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Exercícios de Matemática Progressão Aritmética

1) (UNICAMP-2009) Um casal convidou seis amigos para

assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro,

descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram

numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a

poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da

mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e

assim por diante.

a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com

numeração consecutiva de uma mesma fila e que os

ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória.

Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de

poltronas vizinhas?

b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a

segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a

terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim

sucessivamente até a última fila. Determine o número de

cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a

sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144

cadeiras, calcule o valor de n.

2) (VUNESP-2009) Um viveiro clandestino com quase

trezentos pássaros foi encontrado por autoridades

ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um

cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de

modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no

segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por

diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia?

a) 55.

b) 43.

c) 33.

d) 32.

e) 30.

3) (UFSCar-2009) Uma partícula se move ao longo do

primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal a partir

do ponto (0, 0), conforme indica o gráfico a seguir.

Mantido o mesmo padrão de movimento, a partícula

atingirá o ponto (50, 50), a partir do início do

deslocamento, em exatas

a) 42 horas e meia.

b) 38 horas.

c) 36 horas e meia.

d) 27 horas.

e) 19 horas e meia.

4) (PASUSP-2009) Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou

várias propriedades dos chamados números figurados,

como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros

cinco números triangulares são:

O número triangular T é a soma dos n números naturais de

1 a n. A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n

pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro

termo com o último é igual à do segundo termo com o

penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode

ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e

multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número

de termos da sequência.

Pode-se utilizar a noção de números triangulares para

resolver o problema dos apertos de mão, segundo o qual, se

em uma festa todos se cumprimentam uma única vez, o

número de apertos de mão é um número triangular. Se

forem dados 78 apertos de mão em uma festa, em que todos

os presentes se cumprimentem uma única vez, com um

aperto de mão, quantas pessoas haverá na festa?

a) 10

b) 13

c) 16

d) 19

e) 22

5) (PASUSP-2009) Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou

várias propriedades dos chamados números figurados,

como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros

cinco números triangulares são:

O número triangular T é a soma dos n números naturais de

1 a n. A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n

pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro

termo com o último é igual à do segundo termo com o

penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode

ser obtido, somando-se o primeiro termo ao último e

multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número

de termos da sequência.

O nono número triangular T9 é:

a) 66

b) 55

c) 45

d) 36

e) 28

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6) (FUVEST-2008) Um polinômio de grau 3 possui três

raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam

uma progressão aritmética em que a soma dos termos é

igual a 5

9. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o

quadrado da menor raiz é 5

24.

Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do

polinômio é 5, determine

a) a progressão aritmética.

b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.

7) (UNIFESP-2008) “Números triangulares” são números

que podem ser representados por pontos arranjados na

forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1

como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir

os primeiros números triangulares.

Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1,

T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn

satisfaz a relação Tn = Tn-1 + n, para n = 2,3,4,..., pode-se

deduzir que T100 é igual a

a) 5.050.

b) 4.950.

c) 2.187.

d) 1.458.

e) 729.

8) (UFSCar-2008) Observe o padrão de formação das figuras

numeradas.

a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 são formadas,

respectivamente, por 5, 13 e 25 quadrados de área 1cm2,

calcule a área da figura 10 da seqüência indicada.

b) Seja x o número da figura x, e f(x) o número de

quadrados de 1cm2 que compõem essa mesma figura. Em

relação à função f, determine sua lei de formação e seus

conjuntos domínio e imagem.

9) (UFSCar-2008) Sejam as seqüências (75, a2, a3, a4, ....) e

(25, b2, b3, b4, ....) duas progressões aritméticas de mesma

razão. Se a100 + b100 = 496, então

100

100

b

aé igual a

a) 223

273

b) 219

269

c) 187

247

d) 191

258

e) 171

236

10) (UNIFESP-2007) As medidas dos ângulos internos de um

polígono convexo de n lados formam uma progressão

aritmética em que o primeiro termo é a1 e a razão é r > 0.

a) Se a1 25º e se r 10º, obtenha o valor máximo possível

para n nas condições enunciadas.

b) Se o maior ângulo mede 160º e a razão é igual a 5º,

obtenha o único valor possível para n.

11) (UNIFESP-2007) Entre os primeiros mil números inteiros

positivos, quantos são divisíveis pelos números 2, 3, 4 e 5?

a) 60.

b) 30.

c) 20.

d) 16.

e) 15.

12) (Mack-2007) Observe a disposição, abaixo, da

seqüência dos números naturais ímpares.

1ª linha 1

2ª linha 3,5

3ª linha 7,9,11

4ª linha 13,15,17,19

5ª linha 21,23,25,27,29

........... .........................

O quarto termo da vigésima linha é

a) 395

b) 371

c) 387

d) 401

e) 399

13) (FUVEST-2007) Em uma progressão aritmética a1, a2, ...,

an, ... a soma dos n primeiros termos é dada por Sn = b.n2 +

n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7,

determine

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a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.

b) o 20º termo da progressão.

c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.

14) (VUNESP-2007) Um fazendeiro plantou 3960 árvores

em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação

foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro

mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r)

árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando

no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior.

Sabendo- se que ao término do décimo quinto mês do início

do plantio ainda restavam 2160 árvores para serem

plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês

foi:

a) 50.

b) 75.

c) 100

d) 150.

e) 165.

15) (UNIFESP-2006) Se os primeiros quatro termos de uma

progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quocienteb

d é

igual a

a) 4

1

b) 3

1

c) 2.

d) 3

1

e) 5.

16) (Vunesp-2006) Considere a figura ao lado, onde estão

sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1, OX2Z2Y2, OX3Z3Y3,

OX4Z4Y4, ... , OXnZnYn, ... , n 1, formados por pequenos

segmentos medindo 1cm cada um. Sejam An e Pn a área e o

perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado.

a) Mostre que a seqüência (P1, P2, ... , Pn,...) é uma

progressão aritmética, determinando seu termo geral, em

função de n, e sua razão.

b) Considere a seqüência (B1, B2, ... , Bn ,...), definida por

Bn = n

n

P

A

. Calcule B1, B2 e B3. Calcule, também, a soma

dos 40 primeiros termos dessa seqüência, isto é, B1 + B2 +

... + B40.

17) (ESPM-2006) De 1995 a 2004, a população de uma

cidade vem aumentando anualmente em progressão

aritmética. Em 2004 constatou-se que o número de

habitantes era 8% maior que no ano anterior. Pode-se

concluir que, de 1995 a 2004, a população dessa cidade

aumentou em:

a) 200%

b) 180%

c) 160%

d) 100%

e) 80%

18) (Vunesp-2006) A figura mostra duas semi-retas, r e s,

de mesmo vértice V, formando um ângulo de 60°. Os

pontos A r e B s são arbitrários, diferentes de V.

a) Explique por que os ângulos do triângulo AVB estão em

progressão aritmética.

b) Se os lados de um triângulo medem 3 cm, 7 cm e 8 cm,

mostre que seus ângulos estão em progressão aritmética.

19) (Mack-2006) Num encontro de dirigentes esportivos, foi

aprovada a realização de um torneio A de futebol, que

aconteceu, pela primeira vez, 2 anos depois, e,

posteriormente, a cada 9 anos. No mesmo encontro, foi

aprovada a realização de um torneio B, que ocorreu pela

primeira vez somente 9 anos depois, acontecendo, a cada 7

anos. Dessa forma, a partir da aprovação, os dois torneios

ocorreram, pela primeira vez no mesmo ano, após

a) 50 anos.

b) 55 anos.

c) 58 anos.

d) 60 anos.

e) 65 anos.

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20) (Mack-2006) As medidas dos lados de um triângulo

retângulo estão em progressão aritmética. Se b é a medida

do maior cateto, a área do triângulo é

a) 3

4 2b

b) 2

3 2b

c) 4b2

d) 8

3 2b

e) b2

21) (UFPB-2006) Uma escada foi feita com 210 blocos

cúbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros,

formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha

apenas 1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e

assim sucessivamente, até a última pilha, conforme a figura

ao lado.

A quantidade de degraus dessa escada é:

a) 50

b) 40

c) 30

d) 20

e) 10

22) (UFC-2006) Seja f uma função polinomial de primeiro

grau, crescente e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real.

Sabendo-se que 2, 5, 8, ..., 44 é uma progressão aritmética

de razão 3, o valor numérico de

f(2) + f(5) + f(8) + ... + f(44) é:

a) 1020

b) 1065

c) 1110

d) 1185

e) 1260

23) (IBMEC-2005) Certo autor escreveu um livro com 60

capítulos em 100 páginas, enumeradas de 1 a 100. Em todas

as páginas ímpares inicia-se pelo menos um capítulo. É

correto afirmar que

a) nenhum capítulo iniciou em uma página par.

b) há pelo menos uma página ímpar em que dois capítulos

são iniciados.

c) é possível que existam 11 páginas ímpares em que se

iniciaram dois capítulos.

d) a soma dos número das páginas em que se inicia algum

capítulo é certamente maior do que 2000.

e) em todas as páginas cujo número é um primo menor do

que 100 se inicia um capítulo.

24) (Mack-2005) A soma de todos os termos, que são

menores que 12, da P.A.

,...

4

7,

4

5,

4

3,

4

1

é:

a) 120.

b) 144.

c) 150.

d) 160.

e) 140.

25) (UERJ-2005) A figura acima apresenta 25 retângulos.

Observe que quatro desses retângulos contêm números e

um deles, a letra n.

n

65

130

75

0

Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números

inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada

coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco

termos.

Calcule:

a) a soma dos elementos da quarta linha da figura;

b) o número que deve ser escrito no lugar de n.

26) (Vunesp-2005) Uma pessoa resolve caminhar todos os

finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma

distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do

que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que

caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o

período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um

total de 243750 metros.

a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia.

b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.

27) (Vunesp-2005) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada

uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da

inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o

número de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria

cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu

a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O

número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado

de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse

atingida pela primeira vez, foi:

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a) 15.

b) 16.

c) 17.

d) 18.

e) 26.

28) (Vunesp-2005) Uma pessoa resolve caminhar todos os

finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma

distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do

que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que

caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o

período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um

total de 243750 metros.

a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia.

b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.

29) (FMTM-2005) Em um jogo, por cada bola retirada de

uma urna (sem reposição) um apostador deve pagar da

seguinte forma: R$ 1,00 pela primeira bola retirada, R$

1,20 pela segunda, R$ 1,40 pela terceira, R$ 1,60 pela

quarta, e assim sucessivamente. Sabe-se que, de início, a

urna contém bolas numeradas de 1 a 100, e que o jogo se

encerra com o pagamento de um prêmio quando o

apostador retirar a primeira bola contendo um número

múltiplo de 7. Nas condições do jogo, o valor máximo, em

R$, despendido pelo apostador até obter o prêmio é

a) 32,20.

b) 187,20.

c) 598,60.

d) 815,10.

e) 835,20.

30) (Mack-2005) A caixa d’água reserva de um edifício, que

tem capacidade para 25000 litros, contém, em um

determinado dia, 9600 litros. Contrata-se uma empresa para

fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia

seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante,

aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O

número de dias necessários para que a caixa atinja a sua

capacidade total é:

a) 11

b) 13

c) 14

d) 12

e) 10

31) (Mack-2005) No primeiro semestre deste ano, a

produção de uma fábrica de aparelhos celulares aumentou,

mês a mês, de uma quantidade fixa. Em janeiro, foram

produzidas 18000 unidades e em junho, 78000. Se a fábrica

exporta 30% de sua produção mensal, o total de aparelhos

celulares exportados nos meses de março e abril foi:

a) 32400

b) 30600

c) 24500

d) 26200

e) 28800

32) (ITA-2005) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética

infinita tal que

n

k

ka1

3

= n 2 + .n2, para n IN*

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

33) (PUC-SP-2005) Considere as seqüências (1, 4, 7, 10, ...,

67) e (8, 12, 16, 20, ..., 104). O número de termos comuns a

essas duas progressões é

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

34) (Unicamp-2005) A ANATEL determina que as

emissoras de rádio FM utilizem as freqüências de 87,9 a

107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre

emissoras com freqüências vizinhas. A cada emissora,

identificada por sua freqüência, é associado um canal, que é

um número natural que começa em 200. Desta forma, à

emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz corresponde o

canal 200; à seguinte, cuja freqüência é de 88,1 MHz,

corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se:

a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma

região], respeitando-se o intervalo de freqüências permitido

pela ANATEL? Qual o número do canal com maior

freqüência?

b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo

das rádios comunitárias. Qual a freqüência do canal 285,

supondo que todas as freqüências possíveis são utilizadas?

35) (UNIFESP-2004) A primeira figura representa um

retângulo de 100cm por 50cm, com uma escada E1

contendo 50 degraus de 1cm de largura por 1cm de altura.

O ponto A indica a extremidade inferior da escada E1.

Pretende-se ampliar a largura dos degraus de E1, de forma a

obter uma nova escada, E2, contendo também 50 degraus,

todos de mesma largura e tendo como extremidade inferior

o ponto B, conforme figura. Na nova escada, E2, a altura

dos degraus será mantida, igual a 1cm A área da região

sombreada, sob a escada E2, conforme a segunda figura,

será:

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a) 2.050cm

2.

b) 2.500cm2.

c) 2.550cm2.

d) 2.750cm2.

e) 5.000cm2.

36) (ITA-2004) Considere um polígono convexo de nove

lados, em que as medidas de seus ângulos internos

constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º.

Então, seu maior ângulo mede, em graus,

a) 120

b) 130

c) 140

d) 150

e) 160

37) (UFC-2004) Uma progressão aritmética é tal que a soma

dos n primeiros termos é 2

n2

, para todo inteiro positivo n.

Determine a progressão.

38) (Vunesp-2004) Num laboratório, foi feito um estudo

sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de

um minuto do início das observações, existia 1 elemento na

população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por

diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as

populações do vírus

(representado por um círculo) ao final de cada um dos

quatro primeiros minutos.

Supondo que se manteve constante o ritmo de

desenvolvimento da população, o número de vírus no final

de 1 hora era de:

a) 241.

b) 238.

c) 237.

d) 233.

e) 232.

39) (FGV-2004) Seja a seqüência (a1, a2, a3, … an, …) tal

que an = log10n-1

,

em que n N*.

O valor de

100

1n

na

é:

a) 4 950

b) 4 850

c) 5 050

d) 4 750

e) 4 650

40) (UFSCar-2004) Um determinado corpo celeste é visível

da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela

última vez no ano de 1968. De acordo com o calendário

atualmente em uso, o primeiro ano da era Cristã em que

esse corpo celeste esteve visível a olho nu da Terra foi o

ano

a) 15.

b) 19.

c) 23.

d) 27.

e) 31.

41) (Fuvest-2004) Um número racional r tem representação

decimal da forma r = a1a2,a3 onde 1 a1 9, 0 a2 9, 0

a3 9. Supondo-se que:

» a parte inteira de r é o quádruplo de a3 ,

» a1, a2, a3 estão em progressão aritmética,

» a2 é divisível por 3,

então 3 a vale:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 6

e) 9

42) (Fatec-2003) Um auditório foi construído de acordo

com o esquema abaixo:

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A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a

mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para

assistir a um evento e todas comparecerem,

a) ficarão vagos 140 lugares.

b) ficarão vagos 64 lugares.

c) faltarão 44 lugares.

d) faltarão 120 lugares.

e) não sobrarão nem faltarão lugares.

43) (Vunesp-2003) Sabendo-se que (X, 3, Y, Z, 24), nesta

ordem, constituem uma P.A. de razão r,

a) escreva X, Y e Z em função de r;

b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X, Y e Z.

44) (Fatec-2003) As medidas dos lados de um triângulo

retângulo, em centímetros, são numericamente iguais aos

termos de uma progressão aritmética de razão 4.

Se a área desse triângulo é de 96 cm2, o perímetro desse

triângulo, em centímetros, é

a) 52

b) 48

c) 42

d) 38

e) 36

45) (Fatec-2003) Dois viajantes partem juntos, a pé, de uma

cidade A para uma cidade B, por uma mesma estrada. O

primeiro anda 12 quilômetros por dia. O segundo anda 10

quilômetros no primeiro dia e daí acelera o passo, em meio

quilômetro a cada dia que segue.

Nessas condições, é verdade que o segundo

a) alcançará o primeiro no 9o dia.

b) alcançará o primeiro no 5o dia.

c) nunca alcançará o primeiro.

d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.

e) alcançará o primeiro no 11o dia.

46) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão

geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o

número de termos n desta progressão, em função de A, B e

q.

b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros

em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada

parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas

parcelas são necessárias para pagar a dívida?

47) (PUC-PR-2003) A soma S de todos os números naturais

de dois algarismos que divididos pelo número 5 dão resto

igual a 2 é tal que:

a) S < 550

b) 550 S < 750

c) 750

d) 950S < 1150

e) S

48) (Unifesp-2003) A soma dos termos que são números

primos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n +

2, para n natural, variando de 1 a 5, é

a) 10.

b) 16.

c) 28.

d) 33.

e) 36.

49) (Unicamp-2003) Considere o conjunto S = {n IN: 20

n 500}.

a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7?

b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a

probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?

50) (Fuvest-2003) a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e

1000?

b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?

51) (UFC-2003) A soma dos 15 primeiros termos de uma

Progressão Aritmética é 150. O 8o termo desta P.A. é:

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

52) (FGV-2003) a) calcule

60

1j

1)(2j

.

b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica

,...

4

x,

2

x1,

2

.

53) (Mack-2002) Os múltiplos de 7, existentes entre 20 e

508, são em número de:

a) 72

b) 70

c) 68

d) 67

e) 69

54) (OMU-2002) Considere as seqüências Sn = 1

2 + 2

2 + ...

+ n2 e Tn = 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1).

Calcule S4, T4 e T4 - S4.

Ache n tal que Tn - Sn = 210.

Page 8: Exercicios Progressao Aritmetica Matematica Gabarito (1)

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55) (UECE-2002) Se 2

12a

2

e 6

223a

3

são,

respectivamente, o segundo e terceiro termos de uma

progressão geométrica, então o seu primeiro termo, a1 , é

igual a:

a) 1,5

b) 1,4

c) 1,3

d) 1,2

56) (UFC-2002) Uma seqüência de números reais é dita uma

progressão aritmética de segunda ordem quando a

seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos

for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na

qual se encontra parte de uma progressão aritmética de

segunda ordem.

a) (0, 5, 12, 21, 23)

b) (6, 8, 15, 27, 44)

c) (-3, 0, 4, 5, 8)

d) (7, 3, 2, 0, -1)

e) (2, 4, 8, 20, 30)

57) (UFSCar-2002) Uma função f é definida recursivamente

como 5

25f(n)1)f(n

. Sendo f(1) = 5, o valor de f(101)

é

a) 45.

b) 50.

c) 55.

d) 60.

e) 65.

58) (UFSCar-2002) A soma dos cinco primeiros termos de

uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a

razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo

dessa seqüência vale

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

59) (UFPR-2002) Considere um conjunto de circunferências

cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a

progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. A respeito

dessas circunferências, é correto afirmar: - O total de circunferências é 130.

- O comprimento da maior dessas circunferências é 15

vezes o comprimento da menor.

- As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em

milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão

aritmética de razão 2.

- A soma dos comprimentos de todas as

circunferências, em centímetros, é 2227.

60) (Emescam-2002) Se em uma PA de 7 termos, de razão

K, retirarmos o segundo, terceiro, quinto e o sexto termos,

qual será a razão da PA definida a partir da seqüência

restante?

a) K

b) 2K

c) 0,5K

d) 3K

e) 5K

61) (UniAra-2001) A média de pontos obtidos em um teste

de seleção par a candidatos a emprego em uma empresa

tem diminuído de maneira constante. A média do teste

aplicado em 1994 foi 252 pontos, enquanto que em 1999 foi

apenas 197 pontos. Nestas condições a média de pontos em

2.001 será:

a) 185 pontos

b) 176 pontos

c) 186 pontos

d) 182 pontos

e) 175 pontos

62) (Vunesp-2001) Numa cerimônia de formatura de uma

faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de

modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira

fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por

diante, constituindo uma progressão aritmética. O número

de formandos na cerimônia é

a) 400.

b) 410.

c) 420.

d) 800.

e) 840.

63) (Fuvest-2000) Sejam a, b, c três números estritamente

positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo

ABC, cujos vértices são A = (–a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0),

é igual a b, então o valor de b é:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

64) (Vunesp-1999) As medidas dos lados de um triângulo

retângulo formam uma progressão aritmética crescente de

razão r.

a) Mostre que as medidas dos lados do triângulo, em ordem

crescente, são 3r, 4r e 5r.

b) Se a área do triângulo for 48, calcule r.

Page 9: Exercicios Progressao Aritmetica Matematica Gabarito (1)

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65) (UERJ-1998) A promoção de uma mercadoria em um

supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de

uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na

promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50

b) 5,00

c) 5,50

d) 6,00

66) (UERJ-1998) Geraldo contraiu uma dívida que deveria

ser paga em prestações mensais e iguais de R$ 500,00 cada

uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de

correção monetária. Um mês após contrair essa dívida,

Geraldo pagou a 1ª prestação e decidiu que o valor de cada

uma das demais prestações seria sempre igual ao da

anterior, acrescido de uma parcela constante de K reais,

sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser

liquidada na metade do tempo inicialmente previsto.

a) Considerando t o tempo, em meses, inicialmente

previsto, t > 2 e t - 2 como um divisor par de 2000,

demonstre que K = 2t

2000

.

b) Se a dívida de Geraldo for igual a R$ 9000,00, calcule o

valor da constante K.

67) (Vunesp-1998) Imagine os números inteiros não

negativos formando a seguinte tabela:

0 3 6 9 12 ...

1 4 7 10 13 ...

2 5 8 11 14 ...

a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por

quê?

b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?

68) (Uneb-1998) Um pai fez depósitos mensais na

caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o

depósito foi de R$ 10,00, no segundo mês foi de R$ 15,00 ,

no terceiro mês foi de R$ 20,00 e assim por diante,

depositando a cada mês R$ 5,00 a mais do que havia

depositado no mês anterior. Feito o 24° depósito, o total

depositado por ele era:

a) R$1.630,00

b) R$1.620,00

c) R$1.615,00

d) R$1.610,00

e) R$1.600,00

69) (Fuvest-1998) 500 moedas são distribuídas entre três

pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira:

A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C

seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas

suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte,

então, receberá as moedas restantes.

a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu?

(Deixe explícito como você obteve a resposta.)

b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?

70) (Fuvest-1998) A soma das frações irredutíveis,

positivas, menores do que 10, de denominador 4, é:

a) 10

b) 20

c) 60

d) 80

e) 100

71) (UFRJ-1998) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua

inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de

construção de castelo de cartas.

Ele vai montar um castelo na forma de um prisma

triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se

tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal,

excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma

mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três

níveis.

Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis.

Determine o número de cartas que ele vai utilizar.

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72) (Fatec-1997) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de

modo que a seqüência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma

progressão aritmética, tem-se a3 igual a:

a) 43

b) 44

c) 45

d) 46

e) 47

73) (Unicamp-1997) Em uma agência bancária cinco caixas

atendem os clientes em fila única. Suponha que o

atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos

e que o caixa 1 atende o primeiro da fila ao mesmo tempo

em que o caixa 2 o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim

sucessivamente.

a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente

da fila?

b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será

iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo

cliente?

74) (UFSE-1997) No mês de maio de 1996, uma pessoa

colocou R$ 100,00 em sua caderneta de poupança e, todos

os meses, vem fazendo depósitos, cada mês colocando R$

20,00 a mais do que no mês anterior. Dessa forma, ao

efetuar o 14o depósito, terá depositado a quantia total de:

a) R$ 280,00

b) R$ 380,00

c) R$ 1 610,00

d) R$ 3 220,00

e) R$ 3 240,00

75) (Fuvest-1997) Do conjunto de todos os números

naturais n, n 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em

seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que

permanecem no conjunto.

76) (Unaerp-1996) A soma dos 10 primeiros termos de uma

progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é

258, então, o 1o termo e a razão são respectivamente:

a) 3 e 5.

b) 5 e 3.

c) 3 e -5.

d) -5 e 3.

e) 6 e 5.

77) (UFC-1996) Os lados de um triângulo retângulo estão

em progressão aritmética. Determine a tangente do menor

ângulo agudo deste triângulo.

78) (UFC-1996) Considere a seqüência (an), na qual o

produto a1.a2. ... .an=2n.n!

Determine a soma a1 + a2 + ... +a8.

79) (UFBA-1996) Em um paralelepípedo retângulo P, a

altura h, a diagonal da base d e a diagonal D são, nessa

ordem, os termos consecutivos de uma progressão

aritmética de razão r =1. Sendo a base do paralelepípedo P

um quadrado, pode-se afirmar:

(01) h.d.D = 60 cm3

(02) O volume de P é V = 16 cm2

(04) A área total de P é S = 4(4+3 2 ) cm2

(08) A área do círculo inscrito na base de P é S = 2

cm2

(16) O perímetro do triângulo cujos lados coincidem

com h, d, D é p =12cm

A resposta é a soma dos pontos das alternativas corretas

80) (FGV-1995) Para todo n natural não nulo, sejam as

seqüências

(3, 5, 7, 9, ..., an, ...)

(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...)

(c1, c2, c3, ..., cn, ...)

com cn = an + bn. Nessas condições, c20 é igual a:

a) 25

b) 37

c) 101

d) 119

e) 149

81) (Fatec-1995) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg,

deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma

dieta alimentar resulte em um emagrecimento de

exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa

alcançará seu objetivo ao fim de:

a) 67 semanas.

b) 68 semanas.

c) 69 semanas.

d) 70 semanas.

e) 71 semanas.

82) (Unirio-1995) Dado um triângulo retângulo cujos

catetos medem 2cm, construímos um segundo triângulo

retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa

do primeiro e o outro cateto mede 2cm. Construímos um

terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2cm e o

outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se

continuarmos a construir triângulos sempre da mesma

forma, a hipotenusa do 15o triângulo medirá:

a) 15cm.

b) 15 2 cm.

c) 14cm.

d) 8cm.

Page 11: Exercicios Progressao Aritmetica Matematica Gabarito (1)

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e) 8 2 cm.

83) (Unirio-1995) Os lados de um triângulo retângulo estão

em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro

mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto mede:

a) 17cm

b) 19cm

c) 20cm

d) 23cm

e) 27cm

84) (Unitau-1995) Um triângulo retângulo tem seus lados c,

b, e a em uma progressão aritmética crescente, então

podemos dizer que sua razão r é igual a:

a) 2c.

b) c/3.

c) a/4.

d) b.

e) a - 2b.

85) (Fuvest-1995) Em uma progressão aritmética de termos

positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, a11 . O

quarto termo desta P.A. é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

86) (UEL-1994) Uma progressão aritmética de n termos tem

razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os

de ordem par formarão uma progressão:

a) aritmética de razão 2

b) aritmética de razão 6

c) aritmética de razão 9

d) geométrica de razão 3

e) geométrica de razão 6

87) (UFPB-1993) Qual a quantidade de múltiplos de 3 no

intervalo [3455, 3740] ?

88) (Olimpíada de Matemática Argentina-1988) Dados os

números 7 e 15 determinar um terceiro número positivo tal

que, ao se efetuar de todas as maneiras possíveis a soma de

dois quaisquer deles multiplicada pelo restante se obtenham

três números em progressão aritmética. Indique todas as

soluções.

89) (UFPB-1982) A soma dos 3 primeiros termos de uma

sucessão, onde a1 = 2 e an+1 = an + 3 para todo n 1, é:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

90) (UFPB-1977) O termo médio de uma progressão

aritmética de 5 termos, cuja soma vale 25, é:

a) -3

b) -1

c) 1

d) 3

e) 5

91) (UFRS-0) Para p e q inteiros e positivos, a soma dos 100

primeiros múltiplos de p é A e a soma dos 100 primeiros

múltiplos de q é B. O valor de (A+B) é:

a) 200pq

b) 200(p+q)

c) 500(p+q)

d) 5050(p+q)

e) 505pq

92) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c

estejam, simultaneamente em progressão aritmética e

progressão geométrica é que:

a) ac = b2

b) a+c = 2b

c) a + c =b2

d) a = b = c

e) ac = 2b

Page 12: Exercicios Progressao Aritmetica Matematica Gabarito (1)

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Gabarito

1) a) 1/4 (25%)

b) 9 filas.

2) Alternativa: C

3) Alternativa: A

4) Alternativa: B

5) Alternativa: C

6) a)

5

13,

5

3,

5

7

b) 5

73

7) Alternativa: A

8) a) A área é 221cm

2.

b) f(x) = 2x2 + 2x + 1, x ∈ IN*

Domínio:

D = IN*

Conjunto imagem:

Im = {5, 13, 25, …, 2x2 + 2x + 1, …}, x ∈ IN*

9) Alternativa: A

10) a) n = 8

b) n = 9

11) Alternativa: D

12) Alternativa: C

13) a) b = 5

6e r =

5

12

b) a20 = 5

239

c) S20 = 500

14) Alternativa: A

15) Alternativa: D

16) a) cada novo quadrado tem 4 segmentos a mais, de

forma que a seqüência é uma PA de razão 4, e termo geral

Pn = 4 + (n-1).4 = 4n

b) 4

1

; 2

1

; 4

3

; ... (PA de razão 4

1

)

S40 = 205.

17) Alternativa: A

18) a) Como 60° é um dos ângulos, a soma dos outros dois

( e , por exemplo) é 120º. Assim, 60º é a média

aritmética entre e , e então a seqüência (, 60°, ) é

uma progressão aritmética.

b) Usando a lei dos cossenos, se for o ângulo oposto ao

lado que mede 7, temos que cos = 2

1

e portanto = 60º.

Assim, do exposto no item (a) podemos afirmar que os

ângulos estão em PA.

19) Alternativa: E

20) Alternativa: D

21) Alternativa: D

22) Alternativa: B

23) Alternativa: D

24) Alternativa: B

25) a) Soma dos elementos da 4ª linha = 5.75 = 375

b)

n

65

2x y 130

x z 75

0

Na 3ª linha

2

3x65

2

x652xy

2

x65r4r2x130

Na 4ª linha 2

75xz

Na 2ª coluna z652y

2

75x653x65

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x = 15

6075

9010

5

45 65

30 55

15

0

n = 105

26) a) 750 metros

b) 22500 metros

27) Alternativa: B

28) a) 750 metros

b) 22500 metros

29) Alternativa: E

30) Alternativa: A

31) Alternativa: E

32) O primeiro termo é 2 - 3

, e a razão é

3

2.

33) Alternativa: A

34) EXPECTATIIVA DE RESPOSTA DA BANCA

ELABORADORA DA UNICAMP

a) Intervalo [fechado] de freqüências: [87,9; 107,9].

Amplitude: 20 MHz. Este intervalo deve ser dividido em

20/0,2 = 100 sub-intervalos

e, portanto, 101 pontos de divisão, com uma emissora em

cada ponto.

Resposta: São 101 emissoras e o canal de maior freqüência

é o canal 300.

b) A freqüência do canal 200 é de 87,9 MHz,

a freqüência do canal 201 é de 87,9 + 0,2 = 88,1 MHz,

a freqüência do canal 202 é de 87,9 + 2.0,2 = 88,3 MHz,

................................................................................................

.........

a freqüência do canal 285 é de 87,9+85.0,2=87,9+17=104,9

MHz

Resposta: A freqüência do canal 285 é de 104,9 MHz.

35) Alternativa: C

36) Alternativa: E

37) PA( 2

1 , 2

3

, 2

5

, ...) com a1 = 2

1 e razão r = 1.

38) Alternativa: C

39) Alternativa: A

40) Alternativa: A

41) Alternativa: E

Se a aparte inteira de r é o quádruplo de a3, então 10a1 + a2

= 4.a3. Considerando que a1, a2,a3 estão em PA, então 2a2 =

a1 + a3. Isolando a3 na 2a equação e substituindo na 1

a,

temos que a2 = 2a1. Então, a2 é par, e, conforme o

enunciado, divisível por 3. Assim, a2 = 6 e a3 = 9.

42) Alternativa: C

43) a) X = 3 - r; (ou 24 - 4r)

Y = 3 + r (ou 24 - 2r)

Z = 3 + 2r (ou 24 - r)

b) r = 7, X = -4, Y = 10 e Z = 17.

44) Alternativa: B

(N.do.E.: não é necessário fornecer a área do triângulo para

que seja resolvido esse exercício.)

45) Alternativa: A

46) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja,

supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 +

A

Blogq .

b) 25 parcelas.

47) Alternativa: D

S = 12 + 17 + ... + 97 = 981

48) Alternativa: D

49) a) os múltiplos de 3 e de 7 são múltiplos de 21: são 23

múltiplos

b) são (500 – 19 = 481) 481 números no espaço amostral;

desses, 160 são múltiplos de 3; 69 são múltiplos de 7 e 23

são múltiplos comuns de 3 e 7, ou seja, temos (160 + 69 –

23 = 206) 206 números no evento pedido.

Assim, P = 481

206

Page 14: Exercicios Progressao Aritmetica Matematica Gabarito (1)

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50) a) 100

b) 100 + 60 - 20 = 140

51) Alternativa: A

52) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600

b) 19

19

2

x

53) Alternativa: B

54) a) S4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. T4 = 2 + 6 + 12 + 20 = 40.

T4 - S4 = 10.

b)

n

1i

n

1i

2nn

2

)1n(niii)1i(ST

. Assim n2 +

n - 420 = 0, logo (n - 20)(n + 21) = 0, assim n = 20.

55) Alternativa: A

56) Resposta: B

Construindo as seqüências das diferenças obtemos

a) (5, 7, 9, 2)

b) (2, 7 12, 17)

c) ( 3, 4, 1, 3)

d) (-4, -1, -2, -1)

e) (2, 4, 12, 10)

Apenas (2, 7, 12, 17) representa uma parte de uma

progressão aritmética. Portanto apenas a seqüência (6, 8,

15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de segunda ordem.

57) Alternativa: A

58) Alternativa: A

59) F – F – V – V

60) Alternativa: D

61) Alternativa: E

62) Alternativa: A

63) Alternativa: E

64) a) Sejam os lados a PA (x-r, x e x+r). Então, (x+r)

2 = x

2

+ (x-r)2 4xr = x

2 x = 4r ou x=0 (não convém). Para x

= 4r, a PA fica (3r, 4r, 5r). cqd.

b) r = 8

65) Alternativa: A

66) a) Dívida original em t prestações valor total = 500t

Com a mudança em t prestações valor total = 500 + 500

+ K + 500 + 2K + 500 + 3K+ ... + 500 +

K12

t

=

.t8

2)K(t250

Igualando os totais, obtemos: K = 2t

2000

b) 500t = 9000 t = 18, então K = 218

2000

= 125

67) a) 2ª linha

b) 107ª coluna

Observe que:

» Os números da 1ª linha da tabela são múltiplos de 3;

» Os números da 2ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais

1;

» Os números da 3ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais

2;

» 319 = 3.106 + 1.

Portanto, o 319 se encontra na 2ª linha (o resto da divisão

por 3 é igual a 1) e na 107ª coluna

(existem 106 colunas antes do número 319).

68) Alternativa: B

69) a) B recebeu as 4 moedas restantes.

b) A: 176

B: 159

C: 165

70) Alternativa: E

71) 2420 cartas

72) Alternativa: B

73) a) no caixa 3

b) após 39 minutos: o caixa 3 atenderá o cliente 3, 8, 13, 18,

..., 63, 68. Na PA (3, 8, 13, ...68) o termo 68 é o 14o. Assim,

antes dele houveram 13 clientes, e 13.3 = 39 min.

74) Alternativa: D

75) S = 20100 - 4100 - 3366 + 630 = 13264

76) Alternativa: B

77) tg = 4

3

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78) a1=2, a2=4, a3=6,....a8=16, portanto a soma a1+...+a8 =

72

79) V - F - F - V - V 1 + 8 + 16 = 25

80) Alternativa: C

81) Alternativa: D

82) Alternativa: D

83) Alternativa: B

84) Alternativa: B

85) Alternativa: B

86) Alternativa: B

87) 95 múltiplos

88) Seja x o terceiro número, temos então seis

possibilidades:

1) 22x 7(x + 15) 15(x + 7), então a razão, calculando a

diferença entre os últimos termos, seria 8x, por outro lado,

calculando entre os dois primeiros, seria 105 - 15x, logo

105 - 15x = 8x, e x = 105/23.

2) 7(x + 15) 22x 15(x + 7), então por um lado a razão

deveria ser 105 - 7x, e por outro 15x - 105, assim 105 - 7x =

15x - 105, então x = 105/11.

3) 7(x + 15) 15(x + 7) 22x, então teríamos pelo mesmo

argumento 7x - 105 = 8x, logo x = -105, que não convém.

89) Alternativa: E

90) Alternativa: E

91) Alternativa: D

A = p+2p+3p+4p+...+100p = p(1+2+3+...+100) =

2

100).100(1

p = 5005p

B = q+2q+3q+4q+…+100q = q(1+2+3+…+100) = 5005q

A+B = 5005(p+q)

92) Alternativa: D