Prof. Rivelino – Matemática Básica

1 http://www.euvoupassar.com.br Repita com fé: Eu Vou Passar

Equações Polinomiais do 2° Grau

Definição

É toda equação redutível a forma: 2 0 0ax bx c com a+ + = ≠

Fórmula resolutiva Dada a equação 2 0 ( 0),ax bx c a+ + = ≠ vamos multiplicar ambos os membros por 4a:

2 24 4 4 0a x abx ac+ + =

Adicionando 2b aos dois membros, temos:

2 2 2 24 4 4a x abx ac b b+ + + =

Subtraindo 4ac, fica:

2 2 2 24 4 4a x abx b b ac+ + = −

Fatorando o primeiro membro e indicando o segundo membro pela letra Δ (delta) do alfabeto grego, obtemos:

2(2 )ax b+ = Δ

Se 0,Δ ≥ temos:

2ax b+ = Δ

Isolando o x:

2bx

a− ± Δ

=

• Essa fórmula é conhecida por fórmula de Bhaskara (matemático indiano, século XII). • 2 4b acΔ = − é chamado discriminante da equação.

Estudo das raízes em R • 0 Δ > ⇒ duas raízes reais e distintas • 0 Δ = ⇒ duas raízes reais e iguais • 0 Δ < ⇒ não existe raízes em R

Relações entre coeficientes e raízes

1 2bS x xa

= + = − 1 2 . cS x xa

= =

Observação: A partir das raízes, podemos “montar” uma equação do segundo grau.

2 0ax bx c+ + = (÷a) → 2 0bx cxa a

+ + = → 2 0x Sx P− + =

EXERCÍCIOS

1. Calcule o valor de “k” em cada uma das equações, de modo que as raízes sejam simétricas.

2 2

2

1a) -x - (3k - 1)x + 16 = 0 b) -x - (k - )x + 4 = 02

c) 3x + (2k - 6)x - 12 = 0

2. Ache o valor de “p” em cada uma das equações, de modo que uma das raízes seja nula.

2

2

2

a) -2x + 3x - (p-1) = 01b) -x + 9x - (3p - ) 05

c) x - x + 2p - 4 = 0

=

3. Descubra o valor de “m” em cada uma das equações, de modo que:

2

2

2

a) 3x - 2x + 5m = 0, e uma das raízes seja 1;b) x + 9x + 2m = 0, e uma das raízes seja 3;c) x - 12x + m = 0, e uma das raízes seja 2;

4. Discutir as raízes das equações:

2

2

2

2

a) x - 9x + 20 = 0b) x - x - 20 = 0c) x + 3x + 4 = 0d) x - 4x + 4 = 0

5. Sem resolver a equação 23x - 5x + 2 = 0, calcular a soma e o produto das raízes.

6. Calcular a média aritmética das raízes das equações:

2

2

2

a) x + 4x - 21 = 0b) x - 8x + 15 = 0c) 2x - 3x + 1 = 0

7. Sendo a e b as raízes da equação 2x + 5x + 2 = 0, calcule o valor de (a+2).(b+2).

8. Calcular a soma dos quadrados das raízes das seguintes equações:

2

2

2

a) x + 6x - 16 = 0b) x + 3x - 28 = 0c) 2x - 5x + 2 = 0

9. Calcular a soma dos quadrados dos inversos das raízes das seguintes equações:

2

2

a) x + 2x - 8 = 0b) 6x - 5x + 1 = 0

10. Determine a ∈ de modo que a equação 2x + ax + 1 = 0 admita raiz dupla.

11. Sendo a e b raízes da equação 22x + 3x + m = 4,

então, se 1 1 3+ = ,a b 2

o valor de m é:

Prof. Rivelino – Matemática Básica

2 http://www.euvoupassar.com.br Repita com fé: Eu Vou Passar

a) 1b) 2c) 3d) 4

12. (UECE) Sejam 1x e 2x as raízes da equação 23x - kx - 1 = 0. Se 2 2

1 2(x ) + (x ) = 1, então 2k é igual:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

13. Para que valor de m a equação 22x - 3x + m + 3 = 0 admite raízes recíprocas?

(números recíprocos são a mesma coisa que

números inversos, por exemplo, 15 e 5

).

14. (UFC) Seja k uma das raízes da equação 21999x - 2000x + 1999 = 0, Então o valor de

11999. (k + )K

é igual a:

a) 0b) 1c) 1999d) 2000

15. Seja r uma das raízes da equação: 22x - 10x + 2 = 0. Calcule o valor de 12.(r + ).

r

1a) 2

) 10c) 1d) zero

b

16. Se 1 2x e x são as raízes da equação 2x - 8x + 10, então calcule:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 22 2

1 2 1 2

3 31 2

1 2

a) x + x d) (x + 3) . (x + 3)

) x . x e) x + x1 1c) + f) x + xx x

b

17. (FEI-SP) Na equação 2x + 3x + a = 0, uma das raízes é o dobro da outra. Calcule o valor de a.

18. Formar a equação do 2° grau que admite 5 e 9 como raízes.

19. Calcular dois números cuja soma é 11 e o produto 28.

20. Para que valor de k a equação 2x - 16x + k = 0 admite uma raiz igual ao triplo da outra?

21. (FAOC-SP) A equação 2x - 3x + k = 0 tem como raízes -1 e α. Os valores de “k” e “α” são, respectivamente:

a) 2 e -4b) 2 e 4c) -4 e 4d) -4 e -4e) n.d.a

22. (PUC-SP) As raízes da equação 2x - ax + b = 0 são 1 e 2. Então, é verdade que:

2 2

2 2

2 2

2

2

a) a + b = a + 5bb) a - b = 1c) a = b + 10d) 2a + a = be) a - 3a = -b

23. (Funesp) Consideremos a equação 2x + ax + b = 0. Sabendo que 4 e -5 são as raízes dessa equação, então:

a) a = 1 , b = 7b) a = 1 , b = -20c) a = 3 , b = -20d) a = -20 , b = -20e) a = 1 , b = 1

24. (UECE) Sejam 1 2x e x as raízes da equação 2x - kx + k - 1 = 0. Se 1 1 2 2x + x . x + x = 13, então k

é igual a:

a) 4 c) 6b) 5 d) 7

25. Um grupo de meninos resolveu comprar uma bola que custava R$ 2.400,00. Como dois deles desistiram, cada um teve que dar mais R$ 40,00. Determine o número de meninos.

a) 12b) 10c) 09d) 08

Prof. Rivelino – Matemática Básica

3 http://www.euvoupassar.com.br Repita com fé: Eu Vou Passar

26. Resolva o sistema de equações, sendo U = x .

2 2x + y = 34x + y = 8⎧⎪⎨⎪⎩

{ }{ }{ }

a) b) (1,7) , (7 , 1)

c) (6 , 2) , (2 , 6)

d) (5 , 3) , (3 , 5)

∅

27. Sejam x, y, z e w números reais positivos que satisfazem ao sistema. Calcule x.y.z.w

y . z . w = 1x

x . z . w = 2y

x . y . w = 3z

x . y . z = 6w

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a) 36b) 8c) 6d) 1

28. Resolva os sistemas de equações, sendo U = x .

2 2x + y = 25x - y 1 = x + y 7

⎧⎪⎨⎪⎩

{{ }

a) (4 , 3) , (-4 , -3)}

b) (1 , 2) , (2 , 1)c) d) n.r.a∅