25

8

Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos que el resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado esta probabilidad?

y entonces

9

En una universidad el 50% de los alumnos habla inglés, el 20% francés y el 5% los dos idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?

Solución:

Sea A el suceso hablar inglés: .

Sea B el suceso hablar francés: .

El suceso hablar francés e inglés es : .

Así:

10

Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:

Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas; Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas.

Se realiza el siguiente experimento aleatorio:

Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz de la segunda.

¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?

Solución: La situación que tenemos puede ser esquematizada como

U1

U2

Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar entonces que

11

Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:

Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas; Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas; Tercera urna, U3: 3 bolas rojas.

Se realiza el siguiente experimento aleatorio:

Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.

Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas.

Solución:

Vamos a representar en un esquema los datos de que disponemos:

U1

U2

U3

En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de Bayes:

Con respecto a las demás urnas hacemos lo mismo:

18

Con el objeto de diagnosticar la colelietasis se usan los ultrasonidos. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91% y una especificidad del 98%. En la población que nos ocupa, la probabilidad de colelietasis es de 0,2.

1.

Si a un individuo de tal población se le aplican los ultrasonidos y dan positivos, ¿cuál es la probabilidad de que sufra la colelietasis?

2.

Si el resultado fuese negativo, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga la enfermedad?

Solución:

Vamos a utilizar la siguiente notación:

Padecer la enfermedad (colelietasis); No padecer la enfermedad; El resultado del test es positivo; El resultado del test es negativo;

Los datos de que disponemos son las probabilidades condicionadas

y la incidencia de la enfermedad en la población

En el primer apartado se pide calcular el ``Índice Predictivo de Verdaderos Positivos'',

, que por el teorema de Bayes es:

En el segundo apartado, se ha de calcular el ``Índice Predictivo de Verdaderos Negativos'',

,

Este problema puede ser resuelto de otro modo, utilizando tablas bidimensionales e identificando las probabilidades con las frecuencias relativas de la siguiente tabla

E

T+

T-

1

de modo que se puede calcular como la probabilidad condicionada de E sobre la primera fila (T+):

13

El 60% de los individuos de una población están vacunados contra una cierta enfermedad. Durante una epidemia se sabe que el 20% la ha contraido y que 2 de cada 100 individuos estan vacunados y son enfermos. Calcular el porcentaje de vacunados que enferma y el de vacunados entre los que estan enfermos.

Solución:

Cada 100 personas ...........................60 están vacunadas ==> 60 %

Cada 100 personas............................20 están enfermas ==> 20 %

Cada 100 personas ..........................2 están vacunadas y enfermas ==> 2 % 

Por lo tanto calculamos:

El porcentaje de vacunadas que enferman:

en 60 personas vacunadas .............. 100 % de la población vacunadahay 2 personas vac y enf .............. X % = (2 * 100 ) / 60 = 3.33 % 

El porcentaje de vacunadas entre las que están enfermas:

cada 20 personas enf........................... 100 % de la población de enfermashay 2 vac y enf ............................ X % = (2 * 100) / 20 = 10.00 %

15

Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en el 20% y 30% de los casos respectivamente. Suponiendo que ambos actúan de modo independiente ¿Cuál de las dos siguientes estrategias utilizaría usted para curar a un sujeto con tal enfermedad?a) Aplicar ambos tratamientos a la vez.b) Aplicar primero el tratamiento B y, si no hace efecto, aplicar el A.

a)P(AB)=0.2*0.3=0.06 (por independencia)P(A U B)=0.2+0.3-0.06=0.44

b)P(B)=0.3P(A)=0.2

P(C)=P(B)+P(A)*P(No B)P(No B)=1-0.3=0.7P(C)=0.3+0.2*0.7=0.3+0.14=0.44

16

Se eligen al azar 3 deportistas de un equipo de 10 integrantes para realizar un control antidopaje; Se sabe que 2 de los jugadores del equipo han tomado sustancias prohibidas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir para el análisis a alguno de los infractores?

a ver, la probabilidad de que haya algún infractor entre los tres elegidos es uno menos la probabilidad de que no haya ningunoA - al menos un infractor entre los tres elegidos

P(A) = 1 - P(A')

la probabilidad de que no haya ningún infractor es: casos favorables / casos posiblesson combinaciones, ya que el orden en que son elegidos no importa, y no se pueden repetir

P(A') = C(8, 3) / C(10, 3) = (8! / 5! 3!) / (10! / 7! 3!) = 8! · 7! · 3! / 10! · 5! · 3! = 7 · 6 / 10 · 9 = 7 / 15P(A) = 1 - P(A') = 1 - 7/15 = 8/15 = 0,533333333 = 53,33%

es decir, más de la mitad de probabilidad de seleccionar al menos un infractor

17

Estamos interesados en saber cuál de dos análisis A y B es mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad, de la cual sabemos que la presentan un 10% de individuos de la población. El porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del 15% y el de B es del 22%. El porcentaje de falsos negativos de A es del 7% y de B es del 3%. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?

MÉTODO A

Este método tiene 15% de falsos positivos. Los falsos positivos son personas que no tienen la enfermedad pero en el análisis arrojan resultado positivo. Por lo tanto este método fallará un 15% de las veces en ese 90% de la población que no tiene la enfermedad:Fp = 0,90 * 0,15 = 0,135

Por otro lado, este método tiene 7% de falsos negativos. Los falsos negativos son personas que tienen la enfermedad pero en el análisis aparecen como sanas. Este método fallará en un 7% de las veces en el 10% de la población que tiene la enfermedad:Fn = 0,10 * 0,07 = 0,007

La probabilidad de errar el diagnóstico por este método es:F = Fp + Fn = 0,135 + 0,007 = 0,142

La probabilidad de acertar el diagnóstico será:A = 1 – F = 1 – 0,142 = 0,858

MÉTODO B

Este método tiene 22% de falsos positivos. Por lo tanto este método fallará un 22% de las veces en el 90% de la población que no tiene la enfermedad:Fp = 0,90 * 0,22 = 0,198

Por otro lado, este método tiene 3% de falsos negativos. Este método fallará en un 3% de las veces en el 10% de la población que tiene la enfermedad:Fn = 0,10 * 0,03 = 0,003

La probabilidad de errar el diagnóstico por este método es:F = Fp + Fn = 0,198 + 0,003 = 0,201

La probabilidad de acertar el diagnóstico será:A = 1 – F = 1 – 0,201 = 0,799

22

Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B, y C. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C?

Solución.

Las probabildades de cada tubo son

P(A) = 3/10 = 0.3P(B) = 2/10 = 0.2P(C) = 5/10 = 0.5

La probabilidades de porducirse la enfermedad (E) por cada virus es

P(E|A) = 1/3P(E|B)= 2/3P(E|C) = 1/7

Debemos calcular la probabilidad de que el animal que ha contaido la enfermedad haya sido por el virus C

P(C|E)

La calculamos por el teorema de Bayes:

P(C|E) = P(E|C)*P(C) / { P(E|A)*P(A) + P(E|B)*P(B) + P(E|C)*P(C) }

P(C|E) = 1/7*0.5 / { 1/3*0.3 + 2/3*0.2 +1/7*0.5 }

P(C|E) = 15/64 = 0.234375

23

El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60% aprueba otra asignatura B. Sabemos, además, que un 35% del total aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de las siguientes situaciones:

1.Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A.

2.Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no no ha aprobado la A.

3.No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A.

4.No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A

Solución:

P(A) = 0.70P(B) = 0.60

P(A∩B) = 0.35

1)

P(B|A)= P(A∩B)/P(A) = 0.35 / 0.70 = 0.50

2)

P(B|A') = P(A'|B)*P(B) / P(A')

P(A'|B) = 1-P(A|B) = 1-P(A∩B)/P(B) 1-0.35/0.60 = 5/12

P(A') = 1-P(A) = 1-0.70 = 0.30

Por lo que

P(B|A') = P(A'|B)*P(B) / P(A')

P(B|A') = 5/12*0.60/0.30 = 5/6 = 0.8333

3)

P(B'|A) = 1-P(B|A) = 1 - 0.50 = 0.50 (ver punto 1)

4)

P(B'|A') = 1 - P(B|A') = 1-5/6 = 1/6 = 0.1667 (ver punto 2)

6

Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer yver la televisión. Los resultados son:- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.- A 92 personas les gusta leer.- A 47 personas les gusta ver la tele.Si elegimos al azar una de esas personas:a ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?b ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?c ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

2

Una urna t iene ocho bolas ro jas, 5 amari l la y s iete verdes. Se extrae una al azar de que:

1Sea roja.

2Sea verde.

3Sea amari l la .

4No sea ro ja.

5No sea amari l la .

3

Se extrae una bola de una urna que cont iene 4 bolas ro jas, 5 b lancas y 6 negras, ¿cuál es la probabi l idad de que la bola sea ro ja o blanca? ¿Cuál es la probabi l idad de que no sea blanca?

4

En una c lase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, c inco alumnos rubios y 10 morenos. Un día as isten 44 alumnos, encontrar la probabi l idad de que el a lumno que fa l ta:

1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer.

5

En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablaringlés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.Escogemos uno de los viajeros al azar.a¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?b¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?c¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?