EstatísticaEstatísticaAula 09Aula 09
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de AssisSantos de Assis
Aula 09Aula 09
Probabilidade Probabilidade IntroduçãoIntrodução
Propriedades básicasPropriedades básicas
Regra da adiçãoRegra da adição
O que vimos até o momento ?O que vimos até o momento ?análise preliminar de uma amostra de dados por meio de análise preliminar de uma amostra de dados por meio de um conjunto de técnicas numéricas e gráficasum conjunto de técnicas numéricas e gráficas
O que são aquilo que vimos?O que são aquilo que vimos?meras estimativas de quantidades populacionais meras estimativas de quantidades populacionais desconhecidasdesconhecidas
Como então podemos tirar conclusões sobreComo então podemos tirar conclusões sobrepopulações?populações?é necessário estabelecer um modelo matemático que é necessário estabelecer um modelo matemático que contenha os principais elementos do processo que contenha os principais elementos do processo que determinou a ocorrência das observaçõesdeterminou a ocorrência das observações
IntroduçãoIntrodução
Que tipo de modelo utilizamos e por que?Que tipo de modelo utilizamos e por que?probabilístico pela impossibilidade de se sintetizar em um probabilístico pela impossibilidade de se sintetizar em um conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a variação de um certo fenômeno.variação de um certo fenômeno.
Explique melhor ...Explique melhor ...A teoria de probabilidades lida com a realização de A teoria de probabilidades lida com a realização de experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos resultados não podem ser previstos com exatidão.resultados não podem ser previstos com exatidão.
IntroduçãoIntrodução
Há um componente aleatório nos experimentosHá um componente aleatório nos experimentos
Provoca variações nos resultados Provoca variações nos resultados às vezes não às vezes não podem ser ignoradaspodem ser ignoradas modeladas modeladas
Experimento aleatórioExperimento aleatório
É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da realização do experimentorealização do experimento ele pode ser repetido várias ele pode ser repetido várias vezes da mesma forma e apresentar resultados diferentesvezes da mesma forma e apresentar resultados diferentes
Exemplos:Exemplos:
O resultado da jogada de um dadoO resultado da jogada de um dado O número de carros que passam em um posto deO número de carros que passam em um posto de pedágio movimentado no intervalo de meia horapedágio movimentado no intervalo de meia hora Os números que vão “sair” no concurso da Mega-SenaOs números que vão “sair” no concurso da Mega-Sena da próxima semanada próxima semana O risco de uma construção ser alagada nas O risco de uma construção ser alagada nas proximidadesproximidades de um riode um rio
IntroduçãoIntrodução
IntroduçãoIntrodução
Note que, embora não saibamos exatamente qual o Note que, embora não saibamos exatamente qual o resultado da experiência aleatória, também não existe resultado da experiência aleatória, também não existe ignorância completa sobre o assuntoignorância completa sobre o assunto
No exemplo da jogada do dado, é claro que os resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do dado
No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores possíveis são os 6 números sorteados no conjunto {0, ..., 50}
No caso do pedágio, podemos estabelecer um intervalo de valores máximos e mínimos de carros
Experimento aleatórioExperimento aleatório
Qualquer conjunto de resultados ou saídas de um
experimento
Simples é um resultado ou evento que não pode mais ser decomposto em
componentes mais simples
IntroduçãoIntroduçãoEventoEvento
Ao lançar um dado 5 é um evento simples
Ao lançarmos e tomarmos a soma dos resultados dos dois 7 é um evento simples?
1
2
3
4
5
6
IntroduçãoIntroduçãoEventoEventoExperimento: lançamento de 2 dados somam-se os resultados: o evento 7
1
2
3
4
5
6
Dado 1 Dado 2 Resultado
7
7
7
7
.
.
.
Eventos mais simples:
6-1, 5-2, 4-3, ...
Há 36 maneiras de obtermos o número 7 36 eventos simples
IntroduçãoIntrodução
Espaço amostralEspaço amostral
É o conjunto de todos os eventos simples possíveis de uma experiência aleatória, isto é, consiste em todos os resultados que não podem ser mais decompostos
IntroduçãoIntrodução
SExperimento: lançamento de 1 dado
Espaço amostral S = {11, 22 , 33 , 44 , 55 , 66}11 22 33
44 5566
Espaço amostralEspaço amostral
Propriedades de EventosPropriedades de Eventos
InterseçãoInterseção
ExclusãoExclusão
UniãoUnião
NegaçãoNegação
Propriedades de EventosPropriedades de Eventos
InterseçãoInterseçãoO evento O evento interseção de dois eventos A e Binterseção de dois eventos A e B equivale à equivale à ocorrência de ambosocorrência de ambos
Contém todos os pontos do espaço amostral comuns a Contém todos os pontos do espaço amostral comuns a A e B e é denotado por A A e B e é denotado por A ∩ B∩ B
Propriedades de EventosPropriedades de Eventos
ExclusãoExclusãoDois eventos A e B dizem-se Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivosmutuamente exclusivos, ou , ou mutuamente excludentesmutuamente excludentes ou ainda ou ainda disjuntos disjuntos quando a quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro não ocorrem simultaneamente não ocorrem simultaneamente
Os dois eventos não têm nenhum ponto em comum, Os dois eventos não têm nenhum ponto em comum, exprimindo-se esse fato escrevendo-se A exprimindo-se esse fato escrevendo-se A ∩ B = Ø∩ B = Ø
Propriedades de EventosPropriedades de Eventos
UniãoUniãoO evento O evento união de dois eventos A e Bunião de dois eventos A e B equivale à ocorrência equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambosde A, ou de B, ou de ambos
Contém os elementos do espaço amostral que estão em Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos pelo menos um dos dois conjuntos e é denotado por A Uum dos dois conjuntos e é denotado por A U B B
Propriedades de EventosPropriedades de Eventos
NegaçãoNegaçãoA A negação do evento Anegação do evento A, denotada por A, é chamada de , denotada por A, é chamada de evento complementar de Aevento complementar de A
Há diferentes maneiras de definir probabilidadeHá diferentes maneiras de definir probabilidade
Definição de ProbabilidadeDefinição de Probabilidade
Aproximação pela frequência relativa(frequencial)
Probabilidades subjetivasAbordagem clássica(requer resultados
igualmente prováveis)
Suponha que um determinado experimento tenha Suponha que um determinado experimento tenha n n diferentes eventos simples, e que diferentes eventos simples, e que cada um desses eventos cada um desses eventos simples tenha igual chance de ocorrersimples tenha igual chance de ocorrer. Se o evento . Se o evento AA pode pode ocorrer em ocorrer em mm dessas maneiras, então a probabilidade do dessas maneiras, então a probabilidade do evento evento AA é dada por: é dada por:
Definição ClássicaDefinição Clássica
mP(A)n
Em outros termos :Em outros termos :
P(A) =P(A) =NNoo de maneiras como o evento A pode ocorrer de maneiras como o evento A pode ocorrer
Número de eventos simplesNúmero de eventos simples
P(A) =P(A) = Número de casos favoráveis ao evento ANúmero de casos favoráveis ao evento A
Número de casos possíveisNúmero de casos possíveis
Definição ClássicaDefinição Clássica
Exemplos: Um dado homogêneo tem probabilidade 1/6 de cair com a face 5 para cima.
Em um conjunto de cartas (sem os coringas) bem embaralhadas a probabilidade de sortearmos uma carta de copas é de 13/52.
A probabilidade de um evento qualquer é um A probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativonúmero real não negativo
Formas de obtenção de probabilidadesFormas de obtenção de probabilidades
a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da verdadeira probabilidade ou valor mais provável.verdadeira probabilidade ou valor mais provável.
a a prioripriori ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um modelo matemático e sem experimentação, determinando as modelo matemático e sem experimentação, determinando as probabilidades de acontecimentos futuros;probabilidades de acontecimentos futuros;
ObservaçõesObservações
Depende da reprodutibilidade do mesmo processo e da habilidade de contarmos o número de
repetições
Se algum processo é repetido um grande númeroSe algum processo é repetido um grande númerode vezes, de vezes, nn, e se o evento A ocorre , e se o evento A ocorre mm vezes, a freqüência vezes, a freqüência relativa relativa m/nm/n é a é aproximadamenteproximadamente igual à probabilidade de A: igual à probabilidade de A:
Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(A).
Definição FrequencialDefinição Frequencial
mP(A)n
Estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes
Definição SubjetivaDefinição Subjetiva
Exemplosclássica
P (tachinha cair com a ponta para cima) = ?Deve-se repetir o experimento de jogar a tachinha váriasvezes e então, achar a razão
No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos
Frequência relativa
P (chover amanhã) = ?Meteorologistas possuem conhecimento especializado para esta estimativa
Subjetiva
ProbabilidadeProbabilidade
P (sair o no 2 em um dado balanceado e imparcial) = ?Achar a razão:No de maneiras como 2 pode ocorrer/ No total de eventos simples = 1/6
0 1 P
0 0,5 1Evento certamente não ocorrerá
Evento certamente ocorrerá
Máxima incerteza
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Evento impossível Evento certo
1. Dado algum processo (ou experimento) com n resultados mutuamente excludentes (eventos), E1, E2,. . ., En , à probabilidade de cada evento Ei é atribuído um valor numérico não-negativo.
( ) 0iP E
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
2. A soma das probabilidades de resultados mutuamente excludentes é igual a 1.
1 21
( ) ( ) ( ) ( ) 1n
i ni
P E P E P E P E
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
ExemploExemploAche a probabilidade de que, quando um casal tem 3 filhos, exatamente 2 deles sejam meninos. Suponha que meninos (M) e meninas (F) sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra criança
1º 2º Resultados possíveis3º
MM
M
M
M
M
M
menino-menino-meninomenino-menino-meninamenino-menina-meninomenino-menina-meninamenina-menino-meninomenina-menino-meninamenina-menina-meninomenina-menina-menina
Espaçoamostral
0,37583 s)nascimento 3 e meninos P(2
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
ExemploExemploAinda no exemplo anterior, qual a probabilidade de não nascer exatamente 2 meninos?
1º 2º Resultados possíveis3º
MM
M
M
M
M
M
menino-menino-meninomenino-menino-meninamenino-menina-meninomenino-menina-meninamenina-menino-meninomenina-menino-meninamenina-menina-meninomenina-menina-menina
Espaçoamostral
0,625 s)nascimento 3 e meninos P(2 -1meninos) 2 exatamente nascer P(não
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Regra da AdiçãoRegra da AdiçãoEstamos interessados na probabilidade de que ou o evento Estamos interessados na probabilidade de que ou o evento A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um único resultado de um experimentoúnico resultado de um experimentoPalavra – chave Palavra – chave ouou
É qualquer evento combinando 2 ou mais eventos simples
Evento compostoEvento composto
NotaçãoNotaçãoP(A P(A ouou B ) = P(evento A ocorrer B ) = P(evento A ocorrer ouou o evento B ocorrer o evento B ocorrer ouou ambos ocorrem)ambos ocorrem)
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Regra da AdiçãoRegra da AdiçãoAmostra de ervilhas, semelhante ao experimento de MendelAmostra de ervilhas, semelhante ao experimento de Mendel
Quantas delas têm vagem verde ou flor roxa?
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Regra da AdiçãoRegra da Adição
Ao calcular a probabilidade da ocorrência do evento A ou da ocorrência do evento B, ache o no total de maneiras em que A pode ocorrer e o no total de maneiras em que B pode ocorrer, mas ache o total de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez
Regra da Adição formalRegra da Adição formal
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Se Ei e Ej são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos Ei e Ej é igual a adição das probabilidades de Ei e Ej, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto Ei e Ej.
P(Ei Ej) = P(Ei) + P(Ej) - P(Ei Ej)
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Teorema da adiçãoTeorema da adição
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Regra da AdiçãoRegra da Adição
Ache a soma do no de maneiras como o evento A pode ocorrer e o no de maneiras como o evento B pode ocorrer, somando de tal forma que cada resultado seja contado apenas uma vez. P(A ou B) é igual a esta soma dividida pelo no total de resultados do espaço amostral
Ao invés de decorar uma fórmula, pense ... e calcule da Ao invés de decorar uma fórmula, pense ... e calcule da forma seguinteforma seguinte
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
Regra da AdiçãoRegra da AdiçãoEsta regra é simplificada sempre que os eventos A e B não Esta regra é simplificada sempre que os eventos A e B não podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A ∩∩ B) se B) se torna zerotorna zero
P(A B) = P(A) + P(B)
3. Considere dois eventos mutuamente excludentes, Ei e Ej. A probabilidade de ocorrência de Ei ou Ej é igual à soma das probabilidades individuais:
( ) ( ) ( )i j i jP E E P E P E
Propriedades BásicasPropriedades Básicas
EstatísticaEstatísticaAula 09Aula 09
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