Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Etapa 4, Problema 4
Determinaµi toate perechile (x, y) ∈ N× N care veri�c egalitatea
x (x+ 1) = y7.
Crux Mathematicorum
Soluµie.
Evident, (0, 0) este soluµie.Se veri�c u³or c , dac (x, y) este soluµie cu m car o component
nenul , atunci x ≥ 2 ³i y ≥ 2. Dac p este un num r prim din de-scompunerea lui y, p divide exact unul dintre numerele relativ primex ³i x + 1. Rezult c exist a, b ∈ N, a, b ≥ 2, astfel încât x = a7 ³ix+ 1 = b7. Atunci
b7 − a7 = 1
⇔ (b− a)(b6 + ab5 + ...+ a5b+ a6
)= 1.
Cum b6 + ab5 + ...+ a5b+ a6 ≥ 2, ultima egalitate este fals .În concluzie, unica soluµie a ecuaµiei este (0, 0).
1