Anno Accademico 2016 - 2017
Universitร degli studi di Perugia
FACOLTร DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di laurea in Fisica
TESI DI LAUREA TRIENNALE
Energia del vuoto
ed effetto Casimir
Candidato:
Marco Olivieri Pennesi
Relatore:
Prof.ssa Marta Orselli
ii
iii
Prefazione Verso le fine del 1800 iniziรฒ a svilupparsi quella che ora รจ definita meccanica quantistica, volta
a spiegare quei fenomeni che esulavano dallโessere inquadrati nelle leggi della meccanica
classica, allโepoca ritenuta quasi infallibile. Lโavvento di questa teoria ha permesso un grande
balzo in avanti nella scoperta delle leggi fisiche che regolano lโuniverso: essa rappresenta,
infatti, assieme alla relativitร , un punto di svolta rispetto alla fisica classica e la base di quella
che รจ attualmente la fisica moderna.
In particolare la piรน grande e radicale rottura tra le leggi della meccanica quantistica e quella
classica รจ data dalla caratteristica della prima di descrivere radiazioni e materia sia come
fenomeno ondulatorio che come entitร particellare. Questa inaspettata proprietร , che prende
il nome di dualismo onda-particella รจ formalizzata nel principio di indeterminazione di
Heisenberg, la cui conseguenza si manifesta nellโimpossibilitร di poter conoscere
contemporaneamente con esattezza due grandezze fisiche tra loro coniugate. Nella sua forma
piรน nota รจ espresso dalla relazione
โ๐ฅ โ โ๐๐ฅ โฅโ
2
fra lโincertezza sulla posizione (โ๐ฅ) e quella sulla quantitร di moto (โ๐๐ฅ) di una particella, dove
โ รจ la costante di Planck ridotta il cui valore รจ riportato alla fine di questa breve introduzione.
Uno dei risultati piรน importanti che si appoggia direttamente su questo principio e che รจ legato
tuttโoggi a problematiche non risolte รจ lโesistenza di unโenergia di vuoto.
In elettrodinamica classica non vi รจ alcun motivo per cui nel vuoto debba esserci radiazione
elettromagnetica, ma giร agli inizi del โ900 lo scienziato Max Planck, concentrato sullo studio
dello spettro del corpo nero, trovรฒ un'energia di punto zero, partendo dallโipotesi che quella
della radiazione potesse variare soltanto di valori discreti, il cui elemento fondamentale fu
chiamato quanto di energia. Questa energia di vuoto perciรฒ รจ strettamente correlata alle
fluttuazioni dei campi se trattati come oggetti quantistici.
Lo scopo di questa tesi รจ quello di gettare le basi per la comprensione di questo fenomeno e
analizzarne una sua peculiare conseguenza, lโeffetto Casimir.
Per far ciรฒ si รจ ritenuto essenziale partire innanzitutto dai campi elettromagnetici nella fisica
classica, per questo il primo capitolo tratta le equazioni di Maxwell, prima in forma generale
e successivamente nel vuoto, e, dopo aver introdotto i potenziali elettromagnetici e le
trasformazioni di gauge, arriva a risolvere le equazioni dei campi in assenza di cariche e
correnti ottenendo una sovrapposizione di onde monocromatiche.
Il secondo capitolo consiste interamente nelle tecniche di quantizzazione dei campi appena
trovati tramite lโanalogia con il caso di un oscillatore armonico quantistico e il passaggio dal
continuo al discreto fino al ricavare lโHamiltoniana dei campi nel vuoto.
Infine il terzo capitolo entra nel dettaglio dellโargomento di tesi approfondendo quella che
abbiamo chiamato energia del vuoto o di punto zero e analizzando piรน da vicino una sua
conseguenza detta effetto Casimir riportandone due interpretazioni diverse.
iv
Il sistema di unitร di misura utilizzato in questa tesi รจ il sistema CGS di Gauss, le cui unitร
fondamentali sono il centimetro (cm), il grammo (g) e il secondo (s).
Si incontreranno spesso nella trattazione le costanti c, velocitร della luce nel vuoto e โ,
costante di Planck, i cui valori nel sistema CGS di Gauss sono
๐ โ 3,00 โ 1010 ๐๐/๐
โ โ 6,63 โ 10โ27 ๐ โ ๐๐2/๐
Di fatto, piuttosto che la costante di Planck, nel testo si incontrerร molto piรน frequentemente
la sua versione ridotta โ =โ
2๐ il cui valore รจ
โ โ 1,05 โ 10โ27 ๐ โ ๐๐2/๐
Infine in tutta la trattazione si indicherร il vettore di posizione della particella con
๐ = (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
v
Indice
1. Elettromagnetismo classico ........................................................................... 1
1.1 Equazioni di Maxwell ................................................................................ 1
1.2 Potenziali elettromagnetici e trasformazioni di gauge .............................. 2
1.3 Campo elettromagnetico nel vuoto .......................................................... 5
2. Campo elettromagnetico quantizzato ......................................................... 10
2.1 Oscillatore armonico quantistico ............................................................ 10
2.2 Equivalenza tra campo e oscillatore armonico ....................................... 12
2.3 Quantizzazione del potenziale vettore ................................................... 16
3. Energia del vuoto ed effetto Casimir ........................................................... 20
3.1 Energia di punto zero ............................................................................. 20
3.2 Effetto Casimir: derivazione geometrica ................................................. 23
3.3 Effetto Casimir: approccio di Milonni, Cook e Goggin ............................. 29
Bibliografia ...................................................................................................... 34
vi
โIn five minutes you will say that it is all so absurdly simpleโ
Sherlock Holmes โ โThe Adventure of the Dancing Menโ
Arthur Conan Doyle
1
Capitolo 1
Elettromagnetismo classico
Per poter trattare lโenergia del vuoto e lโeffetto Casimir bisogna prima introdurre quella che รจ
la teoria alla base di questi fenomeni, ovvero la teoria elettromagnetica.
Lโanalisi seguente propone in breve gli aspetti fondamentali per la trattazione dellโargomento
di tesi. Si introdurranno perciรฒ le equazioni di Maxwell, cardini del campo elettromagnetico
classico, si parlerร poi dei potenziali elettromagnetici e delle trasformazioni di gauge, utili per
lo studio del fenomeno, ed infine si ricaveranno le equazioni dei campi in assenza di sorgenti.
1.1 Equazioni di Maxwell
Lโelettromagnetismo classico รจ interamente descritto dalle famose equazioni di Maxwell
โ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = 4๐๐(๐, ๐ก) (1.1)
โ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = 0 (1.2)
โ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) +1
๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก)
๐๐ก= 0 (1.3)
โ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) โ1
๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก)
๐๐ก=4๐
๐๐(๐, ๐ก) (1.4)
che governano la dinamica del campo elettrico e magnetico. In esse, ๐(๐, ๐ก) รจ la densitร di
carica che รจ legata a ๐(๐, ๐ก), densitร di corrente, dallโequazione di continuitร
โ โ ๐(๐, ๐ก) +๐๐(๐, ๐ก)
๐๐ก= 0 (1.5)
che esprime la legge di conservazione della carica elettrica.
Le equazioni (1.2) e (1.3) sono omogenee mentre la (1.1) e la (1.4) sono non omogenee e
dipendono dalle sorgenti dei campi.
Le ultime due equazioni, note rispettivamente come legge di Faraday-Neumann e legge di
Ampรจre, sono quelle che descrivono la dinamica del sistema perchรฉ rappresentano le
2
equazioni del moto del campo elettrico e del campo magnetico. Le prime due equazioni,
invece, non sono utili ai fini della descrizione del moto ma rappresentano due condizioni al
contorno che devono essere soddisfatte dai campi stessi perciรฒ consentono di ridurre il
numero di gradi di libertร del sistema.
Si hanno in conclusione 8 equazioni scalari, poichรฉ le equazioni (1.3) e (1.4) sono due equazioni
vettoriali, e solamente sei incognite (le componenti dei campi ๐ธ๐ฅ, ๐ธ๐ฆ, ๐ธ๐ง , ๐ต๐ฅ , ๐ต๐ฆ, ๐ต๐ง), ovvero il
sistema di equazioni รจ sovradeterminato. Se poi si utilizzano i due vincoli dati dalle prime due
equazioni ci si puรฒ rendere conto di come le variabili dinamiche siano solamente quattro.
Questo sistema di equazioni puรฒ essere risolto in due modi diversi: il primo รจ quello di
scomporre i campi in una componente trasversale, a rotore nullo, e in una longitudinale, a
divergenza nulla; cosรฌ facendo si ottiene che le variabili dinamiche si riducono alle componenti
trasversali dei campi. Lโaltro modo, che in questa trattazione risulta piรน efficace, รจ quello di
riscrivere i campi in funzione di un potenziale vettore A e di un potenziale scalare ๐.
1.2 Potenziali elettromagnetici e trasformazioni di gauge
L'introduzione del potenziale vettore รจ strettamente legata alla solenoidalitร del campo
magnetico. ร infatti noto che la divergenza di un rotore di un campo vettoriale รจ sempre nulla.
Essendo la divergenza del campo magnetico nulla, possiamo pensare quest'ultimo come
rotore di un campo vettoriale A chiamato, appunto, potenziale vettore.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = โ ร ๐ด (1.6)
In questa maniera la legge di Faraday-Neumann (1.3) si puรฒ riscrivere come
โ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ +1
๐
๐
๐๐กโ ร ๐ด = 0
O equivalentemente come
โ ร (๏ฟฝโโ๏ฟฝ +1
๐
๐๐ด
๐๐ก) = 0
E poichรฉ la quantitร tra parentesi รจ irrotazionale, essa puรฒ essere riscritta come il gradiente di
una funzione scalare ๐ detto potenziale scalare
๏ฟฝโโ๏ฟฝ +1
๐
๐๐ด
๐๐ก= โโ๐
Si ottiene perciรฒ lโespressione del campo elettrico in funzione dei due potenziali introdotti
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = โโ๐ โ1
๐
๐๐ด
๐๐ก (1.7)
3
Gli oggetti matematici cosรฌ introdotti si definiscono potenziali elettromagnetici e sono
indispensabili per la risoluzione delle equazioni utili a caratterizzare lโargomento di questa
tesi. Questi sono tali da soddisfare le equazioni di Maxwell omogenee (1.2) e (1.3).
La loro espressione esplicita si puรฒ ricavare sostituendo le equazioni (1.6) e (1.7) allโinterno
delle equazioni di Maxwell non omogenee (1.1) e (1.4) si ottengono cosรฌ, per la legge di Gauss
โ2๐ +1
๐
๐
๐๐กโ โ ๐ด = โ4๐๐ (1.8)
Mentre per la legge di Ampรจre si ha
โ ร (โ ร ๐ด) +1
๐
๐
๐๐กโ๐ +
1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2=4๐
๐๐
E sfruttando lโidentitร vettoriale
โ ร (โ ร ๐ด) = โ(โ โ ๐ด) โ โ2๐ด (1.9)
si ottiene in definitiva la seguente espressione
โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2โ โ(โ โ ๐ด +
1
๐
๐๐
๐๐ก) = โ
4๐
๐๐ (1.10)
Le espressioni (1.8) e (1.10) rappresentano le equazioni di Maxwell per i potenziali e
permettono di passare ad un sistema a sole due equazioni. Tuttavia si nota subito come queste
siano due equazioni differenziali accoppiate e perciรฒ non dโimmediata risoluzione.
Per disaccoppiarle si fa ricorso allโarbitrarietร della scelta dei potenziali: si puรฒ notare come i
potenziali che soddisfano (1.6) e (1.7) siano, infatti, infiniti poichรฉ il potenziale vettore A รจ
determinato a meno del gradiente di una qualche funzione ๐ฌ dato che il rotore di un gradiente
รจ identicamente nullo.
Tale arbitrarietร permette di definire delle trasformazioni, dette trasformazioni di gauge, che
lasciano invariati il campo elettrico e quello magnetico e rappresentano perciรฒ una simmetria
dellโelettromagnetismo.
Definiamo adesso i due nuovi potenziali dati dalle trasformazioni di gauge e poniamo delle
condizioni su di essi di modo da disaccoppiare le equazioni (1.8) e (1.10)
๐ด(๐, ๐ก) โ ๐ดโฒ(๐, ๐ก) = ๐ด(๐, ๐ก) + โ๐ฌ(๐, ๐ก) (1.11)
๐(๐, ๐ก) โ ๐โฒ(๐, ๐ก) = ๐(๐, ๐ก) โ1
๐
๐๐ฌ(๐, ๐ก)
๐๐ก (1.12)
Si puรฒ ora notare come questi lascino invariati il campo elettrico e magnetico, infatti
๏ฟฝโโ๏ฟฝโฒ = โ ร ๐ดโฒ = โ ร ๐ด + โ ร โ๐ฌ = โ ร ๐ด = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
4
๏ฟฝโโ๏ฟฝโฒ = โโ๐โฒ โ1
๐
๐๐ดโฒ
๐๐ก= โโ๐ +
1
๐โ๐๐ฌ
๐๐กโ1
๐
๐๐ด
๐๐กโ1
๐
๐
๐๐กโ๐ฌ = โโ๐ โ
1
๐
๐๐ด
๐๐ก= ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
ร particolarmente importante in questa trattazione riportare la gauge di Coulomb la cui
condizione รจ data da
โ โ ๐ดโฒ = 0 (1.13)
Ovvero bisogna operare una trasformazione di gauge tale che la funzione ๐ฌ soddisfi
โ2๐ฌ = โโ โ ๐ด
Sostituendo la condizione (1.13) nellโequazione (1.8) e lasciando cadere gli indici si ottiene
โ2๐ = โ4๐๐ (1.14)
Ovvero il potenziale scalare soddisfa lโequazione di Poisson, la quale, in assenza di superfici di
contorno al finito, ammette come soluzione generale
๐(๐, ๐ก) = โซ๐(๐โฒ, ๐ก)
|๐ โ ๐โฒ|๐3๐โฒ (1.15)
Rimane adesso da risolvere lโequazione che si ottiene sostituendo la condizione (1.13) nella
(1.10) ovvero
โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2โ1
๐
๐
๐๐กโ๐ = โ
4๐
๐๐ (1.16)
Questa si puรฒ riscrivere notando che ๐ puรฒ essere scomposto in una parte longitudinale a
rotore nullo ed in una parte trasversale solenoidale, ovvero a divergenza nulla
๐ = ๐๐ฟ + ๐๐ ๐๐๐ โ ร ๐๐ฟ = 0 ๐ โ โ ๐๐ = 0
In virtรน di questa decomposizione, applicando lโoperatore divergenza allโequazione (1.16) si
ottiene
โ โ (โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2โ1
๐
๐
๐๐กโ๐) = โ
4๐
๐โ โ ๐
โ โ (โ1
๐
๐
๐๐กโ๐) = โ
4๐
๐โ โ ๐๐ฟ
1
๐
๐
๐๐กโ๐ =
4๐
๐๐๐ฟ (1.17)
5
Mentre applicando lโoperatore rotore alla (1.16) si ricava
โ ร (โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2โ1
๐
๐
๐๐กโ๐) = โ
4๐
๐โ ร ๐
โ ร (โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2) = โ
4๐
๐โ ร ๐๐
โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2= โ
4๐
๐๐๐ (1.18)
Le equazioni (1.17) e (1.18) rappresentano, insieme allโequazione (1.15), la soluzione per i
potenziali nel caso di gauge di Coulomb.
1.3 Campo elettromagnetico nel vuoto
Lโenergia del vuoto, come dice anche il nome, รจ un fenomeno che si verifica in assenza di
cariche e correnti (ovvero ๐ = 0 ๐ ๐ = 0). In queste condizioni le equazioni di Maxwell si
riducono a
โ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = 0 (1.19)
โ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = 0 (1.20)
โ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) +1
๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก)
๐๐ก= 0 (1.21)
โ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) โ1
๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก)
๐๐ก= 0 (1.22)
che riscritte per i potenziali divengono
โ2๐ +1
๐
๐
๐๐กโ โ ๐ด = 0 (1.23)
โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2โ โ(โ โ ๐ด +
1
๐
๐๐
๐๐ก) = 0 (1.24)
Ora รจ possibile attuare una particolare gauge di coulomb avente le condizioni
6
โ โ ๐ด = 0 ๐ ๐ = 0 (1.25)
di cui la seconda risulta immediatamente consistente con lโipotesi ฯ = 0 dallโequazione (1.15).
Questa si definisce gauge di radiazione.
Da questa segue che le equazioni di Maxwell per i potenziali si riducono alla sola equazione
delle onde
โ2๐ด โ1
๐2๐2๐ด
๐๐ก2= 0 (1.26)
Di seguito se ne ricava la soluzione che si rivelerร utile successivamente.
Iniziamo esprimendo il potenziale vettore attraverso la sua trasformata di Fourier:
๐ด(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ (1.27)
dove ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) รจ lโantitrasformata di Fourier definita come
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๐๐ด(๐, ๐ก)๐โ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ (1.28)
Sostituendo la trasformata (1.27) nella (1.26), lโequazione diventa
โ1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ (๐2๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) +
1
๐2๐2
๐๐ก2๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)) ๐๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ = 0
che risulta verificata se e solo se
๐2๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) +๐2
๐๐ก2๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) = 0 (1.29)
dove si รจ posto ๐ = ๐๐. Questa ultima uguaglianza deriva dal fatto che il sistema delle funzioni
esponenziali รจ ortogonale e perciรฒ linearmente indipendente.
La soluzione generale di questโultima equazione (1.29), ottenuta per separazioni di variabili รจ
nella forma
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ1(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐๐๐ก + ๏ฟฝโ๏ฟฝ2(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐๐๐ก (1.30)
Perciรฒ sostituendo questa equazione (1.30) nellโespressione della trasformata (1.27) si ottiene
lโespressione di A che risolve la (1.26)
๐ด(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ [๏ฟฝโ๏ฟฝ1(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๏ฟฝโ๏ฟฝ2(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐+๐๐ก)]
7
e se al secondo membro di questโespressione sostituiamo ๏ฟฝโโ๏ฟฝ con โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ otteniamo
๐ด(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ [๏ฟฝโ๏ฟฝ1(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๏ฟฝโ๏ฟฝ2(โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)]
A questo punto, volendo che A sia reale e ricordando lโuguaglianza ๐ + ๐โ = 2โ(๐) ,
dobbiamo imporre la condizione
๏ฟฝโ๏ฟฝ2(โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ1โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)
si trova in questo modo, lasciando cadere il pedice del coefficiente, la forma definitiva per il
potenziale vettore
๐ด(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ [๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)] (1.31)
Lโespressione cosรฌ ricavata rappresenta la sovrapposizione di onde piane di ampiezza ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ),
pulsazione ๐ e numero dโonda ๏ฟฝโโ๏ฟฝ.
In particolare applicando la prima delle condizioni (1.25) si trova come queste siano onde
trasversali, la cui ampiezza di oscillazione รจ perpendicolare alla direzione di propagazione delle
onde stesse ovvero
๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = 0
Si puรฒ evidenziare questo comportamento introducendo i versori di polarizzazione
ํ1ฬ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) e ํ2ฬ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) tali da formare una terna ortogonale con ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ovvero
ํ1ฬ โ ํ2ฬ = ํ1ฬ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = ํ2ฬ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0, ํ1ฬ ร ํ2ฬ =๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐
Le ampiezze ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) si possono quindi esprimere in funzione di essi come
๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = ๐1(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)ํ1ฬ + ๐2(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)ํ2ฬ (1.32)
cosicchรฉ lโespressione (1.31) si modifica in
๐ด(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) [๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๐๐โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)]
2
๐=1
(1.33)
Dimostriamo ora come anche il campo elettrico e quello magnetico soddisfino lโequazione
delle onde giร vista per A. Sfruttando le espressioni delle equazioni di Maxwell nel vuoto si
8
verifica come applicando lโoperatore rotore alla legge di Faraday-Neumann (1.21) e sfruttando
lโidentitร operatoriale (1.9) giร adoprata per A si ottiene
โ(โ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ) โ โ2๏ฟฝโโ๏ฟฝ +1
๐
๐
๐๐กโ ร ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
da cui si arriva, una volta applicate le leggi di Gauss (1.19) e di Ampรจre (1.22), allโespressione
โ2๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ1
๐2๐2๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐๐ก2= 0 (1.34)
Applicando lโoperatore rotore alla legge (1.22) si giunge al medesimo risultato per il campo
magnetico
โ2๏ฟฝโโ๏ฟฝ โ1
๐2๐2๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐๐ก2= 0 (1.35)
In analogia con la (1.31) si deduce immediatamente che le soluzioni di queste due equazioni
sono nella forma
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ [โฐโ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + โฐโ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)] (1.36)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ [โฌโโโ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + โฌโโโ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)] (1.37)
e utilizzando le leggi di Maxwell (1.19), (1.20) e (1.21) si trova come per essere coerenti queste
espressioni debbano rappresentare una sovrapposizione di onde trasversali, cioรจ debbano
soddisfare
โฐโ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = โฌโโโ โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ = 0, โฌโโโ =๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐ร โฐโ
da cui si trova che ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, โฐโ e โฌโโโ formano una terna di vettori ortogonali e che i moduli delle due
ampiezze dei campi sono uguali
|โฐโ| = |โฌโโโ|
Utilizzando le espressioni (1.6) e (1.7) per esprimere i campi in funzione dei potenziali
elettromagnetici e ricordando che nella gauge di radiazione il potenziale scalare รจ nullo come
riportato nella seconda condizione (1.25) si ottengono le espressioni delle ampiezze dei campi
in funzione dellโampiezza del potenziale vettore
9
โฐโ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = ๐๐
๐๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) (1.38)
โฌโโโ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) = ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) (1.39)
In questa maniera sostituendo le espressioni (1.38) e (1.39) appena trovate nelle equazioni
dei campi (1.36) e (1.37) e utilizzando la scomposizione nei versori di polarizzazione vista in
(1.32) si ottengono le forme definitive per il campo elettrico e quello magnetico nel vuoto
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) =โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ
(2๐)32โ๐๐
๐ํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) [๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๐๐โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)]
2
๐=1
(1.40)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) =โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ
(2๐)32โ๐ (๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)) [๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๐๐โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)]
2
๐=1
(1.41)
Questi, come giร visto per il potenziale vettore, sono costituiti dalla sovrapposizione di infinite
onde piane trasversali e perciรฒ posseggono infiniti modi di oscillazione.
10
Capitolo 2
Campo elettromagnetico quantizzato
La trattazione portata avanti finora, volta a dare le basi dei fenomeni di argomento di tesi, รจ
tuttavia insufficiente per poterli affrontare poichรฉ, come sarร chiaro in seguito, essi sono di
natura prettamente quantistica. A questo proposito perciรฒ รจ indispensabile adoprare un
metodo di quantizzazione del campo che ci permetta di analizzare lโenergia del vuoto ed una
delle sue interessanti conseguenze, lโeffetto Casimir.
Si inizierร trattando lโoscillatore armonico quantistico tramite gli operatori di innalzamento e
abbassamento: un caso rilevante poichรฉ, come si dimostrerร procedendo, รจ equivalente alla
quantizzazione dei campi. Si concluderร infine applicando i risultati ottenuti al potenziale
vettore ricavato nel capitolo 1 ed ottenendo lโHamiltoniana quantistica del sistema.
2.1 Oscillatore armonico quantistico
Analizziamo adesso in breve il caso di un oscillatore armonico quantistico unidimensionale.
LโHamiltoniana quantistica ha la stessa forma di quella classica
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐ =๏ฟฝฬ๏ฟฝ2
2๐+1
2๐๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ2 (2.1)
dove in questo caso ๏ฟฝฬ๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ sono gli operatori (hermitiani) associati alle osservabili quantitร di
moto e posizione rispettivamente.
Le equazioni di Heisenberg per il moto hanno la stessa forma di quelle classiche di Hamilton
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =1
๐โ[๐, ๐ป] =
๐
๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =1
๐โ[๐, ๐ป] = โ๐๐2๐
che seguono dalla regola di commutazione [๐, ๐] โก ๐๐ โ ๐๐ = ๐โ.
Definiamo ora gli operatori non hermitiani
๏ฟฝฬ๏ฟฝ =
1
โ2๐โ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ)
(2.2)
11
e il suo aggiunto
๏ฟฝฬ๏ฟฝโ =1
โ2๐โ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ) (2.3)
grazie ai quali gli operatori ๏ฟฝฬ๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ possono essere riscritti come
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = โ๐โ๐
2(๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ) (2.4)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๐โโ
2๐๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ) (2.5)
Dalla relazione di commutazione [๐, ๐] = ๐โ segue immediatamente che
[๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ] = 1 (2.6)
Le equazioni (2.4)-(2.6) ci permettono di riscrivere lโHamiltoniana (2.1) come
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐ =1
2โ๐(๏ฟฝฬ๏ฟฝ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ) = โ๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ +
1
2) (2.7)
I livelli energetici dellโoscillatore armonico sono quindi determinati dagli autovalori
dellโoperatore hermitiano ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โก ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ. Denotiamo gli autovalori di questo operatore e i loro
corrispettivi autovettori con ๐ e |๐โฉ rispettivamente:
๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = ๐|๐โฉ (2.8)
avendo normalizzato gli autovettori di modo che โจ๐|๐โฉ = 1.
Poichรฉ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ รจ hermitiano, i suoi autovalori saranno reali ed inoltre
๐ = โจ๐|๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = โจ๐|๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = (๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ)โ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ) = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉโ โฅ 0
per cui essi saranno anche non negativi.
Se calcoliamo lโazione dellโoperatore ๏ฟฝฬ๏ฟฝ sul vettore |๐โฉ otteniamo
๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = โ๐|๐ โ 1โฉ (2.9)
e similarmente per il suo aggiunto
๏ฟฝฬ๏ฟฝโ |๐โฉ = โ๐ + 1|๐ + 1โฉ (2.10)
12
Per ovvie ragioni ๏ฟฝฬ๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ sono quindi chiamati operatori di abbassamento e innalzamento.
Notiamo che le azioni di questi operatori appena definite sono in totale coerenza con quanto
scritto precedentemente infatti
๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = โ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝโ |๐ โ 1โฉ = ๐|๐โฉ
Lโequazione (2.9) mostra che si possono generare autostati con autovalori sempre minori
tramite applicazioni successive dellโoperatore ๏ฟฝฬ๏ฟฝ. Per essere consistente con le conclusioni
precedenti, per cui gli autovalori sono non negativi, deve essere
๏ฟฝฬ๏ฟฝ|๐โฉ = โ๐|๐ โ 1โฉ = 0 ๐๐๐ ๐ < 1
quindi, poichรฉ questa condizione รจ verificata solo da ๐ = 0, gli autovalori dellโoperatore ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
sono dati da tutti gli interi non negativi.
Visto che ๏ฟฝฬ๏ฟฝ commuta banalmente con ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐ scritta nellโespressione (2.7), lo stato |๐โฉ รจ
autostato anche di questโultima, con autovalore ๐ธ๐ che descrive lโn-esimo livello energetico
dellโoscillatore armonico. Lโequazione agli autovalori per ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐ รจ quindi:
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐|๐โฉ = ๐ธ๐|๐โฉ (2.11)
che esplicitando la forma di ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐ diventa
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ ๐|๐โฉ = โ๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝโ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ +
1
2) |๐โฉ = โ๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ +
1
2) |๐โฉ = โ๐ (๐ +
1
2) |๐โฉ
In conclusione perciรฒ gli autovalori dellโenergia ๐ธ๐ sono dati da
๐ธ๐ = โ๐ (๐ +1
2) (2.12)
2.2 Equivalenza tra campo e oscillatore armonico
Vediamo adesso come ogni modo di oscillazione del campo elettromagnetico puรฒ essere visto
come un oscillatore armonico.
Torniamo a porci nel vuoto, in assenza di sorgenti, e ricordiamo che in queste condizioni le
equazioni di Maxwell sono espresse da (1.19)-(1.22). Se poi applichiamo nuovamente la gauge
di Coulomb otteniamo che il potenziale vettore deve soddisfare lโequazione delle onde (1.26).
In questo paragrafo, per comoditร , ci concentreremo su un unico modo di oscillazione,
fisseremo quindi un unico ๏ฟฝโโ๏ฟฝ e lo tratteremo come costante tralasciando lโintegrale in esso1
visto precedentemente e lavorando quindi con un campo monocromatico.
1 Per evitare problemi di convergenza si limita il volume di integrazione della trasformata ad un cubo di lato L. Come si vedrร nel prossimo
paragrafo questo si puรฒ attuare a patto che il vettore ๏ฟฝโโ๏ฟฝ, usato per fare la trasformazione, rispetti delle condizioni di discretizzazione.
13
Dopo aver fatto queste premesse, lโequazione delle onde puรฒ essere risolta per separazione
delle variabili, assumendo come soluzione una funzione della forma
๐ด(๐, ๐ก) = ๐ด0(๐)๐ผ(๐ก) (2.13)
che sostituita nellโequazione delle onde (1.26) porta alla seguente
๐ผ(๐ก)โ2๐ด0(๐) โ1
๐2๐ด0(๐)
๐2๐ผ(๐ก)
๐๐ก2= 0
Dividendo per ๐ด0(๐)๐ผ(๐ก) si ottengono due termini a variabili separate: il primo dipendente
esclusivamente da quelle spaziali, il secondo da quella temporale
1
๐ด0(๐)โ2๐ด0(๐) โ
1
๐21
๐ผ(๐ก)
๐2๐ผ(๐ก)
๐๐ก2= 0 (2.14)
Poichรฉ i due gruppi di variabili sono indipendenti lโuno dallโaltro, affinchรฉ questa equazione
abbia soluzione entrambi i membri devono essere identicamente uguali alla stessa costante
che, per comoditร , indicheremo con โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2. Cosรฌ facendo lโequazione (2.14) si scinde in due
equazioni differenziali facilmente risolvibili.
๐ด0 deve soddisfare quella che viene chiamata equazione di Helmholtz:
โ2๐ด0(๐) + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2๐ด0(๐) = 0 (2.15)
le cui soluzioni sono date da
๐ด0(๐)ยฑ = ๐ฝ๐ยฑ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ = ๐ด๐(๐)ยฑ (2.16)
Per quanto riguarda ๐ผ(๐ก) essa deve invece soddisfare lโequazione
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) = โ๐๐2๐ผ(๐ก) ๐๐๐ฃ๐ ๐๐ = ๐|๏ฟฝโโ๏ฟฝ| (2.17)
che ci porta a delle soluzioni nella forma
๐ผ(๐ก)ยฑ = ๐ผ๐(0)๐โ๐๐๐๐ก (2.18)
In questo modo il ๏ฟฝโโ๏ฟฝ scelto รจ evidentemente il vettore dโonda.
In conclusione perciรฒ la separazione di variabili fornisce soluzioni monocromatiche per il
potenziale vettore, ottenute mettendo insieme i risultati di (2.16) e (2.18)
๐ด(๐, ๐ก) = ๐ผ(๐ก)๐ด๐(๐) + ๐ผโ(๐ก)๐ด๐
โ (๐) = ๐ผ๐(0)๐โ๐๐๐๐ก๐ด๐(๐) + ๐ผ๐
โ(0)๐๐๐๐๐ก๐ด๐โ (๐) (2.19)
14
In questa maniera, sfruttando le relazioni (1.6) e (1.7) che legano il campo elettrico e quello
magnetico al potenziale vettore, si ottengono le seguenti equazioni per i due campi
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = โ1
๐[๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก)๐ด๐(๐) + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
โ(๐ก)๐ด๐โ (๐)] (2.20)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = ๐ผ(๐ก)โ ร ๐ด๐(๐) + ๐ผโ(๐ก)โ ร ๐ด๐
โ (๐) (2.21)
Ricordiamo ora che lโHamiltoniana del campo elettromagnetico, e di conseguenza la sua
energia, puรฒ essere scritta come2
๐ป๐๐ =1
8๐โซ๐3๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ2 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2) (2.22)
perciรฒ sostituendo le espressioni (2.20) e (2.21) nella (2.22), la parte dentro lโintegrale diventa
โซ๐3๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ2 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2) =1
๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก)2โซ๐3๐ (๐ด๐(๐))
2
+1
๐2๏ฟฝฬ๏ฟฝโ(๐ก)2โซ๐3๐ (๐ด๐
โ (๐))2
+ 2
๐2|๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก)|2โซ๐3๐ |๐ด๐(๐)|
2+ ๐ผ(๐ก)2โซ๐3๐ [โ ร ๐ด๐(๐)]
2
+ ๐ผโ(๐ก)2โซ๐3๐ [โ ร ๐ด๐โ (๐)]
2+ 2|๐ผ(๐ก)|2โซ๐3๐ |โ ร ๐ด๐(๐)|
2
(2.23)
Possiamo adesso assumere che3
โซ๐3๐ [โ ร ๐ด๐(๐)]2= ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2โซ๐3๐ (๐ด๐(๐))
2
con espressioni simili per i termini che includono [โ ร ๐ด๐โ (๐)]
2 e |โ ร ๐ด๐(๐)|
2 nella (2.23).
Notiamo inoltre che, partendo dalla (2.18) si ha
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) = โ๐๐๐๐ผ(๐ก) โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก)2 = โ๐๐
2๐ผ(๐ก)2 (2.24)
In questo modo la (2.22), che rappresenta lโH di un campo monocromatico, si semplifica in
๐ป๐๐ =1
8๐โซ๐3๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ2 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ2) =
๏ฟฝโโ๏ฟฝ2
2๐|๐ผ(๐ก)|2 (2.25)
2 Questa formula puรฒ essere ricavata utilizzando i quadritensori della relativitร ristretta di Einstein. Per approfondire si rimanda a V.
Barone, โRelativitร โ, Capitolo 10.10. 3 Per non appesantire troppo la trattazione non si รจ ritenuto necessario riportare tutte le considerazioni ed i calcoli svolti per giungere a
questa assunzione. Si rimanda il lettore interessato a P. W. Milonni, โThe Quantum Vacuum, An Introduction to Quantum Electrodynamicsโ, Appendice C.
15
dove, senza perdita di generalitร , si suppone la funzione ๐ด๐(๐) normalizzata come
โซ๐3๐ |๐ด๐(๐)|2= 1 (2.26)
Definiamo ora le quantitร reali
๐(๐ก) =๐
โ4๐[๐ผ(๐ก) + ๐ผโ(๐ก)] (2.27)
๐(๐ก) =๐
๐โ4๐[๐ผ(๐ก) โ ๐ผโ(๐ก)] (2.28)
in termini delle quali lโequazione (2.25) diventa
๐ป๐๐ =1
2(๐2 + ๐๐
2๐2) (2.29)
Questa notazione ovviamente ci suggerisce che il campo di frequenza fissata ๐๐ sia
matematicamente equivalente ad un oscillatore armonico con la stessa frequenza avente
massa unitaria.
Per verificare questa affermazione dobbiamo dimostrare che ๐(๐ก) e ๐(๐ก) sono variabili
canonicamente coniugate, ovvero soddisfano il sistema canonico di Hamilton
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) =๐๐ป๐๐๐๐
= ๐(๐ก) (2.30)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) = โ๐๐ป๐๐๐๐
= โ๐๐2๐(๐ก) (2.31)
Per farlo basta tenere in considerazione (2.24) e derivare rispetto al tempo le espressioni
definite in (2.27) e (2.28)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) =๐
๐โ4๐[โ๐๐๐๐ผ(๐ก) โ ๐๐๐๐ผ
โ(๐ก)] =๐
โ4๐[๐ผ(๐ก) + ๐ผโ(๐ก)] = ๐(๐ก)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) =๐
โ4๐[โ๐๐๐๐ผ(๐ก) + ๐๐๐๐ผ
โ(๐ก)] = โ๐๐๐2
๐โ4๐[๐ผ(๐ก) โ ๐ผโ(๐ก)] = โ๐๐
2๐(๐ก)
per cui (2.30) e (2.31) risultano soddisfatte.
Possiamo a questo punto affermare che un campo elettromagnetico monocromatico di data
frequenza รจ del tutto equivalente ad un oscillatore armonico unidimensionale avente la stessa
frequenza.
16
2.3 Quantizzazione del potenziale vettore
Nel primo capitolo abbiamo considerato il campo elettromagnetico nel vuoto senza nessuna restrizione e abbiamo osservato come questo comporti per il potenziale vettore una soluzione
data dalla sovrapposizione di infinite onde piane polarizzate linearmente nelle quali ๏ฟฝโโ๏ฟฝ varia con continuitร . Come accennato anche nel paragrafo precedente, il processo di quantizzazione del campo risulta tuttavia molto piรน agevole se si esprime il campo in funzione di un numero infinito ma discreto di variabili, in modo da poter stabilire una corrispondenza fra di esse e gli operatori dello spazio di Hilbert. Inoltre vorremmo che il potenziale vettore cosรฌ trovato sia normalizzato in accordo con la condizione posta in (2.26). Per fare ciรฒ si considera il campo elettromagnetico contenuto allโinterno di un cubo di volume ๐ = ๐ฟ3 le cui dimensioni sono molto maggiori delle quantitร che ci interessano.
Ciรฒ ci consente di imporre delle condizioni al contorno periodiche cosรฌ da discretizzare ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
๐ด(๐, ๐ก) = ๐ด(๐ + ๐ฟ, ๐ก) (2.32)
Richiamiamo lโequazione (1.31)
๐ด(๐, ๐ก) =1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ [๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก) + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐ก)]
e sfruttiamo la condizione di periodicitร solo lungo x
๐ด(0, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก) = ๐ด(๐ฟ, ๐ฆ, ๐ง, ๐ก) (2.33)
per ricavare lโespressione discreta di ๏ฟฝโโ๏ฟฝ. In questo modo si ha, passando lโintegrale al volume del cubo, e sostituendo (2.33) nella (1.31)
1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ[๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐๐ง๐ง + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐โ๐๐๐ฆ๐ฆ๐โ๐๐๐ง๐ง]
๐
=1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ[๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐๐๐๐ฅ๐ฟ๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐๐ง๐ง + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐โ๐๐๐ฅ๐ฟ๐โ๐๐๐ฆ๐ฆ๐โ๐๐๐ง๐ง]
๐
dove si รจ posto ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) = ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐๐๐ก. Portando tutto al primo membro si ottiene
1
(2๐)32โโซ๐3๏ฟฝโโ๏ฟฝ[๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐๐ง๐ง(1 โ ๐๐๐๐ฅ๐ฟ) + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐โ๐๐๐ฆ๐ฆ๐โ๐๐๐ง๐ง(1 โ ๐โ๐๐๐ฅ๐ฟ)]
๐
= 0
deve perciรฒ annullarsi la funzione integranda e chiamando
๐ถ = ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก)๐๐๐๐ฆ๐ฆ๐๐๐๐ง๐ง
si ottiene quindi
๐ถ(1 โ ๐๐๐๐ฅ๐ฟ) + ๐ถโ(1 โ ๐๐๐๐ฅ๐ฟ) = 0 (2.34)
17
Poichรฉ C รจ diverso da zero, perchรฉ lโequazione (2.34) sia verificata devono necessariamente annullarsi i termini tra parentesi, ovvero deve essere
1 โ ๐ยฑ๐๐๐ฅ๐ฟ = 0
In questa maniera si ottengono dei valori discreti per ๐๐ฅ
๐๐ฅ =2๐
๐ฟ๐๐ฅ ๐๐๐ ๐๐ฅ = 0,ยฑ1,ยฑ2,โฆ (2.35)
Facendo lo stesso ragionamento per gli assi y e z si ottiene infine
(๐๐ฅ, ๐๐ฆ, ๐๐ง) =2๐
๐ฟ(๐๐ฅ, ๐๐ฆ , ๐๐ง) (2.36)
Ora che abbiamo discretizzato ๏ฟฝโโ๏ฟฝ possiamo passare dallโintegrale della trasformata di Fourier che avevamo ottenuto nellโequazione (1.31) ad una somma arrivando a
๐ด(๐, ๐ก) =1
โ๐โ[๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐๐ก) + ๏ฟฝโ๏ฟฝ
โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐๐ก)]
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
(2.37)
Confrontando questa espressione con la (2.16) e (2.19) ricavate nel paragrafo precedente si nota subito come si siano fatte le sostituzioni
๐ผ(๐ก) = ๐ผ๐(0)๐โ๐๐๐๐ก = ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐๐๐๐ก e ๐ด๐(๐) = ๐ฝ๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ =1
โ๐๐๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ (2.38)
dove si รจ posta la costante ๐ฝ =1
โ๐ per soddisfare la condizione di normalizzazione
โซ ๐3๐|๐ด๐(๐)|2
๐
= 1 (2.39)
Reintroducendo adesso i versori di polarizzazione, come fatto per ottenere lโequazione (1.33), si ricava la forma del potenziale vettore
๐ด(๐, ๐ก) =1
โ๐โโํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ) [๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐
๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐๐ก) + ๐๐โ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐โ๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐โ๐๐๐ก)]
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.40)
Lโespressione che abbiamo appena trovato rappresenta una generalizzazione di quanto fatto in precedenza ed in particolare descrive lโestensione ad infiniti modi di oscillazione del potenziale vettore ottenuto in (2.19). Osservando la definizione ad esempio di ๐ data dalla (2.5) e dalla (2.28) e sfruttando la sostituzione riportata in (2.38) si ottiene la seguente equivalenza (si sarebbe ottenuto lo stesso risultato sfruttando le definizioni date di ๐)
18
๐
๐โ4๐๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ)๐๐๐๐๐ก = ๐โ
โ
2๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐(๐ก) โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ(๏ฟฝโโ๏ฟฝ, ๐ก) = โ
2๐โ๐2
๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐(๐ก) (2.41)
dove si รจ posto ๐ = 1 . In questo modo il potenziale vettore si puรฒ riscrivere in termini operatoriali come
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐, ๐ก) =โโโ2๐โ๐2
๐๐๐ํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ,๐ [๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐ก)๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ (๐ก)๐โ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐]
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
=โโ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐, ๐ก)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.42)
In questo caso ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐ก) e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ (๐ก) sono gli operatori di distruzione e di creazione di fotoni4 per il
modo dโoscillazione con vettore dโonda k e polarizzazione j. Sfruttando il fatto che
โซ ๐3๐[๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐) โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐โฒ,๐โฒโ (๐)]
๐
= ๐ฟ๐,๐โฒ(3)๐ฟ๐,๐โฒ (2.43)
possiamo trovare, usando le stesse analisi viste nelle sezioni precedenti, che lโHamiltoniana del campo elettromagnetico per gli infiniti modi di oscillazione del campo nel vuoto vale
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ =โโโ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐ +
1
2)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.44)
Notiamo subito che essa รจ separabile nei suoi modi di oscillazione infatti ponendo
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐ = โ๐๐ (๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐ +
1
2) (2.45)
si ottiene lโHamiltoniana del campo come somma delle Hamiltoniane di ogni modo
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ =โโ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.46)
In secondo luogo possiamo calcolarne gli autovalori come
๐ธ๐ =โโโ๐๐ (๐๐,๐ +1
2)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.47)
poichรฉ gli autovalori di unโHamiltoniana separabile sono dati dalla somma degli autovalori di ogni singola Hamiltoniana componente.
4 Spiegheremo il significato di questa denominazione nel prossimo capitolo.
19
Infine unโultima osservazione che possiamo fare รจ che lโespressione (2.44) descrive lโHamiltoniana di un numero infinito di oscillatori armonici unidimensionali disaccoppiati. Questo implica che ogni modo di oscillazione ha i suoi operatori di creazione e distruzione
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐ e poichรฉ i modi sono tra loro indipendenti, gli operatori soddisfano le seguenti
relazioni di commutazione
[๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐ก), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐โฒ, ๐โฒโ (๐ก)] = ๐ฟ
๐,๐โฒ(3)๐ฟ๐,๐โฒ (2.48)
[๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐ก), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐โฒ,๐โฒ(๐ก)] = [๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ (๐ก), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐โฒ, ๐โฒโ (๐ก)] = 0 (2.49)
Infine, a partire dalla (2.42) il campo elettrico e quello magnetico possono essere riscritti come
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = ๐โโโ2๐โ๐๐๐
ํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ,๐ [๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐ก)๐๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐
โ (๐ก)๐โ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐]
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.50)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐, ๐ก) = ๐โโโ2๐โ๐2
๐๐๐(๏ฟฝโโ๏ฟฝ ร ํ๏ฟฝฬ๏ฟฝ,๐) [๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐(๐ก)๐
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ (๐ก)๐โ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝโ๐]
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(2.51)
20
Capitolo 3
Energia del vuoto ed effetto Casimir
Come vedremo in questo capitolo la teoria quantistica del campo elettromagnetico evidenzia
lโesistenza di unโenergia di punto zero, ovvero lโesistenza nel vuoto di fluttuazioni del campo
anche in assenza di sorgenti. I risvolti di questo risultato sono notevoli: vari fenomeni infatti,
tra cui in particolare lโeffetto Casimir qui approfondito, non possono essere spiegati attraverso
la fisica classica perchรฉ sono da attribuire interamente ed esclusivamente ad interazioni di
tipo quantistico.
In questo capitolo si parlerร inizialmente dellโenergia di punto zero e si faranno alcune
considerazioni riguardo ad essa, per poi trattare quello che รจ lโeffetto Casimir.
Lโeffetto Casimir si manifesta come un'interazione fra due conduttori, legata alle condizioni al contorno imposte dal sistema al campo magnetico quantizzato. Casimir, predisse teoricamente il fenomeno studiando due lastre infinite conduttrici scariche poste nel vuoto. Cosรฌ facendo determinรฒ la presenza di una forza attrattiva fra di esse che รจ da attribuire alla differente energia di punto zero presente allโinterno e delle lastre e quella nello spazio circostante. Si tratterร il fenomeno prima con un calcolo standard, considerando le energie di vuoto tra le lastre e nello spazio circostante, e poi se ne darร unโinterpretazione legata alla pressione esercitata dalle fluttuazioni di vuoto sulle superfici conduttrici, o, in altri termini, legata alla pressione dovuta alla riflessione di fotoni virtuali dello stato di vuoto sulle lastre conduttrici.
3.1 Energia di punto zero
Riprendiamo per un momento gli autovalori dellโenergia per lโoscillatore armonico
(formalmente identici a quelli per un campo monocromatico) riportati nellโespressione (2.12)
๐ธ๐ = โ๐ (๐ +1
2)
Notiamo come la differenza tra due livelli successivi sia data da
โ๐ธ = ๐ธ๐+1 โ ๐ธ๐ = โ๐ = โ๐ (3.1)
Questo valore รจ di particolare importanza perchรฉ nellโipotesi quantistica per cui lโenergia non
varia con continuitร ma in maniera discreta, esso รจ uguale a quello che inizialmente veniva
chiamato quanto di energia, oggi conosciuto come fotone. Lโenergia di un fotone, come
supposto da Planck, รจ legata alla frequenza della radiazione ฮฝ, ed รจ data da
21
ํ๐พ = โ๐ = โ๐ (3.2)
per cui la radiazione elettromagnetica puรฒ essere vista come un insieme di fotoni. Lโenergia
totale di un campo elettromagnetico รจ data quindi dalla somma delle energie dei fotoni che
lo compongono.
Se ci limitiamo al caso monocromatico ciรฒ รจ evidente confrontando la (3.1) e la (3.2). Infatti il
salto minimo tra due livelli di energia adiacenti รจ dato proprio dallโenergia di un fotone, il che
significa che ogni livello successivo di energia si forma aggiungendo un fotone a quello
precedente. In questa ottica il numero quantico ๐ presente in ๐ธ๐ rappresenta quindi il
numero di fotoni contenuti nel campo. Cosรฌ lโazione degli operatori ๏ฟฝฬ๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ puรฒ essere vista
come la distruzione o la creazione di un fotone rispettivamente, ciรฒ giustifica la
denominazione di operatori di creazione e distruzione di fotoni.
Analizziamo ora il caso in cui ๐ = 0, lโenergia del campo monocromatico diventa
๐ธ0 =1
2โ๐ (3.3)
Questa energia dello stato fondamentale รจ detta energia di punto zero.
Questo risultato ci fa capire che non รจ possibile ridurre la quantizzazione del campo
monocromatico alla sola esistenza dei fotoni poichรฉ questa energia รจ presente in assenza di
essi e deve quindi dipendere da qualcosโaltro: il principio di indeterminazione di Heisenberg.
Lโenergia di punto zero, infatti, รจ legata allโimpossibilitร di conoscere contemporaneamente e
con esattezza le osservabili da cui dipende lโHamiltoniana poichรฉ i corrispettivi operatori
quantistici associati non commutano fra di loro. Questo comporta unโoscillazione dei valori di
queste osservabili attorno al valore atteso calcolato su un autostato.
Utilizziamo per semplicitร lโespressione (2.29) dellโHamiltoniana di un campo monocromatico
espressa in funzione di ๐ e ๐ in termini operatoriali e troviamo il suo valor medio.
Notiamo che gli operatori ๏ฟฝฬ๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ per il campo elettromagnetico monocromatico non hanno un
vero e proprio senso fisico, cioรจ non sono riconducibili a delle osservabili, ma grazie ad essi la
dimostrazione che lโenergia del vuoto dipende da fluttuazioni dellโHamiltoniana valutate
attorno allo stato fondamentale risulta molto piรน immediata
โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฉ =1
2โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2โฉ +
1
2๐2โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2โฉ (3.4)
Poichรฉ il potenziale รจ simmetrico si ha che โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝโฉ = 0 e ogni stato legato ha โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝโฉ = 0 perciรฒ
ricordando la definizione di varianza
(โ๐)2 = โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2โฉ โ โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝโฉ2 = โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2โฉ (3.5)
(โ๐)2 = โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2โฉ โ โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝโฉ2 = โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2โฉ (3.6)
possiamo sostituire questa nellโespressione (3.4) del valor medio dellโHamiltoniana ottenendo
22
โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฉ =1
2(โ๐)2 +
1
2๐2(โ๐)2 (3.7)
E visto che ๏ฟฝฬ๏ฟฝ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ sono variabili canonicamente coniugate soddisfano la relazione di
indeterminazione
โ๐ โ โ๐ โฅโ
2 (3.8)
che per lo stato fondamentale dellโoscillatore armonico (e analogamente del campo
monocromatico) vale con il segno uguale poichรฉ esso รจ uno stato di minima indeterminazione.
Puรฒ essere quindi riscritta come
โ๐ =โ
2โ๐
Sostituendo lโespressione appena ottenuta nel valor medio dellโHamiltoniana si ottiene
โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฉ =โ2
8(โ๐)2+1
2๐2(โ๐)2 (3.9)
Il minimo di questa espressione, che equivale a mettersi nello stato fondamentale, si ha per
(โ๐)๐๐๐ =โ
2๐ (3.10)
valore per il quale si ha
โจ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฉ =1
2โ๐ (3.11)
che รจ proprio lโenergia di punto zero del campo monocromatico.
Passiamo adesso al caso in cui consideriamo tutti i modi di oscillazione del campo, perciรฒ
partendo da (2.44) e indicando con |0โฉ lo stato fondamentale otteniamo unโenergia di punto
zero pari a
โจ0|๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐|0โฉ = ๐ธ0 =โโ1
2โ๐๐
๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(3.12)
Questo risultato รจ particolarmente interessante perchรฉ questa sommatoria diverge: perciรฒ
non solo lโenergia di punto zero del campo elettromagnetico quantistico non รจ nulla, ma รจ
addirittura infinita! Questo problema puรฒ comunque essere risolto da un punto di vista
formale perchรฉ le fluttuazioni del vuoto contribuiscono solamente con delle costanti
aggiuntive alla misura dei valori medi. Questo perchรฉ lโintero universo รจ immerso in un campo
23
elettromagnetico di punto zero perciรฒ le misurazioni fisiche rilevano solamente delle
deviazioni dallo stato di vuoto.
Basta quindi ridefinire e rinormalizzare lo zero dellโenergia inglobando queste costanti nella
definizione dellโHamiltoniana (2.44) per eliminarne (formalmente) questo contributo senza
influenzare alcuna previsione fisica della teoria
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฒ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ โ โจ0|๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐|0โฉ =โโโ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐
โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ
2
๐=1
(3.13)
In questo modo infatti si ha
โจ0|๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฒ |0โฉ = 0 (3.14)
dove lโHamiltoniana appena ridefinita, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐โฒ , รจ detta ordinata normalmente (o ordinata alla
Wick). Come รจ subito visibile da (3.14) tramite essa il contributo del termine di punto zero รจ
totalmente eliminato. In aggiunta, un motivo ulteriore per cui questa ridefinizione รจ lecita รจ
quello per cui questa energia costante commuta banalmente con lโoperatore ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐,๐ perciรฒ
non puรฒ avere alcun effetto sulla dinamica quantistica descritta dalle equazioni del moto di
Heisenberg.
Nonostante le considerazioni fatte fino a questo momento il contributo dellโenergia di punto
zero non sempre รจ trascurabile infatti essa dipende dai modi di oscillazione del campo.
Questo comporta che avendo una regione di spazio con zone in cui sono permessi modi di
oscillazione diversi, tra di esse vi sarร una differenza di energia dovuta proprio alla differente
energia di vuoto delle zone.
Lโeffetto Casimir approfondito nel prossimo paragrafo si basa esattamente su questo
concetto.
3.2 Effetto Casimir: derivazione geometrica
Casimir mostrรฒ nel 1948 che una conseguenza del campo di punto zero รจ lโesistenza di una
forza attrattiva tra due lastre infinite parallele, neutre e perfettamente conduttrici poste nel
vuoto. Lโespressione di questa forza si ricava in via teorica considerando un campo
elettromagnetico nel vuoto allโinterno di un parallelepipedo di dimensioni ๐ฟ๐ฅ = ๐ฟ๐ฆ = ๐ฟ e ๐ฟ๐ง
costituito da due lastre piane perfettamente conduttrici di superficie ๐ฟ2 e distanti fra loro
๐ฟ๐ง = ๐; successivamente si farร tendere ๐ฟ ad infinito di modo che le lastre diventino due
lastre infinite. La configurazione appena descritta รจ riportata nella figura 3.1 a pagina
seguente.
24
Figura 3.1: configurazione delle lastre nel vuoto.
Affinchรฉ sia rispettata la condizione di lastre perfettamente conduttrici, la componente tangenziale del campo elettrico deve annullarsi su di esse e ciรฒ comporta la stessa condizione per il potenziale vettore poichรฉ, trovandoci in gauge di Coulomb, questo รจ legato al campo elettrico dalla legge
๏ฟฝโโ๏ฟฝ = โ1
๐
๐๐ด
๐๐ก
Si generano cosรฌ delle onde stazionarie poichรฉ la componente tangenziale delle onde ha dei nodi fissi sulle lastre conduttrici. In questa maniera il potenziale vettore relativo ad un singolo modo di oscillazione assume la forma
๐ด(๐) = ๐ด๐ฅ(๐)๐ฬ + ๐ด๐ฆ(๐)๐ฬ + ๐ด๐ง(๐)๏ฟฝฬ๏ฟฝ (3.15)
dove ๐ฬ, ๐ฬ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ sono i versori relativi agli assi ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง rispettivamente ed ogni singola componente รจ scritta come
๐ด๐ฅ(๐) = โ8
๐๐๐ฅ cos(๐๐ฅ๐ฅ) sin(๐๐ฆ๐ฆ) sin(๐๐ง๐ง) (3.16)
๐ด๐ฆ(๐) = โ8
๐๐๐ฆ sin(๐๐ฅ๐ฅ) cos(๐๐ฆ๐ฆ) sin(๐๐ง๐ง) (3.17)
๐ด๐ง(๐) = โ8
๐๐๐ง sin(๐๐ฅ๐ฅ) sin(๐๐ฆ๐ฆ) cos(๐๐ง๐ง) (3.18)
con ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ
2 + ๐๐ง2 = 1, il volume dato da ๐ = ๐ฟ2๐ e ๏ฟฝโโ๏ฟฝ soddisfa le condizioni al contorno
๐๐ฅ =๐๐
๐ฟ, ๐๐ฆ =
๐๐
๐ฟ, ๐๐ง =
๐๐
๐ (3.19)
L d
L
x
y
z
25
dove ๐, ๐ e ๐ possono assumere come valori tutti gli interi positivi e lo zero.
Poichรฉ queste funzioni devono anche soddisfare la condizione di trasversalitร โ โ ๐ด = 0 data dalla gauge di Coulomb e giร vista in (1.25) si deve anche richiedere che
๐๐ฅ๐ด๐ฅ + ๐๐ฆ๐ด๐ฆ + ๐๐ง๐ด๐ง =๐
๐ฟ(๐๐ด๐ฅ +๐๐ด๐ฆ) +
๐
๐(๐๐ด๐ง) = 0 (3.20)
Perciรฒ notiamo che ci sono due polarizzazioni indipendenti a meno che uno tra ๐, ๐, ๐ รจ nullo nel qual caso la (3.20) indica che ce nโรจ solo una. Inoltre le espressioni (3.16)-(3.18) soddisfano la condizione di normalizzazione (2.39), cioรจ
โซ ๐3๐|๐ด(๐)|2
๐
= โซ ๐๐ฅโซ ๐๐ฆโซ ๐๐ง[๐ด๐ฅ2(๐) + ๐ด๐ฆ
2(๐) + ๐ด๐ง2(๐)]
๐
0
= 1๐ฟ
0
๐ฟ
0
(3.21)
In realtร tutto ciรฒ che ci serve per calcolare la forza di Casimir sono le pulsazioni permesse dal sistema definite a partire dalla (3.19)
๐๐๐๐ = ๐|๏ฟฝโโ๏ฟฝ๐๐๐| = ๐๐โ๐2
๐ฟ2+๐2
๐ฟ2+๐2
๐2 (3.22)
In funzione di queste lโenergia di punto zero del campo allโinterno delle piastre puรฒ quindi trovata come
๐ธ0 = 2 โ1
2
โฒ
๐,๐,๐
= โ โ๐๐โ๐2
๐ฟ2+๐2
๐ฟ2+๐2
๐2
โฒ
๐,๐,๐
(3.23)
dove il fattore 2 davanti alla sommatoria tiene conto delle due possibili polarizzazioni indipendenti nel caso ๐, ๐, ๐ โ 0 mentre il primo sopra il simbolo di sommatoria ci ricorda che
va inserito un fattore 1
2 nel caso in cui uno tra ๐, ๐, ๐ sia zero poichรฉ, come giร detto, si avrebbe
una sola polarizzazione. Poichรฉ nella situazione fisica che ci interessa ๐ฟ โซ ๐ possiamo pensare di far tendere le dimensioni delle lastre a infinito e sostituire le somme su ๐ e ๐ della (3.23) con degli integrali mantenendo inalterata la distanza ๐ fra di esse. Per fare ciรฒ usando ad esempio ๐๐ฅ (considerando che per ๐๐ฆ il ragionamento รจ lo stesso)
calcoliamo quanto vale โ๐๐ฅ
โ๐๐ฅ = ๐๐ฅ(๐ + 1) โ ๐๐ฅ(๐) =(๐ + 1)๐
๐ฟโ๐๐
๐ฟ=๐
๐ฟ
Quindi possiamo passare dalla somma allโintegrale nel seguente modo
โ๐น(๐๐ฅ)
๐๐ฅ
=โ๐น(๐๐ฅ)
๐๐ฅ
โ๐๐ฅโ๐๐ฅ
=๐ฟ
๐โ๐น(๐๐ฅ)โ๐๐ฅ๐๐ฅ
โ๐๐ฅ โ ๐๐๐ฅโ
๐ฟ
๐โซ๐น(๐๐ฅ)๐๐๐ฅ (3.24)
26
Per cui la somma generale vista finora diventa
โ โ
โฒ
๐,๐,๐
โ๐ฟ2
๐2
โฒ
๐
โฌ๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ (3.25)
in termini della quale lโespressione dellโenergia (3.23) diventa
๐ธ(๐) =๐ฟ2
๐2โ๐โโซ ๐๐๐ฅ
โ
0
โซ ๐๐๐ฆโ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 +๐2๐2
๐2
โ
0
โฒ
๐
(3.26)
Si nota che questa espressione diverge ancora perciรฒ lโenergia di punto zero รจ infinita in un qualsiasi volume finito. Se vogliamo calcolare lโenergia di punto zero allโesterno delle piastre basta mandare anche ๐ ad infinito perciรฒ con le stesse considerazioni di prima si ottiene
๐ธ(โ) =๐ฟ2๐
๐3โ๐ โซ ๐๐๐ฅ
โ
0
โซ ๐๐๐ฆโซ ๐๐๐ง
โ
0
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + ๐๐ง2โ
0
(3.27)
che รจ anchโessa infinita. Abbiamo quindi due diverse energie in due regioni adiacenti dello
spazio. Questa differenza di energia ๐(๐) = ๐ธ(๐) โ ๐ธ(โ) รจ lโenergia potenziale delle due
piastre quando queste sono poste a distanza ๐ lโuna dallโaltra
๐(๐) =๐ฟ2โ๐
๐2[โโซ ๐๐๐ฅ
โ
0
โซ ๐๐๐ฆโ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 +๐2๐2
๐2
โ
0
โฒ
๐
โ๐
๐โซ ๐๐๐ฅ
โ
0
โซ ๐๐๐ฆโซ ๐๐๐ง
โ
0
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ
2 + ๐๐ง2
โ
0
]
(3.28)
In coordinate polari ๐, ๐ nel piano ๐๐ฅ๐๐ฆ, poichรฉ il differenziale diventa ๐๐๐ฅ๐๐๐ฆ = ๐๐๐๐๐, si
ricava
๐(๐) =๐ฟ2โ๐
๐2(๐
2) [โโซ ๐โ๐2 +
๐2๐2
๐2๐๐
โ
0
โฒ
๐
โ๐
๐โซ ๐๐๐งโซ ๐โ๐2 + ๐๐ง2 ๐๐
โ
0
โ
0
] (3.29)
dove si รจ giร integrato in ๐ definito nellโintervallo [0,๐
2] poichรฉ ๐๐ฅ, ๐๐ฆ > 0.
Lโespressione (3.29) รจ tuttavia la differenza tra due quantitร infinite.
Per ovviare a questo problema si puรฒ fare una considerazione di carattere prettamente fisico
che ci condurrร , sotto opportune ipotesi, ad un risultato finito.
Allโinizio di questo paragrafo abbiamo supposto di lavorare con due lastre perfettamente
conduttrici, ipotesi che, a livello fisico, non รจ piรน valida superate determinate frequenze.
27
Quello che si sta affermando รจ che anche i migliori conduttori ad alte frequenze diventano
trasparenti alla radiazione. Questo implica che superata una determinata pulsazione indicata
con ๐๐๐๐ฅ = ๐๐๐๐๐ฅ non si hanno piรน le condizioni a contorno usate per determinare i modi di
oscillazione particolari presenti allโinterno delle piastre perciรฒ essi risultano identici a quelli
presenti allโesterno. In particolare questo รจ vero per lunghezze dโonda confrontabili con le
dimensioni atomiche perciรฒ possiamo supporre ๐๐๐๐ฅ โ1
๐0 dove ๐0 รจ il raggio di Bohr.
Stiamo in conclusione assumendo che lโeffetto Casimir sia principalmente un fenomeno non
relativistico di bassa frequenza.
A questo scopo possiamo introdurre allโinterno di (3.29) una funzione di cut-off definita come
๐(๐) = ๐ (โ๐2 + ๐๐ง2) = {1 ๐ ๐ ๐ โช ๐๐๐๐ฅ
0 ๐ ๐ ๐ โซ ๐๐๐๐ฅ (3.30)
Sostituiamo quindi la (3.29) con
๐(๐) =๐ฟ2โ๐
2๐[โโซ ๐โ๐2 +
๐2๐2
๐2 ๐ (โ๐2 +
๐2๐2
๐2)๐๐
โ
0
โฒ
๐
โ๐
๐โซ ๐๐๐งโซ ๐โ๐2 + ๐๐ง2 ๐ (โ๐2 + ๐๐ง2) ๐๐
โ
0
โ
0
]
(3.31)
Definiamo due nuove variabili dโintegrazione
๐ฅ =๐2๐2
๐2 e ๐ =
๐๐ง๐
๐
in funzione delle quali la (3.31) diventa
๐(๐) =๐ฟ2โ๐
2๐(๐3
2๐3) [โโซ โ๐ฅ + ๐2 ๐ (
๐
๐โ๐ฅ + ๐2)๐๐ฅ
โ
0
โฒ
๐
โโซ ๐๐โซ โ๐ฅ + ๐2 ๐ (๐
๐โ๐ฅ + ๐2)๐๐ฅ
โ
0
โ
0
]
(3.32)
Possiamo subito notare come i due pezzi della differenza siano cosรฌ formalmente identici.
Possiamo quindi esprimerli tramite la stessa funzione
๐บ(๐) โก โซ โ๐ฅ + ๐2 ๐ (๐
๐โ๐ฅ + ๐2)๐๐ฅ
โ
0
(3.33)
In questi termini riscriviamo la (3.32) come
28
๐(๐) =๐2โ๐๐ฟ2
4๐3[1
2๐บ(0) +โ๐บ(๐)
โ
๐=1
โโซ ๐๐ ๐บ(๐)โ
0
] (3.34)
dove si รจ portato fuori dalla somma il termine in cui ๐ = 0 per esplicitare lโazione del primo posto sopra la sommatoria. In accordo con la formula di Eulero-Maclaurin5 si ha
โ๐บ(๐)
โ
๐=1
โโซ ๐๐ ๐บ(๐)โ
0
= โ1
2๐บ(0) โ
1
12๐บโฒ(0) +
1
720๐บโฒโฒโฒ(0)โฆ (3.35)
ricordando che la funzione di cut-off ammazza il comportamento allโinfinito ovvero si ha che ๐บ(โ) โ 0. Per calcolare le derivate della funzione ๐บ(๐) adoperiamo il cambiamento di variabile ๐ค = ๐ฅ + ๐2 tenendo conto che cosรฌ facendo lโestremo inferiore di integrazione passa da 0 a ๐2
๐บ(๐) = โซ โ๐ค ๐ (๐
๐โ๐ค)๐๐ค
โ
๐2=2
3๐ค32โ ๐ (
๐
๐โ๐ค)|
๐2
โ
= โ2
3๐3 ๐ (
๐
๐๐) (3.36)
In questo modo le derivate si calcolano facilmente e, valutate in zero, danno come valori
๐บโฒ(๐) = โ2๐2 ๐ (๐
๐๐) โ ๐บโฒ(0) = 0 e ๐บโฒโฒโฒ(๐) = โ4 ๐ (
๐
๐๐) โ ๐บโฒโฒโฒ(0) = โ4
mentre tutte le derivate di ordine superiore sono nulle. Perciรฒ la (3.35) diventa
โ๐บ(๐)
โ
๐=1
โโซ ๐๐ ๐บ(๐)โ
0
= โ1
2๐บ(0) โ
4
720
e inserendola nellโespressione dellโenergia potenziale (3.34) si ottiene infine
๐(๐) =๐2โ๐๐ฟ2
4๐3(โ
4
720) = โ(
๐2โ๐
720๐3) ๐ฟ2 (3.37)
che รจ unโespressione finita ed indipendente dalla funzione di cut-off. Possiamo adesso calcolare la forza per unitร di superficie definita come
๐น(๐) = โ1
๐ฟ2๐๐(๐)
๐๐= โ
๐2โ๐
240๐4 (3.38)
A questa ci si riferisce comunemente con il nome di Forza di Casimir (nonostante abbia le dimensioni di una forza per unitร di superficie, ovvero di una pressione) perciรฒ le due piastre conduttrici sono attratte lโuna allโaltra. Una schematizzazione di questโeffetto si puรฒ osservare nella figura 3.2 a pagina seguente.
5 Si veda a tal proposito M. Abramowitz e I. A. Stegun, โHandbook of Mathematical Functionsโ, formula 3.6.28.
29
Prima di concludere questo paragrafo possiamo fare due osservazioni riguardo al risultato appena ottenuto: per prima cosa si puรฒ notare come esso dipenda da ๐โ4 ovvero sia riscontrabile solo per distanze ๐ molto piccole. In secondo luogo vediamo che questo risultato dipende da โ, il che ci conferma la natura esclusivamente quantistica di questo fenomeno. Volendo infatti trovare la forza di Casimir in unโapprossimazione classica bisognerebbe operare il limite โ โ 0, operazione che implicherebbe ๐น(๐) โ 0. Perciรฒ questo fenomeno รจ assente classicamente.
Figura 3.2: schematizzazione dellโeffetto Casimir.
3.3 Effetto Casimir: approccio di Milonni, Cook e Goggin
Allโinizio di questo capitolo abbiamo visto come gli operatori ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ e ๏ฟฝฬ๏ฟฝ possano essere chiamati
di creazione e distruzione poichรฉ la loro azione รจ quella di creare o distruggere un fotone che
popola il modo di oscillazione sul quale agiscono.
Lo scienziato Paul Dirac suppose che, invece di essere creati, questi fotoni emergessero dallo
stato di vuoto e invece di essere distrutti ritornassero lร . Poichรฉ non cโรจ limite al numero di
volte che lโoperatore di creazione puรฒ essere applicato lo stato di vuoto risulta cosรฌ popolato
da un numero infinito di fotoni virtuali.
Lโidea di Milonni, Cook e Goggin fu quella di supporre che questi fotoni virtuali trasportino una
quantitร di moto di 1
2โ๐ e diano quindi un contributo allโenergia del vuoto pari a
1
2โ๐๐.
Perciรฒ lโurto e la conseguente riflessione di questi fotoni virtuali allโesterno delle piastre
tendono ad avvicinarle, mentre la riflessione di quelli del campo confinato fra di esse tende
ad allontanarle. Una semplificazione di ciรฒ si puรฒ osservare in figura 3.3 a pagina seguente.
Poichรฉ in senso lato possiamo affermare che sono presenti piรน modi di oscillazione allโesterno
piuttosto che allโinterno delle piastre, lโeffetto netto della pressione di radiazione di punto
30
zero รจ quello di far avvicinare le piastre tra loro. Mostreremo in questo paragrafo come la
forza per unitร di superficie calcolata in questo modo รจ esattamente la forza di Casimir.
Figura 3.3: forza di Casimir vista come effetto della pressione dei fotoni virtuali.
Consideriamo la pressione di radiazione esercitata da unโonda piana che incide
perpendicolarmente su una piastra. Questa รจ data da
๐ =๐น
๐ด= 2๐ข (3.39)
dove ๐ข รจ la densitร di energia, ovvero lโenergia della radiazione per unitร di volume, ed รจ
presente un fattore 2 perchรฉ, rispetto al caso di assorbimento totale, nella riflessione la
componente normale della quantitร di moto cambia verso perciรฒ lโimpulso trasferito รจ doppio.
Rispetto al caso appena visto, invece, se lโonda ha un angolo dโincidenza ๐ la pressione di
radiazione puรฒ essere scritta
๐ = 2๐ข cos2 ๐ (3.40)
Come si puรฒ notare, in questa formula sono presenti due fattori cos ๐ . Il primo compare
poichรฉ la componente normale del momento trasferito alla piastra รจ proporzionale a cos ๐, il
secondo perchรฉ lโelemento di area A subisce un incremento di un fattore (cos ๐)โ1
confrontato con il caso di incidenza perpendicolare.
Esplicitando ๐ข e cos2 ๐ si trova che un modo di oscillazione con frequenza ๐ contribuisce alla
pressione di radiazione come
๐ = 2 โ1
2โ1
2
โ๐
๐โ cos2 ๐ =
โ๐
2๐
๐๐ง2
๐2=โ๐
2๐ฟ2๐
๐๐ง2
๐ (3.41)
dove ๐ = ๐๐ e ๐ = ๐ฟ2๐ รจ il volume usato per la quantizzazione. Si รจ introdotto un fattore 1
2
poichรฉ lโenergia di punto zero del modo di oscillazione deve distribuirsi equamente tra onda
incidente ed onda riflessa.
Per piastre molto grandi, facendo le stesse considerazioni viste nel paragrafo precedente, si
possono trattare ๐๐ฅ e ๐๐ฆ come variabili continue mentre come prima
31
๐๐ง =๐๐
๐
dove ๐ รจ un numero intero positivo.
Sommando il contributo di tutti i modi di oscillazione permessi allโinterno delle piastre e
ricordando il passaggio da somma a integrale visto nella (3.25) si ottiene la pressione di
radiazione totale allโinterno delle piastre
๐๐๐๐ก =โ๐
๐2๐โโซ ๐๐๐ฅโซ ๐๐๐ฆ
(๐๐๐)2
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + (๐๐๐)2
โ
0
โ
0
โ
๐=1
(3.42)
agente su ogni piastra. Nello scrivere questโespressione si รจ moltiplicato per un fattore 2 per
tener conto delle due possibili polarizzazioni indipendenti.
Allโesterno delle piastre tutti i modi di oscillazione del campo sono permessi, perciรฒ la
pressione esterna puรฒ essere calcolata partendo dallโespressione precedente e facendo
variare anche ๐๐ง in modo continuo, passando cioรจ dalla somma allโintegrale in esso
๐๐๐ ๐ก =โ๐
๐3โซ ๐๐๐ฅโซ ๐๐๐ฆโซ ๐๐๐ง
๐๐ง2
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + ๐๐ง2
โ
0
โ
0
โ
0
(3.43)
Nonostante queste due pressioni appena calcolate in (3.42) e (3.43) siano infinite, รจ la loro
differenza ad avere significato fisico, differenza che calcoleremo con lo stesso approccio usato
nel paragrafo precedente
๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ ๐ก =โ๐
๐2๐
[
โโซ ๐๐๐ฅโซ ๐๐๐ฆ(๐๐๐)2
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + (๐๐๐)2
โ
0
โ
0
โ
๐=1
โ๐
๐โซ ๐๐๐ฅโซ ๐๐๐ฆโซ ๐๐๐ง
๐๐ง2
โ๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 + ๐๐ง2
โ
0
โ
0
โ
0
]
(3.44)
Passiamo in coordinate polari ๐, ๐ nel piano ๐๐ฅ๐๐ฆ ottenendo, dopo aver integrato in ๐,
๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ ๐ก =โ๐
2๐๐
[
โโซ ๐(๐๐๐)2
โ๐2 + (๐๐๐)2๐๐
โ
0
โ
๐=1
โ๐
๐โซ ๐๐๐งโซ ๐
๐๐ง2
โ๐2 + ๐๐ง2 ๐๐
โ
0
โ
0
]
(3.45)
Definiamo ora le due nuove variabili dโintegrazione
๐ฅ =๐2๐2
๐2 e ๐ =
๐๐ง๐
๐
32
e sostituiamole nella (3.45) ricavando cosรฌ
๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ ๐ก =โ๐
2๐๐(๐3
2๐3) [โ๐2โซ
๐๐ฅ
โ๐ฅ + ๐2
โ
0
โ
๐=1
โโซ ๐๐โซ๐2
โ๐ฅ + ๐2๐๐ฅ
โ
0
โ
0
] (3.46)
Poniamo ora
๐บ(๐) โก ๐2โซ๐๐ฅ
โ๐ฅ + ๐2
โ
0
(3.47)
e in questi termini riscriviamo la (3.46) come
๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ ๐ก =โ๐๐2
4๐4[โ๐บ(๐)
โ
๐=1
โโซ ๐บ(๐)๐๐โ
0
] (3.48)
Utilizzando il cambiamento di variabile ๐ค = ๐ฅ + ๐2 riscriviamo la (3.47)
๐บ(๐) โก ๐2โซ๐๐ค
โ๐ค
โ
๐2= 2๐2โ๐ค|
๐2
โ
e sfruttando le stesse ipotesi di prima, per cui non esistono conduttori perfetti, possiamo
liberarci del contributo a infinito e ottenere
๐บ(๐) = 2๐3 (3.49)
Ricordiamo dalla (3.35) che tramite lo sviluppo di Eulero-Maclaurin, a patto che, come detto,
sia verificata la condizione ๐บ(โ) โ 0, la differenza tra somma e integrale puรฒ essere scritta
come
โ๐บ(๐)
โ
๐=1
โโซ ๐๐ ๐บ(๐)โ
0
= โ1
2๐บ(0) โ
1
12๐บโฒ(0) +
1
720๐บโฒโฒโฒ(0)โฆ
Calcoliamo le derivate di ๐บ(๐) valutate in 0
๐บ(0) = 0
๐บโฒ(๐) = โ6๐2 โ ๐บโฒ(0) = 0
๐บโฒโฒโฒ(๐) = โ12 โ ๐บโฒโฒโฒ(0) = โ12
e sostituiamole nella differenza fra somma e integrale ottenendo
โ๐บ(๐)
โ
๐=1
โโซ ๐๐ ๐บ(๐)โ
0
= โ1
60
33
Inserendo questo risultato nella formula (3.48) si arriva infine a
๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ ๐ก = โ๐2โ๐
240๐4 (3.50)
che รจ esattamente lโespressione della forza di Casimir trovata nella (3.38).
Per concludere la trattazione dellโeffetto Casimir รจ opportuno evidenziarne due
caratteristiche. La prima รจ che, nonostante si tratti di un fenomeno di natura
elettromagnetica, la sua definizione non dipende dalla carica elettrica.
In secondo luogo si puรฒ notare come esso sia strettamente legato allโinterazione fra le
fluttuazioni di vuoto del campo e la geometria del sistema. In altre parole questโeffetto รจ
generato dalla differenza tra due infiniti, uno dovuto alla radiazione esterna alle piastre, uno
dovuto a quella interna ad esse: poichรฉ lโunica differenza fra queste radiazioni consiste nelle
condizioni al contorno imposte al campo elettromagnetico dai confini materiali del sistema, la
forza di Casimir puรฒ essere considerata come la manifestazione macroscopica proprio di
questi confini. Nello spazio libero, infatti, dove le fluttuazioni del vuoto sono isotropiche,
lโeffetto Casimir non ha modo di verificarsi.
34
Bibliografia
[1] P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, โFisica, Volume IIโ, EdiSES s.r.l. (2016)
[2] V. Barone, โRelativitร , principi e applicazioniโ, Bollati Boringhieri, (2004)
[3] C. Rossetti, โMetodi Matematici per la fisicaโ, Levrotto & Bella di Gualini T.&C. (2000)
[4] F. Mandl, G. Shaw, โQuantum Field Theoryโ, John Wiley & Sons Ltd. (1986)
[5] P. W. Milonni, โThe Quantum Vacuum: an introduction to quantum electrodynamicsโ, Academic Press, Inc. (1994)
[6] M. Abramowitz, I. A. Stegun, โHandbook of Mathematical functionsโ, Dover Publications, Inc., New York (1972)
[7] C. Rossetti, โRudimenti di Meccanica Quantisticaโ, Levrotto & Bella di Gualini T.&C. (2011)
[8] M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V. M. Mostepanenko, โAdvances in the Casimir Effectโ, Oxford University Press (2009)