EstatísticaEstatísticaAula 12Aula 12
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 12Aula 12
Independência de Eventos (continuação)Independência de Eventos (continuação)
Teorema de BayesTeorema de Bayes
AplicaçõesAplicações
Independência de EventosIndependência de Eventos
Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de BSe A e B são eventos independentes, a ocorrência de B não traz qualquer informação adicional sobre Anão traz qualquer informação adicional sobre A
Informalmente falando, um evento não tem Informalmente falando, um evento não tem “ “nada a ver” com o outro!nada a ver” com o outro!
Independência de EventosIndependência de Eventos
Dois eventos A e B são Dois eventos A e B são
estatisticamente independentesestatisticamente independentes quando: quando:
Do contrário, A e B são eventos Do contrário, A e B são eventos dependentesdependentes
P(B)P(A)B)P(A
Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero:Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero:
P(A|B) = P(A) P(A|B) = P(A) ee P(B|A) = P(B)P(B|A) = P(B)
Independência de EventosIndependência de Eventos
E se A e B são mutuamente exclusivos ... São tambémE se A e B são mutuamente exclusivos ... São também independentes?independentes?
MasMas BA 0B)P(A 0B)|P(A
P(B)B)P(A
B)|P(A
Suponha P(B) > 0Suponha P(B) > 0
P(A)B)P(A
A)|P(B
Suponha P(A) > 0Suponha P(A) > 0
MasMas BA 0B)P(A 0A)|P(B
Independência de EventosIndependência de Eventos
EntãoEntão
- Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B - Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B são eventos mutuamente exclusivos:são eventos mutuamente exclusivos:
Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes, Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes, pois P(A|B) = 0 ≠ P(A) e P(B|A) = 0 ≠ P(B)pois P(A|B) = 0 ≠ P(A) e P(B|A) = 0 ≠ P(B)
- Logo, se os eventos A e B são independentes - Logo, se os eventos A e B são independentes ee mutuamente exclusivos:mutuamente exclusivos:
Pelo menos um deles tem probabilidade nula, Pelo menos um deles tem probabilidade nula, pois é pois é a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
Se P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(ASe P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(A∩B) =∩B) = 0,28, A e B são 0,28, A e B são independentes?independentes?
Independência de EventosIndependência de Eventos
Exemplo 1Exemplo 1
P(A)P(A)..P(B) = 0,35P(B) = 0,35..0,8 = 0,280,8 = 0,28
Como P(A)Como P(A)..P(B) = P(AP(B) = P(A∩B), A e B são independentes∩B), A e B são independentes
Exemplo 2Exemplo 2
Se P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(ASe P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(A) =) = 0,6, os eventos A e B 0,6, os eventos A e B são independentes?são independentes?
Uma vez que P(A|B) Uma vez que P(A|B) ≠≠ P(A), os eventos não são P(A), os eventos não são independentesindependentes
Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, eles serãomutuamente excludentes, eles serão independentes? independentes?
Independência de EventosIndependência de Eventos
Exemplo 3Exemplo 3
Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que
eles são independentes, então:eles são independentes, então:
P(A)P(A)..P(B) = P(AP(B) = P(A∩B) = 0∩B) = 0, pois p, pois pelo menos um deles tem elo menos um deles tem
probabilidade nulaprobabilidade nula
Mas ..Mas ..
Como P(A)Como P(A)..P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B não sãonão são
independentes independentes
Exemplo 4Exemplo 4
Independência de EventosIndependência de Eventos
Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em umTomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um shopping-center com o objetivo de investigar a relaçãoshopping-center com o objetivo de investigar a relação entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito.entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito.
A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se:A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre “renda” e “posse de cartõesexiste independência entre “renda” e “posse de cartões de crédito”?de crédito”?
Se existe independência entre as duas variáveis, então:Se existe independência entre as duas variáveis, então:
P(AP(Aii∩B∩Bjj) = P(A) = P(Aii).P(B).P(Bjj) ) para todos i e jpara todos i e j
Onde AOnde Aii indica o nível de renda e B indica o nível de renda e Bjj o número de cartões de crédito o número de cartões de crédito
Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMALogo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes
Independência de EventosIndependência de Eventos
Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:
Independência de EventosIndependência de Eventos
P(P(renda abaixo de R$500renda abaixo de R$500 EE nenhum cartãonenhum cartão) = 260/1000 = 0,26) = 260/1000 = 0,26
Mas:Mas:
P(P(renda abaixo de R$500renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33) = 330/1000 = 0,33
P(P(nenhum cartãonenhum cartão) = 530/1000 = 0,53) = 530/1000 = 0,53
Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (≠0,26), segue-se que as ≠0,26), segue-se que as variáveis variáveis renda familiarrenda familiar e e número de cartões de créditonúmero de cartões de crédito são dependentes.são dependentes.
Partição do Espaço AmostralPartição do Espaço Amostral
Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços
EEBB11
BB22
BB33
BB44
BB55
Qual é o Qual é o conjunto conjunto 21 BB ??
Qual é o Qual é o conjunto conjunto 54 BB ??
Qual é o Qual é o conjunto conjunto 51 BB ??
Qual é o conjunto Qual é o conjunto
53321 BBBBB
??
Partição do Espaço AmostralPartição do Espaço Amostral
Um conjunto de eventos {BUm conjunto de eventos {Bii}, i = 1,..., n constitui uma partição }, i = 1,..., n constitui uma partição
do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a
seguir:seguir:
Os eventos que compõem uma partição sãoOs eventos que compõem uma partição são
- mutuamente exclusivos e,- mutuamente exclusivos e, - quando unidos, englobam todo o espaço amostral- quando unidos, englobam todo o espaço amostral
1
1) , , 1,..., ( )
2)
i j
n
ii
B B i j n i j
B E
E
Partição do Espaço AmostralPartição do Espaço Amostral
1
1) , , 1,..., ( )
2)
i j
n
ii
B B i j n i j
B E
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:
P(A U B) = P(A) + P(B)
P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek)
AB
E1
E3
E2
E4
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
EE
BB
AA AA
B B ∩ ∩ AA
B B ∩ ∩ AA
Como posso escrever B?Como posso escrever B?
Como posso escrever Como posso escrever P(B)?P(B)?
Probabilidade Condicional
P(A│B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(A ∩ B) = P(A│B).P(B) = P(B│A).P(A)
P(B│A) = P(A ∩ B) / P(A)
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
Para uma situação representada pelo diagrama:
A A
BB ∩ A
B ∩ AB = (B ∩ A) U (B ∩ A)
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B│A).P(A) + P(B│A).P(A)
Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que
esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha
no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos
níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma
corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de
contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips
venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o
evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação.
F evento em que o produto falhe;
A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação;
A evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação
P (F│A) = 0,10 P (F│A) = 0,005 P (A) = 0,20 P (A) = 0,80
P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│A).P(A) = 0,10 . 0,20 + 0,005 . 0,80 = 0,024
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
Para uma situação representada pelo diagrama:
B = (B ∩ E1) U (B ∩ E2) U (B ∩ E3) U (B ∩ E4)
E2E1 E3 E4
B ∩ E2
B ∩ E1
B ∩ E3B ∩ E4
B
Regra da probabilidade total para eventos múltiplos
quaisquer E1, E2, ..., Ek.
P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E2) + ... + P(B ∩ Ek) =
P(B│E1).P(E1) + P(B│E2).P(E2) + ... + P(B│Ek).P(Ek)
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade TotalContinuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade
seja:- 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma
falha no produto;- 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause
uma falha no produto;-0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause
uma falha no produto.
Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de
contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de
contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe?
H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação;
M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação;
L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação;
P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L)
P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50
P(F) = 0,0235
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
Considere um evento A e uma partição do espaço amostralConsidere um evento A e uma partição do espaço amostral
{B{Bii}, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que}, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que::
1
( ) ( )
m
jj
P A P A B
1
( ) ( | ) ( )
m
j jj
P A P A B P B
Ou ainda:Ou ainda:
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
DemonstraçãoDemonstração
E
1
m
jj
A A E
A A B
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
1
m
jj
A A B
Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união,Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união, tem-se que:tem-se que:
, ( , 1,..., ) j kB B j k j k m
1
( )
m
jj
A A B
ComoComo pois {Bi}, é uma partição, então:pois {Bi}, é uma partição, então:
( ) ( ) j kA B A B
Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total
Dessa forma, os termos de Dessa forma, os termos de são mutuamente exclusivos são mutuamente exclusivos
Portanto:Portanto:
1
( )
m
jj
A A B
1
( ) ( )
m
jj
P A P A B
Thomas Bayes (1702-1761)
Teorema de BayesTeorema de Bayes
no problema do semicondutor,no problema do semicondutor,
podemos querer saber: podemos querer saber: se o chipse o chip
semicondutor no produto falhar, qual semicondutor no produto falhar, qual
a probabilidade de que ele tenha sidoa probabilidade de que ele tenha sido
exposto a altos níveis deexposto a altos níveis de
contaminação?contaminação?
antes queríamos saber qual aantes queríamos saber qual a
probabilidade de falhar. probabilidade de falhar.
Agora, falhando , queremos saber umaAgora, falhando , queremos saber uma
probabilidade associada a uma origemprobabilidade associada a uma origem
da falha da falha procurando saber a causa procurando saber a causa
Teorema de BayesTeorema de Bayes
P(A)
A)P(B A)|P(B j
j
m
1kkk )P(B)B|P(A P(A)
)P(B)B|P(A)BP(A)P(B
)BP(A )B|P(A jjj
j
jj
iguaisiguais
P(A)
)P(B)B|P(A A)|P(B jj
j
m
1kkk
jjj
)P(B)B|P(A
)P(B)B|P(A A)|P(B
Considere uma partição do espaço amostral {BConsidere uma partição do espaço amostral {B jj}, j = 1,..., m, com}, j = 1,..., m, com
P(BP(Bjj) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0
Da definição Da definição
de probabilidade de probabilidade
condicional:condicional:
Pelo teorema da probabilidade total:Pelo teorema da probabilidade total:
Teorema de BayesTeorema de Bayes
1
( | ). ( )( | ) 1,...,
( | ). ( )
j j
j m
k kk
P A B P BP B A j m
P A B P B
As probabilidades P(BAs probabilidades P(Bjj) são conhecidas como ) são conhecidas como probabilidades a priori, probabilidades a priori, e e
indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja
obtida qualquer informação adicionalobtida qualquer informação adicional
As probabilidades P(BAs probabilidades P(Bjj|A) são conhecidas como |A) são conhecidas como probabilidades a posteriori , probabilidades a posteriori ,
e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação
adicinal obtida posteriormente.adicinal obtida posteriormente.
A expressão acima é conhecida comoA expressão acima é conhecida como Teorema de de BayesTeorema de de Bayes
ResumoResumo
Regra da adiçãoRegra da adição
EEAA
BB
AA ∩ ∩ B B
EE
AA
BB
Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) +
P(B)
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
ResumoResumo
Regra da multiplicaçãoRegra da multiplicação
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) estatisticamente independentes
A
B
A ∩ BE
A
B
A ∩ BA faz o papel do espaço amostral
P(A)B)P(A
A)|P(B
B faz o papel do espaço amostral
P(B)B)P(A
B)|P(A
ResumoResumo
Teorema da probabilidade totalTeorema da probabilidade total
Teorema de BayesTeorema de Bayes
m
1kkk )P(B)B|P(A P(A)
1
1) , , 1,..., ( )
2)
i j
n
ii
B B i j n i j
B E
AA
m
1kkk
jjj
)P(B)B|P(A
)P(B)B|P(A A)|P(B
P(BP(Bjj) > 0 para todo j. ) > 0 para todo j.
Seja A um evento com P(A) > 0Seja A um evento com P(A) > 0
Partição do espaço amostral Partição do espaço amostral
{B{Bjj}, j = 1,..., m}, j = 1,..., m
Teorema de BayesTeorema de Bayes
Exemplo 1Exemplo 1
Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção.
A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. máquina C.
Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B?
Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B Defeituosa | produzida pela máquina B Defeituosa | produzida pela máquina B
d | B d | B
Chamemos de Chamemos de BB o evento o evento fabricado pela máquina Bfabricado pela máquina B, e de , e de dd o o evento evento defeituosa defeituosa Queremos, dessa forma, a probabilidade Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d)P(B|d)
Teorema de BayesTeorema de Bayes
Quais os conceitos utilizados até o momento?Quais os conceitos utilizados até o momento?
EE
ii
i i intacta intacta
i = di = d
AA
BB
CC
dd
Teorema de BayesTeorema de Bayes
EE
ii
AA
BB
CC
dd AA ∩ d ∩ d
BB ∩ d ∩ dCC ∩ d ∩ d
Teorema de BayesTeorema de Bayes
dd ∩ A ∩ A
dd ∩ B ∩ Bdd ∩ C ∩ C
d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C)P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) = = P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+ + P(d|C).P(C)Por outro lado:
P(d)P(B)B)P(d
P(d)B)P(d
P(d)d)P(B
d)|P(B
|
P(C)C)P(dP(B)B)P(dP(A)A)P(dP(B)B)P(d
d)|P(B
|||
|
Teorema de BayesTeorema de Bayes
dd ∩ A ∩ A
dd ∩ B ∩ Bdd ∩ C ∩ C
18,4%0,1840,030,250,010,350,020,40
0,010,35d)|P(B
Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a probabilidade P(B|d):probabilidade P(B|d):
Teorema de BayesTeorema de Bayes
Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem (origem do problema)do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). de qualquer uma das três máquinas (e só de uma).
Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:
18,4%0,1840,030,250,010,350,020,40
0,010,35d)|P(B
0,0190,030,250,010,350,020,40P(d)
C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d)
P(d)P(B)B)P(d
P(d)B)P(d
P(d)d)P(B
d)|P(B
|
Teorema de BayesTeorema de Bayes
Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes:Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes:
0,030,250,010,350,020,400,010,35
d)|P(B
Partição de interessePartição de interesse
Somatório em todas as Somatório em todas as partiçõespartições
Teorema de BayesTeorema de Bayes
A visualização do problema é facilitada pela utilização do A visualização do problema é facilitada pela utilização do seu correspondente diagrama em árvoreseu correspondente diagrama em árvore
d
A
B
C
0,40
0,35
0,25
i
i
i
d
d
0,02
0,98
0,01
0,99
0,03
0,97
Cada avanço por 1 ramo Cada avanço por 1 ramo multiplicaçãomultiplicação
Somam-se os resultados dos Somam-se os resultados dos caminhos (avanços)caminhos (avanços)
0,030,250,010,350,020,400,010,35
d)|P(B
0,030,250,010,350,020,40P(d)
C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d)
Teorema de BayesTeorema de Bayes
Exemplo 2Exemplo 2
Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por que a Chartair tem a menor fatia do mercado).
(a)Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company;
(b)Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company.
DD
DD
EE
A = TLE fabricado pela Altigauge A = TLE fabricado pela Altigauge P(A) = 0,80 P(A) = 0,80 B = TLE fabricado pela Bryant B = TLE fabricado pela Bryant P(B) = 0,15 P(B) = 0,15 C = TLE fabricado pela Chartair C = TLE fabricado pela Chartair P(C) = 0,05 P(C) = 0,05 D = TLE é defeituosoD = TLE é defeituosoD = TLE não é defeituoso (ou é bom)D = TLE não é defeituoso (ou é bom)
Teorema de BayesTeorema de Bayes
AA
BB
CC
Solução:
Teorema de BayesTeorema de BayesExemplo 2Exemplo 2
b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de P(A│D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação dada, sabemos estas probabilidades.
P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6%P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9%
a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles).
Teorema de BayesTeorema de Bayes
D|A
A
B
C
0,80
0,15
0,05
D|B
D|C
0,04
0,06
0,09
D|A
D|B
D|C
0,8.0,04 = 0,032
0,15.0,06 = 0,009
0,05.0,09 = 0,0045
P(D) = 0,0455
0,7030,04550,032
)CDP(P(C))BDP(P(B))ADP(P(A))ADP(P(A)
P(D))ADP(P(A)
)DAP(
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