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Anno Accademico 2016 - 2017

Universitร  degli studi di Perugia

FACOLTร€ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di laurea in Fisica

TESI DI LAUREA TRIENNALE

Energia del vuoto

ed effetto Casimir

Candidato:

Marco Olivieri Pennesi

Relatore:

Prof.ssa Marta Orselli

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ii

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iii

Prefazione Verso le fine del 1800 iniziรฒ a svilupparsi quella che ora รจ definita meccanica quantistica, volta

a spiegare quei fenomeni che esulavano dallโ€™essere inquadrati nelle leggi della meccanica

classica, allโ€™epoca ritenuta quasi infallibile. Lโ€™avvento di questa teoria ha permesso un grande

balzo in avanti nella scoperta delle leggi fisiche che regolano lโ€™universo: essa rappresenta,

infatti, assieme alla relativitร , un punto di svolta rispetto alla fisica classica e la base di quella

che รจ attualmente la fisica moderna.

In particolare la piรน grande e radicale rottura tra le leggi della meccanica quantistica e quella

classica รจ data dalla caratteristica della prima di descrivere radiazioni e materia sia come

fenomeno ondulatorio che come entitร  particellare. Questa inaspettata proprietร , che prende

il nome di dualismo onda-particella รจ formalizzata nel principio di indeterminazione di

Heisenberg, la cui conseguenza si manifesta nellโ€™impossibilitร  di poter conoscere

contemporaneamente con esattezza due grandezze fisiche tra loro coniugate. Nella sua forma

piรน nota รจ espresso dalla relazione

โˆ†๐‘ฅ โˆ™ โˆ†๐‘๐‘ฅ โ‰ฅโ„

2

fra lโ€™incertezza sulla posizione (โˆ†๐‘ฅ) e quella sulla quantitร  di moto (โˆ†๐‘๐‘ฅ) di una particella, dove

โ„ รจ la costante di Planck ridotta il cui valore รจ riportato alla fine di questa breve introduzione.

Uno dei risultati piรน importanti che si appoggia direttamente su questo principio e che รจ legato

tuttโ€™oggi a problematiche non risolte รจ lโ€™esistenza di unโ€™energia di vuoto.

In elettrodinamica classica non vi รจ alcun motivo per cui nel vuoto debba esserci radiazione

elettromagnetica, ma giร  agli inizi del โ€˜900 lo scienziato Max Planck, concentrato sullo studio

dello spettro del corpo nero, trovรฒ un'energia di punto zero, partendo dallโ€™ipotesi che quella

della radiazione potesse variare soltanto di valori discreti, il cui elemento fondamentale fu

chiamato quanto di energia. Questa energia di vuoto perciรฒ รจ strettamente correlata alle

fluttuazioni dei campi se trattati come oggetti quantistici.

Lo scopo di questa tesi รจ quello di gettare le basi per la comprensione di questo fenomeno e

analizzarne una sua peculiare conseguenza, lโ€™effetto Casimir.

Per far ciรฒ si รจ ritenuto essenziale partire innanzitutto dai campi elettromagnetici nella fisica

classica, per questo il primo capitolo tratta le equazioni di Maxwell, prima in forma generale

e successivamente nel vuoto, e, dopo aver introdotto i potenziali elettromagnetici e le

trasformazioni di gauge, arriva a risolvere le equazioni dei campi in assenza di cariche e

correnti ottenendo una sovrapposizione di onde monocromatiche.

Il secondo capitolo consiste interamente nelle tecniche di quantizzazione dei campi appena

trovati tramite lโ€™analogia con il caso di un oscillatore armonico quantistico e il passaggio dal

continuo al discreto fino al ricavare lโ€™Hamiltoniana dei campi nel vuoto.

Infine il terzo capitolo entra nel dettaglio dellโ€™argomento di tesi approfondendo quella che

abbiamo chiamato energia del vuoto o di punto zero e analizzando piรน da vicino una sua

conseguenza detta effetto Casimir riportandone due interpretazioni diverse.

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Il sistema di unitร  di misura utilizzato in questa tesi รจ il sistema CGS di Gauss, le cui unitร 

fondamentali sono il centimetro (cm), il grammo (g) e il secondo (s).

Si incontreranno spesso nella trattazione le costanti c, velocitร  della luce nel vuoto e โ„Ž,

costante di Planck, i cui valori nel sistema CGS di Gauss sono

๐‘ โ‰… 3,00 โˆ™ 1010 ๐‘๐‘š/๐‘ 

โ„Ž โ‰… 6,63 โˆ™ 10โˆ’27 ๐‘” โˆ™ ๐‘๐‘š2/๐‘ 

Di fatto, piuttosto che la costante di Planck, nel testo si incontrerร  molto piรน frequentemente

la sua versione ridotta โ„ =โ„Ž

2๐œ‹ il cui valore รจ

โ„ โ‰… 1,05 โˆ™ 10โˆ’27 ๐‘” โˆ™ ๐‘๐‘š2/๐‘ 

Infine in tutta la trattazione si indicherร  il vettore di posizione della particella con

๐‘Ÿ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง)

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v

Indice

1. Elettromagnetismo classico ........................................................................... 1

1.1 Equazioni di Maxwell ................................................................................ 1

1.2 Potenziali elettromagnetici e trasformazioni di gauge .............................. 2

1.3 Campo elettromagnetico nel vuoto .......................................................... 5

2. Campo elettromagnetico quantizzato ......................................................... 10

2.1 Oscillatore armonico quantistico ............................................................ 10

2.2 Equivalenza tra campo e oscillatore armonico ....................................... 12

2.3 Quantizzazione del potenziale vettore ................................................... 16

3. Energia del vuoto ed effetto Casimir ........................................................... 20

3.1 Energia di punto zero ............................................................................. 20

3.2 Effetto Casimir: derivazione geometrica ................................................. 23

3.3 Effetto Casimir: approccio di Milonni, Cook e Goggin ............................. 29

Bibliografia ...................................................................................................... 34

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vi

โ€œIn five minutes you will say that it is all so absurdly simpleโ€

Sherlock Holmes โ€“ โ€œThe Adventure of the Dancing Menโ€

Arthur Conan Doyle

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1

Capitolo 1

Elettromagnetismo classico

Per poter trattare lโ€™energia del vuoto e lโ€™effetto Casimir bisogna prima introdurre quella che รจ

la teoria alla base di questi fenomeni, ovvero la teoria elettromagnetica.

Lโ€™analisi seguente propone in breve gli aspetti fondamentali per la trattazione dellโ€™argomento

di tesi. Si introdurranno perciรฒ le equazioni di Maxwell, cardini del campo elettromagnetico

classico, si parlerร  poi dei potenziali elettromagnetici e delle trasformazioni di gauge, utili per

lo studio del fenomeno, ed infine si ricaveranno le equazioni dei campi in assenza di sorgenti.

1.1 Equazioni di Maxwell

Lโ€™elettromagnetismo classico รจ interamente descritto dalle famose equazioni di Maxwell

โˆ‡ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = 4๐œ‹๐œŒ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) (1.1)

โˆ‡ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = 0 (1.2)

โˆ‡ ร— ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) +1

๐‘

๐œ•๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๐œ•๐‘ก= 0 (1.3)

โˆ‡ ร— ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) โˆ’1

๐‘

๐œ•๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๐œ•๐‘ก=4๐œ‹

๐‘๐‘—(๐‘Ÿ, ๐‘ก) (1.4)

che governano la dinamica del campo elettrico e magnetico. In esse, ๐œŒ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) รจ la densitร  di

carica che รจ legata a ๐‘—(๐‘Ÿ, ๐‘ก), densitร  di corrente, dallโ€™equazione di continuitร 

โˆ‡ โˆ™ ๐‘—(๐‘Ÿ, ๐‘ก) +๐œ•๐œŒ(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๐œ•๐‘ก= 0 (1.5)

che esprime la legge di conservazione della carica elettrica.

Le equazioni (1.2) e (1.3) sono omogenee mentre la (1.1) e la (1.4) sono non omogenee e

dipendono dalle sorgenti dei campi.

Le ultime due equazioni, note rispettivamente come legge di Faraday-Neumann e legge di

Ampรจre, sono quelle che descrivono la dinamica del sistema perchรฉ rappresentano le

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equazioni del moto del campo elettrico e del campo magnetico. Le prime due equazioni,

invece, non sono utili ai fini della descrizione del moto ma rappresentano due condizioni al

contorno che devono essere soddisfatte dai campi stessi perciรฒ consentono di ridurre il

numero di gradi di libertร  del sistema.

Si hanno in conclusione 8 equazioni scalari, poichรฉ le equazioni (1.3) e (1.4) sono due equazioni

vettoriali, e solamente sei incognite (le componenti dei campi ๐ธ๐‘ฅ, ๐ธ๐‘ฆ, ๐ธ๐‘ง , ๐ต๐‘ฅ , ๐ต๐‘ฆ, ๐ต๐‘ง), ovvero il

sistema di equazioni รจ sovradeterminato. Se poi si utilizzano i due vincoli dati dalle prime due

equazioni ci si puรฒ rendere conto di come le variabili dinamiche siano solamente quattro.

Questo sistema di equazioni puรฒ essere risolto in due modi diversi: il primo รจ quello di

scomporre i campi in una componente trasversale, a rotore nullo, e in una longitudinale, a

divergenza nulla; cosรฌ facendo si ottiene che le variabili dinamiche si riducono alle componenti

trasversali dei campi. Lโ€™altro modo, che in questa trattazione risulta piรน efficace, รจ quello di

riscrivere i campi in funzione di un potenziale vettore A e di un potenziale scalare ๐œ‘.

1.2 Potenziali elettromagnetici e trasformazioni di gauge

L'introduzione del potenziale vettore รจ strettamente legata alla solenoidalitร  del campo

magnetico. รˆ infatti noto che la divergenza di un rotore di un campo vettoriale รจ sempre nulla.

Essendo la divergenza del campo magnetico nulla, possiamo pensare quest'ultimo come

rotore di un campo vettoriale A chiamato, appunto, potenziale vettore.

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = โˆ‡ ร— ๐ด (1.6)

In questa maniera la legge di Faraday-Neumann (1.3) si puรฒ riscrivere come

โˆ‡ ร— ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ +1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡ ร— ๐ด = 0

O equivalentemente come

โˆ‡ ร— (๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ +1

๐‘

๐œ•๐ด

๐œ•๐‘ก) = 0

E poichรฉ la quantitร  tra parentesi รจ irrotazionale, essa puรฒ essere riscritta come il gradiente di

una funzione scalare ๐œ‘ detto potenziale scalare

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ +1

๐‘

๐œ•๐ด

๐œ•๐‘ก= โˆ’โˆ‡๐œ‘

Si ottiene perciรฒ lโ€™espressione del campo elettrico in funzione dei due potenziali introdotti

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = โˆ’โˆ‡๐œ‘ โˆ’1

๐‘

๐œ•๐ด

๐œ•๐‘ก (1.7)

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Gli oggetti matematici cosรฌ introdotti si definiscono potenziali elettromagnetici e sono

indispensabili per la risoluzione delle equazioni utili a caratterizzare lโ€™argomento di questa

tesi. Questi sono tali da soddisfare le equazioni di Maxwell omogenee (1.2) e (1.3).

La loro espressione esplicita si puรฒ ricavare sostituendo le equazioni (1.6) e (1.7) allโ€™interno

delle equazioni di Maxwell non omogenee (1.1) e (1.4) si ottengono cosรฌ, per la legge di Gauss

โˆ‡2๐œ‘ +1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡ โˆ™ ๐ด = โˆ’4๐œ‹๐œŒ (1.8)

Mentre per la legge di Ampรจre si ha

โˆ‡ ร— (โˆ‡ ร— ๐ด) +1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐œ‘ +

1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2=4๐œ‹

๐‘๐‘—

E sfruttando lโ€™identitร  vettoriale

โˆ‡ ร— (โˆ‡ ร— ๐ด) = โˆ‡(โˆ‡ โˆ™ ๐ด) โˆ’ โˆ‡2๐ด (1.9)

si ottiene in definitiva la seguente espressione

โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2โˆ’ โˆ‡(โˆ‡ โˆ™ ๐ด +

1

๐‘

๐œ•๐œ‘

๐œ•๐‘ก) = โˆ’

4๐œ‹

๐‘๐‘— (1.10)

Le espressioni (1.8) e (1.10) rappresentano le equazioni di Maxwell per i potenziali e

permettono di passare ad un sistema a sole due equazioni. Tuttavia si nota subito come queste

siano due equazioni differenziali accoppiate e perciรฒ non dโ€™immediata risoluzione.

Per disaccoppiarle si fa ricorso allโ€™arbitrarietร  della scelta dei potenziali: si puรฒ notare come i

potenziali che soddisfano (1.6) e (1.7) siano, infatti, infiniti poichรฉ il potenziale vettore A รจ

determinato a meno del gradiente di una qualche funzione ๐›ฌ dato che il rotore di un gradiente

รจ identicamente nullo.

Tale arbitrarietร  permette di definire delle trasformazioni, dette trasformazioni di gauge, che

lasciano invariati il campo elettrico e quello magnetico e rappresentano perciรฒ una simmetria

dellโ€™elettromagnetismo.

Definiamo adesso i due nuovi potenziali dati dalle trasformazioni di gauge e poniamo delle

condizioni su di essi di modo da disaccoppiare le equazioni (1.8) e (1.10)

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) โ†’ ๐ดโ€ฒ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) + โˆ‡๐›ฌ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) (1.11)

๐œ‘(๐‘Ÿ, ๐‘ก) โ†’ ๐œ‘โ€ฒ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐œ‘(๐‘Ÿ, ๐‘ก) โˆ’1

๐‘

๐œ•๐›ฌ(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๐œ•๐‘ก (1.12)

Si puรฒ ora notare come questi lascino invariati il campo elettrico e magnetico, infatti

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโ€ฒ = โˆ‡ ร— ๐ดโ€ฒ = โˆ‡ ร— ๐ด + โˆ‡ ร— โˆ‡๐›ฌ = โˆ‡ ร— ๐ด = ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

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๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโ€ฒ = โˆ’โˆ‡๐œ‘โ€ฒ โˆ’1

๐‘

๐œ•๐ดโ€ฒ

๐œ•๐‘ก= โˆ’โˆ‡๐œ‘ +

1

๐‘โˆ‡๐œ•๐›ฌ

๐œ•๐‘กโˆ’1

๐‘

๐œ•๐ด

๐œ•๐‘กโˆ’1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐›ฌ = โˆ’โˆ‡๐œ‘ โˆ’

1

๐‘

๐œ•๐ด

๐œ•๐‘ก= ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

รˆ particolarmente importante in questa trattazione riportare la gauge di Coulomb la cui

condizione รจ data da

โˆ‡ โˆ™ ๐ดโ€ฒ = 0 (1.13)

Ovvero bisogna operare una trasformazione di gauge tale che la funzione ๐›ฌ soddisfi

โˆ‡2๐›ฌ = โˆ’โˆ‡ โˆ™ ๐ด

Sostituendo la condizione (1.13) nellโ€™equazione (1.8) e lasciando cadere gli indici si ottiene

โˆ‡2๐œ‘ = โˆ’4๐œ‹๐œŒ (1.14)

Ovvero il potenziale scalare soddisfa lโ€™equazione di Poisson, la quale, in assenza di superfici di

contorno al finito, ammette come soluzione generale

๐œ‘(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = โˆซ๐œŒ(๐‘Ÿโ€ฒ, ๐‘ก)

|๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘Ÿโ€ฒ|๐‘‘3๐‘Ÿโ€ฒ (1.15)

Rimane adesso da risolvere lโ€™equazione che si ottiene sostituendo la condizione (1.13) nella

(1.10) ovvero

โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2โˆ’1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐œ‘ = โˆ’

4๐œ‹

๐‘๐‘— (1.16)

Questa si puรฒ riscrivere notando che ๐‘— puรฒ essere scomposto in una parte longitudinale a

rotore nullo ed in una parte trasversale solenoidale, ovvero a divergenza nulla

๐‘— = ๐‘—๐ฟ + ๐‘—๐‘‡ ๐‘๐‘œ๐‘› โˆ‡ ร— ๐‘—๐ฟ = 0 ๐‘’ โˆ‡ โˆ™ ๐‘—๐‘‡ = 0

In virtรน di questa decomposizione, applicando lโ€™operatore divergenza allโ€™equazione (1.16) si

ottiene

โˆ‡ โˆ™ (โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2โˆ’1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐œ‘) = โˆ’

4๐œ‹

๐‘โˆ‡ โˆ™ ๐‘—

โˆ‡ โˆ™ (โˆ’1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐œ‘) = โˆ’

4๐œ‹

๐‘โˆ‡ โˆ™ ๐‘—๐ฟ

1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐œ‘ =

4๐œ‹

๐‘๐‘—๐ฟ (1.17)

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Mentre applicando lโ€™operatore rotore alla (1.16) si ricava

โˆ‡ ร— (โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2โˆ’1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡๐œ‘) = โˆ’

4๐œ‹

๐‘โˆ‡ ร— ๐‘—

โˆ‡ ร— (โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2) = โˆ’

4๐œ‹

๐‘โˆ‡ ร— ๐‘—๐‘‡

โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2= โˆ’

4๐œ‹

๐‘๐‘—๐‘‡ (1.18)

Le equazioni (1.17) e (1.18) rappresentano, insieme allโ€™equazione (1.15), la soluzione per i

potenziali nel caso di gauge di Coulomb.

1.3 Campo elettromagnetico nel vuoto

Lโ€™energia del vuoto, come dice anche il nome, รจ un fenomeno che si verifica in assenza di

cariche e correnti (ovvero ๐œŒ = 0 ๐‘’ ๐‘— = 0). In queste condizioni le equazioni di Maxwell si

riducono a

โˆ‡ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = 0 (1.19)

โˆ‡ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = 0 (1.20)

โˆ‡ ร— ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) +1

๐‘

๐œ•๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๐œ•๐‘ก= 0 (1.21)

โˆ‡ ร— ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) โˆ’1

๐‘

๐œ•๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๐œ•๐‘ก= 0 (1.22)

che riscritte per i potenziali divengono

โˆ‡2๐œ‘ +1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡ โˆ™ ๐ด = 0 (1.23)

โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2โˆ’ โˆ‡(โˆ‡ โˆ™ ๐ด +

1

๐‘

๐œ•๐œ‘

๐œ•๐‘ก) = 0 (1.24)

Ora รจ possibile attuare una particolare gauge di coulomb avente le condizioni

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โˆ‡ โˆ™ ๐ด = 0 ๐‘’ ๐œ‘ = 0 (1.25)

di cui la seconda risulta immediatamente consistente con lโ€™ipotesi ฯ = 0 dallโ€™equazione (1.15).

Questa si definisce gauge di radiazione.

Da questa segue che le equazioni di Maxwell per i potenziali si riducono alla sola equazione

delle onde

โˆ‡2๐ด โˆ’1

๐‘2๐œ•2๐ด

๐œ•๐‘ก2= 0 (1.26)

Di seguito se ne ricava la soluzione che si rivelerร  utile successivamente.

Iniziamo esprimendo il potenziale vettore attraverso la sua trasformata di Fourier:

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ (1.27)

dove ๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) รจ lโ€™antitrasformata di Fourier definita come

๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ (1.28)

Sostituendo la trasformata (1.27) nella (1.26), lโ€™equazione diventa

โˆ’1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ (๐‘˜2๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) +

1

๐‘2๐œ•2

๐œ•๐‘ก2๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)) ๐‘’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ = 0

che risulta verificata se e solo se

๐œ”2๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) +๐œ•2

๐œ•๐‘ก2๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) = 0 (1.29)

dove si รจ posto ๐œ” = ๐‘˜๐‘. Questa ultima uguaglianza deriva dal fatto che il sistema delle funzioni

esponenziali รจ ortogonale e perciรฒ linearmente indipendente.

La soluzione generale di questโ€™ultima equazione (1.29), ottenuta per separazioni di variabili รจ

nella forma

๐’œ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) = ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ1(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–๐œ”๐‘ก + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ2(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–๐œ”๐‘ก (1.30)

Perciรฒ sostituendo questa equazione (1.30) nellโ€™espressione della trasformata (1.27) si ottiene

lโ€™espressione di A che risolve la (1.26)

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ [๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ1(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ2(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ+๐œ”๐‘ก)]

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e se al secondo membro di questโ€™espressione sostituiamo ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ con โˆ’ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ otteniamo

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ [๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ1(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ2(โˆ’๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)]

A questo punto, volendo che A sia reale e ricordando lโ€™uguaglianza ๐“ + ๐“โˆ— = 2โ„œ(๐“) ,

dobbiamo imporre la condizione

๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ2(โˆ’๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) = ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ1โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)

si trova in questo modo, lasciando cadere il pedice del coefficiente, la forma definitiva per il

potenziale vettore

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ [๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)] (1.31)

Lโ€™espressione cosรฌ ricavata rappresenta la sovrapposizione di onde piane di ampiezza ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ),

pulsazione ๐œ” e numero dโ€™onda ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ.

In particolare applicando la prima delle condizioni (1.25) si trova come queste siano onde

trasversali, la cui ampiezza di oscillazione รจ perpendicolare alla direzione di propagazione delle

onde stesse ovvero

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) = 0

Si puรฒ evidenziare questo comportamento introducendo i versori di polarizzazione

ํœ€1ฬ‚(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) e ํœ€2ฬ‚(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) tali da formare una terna ortogonale con ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ovvero

ํœ€1ฬ‚ โˆ™ ํœ€2ฬ‚ = ํœ€1ฬ‚ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = ํœ€2ฬ‚ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = 0, ํœ€1ฬ‚ ร— ํœ€2ฬ‚ =๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

๐‘˜

Le ampiezze ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) si possono quindi esprimere in funzione di essi come

๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) = ๐‘Ž1(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)ํœ€1ฬ‚ + ๐‘Ž2(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)ํœ€2ฬ‚ (1.32)

cosicchรฉ lโ€™espressione (1.31) si modifica in

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆ‘โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) [๐‘Ž๐‘—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๐‘Ž๐‘—โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)]

2

๐‘—=1

(1.33)

Dimostriamo ora come anche il campo elettrico e quello magnetico soddisfino lโ€™equazione

delle onde giร  vista per A. Sfruttando le espressioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto si

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verifica come applicando lโ€™operatore rotore alla legge di Faraday-Neumann (1.21) e sfruttando

lโ€™identitร  operatoriale (1.9) giร  adoprata per A si ottiene

โˆ‡(โˆ‡ โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) โˆ’ โˆ‡2๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ +1

๐‘

๐œ•

๐œ•๐‘กโˆ‡ ร— ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

da cui si arriva, una volta applicate le leggi di Gauss (1.19) e di Ampรจre (1.22), allโ€™espressione

โˆ‡2๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ โˆ’1

๐‘2๐œ•2๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

๐œ•๐‘ก2= 0 (1.34)

Applicando lโ€™operatore rotore alla legge (1.22) si giunge al medesimo risultato per il campo

magnetico

โˆ‡2๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ โˆ’1

๐‘2๐œ•2๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

๐œ•๐‘ก2= 0 (1.35)

In analogia con la (1.31) si deduce immediatamente che le soluzioni di queste due equazioni

sono nella forma

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ [โ„ฐโƒ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + โ„ฐโƒ—

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)] (1.36)

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ [โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ—

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)] (1.37)

e utilizzando le leggi di Maxwell (1.19), (1.20) e (1.21) si trova come per essere coerenti queste

espressioni debbano rappresentare una sovrapposizione di onde trasversali, cioรจ debbano

soddisfare

โ„ฐโƒ— โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ— โˆ™ ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = 0, โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ— =๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

๐‘˜ร— โ„ฐโƒ—

da cui si trova che ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, โ„ฐโƒ— e โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ— formano una terna di vettori ortogonali e che i moduli delle due

ampiezze dei campi sono uguali

|โ„ฐโƒ—| = |โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ—|

Utilizzando le espressioni (1.6) e (1.7) per esprimere i campi in funzione dei potenziali

elettromagnetici e ricordando che nella gauge di radiazione il potenziale scalare รจ nullo come

riportato nella seconda condizione (1.25) si ottengono le espressioni delle ampiezze dei campi

in funzione dellโ€™ampiezza del potenziale vettore

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โ„ฐโƒ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) = ๐‘–๐œ”

๐‘๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) (1.38)

โ„ฌโƒ—โƒ—โƒ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) = ๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ ร— ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) (1.39)

In questa maniera sostituendo le espressioni (1.38) e (1.39) appena trovate nelle equazioni

dei campi (1.36) e (1.37) e utilizzando la scomposizione nei versori di polarizzazione vista in

(1.32) si ottengono le forme definitive per il campo elettrico e quello magnetico nel vuoto

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =โˆ‘โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

(2๐œ‹)32โ„๐‘–๐œ”

๐‘ํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) [๐‘Ž๐‘—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๐‘Ž๐‘—โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)]

2

๐‘—=1

(1.40)

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =โˆ‘โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

(2๐œ‹)32โ„๐‘– (๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ ร— ํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)) [๐‘Ž๐‘—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๐‘Ž๐‘—โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)]

2

๐‘—=1

(1.41)

Questi, come giร  visto per il potenziale vettore, sono costituiti dalla sovrapposizione di infinite

onde piane trasversali e perciรฒ posseggono infiniti modi di oscillazione.

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Capitolo 2

Campo elettromagnetico quantizzato

La trattazione portata avanti finora, volta a dare le basi dei fenomeni di argomento di tesi, รจ

tuttavia insufficiente per poterli affrontare poichรฉ, come sarร  chiaro in seguito, essi sono di

natura prettamente quantistica. A questo proposito perciรฒ รจ indispensabile adoprare un

metodo di quantizzazione del campo che ci permetta di analizzare lโ€™energia del vuoto ed una

delle sue interessanti conseguenze, lโ€™effetto Casimir.

Si inizierร  trattando lโ€™oscillatore armonico quantistico tramite gli operatori di innalzamento e

abbassamento: un caso rilevante poichรฉ, come si dimostrerร  procedendo, รจ equivalente alla

quantizzazione dei campi. Si concluderร  infine applicando i risultati ottenuti al potenziale

vettore ricavato nel capitolo 1 ed ottenendo lโ€™Hamiltoniana quantistica del sistema.

2.1 Oscillatore armonico quantistico

Analizziamo adesso in breve il caso di un oscillatore armonico quantistico unidimensionale.

Lโ€™Hamiltoniana quantistica ha la stessa forma di quella classica

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘ =๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2

2๐‘š+1

2๐‘š๐œ”2๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2 (2.1)

dove in questo caso ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ sono gli operatori (hermitiani) associati alle osservabili quantitร  di

moto e posizione rispettivamente.

Le equazioni di Heisenberg per il moto hanno la stessa forma di quelle classiche di Hamilton

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ =1

๐‘–โ„[๐‘ž, ๐ป] =

๐‘

๐‘š

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ =1

๐‘–โ„[๐‘, ๐ป] = โˆ’๐‘š๐œ”2๐‘ž

che seguono dalla regola di commutazione [๐‘, ๐‘ž] โ‰ก ๐‘๐‘ž โˆ’ ๐‘ž๐‘ = ๐‘–โ„.

Definiamo ora gli operatori non hermitiani

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ =

1

โˆš2๐‘šโ„๐œ”(๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ โˆ’ ๐‘–๐‘š๐œ”๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ)

(2.2)

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e il suo aggiunto

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€  =1

โˆš2๐‘šโ„๐œ”(๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ + ๐‘–๐‘š๐œ”๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ) (2.3)

grazie ai quali gli operatori ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ possono essere riscritti come

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ = โˆš๐‘šโ„๐œ”

2(๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ) (2.4)

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ = ๐‘–โˆšโ„

2๐‘š๐œ”(๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ โˆ’ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ) (2.5)

Dalla relazione di commutazione [๐‘, ๐‘ž] = ๐‘–โ„ segue immediatamente che

[๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ] = 1 (2.6)

Le equazioni (2.4)-(2.6) ci permettono di riscrivere lโ€™Hamiltoniana (2.1) come

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘ =1

2โ„๐œ”(๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€  + ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ) = โ„๐œ” (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ +

1

2) (2.7)

I livelli energetici dellโ€™oscillatore armonico sono quindi determinati dagli autovalori

dellโ€™operatore hermitiano ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ โ‰ก ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ. Denotiamo gli autovalori di questo operatore e i loro

corrispettivi autovettori con ๐‘› e |๐‘›โŸฉ rispettivamente:

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = ๐‘›|๐‘›โŸฉ (2.8)

avendo normalizzato gli autovettori di modo che โŸจ๐‘›|๐‘›โŸฉ = 1.

Poichรฉ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ รจ hermitiano, i suoi autovalori saranno reali ed inoltre

๐‘› = โŸจ๐‘›|๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = โŸจ๐‘›|๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ)โ€ (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ) = โ€–๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉโ€– โ‰ฅ 0

per cui essi saranno anche non negativi.

Se calcoliamo lโ€™azione dellโ€™operatore ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ sul vettore |๐‘›โŸฉ otteniamo

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = โˆš๐‘›|๐‘› โˆ’ 1โŸฉ (2.9)

e similarmente per il suo aggiunto

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ |๐‘›โŸฉ = โˆš๐‘› + 1|๐‘› + 1โŸฉ (2.10)

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Per ovvie ragioni ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€  sono quindi chiamati operatori di abbassamento e innalzamento.

Notiamo che le azioni di questi operatori appena definite sono in totale coerenza con quanto

scritto precedentemente infatti

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = โˆš๐‘›๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ |๐‘› โˆ’ 1โŸฉ = ๐‘›|๐‘›โŸฉ

Lโ€™equazione (2.9) mostra che si possono generare autostati con autovalori sempre minori

tramite applicazioni successive dellโ€™operatore ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ. Per essere consistente con le conclusioni

precedenti, per cui gli autovalori sono non negativi, deve essere

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ|๐‘›โŸฉ = โˆš๐‘›|๐‘› โˆ’ 1โŸฉ = 0 ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘› < 1

quindi, poichรฉ questa condizione รจ verificata solo da ๐‘› = 0, gli autovalori dellโ€™operatore ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ

sono dati da tutti gli interi non negativi.

Visto che ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ commuta banalmente con ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘ scritta nellโ€™espressione (2.7), lo stato |๐‘›โŸฉ รจ

autostato anche di questโ€™ultima, con autovalore ๐ธ๐‘› che descrive lโ€™n-esimo livello energetico

dellโ€™oscillatore armonico. Lโ€™equazione agli autovalori per ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘ รจ quindi:

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘|๐‘›โŸฉ = ๐ธ๐‘›|๐‘›โŸฉ (2.11)

che esplicitando la forma di ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘ diventa

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘œ๐‘ ๐‘|๐‘›โŸฉ = โ„๐œ” (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ +

1

2) |๐‘›โŸฉ = โ„๐œ” (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ +

1

2) |๐‘›โŸฉ = โ„๐œ” (๐‘› +

1

2) |๐‘›โŸฉ

In conclusione perciรฒ gli autovalori dellโ€™energia ๐ธ๐‘› sono dati da

๐ธ๐‘› = โ„๐œ” (๐‘› +1

2) (2.12)

2.2 Equivalenza tra campo e oscillatore armonico

Vediamo adesso come ogni modo di oscillazione del campo elettromagnetico puรฒ essere visto

come un oscillatore armonico.

Torniamo a porci nel vuoto, in assenza di sorgenti, e ricordiamo che in queste condizioni le

equazioni di Maxwell sono espresse da (1.19)-(1.22). Se poi applichiamo nuovamente la gauge

di Coulomb otteniamo che il potenziale vettore deve soddisfare lโ€™equazione delle onde (1.26).

In questo paragrafo, per comoditร , ci concentreremo su un unico modo di oscillazione,

fisseremo quindi un unico ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ e lo tratteremo come costante tralasciando lโ€™integrale in esso1

visto precedentemente e lavorando quindi con un campo monocromatico.

1 Per evitare problemi di convergenza si limita il volume di integrazione della trasformata ad un cubo di lato L. Come si vedrร  nel prossimo

paragrafo questo si puรฒ attuare a patto che il vettore ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, usato per fare la trasformazione, rispetti delle condizioni di discretizzazione.

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Dopo aver fatto queste premesse, lโ€™equazione delle onde puรฒ essere risolta per separazione

delle variabili, assumendo come soluzione una funzione della forma

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐ด0(๐‘Ÿ)๐›ผ(๐‘ก) (2.13)

che sostituita nellโ€™equazione delle onde (1.26) porta alla seguente

๐›ผ(๐‘ก)โˆ‡2๐ด0(๐‘Ÿ) โˆ’1

๐‘2๐ด0(๐‘Ÿ)

๐œ•2๐›ผ(๐‘ก)

๐œ•๐‘ก2= 0

Dividendo per ๐ด0(๐‘Ÿ)๐›ผ(๐‘ก) si ottengono due termini a variabili separate: il primo dipendente

esclusivamente da quelle spaziali, il secondo da quella temporale

1

๐ด0(๐‘Ÿ)โˆ‡2๐ด0(๐‘Ÿ) โˆ’

1

๐‘21

๐›ผ(๐‘ก)

๐œ•2๐›ผ(๐‘ก)

๐œ•๐‘ก2= 0 (2.14)

Poichรฉ i due gruppi di variabili sono indipendenti lโ€™uno dallโ€™altro, affinchรฉ questa equazione

abbia soluzione entrambi i membri devono essere identicamente uguali alla stessa costante

che, per comoditร , indicheremo con โˆ’๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2. Cosรฌ facendo lโ€™equazione (2.14) si scinde in due

equazioni differenziali facilmente risolvibili.

๐ด0 deve soddisfare quella che viene chiamata equazione di Helmholtz:

โˆ‡2๐ด0(๐‘Ÿ) + ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2๐ด0(๐‘Ÿ) = 0 (2.15)

le cui soluzioni sono date da

๐ด0(๐‘Ÿ)ยฑ = ๐›ฝ๐‘’ยฑ๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ = ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)ยฑ (2.16)

Per quanto riguarda ๐›ผ(๐‘ก) essa deve invece soddisfare lโ€™equazione

๏ฟฝฬˆ๏ฟฝ(๐‘ก) = โˆ’๐œ”๐‘˜2๐›ผ(๐‘ก) ๐‘‘๐‘œ๐‘ฃ๐‘’ ๐œ”๐‘˜ = ๐‘|๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ| (2.17)

che ci porta a delle soluzioni nella forma

๐›ผ(๐‘ก)ยฑ = ๐›ผ๐‘˜(0)๐‘’โˆ“๐‘–๐œ”๐‘˜๐‘ก (2.18)

In questo modo il ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ scelto รจ evidentemente il vettore dโ€™onda.

In conclusione perciรฒ la separazione di variabili fornisce soluzioni monocromatiche per il

potenziale vettore, ottenute mettendo insieme i risultati di (2.16) e (2.18)

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐›ผ(๐‘ก)๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ) + ๐›ผโˆ—(๐‘ก)๐ด๐‘˜

โˆ— (๐‘Ÿ) = ๐›ผ๐‘˜(0)๐‘’โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜๐‘ก๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ) + ๐›ผ๐‘˜

โˆ—(0)๐‘’๐‘–๐œ”๐‘˜๐‘ก๐ด๐‘˜โˆ— (๐‘Ÿ) (2.19)

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In questa maniera, sfruttando le relazioni (1.6) e (1.7) che legano il campo elettrico e quello

magnetico al potenziale vettore, si ottengono le seguenti equazioni per i due campi

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = โˆ’1

๐‘[๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก)๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ) + ๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ

โˆ—(๐‘ก)๐ด๐‘˜โˆ— (๐‘Ÿ)] (2.20)

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐›ผ(๐‘ก)โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ) + ๐›ผโˆ—(๐‘ก)โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜

โˆ— (๐‘Ÿ) (2.21)

Ricordiamo ora che lโ€™Hamiltoniana del campo elettromagnetico, e di conseguenza la sua

energia, puรฒ essere scritta come2

๐ป๐‘’๐‘š =1

8๐œ‹โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2 + ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2) (2.22)

perciรฒ sostituendo le espressioni (2.20) e (2.21) nella (2.22), la parte dentro lโ€™integrale diventa

โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2 + ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2) =1

๐‘2๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก)2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ (๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ))

2

+1

๐‘2๏ฟฝฬ‡๏ฟฝโˆ—(๐‘ก)2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ (๐ด๐‘˜

โˆ— (๐‘Ÿ))2

+ 2

๐‘2|๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก)|2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ |๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)|

2+ ๐›ผ(๐‘ก)2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ [โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)]

2

+ ๐›ผโˆ—(๐‘ก)2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ [โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜โˆ— (๐‘Ÿ)]

2+ 2|๐›ผ(๐‘ก)|2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ |โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)|

2

(2.23)

Possiamo adesso assumere che3

โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ [โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)]2= ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ (๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ))

2

con espressioni simili per i termini che includono [โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜โˆ— (๐‘Ÿ)]

2 e |โˆ‡ ร— ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)|

2 nella (2.23).

Notiamo inoltre che, partendo dalla (2.18) si ha

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก) = โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜๐›ผ(๐‘ก) โ‡’ ๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก)2 = โˆ’๐œ”๐‘˜

2๐›ผ(๐‘ก)2 (2.24)

In questo modo la (2.22), che rappresenta lโ€™H di un campo monocromatico, si semplifica in

๐ป๐‘š๐‘ =1

8๐œ‹โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2 + ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2) =

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ2

2๐œ‹|๐›ผ(๐‘ก)|2 (2.25)

2 Questa formula puรฒ essere ricavata utilizzando i quadritensori della relativitร  ristretta di Einstein. Per approfondire si rimanda a V.

Barone, โ€œRelativitร โ€, Capitolo 10.10. 3 Per non appesantire troppo la trattazione non si รจ ritenuto necessario riportare tutte le considerazioni ed i calcoli svolti per giungere a

questa assunzione. Si rimanda il lettore interessato a P. W. Milonni, โ€œThe Quantum Vacuum, An Introduction to Quantum Electrodynamicsโ€, Appendice C.

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dove, senza perdita di generalitร , si suppone la funzione ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ) normalizzata come

โˆซ๐‘‘3๐‘Ÿ |๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)|2= 1 (2.26)

Definiamo ora le quantitร  reali

๐‘(๐‘ก) =๐‘˜

โˆš4๐œ‹[๐›ผ(๐‘ก) + ๐›ผโˆ—(๐‘ก)] (2.27)

๐‘ž(๐‘ก) =๐‘–

๐‘โˆš4๐œ‹[๐›ผ(๐‘ก) โˆ’ ๐›ผโˆ—(๐‘ก)] (2.28)

in termini delle quali lโ€™equazione (2.25) diventa

๐ป๐‘š๐‘ =1

2(๐‘2 + ๐œ”๐‘˜

2๐‘ž2) (2.29)

Questa notazione ovviamente ci suggerisce che il campo di frequenza fissata ๐œ”๐‘˜ sia

matematicamente equivalente ad un oscillatore armonico con la stessa frequenza avente

massa unitaria.

Per verificare questa affermazione dobbiamo dimostrare che ๐‘(๐‘ก) e ๐‘ž(๐‘ก) sono variabili

canonicamente coniugate, ovvero soddisfano il sistema canonico di Hamilton

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก) =๐œ•๐ป๐‘š๐‘๐œ•๐‘

= ๐‘(๐‘ก) (2.30)

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก) = โˆ’๐œ•๐ป๐‘š๐‘๐œ•๐‘ž

= โˆ’๐œ”๐‘˜2๐‘ž(๐‘ก) (2.31)

Per farlo basta tenere in considerazione (2.24) e derivare rispetto al tempo le espressioni

definite in (2.27) e (2.28)

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก) =๐‘–

๐‘โˆš4๐œ‹[โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜๐›ผ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘–๐œ”๐‘˜๐›ผ

โˆ—(๐‘ก)] =๐‘˜

โˆš4๐œ‹[๐›ผ(๐‘ก) + ๐›ผโˆ—(๐‘ก)] = ๐‘(๐‘ก)

๏ฟฝฬ‡๏ฟฝ(๐‘ก) =๐‘˜

โˆš4๐œ‹[โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜๐›ผ(๐‘ก) + ๐‘–๐œ”๐‘˜๐›ผ

โˆ—(๐‘ก)] = โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜2

๐‘โˆš4๐œ‹[๐›ผ(๐‘ก) โˆ’ ๐›ผโˆ—(๐‘ก)] = โˆ’๐œ”๐‘˜

2๐‘ž(๐‘ก)

per cui (2.30) e (2.31) risultano soddisfatte.

Possiamo a questo punto affermare che un campo elettromagnetico monocromatico di data

frequenza รจ del tutto equivalente ad un oscillatore armonico unidimensionale avente la stessa

frequenza.

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16

2.3 Quantizzazione del potenziale vettore

Nel primo capitolo abbiamo considerato il campo elettromagnetico nel vuoto senza nessuna restrizione e abbiamo osservato come questo comporti per il potenziale vettore una soluzione

data dalla sovrapposizione di infinite onde piane polarizzate linearmente nelle quali ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ varia con continuitร . Come accennato anche nel paragrafo precedente, il processo di quantizzazione del campo risulta tuttavia molto piรน agevole se si esprime il campo in funzione di un numero infinito ma discreto di variabili, in modo da poter stabilire una corrispondenza fra di esse e gli operatori dello spazio di Hilbert. Inoltre vorremmo che il potenziale vettore cosรฌ trovato sia normalizzato in accordo con la condizione posta in (2.26). Per fare ciรฒ si considera il campo elettromagnetico contenuto allโ€™interno di un cubo di volume ๐‘‰ = ๐ฟ3 le cui dimensioni sono molto maggiori delle quantitร  che ci interessano.

Ciรฒ ci consente di imporre delle condizioni al contorno periodiche cosรฌ da discretizzare ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐ด(๐‘Ÿ + ๐ฟ, ๐‘ก) (2.32)

Richiamiamo lโ€™equazione (1.31)

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ [๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก) + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘ก)]

e sfruttiamo la condizione di periodicitร  solo lungo x

๐ด(0, ๐‘ฆ, ๐‘ง, ๐‘ก) = ๐ด(๐ฟ, ๐‘ฆ, ๐‘ง, ๐‘ก) (2.33)

per ricavare lโ€™espressione discreta di ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ. In questo modo si ha, passando lโ€™integrale al volume del cubo, e sostituendo (2.33) nella (1.31)

1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ[๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง]

๐‘‰

=1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ[๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง]

๐‘‰

dove si รจ posto ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) = ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–๐œ”๐‘ก. Portando tutto al primo membro si ottiene

1

(2๐œ‹)32โ„โˆซ๐‘‘3๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ[๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง(1 โˆ’ ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ) + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง(1 โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ)]

๐‘‰

= 0

deve perciรฒ annullarsi la funzione integranda e chiamando

๐ถ = ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก)๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ง๐‘ง

si ottiene quindi

๐ถ(1 โˆ’ ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ) + ๐ถโˆ—(1 โˆ’ ๐‘’๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ) = 0 (2.34)

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Poichรฉ C รจ diverso da zero, perchรฉ lโ€™equazione (2.34) sia verificata devono necessariamente annullarsi i termini tra parentesi, ovvero deve essere

1 โˆ’ ๐‘’ยฑ๐‘–๐‘˜๐‘ฅ๐ฟ = 0

In questa maniera si ottengono dei valori discreti per ๐‘˜๐‘ฅ

๐‘˜๐‘ฅ =2๐œ‹

๐ฟ๐‘›๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘›๐‘ฅ = 0,ยฑ1,ยฑ2,โ€ฆ (2.35)

Facendo lo stesso ragionamento per gli assi y e z si ottiene infine

(๐‘˜๐‘ฅ, ๐‘˜๐‘ฆ, ๐‘˜๐‘ง) =2๐œ‹

๐ฟ(๐‘›๐‘ฅ, ๐‘›๐‘ฆ , ๐‘›๐‘ง) (2.36)

Ora che abbiamo discretizzato ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ possiamo passare dallโ€™integrale della trasformata di Fourier che avevamo ottenuto nellโ€™equazione (1.31) ad una somma arrivando a

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

โˆš๐‘‰โˆ‘[๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘˜๐‘ก) + ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ

โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘˜๐‘ก)]

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

(2.37)

Confrontando questa espressione con la (2.16) e (2.19) ricavate nel paragrafo precedente si nota subito come si siano fatte le sostituzioni

๐›ผ(๐‘ก) = ๐›ผ๐‘˜(0)๐‘’โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜๐‘ก = ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–๐œ”๐‘˜๐‘ก e ๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ) = ๐›ฝ๐‘’

๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ =1

โˆš๐‘‰๐‘’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ (2.38)

dove si รจ posta la costante ๐›ฝ =1

โˆš๐‘‰ per soddisfare la condizione di normalizzazione

โˆซ ๐‘‘3๐‘Ÿ|๐ด๐‘˜(๐‘Ÿ)|2

๐‘‰

= 1 (2.39)

Reintroducendo adesso i versori di polarizzazione, come fatto per ottenere lโ€™equazione (1.33), si ricava la forma del potenziale vettore

๐ด(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =1

โˆš๐‘‰โˆ‘โˆ‘ํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ) [๐‘Ž๐‘—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’

๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘˜๐‘ก) + ๐‘Ž๐‘—โˆ—(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’โˆ’๐‘–(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿโˆ’๐œ”๐‘˜๐‘ก)]

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.40)

Lโ€™espressione che abbiamo appena trovato rappresenta una generalizzazione di quanto fatto in precedenza ed in particolare descrive lโ€™estensione ad infiniti modi di oscillazione del potenziale vettore ottenuto in (2.19). Osservando la definizione ad esempio di ๐‘ž data dalla (2.5) e dalla (2.28) e sfruttando la sostituzione riportata in (2.38) si ottiene la seguente equivalenza (si sarebbe ottenuto lo stesso risultato sfruttando le definizioni date di ๐‘)

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๐‘–

๐‘โˆš4๐œ‹๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ)๐‘’๐‘–๐œ”๐‘˜๐‘ก = ๐‘–โˆš

โ„

2๐‘š๐œ”๐‘˜๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜(๐‘ก) โ‡’ ๏ฟฝโƒ—๏ฟฝ(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ, ๐‘ก) = โˆš

2๐œ‹โ„๐‘2

๐œ”๐‘˜๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜(๐‘ก) (2.41)

dove si รจ posto ๐‘š = 1 . In questo modo il potenziale vettore si puรฒ riscrivere in termini operatoriali come

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) =โˆ‘โˆ‘โˆš2๐œ‹โ„๐‘2

๐œ”๐‘˜๐‘‰ํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ,๐‘— [๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘ก)๐‘’

๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ + ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ]

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

=โˆ‘โˆ‘๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘Ÿ, ๐‘ก)

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.42)

In questo caso ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘ก) e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  (๐‘ก) sono gli operatori di distruzione e di creazione di fotoni4 per il

modo dโ€™oscillazione con vettore dโ€™onda k e polarizzazione j. Sfruttando il fatto che

โˆซ ๐‘‘3๐‘Ÿ[๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘Ÿ) โˆ™ ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜โ€ฒ,๐‘—โ€ฒโˆ— (๐‘Ÿ)]

๐‘‰

= ๐›ฟ๐‘˜,๐‘˜โ€ฒ(3)๐›ฟ๐‘—,๐‘—โ€ฒ (2.43)

possiamo trovare, usando le stesse analisi viste nelle sezioni precedenti, che lโ€™Hamiltoniana del campo elettromagnetico per gli infiniti modi di oscillazione del campo nel vuoto vale

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘š =โˆ‘โˆ‘โ„๐œ”๐‘˜ (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘— +

1

2)

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.44)

Notiamo subito che essa รจ separabile nei suoi modi di oscillazione infatti ponendo

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘— = โ„๐œ”๐‘˜ (๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘— +

1

2) (2.45)

si ottiene lโ€™Hamiltoniana del campo come somma delle Hamiltoniane di ogni modo

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘š =โˆ‘โˆ‘๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.46)

In secondo luogo possiamo calcolarne gli autovalori come

๐ธ๐‘› =โˆ‘โˆ‘โ„๐œ”๐‘˜ (๐‘›๐‘˜,๐‘— +1

2)

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.47)

poichรฉ gli autovalori di unโ€™Hamiltoniana separabile sono dati dalla somma degli autovalori di ogni singola Hamiltoniana componente.

4 Spiegheremo il significato di questa denominazione nel prossimo capitolo.

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Infine unโ€™ultima osservazione che possiamo fare รจ che lโ€™espressione (2.44) descrive lโ€™Hamiltoniana di un numero infinito di oscillatori armonici unidimensionali disaccoppiati. Questo implica che ogni modo di oscillazione ha i suoi operatori di creazione e distruzione

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘— e poichรฉ i modi sono tra loro indipendenti, gli operatori soddisfano le seguenti

relazioni di commutazione

[๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘ก), ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜โ€ฒ, ๐‘—โ€ฒโ€  (๐‘ก)] = ๐›ฟ

๐‘˜,๐‘˜โ€ฒ(3)๐›ฟ๐‘—,๐‘—โ€ฒ (2.48)

[๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘ก), ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜โ€ฒ,๐‘—โ€ฒ(๐‘ก)] = [๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  (๐‘ก), ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ

๐‘˜โ€ฒ, ๐‘—โ€ฒโ€  (๐‘ก)] = 0 (2.49)

Infine, a partire dalla (2.42) il campo elettrico e quello magnetico possono essere riscritti come

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐‘–โˆ‘โˆ‘โˆš2๐œ‹โ„๐œ”๐‘˜๐‘‰

ํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ,๐‘— [๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘ก)๐‘’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ + ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—

โ€  (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ]

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.50)

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ(๐‘Ÿ, ๐‘ก) = ๐‘–โˆ‘โˆ‘โˆš2๐œ‹โ„๐‘2

๐œ”๐‘˜๐‘‰(๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ ร— ํœ€๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ,๐‘—) [๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—(๐‘ก)๐‘’

๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ + ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  (๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘–๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝโˆ™๐‘Ÿ]

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(2.51)

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20

Capitolo 3

Energia del vuoto ed effetto Casimir

Come vedremo in questo capitolo la teoria quantistica del campo elettromagnetico evidenzia

lโ€™esistenza di unโ€™energia di punto zero, ovvero lโ€™esistenza nel vuoto di fluttuazioni del campo

anche in assenza di sorgenti. I risvolti di questo risultato sono notevoli: vari fenomeni infatti,

tra cui in particolare lโ€™effetto Casimir qui approfondito, non possono essere spiegati attraverso

la fisica classica perchรฉ sono da attribuire interamente ed esclusivamente ad interazioni di

tipo quantistico.

In questo capitolo si parlerร  inizialmente dellโ€™energia di punto zero e si faranno alcune

considerazioni riguardo ad essa, per poi trattare quello che รจ lโ€™effetto Casimir.

Lโ€™effetto Casimir si manifesta come un'interazione fra due conduttori, legata alle condizioni al contorno imposte dal sistema al campo magnetico quantizzato. Casimir, predisse teoricamente il fenomeno studiando due lastre infinite conduttrici scariche poste nel vuoto. Cosรฌ facendo determinรฒ la presenza di una forza attrattiva fra di esse che รจ da attribuire alla differente energia di punto zero presente allโ€™interno e delle lastre e quella nello spazio circostante. Si tratterร  il fenomeno prima con un calcolo standard, considerando le energie di vuoto tra le lastre e nello spazio circostante, e poi se ne darร  unโ€™interpretazione legata alla pressione esercitata dalle fluttuazioni di vuoto sulle superfici conduttrici, o, in altri termini, legata alla pressione dovuta alla riflessione di fotoni virtuali dello stato di vuoto sulle lastre conduttrici.

3.1 Energia di punto zero

Riprendiamo per un momento gli autovalori dellโ€™energia per lโ€™oscillatore armonico

(formalmente identici a quelli per un campo monocromatico) riportati nellโ€™espressione (2.12)

๐ธ๐‘› = โ„๐œ” (๐‘› +1

2)

Notiamo come la differenza tra due livelli successivi sia data da

โˆ†๐ธ = ๐ธ๐‘›+1 โˆ’ ๐ธ๐‘› = โ„๐œ” = โ„Ž๐œˆ (3.1)

Questo valore รจ di particolare importanza perchรฉ nellโ€™ipotesi quantistica per cui lโ€™energia non

varia con continuitร  ma in maniera discreta, esso รจ uguale a quello che inizialmente veniva

chiamato quanto di energia, oggi conosciuto come fotone. Lโ€™energia di un fotone, come

supposto da Planck, รจ legata alla frequenza della radiazione ฮฝ, ed รจ data da

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21

ํœ€๐›พ = โ„Ž๐œˆ = โ„๐œ” (3.2)

per cui la radiazione elettromagnetica puรฒ essere vista come un insieme di fotoni. Lโ€™energia

totale di un campo elettromagnetico รจ data quindi dalla somma delle energie dei fotoni che

lo compongono.

Se ci limitiamo al caso monocromatico ciรฒ รจ evidente confrontando la (3.1) e la (3.2). Infatti il

salto minimo tra due livelli di energia adiacenti รจ dato proprio dallโ€™energia di un fotone, il che

significa che ogni livello successivo di energia si forma aggiungendo un fotone a quello

precedente. In questa ottica il numero quantico ๐‘› presente in ๐ธ๐‘› rappresenta quindi il

numero di fotoni contenuti nel campo. Cosรฌ lโ€™azione degli operatori ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€  puรฒ essere vista

come la distruzione o la creazione di un fotone rispettivamente, ciรฒ giustifica la

denominazione di operatori di creazione e distruzione di fotoni.

Analizziamo ora il caso in cui ๐‘› = 0, lโ€™energia del campo monocromatico diventa

๐ธ0 =1

2โ„๐œ” (3.3)

Questa energia dello stato fondamentale รจ detta energia di punto zero.

Questo risultato ci fa capire che non รจ possibile ridurre la quantizzazione del campo

monocromatico alla sola esistenza dei fotoni poichรฉ questa energia รจ presente in assenza di

essi e deve quindi dipendere da qualcosโ€™altro: il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Lโ€™energia di punto zero, infatti, รจ legata allโ€™impossibilitร  di conoscere contemporaneamente e

con esattezza le osservabili da cui dipende lโ€™Hamiltoniana poichรฉ i corrispettivi operatori

quantistici associati non commutano fra di loro. Questo comporta unโ€™oscillazione dei valori di

queste osservabili attorno al valore atteso calcolato su un autostato.

Utilizziamo per semplicitร  lโ€™espressione (2.29) dellโ€™Hamiltoniana di un campo monocromatico

espressa in funzione di ๐‘ e ๐‘ž in termini operatoriali e troviamo il suo valor medio.

Notiamo che gli operatori ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ per il campo elettromagnetico monocromatico non hanno un

vero e proprio senso fisico, cioรจ non sono riconducibili a delle osservabili, ma grazie ad essi la

dimostrazione che lโ€™energia del vuoto dipende da fluttuazioni dellโ€™Hamiltoniana valutate

attorno allo stato fondamentale risulta molto piรน immediata

โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘š๐‘โŸฉ =1

2โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2โŸฉ +

1

2๐œ”2โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2โŸฉ (3.4)

Poichรฉ il potenziale รจ simmetrico si ha che โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโŸฉ = 0 e ogni stato legato ha โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโŸฉ = 0 perciรฒ

ricordando la definizione di varianza

(โˆ†๐‘ž)2 = โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2โŸฉ โˆ’ โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโŸฉ2 = โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2โŸฉ (3.5)

(โˆ†๐‘)2 = โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2โŸฉ โˆ’ โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโŸฉ2 = โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ2โŸฉ (3.6)

possiamo sostituire questa nellโ€™espressione (3.4) del valor medio dellโ€™Hamiltoniana ottenendo

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โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘š๐‘โŸฉ =1

2(โˆ†๐‘)2 +

1

2๐œ”2(โˆ†๐‘ž)2 (3.7)

E visto che ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ sono variabili canonicamente coniugate soddisfano la relazione di

indeterminazione

โˆ†๐‘ โˆ™ โˆ†๐‘ž โ‰ฅโ„

2 (3.8)

che per lo stato fondamentale dellโ€™oscillatore armonico (e analogamente del campo

monocromatico) vale con il segno uguale poichรฉ esso รจ uno stato di minima indeterminazione.

Puรฒ essere quindi riscritta come

โˆ†๐‘ =โ„

2โˆ†๐‘ž

Sostituendo lโ€™espressione appena ottenuta nel valor medio dellโ€™Hamiltoniana si ottiene

โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘š๐‘โŸฉ =โ„2

8(โˆ†๐‘ž)2+1

2๐œ”2(โˆ†๐‘ž)2 (3.9)

Il minimo di questa espressione, che equivale a mettersi nello stato fondamentale, si ha per

(โˆ†๐‘ž)๐‘š๐‘–๐‘› =โ„

2๐œ” (3.10)

valore per il quale si ha

โŸจ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘š๐‘โŸฉ =1

2โ„๐œ” (3.11)

che รจ proprio lโ€™energia di punto zero del campo monocromatico.

Passiamo adesso al caso in cui consideriamo tutti i modi di oscillazione del campo, perciรฒ

partendo da (2.44) e indicando con |0โŸฉ lo stato fondamentale otteniamo unโ€™energia di punto

zero pari a

โŸจ0|๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘š|0โŸฉ = ๐ธ0 =โˆ‘โˆ‘1

2โ„๐œ”๐‘˜

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(3.12)

Questo risultato รจ particolarmente interessante perchรฉ questa sommatoria diverge: perciรฒ

non solo lโ€™energia di punto zero del campo elettromagnetico quantistico non รจ nulla, ma รจ

addirittura infinita! Questo problema puรฒ comunque essere risolto da un punto di vista

formale perchรฉ le fluttuazioni del vuoto contribuiscono solamente con delle costanti

aggiuntive alla misura dei valori medi. Questo perchรฉ lโ€™intero universo รจ immerso in un campo

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elettromagnetico di punto zero perciรฒ le misurazioni fisiche rilevano solamente delle

deviazioni dallo stato di vuoto.

Basta quindi ridefinire e rinormalizzare lo zero dellโ€™energia inglobando queste costanti nella

definizione dellโ€™Hamiltoniana (2.44) per eliminarne (formalmente) questo contributo senza

influenzare alcuna previsione fisica della teoria

๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘šโ€ฒ = ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘š โˆ’ โŸจ0|๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘š|0โŸฉ =โˆ‘โˆ‘โ„๐œ”๐‘˜๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—

โ€  ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ

2

๐‘—=1

(3.13)

In questo modo infatti si ha

โŸจ0|๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘šโ€ฒ |0โŸฉ = 0 (3.14)

dove lโ€™Hamiltoniana appena ridefinita, ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘’๐‘šโ€ฒ , รจ detta ordinata normalmente (o ordinata alla

Wick). Come รจ subito visibile da (3.14) tramite essa il contributo del termine di punto zero รจ

totalmente eliminato. In aggiunta, un motivo ulteriore per cui questa ridefinizione รจ lecita รจ

quello per cui questa energia costante commuta banalmente con lโ€™operatore ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘—โ€  ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ๐‘˜,๐‘— perciรฒ

non puรฒ avere alcun effetto sulla dinamica quantistica descritta dalle equazioni del moto di

Heisenberg.

Nonostante le considerazioni fatte fino a questo momento il contributo dellโ€™energia di punto

zero non sempre รจ trascurabile infatti essa dipende dai modi di oscillazione del campo.

Questo comporta che avendo una regione di spazio con zone in cui sono permessi modi di

oscillazione diversi, tra di esse vi sarร  una differenza di energia dovuta proprio alla differente

energia di vuoto delle zone.

Lโ€™effetto Casimir approfondito nel prossimo paragrafo si basa esattamente su questo

concetto.

3.2 Effetto Casimir: derivazione geometrica

Casimir mostrรฒ nel 1948 che una conseguenza del campo di punto zero รจ lโ€™esistenza di una

forza attrattiva tra due lastre infinite parallele, neutre e perfettamente conduttrici poste nel

vuoto. Lโ€™espressione di questa forza si ricava in via teorica considerando un campo

elettromagnetico nel vuoto allโ€™interno di un parallelepipedo di dimensioni ๐ฟ๐‘ฅ = ๐ฟ๐‘ฆ = ๐ฟ e ๐ฟ๐‘ง

costituito da due lastre piane perfettamente conduttrici di superficie ๐ฟ2 e distanti fra loro

๐ฟ๐‘ง = ๐‘‘; successivamente si farร  tendere ๐ฟ ad infinito di modo che le lastre diventino due

lastre infinite. La configurazione appena descritta รจ riportata nella figura 3.1 a pagina

seguente.

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Figura 3.1: configurazione delle lastre nel vuoto.

Affinchรฉ sia rispettata la condizione di lastre perfettamente conduttrici, la componente tangenziale del campo elettrico deve annullarsi su di esse e ciรฒ comporta la stessa condizione per il potenziale vettore poichรฉ, trovandoci in gauge di Coulomb, questo รจ legato al campo elettrico dalla legge

๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ = โˆ’1

๐‘

๐œ•๐ด

๐œ•๐‘ก

Si generano cosรฌ delle onde stazionarie poichรฉ la componente tangenziale delle onde ha dei nodi fissi sulle lastre conduttrici. In questa maniera il potenziale vettore relativo ad un singolo modo di oscillazione assume la forma

๐ด(๐‘Ÿ) = ๐ด๐‘ฅ(๐‘Ÿ)๐‘–ฬ‚ + ๐ด๐‘ฆ(๐‘Ÿ)๐‘—ฬ‚ + ๐ด๐‘ง(๐‘Ÿ)๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ (3.15)

dove ๐‘–ฬ‚, ๐‘—ฬ‚, ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ sono i versori relativi agli assi ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง rispettivamente ed ogni singola componente รจ scritta come

๐ด๐‘ฅ(๐‘Ÿ) = โˆš8

๐‘‰๐‘Ž๐‘ฅ cos(๐‘˜๐‘ฅ๐‘ฅ) sin(๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ) sin(๐‘˜๐‘ง๐‘ง) (3.16)

๐ด๐‘ฆ(๐‘Ÿ) = โˆš8

๐‘‰๐‘Ž๐‘ฆ sin(๐‘˜๐‘ฅ๐‘ฅ) cos(๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ) sin(๐‘˜๐‘ง๐‘ง) (3.17)

๐ด๐‘ง(๐‘Ÿ) = โˆš8

๐‘‰๐‘Ž๐‘ง sin(๐‘˜๐‘ฅ๐‘ฅ) sin(๐‘˜๐‘ฆ๐‘ฆ) cos(๐‘˜๐‘ง๐‘ง) (3.18)

con ๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘Ž๐‘ฆ

2 + ๐‘Ž๐‘ง2 = 1, il volume dato da ๐‘‰ = ๐ฟ2๐‘‘ e ๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ soddisfa le condizioni al contorno

๐‘˜๐‘ฅ =๐‘™๐œ‹

๐ฟ, ๐‘˜๐‘ฆ =

๐‘š๐œ‹

๐ฟ, ๐‘˜๐‘ง =

๐‘›๐œ‹

๐‘‘ (3.19)

L d

L

x

y

z

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dove ๐‘™, ๐‘š e ๐‘› possono assumere come valori tutti gli interi positivi e lo zero.

Poichรฉ queste funzioni devono anche soddisfare la condizione di trasversalitร  โˆ‡ โˆ™ ๐ด = 0 data dalla gauge di Coulomb e giร  vista in (1.25) si deve anche richiedere che

๐‘˜๐‘ฅ๐ด๐‘ฅ + ๐‘˜๐‘ฆ๐ด๐‘ฆ + ๐‘˜๐‘ง๐ด๐‘ง =๐œ‹

๐ฟ(๐‘™๐ด๐‘ฅ +๐‘š๐ด๐‘ฆ) +

๐œ‹

๐‘‘(๐‘›๐ด๐‘ง) = 0 (3.20)

Perciรฒ notiamo che ci sono due polarizzazioni indipendenti a meno che uno tra ๐‘™, ๐‘š, ๐‘› รจ nullo nel qual caso la (3.20) indica che ce nโ€™รจ solo una. Inoltre le espressioni (3.16)-(3.18) soddisfano la condizione di normalizzazione (2.39), cioรจ

โˆซ ๐‘‘3๐‘Ÿ|๐ด(๐‘Ÿ)|2

๐‘‰

= โˆซ ๐‘‘๐‘ฅโˆซ ๐‘‘๐‘ฆโˆซ ๐‘‘๐‘ง[๐ด๐‘ฅ2(๐‘Ÿ) + ๐ด๐‘ฆ

2(๐‘Ÿ) + ๐ด๐‘ง2(๐‘Ÿ)]

๐‘‘

0

= 1๐ฟ

0

๐ฟ

0

(3.21)

In realtร  tutto ciรฒ che ci serve per calcolare la forza di Casimir sono le pulsazioni permesse dal sistema definite a partire dalla (3.19)

๐œ”๐‘™๐‘›๐‘š = ๐‘|๏ฟฝโƒ—โƒ—๏ฟฝ๐‘™๐‘š๐‘›| = ๐œ‹๐‘โˆš๐‘™2

๐ฟ2+๐‘š2

๐ฟ2+๐‘›2

๐‘‘2 (3.22)

In funzione di queste lโ€™energia di punto zero del campo allโ€™interno delle piastre puรฒ quindi trovata come

๐ธ0 = 2 โˆ‘1

2

โ€ฒ

๐‘™,๐‘š,๐‘›

= โˆ‘ โ„๐œ‹๐‘โˆš๐‘™2

๐ฟ2+๐‘š2

๐ฟ2+๐‘›2

๐‘‘2

โ€ฒ

๐‘™,๐‘š,๐‘›

(3.23)

dove il fattore 2 davanti alla sommatoria tiene conto delle due possibili polarizzazioni indipendenti nel caso ๐‘™, ๐‘š, ๐‘› โ‰  0 mentre il primo sopra il simbolo di sommatoria ci ricorda che

va inserito un fattore 1

2 nel caso in cui uno tra ๐‘™, ๐‘š, ๐‘› sia zero poichรฉ, come giร  detto, si avrebbe

una sola polarizzazione. Poichรฉ nella situazione fisica che ci interessa ๐ฟ โ‰ซ ๐‘‘ possiamo pensare di far tendere le dimensioni delle lastre a infinito e sostituire le somme su ๐‘™ e ๐‘š della (3.23) con degli integrali mantenendo inalterata la distanza ๐‘‘ fra di esse. Per fare ciรฒ usando ad esempio ๐‘˜๐‘ฅ (considerando che per ๐‘˜๐‘ฆ il ragionamento รจ lo stesso)

calcoliamo quanto vale โˆ†๐‘˜๐‘ฅ

โˆ†๐‘˜๐‘ฅ = ๐‘˜๐‘ฅ(๐‘™ + 1) โˆ’ ๐‘˜๐‘ฅ(๐‘™) =(๐‘™ + 1)๐œ‹

๐ฟโˆ’๐‘™๐œ‹

๐ฟ=๐œ‹

๐ฟ

Quindi possiamo passare dalla somma allโ€™integrale nel seguente modo

โˆ‘๐น(๐‘˜๐‘ฅ)

๐‘˜๐‘ฅ

=โˆ‘๐น(๐‘˜๐‘ฅ)

๐‘˜๐‘ฅ

โˆ†๐‘˜๐‘ฅโˆ†๐‘˜๐‘ฅ

=๐ฟ

๐œ‹โˆ‘๐น(๐‘˜๐‘ฅ)โˆ†๐‘˜๐‘ฅ๐‘˜๐‘ฅ

โˆ†๐‘˜๐‘ฅ โ†’ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅโ†’

๐ฟ

๐œ‹โˆซ๐น(๐‘˜๐‘ฅ)๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ (3.24)

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Per cui la somma generale vista finora diventa

โˆ‘ โ†’

โ€ฒ

๐‘™,๐‘š,๐‘›

โˆ‘๐ฟ2

๐œ‹2

โ€ฒ

๐‘›

โˆฌ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆ (3.25)

in termini della quale lโ€™espressione dellโ€™energia (3.23) diventa

๐ธ(๐‘‘) =๐ฟ2

๐œ‹2โ„๐‘โˆ‘โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ

โˆž

0

โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆโˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 +๐‘›2๐œ‹2

๐‘‘2

โˆž

0

โ€ฒ

๐‘›

(3.26)

Si nota che questa espressione diverge ancora perciรฒ lโ€™energia di punto zero รจ infinita in un qualsiasi volume finito. Se vogliamo calcolare lโ€™energia di punto zero allโ€™esterno delle piastre basta mandare anche ๐‘‘ ad infinito perciรฒ con le stesse considerazioni di prima si ottiene

๐ธ(โˆž) =๐ฟ2๐‘‘

๐œ‹3โ„๐‘ โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ

โˆž

0

โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ง

โˆž

0

โˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 + ๐‘˜๐‘ง2โˆž

0

(3.27)

che รจ anchโ€™essa infinita. Abbiamo quindi due diverse energie in due regioni adiacenti dello

spazio. Questa differenza di energia ๐‘ˆ(๐‘‘) = ๐ธ(๐‘‘) โˆ’ ๐ธ(โˆž) รจ lโ€™energia potenziale delle due

piastre quando queste sono poste a distanza ๐‘‘ lโ€™una dallโ€™altra

๐‘ˆ(๐‘‘) =๐ฟ2โ„๐‘

๐œ‹2[โˆ‘โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ

โˆž

0

โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆโˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 +๐‘›2๐œ‹2

๐‘‘2

โˆž

0

โ€ฒ

๐‘›

โˆ’๐‘‘

๐œ‹โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ

โˆž

0

โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ง

โˆž

0

โˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ

2 + ๐‘˜๐‘ง2

โˆž

0

]

(3.28)

In coordinate polari ๐œŒ, ๐œƒ nel piano ๐‘˜๐‘ฅ๐‘˜๐‘ฆ, poichรฉ il differenziale diventa ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆ = ๐œŒ๐‘‘๐œŒ๐‘‘๐œƒ, si

ricava

๐‘ˆ(๐‘‘) =๐ฟ2โ„๐‘

๐œ‹2(๐œ‹

2) [โˆ‘โˆซ ๐œŒโˆš๐œŒ2 +

๐‘›2๐œ‹2

๐‘‘2๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

โ€ฒ

๐‘›

โˆ’๐‘‘

๐œ‹โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘งโˆซ ๐œŒโˆš๐œŒ2 + ๐‘˜๐‘ง2 ๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

โˆž

0

] (3.29)

dove si รจ giร  integrato in ๐œƒ definito nellโ€™intervallo [0,๐œ‹

2] poichรฉ ๐‘˜๐‘ฅ, ๐‘˜๐‘ฆ > 0.

Lโ€™espressione (3.29) รจ tuttavia la differenza tra due quantitร  infinite.

Per ovviare a questo problema si puรฒ fare una considerazione di carattere prettamente fisico

che ci condurrร , sotto opportune ipotesi, ad un risultato finito.

Allโ€™inizio di questo paragrafo abbiamo supposto di lavorare con due lastre perfettamente

conduttrici, ipotesi che, a livello fisico, non รจ piรน valida superate determinate frequenze.

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Quello che si sta affermando รจ che anche i migliori conduttori ad alte frequenze diventano

trasparenti alla radiazione. Questo implica che superata una determinata pulsazione indicata

con ๐œ”๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ = ๐‘๐‘˜๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ non si hanno piรน le condizioni a contorno usate per determinare i modi di

oscillazione particolari presenti allโ€™interno delle piastre perciรฒ essi risultano identici a quelli

presenti allโ€™esterno. In particolare questo รจ vero per lunghezze dโ€™onda confrontabili con le

dimensioni atomiche perciรฒ possiamo supporre ๐‘˜๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ โ‰ˆ1

๐‘Ž0 dove ๐‘Ž0 รจ il raggio di Bohr.

Stiamo in conclusione assumendo che lโ€™effetto Casimir sia principalmente un fenomeno non

relativistico di bassa frequenza.

A questo scopo possiamo introdurre allโ€™interno di (3.29) una funzione di cut-off definita come

๐‘“(๐‘˜) = ๐‘“ (โˆš๐œŒ2 + ๐‘˜๐‘ง2) = {1 ๐‘ ๐‘’ ๐‘˜ โ‰ช ๐‘˜๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ

0 ๐‘ ๐‘’ ๐‘˜ โ‰ซ ๐‘˜๐‘š๐‘Ž๐‘ฅ (3.30)

Sostituiamo quindi la (3.29) con

๐‘ˆ(๐‘‘) =๐ฟ2โ„๐‘

2๐œ‹[โˆ‘โˆซ ๐œŒโˆš๐œŒ2 +

๐‘›2๐œ‹2

๐‘‘2 ๐‘“ (โˆš๐œŒ2 +

๐‘›2๐œ‹2

๐‘‘2)๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

โ€ฒ

๐‘›

โˆ’๐‘‘

๐œ‹โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘งโˆซ ๐œŒโˆš๐œŒ2 + ๐‘˜๐‘ง2 ๐‘“ (โˆš๐œŒ2 + ๐‘˜๐‘ง2) ๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

โˆž

0

]

(3.31)

Definiamo due nuove variabili dโ€™integrazione

๐‘ฅ =๐œŒ2๐‘‘2

๐œ‹2 e ๐œ‡ =

๐‘˜๐‘ง๐‘‘

๐œ‹

in funzione delle quali la (3.31) diventa

๐‘ˆ(๐‘‘) =๐ฟ2โ„๐‘

2๐œ‹(๐œ‹3

2๐‘‘3) [โˆ‘โˆซ โˆš๐‘ฅ + ๐‘›2 ๐‘“ (

๐œ‹

๐‘‘โˆš๐‘ฅ + ๐‘›2)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

โ€ฒ

๐‘›

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡โˆซ โˆš๐‘ฅ + ๐œ‡2 ๐‘“ (๐œ‹

๐‘‘โˆš๐‘ฅ + ๐œ‡2)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

โˆž

0

]

(3.32)

Possiamo subito notare come i due pezzi della differenza siano cosรฌ formalmente identici.

Possiamo quindi esprimerli tramite la stessa funzione

๐บ(๐œ‡) โ‰ก โˆซ โˆš๐‘ฅ + ๐œ‡2 ๐‘“ (๐œ‹

๐‘‘โˆš๐‘ฅ + ๐œ‡2)๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

(3.33)

In questi termini riscriviamo la (3.32) come

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๐‘ˆ(๐‘‘) =๐œ‹2โ„๐‘๐ฟ2

4๐‘‘3[1

2๐บ(0) +โˆ‘๐บ(๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡ ๐บ(๐œ‡)โˆž

0

] (3.34)

dove si รจ portato fuori dalla somma il termine in cui ๐‘› = 0 per esplicitare lโ€™azione del primo posto sopra la sommatoria. In accordo con la formula di Eulero-Maclaurin5 si ha

โˆ‘๐บ(๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡ ๐บ(๐œ‡)โˆž

0

= โˆ’1

2๐บ(0) โˆ’

1

12๐บโ€ฒ(0) +

1

720๐บโ€ฒโ€ฒโ€ฒ(0)โ€ฆ (3.35)

ricordando che la funzione di cut-off ammazza il comportamento allโ€™infinito ovvero si ha che ๐บ(โˆž) โ†’ 0. Per calcolare le derivate della funzione ๐บ(๐œ‡) adoperiamo il cambiamento di variabile ๐‘ค = ๐‘ฅ + ๐œ‡2 tenendo conto che cosรฌ facendo lโ€™estremo inferiore di integrazione passa da 0 a ๐œ‡2

๐บ(๐œ‡) = โˆซ โˆš๐‘ค ๐‘“ (๐œ‹

๐‘‘โˆš๐‘ค)๐‘‘๐‘ค

โˆž

๐œ‡2=2

3๐‘ค32โ„ ๐‘“ (

๐œ‹

๐‘‘โˆš๐‘ค)|

๐œ‡2

โˆž

= โˆ’2

3๐œ‡3 ๐‘“ (

๐œ‹

๐‘‘๐œ‡) (3.36)

In questo modo le derivate si calcolano facilmente e, valutate in zero, danno come valori

๐บโ€ฒ(๐œ‡) = โˆ’2๐œ‡2 ๐‘“ (๐œ‹

๐‘‘๐œ‡) โ‡’ ๐บโ€ฒ(0) = 0 e ๐บโ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐œ‡) = โˆ’4 ๐‘“ (

๐œ‹

๐‘‘๐œ‡) โ‡’ ๐บโ€ฒโ€ฒโ€ฒ(0) = โˆ’4

mentre tutte le derivate di ordine superiore sono nulle. Perciรฒ la (3.35) diventa

โˆ‘๐บ(๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡ ๐บ(๐œ‡)โˆž

0

= โˆ’1

2๐บ(0) โˆ’

4

720

e inserendola nellโ€™espressione dellโ€™energia potenziale (3.34) si ottiene infine

๐‘ˆ(๐‘‘) =๐œ‹2โ„๐‘๐ฟ2

4๐‘‘3(โˆ’

4

720) = โˆ’(

๐œ‹2โ„๐‘

720๐‘‘3) ๐ฟ2 (3.37)

che รจ unโ€™espressione finita ed indipendente dalla funzione di cut-off. Possiamo adesso calcolare la forza per unitร  di superficie definita come

๐น(๐‘‘) = โˆ’1

๐ฟ2๐œ•๐‘ˆ(๐‘‘)

๐œ•๐‘‘= โˆ’

๐œ‹2โ„๐‘

240๐‘‘4 (3.38)

A questa ci si riferisce comunemente con il nome di Forza di Casimir (nonostante abbia le dimensioni di una forza per unitร  di superficie, ovvero di una pressione) perciรฒ le due piastre conduttrici sono attratte lโ€™una allโ€™altra. Una schematizzazione di questโ€™effetto si puรฒ osservare nella figura 3.2 a pagina seguente.

5 Si veda a tal proposito M. Abramowitz e I. A. Stegun, โ€œHandbook of Mathematical Functionsโ€, formula 3.6.28.

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Prima di concludere questo paragrafo possiamo fare due osservazioni riguardo al risultato appena ottenuto: per prima cosa si puรฒ notare come esso dipenda da ๐‘‘โˆ’4 ovvero sia riscontrabile solo per distanze ๐‘‘ molto piccole. In secondo luogo vediamo che questo risultato dipende da โ„, il che ci conferma la natura esclusivamente quantistica di questo fenomeno. Volendo infatti trovare la forza di Casimir in unโ€™approssimazione classica bisognerebbe operare il limite โ„ โ†’ 0, operazione che implicherebbe ๐น(๐‘‘) โ†’ 0. Perciรฒ questo fenomeno รจ assente classicamente.

Figura 3.2: schematizzazione dellโ€™effetto Casimir.

3.3 Effetto Casimir: approccio di Milonni, Cook e Goggin

Allโ€™inizio di questo capitolo abbiamo visto come gli operatori ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝโ€  e ๏ฟฝฬ‚๏ฟฝ possano essere chiamati

di creazione e distruzione poichรฉ la loro azione รจ quella di creare o distruggere un fotone che

popola il modo di oscillazione sul quale agiscono.

Lo scienziato Paul Dirac suppose che, invece di essere creati, questi fotoni emergessero dallo

stato di vuoto e invece di essere distrutti ritornassero lร . Poichรฉ non cโ€™รจ limite al numero di

volte che lโ€™operatore di creazione puรฒ essere applicato lo stato di vuoto risulta cosรฌ popolato

da un numero infinito di fotoni virtuali.

Lโ€™idea di Milonni, Cook e Goggin fu quella di supporre che questi fotoni virtuali trasportino una

quantitร  di moto di 1

2โ„๐‘˜ e diano quindi un contributo allโ€™energia del vuoto pari a

1

2โ„๐œ”๐‘˜.

Perciรฒ lโ€™urto e la conseguente riflessione di questi fotoni virtuali allโ€™esterno delle piastre

tendono ad avvicinarle, mentre la riflessione di quelli del campo confinato fra di esse tende

ad allontanarle. Una semplificazione di ciรฒ si puรฒ osservare in figura 3.3 a pagina seguente.

Poichรฉ in senso lato possiamo affermare che sono presenti piรน modi di oscillazione allโ€™esterno

piuttosto che allโ€™interno delle piastre, lโ€™effetto netto della pressione di radiazione di punto

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zero รจ quello di far avvicinare le piastre tra loro. Mostreremo in questo paragrafo come la

forza per unitร  di superficie calcolata in questo modo รจ esattamente la forza di Casimir.

Figura 3.3: forza di Casimir vista come effetto della pressione dei fotoni virtuali.

Consideriamo la pressione di radiazione esercitata da unโ€™onda piana che incide

perpendicolarmente su una piastra. Questa รจ data da

๐‘ƒ =๐น

๐ด= 2๐‘ข (3.39)

dove ๐‘ข รจ la densitร  di energia, ovvero lโ€™energia della radiazione per unitร  di volume, ed รจ

presente un fattore 2 perchรฉ, rispetto al caso di assorbimento totale, nella riflessione la

componente normale della quantitร  di moto cambia verso perciรฒ lโ€˜impulso trasferito รจ doppio.

Rispetto al caso appena visto, invece, se lโ€™onda ha un angolo dโ€™incidenza ๐œƒ la pressione di

radiazione puรฒ essere scritta

๐‘ƒ = 2๐‘ข cos2 ๐œƒ (3.40)

Come si puรฒ notare, in questa formula sono presenti due fattori cos ๐œƒ . Il primo compare

poichรฉ la componente normale del momento trasferito alla piastra รจ proporzionale a cos ๐œƒ, il

secondo perchรฉ lโ€™elemento di area A subisce un incremento di un fattore (cos ๐œƒ)โˆ’1

confrontato con il caso di incidenza perpendicolare.

Esplicitando ๐‘ข e cos2 ๐œƒ si trova che un modo di oscillazione con frequenza ๐œ” contribuisce alla

pressione di radiazione come

๐‘ƒ = 2 โˆ™1

2โˆ™1

2

โ„๐œ”

๐‘‰โˆ™ cos2 ๐œƒ =

โ„๐œ”

2๐‘‰

๐‘˜๐‘ง2

๐‘˜2=โ„๐‘

2๐ฟ2๐‘‘

๐‘˜๐‘ง2

๐‘˜ (3.41)

dove ๐œ” = ๐‘๐‘˜ e ๐‘‰ = ๐ฟ2๐‘‘ รจ il volume usato per la quantizzazione. Si รจ introdotto un fattore 1

2

poichรฉ lโ€™energia di punto zero del modo di oscillazione deve distribuirsi equamente tra onda

incidente ed onda riflessa.

Per piastre molto grandi, facendo le stesse considerazioni viste nel paragrafo precedente, si

possono trattare ๐‘˜๐‘ฅ e ๐‘˜๐‘ฆ come variabili continue mentre come prima

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๐‘˜๐‘ง =๐‘›๐œ‹

๐‘‘

dove ๐‘› รจ un numero intero positivo.

Sommando il contributo di tutti i modi di oscillazione permessi allโ€™interno delle piastre e

ricordando il passaggio da somma a integrale visto nella (3.25) si ottiene la pressione di

radiazione totale allโ€™interno delle piastre

๐‘ƒ๐‘–๐‘›๐‘ก =โ„๐‘

๐œ‹2๐‘‘โˆ‘โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆ

(๐‘›๐œ‹๐‘‘)2

โˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 + (๐‘›๐œ‹๐‘‘)2

โˆž

0

โˆž

0

โˆž

๐‘›=1

(3.42)

agente su ogni piastra. Nello scrivere questโ€™espressione si รจ moltiplicato per un fattore 2 per

tener conto delle due possibili polarizzazioni indipendenti.

Allโ€™esterno delle piastre tutti i modi di oscillazione del campo sono permessi, perciรฒ la

pressione esterna puรฒ essere calcolata partendo dallโ€™espressione precedente e facendo

variare anche ๐‘˜๐‘ง in modo continuo, passando cioรจ dalla somma allโ€™integrale in esso

๐‘ƒ๐‘’๐‘ ๐‘ก =โ„๐‘

๐œ‹3โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ง

๐‘˜๐‘ง2

โˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 + ๐‘˜๐‘ง2

โˆž

0

โˆž

0

โˆž

0

(3.43)

Nonostante queste due pressioni appena calcolate in (3.42) e (3.43) siano infinite, รจ la loro

differenza ad avere significato fisico, differenza che calcoleremo con lo stesso approccio usato

nel paragrafo precedente

๐‘ƒ๐‘–๐‘›๐‘ก โˆ’ ๐‘ƒ๐‘’๐‘ ๐‘ก =โ„๐‘

๐œ‹2๐‘‘

[

โˆ‘โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆ(๐‘›๐œ‹๐‘‘)2

โˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 + (๐‘›๐œ‹๐‘‘)2

โˆž

0

โˆž

0

โˆž

๐‘›=1

โˆ’๐‘‘

๐œ‹โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฅโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ฆโˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘ง

๐‘˜๐‘ง2

โˆš๐‘˜๐‘ฅ2 + ๐‘˜๐‘ฆ2 + ๐‘˜๐‘ง2

โˆž

0

โˆž

0

โˆž

0

]

(3.44)

Passiamo in coordinate polari ๐œŒ, ๐œ‘ nel piano ๐‘˜๐‘ฅ๐‘˜๐‘ฆ ottenendo, dopo aver integrato in ๐œ‘,

๐‘ƒ๐‘–๐‘›๐‘ก โˆ’ ๐‘ƒ๐‘’๐‘ ๐‘ก =โ„๐‘

2๐œ‹๐‘‘

[

โˆ‘โˆซ ๐œŒ(๐‘›๐œ‹๐‘‘)2

โˆš๐œŒ2 + (๐‘›๐œ‹๐‘‘)2๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

โˆž

๐‘›=1

โˆ’๐‘‘

๐œ‹โˆซ ๐‘‘๐‘˜๐‘งโˆซ ๐œŒ

๐‘˜๐‘ง2

โˆš๐œŒ2 + ๐‘˜๐‘ง2 ๐‘‘๐œŒ

โˆž

0

โˆž

0

]

(3.45)

Definiamo ora le due nuove variabili dโ€™integrazione

๐‘ฅ =๐œŒ2๐‘‘2

๐œ‹2 e ๐œ‡ =

๐‘˜๐‘ง๐‘‘

๐œ‹

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e sostituiamole nella (3.45) ricavando cosรฌ

๐‘ƒ๐‘–๐‘›๐‘ก โˆ’ ๐‘ƒ๐‘’๐‘ ๐‘ก =โ„๐‘

2๐œ‹๐‘‘(๐œ‹3

2๐‘‘3) [โˆ‘๐‘›2โˆซ

๐‘‘๐‘ฅ

โˆš๐‘ฅ + ๐‘›2

โˆž

0

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡โˆซ๐œ‡2

โˆš๐‘ฅ + ๐œ‡2๐‘‘๐‘ฅ

โˆž

0

โˆž

0

] (3.46)

Poniamo ora

๐บ(๐œ‡) โ‰ก ๐œ‡2โˆซ๐‘‘๐‘ฅ

โˆš๐‘ฅ + ๐œ‡2

โˆž

0

(3.47)

e in questi termini riscriviamo la (3.46) come

๐‘ƒ๐‘–๐‘›๐‘ก โˆ’ ๐‘ƒ๐‘’๐‘ ๐‘ก =โ„๐‘๐œ‹2

4๐‘‘4[โˆ‘๐บ(๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐บ(๐œ‡)๐‘‘๐œ‡โˆž

0

] (3.48)

Utilizzando il cambiamento di variabile ๐‘ค = ๐‘ฅ + ๐œ‡2 riscriviamo la (3.47)

๐บ(๐œ‡) โ‰ก ๐œ‡2โˆซ๐‘‘๐‘ค

โˆš๐‘ค

โˆž

๐œ‡2= 2๐œ‡2โˆš๐‘ค|

๐œ‡2

โˆž

e sfruttando le stesse ipotesi di prima, per cui non esistono conduttori perfetti, possiamo

liberarci del contributo a infinito e ottenere

๐บ(๐œ‡) = 2๐œ‡3 (3.49)

Ricordiamo dalla (3.35) che tramite lo sviluppo di Eulero-Maclaurin, a patto che, come detto,

sia verificata la condizione ๐บ(โˆž) โ†’ 0, la differenza tra somma e integrale puรฒ essere scritta

come

โˆ‘๐บ(๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡ ๐บ(๐œ‡)โˆž

0

= โˆ’1

2๐บ(0) โˆ’

1

12๐บโ€ฒ(0) +

1

720๐บโ€ฒโ€ฒโ€ฒ(0)โ€ฆ

Calcoliamo le derivate di ๐บ(๐œ‡) valutate in 0

๐บ(0) = 0

๐บโ€ฒ(๐œ‡) = โˆ’6๐œ‡2 โ‡’ ๐บโ€ฒ(0) = 0

๐บโ€ฒโ€ฒโ€ฒ(๐œ‡) = โˆ’12 โ‡’ ๐บโ€ฒโ€ฒโ€ฒ(0) = โˆ’12

e sostituiamole nella differenza fra somma e integrale ottenendo

โˆ‘๐บ(๐‘›)

โˆž

๐‘›=1

โˆ’โˆซ ๐‘‘๐œ‡ ๐บ(๐œ‡)โˆž

0

= โˆ’1

60

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33

Inserendo questo risultato nella formula (3.48) si arriva infine a

๐‘ƒ๐‘–๐‘›๐‘ก โˆ’ ๐‘ƒ๐‘’๐‘ ๐‘ก = โˆ’๐œ‹2โ„๐‘

240๐‘‘4 (3.50)

che รจ esattamente lโ€™espressione della forza di Casimir trovata nella (3.38).

Per concludere la trattazione dellโ€™effetto Casimir รจ opportuno evidenziarne due

caratteristiche. La prima รจ che, nonostante si tratti di un fenomeno di natura

elettromagnetica, la sua definizione non dipende dalla carica elettrica.

In secondo luogo si puรฒ notare come esso sia strettamente legato allโ€™interazione fra le

fluttuazioni di vuoto del campo e la geometria del sistema. In altre parole questโ€™effetto รจ

generato dalla differenza tra due infiniti, uno dovuto alla radiazione esterna alle piastre, uno

dovuto a quella interna ad esse: poichรฉ lโ€™unica differenza fra queste radiazioni consiste nelle

condizioni al contorno imposte al campo elettromagnetico dai confini materiali del sistema, la

forza di Casimir puรฒ essere considerata come la manifestazione macroscopica proprio di

questi confini. Nello spazio libero, infatti, dove le fluttuazioni del vuoto sono isotropiche,

lโ€™effetto Casimir non ha modo di verificarsi.

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