn4(
νKn
; k)
Einsetzen des gerade ermittelten Vorfaktors fĂźhrt zu einer ersten geschlossen LĂśsung
cn( uM+Î; Îť) = âkn
Îťâ˛
Îťxâ
1â x2nâ1â
ν=1,3,5,...
sn2(
νKn
; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...x2â sn2
(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
x2
,
welche allerdings nicht gerade Ăźbersichtlich ist. Mit Vorgriff auf die Berechnungsformeln fĂźr Îťund M (Gleichungen 146 und 147) und deren Beziehung zueinander
Îť
M= (â1)
n2 kn
nâ1â
ν=1,3,5,...
sn2(
νKn
; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...
sn2(
ÂľKn
; k)
ist man in der Lage, eine etwas kĂźrzere Form anzugeben.
cn( uM+Î; Îť) = â
Îťâ˛
Mxâ
1â x2
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1â x2
sn2(
ÂľKn
; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
x2
Transformationsbeziehung fĂźr dn Die entsprechende Beziehung fĂźr dn lautet:
77
4 Modultransformationen
dn( uM+Î; Îť) = Îťâ˛dn(u; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1â k2sn2
(
ÂľKn
; k)
sn2(u; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
sn2(u; k)
. (145)
Beweis. Auch hier geht man am besten wieder von den Nullstellen aus, welche entsprechend derDefinition fĂźr die elliptische Delta-Amplitude dort liegen mĂźssen, wo sn(u/M+Î; Îť)den Wert1/Îť annimmt. Genau diese Stellen haben wir aber schon als Extremwerte des Funktionsverlaufesdieser Transformation erkannt. Sie liegen bei xE = Âąkâ1ns(ÂľK/n; k)mit Âľ = 0,Âą2,Âą4, . . ., wasfolgenden Ansatz fĂźr eine Linearfaktordarstellung rechtfertigt
1âÎť2y2 = dn2( uM+Î; Îť) = B2
4nâ2â
Âľ=2,4,6,...Âľ,2n
[
xâ kâ1ns(
ÂľKn
; k)]
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2.
Wieder berĂźcksichtigen wir, daĂ sn(u; k) eine ungerade Funktion mit der Halbperiode 2K ist undextrahieren auĂerdem den speziellen Wert ns(ÂľK/n; k) = Âą1fĂźr die Indizes Âľ = n,3n.
dn2( uM+Î; Îť) = B2
(
x2â kâ2)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...
[
x2â kâ2ns2(
ÂľKn
; k)]2
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
Der Vorfaktor kann z. B. durch Einsetzen des Funktionswertes an der Stelle u = 0, d. h. y =f (0; k) = 1 bestimmt werden.
1âÎť2 = âB2kâ2nâ2â
Âľ=2,4,6,...
[
kâ2ns2(
ÂľKn
; k)]2
B2 = âÎťâ˛2k2(nâ1)nâ2â
Âľ=2,4,6,...
sn4(
ÂľKn
; k)
Mit diesem Ausdruck fĂźr B kann man nun die Transformationsbeziehung fĂźr dn(u/M+Î; Îť)konkretisieren.
78
4 Modultransformationen
dn2( uM+Î; Îť) = Îťâ˛2
(
1â k2x2)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...
[
1â k2sn2(
ÂľKn
; k)
x2]2
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
1â k2sn2(
νKn
; k)
x2]2
dn( uM+Î; Îť) = Îťâ˛dn(u; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1â k2sn2
(
ÂľKn
; k)
sn2(u; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
sn2(u; k)
4.9.5 Das Modul Îť
Das Modul Îť kann auf den verschiedensten Wegen bestimmt werden, z. B. auch wieder ausder Eigenschaft der Invarianz von Differentialgleichung 69 fĂźr x := 1/kx und y := 1/Îťy nachFormel 81.
Îť = knnâ1â
ν=1,3,5,...
sn4(
νKn
; k)
(146)
Beweis. An dieser Stelle soll zur Abwechslung ein anderer, ebenfalls sehr einfacher Weg, be-schritten werden. Dazu evaluiert man Transformationsbeziehung 140 am Extremwert xE ââ,wo bekanntlich yE = 1/Îť gelten muĂ.
1
Îť= lim
xââ
nâ1â
ν=1,3,5,...
1â x2
a2ν
1â k2a2νx
2
= limxââ
nâ1â
ν=1,3,5,...
1x2 â 1
a2ν
1x2 â k2a2
ν
=
nâ1â
ν=1,3,5,...
1
k2a4ν
= knnâ1â
ν=1,3,5,...
sn4(
νKn
; k)
79
4 Modultransformationen
4.9.6 Der Multiplikator M
Der Multiplikator M hat im Fall eines geraden n den Wert
M = (â1)n2 ¡
nâ1â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKn
; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...sn2
(
ÂľKn
; k)
. (147)
Beweis. Der Multiplikator M kann diesmal nicht durch einfaches Einsetzen spezieller Werteermittelt werden, da er in der rationalen Form 140 nicht auftaucht. Statt dessen wird hier dieerste Ableitung der elliptischen als auch der rationalen Transformationsbeziehung herangezo-gen und mit deren Hilfe M bestimmt. Zuerst wenden wir uns deshalb dem Ausgangsproblemder Transformationstheorie, nämlich Differentialgleichung 71 zu. Um einen relativ einfachenLÜsungsweg zu beschreiten, konzentrieren wir uns dabei auf die Nullstellen xmbzw. ummitum = mK/n = mMΠ(m ungerade).
yⲠ= f â˛(xm; k) =1
M
â
(1â x2m)(1â k2x2m
)
Aus dieser Gleichung kann man, wenn f â˛(xm; k) bekannt ist, sofort den Parameter M ermitteln.
M =1
f â˛(xm; k)cn(um; k)dn(um; k)(148)
Die erste Ableitung der rationalen Transformationsbeziehung 140 kann durch logarithmischeDifferentiation gewonnen werden. Dazu seien vorab noch die folgenden Kurzformen vereinbartund ihre Ableitungen gebildet.
pν(x) = 1â x2
a2ν
pâ˛Î˝(x) = â2x
a2ν
qν(x) = 1â k2a2νx
2 qâ˛Î˝(x) = â2k2a2νx
Es folgt die eigentliche Differentiation von
lny = lnnâ1â
ν=1,3,5,...
pν(x)
qν(x)
zu
80
4 Modultransformationen
f â˛(xm; k)
f (xm; k)=
nâ1â
Âľ=1,3,5,...
[
pÂľ(x)
qÂľ(x)
]Ⲡq¾(x)
pÂľ(x)
f â˛(xm; k) =nâ1â
ν=1,3,5,...
[
pν(x)
qν(x)
] nâ1â
Âľ=1,3,5,...
[
pÂľ(x)
qÂľ(x)
]â˛ÂˇqÂľ(x)
pÂľ(x)
=
nâ1â
ν=1,3,5,...
[
pν(x)
qν(x)
] nâ1â
Âľ=1,3,5,...
pâ˛Âľ(x)qÂľ(x)âqâ˛Âľ(x)pÂľ(x)
pÂľ(x)qÂľ(x).
Setzt man jetzt die Nullstelle xm ein, dann verschwindet pm(xm) und demzufolge (eigentlich) dasganze Produkt
ânâ1ν=1,3,5,... pν(x)/qν(x). Da in diesem Fall aber der Summenterm mit Âľ = m eine
behebbare Unbestimmtheit aufweist (KĂźrzen von pm(x) im Produkt mit pÂľ(x) im Nenner derSumme), verschwindet der Summenausdruck. Dabei gilt es pâ˛m(xm)=â2/xm zu berĂźcksichtigen.
f â˛(xm; k) =
[
pâ˛m(xm)
pm(xm)âqâ˛m(xm)
qm(xm)
] nâ1â
ν=1,3,5,...
pν(xm)
qν(xm)
=pâ˛m(xm)
pm(xm)
nâ1â
ν=1,3,5,...
pν(xm)
qν(xm)
= â 2
xm¡ 1
qm(xm)
nâ1â
ν=1,3,5,...ν,m
pν(xm)
qν(xm)
= â2
sn(um; k)¡
1
1â k2sn4(um; k)
nâ1â
ν=1,3,5,...ν,m
1â sn2(um; k)
sn2(uν; k)
1â k2sn2(uν; k)sn2(um; k)
Durch Hinzunahme von Multiplikationsformel 47, kann man (ähnlich wie bei der Transformati-onsbeziehung) weiter vereinfachen zu:
81
4 Modultransformationen
f â˛(xm; k) =(â2)
n2
sn(
mKn
; k) [
1â k2sn4(
mKn
; k)]
nâ1â
ν=1,3,5,...ν,m
sn[
(mâ ν)Kn
; k]
sn[
(m+ ν)Kn
; k]
sn2(
νKn
; k)
=
(â2)n2
nâ1â
ν=1,3,5,...ν,m
sn[
(mâ ν)Kn
; k]
sn[
(m+ ν)Kn
; k]
sn(
mKn
; k) [
1â k2sn4(
mKn
; k)] nâ1
â
ν=1,3,5,...ν,m
sn2(
νKn
; k)
=
(â2)n2 sn
(
mKn
; k) nâ1
â
ν=1,3,5,...ν,m
sn[
(mâ ν)Kn
; k]
sn[
(m+ ν)Kn
; k]
[
1â k2sn4(
mKn
; k)] nâ1
â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKn
; k)
.
Die Indizes mâ ν bzw. m+ ν durchlaufen, wenn man sie zusammenfaĂt, alle geraden Werte vonmâ (nâ 1) bis m+ (nâ 1), ausgenommen die Werte 0 und 2m, fĂźr die ν = m gilt. Mit etwasVorstellungskraft fĂźr den Verlauf des elliptischen Sinus und den daraus generierten Nullstellenund Extremwerten ist offensichtlich, daĂ (abgesehen von den zwei genannten) alle Werte ÂľK/n(fĂźr gerades Âľ) einer Halbperiode des elliptischen Sinusâ durchlaufen werden. Der Produkttermim Zähler ist demzufolge auch darstellbar als
nâ1â
ν=1,3,5,...ν,m
sn[
(mâ ν)K
n; k
]
sn[
(m+ ν)K
n; k
]
=
[
nâ2â
Âľ=2,4,...sn
(
ÂľKn
; k)
]2
sn(
2mKn
; k) .
Der Ausdruck im Nenner dieser Gleichung kann durch Anwendung der Verdoppelungsformel 51so angepaĂt werden
nâ1â
ν=1,3,5,...ν,m
sn[
(mâ ν)K
n; k
]
sn[
(m+ ν)K
n; k
]
=
[
1â k2sn4(
mKn
; k)]
[
nâ2â
Âľ=2,4,...sn
(
ÂľKn
; k)
]2
2sn(
mKn
; k)
cn(
mKn
; k)
dn(
mKn
; k)
daĂ die Ableitung an einer Nullstelle nun geschlossen dargestellt werden kann.
f â˛(xm; k) =
(â1)n2
nâ2â
Âľ=2,4,...sn2
(
ÂľKn
; k)
cn(
mKn
; k)
dn(
mKn
; k) nâ1
â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKn
; k)
(149)
82
4 Modultransformationen
Einsetzen in Berechnungsformel 148 liefert (endlich) den Multiplikator M.
M = (â1)n2
nâ1â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKn
; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...sn2
(
ÂľKn
; k)
4.9.7 Das komplementäre Modul kâ˛
Die Formel fĂźr das komplementäre Modul kⲠkann durch Evaluation der Beziehung 145 fĂźr dnan der Stelle y = f (1; k) = (â1)n/2 ermittelt werden.
kⲠ=
nâ1â
ν=1,3,5,...1â k2sn2
(
νKn
; k)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1â k2sn2
(
ÂľKn
; k)
4.10 Zweite elliptische Haupttransformation, n ungerade
4.10.1 Periodenbeziehungen
Typisch fĂźr die 2. elliptische Transformation ist, daĂ die imaginäre Periode 2ΊⲠ= 2MÎⲠvon y =
g(u/M; Îť) genau n-mal die imaginäre Periode 2ĎⲠ= 2KⲠvon x= h(u; k) teilt, die reellen Periodenaber gleich sind (n-te Teilung der imaginären Periode, vgl. Fall Îł = 1, δ = n in Abschnitt 4.5). Eshandelt sich bei der Beziehung Îť = Ď(k) also ebenfalls um eine Modulgleichung vom Grad n mitdem zugehĂśrigen Periodenverhältnis
Î
Îâ˛= n
K
Kâ˛. (150)
Allerdings kommt wegen γ = 1 nur der Wert C = 0 fßr die Integrationskonstante (vgl. Ab-schnitt 4.5) in Frage, damit reelle Funktionswerte auf Wegabschnitt Š2 in Abbildung 8a bzw.nach Tabelle 5 entstehen.
4.10.2 Funktionsverlauf
Der Funktionsverlauf y = f (x; k) kann mit Hilfe von Abbildung 18 aus dem Verlauf des Pa-rameters u entsprechend der, in Abbildung 8a definierten, Wegabschnitte erklärt werden. Auf
83
4 Modultransformationen
K
2K
0
2Kâ
Kâ
MÎâ
1.0
1/Îť
1.0
1/k
Î2M
ÎM
Im(u)
Re(u)
Re(x)
Re(y)
Abbildung 18: Parameterdarstellung der 2. elliptischen Transformation (n = 3)
84
4 Modultransformationen
x
â
ây
1.0
1.0 1/k
1/Îť
0
0
1
1 1/k
Abbildung 19: Zweite elliptische Haupttransformation (n = 7)
Abschnitt Š1 verlaufen x und y ausgehend vom Ursprung im Wesen gleich. Da im IntervallK ⤠u ⤠K + jKâ˛, d. h. auf TeilstĂźck Š2 , die imaginäre Halbperiode MÎⲠvon y = g(u/M; Îť) n-mal durchlaufen wird, existieren dort keine reellen Nullstellen oder Pole. Statt dessen alternierty = nd(Im(u)/M; Îťâ˛) auf dem Weg 1 ⤠x ⤠1/k genau nâ 1 mal zwischen 1 und 1/Îť. Auf demletzten TeilabschnittŠ3 strebt y dann kontinuierlich gegenâ.
Der resultierende Funktionsverlauf y = f (x; k)ist in Abbildung 19 dargestellt.
4.10.3 Rationale LĂśsungsfunktion
Die Form der rationalen LĂśsungsfunktion y = f (x; k) fĂźr die zweite elliptische Haupttransfor-mation bei ungeradem Grad n kann ausgehend von Abbildung 18 sowie den folgenden Ăberle-gungen abgeleitet werden.
1. Es existieren eine einfache Nullstelle50 bei u = 0 sowie nâ 1 weitere bei jeweils uÂľ =
ÂąjÂľMÎⲠ= ÂąjÂľKâ˛/n, Âľ gerade.
2. Die nâ1 Pole liegen bei u]ν = ÂąjνMÎⲠ= ÂąjνKâ˛/n, ν ungerade.
3. FĂźr uâ 2K + jKⲠgeht y gegen Unendlich, was sich im Grad von Zähler- und Nennerpo-lynom widerspiegelt (n = nâ˛+1, vgl. Abschnitt 4.3).
50Die Nullstelle ist deshalb einfach, weil die weiteren Ableitungen an dieser Stelle nicht verschwinden.
85
4 Modultransformationen
4. Sowohl y= g(u; k)als auch x= h(u; k) sind ungerade Funktionen, deshalb y= f (x; k) eben-falls.
Aus diesen GrĂźnden kann man als rationale Transformationsfunktion
y = sn( uM
; Îť) =x
M¡
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ x2
a2Âľ
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ x2
a2ν
(151)
mit
aΡ = sc(
ΡKâ˛
n; kâ˛
)
(152)
angeben.
Beweis. Die vorangegangenen Ăberlegungen erlauben es, als Ausgangspunkt fĂźr die LĂśsungs-funktion folgende Form anzugeben.
y = Ax
nâ1â
Âľ=1(xâ xÂľ)
nâ1â
ν=1(xâ x
]ν)
Nimmt man die konkreten Werte der Pole und Nullstellen hinzu
xÂľ = sn(
jÂľKâ˛
n; k
)
= jsc(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
= jaÂľ
x]ν = sn
(
jνKâ˛
n; k
)
= jsc(
νKâ˛
n; kâ˛
)
= jaν
und berĂźcksichtigt das betragsmäĂig doppelte Auftreten aller Nullstellen und Pole,51 dann läĂtsich die Ausgangsformel konkretisieren.
y = Ax
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
(
x2+a2Âľ
)
nâ2â
ν=1,3,5,...
(
x2+a2ν
)
= Ax
nâ1â
Âľ=2,4,6,...a2Âľ
nâ2â
ν=1,3,5,...a2ν
¡
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ x2
a2Âľ
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ x2
a2ν
51Und denkt auĂerdem an die imaginäre Transformation des elliptischen Sinusâ nach Gleichung 57.
86
4 Modultransformationen
Eine weitere bekannte Form der Transformationsbeziehung 151 ist:52
y =x
M
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
1+ x2
a2Âľ
1+ k2a2Âľx
2=
x
M
nâ2â
ν=1,3,5,...
1+ k2a2νx
2
1+ x2
a2ν
. (153)
Beweis. Beide Darstellungen sind schnell zu beweisen, wenn man auf jeden Faktor im Zählerbzw. Nenner von Gleichung 151 die Beziehung sc(Kâ˛âu; kâ˛) = kâ1cs(u; kâ˛) nach [AS72, 16.8]anwendet und danach geeignet umindiziert. Beispielhaft wird hier die beschriebene UmformungfĂźr den Nenner durchgefĂźhrt, wobei der neue Index Âľ = nâ ν eingefĂźhrt wird.
y =x
M¡
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ x2
a2Âľ
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ x2
sc2(
νKâ˛
n; kâ˛
)
=x
M¡
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ x2
a2Âľ
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ k2sc2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
x2
=x
M
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
1+ x2
a2Âľ
1+ k2a2Âľx
2
4.10.4 Nullstellen (Koeffizienten)
Die Nullstellen waren der Ausgangspunkt bei der Ermittlung der Koeffizienten von Nenner- undZählerpolynom in Transformationsbeziehung 151 bzw. 125. Sie liegen in diesem Fall nicht di-rekt auf den schon desÜfteren betrachteten WegabschnittenŠ1 -Š3 von u, sondern auf imaginärenPunkten innerhalb des Periodenrechtecks (vgl. auch Abbildung 18 sowie imaginäre Transforma-tion nach Gleichung 57, Abschnitt 57).
xÂľ = jaÂľ = jsc(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
, Âľ = 2,4,6, . . . ,nâ1.
52Sie entspricht genau Transformationsbeziehung 125 fßr die erste elliptische Haupttransformation bei ungerademGrad n, wenn man dort imaginäre Koeffizienten ansetzt.
87
4 Modultransformationen
4.10.5 Polstellen
Die nâ1 Pole wurden (wie die Nullstellen auch) schon bei der Herleitung der rationalen Trans-formationsbeziehung bestimmt. Sie sind jedoch auch leicht aus Gleichung 151 abzulesen.53
1+x]
2ν
a2ν
= 0
x]ν = jsc
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
, ν = 1,3,5, . . . ,nâ2
4.10.6 Extremwerte
Die lokalen Extremwerte, welche auch in Abbildung 19 zu erkennen sind, liegen bei
xE = sn(uE; k) = Âąnd(
νKâ˛
n; kâ˛
)
, |ν| = 0,1,2,3, . . .nâ1
yE = sn(
uEM
; Î)
=
11
Îť
.
4.10.7 Beziehung fĂźr sn
Einsetzen der Koeffizientenformel 152 in die rationale Transformationsbeziehung 153 fĂźhrt zuden elliptischen Darstellungen
y =sn(u; k)
M
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
1+ cs2(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
sn2(u; k)
1+ k2sc2(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
sn2(u; k)
=sn(u; k)
M
nâ2â
ν=1,3,5,...
1+ k2sc2(
νKâ˛
n; kâ˛
)
sn2(u; k)
1+ cs2(
νKâ˛
n; kâ˛
)
sn2(u; k)
=sn(u; k)
M¡
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ cs2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
sn2(u; k)
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ cs2
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
sn2(u; k)
.
Die Formeln fĂźr den elliptischen Cosinus und die Delta-Amplitude kann man z. B. [Ach70,Tab. XXIII] entnehmen.
53Oder wieder Beziehung 85 berßcksichtigt: x]ν ¡ xν = 1/k.
88
4 Modultransformationen
4.10.8 Der Multiplikator M
Der Multiplikator M kann durch Evaluation der Transformationsgleichung 151 oder 153 an derStelle y = f (1; k) = 1 gewonnen werden.
M =
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ 1
a2Âľ
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ 1
a2ν
=
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
1+ 1a2Âľ
1+ k2a2Âľ
=
nâ2â
ν=1,3,5,...
1+ k2a2ν
1+ 1a2ν
(154)
Einsetzen der Koeffizientenformel 152 fĂźhrt zu einer weiteren, bekannten Darstellung des Mul-tiplikators M.
M =
nâ2â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
nâ1â
Âľ=2,4,6,...sn2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
(155)
Beweis. Der Beweis ist nicht schwierig, wenn man sn2 u+ cn2 u = 1 berĂźcksichtigt.
M =
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+
cn2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)sn2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ cn2(νKâ˛/n; kâ˛)
sn2(νKâ˛/n; kâ˛)
=
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
sn2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)+cn2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)sn2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)
nâ2â
ν=1,3,5,...
sn2(νKâ˛/n; kâ˛)+cn2(νKâ˛/n; kâ˛)sn2(νKâ˛/n; kâ˛)
=
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
1sn2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)
nâ2â
ν=1,3,5,...
1sn2(νKâ˛/n; kâ˛)
=
nâ2â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
nâ1â
Âľ=2,4,6,...sn2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
4.10.9 Das Modul Îťâ˛
Das Modul Îť kann auf gleichem Wege wie der Multiplikator M bestimmt werden, nur wird dazuder schon bekannte Funktionswert y = f (1/k; k) = 1/Îť herangezogen, vgl. 18. Evaluation vonTransformationsbeziehung 151 an dieser Stelle ergibt sofort
89
4 Modultransformationen
Îť = kM
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ 1
k2a2ν
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ 1
k2a2Âľ
.
Wieder sind die Beziehungen sc(Kâ˛âu; kâ˛) = kâ1cs(u; kâ˛) sowie sn2 u+ cn2 u = 1 gefolgt vonUmindizierung im Zähler und Nenner gĂźnstig anwendbar, um ausfĂźhrliche Darstellungen zuentwickeln.
Îť = kM
nâ1â
Âľ=2,4,6,...1+ sc2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
nâ2â
ν=1,3,5,...1+ sc2
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
= kM
nâ2â
ν=1,3,5,...cn2
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
nâ1â
Âľ=2,4,6,...cn2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
Ausgehend von der Transformationsfunktion nach Gleichung 153 kann eine weitere bekann-te Formel fĂźr Îť ermittelt werden. Sie bezieht Gleichung 154 fĂźr den Multiplikator M ein undstĂźtzt sich (genauso wie bei der ersten elliptischen Haupttransformation, vgl. 136) auf die viertePotenz der Koeffizienten aÂľ.
Îť = kM
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
1+a2Âľ
1+ 1k2a2
Âľ
= kM
nâ1â
Âľ=2,4,6,...
k2a4Âľ
1+ 1a2Âľ
1+ k2a2Âľ
= M2knnâ1â
Âľ=2,4,6,...
a4Âľ (156)
= M2knnâ1â
Âľ=2,4,6,...
sc4(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
4.11 Zweite elliptische Haupttransformation, n gerade
Da hier genau die gleichen Bedingungen wie fĂźr den Fall ungerader Ordnung n gelten (vgl.Abbildung 18), sind die meisten Beziehungen ähnlich. Einziger Unterschied besteht generelldarin, daĂ der Grad von Zähler- und Nennerpolynom entsprechend angepaĂt werden muĂ.
90
4 Modultransformationen
ây
x
â
1.0
1.0
0
1/k10
1/k
1/Îť
1
Abbildung 20: Zweite elliptische Haupttransformation fĂźr n = 6
y = sn( uM
; Îť) =x
M¡
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1+ x2
a2Âľ
nâ1â
ν=1,3,5,...1+ x2
a2ν
(157)
Der Grad des Nennerpolynoms ist n, der des Zählerpolynoms nâ1, was dazu fĂźhrt, daĂ sich dieFunktion fĂźr xââ der Nullinie nähert. Dieses Verhalten ist auch im zugehĂśrigen Funktions-verlauf nach Abbildung 20 gut zu erkennen.
Die Koeffizienten bestimmen sich genauso wie fĂźr den Fall ungerader Ordnung n, also wie inFormel 152, zu
xÂľ = jaÂľ = jsc(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
, Âľ = 2,4,6, . . . ,nâ2 .
Gleiches gilt fßr den Multiplikator M, fßr den ebenfalls nur der Grad von Zähler und Nenner inGleichung 155 zu korrigieren ist.
91
5 Numerische Berechnungen
M =
nâ1â
ν=1,3,5,...sn2
(
νKâ˛
n; kâ˛
)
nâ2â
Âľ=2,4,6,...sn2
(
ÂľKâ˛
n; kâ˛
)
Anders beim Modul Îť, welches (im Gegensatz zum Fall des ungeraden n) hier nicht durch Eva-luation der rationalen Transformationsbeziehung an der Stelle x = 1 ermittelt werden kann. We-gen der jetzt geraden Ordnung n ist der Funktionswert dort nämlich 1 ist und nicht 1/Îť (vgl. Ab-bildung 18). Der Wert 1/Îť wird hingegen an den Extremstellen, d. h. bei uE = (2ν+1)Kâ˛/n, ν â Zangenommen. Es ist also naheliegend einfach einen dieser Werte (xE ,yE) in Beziehung 157 ein-zusetzen.
1
Îť=
xE
M¡
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1+
x2E
a2Âľ
nâ1â
ν=1,3,5,...1+
x2E
a2ν
Îť =nd
(
Kâ˛
n; kâ˛
)
M¡
nâ2â
Âľ=2,4,6,...1+ nd2(Kâ˛/n; kâ˛)
sc2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)
nâ1â
ν=1,3,5,...1+ nd2(Kâ˛/n; kâ˛)
sc2(ÂľKâ˛/n; kâ˛)
5 Numerische Berechnungen
5.1 Der AGM-Algorithmus
Der Algorithmus des Arithmetisch-Geometrischen Mittelwertes (AGM) stellt eine effizienteMÜglichkeit zur numerischen Berechnung des elliptischen Integrals erster Art dar [Cay76, XIII],[Tri48, IV, § 7], [Hur00, II-7, § 6].54 Er ist eine konsequente Anwendung der G-Transfor-mation von Abschnitt 4.7.2 auf die elliptische Differentialgleichung 70 wiefolgt:55
1
1+ k¡
dθâ
1âÎť2 sin2θ=
dĎâ
1â k2 sin2Ď
. (158)
Aus der L-Form der elliptischen Differentialgleichung 70 kann man natĂźrlich auch ei-ne entsprechende Gâsche Form ableiten. Dazu sollen zuerst die Darstellungsformen von
54Sowohl C.F. G als auch J. L haben sich im 18. Jahrhundert eingehend mit diesem Algorithmus beschäf-tigt.
55Auf eine Indizierung der GrĂśĂen mit âgâ wie in Abschnitt 4.7.2 wird hier verzichtet.
92
5 Numerische Berechnungen
Formel 9, 6, 7 und 8 rekapituliert und auf die AusdrĂźcke der linken und rechten Seite von Glei-chung 158 angewandt werden.
a1dt1
â
(t21 +a21)(t21 +b
21)=
dĎâ
1â k2 sin2Ď
, t1 = b1 tanĎ, kⲠ=b1
a1
a0dt0
â
(t20 +a20)(t20 +b
20)=
dθâ
1âÎť2 sin2 θ, t0 = b0 tanθ, ΝⲠ=
b0
a0
Mit dieser Indizierung schreibt sich Differentialgleichung 70 in der G-Form
dt1â
(t21 +a21)(t21 +b
21)=
dt0â
(t20 +a20)(t20 +b
20). (159)
Bevor diese wichtige Relation nun bewiesen wird, sollen die Beziehungen zwischen den Modu-len k und Ν auf der Basis von aν und bν dargestellt werden.
k =1âÎťâ˛
1+Îťâ˛=a0âb0
a0+b0(160)
Ersetzt man auch auf der linken Seite noch das Modul, so ergibt sich folgende Gleichung.
â
â
1âb2
1
a21
=a0âb0
a0+b0
a21âb
21
a21
=(a0âb0)2
(a0+b0)2
Nach Erweiterung der rechten Seite wiefolgt
a21âb
21
a21
=4(a0âb0)2
4(a0+b0)2
kann man (durch Vergleich von Zähler und Nenner) die Basisbeziehungen des AGM ableiten.
a1 =a0+b0
2=a0
2(1+Îťâ˛) (161)
a21âb
21 =
(
a0âb0
2
)2
b21 =
(
a0+b0
2
)2
â(
a0âb0
2
)2
= a0b0 (162)
Mit diesen Voraussetzungen ist ein Beweis von Differentialgleichung 159 einfach zu erbringen.
93
5 Numerische Berechnungen
Beweis. Dazu geht man von der Lâschen Form in Differentialgleichung 158 aus.
a1dt1
â
(t21 +a21)(t21 +b
21)=
a0
1+ k¡
dt0â
(t20 +a20)(t20 +b
20)
Der âMultiplikatorâ a0/(1+ k) in dieser Darstellung ist nun aber genau Eins, was Anwendungvon Formel 161 schnell zeigt (wenn man auĂerdem das Modul k durch ΝⲠersetzt).
dt1â
(t21 +a21)(t21 +b
21)=a0
a1¡
1
(1+ k)¡
dt0â
(t20 +a20)(t20 +b
20)
=a0
a1¡1+Îťâ˛
2¡
dt0â
(t20 +a20)(t20 +b
20)
=dt0
â
(t20 +a20)(t20 +b
20)
Was nun die Beziehung zwischen t0 und t1 angeht, so ist sie ja durch die trigonometrische Be-ziehung 119 der G-Transformation festgelegt.
t0 = b0 tanθ
= b0(1+ k) tanĎ
â
1+ tan2Ď
1+ kâ˛2 tan2Ď
= b02
1+Îťâ˛Âˇ t1b1
â
â
1+ t21/b21
1+ kâ˛2t21/b21
=2a0b0
a0+b0¡ a1t1
b21
â
â
b21+ t
21
a21+ t
21
= t1
â
â
b21+ t
21
a21+ t
21
(163)
ZurĂźck zum eigentlichen Algorithmus läĂt sich nun die folgende Iteration durchfĂźhren,
94
5 Numerische Berechnungen
ai+1 =ai+bi
2, bi+1 =
â
aibi (164)
wobei die Anfangswerte a0 und b0 nicht-negative Zahlen (mit a0 > b0) sein sollen. Dabei nä-hern sich fĂźr iââ beide Werte ai und bi einem gemeinsamen Grenzwert,56 dem sogenanntenAGM [Tod84].
M(a0,b0) = limiââ
ai = limiââ
bi (165)
Um diesen Grenzwert zu finden, bildet man zuerst das unbestimmte elliptische Integral
⍠â
ââ
dtiâ
(t2i+a2
i)(t2
i+b2
i)
(166)
und kombiniert es mit Relation 159.
⍠â
ââ
dtiâ
(t2i+a2
i)(t2
i+b2
i)=
⍠â
ââ
dti+1â
(t2i+1+a
2i+1)(t2
i+1+b2i+1)
. (167)
Die Beziehung zwischen den Integrationsgrenzen ist durch Gleichung 163 gegeben, d. h. wenndas Integrationsintervall auf der linken Seite von ââ nach +â läuft, dann geschieht dasselbeauch auf der rechten Seite der Integralgleichung.
Nimmt man das rechtsseitige Integral als Ausgangspunkt fßr den nächsten Iterationsschritt,57 sokann man unter Berßcksichtigung von Formel 165 auch schreiben:
⍠â
ââ
dt0â
(t20 +a20)(t20 +b
20)=
⍠â
ââ
dtiâ
(t2i+a2
i)(t2
i+b2
i)= . . .
= limiââ
⍠â
ââ
dtiâ
(t2i+a2
i)(t2
i+b2
i)
=
⍠â
ââ
dtâ
[t2+M2(a0,b0)][t2+M2(a0,b0)]
=
⍠â
ââ
dt
t2+M2(a0,b0)
=1
M(a0,b0)arctan
x
M(a0,b0)
âŁ
âŁ
âŁ
âŁ
âŁ
â
ââ=
Ď
M(a0,b0).
56Aus diesem Umstand kann man ein einfaches Abbruchkriterium ableiten.57Beziehungsweise interpretiert die Gleichung rßckwärts bis hin zu a0,b0.
95
5 Numerische Berechnungen
Bedenkt man weiterhin, daĂ der Integrand in Gleichung 166 eine gerade Funktion ist, kannfolgende Integraldarstellung fĂźr M(a0,b0) gegeben werden:
M(a0,b0) =Ď
⍠â
ââ
dtâ
(
t2+a20
) (
t2+b20
)
. (168)
5.2 Vollständiges Elliptisches Integral
Das Vollständige Elliptische Integral K kann ausgehend von Gleichung 168 ebenfalls mit Hilfedes AGM-Algorithmusâ berechnet werden. Dazu wird Gleichung 168 als vollständiges ellipti-sches Integral erster Art K(k) ausgedrĂźckt, indem man wieder Formel 28 hinzuzieht.
M(a0,b0) =Ď
2¡
1⍠â
0
dtâ
(
t2+a20
) (
t2+b20
)
=Ď
2¡
a0
K
(â
1â b20
a20
)(169)
Umstellen nach K bedeutet:
K
â
â
1âb2
0
a20
=Ď
2¡
a0
M(a0,b0).
Wählt man nun z. B. a0 = 1, was die Voraussetzung a0 > b0 erfĂźllt und setzt k =â
1âb20/a
20 als
Argument, so gilt fĂźr b0 =â
1â k2 = kâ˛. Damit berechnet sich das Elliptische Integral erster Artzu:
K(k) =Ď
2¡
1
M(1,kâ˛), (170)
was der zugehĂśrige Algorithmus 1 wiederspiegelt.
FĂźr die Darstellung von K mit Hilfe des Modulwinkels Ď, d. h. fĂźr k = sinĎ, ist b0 = cosĎ zuwählen.
K(Ď) =
⍠Ď2
0
dÎąâ
1â sin2Ďsin2Îą
96
5 Numerische Berechnungen
Algorithmus 1 Numerische Berechnung von K(k) mittels AGMRequire: Îľ > 0 AbbruchkriteriumRequire: k ⤠1 Modula0â 1b0â kⲠkⲠ=
â1â k2
iâ 0
repeat
ai+1âai+bi
2AGM
bi+1ââ
aibiiâ i+1
until aiâbi < Îľ
K(k)â Ď
ai+bi
Jetzt soll noch kurz auf die Produktdarstellung fĂźr K eingegangen werden. Dazu benutzen wirFormel 94 aus Abschnitt 4.7.1 im Sinne von Î = K(ki+1), K = K(ki) und schreiben als reelle(Viertel-) Periodenbeziehung
K(ki) =2
1+ kâ˛i
K(ki+1) , ki+1 =1â kâ˛
i
1+ kâ˛i
< ki
mit dem Ausgangspunkt K(k) = K(k0). Bei einer unendlichen Anzahl von Iterationen wird k
Null und wegen Gleichung 26 gilt:
K(k) = limNââ
K(kN)Nâ1â
i=0
2
1+ kâ˛i
= limNââ
2NK(kN)Nâ1â
i=0
(1+ kâ˛i )â1 =
Ď
2
ââ
i=0
2
1+ kâ˛i
.
Das heiĂt, die Zwischenwerte ai und bi eines normalen AGM kĂśnnten zur Berechnung des Pro-dukts verwendet werden, wenn man die Beziehung kâ˛
i= bi/ai berĂźcksichtigt.
5.3 Unvollständiges Elliptisches Integral
Der Berechnungsalgorithmus fĂźr F(Ď; k) basiert auf der iterativen Verringerung des Moduls k
mit Hilfe der (aufsteigenden) L-Transformation von Abschnitt 4.7.1.58 Dazu werden aus-gehend von Ď0 = Ď und k0 = k die Formeln 108, 111 und 96 benutzt [Bul65], [HR63].
58Bei gleichzeitiger VergrĂśĂerung der Amplitude Ď.
97
5 Numerische Berechnungen
F(Ďi; ki) =1+ ki+1
2F(Ďi+1; ki+1) (171)
tanĎi+1 =(1+ kâ˛
i) tanĎi
1â kâ˛itan2Ďi
(172)
ki+1 =1â kâ˛
i
1+ kâ˛i
N-malige Anwendung der Gleichung 171 fĂźhrt zu
F(Ď; k) = 2âNF(ĎN ; kN)N
â
i=1
(1+ ki) . (173)
Setzt man solange fort bis die Näherung kN â 0 akzeptabel wird, dann kann der SpezialfallF(Ď; 0) = Ď nach Formel 12 herangezogen werden
F(ĎN ; kN) â F(ĎN ; 0) = ĎN .
Einsetzen in Gleichung 173 ergibt letztlich:
F(Ď; k) = 2âNĎN
Nâ
i=1
(1+ ki) .
Wegen der Periodizität des Tangens ist man vom Argument Ď her zunächst auf das Intervall[âĎ/2,+Ď/2] beschränkt. Hier kann man sich jedoch mit Reduktionsformel 15 helfen, wobeidann allerdings die Berechnung von K(k) mit Hilfe des AGM unumgänglich wird.
Praktisch wird allerdings fast immer der AGM-Algorithmus (vgl. Abschnitt 5.1) in Verbindungmit Gleichung 7 implementiert, um das unvollständige elliptische Integral F(Ď; k) numerisch zubestimmen. Dazu ist nur Gleichung 172 anzupassen,
tanĎi+1 =
(
1+ biai
)
tanĎi
1â biai
tan2Ďi
=(ai+bi) tanĎiaiâbi tan2Ďi
denn die Modultransformation wird ja direkt durch das AGM realisiert.
In diesem Zusammenhang kommt fĂźr die Berechnung von Ďi auch häufig Gleichung 109 in derForm
98
5 Numerische Berechnungen
tan(Ďi+1âĎi) = kâ˛i tanĎi
=bi
aitanĎi
zur Anwendung.
5.4 Elliptischer Sinus
Wendet man die G-Transformation entsprechend Gleichung 113 zur Berechnung von sn(u; k)=sn(u0; k0) in der Form
sn(ui; ki) =(1+ ki+1)sn(ui+1; ki+1)
1+ ki+1sn2(ui+1; ki+1)(174)
ui+1 =ui
1+ ki+1, ki+1 =
1â kâ˛i
1+ kâ˛i
< ki (175)
an (vgl. [Bul65], [HR63]), so fĂźhrt dies fĂźr k < 1 letztlich zu einem Modul limiââ
ki = 0. Bricht
man den Vorgang nach N Iterationen ab, so gilt:59
uN =u0
(1+ k1)(1+ k2) ¡ ¡ ¡ (1+ kNâ1)(1+ kN)= u0
Nâ
i=1
(1+ ki)â1 .
Mit kN â 0 kann man fĂźr sn(uN ; kN) nun folgendermaĂen nähern:60
sn(uN ; kN) â sn(u; 0) = sinu .
Nach Ermittlung von uN kann man durch inverse Interpretation (i = N . . .0) der Abstiegsglei-chung 174 rßckwärts sn(x0; k0) = sn(x; k) berechnen.
sn(uiâ1; kiâ1) =(1+ ki)sn(ui; ki)
1+ kisn2(ui; ki)
59Effiziente Implementierungen greifen hier fast immer auf die Zwischenwerte des AGM (vgl. Abschnitt 5.1) zurĂźck,um ki+1 nach Formel 160 zu bestimmen.
60Nach [Pev92] ist der Fehler |sn(xN ; kN )â sn(x; 0)| < Ď4 k
2.
99
5 Numerische Berechnungen
Das Modul ki kann hierfßr äquivalent zu Formel 102 in jedem Schritt rßckwärts berechnet wer-den.61
ki = 2
âki+1
1+ ki+1
Nach [Pev92] ist der absolute Gesamtfehler des Verfahrens kleiner als K(k) k2N/2.
61Da die Werte ki eigentlich schon von der absteigenden Iteration bekannt sind, kann auf die Neuberechnung ver-zichtet werden, wenn man den zusätzlich nÜtigen Speicherplatz akzeptiert.
100
5 Numerische Berechnungen
Algorithmus 2 Numerische Berechnung von x = sn(u; k)Require: ξ > 0 AbbruchkriteriumRequire: k ⤠1 Modul
x0â x
k0â k
a0â 1b0â kâ˛
iâ 0
while ki > Îľ do
ki+1âaiâbiai+bi
if ki+1 ⼠ki then Konvergenzproblem?if ki+1 > 1/2 then Fall k = 1
xâ tanhuelse Fall k = 0
xâ sinuend if
return
end if
xi+1âxi
1+ ki+1Gleichung 175
ai+1âai+bi
2AGM
bi+1ââ
aibiiâ i+1
end while
xiâ sin xi sn(xN ; kN) â sn(xN ; 0) = sinuN
repeat
xiâ1â(1+ ki)xi1+ kix2
i
Gleichung 174
iâ iâ1 RĂźckwärts-Rechnunguntil i = 0
xâ x0
101
6 Sâs drittes Problem
6 Sâs drittes Problem
E. I. S hat sich in [Sol32] mit mehreren praktischen Problemen der gleichmäĂigen bzw.T-Approximation auseinandergesetzt, von denen insbesondere das dritte Problemhier von Interesse sei.62 Es widmet sich der Suche nach einer gebrochen rationalen Funktionf (x) = U(x)/V(x), welche im Intervall |x| â¤
âk am wenigsten von Null abweicht (mit 0 < k <
1), dagegen fĂźr |x| ⼠1/âk am stärksten von Null verschieden ist. Dabei sollen U(x) und V(x)
algebraische Polynome der Form
U(x) =n
â
Ď =0
cĎ xĎ = cnx
n+ ¡ ¡ ¡+ c2x2+ c1x+ c0 (176)
V(x) =m
â
Âľ=0
dÂľxÂľ = dmx
m+ ¡ ¡ ¡+d2x2+d1x+d0
sein, deren Koeffizienten cĎ und dÂľ bzw. Nullstellen der Linearfaktordarstellung entsprechendder Zielvorgabe (fĂźr die Fehlerfunktion, vgl. Toleranzschema in Abbildung 21)
max|x|â¤âk
f (x)
max|x|⼠1â
k
1
f (x)
âMin. (177)
bestimmt werden.
S hat nun aus Symmetrieeigenschaften sowie der Bedingung
f (x) f
(
1
x
)
= 1
die folgende Form von f (x) geschluĂfolgert [Tod84]:
f (x) âźâ b2
Ď â x2
1âb2Ď x
2(178)
Die LĂśsung dieser Approximationsaufgabe bzw. der nach 177 beruht auf Jâschen ellipti-schen Funktionen in Verbindung mit der ersten elliptischen Haupttransformation. Um den spezi-ellen Intervallgrenzen in Sâs drittem Problem Rechnung zu tragen, mĂźssen die Achsenallerdings noch passend skaliert werden. Dazu setzt man in den rationalen Transformationsbe-ziehungen 140 und 125
62Kurze Darstellungen sind auch in [Tod84], [Ach67, II] und [Ach70, § 50] sowie [Pil54] zu finden.
102
6 Sâs drittes Problem
0
|y|
k â
|x|
k1/2
â
0
Îľâ1
1
Îľ
â1/21
Abbildung 21: Toleranzschema fĂźr | f (x)|
xâxâk
yâf (x)âÎť
und erhält
f (x; k) =
â
Νk¡ xM
nâ1â
ν=2,4,6,...
1â x2
ka2ν
1âka2ν x
2 (n ungerade)
âÎť
nâ1â
ν=1,3,5,...
1â x2
ka2ν
1âka2ν x
2 (n gerade)
bzw. nach den Parameterdarstellungen 124 und 139 der ersten elliptischen Haupttransformation:
x =âk sn(u; k), f (x; k) =
âÎť
sn(u/M; Îť) (n ungerade)
cd(u/M; Îť) (n gerade).
Die Verschiebung der ehemaligen Extremwerte y = Âą1 und y = ¹Νâ1 hin zu ¹Ν1/2 und ¹Νâ1/2
entspricht dem Toleranzschema nach Abbildung 21, wenn man die Verläufe der ersten ellipti-schen Haupttransformation in den zugehÜrigen Abbildungen 15 und 17 betrachtet.
103
6 Sâs drittes Problem
Passt man auch die Berechnungsformeln 138 und 146 fĂźr Îť an, dann ist auch Îľ =âÎť leicht zu
ermitteln.
Îľ =
âk
nâ2â
ν=1,3,5,...k sn2
(
νKn
; k)
(n ungerade)
nâ1â
ν=1,3,5,...k sn2
(
νKn
; k)
(n gerade)
BerĂźcksichtigt man fĂźr den Fall eines ungeraden n die Gleichung 136 und fĂźr gerades n entspre-chend 146 in der Form
Îť
kM2=
nâ1â
ν=2,4,6,...
(
ka2ν
)2(n ungerade)
Îť =
nâ1â
ν=1,3,5,...
(
ka2ν
)2(n gerade)
dann ergeben sich noch die folgenden Vereinfachungen:
f (x; k) =
(â1)nâ1
2 xnâ1â
ν=2,4,6,...
ka2νâx2
1âka2ν x
2 (n ungerade)
(â1)n2
nâ1â
ν=1,3,5,...
ka2νâx2
1âka2ν x
2 (n gerade)(179)
BezĂźglich des Sâschen Ausgangspunktes nach Beziehung 178 kann man nun die Un-bestimmten bν angeben.
bĎ =âkaν
Wegen der Skalierung der x-Achse verschieben sich natĂźrlich auch alle Nullstellen und Polenach den Formeln 128 und 127 (n ungerade) sowie 141 und 142 (n gerade).
xν =âk sn
(
νKn
; k)
x]ν =
1âk sn
(
νKn
; k) =
1
xν
Die Berechnungsformeln 126 und 141 fßr die Koeffizienten aν bleiben unverändert bei:
104
6 Sâs drittes Problem
aν = sn(
νKn
; k)
.
Sie repräsentieren letztlich das Ergebnis der Bestapproximation.
Beweis. Der Beweis der Bestapproximation beruht auf Tâs Alternantensatz [Mei64,Satz 23], welcher angewandt auf die Ausgangspolynome 176 in kurzer Form lautet [Mei64, § 6]:
Die Funktion f (x; k) = U(x)/V(x) stellt dann eine MinimallĂśsung dar, wenn die absolute Feh-lerfunktion
Îľ(x) =
f (x; k) (|x| â¤âk)
1
f (x; k)(|x| âĽ
1âk
)
im Approximationsintervall genau m+n+3 Extremalpunkte hat,63 an denen sie alternierend denWert ¹ξ annimmt. Berßcksichtigt man den Polynomgrad in Zähler und Nenner der LÜsungsfor-mel 179, dann gilt:
m =
nâ1 (n ungerade)
n (n gerade).
Betrachtet man nun einfach die Funktionsverläufe der ersten elliptischen Haupttransformationin den Abbildungen 15 und 17, dann ist zu erkennen, daĂ Îľ(x) genau n+ 1 Alternantenpunkteim Intervall 0 ⤠|x| ⤠k1/2 und dazu nocheinmal m+2 solcher Punkte im Intervall kâ1/2 ⤠|x| ⤠âhat.
Aufgrund ihrer Anzahl sowie des alternierenden Fehlers ÂąâÎť an den Stellen x=Âąsn(νK/n; k) ist
die Tâsche Alternantenbedingung erfĂźllt und die Funktion f (x; k) stellt folgerichtigeine Bestapproximation dar.
63n+1 unbekannte Koeffizienten im Zähler und m+1 im Nenner, d. h. die Dimension ist demzufolge m+n+2, vgl.[Mei64, Satz 23].
105
Literatur
Literatur
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[Ach70] A, N. I.: Elements of the Theory of Elliptic Functions, Band 79 der Reihe Trans-lations of Mathematical Monographs; AmericanMathematical Society (AMS). Nauka,Moskau, 2. Auflage, 1970. Ăbersetzung (aus dem Russischen) H. H. McFaden, EditorB. Silver.
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[Bul65] B, R: Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions.Numerische Mathematik, 7:78â90, 1965.
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106
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[Zve67] Z, A I.: Handbook of Filter Synthesis. John Wiley & Sons, 1967.
107
Index
A
Additionstheoreme, 20Alternantenbedingung, 105Alternantensatz, 105Amplitudenfunktion, 15, 39Approximation
Alternantenbedingung, 105gleichmäĂige, 102
Arithmetisch-Geometrischer Mittelwert (AGM),92â96
E
Elliptische Funktion, 15â32Ableitung, 19, 20Additionstheoreme, 20Cosinus (Amplitudinis), 15Definition, 15Delta (Amplitudinis), 15doppelte Argumente, 25halbe Argumente, 25imaginäre Argumente, 26komplexe Argumente, 28Nullstellen, 30Perioden, 32, 41Polstellen, 30Sinus (Amplitudinis), 15, 40spezielle Module, 17spezielle Werte, 16
Elliptisches Integral, 5dritter Art, 5erster Art, 5
unvollständiges, 6, 16, 97vollständiges, 13, 96
zweiter Art, 5E-Theorem, 20
F
Funktiongebrochen rationale, 102
G
G-Transformation, 57G-Funktion, 13
H
Haupttransformationerste elliptischen gerade, 73n ungerade, 61
zweite elliptischen gerade, 90n ungerade, 83
I
Imaginäre Transformation, 12, 26, 46
J
JElliptische Funktion nach, 15imaginäre Transformation nach, 12, 26
L
L-Transformation, 49
M
Modul, 5, 34Komplementäres, 5, 16
Modulgleichung, 42, 47, 49, 51, 83Modultransformationen, 34â92Multiplikator, 34
P
Periodengitter, 30, 41, 62Periodenverhältnis, 42, 47, 49, 60, 61, 83
Q
Quadratische Transformation, 49
108
Index
R
Reelle Transformation, 48
S
Sâs drittes Problem, 102
T
TransformationG-, 57imaginäre, 26, 46L-, 49quadratische, 49reelle, 48
Transformationsfunktion, 42algebraische, 36elliptische, 39erzeugende Differentialgleichung, 36irrationale, 36rationale, 36, 45
Transformationstheorie, 34Tâsche Alternantenbedingung,
105
U
Unvollständiges elliptisches Integral, 6â13Ableitung, 12G-Form, 7imaginäre Argumente, 12J-Form, 6Lâsche Normalform, 6
mit Modulwinkel, 8Râsche Normalform, 7spezielle Module, 9spezielle Werte, 8
V
Vollständiges elliptisches Integral, 13â15G-Form, 14spezielle Werte, 14
109