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Cap. 3 - Variáveis Aleatórias Discreta e Distribuições de Probabilidades 1
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3ESQUEMA DO CAPÍTULO
3.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
3.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE E FU�ÇÕES DE PROBABILIDADE
3.3 FU�ÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA
3.4 MÉDIA E VARIÂ�CIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
3.5 DISTRIBUIÇÃO U�IFORME DISCRETA
3.6 DISTRIBUIÇÃO BI�OMIAL
3.7 DISTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA E BI�OMIAL �EGATIVA
3.8 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
3.9 DISTRIBUIÇÃO DE POISSO�
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de Probabilidade
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Objetivos de Aprendizagem
Após estudo cuidadoso deste capítulo você deverá ser capaz de:1. Determinar probabilidades a partir de funções de probabilidade e o
inverso;2. Determinar probabilidades a partir funções de distribuições
cumulativa, determinar funções de distribuições cumulativas a partir de funções de probabilidade e o inverso;
3. Calcular médias e variâncias de variáveis aleatórias discretas;4. Compreender os pressupostos de cada uma das distribuições de
probabilidades discretas apresentadas;5. Selecionar a distribuição de probabilidades discreta apropriada para
calcular probabilidades em aplicações específicas;6. Calcular probabilidades, determinar médias e variâncias para cada
uma das distribuições de probabilidade apresentadas.
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3.1 Variáveis Aleatórias Discretas
• Neste capítulo, apresentaremos modelos comuns de probabilidade de variáveis aleatórias discretas:
– Exemplo 1: Um sistema de comunicação contém 48 linhas. A variável aleatória X denota o número de linhas que estão sendo usadas em determinado momento;
– Exemplo 2: Em um processo de fabricação, duas peças são testadas e recebem a classificação passa ou falha. A variável aleatória X é definida como sendo igual ao número das que passaram;
– Exemplo 3: Defina a variável aleatória X como sendo o número de partículas contaminantes em uma pastilha em um processo de fabricação de semicondutores.
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3.2 Distribuições de Probabilida-des e Funções de Probabilidade• Definição:
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X:
– É frequentemente especificada por apenas uma listade valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um;
– Em alguns casos é expressa em termos de uma fórmula;
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3.2 Distribuições de Probabilida-des e Funções de Probabilidade• Exemplo:
Há uma chance de que um bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja recebido com erro. Denote X o número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. Suponha que a distribuição de probabilidades de X seja a especificada (vide Fig. 3.1):
P(X = 0) = 0,6561P(X = 1) = 0,2916P(X = 2) = 0,0486P(X = 3) = 0,0036P(X = 4) = 0,0001
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3.2 Distribuições de Probabilida-des e Funções de Probabilidade• Exemplo (continuação):
Fig. 3.1 Distribuição de probabilidades para bits com erros
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3.2 Distribuições de Probabilida-des e Funções de Probabilidade
• Definição:Para uma variável aleatória discreta com valores possíveis x1, x2, ..., xn, a função de probabilidade é uma função tal que
a)b)c)
,0)( ≥ixf
,1)(1
=∑=
n
j
jxf
).()( ii xXPxf ==
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3.2 Distribuições de Probabilida-des e Funções de Probabilidade• Exemplo II:
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3.2 Distribuições de Probabilida-des e Funções de Probabilidade• Exemplo II (continuação):
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3.3 Funções de Distribuição Cumulativa• Definição:
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3.3 Funções de Distribuição Cumulativa• Exemplo:
Fig. 3.3 Função de distribuição cumulativa para o exemplo
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3.4 Média e Variância de Uma Variável Aleatória Discreta• Definição:
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3.4 Média e Variância de Uma Variável Aleatória Discreta• Exemplo:
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3.4 Média e Variância de Uma Variável Aleatória Discreta• Exemplo (continuação):
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3.4 Média e Variância de Uma Variável Aleatória Discreta• Exemplo II:
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3.4 Média e Variância de Uma Variável Aleatória Discreta• Exemplo II (continuação):
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3.4 Média e Variância de Uma Variável Aleatória Discreta• Exemplo III:
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3.5 Distribuição Uniforme Discreta• Definição:
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3.5 Distribuição Uniforme Discreta
• Exemplo:
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3.5 Distribuição Uniforme Discreta
• Exemplo (continuação):
Fig. 3.5 Função de probabilidade para uma variável aleatória discreta uniforme
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3.5 Distribuição Uniforme Discreta
• Definição:
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3.5 Distribuição Uniforme Discreta
• Exemplo:
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3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo:
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3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo(continuação):
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3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo(continuação):
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3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo(continuação):
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3.6 Distribuição Binomial
• Definição:
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3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo:
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29
3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo(continuação):
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3.6 Distribuição Binomial
• Exemplo(continuação):
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3.6 Distribuição Binomial
• Definição:
• Exemplo:
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3.6 Distribuição Binomial
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.1 Distribuição Geométrica• Exemplo:
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.1 Distribuição Geométrica• Definição:
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.1 Distribuição Geométrica• Exemplo II:
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.1 Distribuição Geométrica
Fig. 3.9 Distribuições geométricas para valores selecionados do parâmetro p
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.1 Distribuição Geométrica• Definição:
• Exemplo:
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.2 Distribuição Binomial Negativa• Definição:
• Definição:
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.2 Distribuição Binomial Negativa• Exemplo:
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3.7 Distribuições Geométrica e Binomial �egativa3.7.2 Distribuição Binomial Negativa• Exemplo (continuação):
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3.8 Distribuição Hipergeométrica
• Definição:
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3.8 Distribuição Hipergeométrica
• Definição II:
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3.9 Distribuição de Poisson
• Definição:
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3.9 Distribuição de Poisson
• Exemplo:
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3.9 Distribuição de Poisson
• Definição:
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TERMOS E CO�CEITOS IMPORTA�TESExperimentos de
Bernoulli
Distribuição binomial
Função de distribuiçãocumulativa – variávelaleatória discreta
Distribuição uniformediscreta
População finita
Distribuição geométrica
Distribuiçãohipergeométrica
Média – variável
aleatória discreta
Média – função de umavariável aleatória
discreta
Distribuição binomialnegativa
Distribuição de Poisson
Distribuição deprobabilidade
Função de distribuição
Desvio-padrão – variá-vel aleatória discreta
Variância – variávelaleatória discreta
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