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ESTADSTICAS UNIBANDA
Son aquellas que se utilizan para la descripcin y evaluacin de la calidad de la imagen satelital
en una sola banda o matriz de informacin.
El primer valor estadstico es el Nivel digital mnimoque es el valor ms pequeo que tomauna celda de la matriz o pixel dentro de una sola banda, este valor puede ser el nivel de
reflectancia, brillo, etc.
As como hay un valor mnimo tambin existe un valor mximoque es todo lo contrario a la
definicin dada para el Nivel Digital mnimo.
El rango es el total de niveles digitales que hay en la imagen para saber a priori que tipo de
coberturas se podran encontrar en la imagen. Desafortunadamente, cuando existen valores
extremos de niveles digitales esta medida no nos brinda mucha informacin acerca de la
imagen. Se calcula con la diferencia entre el Nivel digital mximo y el mnimo.
La mediaes el promedio aritmtico y es definida como la suma de todos los valores de niveles
digitales dividido entre la cantidad de estos. La frmula utilizada es la siguiente:
Donde es el nivel digital i-esimo en la banda k.
La varianzaes el promedio cuadrado de todos los errores que tienen los distintos valores conrespecto a la media. La frmula para calcularla es la siguiente:
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Desviacin estndar: Es la raz cuadrada positiva de la varianza. Un valor pequeo nos sugiere
que los valores estn cerca al valor central mientras que un valor alejado todo lo contrario.
La Curtosis mide que tan plana o puntiaguda es una distribucin de probailidad. Esta
medida determina el grado de concentracin que presentan los valores en la regin central de
la distribucin. Entre ms concentracin de valores exista en el centro de la distribucin mas
puntiaguda ser. Se calcula de la siguiente manera:
El Coeficiente de Asimetra nos permite identificar si los datos se distribuyen de formauniforme alrededor del punto central (Media aritmtica).
Mediana: Es el valor central dentro de la serie ordenada de niveles digitales.
Moda:Es el valor que tiene mayor frecuencia dentro de la muestra. Es el valor ms alto en una
curva de distribucin de probabilidad, donde hay varios picos o puntos altos se le llama
distribucin multimodal.
Ya despus de explicados cada uno de los conceptos que van a ser utilizados para el anlisis
por banda de la imagen de la zona de estudio, se proceder a estudiar cada una de las medidas
para cada una de las bandas y as sacar conclusiones a cerca de la calidad e importancia de los
datos.
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Estadsticas Banda No 1 (Ultra Azul)
Figura 3.1.Banda 1 imagen zona de estudio
Figura 3.2.Histograma Banda 1
Tabla 3.1.Estadsticas Banda 1
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
8700 10700 12700 14700
Frecu
encia
ND
Histograma Banda 1
ND mnimo 8803
ND mximo 34906
Rango 26103
Media 9653,975
Varianza 226532,21
Desv. Estndar 475,954
Mediana 9572
Moda 9456
Curtosis 391,318
Asimetra 13,128
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La tabla 3.1 muestra las estadsticas que se obtuvieron de la banda 1. La banda tiene un rango
de niveles digitales de 26.103, una media de 9653,975 lo cual nos indica que la distribucin
esta hacia la izquierda como lo muestra el histograma en la figura 3.2, esto quiere decir que la
mayora de niveles digitales tienden a ser oscuros o bajos comparado con el gran numero que
hay en la matriz. La desviacin estndar de 475.954 nos seala que los valores estn un tanto
alejados de la media lo cual da indicios de un contraste que nos permitir distinguir variedad
de niveles visuales. Con respecto al valor de la curtosis da 391,318 lo cual quiere decir que la
distribucin es leptocurtica, dicho en otras palabras, dice que la mayora de las valores estn
cerca del centro o la media de la distribucin. Por ltimo, est el coeficiente de asimetra que
da 13,128 que indica que la mayora de los valores estn hacia la derecha de la media.
Estadsticas Banda No 2 (Azul)
Figura 3.3.Banda 2 imagen zona de estudio
Figura 3.4.Histograma Banda 2
0
2000
4000
6000
8000
10000
7800 9800 11800 13800
Frecuenc
ia
ND
Histograma Banda 2
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Tabla 3.2.Estadsticas Banda 2
Para la banda 2, la tabla 3.2 arroja las estadsticas de la misma, obteniendo un resultado en el
rango de 29.104 niveles digitales, una media de 8899,373 que para una ms fcil
interpretacin se puede recurrir a la figura 3.4, lo cual nos indica una situacin similar a la de la
banda No 1 donde el brillo de la imagen puede ser no muy alto. La desviacin Estndar es de
569,852 ms alta que la primera lo cual significa que en esta banda podremos ver mayor
cantidad de contrates entre los niveles digitales. Luego va la curtosis que arroja un valor de
263,398 que es ms baja que la anterior pero sigue siendo leptocurtica, esto quiere decir que
los datos estn un poco ms dispersos del centro que en la anterior. Finalmente, est el
coeficiente de asimetra que para este caso dio 10,26 que sigue indicando que la mayora de
datos se encuentran a la derecha de la media.
Estadsticas Banda 3
Figura 3.5. Banda 3Imagen zona de estudio
ND mnimo 7856
ND mximo 36960
Rango 29104
Media 8899,373
Varianza 324731,302
Desv. Estndar 569,852
Mediana 8813
Moda 8612
Curtosis 263,398
Asimetra 10,26
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Figura 3.6. Histograma banda No 3
Tabla 3.3.Estadsticas banda 3
ND mnimo 6713ND mximo 38652
Rango 31939
Media 8409,855
Varianza 498246,81
Desv. Estndar 705,866
Mediana 8338
Moda 8370
Curtosis 148,486
Asimetra 7,012
Para la banda 3, en la tabla 3.3 se muestra los valores estadsticos obtenidos. Hay un rango de
31.939 niveles digitales, una media de 8409,855 lo cual significa, que la imagen va a estar un
poco oscura porque est en la parte izquierda del histograma (Figura 3.6) que es donde se va a
acercando al valor de cero que es ausencia de colores. La desviacin estndar es de 705,866
que es un valor grande lo cual indica que los datos no van a estar muy cerca al centro de la
distribucin, que a su vez, quiere decir que va a ver muchos valores de contraste, es decir, va a
ver muchas ms tonalidades al no estar cercanas al valor central.
Finalmente, la curtosis arrojo un valor de 148,486, que se asocia con una distribucin de tipo
leptocurtica del mismo tipo que las bandas 1 y 2. El coeficiente de asimetra da un valor de
7,012 el cual nos permite concluir que la mayora de los datos se encuentran en la parte
derecha del valor central.
0
1000
2000
30004000
5000
6000
7000
6500 11500
Frecuen
cia
ND
Histograma Banda 3
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Estadsticas Banda 4
Figura 3.7. Banda 4 Imagen zona de estudio
Figura 3.8. Histograma Banda 4
Tabla 3.4. Estadsticas Banda 4
ND mnimo 5998
ND mximo 41537
Rango 35539
Media 7711,072
Varianza 1051793,82
Desv. Estndar 1025,57
Mediana 7539
Moda 7104
Curtosis 51,875
Asimetra 3,7952
Interpretando los resultados obtenidos para la banda No 4, da un rango de 35.539 niveles
digitales, su media es de 7711,072, que nuevamente se encentra en la parte izquierda
0
1000
2000
3000
4000
5000
5900 10900 15900
F
recuencia
ND
Histograma Banda 4
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obteniendo as una imagen sin mucho brillo, luego est la desviacin estndar que es 1025,57
mucho ms grande que las de las bandas anteriores queriendo decir, que esta imagen, por lo
tanto, va a brindar mayor contraste de tonalidades de gris que las anteriores. En cuanto a la
curtosis es de 51,875 que quiere decir que la distribucin es leptocurtica pero cada vez
volvindose ms plana, por ltimo, est el coeficiente de asimetra que en este caso da un
resultado de 3,7952 que sigue indicando que los datos en su gran mayora estn inclinados
hacia la derecha, pero ya acercando bastante al valor de cero que sera una distribucin
totalmente simtrica.
En el histograma se pueden distinguir 3 modas, dos extremas con picos pequeos y una muy
fcil de identificar entre las dos pequeas, lo cual sugiere, que en la banda se pueden estar
distinguiendo tres coberturas diferentes.
Estadsticas Banda 5
Figura 3.9. Banda 5 Zona de Estudio.
Figura 3.10. Histograma Banda 5.
0
1000
2000
3000
4000
5000
60007000
8000
9000
4900 9900 14900 19900 24900
Frecuencia
ND
Histograma Banda 5
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Tabla 3.5. Estadsticas Banda 5
ND mnimo 4929
ND mximo 47559
Rango 42630
Media 14681,298
Varianza 19230461,4
Desv. Estndar 4385,255
Mediana 15865
Moda 5728
Curtosis 0,1754
Asimetra -1,0429
En la banda 5 hay un rango de 42.630 niveles digitales, un valor ms grande que los anteriores,
tambin tiene una media de 14.681,298 lo cual da mucho ms a la derecha que todas lasanteriores lo cual indica que la imagen en esta banda tiene ms brillo que las anteriores
bandas. Tiene una desviacin de 4.385,255 que es relativamente grande, lo cual quiere decir
que los valores estn muy dispersos de la media, que en trminos de la imagen, se ver
representado en una gran cantidad de contrastes. El valor de curtosis de 0,1754 nos dice que
la distribucin se comporta de una manera muy similar a la normal al igual que el coeficiente
de asimetra que se aproxima a cero. Pero al mirar el histograma se ven tres picos diferentes,
lo cual no se parece para nada a una distribucin normal, eso se debe a que las medidas de
tendencia central (moda, mediana, media) no son iguales lo cual debe cumplirse para que
exista una distribucin normal. Los tres picos pueden indicar, el mismo nmero de coberturas
fcilmente identificables como puede ser los cuerpos de agua que en la imagen se ven de color
oscuro, es decir, es el pico ms alto, por otra parte, los otros dos tipos pueden ser algn tipo
de diferenciacin del terreno donde el que est ms a la derecha se ve ms blanco o brillante
en la imagen.
Estadsticas Banda 6
Figura 3.11. Banda 5 Zona de Estudio.
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Figura 3.12. Histograma Banda 6.
Tabla 3.6. Estadsticas Banda 6.
ND mnimo 4848
ND mximo 53502
Rango 48654
Media 11612,425
Varianza 11856349,3
Desv. Estndar 3443,305
Mediana 12300
Moda 5280
Curtosis -0,1434
Asimetra -0,6315
Los valores estadsticos que arrojo la banda No 6 fueron los que estn en la tabla 3.6. El rango
para la banda es de 48.654 niveles digitales ms grande que los de las anteriores bandas. La
media es de 11.612,425 que nos indica que todava se encuentra a la izquierda del rango pero
se ve con ms brillo que las bandas del visible (1, 2,3 y 4). La desviacin es de 3.443,305, un
nmero grande para la estadstica, que indica mucha dispersin de los datos, reflejado en ms
niveles de contraste dentro de la imagen. La curtosis y el coeficiente de asimetra arrojan
valores muy cercanos a cero pero en los dos su signo es negativo, los valores son -0,1434 y -
0,6315, respectivamente, la interpretacin de estos valores es que la distribucin se comporta
de una forma similar a la normal pero no totalmente porque sus medidas de tendencia central
no son iguales. En el histograma (Figura 3.12) se puede observar que la distribucin es
totalmente diferente al comportamiento de una normal con dos picos o modas fciles de
identificar, un pico a la izquierda y otro casi en el centro de la imagen pero mucho mas plano,
que pueden estar indicando dos tipos de coberturas diferentes dentro de la banda claramente
distinguibles (Agua y Tierra).
0
2000
4000
6000
8000
10000
4800 9800 14800 19800 24800
Frecuen
cia
ND
Histograma Banda 6
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Estadsticas Banda 7
Figura 3.13.Banda 7 Zona de estudio.
Figura 3.14. Histograma Banda 7
Tabla 3.7.Estadsticas Banda 7
ND mnimo 4977
ND mximo 57912
Rango 52935
Media 8338,233
Varianza 4217215,46
Desv. Estndar 2053,586
Mediana 8320
Moda 5179
Curtosis 1,3574
Asimetra 0,3813
Para la banda No 7 de la zona de estudio, se tiene un rango de 52.935 niveles digitales, con una
media de 8338,233 que indica que la distribucin esta todava muy hacia el lado derecho de el
histograma que a su vez quiere decir que la imagen se ve oscura. La desviacin estndar es de
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
4500 9500 14500 19500 24500
Frecuencia
ND
Histograma Banda 7
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2.053,586, un valor grande que nos indica que los valores estn dispersos lo cual en la imagen
significa que habr mayor nmero de contrastes, es decir, muchas tonalidades diferentes. La
curtosis de 1,3574 nos indica que la distribucin es todava leptocurtica acercndose al valor
ideal de cero. El coeficiente de asimetra es de 0,3813 que quiere decir que los datos se
distribuyen casi simtricamente hacia los dos lados pero existe una predileccin hacia el lado
derecho.
En el histograma se pueden distinguir dos modas diferentes una con un pico mucho ms
elevado que la otra, que como se haba dicho, en anteriores ocasiones nos puede servir para
inferir el nmero de coberturas fcilmente identificables en la banda.
Estadsticas Banda 10
Figura 3.15. Banda 10 Zona de Estudio.
Figura 3.16.Histograma Banda 10.
0
2000
4000
6000
8000
10000
24000 26000 28000 30000 32000 34000
Frecuencia
ND
Histograma Banda 10
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Tabla 3.8. Estadsticas banda 10
ND mnimo 24175
ND mximo 33151
Rango 8976
Media 28759,121
Varianza 1113212,8
Desv. Estndar 1055,089
Mediana 28870
Moda 26710
Curtosis -0,4004
Asimetra -0,3227
En la tabla 3.8 se pueden observar los valores estadsticos de la banda 10. El rango para la
banda 10 es de 8.976 niveles digitales, el ms bajo entre todas las bandas utilizadas. Tiene una
media de 28.759,121 que indica que en esta banda los valores estn ms hacia el centro-derecha del histograma que a su vez indica que la banda es la ms brillante de todas, presenta
una desviacin de 1.055,089 que seala una dispersin no tan alta de los datos, que significan
una cantidad media de valores de contraste en la imagen. En cuanto a la curtosis y el
coeficiente de asimetra, los dos valores son negativos cercanos a cero que nos dice que
estamos ante la presencia de una distribucin muy similar a la normal, pero nuevamente como
se ve en el histograma no se asemeja a una normal totalmente, excepto la moda que est ms
hacia la derecha, que se asemeja mucho.
En el histograma hay tres picos una muy alto y puntiagudo, otro mucho ms pequeo y
puntiagudo y el de la derecha en el medio de los dos, en cuanto a frecuencia, pero mucho ms
plano, estos tres picos indican tres tipos de coberturas diferentes en la imagen.
3.2. ESTADSTICAS MULTIBANDA
Las estadsticas multibanda son aquellas que nos permiten relacionar el comportamiento de
un mismo pixel en varias bandas. Dentro de estas estadsticas encontramos dos muy
importantes, que relacionan varios conjuntos de datos o variables diferentes, estas son la
covarianza y la correlacin.
Segn (Jensen, 2005) la covarianzaes la variacin comn que tienen dos variables sobre su
media comn. Es definida por la ecuacin:
Donde es el i-esimo valor de nivel digital de la banda k, es la media de todos losniveles digitales de la banda k, n es el nmero total de pixeles involucrados. Los resultados deesta operacin se muestran en una matriz varianza-covarianza, en la cual su diagonal principal
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est compuesta por las varianzas de las variables involucradas, mientras que en las otras
celdas estn los valores de covarianza entre las diferentes variables.
La otra medida importante es la correlacin() que segn (Jensen, 2005) es la tasa de lacovarianza entre dos variables sobre el producto de sus desviaciones estndar. Se calcula con
la siguiente formula:
Donde son las desviaciones estndar de la banda k y de la banda l, respectivamente.Los resultados tambin se organizan en una matriz que es llamada de correlacin, cuando el
valor de correlacin es 1, la variables son dependientes lo cual quiere decir que hay
informacin redundante en las variables, cuando es cero, es que son totalmente
independientes finalmente cuando es -1, quiere decir que estn inversamente relacionadas, es
decir, mientras que una sube la otra puede bajar, por ejemplo.
A continuacin se van a calcular para todas las bandas, sus respectivas matrices de varianza-
covarianza y de correlacin.
3.2.1. Matriz Varianza-Covarianza
Tabla 3.9. Matriz Varianza-Covarianza de la imagen de la zona de estudio.
Banda 1 Banda 2 Banda 3 Banda 4 Banda 5 Banda 6 Banda 7 Banda 10
Banda 1 226.471,32 268.423,85 282.494,54 358.815,14 -478.765,09 129.161,20 290.912,01 -980,81
Banda 2 268.423,85 324.648,86 356.309,88 465.892,38 -553.554,89 242.462,89 407.355,36 37.852,83
Banda 3 282.494,54 356.309,88 498.134,36 665.254,67 343.637,59 937.422,14 797.921,23 240.546,11
Banda 4 358.815,14 465.892,38 665.254,67 1.051.581,16 716.306,77 2.047.856,77 1.572.185,17 600.774,25
Banda 5 -478.765,09 -553.554,89 343.637,59 716.306,77 19.226.602,52 11.354.800,07 5.135.073,87 2.568.003,53
Banda 6 129.161,20 242.462,89 937.422,14 2.047.856,77 11.354.800,07 11.854.795,82 6.733.908,33 3.132.701,74
Banda 7 290.912,01 407.355,36 797.921,23 1.572.185,17 5.135.073,87 6.733.908,33 4.216.674,95 1.848.886,02
Banda 10 -980,81 37.852,83 240.546,11 600.774,25 2.568.003,53 3.132.701,74 1.848.886,02 1.112.983,85
En la tabla 3.9 se puede observar la matriz varianza- covarianza, donde su diagonal principal
est compuesta por las varianzas de cada una de las bandas, y las dems celdas, compuestas
por los valores de covarianza. Donde la covarianza sea mayor a cero, habr una relacin
directa entre las dos bandas como, por ejemplo, en las combinaciones 1-2, 4-10, 6-5, etc.,
mientras que si este valor es menor a cero se dice, que estn inversamente relacionadas como
pasa, en el caso, de las combinaciones 1-10, 5-2, etc. Adems se puede ver, los valores de las
varianzas donde la mayor, es de la banda 5 y la menor es la de la banda 1.
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3.2.2. Matriz de Correlacin.
Tabla 3.10. Matriz de correlacin entre las distintas bandas.
Banda 1 Banda 2 Banda 3 Banda 4 Banda 5 Banda 6 Banda 7 Banda 10
Banda 1 1,00 0,99 0,84 0,74 -0,23 0,08 0,30 0,00
Banda 2 0,99 1,00 0,89 0,80 -0,22 0,12 0,35 0,06
Banda 3 0,84 0,89 1,00 0,92 0,11 0,39 0,55 0,32
Banda 4 0,74 0,80 0,92 1,00 0,16 0,58 0,75 0,56
Banda 5 -0,23 -0,22 0,11 0,16 1,00 0,75 0,57 0,56
Banda 6 0,08 0,12 0,39 0,58 0,75 1,00 0,95 0,86
Banda 7 0,30 0,35 0,55 0,75 0,57 0,95 1,00 0,85
Banda 10 0,00 0,06 0,32 0,56 0,56 0,86 0,85 1,00
En esta tabla se puede observar el grado de relacin que existe entre las distintas bandas de la
imagen. Dentro de la tabla se pueden encontrar bandas muy relacionadas entre s como lo son
la combinacin 1-2 (0,99), 3-4 (0,92) y la 6-7 (0,95), cuando estn muy relacionadas como en
estos casos hay mucha informacin redundante entre las dos. Tambin pueden haber bandas
entre las que no existe relacin alguna como entre la 1 y la 10 (0,00), la 2 y la 10 (0,06), etc., y
por ultimo pueden existir bandas con una relacin inversa como lo son las combinaciones 1-5
(-0,23), la 2-5 (-0,22), etc.
Como es de esperarse entre las cuatro bandas del espectro visible (1, 2,3 y 4), existe una
correlacin muy alta. La ms alta corresponde a la combinacin 1-2 la cual se puede explicar,
teniendo en cuenta las longitudes de onda de las dos bandas, que pertenecen al sector del
visible perteneciente al color azul, lo cual las hace estar muy relacionadas entre s. La
correlacin de la combinacin 1-10 que da cero tiene una posible explicacin en que el espacio
que hay entre la banda 1 y la 10, hablando de longitud de onda es muy grande, adems que
una es del visible y la otra es termal, una diferencia abismal entre las dos, porque mientras la 1
capta el color azul, la otra capta la temperatura que es emitida por la superficie.
Para ver mejor el comportamiento de estos valores de correlacin se pueden hacer unos
grficos que tambin van a depender de la frecuencia de los niveles digitales de las bandas
interrelacionadas. Para lo grficos se va a escoger el valor ms alto, el ms bajo y tres
intermedios. Estos grficos tienen el nombre de ploteo en el espacio espectralque segn
(Jensen, 2005) es el que extrae los valores de los niveles digitales para cada pixel en la imagen
en 2 bandas y grafica la frecuencia de ocurrencia en un sistema de coordenadas de 255 por
255 (asumiendo datos de 8 bits).
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Figura 3.17. Ploteo espacio espectral bandas 1 y 2. r=0,99
En la figura 3.17 se puede observar como es el comportamiento de la correlacin entre las
bandas 1 y 2 al que pertenece el valor de 0,99, el ms alto de todas las posibles combinaciones
de a dos, se observa una diagonal perfecta muy angosta, lo que quiere decir que los datos se
ajustan muy bien a la recta, es decir, hay muchos datos redundantes entre las dos bandas, lo
que podra estar sugiriendo la eliminacin de alguna de las dos bandas para su posterior
anlisis.
Figura 3.18. Ploteo espacio espectral bandas 1 y 5. r=-0,23
Ahora podemos encontrar el grafico de correlacin entre las bandas 1 y 5 (Figura 3.18), la cual
tiene el valor de correlacin ms bajo (r=-0,23), como se puede observar los pixeles no tienen
un comportamiento simtrico ni conocido, esto se deduce, al ver como es mucha la dispersin
de los puntos a travs del espacio, lo cual quiere decir que entre las dos bandas se puede
encontrar gran cantidad de informacin que no est repetida o es nica en alguna banda, la
correlacin invertida quiere decir que mientras que , por ejemplo, un valor sube el otro tiende
a bajar.
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Figura 3.19. Ploteo espacio espectral bandas 1 y 10. r=0
La tercera grafica (Figura 3.19) de correlacin es entre las bandas 1 y 10, correspondientes a un
valor de correlacin de 0 (cero), lo cual indica que entre las dos bandas no existe relacin
alguna, cuando esto pasa la grfica tiende a ser horizontal (pendiente = 0), en la figura 3.19 se
puede observar que la grfica es horizontal, pero adems tiene mucha dispersin por lo que es
una buena combinacin para obtener gran cantidad de informacin para los propsitos que se
requieran.
Figura 3.20. Ploteo espectral bandas 2 y 7. r= 0,35.
La figura 3.20 representa la correlacin entre las bandas 2 y 7, correspondiente a un valor de
0,35, que es un valor intermedio entre la mxima y mnima correlacin, se puede observar que
la grfica tiende a un comportamiento casi diagonal o lineal, pero no es perfecto porque hay
varios puntos que se encuentran lejos del patrn lineal por lo que es una combinacin con
poca redundancia de datos para el posterior estudio de la zona de estudio de una manera ms
detallada.
8/12/2019 Esta Di Sticas Image n
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