Instituto Superior de Ciências da Educação
ISCED-HUILA
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXACTAS
REPARTIÇÃO DE ENSINO E INVESTIGAÇÃO DE MATEMÁTICA
TRABALHO EM GRUPO DA CADEIRA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
TEMA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
2º GRUPO
3º ANO/MATEMÁTICA-REGULAR
O DOCENTE DA CADEIRA
------------------------------------------
DR. SAMUEL SUNGO
LUBANGO, SETEMBRO DE 2012
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
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Conteúdo
0. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 4
0.1. Conceitos Fundamentais ............................................................................................................... 5
0.2. Classificação das EDP .................................................................................................................. 5
0.3. Tipos de EDP .................................................................................................................................. 6
Exercícios resolvidos. ................................................................................................................................ 7
Exercícios propostos. ............................................................................................................................ 7
1. Métodos de resolução das EDP ...................................................................................................... 8
1.0. Solução geral e solução particular .......................................................................................... 8
1.1. Método da integração básica directa ...................................................................................... 8
Exercícios resolvidos. ................................................................................................................................ 9
Exercícios propostos ............................................................................................................................. 9
1.2. Método de mudança de variáveis .......................................................................................... 10
Exemplo de equações características de uma EDP....................................................................... 10
Exercícios resolvidos. .......................................................................................................................... 13
Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 15
1.3. Método de Separação de variáveis ....................................................................................... 15
Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 16
1.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSIÇÃO ........................................................................................ 18
Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 19
2. SÉRIE DE FOURIER ................................................................................................................... 19
Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 20
Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 23
2.1. Funções pares e ímpares ....................................................................................................... 23
2.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES ................................................. 23
2.3. SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E SÉRIE DE SENOS ......................................... 23
Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 24
Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 25
3. EQUAÇÃO DE OSCILACÃO DE UMA CORDA ......................................................................... 25
3.1. CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA ................................. 26
Exercícios resolvidos. .............................................................................................................................. 26
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3.2. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CORDA PELOS MÉTODOS D´ALEMBERT E DE FOURIER .................................................................................................................................................. 29
3.2.1. Método de D´Alembert para solução da equação da onda .......................................... 29
3.2.1.1. Solução de d´Alembert que satisfaça as condições iniciais .................................... 30
Exercício resolvido. ................................................................................................................................. 31
Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 32
3.2.2. Solução da equação da onda pelo método de Fourier .................................................. 32
Exercícios propostos. .......................................................................................................................... 32
CONCLUSÃO ........................................................................................................................................... 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ..................................................................................................... 34
INTEGRANTES DO GRUPO ............................................................................................................. 35
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0. INTRODUÇÃO Neste trabalho com o tema Equações Diferenciais Parciais de tipo Hiperbólico e subtemas Equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do problema e solução da equação da corda pelos métodos d´ Alembert e de Fourier, procuramos fazer um estudo em primeira instância dos conceitos fundamentais, métodos de resolução de uma EDP e série de Fourier para podermos nos armar de condições prévias suficientes e também necessárias para o real entendimento do assunto em causa.
A confeção do mesmo representou para nós um grande desafio, foi como escalar o Monte Everest, tivemos muitas dificuldades por falta de materiais de consulta.
Este trabalho é resultado de um esforço conjunto na insistência em pensar e entender o tema proposto.
Partimos da ideia de que cada um de nós é uma ave com apenas uma asa e que para voar precisamos nos abraçar uns aos outros.
Como o conhecimento científico não é algo pronto, acabado e indiscutível, esperamos todas críticas positivas no sentido de melhorar o presente trabalho.
A todos os nossos leitores desejamos uma boa expedição e que não se deixem levar pelas avalanches.
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0.1. Conceitos Fundamentais Chama-se Equação diferencial parcial (EDP) a uma equação diferencial cuja função incógnita depende de duas ou mais variáveis.
Consideremos 戟 como variável dependente, 捲 結 検 como variáveis independentes, temos os seguintes exemplos de EDP:
I. 戟掴 伐 戟槻 噺 ど
II. 擢鉄腸擢掴鉄 髪 ぬ 擢鉄腸擢槻鉄 噺 ど
III. 戟掴 髪 戟槻 噺 戟
IV. 擢鉄腸擢掴鉄 髪 擢鉄腸擢掴擢槻 髪 擢鉄腸擢槻鉄 噺 ど
V. 倦 擢鉄腸擢掴鉄 伐 戟 噺 擢鉄腸擢痛鉄 ┸ 倦 伴 ど
VI. 欠態 擢鉄腸擢掴鉄 噺 擢鉄腸擢痛鉄
VII. 戟掴掴 髪 戟槻槻 噺 戟
VIII. 捲態戟掴掴 髪 に捲戟掴 髪 戟槻槻 噺 ど
IX. 戟掴掴 髪 ね捲戟掴 髪 戟槻槻 噺 ど
X. 戟掴掴 伐 岫な 髪 検態岻戟掴槻 噺 ど
A ordem de uma EDP é a ordem da mais alta derivada que ocorre na equação, e o grau é o expoente da derivada mais alta, quando a equação está escrita em uma forma semelhante a uma função polinomial em que as potências fazem o papel das derivadas da ordem respectiva. Em função disso, dos exemplos anteriores tem-se:
As equações (I) e (III) são EDP de 1ª ordem. As equações (II), (IV), (V), (VI), (VII), (VIII), (IX), e (X) são EDP de 2ª ordem.
Poderemos centralizar as nossas atenções a última classificação pois consideramos serem as mais importantes para o nosso Estudo.
0.2. Classificação das EDP Em função da forma, as EDP classificam-se em:
a) EDP Quase Linear; quando pode ser posta na forma: 畦岫捲┸ 検岻戟掴掴 髪 稽岫捲┸ 検岻戟掴槻 髪 系岫捲┸ 検岻戟槻槻 髪 罫盤捲┸ 検┸ 戟┸ 戟掴 ┸ 戟槻匪 噺 ど
Onde os coeficientes A, B, e C das derivadas duplas de 傑 somente dependem das variáveis independentes 捲 結 検, isto é: 畦 噺 畦岫捲┸ 検岻┹ 稽 噺 稽岫捲┸ 検岻┹ 系 噺 系岫捲┸ 検岻 em que pelo menos um dos coeficientes A,B, C é não nulo.
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b) EDP Linear; quando pode ser posta na forma: 畦戟掴掴 髪 稽戟掴槻 髪 系戟槻槻 髪経戟掴 髪 継戟槻 髪 繋戟 髪 罫 噺 ど
Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem das variáveis 捲 結 検 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo.
c) EDP não Linear; quando não pode ser posta numa das formas
anteriormente referenciadas.
1.1. Exemplos de EDP Lineares (b) e não Lineares (C):
(b) 1) 戟掴掴 髪 戟 髪 戟 噺 ど
2) 擢鉄腸 擢掴鉄 髪 捲 擢鉄腸擢槻鉄 髪 捲 噺 ど
3) 戟掴掴 髪 結掴戟槻槻 髪 は 噺 ど
(C) 1) 戟戟掴掴 髪 戟槻槻 噺 ど
2)捲 擢鉄腸擢掴鉄 髪 検 擢鉄腸擢槻鉄 髪 戟態 噺 ど
3)戟 擢腸擢掴 髪 擢鉄腸擢槻鉄 噺 ど
As EDP Lineares de 2ª ordem podem ser: a) Não Homogéneas; quando têm a forma: 畦戟掴掴 髪 稽戟掴槻 髪 系戟槻槻 髪経戟掴 髪 継戟槻 髪 繋戟 髪 罫 噺 ど
Onde A, B, C, D, E, F, e G podem depender das variáveis 捲 結 検 ou das derivadas de 1ª ordem, alem disso 罫岫捲┸ 検岻 塙 ど┻
b) Homogéneas; Se na forma apresentada em a) 罫岫捲┸ 検岻 噺 ど
0.3. Tipos de EDP Do anterior exposto, dada uma EDP na forma: 畦戟掴掴 髪 稽戟掴槻 髪 系戟槻槻 髪経戟掴 髪 継戟槻 髪 繋戟 髪 罫 噺 ど
Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem das variáveis 捲 結 検 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo. A EDP é do Tipo:
Hiperbólico se ッ噺 稽態 伐 ね畦系 伴 ど
Elíptico se ッ噺 稽態 伐 ね畦系 隼 ど
Parabólico se ッ噺 稽態 伐 ね畦系 噺 ど
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Exercícios resolvidos.
1. Classificar as seguintes equações diferenciais:
y
uua
x
2
2
3)
yx
uub
2
2
2
2
)
0)2
2
2
2
yx
uuc
Solução:
y
uua
x
2
2
3)
Identificando primeiro os coeficientes temos, A=3, B=o e C=0
00.3.44 022 ACB , então a equação é uma equação diferencial
parabólica.
10,10)2
2
2
2
2
2
2
2
CBAuuuu
b
yxyx
04)1.(1.44 022 ACB , então a equação é hiperbólica.
10,10)2
2
2
2
CBAuu
c
yx,
,041.1.44 022 ACB logo a equação é elíptica.
Exercícios propostos. 1. Classificar as seguintes equações:
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053)
0)
0,2)
0,2
)
)
0)
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
yx
yxx
tx
x
yx
u
yx
uuf
uue
kt
uk
uuad
kt
uu
ukc
y
u
x
ub
u
yx
uua
1. Métodos de resolução das EDP
1.0. Solução geral e solução particular
A solução ),( yxfu de uma EDP sobre um conjunto é a solução que engloba todas
as soluções válidas sobre este conjunto, enquanto uma solução particular é uma função especifica que satisfaz a EDP dada sob uma condição particular.
Exemplo:
)()( yxgyxfw é a solução geral da equação da equação diferencial parcial
0uu yyxx, enquanto 0),(,,
22 ueuyxsenuxyuu eyx
yx são
soluções particulares
Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de uma equação diferencial.
1.1. Método da integração básica directa No método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s exactas , quando integramos em ordem a uma das variáveis , consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função arbitrária nas outras variáveis como uma constante .
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Exercícios resolvidos.
1. Sabendo que u é uma função de x e de y , determinar as soluções gerais das equações diferenciais parciais seguintes:
a) 0),( yxux
b) 0),( yxuxx
c) 0),( yxuxy
Solução:
a) 0),( yxux
0
x
u, integrando ambos os membros em ordem a x, como u é uma
função de x e y , então considera-se como constante uma função em ordem a y. Assim vem:
)(),( yfyxu , que é neste caso a solução geral.
b) 0),( yxuxx
, procedendo-se da mesma forma que no exercício anterior
temos:
02
2
x
u, integrando a primeira vez em ordem a x vem )(yf
x
u
e
integrando a segunda vez de novo em ordem a x, temos como solução geral )()(),( ygyxfyxu , onde f(y) e g(y) são funções com respeito a y.
c) 0),( yxuxy
, integrando primeiro em ordem a x vem )(),( yfyxuy e
integrando agora em ordem a y temos como solução geral
)()(),( xhdyyfyxu .
Exercícios propostos. Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais seguintes:
1. 0),( yxuy
2. 3),( yxuxx
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3. 0),( xuyy
4. yyxux
cos),(
5. 12),( xyyxuy
6. yyxu xxy
3
8),(
7. 2),,( zyxuxyz
8. uu xxy
9. 0uu xxy
10. 01 yxuu xxy
11. 04 uuxx
12. 02 yuuy
1.2. Método de mudança de variáveis
Equação característica
Para a EDP
0),(),(),( uuu yyxyxxyxCyxByxA ,
Definimos a equação diferencial característica associada como:
0),())()(,(),( )()(22
dydx yxCdydxyxByxA as curvas características associadas
são as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.
Exemplo de equações características de uma EDP
A equação 0uu yyxx, definida em IR
2, tem a equação característica
)()(22
dydx
A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:
cc yxeyx21
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É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica associada.
Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler)
0 ZZZ yyxyxx
Onde e, são números reais. Usando as mudanças de variáveis:
dycxvebyaxu e a regar da cadeia poderemos escrever :
x
v
v
Z
x
u
u
Z
x
Z
e
y
v
v
Z
y
u
u
Z
y
Z
E assim temos:
v
Zd
u
Zb
y
Z
ev
Zc
u
Za
x
Z
Neste caso a solução geral é dada por )()(),( vgufvuZ
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De forma análoga temos:
x
v
v
Zc
u
Za
vx
u
v
Zc
u
Za
u
Z
v
Zc
u
Za
x
Z
x
x
)()(
)(
2
2
2
2
Assim )()(2
222
2
2
2
2
vux
Zc
vu
Zac
vu
Zc
Zaa
Z
Ou seja
u
cu
ax
Z
vu
Zac
ZZ2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ou em uma notação mais simples:
1222
ZcZZaZ vvuvuuxxac
Analogamente:
)()(
2
v
Zd
u
Zb
xy
Z
xyx
Z
x
v
v
Zd
u
Zb
vx
u
v
Zd
u
Zb
uyx
Z
)()(
2
vuvu
Zcd
vu
Zbcad
Zab
Zcd
vu
Zbc
vu
Zad
Zab
yx
Z2
22
2
2
2
222
2
22
Ou mais simplesmente:
2ZZZZ vvuvuuxycdbcadab
Do mesmo modo:
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y
v
v
Zd
u
Zb
vy
u
v
Zd
u
Zb
uv
Zd
u
Zb
yy
Z
y
Z
y
2
2
vd
ub
y
Z
vu
Zbd
vu
Zbd
ZZ2
2
2
22
2
2
2
2
2
Ou seja
vd
ub
y
Z
vu
Zbd
ZZ2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ou ainda
3222
ZdZZbZ vvuvuuyybd
Exercícios resolvidos. Determinar as soluções gerais para cada uma das equações:
1. 0uu yyxx
2. 0456 ZZZ yyxyxx
Solução:
1. 0uu yyxx
Determinando primeiro a equação característica ordinária vem
000))((0)()(22
dydxdydxdydxdydxdydx
Integrando cada uma das equações temos
cc yxeyx21
, fazendo yxveyxu
1,1
1,1
y
v
x
v
y
u
x
u
Fazendo também Zu . Então
v
Z
u
Z
x
v
v
Z
x
u
u
Z
x
Z
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v
Z
u
Z
xx
Z
x
Z
x2
2
vux
Z
vu
Z
vu
ZZ
x
v
v
Z
u
Z
vx
u
v
Z
u
Z
u
Z2
222
2
2
2
2
vux
Z
vu
ZZZ2
22
2
2
2
2
2
,
Ou simplesmente ZZZZ vvuvuuxx 2
Analogamente:
v
Z
u
Z
y
v
v
Z
y
u
u
Z
y
Z
v
Z
u
Z
yy
Z
y
Z
y2
2
vuy
Z
vu
Z
vu
ZZ
y
v
v
Z
u
Z
vy
u
v
Z
u
Z
u
Z2
222
2
2
2
2
vuy
Z
vu
ZZZ2
22
2
2
2
2
2
Ou apenas:
ZZZZ vvuvuuyy 2
Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:
02022
022
0
ZZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZ
uvvvuvuuvvuvuu
vvuvuuvvuvuu
yyxx
0Zuv, aplicando o método da integração básica directa temos que:
vgufvuZ ), que é solução da equação 0Zuv
Com as variáveis originais obtemos a solução: yxgyxfyxZ , que é a solução geral.
b) 0456 ZZZ yyxyxx
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Fazendo byaxm e admitindo que ebyax
yxZ, seja a solução
da EDP dada dessa forma
ebZeZeaZbyax
yy
byax
xy
byax
xxeab
22,
Substituindo estas expressões na EDP dada , temos:
045622
ebabyax
ab que terá como soluções se existirem
valores reais ou complexos bea satisfazendo a relação
045622 ba ab
Com a fórmula quadrática podemos decompor esta expressão na forma 0)2)(43( baba
Assim 02043 baba
Na primeira relação para evitar a presença de fracções tomamos 34 bea . Na segunda tomamos 21 bea
Dessa forma, as nossas mudanças de variáveis serão indicadas por yxneyxm 234 com estas substituições na EDP ,
teremos simplesmente 0Zmn, cuja solução é
)()(),( ngmfnmZ
Retornando às variáveis originais obtemos a solução )2()34(),( yxgyxfyxZ
Exercícios propostos.
1. Usando as transformações indicadas , resolver as seguintes equações:
a) yxzxvuu yyxy ,0
b) xyzxvyx uuu yyyxy ,
c) yxzyxvuuu yyxyxx 3,034
d) yxzxvuuu yyxyxx ,02
e) yxzyxvuuu yyxyxy 2,02
1.3. Método de Separação de variáveis Quando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de x por uma função de y, como
),()(),( yYxXyxu
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As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que :
yXx
u´
, xYy
u´
,
E que yXu
x´´
2
2
, xY
u
y´´
2
2
Exercícios resolvidos.
Determine a solução produto de :
a) y
uu
x
4
2
2
b) uu yx =0
Solução:
a) y
uu
x
4
2
2
y
Y
x
XxYyX
´
4
´´´4´´
visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são independentes de x como de y. em outras palavras cada lado da equação deve ser uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação
como 2 ou 2 .
Desta forma distinguimos os três casos seguintes: CASO I :
Se 20 as duas igualdades
2´
4
´´
y
Y
x
X, então temos:
X´´=4x 2 Y´=y 2
0´0 4´´22 yYxX , assim temos as
respectivas equações auxiliares seguintes:
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004222 rr , onde para x r=2 e para y r= 2
dessa forma temos
as soluções seguintes:
ecccy
YxsenhxX 2
32122cosh , assim uma solução particular da EDP
dada é: U =XY
u= ecccy
xsenhx 2
321)22cosh(
u= xsenhx eBeAyy 22cosh
22
11
, onde ccBccA 321311
Caso II
Se 02 , as igualdades
2´
4
´´
y
Y
x
X X´´+4x 2
=0 Y´+y 2=0, onde para x ir 2 e para y
temos que r= 2 assim as soluções respectivas são:
ecccy
YxsenxX 2
65422cos
, a solução particular correspondente é:
ecccy
xsenxu 2
654)22cos(
xsenxu eBeAyy 22cos
22
22
, onde ccBccA 652642
CASO III
Se 02 , as igualdades
BAccc xuyxX
YX
33987
00´´
onde ccBccA 983973
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1.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSIÇÃO
Se uuuu k,...,,,
321, são soluções particulares de uma equação diferencial em derivadas
parciais linear e homogénea, então a combinação linear
ucucucuc kku ...
332211 também é uma solução, em que ck
são constantes e
INk0
.
Assim é também solução da equação anterior a expressão:
u= xsenhx eBeAyy 22cosh
22
11 + xsenx eBeA
yy 22cos22
22
+ BA x33
.
b) uu yx =0
y
Y
x
XxYyXxYyX
y
u
x
u ´´´´0´´0
,
2´´
y
Y
x
X então
X´= 2x Y´= 2
x
2´X =0 0´
2 Y , pelas equações auxiliares 02 r temos que
2r , então vem:
X=c1 e
x 2
e yeY c
2
2 , assim a solução produto
XYyxu ),(
u(x,y)= c1
xe 2
.c2
ye 2
U(x,y)= A 2)()(,
2
ke eyxkyx
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Exercícios propostos.
1. Calcule uma solução produto de cada uma das equações seguintes, aplicando o método de separação de variáveis:
0)1()
04)
02)
02)
)
)
0,)
0)
)
)
)
)
03)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
uyu
uuu
uuux
uuu
uutx
a
x
yx
uu
uu
xyxx
yyxxx
yyxxx
yxxx
yyxx
yx
yx
m
xl
xk
j
ui
uuh
kt
uu
ukg
u
yx
uuf
y
ux
x
uye
ud
uc
y
uy
x
uxb
y
u
x
ua
.
2. SÉRIE DE FOURIER
A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo ),( pp é
1
0 )cos(2
)(n
nn p
xnsen
p
xnxf ba
a
onde
p
p
dxxfp
a )(1
0
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 20
p
pndx
p
xnxf
pa
cos)(
1
p
pndx
p
xnsenxf
pb
)(
1
...3,2,1,0n
Exercícios resolvidos.
Determine as séries de Fourier das funções no intervalo dado:
x
xxfa
0,1
0,0)()
10,
01,1)()
xx
xxfb
20,
02,)()
xx
xxxfc
Solução:
x
xxfa
0,1
0,0)()
A série de Fourier de função )(xf é dada por
1
0 )cos(2
)(n
nn p
xnsen
p
xnxf ba
a
,
determinando os coeficientes temos:
p
p
dxxfp
a )(1
0
neste caso
p
1
1)(
1
00dxdxxfa
p
pndx
p
xnxf
pa
cos)(
1
0cos1
cos1
cos)(1
0 0
nxdxdx
xndx
xnxfa n
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 21
)1(
1)cos1(
1
1)(
1)(
1)(
1
)1(
cos0
0
n
n
p
pn
nn
n
ndxnxsendx
xnsenxfdx
p
xnsenxf
p
b
nxb
,
então a série de Fourier para a função dada é
sennx
nxf
n
n
1
111
2
1)(
10,
01,1)()
xx
xxfb
2
3
2
112
2
1)(
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
xxa xdxdxdxxf
1
1
0
1
1
0
coscoscos)( xdxnxxdxnxdxnxfa n , integrando por partes a segunda
parcela temos que
1
1
2
11
)(
cos)( 22
1
0
0
1
n
n
nn
xn
n
xnxsenxnsena
n
n
xnx
n
xnsenxnb
nxdxxsennxdxsennxdxsennxf
n
cos
)(cos
2
1)(
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
nbn
1 , logo a série correspondente é:
122
)1
cos11
(4
3)( )1(
n
n
xsennn
xnxf
n
20,
02,)()
xx
xxxfc
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 22
211224
1
2
1
2
1)(
2
1
4
12
0
0
2
2
2
0
2
2
0
0
xxa xdxxdxxf
2
2
2
0
0
22
cos2
cos2
1
2cos)(
2
1dx
xnxdx
xnxdx
xnxfa n
n
xnxsen
n
xn
n
xnxsen
n
xn
a n
22
2cos
4222cos
4222
1
222
1
2
0
0
2
1cos4
1cos2
cos1222
22
2222
2
0
22
0
2
22
2cos
2cos
n
nn
na
nn
xn
n
xn
na
n
n
0
2
2
0
2
222
1
22
1
2)(
2
1dx
xnxsendx
xnxsendx
xnsenxfbn
2
cos2
2
4
2cos
2
2
4222
1
222
1
2
0
0
2
xnx
n
xnsen
n
xnx
n
xnsen
nbn
011
2cos
2cos
2
0
0
2
xnx
xnxb
nnn
,
A série correspondente a função é
1
22 2cos)1(cos
141)(
n
xnnxf
n
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 23
Exercícios propostos. 1. Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:
a)
x
xxf
0,1
0,1)( b)
50,1
05,1)(
xx
xxf
c)
31,0
11,1
13,0
)(
x
x
x
xf d)
101
01,1)(
xx
xxxf
2.1. Funções pares e ímpares A função seno e cosseno são funções impar e par respectivamente, ou seja , uma função é par se )()( xfxf e é ímpar se )()( xfxf .
Vemos que xx cos)cos( e senxxsen )(
2.2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES a) O produto de duas funções pares é par b) O produto de duas funções ímpares é par c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função ímpar d) A soma ou diferença de duas funções pares é par e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar
f) Se f é par,
a
o
a
adxxfdxxf )(2)(
g) Se é ímpar, 0)( a
adxxf
2.3. SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E SÉRIE DE SENOS I) A série de Fourier de uma função par num intervalo ),( pp é a série de
cossenos
1
0 cos2
)(n
n p
xnxf a
a
Em que p
dxxfp
a 00)(
2 e
p
ndx
p
xnxf
pa 0
cos)(2
II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo ),( pp é a série de
senos
1
)(n
n p
xnsenxf b
,
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 24
Onde p
ndx
p
xnsenxf
pb 0
)(2
Exercícios resolvidos.
1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções: a) 22,)( xxxf
b) 11,)(2
xxf x
Solução: a) 22,)( xxxf
Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem: ),()(),()( xfxfmasxfxf logo a função é ímpar,
assim podemos desenvolver em série de Fourier de senos.
1
)(n
n p
xnsenxf b
dxxn
senxfp
p
nb 0
2)(
2
2
0
2
02
cos2
2
42222
2 xnx
n
xnsen
nb dx
xnxsen
n
nn
bncos
4 , a série correspondente é:
1 2
)(cos14
)(n
xnsenn
nxf
b) 11,)(2
xxf x
xxfxf2
)()( , então a função é par
Como a função é par se desenvolve em série de Fourier de cosseno.
1
0 cos2
)(n
n p
xnxf a
a
p
dxxfp
a0
0)(
2
3
168.
3
233
22
1
0
2
0
2
0 xxa dx
p
ndx
p
xnxf
pa
0
cos)(2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 25
n
na n
cos4
22
1
22coscos
14
3
8)(
n
xnnxf
.
Exercícios propostos. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções: a) 33,)( xxxf
b) 11,1)( xxxf
c) 22
,cos)(
xxxf
d) xsenxxf ,)(
3. EQUAÇÃO DE OSCILACÃO DE UMA CORDA
A equação x
at
uu2
2
2
2
2
ou uau xxtt
2 se chama equação de oscilação de uma corda
(equação da corda vibrante), onde a2 é considerado como uma constante positiva, a
menos que se especifique o contrário.
1
0
1
0
2
33
2
222cos2
2cos
2xnsen
nn
xxnx
nxa xdxn
n
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 26
3.1. CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma função ),( txu , para 00 teLx , que satisfaça a
equação das ondas, as condições de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido como um problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF. Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a hipótese de extremidades fixas implica que
0,0),(),0( tparatLutu ,
que são chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, e isso ficará claro mais adiante, é o deslocamento inicial da corda, representado por )0,(xu e o modo como a corda é
abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial ).0,(xut
Assim devem ser dados
Lxparaxgx
Lxparaxfxu
ut
0),()0,(
0),()0,(, que são chamadas condições iniciais.
Exercícios resolvidos.
1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas:
a) .0),(),()0,(
0,0),(,0),0(
0
Lxxgxfxu
ttLutu
t
u
t
b) 0),(
4
1)0,(
0),(,0),0(
0
t
u
t
xLxxu
tLutu
Solução:
a) .0),(),()0,(
0,0),(,0),0(
0
Lxxgxfxu
ttLutu
t
u
t
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 27
Sabe-se que a equação da onda é x
at
uu2
2
2
2
2
, resolvendo pelo
método de separação de variáveis vem:
tXu
xTu
xt´´´´
2
2
2
2
xXtT
x
X
t
TtXxT
a
aa
222
2
2
2
´´´´
´´´´´´´´
0´´0´´222 xXtT a , as equações auxiliares respectivas
são
:,0022222
temosresolvendorar
irair , então temos: atsenatT cc 21
cos e
xsenxX cc 43
cos
Atendendo as condições de fronteira temos 0)(0)0( LXX
Assim vemos que 0043
Lsencc .
Esta última equação define os valores próprios L
n , onde
,3,2,1n
As funções próprias respectivas são ,3,2,1,4
nL
xnsenX c
As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na
fronteira são xL
nsent
L
ansent
L
anBAu nnn
cos
1
cos),(n
nnx
L
nsent
L
ansent
L
antxue BA
Como 0t nesta última expressão, obtemos então
1
)()0,(n
nx
L
nsenxfxu A
, que é um desenvolvimento de )(xf em forma
de série de senos de Fourier. Definindo BA nn
L
nxdx
L
nsenxf
LA
0
.)(2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 28
Para determinar Bn, derivamos a expressão ),( txu com respeito a t e
fazemos 0t :
xL
nsent
L
an
L
ant
L
nsen
L
an
t
u
nnn BA
1
cos
1
0
)()(n
n
t
xL
nsen
L
anxg B
t
u .
Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do
intervalo no intervalo, o coeficiente total
L
anBn
deve estar na forma
L
nxdx
L
nsenxg
LL
anB
0
)(2
onde obtemos
L
o
nxdx
L
nsenxg
anB
)(2
A solução do problema está formada por série, com BA nne definidos
respectivamente. Observe que quando a corda se solta partindo de repouso, 0)( xg , para
todo x em Lx 0 e , em consequência , .0Bn
b) 0),(
4
1)0,(
0),(,0),0(
0
t
u
t
xLxxu
tLutu
Já sabemos do exercício anterior que resolvendo a equação da
onda pelo método de separação de variáveis obtem-se
atsenatTexsenxX cccc 4321
coscos
, então atendendo as condições de fronteira e iniciais vem:
0)(0)0(21
LsenLXX cc em que as funções próprias
correspondentes são
,3,2,1
cos432
npara
tL
ansent
L
anTex
L
nsenX ccc
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 29
Então xL
nsent
L
ansent
L
anu
nnn BA
1
cos
Impondo
14
1)0,(
nn
xL
nsenxLxxu A
,
xL
nsent
L
an
L
ant
L
nsen
L
an
t
u
nnn BA
1
cos
00)0,(1
BBu n
nnt L
ansen
L
anx
,3,2,1cos,1
nxL
nsent
L
antxu
nnA
3.2. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CORDA PELOS MÉTODOS D´ALEMBERT E DE FOURIER
3.2.1. Método de D´Alembert para solução da equação da onda Vimos que a equação da onda é dada por: 擢鉄通擢痛鉄 噺 欠態 擢鉄通擢掴鉄 (1), 欠態 噺 脹諦 , Transformando (1) de uma maneira adequada, a
saber, introduzindo as novas varáveis independentes. 懸 噺 捲 髪 欠建┸ 権 噺 捲 伐 欠建 (2), Vemos que de (2) 懸掴 噺 な 結 権掴 噺 な, portanto: 憲掴 噺 憲塚懸掴 髪 憲佃権掴 噺 憲塚 髪 憲佃 , Aplicando a regra da derivação por cadeia no segundo menbro obtemos: 憲掴掴 噺 岫憲塚 髪 憲佃岻掴 噺 岫憲塚 髪 憲佃岻塚懸掴 髪 岫憲塚 髪 憲佃岻佃権掴, Como 懸掴 噺 な 結 権掴 噺 な esta expressão transforma-se em: 憲掴掴 噺 憲塚塚 髪 に憲塚佃 髪 憲佃佃. A outra derivada em (1) é transformada pelo mesmo processo e o resultado é: 憲痛痛 噺 欠態岫憲塚塚 伐 に憲塚佃 髪 憲佃佃岻. Substituindo estes dois resultados em (1) obtemos: 憲塚佃 岩 擢鉄通擢塚擢佃 噺 ど (3) integrando esta equação em relação a 権┸ obtendo
擢通擢塚 噺 月岫懸岻, Onde 月岫懸岻 é uma função arbitrária de 懸 integrando em relação
a 懸 obtemos 憲 噺 完 月岫懸岻穴懸 髪 閤岫権岻 onde 閤岫権岻
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 30
É uma função arbitraria de 権┻ como a integral é uma função de 懸┸ digamos 剛岫懸岻, a solução possui a forma: 憲 噺 剛岫懸岻 髪 閤岫権岻 em vista de (2) ele toma a forma: 憲岫捲┸ 建岻 噺 剛岫捲 髪 欠建岻 髪 閤岫捲 伐 欠建岻 (4) esta é conhecida como a Solução de D´Alembert das ondas (1). As funções 剛 結 閤 podem ser determinadas a partir das condições iniciais. Vamos ilustrar este facto no caso da velocidade inicial nula e de deflexão inicial dada 憲岫捲┸ ど岻 噺 血岫捲岻┻ Derivando (4) obtemos: 擢通擢痛 噺 欠剛 ┸岫捲 髪 欠建岻 伐 欠閤┸岫捲 伐 欠建岻 (5) Onde representam derivadas em
relação aos argumentos totais 捲 髪 欠建 結 捲 伐 欠建, respectivamente. De (4), (5) e das condições iniciais decorre que 憲岫捲┸ ど岻 噺 剛岫捲岻 髪 閤岫捲岻 噺 血岫捲岻 憲痛岫捲┸ ど岻 噺 欠剛┸岫捲岻 伐 欠閤 ┸岫捲岻 噺 ど da última equação, 閤┸ 噺 剛┸ . Assim 閤 噺 剛 髪 倦, e daí e da primaira equação, に剛 髪 倦 噺 血, ou 剛 噺 捗貸賃態 . Com as
estas duas funções 剛 結 閤 a solução (4) se torna: 憲岫捲┸ 建岻 噺 怠態 岷血岫捲 髪 欠建岻 髪 血岫捲 伐 欠建岻峅 (7) Os resultados mostram que as duas
condições iniciais e as condições no contorno determinam a solução de maneira única.
3.2.1.1. Solução de d´Alembert que satisfaça as condições iniciais Dadas as condições
)()0,(
)()0,(
xgx
xfxu
ut
A partir da solução 4 憲岫捲┸ ど岻 噺 剛岫捲岻 髪 閤岫捲岻 噺 血岫捲岻 8 擢通擢痛 噺 欠剛 ┸岫捲岻 伐 欠閤┸岫捲岻 噺 訣岫捲岻 9 , dividindo por a e integrando com
respeito a x esta expressão obtemos:
x
x
kdssga
kxx xxxx0
)()()(,)(1
)()()(0000
10
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO
ISCED-HUILA/2012 31
Somando termo a termo a expressão (8) com a expressão (10) vem: 剛岫捲岻 髪 閤岫捲岻 噺 血岫捲岻
x
x
kdssga
kxx xxxx0
)()()(,)(1
)()()(0000
,
Vemos se cancela e ao dividir por 2 se obtem
11)(2
1)(
2
1)(
2
1)(
0
0 x
x
kdssga
xfx x
, de maneira similar trabalhando com as mesmas expressões 108 e
, mas desta vez eliminando )(x , se obtem
12)(2
1)(
2
1)(
2
1)(
0
0 x
x
kdssga
xfx x
Em (11) se substitui atxporx ; se obtem assim uma integral de
atxax 0
. Em (12) se substitui atxporx ; se obtem assim uma
integral de atxax 0
. Ao somar as expressões resultantes ,obtemos a
expressão seguinte:
a tx
a tx
dssga
atxfatxftxu 13)(2
1)()(
2
1),(
Exercício resolvido.
Empregar a solução de d´Alembert para o problema inicial sujeita as condições iniciais dada: a) 1)(,)( xgsenxxf
Solução :
a tx
a tx
dsa
atxsenatxsentxu2
1
2
1),(
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tatsenxa
xsenatatsenxxsenatatsenxtxu satx
a tx
cos
2
1coscoscoscos
2
1),( , que é
uma solução da equação da onda.
Exercícios propostos. 1. Usando a fórmula de d´Alembert , resolver os seguintes exercícios :
a) xxsenxxu uuau txxttcos)0,(,)0,(
2
b) xsenxgxf 2)(,0)(
3.2.2. Solução da equação da onda pelo método de Fourier Para resolver a equação pelo método de Fourier , inicialmente ,usamos o método de separação de variáveis para obter uma solução da forma
)()(),( tTxXtxu que satisfaça a equação das ondas e as condições de
fronteira. Isso feito , usamos essas funções para compor uma função que satisfaça , também , às condições iniciais. O passo seguinte do método de Fourier é a determinação das constantes
ba nne , de modo que a solução ),( txu do PVIF seja dada por
1
cos),(n
nnt
L
ansen
L
xnsent
L
an
L
xnsentxu ba
.
Exemplo: a alínea a) e b) do subtema, condições com valores de contorno do problema presente neste
trabalho.
Exercícios propostos. 1. Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as
condições citadas:
a) L
xsenxuxtLutou ut
)0,(,0)0,(),(),(
b) xsenxuxtutu ut5)0,(,0)0,(),(),0(
c) xsenxxututou ut9)0,(,0)0,(),(),(
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ISCED-HUILA/2012 33
CONCLUSÃO
Do anterior exposto, pensamos ser necessário um estudo profundo dos assuntos ora abordados dada a complexidade do mesmo com mais calma e com bastante desejo em aprender, porque ao confeccionar o mesmo conhecemos as nossas limitações e conseguimos superá-las após colocar em evidência as condições prévias de que procuramos nos munir, como o estudo das EDO e dos assuntos expostos conforme a introdução.
Da cogitação feita, tivemos como resultado a feitura do presente trabalho, o que nos permite dizer que precisamos estudar, estudar, estudar cada vez mais porque falar de Equações Diferenciais Parciais de tipo Hiperbólico é falar de muito mais.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed, USA.
BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais , Coleção Schaum, McGraw-Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.
FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Publications Inc., (1993), New York, USA.
FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.
KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado , vol 1 e 2, Edgard Blucher Editora e EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.
KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería vol 2, Limusa Wiley, (2003),
3 ªed, México.
SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.
SPIEGEL, Murray R. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A, (1983), México.
ZILL, Dennis G., Equaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado,International Thomson Editores, (1997) ,6ª ed, México.
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INTEGRANTES DO GRUPO
1. Elias Dumildes Sacusseia 2. Evaristo José das Mangas 3. Faustino Mande Tchimuku Luhaco 4. João Quintas da Silva 5. João Tchilanda Domingos 6. Paulo Macala Cassiano Manuel