Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de Materiales Compuestos
Elasticidad Anisótropa
Anisotropía
2
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
• Un material isótropo es aquel en el cual las propiedades son las mismas en todas las direcciones.
• Un material anisótropo es aquel en el cual las propiedades varían en diferentes orientaciones materiales. Dichas propiedades pueden ser rigidez, resistencia, expansión térmica, conductividad térmica, etc.
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Vector de tensión
3
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
dV
En ausencia de fuerzas electromagnéticas, el cubo sólo interactúa con el resto del cuerpo a través de fuerzas transmitidas en las interfases, que son las superficies del cubo.
Si tomamos una superficie elemental cualquiera, podemos definir el vector de tensión como la relación entre el diferencial de fuerza actuando en la superficie y la superficie cuando esta tiende a cero.
dS
Fdt
dSn
0lim
Vector de tensión
4
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
En cada punto de la estructura, podemos definir una dirección normal y calcular el vector tensión. Si tomamos una dirección normal diferente, el vector que obtendremos será diferente. Es decir, el vector tensión esta asociado a una dirección.
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ds
n tn
ds
n
stn
t
n
t
s tnEn el plano
(n,tn)
En el caso más general, tomando un vector normal con tres componentes respecto a un sistema de referencia, tendremos un vector de tensión con tres componentes en el mismo sistema de referencia.
El vector tensión siempre se puede descomponer en dos componentes:
• Una tensión normal a la superficie
denominada s
• Una tensión tangencial a la superficie
denominada t
Vector de tensión
5
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Para una superficie determinada, se necesitan tres escalares para definir el estado tensional:
1. La tensión normal
2. La tensión tangencial
3. La dirección de la tensión tangencial
Una manera más práctica de definir la tensión tangencial y su dirección es descomponer la misma en dos componentes ortogonales en el plano
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Podemos representar todas las direcciones normales posibles a través de 3 versores ortogonales. Como a cada uno de los versores le corresponden tres escalares de tensión, se tiene que para definir completamente el estado tensional en un punto del cuerpo se necesitan nueve escalares.
s
t
tv
tu
tn
n
ds
ds
t
tv
tu
En el plano ds
Tensor de tensiones
6
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
En un sistema ortogonal xyz, el tensor de tensiones se puede interpretar como los vectores de tensión correspondientes a las superficies definidas por las normales i, j, k.
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x
z
y
i
ti
j
tj
k tk
x
z
y
sxx
sxy
sxz
syx
syy
syz
szz
szyszx
En componentes
Tensor de tensiones
7
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
x
z
y
sxx
sxy
sxz
syx
syy
syz
szz
szyszx
xx xy xz xx xy xz
yx yy yz yx yy yz
zx zy zz zx zy zz
s s s s t t
s s s s t s t
s s s t t s
xx xy xz
ij yx yy yz
zx zy zz
s s s
s s s s
s s s
• El primer subíndice ( i ) indica la cara
• El segundo subíndice ( j ) indica la dirección de la tensión
Simetría del tensor de tensiones
8
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Para que se verifique el equilibrio de momentos del cubo diferencial, se debe cumplir que:
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Es decir, el tensor de tensiones debe ser simétrico. El número de escalares diferentes del tensor se ve reducido a seis. Estas seis componentes se pueden expresar en forma de vector.
jiij ss
xx xy xz
i xy yy yz
xz yz zz
s s s
s s s s
s s s
xx
yy
zz
yz
xz
xy
s
s
ss
s
s
s
Transformación de coordenadas
9
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Conociendo el estado tensional en un sistema de ejes coordenados, es posible calcular el estado en cualquier otro sistema de ejes realizando una transformación de ejes coordenados. Dicha transformación corresponde a una transformación tensorial.
En el análisis de láminas orientadas, nos interesa en particular la rotación del tensor de tensiones alrededor del eje z:
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1
x
y2
z=3
q
2 21
2 22
3
4
5
2 26
0 0 0 2
0 0 0 2
0 0 1 0 0 0'
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
xx
yy
zz
yz
xz
xy
m n mn
n m mn
m n
n m
mn mn m n
ss
ss
sss
tt
tt
tt
q
q
senn
m cos
Tensión plana
10
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
• El estado de tensión plana se produce cuando una de las tensionesprincipales del material es nula.
• En este caso, todas las tensiones en una determinada dirección sonnulas, quedando definido un plano en el cual están contenidas lastensiones.
• Los estados de tensión plana son típicos de láminas delgadas
Por ejemplo: estado de tensión plana en el plano XY
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0
0
0 0 0
xx xy
yx yy
s t
s t s
0
0
0
xx
yy
yx
s
s
s
t
00 zyzxyzxzz tensordelsimetriapor tttts
xx
yy
yx
s
s s
t
Transformación de coordenadas
11
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Estado plano de tensiones en el plano XY, rotación alrededordel eje Z
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1
x
y
2z=3
q
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
' 2
xx
yy
xy
m n mn
n m mn
mn mn m n
s s
s s s
t t
sqs T'
)(
)(
q
q
ensn
cosm
Propiedades de la transformación
12
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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sqqsssqs
sqs)()(
')(''
)('TT
T
T
Rotación q
Rotación -q
ITT qq 1 qq TT
2 2
2 2
2 2
2
2
m n mn
T n m mn
mn mn m n
q
2 2
12 2
2 2
2
2
m n mn
T n m mn T
mn mn m n
q q
Transformación de coordenadas
13
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo 1
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Calcule las tensiones en los ejes principales de una lámina a 45°si esta sometido a corte puro en el sistema de ejes coordenados del laminado.
t0
x
y 12
x
y 12
?
Transformación de coordenadas
14
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo 1
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Utilizando las transformaciones definidas:
sqs T' 1 2m n
0005,005,0
105,005,0
105,005,0
'
05,05,0
15,05,0
15,05,0
0
0
2
2
'
0
0
0
0
0
0
22
22
22
6
2
1
t
t
t
t
t
s
tt
s
s
s
nmmnmn
mnmn
mnnm
Transformación de coordenadas
15
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo 1
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
t0
x
y 12s1=t0
x
y12
s2=-t0
Transformación de coordenadas
16
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo 2
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
x
s0
y12
qx
y12
q
?
Calcule las tensiones en los ejes principales de una lámina a un ángulo q si esta sometido a tracción biaxial uniforme (sx=sy=s0) en el sistema de ejes coordenados del laminado.
Transformación de coordenadas
17
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo 2
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
sqs T'
2 2
1 0
2 2
2 0
2 2
6
2 2
0 0
2 2
0 0
2
0 0
cos 2cos
' cos 2cos
cos cos cos 0
cos * * 2cos *0
* cos * 2cos *0
cos * cos * cos
sen sen
sen sen
sen sen sen
sen sen
sen sen
sen sen
s q q q q s
s s q q q q s
t q q q q q q
q s q s q q
q s q s q q
q q s q q s
2 2
00
2 2
0 0
2
0
cos *
cos *
0*0 cos cos *
sen
sen
sen sen sen
q q s s
q q s s
q q q q q q s
cos
sen
m
n
q
q
Utilizando las transformaciones definidas:
Transformación de coordenadas
18
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo 2
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x
s0
y12
qx
s0
s0y12
q
θ
Tensor de deformaciones
19
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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El tensor de deformaciones se define a partir del campo de desplazamientos del cuerpo
El tensor de deformaciones infinitesimal, sólo válido para pequeñas deformaciones
zyxw
zyxv
zyxu
,,
,,
,,
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
i
j
j
i
ijdx
du
dx
du
2
1
Tensor de deformaciones
20
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Deformaciones normales
Deformaciones por corte
dz
dwdy
dvdx
du
z
y
x
dy
du
dx
dv
dx
dw
dz
du
dy
dw
dz
dv
xy
xz
yz
2
1
2
1
2
1
Tensor de deformaciones
21
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Existen dos definiciones diferentes para las deformaciones por corte
dy
du
dx
dv
dx
dw
dz
du
dy
dw
dz
dv
xy
xz
yz
2
1
2
1
2
1
xyxy
xzxz
yzyz
dy
du
dx
dv
dx
dw
dz
du
dy
dw
dz
dv
2
2
2
Deformaciones por corte tensoriales
Deformaciones por corte ingenieriles
Tensor de deformaciones
22
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Teniendo en cuenta las diferentes definiciones de deformaciones por corte
Tensor de deformaciones tensoriales
Tensor de deformaciones ingenieriles
*
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
Notación con asterisco
Tensor de deformaciones
23
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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yu v
dx dx
xu u
dy dy
xy
2xy
Tensor de deformaciones
24
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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El tensor de deformaciones infinitesimal es simétrico por definición
Vector de deformaciones tensoriales
Vector de deformaciones ingenieriles
Notación con asterisco
1 1
2 2
j ji i
j i i j
du dudu du
dx dx dx dx
ij ji
Podemos utilizar la notación vectorial para resumir el tensor de deformaciones
*
xx
yy
zz
yz
xz
xy
xx
yy
zz
yz
xz
xy
Tensor de deformaciones
25
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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2 21
2 22
3
4
5
2 26
0 0 0 2
0 0 0 2
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
xx
yy
zz
yz
xz
xy
m n mn
n m mn
m n
n m
mn mn m n
Definida así para transformación entre deformaciones de corte “tensoriales”
1
x
y
2z=3
q
* ' *T q
Al igual que las tensiones, podemos obtener las deformaciones en otro sistema de coordenadas aplicando una transformación de rotación. Dicha transformación tomada alrededor del eje z se realiza con la misma matriz en notación vectorial
Tensor de deformaciones
26
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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1
x
y
2z=3
q
En el caso de que solo se requiera transformar las deformaciones en el plano XY
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
' 2
xx
yy
xy
m n mn
n m mn
mn mn m n
* ' *T q
2 2
1
2 2
2
3
4
5
2 2
6
2
2
xx yy xy
xx yy xy
zz
yz xz
yz xz
xx yy xy
m n mn
n m mn
m n
n m
mn mn m n
q
q
senn
m cos
Tensor de deformaciones
27
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Calcule las deformaciones de un cuerpo sometido al siguiente campo de desplazamientos.
0,,
101)(,,
101,,
62
6
zyxw
xyzyxv
yxzyxu
Tensor de deformaciones
28
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Recordando la definición del campo de deformaciones infinitesimales, las deformaciones normales son:
0
)101(2
)101(
6
6
dz
dw
ydy
dv
ydx
du
z
y
x
Tensor de deformaciones
29
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Recordando la definición del campo de deformaciones infinitesimales, existen dos definiciones diferentes para las deformaciones por corte:
dy
du
dx
dv
dx
dw
dz
du
dy
dw
dz
dv
xy
xz
yz
2
1
2
1
2
1
xyxy
xzxz
yzyz
dy
du
dx
dv
dx
dw
dz
du
dy
dw
dz
dv
2
2
2
Deformaciones por corte tensoriales
Deformaciones por corte ingenieriles
Tensor de deformaciones
30
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Recordando la definición del campo de deformaciones infinitesimales, las deformaciones por corte ingenieriles son:
Deformaciones por corte ingenieriles
02
02
)101(12 6
xyxy
xzxz
yzyz
dy
du
dx
dv
dx
dw
dz
du
xdy
dw
dz
dv
Relaciones constitutivas
31
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Homogeinización
Dentro de un material compuesto, las tensiones presentes en la matriz y el refuerzo no son necesariamente iguales. Sin embargo, al asumir que ambos materiales son lineales elásticos, podemos esperar que el comportamiento del compuesto será lineal elástico:
Al expresar las relaciones constitutivas, estamos suponiendo las tensiones y deformaciones medias del
material compuesto.
Relaciones constitutivas
32
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Ley de Hooke generalizadaExiste proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones en un
material elástico dentro de ciertos límites. Si tenemos seis componentes de deformación y seis de tensión
xx xxxx xxyy xxzz xxyz xxxz xxxy
yy yyxx yyyy yyzz yyyz yyxz yyxy
zz zzxx zzyy zzzz zzyz zzxz zzxy
yz yzxx yzyy yzzz yzyz yzxz yzxy
xz xzxx xzyy xzzz xzyz xzxz xzxy
xy xyxx xyy
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C
s
s
s
t
t
t
xx
yy
zz
yz
xz
y xyzz xyyz xyxz xyxy xyC C C C
En principio, 36 constantes independientes
Asociado a deformaciones
ingenieriles
Simetría de la matriz
33
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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La energía de deformación por unidad de volumen esta dada por:
i j
jiij
TTCCU s
2
1
2
1
2
1
i
j
jij
i
CU
s
ij
j
i
ij
CU
s
2
ji
i
j
ji
CU
s
2
ijji
UU
22
jiij CC
Derivando nuevamente, pero con respecto a j se tiene:
Derivando nuevamente pero invirtiendoel orden de las derivadas:
Pero el orden de las derivadas segundas es indiferente:
Por lo tanto: La matriz de rigidez es simétrica
Derivando con respecto a i:
Material generalmente anisótropo
34
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Es un material que no posee ninguna simetría, también denominado triclínico
xx xxxx xxyy xxzz xxyz xxxz xxxy
yy xxyy yyyy yyzz yyyz yyxz yyxy
zz xxzz yyzz zzzz zzyz zzxz zzxy
yz xxyz yyyz zzyz yzyz yzxz yzxy
xz xxxz yyxz zzxz yzxz xzxz xzxy
xy xxxy yyx
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C
s
s
s
t
t
t
xx
yy
zz
yz
xz
y zzxy yzxy xzxy xyxy xyC C C C
21 constantes elásticas independientes
Materiales con planos de simetría
35
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Cuando un material es simétrico con respecto a un plano, se lo denomina monoclínico o generalmente ortótropo.
x
yz
La lámina de compuesto unidireccional posee solo un plano de simetría en el sistema coordenado xyz si ninguno de los ejes coincide con la dirección de las fibras.
El plano de simetría en la figura es el plano medio de la lámina (plano xy)
El material no es simétrico con respecto a los planos xz e yz
Incompatibilidad de deformaciones
36
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Materiales con planos de simetríaCuando aplicamos cargas simétricas con respecto al plano de simetría,
las deformaciones deben ser simétricas con respecto a dicho plano.
Por ejemplo, si aplicamos una tensión sx, sy o txy, las deformaciones por corte xz y yz deben ser nulas.
x
z
xzsx
x
z
sx
La deformación xz no es simétrica con respecto al plano xy
Material generalmente ortótropo
37
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Plano de simetría XY
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
xx xxxx xxyy xxzz xxxy xx
yy xxyy yyyy yyzz yyxy yy
zz xxzz yyzz zzzz zzxy zz
yz yzyz yzxz yz
xz yzxz xzxz xz
xy xxxy yyxy zzxy xyxy xy
C C C C
C C C C
C C C C
C C
C C
C C C C
s
s
s
t
t
t
13 constantes elásticas independientes
Materiales con más de un plano de simetría
38
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Cuando un material posee tres planos de simetría que coinciden con los planos coordenados del sistema de referencia, se dice que el material es especialmente ortótropo.
x = 1
y = 2
z = 3El material es simétrico con respecto a los
planos XY, XZ e YZ.
Atención: Este mismo material observado en otro sistema de
referencia no es especialmente ortótropo
Material especialmente ortótropo
39
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Sólo si el sistema XYZ coincide con los planos de simetría
9 constantes elásticas independientes
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
xx xxxx xxyy xxzz xx
yy xxyy yyyy yyzz yy
zz xxzz yyzz zzzz zz
yz yzyz yz
xz xzxz xz
xy xyxy xy
C C C
C C C
C C C
C
C
C
s
s
s
t
t
t
Material transversalmente isótropo
40
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
En láminas reforzadas con fibras, se puede observar que existe un plano en el cual las propiedades no deben variar con la orientación. El plano yz es un plano de isotropía, por lo cual se pueden intercambiar los subíndices yy por zz, y los subíndices xz por xy.
z = 3y = 2
x = 1
z=3
y=2xxyy xxzz
yyyy zzzz
xzxz xyxy
C C
C C
C C
Con estas igualdades, de reduce el problema a 6 constantes elásticas independientes
Material transversalmente isótropo
41
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Se puede demostrar que la constante Cyzyz no es independiente. Tomando un estado de carga de corte puro t0
2 ' 23s t
z
y
tyz t0
Z’Y’
q=45º
tyz t0
Conocemos el estado tensional en el Sistema XYZ
Queremos conocer el estado tensional en el Sistema X´Y´Z´ que
esta rotado 45º con respecto al eje X
Material transversalmente isótropo
42
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
En el sistema XYZ
De donde se obtiene
11
22
33
230
13
12
0 0 00
0 0 00
0 0 00
0 0 0 0 0
0 0 0 0 00
0 0 0 0 00
xxxx xxyy xxyy
xxyy yyyy yyzz
xxyy yyzz yyyy
yzyz
xzxz
xyxy
C C C
C C C
C C C
C
C
C
t
0
0
0
0
0
0
yzyzC
t
Material transversalmente isótropo
43
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Recordando la transformación de coordenadas, pero
para una rotación de 45º alrededor del eje X
De donde se obtiene
' '
' ' 0
' ' 0
' '
' '
' '
0
0
0
0
x x
y y
z z
y z
x z
x y
s
s t
s t
t
t
t
' '
2 2' '
2 2' '
2 2' ' 0
' '
' '
1 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
x x
y y
z z
y z
x z
x y
m n mn
n m mn
mn mn m n
m n
n m
s
s
s
t t
t
t
1
2m n
Material transversalmente isótropo
44
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Se puede demostrar que la constante Cyzyz no es independiente
2 ' 23s t
' ' 0y ys t
z
y
Z’Y’
q=45°
yz yzyz yzCt ' ' 0z zs t
Sistema XYZ Sistema X´Y´Z´
tyz t0
tyz t0
Material transversalmente isótropo
45
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Recordando la transformación de coordenadas, pero
para una rotación de 45° alrededor del eje X
De donde se obtiene
' '
' ' 0
' ' 0
' '
' '
' '
0
0
0
0
x x
y y
z z
y z
x z
x y
s
s t
s t
t
t
t
1
2m n
La transformación se realiza de tensorial a tensorial
' '
' '
2
2
yz
y y
yz
z z
' '
2 2' '
2 2' '
2 2' '
' '
' '
01 0 0 0 0 0
00 2 0 0
00 2 0 0
0 0 02
0 0 0 00
0 0 0 00
x x
y y
z z
yzy z
x z
x y
m n mn
n m mn
mn mn m n
m n
n m
Material transversalmente isótropo
46
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
En el sistema X’Y’Z’
De donde se obtiene
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '0
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '0
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
00 0 00
0 0 0 2
0 0 0
20 0 0 0 000
0 0 0 0 000
0 0 0 0 000
x x x x x x y y x x y yyz
x x y y y y y y y y z z
x x y y y y z z y y y y yz
y z y z
x y x y
x y x y
C C C
C C C
C C C
C
C
C
t
t
' ' ' ' ' ' ' '0
2
y y y y y y z z
yzyz
yz
C CC
t
Material transversalmente isótropo
47
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Como el plano 23 es un plano de isotropía
De donde se obtiene
' ' ' ' ' ' ' 'y y y y yyyy z z z z zzzzC C C C
2
yyyy yyzz
yzyz
C CC
Queda demostrada la dependencia de Cyzyz
Material transversalmente isótropo
48
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 02
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
xxxx xxyy xxyy
xxyy yyyy yyzzxx xx
yy yy
xxyy yyzz yyyyzz zz
yz yzyyyy yyzz
xz xz
xy xy
xyxy
xyxy
C C C
C C C
C C C
C C
C
C
s
s
s
t
t
t
Material especialmente ortótropo transversalmente isótropo
Solo si el sistema XYZ coincide con los planos de simetría
5 constantes elásticas independientes
Lámina unidireccional sistema 123
49
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
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Material isótropo
50
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
El material isótropo es aquel en el cual las propiedades elásticas son independientes de la orientación. Continuando el procedimiento anterior:
2 constantes elásticas independientes
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 02
0 0 0 0 02
0 0 0 0 02
xxxx xxyy xxyy
xxyy xxxx xxyyxx xx
yy yy
xxyy xxyy xxxxzz zz
yz yzxxxx xxyy
xz xz
xxxx xxyyxy xy
xxxx xxyy
C C C
C C C
C C C
C C
C C
C C
s
s
s
t
t
t
Constantes de Lamé
51
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Existen diversas formas de expresar las relaciones constitutivas de materiales isótropos. Sin embargo, siempre se tienen 2 constantes elásticas independientes l , m.
2 0 0 0
2 0 0 0
2 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
xx xx
yy yy
zz zz
yz yz
xz xz
xy xy
s l m l l
s l l m l
s l l l m
t m
t m
t m
Módulos y coeficiente de Poisson
52
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 21 1 20 0 0 0 0
2
1 20 0 0 0 0
2
1 20 0 0 0 0
2
xx xx
yy yy
zz zz
yz yz
xz xz
xy xy
E
u u u
u u us
s u u us
t uu u
t
ut
u
2 1
EG
u
Matriz flexibilidad
53
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Hasta ahora hemos expresado las relaciones constitutivas a través de la matriz rigidez
s C
s S
1 CS
[C]: matriz rigidez
[S]: matriz flexibilidad
En algunos casos resulta conveniente expresar las deformaciones como función de las tensiones
La matriz flexibilidad es más fácil de caracterizar mediante ensayos ya que los mismos suelen realizarse bajo tensión uniaxial.
Láminas delgadas
54
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Las láminas de un laminado compuesto suelen ser tener un espesor mucho menor a sus dimensiones en el plano 12, y por lo tanto, se asume la hipótesis de tensión plana
Tomando las relaciones deducidas para un material especialmente ortótropo:
33
23 32
13 31
0
0
0
s
t t
t t
11 13 131 1
13 22 232 2
13 23 223
22 234
566
6 666
0 0 0
0 0 0
0 0 00
0 0 0 0 0 02
00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
C C C
C C C
C C C
C C
C
C
s
s
t
Láminas delgadas
55
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Explícitamente
Introduciendo la ecuación de la derecha en las primeras dos:
1 11 1 13 2 13 3
2 13 1 22 2 23 3
13 1 23 2 33 3
4
5
6 66 6
0
0
0
C C C
C C C
C C C
C
s
s
t
13 23
3 1 2
33 33
C C
C C
13 13 13 23
1 11 1 12 2
33 33
13 23 23 23
2 13 1 22 2
33 33
6 66 6
C C C CC C
C C
C C C CC C
C C
C
s
s
t
3 ya no forma parte del sistema de ecuaciones, lo cual
no significa que sea nulo.
Láminas delgadas
56
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
El sistema de ecuaciones queda reducido a componentes de tensión y deformación en el plano 12. Podemos definir nuevas constantes Qij
En forma matricial
Válido para el caso de tensión plana y material especialmente
ortótropo. Es decir, con el sistema de referencia
coincidente con los ejes principales de la lámina.
donde
33
33
C
CCCQ
ji
ijij
6
2
1
66
2212
1211
6
2
1
00
0
0
t
s
s
Q
6666
2221212
2121111
t
s
s
Q
Láminas delgadas
57
Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Al eliminar 3 del sistema de ecuaciones, sólo se necesitan 4 constantes elásticas independientes a determinar para caracterizar el comportamiento elástico de la lámina en su plano.
Invirtiendo esta matriz, se obtiene la matriz flexibilidad correspondiente. La mejor manera de determinar estas constantes elásticas es mediante ensayos mecánicos
Válido para el caso de tensión plana y material especialmente
ortótropo. Es decir, con el sistema de referencia coincidente con los
ejes principales de la lámina.
6
2
1
66
2212
1211
6
2
1
00
0
0
t
s
s
Q
6
2
1
66
2212
1211
6
2
1
00
0
0
t
s
s
S
SS
SS