1
Elvis Yuri Mamani Vargas
Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno
Tese de Doutorado
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio
Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont
Rio de Janeiro Setembro de 2015
2
Elvis Yuri Mamani Vargas
Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada
Prof. Ney Augusto Dumont Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Alexandre Antonio de Oliveira Lopes Petrosoft Design
Prof. Jose Claudio de Faria Telles Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Leandro Palermo Junior Universidade de Campinas
Prof. José Eugenio Leal
Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 14 de setembro de 2015
3
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da universidade.
Elvis Yuri Mamani Vargas
Graduou-se em Engenharia Civil na UNSAAC (Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco – Perú) em 2005. Em 2011 obteve o grau de mestre no curso de Mestrado em Engenharia Civil na PUC–Rio na área de Estruturas. Atualmente atua na linha de pesquisa do método híbrido dos elementos de contorno.
Ficha Catalográfica
Mamani Vargas, Elvis Yuri
Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno / Elvis Yuri Mamani Vargas; orientador: Ney Augusto Dumont. – 2015.
119 f. ; il. ; 30 cm
Tese (doutorado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.
Inclui bibliografia
1. Engenharia civil - Teses. 2. Elementos de contorno. 3. Métodos híbridos. 4. Mecânica da fratura. 5. Funções de tensão de Westergaard. 6. Fator de intensidade de tensão. 7. Zona plástica. I. Dumont, Ney Augusto. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
CDD: 624
4
Para meus pais Rosa e Vidal, pelo amor, apoio e estímulo. Para minha irmã Chris pela compreensão e confiança.
Ao Peru, pelo legado das culturas antigas.
5
Agradecimentos
Ao Deus por ter me concedido a vida.
À CAPES, ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado.
Ao meu professor Ney Dumont pela orientação, confiança e amizade. Ao meu professor Alexandre Lopes pelas importantes contribuições e palavras de apoio.
Aos professores da PUC-Rio, pelos ensinamentos transmitidos nos estudo de pós-graduação. Aos professores da UNSAAC no Peru, pelos ensinamentos do fascinante mundo da engenharia. A todos aqueles educadores que foram parte de minha formação tanto pessoal como profissional.
Aos meus pais e irmãos pela educação, atenção e carinho. À Melissa por ter me acompanhado nas etapas mais decisivas deste trabalho. A todos os familiares que de uma forma ou de outra me estimularam ou me ajudaram.
Aos amigos de infância, juventude e a todos aqueles cuja amizade resistiu ao tempo.
Aos amigos das peladas, da dança, do parque da cidade, das salas 610 e 617 na favelinha, aos cusqueños, peruanos, colombianos, bolivianos, equatorianos e tantos outros amigos ganhados no Brasil pelo apoio, paciência e compreensão que tornaram esta jornada mais agradável.
Ao Brasil e a sua gente que sempre me fez sentir em casa.
6
Resumo
Mamani Vargas, Elvis Yuri; Dumont, Ney Augusto (orientador). Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno. Rio de Janeiro, 2015. 119p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Apresenta-se uma formulação do método híbrido dos elementos de contorno
para a análise de problemas planos de potencial e de elasticidade que, apesar de
completamente geral para domínios finitos, é mais apropriada a aplicações de
mecânica da fratura. A formulação exige integrações apenas ao longo do contorno
e usa como soluções fundamentais, para interpolar campos no domínio, funções
generalizadas do tipo Westergaard, inspiradas numa proposta feita por Tada et al.
em 1993. Os conceitos de elementos de contorno são semelhantes aos conceitos
apresentados por Crouch e Starfield em 1983, mas em um contexto variacional
que permite interpretações mecânicas das equações matriciais resultantes.
Problemas de topologia geral podem ser modelados, como ilustrado para
domínios infinitos ou multiplamente conexos. A formulação é diretamente
aplicável à solução de problemas de placas com entalhes ou trincas curvas
internas ou de bordo, pois permite a descrição adequada de altos gradientes de
tensão, sendo uma ferramenta simples para a avaliação de fatores de intensidade
de tensão. Além disso, é possível determinar, num processo iterativo, a zona
plástica ao redor da ponta de uma trinca. Esta tese tem foco no desenvolvimento
matemático da formulação para problemas de potencial e de elasticidade. Vários
exemplos numéricos de validação são apresentados.
Palavras-chave Elementos de contorno; métodos híbridos; mecânica da fratura; funções de
tensão de Westergaard; fator de intensidade de tensão; zona plástica.
7
Abstract
Mamani Vargas, Elvis Yuri; Dumont, Ney Augusto (Advisor). Crack modeling using generalized Westergaard stress functions in the hybrid boundary element method. Rio de Janeiro, 2015. 119p. DSc. Thesis - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
A particular implementation of the hybrid boundary element method is
presented for the two dimensional analysis of potential and elasticity problems,
which, although general in concept, is suited for fracture mechanics applications.
The formulation requires integrations only along the boundary and uses
fundamental solutions to interpolate fields in the domain. Generalized
Westergaard stress functions, as proposed by Tada et al in 1993, are used as the
problem‘s fundamental solutions. The proposed formulation leads to
displacement-based concepts that resemble those presented by Crouch and
Starfield, although in a variational framework that leads to matrix equations with
sound mechanical meanings. Problems of general topology, such as in the case of
unbounded and multiply-connected domains, may be modeled. The formulation,
which is directly applicable to notches and generally curved, internal or external
cracks, is especially suited for the description of the stress field in the vicinity of
crack tips and is an easy means of evaluating stress intensity factors. The plastic
phenomenon is taken into account around the crack tip through an iterative
process. This thesis focuses on the mathematical fundamentals of the formulation
of potential and elasticity problems. Several validating numerical examples are
presented.
Keywords Boundary elements; hybrid methods; fracture mechanics; Westergaard stress
functions; stress intensity factors; plastic zone.
8
Sumário
1 Introdução 21
2 Método Híbrido dos Elementos de Contorno 23
2.1. Formulação do problema 23
2.2. Tensões e deslocamentos assumidos 23
2.3. Equações matriciais que governam o problema 24
2.4. Solução do problema 26
3 Mecânica da Fratura 27
3.1. Critério Energético de Griffith 27
3.2. Campo de tensões próximo à trinca 28
3.3. Fator de Intensidade de Tensão 29
3.4. Série de Williams 30
3.5. Funções de tensão de Westergaard 32
3.6. Integral J 34
3.7. Zona plástica 35
4 Funções de Tensão de Westergaard Generalizada s 39
4.1. Formulação de Tada, Ernst e Paris baseada em deslocamentos. 42
4.2. Funções de tensão para trincas de comprimento 1a e rotação 1θ . 43
4.3. Semitrinca de abertura elíptica na ponta da trinca 44
4.4. Semitrinca de abertura polinomial na face da trinca 44
4.5. Semitrinca de rotação na ponta da trinca 45
4.6. Semitrinca de rotação na face da trinca 46
4.7. Singularidades das funções de tensão 46
5 Formulação para Problemas de Potencial 48
5.1. Construção da solução fundamental 48
5.2. Integração da matriz H 50
5.3. Campo de potenciais e gradientes em pontos internos 53
9
6 Formulação para Problemas da Mecânica da Frat ura Linear
Elástica 58
6.1. Expressões analíticas do campo de deslocamentos 58
6.2. Expressões analíticas do campo de tensões 60
6.3. Avaliação numérica do campo de tensões para uma trinca curva
geral 60
6.4. Avaliação numérica da abertura da trinca 64
6.5. Fator de intensidade de tensão 67
7 Formulação para a Simulação da Zona Plástica 73
7.1. Equações básicas 73
7.2. Derivação do termo residual para o calculo iterativo 75
7.3. Algoritmo de busca linear para a obtenção da fronteira plástica 77
7.4. Solução iterativa do problema não linear 79
7.5. Avaliação numérica do termo residual 81
7.6. Simulação confiável do campo de tensões ao redor da ponta da
trinca 83
7.7. O problema não-linear: testes e problemas de convergência 87
7.8. Considerações finais no cálculo da zona plástica 91
8 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 93
8.1. Conclusões 93
8.2. Sugestões para trabalhos futuros 94
9 Referências Bibliográficas 96
10 Apêndice 101
10.1. Estudo do comportamento das funções de tensão na origem da
trinca 101
10.2. Estudo de singularidades em problemas de potencial 108
10.3. Expressões analíticas para a integração da matriz H em
problemas de potencial quando elementos de forma polinomial
são usados 116
10
Lista de figuras
Figura 1. Sistema de coordenadas e modos de carregamento. 29
Figura 2. Trinca horizontal numa placa infinita de espessura fina. 32
Figura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trinca. 34
Figura 4. Curvas tensão-deformação, materiais elasto-plásticos. 36
Figura 5. Estimativas da zona plástica ao longo da projeção do eixo
da trinca. 37
Figura 6. Uso de trincas de forma elíptica para simular contornos
curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 2003). 39
Figura 7. Uso de trincas semi-elípticas para simular contornos
curvos (Adaptado de Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011). 40
Figura 8. Uso de semitrincas elípticas e polinomiais para simular
contornos curvos (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015). 41
Figura 9. Elementos usados para discretizar uma trinca curva geral,
em termos de abertura e sobreposição (Adaptado de Mamani e
Dumont, 2015). 42
Figura 10. Semitrincas de comprimento 1a e rotação 1θ usadas para
representar efeitos de abertura e rotação relativa (Adaptado de
Mamani e Dumont, 2015). 44
Figura 11. Construção de um elemento de descontinuidade a partir
de duas semitrincas. 49
Figura 12. Ilustração dos cinco casos na avaliação numérica da
matriz H . 51
Figura 13. Ilustração de um corpo discretizado com 12 elementos
de contorno lineares. 51
Figura 14. Recorte para a modelagem numérica de um corpo
multiplamente conexo. 54
Figura 15. Potencial ao longo da reta AB da Figura 14. 55
Figura 16. Gradientes em x ao longo da reta AB da Figura 14. 55
Figura 17. Gradientes em y ao longo da reta AB da Figura 14. 56
11
Figura 18. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura
14 em termos de potenciais. 57
Figura 19. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura
14 em termos dos gradientes. 57
Figura 20. Ilustração de uma trinca discretizada com n parâmetros
nodais (elementos), 1n + segmentos e 2n + pontos geométricos. 61
Figura 21. Trinca horizontal reta em um domínio infinito (Adaptado
de Mamani e Dumont, 2015). 62
Figura 22. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada
com elementos de forma elíptica (Adaptado de Dumont e Lopes,
2002; Mamani, 2011). 62
Figura 23. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada
com elementos combinados de abertura ou deslizamento
(Mamani e Dumont, 2015). 63
Figura 24. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada
com elementos combinados de abertura e rotação (Mamani e
Dumont, 2015). 64
Figura 25. Abertura da trinca da Figura 21 usando vários elementos
de discretização (Mamani e Dumont, 2015). 65
Figura 26. Abertura da trinca da Figura 21 para várias discretizações
da trinca (Mamani e Dumont, 2015). 66
Figura 27. Deslocamentos de abertura da trinca reta da Figura 21a
(Mamani e Dumont, 2015). 67
Figura 28. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21,
a partir dos parâmetros *p e deslocamentos num ponto de
coordenadas 0.01x = − (Mamani e Dumont, 2015). 69
Figura 29. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21,
a partir de tensões em pontos e por comparação com a série de
Williams (Mamani e Dumont, 2015). 70
Figura 30. Curva tensão-deformação para a análise elasto-plástica em
termos de tensões iniciais (esquerda); e superfície de escoamento em
termos de tensões principais ( ),I IIσ σ com o estado de tensões
representado pelo ponto ( ),I IIP σ σ (Dumont e Mamani, 2013). 76
12
Figura 31. Busca linear (Regula-Falsi) e processo de discretização
da zona plástica (Adaptado de Dumont e Mamani, 2013). 78
Figura 32. Estudo de convergência para a avaliação da zona plástica,
em termos de regula-falsi, para três setores angulares, como
mostrado na parte direita da Figura 31 (Dumont e Mamani, 2013). 82
Figura 33. Convergência na avaliação do vetor residual de
deslocamentos equivalentes * resd , como introduzido na Equação
(7.5), para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e um número
crescente de setores (direção angular) (Dumont e Mamani, 2013). 82
Figura 34. Estudos de convergência para a avaliação do vetor
residual de deslocamentos equivalentes * resd , como introduzidos
na Equação (7.5) para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e
diferentes números de pontos de Gauss na direção radial
(Dumont e Mamani, 2013). 83
Figura 35. A partir do topo: tensões xxσ , yyσ e a tensão equivalente de
Von Mises eqσ (em MPa) ao longo do eixo vertical
( )4 410 ,10y m m− −= − localizada a 410x m−= à direita da ponta da
trinca, para varias discretizações da trinca, com seus
correspondentes erros na parte direita (Dumont e Mamani, 2013). 85
Figura 36. A mesma representação de tensões da Figura 35 dada
uma reta vertical 100 vezes maior (Dumont e Mamani, 2013). 85
Figura 37. Contornos de zona plástica obtidos elasticamente para o
estado plano de deformações (esquerda) e o estado plano de
tensões (Dumont e Mamani, 2013). 86
Figura 38. Contornos da zona plástica para o estado plano de
deformações. Trinca discretizada com 1ne= , carregamento
uniaxial remoto de 0.1yy Yσ σ= , aplicado em um passo (esquerda)
e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013). 88
Figura 39. Contornos da zona plástica para o estado plano de
deformações. Trinca discretizada com 16ne= , carregamento
uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , aplicado em um passo (esquerda)
e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013). 89
13
Figura 40. Contornos da zona plástica para o estado plano de
deformações. Trinca discretizada com vários elementos, carrega-
mento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , para um material
elasto-plástico perfeito (esquerda) e para um material elasto-
plástico bi linear com rigidez de endurecimento de 5E (Dumont
e Mamani, 2013). 89
Figura 41. Contornos da zona plástica para o estado plano de defor-
mações. Trinca discretizada com vários elementos de trinca, carrega-
mento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= (esquerda), como obtida por um
material elasto-plástico (direita) com uma curva tensão-defor-mação
não-linear para Yσ σ≥ , dado de acordo com a relação de Ramberg-
Osgood (tensões em MPa) (Dumont e Mamani, 2013). 90
Figura 42. Zona plástica elasticamente calculada para vários níveis
de carregamento remoto obtidos com 16ne= elementos de trinca,
medidos ao longo de 0y = (esquerda) e 0x = (direita) (Dumont e
Mamani, 2013). 90
Figura 43. Zona plástica elasticamente e plasticamente calculada
para vários níveis de carregamento remoto obtidos com 1ne=
elementos de trinca, medidos ao longo de 0y = (esquerda) e
0x = (Dumont e Mamani, 2013). 91
Figura 44. Casos de integração da Matriz H em problemas de
potencial. 117
14
Lista de tabelas
Tabela 1. Campo de tensões e deslocamentos para modos
I e II (Anderson, 1995). 30
Tabela 2. Resumo das singularidades das funções de tensão
propostas. 46
Tabela 3. Numero dos nós das esquinas das diferentes
discretizações da Figura 14. 56
15
Lista de símbolos
Caracteres latinos:
A Comprimento do semieixo de uma trinca reta, ponto extremo
da elipse
a Comprimento do semieixo de um elemento de trinca
ca Comprimento crítico da trinca
1a Comprimento do semieixo do primeiro elemento de trinca
1na + Comprimento do semieixo do ultimo elemento de trinca
B Ponto extremo da elipse
b Comprimento do entalhe elíptico
kb , b Deslocamentos do sistema interno equivalentes ao campo de
deslocamentos referentes às forças de massa
ijC Constantes arbitrárias do campo de deslocamentos referentes
à solução fundamental
ijklC Tensor da relação constitutiva
jd , d Deslocamentos nodais do sistema externo
*kd , d* Deslocamentos nodais equivalentes do sistema interno
E Módulo de Young, módulo de elasticidade
klE , [E] Projetor ortogonal
ijf Função adimensional de θ
( *, )F θ λ Função adimensional de *θ e λ
iF , F Forças de massa prescritas
klF , [F] Matriz de flexibilidade do sistema interno
G Taxa de liberação de energia de deformação
cG Taxa crítica de liberação de energia de deformação
klH , [H] Matriz de incidência cinemática
i Constante complexa
J Integral J
16
K Fator de intensidade de tensão
, ,I II IIIK Fator de intensidade de tensão relacionados aos modos I, II e
III de fratura
tK Fator de concentração de tensões
klK , [K] Matriz de rigidez do sistema externo
k Constante de potencial
LN Funções de interpolação
ip , p Forças nodais equivalentes
*ip , p* Forças singulares
*ijp , p* Função de transformação de forças referente à solução
fundamental
iq , q Fluxo
R Raio do circulo
r Módulo do vetor posição (raio)
kt , t Forças nodais do sistema externo, equivalentes às forças de
massa
iT , T Forças de superfície
iT , T Forças de superfície prescritas
*iT , T* Forças de superfície referentes à solução fundamental
,I IIu Deslocamentos segundo o eixo x de coordenadas devido aos
modos I e II de trincamento
iu , u Deslocamentos, potenciais
iu , u Deslocamentos prescritos, potenciais prescritos
*iu , u* Deslocamentos referentes à solução fundamental
*niu , *nu Deslocamentos totais referentes às forças de massa
* piu , *pu Deslocamentos referentes à solução particular da equação de
equilíbrio
iju , [u] Funções de interpolação de deslocamentos
*iju , [u*] Função de transformação de deslocamentos referente à
solução fundamental
17
0( )ijU ε Densidade de energia interna de deformação
0 ( )cijU σ Densidade de energia interna na forma complementar
*0 ( )c
ijU σ Densidade de energia interna na forma complementar,
referente ao sistema interno
klV , [V] Matriz cujas colunas formam a base das forças singulares que
correspondem a forças nodais equivalentes nulas
v Espaço nulo ,I IIv Deslocamentos segundo o eixo x de coordenadas devido aos
modos I e II de trincamento
0v Espaço nulo decorrente da ortogonalidade a deslocamentos
de corpo rígido
lv Espaços nulos adicionais provenientes de cada par de nós
com a mesma coordenada
w Comprimento da placa
W Energia de deformação
klW , [W] Matriz cujas colunas formam a base dos deslocamentos de
corpo rígido
ix , x Coordenadas cartesianas
Caracteres gregos:
∆ Trabalho não recuperável associado à deformação
permanente na ponta da trinca
ij∆ Delta de Dirac
Φ Funções de tensão de Airy
,I IIΦ Função de tensão de Westergaard (modificada ou
generalizada) para os modos I e II de trincamento
,'I IIΦ Derivada da função de tensão de Westergaard (modificada
ou generalizada) para os modos I e II de trincamento
,''I IIΦ Segunda derivada da função de tensão de Westergaard para
os modos I e II de trincamento
Γ Contorno do corpo elástico, contorno arbitrário em torno da
ponta da trinca
18
JΓ Região do contorno relacionado à Integral J
uΓ Região do contorno onde se têm deslocamentos ou
potenciais prescritos
σΓ Região do contorno onde se têm forças ou gradientes
prescritos
*Γ Contorno referente à solução fundamental
0Γ Região do contorno correspondente à parte externa da
superfície esférica
0Γ Região do contorno contida na superfície esférica
Π Energia potencial total
gΠ Forma generalizada da energia potencial total
RΠ Potencial de Hellinger-Heissner
Ω Domínio do corpo elástico
*Ω Domínio referente à solução fundamental
0Ω Região onde a força singular é aplicada
ijδ Delta de Kronecker
ijε Deformações
γ Trabalho necessário para formar uma nova superfície de
trinca
jη Cossenos diretores de um elemento de superfície
ijλ , iλ Multiplicadores de Lagrange
µ Módulo de elasticidade transversal
ν Coeficiente de Poisson
π Constante
θ Ângulo do sistema de coordenadas polares
iθ Ângulo de rotação da trinca i em relação ao eixo positivo de x
ρ Raio de curvatura
σ Tensão normal
σ ∞ Tensão normal aplicada no meio infinito
cσ Tensão crítica a partir da qual o crescimento da trinca é
instável
19
nσ Tensão normal nominal
ijσ Tensões normais, tensões
,I IIijσ Tensões normais, tensões devido aos modo I e II de
trincamento *ijσ Tensões referentes à solução fundamental
* nijσ Tensões totais referentes às forças de massa
* pijσ Tensões referentes à solução particular da equação de
equilíbrio
τ Tensão cisalhante aplicada
τ ∞ Tensão cisalhante aplicada no meio infinito
ijτ Tensões cisalhantes
,I IIijτ Tensões cisalhantes devido aos modos I e I de trincamento
ξ , η Coordenadas paramétricas
( )ℑ Parte imaginária de um número complexo
( )ℜ Parte real de um número complexo
20
Eu tentei 99 vezes e falhei, mas na centésima tentativa eu consegui, nunca desista de seus objetivos mesmo que esses pareçam impossíveis, a próxima tentativa pode ser a vitoriosa.
Albert Einstein
21
1 Introdução
A engenharia existe desde tempos antigos. Polias, alavancas e rodas são
consideradas as invenções antigas mais importantes, já entre as construções
importantes da antiguidade têm-se o Partenon na Acrópole de Atenas, o Coliseu
Romano, as Pirâmides do Egito, as cidades Maias e Incas. É suposto que estas
construções foram projetadas usando basicamente conhecimentos empíricos do
comportamento estrutural de diferentes materiais e configurações geométricas.
Com o desenvolvimento da civilização foram aparecendo novos campos do
conhecimento humano como a Mecânica dos Materiais e a Teoria da Elasticidade,
os quais foram, e são usados no desenho, construção e avaliação de estruturas. Até
meados do século passado foram usados coeficientes de segurança altos para
evitar falhas nas estruturas. A chegada da era moderna permitiu o uso de novos
materiais e a construção de estruturas cada vez mais complexas, este fato gerou a
necessidade de técnicas avançadas para o estudo e projeto de estruturas.
A necessidade de compreender os efeitos das descontinuidades nos
materiais, das transições de geometrias e dos carregamentos pontuais motivaram o
surgimento da Mecânica da Fratura, por outro lado o desenvolvimento de
poderosos computadores permitiu a rápida evolução dos métodos numéricos para
a análise de problemas complexos. No cálculo numérico, o método dos elementos
finitos é um dos métodos mais usados na atualidade, no entanto o método dos
elementos de contorno tem mais vantagens para a solução de determinado tipo de
problemas. Entre as principais vantagens do método quando usado na mecânica da
fratura é que a descontinuidade ou trinca é representada somente pela
discretização com elementos retos ou curvos no problema bidimensional (planas
ou superfícies em um problema tridimensional). No contexto apresentado acima o
método híbrido dos elementos de contorno apresentado por Dumont (1989) tem se
mostrado eficiente para problemas da mecânica da fratura [Dumont e Lopes
(2003); Dumont e Mamani (2011), Sousa et al (2013)].
22
Tada, Ernst e Paris (1993, 1994) propuseram um simples e eficiente método
de avaliar Funções de Tensão de Westergaard para a análise de problemas da
mecânica da fratura com deslocamentos e tensões prescritas. A investigação foi
restrita ao significado matemático na obtenção das funções de tensão e à avaliação
de varias formas de abertura de trinca, sempre em termos analíticos. Inspirados
nesta proposta Dumont e Mamani (2011) desenvolveram funções de tensão
generalizadas do tipo Westergaard, funções de forma semielíptica foram usadas
como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno. Este
desenvolvimento se mostrou eficiente para o cálculo do campo de tensões
próximo à ponta da trinca, não obstante, elementos semielípticos introduzem
singularidades desnecessárias ao longo das faces da trinca, tornando-se necessário
combinar elementos de trincas de diferentes formas para evitar ou minimizar essas
singularidades.
A análise adequada do campo de tensões e deslocamentos produzidos pela
presença de trincas motivou o desenvolvimento do presente trabalho. A
formulação é diretamente aplicável a placas com entalhes ou trincas curvas
internas ou de bordo e permite a descrição adequada de altos gradientes de tensão,
sendo uma ferramenta simples para a avaliação de fatores de intensidade de
tensão. Além disso, é possível determinar, num processo iterativo, a zona plástica
ao redor da ponta de uma trinca. Esta tese tem foco no desenvolvimento
matemático da formulação para problemas de potencial e de elasticidade. Vários
exemplos numéricos de validação são apresentados.
Os capítulos 2 e 3 correspondem à revisão bibliográfica, o método híbrido
dos elementos de contorno e os conceitos básicos da mecânica da fratura são
apresentados brevemente. No capitulo 4 sãos desenvolvidas as funções de tensão
de Westergaard generalizadas, as quais serão adequadamente combinadas para
desenvolver soluções fundamentais em problemas tanto de potencial quanto de
elasticidade. No capitulo 5 é abordado o problema de potencial onde o elemento
de forma polinomial é avaliado como solução fundamental. No capítulo 6 é
abordado o desenvolvimento da mecânica da fratura linear elástica, e são
apresentados alguns exemplos de validação. No capitulo 7 introduz-se a mecânica
da fratura elasto-plástica, e apresenta-se uma formulação iterativa para a obtenção
da zona plástica, além de exemplos de validação. No capítulo 8 são discutidas
algumas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
23
2 Método Híbrido dos Elementos de Contorno
O método híbrido dos elementos de contorno (MHEC) foi apresentado em
1987, baseado no potencial de Hellinger-Reissner e como uma generalização do
método híbrido dos elementos finitos de Pian [Pian (1964), Dumont (1989)]. A
formulação do MHEC requer a avaliação de integrais somente ao longo do
contorno e usa soluções fundamentais (Funções de Green) para interpolar campos
no domínio. Por conseguinte, um corpo elástico de forma arbitrária pode ser
tratado como um único macro-elemento finito com quantos graus de liberdade de
contorno, conforme exigido pelo problema. Ao longo do tempo a formulação tem
evoluído para muitas aplicações, incluindo problemas dependentes do tempo
(Dumont e de Oliveira, 2001), mecânica da fratura (Dumont e Lopes, 2003;
Dumont e Mamani, 2011), materiais não homogêneos (Dumont, Chaves e
Paulino, 2004) e elasticidade gradiente (Dumont e Huamán, 2009).
2.1. Formulação do problema
Dado um corpo elástico submetido a forças de superfície it na parte σΓ do
contorno Γ e a deslocamentos iu na parte complementar uΓ . Por simplicidade,
não são incluídas forças de corpo [Dumont (2011)]. Tenta-se encontrar a melhor
aproximação para as tensões e deslocamentos ijσ e iu , de tal modo que
, 0ji jσ = no domínio Ω , (2.1)
i iu u= ao longo de uΓ e i ij j it tσ η= = ao longo de σΓ (2.2)
onde jn é o vetor unitário externo normal ao contorno. Notação indicial é usada.
2.2. Tensões e deslocamentos assumidos
São assumidos dois campos, um campo de deslocamentos e outro de
tensões. [Pian (1964), Dumont (1989)]. O campo de deslocamentos é
explicitamente aproximado ao longo do contorno por diu , onde ()d significa
24
deslocamentos pressupostos, em termos de funções polinomiais imu com suporte
compacto e parâmetros de deslocamentos nodais [ ]dn
md= ∈d ℝ , para dn graus de
liberdade de deslocamento do modelo discretizado. O campo independente de
tensões sijσ , onde ()s significa tensões pressupostas, é dado no domínio em termos
de uma série de soluções fundamentais *ij mσ com suporte global, multiplicado por
parâmetros de força ** *[ ] n
mp= ∈p ℝ aplicado nos mesmos pontos nodais m aos
quais os deslocamentos nodais md estão ligados (* dn n= ). Deslocamentos siu são
obtidos a partir de sijσ . Então,
di im mu u d= em Γ de modo que di iu u= em uΓ e (2.3)
* *sij ijm mpσ σ= de modo que *
, 0jim jσ = em Ω (2.4)
⇒ * * *s ri im m is sm mu u p u C p= + em Ω (2.5)
onde *imu são soluções fundamentais em termos de deslocamentos correspondentes
a *ijmσ . O deslocamento de corpo rígido é incluído em termos da função r
isu
multiplicada por uma constante smC em princípio arbitrária [Dumont (2003,
2011)].
2.3. Equações matriciais que governam o problema
O potencial de Hellinger-Reissner, baseado nos dois campos apresentados
na Seção 2.2, como foi proposto por Pian (1964) e generalizado por Dumont
(1989), conduz a duas equações matriciais que expressam equilíbrios nodais e
relações de compatibilidade. Dumont (2011) mostrou que a simples, e ainda
matematicamente consistente forma de definir estas equações é em termos de dois
princípios de trabalhos virtuais independentes entre si, como são apresentados
brevemente em seguida.
2.3.1. Trabalho Virtual em termos de deslocamentos
Na ausência de forças de corpo, o equilíbrio na forma fraca é dado por
, d ds d dij i j i iu t u
σσ δ δ
Ω ΓΩ = Γ∫ ∫ (2.6)
para s sij j iσ σ= . Assumindo que s
ijσ é dada pela Equação (2.4) e diuδ pela Equação
(2.3), após integração por partes do primeiro termo da Equação (2.6) e aplicação
do teorema de Green, obtém-se
25
* * *,d d dn ijm j in ijm j in m n i ind n u u p d t uδ σ σ δ
Γ Ω Γ Γ − Ω = Γ ∫ ∫ ∫ (2.7)
Em seguida, para deslocamentos nodais arbitrários ndδ obtém-se a matriz de
equações de equilíbrio * T *ormn m nH p p= =H p p (2.8)
na qual *
[ ]dn n
nmH ×= ∈H ℝ , dado pelo primeiro termo em colchetes da Equação (2.7)
, é a mesma matriz potencial do método tradicional dos elementos de contorno
[Brebbia, Telles, e Wrobel (1984)], e [ ]dn
np= ∈p ℝ , dada pelo segundo termo em
colchetes da Equação (2.7), são forças nodais equivalentes obtidos da mesma
forma que no método dos elementos finitos. A integral de domínio da Equação
(2.7) na verdade é omitida, desde que *ijmσ são soluções fundamentais, como na
Equação (2.4).
2.3.2. Trabalhos virtuais em termos de tensões
Por outro lado, o campo de deslocamentos diu , explicitamente aproximado
somente ao longo de Γ segundo a Equação (2.3) é tornado compatível com o
campo de deslocamentos de domínio siu em termos do seguinte princípio de
trabalhos virtuais:
( ), , d 0s d si j i j iju u δσ
Ω− Ω =∫ (2.9)
para um campo virtual de tensões sijδσ que está em equilíbrio em Ω , segundo a
Equação (2.4). Aplicando integração por partes e o teorema de Green no termo à
esquerda da Equação (2.9), chega-se a
( ) ( )d , d 0s d s di i ij j i i ij ju u u uδσ η δσ∗ ∗
Γ Ω− Γ − − Ω =∫ ∫ (2.10)
Esta equação conduz, após assumir que sijδσ é aproximado segundo a
Equação (2.4) e que diu é dado pela Equação (2.3), a
* * *ormn n mn nF p H d ∗= =F p Hd (2.11)
onde H , que também está na Equação (2.8), é conhecida como a matriz de
transformação cinemática, e * ** *[ ] n n
nmF ×= ∈F ℝ é a matriz simétrica de flexibilidade.
O termo da integral de domínio da Equação (2.11) é omitido, segundo a Equação
(2.4). As matrizes H e *F podem ser definidas em forma compacta como
26
* d mn mn ijm j in inH F n u uσ ∗ ∗
Γ = Γ ∫ (2.12)
2.4. Solução do problema
Resolvendo para *p nas Equações (2.8) e (2.11), chega-se no sistema de
matrizes T *( 1)− =H F Hd p (2.13)
onde T *( 1)− ≡H F H K é uma matriz de rigidez. A inversa *( 1)−F tem que ser avaliada
em termos de inversas generalizadas, pois *F é singular para um domínio finito Ω
(Dumont , 2011). Os resultados em pontos internos são expressos em termos das
Equações (2.4) e (2.5) após a avaliação de *p na Equação (2.8) ou (2.11).
Para condições de contorno de Neumann, somente a Equação (2.8) é
necessária, como é o caso da maioria dos problemas da mecânica da fratura
propostos na literatura.
Esta Seção apresentou o contexto no qual as funções de Westergaard
generalizadas das subsequentes seções podem ser usadas e aplicadas.
27
3 Mecânica da Fratura
A mecânica da fratura é a área da mecânica que estuda o comportamento de
materiais e estruturas com presença de trincas, as quais diminuem sua resistência.
A mecânica da fratura aplica as teorias da elasticidade e plasticidade na avaliação
de tensões e deformações, aos defeitos cristalográficos microscópicos encontrados
em materiais reais, a fim de prever a falha mecânica macroscópica dos corpos. No
presente capítulo são abordados os conceitos básicos da mecânica da fratura
linear-elástica e elasto-plástica, ambas independentes do tempo.
3.1. Critério Energético de Griffith
Inglis (1913) calculou a concentração de tensões em uma placa contendo um
furo elíptico. Baseado nesse trabalho e no fato que a resistência real à tração de
um material é muito menor que a teórica, Griffith (1920) explicou a falha de
materiais frágeis. Esta abordagem é conhecida como o Balanço Energético de
Griffith e tem sido o ponto inicial para a mecânica da fratura moderna. Griffith
realizou experimentos com vidro, e, segundo ele, em materiais idealmente frágeis
a trinca se propagaria de maneira instável se a energia de deformação liberada
quando a trinca avançasse de um comprimento infinitesimal fosse maior que a
energia requerida para formar uma nova superfície de trinca.
Assume-se uma placa infinita contendo uma trinca horizontal reta de
comprimento 2a no estado plano de tensões. Para que esta trinca possa se
propagar deve existir na placa energia potencial suficiente para ultrapassar a
energia de superfície do material. A energia equilibrada de Griffith para um
incremento de área dA , em condições de equilíbrio pode ser expressa na seguinte
forma:
0SdWdE d
dA dA dA
Π= + = (3.1)
28
onde E é a energia total, Π é a energia potencial formada pela energia de
deformação interna e pelas forças externas, e SW é o trabalho necessário para criar
novas superfícies. Partindo da abordagem de Inglis, Griffith propôs
2 Sf
E
a
γσπ
= (3.2)
onde Sγ é a energia de superfície do material e fσ é a tensão normal remota
aplicada na trinca. Griffith obteve boa aproximação entre a Equação (3.2) e
ensaios experimentais da resistência à fratura dos vidros, embora a equação de
Griffith subestime a resistência à fratura dos materiais, pois a Equação (3.2) é
válida somente para sólidos frágeis ideais. Irwin (1948) e Orowan (1948)
independentemente modificaram a expressão de Griffith para considerar o efeito
plástico nos materiais.
3.2. Campo de tensões próximo à trinca
Para um determinado número de configurações geométricas e de carga é
possível obter expressões analíticas que descrevem o campo de tensões num
domínio. Westergaard (1939), Irwin (1957), Sneddon (1946) e Williams (1957)
foram os primeiros a publicar tais soluções para materiais isotrópicos com
comportamento linear-elástico.
Seja um sistema polar de coordenadas com a origem coincidindo com a
ponta da trinca (Figura 1a), a estimativa linear-elástica do campo de tensões
próximo à ponta da trinca é dada por:
( ) ( )( )2
0
mm
ij ij m ijm
kf A r g
rσ θ θ
∞
=
= +
∑ (3.3)
onde ijσ é o tensor de tensões, r e θ são coordenadas do sistema polar (Figura
1a), k é uma constante cujo significado físico será definido na próxima Seção e
ijf é uma função unidimensional. Os termos de ordem superior dentro do
operador de somatório dependem da geometria e são próximos a zero quando
0r → .
29
Trinca
σij
r
θ
x
y
θ*
a) Sistema de coordenadas
Modo I Modo II Modo III
b) Modos de carregamento
Figura 1. Sistema de coordenadas e modos de carregamento. Existem três modos distintos de carregamento aos quais uma trinca pode ser
submetida, como são mostrados na Figura 1b, estes são:
• Modo I de fratura: abertura (tensão de tração normal ao plano da trinca).
• Modo II de fratura: cisalhamento (tensão cortante agindo paralela ao plano
da trinca e perpendicular à ponta da trinca).
• Modo III de fratura: cisalhamento perpendicular (tensão cortante agindo
perpendicular ao plano e paralela à ponta da trinca).
3.3. Fator de Intensidade de Tensão
Para um material isotrópico linear-elástico, o campo de tensões num ponto
( ),rθ próximo à ponta da trinca ( 0r → ) pode ser aproximado em função de uma
constante mK , chamada fator de intensidade de tensão e definido como
( )2
m mmij ij
Kf
rσ θ
π ≈
(3.4)
onde mijσ é o tensor de tensões para o modo de carregamento m segundo a Figura
1b.
A constante mK depende da geometria e da combinação do carregamento.
Para problemas típicos da mecânica da fratura estas constantes estão disponíveis
em tabelas, para problemas mais complexos são necessários experimentos e/ou
testes numéricos. A Tabela 1 mostra os campos de tensões e deslocamentos
próximos à ponta da trinca para os modos I e II.
Modo I Modo II
xxσ 3
cos 1 sin sin2 2 22
K
r
θ θ θπΙ −
3
sin 2 cos cos2 2 22
K
r
θ θ θπΙΙ − +
yyσ 3cos 1 sin sin
2 2 22
K
r
θ θ θπΙ +
3sin cos cos
2 2 22
K
r
θ θ θπΙΙ
30
xyτ 3
sin cos cos2 2 22
K
r
θ θ θπΙ
3cos 1 sin sin
2 2 22
K
r
θ θ θπΙΙ −
xu 2cos 1 2sin
2 2 2 2
K r θ θκµ πΙ − +
2sin 1 2cos
2 2 2 2
K r θ θκµ πΙΙ + +
yu 2sin 1 2cos
2 2 2 2
K r θ θκµ πΙ + −
2cos 1 2sin
2 2 2 2
K r θ θκµ πΙΙ − − −
Tabela 1. Campo de tensões e deslocamentos para modos I e II (Anderson, 1995). Na tabela 1, µ é o modulo cortante e v o coeficiente de Poisson.
κ=3-4ν para estado plano de deformações e κ= (3-ν) (1+ν) para estado plano de
tensões.
3.4. Série de Williams
Paralelo aos estudos de Irwin (1957), Williams (1957) também demonstrou
a natureza universal do campo de tensões próximo à ponta de uma trinca,
(Anderson, 1995). Considerando a Figura 1a, que ilustra o sistema polar de
coordenadas cuja origem situa-se na ponta da trinca, Williams propôs a função de
tensão
1 * * * *1 2 3 4
1 *
sin( 1) cos( 1) sin( 1) cos( 1) , ou
( , )
r c c c c
r F
λ
λ
λ θ λ θ λ θ λ θ
θ λ
+
+
Φ = + + + + − + −
Φ = (3.5)
onde 1 2 3 4, , ,c c c c são constantes. As funções de tensões de Airy são tais que:
2 2 0∇ ∇ Φ = (3.6)
sendo ( , )r θΦ = Φ , a partir das quais as tensões são dadas
2
2 2
2
2
2
2
1 1
1 1
rr
r
r r r
r
r r r
θθ
θ
σθ
σ
σθ θ
∂ Φ ∂Φ= +∂ ∂
∂ Φ=∂
∂ Φ ∂Φ= +∂ ∂ ∂
(3.7)
Substituindo-se a Equação (3.5) na Equação (3.7), tem-se
1 * *
1 *
1 *
"( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
'( )
rr
r
r F F
r F
r F
λ
λθθ
λθ
σ θ λ θ
σ λ λ θ
τ λ θ
−
−
−
= + +
= +
= −
(3.8)
31
onde *'( )F θ é a derivada de F em relação a *θ . Para o caso particular da ausência
de forças de superfície nas faces da trinca tem-se
(0) (2 ) (0) (2 ) 0r rθθ θθ θ θσ σ π τ τ π= = = = (3.9)
que implica em
(0) (2 ) '(0) '(2 ) 0F F F Fπ π= = = = (3.10)
Supondo-se o caso geral, em que as constantes da Equação (3.5) não são
nulas, as condições de contorno descritas na Equação (3.10) são satisfeitas
somente para
sin(2 ) 0πλ = (3.11)
logo,
, onde n 1,2,3,...2
nλ = = (3.12)
Na Equação (3.5) nota-se a existência de quatro constantes, a priori
indeterminadas, aplicando-se a Equação (3.10) podem-se eliminar duas
constantes, obtendo-se assim a seguinte função de tensão:
1 * * * *23 4
2sin( 1) sin( 1) cos( 1) cos( 1)
2 2 2 2 2
n n n n n nr c c
nθ θ θ θ
+ − Φ = − − + + − − + + (3.13)`
Em problemas da mecânica da fratura é mais conveniente expressar a
função de tensão em termos de θ (ver Figura 1a). Substituindo *θ θ π= − na
Equação (3.13), obtém-se
[ ]3
221 1 2
1 3 3cos cos sin sin 1 cos2 ...
2 3 2 2 2r s t s r
θ θ θ θ θ Φ = − − + − − + − +
(3.14)
onde is e it são constantes a serem definidas. Com isto as tensões da Equação
(3.8) são dadas por:
21 1 2
21 1 2
1 1
1 3 35cos cos 5sin 3sin 4 cos ...
2 2 2 24
1 3 33cos cos 3sin 3sin 4 sin ...
2 2 2 24
1 3 3sin sin cos 3cos
2 2 2 24
rr
r
s t sr
s t sr
s tr
θθ
θ
θ θ θ θσ θ
θ θ θ θσ θ
θ θ θ θσ
= − + + − + + +
= − − + − − + +
= − − + + 22 sin 2 ...s θ− +
(3.15)
As constantes 1s e 1t estão relacionadas aos modos I e II de fratura,
mediante as expressões da Equação (3.16).
32
1 1 e 2 2
I IIK Ks t
π π= − = (3.16)
Substituindo-se a Equação (3.16) na Equação (3.15) obtêm-se as expressões
das tensões em função dos fatores de intensidade de tensão.
3.5. Funções de tensão de Westergaard
Westergaard (1939) mostrou que um limitado tipo de problemas pode ser
resolvido introduzindo uma variável complexa z x iy= + , onde 1i = − . Para um
material isotrópico linear-elástico o campo de tensões no modo I de carregamento
foi proposto em termos da função de tensão Iφ como
( ) ( ' )
( ) ( ' )
( ' )
Ixx I I
Iyy I I
Ixy I
y
y
y
σ φ φσ φ φ
τ φ
= ℜ − ℑ
= ℜ + ℑ
= − ℜ
(3.17)
onde ()ℜ e ()ℑ são parte real e imaginária, respectivamente. Para uma trinca reta
de comprimento 2a submetida a um carregamento biaxial normal remoto (ver
Figura 2a) Westergaard propôs a função de tensão:
2 2( )I
zz
z aφ σ=
− (3.18)
Uma solução equivalente para o modo II pode ser obtida a partir de
2 ( ) ( ' )
( ' )
( ) ( ' )
IIxx II II
IIyy II
IIxy II II
y
y
y
σ φ φσ φ
τ φ φ
= ℜ − ℑ
= ℑ
= −ℑ − ℜ
(3.19)
onde
2 2( )II
zz i
z aφ τ= −
− (3.20)
2a
σ
σ x
y
σ
σ
a) Placa de Westergaard
σyy=1
σyy∞≈0
b) Placa de Westergaard modificada
Figura 2. Trinca horizontal numa placa infinita de espessura fina.
33
O modo III poderia também ser considerado a partir de expressões similares.
Do mesmo modo, é também possível obter os campos de deslocamentos
para o modo I de fratura
[ ]
[ ]
(1 )(1 2 ) ( * ) ( )
(1 )2(1 ) ( * ) ( )
II I
II I
u yE
v yE
ν ν φ φ
ν ν φ φ
+= − ℜ − ℑ
+= − ℑ − ℜ (3.21)
e os campos de deslocamentos para o modo II de fratura
[ ]
[ ]
(1 )2(1 ) ( * ) ( )
(1 )(1 2 ) ( * ) ( )
IIII II
IIII II
u yE
v yE
ν ν φ φ
ν ν φ φ
+= − ℜ − ℑ
+= − ℑ − ℜ (3.22)
onde * Iφ é a integral da função de tensão Iφ , ( * I I dzφ φ= ∫ ou ( * )I Id dzφ φ= ), v e
E são os coeficientes de Poisson e elasticidade, respectivamente.
Dumont e Lopes (2003) propuseram uma pequena modificação ao campo de
tensões da trinca da Figura 2a, adicionaram um termo constante de modo a obter
uma força de superfície constante ao longo das faces da trinca e zerar os valores
em pontos longe da trinca, como mostrado na Figura 2b (para o campo de tensões
yyσ ). Com esta modificação as novas expressões para as funções de tensão das
Equações (3.18) e (3.20) são dadas pelas Equações (3.23) e (3.24), onde o termo
2z garante a ausência de saltos da variável complexa devido à mudança de
quadrante do sistema local de coordenadas cartesianas.
2
2 2( ) 1I
zz
z aφ σ
= − −
(3.23)
2
2 2( ) 1II
zz i
z aφ τ
= − − −
(3.24)
O sentido físico da Equação (3.23) que corresponde ao modo I de
carregamento foi mostrado na Figura 2b, de forma similar poderia ser mostrado o
sentido físico da Equação (3.24) que corresponde ao modo II de carregamento.
34
3.6. Integral J
A abordagem teórica da Integral J foi dada por Rice (1968), que mostrou
que o valor da integral de energia ao longo de um contorno arbitrário Γ é o
mesmo, independentemente do caminho que circunscreve a ponta da trinca.
Trinca
n
Γ y
x
ds Figura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trinca.
Considere-se um corpo homogêneo linear ou não linear de material elástico,
livre de forças de corpo e submetido a um campo de deformações bidimensionais
(estado plano de deformações ou de tensões generalizado, ou anti-plano de
deformações) de modo que todas as tensões ijσ dependem somente de duas
coordenadas cartesianas x e y . Considere-se o contorno arbitrário ao redor da
ponta da trinca com caminho Γ em sentido anti-horário como ilustrado na Figura
3. O contorno Γ começa em um ponto qualquer da face inferior e termina na face
superior da trinca. Define-se a densidade da energia de deformação W como
( ) ( )0
, ij ijW W x y W dε
ε σ ε= = = ∫ (3.25)
onde ijε = ε é o tensor de deformações infinitesimais. A integral J é dada por:
uJ Wdy T ds
xΓ
∂ = − ∂
⌠⌡
(3.26)
onde T é o vetor de forças de superfície normais ao longo de Γ ( i ij jT nσ= ), u é o
vetor de deslocamentos e ds é um elemento infinitesimal de comprimento de arco
ao longo de Γ .
A integral J é a versão mais geral da taxa de liberação de energia G . Para o
caso especial de um material linear elástico J G= . Também, pode-se relacionar a
integral J com o fator de intensidade (Anderson, 1995) através da equação:
2IK
JE
= (3.27)
para o modo I de carregamento.
35
3.7. Zona plástica
A análise linear-elástica prevê um campo de tensões infinitas na ponta da
trinca. Isto não acontece em materiais reais, dado que as tensões próximas à ponta
são finitas devido às deformações inelásticas do material, como plasticidade em
metais (ou outro comportamento não linear, como crazing em polímeros) que
levam a uma relaxação do campo de tensões ao redor da ponta da trinca.
3.7.1. Superfícies de escoamento
Os critérios de escoamento de Von Mises e de Tresca são os mais usados
para prever escoamento em metais. A condição de Von Mises prevê que o
comportamento plástico se inicia quando a máxima energia de distorção de um
material (segundo invariante deviatório de tensão 2J ) atinge um valor crítico 2k .
Por outro lado, a condição de escoamento de Tresca prevê escoamento quando a
máxima tensão de cisalhamento atinge um valor crítico. No sistema cartesiano de
coordenadas, o critério de escoamento de Von Mises para o início do escoamento
é dado pela relação
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 22 6Y x y y z z x xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − + + + , (3.28)
Para o estado plano de tensões e deformações tem-se, respectivamente.
2 2 23 , 0Y x y x y xy yz zx zσ σ σ σ σ τ τ τ σ= + − + = = = (3.29)
( )2 2 2 23 , 0, Y x y z x y y z z x xy yz zx z x yvσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ σ σ= + + − − − + = = = + (3.30)
onde Yσ é a tensão uniaxial de escoamento, v é o coeficiente de Poisson e ,ij ijσ τ
são os tensores de tensões normais e de cisalhamento, respectivamente. Para o
caso uniaxial a Equação (3.28) se reduz a
Y xσ σ= (3.31)
No capítulo 7 do presente trabalho são usados os materiais perfeitamente
elasto-plásticos, materiais com encruamento linear (bi linear) e o material descrito
pela equação de Ramberg-Osgood. A Figura 4 mostra as curvas tensão-
deformação unidimensional para os três materiais.
36
σ
Ɛ
Elástica
Elasto-plástica
σY
E
1
a) Elasto-plástico perfeito
σ
Ɛ
Elástica
Elasto-plástica
σY
E
Eep 1
1
b) Elasto-plástico linear
σ
Ɛ
Elástica
Elasto-plástica
σY
E
Eep 1
1
c) Ramberg-Osgood
Figura 4. Curvas tensão-deformação, materiais elasto-plásticos.
As equações que descrevem cada um dos materiais da Figura 4 são
para , para YY YE E
σσε σ σ ε σ σ= < = = , Elasto-plástico perfeito (3.32)
para , para YY YK
E E
σσε σ σ ε α σ σ= < = + ≥ , Elasto-plástico linear (3.33)
para , para n
Y YKE E E
σ σ σε σ σ ε σ σ = < = + ≥
, Ramberg-Osgood (3.34)
3.7.2. Métodos clássicos para o cálculo da zona plástica
Uma primeira aproximação da zona plástica é obtida usando uma análise
linear-elástica. Contudo estes resultados são imprecisos e irreais devido à
redistribuição de tensões necessárias para satisfazer o equilíbrio. Para pequenos
deslocamentos é comum utilizar a analise linear-elástica com algumas correções
simples. Já para escoamentos maiores, pode-se usar parâmetros adicionais de
modo a considerar o comportamento não linear.
Os métodos de Irwin e da faixa de escoamento de Dugdale são
aproximações clássicas da zona plástica. No método de Irwin uma estimativa de
primeira ordem baseada numa analise linear elástica para 0θ = (Figura 5) é
calculada mediante a expressão
21
2I
yYS
Kr
π σ
=
, para estado plano de tensões, ou (3.35)
( )2
211 2
2I
yYS
Kr v
π σ
= −
, para estado plano de deformações (3.36)
37
onde YSσ é a tensão de escoamento uniaxial. Desconsiderando o encruamento, a
distribuição de tensões para yr r≤ é representada pela linha reta yy YSσ σ= (estado
plano de tensões) na Figura 5a.
Trinca
ry
rp
σyy
σYS
r(θ=0)
Elastica
Elasto-plastica
a) Irwin
2a+2ρ
σYS
Zona plástica
2a ρ
b) Dugdale
Figura 5. Estimativas da zona plástica ao longo da projeção do eixo da trinca. Quando o material escoa, as tensões têm que se redistribuir de modo a
satisfazer equilíbrio.
0 0
p yr r
YS yydr drσ σ=∫ ∫ , de onde 0
1
2
yr
Ip
YS
Kr dr
rσ π= ⌠
⌡
(3.37)
O simples balanço de forças conduz a uma estimativa de segunda ordem do
tamanho da zona plástica pr .
21 I
pYS
Kr
π σ
=
, para estado plano de tensões, ou (3.38)
( )2
211 2I
pYS
Kr v
π σ
= −
, para estado plano de deformações (3.39)
note que 2p yr r= .
A faixa de escoamento proposta por Dugdale (1960) e Barenblatt (1962)
assume uma longa e delgada faixa plástica na ponta da trinca considerando um
material sem escoamento no estado plano de tensões (Figura 5b). As primeiras
análises consideraram somente uma trinca reta em um meio infinito. A faixa
plastificada é modelada assumindo uma trinca do mesmo comprimento da zona
plástica, com tensão YSσ aplicada a cada ponta da trinca (parte inferior da Figura
5b). Sendo a zona plástica proposta
2
8I
YS
Kπρσ
=
, para estado plano de tensões, ou (3.40)
38
( )2
21 2
8I
YS
Kv
πρσ
= −
, para estado plano de deformações (3.41)
note a semelhança entre as Equações (3.40) e (3.41) com as Equações (3.38) e
(3.39). Os desenvolvimentos de Irwin e Dugdale estimam zonas plásticas
semelhantes.
As estimativas do tamanho da zona plástica até aqui apresentadas
consideram somente o plano paralelo ao eixo da trinca ( 0θ = ). É possível obter
uma estimativa de primeira ordem para a zona plástica ao longo de todos os
ângulos aplicando um critério apropriado de escoamento nas equações da Tabela 1
ou na Equação (3.17), para o modo I.
Para um material de Von Misses obtêm-se as estimativas de primeira ordem
para o modo I, com o raio r em função do ângulo θ (Unger, 1995)
( )2
2 21cos 1 3sin
2 2 2I
yYS
Kr
θ θθπ σ = +
, para estado plano de tensões, ou (3.42)
( ) ( )2
22 21cos 1 2 3sin
2 2 2I
yYS
Kr v
θ θθπ σ = − +
, para estado plano de deformações (3.43)
Uma estimativa de segunda ordem, similar à de Irwin para o eixo da trinca
[Equação (3.38) ou (3.39)], nesta vez considerando todos os ângulos pode ser
obtida considerando a tensão de escoamento de Von Mises (Sousa, 2011).
A correção de Irwin, que atende a uma redistribuição de tensões por meio de
um comprimento efetivo de trinca, é também simplista e não totalmente correta.
Métodos numéricos como o método dos elementos finitos têm sido usados
intensamente, contudo os custos computacionais são altos. Os métodos de
elementos de contorno têm sido apresentados como uma ferramenta eficiente na
avaliação do tamanho e forma da zona plástica.
39
4 Funções de Tensão de Westergaard Generalizadas
Dumont e Lopes (2003) foram os primeiros a apresentar as funções de
tensão de Westergaard (após algumas modificações) como solução fundamental
no método híbrido dos elementos de contorno. Considere-se uma trinca curva
discretizada com, por exemplo, 7 pontos geométricos numerados de 0 a 6 e
formando uma série de segmentos como ilustrado na Figura 6a. A curva que
representa a trinca da Figura 6a pode ser aproximada por seis elementos lineares,
três elementos quadráticos ou dois elementos cúbicos para representar o campo e
cinco parâmetros nodais numerados de 1 a 5 para representar a fonte. Estes
parâmetros nodais estão relacionados às forças de superfície dadas pelas funções
complexas de Westergaard aplicadas como uma sucessão de elementos
parcialmente superpostos. Desta forma pode-se aproximar qualquer configuração
de abertura (modo I) ou deslizamento (modo II) de trinca pela superposição de
descontinuidades elípticas relacionadas a funções de Westergaard. Para problemas
de elasticidade, o elemento de trinca com abertura de forma elíptica representa o
modo I e a trinca com deslizamento de forma elíptica entre suas faces representa o
modo II.
1
3 4
5
0
2
1
2
3 4
5
6
element number
point number
a) Contorno discretizado com 5 elementos
3 2
3 4
2a3
b) Elemento elíptico
Figura 6. Uso de trincas de forma elíptica para simular contornos curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 2003).
A principal desvantagem da proposta de Dumont e Lopes é que uma trinca
curva não é bem representada pela superposição de elipses. Por exemplo, o grau
40
de liberdade 3 é representado pela elipse 3, cujo eixo une somente os pontos 2 e 4.
Esta aproximação não é a mais apropriada quando se quer representar contornos
curvos, quinas e reentrâncias.
Tada et al (1993, 1994) propuseram um simples e eficiente método de
desenvolver as funções de tensão de Westergaard para a análise de problemas de
trincas com deslocamentos prescritos. Sua intervenção foi restrita à parte
matemática na obtenção destas funções de tensão e à ilustração de varias formas
de abertura de trincas, sempre em termos de expressões analíticas.
Baseados nos trabalhos apresentados acima, Dumont e Mamani (2011)
propuseram uma formulação mais geral. Um contorno curvo qualquer (ver Figura
7a) é representado pela superposição de elementos compostos. Estes elementos
são formados pela superposição de duas trincas semielípticas dispostas em
sentidos opostos, como ilustrado na Figura 7b, não somente para uma melhor
representação geométrica da trinca, mas também para simular furos, quinas e
reentrâncias. O desenvolvimento matemático para problemas de potencial e de
elasticidade, incluindo verificações de consistência e continuidade foi apresentado
por Dumont e Mamani (2011). Exemplos numéricos que validam a formulação
foram apresentados por Mamani (2011).
1
3
4
5
2
element number
a) Contorno discretizado com 5 elementos
3
2
4 3
a2
a3
b) Elemento semieliptico
Figura 7. Uso de trincas semi-elípticas para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011).
Dumont e Mamani (2013) refletiram sobre a boa representação da ponta da
trinca por elementos de forma elíptica (ou semielíptica) e observaram a inclusão
desnecessária de singularidades no campo de tensões próximo às faces da trinca,
deteriorando inclusive o campo de tensões próximo à ponta da trinca. Deste modo,
uma maior discretização leva a uma melhor representação global do problema,
41
porém deteriora o campo de tensões locais próximo à trinca. Contornos
discretizados com elementos de forma diferente à elíptica têm sido implementados
e testados por Dumont e Mamani (2011), com resultados globais satisfatórios, que
aparentemente não justificavam investigações adicionais.
A proposta atual é restringir o uso das trincas de forma semielíptica somente
aos elementos que representam as pontas da trinca em estudo (ver Figura 8) e para
representar as faces são desenvolvidos elementos de trinca a partir de formas
polinomiais (polinômios de Hermite) suaves. A principal vantagem da proposta é
que as singularidades do tipo 1 r são introduzidas apenas na ponta da trinca.
1
3
4
5
2
element number
a) Contorno discretizado com 5 elementos
Crack face element
ak
ak+1
k≠1≠ne
a1 1
3 2 a2
k=1
Crack tip element
b) Elementos de face e ponta
Figura 8. Uso de semitrincas elípticas e polinomiais para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).
Os elementos mostrados na Figura 8b podem estar relacionados aos modos I
de abertura ou II de deslizamento.
Uma solução mais elaborada e exata do problema é obtida acrescentando
graus de liberdade que consideram rotação. Estes elementos de rotação são
desenvolvidos para representar tanto as faces quanto as pontas da trinca. Estes
elementos de rotação podem estar relacionados tanto ao modo I como ao modo II
de fratura. A proposta de Dumont e Mamani (2011) continua valida para o caso
particular da trinca discretizada apenas com um elemento. A Figura 9 mostra os
quatro elementos a serem usados (em termos de abertura ou sobreposição) para
representar um contorno curvo qualquer.
42
z=z1
x1
(x1,z1) plane
a1
Opening
0.5
0.5
a2
x2
z=-z2 (x2,z2) plane
Opening
a) Elemento de abertura na face
z=z1
x1
(x1,z1) plane
a1
Opening
0.5
0.5
a2
x2
z=-z2 (x2,z2) plane
Opening
b) Elemento de abertura na ponta
z=z1
x1
(x1,z1) plane
a1
a2
x2
z=-z2 (x2,z2) plane
Opening Overlap
c) Elemento de rotação na face
z=z1
x1
(x1,z1) plane
a1 a2
x2
z=-z2 (x2,z2) plane
Opening Overlap
d) Rotação adjacente à ponta da trinca
Figura 9. Elementos usados para discretizar uma trinca curva geral, em termos de abertura e sobreposição (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).
As seções apresentadas a seguir são restritas à obtenção matemática das
funções de tensão envolvidas para a construção de soluções fundamentais tanto
para problemas de potencial (capítulo 5) quanto para problemas de elasticidade
(capítulo 6).
4.1. Formulação de Tada, Ernst e Paris baseada em desloc amentos.
Tada, Ernst, e Paris (1993) mostraram que, para uma trinca com abertura
prescrita da forma ( )f x no intervalo 1 2[ , ]x x ao longo do eixo x e simétrica em
torno deste eixo, no sistema de condenadas cartesiano ( , )x y , pode-se definir a
função potencial ( )zΦ em função do argumento complexo z x iy= + ,
2
1
1 ( )( ) d
2
x
x
f xz x
z xπΦ = −
−∫ (4.1)
e a partir deste obter os campos de tensões e deslocamentos, como uma
generalização da proposta inicial de Westergaard no contexto da mecânica da
fratura. Muitas configurações de trincas e tensões foram investigadas por Tada et
43
al. O desenvolvimento clássico de Westergaard (1939) para uma trinca elíptica de
comprimento 2a é obtido escolhendo-se a função
2 2
( )a x
f xa
−= (4.2)
e avaliando-se a integral da Equação (4.1) no intervalo [ , ]a a− .
4.2. Funções de tensão para trincas de comprimento 1a e rotação 1θ .
Dumont e Mamani (2011) desenvolveram uma solução simples: avaliaram a
Equação (4.1) no intervalo [0,1] , obtendo assim a função de tensão para uma
trinca de forma semielíptica. A rotação e normalização foram consideradas através
da introdução de um termo complexo ( )1 1 1,T a θ , de modo que a variável ( )1 1,Z z T
da Equação (4.3) seja usada como argumento ao invés de z na Equação (4.1).
( ) ( )1 1( )1 1
11 1
1 1
cos sin1
e ei izi
rZ zT x iy
a a aθ θ θθ θ− −= ≡ ≡ + ≡− (4.3)
A função de tensão para uma trinca de forma semielíptica desenvolvida por
Dumont e Mamani (2011) é resumida na Seção 4.3. Tomando como referência
esse trabalho, na Seção 4.4 obtém-se a função de tensão para uma semitrinca de
abertura polinomial, as Seções 4.5 e 4.6 mostram as funções de tensão usadas para
considerar os efeitos da rotação entre as faces da trinca. Considerando a
superposição de efeitos, estas quatro funções (ver Figura 10) servirão de base para
formular elementos combinados (ver Figura 9) que serão usados na elaboração de
soluções fundamentais tanto para problemas de potencial como para problemas de
elasticidade.
x
y x1
y1
θ1
a1
0.5
0.5
a) Abertura elíptica na ponta da trinca
x
y x1
y1
θ1
a1
0.5
0.5
b) Abertura polinomial na face da trinca
44
x
y
x1
y1
θ1
a1
0.5
0.5
c) Rotação adjacente à ponta da trinca
y
x1
y1
θ1
a1
0.5
0.5
x
d) Rotação na face da trinca
Figura 10. Semitrincas de comprimento 1a e rotação 1θ usadas para representar efeitos
de abertura e rotação relativa (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).
4.3. Semitrinca de abertura elíptica na ponta da trinca
Deseja-se obter a função de tensão para uma semitrinca de forma elíptica de
comprimento 1a e rotação 1θ em relação ao eixo de coordenadas x (Figura 10a).
A função que descreve a forma da abertura (ou deslizamento) para o caso
particular de 1 1a = é dada pela Equação (4.4).
2( ) 1f x x= − , onde ( )0 1f = , ( )1 0f = , ( )' 0 0f = e ( )' 1f undefined= (4.4)
A correspondente expressão da Equação (4.1) para a função de forma da
Equação (4.4) no intervalo [ ]0,1 , sua primeira e segunda derivada são,
respectivamente
( )2 22
11 1
1
1 1
1 ln 1 1( ) ln
2
1
2 2 4
1Z ZZ ZZ Z
ππ π
− − −− −
−Φ −+=
− (4.5)
( )21
2 21
111
11
1
ln 1 1( ) ln
22
1 1
41 2 1
ZZZ Z
Z
Z
Z Z ππ π′Φ =
− − −− −
−−
− (4.6)
( )( ) ( )
21
3/22 2 221
1
1
13 2
1 1
ln 11( ) ln
2 ) 22
1 1
(1 11
Z
Z ZZ
ZZZ
π ππ
− − −+
− −−′′Φ = − , (4.7)
em função do argumento complexo 1Z dado pela Equação (4.3), que considera
rotação e normalização.
4.4. Semitrinca de abertura polinomial na face da trinca
A função de tensão para a semitrinca de forma polinomial (Figura 10b) é
obtida definindo-se a função de forma
45
3 2( ) 2 3 1f x x x= − + , onde ( )0 1f = , ( )1 0f = , ( )' 0 0f = e ( )' 1 0f = (4.8)
A correspondente expressão da Equação (4.1) para a função de forma da
Equação (4.8) avaliada no intervalo [0,1] , sua primeira e segunda derivada são,
respectivamente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 21 1 1 1 1 1
1 11
1 3 2 1 3 2 5 12 12ln ln 1
2 2 12( )
Z Z Z Z ZZ ZZ
Z
π π π− + − + + −
− −Φ − += (4.9)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 1 1
11
3 1 3 1 1 1ln l' ( n 1 3 6
2)
Z Z Z ZZ Z Z
ZZ
π π π− −
− − − + −Φ
=
(4.10)
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 2
1
3 1 2 1 2 1 6ln l
3'' ( n 1)
2
Z ZZZ Z
Zπ π π π− −
− − + +Φ = (4.11)
dado como argumento a variável complexa 1Z .
4.5. Semitrinca de rotação na ponta da trinca
A função de tensão para a semitrinca de rotação mostrada na Figura 10c é
obtida definindo-se incialmente um comprimento 1 1a = e escolhendo-se a função
de forma
2( ) 1f x x x= − , onde ( )0 0f = , ( )1 0f = , ( )' 0 1f = e ( )' 1f undefined= . (4.12)
Nota-se que as propriedades desta função de forma na sua ponta são as
mesmas que a semitrinca de abertura (deslizamento) elíptica apresentada na Seção
4.3. A expressão da Equação (4.1), para a função de forma da Equação (4.12),
avaliada no intervalo [0,1] , sua primeira e segunda são, respectivamente.
( )2 22
1 1 1 21
1 11 1 1
1 ln 1( ) ln
2
1
2 8 4
1
2
1 ZZ Z ZZZ
ZZ
Z
ππ π
− − − −− +
−Φ = − −+ (4.13)
( ) ( )22 1
21
2 21
1
1
1
11
2 12 1 1( ) ln
22 2
ln 1 1
1 1
ZZ ZZ Z
Z
Z Z ππ π
−−′Φ = −− − −
− −− −
(4.14)
( ) ( ) ( )( ) ( )
22 31
1 1 12 3/2 221 1 1
221 11 1
1 1
1
3 2
ln 1 1 1 2
(
2 32 3( ) ln
2 ) 221 11
Z Z Z Z
Z Z ZZ
Z ZZ ZZ Z
π ππ ππ
−− − −′
− − − + ++
−=
− −′Φ − (4.15)
dado como argumento a variável complexa 1Z .
46
4.6. Semitrinca de rotação na face da trinca
A função de tensão para a semitrinca a ser usada para considerar a rotação
relativa entre as faces da trinca (Figura 10d), para o caso 1 1a = é obtida a partir da
função de forma 3 2( ) 2f x x x x= − + , onde ( )0 0f = , ( )1 0f = , ( )' 0 1f = e ( )' 1 0f = (4.16)
As propriedades desta função de forma na sua ponta são iguais às da
semitrinca de abertura (deslizamento) polinomial apresentada na Seção 4.4. A
Equação (4.1), considerando a Equação (4.8), avaliada no intervalo [0,1] , e suas
respectivas derivadas são
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 21 1 1 11(
2 2 1ln ln 1 2 9 6
2 2)
2 1
Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z
π π π− + − +
− −= − + −Φ + − (4.17)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1
1 1 11
1 3 1 3 1ln ln 1 5 6
4 4(
2 4' )
2
Z Z ZZ
ZZ Z Z
π π π− + − +
− −Φ + −= − (4.18)
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1
11
2 3 2 3 1 1ln ln 1 6
2''( )
Z ZZ Z
ZZ
π π π− + − +
+ − − +
= −
Φ (4.19)
dado como argumento a variável complexa 1Z .
4.7. Singularidades das funções de tensão
As singularidades das funções de tensão Φ e suas derivadas são resumidas
na Tabela 2.
ORIGEM (Z=0) PONTA (Z=0)
Função Φ 'd
dZ
ΦΦ = '
''d
dZ
ΦΦ = Φ 'd
dZ
ΦΦ = '
''d
dZ
ΦΦ =
Abertura elíptica
( )ln r 1
r
2
1
r r
1
r
3
1
r
Abertura polinomial
( )ln r 1
r
2
1
r sem sem ( )ln r
Rotação elíptica
sem ( )ln r 1
r r
1
r
3
1
r
Rotação polinomial
sem ( )ln r ( )ln r ,1
r sem sem ( )ln r
Tabela 2. Resumo das singularidades das funções de tensão propostas.
47
Neste Capítulo foram desenvolvidas as expressões analíticas das funções de
tensão. Estas funções serão usadas na construção das soluções fundamentais tanto
para problemas de potencial quanto para problemas de elasticidade dos
subsequentes Capítulos. Também foram mostradas as singularidades na origem e
na ponta, estudos mais detalhados destas singularidades são apresentados na
Seção 10.1.
48
5 Formulação para Problemas de Potencial
O principal objetivo do presente capítulo é validar a função de tensão do
tipo Westergaard obtida para uma trinca com abertura polinomial (como mostrado
na Figura 9a) quando usada como solução fundamental no método híbrido dos
elementos de contorno.
É apresentado um problema com soluções analíticas conhecidas, para
comparação com os resultados numéricos. O conteúdo deste capítulo não tem
relação direta com a mecânica da fratura, pois os contornos avaliados não
apresentam pontas. O que será apresentado tem valor didático no uso de funções
de Westergaard como solução fundamental no método híbrido.
5.1. Construção da solução fundamental
A solução da equação de Laplace 2 2
2 20
u u
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
para o estado estacionário de
transferência de calor em uma placa homogênea, de espessura constante t , com
coeficiente de condutividade k , pode ser obtida em função de 1Φ , pela seguinte
expressão
1 1
1Imu
k= Φ (5.1)
com fluxos referenciados ao sistema global de coordenadas cartesianas ( , )x y
( )
( )1
1
11 1
11 1
Im
Re
x
y
uq k T
xu
q k Ty
′
′
∂= − = − Φ∂∂= − = − Φ∂
(5.2)
e o fluxo normal
1 1 1ao longo den x x y yq q n q n= − − Γ (5.3)
onde xn e yn são as projeções do vetor normal unitário externo n .
49
Considera-se que 1u é a temperatura no ponto ( , )x y da placa, 1x
q e 1y
q são
fluxos de calor (taxa de transferência de calor por unidade de superfície do corpo)
para um fluxo de calor total por unidade de espessura / 1Q t = que entra na placa.
O sistema cartesiano de coordenadas 1 1( , )x y é introduzido com o propósito
de fornecer um tratamento formal do problema:
1 1 11 1
1 1 1
cos sin, ou
sin cos
x x
y y
θ θθ θ
= = −
x T x . (5.4)
Em seguida, os fluxos da Equação (5.2) são expressos matricialmente como
1(0)1
1 1(0)
1 1 T1 1 1(0)
1 1
cos sin, ou
sin cos
xx
y y
q q
θ θθ θ
− = =
q T q (5.5)
onde os subscritos 1(0)() indicam que os fluxos estão referenciados ao sistema
cartesiano 1 1( , )x y , rotacionado de um ângulo 1θ :
( )
( )
1(0)
1(0)
11
1 1
11
1 1
1Im
1Re
x
y
uq k
x a
uq k
y a
′
′
∂= − = − Φ∂∂= − = − Φ∂
(5.6)
Um elemento é formado por dois segmentos retos de comprimentos 1a e 2a
rotacionados de um ângulo 1θ e 2θ , respectivamente, compondo linhas de saltos
de potencial (que correspondem a linhas de descontinuidade de deslocamentos ou
trincas no caso de elasticidade) ao longo do contorno Γ de um corpo de domínio
Ω , com o segmento 2 antes do segmento 1, como mostrado na Figura 11a.
a1
a2
Descontinuidade
Plano (x,y) Domínio
Sentido do contorno
a) Descontinuidade geral
z1
x1
Abertura Semi-trinca 1
a1
0.5
0.5
a2
x2
-z2
Abertura Semi-trinca 2
b) Construção de um elemento de trinca
Figura 11. Construção de um elemento de descontinuidade a partir de duas semitrincas. O caso mais simples é a superposição de duas semitrincas elípticas
colineares de comprimentos 1 2 1a a= = formando uma trinca elíptica, similar à
proposta original de Westergaard (1939) e computacionalmente implementado por
Dumont e Lopes (2003). A generalização para um elemento formado por duas
50
trincas semielípticas (não necessariamente colineares e/ou 1 2a a≠ ) foi tratada por
Dumont e Mamani (2011). A Figura 11b mostra a superposição em termos de
abertura de duas trincas semi-elípticas nos seus planos locais de coordenadas.
Como já foi discutido no capítulo anterior, o uso de elementos de forma
elíptica tem alguns inconvenientes, o que motivou o desenvolvimento de outros
tipos de elementos (ver Figura 9).
O efeito combinado do campo potencial devido à superposição das
semitrincas 1 e 2 é dado por:
1 2u u u= − , (5.7)
e a superposição de efeitos dos fluxos
1 2x x xq q q= − e 1 2y y yq q q= − . (5.8)
As justificações matemáticas de singularidade na ponta e na origem do
elemento são amplamente discutidas no item 10.2 do apêndice. Na maioria dos
problemas da mecânica da fratura somente condições de contorno de Neumann
são necessárias, porém o problema é resolvido apenas pela Equação (2.8), sendo
necessária somente a matriz H .
5.2. Integração da matriz H
A expressão geral da matriz H para problemas de potencial é
( ) | |dk kki x x y y iH q n q n N J ξ
Γ≡ = − +∫H (5.9)
onde k é o nó onde a fonte de potencial é aplicada, ou seja, o nó em comum de
dois segmentos de contorno adjacentes, k k− na esquerda (o segmento 2,
rotacionado de um ângulo 2θ ) e kk + na direita (o segmento 1, rotacionado de um
ângulo 1θ ), como ilustrado na Figura 12. O potencial aplicado varia linearmente
no contorno, segundo a função de interpolação iN , do nó i aos nós adjacentes na
esquerda e na direita. Em seguida, o intervalo de integração Γ da matriz de
coeficientes kiH na Equação (5.9) compreende os dois segmentos de contorno que
têm em comum o nó i (ver Figura 13). No caso particular de segmento de
contorno reto, | |J é o correspondente comprimento do elemento, para a variável
natural do contorno [0,1]ξ ∈ .
51
(a) (b) (c)
(b) (e)
i
j
km k 1
2
kp
i j
kp
km k
1
2
i
j
kp
km k 1
2
i
j kp
km k 1
2
i j
kp
km k 1
2
Figura 12. Ilustração dos cinco casos na avaliação numérica da matriz H .
5
4 3
2
1
7
6
5
3 2
1
4
a6
a5
a4
a3 a2
a1
Número de ponto
Número de elemento
Comprimento de semi-trinca
Ω
Γ
+ 8
9
10 11
12 7
9 8
6
11
10
12
a7
a8
a9 a10
a11
a12
3
5
3 4
a4
5
3
4
representa
a4
a3
a3
3
Figura 13. Ilustração de um corpo discretizado com 12 elementos de contorno lineares.
Deseja-se obter a matriz H para um problema onde o modelo é discretizado
com um número total de nós nn , que coincide com o número total de segmentos,
como mostrado na Figura 13. A integração da matriz H será avaliada em termos
analíticos, cujas respectivas demonstrações são levadas a cabo na Seção 10.3. O
algoritmo proposto é:
Loop Externo para os saltos de potencial -> k variando de 1 a nn .
Determinar os nós adjacentes k + e k − , definidos no sentido anti-horário. Em
seguida, obter 1cosθ , 1sinθ , 2cosθ , 2sinθ .
Definir a matriz de constantes T , cujos elementos são dados no capítulo 4
[ ]1 2T T= −T (5.10)
52
Loop Interno para a integração dos segmentos -> i variando de 1 a nn .
Determinar os nós subsequente j+ e precedente j− , a integração será avaliada ao
longo dos segmentos ij+ e ij
−.
Definir a matriz de constantes A e C cujos elementos são dados pela Equação
(7.126)
[ ] [ ]1 2 1 2 and A CA C= − = −A C (5.11)
Em seguida, definir a matriz que contem expressões analíticas da integração ao
longo dos segmentos adjacentes ao nó i (Seção 10.3)
[ ] [ ] [ ] [ ], , , , , e ,Na n c Nb n c Nc n c Nd n c (5.12)
Avaliar numericamente a matriz h de 2 2× na estrutura lógica if. Onde, 1,2c = se
refere à semitrinca 1 ou 2, 1, 2n = se refere às extremidades i ou j do segmento
onde a integral é avaliada.
a) If i k= , caso (a) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir
[ ][ ]
[ ,1] ,1
[ , 2] ,2
n n
n
Na
b nN
=
=
h
h End do loop com variável de controle n .
b) Else if j k= , caso (b) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir
[ ][ ]
[ ,1] ,1
[ , 2] ,2
n n
n
Nb
a nN
=
=
h
h
End do loop com variável de controle n .
c) Else if i k += , caso (c) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir
[ ][ ]
[ ,1] ,1
[ , 2] ,2
n n
n
Nc
d nN
=
=
h
h
End do loop com variável de controle n .
d) Else if j k −= , caso (d) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir
[ ][ ]
[ ,1] ,1
[ , 2] ,2
n n
n
Nd
c nN
=
=
h
h
End do loop com variável de controle n .
e) Else, caso (e) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir
[ ][ ]
[ ,1] ,1
[ , 2] ,2
n n
n
Nd
d nN
=
=
h
h
End do loop com variável de controle n .
53
End if (fim da estrutura lógica if)
Definir a matriz de projeções unitárias do segmento ij , apresentado na Equação
(5.3),
x yn n = n (5.13)
Os coeficientes coefH da matriz H são obtidos no seguinte loop, para os nós i e j
dados no vetor [ , ]i j≡i .
Loop para os extremos i e j , com n variando de 1 a 2
2T
1
[1]Im( [ , ]) [2]Re( [ , ])coefc
H n c n c=
= + ∑T h T h n (5.14)
A matriz H , cujos coeficientes podem já ter alguma contribuição da integração ao
longo de algum segmento adjacente, é obtido de coefH como
[ , [ ]] [ , [ ]] coefk n k n H= +H i H i (5.15)
Fim dos loops com variáveis de controle , ,n i k .
Para condições de contorno de Neumann o problema é resolvido apenas a
partir da Equação (2.8), onde podem ser necessários conceitos de inversa
generalizada para na obtenção do vetor *p . Para demostrar a consistência do
algoritmo na próxima Seção é apresentado um exemplo, cujos resultados
numéricos serão comparados com a solução analítica, com a solução fundamental
de tipo logarítmica e com a solução de Westergaard de forma semielíptica
(Dumont e Mamani, 2011).
5.3. Campo de potenciais e gradientes em pontos internos
Uma fonte de potencial logarítmica 2 2ln ( 10) ( 25) / (2 )x y πΦ = + + − é
aplicada no nó F de um contínuo bidimensional infinito, como ilustrado na parte
esquerda da Figura 14. Os gradientes nodais equivalentes são avaliados ao longo
dos contornos representados pelas linhas cheias, criando assim um problema (para
a equação de Laplace) de solução analítica simples e conhecida. O furo, as
reentrâncias e as quinas formadas pelos contornos representam algumas
dificuldades topológicas para a simulação numérica. O contorno é discretizado
54
com um total de 104 nós e a mesma quantidade de segmentos lineares, os quais
estão igualmente espaçados entre as quinas numeradas, cujas coordenadas são
dadas na parte direita da Figura 14. Uma série de 51 pontos ao longo da reta
tracejada AB gerada para a representação de alguns resultados numéricos no
domínio. Por simplicidade, e por ser um problema acadêmico, não são
especificadas as unidades de medida, podendo-se assumir qualquer sistema de
unidades desde que haja coerência nas grandezas.
17
50
69 87
93
99
F
A
B
1
27
x
y
Sistema cartesiano
Node X y 1 0 0 17 10 15 27 20 10 50 15 35 69 0 20 87 10 20 93 11 21 99 12 20 A 5 20 B 15 18 F -10 25
Figura 14. Recorte para a modelagem numérica de um corpo multiplamente conexo. O problema mais simples que pode ser resolvido neste exemplo é para as
condições de contorno de Neumann, onde o problema é governado apenas pela
Equação (2.8). Embora a matriz H dada pela Equação (5.9) seja uma matriz
singular para um domínio limitado, os gradientes nodais equivalentes p estão
balanceados e o problema de álgebra linear admite apenas uma solução de *p , a
ser obtida no contexto de matrizes inversas generalizadas (Dumont e Lopes, 2003;
Mamani, 2011). Após *p ser calculado, gradientes e potenciais podem ser obtidos
segundo as Equações (2.4) e (2.5).
A parte esquerda da Figura 15 mostra as soluções analítica (Analytic) e
numérica (W. pol.) usando elementos de forma polinomial, obtidos em termos de
potenciais ao longo do segmento reto AB . Uma vez que o problema tem
condições de contorno de Neumann, um potencial constante foi adicionado nos
resultados numéricos a fim de que os valores numéricos e analíticos sejam
próximos. Também foram feitas comparações com a solução fundamental de
Kelvin (Kelvin) e com elementos semielípticos do tipo Westergaard (W. ell.).
55
-0.53
-0.52
-0.51
-0.5
-0.49
-0.48
-0.47
-0.46
-0.45
-0.44
-0.43
0 10 20 30 40 50
Pot
entia
l val
ues
Points along the line segment AB
Analytic
Kelvin
W. pol.
W. ell.
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
0 10 20 30 40 50
Err
or p
oten
tial v
alue
s (%
)
Points along the line segment AB
Kelvin
W. pol.
W. ell.
Figura 15. Potencial ao longo da reta AB da Figura 14. As soluções numéricas mostradas na parte esquerda da Figura 15 estão
praticamente superpostas com a solução analítica. Uma melhor interpretação de
resultados pode ser obtida a partir dos erros numéricos calculados por
( )% 100%num ana
ana
v v
vε −
= × (5.16)
onde numv e anav representam valores numéricos e analíticos, respectivamente. Os
erros calculados segundo a Equação (5.16) e mostrados na parte direita da Figura
15 demonstram que os melhores resultados são aqueles obtidos com as funções de
tensão de forma polinomial, inclusive menores que a solução de Kelvin.
Valores dos gradientes xq e yq , e seus correspondentes erros são também
mostrados na Figura 16 e Figura 17, respectivamente.
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
0 10 20 30 40 50
Gra
dien
t x v
alue
s
Points along the line segment AB
Analytic
Kelvin
W. pol.
W. ell.
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
0 10 20 30 40 50
Err
or g
radi
ent x
val
ues
(%)
Points along the line segment AB
Kelvin
W. pol.
W. ell.
Figura 16. Gradientes em x ao longo da reta AB da Figura 14.
56
-3.5
-3.3
-3.1
-2.9
-2.7
-2.5
-2.3
-2.1
-1.9
-1.7
-1.5
0 10 20 30 40 50
Gra
dien
t y v
alue
s
Points along the line segment AB
Analytic
Kelvin
W. pol.
W. ell.
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
0 10 20 30 40 50
Err
or g
radi
ent y
val
ues
(%)
Points along the line segment AB
Kelvin
W. pol.
W. ell.
Figura 17. Gradientes em y ao longo da reta AB da Figura 14.
Os resultados em termos de gradientes apresentaram um padrão similar aos
do potencial. Para o mesmo nível de discretização a solução com elementos
polinomiais alcançou melhores resultados que usando elementos semielípticos e,
inclusive, do que usando a solução fundamental logarítmica (Kelvin). Isto não
necessariamente significa que a solução proposta é melhor que a simples solução
logarítmica, a solução proposta não é tão geral quanto à solução logarítmica.
Um estudo de convergência é mostrado na Figura 18, para discretizações
numéricas com número total de elementos de 30, 58, 114 e 170. As respectivas
quinas estão representadas pelos nós da Figura 14 e dadas na Tabela 3.
nó 1 nó 17 nó 27 nó 50 nó 69 nó 89 nó 93 nó 99 Nro. nós
1 5 8 14 19 24 26 28 30
1 9 14 26 36 45 49 53 58
1 17 27 50 69 87 95 103 114
1 25 40 74 103 130 142 154 170
Tabela 3. Numero dos nós das esquinas das diferentes discretizações da Figura 14. A Figura 18 mostra para cada simulação numérica realizada, a norma do
erro Euclidiano de potenciais e gradientes avaliados segundo
( )51 51
2 2
1 1
[ ] [ ] [ ]a n ai i
v i v i v i= =
= −∑ ∑ε (5.17)
onde [ ]nv i e [ ]av i são os valores numérico e analítico obtidos em cada um dos 51
pontos ao longo da linha reta AB . Os resultados na Figura 18 estão indicados para
as soluções fundamentais de Kelvin (K), elemento elíptico de Westergaard (We) e
elemento polinomial de Westergaard (Wp). Os resultados de Kelvin convergem
mais rápido que os obtidos com os elementos de forma semielíptica do tipo
Westergaard, porém mais lento que a solução de Westergaard com elementos
57
polinomiais, como era esperado. No entanto, um padrão de convergência é
apresentado tanto para a formulação em termos de funções de Westergaard quanto
para a solução de Kelvin.
3058
114170
30
58
114
170
30
58
114
170
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
Euc
lidea
n N
orm
of t
he e
rror
Number of elements along the boundary
u - We
u - K
u - Wp
Figura 18. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 14 em termos de potenciais.
3058
11417030
58
114
170
30
58
114
170
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
Euc
lidea
n N
orm
of t
he e
rror
Number of elements along the boundary
qx - We
qx - K
qx - Wp
30
58
114170
30
58
114
170
30
58
114
170
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
Euc
lidea
n N
orm
of t
he e
rror
Number of elements along the boundary
qy - We
qy - K
qy - Wp
Figura 19. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 14 em termos dos gradientes.
Os resultados numéricos apresentados acima validam os desenvolvimentos
teóricos. O objetivo final da pesquisa é a obtenção da formulação para a
modelagem de trincas o qual é desenvolvido no próximo capítulo.
58
6 Formulação para Problemas da Mecânica da Fratura Li near Elástica
Para problemas de elasticidade, a construção de soluções fundamentais é
menos intuitiva e mais complexa do que para problemas de potencial, uma das
complicações é a ação combinada dos modos I e II. Para trincas curvas
discretizadas somente com elementos semielípticos Dumont e Mamani (2011)
verificaram a consistência da formulação, Mamani (2011) apresentou vários
exemplos para validar a aplicação na mecânica da fratura. Com base nos conceitos
abordados por Dumont e Mamani (2011) apresenta-se as expressões analíticas do
campo de tensões e deslocamentos devido à superposição de efeitos de duas
semitrincas opostas formando um elemento de trinca, contido num domínio
bidimensional infinito e homogêneo.
6.1. Expressões analíticas do campo de deslocamentos
Conhecida a função de tensão 1Φ , que corresponde a uma trinca de forma
prescrita (abertura para o modo I e deslizamento para o modo II), o campo de
deslocamentos devido aos modos I e II de fratura é matricialmente expresso como
(Dumont e Mamani, 2011)
1 11 1 1 1
1 11(0) 1(0)1(0)
1(0) 1(0) 1 11 1 1 1
1 1
(1 2 )Re Im 2(1 ) Im Re1
2(1 ) Im Re (1 2 )Re Im
I II
I II
y y
a au u
v v y yE
a a
ν νν
ν ν
′ ′− Φ − Φ − Φ + Φ + = = ′ ′− Φ − Φ − − Φ − Φ
u (6.1)
onde E é o módulo de elasticidade, v o coeficiente de Poisson, 1a o comprimento
do eixo da semitrinca e 1y a coordenada perpendicular ao eixo da trinca.
1 11
1
( )'
Z
Z
∂ΦΦ =∂
e 2
1 11 2
1
( )''
Z
Z
∂ ΦΦ =∂
são a primeira e segunda derivada da função
1Φ , respectivamente. O subscrito (0)( )⋅ quer dizer no sistema local de
coordenadas, cuja abcissa coincide com o eixo da trinca.
59
Dumont e Mamani (2011) desenvolveram a expressão geral do campo de
deslocamentos devido à superposição de efeitos de duas trincas semielípticas
opostas de comprimentos 1a e 2a , e rotações 1θ e 2θ . A consistência matemática e
a interpretação física também foram discutidas. A expressão proposta pelos
autores (com sinal trocado no termo em parêntesis, por conveniência) é
( )1 1(0) 1 2 2(0) 2T T ∗+u = T u M T u M p , (6.2)
onde os subscritos 1( )⋅ e 2( )⋅ estão relacionados às semitrincas 1 e 2, que
compõem a trinca completa, conforme o modelo da Figura 7b. A matriz 1T que
transforma as coordenadas do sistema global de coordenadas ( , )x y ao sistema
local de coordenadas 1 1( , )x y é dada
1 1 1
1 1 1
cos sin
sin cos
x x
y y
θ θθ θ
= −
, ou 1 1=x T x , (6.3)
e a matriz 1M que transforma parâmetros nodais de um sistema global *p a um
sistema local 1p de modo a garantir a compatibilidade de deslocamento na
superposição de efeitos, é dada como
1 11
1 11
sin cos
cos sin
Ix
IIy
pp
pp
θ θθ θ
∗
∗
= − , ou 1 1
∗=p M p (6.4)
onde 11
1
I
II
p
p
=
p é um vetor de parâmetros de força que contém as contribuições
dos modo I e II, respectivamente, atuando simultaneamente na semitrinca 1. Para
a semitrinca 2 basta substituir o subscrito 1( )⋅ pelo subscrito 2( )⋅ nas expressões
acima.
O vetor de parâmetros de força *
**x
y
p
p
=
p é o vetor de variáveis
desconhecidas do problema (graus de liberdade) cujo significado físico resulta
compreensível em comparação com as expressões iniciais propostas por
Westergaard para os modos de fratura I e II (Mamani, 2011).
60
6.2. Expressões analíticas do campo de tensões
De forma similar à Seção 6.1, a partir da função de tensão 1Φ e suas
primeira e segunda derivadas é obtido o campo de tensões devido aos modos de
fratura I e II (Dumont e Mamani, 2011)
1 11 1 1 12 2
1 1 1 11(0) 1(0)
1 11(0) 1(0) 1(0) 1 1 12 2
1 1 11(0) 1(0)
1 11 1 12 2
1 1 1
1 2Re Im Im Re
1Re Im Re
1Re Re Im
I IIxx xxI IIyy yyI IIxy xy
y y
a a a a
y y
a a a
y y
a a a
σ σσ στ τ
′ ′′ ′ ′′Φ − Φ Φ + Φ ′ ′′ ′′= = Φ + Φ − Φ
′′ ′ ′′− Φ Φ − Φ
σ (6.5)
A expressão geral do campo de tensões que considera a superposição de
efeitos de duas semitrincas opostas é
( )1 1(0) 1 2 2(0) 2∗= +R M R M pσ σ σ , (6.6)
onde 1R é a matriz que transforma o campo de tensões 1(0)σ , orientados segundo
o sistema local de coordenadas (eixo da trinca), ao campo de tensões 1(0)σ
orientados segundo o sistema global de coordenadas
1(0) 1(0)1
1 1(0) 1(0)
1 1(0) 1(0)
2 21 1 1
2 2 11 1 1 1 1 1(0) 1
11 1 1
cos sin sin 2
sin cos sin 2 ,
sin 2 / 2 sin 2 / 2 cos 2
I IIxx xxxx II II
yy yy yy II
I IIxy xy xy
p
p
σ σσ θ θ θσ θ θ θ σ σ
θ θ θτ τ τ
− = = −
R pσ σ (6.7)
6.3. Avaliação numérica do campo de tensões para uma tri nca curva geral
Seja uma trinca curva discretizada com 2n + pontos geométricos,
numerados de 1 a 2n + e formando uma série de 1n + segmentos (campo) como
ilustrado na Figura 20. A curva que representa a trinca é aproximada por n
parâmetros nodais numerados de 1 a n (fonte). Estes parâmetros nodais estão
relacionados às forças de superfície dadas pelas funções complexas de
Westergaard aplicadas como uma sucessão de elementos parcialmente
superpostos.
61
k=1
k=2 k=3
k=n-1
k=n
i=1
i=2
i=3 i=n+1
i=n+2
i=4 a2
a3
an
point number
element number
...
i=n
length of the semi-crack axis
Figura 20. Ilustração de uma trinca discretizada com n parâmetros nodais (elementos),
1n + segmentos e 2n + pontos geométricos. Para condições de contorno de Neumann, o problema é governado apenas
pela Equação (2.8), onde a matriz H é calculada pela integral da Equação (2.12),
e p é o vetor de forças nodais equivalentes. Após o vetor de parâmetros nodais *p
ser avaliado, os campos de tensões e deslocamentos são facilmente avaliados
mediante as Equações (2.4) e (2.5).
No primeiro exemplo é estudada a trinca da Figura 21a discretizada com
elementos semielípticos, como proposto por Dumont e Lopes (2003) e
generalizado por Dumont e Mamani (2011). A trinca reta de comprimento 2 2a =
está contida no domínio bidimensional infinito, isotrópico e contínuo, e é
submetida a uma tensão normal remota 1yyσ ∞ = , porém somente o modo I é
estudado. A trinca é discretizada com 4, 16, 64 e 256 elementos de forma elíptica,
todos de igual comprimento. As funções de interpolação usadas para o cálculo da
matriz H , ou seja, inu na Equação (2.12) são lineares. Deseja-se analisar o campo
de tensões ao longo da linha tracejada da Figura 21a, que coincide com o eixo de
coordenadas 0x > , cuja origem está na ponta da trinca. A parte esquerda da
Figura 22 mostra os resultados numéricos e analíticos, e a parte direita mostra os
correspondentes erros numéricos calculados pela Equação (5.16). Os valores
numéricos da tensão yyσ são visualmente semelhantes aos valores analíticos,
assim, melhores conclusões podem ser obtidas a partir da análise dos erros. Para
um ponto 0.0001x = bastante próximo da ponta da trinca os erros entre as quatro
discretizações são bem próximos, sendo o melhor resultado 2.10%ε ≈ ± para a
trinca discretizada com 4 elementos. Para um ponto 0.01x = , cem vezes mais
distante que o ponto anterior, o erro com 4 elementos é próximo a 4.00%± , já para
a trinca discretizada com 256 elementos o erro 0.40%ε ≈ ± é menor, em termos
gerais os resultados numéricos convergem à solução analítica somente quando o
62
ponto em analise é distante da ponta da trinca, porém existe uma natureza
flutuante dos resultados numéricos em torno da solução analítica, pelo qual não é
possível garantir a convergência de tensões num determinado ponto com o
refinamento da discretização.
σyy∞=1
A B
2a 2.0
σyy∞=1
y
x
a) Placa infinita
1 2 3 4 5
Tip elementFace element
Opening
Rotation
Overlap Opening Overlap Opening
A B
b) Trinca reta discretizada com 5 elementos
Figura 21. Trinca horizontal reta em um domínio infinito (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).
Figura 22. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada com elementos de forma elíptica (Adaptado de Dumont e Lopes, 2002; Mamani, 2011).
O segundo exemplo, corresponde à mesma trinca da Figura 21a discretizada
com elementos polinomiais para representar as faces da trinca e elementos mistos
para representar as pontas da trinca, esta discretização é mostrada na parte
superior da Figura 21b para uma trinca reta discretizada com 5 elementos, como
exemplo. Os elementos 2 a 4 correspondem a elementos de face e os elementos 1
e 2 a elementos de ponta. As funções de interpolação usadas no cálculo da matriz
H , ou seja, inu na Equação (2.12) têm a mesma forma da abertura *imu do
correspondente elemento. Os resultados numéricos da tensão yyσ plotados na
parte esquerda da Figura 23 apresentam pequenas diferenças em relação à solução
analítica. Uma analise similar ao exemplo anterior é levada a cabo: para um ponto
de coordenada 0.0001x = o erro 0.50%ε ≈ ± com 64 elementos foi bem melhor
63
que todas as discretizações, inclusive ao da trinca discretizada com 256 elementos
( 4.50%≈ ). Para o ponto 0.01x = o menor erro 0.90%ε ≈ foi para uma
discretização com 16 elementos e o maior 8.20%ε ≈ para uma discretização de 4
elementos. Apesar destes resultados não serem melhores que os do exemplo
anterior, os resultados da trinca discretizada com elementos mistos parecem ter
uma natureza menos oscilatória do que aqueles que foram obtidos usando somente
elementos elípticos.
Figura 23. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada com elementos combinados de abertura ou deslizamento (Mamani e Dumont, 2015).
O terceiro exemplo é semelhante ao segundo, aos elementos do exemplo
anterior são superpostos elementos para considerar os efeitos da rotação relativa
entre as faces da trinca, como exemplificado na parte inferior da Figura 21b. Em
termos do modo I, estes elementos têm uma parte em abertura e outra em
sobreposição, esta sobreposição existe somente na representação local, no
comportamento global esta sobreposição é eliminada na soma de efeitos com
elementos de abertura (parte superior da Figura 21b). Os resultados numéricos da
Figura 24 são visualmente iguais ao analítico. Os erros para o ponto de
coordenada 0.0001x = estão entre 4.60%± e 6.50%± , os quais não apresentaram
melhoras significativas em relação aos exemplos anteriores. Para o ponto com
coordenada 0.01x = os erros tiveram um melhor comportamento, o erro com 4
elementos foi próximo a 2.70%± e o erro com 256 elementos foi menor a 0.07%± .
A melhor característica dos resultados usando-se elementos de abertura com
rotação é que as flutuações foram radicalmente diminuídas, isto garante a
convergência das tensões em pontos bem próximos da trinca.
64
Figura 24. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada com elementos combinados de abertura e rotação (Mamani e Dumont, 2015).
Os exemplos demonstraram que a trinca discretizada com elementos mistos
com rotação conduz a um bom comportamento do campo de tensões, garantindo a
convergência para pontos bem próximos à ponta da trinca.
6.4. Avaliação numérica da abertura da trinca
Nesta seção é apresentado o estudo da forma de abertura de uma trinca reta:
uma primeira análise é feita usando-se o método híbrido dos elementos de
contorno e uma segunda análise usando-se o método convencional dos elementos
de contorno.
6.4.1. Abertura de trinca usando o método híbrido dos elem entos do contorno
Para condições de contorno de Neumann, depois de calculado o vetor de
parâmetros nodais *p na Equação (2.8) o cálculo do campo de deslocamentos é
facilmente obtido mediante a Equação (2.5), a menos de uma constante de
deslocamentos de corpo rígido. O problema apresentado é para o estado plano de
deformações.
O primeiro exemplo é para a trinca da Figura 21a, desta vez com a
coordenada 0x = deslocada para coincidir com o centro da trinca. Uma primeira
avaliação é para a trinca reta discretizada com 16 elementos elípticos, na segunda
avaliação numérica a trinca é discretizada com elemento mistos (polinomiais nos
elementos das faces e semielípticas nos elementos das pontas), na terceira
65
avaliação além de serem considerados elementos mistos para representar a
abertura da trinca são também considerados elementos para representar os efeitos
da rotação relativa entre as faces da trinca. Os resultados são mostrados na Figura
25, onde os valores da abertura foram calculados para 22(1 )
1E
ν− = , de modo a
obter uma abertura unitária da solução analítica no centro da trinca, os valores das
aberturas foram calculados ao longo de 201 pontos igualmente distribuídos no
eixo da trinca. A parte esquerda da Figura 25 mostra a comparação dos resultados
numéricos com o analítico e à direita seus respectivos erros calculados como
( )(max)
% 100%num ana
ana
v v
vε −
= × (6.8)
onde numv e anav representam valores numéricos e analíticos, neste caso (max) 1anav =
é a abertura analítica no centro da trinca. Na parte central da trinca, os piores
resultados numéricos foram dos elementos elípticos ( 10%ε ≈ ± ) e os melhores dos
elementos mistos com rotação ( 0.1%ε ≈ ± ).
a) Forma da abertura
b) Erro relativo da abertura
Figura 25. Abertura da trinca da Figura 21 usando vários elementos de discretização (Mamani e Dumont, 2015).
O segundo exemplo é o estudo da mesma trinca do exemplo anterior, agora
discretizada com 4, 16 e 64 elementos mistos com rotação. Na Figura 26a pode-se
observar que os resultados numéricos coincidem visualmente com os resultados
analíticos, inclusive para a trinca discretizada com 4 elementos. Segundo a Figura
26b a trinca discretizada com maior quantidade de elementos (64) apresenta maior
estabilidade (menor flutuação) do que a trinca discretizada com menor quantidade
de elementos (4 e 16).
66
a) Forma de abertura
b) Erro relativo da abertura
Figura 26. Abertura da trinca da Figura 21 para várias discretizações da trinca (Mamani e Dumont, 2015).
6.4.2. Abertura de trinca usando o método convencional dos elementos de contorno
Uma formulação a partir do método dos resíduos ponderados conduz à
expressão clássica do método dos elementos de contorno dada pela Equação
(Brebbia et al, 1984)
ou mn n mn nH d G t= =Hd Gt , (6.9)
onde d é o vetor de deslocamentos nodais (nos nós 1 até 5 na parte direita da
Figura 21, por exemplo) e t são parâmetros nodais de intensidade de forças de
superfície aplicados nos mesmos nós. A matriz de transformação cinemática H é
exatamente a mesma da Equação (2.8) e a matriz G que realiza um tipo de
transformação de flexibilidade é dada por
*ml im ilG u t d
Γ= = Γ∫G , (6.10)
com deslocamentos *imu dados pelas funções de tensão de Westergaard e as
funções de interpolação com suporte local ilt , que têm a mesma forma da abertura
*imu .
O exemplo numérico estudado é a para a mesma trinca do segundo exemplo
da Seção 6.4.1, porém agora resolvido pelo método convencional dos elementos
de contorno. A Figura 27a mostra os resultados numéricos da abertura da trinca
para discretizações de 4, 16 e 64 elementos igualmente espaçados e seus
correspondentes erros são mostrados à direita. Embora os erros sejam um pouco
67
maiores do que no método híbrido dos elementos de contorno, no método
convencional os erros apresentam maior estabilidade (menor flutuação).
a) Forma de abertura
b) Erro relativo da abertura
Figura 27. Deslocamentos de abertura da trinca reta da Figura 21a (Mamani e Dumont, 2015).
6.5. Fator de intensidade de tensão
Na mecânica da fratura linear elástica, o fator de intensidade de tensão é
usado para estimar o campo de tensões próximo à ponta da trinca. O fator de
intensidade de tensão (K ) define a amplitude da singularidade na proximidade da
ponta da trinca, isto é, tensões próximas à ponta da trinca aumentam
proporcionalmente a K . Além disso, este fator define completamente as
condições da ponta da trinca; se K é conhecido, é possível resolver todos os
componentes de tensões, deformações e deslocamentos como uma função de r e
θ . Este parâmetro K usado para a descrição das condições da ponta da trinca é
um dos conceitos mais importantes na mecânica da fratura (Anderson, 1995).
Soluções fechadas para K têm sido definidas para um número determinado
de configurações simples, para situações mais complexas ele pode ser estimado
através de experimentos ou analises numéricas. Point matching e os métodos de
energia são tradicionalmente usados para avaliar os parâmetros da mecânica da
fratura a partir de análises numéricas. Os fatores de intensidade de tensão em
termos de tensões são formalmente definidos como
0
0
lim 2 ( ,0)
lim 2 ( ,0)
I yyr
II yxr
K r r
K r r
π σ
π σ→
→
=
= (6.11)
68
O fator de intensidade de tensão pode ser calculado a uma determinada
distância da ponta da trinca, e extrapolado para 0r = . Alternativamente K pode
ser estimado a partir de uma extrapolação da abertura da trinca:
( )
( )
0
0
2lim 2 ,
12
lim 2 ,1
I yr
II xr
K u r
K
r
u rr
µ π πκ
µ π πκ
→
→
=+
=+
(6.12)
A Equação (6.12) tende a ser mais precisa do que a Equação (6.11) devido
ao fato de que os deslocamentos nodais podem ser obtidos com melhor precisão
do que as tensões. No método clássico dos elementos finitos, esta abordagem de
extrapolação precisa de um alto nível de refinamento da malha para obter um
nível razoável de precisão. Por exemplo, para uma análise bidimensional com uma
malha de 2000 graus de liberdade, o método de extrapolação gera tipicamente um
erro em torno de 5%± para IK (Anderson, 1995).
6.5.1. Fator de intensidade de tensão em termos de *p
Os valores de K são diretamente obtidos a partir dos elementos do vetor *p
(dado na Equação (2.8)) que correspondem às pontas da trinca. A expressão
analítica de IK como função de *p é obtida substituindo-se as expressões da
Equação (2.4) na Equação (6.11) e avaliando-se para 0r → , assim
( ) * *( ) ( ) ( )
( )
1
2 3n
I n y n ry nn
aK p p
a
π = +
. (6.13)
Para o modo misto, os fatores de intensidade de tensão IK e IIK num
problema linear elástico bidimensional são dados pela Equação
* *( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* *( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
sin cos 1cos sin2 3
nI n n n x n rx n
I n n n y n ry nn
aK p p
K p pa
π θ θθ θ
− = + , (6.14)
onde, ( )
( )
*
*
x n
y n
p
p
e *
( )*
( )
rx n
ry n
p
p
são incógnitas primárias do problema, relacionadas à
abertura (ou deslizamento) e rotação. *
( )*
( )
0rx n
ry n
p
p
=
é o caso particular onde as
rotações não são consideradas.
69
Como exemplo numérico, apresenta-se o estudo da mesma trinca da Figura
21a, cuja solução analítica do fator de intensidade de tensão para o modo I é
IK π= . O estudo aqui apresentado é para a trinca reta discretizada com 1, 4, 16,
64 e 256 elementos. Os resultados são apresentados na Figura 28a, onde uma série
de resultados corresponde à trinca discretizada com elementos de forma elíptica e
a outra à trinca discretizada com elementos mistos com rotação. O fator de
intensidade de tensão IK para a trinca discretizada com um elemento corresponde
à solução analítica, Os resultados numéricos para a trinca discretizada com 256
elementos foram melhores para os elementos elípticos ( 6%≈ ± ) em comparação
com os resultados para elementos mistos com rotação ( 8%≈ ± ), porém não foi
obtida uma regra de convergência em nenhum dos casos.
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
1 4 16 64 256
Knu
m/K
ana
Number of elements
Elliptical
Mixed with rotation
a) IK a partir de *p
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1 4 16 64 256
Knu
m/K
ana
Number of elements
HBEM
BEM
b) IK com MHEC e MEC
Figura 28. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21, a partir dos parâmetros *p e deslocamentos num ponto de coordenadas 0.01x = − (Mamani e Dumont, 2015).
6.5.2. Fator de intensidade de tensão em termos da abertur a da trinca
O valor numérico da abertura da trinca, pode ser usado para calcular o fator
de intensidade de tensão a partir da Equação (6.12), quando a variável r é
aproximada por r ε= , sendo ε um valor bem pequeno.
Como exemplo numérico apresenta-se a mesma trinca da Figura 21a cuja
solução analítica para o modo I é IK π= , a trinca é discretizada com 1, 4, 16, 64
e 256 elementos mistos com rotação. O cálculo numérico do fator de intensidade é
realizado pelo método hibrido e convencional dos elementos de contorno, cujos
resultados são mostrados na Figura 28b. Os fatores de intensidade de tensão foram
calculados a partir do ponto 0.01r ε= = (sobre o eixo x ). Os resultados melhoram
à medida em que a discretização da trinca é aumentada, não foi obtido um padrão
70
de convergência, no entanto os melhores resultados foram obtidos usando o
método híbrido dos elementos de contorno.
6.5.3. Fator de intensidade de tensão em termos de tensões
A solução do campo de tensões num ponto em frente à ponta da trinca é
usada para calcular o fator de intensidade de tensão, K é calculado a partir da
Equação (6.11) quando a variável r é aproximada por r ε= , sendo ε um valor
bem pequeno.
Como exemplo numérico apresenta-se a mesma trinca da Figura 21a cuja
solução analítica para o modo I é IK π= , a trinca é discretizada com 1, 4, 16, 64
e 256 elementos mistos com rotação. O cálculo numérico do fator de intensidade
IK foi obtido em três pontos ( 0.1, 0.01 e 0.001r = ) cujos resultados são mostrados
na Figura 29a. Não foi obtido um padrão de convergência, no entanto o melhor
resultado é para 0.01r = , com erros menores que 1%± para discretizações de 64 e
256 elementos.
Outra estimativa do fator de intensidade de tensão poderia ser obtida
calculando-se IK a uma determinada distância da ponta da trinca, e extrapolado
para 0r = .
a) IK relativo a partir de pontos
b) IK a partir da série de Williams
Figura 29. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21, a partir de tensões em pontos e por comparação com a série de Williams (Mamani e Dumont, 2015).
6.5.4. Fator de intensidade de tensão por comparação com a série de Williams
Os fatores de intensidade de tensão obtidos diretamente a partir dos
parâmetros *p e a partir das tensões e aberturas num ponto próximo à ponta da
71
trinca não garantem convergência, diante deste fato procurou-se uma alternativa
para melhorar esses resultados. A solução para o cálculo numérico de K por
comparação com a série de Williams foi inicialmente proposta neste contexto por
Lopes (1998, 2002). A ideia proposta é calcular os n primeiros termos da série de
Williams de forma que a curva correspondente se aproxime o máximo possível da
curva obtida através do método numérico, esta aproximação é realizada
utilizando-se o método dos mínimos quadrados e será explicada a seguir.
De acordo com o método dos mínimos quadrados, o vetor c que contém
os coeficientes dos n primeiros termos da série de Williams, deve ser tal que:
[ ] ( ) [ ] ( ) minTT T
n n− − =c T t T c t (6.15)
onde
Matriz [ ]T .- Cujas linhas armazenam os n primeiros termos da série de Williams
obtidos nos mesmos pontos utilizados para o cálculo das tensões através do
programa computacional.
Vetor c .- Cujos elementos representam os coeficientes dos n primeiros termos
da série de Williams.
Vetor nt .- Que armazena as tensões calculadas através do programa
computacional.
Derivando-se a Equação (6.15) em relação a c e igualando-se a zero ,
chega-se a
[ ] [ ]( ) [ ] ( )1T T
n
−=c T T T t (6.16)
sendo determinados assim os coeficientes dos termos da série.
De acordo com a Equação (3.16), o coeficiente do primeiro termo da série
de Williams está relacionado ao fator de intensidade de tensão, sendo os
coeficientes dos outros termos da série importantes para a representação das
tensões em pontos mais distantes da ponta da trinca.
O exemplo numérico é o mesmo da Figura 21a cuja solução analítica para o
modo I é IK π= . Os resultados numéricos para a trinca discretizada com 1, 4,
16, 64 e 256 elementos mistos com rotação são mostrados na Figura 29b. Nos três
casos apresentados foram calculados os 5 primeiros termos da série de Williams a
partir das tensões calculadas em 10 pontos igualmente espaçados entre os limites
72
indicados na legenda da Figura 29b. Neste exemplo verificou-se que o fator de
intensidade de tensão converge com a discretização, a convergência é mais rápida
quando a faixa dos pontos onde as tensões são calculadas está mais longe da
trinca, isto acontece somente para este exemplo em particular, pois não existe a
influência de outros contornos no domínio em análise.
73
7 Formulação para a Simulação da Zona Plástica
7.1. Equações básicas
O modelo numérico é formulado em termos de dois campos. Um campo
interpola deslocamentos no contorno Γ , dado como funções
ao longo de di in nu u d= Γ (7.1)
de dn parâmetros nodais de deslocamentos [ ]dn
nd= ∈d ℝ localizados ao longo de
Γ . Eles têm suporte local e satisfazem as condições de deslocamentos no contorno
como premissa. Um segundo campo interpola tensões elásticas no domínio Ω ,
como mostrado na Equação (7.2), dada como uma série de funções de * dn n=
parâmetros de força * *[ ]dn
mp p= ∈ℝ . Eles têm suporte global e satisfazem as
equações de equilíbrio no domínio, como uma premissa. Eles podem ser soluções
fundamentais em termos de funções de tensão de Westergaard generalizadas ou de
Kelvin. O algoritmo proposto é aplicado à solução de problemas com zonas
plásticas pequenas ao redor das pontas das trincas, distribuídas dentro de um
corpo bidimensional de contorno aberto ou fechado.
O problema numérico é formulado a partir do potencial de Hellinger-
Reissner, baseado no pressuposto de dois campos, como implementado por Pian
(1964) e generalizado por Dumont (1989), conduzindo assim a duas equações
matriciais que expressam condições de equilíbrio nodal e de compatibilidade.
Dumont (2011) mostra que uma simples, e matematicamente consistente forma de
expressar essas equações é em termos de dois princípios de trabalho virtuais
independentes entre si. No entanto, uma vez que a maioria dos problemas da
mecânica da fratura é dada pela condição de contorno de Neumann, a presente
análise é restrita para este caso particular, no qual apenas o principio dos trabalhos
virtuais em termos de deslocamentos é necessário.
74
Assume-se que a solução particular elástica pijσ que corresponde às forças
de corpo ib é conhecida. O fenômeno elasto-plástico é simulado por meio de um
conjunto de equações globalmente aplicados ao corpo elástico, com uma correção
para as forças do domínio inicialmente desbalanceadas produto das zonas
plásticas, como ilustrado na esquerda da Figura 30. Num determinado instante da
análise numérica, a expressão do campo de tensões no domínio é
e p res p resij ij ij ij ijm m ij ijpσ σ σ σ σ σ σ∗ ∗ ∗= + − = + − (7.2)
onde pijσ é uma solução particular elástica que corresponde às forças de corpo ib e
ij ijm mpσ σ∗ ∗ ∗= é o campo elástico expressado como uma série de soluções
fundamentais ijmσ ∗ multiplicado por parâmetros de força mp∗ , que são as variáveis
desconhecidas. Além disso, o campo de tensões resijσ , para o qual em princípio
não existe expressão analítica, é subtraído para levar em conta a zona plástica. Em
seguida, resijσ que é diferente de zero dentro de um conjunto de subdomínios plΩ ,
em torno das pontas das trincas, e 0resijσ = no domínio complementar plΩ − Ω .
Para forças de tração it aplicadas em σΓ ≡ Γ (condições de contorno tipo
Neumann). O princípio dos trabalhos virtuais de deslocamentos é escrito como
( ) , d d dp res d d dij ij ij i j i i i iu t u b u
σσ σ σ δ δ δ∗
Ω Γ Ω+ − Ω = Γ + Ω∫ ∫ ∫ (7.3)
Isto corresponde a uma formulação inicial de tensões, tal como referido na
literatura técnica. Após substituições de diu e ijmσ ∗ de acordo com as interpolações
assumidas, integrando por partes e aplicando o teorema de Green, a equação
acima torna-se
( )T T T T Tp resδ δ δ∗ ∗− ∗= − +d H p d p p d U d (7.4)
onde
, dpl
res res resn in j ijd u σ∗ ∗ ∗
Ω≡ = Ω∫d (7.5)
é um vetor de deslocamentos nodais, equivalente ao campo de tensões resijσ das
zonas plásticas e
( )dp p pn n in i ij jp p u t nσ
Γ− ≡ − = − Γ∫p p (7.6)
75
é um vetor de forças nodais equivalentes. A matriz
dmn in ijm jH u nσ ∗
Γ≡ = Γ∫H (7.7)
acaba por ser a mesma matriz potencial do método convencional dos elementos de
contorno (que vem das soluções fundamentais de Kelvin) e [ ] n nmnu
∗ ∗∗ ∗ ×= ∈U ℝ é a
expressão matricial da transformação a partir dos parâmetros de força interna mp∗
introduzidos na Equação (7.2) nos parâmetros de deslocamentos nodais nd da
Equação (7.1).
∗ ∗ =U p d (7.8)
Outra expressão útil obtida a partir da Equação (7.4) (após cancelar Tδd ) é
( )T 1p res∗ − ∗− ∗= − +p H p p F d (7.9)
onde ∗F tem o significado de uma matriz de flexibilidade:
∗ ∗ ∗=F p d (7.10)
Os desenvolvimentos que levam às Equações (7.4)-(7.10) e especialmente
às expressões matriciais de ∗U e ∗F são explicados na próxima seção.
7.2. Derivação do termo residual para o calculo iterativ o
As equações (7.4)-(7.8) são o resultado dos desenvolvimentos a partir da
Equação (7.3)
( )( )( )
,
, ,
, ,
d d d
d d d d
d
p res d d dij ij ij i j i i i i
p d d d res dij ij i j i i i i ij i j
p d pij ij j i ij j ij j
u t u b u
u t u b u u
u
σ
σ
σ σ σ δ δ δ
σ σ δ δ δ σ δ
σ σ η δ σ σ
∗
Ω Γ Ω∗
Ω Γ Ω Ω
∗ ∗
Γ
+ − Ω = Γ + Ω
+ Ω = Γ + Ω + Ω
+ Γ − +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ( ) d dd di i i iu t u b
σδ δ
Ω ΓΩ = Γ +∫ ∫
( )( )
,
,
,
d d
d
d
pl
pl
pl
d res di ij i j
p res dn mn m n n n ij i j
p resn mn m n n n m ij im j
u u
d H p d p p u
d H p d p p p u
δ σ δ
δ δ σ δ
δ δ δ σ
Ω Ω
∗
Ω
∗ ∗ ∗
Ω
Ω + Ω
= − + Ω
= − + Ω
∫ ∫
∫
∫ (7.11)
onde dois termos se anulam devido à condição de equilíbrio ,p
ij j ibσ = em Ω .
Sublinhados e sublinhados duplos são usados para identificar os termos
correspondentes ao longo das transformações. mnH , como definido na Equação
76
(7.7) para a aproximação de tensões indicadas na Equação (7.2), é a mesma matriz
potencial do método convencional dos elementos de contorno quando são usadas
as soluções fundamentais de Kelvin. Nesse caso, o segundo termo sublinhado na
equação acima mostra que , ,ij j ijm j m im mp pσ σ δ∗ ∗ ∗ ∗= = − , onde imδ é uma função delta
generalizada, geral no domínio aberto. Para soluções fundamentais dadas pela
função de tensão de Westergaard da Equação (4.1), , 0ij jσ ∗ = em Ω . Já que os
parâmetros nodais de força interna mp∗ , referido às soluções fundamentais de
Kelvin ou Westergaard, só se aplicam fora do domínio de interesse Ω , a
expressão de mnH na Equação (7.7) é justificada, com integrais singulares fortes
ou fracas que são tratadas de forma adequada.
σ
ε
Yσ
pεYε
( )ep
p
res
E
E
σ ε ε
σ ε
σ σ
= −
= −
= −
eσ
resσ
Eσ ε=
Iσ
IIσ
O
PP⊥
P≈
Figura 30. Curva tensão-deformação para a análise elasto-plástica em termos de tensões iniciais (esquerda); e superfície de escoamento em termos de tensões principais ( ),I IIσ σ com o estado de tensões representado pelo ponto ( ),I IIP σ σ (Dumont e
Mamani, 2013). Em formato matricial, a ultima linha da Equação (7.11) leva a
( )T T T Tp resδ δ δ∗ ∗ ∗= − +d H p d p p p d (7.12)
O resultado final indicado na Equação (7.11) é obtido após uma
transformação crucial, que tem justificativa variational e auxilia na teoria do
método híbrido dos elementos de contorno (Dumont e Aguilar, 2011). Já que os
deslocamentos diuδ não são dados no domínio, de acordo com a definição da
Equação (7.1), deve-se assumir que dentro de uma faixa de erros numéricos de
discretização
77
, , emdi j m im ju p uδ δ ∗ ∗= Ω (7.13)
contudo, diuδ corresponde a deslocamentos nodais δ d que tomam parte nas
seguintes transformações e pode ser levada a cabo no contexto do método de
colocação, convencional dos elementos de contorno (Brebbia et al, 1984):
1
T 1 T T 1
δ δ δ δδ δ δ δ
−
− −
= ⇒ = ⇒
= ⇒ =H d G t G H d t
L G H d L t L G H d p (7.14)
onde T 1−=K L G H é definido como um tipo de matriz de rigidez.
Finalmente, uma das equações básicas do método híbrido dos elementos de
contorno,
Tδ δ∗ =H p p (7.15)
que também é obtida como uma segunda variação da Equação (7.12), é
combinada com a Equação (7.14) para chegar a
( )T T 1δ δ∗ − −=p H L G H d (7.16)
Substituindo para δ ∗p , como dado acima, na Equação (7.12), leva à
Equação (7.4), com a matriz de deslocamentos.
( ) 1T 1 T−∗ −=U L G H H (7.17)
A Equação (7.9), que é adequada para o processo iterativo proposto, é
finalmente obtida com a definição da matriz de flexibilidade ∗F :
( )T 1 T∗ ∗ −= =F HU HL G (7.18)
Dependendo da implementação, mesmo que soluções fundamentais de
Kelvin e de Westergaard sejam utilizadas para diferentes partes do contorno, as
inversas indicadas devem ser avaliadas em termos de matrizes particionadas e,
eventualmente recorrer aos conceitos de inversas generalizadas. Em cada iteração
de um determinado passo o contorno da zona plástica deve ser obtido.
7.3. Algoritmo de busca linear para a obtenção da fronte ira plástica
Seja uma função ( )f r definida no intervalo 1 2[ , ]r r r= , onde é garantida uma
solução para ( ) 0f r = . Uma primeira aproximação é o ponto de coordenada 3r , o
78
qual é dado pela interseção da reta que une os pontos de coordenadas 1 1[ , ( )]r f r e
2 2[ , ( )]r f r com o eixo r . Matematicamente 3r é dado por
2 2 13 2
2 1
( )( )
( ) ( )
f r r rr r
f r f r
−= −−
(7.19)
cuja interpretação geométrica é mostrada na parte esquerda da Figura 31.
f(x)
x x1
x2 x3
Figura 31. Busca linear (Regula-Falsi) e processo de discretização da zona plástica (Adaptado de Dumont e Mamani, 2013).
Dada a função
( , ) ( , )eq Yf x y x yσ σ= − (7.20)
em termos de uma tensão equivalente ( , )eq x yσ (Von Mises, por exemplo) e a
tensão de escoamento uniaxial Yσ , o algoritmo proposto para definir a fronteira
plástica é o seguinte:
Passo 1. Definir os ns setores circulares com centro na ponta da trinca e abertura
2 nsθ π∆ = .
Loop para 1..n ns= (Para cada setor circular)
Passo 2. A partir da Equação (7.20) obter a função de variável r
( ) 1 1cos , sin
2 2f r f r n r nθ θ
= ∆ − ∆ −
.
Passo 3. Definir o intervalo 1 2[ , ]r r de tal forma que 1 2( ) ( ) 0f r f r < . Pode-se
inicializar com 1 0r = .
Loop para 1..k NumMaxIter= (Busca linear)
Passo 4. Calcular 3r pela Equação (7.19), e sua respectiva função 3( )f x
Passo 5. Se 1 3( ) ( ) 0f r f r < então assignar 2 3r r← , caso contrario assignar 1 3r r← .
Passo 6. Se Erro Tolerancia< salvar ( ) 1p nr r= e fim loop k , caso contrario retornar
ao Passo 4.
79
Fim do loop n .
O contorno da zona plástica está delimitado pelos pontos ( )p nr para 1..n ns= .
Sendo seu equivalente em coordenadas cartesianas cuja origem coincide com a
ponta da trinca
( )
1 1[ , ] cos ,sin
2 2n n p nx y r n nθ θ = ∆ − ∆ −
, para 1..n ns= . (7.21)
7.4. Solução iterativa do problema não linear
A Equação (7.9) é aplicada recursivamente no contexto do algoritmo
seguinte
Passo 0. Dado o vetor de forças nodais equivalentes p−p p , e a primeira
estimativa do vetor residual de deslocamentos nodais equivalentes (0)res∗d (que é
igual a zero para o primeiro incremento de carga), definir 0i = e avaliar
( )T 1(0) (0)
p res∗ − ∗− ∗= − +p H p p F d (7.22)
Passo 1. Para pontos radialmente distribuídos ao redor das pontas da trinca avaliar
as tensões residuais ( 1)resij iσ + dadas a partir da Equação (7.2),
( 1) ( ) ( 1)e p resij i ijm m i ij ij ipσ σ σ σ∗ ∗
+ += + − (7.23)
de tal forma que ( 1)eij iσ + é no máximo igual à tensão de escoamento do
material, de acordo com algum critério de escoamento também tendo-se em conta
o eventual endurecimento do material, como ilustrado na Figura 30.
Passo 2. Avaliar a melhor estimativa do vetor residual de deslocamentos nodais
equivalentes:
( 1) , ( ) ( 1)dpl
res resi in j i ij iu σ∗ ∗+ +Ω
= Ω∫d (7.24)
Passo 3. Avaliar a melhor estimativa do vetor residual de parâmetros nodais de
tensão:
( )T 1( 1) ( 1)
p resi i
∗ − ∗− ∗+ += − +p H p p F d (7.25)
Passo 4. Calcular o erro de convergência ( 1) ( )
( 1)
i i
i
ε∗ ∗
+
∗+
−=
p p
p
80
Se toleranceε ≤ , a convergência foi atingida. Parar o processo iterativo.
Caso contrário, se i < número máximo de iterações, alocar 1i i← + e ir para o
Passo 1. Caso contrário, interromper o processo com a mensagem de aviso que a
convergência não foi alcançada.
O algoritmo apresentado acima poderia não convergir para valores altos de
p−p p , o qual corresponderia a zonas plásticas grandes, a estimativa inicial
poderia estar bem longe da solução final. Neste caso, o indicado Passo 0
realmente deve corresponder a um nível de carga anterior, para o qual as
Equações (7.2) e (7.9) são satisfeitas como resultado de um ciclo de iteração
anterior. A carga é então incrementada com p∆ − ∆p p , e o algoritmo é aplicado
mais uma vez, assim, sucessivamente até que o nível de carga desejado é
alcançado.
A avaliação de ( 1)resij iσ + na Equação (7.23) para um ponto ao redor da ponta da
trinca exige que a resposta elástica das tensões ( )p
ijm m i ijpσ σ∗ ∗ + e as correspondentes
tensões equivalentes sejam primeiramente obtidas. O critério de Von Mises é
utilizado, o esquema do lado esquerdo da Figura 30 representa uma tensão
uniaxial equivalente σ , indicando que o ponto em análise está dentro da zona de
plastificação. Dada a lei elasto-plástica do material, o ponto ( , )eε σ da curva
tensão-deformação e a tensão residual resσ são obtidas. A avaliação subsequente
de resijσ pode ser levada a cabo através de uma interpolação linear de cada termo
do tensor, para um ponto qualquer da zona plástica, como
( )res
res pij ijm m ijp
σσ σ σσ
∗ ∗= + (7.26)
Isto corresponde a trazer todos os termos do tensor de tensão
proporcionalmente à superfície de escoamento, tal como representado pelo ponto
P≈ no gráfico do lado direito da Figura 30 (superfície de escoamento para estado
plano de tensões e critério de Von Mises), para um ponto de tensão ( ),I IIP σ σ
dado em termos de tensões principais, com o vetor P P≈− interpretado como o
termo residual. Este é o procedimento atualmente implementado. Uma alternativa,
provavelmente mais adequada, consiste em trazer o ponto de tensão ( ),I IIP σ σ
81
para P⊥ , tal como consta na Figura 30, de modo que P P⊥− é a menor distância de
( ),I IIP σ σ à superfície de escoamento (Simo e Taylor, 1985). Este segundo
procedimento não é tão simples de implementar em comparação com a Equação
(7.26), que deve ser testado em um futuro próximo. São esperados resultados com
maior taxa de convergência especialmente para o estado plano de deformações, o
qual tem uma superfície de escoamento mais alongada da superfície de
escoamento do que no estado plano de tensões.
7.5. Avaliação numérica do termo residual
A avaliação numérica do vetor residual de deslocamentos nodais
equivalentes res∗d , como introduzido na Equação (7.5) e usado no algoritmo da
Seção 7.4, é realizada no sistema polar de coordenadas ilustrado à direita da
Figura 31, de acordo com o resumo do último parágrafo da Seção 7.4 para a
avaliação de resijσ . Para este propósito, o contorno da zona plástica ao redor de
cada ponta de trinca deve ser primeiramente avaliado, utilizando o esquema de
busca linear Regula-falsi mostrado na Seção 7.3, ao longo dos pontos nos
sucessivos setores circulares do sistema local de coordenadas polares para
comparar a tensão equivalente, determinado em função do critério de Von Mises,
com o valor de escoamento do material.
A Figura 32 mostra o padrão de convergência típico do algoritmo para 3 de
36 setores circulares, numa investigação numérica do erro relativo da avaliação do
comprimento radial da zona plástica, para o modo I, problema de estado plano de
deformações de uma trinca reta no domínio aberto submetido a uma tensão
uniaxial remota de 50yy MPaσ ∞ = . A menos que indicado de outra forma, neste e
nos exemplos posteriores, o comprimento da trinca será 2 0.02A m= , o módulo de
elasticidade 210E GPa= , o coeficiente de Poisson 0.3ν = , e a tensão de
escoamento 235Y MPaσ = . O padrão de convergência observado, que é o mesmo,
independentemente do número de elementos usados na discretização da trinca,
pode ser considerado satisfatório.
A Figura 33 apresenta o erro de convergência na avaliação do vetor residual
de deslocamentos equivalentes res∗d , como apresentado na Equação (7.5), para um
82
número diferente de setores circulares (direção angular do lado direito da Figura
31), utilizando-se como valor alvo o resultado numérico com 64 setores. O
problema é o mesmo do parágrafo anterior com oito pontos de Gauss na direção
radial e um elemento de trinca no gráfico à esquerda e 16 elementos de trinca à
direita. Uma análise semelhante de convergência (também para um e 16
elementos de trinca na discretização) é feita na Figura 34 para um número variável
de pontos de Gauss na direção radial, utilizando como valor alvo o resultado com
32 pontos. São usados 16 elementos de trinca na discretização. A convergência da
quadratura numérica na direção radial parece merecer uma melhora, dado que há
um termo afetado por r , que não pode ser tratado com precisão em termos de
Gauss-Legendre. Uma vez que este termo pode ser avaliado analiticamente, esta é
uma das mudanças numéricas de implementação para ser introduzida numa
próxima oportunidade.
Figura 32. Estudo de convergência para a avaliação da zona plástica, em termos de regula-falsi, para três setores angulares, como mostrado na parte direita da Figura 31 (Dumont e Mamani, 2013).
4
8
16
32
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
4
Inte
grat
ion
erro
r
Number of sectors along 360 °
4
8
16
321.E-091.E-081.E-071.E-061.E-051.E-041.E-031.E-021.E-011.E+00
4
Inte
grat
ion
erro
r
Number of sectors along 360 °
Figura 33. Convergência na avaliação do vetor residual de deslocamentos equivalentes * resd , como introduzido na Equação (7.5), para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e
um número crescente de setores (direção angular) (Dumont e Mamani, 2013).
83
1
2
4
8
161.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1 10
Inte
grat
ion
erro
r
Number of radial Gauss points
1
2
4
8
16
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1 10
Inte
grat
ion
erro
r
Number of radial Gauss points
Figura 34. Estudos de convergência para a avaliação do vetor residual de deslocamentos equivalentes * resd , como introduzidos na Equação (7.5) para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e diferentes números de pontos de Gauss na direção radial (Dumont e Mamani, 2013).
7.6. Simulação confiável do campo de tensões ao redor da ponta da trinca
O uso das funções de tensão de Westergaard como soluções fundamentais já
foi demonstrado, levando a resultados globais precisos para estruturas elásticas
bidimensionais, para superposições de trincas elípticas retas (Lopes, 1998, 2002;
Dumont e Lopes, 2003) ou, mais precisamente para trincas curvas, trincas semi-
elípticas (Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011), como descritos na Seção 4.
As referências anteriores também demonstraram que os problemas de domínios
limitados podem ser simulados pela combinação de funções de tensão de
Westergaard para trincas e entalhes com soluções fundamentais de Kelvin para o
caso geral e para os efeitos de campos distantes.
No entanto, a alta precisão ou representação realística do estado de tensões
ao redor da ponta da trinca é ainda uma questão em aberto, uma vez que não foi
convincentemente abordada na literatura técnica. Então, ao invés de tentar
executar e apresentar resultados relacionados com geometrias e condições de
carga complicadas, o que é quase simples de implementar no esquema proposto, é
aconselhável aplicar estes desenvolvimentos para o problema mais simples na
literatura, ou seja, o caso de uma simples trinca reta num domínio bidimensional
aberto submetida a uma tensão constante uniaxial ou biaxial no campo distante.
Neste caso, a solução proposta por Westergaard é exata para materiais elásticos
homogêneos e isotrópicos, mas não para a simulação correta das zonas plásticas.
Os seguintes exemplos numéricos abordam inicialmente o estado elástico ao
redor da ponta da trinca no contexto proposto por Dumont e Mamani (2011), ou
seja, usando somente elementos de forma semielíptica, a fim de mostrar quão
84
complicado o problema realmente é. Posteriormente é investigada a formação da
zona plástica, com resultados que podem ser avançados, mas ainda não
conclusivos no sentido de que a convergência não pode ser garantida para uma
tolerância de erro arbitrariamente pequena.
A Figura 35 mostra a partir do topo as tensões xxσ , yyσ e as tensões
equivalentes de Von Mises σ ao longo do eixo vertical no intervalo
4 4( 10 ,10 )y m m− −= − , localizada 410 m− à direita da ponta da trinca, para a mesma
trinca do problema apresentado na Seção 7.5, elasticamente analisadas para várias
discretizações da trinca. O resultado com um elemento de trinca ( 1ne = ) é, para
este problema simples, a solução analítica. À direita estão os erros
correspondentes. Todos os valores são dados para 51 pontos distribuídos ao longo
da linha vertical. Embora relevante na composição da tensão equivalente, a tensão
de cisalhamento não é apresentada nos gráficos. Uma representação similar é
mostrada na Figura 36, mas desta vez para a linha vertical 2 2( 10 ,10 )m m− −− 100
vezes maior, também localizado somente 410 m− à direita da ponta da trinca, para
as mesmas discretizações da trinca. Devido às diferentes escalas, o
comportamento da tensão mostrado na Figura 35 não pode ser resolvido como
parte dos gráficos da Figura 36. No entanto, ambas as representações mostram que
não existe convergência monotônica do estado de tensões em relação à solução
analítica, pois ocorrem algumas flutuações fortes. Elas são neste caso introduzidas
artificialmente, devido às discretizações adotadas, que podem influenciar
drasticamente no tamanho e na forma da zona plástica. Uma melhor estimativa do
campo de tensões poderia ser obtida a partir do uso de elementos mistos, como
mostrado na Seção 6.3, e cujo desenvolvimento na avaliação da zona plástica será
apresentado num trabalho futuro.
85
Figura 35. A partir do topo: tensões xxσ , yyσ e a tensão equivalente de Von Mises eqσ
(em MPa) ao longo do eixo vertical ( )4 410 ,10y m m− −= − localizada a 410x m−= à direita
da ponta da trinca, para varias discretizações da trinca, com seus correspondentes erros na parte direita (Dumont e Mamani, 2013).
Figura 36. A mesma representação de tensões da Figura 35 dada uma reta vertical 100 vezes maior (Dumont e Mamani, 2013).
86
A Figura 37 mostra os contornos das zonas plásticas para o mesmo
problema de trinca da Seção 7.5 obtida para estado plano de deformações
(esquerda) e estados plano de tensões (direita) de uma análise puramente elástica
(o primeiro passo do algoritmo da Seção 7.4). O contorno é feito de 32 segmentos
angulares para o algoritmo de busca regula-falsi explicado na Seção 7.3. Para este
problema simples, o resultado com 1ne = elemento de trinca é a analítica. Como
esperado, o contorno para o estado plano de deformações é menor do que para o
estado plano de tensões, esta diferença é mais acentuada na direção local x. Os
resultados com 1ne > não mostram um padrão claro de convergência, embora
alguma precisão possa ser obtida para 16ne = . Os resultados com um número
maior de elementos de trinca são influenciados pelas singularidades locais dos
elementos de trinca na vizinhança das pontas. Isto pode ser visto para 64ne = e
particularmente para 256ne = . Nesta última discretização, os dois pontos nodais
mais próximos da ponta da trinca estão localizados a 40.78125 10x m−= − × e
30.15625 10x m−= − × . Então, embora um número crescente de elementos de
trinca leva a uma melhor representação do problema, para condições gerais de
carregamento e geometria, a introdução de singularidades locais deterioraram o
campo de tensões nas imediações das pontas dos elementos de trinca. Elementos
de trinca com outras formas diferentes às semi-elípticas estão sendo testadas (ver
Seção 4), com resultados satisfatórios tanto globais quanto locais, porém sem
melhora significativa do processo iterativo e da convergência.
Figura 37. Contornos de zona plástica obtidos elasticamente para o estado plano de deformações (esquerda) e o estado plano de tensões (Dumont e Mamani, 2013).
87
7.7. O problema não-linear: testes e problemas de conver gência
A Figura 38 apresenta os contornos da zona plástica para o mesmo
problema plano da Seção 7.5, discretizado com 1ne = elemento de trinca,
submetido a uma tensão uniaxial remota 0.1yy Yσ σ= aplicada numa única etapa (à
esquerda), bem como em cinco etapas (direita), de acordo com o algoritmo da
Seção 7.4, o que demonstra a total coerência de resultados dentro do erro de
convergência. O menor contorno no lado esquerdo (para 0iter = ) é a primeira
avaliação elástica. Todos os outros contornos correspondem aos resultados
obtidos após a convergência do algoritmo não linear (11 iterações necessárias para
o contorno na esquerda, por exemplo).
A Figura 39 mostra os resultados de uma investigação semelhante ao
anterior paragrafo, exceto que são utilizados 16ne = elementos de trinca e a
tensão uniaxial remota é 0.01yy Yσ σ= . A razão pela qual foi aplicada uma menor
carga é que a convergência não pode ser alcançada com o algoritmo formulado na
Seção 7.4, onde a zona plástica é bem maior em comparação com o elemento de
trinca. A coerência dos resultados está verificada.
A Figura 40 mostra os contornos da zona plástica para o mesmo problema
plano de deformações da Seção 7.5, discretizado com vários elementos de trinca e
submetidos a uma tensão uniaxial remota 0.01yy Yσ σ= , obtido por um material
perfeitamente elasto-plástico (esquerda), assim como por um material com
endurecimento linear de rigidez 5E (direita). As zonas plásticas são maiores para
um número maior de elementos de trinca. O contorno obtido apenas em termos de
tensões elásticas, como discutido nos casos da Figura 37, também é indicada. Para
este nível de carregamento pequeno, o contorno obtido elasticamente para 1ne = ,
que é o resultado exato, é dificilmente discernível do contorno plástico final
obtido depois de apenas duas iterações.
88
Figura 38. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com 1ne = , carregamento uniaxial remoto de 0.1yy Yσ σ= , aplicado em um
passo (esquerda) e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013). O mesmo problema apresentado acima é também mostrado no lado
esquerdo da Figura 41 para um material elasto-plástico com a curva tensão-
deformação, quando Yσ σ≥ , adaptada a partir da relação de Ramberg-Osgood
(Ramberg e Osgood, 1943), em termos de tensões e deformações equivalentes
( ) 11
n
Y Eε α σ σ σ− = +
, onde α e n são parâmetros do material a ser obtidos
experimentalmente, além de E e Yσ . O valor usual para n é 5, adotado aqui. A
curva representada pela equação acima não tem um ponto de escoamento Yσ
claro. Em tal caso, o coeficiente α pode ser avaliado para resultar num
deslocamento do escoamento de 0.2% da deformação:
0.002 0.002Y YE Eα σ α σ= ⇒ = . Uma vez que um limite elástico claro é
necessário na presente aplicação, a relação de Ramberg-Osgood é adaptada como
for , and 1 1 forn
YY Y
YE E
σσ σ σε σ σ ε α σ σσ σ
= ≤ = + − ≥
(7.27)
pela subtração do efeito do escoamento na relação tensão-deformação para
Yσ σ≥ . Isto é mostrado à direita da Figura 41. Os resultados são semelhantes aos
mostrados na Figura 40.
89
Figura 39. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com 16ne = , carregamento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , aplicado em um
passo (esquerda) e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013).
Figura 40. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com vários elementos, carregamento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , para
um material elasto-plástico perfeito (esquerda) e para um material elasto-plástico bi linear com rigidez de endurecimento de 5E (Dumont e Mamani, 2013).
90
100
200
300
0.005 0.01 0.02
235
σ
ε
Figura 41. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com vários elementos de trinca, carregamento uniaxial remoto de
0.01yy Yσ σ= (esquerda), como obtida por um material elasto-plástico (direita) com uma
curva tensão-deformação não-linear para Yσ σ≥ , dado de acordo com a relação de Ramberg-Osgood (tensões em MPa) (Dumont e Mamani, 2013).
A Figura 42 apresenta os contornos da zona plástica medidos ao longo dos
eixos horizontal (esquerda) e vertical (direita) a partir da ponta da trinca, avaliados
elasticamente (primeira iteração do algoritmo) para 16ne = elementos de trinca,
tanto para estado plano de deformações como estado plano de tensões, para a
placa trincada introduzida na Seção 7.5, com a tensão uniaxial remota remota
aplicada até 80% do limite elástico. O valor da zona plástica ao longo do eixo x
progride rapidamente com o carregamento aplicado para o problema plano de
tensão, tornando assim áreas de plásticação maiores do que no caso de
deformações planas, como já foi visto na Figura 37.
Figura 42. Zona plástica elasticamente calculada para vários níveis de carregamento remoto obtidos com 16ne = elementos de trinca, medidos ao longo de 0y = (esquerda)
e 0x = (direita) (Dumont e Mamani, 2013).
Gráficos semelhantes são mostrados na Figura 43 para simulações com
apenas 1ne = elementos de trinca e níveis de carga que aumentam só até 12% do
91
limite de elasticidade, no caso de deformações planas. Ambas as zonas plásticas
elasticamente e plasticamente avaliadas (estes últimos são obtidos após a
convergência do algoritmo da Seção 7.4) são dadas ao longo dos eixos horizontal
e vertical, para comparação. Simulações com 16ne = elementos de trinca
resultam em valores maiores (e mais precisos) da zona plástica, mas a
convergência pode ser alcançada apenas para baixos níveis de carga. Pode-se
concluir a partir dos resultados mostrados na Figura 43 bem como de outras
simulações mais gerais que as atuais (isto é, plasticamente avaliadas) zonas
plásticas evoluem muito rapidamente com o aumento dos níveis de carga, o que
pode explicar a falta de convergência do algoritmo proposto quando a carga
aplicada é alta. No entanto, é possível também que as tensões são superestimadas
em pontos muito próximos das pontas da trinca, singularidades artificiais são
introduzidas pelo modelo numérico, como mostrado na Figura 35, Figura 36 e
Figura 37, já discutidos. Esta é uma questão em aberto, a ser investigada no futuro
próximo. Algumas avaliações preliminares da zona plástica usando os elementos
combinados da Seção 6.3 para discretizar a trinca foram feitas, embora
apresentaram algumas melhoras do campo elástico de tensões não houve melhora
significativa na convergência do processo iterativo.
Figura 43. Zona plástica elasticamente e plasticamente calculada para vários níveis de carregamento remoto obtidos com 1ne = elementos de trinca, medidos ao longo de
0y = (esquerda) e 0x = (Dumont e Mamani, 2013).
7.8. Considerações finais no cálculo da zona plástica
Os elementos de ponta da trinca implementados fornecem um meio simples
e poderoso para a descrição do campo de tensões ao redor da ponta da trinca.
Algumas melhorias tornaram-se obrigatórias a partir das investigações
preliminares descritas no presente trabalho quanto em relação ao comportamento
local de plastificação. As trincas semielípticas, que parecem eficientes para a
92
descrição do campo de tensões ao redor das pontas da trinca, devem ser
combinadas com elementos de trinca de diferentes formas como mostrada na
Seção 6.3, por exemplo, de modo que as singularidades artificiais de tensão
possam ser evitadas ou minimizadas.
As integrações na direção radial ao longo dos setores angulares exigem a
introdução de r funções de peso que podem ser avaliadas analiticamente. Uma
possível conclusão, é que, para as grandes zonas de plastificação, erros de
arredondamento podem se originar a partir do fato de que a carga é incrementada,
eijσ na Equação (7.23) torna-se a diferença de dois termos muito grandes para
0r → , enquanto que o termo residual res∗d na Equação (7.24), que, por definição
é o resultado de uma integral imprópria, é avaliada de forma imprecisa, o que
impede a ∗p na Equação (7.25) convergir como as iterações sucessivas.
O procedimento iterativo proposto para a avaliação das zonas plásticas
converge de forma satisfatória quando o contorno de plastificação é pequeno em
comparação com o comprimento do elemento usado para representar a ponta da
trinca, outra causa desta divergência poderia ser o fato de trazer todos os termos
do tensor de tensões proporcionalmente à superfície de escoamento ao invés de
trazer o ponto de tensão ( ),I IIP σ σ para P⊥ , tal como mostra a Figura 30, de
modo que P P⊥− seja a menor distância de ( ),I IIP σ σ à superfície de escoamento
(Simo e Taylor, 1985).
Uma técnica de linearização do problema não linear apresentado por
Fernandes e Souza Neto (2013) poderia também ser estudado quando aplicado ao
contexto deste trabalho. A solução é obtida a partir do operador tangente
consistente aplicado a um problema não linear do método dos elementos de
contorno.
93
8 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
8.1. Conclusões
O principal objetivo do presente trabalho é apresentar e validar os conceitos
básicos de uma formulação geral que visa à adequada estimativa numérica do
campo de tensões e deslocamentos em um domínio bidimensional com presença
de trincas, considerando, inclusive a formação de zonas plásticas ao redor das
pontas das trincas.
Como primeiro passo, para demostrar a validade da formulação foi
apresentado um problema de potencial em uma placa fina contendo um furo, onde
a formulação proposta demostrou ser mais eficiente do que a solução dada por
Dumont e Mamani (2011), a formulação também demonstrou ser mais eficiente
das soluções fundamentais tipicamente usadas nos métodos de elementos de
contorno. Apesar dos melhores resultados obtidos, a formulação proposta não
pretende substituir soluções fundamentais clássicas como a solução fundamental
de Kelvin para o caso de elasticidade, a qual além de geral é mais simples.
Foi intensamente estudada a forma da abertura de uma trinca reta em um
meio infinito para vários tipos e números de discretizações, demonstrando-se que
a abertura da trinca é mais bem representada por elementos mistos com rotação,
isto é, usando elementos polinomiais (Polinômios de Hermite) para representar os
elementos das faces da trinca, elementos elípticos para as pontas da trinca, e
elementos que consideram a rotação relativa entre as faces da trinca. Também
foram feitos estudos do campo de tensões próximo à ponta da trinca, os elementos
propostos (elementos mistos com rotação) além de não introduzir tensões
desnecessárias garantem a convergência das tensões em pontos próximos à ponta
da trinca.
O fator de intensidade de tensão IK também foi estudado. Quando IK é
obtido diretamente a partir das variáveis primarias do problema, ou seja, a partir
do vetor *p , os erros de IK para a trinca discretizada com 64 elementos são
94
próximos a 8%± , não foi obtido um padrão de convergência. Um procedimento
mais elaborado para o cálculo do fator de intensidade de tensão é calculando IK a
partir das tensões ou aberturas medidas em pontos próximos à ponta da trinca, os
erros de IK para a trinca discretizada com 64 elementos atingiram valores de
2%± . O cálculo de IK por comparação com a série de Williams apresentou
melhores resultados, por exemplo, para a trinca discretizada com 64 elementos foi
possível obter erros em torno de 1%± , usando-se 10 pontos localizados entre
0.01..0.1x = .
O procedimento iterativo para a avaliação das zonas plásticas converge de
forma satisfatória quando o contorno de plastificação é pequeno em comparação
com o tamanho do elemento usado para representar a ponta da trinca, para zonas
plasticas maiores o algoritmo diverge. Foi verificado preliminarmente que o fato
de trazer todos os termos do tensor de tensões ( ),I IIP σ σ proporcionalmente à
superfície de escoamento, ao invés de trazer ( ),I IIP σ σ para o ponto P⊥ como
esquematizado na Figura 30 não é uma fonte significativa de divergência em
zonas plásticas de maior tamanho. A técnica de linearização a partir do operador
tangente consistente apresentado por Fernandes e Souza Neto (2013) também
poderia ser estudada quando aplicada ao contexto deste trabalho. Abordagens
alternativas ao uso da matriz de flexibilidade F no processo iterativo também
devem ser levadas em conta para trabalhos futuros.
A eficiência dos métodos de elementos de contorno aplicados à mecânica da
fratura e a boa representação da natureza das trincas por meio das funções de
tensão de Westergaard generalizadas foi demonstrada no presente trabalho,
visando um grande potencial no cálculo numérico da mecânica da fratura.
8.2. Sugestões para trabalhos futuros
No presente trabalho foram apresentados exemplos simples de validação.
Para trabalhos futuros propoe-se a implementação e análise de problemas da
mecãnica da fratura mais complexos, similar aos exemplos apresentados por
Dumont e Lopes (2003) e Mamani (2011), os quais incluem problemas da
95
mecanica da fratura com complicações topologicas como dominios finitos, furos,
reentrâncias e quinas.
O estudo da técnica de linearização a partir do operador tangente consistente
apresentado por Fernandes e Souza Neto (2013) aplicado ao contexto deste
trabalho é proposto para um trabalho futuro.
O estudo de procedimentos alternativos baseados em operadores tangentes
ao invés do uso da matriz de Flexibilidade no cálculo iterativo das zonas plásticas.
Outra sugestão para trabalhos futuros é o desenvolvimento da formulação
para problemas de trincas com bifurcações, e possivelmente como um caso
particular o estudo de trincas de bordo.
Uma maior abordagem das funções de tensão de Westergaard generalizadas
como solução fundamental no método convencional dos elementos de contorno.
Generalização da formulação para problemas dependentes do tempo,
especificamente problemas no domínio da frequência.
Desenvolvimento de funções de tensão para problemas tridimensionais.
96
9 Referências Bibliográficas
AIFANTIS, E. C. On the role of gradients on the localization of deformation and fracture. International Journal of Engineering Science , v. 30, p. 1279–1299, 1992. AIFANTIS, E. C. Update on a class of gradient theories. Mechanics of Materials , v. 35, p. 259–280, 2003. ANDERSON, T. L. Fracture Mechanics: fundamentals and Applications . 2. ed. New York: CRC Press, 1995. BANKS, T. M.; GARLICK, A. The form of crack tip plastic zones. Engineering Fracture Mechanics , v. 19, n. 3, p. 571-581, 1984. BARENBLATT, G. I. The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture. Advances in Applied Mechanics , v. 7, p. 55-129, 1962. BENRAHOU, K. H. et al. Estimation of the plastic zone by finite element method under mixed mode (I and II) loading. Computational Materials Science , v. 38, p. 595-601, 2007. BREBBIA, C. A.; TELLES, J. F. C.; WROBEL, L. C. Boundary Element Techniques-theory , New York: Springer, 1984. BROWN, W. F.; STRAWLEY, J. E. Plane Strain Crack Toughness Testing of High Strength Metallic Materials. ASTM International , 1996. CROUCH, S. L.; STARFIELD, A. M. Boundary Element Methods in Solid Mechanics . London: George Allen & Unwin, 1983. DUGDALE, D. S. Yielding in steel sheets containing slits. Journal of the mechanics and Physics of solids , v. 8, p. 100-104, 1960. DUMONT, N. A. The hybrid boundary element method: an alliance between mechanical consistency and simplicity. Applied Mechanics Reviews , v. 42, n. 11, p. S54-S63, 1989. DUMONT, N. A. Variationally-based, hybrid boundary element methods. Computer Assisted Mechanics and Engineering Science s (CAMES), v. 10, pp. 407-430, 2003. DUMONT, N. A. Dislocation-based hybrid boundary element method. Draft paper, 2008.
97
DUMONT, N. A. Elastoplastic Analysis with the Simplified Boundary Element Method. Draft paper, 2010. DUMONT, N. A. The hybrid boundary element method – fundamentals. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2011. DUMONT, N. A.; CHAVES, R. A. P.; PAULINO, G. H. The hybrid boundary element method applied to problems of potential of functionally graded materials. International Journal of Computational Engineering Science (IJCES) , v. 5, p. 863-891, 2004. DUMONT, N. A.; de OLIVEIRA, R. From frequency-dependent mass and stiffness matrices to the dynamic response of elastic systems. International Journal of Solids and Structures , v. 38, n. 10-13, p. 1813-1830, 2011. DUMONT, N. A.; AGUILAR, C. A. The best of two worlds: The expedite boundary element method. Engineering Structures , v. 43, p. 235–244, 2012. DUMONT, N. A.; HUAMÁN, D. Hybrid finite/boundary element formulation for strain gradient elasticity problems. Advances in Boundary Elements Techniques , p. 295-300, 2009. DUMONT, N. A.; LOPES, A. A. O. On the explicit evaluation of stress intensity factors in the hybrid boundary element method. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures , v. 26, p. 151-165, 2003. DUMONT, N. A., MAMANI, E. Y. Simulation of plastic zone propagation around crack tips using generalized Westergaard stress functions: a variational approach, Engineering Mechanics Institute International Conference , Stanford, jun. 2015. DUMONT, N. A., MAMANI, E. Y. A variational boundary element method based on generalized Westergaard stress functions, in Solids Mechanics in Brazil, Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engine ering , p 143-157, 2011, ISBN 978-85-85769-46-8. DUMONT, N. A., MAMANI, E. Y. Use of generalized Westergaard stress functions as fundamental solutions. Advances in Boundary element Techniques , p 170-175, 2011, ISBN 978-0-9547783-8-5. DUMONT, N. A., MAMANI, E. Y. Generalized Westergaard Stress Functions as Fundamental Solutions, Computer Modeling in Engineering & Sciences (CMES) , v. 78, n. 2, p. 109-150, 2011, doi: 10.3970/cmes.2011.078.109.
98
DUMONT, N. A., MAMANI, E. Y. Simulation of plastic zone propagation around crack tips using the hybrid boundary element method. Proceedings of the CILAMCE – XXXIV Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering , Pirenópolis, Brasil, 2013, p. 20, 1 CD. DUMONT, N. A., MAMANI, E. A variationally-based boundary element model for the simulation of plastic zone prapagation around crack tips. Book of Abstracts 4th Canadian conference on Nonlin ear Solid Mechanics , Montreal, Canada, p 143, 2013. FERNANDES, G. R.; de SOUZA NETO, E. A. Self-consistent linearization of non-linear BEM formulations with quadratic convergence. Computational Mechanics , v. 52, n. 5, p. 1125-1139, 2013. GRIFFITH, A. A. The phenomena of rupture and flow in solids. Philosophical transactions , series A, v. 221, p 163-198, 1920. HARMAIN, G. A.; PROVAN, J. W. Fatigue crack-tip plasticity revisited - The issue of shape addressed. Theory and Application Fracture Mechanics , v. 26, p. 63-79, 1997. INGLIS, C. E. Stress in a plate due to the presence of crack and sharp corners. Transactions of the Institute of Naval Architects , v. 55, p. 219-241, 1913. IRWIN, G. R. Fracture Dynamics. Fracturing of metals, American Society for Metals , Cleveland, v. 24, p. 161-364, 1948. IRWIN, G. R. Analysis of Stress and Strain near the End of a Crack Traversing a Plate. Journal of Applied Mechanics , v. 24, p. 161-364, 1957. IRWIN, G. R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. Sagamore Research Conference Proceedings , v. 4, 196. JING, P., KHRAISHI, T.; GORBATIKH, L. Closed-form solutions for the mode II crack tip plastic zone shape. International Journal of Fracture , v. 122, p. 137-142, 2003. LOPES, A. A. O. Aplicação do Método Híbrido dos Elementos de Contorno a Problemas da Mecânica Linear da Fratura . 1998. Dissertação de mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 1998. LOPES, A. A. O. Determinação de Fatores de Intensidade de Tensão com o Método Híbrido dos Elementos de Contorno. 200 2. Tese de doutorado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2002. MAMANI, E. Y. O Método Híbrido dos Elementos de Contorno com
99
Base em Funções de Tensão de Westergaard Generaliza das . 2011. Dissertação de mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2011. MAMANI, E. Y., DUMONT, N. A. Use of improved Westergaard stress functions to adequately simulate the stress field around crack tips. CILAMCE – XXXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering , Rio de Janeiro, Brasil, 2015. MAMANI, E. Y., DUMONT, N. A. Use of improved Westergaard stress functions for the adequate simulation of the stress field around crack tips including plastic zones, submitted. International Conference on Computational & Experimental Engineering and Scienc es (ICCES 2015), Reno, Nevada, EUA, 2015. MAPLE, version 15.01: Technical Computing Software for Engineers : Waterloo Maple Inc, 2011. PIAN, T. H. H. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution. AIAA Journal , v. 2, p. 1333-1336, 1964. OROWAN, E. Fracture and Strength of solids. Report on Progress in Physics , v. 12, p. 185, 1948. QIANG, H. F.; Lu, N.; Liu, H. J. Unified solutions of crack tip plastic zone under small scale yielding. Journal of Engineering Mechanics , v. 35, p. 34-38, 1999. RAMBERG, W.; OSGOOD, W. R. Description of stress-strain curves by three parameters. Technical Note No. 902, National Advisory Committee for Aeronautics , Washington DC, 1943. RICE, J. R. Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks. Journal of Applied Mechanics , v. 35, p. 379-386, 1968. RODRIGUEZ, H. Z. Efeito da Tensão Nominal no Tamanho e Forma da Zona Plástica . 2007. Dissertação de mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2007. SADD, M. H. Elasticity Theory: Applications and Numerics . USA: Elsevier, Burlington, 2005. SNEDDON, I. N. The Distribution of Stress in the Neighborhood of a Crack in an Elastic Solid. Proceedings of the Royal Society of London , v. A-187, p. 229-260, 1946. SIMO, J. C.; TAYLOR, R. L. Consistent tangent operators for rate-independent elastoplasticity. Computer methods in applied mechanics and engineering , v. 48, n. 1, p. 101-118, 1985.
100
SOUSA, R. A. Estimativas de zonas plásticas à frente de pontas d e trincas , 2011. Tese de doutorado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2011. SOUSA, R. A.; CASTRO, J. T. P.; LOPES, A. A. O.; MARTHA, L. F. On improved crack tip plastic zone estimates based on t-stress and on complete stress fields. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures , v. 36, n. 1, p. 25–38, 2013. TADA, H.; ERNST, H.; PARIS, P. Westergaard stress functions for displacement-prescribed crack problems – I. International Journal of Fracture , v. 61, p. 39-53, 1993. TADA, H.; ERNST, H.; PARIS, P. Westergaard stress functions for displacement-prescribed crack problems – II. International Journal of Fracture , v. 67, p. 151-167, 1994. TADA, H.; ERNST, H.; PARIS, P. The Stress Analysis of Cracks Handbook . 3. ed. ASME Press, 2000. TELLES, J. C. F.; CASTOR, G. S.; GUIMARAES, S. A numerical Green's function approach for boundary elements applied to fracture mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engi neering , v. 38, n. 19, p. 3259-3274, 1995. UNGER, D. J. Analytical Fracture Mechanics . New York: Dover Publishers. Inc, 1995. WESTERGAARD, H. M. Bearing Pressures and Cracks. Journal of Applied Mechanics , v. 6, p. 49-53, 1939. WILLIAM, M. L. On the Stress Distribution at the Base of a Stationary Crack. Journal of Applied Mechanics , v. 24, p. 109-114, 1957. XIN, G. et al. Analytic solutions to crack tip plastic zone under various loading conditions. European Journal of Mechanics A/Solids , v. 29 p. 738-745, 2010. ZHANG, Y.; QIANG, H.; YANG, Y. Unified solutions to mixed mode crack tip under small scale yielding. Chinese Journal of Mechanical Engineering , v. 43, n. 2, p. 50-54, 2007.
101
10 Apêndice
10.1. Estudo do comportamento das funções de tensão na or igem da trinca
10.1.1. Semitrinca de forma elíptica
O estudo das funções de tensão de forma semielíptica também foi tratado
por Dumont e Mamani (2011).
As Equações (4.5) a (4.7) são reescritas aqui por conveniência
( )2 22
11 1
1
1 1
1 ln 1 1( ) ln
2
1
2 2 4
1Z ZZ ZZ Z
ππ π
− − −− −
−Φ −+=
− (7.28)
( )21
2 21
111
11
1
ln 1 1( ) ln
22
1 1
41 2 1
ZZZ Z
Z
Z
Z Z ππ π′Φ =
− − −− −
−−
− (7.29)
( )( ) ( )
21
3/22 2 221
1
1
13 2
1 1
ln 11( ) ln
2 ) 22
1 1
(1 11
Z
Z ZZ
ZZZ
π ππ
− − −+
− −−′′Φ = − , (7.30)
Para o estudo de 1 0Z → , as Equações acima são convenientemente
expressas como
( )1 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Z+Φ = Φ Φ (7.31)
( )1 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Z′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.32)
( )1 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Z′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.33)
onde as partes ln e reg são dadas por:
1
21( )
1
2ln ZZ
πΦ = −
−,
( )2 21 1
11
1 1 ln( )
2
1
4
1reg
Z Z ZZ
π
− − − − −−−Φ = (7.34)
11 2
1
(2 1
)ln
ZZ
Zπ′ =
−Φ ,
( )21 1
1 211
ln 1( )
2
1 1 1
2 41reg
Z ZZ
ZZ ππ
− − −−
−′ − −Φ = (7.35)
102
1 3 221
1( )
2 (1 )ln ZZπ −
′′Φ = , ( )
( ) ( )21
1 3/2 2 221 11
( )22
ln 1 1 1
11reg
ZZ
Z ZZ ππ′′Φ =
−+−
− −
−− (7.36)
As Equações (7.31) a (7.33) necessitam de integrações especiais para avaliar
a parte ( )1ln Z . Os termos 11 Z na Equação (7.35) e 211 Z na Equação (7.36) são
cancelados na superposição de efeitos de duas semitrincas em problemas tanto de
potencial quanto de elasticidade.
Os termos principais da Equação (7.31) para 1 0Z = (isto é, termos que são
diferentes de zero) são,
( ) ( )( )2
1
1 10
1
1 11lim 1 ln 2 ln csgn
2r
i ZZ i
Zπ
π→
+ − Φ = − + − +
(7.37)
( ) ( )( )1 10
1limRe ln 1 ln 2
2rr a
π→Φ = − + − (7.38)
11 1
10
11 1
for 2limIm
for 22
r
π θ θ θ θ θ ππ
π θ θ θ π θ θ ππ
→
− + ≤ ≤ +Φ = − − + + < < +
(7.39)
onde existe uma singularidade do tipo ( )ln r em ( )1Re Φ quando r tende a 0 e não
existem singularidades em ( )1Im Φ .
Os termos principais da Equação (7.32) para 1 0Z = (isto é, termos que são
diferentes de zero) são,
10
1
1 1lim
2 4r Zπ′
→Φ = − − (7.40)
( )1 11
0
cos 1limRe
2 4r
a
r
θ θπ
′
→
−Φ = − − (7.41)
( )1 11
0
sinlimIm
2r
a
r
θ θπ
′
→
−Φ = (7.42)
onde existem singularidades do tipo 1 r tanto em ( )1Im 'Φ como em ( )1Re 'Φ .
Os termos principais da Equação (7.33) para 1 0Z = (isto é, termos que são
diferentes de zero) são,
1 201
1lim
2r Zπ′′
→Φ = (7.43)
103
( ) 21 1
1 20
cos 2 2limRe
2r
a
r
θ θπ
′′
→
−Φ = (7.44)
( ) 21 1
1 20
sin 2 2limIm
2r
a
r
θ θπ
′′
→
−Φ = − (7.45)
onde existem singularidades de 21 r tanto em ( )1Im ''Φ quanto em ( )1Re ''Φ .
A maioria destas singularidades se cancelam com a superposição de efeitos
de duas semitrincas opostas quando alguma interpretação física é dada (problemas
de potencial ou elasticidade, por exemplo).
10.1.2. Semitrinca de forma polinomial
As Equações (4.9) a (4.11) são reescritas aqui por conveniência
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 21 1 1 1 1 1
1 11
1 3 2 1 3 2 5 12 12ln ln 1
2 2 12( )
Z Z Z Z ZZ ZZ
Z
π π π− + − + + −
− −Φ − += (7.46)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 1 1
11
3 1 3 1 1 1ln l' ( n 1 3 6
2)
Z Z Z ZZ Z Z
ZZ
π π π− −
− − − + −Φ
=
(7.47)
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 2
1
3 1 2 1 2 1 6ln l
3'' ( n 1)
2
Z ZZZ Z
Zπ π π π− −
− − + +Φ = (7.48)
Para 1 0Z = as Equações acima são convenientemente expressas como
1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Zξ +Φ = Φ Φ (7.49)
1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Zξ′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.50)
1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Zξ′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.51)
onde a parte ln e reg estão dadas por:
( )2 31 1
1
1 3(
2)
2ln
Z ZZ
π− +
−Φ = , ( ) ( ) ( )2 3 2
1 1 1 1
1 1
1 3 2 5 12 12ln 1
2 12( )reg
Z Z Z ZZ Z
π πΦ =
− + + −− − (7.52)
( )1 11( )
3 1ln
Z ZZ
π′Φ =
−,
( ) ( )1 11 1 1
1
3 1 1 1ln 1 3 6( )
2reg
Z ZZ Z Z
Zπ π′Φ
− − − − += −
(7.53)
( )11
3( )
1 2ln
ZZ
πΦ =
−′′ ,
( ) ( )11 1 2
1
3(
1 2 1 6ln 1
2)reg
ZZ Z
Zπ π π−′′ − −= +Φ + (7.54)
As Equações (7.49) a (7.51) necessitam de integrações especiais para avaliar
a parte 1ln Z . Os termos 11 Z na parte regular da Equação (7.53) e 211 Z na parte
104
regular da Equação (7.54) se cancelam quando duas semitrincas são superpostas
em problemas de potencial e elasticidade.
Os termos principais de 1Φ para 1 0Z = são
( )1
1 101
1lim 5 6ln 6
12Z
iZ i csgn i
Zπ
π→
Φ = − + + −
(7.55)
( ) ( )( )1
1 10
1lim Re 5 6ln 6ln
12Zr a
π→Φ = − + − (7.56)
1
11 1
10
11 1
2lim Im2
2
Z
for
for
π θ θ θ θ θ ππ
π θ θ θ π θ θ ππ
→
− + ≤ ≤ +Φ = − − + + < < +
(7.57)
não existem singularidades em ( )1Im Φ entretanto existe uma singularidade ( )ln r
em ( )1Re Φ .
Os termos principais de 1′Φ para 1 0Z = são
11
01
1 3lim '
2 2Z Zπ π→Φ = − − (7.58)
( )1
1 11
0
cos 3lim Re '
2 2Z
a
r
θ θπ π→
−Φ = − − (7.59)
( )1
1 11
0
sinlim Im '
2Z
a
r
θ θπ→
−Φ = (7.60)
existem singularidades do tipo 1 r tanto em ( )1Im Φ quanto em ( )1Re Φ .
Os termos principais de 1′′Φ para 1 0Z = são
( )1
11 20
11
3ln1 6lim '' 3 sgn
2Z
Z iic i
ZZ π ππ→
Φ = + + − +
(7.61)
( ) ( ) ( )( )1
211
1 20
3 2 ln lncos 2 2lim Re ''
2Z
r aa
r
θθππ→
+ −−Φ = + (7.62)
( ) ( )
( ) ( )1
21 1
1 12
1 201 1
1 12
1
1
sin 2 2 3
2lim Im ''
sin 2 2 32
2
Z
afor
r
afor
r
θ
θ
θ π θ θθ θ θ π
ππθ π θ θ
θ π θ θ πππ
→
− − +− − ≤ ≤ +
Φ = − − − +− − + < < +
(7.63)
há singularidades do tipo 21 r e ( )ln r em ( )1Re Φ e 21 r em ( )1Im Φ .
Algumas singularidades desaparecem com a superposição de duas
semitrincas opostas quando uma interpretação física é dada.
105
10.1.3. Semitrinca de rotação adjacente à ponta da trinca
As Equações (4.13) a (4.15) são reescritas aqui por conveniência
( )2 22
1 1 1 21
1 11 1 1
1 ln 1( ) ln
2
1
2 8 4
1
2
1 ZZ Z ZZZ
ZZ
Z
ππ π
− − − −− +
−Φ = − −+ (7.64)
( ) ( )22 1
21
2 21
1
1
1
11
2 12 1 1( ) ln
22 2
ln 1 1
1 1
ZZ ZZ Z
Z
Z Z ππ π
−−′Φ = −− − −
− −− −
(7.65)
( ) ( ) ( )( ) ( )
22 31
1 1 12 3/2 221 1 1
221 11 1
1 1
1
3 2
ln 1 1 1 2
(
2 32 3( ) ln
2 ) 221 11
Z Z Z Z
Z Z ZZ
Z ZZ ZZ Z
π ππ ππ
−− − −′
− − − + ++
−=
− −′Φ − (7.66)
Para o estudo de 1 0Z → , as Equações acima são convenientemente
expressas como
( )1 11 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln rega aZ Z Z ZΦ = Φ + Φ (7.67)
( )1 1 11 11( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z a Za′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.68)
( )1 1 1 11 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Za a′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.69)
onde as funções de tensão são multiplicadas por 1a para garantir que o ângulo de
abertura seja sempre unitário, as partes ln e reg são dadas por:
21 1
1( )2
1ln
Z ZZ
πΦ
−= − ,
( )2 21
11 21 1
1
1 ln 1 1 1( )
2 8 4reg
Z Z Z Z ZZ
π
− − −−Φ + −
− −= (7.70)
21
1 21
2 1( )
2 1ln
ZZ
Zπ−′Φ−
= , ( ) ( )2
1
21
21
11
ln 12 1 1( )
1
212reg
Z
Z
Z ZZ
ππ
− − − −− −
−′Φ = − (7.71)
( )21 1
3 21 21(
2 3( )
2 )1ln
Z ZZ
Zπ−
−′′Φ = ,
( ) ( )( ) ( )
22 31
1 1 11 3/2
2
221 1
1 1
1
2 3( )
22
ln 1 1 1 2
11reg
Z Z Z Z Z ZZ
Z ZZ
π πππ
− − − − − + ++
−−
−′′Φ = − (7.72)
as Equações (7.67) a (7.69) induzem a integrações especiais para avaliar a parte
( )1ln Z .
Os termos principais de 1Φ para 1 0Z = são
10
1lim8r
a→
Φ = (7.73)
106
11
0limRe
8r
a→
Φ = (7.74)
10
limIm 0r →
Φ = (7.75)
neste caso não existem singularidades.
Os termos principais de 1′Φ para 1 0Z = são
( ) ( )1
21 1
1 101
ln 2 ln 11 1lim ' sgn
2 2 2Z
Z i i Za ic
Zπ π π→
+ − Φ = − − +
(7.76)
( ) ( )( )1
11
10
2lim Re ' 2 ln ln2Z
ar a
π→Φ = − + − (7.77)
( )
( )1
1 11 1
101 1
1 1
for 2lim Im '
for 22
Z
a
a
π θ θθ θ θ π
ππ θ θ
θ π θ θ ππ
→
− +≤ ≤ +Φ =
− − + + < < +
(7.78)
existe uma singularidade ( )ln r em ( )1Re 'Φ .
Os termos principais de 1′′Φ para 1 0Z = são
1
11
01
lim ''2Z
a
Zπ→Φ = − (7.79)
( )1
21 1
10
coslim Re ''
2Z
a
r
θ θπ→
−Φ = − (7.80)
( )1
21 1
10
sinlim Im ''
2Z
a
r
θ θπ→
−Φ = (7.81)
existem singularidades de 1 r tanto em ( )1Im ''Φ quanto em ( )1Re ''Φ .
A maioria destas singularidades se cancelam com a superposição de efeitos
de duas semitrincas opostas quando alguma interpretação física é dada (problemas
de potencial ou elasticidade, por exemplo).
10.1.4. Semitrinca de rotação na face da trinca
As Equações (4.17) a (4.19) são reescritas aqui por conveniência
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 21 1 1 11(
2 2 1ln ln 1 2 9 6
2 2)
2 1
Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z
π π π− + − +
− −= − + −Φ + − (7.82)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1
1 1 11
1 3 1 3 1ln ln 1 5 6
4 4(
2 4' )
2
Z Z ZZ
ZZ Z Z
π π π− + − +
− −Φ + −= − (7.83)
107
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1
11
2 3 2 3 1 1ln ln 1 6
2''( )
Z ZZ Z
ZZ
π π π− + − +
+ − − +
= −
Φ (7.84)
Para o estudo de 1 0Z → , as Equações acima são convenientemente
expressas como
( )1 11 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln rega aZ Z Z ZΦ = Φ + Φ (7.85)
( )1 1 11 11( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z a Za′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.86)
( )1 1 1 11 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Za a′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.87)
onde as partes ln e reg são dadas por:
( )2 31 1 1
1
2
2( )ln
Z Z ZZ
π− +
Φ −= , ( ) ( ) ( )
2 31 1 1 2
1 1 1 1
2 1ln 1 2 9
12)
2( 6reg
Z Z ZZ Z Z Z
π π− +
− − − + −Φ = (7.88)
( )21 1
1
1 3
2
4( )ln
Z ZZ
π− +
′Φ = − , ( ) ( ) ( )
21 1
1 1 1
1 3 1ln 1 5 6
2
4( )
4reg
Z ZZ Z Z
π π− +
− − −′Φ = (7.89)
( )11( )
2 3ln
ZZ
π′′Φ =
− +− ,
( ) ( )11 1
1
2 3 1 1ln(
2) 1 6reg
ZZ Z
Zπ π− +
− − +
′′ =
Φ (7.90)
As Equações (7.85) a (7.87) induzem a integrações especiais para avaliar a
parte ( )1ln Z .
Os termos principais de 1Φ para 1 0Z = são
10
1li6
mr
a
π→Φ = (7.91)
11
0limRe
6r
a
π→Φ = (7.92)
10
limIm 0r →
Φ = (7.93)
neste caso não existem singularidades.
Os termos principais de 1′Φ para 1 0Z = são
( )1
1 1 11 1
01
ln 5 1lim ' sgn
2 4 2Z
a Z a iia c i
Zπ π→
Φ = − − − −
(7.94)
( ) ( )( )1
1 1 11
0
ln ln 5lim Re '
2 4Z
a r a a
π π→
−Φ = − − (7.95)
108
( )
( )1
1 11 1
101 1
1 1
for 2lim Im '
for 22
Z
a
a
π θ θθ θ θ π
ππ θ θ
θ π θ θ ππ
→
− +≤ ≤ +Φ =
− − + + < < +
(7.96)
existe uma singularidade ( )ln r em ( )1Re 'Φ .
Os termos principais de 1′′Φ para 1 0Z = são
( )1
1 1 11 1
0
1
1 1
2 ln 3lim '' 2 sgn
2Z
a Z aiia c i
Z Z
a
π π π→
Φ = − + + − +
(7.97)
( ) ( ) ( )( )1
21 11 1 1
10
2 ln lncos 3lim Re ''
2Z
a r aa a
r
θ θπ π π→
−−Φ = − + + (7.98)
( ) ( )
( ) ( )1
21 1 1 1
1 1
1 201 1 1 1
1 1
sin 4 for
2 2lim Im ''
sin 4 for 2
2 2
Z
a a
r
a a
r
θ θ π θ θθ θ θ π
π πθ θ π θ θ
θ π θ θ ππ π
→
− − +− ≤ ≤ +
Φ = − − − + − + < < +
(7.99)
existem singularidades de 1 r e ln em ( )1Re ''Φ e 1 r em ( )1Im ''Φ .
A maioria destas singularidades se cancelam com a superposição de efeitos
de duas semitrincas opostas, quando alguma interpretação física é dada
(problemas de potencial ou elasticidade, por exemplo).
10.2. Estudo de singularidades em problemas de potencial
Como foi mostrado no capitulo 4, uma semitrinca apresenta singularidades
tanto na origem quanto na ponta. Na origem, estas singularidades desaparecem
com a superposição de efeitos de duas semitrincas. Nesta Seção é apresentada a
abordagem matemática deste fenômeno.
10.2.1. Superposição de duas semitrincas elípticas.
A superposição de efeitos de duas trincas semielípticas como mostrada na
Figura 11b em termos de deslocamentos foi proposta por Dumont e Mamani
(2011) e aqui resumida brevemente.
109
10.2.1.1. Valores de potencial para r tendendo a 0
Segundo as Equações (5.1), (5.7) e (7.39) para a combinação de efeitos do
potencial tem-se
1 21
1 21 2 1 2
0 0
1 22
for 02
1 1lim limIm( ) 1 for
2
for 22
r ru
k k
θ θ θ θπθ θ θ θ θ
πθ θ θ θ π
π
→ →
− ≤ <
−≡ Φ − Φ = + ≤ ≤
− < ≤
(7.100)
isto é o mesmo que a expressão
1 2
1 20 0
1 2
for a point outside 1 1 2lim limIm( )
1 for a point inside 2
r ru
k k
θ θπθ θ
π→ →
− Ω≡ Φ − Φ = − + Ω
(7.101)
A diferença do valor 0
limr
u→
de um ponto dentro com outro fora do domínio é
1
k, com
0
10 lim
ru
k→< < . Não existe singularidade no potencial.
10.2.1.2. Fluxo normal para r tendendo a 0
A superposição de efeitos de duas semitrincas de abertura elíptica é
( )1 2
1 1 2 21 1 2 20
1 2 1 2
cos sin cos sinlim ' '
4 4 4 4
i i
r
i ie eT T
a a a a
θ θ θ θ θ θ− −
→
− −Φ − Φ = − + = − + (7.102)
a que é finita e não depende do ângulo θ ao redor do ponto 0r = . O campo de
gradientes é dado por
( )
( )
1 21 1 2 2
0 01 2
1 21 1 2 2
0 01 2
sin sinlim lim Im ' '
4 4
cos coslim limRe ' '
4 4
xr r
yr r
q T Ta a
q T Ta a
θ θ
θ θ
→ →
→ →
= − Φ − Φ = − +
= − Φ − Φ = − (7.103)
Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − , e substituindo a Equação (7.103) na
Equação (5.3) o fluxo normal ao contorno Γ no ponto 0r → é
( ) ( )
( ) ( )1 1 1
2 2 2
2 1
0 01 2
2 1
0 02 1
cos1lim lim ao longo do contorno 1
4 4
cos1lim lim ao longo do contorno 2
4 4
n x x y yr r
n x x y yr r
q q n q na a
q q n q na a
θ θ
θ θ
→ →
→ →
−= − − = −
−= − − = −
(7.104)
110
Note que existe um salto do fluxo normal no limite entre os dois contornos.
Se 2 1θ θ π= + , isto é, os segmentos 1 e 2 são colineares, ambos limites resultam
em 1 20 0
1 2
1 1lim lim
4 4n nr r
q qa a→ →
= = + , o que significa que não existe mais salto. Se além
de serem colineares, têm comprimentos iguais (1 2a a= ), nq é constante ao longo
de todo o contorno e a integração de nq ao longo dos dois segmentos resulta numa
fonte unitária, 1Q t = .
10.2.2. Superposição de duas semitrincas polinomiais
São apresentadas expressões devido à superposição de efeitos de duas
semitrincas polinomiais como mostrado na Figura 9a em termos de
deslocamentos. Este elemento é usado para a representação dos elementos da face
na discretização de um contorno curvo geral.
10.2.2.1. Valores de potencial para r tendendo a 0 .
Segundo a Equação (5.1), (5.7) e (7.57) para um efeito combinado de
potenciais
1 21
1 21 2 1 2
0 0
1 22
for 02
1 1lim limIm( ) 1 for
2
for 22
r ru
k k
θ θ θ θπθ θ θ θ θ
πθ θ θ θ π
π
→ →
− ≤ <
−≡ Φ − Φ = + ≤ ≤
− < ≤
(7.105)
isto é o mesmo que a seguinte expressão
1 2
1 20 0
1 2
for a point outside 1 1 2lim limIm( )
1 for a point inside 2
r ru
k k
θ θπθ θ
π→ →
− Ω≡ Φ − Φ = − + Ω
(7.106)
A diferença entre os valores de 0
limr
u→
entre um ponto dentro e outro fora do
domínio é 1k
, com 0
10 lim
ru
k→< < . Não existe singularidade no potencial.
111
10.2.2.2.Fluxo normal para r tendendo a 0
A superposição de efeitos de duas semitrincas de abertura polinomial é
( ) ( ) ( )1 21 1 2 2
1 1 2 20
1 2 1 2
3 cos sin 3 cos sin3 3lim ' '
2 2 2 2
i i
r
i ie eT T
a a a a
θ θ θ θ θ θπ π π π
− −
→
− −Φ − Φ = − + = − + (7.107)
a que é finita e não depende do ângulo θ ao longo do ponto 0r = . O campo de
gradientes é dado por
( )
( )
1 21 1 2 2
0 01 2
1 21 1 2 2
0 01 2
3sin 3sinlim lim Im ' '
2 2
3cos 3coslim limRe ' '
2 2
xr r
yr r
q T Ta a
q T Ta a
θ θπ πθ θ
π π
→ →
→ →
= − Φ − Φ = − +
= − Φ − Φ = − (7.108)
Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − , substituindo a Equação (7.103) na
Equação (5.3) o fluxo normal ao contorno Γ para 0r → é
( ) ( )
( ) ( )1 1 1
2 2 2
2 1
0 01 2
2 1
0 02 1
3cos3lim lim ao longo do contorno 1
2 2
3cos3lim lim ao longo do contorno 2
2 2
n x x y yr r
n x x y yr r
q q n q na a
q q n q na a
θ θπ π
θ θπ π
→ →
→ →
−= − − = −
−= − − = −
(7.109)
Note que existe um salto do fluxo normal no limite entre os dois contornos.
Se 2 1θ θ π= + , isto é, os segmentos 1 e 2 são colineares, ambos limites resultam
em 1 20 0
1 2
3 3lim lim
2 2n nr r
q qa aπ π→ →
= = + , o que significa que não existe mais salto.
10.2.3. Superposição de semitrinca elíptica com semitrinca polinomial
Estuda-se a superposição de efeitos de uma trinca semielíptica com outra
semitrinca polinomial como mostrado na Figura 9b em termos de deslocamentos.
O elemento em estudo é ideal para representar a ponta da trinca.
10.2.3.1. Valores de potencial para r tendendo a 0 .
Segundo a Equação (5.1), (5.7), (7.39) e (7.57) para uma combinação de
efeitos do potencial
112
1 21
1 21 2 1 2
0 0
1 22
for 02
1 1lim limIm( ) 1 for
2
for 22
r ru
k k
θ θ θ θπθ θ θ θ θ
πθ θ θ θ π
π
→ →
− ≤ <
−≡ Φ − Φ = + ≤ ≤
− < ≤
(7.110)
isto é o mesmo que a expressão
1 2
1 20 0
1 2
for a point outside 1 1 2lim limIm( )
1 for a point inside 2
r ru
k k
θ θπθ θ
π→ →
− Ω≡ Φ − Φ = − + Ω
(7.111)
A diferença do valor de 0
limr
u→
entre um ponto dentro com outro fora do
domínio é 1k
, com 0
10 lim
ru
k→< < .
10.2.3.2.Fluxo normal para r tendendo a 0
A superposição de efeitos de um semitrinca de abertura elíptica com outra
polinomial é
( ) ( ) ( )1 21 1 2 2
1 1 2 20
1 2 1 2
cos sin 3 cos sin3lim ' '
4 2 4 2
i i
r
i ie eT T
a a a a
θ θ θ θ θ θπ π
− −
→
− −Φ − Φ = − + = − + (7.112)
a que é finita e não depende do ângulo θ ao redor do ponto 0r = . O campo de
gradientes é dado por
( )
( )
1 21 1 2 2
0 01 2
1 21 1 2 2
0 01 2
sin 3sinlim lim Im ' '
4 2
cos 3coslim limRe ' '
4 2
xr r
yr r
q T Ta a
q T Ta a
θ θπ
θ θπ
→ →
→ →
= − Φ − Φ = − +
= − Φ − Φ = − (7.113)
Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − , e substituindo a Equação (7.103) na
Equação (5.3) o fluxo normal ao contorno Γ no ponto 0r → é
( ) ( )
( ) ( )1 1 1
2 2 2
2 1
0 01 2
2 1
0 02 1
3cos1lim lim ao longo do contorno 1
4 2
cos3lim lim ao longo do contorno 2
2 4
n x x y yr r
n x x y yr r
q q n q na a
q q n q na a
θ θπ
θ θπ
→ →
→ →
−= − − = −
−= − − = −
(7.114)
113
Note que existe um salto do fluxo normal no limite entre os dois contornos.
Se 2 1θ θ π= + , isto é, os segmentos 1 e 2 são colineares, ambos limites resultam
em 1 20 0
1 2
1 3lim lim
4 2n nr r
q qa aπ→ →
= = + , o que significa que não existe mais salto.
10.2.4. Combinação de Semitrincas formando um elemento de r otação para as faces
Estuda-se a superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação como
mostrado na Figura 9c em termos de deslocamentos. O elemento em estudo é
ideal para considerar as rotações relativas nas faces da trinca.
10.2.4.1. Valores de potencial para r tendendo a 0
Na origem, o potencial obtido a partir da Equações (5.1), (5.7) e (7.93) é
nulo, porém finito.
10.2.4.2. Fluxo normal para r tendendo a 0
A superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação fornece
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
1 1 2 20
1 11 1 1
2 22 2 2
lim ' '
cos sin2ln 2ln 5 2
4cos sin
2ln 2ln 5 24
rT T
ir a i
ir a i
θ θπ θ θ
πθ θ
π θ θπ
→Φ + Φ =
−− − + + ± − −
−+ − − + + ± − −
(7.115)
de onde o campo de gradientes é calculado
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1 2 20 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 2 20 0
1 1 1 1 1
2
lim lim Im ' '
12ln 2ln 5 sin 2 cos
41
2ln 2ln 5 sin 2 cos4
lim limRe ' '
12ln 2ln 5 cos 2 sin
41
2ln 2ln 54
xr r
yr r
q T T
r a
r a
q T T
r a
r a
θ π θ θ θπ
θ π θ θ θπ
θ π θ θ θπ
π
→ →
→ →
= − Φ + Φ =
− + − − ± − −
+ − + − − ± − −
= − Φ + Φ =
− − + − − ± − −
+ − − + − ( )( )2 2 2 2cos 2 sinθ π θ θ θ − ± − −
(7.116)
114
considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − para o segmento 1 e 2sinxn θ= − e
2cosyn θ= para o segmento 2, o fluxo normal no contorno Γ é
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
1 1 1
2 2 2
2 1
1 2 2 10 0
2 2 2 1
2 1
2 1 2 10 0
1 1
2ln 5 1 cos1
lim lim 2 ln ln cos ao longo do contorno 14
2 sin
2ln 5 1 cos1
lim lim 2 ln ln cos4
2 si
n x x y yr r
n x x y yr r
r
q q n q n a a
r
q q n q n a a
θ θ
θ θπ
π θ θ θ θ
θ θ
θ θπ
π θ θ
→ →
→ →
+ + − = − − = − + − − ± − − −
− + + −
= − − = + −
− ± − − ( )2 1
ao longo do contorno 2
n θ θ
− (7.117)
Para o caso geral o fluxo normal depende de r e θ . Para o caso particular
de 2 1θ θ π− = as equações acima se reduzem a
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
1 20 0
1 20 0
1lim lim ln ao longo do contorno 1
21
lim lim ln ao longo do contorno 22
n x x y yr r
n x x y yr r
q q n q n a a
q q n q n a a
π
π
→ →
→ →
= − − = −
= − − = − (7.118)
que são valores finitos que não dependem de r e θ .
10.2.5. Combinação de Semitrincas formando um elemento de r otação para as pontas
Estuda-se a superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação como
mostrado na Figura 9d em termos de deslocamentos. O elemento é ideal para
considerar as rotações relativas das faces próximas às pontas da trinca.
10.2.5.1.Valores de potencial para r tendendo a 0
Na origem, o potencial obtido a partir das Equações (5.1), (5.7), (7.75) e
(7.93) é nulo, porém finito.
10.2.5.2.Fluxo normal para r tendendo a 0
A superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação é
115
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
1 1 2 20
1 11 1 1
2 22 2 2
lim ' '
cos sin2ln 2ln 2
4cos sin
2ln 2ln 5 24
rT T
ir a i
ir a i
θ θπ θ θ
πθ θ
π θ θπ
→Φ + Φ =
−− − + ± − −
−+ − − + + ± − −
(7.119)
de onde o campo de gradientes é calculado
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1 2 20 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 2 20 0
1 1 1 1 1
2
lim lim Im ' '
12ln 2ln sin 2 cos
41
2ln 2ln 5 sin 2 cos4
lim limRe ' '
12ln 2ln cos 2 sin
41
2ln 2ln 5 cos4
xr r
yr r
q T T
r a
r a
q T T
r a
r a
θ π θ θ θπ
θ π θ θ θπ
θ π θ θ θπ
θπ
→ →
→ →
= − Φ + Φ =
− + − ± − −
+ − + − − ± − −
= − Φ + Φ =
− − + − ± − −
+ − − + − ( )( )2 2 2 22 sinπ θ θ θ − ± − −
(7.120)
Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − para o segmento 1 e 2sinxn θ= − e
2cosyn θ= para o segmento 2, o fluxo normal no contorno Γ é
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
1 1 1
2 2 2
2 1
1 2 2 10 0
2 2 2 1
2 1
2 1 2 10 0
1 1
2ln 5 1 cos1
lim lim 2 ln ln cos ao longo do contorno 14
2 sin
2ln 5 1 cos1
lim lim 2 ln ln cos4
2 si
n x x y yr r
n x x y yr r
r
q q n q n a a
r
q q n q n a a
θ θ
θ θπ
π θ θ θ θ
θ θ
θ θπ
π θ θ
→ →
→ →
+ + − = − − = − + − − ± − − −
− + + −
= − − = + −
− ± − − ( )2 1
ao longo do contorno 2
n θ θ
− (7.121)
Para o caso geral o fluxo normal depende de r e θ . Para o caso particular
de 2 1θ θ π− = as equações acima se reduzem a
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
1 20 0
1 20 0
1lim lim ln ao longo do contorno 1
21
lim lim ln ao longo do contorno 22
n x x y yr r
n x x y yr r
q q n q n a a
q q n q n a a
π
π
→ →
→ →
= − − = −
= − − = − (7.122)
que são valores finitos que não dependem de r e θ .
116
10.3. Expressões analíticas para a integração da matriz H em problemas de potencial quando elementos de forma polinomial s ão usados
Para elementos de interpolação linear, xn , yn e | |J são constantes, assim a
Equação (5.9) pode ser convenientemente reescrita como
| | d | | dk kki x x i y y iH n J q N n J q Nξ ξ
Γ Γ≡ = − −∫ ∫H (7.123)
onde é usada uma função de interpolação linear [ ]1iN ξ ξ= − , com [ ]0,1ξ ∈ . 1x
q e
1yq são dadas pela Equação (5.2) e reescritas aqui por conveniência
( )
( )1
1
11 1
11 1
Im
Re
x
y
uq k T
xu
q k Ty
′
′
∂= − = − Φ∂∂= − = − Φ∂
(7.124)
A função de tensão ( )11 Z′Φ é dada em termos de um argumento complexo
1Z , e 1T é uma constante complexa. Tanto 1Z como 1T são definidas na Equação
(4.3). Um forma alternativa do argumento complexo 1Z é
( )1 1 1CZ Aξ ξ= + (7.125)
onde ξ é uma coordenada paramétrica [ ]0,1ξ ∈ , 1A e 1C são constantes complexas
dadas por:
( )
( )
( )
1
1
1
1 1 11
1 1 11
1 1 1 1 1 11
( )
( )
( ) ( ) ( )
a
b
ab
ia
a a
ib
b b
iab
b b a a ab ab
r eA aT x iy T
a
r eB bT x iy T
a
r eC AB B A x iy T x iy T x iy T
a
θ θ
θ θ
θ θ
−
−
−
= = + =
= = + =
= = − = + − + = + =
(7.126)
A Equação (7.123) pode ser rescrita por conveniência como
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 1| | Im d | | Re dki x i y iH n J T N n J T Nξ ξ ξξ ξξ′ ′
Γ Γ≡ = Φ + Φ∫ ∫H (7.127)
onde ( )1 1Z′Φ é a mesma expressão da Equação (4.10) sem o termo singular 11 Z
como mostrado na Equação (7.128). É possível evitar este termo singular devido a
este termo se cancelar com a superposição de duas semitrincas opostas como
demonstrado no item 10.2.
( ) ( )1 11
1 1
1
2 ZZ Z
π′ ′ +Φ Φ= (7.128)
117
O problema se reduz ao cálculo das integrais
( )( )
( )( )
1
10
1
10
1 d
d
ξ ξξ
ξ ξ ξ
′
′
Φ −
Φ
∫
∫ (7.129)
Existem quatro diferentes casos a ser levados em conta na integração da
Equação (7.129), como ilustrado na Figura 44.
Source element
Semi-crack origin (k )
Semi-crack tip ( 1k + )
Field line ( i ) ( j )
a) Case a
Source element
Semi-crack origin (k )
Semi-crack tip ( 1k + )
Field line ( i ) ( j )
b) Case b
Source element
Semi-crack origin (k )
Semi-crack tip ( 1k + )
Field line ( i ) ( j )
c) Case c
Source element
Semi-crack origin (k )
Semi-crack tip ( 1k + )
Field line ( i ) ( j )
d) Case d
Figura 44. Casos de integração da Matriz H em problemas de potencial.
O valor principal da função complexa ln( )z com iz re θ= é
( ) ( ) ( )ln lnz r i θ= + , quando 0 2abθ π≤ < (7.130)
onde a parte real e imaginária são, respectivamente.
( )( ) ( )( )( )
Re ln ln
Im ln
z r
z θ
=
= (7.131)
Uma forma prática de obter θ computacionalmente é
( )arctan2 1
2
dy dxfracθ π
π
= +
(7.132)
O desenvolvimento analítico para cada um dos casos foi usando o programa
computacional MapleTM (2011).
118
10.3.1. Caso a – O segmento de integração coincide com a o eixo da semitrinca
A integração da Equação (7.129) para o caso da Figura 44a. resulta em
[ ] ( )( )1
10
3 11,1 1 d
8 4Na iξ ξ ξ
π′= Φ − = − −∫ (7.133)
[ ] ( )( )1
10
3 12,1 d
8 4Na iξ ξ ξ
π′= Φ = −∫ (7.134)
Os resultados das integrais acima são armazenados em uma matriz [ ],1Na n ,
onde o índice 1, 2n = corresponde à função de interpolação ( )1 ξ− ou ( )ξ , e 1
corresponde à semitrinca 1. As Equações (7.133) e (7.134) para a semitrinca 2
têm a mesma expressão se 2′Φ é substituída por 1
′Φ na equação acima e
armazenada na matriz [ ],21Nc n .
10.3.2. Caso b – A origem do segmento de integração coincid e com a origem da semitrinca
A integração da Equação (7.129) para o caso mostrado na Figura 44b é
[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 4
1
1 10
21 1 1 1 1 1
21
1
1 10
2 3 31 1 1 1
31 1 1 1 1 1
41 1 11 1
21
1
1,1 1 d
2 3 2 2 2 ln 2 2 2 1 ln 1 2 2 1 0, ,1
8
2,1 d
6 5 2 2 4 ln 2 4 1 ln 1 2 0 ,13 ,3
8
C
C C C C C i C signum Im
C
C
C C C C C C s
Nb
C C C
signum Im
C C C
Nb
C C C
C
C i
ξ ξ ξ
ππ
ξ ξ ξ
ππ
′
′
= Φ − =
− − − − + − + − − − −
= Φ =
− + − − + − + − −
∫
∫
(7.135) onde a função ( )sign x é definida por
( )1 0
0 0
1 0
for x
sign x for x
for x
− <= = >
(7.136)
10.3.3. Caso c – A origem do segmento de integração coincid e com a ponta da semitrinca
A integração da Equação (7.129) para o caso mostrado na Figura 44c é
119
[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 10
2 3 31 1 1 1 1 1 1
21
1
1 10
2 4 31 1 1 1 1 1 1
41 1
2
1
31 1
1
1,1 1 1 d
2 3 2 2 2 ln 2 2 1 ln 1
8
2,1 1 d
6 5 2 3 4 ln 2 3 4 1 1
8
2
n2 l
N C
C C C C C C C
C
C
C C C C C C C
c
C C C
Nc
C
C
C
ξ ξ ξ
π
ξ ξ ξ
π
′
′
= Φ + − =
+ − + + − + +
= Φ + =
+ + + + − +
− −
+ +
∫
∫ (7.137)
onde o problema é resolvido considerando o valor principal de 1ln( )C como
mostrado na Equação (7.130).
10.3.4. Caso d – Caso geral
O cálculo da integral da Equação (7.129) para o caso geral mostrado na
Figura 44d está em andamento, pois ainda não foi demostrada a generalidade
quando existe mudança de quadrante, no entanto, alternativamente pode se
calcular a solução numérica pela quadratura de Gauss Legendre dado que não
existem singularidades envolvidas.
[ ] ( ) ( ) ( )( )
[ ] ( )( ) ( )( )
1
1 1 1 1 1 101
1
1 1 1 1 1 101
1,1 1 d [ ] 1 [ ]
2,1 1 d [ ] [ ]
g
g
g
g
n
g g g g gi
n
g g g g gi
A C A C i w i
A C A C
Nd
Nd i w i
ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ
′ ′
=
′ ′
=
= Φ + − ≡ Φ + −
= Φ + − ≡ Φ +
∑∫
∑∫
(7.138)
Foram desenvolvidas as soluções analíticas para uma semitrinca 1, para a
semitrinca 2 , o procedimento é similar, substituindo o subscrito 1(.) pelo subscrito
2(.) . Todos os resultados são armazenados nas matrizes [ , ]Na i c , [ , ]Nb i c , [ , ]Nc i c e
[ , ]Nd i c onde 1,2i = é relacionado à função de forma [1 , ]iN ξ ξ= − e 1,2c = é
relacionado à semitrinca 1 ou 2.