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Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia
Engrenagens Cônicas
Prof. Alexander Mattioli PasqualDEMEC – sala 3220E-mail: [email protected]
Graduação em Engenharia Mecânica
EMA100 – Elementos de Máquinas II
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Engrenagens Cônicas
Introdução
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Engrenagens Cônicas
Tipos de Engrenagens Cônicas
Engrenagens cônicas espirais(Silenciosa altas velocidades)
Engrenagens cônicas retas(Ruidosa baixas velocidades)
Engrenagens cônicas Zerol
Engrenagens cônicas para uso em aplicações com eixos concorrentes(geralmente 90°):
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Engrenagens Cônicas
Tipos de Engrenagens Cônicas
Engrenagens cônicas para uso em aplicações com eixos não concorrentes:
Engrenagens hipoides ou hipoidais(Aplicação: diferencial automotivo)
Engrenagens espiroides ou espiroidais
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Engrenagens Cônicas
Comparação entre Alguns Tipos de Engrenagem
Sem-fim
Espiroide
Hipoide
Cônica espiral
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Engrenagens Cônicas
Engrenagens Cônicas de Dentes Retos
Definições e notação:
• Ângulo primitivo: ,
• Distância de cone: A0
• Diâmetro primitivo: d P , d G
• Raio do cone de fundo: r b
Algumas relações:
• tan = N P / N G
• tan = N G/ N P
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Engrenagens Cônicas
Forças em Engrenagens Cônicas Retas
Relações:
• W t = T / r av ;• W r = W t tan cos ;
• W a = W t tan sen .
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Engrenagens Cônicas
Dimensionamento de Engrenagens
O dimensionamento de engrenagens deve levar em conta:
Fratura por fadiga devido às tensões de flexão variáveis na raiz do dente;(As engrenagens podem ter vida infinita com relação a este critério.)
Fadiga superficial (crateramento/“ pitting”) na superfície de contato entreos dentes.
(As engrenagens não podem ter vida infinita com relação a este critério.)
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Engrenagens Cônicas
Projeto de Engrenagens Cônicas Retas
(Norma ANSI/AGMA 2003-B97)
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Engrenagens Cônicas
Norma AGMA
Norma de cálculo da American Gear Manufacturers Association
(AGMA): ANSI/AGMA 2003-B97, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol Bevel and Spiral Bevel
Gear Teeth, 1997;
Escopo da norma:
Engrenagens cônicas retas, zerol e espirais;
Fadiga superficial e flexional.
Devido à complexidade das engrenagens cônicas, apenas as de dentes retos serão consideradas aqui.
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Engrenagens Cônicas
Tensão de flexão: Tensão de contato:
W t é a força tangencial transmitida; K o é o fator de sobrecarga;
K v é o fator dinâmico; K m é o fator de distribuição de carga; K s é o fator de tamanho para resistência à flexão; C s é o fator de tamanho para resistência à fadiga superficial; C xc é o fator de coroamento para resistência à fadiga superficial; C p é o coeficiente elástico para resistência à fadiga superficial; K x é o fator de curvatura ao longo do comprimento ( K x = 1 p/ dentes retos); J é o fator geométrico de resistência à flexão; I é o fator geométrico de resistência à fadiga superficial;
P d é o passo diametral transversal externo.
Equações para Tensões de Flexão e Contato
= =
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Engrenagens Cônicas
Este fator leva em conta cargas externas que excedem a carga tangencialnominal, W t , para uma aplicação particular.
Fator de Sobrecarga K o
Máquina movida
Máquina motora Uniforme Choques leves Choques médios Choques intensos
Uniforme 1,00 1,25 1,50 1,75 ou maior
Choques leves 1,10 1,35 1,60 1,85 ou maior
Choques médios 1,25 1,50 1,75 2,00 ou maior
Choques intensos 1,50 1,75 2,00 2,25 ou maior
Valores sugeridos de K o
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Engrenagens Cônicas
Este fator leva em conta as cargas geradas no engrenamento devido à ação
não conjugada dos dentes (erro de transmissão), que induzem vibrações eforças dinâmicas. Alguns fatores que produzem erro de transmissão:
Imprecisões na manufatura das engrenagens;
Variação da rigidez do dente durante o engrenamento;
Desbalanceamento dinâmico dos eixos e engrenagens; Desgaste e deformação plástica das porções em contato dos dentes;
Desalinhamento e deflexão dos eixos;
Atrito entre os dentes.
Número de qualidade AGMA (Qv): Define as tolerâncias das engrenagens;é um número inteiro que varia entre 3 (baixa qualidade) e 12 (alta
qualidade), tipicamente;
A norma fornece K v em função de Qv e da velocidade linear no diâmetro primitivo externo.
Fator Dinâmico K v
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Engrenagens Cônicas
Fator Dinâmico K v
=
+
,
em ft/min
= 50 + 56
1,0
−
= 0,25(12
− )0,667
max = (
+
−3)2
Velocidade máximarecomendada:
V é medida nodiâmetro primitivoexterno.
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Fator de Distribuição de Carga K m Este fator reflete a não uniformidade da distribuição de carga ao longo da
linha de contato; Os seguintes fatores levam a uma distribuição de carga não uniforme:
Imprecisões de fabricação das engrenagens;
Alinhamento dos eixos;
Deflexão dos eixos e engrenagens; Distorção devido a expansão térmica e efeito centrífugo.
Fórmula:
=
+ 0,0036
2
=
1,00 , ambos os elementos montados entre mancais
1,10 , um elemento montado entre mancais
1,25 , nenhum elemento montado entre mancais
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Engrenagens Cônicas
Este fator reflete a não uniformidade das propriedades do material;
Flexão:
Fadiga superficial:
Fatores de Tamanho para Flexão e Contato, K s e C s
= 0,4867 + 0,2132/ , 0,5 ≤ ≤ 16 in−1
0,5 ,
> 16 in
−1
=
0,5 , < 0,5 in
0,125
+ 0,4375 , 0,5
≤ ≤4,5 in
1 ,0 , > 4,5 in
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Fator de Coroamento para Fadiga Superficial C xc
Dentes com coroamento C xc
= 1,5
Dentes sem coroamento C xc = 2,0
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Engrenagens Cônicas
Coeficiente Elástico para Fadiga Superficial C p C p depende das propriedades elásticas do pinhão e da coroa, e é definido
como
onde:
P é o coeficiente do Poisson do material do pinhão; G é o coeficiente do Poisson do material da coroa;
E P é o módulo de elasticidade do material do pinhão;
E G é o módulo de elasticidade do material da coroa.
= 1 1 − 2 +1 − 2
Se o pinhão e a coroa são fabricados em aço, tem-se que
= 1 1 − 0,32
3 0 ×1 06 +1 − 0,32
30×106 = ,
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Engrenagens Cônicas
Fator Geométrico de Resistência à Flexão J
Engrenagens cônicas retas com ângulo de pressão 20° e ângulo entre eixos de 90°.
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Fator Geométrico de Resistência à Fadiga Superficial I
Engrenagens cônicas retas com ângulo de pressão 20° e ângulo entre eixos de 90°.
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Engrenagens Cônicas
Fadiga Flexional S F : Fadiga Superficial S H :
é a tensão de flexão atuante obtida seguindo os passos já descritos;
K T é o fator de temperatura;
K R e C R são os fatores de confiabilidade; K L e C L são os fatores de ciclagem de tensão;
sat é a resistência à flexão não corrigida;
( sat K L)/( K T K R) é a resistência à flexão corrigida;
c é a tensão de contato atuante obtida seguindo os passos já descritos;
C H é o fator de razão de dureza;
sac é a resistência à fadiga superficial não corrigida;
( sac C L C H )/( K T C R) é a resistência à fadiga superficial corrigida.
Fatores de Segurança SF e SH
= /() = /()
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Engrenagens Cônicas
Resistência à Fadiga Flexional Não Corrigida sat
sat para engrenagens de aço endurecidas integralmente.
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Resistência à Fadiga Flexional Não Corrigida sat
sat para engrenagens de aço.
erro!
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Engrenagens Cônicas
Resistência à Fadiga Flexional Não Corrigida sat
sat para engrenagens de ferro.
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Engrenagens Cônicas
Resistência à Fadiga Superficial Não Corrigida sac
sac para engrenagens de aço endurecidas integralmente.
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Engrenagens Cônicas
Resistência à Fadiga Superficial Não Corrigida sac
sac para engrenagens de aço.
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Engrenagens Cônicas
Resistência à Fadiga Superficial Não Corrigida sac
sac para engrenagens de ferro.
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Engrenagens Cônicas
Fatores de Temperatura e Confiabilidade K T , K R e C R
Fator de temperatura K T :
K T = 1 se a temperatura do óleo ou do corpo da engrenagem estiver entre0°C e 120°C. Se T > 120°C, então K T = (273 + T )/393.
Fatores de confiabilidade K R (flexional) e C R (superficial):
Considera as propriedades estatísticas das falhas por fadiga do material.
Fatores de confiabilidade para o aço.
Confiabilidade 99,99% 99,9% 99% 90% 50%
C R 1,22 1,12 1,00 0,92 0,84
K R 1,50 1,25 1,00 0,85 0,70
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Fator de Ciclagem de Tensão K L (Fadiga Flexional)
K L para engrenagens cônicas de aço endurecidas superficialmente por cementação.
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Fator de Ciclagem de Tensão C L (Fadiga Superficial)
C L para engrenagens cônicas de aço endurecidas superficialmente por cementação.
ô i
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Engrenagens Cônicas
Fator de Razão de Dureza C H
Fator de razão de dureza C H (aplica-se somente à coroa):
Como o pinhão sofre mais ciclos de carga que a coroa, sua dureza égeralmente maior que a da coroa. Isso gera um endurecimento na coroa,aumentando sua capacidade. O fator C H depende de:
A razão velocidades mG (mG 1);
Acabamento superficial do pinhão;
Dureza do pinhão e da coroa.
E Cô i
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Engrenagens Cônicas
Fator de Razão de Dureza C H
Fator de razão de dureza C H (aplica-se somente à coroa):
Para pinhão e coroa endurecidos integralmente:Se 1,2 ≤ H BP / H BG ≤ 1,7:
Se H BP / H BG < 1,2: C H = 1 H BP e H BG são as durezas Brinell do pinhão e da coroa, respectivamente.
Para coroa endurecida integralmente (180 a 400 HB) e pinhão com
endurecimento superficial (> 48 HRC):
onde f p é a rugosidade do pinhão em micropolegadas rms.
= 1,0 + ′(450 − ) ′ = 0,00075−0,0112
= 1 + 1( − 1) 1 = 0,00898(/) − 0,00829
E Cô i
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Engrenagens Cônicas
Fator de Razão de Dureza C H
C H para engrenagens de aço endurecidas integralmente.
E Cô i
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Engrenagens Cônicas
Fator de Razão de Dureza C H
C H para engrenagens de aço: coroa endurecida integralmente e pinhão com endurecimento
superficial.
E Cô i
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Engrenagens Cônicas
Resumo e Exemplo
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Fadiga por flexão Fadiga superficial
Tensão
Coeficiente desegurança
Norma AGMA: Resumo
c não varia linearmente com a carga transmitida W t , logo, deve-se ter
cuidado ao comparar S H e S F . Assim, para identificar o modo de falha
predominante, pode-se comparar S F com (S H )2. Se as engrenagens possuírem
coroamento, comparar S F com (S H )3.
=
=
= /() = /()
Engrenagens Cônicas
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Engrenagens Cônicas
Exemplo: Determinação da Potência Nominal
Dados:
Par de engrenagens idênticas: cônicas retas, ângulo de pressão 20°, passo diametral externo de 5 dentes/in, qualidade AGMA 7, largura deface 1,1 in, sem coroamento, 25 dentes, aço grau 1 totalmente endurecido,dureza de 180 Brinell, vida desejada de 107 ciclos, confiabilidade de 99%; Operação: rotação 600 rpm, carregamento suave, fator de segurança 1;
Montagem: nenhuma engrenagem entre mancais; redutor fechadocomercial.
Pede-se:a) A potência nominal deste par de engrenagens com base na resistência à
flexão; b) A potência nominal deste par de engrenagens com base na resistência àfadiga superficial.
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Engrenagens Cônicas
Solução – Etapa 1
Cálculo dos parâmetros básicos
Diâmetro primitivo externo das engrenagens (d P ):d P = N P / P = 25 / 5 d
P = 5,0 in
Velocidade linear nas circunferências primitivas (V ) :
V = (n P d P )/ 12 [ft/min]
V = x 600 x 5 / 12 V = 785,4 ft/min
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Solução – Etapa 2
Determinação do fator dinâmico K v
= + , em ft/min = 50 + 561,0 −
= 0,25(12
− )0,667
= 0,25(12
−7)0,667 = 0,731
= 50 + 56(1 − 0,731) = 65,06
= 65,06 + 785,4
65,060,731
= ,
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Engrenagens Cônicas
Solução – Etapa 3
Determinação do fator de distribuição de carga K m
= + 0,00362
=
1,00 , ambos os elementos montados entre mancais
1,10 , um elemento montado entre mancais
1,25 , nenhum elemento montado entre mancais
Nenhuma engrenagem entre mancais K mb = 1,25
Logo, K m = 1,25 + 0,0036x1,12
K m
= 1,254
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Fator de sobrecarga:
Carregamento suave K o = 1
Solução – Etapa 4
Determinação do fator de sobrecarga K o
Máquina movida
Máquina motora Uniforme Choques leves Choques médios Choques intensos
Uniforme 1,00 1,25 1,50 1,75 ou maior
Choques leves 1,10 1,35 1,60 1,85 ou maior
Choques médios 1,25 1,50 1,75 2,00 ou maior Choques intensos 1,50 1,75 2,00 2,25 ou maior
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Fator de tamanho (flexão):
Como P d = 5 in-1:
K s = 0,4867 + 0,2132/5 K s = 0,529
Fator de tamanho (fadiga superficial):
Como F = 1,1 in:
C s = 0,125x1,1 + 0,4375 C s = 0,575
Solução – Etapa 5
Determinação dos fatores de tamanho K s e C s
= 0,4867 + 0,2132/ , 0,5 ≤ ≤ 16 in−1
0,5 , > 16 in−1
=
0,5 , < 0,5 in
0,125 + 0,4375 , 0,5 ≤ ≤ 4,5 in
1 ,0 , > 4,5 in
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Solução – Etapa 6
Determinação dos fatores geométricos I e J
Duas engrenagenscom 25 dentes:
J P = J
G = 0,216
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Engrenagens Cônicas
Solução – Etapa 6
Determinação dos fatores geométricos I e J
Duas engrenagenscom 25 dentes:
I = 0,065
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Este fator é utilizado apenas para fadiga superficialAmbas as engrenagens fabricadas em aço:
Solução – Etapa 7
Determinação do fator elástico C p
=
1
1
−
2
+
1
−
2
= ,
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Solução – Etapa 8
Determinação das resistências não corrigidas sat e sac
sat para engrenagens de aço endurecidas integralmente.
sat : Utilizado para fadiga flexional:
Grau 1 sat = 44x180 + 2100 s at
= 10020 psi
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g g
Solução – Etapa 8
Determinação das resistências não corrigidas sat e sac
sac para engrenagens de aço endurecidas integralmente.
sac : Utilizado para fadiga superficial:
Grau 1 sac = 341x180 + 23620 s ac
= 85000 psi
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g g
Solução – Etapa 9
Determinação dos fatores de ciclagem de tensão K L e C L
K L para engrenagens cônicas de aço endurecidas superficialmente por cementação.
K L : Utilizado para fadiga flexional
K L = 1,683x(107)-0,0323
K L = 1,0
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g g
Solução – Etapa 9
Determinação dos fatores de ciclagem de tensão K L e C L
C L para engrenagens cônicas de aço endurecidas superficialmente por cementação.
C L : Utilizado para fadiga superficialC L = 3,4822x(107)-0,0602 C
L = 1,32
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g g
Fator de temperatura:
Temperatura inferior a 120°C K T = 1
Fatores de confiabilidade:
Confiabilidade de 99% K R = 1,00 (fadiga flexional)
C R = 1,00 (fadiga superficial)
Solução – Etapa 10
Determinação dos fatores de temperatura e confiabilidade K T , K R e C R
Confiabilidade 99,99% 99,9% 99% 90% 50%
C R 1,22 1,12 1,00 0,92 0,84
K R 1,50 1,25 1,00 0,85 0,70
Engrenagens Cônicas
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Como as duas engrenagens do par possuem a mesma dureza:
C H = 1,0
Solução – Etapa 11
Determinação do fator de razão de dureza C H
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Solução – Etapa 12
Cálculo das Potências Nominais H
Com relação à falha por fadiga flexional: Fórmulas:
Para S F = 1:
Mas
= = /()
= =
10020 × 1 × 1 × 0,216 × 1,1
1×1×0,529×1,254×1×1,299×5= 552,6 lbf
= 33000=
552,6 × 785,4
33000
= ,
Engrenagens Cônicas
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Solução – Etapa 12
Cálculo das Potências Nominais H
Com relação à falha por fadiga superficial: Fórmulas:
Para S H = 1:
Mas
= = /()
= 2 =
1,1 × 5 × 0,065
1 × 1,299 × 1,254 × 0,575 × 2
85000 × 1,32 × 1
1 × 1 × 2 2 9 1
2
= 457,7 lbf
= 33000=
457,7 × 785,4
33000
= ,
Engrenagens Cônicas
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Solução
Respostas
a) Potência nominal com relação à fadiga de flexão:H = 13,2 hp
b) Potência nominal com relação à fadiga superficial:
H = 10,9 hp
Portanto, a potência nominal é H = min(13,2 ; 10,9) = 10,9 hp