Ensino Superior
1 – Matrizes: Operações e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Álgebra Linear
Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = [a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M Mam1 am2 K amn
] = [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
TIPOS DE MATRIZES
214
311
221
Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
400
210
112
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2754
0432
0011
0002
Matriz triangular inferior
500
020
004
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também
quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas.
Casos especiais de Matrizes
Triangulares. Matriz identidade
700
040
002
100
010
001
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal
são todos iguais a um.
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares
são quadradas. Chatice hein!
Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
0000
0000
0000
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos
correspondentes são iguais.
421
21 3
112
421
21 3
112
Caso ao olhar essas duas
matrizes e não ver que elas são iguais,
favor procurar o oculista.
Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )
3x2 41
30
12
=A .
431
102
2x3
=At
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2x2 23
31
=A
2x2 23
31
=At
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
3x3 013
102
320
=A
3x3 013
102
320
=At
=Os elementos da transposta
são os opostos da original.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
[1 −14 02 5 ]+[ 0 4
−2 51 0 ] = [1 3
2 53 5 ]
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+ =
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102 2.
2.3 2.1
2.102.2=
6 2
204=
Matriz A Matriz -2A
Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2x2
3x2
40
11 .
35
24
12
3x2 3.4153.05.1
2.4142.04.1
1.4121.02.1
+)(+
+)(+
+)(+=
75
44
22=
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
Ihhh... Aqui fu...!
[2 14 25 3 ]3x2
.[1 −10 4 ]
2x2
75
44
22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4
5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da elemento com o
primeiro da coluna e por aí vai...
EXEMPLO 1
1) Seja A =
143
201 e seja B =
012
411
Calcule A + B.
12
EXEMPLO 2
2) Seja A =
143
201 e seja B =
012
411 .
Calcule A – B.
13
EXEMPLO 3
3) Calcule o produto das matrizes:
20
53
12
.
021
102
321
14
EXEMPLO 4
4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:
a)
321
642 b)
1242
621 c)
642
321
d)
321
111 e)
321
642
15
EXEMPLO 5
5) Dadas as matrizes
65
43
21
A
102
231B
calcule a matriz A – Bt é:
16