PAU Junio 2016 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)
Examen PAU Murcia Junio 2016 – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Cuestión A.1
En una empresa trabajan empleados de las categorías A, B y C. El salario mensual
de cada trabajador es de 1200, 1700 y 2200 €, según que pertenezca a la categoría
A, B o C, respectivamente. Todos los trabajadores destinan el 5% de su salario a
un plan de pensiones, lo que asciende en un mes a un total de 4930 €. El número
de trabajadores de la categoría A es el 150% de los de la categoría B. El número de
trabajadores de la categoría B más el de la C supera en 3 el número de
trabajadores de la categoría A. Halla el número de trabajadores de cada categoría.
(2’5 puntos)
Solución:
El problema se resuelve con un sistema de ecuaciones lineales. Para ello, identificamos
las incógnitas: a = nº de empleados de categoría A
b = nº de empleados de categoría B
c = nº de empleados de categoría C
La frase del enunciado “El número de trabajadores de la categoría A es el 150% de
los de la categoría B” se traduce en la ecuación:
a = 1’5·b
La frase del enunciado “El número de trabajadores de la categoría B más el de la C
supera en 3 el número de trabajadores de la categoría A” se traduce en la ecuación:
b + c = a + 3
Nos falta una tercera ecuación, dado que tenemos 3 incógnitas. Utilizaremos la
información referente al plan de pensiones y los sueldos:
La suma del 5% del sueldo total pagado a todos los empleados de las categorías A, B y
C obtendremos los 4930 € de aporte total al plan de pensiones.
5% de 1200·a + 5% de 1700·b + 5% de 2200·c hace un aporte total al plan de pensiones
de 4930 €
1200·a·0’05 + 1700·b·0’05 + 2200·c·0’05 = 4930 simplificando
60a+85b+110c=4930
Así el sistema queda:
60 85 110 4930
1'5
3
a b c
a b
b c a
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Lo resolvemos:
60 85 110 4930Sustituyendo a en la 1ª y 3ª ecuación 60·1'5 85 110 4930
1'5por lo que aparece en la 2ª ecuación 1'5 3
3
90 85 110 4930 175 110 4930
1'5 3 0
a b cb b c
a bb c b
b c a
b b c b c
c b b c
Sustituyendo c en la 1ª ecuación
'5 3 por la expresión de c de la 2ª ecuación
175 110 0 '5 3 4930 175 55 330 4930
4600230 4600 20 empleados de categoria B
230
b
b b b b
b b
Sustituyendo en las ecuaciones del principio:
a = 1’5·20 a = 30 empleados de la categoría A
c = 0’5b – 3 c = 0’5·20 + 3 = 13 empleados de la categoría C
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Cuestión A.2
Dada la función
2
2
2( )
1
ax bf x
x
, donde a, b ∈
a. Hallar el dominio de f(x). (0’5 puntos)
b. Hallar a y b para que la función tenga una asíntota horizontal en y = 2 y
pase por el punto (0,4). (0’75 puntos)
c. Para a = 1 y b = 1 hallar f ’(x). (0’75 puntos)
Solución:
a. Para hallar el dominio, averiguamos que valores de x anulan el denominador:
2 21 0 1 1 No existex x x
No hay que excluir ningún valor del dominio. El dominio de la función es
b. La asíntota horizontal es y = b, siendo b el valor del límite de la función cuando x
se aproxima al +∞. Lo calculamos:
2 2 2
2 2
2 ·lim lim lim
1x x x
ax b ax a x
x x
2xa
La asíntota horizontal tiene de ecuación y = a. Como debe ser y = 2, el parámetro a = 2.
La función pasa por (0, 4) sustituyendo en la expresión de la función x por 0 e y por 4
nos queda la igualdad:
2
2
2·0 2 24 4 4 2 2
0 1 1
b bb b
c. Si a = 1 y b = 1 la función queda:
2
2
2( )
1
xf x
x
. Calculemos su derivada:
2 2 3 3
2 22 2
22
2 1 2 2 2 2 2 4'( )
1 1
2 '( )
1
x x x x x x x xf x
x x
xf x
x
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Cuestión A.3
Se considera la función definida por:
2
3 0( )
2 3 0
x si xf x
x x si x
a. Representa gráficamente la función f. (0’75 puntos)
b. Calcular el área del recinto acotado por la gráfica de f y el eje OX. (1’25
puntos)
Solución:
a. Para los valores de x menores que 0 la función es una recta, hacemos una tabla:
X<0 x
y = x+3
0 3
-1 2
-2 1
El punto (0, 3) no se incluye en la gráfica, se dibuja con un círculo vacio.
Para los valores mayores o iguales a cero es una parábola, determinamos el vértice:
2
21
2 2
1 2·1 3 1 2 3 4
v
v
bx
a
y
El vértice tiene las coordenadas V(1,4), hagamos una tabla de valores:
x≥0 x
y=–x2+2x+3
0 3
1 4
2 -4+4+3=3
3 -9+6+3=0
Quedando la gráfica:
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b. El área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX es el área del recinto
rayado:
Dicha área se calcula separándola en 2 zonas:
Área zona roja es el área de un triángulo rectángulo de base 3 y altura 3
·altura 3·34 '5
2 2
baseÁrea
Área zona verde es una integral definida:
33
32 2
00
3 32 2
2 3 33
3 0 273 3·3 0 3·0 9 9 9
3 3 3
xx x dx x x
El área total=Rojo + Verde= 4’5 + 9 = 13’5 unidades cuadradas
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Cuestión A.4
En una universidad el 65% de sus miembros son estudiantes, el 25% profesores y
el 10% personal de administración y servicios. Son mujeres el 60% de los
estudiantes, el 47% de los profesores y el 52% del personal de administración y
servicio. Si elegimos al azar un miembro integrante de esta universidad:
a. Determinar la probabilidad de que sea mujer. (1 punto)
b. Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser un hombre, hallar la
probabilidad de que sea estudiante. (1 punto)
Solución:
Realicemos un árbol para aclarar la situación planteada:
a. P(Elegir mujer) = 0’65 · 0’60 + 0’25 · 0’47 + 0’1 · 0’52 = 0’5595
b. P(Estudiante/Hombre) =
( ) 0'65·0'4 0'260'59
( ) 1 0'5595 0'4405
P Estudiante Hombre
P Hombre
Estudiante
Profesor
Personal
administración
y servicios
Hombre
Hombre
Hombre
Mujer
Mujer
Mujer
0’65
0’25
0’10
0’40
0’60
0’47
0’53
0’48
0’52
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Cuestión A.5
En una población el tiempo de desplazamiento de los trabajadores al lugar de
trabajo sigue una distribución normal con desviación típica de 15 minutos.
Tras realizar una muestra aleatoria de 60 trabajadores se ha encontrado que el
tiempo medio de desplazamiento es de 45 minutos. Halla el intervalo de confianza
al 90% para el tiempo medio de desplazamiento al lugar de trabajo de los
individuos de la población. (1’5 puntos)
Solución:
Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo empleado en desplazarse al lugar de
trabajo. Sabemos que sigue una N(𝛍, 15).
Utilizamos la fórmula /2 /2· , ·x z x zn n
para establecer el intervalo de
confianza.
n = 60, x =45, =15
y como 1 – ∝ = 0’9 ∝ = 0’1 ∝/2 = 0’05 1 – ∝/2 = 0’95 /2z = 1’645
El intervalo de confianza para la media de la población es:
/2 /2
15 15· , · 45 1'645· , 45 1'645·
60 60
Intervalo de confianza 41'81, 48'18
x z x zn n
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Cuestión B.1
Un supermercado necesita, al menos, 80 docenas de huevos de tamaño pequeño,
120 docenas de huevos de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande. Se
abastece de dos granjas A y B. La granja A suministra lotes de 4 docenas de
huevos pequeños, 12 docenas de medianos y 2 docenas de grandes, y el coste de
cada lote es de 6 €. La granja B proporciona lotes de 2 docenas de huevos
pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes, con un coste de 4 €
por lote.
Además, la granja A puede suministrar como máximo, 50 lotes y la granja B, puede
suministrar, como máximo, 60 lotes. Hallar el número de lotes que debe comprar a
cada granja para satisfacer sus necesidades con el mínimo coste. (3 puntos)
Solución:
Este es un problema de programación lineal que persigue minimizar el coste de la
compra de los huevos.
La granja A suministra x lotes a 6 € cada uno y la granja B y lotes a 4 € cada uno. El
coste total de la compra es f(x,y) = 6x + 4y.
Las restricciones que hay que tener en cuenta para la compra son:
La granja A suministra “x” lotes de 4 docenas de huevos pequeños, 12 docenas de
medianos y 2 docenas de grandes. La granja B proporciona “y” lotes de 2 docenas de
huevos pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes. El supermercado
necesita un mínimo de 80 docenas de huevos de tamaño pequeño, 120 docenas de
huevos de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande
4 2 80;12 2 120; 2 6 90x y x y x y
La granja A puede suministrar como máximo, 50 lotes y la granja B, puede suministrar,
como máximo, 60 lotes 60; 50y x
Además ese número de lotes debe ser positivo 0; 0x y
Resumimos todas las restricciones:
0
50
4 2 80
12 2 120
2 6 90
0
60
x
x
x y
x y
x y
y
y
Trasladamos estas restricciones a una región del plano dibujando las rectas asociadas a
cada desigualdad y localizando la zona válida.
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Los puntos candidatos a tener un coste mínimo son los puntos frontera de la región
situados en las esquinas. Valoremos la función coste en cada uno de ellos y decidamos
cual presenta un coste mínimo:
A(5,30) f(5,30) = 6·5+4·30=30+120 = 150 €
B(0,60) f(0,60) = 6·0+4·60=0+240 = 240 €
C(50,60) f(50,60) = 6·50+4·60=300+240 = 540 €
D(45,0) f(45,0) = 6·45+4·0=270+0 = 270 €
E(50,0) f(50,0) = 6·50+4·0=300+0 = 300 €
F(15,10) f(15,10) = 6·15+4·10=90+40 = 130 €
El coste mínimo se consigue en F(15,10).
Hay que comprar 15 lotes en la granja A y 10 lotes en la granja B para
satisfacer las restricciones con el menor gasto posible.
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Cuestión B.2
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a. 2 2( ) · 1xf x e x (1 punto)
b.
3
2( )
2
x xf x
x
(0’75 puntos)
Solución:
a.
2 2
2 2
2
2
2 2
2 22 2
1/22 2
1/2 1/22 2
22
2 2
2 2 22 2
( ) · 1 · 1
1'( ) ·2 · 1 · 1
2
·2 12 1
·2 1·2 1
2 1
· 4 4·4 1'( )
2 1 2 1
x x
x x
xx
x x
x xx x
f x e x e x
f x e x x e x
ee x x
x
e x x x e
x
e x x ee x x ef x
x x
2 2 2· 4 4 1 '( )
2 1
xe x xf x
x
b.
2 2 33
22 2
4 2 2 4 2 4 2 2 4 2
2 22 2
4 2 4 2
2 22 2
3 1 2 2( ) '( )
2 2
3 6 2 2 2 3 6 2 2 2
2 2
7 2 7 2'( )
2 2
x x x x xx xf x f x
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x xf x
x x
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Cuestión B.3
La siguiente gráfica corresponde a la función 2( )f x x x a donde a 𝛜
Sabiendo que el área encerrada por el recinto asociado que limita la curva con el
eje OX vale 9
2 , utilizar esta información para hallar el valor del parámetro a. (1’25
puntos)
Solución:
El área que vale 9
2es la rayada:
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Vamos a calcularla con la integral definida de la función 2( )f x x x a entre –1 y 2:
2 3 22 3 2 3 22
1 1
1 12 2·2 1
3 2 3 2 3 2
8 1 1 8 1 1 32 2 2 2 3
3 3 2 3 3 2 2
x xx x a dx ax a a
a a a a a
Igualamos este área a 9
2:
3 93
2 2
12 3
2
3 6
2
Área a
a
a
a
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Cuestión B.4
Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es 0’3, la de que no llueva
en la ciudad B es 0’6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es
0’5.
a. Calcular la probabilidad de no llueva en ninguna de las dos ciudades (0’5
puntos)
b. Calcular la probabilidad de que llueva en las dos. ¿Son independientes los
sucesos “llueve en la ciudad A” y “llueve en la ciudad B”?
Solución:
Lo haremos de 2 formas distintas:
1. Con tabla de contingencia:
Llueve en A No llueve en A
Llueve en B
No llueve en B 0’6
0’3 1
Para terminar de completar la tabla usaremos el dato de que llueva, al menos, en una de
las dos ciudades es 0’5. Como es el suceso contrario de que no llueva en ninguna de las
ciudades sabemos que la probabilidad de que no llueva en A ni en B es 1 – 0’5 = 0’5.
Colocándolo en la tabla:
Llueve en A No llueve en A
Llueve en B
No llueve en B 0’5 0’6
0’3 1
Y ya completamos el resto de huecos
Llueve en A No llueve en A
Llueve en B 0’2 0’2 0’4
No llueve en B 0’1 0’5 0’6
0’3 0’7 1
a. Lo hemos calculado por el suceso contrario y hemos obtenido.
ninguna ( )
1 Llueva en alguna d 0e las dos ciudades 1 0́ 5 '5
P No llueva en de las dos ciudades P No llueve en A ni llueve en B
P
b.
(llueva en A y llueva en B) '20P llueva en las dos ciudades P
Para que sea independiente el suceso A del B, debe cumplirse que P(A∩B) = P(A)·P(B)
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Como P(A∩B) = 0’2, recién calculado, solo falta calcular P(A)·P(B) = 0’3·0’6 = 0’18
No son independientes A y B ya que ( ) ·P A B P A P B
2. Haciendo un cálculo directo:
Si llamamos A = {llueve en la ciudad A} y B = {llueve en la ciudad B} el suceso
A∪B = {Llueve en A o en B} = {Llueve en, al menos, una de las dos ciudades}
Tendremos entonces que los datos del problema son:
0’3, 0’6 ( ) 0’5P A P B y P A B
a.
Llueva en algu
No llueva e
na de las dos c
n ninguna de las dos c
iudades
P 1 ( ) 1 0 '5 0
iu
'5
dades
A
P
P
P
B A B
b.
(A B)
P(A) P(B) ( ) 0 '3 0 '
4 0 '5 0 '2
P llueva en las
P A B
dos ciudades P
Para que sea independiente el suceso A del B, debe cumplirse que P(A∩B) = P(A)·P(B)
Como P(A∩B) = 0’2, recién calculado, solo falta calcular P(A)·P(B) = 0’3·0’6 = 0’18
No son independientes A y B ya que 0’2≠0’18
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Cuestión B.5
Según un estudio, el porcentaje de adultos de la Unión Europea que hablan una
lengua extranjera es del 64%. En una muestra aleatoria tomada en España de 250
adultos se ha obtenido que 128 hablan una lengua extranjera. A partir de estos
datos, plantear un contraste para determinar si se puede aceptar que el porcentaje
de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la Unión
Europea frente a la alternativa de que es menor, como parecen indicar los datos.
¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación de 0’01? (2 puntos)
Solución:
Contraste de hipótesis unilateral para la proporción: H0: p = 0′64 se acepta que se mantiene la proporción. H1: p < 0′64 cabe pensar que la proporción ha bajado. Para el nivel de significación 0′01, ese área a la derecha bajo la normal corresponde
z =2′33.
0'01 1 0'99 2'33buscando en la tab zla
La región de aceptación tiene como extremo:
(1 ) 0 '64·0 '36· 0 '64 2'33· 0 '569
250
p pp z
n
Luego la región de aceptación es el intervalo (0’569, +∞).
Como la proporción de la muestra 128
0 '512250
p está fuera del intervalo de
aceptación, se rechaza H0 y se acepta H1
Los resultados muestrales llevan a mantener que:
En España, con un nivel de significación de 0’01, disminuye la proporción
de personas que hablan una lengua extranjera.