Evalúe las siguientes integrales:
22
22
2 2 22
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 9
Solución- :
1 ( )9
1 1 ( ),3 39
1 ,3 33 3 3 3
1 3 3 3 3 3
J
3
uan Beltrán
,
1 6
1
9 9
2
dxx
dxx
x xx
A B C Dx xx x x x
A x B x x C x D x x
A x x B x x
1.
2 2
2 3 2 2 3
2
3 2
3 6 9 9 3 ,
1 6 9 3 9 27 6 9
3 9 27 ,
1 3 3 6 9 6 9
9 27 9 27 ( )
Como ( ) es una
3
2 iden
C x x D x x
Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx C Dx
Dx Dx D
B D x A B C D x A B C D x
A B C D
tidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben
ser iguales a los correspondientes del miembro derecho; de tal manera que:
0
3 3 0
6 9 6 9 0
9 27
B D
A B C D
A B C D
A
( )
9 27 1
La solución del sistema de 4 4 ( ), es:
1 1 1 1 , , , ( )36 108 36 108
Sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene la forma de fracciones parci
4
3
5
5 2 ales del integrando en ( )1 ;
B C D
A B C D
2 2
2 2
22
de tal manera que:
1 1 1 1 108 3 108 336 3 36 3
1 1 1 1 1 1 1 1 ,36 108 3 36 108 33 3
1 1 1 1 1 1 1 ln 3 ln 3 ,36 3 108 36 3 1089
dxx xx x
dx dx dx dxx xx x
dx x x Cx xx
22
2 22
1 1 1 1 1 3 ln ;36 3 3 108 39
1 1 3ln108 3 18( 9)
.9
x x
xdx Cx x xx
dx Cx xx
4
4
4
4
1
Solución- :
( )1
Dividimos el integrando en ( ), para hallar la parte entera y la fracciónpropia, luego expresamos dicha fracci
Jua
ón como una suma de
n Beltrán
frac
1
1cion
x dxx
x dxx
2.
4
4 4
4 2 2 2
22
2 2 2
3 2
esparciales:
1 1 ( )1 1
1 1 1 ,1 1 1 1 1 1
1
2
3 ( ),1 1 11 1 1
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( )( 1),
1
xx x
x x x x x x
A B Cx Dx x xx x x
A x x B x x Cx D x
Ax Ax Ax A B
3 2 3 2
3 2
,
1 ( ) ( ),
Como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivamente iguales; de tal man
4
4era que:
0
x Bx Bx B Cx Dx Cx D
A B C x A B D x A B C x A B D
A B C
0
( ) 0
1
La solución del sistema ( ) es:
1 1 1 , , 0, 4 4 2
Sustituyendo los valores anteriores
5
5
3 2en ( ), luego en ( ), la integral 1(
A B D
A B C
A B D
A B C D
41
4
4
4 2
4
4 2
41
4
)queda:
1 1 1 1 ,1 4 1 4 1 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1ln t
,4 1 4 1 21 1
1 1 1 ln 1 ln 1 tan ;4 4
an4 1
21
21
x dx dxx x x x
x dx dx dx dx dxx
x xdx x x
xx xx dx x x
x
x Cx
x
x
.C
4 2
22 2
4 2
22 2
4 2
2 2 22 2 2
1 1 4
Solución- :
1 ( )1 4
Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales:
1
Juan Belt
11 4
1
1
r n
4
á
t t dtt t
t t dtt t
t t At B Ct D Ettt t t
3.
2
24 2 2 2 2 2
4 2 4 2 2 4 2
4 2 5 4 3 2 3 2
5
( ),4
1 4 1 1 4 ,
1 8 16 1 5 4 ,
1 8 8 16 16
2
Ft
t t At B t Ct D t Et F t t
t t At B t t Ct D t Et F t t
t t At Bt At Bt At B Ct Dt Ct D
Et Ft
4 3 2
4 2 5 4 3 2
5 5 4 4 ,
1 8 5 8 5
16 4 16 4 ( ),3
Como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivame t
3n e
Et Ft Et F
t t A E t B F t A C E t B D F t
A C E t B D F
iguales; de tal manera que:
0
1
8 5 0 ( )
8 5 1
16 4 0
16 4 1
La solución del sistema ( ) es:
0,
4
4
A E
B F
A C E
B D F
A C E
B D F
A B
4 2
2 22 22 2 2
4 2
2 22 2
1 13 8, 0, , 0, 9 3 9
Sustituyendo los valores anteriores en ( ), la integral ( )queda:
1 1 13 8 ,9 1 9 41 4 3 4
1 1 1 13 1 9
2 1
311 4
C D E f
t t dt dtt tt t t
t t dt dttt t t
2 22
4 21 1
12 22 2 2
4 21 1
12 22 2 2
2
2
8 1 ,9 44
1 1 13 1 8 1 tan tan ,9 3 9 21 4 4
1 1 13 1 4 tan tan ( )9 3 91 4 4
5
t
t
dt dtt
t t dt t dt Ct t t
t t dt t dt Ct t t
2 22 2
2
2
La integral en ( ) se resuelve por sustitución trigonométrica, veamos:
1 ( )4 4
Sea
2 tan , 2sec ( )
Sustitiuyendo ( ) en ( ), s
5
6
7
7 e obtiene:
1
6
dtdtt t
t dt d
t
2 2 2
2 2 2 22 2 2
22 2 22 2
2sec 2sec 1 sec ,84 4 tan 4 16 tan 1 sec
1 1 1 1 cos ( )8 8sec4 4
La integral en ( ) se resuelve por el método de integración por partes:
8
8
d d ddt
ddt dt dt t
2
2 2 2
2 2
cos cos cos
Sea
cos , sen
cos , sen
De tal manera que:
cos sen cos sen sen cos (1 cos ) ,
cos sen cos cos ,
d d
u du d
dv d v
d d d
d d d
2
2
22
22
2 cos sen cos ;
1 1cos sen cos ( )2 2
sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 1 1 sen cos ,8 2 2
9
9
4
1 1 1 sen cos ( )16 164
De
8
10
7 ( ), se tiene
d c
d C
dt Ct
dt Ct
1
que:
2 tan tan tan ( / 2) ( )2
2 tan tan : con este dato se construye el triángulo2
rectángulo que aparece en la
11
:Fig.1
tt t
tt
2 2
12 2 22
22
2
Del triángulo rectángulo de , se deduce que:
2 sen , cos ( )4 4
sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 2 1 tan ,16 164 44
1
12
1
1 12
F g
1
.
4
1
0
i
t
t
t t
tdt Ct tt
dtt
12
4 21 1 1
2 22 2
4 21
2 22 2
2 2
1 1 tan ( / 2) ( )8 164
Por último, sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 13 1 1 4tan tan tan ;9 3 8 16 941 4
1 1 13 13 tan9 24 41 4
13
13 5
t t
t t Ct
t t tdt t Ctt t
t t tdt ttt t
4 2
1 12 2
1
2
1
2
2 2
21 1 13 25tan tan
9 24 14441 4
4tan tan ;48 9
.
t t
tt t tdt t Ctt t
C
6
Solución- :
6 6
Juan
1 ;6 6 6
6 ln 6 .
Beltr n
6
á
x dxx
x d
x d
x dx dx dxx x x
x x x Cx
4.
9 5 2
Solución- :
9 ( )5 2
Expresemos el integrando como una sum de fracciones parciales:
9 ( ),5 25 2
9 5 2
Juan Beltrán
55
1
2
2
52
x dxx x
x dxx x
x A Bx xx x
x Ax x x xxx x
5.
,2
9 ( 2) ( 5) 9 2 5 ,
9 2 5 ( )
como ( ) es una identidad, los coeficientes del miembro izquierdo son igualesa los correspondientes del miembro der
3e
3
Bx
x A x B x x Ax A Bx B
x A B x A B
cho; de tal modo que:
1 ( ) ( )
2 5 9 (
i4
ii)
A B
A B
Para resolver el sistema ( ), multiplicamos la ecuación ( ) por 2 y, laecuación resultante, la sumamos con la ( ):
2 2 2 2 5 9
7 7 1 (
4 iii
5),
1 1
A BA B
B B
A
( ) en ( ) ;
2 ( )
Sustituyendo ( ) y ( ) en ( ) la integral ( ) queda:
9 2 1 1 1
9 2 ln 5 ln 25 2
4 ii
2 ;5 2 5 25 2
6
5 6 2 1
.
A
x dx dx dx
x dx x x Cx
dxx x x xx x
x
3
22
3 3
22 2
1 1
Solución- :
1 1 ( )1 1 1
1 ( ),1 11 1
1 1 1 ,1 1
1 ( 1) ( 1) 1 ,
Juan Beltrán
1 ( )
1
(
2
dxx
dx dxx x x
A Bx xx x
A Bx xx x
A x B x Ax A Bx B
A B x A B
6.
) ( );
0 ( ) ( )1
1 2 1 ( )2
sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 0 ( )2 2
Susitiuyendo ( ) y ( ) en ( ), la in
3
iii
4
4 i
5
4 5 2 tegral definida ( ) queda:
1
A BA B
A A
B B
3 3 3
22 2 2
33
222
1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 1 1 1
Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo para obtener:
1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 ln ln ln ln ln2 1 2 3 1 2 1 2 41
dx dx dxx x x x x
xdxxx
3 3
2222
,3
1 1 1 1 ln ln .2 2 3
1 1 3ln2 211
dxx
dxx
2
2
2
Juan Beltrán
Solución- :
;
.ln
ax dxx bx
ax ax adx dx dxx b
ax dx a x b Cx bx
x x x b x b
7.
3 24
3 23
3 24
3 23
3 2 3 2
3 2
2 4 2
Solución- :
2 4 ( )2
Como el numerador y denominador en ( ) son del mismo grado,efectuamos la división:
2 4 2
Juan
2
1
Beltr n
1
á
x x dxx x
x x dxx x
x x x xx x
8.
3 2
3 2 3 2 2
22
2 22
22
1 4
2 4 4 4 1 1 ( )2 2 2
4 ( ),22
4 2 4 2 ,2
2
4 2 42
3
x xx x x x x x
Ax B Cxxx x
Ax B Cx x Ax B x Cxxx
Ax B Cx x Axx
2 2
2 2 2
2 2 ,
4 2 2 4 2 2 ;
0
2 0 ( )
2 4
la solución del sistema ( ) es:
1, 2, 1
sustituyendo estos
4
valo
4
x Ax Bx B Cx
Ax Bx Ax B Cx A C x A B x B
A C
A B
B
A B C
3 24 4 4
3 2 2 23 3 3
3 24 4
3 2 23 3
res en ( ), la integral ( ) queda:
2 4 2 1 2 1 1 1 ,2 22
2 4 1 2 1 122
aplicando el teorema fundam t
3 1
en
x x x xdx dx dxx xx x x x
x x dx dxx xx x x
al del cálculo, se tiene que:
43 24
3 233
3 24
3 23
3 24
3 23
2 4 2 ln ln( 2)2
2 2 4 ln 4 ln(4 2) 3 ln 3 ln(3 2) ,4 3
2 4 1 2 4 2 ln 2 ln 2 3 ln 3 ln1 ,2 32
2 4 4 ln 22
x x dx x x xxx x
x x dxx x
x x dxx x
3 24
3 23
3 24
3 23
1 23 ln 3 0 ,2 3
2 4 1 2 4 ln 2 3 ln 3 ,2 32
2 4 2 7l .n3 62
x x dxx
x x dx
x
x x
22
1
22
1
2
4 7 12
( 2)( 3)
Solución- :
4 7 12 ( )
( 2)( 3)
Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales
1
1 :
4 7 12
Juan
( 2)( 3
Bel r n
)
t á
y ydy
y y y
y ydy
y y y
y y A By y y y y
8.
2
2
2 2 2 2
2 2
( ),2 3
4 7 12 ( 2)( 3) ,2 3
4 7 12 ( 2)( 3) ( 3) ( 2),
4 7 12 6 3 2 ,
4 7 12 3 2 6 ;
2Cy
A B Cy y y y yy y y
y y A y y By y Cy y
y y Ay Ay A By By Cy Cy
y y A B C y A B C y A
4
3 2 7 ( )
6 12
la solución del sistema ( ) es:
9 1 2, , 5 5
sustituyendo estos valores en ( ), la integral definida
3
3
2 ( ), q1 ueda:
A B C
A B C
A
A B C
22 2
1 1
222
11
22
1
4 7 12 2 9 1 ,( 2)( 3) 5 2 5 3
4 7 12 9 1 2 ln ln 2 ln 3 ,( 2)( 3) 5 5
4 7 12 9 1 9 12ln 2 ln(2 2) ln 2 3 2ln1 ln(1 2) ln 1 3( 2)( 3) 5 5 5 5
y ydy dy
y y y y y y
y ydy y y y
y y y
y ydy
y y y
2
22
1
2
1
22
1
4 7 12 9 1 9 1 2 ln 2 ln 4 ln1 2ln1 ln 3 ln 2 ,( 2)( 3) 5 5 5 5
4 7 12 18 9 1 2 ln 2 ln 2 0 0 ln 3 ln 2 ;( 2)( 3) 5 5 5
4 7 12 27 9ln 2 ln 3( 2)( 3)
.5 5
y ydy
y y y
y y
y ydy
y
dy
y
y y y
y
2
2
2 2
1 ( 5) ( 1)
Solución- :
1 ( )( 5) ( 1)
Expresemos el integrando de ( ) como una suma de fracciones parciales:
1 ( ),( 5) 1( 5) ( 1) ( 5)
Juan Beltr
1
1
án
2
dxx x
dxx x
A B Cx xx x x
9.
22
2
2 2
2
1 ( 5) ( 1) ,( 5) 1( 5)
1 ( 1) ( 5)( 1) ( 5) ,
1 4 5 10 25 ,
1 4 10 5 25 ( )
en la identidad ( ), los coefici
3
3 entes resp
A B Cx xx xx
A x B x x C x
Ax A Bx Bx B Cx Cx C
B C x A B C x A B C
ectivos de los términos de ambosmiembros deben ser iguales; de tal manera que:
0
4 10 0 ( )
5 25 1
la solución del sistema ( ) es:
1 1 , 6 36
4
4
B C
A B C
A B C
A B
2 2
2 2
2
1, 36
sustituyendo estos valores en ( ), la integral ( ) queda:
1 1 1 1 ,36( 5)( 5) ( 1) 6( 5) 36 1
1 1 1 1 1 1 1 ,6 36 ( 5) 36 1( 5) ( 1) ( 5)
1
2 1
( 5)
C
dx dxxx x x x
dx dx dx dxx xx x x
x
2
1 1 1 1ln 5 ln 1 ;6 ( 5) 36 36( 1)
.1 1 1 1ln6( 5) 36 5( 5) ( 1)
dx x x C
xdx Cxx
x
xx
x
3
2
3
2
3 2
3
4 4
Solución- :
4 ( )4
Dividimos el integrando, pués el grado del polinomio del numerador esmayor que el del denominador:
4 4 4
Juan Belt
1
rán
x dxx
x dxx
x xx x
10.
3
2 2
3
12 2 2 2
22
4 4
esto es:
4 4 4 ( )4 4
sustituimos ( )
en ( ):
4 4 4 4 4 ( )4 4 4 4
1 (
2
2
1
24)
4
3
xx
x xxx x
x x xdx x dx xdx dx dx Cx x x x
xdx x C
x
�
�
2
2
23 32
2232
12 2 2 2
( )4
sea
4, 2 2 4 ( ),
4 2 2 ln ln ( ) en ( ) ,
5
6
6 5
44 ln 4 ( )
4
4 1 14 4 tan2
24
7
x
dxx
u x du xdx du xdx
xdx du u C u Cux
xdx x Cx
dx dxx x
�
14 4
3 22 2 12
2
2
2 tan ( )
Sustituyendo ( ), ( ) y ( ) en ( ), y reuniendo las constantes en , se tiene:
4 1 ln 4 2 tan24
8
4 7 8 3
.
x
xx dx
C C
x x Cx
C
2
3 2
2 2
3 2 2
2
22
5 3 2 2
Solución- :
5 3 2 5 3 2 ( )2 2
Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales:
5 3
Juan
2
Beltrá
1
(2)2
n
2
x x dxx x
x x x xdx dxx x x x
x x Ax B Cxxx x
11.
2 22
2 2
2 2 2
2 2
,
5 3 2 2 ,2
5 3 2 2 ,
5 3 2 2 2 ,
5 3 2 2 2 ( )
En la identidad ( ), se cumple:
5
2
2
2
Ax B Cx x x xxx
x x Ax B x Cx
x x Ax Ax Bx B Cx
x x A C x A B x B
A C
2
3 2 2 2
3 ( )
2 2
la solución del sistema ( ) es:
2, 1, 3
sustituyendo estos valores en (2), (1) queda:
5 3 2 2 1 3 2 1 3 2
3
22
3A B
B
A B C
x x xdx dx dx dx dxx x xx x x x
2
3 2
5 3 2 12
;
ln 3l 2 2
.nx x dx x x Cxx x
2
2
22
2
10 1 9
Solución- :
10 ( )1 9
Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales:
10 ( ),1 91 9
Juan
10 1 9
Beltrá
1
1
n
2
dxx x
dxx x
A Bx Cx xx x
A Bx Cx xx
12.
22
2 2
2
10 9 1 ,9
10 9 ,
10 9 ( )
como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos m
3
iembros sonrespectivamente congruentes; de tal manera
3
A x Bx C xx
Ax A Bx Cx Bx C
A B x B C x A C
2
que:
0
0 ( )
9 10
la solución del sistema ( ) es:
1, 1, 1
sustituyendo estos valores en ( ), la integral ( ) queda:
10
4
4
2 1
1 9
A B
B C
A C
A B C
dxx x
2
2 22
122
2
2
3
1 1 ,1 9
10 1 1 ,1 9 91 9
10 1 ln 1 tan c ( )3 91 9
( )9
1sea 9, 2
( ),
5
6
7
2
x
x dxx x
xdx dx dx dxx x xx x
xdx x dxxx x
xdxx
u x du xdx xdx du
�
1
21 1
22 3
1 1 1 ln ln 9 ( ) en ( ) ( )2 2 2
sustituyendo ( ) en ( ) y conjugando las constantes como C, se obtiene:
10 1 1l n 1 tan ln 9 C3 2
7 6
1 9
8
8
.
5
xdx x xx x
du u c x cu
3 2
2 2
3 2
2 2
3 2
2 22 2
2 1 1 2
Solución- :
2 1 ( )1 2
Expresemos el integrando como una suma de fracciones parciales:
2 1
Juan Beltrá
(1 21 2
1
n
x x x dxx x
x x x dxx x
x x x Ax B Cx Dx xx x
13.
3 2 2 22 2
3 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2
),
2 1 1 2 ,1 2
2 1 2 1 ,
2 1 2 2 ,
2 1 2 2 ( )
como ( ) e
2
s un
3
3
Ax B Cx Dx x x x xx x
x x x Ax B x Cx D x
x x x Ax Bx Ax B Cx Dx Cx D
x x x A C x B D x A C x B D
a identidad, los coeficientes en ambos miembros sonrespectivamente iguales; de tal manera que:
1
1 ( )
2 2
2 1
la solu
4
ción del sistema ( ) es4
A C
B D
A C
B D
3 2
2 2 2 22 2
2
2
:
1, 0, 0, 1
sustituyendo estos valores en ( ), la integral ( ) queda:
2 1 1 1 ( )1 2 1 21 2
( ) 1
se
2
a
1
5
4
A B C D
x x x x xdx dx dx dxx x x xx x
xdxx
u x
�
21 12
122 2
2
11, 2 ( )2
sustituimos ( ) en ( ):
1 1 1 ln ln 1 ( )2 2 21
1 1 1 tan ( )2 2 22
Sustituyendo ( ) y ( ) en
6
6 5
7
8
7 8 ( ),
se obtiene:
4
du xdx xdx du
xdx du u c x cux
xdx dx cx x
�
3 2
2 12 2
2 1 1 1ln 1 tan21 2
.
2 2
x x x xdx x Cx x
2
2 2 2 2
2 2 2
2
4 2 5
Solución- :
1 34 1 3 ,2 5 2 5 2 5 2 1 4
4 1 3 ( )2 5 2 5 1 4
1 ( )
2 5
sea
Juan Beltrán
1
2
x dxx x
xx xdx dx dxx x x x x x x x
x xdx dx dxx x x x x
x dx
x x
u
14.
�
2
12
212
12 2
12 5, (2 2) 2( 1) ( 1) ( )2
sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 1 ln ,2 22 5
1 1 ln 2
5 ( )
3
3
22 51 3 3 tan
22
4
1
2
x x du x dx x dx x dx du
x dx du u cux x
x dxx x c
x xxdx
x
�
2
2 11 22
22 2
12
1 ( )2
sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:
4 1 3 1
4 1 3 1ln 2 5
ln 2 5 tan ;2 2 22 5
tan2 2 22
5
4 5
1
.5
c
x xdx x x
x xd
c cx x
Cx x C cx x
cx
3
3 2
22
1 1
Solución- :
1 1 ( )1 1 1
Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales:
1 ( ),1 11 1
1
1
2
Juan Be
n
1
ltrá
dxx
dx dxx x x x
A Bx Cx x xx x x
x
15.
22
2
2 2
2
1 1 ,1 1
1 1 1 ,
1 ,
1 ( )
como ( ) es una identidad, los coeficientes en ambos miembros son respectivame t
3
n3
e
A Bx Cx xx x x
A x x Bx C x
Ax Ax A Bx Cx Bx C
A B x A B C x A C
iguales; de tal modo que:
0
0 ( )
1
la solución del sistema ( ) es:
1 1 2 , , (
4
4
5)3 3 3
sustituyendo ( ) en ( ), la integral ( ) queda:
5 2 1
A B
A B C
A C
A B C
3 22
1 1 2 1 1 2 ,3( 1) 3( 1) 31 13 1
x xdx dx dx dxx xx x xx x
3 2
3 2
3 2 2
3
1 32 21 1 1 ,
3( 1) 31 1
1 32 21 1 1 1 ,
3 ( 1) 31 1
1 1 1 1 1 2 1 3 1 ,3 ( 1) 3 2 21 1 1
1 1 1 3 ( 1)1
xdx dx dx
xx x x
xdx dx dx
xx x x
xdx dx dx dxxx x x x x
dx dxxx
22
1 2 1 13 ,6 1 1 3
4 4
x dx dxx x
x x
3 2 22
2 13
3
1 1 1 1 2 1 1 3 ,3 ( 1) 61 1 1 3
2 2
11 1 1 2 2 ln 1 ln 1 3 tan ,
3 61 3 32
1 1 ln 131
xdx dx dx dxxx x x
x
xdx x x x C
x
dx xx
2 1
2 13
1 1 1 1 2 1ln 1 ln 1 ta
2 11 2 2ln 1 3 tan ;6 3 3
2
n3 61 3
.3
x
x
x x C
dx x x x Cx
31
4 20
31
4 20
4 2
3 3 3
2 4 3
Solución- :
2 ( )
4 3Sea
4 3 ( ),
1 4 8 4 2 2 ( )4
(0) 3 y (1
1
2
3
Juan Beltrá
) 8 ( )
Susti i
4
u
n
t
x x dxx x
x x dx
x x
u x x
du x x dx x x dx x x dx du
u u
16.
3
1
4 2
31 8
4 20 3
38
4
0
1
2 30
yendo ( ), ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:
2 1 ,44 3
2 1 1 ln ln 8 ln 3 TFC ;4 4
20.2
4 3
2 3
454
4 1
.3
x x dx duux x
x x
x x d
d
x
xu
x
x x
x
22
22
2 2 22 2
22
4
Solución- :
( )4
Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales:
1 ( ),44 4
Juan Bel
1
1
2
trán
1 4
dx
x x
dx
x x
A Bx C Dx Ex xx x x
A Bxx xx
17.
2 22
22 2
4 2 2 4 3 2
4 3 2
,44
1 4 4 ,
1 8 16 4 4 ,
1 8 4 16 ( )
como ( ) es una identidad, los coeficiente
3
s de s3 lo
C Dx Exx
A x Bx C x Dx E x x
Ax Ax A Bx Cx Dx Ex Dx Ex
A D x Ex A B D x C E x A
términos en ambosmiembros son respectivamente iguales; de tal modo que:
0
0
8 4 0 ( )
0
16 1
la solución del sistema ( ) es:
4
4
A D
E
A B D
C E
A
2 2 22 2
2 2 22 2
1 1 1 , , 0, , 016 4 16
sustituyendo estos valores en ( ), la integral ( ) queda:
1 ,16 16 44 4 4
1 1 1 1 ,16 4 16 44 4
1
2
A B C D E
dx x x dxx xx x x
dx x xdx dx dxx xx x x
22 22
2 2 22 2
22 22
1 1 1 2 1 2 ,16 8 32 44 4
1 1 1 1 ln ln 4 ;16 8 324
1 1 1 ln ln 416 3
4
28 44
.
dx xdx xdxdxx xx x x
dx x x Cxx x
dx x x Cxx x
2
22
2
22
2
2 2 22 2
3 7 4 6
Solución- :
3 7 ( )4 6
Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales:
3 7
Juan
4 64 6
1
1
Beltrá
6
n
4
x x dxx x
x x dxx x
x x Ax B Cx Dx xx x x x
18.
22 22 22
2 2
2 3 2 2
3 2
( ),
3 7 4 6 ,4 64 6
3 7 4 6 ,
3 7 4 6 4 6 ,
1 4 6 4 6 ( )
com
2
3
o ( ) es una3
Ax B Cx Dx x x xx xx x
x x Ax B Cx D x x
x x Ax B Cx Cx Cx Dx Dx D
Cx C D x A C D x B D
identidad, los coeficientes de los términos en ambosmiembros son respectivamente iguales; de tal modo que:
0
4 1 ( )
6 4 3
6 7
la soluci
4
ón d
C
C D
A C D
B D
2
2 2 22 2
2
22 2
el sistema ( ) es:
1, 1, 0, 1
sustituyendo estos valores en ( ), la integral ( ) queda:
3 7 1 1 ,4 64 6 4 6
2 33 7 4 6
4
2 1
A B C D
x x xdx dxx xx x x x
xx x dxx x x
2 2
2
2 2 2 22 2 2
22
2
1 ,4 64 6
3 7 2 3 1 ( )4 64 6 4 6 4 6
2 ( )
4 6
sea
1 4 6, (2 4) ( 2)
( )2
sustituyendo
5
( ) en (
6
7
7 6
dxx xx
x x xdx dx dx dxx xx x x x x x
x dx
x x
u x x du x dx x dx du
�
), se obtiene:
1 12 2 22
2 2 22 2 2
2
2 1 1 1 ( )2 2 2 4 64 6
3 3 3 ( )4 6 4 4 2 ( 2) 2
sea
2tan 2 , 2 sec ( )
sustituyendo ( ) en ( ), se
8
9
o
b
10
10 ie9 t ne:
x dudx c cuu x xx x
dxdx dxx x x x x
x d dx
�
2 2
2 2 222 2
2 2
2 2 2 22 2 2
2222
3 2 sec sec 3 3 2 ,4 6 2tan 22tan 2
3 sec sec 3 2 3 2 3 2 ,4 sec4 6 4 tan 1 4 sec
3 3 2 3 2 1 cos sen cos ,4 4 24 6
d ddxx x
d d ddxx x
dx d cx x
222
1
3 3 2 sen cos ( )84 6
2de ( ) se desprende que tan ( )2
11
10 12
dx cx x
x
2 2
22
a partir de de ( ) se construye la .
De dicho esquema se deduce que;
2 2 sen y cos ( )4 6 4 6
Sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:
3 3 2
Fig10
13
12 13
1
1
4 6
. 1
8
x
x x x x
xdxx x
122 2
122 22
2 2 2tan ,24 6 4 6
2 23 3 2 2 tan ( )8 4 6 24 6
14
x cx x x x
x xdx cx xx x
2 2
2 2
1 14 42
1 1 ( )4 6 ( 2) 2
sea
2, ( ),
1 1 ( ) en ( ) ,4 6 21 1 1 2 tan tan ( )4 6 2 2 2 2
Por último, susti
tuy
15
16
16 15
17
e d
n
dx dxx x x
u x du dx
dx dux x u
u xdx c cx x
�
2
22
1 1
2
2
22
1 122
o ( ), ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:
3 7
4 6
2 21 3 2 2 1 2tan tan8 4 6
3
2 4 6 2 2 2
21
8 14
3 3 2 2 1 2tan tan ;4 84 62 4 6 2 2 2
7
4
17 5
x x dxx x
x x x
x x
Cx xx x
x x x Cx xx
x x
x
1
2 2
3 8 7 2 2tan84( 4 6 2
.)6
x xdxx x