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243Educ. Pesqui., So Paulo, v. 41, n. 1, p. 243-260, jan./mar. 2015.

Educao, educao matemtica e teoria cultural da objetivao: uma conversa com Luis Radford

Vanessa Dias MorettiI

Maria Lcia PanossianII

Manoel Oriosvaldo de MouraIII

Resumo

Luis Radford professor titular da Laurentian University em Sudbury, Ontrio, no Canad. Desde 1992, leciona no programa de formao de professores da cole des Sciences de lducation, onde atualmente diretor e coordenador do Laboratrio de Pesquisa em Semitica Cultural e Pensamento Matemtico. Professor de Educao da Universidade de Manchester, no Reino Unido, presidente do Grupo Internacional de Estudos sobre as relaes entre a Histria e a Pedagogia da Matemtica, afiliado International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Autor de diversos artigos cientficos nos quais relaciona temas complexos como histria, cultura, ensino e aprendizagem, Luis Radford internacionalmente reconhecido como pesquisador da rea da educao matemtica, tendo recebido em 2011 a Medalha Hans Freudenthal do ICMI. Na entrevista concedida durante sua estadia no Brasil, em maro de 2014, Luis Radford revela alguns de seus caminhos de formao e sintetiza alguns dos elementos e princpios que orientam a Teoria Cultural da Objetivao sobre os processos de ensino e aprendizagem e, em particular, de que forma essa concepo terica se relaciona com o campo de pesquisa da educao matemtica. Na entrevista, so abordadas ainda algumas estratgias e tcnicas metodolgicas de pesquisa com professores e alunos, em projetos longitudinais que permitem traar o desenvolvimento cultural da criana. Por fim, o professor Luis Radford aborda questes gerais relacionadas s orientaes curriculares no Brasil, compreendido como um pas com importante diversidade cultural e social. A leitura dessa entrevista remete atualidade das pesquisas sobre os processos de ensino e aprendizagem, de forma especfica daqueles relacionados ao conhecimento matemtico, bem como oferece elementos para a discusso sobre os processos de formao de professores que visem formao do sujeito em suas mximas potencialidades, ainda que condicionado por determinantes sociais e culturais.

Palavras-chave

Educao Educao matemtica Teoria da objetivao Prtica social Conscincia.

http://dx.doi.org/10.1590/S1517-97022015410100201

I- Universidade Federal de So Paulo, So Paulo, SP, Brasil. E-mail: [email protected] Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Curitiba, PR, Brasil. E-mail: [email protected] Universidade de So Paulo, So Paulo, SP, Brasil. E-mail: [email protected]

244 Educ. Pesqui., So Paulo, v. 41, n. 1, p. 243-260, jan./mar. 2015.

Education, mathematics education and the cultural theory of objectification: a conversation with Luis Radford

Vanessa Dias MorettiI

Maria Lcia PanossianII

Manoel Oriosvaldo de MouraIII

Abstract

Luis Radford is a professor at Laurentian University in Sudbury, Ontario, Canada. He has taught in the Education program at The cole des Sciences de lducation since 1992, where he is currently director and coordinates the Research Laboratory of Cultural Semiotics and Mathematical Thinking. Education Professor of the University of Manchester in the United Kingdom, he is president of the International Study Group on Relations between the History and Pedagogy of Mathematics, affiliated to International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Author of several scientific articles in which he relates complex topics such as history, culture, teaching and learning, Luis Radford is an internationally recognized researcher in the field of mathematics education, having received the Hans Freudenthal Medal of ICMI in 2011. In an interview during his stay in Brazil, in March 2014, Luis Radford revealed some paths of his education and summarized some of the elements and principles that guide the cultural theory of objectification on the processes of teaching and learning and, in particular, how this theoretical concept relates to the research on mathematics education. He also discussed some strategies and methodological research techniques with teachers and students, in longitudinal projects that allow tracing the cultural development of children. Finally, Professor Luis Radford discussed general questions related to curriculum guidelines in Brazil, understood as a country with important cultural and social diversity. The reading of this interview points to the relevance of research on the processes of teaching and learning, specifically those related to mathematical knowledge, and provides elements for discussion about the processes of teacher education that are aimed at educating subjects to their maximum potential, in spite of social and cultural determinants.

Keywords

Education Mathematics education Theory of objectification Social practice Consciousness

http://dx.doi.org/10.1590/S1517-97022015410100201

I- Universidade Federal de So Paulo, So Paulo, SP, Brasil. E-mail: [email protected] Universidade Tecnolgica Federal do Paran, Curitiba, PR, Brasil. E-mail: [email protected] Universidade de So Paulo, So Paulo, SP, Brasil. E-mail: [email protected]


membro do conselho editorial de vrias revistas internacionais, como Mathematical Thinking and Learning, Recherches en Didactique des Mathmatiques, Revista Latinoamericana de Matemtica Educativa, Avances de Investigacin en Educacin Matemtica.

Em portugus, encontramos o livro Cognio matemtica: histria, antropologia e epistemologia, traduzido por Iran Abreu Mendes e Bernadete Morey, pela Livraria da Fsica (RADFORD, 2012), que uma coletnea de dez artigos por meio dos quais podemos reconhecer indcios do movimento do pesquisador no sentido da elaborao da Teoria Cultural da Objetivao. Esses artigos tratam da educao matemtica, recorrendo particularidade da lgebra, fundamentando-se em princpios histricos, bem como nas dimenses da antropologia e epistemologia. A importncia do elemento sociocultural destacada, assim como a relevncia da linguagem e das prticas sociais para a produo do conhecimento. Pelo conjunto de suas pesquisas, o professor Luis Radford internacionalmente reconhecido como pesquisador da rea da educao matemtica, tendo recebido em 2011 a Medalha Hans Freudenthal da International Commission on Mathematical Instruction (ICMI).

Entre seus temas de estudos e pesquisas, esto os processos de pensamento algbrico, profundamente contemplados em seu desenvolvimento histrico, assim como a relao entre a cultura e o pensamento, a epistemologia da matemtica e a semitica. Aborda em seus trabalhos a semitica cultural e a cognio humana a partir de uma dimenso antropolgica, e considera o papel fundamental da cultura na formao do sujeito, assumindo a prxis social como a base da formao dos processos de conhecimento. Muitos dos seus textos, que so referncias para educadores matemticos brasileiros, tratam da formao do pensamento algbrico em uma perspectiva que supera a abordagem das representaes simblicas. Por meio de uma anlise epistemolgica, o pesquisador busca

Fonte: arquivos do entrevistado.

O Prof. Luis Radford professor titular da Laurentian University em Sudbury, em Ontrio, Canad. Desde 1992, leciona no programa de formao de professores da cole des Sciences de lducation, instituio na qual atualmente diretor e onde coordena o Laboratrio de Pesquisa em Semitica Cultural e Pensamento Matemtico. Tambm professor de educao da Universidade de Manchester, no Reino Unido, e presidente do Grupo Internacional de Estudos sobre as Relaes entre a Histria e Pedagogia da Matemtica um grupo afiliado International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Suas inmeras publicaes entre artigos, captulos e livros se encontram disponibilizadas na ntegra em sua pgina pessoal (www.luisradford.ca), garantindo o acesso pblico s suas produes, que podem ser encontradas em ingls, espanhol, francs e italiano. Autor de diversos livros, Luis Radford foi coeditor de trs edies especiais do peridico Estudos e Pesquisas Educacionais em Matemtica e tambm coeditou um nmero especial da Revista Latinoamericana de Matemtica Educativa sobre Semitica, Cultura e Pensamento matemtico (2006).

Apresentao

246246 Vanessa Dias MORETTI, Maria Lcia PANOSSIAN, Manoel Oriosvaldo de MOURA. Educao, educao matemtica e...

detectar o que seria o ncleo do saber algbrico, constitudo por maneiras analticas de pensar as quantidades desconhecidas.

Com uma formao inicial de base pia-getiana, o professor Luis Radford nos conta nesta entrevista como foi se constituindo seu interesse pelos aspectos culturais e histricos relacionadas s questes do ensino e da apren-dizagem da matemtica. Nesse percurso, tem encontrado inspirao nos trabalho de Hegel (2003; 2004) e Marx (2004; 2007), bem como no trabalho desenvolvido por todos os inte-lectuais russos do princpio do sculo XX, em particular Vygotsky (2001; 2002), Leontiev (1983), Ilyenkov (2008) e Bakhtin (1986). Mais especificamente, suas pesquisas mais recentes tm se apoiado nos referenciais da abordagem histrico-cultural de Lev Vygotsky e na episte-mologia cultural de Evald Ilyenkov. Seu traba-lho de pesquisa atual concentra-se no desen-volvimento da Teoria Cultural da Objetivao, na qual o problema de ensino-aprendizagem formulado em torno do conceito de alteri-dade de Emmanuel Levinas (1976) e Mikhail Bakhtin (1986).

Em maro de 2014, Radford esteve no Brasil a convite do Grupo de Estudos e Pesquisas sobre a Atividade Pedaggica (GEPAPe), que coordenado pelo Professor Manoel Oriosvaldo de Moura. A visita contou com o apoio do Programa de Ps-Graduao em Educao da Faculdade de Educao da Universidade de So Paulo (USP) e do Programa de Ps-Graduao em Educao da Universidade Federal de So Paulo (UNIFESP). Nessa ocasio, o pesquisador desenvolveu um ciclo de atividades de quinze dias, envolvendo pesquisadores de diferentes regies do Brasil, ciclo esse que foi intitulado O Processo de Ensino e Aprendizagem a partir da Teoria Cultural da Objetivao. Durante tal ciclo, apresentou e discutiu a Teoria Cultural da Objetivao, bem como suas relaes com conceitos complexos como histria e cultura, ensino e aprendizagem, em particular do conhecimento matemtico.

Foi nessa oportunidade que Luis Radford nos concedeu esta entrevista, na qual revela alguns dos caminhos de formao responsveis por sua compreenso acerca das influncias culturais sobre o processo de pensamento. Nesta conversa, tambm sintetiza alguns dos elementos e princpios que orientam a Teoria Cultural da Objetivao sobre os processos de ensino e aprendizagem e, em particular, de que forma essa concepo terica se relaciona com o campo de pesquisa da educao matemtica.

Como revela ao longo da entrevista, a Teoria Cultural da Objetivao proposta como uma teoria geral sobre ensino e aprendizagem que visa a superar uma compreenso indivi-dualista dos processos educativos e, para isso, o pesquisador ressignifica os conceitos de sa-ber, conhecimento e aprendizagem (RADFORD, 2013). Assim, o saber aparece como uma sn-tese de generalizao codificada da ao hu-mana o trabalho humano , de modo que, para o aluno, o saber aparece como pura po-tencialidade. J o conhecimento considerado nessa teoria como a atualizao do saber e a aprendizagem compreendida como a tomada de conscincia de objetos e sistemas de pensa-mento que so sintetizados a partir da prti-ca social. Nesse sentido, a aprendizagem est associada ao processo de objetivao, uma vez que objetivar o conhecimento relaciona--se ao encontro entre o subjetivo e o cultural. Tomando como particularidade a relao entre a Teoria Cultural da Objetivao e o ensino de matemtica, so focadas as questes relativas ao trabalho conjunto de professores e alunos nas dimenses do saber e do ser, reforando a aprendizagem como um processo coletivo de aquisio de modos de refletir sobre o mundo, guiados pelas condies epistmicas, sociais e culturais elaboradas na experincia humana. Para o pesquisador, aprender matemtica no simplesmente aprender a fazer matemtica no sentido de resolver problemas, mas aprender a ser em matemtica (RADFORD, 2006).

Na entrevista, so abordadas ainda algumas estratgias e tcnicas metodolgicas


de pesquisa com professores e alunos, privilegiando as interaes em pequenos grupos e garantindo a coleta de dados por meio de udio e videogravaes, em projetos longitudinais que permitem traar o desenvolvimento cultural da criana. Por fim, o professor Luis Radford aborda questes gerais relacionadas s orientaes curriculares no Brasil, compreendido como um pas com importante diversidade cultural e social.

Esperamos que a publicao desta entrevista oferea novos elementos para a discusso inerente pesquisa sobre os processos de ensino e aprendizagem e, de forma especfica aqueles relacionados ao conhecimento matemtico, bem como sobre os processos de formao de professores que visem formao do sujeito em suas mximas potencialidades, ainda que condicionado por determinantes sociais e culturais.

Referncias

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VYGOTSKY, Lev. Semionovich. A construo do pensamento e linguagem. So Paulo: Martins Fontes, 2001.

VIGOTSKI, Lev Semionovich. A formao social da mente. 6 ed. So Paulo: Martins Fontes, 2002.

Vanessa Dias Moretti professora do Departamento de Educao e do Programa de Ps-graduao em Educao da Universidade Federal de So Paulo (Unifesp). Pesquisadora do Grupo de Estudos e Pesquisas sobre a Atividade Pedaggica (GEPAPe) na USP e lder do Grupo de Estudos e Pesquisa em Processos Educativos e Perspectiva Histrico Cultural (GEPPEDH) na Unifesp.

Maria Lcia Panossian mestre e doutora em educao pela Universidade de So Paulo. Professora do Departamento de Matemtica da Universidade Tecnolgica Federal do Paran (UTFPR) - Curitiba. Membro do Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Atividade Pedaggica (GEPAPe) na USP, de Histria e Epistemologia da Educao Matemtica (HEEMa) na PUC-SP e Grupo de Estudos e Pesquisas em Formao de Professores (GEForPro) da Universidade Tecnolgica Federal do Paran (UTFPR).

Manoel Oriosvaldo de Moura professor titular da Faculdade de Educao da USP. Lder do Grupo de Estudos e Pesquisas sobre a Atividade Pedaggica (GEPAPe) na USP.


Entrevista

Professor Luis Radford, queremos agradecer a sua vinda ao Brasil para participar do evento de apresentao da Teoria Cultural da Objetivao aos pesquisadores e estudantes brasileiros e agradecer, em especial, a sua disponibilidade para estar conosco neste momento. Inicialmente, gostaria que nos contasse um pouco sobre seu percurso acadmico e profissional, destacando o que considera as principais contribuies que influenciaram a sua formao e como foram se constituindo seus interesses de pesquisa.

Meu interesse por educao matemtica comeou na Guatemala. Eu me graduei em uma faculdade de engenharia e tive oportunidade de trabalhar no departamento de matemtica, dando cursos de matemtica, e de aprofundar um interesse em entender o ensino e aprendizagem. Esse interesse veio de longe, pois, h muitos anos, tive oportunidade de ir estudar na Frana e fazer o doutorado, que foi uma experincia muito gratificante, muito grande. Estudei no noroeste da Frana, numa cidade chamada Estrasburgo, que tinha um instituto de investigao sobre o ensino de matemtica, com uma grande influncia de Piaget. Assim, minhas primeiras incurses, j como estudante formal de educao matemtica, foram nos trabalhos de Piaget, nas investigaes que estavam acontecendo ento sobre o ensino e a aprendizagem de matemtica na Frana. Eu creio que sempre tive um interesse particular pelas questes relacionadas ao pensamento, e ao pensamento matemtico em particular. E minha tese de doutorado trata de questes de pensamento matemtico vistas um pouco dessa perspectiva piagetiana. Interessavam-me particularmente as questes de pensamento lgico. Logo tive a oportunidade de regressar Guatemala e atuei na Universidade Nacional, na Universidade de So Carlos, onde pude trabalhar com um grupo muito forte de companheiros interessados em educao matemtica. Trabalhamos na escola de formao de professores do ensino mdio. Meus

interesses seguiram em torno do pensamento, do pensamento matemtico e, j na Frana, eu sentia necessidade de estudar o pensamento matemtico de uma perspectiva um pouco mais geral do que a de estruturas lgicas. Recordo-me que, antes desse tempo, eu tinha uma intuio de que o problema de pensamento no podia se reduzir a um problema de estrutura lgica. Lembro que havia feito um curso de lgica na Universidade de Estrasburgo e tinha perguntado ao meu professor sobre lgica de outras culturas e no pudemos sequer chegar a um acordo em relao pergunta. Ele no pde sequer entender o que eu queria dizer quanto lgica em outras culturas.

Quando regressei Guatemala, a questo cultural foi me impulsionando com mais fora e um dia no Mxico descobri em uma livraria o livro Pensamento e linguagem, de Vygotsky. Li-o e fiz anotaes em uma folha, mas no cheguei a me conectar completamente com o livro. Pareceu-me uma obra extraordinria, mas eu no estava suficientemente prximo desse tipo de reflexo para entender a profundidade do livro. Depois, tive a oportunidade de ir ao Canad e estar de novo exposto a outra cultura a franco-canadense e foi muito interessante tambm implicar-me na cultura e voltar a viver, mas com muito menos intensidade, claro, o choque cultural que significa viver em outro lugar, entre pessoas que pensam completamente diferente. Na Frana, foi bastante forte, foi um choque incrvel. No Canad, foi menos, em parte por que eu j havia aprendido francs e a lngua no era problema. No Canad, sem dvida, era uma forma de viver, de ver o mundo muito diferente. Logo, um ano depois, fui trabalhar em Ontrio, que uma provncia majoritariamente anglofnica e que, como consequncia, tem outra viso de mundo, outra forma de pensar. E0, de novo, houve a um encontro com outra formao cultural e que pde acentuar a importncia das culturas em relao maneira como vemos no mundo. Penso que essas coisas me levaram a pensar de maneira mais detida a questo da relao


entre o sujeito e a cultura, e o pensamento e a cultura. Em Montreal, tive acesso difuso do saber, a livros, revistas, artigos etc., o que foi tambm muito importante, e me dei conta de que a pergunta que eu tinha feito ao meu professor de lgica em Estrasburgo era uma pergunta que os psiclogos estavam fazendo na chamada psicologia intercultural, que havia proposto uma srie de reflexes e perguntas de investigao claramente formuladas, como, por exemplo, sobre universais e a existncia de universais nas culturas, ou o problema da relativismo e suas diferentes formulaes.

Tudo isso, penso eu, levou-me a ir refletindo sobre o pensamento e o pensamento matemtico como algo intimamente ligado cultura. O que quero dizer que, durante a minha estada em Montreal, tive uma grande oportunidade de trabalhar com uma equipe muito forte de ensino de matemtica, que inclua dois historiadores, com os quais passei muito tempo trabalhando, e foi muito importante ver o que os historiadores nos mostravam sobre matemticas em outras culturas e que eram coisas que se podiam interpretar como no necessariamente redutveis umas s outras, expresses matemticas e formas de pensar matemtica que eram completamente diferentes umas das outras. Por exemplo, emergiu durante todo esse tempo, durante os anos 1990, uma sensibilidade para pensar o problema de cognio, o problema do ser, de um ponto de vista cultural.

O senhor indica que o eixo das suas pesquisas recentes tem se organizado com foco no trabalho em sala de aula, numa viso no utilitarista e no instrumental da educao, com vistas a superar discursos pedaggicos entendidos como burgueses, centrados no aluno. Por que o senhor compreende essa centralidade como algo a ser superado e quais so suas fundamentaes tericas para propor tal superao?

A educao nos pases ditos avanados, o que quer dizer nos pases que tm o controle

econmico, segue modelos que lhe so ditados pelo mercado e aparece uma perverso da escola, que passa de uma instituio social e cultural de formao de indivduos a um centro de capacitao de mo de obra. Parece-me que esse um grande problema, porque estamos de entrada concebendo o aluno como proprietrio privado, como um diretor de empresa potencial, e buscando desenvolver capacidades, habilidades e formas de pensar que so muito reduzidas e que, alm disso, despojam o aluno e o professor de toda a subjetividade. Neste af de querer e de pensar, muitas vezes de maneira inadvertida, o aluno e a escola como um centro de capacitaes para os negcios e para o mercado, perdemos de vista toda a dimenso humana. Um dos meus interesses no somente assinalar isso mas tambm oferecer pistas de reflexo e pontos de apoio relativamente concretos que permitam repensar a escola, a educao em geral e a educao matemtica em particular de outra maneira.

Agora, quais so os fundamentos tericos que podem embasar tal proposta? Eu tenho encontrado uma grande fonte de inspirao no trabalho de Hegel, Marx e naquele desenvolvido por todos os intelectuais russos do princpio do sculo XX, em particular Vygotsky, Leontiev, Ilyenkov e tambm Bakhtin. Afortunadamente, houve uma srie de intelectuais que se questionaram sobre o indivduo, a natureza humana, e muitas dessas perguntas foram formuladas em termos filosficos, ticos, as quais muito importante que retomemos do ponto de vista da educao. Todas essas so as bases em que tive que me apoiar para repensar minha tarefa como educador.

Nesse sentido, ns poderamos compreender que a Teoria Cultural da Objetivao surge como alternativa a essas teorias individualistas neoliberais? Como essa teoria em particular foi se constituindo?

Sim, e talvez tivssemos de situar o problema dentro do campo da educao matemtica, porque


nesse campo que eu me movo principalmente, e o que me serviu de referncia para tratar de propor outras coisas. As teorias em educao matemtica, as teorias fundamentais sobre as quais essa disciplina se erigiu como uma disciplina cientfica, o que ocorreu nos anos 1970 e 1980, so teorias que partiram do que a psicologia europeia e a americana podiam oferecer naquele momento, que era essencialmente Piaget. Dessa forma, aparece uma srie de reflexes, de ensaios e de tentativas de criao de teorias, das primeiras teorias da educao matemtica, que vo adotar as posies psicolgicas dominantes na poca, das concepes de mente e da epistemologia que Piaget prope, que, por sua vez, inspira-se na filosofia de Kant que articula de uma maneira espetacularmente clara a ideia dominante do indivduo do sculo das luzes, que de um sujeito autnomo, autossuficiente, autorregulado, que no vai necessitar mais do que seu entorno para crescer intelectualmente. H companheiros que comearam nos anos 1990 a introduzir na educao matemtica os trabalhos de Vigotsky, e logo de Leontiev, que comearam a assinalar outras opes, outras formas de poder pensar o indivduo no como algum isolado, mas como um indivduo intersubjetivo constitudo atravs de linguagem, das prticas sociais e da sua relao com o outro e com o mundo. Penso em particular nos trabalhos de Stephen Lerman, na Inglaterra, de Mariolina Bartolini Bussi e Alessandra Mariotti, na Itlia, e de Paolo Boero, tambm na Itlia. Assim, comea-se a criar um novo espao para pensar os problemas da educao. Desde ento, emerge muito lenta mas progressivamente a ideia de uma formulao terica inspirada pela teoria da atividade.

Na Teoria Cultural da Objetivao, os conceitos de conhecimento e aprendizagem so entendidos como conceitos chaves? Como o senhor entende o conceito de objetivao e de que forma saber, conhecimento e aprendizagem se relacionam nessa posio terica?

Talvez um ponto a levar em conta nessa discusso que, quando se trata de propor uma

teoria, ou seja, uma organizao sistemtica e coerente na medida do possvel de aproxima-o, ao ensino e aprendizagem, h que se re-pensar os conceitos fundamentais da educao. Do que disse anteriormente, depreende-se que um dos conceitos problemticos do ponto de vista histrico-cultural e nas teorias de recorte individualista precisamente essa concepo insuficiente do indivduo e da cultura, e do in-divduo em sua relao com a cultura. Aparece todo um esforo para repensar o professor e o aluno, mas ele no suficiente. Na educao, h mobilizaes de saberes, temos que esclarecer tambm o que entendemos por saber. Em suma, h que repensar os conceitos fundamentais da educao: saber, conhecimento e aprendiza-gem. Para o construtivismo, que se inspira em Piaget e que adota a posio da produo de sa-ber enquanto produo privada, o saber aqui-lo que o sujeito produz. Da mesma maneira que o que o sujeito produz pertence a ele, o que o aluno produz pertence a ele, e isso que pertence a ele seu conhecimento, sua aprendizagem. claro que, se ns consideramos problemtica essa posio, temos que ser claros em relao s alternativas que propomos e aos conceitos em que esto baseadas essas alternativas. E foi isso que nos levou a buscar definir o saber de outra maneira. Se no isso que emana da ao do indivduo, ento o que o saber? O que conhecer? E como a aprendizagem entra a? H um esforo para articular os conceitos que so cruciais quando se quer propor uma teoria de ensino e aprendizagem. Ns partimos de uma ideia hegeliana relacionada ao saber na qual o saber aparece como uma sntese de generali-zao codificada da ao humana, do trabalho humano. O saber, portanto, no algo inato. O saber aparece para o aluno como pura po-tencialidade, potencialidade cultural. Partimos de uma posio em que adotamos as categorias fundamentais de potencialidade e atualidade e pensamos que o saber que a criana encontra na escola ao entrar nela simplesmente uma potencialidade. A potencialidade de pensar o mundo de certas maneiras, potencialidades que


sero atualizadas atravs da prtica social. A primeira distino entre saber e conhecimento que o saber a potencialidade e conhecimento sua atualizao. Evidentemente, a criana no necessariamente pode atualizar esse saber por-que no o reconhece. E a que entra a ideia de aprendizagem, que a tomada de conscincia das maneiras como se atualiza o saber. E temos tematizado isso, porque era necessrio faz--lo terica e praticamente dentro da teoria. A aprendizagem o que temos tematizado como objetivao, ou seja, aqueles processos sociais que fazemos com outras pessoas, cultural e historicamente situados, de reconhecimento de potencialidades culturais que preexistiam no aluno antes de entrar na escola. Em poucas palavras, esses (saber, conhecimento e apren-dizagem) seriam os trs conceitos ontolgicos e epistemolgicos importantes da teoria.

Esse processo de tomada de conscincia entendido como essencial para a aprendizagem? Seria possvel apresentar o que, nessa perspectiva, o senhor entende por conscincia?

Sim. Como disse antes, era preciso ope-racionalizar as ideias, porque ns no fazemos filosofia. Ns somos educadores e estamos in-teressados precisamente em entender as pr-ticas de ensino e aprendizagem. Como se d a aprendizagem? A maneira atravs da qual colocamos o problema a seguinte: assim como h objetos concretos no mundo, h for-mas ideais que esto constitudas em sistemas de pensamento; da mesma maneira que h ca-deiras e mesas quando chegamos ao mundo, esse mundo tambm est repleto de sistemas de pensamento, de pensamento matemtico, de pensamentos artsticos etc., de maneiras de ver o mundo. Tais sistemas de pensamento no so platnicos, mas sim derivados da prtica social. So sintetizados a partir da prtica so-cial. Ento, a maneira de tematizar a aprendi-zagem com essa progressiva tomada de cons-cincia dessas idealidades, desses sistemas de

pensamentos. Quando falamos de conscincia, de tomada de conscincia, devemos levar em conta que a conscincia no algo que algum possui, ou que temos, mas, sim, algo que se forma e que se forma na prtica. conscincia de algo. No h conscincia em absoluto. No h conscincia sem objeto. No caso da edu-cao matemtica ou para outras disciplinas, esses objetos da conscincia so precisamen-te formas de pensamento que vo ser objeto de conscincia atravs da prtica de ensino e aprendizagem. No a ideia de conscincia no sentido metafsico, da tradio ocidental ide-alista, mas, sim, uma conscincia no sentido dialtico-materialista, o que significa consci-ncia com relao ao mundo.

O senhor faz referncia importncia da prtica social nesse processo de constituio da conscincia e tomada de conscincia e a suas bases tericas, como Marx e Leontiev. Quais as influncias do conceito de trabalho de Marx e do conceito de atividade conforme apresentado por Leontiev na elaborao da Teoria da Objetivao? E como podemos compreender o conceito de alteridade nessa relao?

Como disse h pouco, a conscincia no algo que se possui; algo que se forma em nossa relao com os outros, em nossas atividades. Isso pe em evidncia o carter fundamental, como suporte ontolgico para a conscincia, da natureza da atividade. E uma das ideias fundamentais de Marx que a cons-cincia consubstanciada na atividade; ela no antecede a atividade e tampouco deriva da atividade de maneira mecnica. H de fato uma dialtica entre as duas e isso uma ideia que temos buscado implementar em nossas anlises de sala de aula, em nossas reflexes sobre o trabalho do professor, e em nossas reflexes conceituais em termos das formula-es e interpretaes que propomos na teoria. Aparece-nos de entrada a ideia de consubstan-cialidade entre conscincia e trabalho. Mas o trabalho no sentido marxista, quer dizer, no


simplesmente aquilo que fazemos para satisfa-zer nossas necessidades, mas como uma forma de vida que , por sua vez, expresso do sujei-to e constituio do sujeito. No s expresso no sentido de que atravs do trabalho que encontro o meio para expressar o que tenho. Ao expressar-me em atividade, estou proce-dendo minha constituio como pessoa e, ao constituir-me como pessoa, estou modificando a atividade de que estou participando. H toda uma dialtica entre esses dois que se tem que entender e que abre possibilidades para com-com-preender, de uma maneira muito diferente e mais profunda, o sentido histrico e cultural do que so os alunos e os professores. No o aluno como proprietrio privado que est negocian-do significados, nem o professor como assessor financeiro que est dando conselhos para que acumule uma fortuna maior. Como eu disse h pouco, uma das ideias fundamentais da teoria de que os objetos da conscincia nos precedem, os objetos histrica e culturalmente constitu-dos que encontramos no mundo. Quando di-zemos que encontramos, estamos encontrando duas entidades muito diferentes. Por um lado, estamos encontrando as conceitualizaes, mas tambm encontramos o outro. Portanto, a ques-to da conscincia e constituio do sujeito est intimamente ligada ideia de alteridade, ao re- ideia de alteridade, ao re- ideia de alteridade, ao re-conhecimento desse que no sou eu e que toma dois caminhos: um o encontro de aquilo, em ingls, it, e o encontro de aquele, que em in-gls seria you, o que eu no sou como sujeito, como pessoa, a outra pessoa que no sou eu. De uma forma muito sensvel e definindo numa nica linha, a Teoria da Objetivao baseia-se na premissa de alteridade.

Ns gostaramos de conversar mais especificamente sobre as questes relacionadas com a educao matemtica. Tomando a Teoria Cultural da Objetivao como uma teoria geral sobre ensino e aprendizagem, possvel destacar as contribuies especficas dessa teoria para a educao matemtica? Em particular, quais seriam suas implicaes

didticas e metodolgicas para se planejar o ensino da matemtica? possvel tentar estabelecer essa relao?

Talvez haja contribuies de diferentes naturezas para a educao matemtica. Uma oferecer concepes diferentes do aluno e professor. E, sem dvida, se eu tivesse que resumir a pergunta da contribuio especfica para educao matemtica, diria que uma teoria que sustenta que a educao matemtica no deve ser centrada unicamente nos saberes, mas sim tambm nos seres, e, como tal, coloca uma nfase muito forte em toda a problemtica ao redor da constituio das subjetividades na sala de aula. A teoria permite uma abordagem do problema da subjetivao atravs de uma tica. E creio que uma das primeiras teorias em educao matemtica a tomar a tica como uma das categorias fundamentais, no mesmo nvel daquelas categorias de saber matemtico. Ns pensamos profundamente que uma pessoa no pode ser um bom estudante de matemtica se se mantm somente como um bom resolvedor de problemas. Eu penso que a questo no a de transformar o aluno em um resolvedor de problemas, mas, sim, em um sujeito humano. E isso no pode ocorrer sem uma sensibilidade ao outro, sem uma sensibilidade cultural e poltica. Por isso, dentre as contribuies metodolgicas mais importantes que temos feito, no que tenhamos simplesmente conseguido desenvolver metodologias para analisar o discurso, o gesto, ou a atividade corporal das crianas com mincia, em anlises que s vezes nos levam a estudar vdeos quadro por quadro, foto por foto. Talvez tenhamos feito tambm contribuies nesse sentido, mas essas, a meu ver, no so as fundamentais.

As contribuies fundamentais so levar a srio a tica e a ideia de que o estudante est ali no somente para aprender mas para ser, transformar-se, converter-se em algum. H toda uma metodologia, todo um desenho de sala de aula que a transforma e objetiva torn-la um espao de debate e de encontros intelectuais e


afetivos com outras pessoas. Acredito que essa a contribuio fundamental da teoria, ainda que tenhamos feito contribuies em nvel de gestos, significaes semiticas, no pelos gestos em si, no pela semitica em si, mas sim porque, atravs dos gestos, dos smbolos, das palavras, mobilizamos a criana, que est voltada a um problema e est se relacionando com outras crianas. Atravs desses meios semiticos, est se expressando a conscincia que est formando precisamente nesse momento. Penso que essa a contribuio mais importante para a educao matemtica. Isso um convite para ver a educao no somente como uma educao de saberes mas tambm como formao do sujeito como sujeito humano.

Considerando, no contexto da Teoria Cultural da Objetivao, o saber como um conjunto de processos de reflexo e ao encarnados cultural e historicamente, como o estudo da histria do conceito pode contribuir para a organizao do ensino da matemtica?

O saber como um conjunto de proces-sos de reflexo e ao cultural e historicamente constitudos como disse antes, esse saber no uma entidade que aparece sui generis, no uma entidade que aparece na interao frente a frente com o outro algo que sempre tem um antecedente, isto , para pensar algo, sempre h uma possibilidade j constituda para pens--lo. Isso no quer dizer que ns continuemos a repeti-lo; isso significa que esse saber tem uma trajetria, uma histria e o estudo dessa histria, o estudo de suas condies de possi-bilidades, de transformao, de generalizao, de refinamento, d-nos uma ideia da densida--nos uma ideia da densida- uma ideia da densida-de epistemolgica do saber, que pode ser muito importante no momento de desenhar atividades didticas e interpretar o que se passa na sala aula. Ns utilizamos uma anlise epistemol-gica que nos permite ter uma ideia e conhecer acerca da densidade epistemolgica do saber, que possui significaes e significados que tm sido sedimentados e refinados no decorrer dos

sculos. Pensamos que, sem essa perspectiva histrica epistemolgica do saber, arriscamo--nos a no entender as dificuldades que muitos estudantes podem atravessar em seu encontro com essas formas condensadas de refletir e atu-ar e tambm perdemos possibilidades para a gerao de desenhos sofisticados das atividades que queremos trazer para a sala de aula.

Muitos dos seus textos, que so referncias para educadores matemticos brasileiros, tratam da formao do pensamento algbrico. De que forma seus estudos e investigaes histricas e epistemolgicas sobre o conhecimento algbrico contriburam para a compreenso de questes sobre o ensino da lgebra? Podemos considerar j nessas pesquisas uma preocupao com a tomada de conscincia que aparece mais recentemente na sua produo acerca dos processos de reflexo e ao historicamente produzidos?

H alguns anos estou trabalhando na escola primria, em particular nas questes de ensino e aprendizagem da lgebra com crianas muito jovens, de 7 a 8 anos. E, para poder ter alguma possibilidade de levar essas crianas a encontrar formas de pensamento algbrico, era necessrio ter uma ideia clara do pensamento algbrico como saber que contm sedimentaes conceituais de diferentes nveis de generalidade. E, para mim, foi muito importante a reflexo histrica e psicolgica, porque no era possvel comear a ensinar alunos de segundo ano de sete a oito anos, a pensar ou encontrar-se com formas de pensamento algbrico simblico (quer dizer, um pensamento algbrico baseado em representaes alfanumricas), porque os alunos estavam apenas aprendendo a escrever. Tnhamos que pensar para encontrarmos outras possibilidades e, de certa forma, adotamos uma perspectiva muito diferente. Nossa anlise epistemolgica nos levou a dar-nos conta de que as principais representaes no pensamento algbrico no so realmente as simblicas, mas sim as formas de pensar analiticamente as


quantidades desconhecidas, o que poderamos chamar o centro, o ncleo do saber algbrico. O que quero dizer com maneiras analticas so as maneiras de conseguir deduzir coisas sobre quantidades a partir de uma certa situao que envolve quantidades conhecidas e outras desconhecidas; analtico quer dizer deduzir e foi nesse sentido que os gregos compreenderam. Foi nesse sentido que Pappus1 em particular entendeu, e que Vite e os outros algebristas do Renascimento, Cardano e outros, inclusive Descartes retomaram. Essa perspectiva epistemolgica nos permitiu criar situaes nas quais a escrita no foi central. Quando ns comeamos a trabalhar com as classes de segundo ano, com alunos de sete e oito anos, propusemos uma espcie de lgebra oral. Ao invs de pedir que escrevessem ou explicassem o seu raciocnio, demos-lhes mquinas como estas para gravar a voz. Cada equipe tinha uma e falava suas solues. A questo da representao chegou mais tarde. Esse um exemplo muito claro de como foi possvel tomar conscincia do que pensamos ser o ncleo do pensamento algbrico. Atravs de uma anlise histrica e epistemolgica, pudemos desenhar atividades de sala de aula nas quais incialmente a escrita no tinha papel primordial, mas sim a palavra. O primeiro ano de investigao com uma turma de segundo ano foi um ano de lgebra oral; no ano seguinte, os alunos j haviam desenvolvido certa motricidade e j podiam escrever mais rpido. Ento, aproveitamos isso para usar certas representaes simblicas. Mas as primeiras representaes so puramente lingusticas, orais. E os alunos chegam a um nvel do pensamento algbrico bastante interessante, o que chamamos de pensamentos incorporados atravs das dimenses sensoriais mistas combinadas. desse modo que o aluno consegue tomar conscincia da forma historicamente constituda de pensar as quantidades desconhecidas e atuar em situaes particulares.

1- Papo de Alexandria.

Gostaria de inserir uma pergunta especfica ainda sobre lgebra. O senhor destaca o papel das quantidades desconhecidas como o ncleo do conhecimento algbrico, mas parece tambm dizer respeito especificamente a como os alunos tratam a relao que existe entre as grandezas. Nesse caso, como est sendo entendido o papel da varivel, da variao, da grandeza varivel no estudo histrico e no trabalho com os estudantes?

Evidentemente, o problema da variao fundamental na matemtica e no por aca-so que, quando os matemticos mais impor-tantes do princpio do sculo XX comearam a se interessar pelas questes de educao, o conceito fundamental que eles puseram sobre a mesa foi precisamente o de funo. O concei-to de funo est baseado na ideia de varivel, mas no s no conceito de varivel. Baseia-se tambm na covariao dessas variveis. O problema das variveis e sua variao muito importante. Agora, isso no necessariamente quer dizer que toda variao ou covariao algbrica. Pode haver variaes e covariaes pensadas no campo da aritmtica. Ento, colo-ca-se a questo de quais so as diferenas en-tre as duas formas de pensamento e onde esto as fronteiras entre as duas e qual a relao entre elas. O resultado que me parece bastante significativo que conseguimos obter no campo da didtica da matemtica e, mais especifica-mente, no campo da lgebra com as crianas de haver mostrado que podem emergir formas de pensamento algbrico sofisticadas onde as formas aritmticas so bastante simples. Quero dizer que, ao contrrio dos currculos tradi-cionais em que lgebra comeava na escola secundria, uma vez que o pensamento arit-mtico havia sido desenvolvido com bastante profundidade, agora pensamos que a aritm-tica no necessariamente um pr-requisito, pelo menos no no mesmo sentido que tinha h alguns anos.


Focando agora particularmente os profes-sores, o senhor poderia destacar as princi-pais contribuies ou implicaes da Teoria Cultural da Objetivao para o processo de formao docente, em particular de profes-sores de matemtica?

Sim, claro. Eu trabalho com a formao de professores e, para ser coerente com os princpios da Teoria da Objetivao, tenho que trabalhar muito com eles no s a dimenso matemtica em si, relativa ao saber, mas tambm a relativa ao ser. Isso implica uma reconceitualizao do papel do professor. Digamos que, no construtivismo, o problema que o professor ficou praticamente sem ofcio, dado que era o aluno que tinha que construir seu prprio saber. Dentro da Teoria da Objetivao, visto que partimos de um conceito diferente de saber, como algo que passa de uma pura potencialidade a uma atualizao, dessa atualizao que o professor tem que participar juntamente com o aluno para que certas tomadas de conscincia sejam possveis na sala de aula. Nesse sentido, o professor no um simples acompanhante, coach, ajudador ou assessor. algum que est implicadssimo com o aluno e que sofre ou goza ao lado do aluno. Na formao dos professores, busco fazer meus alunos, que sero futuros professores, compreender que eles no esto ali para inculcar capacidades e habilidades abstratas apreciadas no mercado de trabalho. Eles tm uma misso histrica e cultural a cumprir e, mais do que outra coisa, tm que atender a dimenso do ser. H uma mudana da orientao e isso no quer dizer que esvaziamos todas as discusses sobre a densidade do saber matemtico, as condies que as atividades deveriam atender para ter a maior probabilidade possvel de provocar formas de conscincia profundas de saberes matemticos. Evidentemente, tudo isso importantssimo, mas a isso est ligada a dimenso tica do sujeito. Penso que essas so as contribuies ou implicaes da teoria no processo de formao de professores.

Sobre os procedimentos metodolgicos de pes-quisa, muitas de suas publicaes apresentam exemplos que provm de sala de aula direta-mente. Poderia destacar esses procedimentos metodolgicos de suas pesquisas empricas?

Nossa equipe constituda de estudan-tes, de colegas que esto interessados nesse tema, colegas no necessariamente da mesma universidade. Essa equipe tambm formada pelos professores que participam de nosso pro-jeto e cujas aulas vamos filmar. Os projetos em que estamos implicados so longitudinais, du-ram de trs a seis anos, o que nos d a pauta para desenvolver uma metodologia de estudo longitudinal na qual podemos traar o desen-volvimento cultural da criana. Participam desse projeto diferentes pessoas e nosso ponto de partida o professor e sua necessidade. O professor tem uma obrigao profissional pe-rante a escola, os pais, a famlia etc. e perante o currculo, o governo. Partirmos do currculo de matemtica de Ontrio e acompanhamos e apoiamos esses professores atravs de um pro-jeto conjunto de atividades baseadas nos obje-tivos do referido currculo. E o que fazemos propor atividades que so muito mais ricas con-ceitualmente e no alienantes do ponto de vista do professor e do aluno. H, antes de ir sala de aula, discusses peridicas com os profes-sores, que podem ocorrer na escola ou na uni-versidade. Algumas delas so filmadas e outras, gravadas. E a pensamos juntos as tarefas que vamos dar, depois de ter visto o que crianas fi-zeram no ano anterior. Analisamos com eles os vdeos, geramos interpretaes conjuntamente e novas atividades para levar o aluno a toma-das de conscincia mais profundas, quer dizer, a aprendizagens mais profundas do que as que tiveram at o momento anterior. Depois, leva-mos para a sala de aula quatro ou cinco cme-ras e filmamos diferentes grupos. Uma vez que adotamos a natureza social dos saberes e dos seres, propomos espaos de debates de comple-xidade crescente, que comeam com grupos de dois ou trs alunos, que trabalham visando a


resolver certos problemas. Depois, provocamos intercmbio entre os grupos para que os alu-nos aprendam a defender suas ideias, a ouvir as dos outros, a tentar entend-las etc. Depois que filmamos, regressamos ao laboratrio e a passamos a outra etapa, que de transcrio de vdeos, seleo de passagens importantes rela-cionadas aos elementos orientadores que temos e que esto apontando os momentos de objeti-vao e de subjetivao que se deram na sala.

Ainda em relao Teoria Cultural da Objetivao, quais so suas perspectivas de encaminhamentos de estudos e pesquisas decorrentes?

O que esperamos fazer nos prximos anos compreender melhor uma ideia que estamos trabalhando, mas que requer muito mais desenvolvimento, que a de ensino e aprendizagem vistos no como dois processos diferentes, mas, sim, como um processo conjunto, um mesmo processo, e entender da melhor maneira a questo da dimenso tica, inter-relacional, o que faz ou pode fazer o aluno ir mais adiante do que est indo nesse momento. H todo um interesse em compreender melhor o que estamos chamando de labor conjunto do professor e do aluno, labor no sentido do materialismo dialtico, em entender melhor as formas de produo do saber e as formas de colaborao humana que medeiam o labor conjunto, a fim de distinguir aquelas que se tornam alienao daquelas que oferecem espao de realizao prpria e coletiva.

Ns gostaramos de conversar com o senhor sobre algumas questes particulares do contexto educacional brasileiro. No Brasil, embora a legislao educacional faa referncia a uma base nacional comum para o currculo da educao bsica, a validade e a pertinncia de tal base comum objeto constante de discusso entre pesquisadores da rea. Considerando suas formulaes sobre o conceito de aprendizagem, entendido como a transformao de modos culturais de reflexo e ao objetivados em

objetos da conscincia, como o senhor analisa a possibilidade de definio de uma base comum de currculo em um pas como o Brasil, com a diversidade que possui?

Creio que o Brasil tem uma dimenso cultural muito particular, no sentido de que muito diversa, muito rica, muito forte. Todos os pases que possuem uma grande cultura esto sendo afetados por uma viso educativa empresarial e creio que isso um grande risco, ao qual temos que ser muito sensveis, porque, embora faamos parte de um contexto global, de intercmbios econmicos gerais, certo tambm que cada pas tem sua prpria especificidade e, medida que esses pontos bsicos podem ser dominados por um imperialismo econmico, corremos o risco muito grande de esquecer precisamente a outra forma de riqueza: a espiritual, a cultural, o que precisamente nos distingue uns dos outros. Nesse sentido, cabe uma importante reflexo de resistncia aos mandos de uma educao globalizada e globalizante, em que os seres deixam de ser seres e se convertem em peas de um corpo econmico, que so descartveis como peas de mquinas. Seria interessante partir de uma perspectiva que justamente reconhea a dimenso histrica e cultural do Brasil, que a avalie e no se deixe levar pelas exigncias de uma economia mundial. No estou dizendo que no se deve participar dessa economia mundial, mas no podemos reduzir isso que se passou nos pases avanados, que so avanados sim economicamente, mas no muito avanados em outros aspectos, em aspectos humanos em particular. H um grande risco de perder uma riqueza que temos na Amrica Latina, por seguir uma tendncia cega de avano pessoal e material unicamente. Eu gostaria muito, por exemplo, que fosse levada em conta uma dimenso tica, de valorizao da cultura e da histria, da sensibilidade ao outro, uma sensibilidade injustia social, no do ponto de vista tolerante geral, mas precisamente de reflexo sobre os mecanismos de sua produo.


Na sua avaliao, um currculo de Matemtica que considere esses ltimos elementos, inclusive a diversidade cultural brasileira, seria pertinente com a existncia de conhecimentos ou conceitos acordados dentro de um currculo nacional de base comum?

O problema por trs disso, creio eu, a maneira como o currculo opera. O currculo no deve ser prescritivo no sentido de normalidade opressiva. O currculo deve ser um ponto de referncia. Mais do que um documento a seguir, um currculo deveria ser um ponto de partida para que os indivduos em certas localidades, em certas comunidades, reflitam a respeito deles e do mundo. Um currculo um artefato impulsionado por duas foras opostas. Por um lado, uma fora centrpeta, que busca identificar elementos comuns (ideias, conceitos, maneiras de fazer, maneiras de ser); por outro lado, uma fora centrfuga, que aponta a diferena. Nesse sentido, um currculo um artefato dinmico, portador de tenses. Essas tenses fazem parte da natureza do currculo e, sem elas, ele no poderia ser um artefato cultural genuno, crtico, aberto e suscetvel de ser transformado continuamente. O problema que, em geral, o currculo tem sido visto como uma entidade fechada, esttica e tem se transformado em um instrumento de controle, constituindo-se em receita, em uma srie de passos a ser seguidos.

O problema no tanto que haja ou no haja um currculo. Pode haver ou no haver essa definio de elementos comuns no currculo. O que importa o sentido crtico que daremos a esses elementos. Deveria haver, por exemplo, no caso da matemtica, toda uma reflexo sobre a riqueza matemtica que existe no Brasil, a qual evidenciada, por exemplo, pela etnomatemti-ca. So formas de pensar diferentes, so formas de pensar o mundo de outra maneira. Em nosso imperialismo ocidental, temos nos deixado levar pela ideia de uma matemtica que, desgraada-mente, tornou-se utilitarista e simplesmente um clculo. No h espao para o prazer esttico e o crescimento subjetivo. J no h espao para a comunicao das ideias atravs de certos

smbolos, de certos procedimentos. No Canad, no existe um currculo de base comum; o curr-; o curr-culo provincial. a provncia que responsvel por seu currculo. Ainda assim, o currculo vis-to como um documento oficial que contm uma srie de ordens que necessrio executar; no um elemento de reflexo para nada. O problema com a matemtica que se tornou meramente utilitarista e que tudo aquilo que no suscet-vel de ser traduzido em termos econmicos no entra. H um currculo, mas com uma discrimi-nao entre o que digno de ser aprendido ou no. um currculo necessariamente excludente. Mas poderia se pensar em um currculo aberto, um currculo reflexivo, um currculo que oferea uma possibilidade de reflexo que permita ouvir outras coisas tambm.

Ainda sobre a educao brasileira, em particular sobre a educao matemtica no Brasil, o senhor poderia destacar alguma particularidade que considera relevante e de que forma essa particularidade poderia ser interpretada por meio da Teoria Cultural da Objetivao?

Creio que est relacionada ao que diz-amos. Eu penso que o Brasil um dos poucos pases do mundo que tem a possibilidade de oferecer uma diversidade incrvel de formas de pensar matematicamente o mundo. Isso uma contribuio inestimvel da educao matemti-ca brasileira, que tem a ver com a prpria estru-tura do pas, sua prpria histria etc. e isso algo muito valioso do ponto de vista da compreenso do que somos como seres humanos e a partir do que poderamos aprender muito. Existem for-mas matemticas de pensar o mundo que no esto guiadas simplesmente para fazer clculos. Filsofos importantes como um Heidegger, como Hegel, lamentaram em seu momento a mudan-a tecnolgica utilitarista e calculista que estava tomando a matemtica que eles conheceram. Na matemtica contempornea, talvez o mais dra-mtico seja o esvaziamento do sujeito e a crtica que Hegel faz precisamente matemtica que no h sujeito.


Para finalizar, o senhor gostaria de abordar ou comentar algum tema que no foi contemplado nessa nossa conversa?

No, creio que cobrimos muito bem os temas mais importantes, e que a entrevista foi muito bem estruturada.

Professor, gostaramos de agradecer a sua disponibilidade e tenho certeza de que a sua fala e as suas reflexes podero contribuir e servir de referncia de forma bastante significativa para a pesquisa em educao, e para a pesquisa em educao matemtica, em particular no Brasil. Muito obrigado!

Bibliografia do entrevistado

Livros

RADFORD, Luis. Cognio matemtica: histria, antropologia e epistemologia. So Paulo: Livraria da Fsica, 2012.

Livros em parceria

RADFORD, Luis; DEMERS, Serg. Communication et apprentissage: repres conceptuels et pratiques pour la salle de classe de mathmatiques. Ottawa: Centre Franco-Ontarien des Ressources Pdagogiques, 2004.

RADFORD, Luis; DEMERS, Serg; MIRANDA, Isaias. Processus dabstraction en mathmatiques. Ottawa: Centre Franco-Ontarien de Ressources Pdagogiques, Imprimeur de la Reine pour lOntario, 2009.

RADFORD, Luis; SCHUBRING, Gert; SEEGER, Falk. Semiotics in mathematics education: epistemology, history, classroom, and culture. Rotterdam: Sense Publishers, 2008.

ROTH, Wolff-Michael; RADFORD, Luis. A cultural historical perspective on teaching and learning. Rotterdam: Sense Publishers, 2011.

Captulos

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Artigos em peridicos

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Traduo / Translation