Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 1
Electrostática
• Definición
• Los conductores en electrostática.
• Campo de una carga puntual.
• Aplicaciones de la Ley de Gauss
• Integrales de superposición para el campo eléctrico.
• Potencial electrostático.
– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.Elmg 3a-1J.L. Fernández Jambrina
Electrostática: Definición.
• Es el caso más simple de las Ecuaciones de Maxwell.
• Condiciones:
– No hay variación con el tiempo:
– No hay movimiento de cargas:
» Esta última condición es necesaria:
• Puede haber corrientes aunque
• Ejemplo: esfera con carga uniforme que gira alrededor de uno de sus diámetros.
• Comentarios:
– No pueden existir situaciones estáticas desde un punto de vista estricto:
» Los campos precisan de un tiempo infinito para alcanzar su valor estático.
» Siempre hay corrientes de conducción en los medios.
– No obstante, es una buena aproximación para muchos casos en que las corrientes y las velocidades de las cargas son pequeñas.
0=Jr
0=dtd
0=ρ dtd
Elmg 3a-2J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 2
– En estas condiciones las ecuaciones de Maxwell se simplifican notablemente:
– Puede suponerse sin problema que el campo magnético es nulo, aunque no se sigue directamente de sus ecuaciones.
– Las ecuaciones de la electrostática son:
Campo Estático
( )ED
EDrErr
rrrr
σρε
==⋅∇
==×∇
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
=
==
=⋅∇
=⋅∇=⋅∇
=×∇
=×∇
→ =
=∂∂
=
==
=∂
∂+⋅∇
=⋅∇=⋅∇∂
∂+=×∇
∂∂
−=×∇
rE
rHrBrErD
rJ
rBrrD
rH
rE
Jt
trEtrJ
trHtrBtrEtrDt
trtrJ
trBtrtrDt
trDtrJtrH
t
trBtrE
rr
rrrrrrrr
rr
rrrrr
rr
rr
r
rrrr
rrrrrrrr
rrr
rrrrr
rrrrrr
rrrr
σµε
ρ
σµε
ρρ
0
0
0
0
0
0
0
,,
,,,,
0,
,
0,,,
,,,
,,
Elmg 3a-3J.L. Fernández Jambrina
El campo electrostático en el interior de los conductores.
• Antes de pasar al estudio en profundidad de las ecuaciones de la electrostática conviene analizar el comportamiento de los conductores.
– Puesto que las corrientes son nulas y la conductividad de los conductores no es nula, el campo eléctrico en los conductores es nulo:
» Partiendo de la ley de Ohm generalizada:
» Para conseguir este efecto la cargadel conductor se distribuye sobre su superficie de forma que cancela cualquier campo exterior.
» La carga neta en el interior del + conductor es nula:
0
0,0
=⇒
=≠σσ
=⇒σ=E
J
JEEJ r
r
rrrr
( ) 0=ρ=ε⋅∇=⋅∇ EDrr
0≠σ0=E
r
0=σ
-
+
+
+
-
-
Elmg 3a-4J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 3
• Se trata de aplicar las condiciones de frontera sabiendo que en el interior de los conductores el campo es nulo:
– Suponiendo que el conductor es el medio 1:
– Resulta que el campo en la parte exterior de lasuperficie de los conductores es normal a lasuperficie.
– Por comodidad se suele denominar al campoen la parte exterior de la superficie de los conductores como campo en la superficie del conductor.
( )( ) nE
E
E
En
DDn
DE
EEn
DDn
S
S
t
Sn
S
SnS
S
SS
ˆ
00ˆ
ˆ
00
0ˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
22
11
12
12
ερ
=⇒
=ερ
=⇒
=×
ρ==⋅⇒
==
=−×
ρ=−⋅r
rr
r
rr
rr
rr
El campo electrostático en la superficie de los conductores.
n̂
12
0
0
1
1
11
≠σ
ε
== DErr0
,
2
2
22
=σ
ε
DErr
Elmg 3a-5J.L. Fernández Jambrina
Campo de una carga puntual en espacio libre
• Es necesario para justificar la utilización de las simetrías en la aplicación de la Ley de Gauss.
– Planteamiento del problema:Se supone que la carga está en el origen de coordenadas.
– Por la linealidad del medio:
– Se conoce que:
– Luego:
0
00
0=×∇=
=⋅∇≠=
EED
Drrrr
rr
εεεε
ρρρρρρρρ
000 =×∇=⋅∇≠= DDrrrr
ρρρρρρρρ
=×∇
≠=⋅∇⇒=
0
002 v
rvr
r
kv r
rrr
ˆ
SOSdDqS
⊆⋅= ∫∫rr
SOkSdvSS ⊆π=⋅∫∫ 4
rr
rr
qv
qD ˆ
244 ππππππππ
==rr
Elmg 3a-6J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 4
Campo de una carga puntual en espacio libre
• La expresión del campo creado por una carga en el origen de coordenadas es:
• Propiedades:
– Es radial.
– Su módulo sólo depende (del inverso del cuadrado) de la distancia entre la carga y el punto de observación.
( ) rr
qrD ˆ
24ππππ
=rr
Elmg 3a-7J.L. Fernández Jambrina
Aplicaciones directas de la Ley de Gauss.
• La ley de Gauss en su forma integral permite en determinadas condiciones calcular el campo creado por una distribución de carga.
– En general se requiere un conocimiento previo del comportamiento del campo en la superficie en que se aplica la ley de Gauss.
– Este comportamiento se suele inferir a partir de
» Las simetrías que presente el sistema.
» El hecho de que el campo debido a una carga puntual es radial.
• Importante:
– La ley de Gauss se puede aplicar siempre.
– Las simetrías sólo son necesarias para poder utilizar la Ley de Gauss para obtener el campo eléctrico.
Elmg 3a-8J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 5
Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica.
• Una distribución tiene simetría esférica cuando sólo hay variación con la coordenada esférica r:
• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada esférica r:
– Demostración:
» Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :
» El campo no depende de las coordenadas θ y ϕ: una carga vería la distribución de igual forma al variar estas coordenadas.
( )( )
=
=
rrDD
rrEE
r
r
ˆ
ˆr
r
=ϕ
=θ
0d
d
d
d
dq
dq’
dEr
dEr
′dE dEr r
+ ′
Elmg 3a-9J.L. Fernández Jambrina
Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica. (2)
• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica centrada en el centro de simetría de la distribución:
– Donde q(r) es la carga encerrada en la superficie de radio r.
• Ejemplo:
– El campo creado por una bola de carga de radio R y densidad de carga es:
ρ0
( ) ( )
≤ρ
≤≤ρ
=π
=⇒
≤πρ
≤≤πρ
=ρ= ∫∫∫rRr
r
R
Rrrr
r
qrD
rRR
Rrr
dVrqrV
;ˆ3
0;ˆ3
4;
3
4
0;3
4
2
3
0
0
23
0
3
0
r
( ) ( ) ( )rDrdSrDSdDrqdV rS
rSV rr
24π==⋅==ρ ∫∫∫∫∫∫∫
rr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r
r
rqEr
r
rqrD
r
rqrDr ˆ
4ˆ
44222 πε
=⇒π
=⇒π
=rr
Elmg 3a-10J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 6
Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución.
• Una distribución tiene simetría de revolución alrededor de un eje, el eje Z, y es invariante en esa dirección cuando sólo hay variación con la coordenada cilíndrica ρρρρ:
• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada cilíndrica ρρρρ:– Demostración:
• Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :
• Una carga vería la distribución de la misma forma aunque varíen ϕ y z.
==ϕ
0dz
d
d
d
( )( )
ρρ=
ρρ=
ρ
ρ
ˆ
ˆ
DD
EEr
r
dq
dEr
dEr
′
dE dEr r
+ ′
dq’
Elmg 3a-11J.L. Fernández Jambrina
Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución. (2)
• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie cilíndrica con eje el el eje de simetría de longitud arbitraria L:
– Observese que el flujo a través de las tapas es nulo porque el campo eléctrico es tangencial a la superficie.
– Donde qL es la carga por unidadde longitud dentro del cilindro deradio ρ.
• Ejemplo: Distribución lineal de carga a lo largo del eje z:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ
περρ
=⇒ρπρρ
=ρ⇒πρρ
=ρρ ˆ2
ˆ22
LLL qE
qD
qD
rr
( )rD D= ρ ρ ρ$
( )rD D= ρ ρ ρ$
$ $n ≡ ρ
$ $n z≡
L
( ) ( )ρπρ==⋅+⋅=⋅=ρ=ρ ρρ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ρρ
LDdSDSdDSdDSdDLqdVSlatTapasSlatS
LVL
2,
rrrrrr
λ=ρL
ρπερλ
= ˆ2
Er
Elmg 3a-12J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 7
• Estas distribuciones sólo dependen de una coordenada lineal, si ésta es la coordenada z:
• Son indefinidas en las direcciones a la coordenada de la que dependen.
– Para comenzar su estudio conviene empezar por el caso más simple: una distribución de carga superficial constante en el plano z=0.
– El campo tiene sólo componente normal a la distribución: dado un dq siempre se puede encontrar otro, en posición simétrica, de forma que se cancelan las componentes del campo paralelas al plano de la distribución.
– Para puntos simétricos respecto del plano, uno a un lado y el otro al otro lado, el campo tiene el mismo módulo y sentidos contrarios: cuestión de simetría.
– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución: →
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección.
== 0dy
d
dx
d
z
ρρρρs
rD
rD
( ) ( ) ( ) ( )zEzzEzzEzE zz
rr−=−−== ˆˆ
Elmg 3a-13J.L. Fernández Jambrina
( ) ( )
<ρ
<ρ
−=⇒
ρ=
zz
zzzDhD
S
S
Sz
0;ˆ2
0;ˆ2
2
r
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )ShDdShDdShD
SdDSdDSdDSdD
SdSq
zhzS
zhzS
z
hzShzSSlatS
SzS
S
2
0
0
=−−=
=⋅+⋅+⋅=⋅=
=ρ=ρ=
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫
−==
−==
=rrrr
43421
rrrr
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (2)
– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:
» Basta con tomar una superficie de Gauss como la de la figura: un cilindro con recto con sus tapas paralelas a la distribución y en posiciones simétricas respecto a ellas.
• El flujo a través de la superficie lateral es nulo ya que el campo es tangencial.
• El flujo a través de las caras se suma debido a la simetría del campo y de las normales.
Dr
$n
n̂
n̂Dr
Sρh20=z
Elmg 3a-14J.L. Fernández Jambrina
Electromagnetismo Curso 2012/2013
Grupo 25.1 8
02
ρa
−
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (3)
• El campo es constante a cada lado de la distribución superficial y con el mismo módulo y sentidos contrarios a cada lado.
• En caso de distribuciones mas complejas, debe recordarse que cada dz define un elemento infinitesimal de carga equivalente a una distribución superficial de carga de densidad: ρS=ρdz y que la simetría de los campos debe mantenerse fuera de la distribución.
02ρ
0ρ−
Z
z=az=-a
Zz=a
z=-a
zDρ
0ρa
02
ρa
02
3ρ
a−
0ρa−
Elmg 3a-15J.L. Fernández Jambrina
• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.
– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:
siendo el campo producido por la carga i-ésima qi.
Campo producido por un sistema de cargas puntuales
( ) ( ) ( )∑∑∑−πε
−=
−πε==
ii
ii
i
i
i
i
i
i
rr
rrqR
rr
qrErE
3'
'
2'
4
ˆ
4rr
rr
rrrrrr
O
q2
q1
rr2
rr1
rE
1
rr
rri qi
rE
2
rE
i
r rE E
Total i
i
==== ∑∑∑∑
( )rEirr
Elmg 3a-16J.L. Fernández Jambrina